Dosar Matematica

Numerele naturaleOrce nr. Natural care are cifra unitatilor 0, 2, 4, 6 sau 8 se numeste nr. Par.Orce nr. Natural care are cifra unitatilor 1, 3, 5, 7 sau 9 se numeste nr. Impar.

Cifre Romane Cifre StandardI 1V 5X 10L 50C 100D 500M 1000

Nu se pot repeat patru sau mai multe cifre de odata: MMMM = Gresit

Reprezentarea nr. pe o axaPe o dreapta (d) se fixseaza un punct O numit origine, se stabileste un sens (de la

origine care dreapta), numit sensul pozitivsi se allege o unitate de masura (un segnent MN de lungime oare-care). Cu aceste trei caracteristici, dreapta (d) se numeste axa numerelor.

Compararea si ordonarea nr. naturale.Scrisul nr. nat. - crescator

- descrescatr Orce nr. nat. are un successor si orce nr. nat. diferit de zero (0) are un predecessor.

Aproxsimarea nr. nat.Aproxsimarea se face prin : lipsa sau prin adaos.

Adunarea nr. nat.a + b = c a, b, c nr. nat.a, b = temenic = suma

Scaderea nr. nat.a – b = c a = descazutb = scazatorc = diferenta

La scaderea nr. nat. descazutul trebuie sa fie mai mare sau egal decat scaatorul.Orce nr. nat. se poate scrie ca diferenta de nr. nat.

Imultirea nr. nat.a * b = ca, b = factoric = produs

**************************************************************** adunarea si scaderea = operatii de grad Iimultirea si inpartirea = operatii de gradul II

Factor comun a * b + a * c = a(b + c)a * b - a * c = a(b - c)

Impartirea nr. nat.a / b = ca = dempartitb = impartitorc = cat

Ecuatii Ecuatiile sunt egalitati de formaA rezolva o ecuatie inseamna a determina valorile pe care necunoscuta (X) pentru

ca egalitatile sa fie adevarate.

InecuatiiX + 2 < 5X <5 – 2X = 3

Teoria inpartirii cu restD / I = C, RD = I * C + RI =/ 0Oricare ar fi nr. nat. D si I cu I =/ 0 exista si sunt unice 2 nr. C si R astfel incat

D = I * C + R.

Divizor multipluNr. nat “a” este divizibil cu nr. nat. “b” daca exista un nr. nat. “c” astfel incat a = b * c nr. “b’ se numeste divisor si nr.”a” se numeste multiplu lui “b”.

b | a – b se divide cu aa : b – a se divide cu b

Criterii de divizibilitate

Criteriul de divizibilitate cu 2.Un nr. nat se divide cu 2 daca ultima lui cifra este: 0, 2, 4, 6 sau 8.

Criteriul de divizibilitate cu 5.Un nr. nat.este divizibil cu 5 daca ultima sa cifra este: 0, 5.

Criteriul de divizibilitate cu 10.Un nr. nat. se divide cu 10 daca ultima sa cifra este 0.

Criteriul de divizibilitate cu 100.Un nr. nat. se divide cu 100 daca ultimele doua cifre sunt 00.

Criteriul de divizibilitate cu 4.Un nr. nat. este divizibil cu 4 daca nr. format din ultimile cifre se divid cu 4.

Criteriul de divizibilitate cu 25.Un nr.nat se divide cu 25 daca ultimile doua cifre ale lui sunt: 00, 25, 50, 75.

Criteriul de divizibilitate cu 3.Un nr. nat. se divide cu 3 daca suma cifrelor lui se divid cu 3.

Criteriul de divizibilitate cu 9.Un nr.nat se divide cu 9 daca suma cifrelor lui sunt 9.

Desconpunerea in factori primi a unui nr. nat.Numerele nat. diferite de 1 si care se divid numai cu 1 si cu ele insule se numesc

numere prime.Orce nr. nat. diferit de 0 si 1 nu sunt nici prime, nici compuse.

Puterea unui nr. nat.2 * 2 * 2 = 23

5 * 5 = 52

a * a * a * a * a * a ……………… * a = an

a – nr. nat. se numeste bazan – nr. nat. =/ de 0 exponent

12 = 1 * 1 = 1 a0 = 1 a1 = a 0n = 013 = 1 * 1 * 1 = 1 70 = 1 91 = 9 02 = 0. 1030 = 1 101 = 10 010 = 0. 45642120 = 11n = 1

Reguli de calcul cu puteria n * a n = a n+n a n / a n = a n-n (a n ) m =a n*m (a * b) p = a p * b p

Compararea puterilorComparearea puterilor care au aceasi baza:an>am n>man<am n<man=an n=nPentru a compara 2 puteri cu aceasi baza comparam exponentii intre ei.

Compararea puterilor cu baza diferita si acelasi exponentan>bn a>ban<bn a<ban=bn a=bPentru a comparaputeri cu baza diferite si acelasi exponent vom compara bazele

intre ele.

Patrate perfecte22 = 432 = 942 = 1652 = 2562 = 3672 = 4982 = 64Numim patrat perfect un nr. nat. care este patratul altui nr. nat.Ultima cifra a unui nr. nat. patrat perfect poate fi una din cifrele: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

Ultima cifra a unui nr. nat.a – nr. nat. u (123) = 3

u (2n) = 2, 4, 8, 6u (3n) = 3, 9, 7, 1u (4n) = 4, 6

u (5n) = 5u (6n) = 6u (7n) = 7, 9, 3, 1u (8n) = 8, 4, 2, 6u (9n) = 9, 1u (10n) = 0

Cel mai mare divisor comunCel mai mare divisor comun al mai multor nr. nat., nu toate nule, este cel mai

mare nr. nat. care se divide cu toate nr. date.c.m.m.d.c

Cel mai mic multiplu comunPentru a afla cel mai mic multiplu comun diferit de 0 al mai multor nr. nat.,

procedam astfel: desconpunem nr. in factori primi, luam, o singura dat, factorii comuni si necomuni la exponentul cel mai mare si ii imultim intre ei.

c.m.m.m.c

Desconpunerea nr. nat. in nr zecimaleab-- = 10 a + babc--- = a*102+b*10+cabcd---- = 2*103+102c*10+d

Multimea div. unui nr.nat.D6={1;2;3;6}1,6=divizori improprii2,3=divizori propriiUn nr. nat. se numeste prim daca are ca divisor pe 1 sau pe el insusi.

Multimea multiplilor unui nr. nat.M2={0;2;4;6;8;10;12;14…………………………………}M6={0;6;12;18……………………………………………}

Prop. adevarate si falseEnunturile care descriu sau comunica fapte se numesc propozitii.O propozitie in matematica este adevarata sau falsa. Propozitia adevarata are

valuare de adevar “A” sau falsa “F”Valuarea de adevar se numeste si valuare logica.

Fractiia – numarator-b – numitorFractii - subunitare

- echivalente- supraunitare

Fractii echivalenteDoua fractii a si c sunt echivalente , ceea ce se scrie a = c daca a*d=b*c

- - - - b d b d

Amplificarea simplificarea fractilor Amplificare. A amplifica o fractie inseamna a inmultii numaratorul si numitorul

ei cu acelas nr. nat. nenul.Simplificarea A simplifica o fractie inseamna a impartii numaratorul si numitorul ei printr-un numar care este divisor comun al lor. O fractie care nu mai poate fii simplificata se numeste fractie

IreductibilaO fractie care poate fii simplificata se numeste fractie reductibila.

Adumarea fractilor1. adunarea fractiilor cu acelasi numitor

a c a+c- + - = -b b b

2. adunarea fractiilor cu numitori diferitiPentru a aduna fractii cu numitori diferiti mai intai le aducem la acelas numitor.

Scaderea nr. fractionare1. scaderea nr. fractionate

a c a-c- - - = -b b b

2. scaderea fractilor cu numitori diferitiIntai aducem fractiile la acelas numitor prin simplificaresau amplificare, si dupa

accea facem operatia.

Aflarea unei fractii dintr-un nr.Pentru a afla o fractie dintr-un nr. nat. se inmulteste fractia cu acel nr.A a a * c- din c = - * c = -b b b

ImultireaPentru a inmultii doua sau mai multe numere fractionare, se imultesc numaratorii

intre ei si numitorii intre ei.

ImpartireaPentru a impartii doua fractii facem: prima fractie ramane pe loc, iar cealalta o

rasturman si facem o inmultire.

Puterea unui nr. fractionar(-a

b)n = -a nb n (-a

b)1 = -ab

(-ab)0 = 1

Aflarea unui nr. cand cunoastem p% din el p% din x este a

p- * x = a100x = a / p

-100

x = a * 100-p

Fractii zecimaleO fractie zecimala este formata dintr-o parte zecimala si din una intreaga,

despartite de virgula “,”.

Compararea nr.zecimalePentru a compara doua nr. zecimale se compara mai intai partile lor intregi. Daca

acestea nu sunt egale este mai mare nr. zecimal cu partea intreaga mai mare. Daca partile intregi sunt egale, se compara partile zecimale, dupa ce s-au adaugat eventual zerouri pana cand partile zecimale au acelasi nr. de cifre.

Imultirea unui nr. zecimale cu o putere a lui 10Cand vrem sa inmultim, noi mutam virgula peste o cifra de la stanga la dreapta. 1,23*10=12,3

Impartirea nr. zecumale cu o putere a lui 10Cand vrem sa impartim, noi mutam virgula peste o cifra de la dreapta la stanga.1,23/10=0,123

Puterea unui nr. zecimalNumarul de zecimale al unei puteri a unui nr. zecimal este egal cu produsul dintre

numarul de zecimale ale bazei si exponentul puterii.

Fractii zecimaleDaca numitorul unei fractii ordinare ireductibile nu contine numai factori 2 si 5,

atunci impartirea numaratorului la numitor este nesfarsita.

Transformarea fractiilor zecimale periodice in fractii:OrdinareO fractie zecimala periodica simpla cu partea intreaga nula se transforma intr-o

fractie ordinara al carei numarator sete alcatuit din perioada fractiei zecimale periodice

simple, iar numitorul este numarul natural format din atatea cifre de 9 cate cifre are perioada.

MixteO fractie zecimala periodica mixta cu partea intreaga nula se transforam intr-o

fractie ordinara al carei numarator este diferenta dintre nr. nat. format din neperioada urmata de perioada si nr.nat. format din neperioada , iar numitorul numarul natural format din atatea cifre de 9 cate cifrea are perioada urmat de atatea zerouri cate cifre are partea neprioada.

Media aritmeticaPentru a calcula media aritmetica la 10, 9, 8, noi trebuie sa aduman cifrele si dupa

accea sa le inpartim.(10+9+8)/3=27/3=9

Elemente de geometrie Punct, dreapta, plan

Punctul – poate fi comparat cu urma lasata de varful creionului pe hartie. Punctul nu are dimensiuni.

Notam punctual cu litere mari din alfabet.

A=/B – distincte C=D – identice

Dreapta – este nemarginita, nu are dimensiuni, reprezinta o multime infinita de multimi de puncte asezate unul langa altul.

Printr-un punct trec o infinitate de drepte.

AB

C, D

dA B C

A

Planul Planul este nelimitat, reprezinta o multime infinita de puncte si de drepte.

Semidreapta

Multimea punctelor aflate pe dreapta d, la dreapta punctului O constituie semidreapta limitata de punctual O si care contine punctual A. Se citeste semidreapta OA.

SegnentulMultimea punctelor dreptei d situate intre punctele A si B se numeste segment

AB. Punctele A si B sunt extremitatile segmentului, iar dreapta d suportul lui.

Plan

O A

A

B

d

UnghiulUnghiul – este figura geometrica formata din 2 semidrepte cu acceasi origine.

Originea comuna se numeste varful unghiului, iar semidreptele se numesc laturile varfului.

Ascutit

Obtuz

Drept

Linie franta deschisa

Linie franta deschisa incruciseata

Linie franta inchisa

Latura A

Latura B

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

F

G

A

B

C

D

Linie franta inchisa incruciseata

Poligon Poligon numim asa o linie franta inchisa

TriunghiulTriunghiul – este poligonul cu trei laturi.

A,B,C= varfuri[A,B] – latura[B,C] – latura [C,D] – latura

Clasificare 1. triunghi oarecare2. triunghi acscutitunghic

A

B

C

D

A

B C

3. triunghiobtuzunghic4. triunghi dreptunghic5. triunghi isoscel6. triunghi echilateral7.

Patrulatere1. patrulatere oarecare2. patrulatere particulare

Paralelogram

Dreptunghi

Patrat

Romb

A

BC

D

A

B C

D

A B

CD

A B

CD

Trapez

Cercul

Corpuri GeometriceParalelipiped

A B

CD

B

L

O

M

N

A

Cub

Prisma Triunghiulara Prisma Patrulatera

Piramida

Desconpunerea Cub

Triunghi

Piranida

Cilindrul

Conul

Constructii Geometrice1. Consstructia dreptei se face cu linia, alegand doua puncte pe foaie si

unindu-le2. Constructia unui segment de acceasi lungime cu lungimea unui segment

dat. Masuram cu rigla gradata cat are si dupa accea trasam al doilea segment.

3. Constructia dreptelor paralele se face cu rigla si echerul. Dupa ce s-au asezat instrumentele(rigla sub echer), se lasa echerul sa alunece de-a lungul riglei fixsate pana in pozitia dorita, apoi se traseaza paralela la dreapta a.

4. Constructi perpendicularei dusa dintr-un punct punct exterior unei drepte pe acea dreapta se poate realiza folosind echerul ca mai sus .

5. Constructia perpendicularei duse dintr-un punct al unei drepte pe acea dreapta. Echerul se fixseaza pe linie se se tra doua perpendiculare.

O

Unitati de masura pentru lungimekm inf. la sup. *10hm sup. la inf. /10dammdmcmmm

Perimetrul

Patrat = 4lDreptunghi = 2(L+l)Triunghi = l1+l2+l3

Miscari de translatieTranslatie este miscarea prin care noi, mutam un triunghi putin mai la dreapta sau

la stangaSimetria. Se ia o linie si dupa ea se poate desena tot felul de forme geometrice.

Daca indoim foaia cu desenul pe cea lalta parte o sa iasa identical(in oglinda).

Unitati de masura pentru ariekm2

hm2

dam2 inf. la sup. *100m2 sup. la inf. /100dm2

cm2

mm2

Aria la diferite forme geometriceDreptunghi – l*LPatrat – 4*lTriunghi – (b*h)/2

Unitati de masura pentru volumkm3

h3

dm3 inf. la sup. *1000m3 sup. la inf. /1000dm3

cm3

mm3

Volumul la diferite forme geometriceParalelipiped Al=L*l+l*h+l/h*2L*h+2hAl=2h(L+l)At=Al+2AAt=2l*h+2l*h+2L*lV=L*l*h

Unitati de masura pentru capacitateklhldam inf. la sup. *10l sup. la inf. /10dlclml

Unitati de masura pentru masatqkg inf. la sup. *10hg sup. la inf. /10daggdgcgmg

Unitati de masura pentru timpmin=60s.h=3600s.d=86400s.sap.=7ziledeceniu=10anisecol=100ani

mileniu=1000ani