ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE BUCUREŞTI

FACULTATEA DE RELAŢII ECONOMICE INTERNAŢIONALE

PROIECT LA ECONOMETRIE

Coordonator: PROF. DR. ERIKA MARIN

2010-2011

A SCOPUL PROIECTULUI. PREZENTAREA PROBLEMEI

Acest studiu î i propune să găsească corela ia dintre nivelul PIB-ului i numărulș ț ș

locuitorilor (popula ia) statelor din Europa (cele 27 membre UE plus încă 5 state ”nemembre”ț

UE) pentru anul 2009. Se va urmări dacă popula ia influen ează în vreun fel nivelul PIB-ului.ț ț

Produsul intern brut este un indicator macroeconomic care reflectă suma valorii de pia a aț

tuturor mărfurilor i serviciilor destinate consumului final, produse în toate ramurile economieiș

în interiorul unui stat în decurs de un an.

De i numărul locuitorilor nu este folosit în calcularea PIB-ului, consumul privat, care esteș

una dintre componentele principale ale PIB-ului, depinde de popula ie. ț

Consumul privat - este în mod normal cea mai mare componentă a PIB, reprezentând

cheltuielile gospodariilor în economie. Aceste cheltuieli pot fi clasificate în: bunuri durabile,

bunuri perisabile i servicii. ș Exemple: hrană, chirie, bijuterii.

Au fost înregistrate 32 de unită i, reprezentând valorile specifice perechii de caracteristiciț

X i Y, unde numărul locuitorilor reprezintă variabila independentăș (X), iar nivelul PIB-ului,

variabila dependentă (Y).

Modelul econometric se va construi pe baza datelor ob inute de pe site-ul Comisiei Europene cuț

privire la date statistice ale ărilor membre UE, dar si ale celorlalte state din Europa i a marilorț ș

puteri economice:

http://epp.eurostat.ec.europa.eu/tgm/table.do?tab=table&init=1&plugin=1&language=en&pcode=tec00001;

http://epp.eurostat.ec.europa.eu/tgm/table.do?tab=table&init=1&plugin=1&language=en&pcode=tps00001

Anexa Excel cuprinde mai multe sheet-uri : indicatori regresie simplă liniară,

reprezentarea grafică, ANOVA, Homoscedasticitatea, regresie set1, regresie set3, previziune,

testarea liniarită ii.ț

2

Tabel 1. Popula ia i PIB-ul ărilor din Europa în anul 2009ț ș țNR.

CRT TARA

POPULATIA (milioane locuitori)

PIB (miliarde

euro)

1 Belgia 10,75 339

2 Bulgaria 7,6 35

3 Cehia 10,46 137

4 Danemarca 5,51 222

5 Germania 82 2397

6 Estonia 1,34 13

7 Irlanda 4,45 159

8 Grecia 11,26 233

9 Spania 45,82 1053

10 Fran aț 64,36 1907

11 Italia 60,04 1520

12 Cipru 0,79 16

13 Letonia 2,26 18

14 Lituania 3,34 26

15 Luxembourg 0,49 38

16 Ungaria 10,03 92

17 Malta 0,41 5

18 Olanda 16,48 571

19 Austria 8,35 274

20 Polonia 38,13 310

21 Portugalia 10,62 168

22 Romania 21,49 115

23 Slovenia 2,03 35

24 Slovacia 5,41 63

25 Finlanda 5,32 171

26 Suedia 9,25 290

27 Marea Britanie 61,59 1563

28 Islanda 0,31 8

29 Norvegia 4,79 272

30 Elve iaț 7,7 354

31 Croa iaț 4,43 45

32 Turcia 71,51 440Sursa: Eurostat; http://epp.eurostat.ec.europa.eu/tgm/table.do?tab=table&init=1&plugin=1&language=en&pcode=tec00001

http://epp.eurostat.ec.europa.eu/tgm/table.do?tab=table&init=1&plugin=1&language=en&pcode=tps00001

3

B DEF I N IR E A MO D E LU LU L D E RE G R ES I E SI MPLĂ LI N I AR Ă

Modelul liniar: Yi=α+βxi+εi

unde: xi = variabila independentă;

Yi = variabila dependentă;

α, β = parametrii func iei de regresie;ț

α = ordonata la origine;

β = dă semnul func iei;ț

εi = eroarea aleatoare.

Modelul de regresie liniară în e antion: ș yi=a+bxi+ei

unde: xi = variabila independentă;

yi = variabila dependentă;

a, b = estimatorii parametrilor α, β;

ei = valoarea reziduală.

Pentru datele noastre func ia de regresie are următoarea formă: ț Yi = 22,205xi - 5,4547 (pentru

reprezentarea grafică a variabilelor vezi anexa.).

C ESTIMAREA PARAMETRILOR MODELULUI I INTERPRETAREA ACESTORAȘ

∑yi = na + b∑xi

∑xiyi = a∑xi + b∑xi2

a = – 5,454

b = 22,205

Func ia de regresie : ț yi = 22,205* xi – 5,454

4

unde: a = ordonata la origine din punct de vedere matematic; nu are semnifica ieț

statistică; Intercept este termenul liber, deci coeficientul a = - 5,454. Termenul liber este punctul

în care variabila explicativă este 0, adică nivelul PIB-ului dacă populatia este 0.

b = coeficientul de regresie din punct de vedere statistic; panta dreptei din punct

de vedere matematic. Coeficientul b=22,205, b>0 relevă existen a unei legături directe întreț

popula ie i PIB, ceea ce înseamnă că la modificarea popula iei cu o unitate, PIB-ul se modifică,ț ș ț

în acela i sens, în medie, cu 22,205 mld.€.ș

D TESTAREA SEMNIFICA IEI CORELATIEI I A PARAMETRILOR MODELULUIȚ Ș

DE REGRESIE

Conform calculelor avem suficientă eviden ă statistică pentru a demonstra că între variabileț

există o legătură liniară semnificativă.

Conform calculelor avem suficientă eviden ă statistică pentru a demonstra că legătura dintreț

popula ie i PIB este liniară. (Pentru urmărirea etapelor rezolvării vezi anexa – punctul D).ț ș

E APLICAREA ANALIZEI DE TIP ANOVA ŞI INTERPRETAREA REZULTATELOR

Caseta ANOVA se referă la descompunerea varia iei totale (SST) a variabilei dependenteț

în două componente: varia ia explicată prin rgresie (SSR) i vari ia neexplicată (SSE) sauț ș ț

varia ia reziduală. Tot în această casetă găsim Fț calc i Significance F, valorile acestora dându-neș

elemente importante care stau la baza validării modelului de regresie. Ele ne furnizează

informa ii privind valoarea calculată a statisticii test F i a erorii pe care putem s-o facem cândț ș

respingem modelul de regresie ca fiind neadecvat. Regula de decizie privind acceptarea

modelului este: valori mici pentru Significance F i valori mari pentru statistica test F.ș

Significance F reprezintă valoarea erorii pe care o facem prin respingerea ipotezei nule când de

fapt ea este adevărată; aceasta trebuie să fie în general mai mică de 5%.

SS reprezintă suma pătratelor i explică varia ia dată de regresie.ș ț

Pentru datele noastre Fcalc (102,6102307) Ftab (4,170876757) i Significanceș

F = 3,38634E-11 reprezintă o valoare mai mică de 5%, putem accepta faptul că modelul este

valid.

5

6

F TESTAREA IPOTEZELOR CLASICE ASUPRA MODELULUI DE REGRESIE SIMPLĂ

Ipoteze statistice clasice supra modelului de regresie simplă

1. Forma func ionalăț : yi=α+βxi+εi

Ipoteza de liniaritate se referă la felul în care parametrii intră în ecuaţie, nu neapărat la

relaţia între variabilele x şi y.

2. Normalitatea ( ε i ∼ N(0,σ 2))

- Valorile Y sînt normal distribuite pentru orice X

- Erorile sînt normal distribuite cu medie zero E(εi)=0 ∀i

Ipoteza că media erorilor este zero: E(ε i)=0 ∀i, este naturală atâta timp cât ε este văzută ca

suma efectelor individuale, cu semne diferite. Este o ipoteză de lucru, tehnică, ce permite

obţinerea unor estimatori “buni”.

3. Homoscedasticitatea (dispersia este constantă): σ2(εi)= σ2, ∀i

Ipoteza de bază a modelului de regresie este că dispersia erorilor trebuie să fie constantă.

Dacă această ipoteză nu se verifică ne aflăm în cazul de heteroscedasticitate. În acest caz

coeficien ii sunt afecta i de eroare.ț ț

4. Non-autocorelarea erorilor: E(ε iε j)=0 ∀i≠ j

Această ipoteză nu implică faptul că yi şi yj sunt necorelate, ci faptul că deviaţiile observaţiilor

de la valorile lor aşteptate sunt necorelate.

5. Necorelarea între regresor i eroriș :

Testarea ipotezei de homoscedasticitate

Testăm dacă varia ia erorilor este constantăț . H0: Dispersia erorilor este constantă

H1: Dispersia erorilor nu este constantă

Etapele testării:

1. Se ordonează seria de date după valorile lui xi; (vezi anexa – pctul F)

2. Se împarte seria de date 3 păr i;ț

I. 12 observa iiț

II. 8 observa iiț

III. 12 observa iiț

3. Se fac 2 analize de regresie pentru primul i ultimul set de date;ș

4. Se calculează/extrage din ANOVA pentru fiecare parte (cele 2 seturi) SSR-urile;

SSR1 =22,92 SSR2 = 4276017,91

7

( , ) 0, ,i jCov X i jε = ∀

SSE1 = 16,26 SSE2 = 2403196,76

SST1 = 39,18 SST2 = 6679214,67

5. Se calculează Fcalc = i se compară cu valoareaș teoretică din tabele pentru testul F, cu

df =

Fcalc = = 147798,08

Ftab = finv(α;df;df) = finv(5%;10;10) = 2,978 (conform Excel)

df= = = 10 grade de libertate

6. Datorită faptului că Fcalc Ftab ne aflăm în situa ia de heteroscedasticitate, adică varia iaț ț

erorilor nu este constantă, iar modelul este reprezentativ.

Testarea ipotezei de autocorelare a erorilor

Verificăm independen a erorilor.ț În urma testării rezultă că ne aflăm în zona de indecizie

(Anexa-pctul F).

Testarea normalită ii erorilorț

Pentru a testa normalitatea erorilor se utilizează testele de concordanţă („goodness-of-fit”

tests) care realizează verificarea concordanţei repartiţiei emprice (pusă în evidenţă de datele

experimentale) cu repartiţia teoretică presupusă că „îmbracă” adecvat, că „se mulează„ cel mai

bine pe această repartiţie empirică. (Anexa pctul F)

În urma testării rezultă că avem suficientă eviden ă statistică pentru a demonstra că erorileț

urmează o distribu ie normală.ț

Testarea liniarită iițDin grafic se observă liniaritatea func iei. În urma testării rezultă că media erorilor este 0 .ț

(vezi Anexa-pctul F)

8

G Previziunea valorii variabilei y dacă variabila x cre te cu 10% fa ă de ultima valoareș ț

înregistrată

Se consideră pentru ara M, variabila x = 10%*71,51 mil loc = 0,71 mil locț

y = 22,205*0,71 – 5,454 = 10,31 mld euro

E = tα,n-2*se = 2,042*292,95

= 598,20*1,01 = 610,04

Yi – E Ypred Yi + E

-599,73 Ypred 620,35

PIB-ul poate fi între – 599,73 i 620,35 mld euro.ș

9

ANEXĂ

Tabel 1. Populația și Pib-ul țărilor din Europa în anul 2009 (indicatori)

11

xi yi ei (ei)^2

NR. CRT

TARAPOPULATIA

(milioane locuitori)

PIB (miliarde

euro)xi^2 xi*yi Yi yi-Yi (yi-Yi)^2 xi-xmed

(xi-xmed)^2

ei - 1 ei - ei - 1 (ei - ei - 1)^2valori

asteptate (Ei)

(ei-Ei)^2 (ei-Ei)^2/Ei

1 Belgia 10,75 339 115,56 3644,25 233,25 105,75 11183,12 -7,635 58,29- 105,75

11183,06 0,00136511182,8266

8 8192525,106

2 Bulgaria 7,6 35 57,76 266 163,30 -128,30 16461,92 7,6 57,76 105,75 -234,05 54781,39 0,00136516462,2666

9 12060198,91

3 Cehia 10,46 137 109,41 1433,02 226,81 -89,81 8065,89 10,46 109,41 -128,30 38,49 1481,76 0,0013658066,13509

8 5911000,896

4 Danemarca 5,51 222 30,36 1223,22 116,90 105,10 11046,95 5,51 30,36 -89,81 194,91 37991,76 0,00136511046,6584

3 8091451,448

5 Germania 82 2397 6724 196554 1815,36 581,64 338309,74 82 6724,00 105,10 476,54 227089,94 0,001313338308,215

3 257658918,7

6 Estonia 1,34 13 1,80 17,42 24,30 -11,30 127,71 1,34 1,80 581,64 -592,94 351583,42 0,001365127,736683

5 93548,93884

7 Irlanda 4,45 159 19,80 707,55 93,36 65,64 4308,84 4,45 19,80 -11,30 76,94 5920,14 0,0013654308,66010

2 3155811,308

8 Grecia 11,26 233 126,79 2623,58 244,57 -11,57 133,96 11,26 126,79 65,64 -77,22 5962,32 0,001364133,996007

7 98204,49339

9 Spania 45,82 1053 2099,47 48248,46 1011,98 41,02 1682,71 45,82 2099,47 -11,57 52,60 2766,26 0,0013491682,60357

5 1247420,436

10 Fran aț 64,36 1907 4142,21 122734,52 1423,66 483,34 233617,75 64,36 4142,21 41,02 442,32 195646,36 0,001333233616,460

4 175268265,8

11 Italia 60,04 1520 3604,80 91260,8 1327,73 192,27 36966,14 60,04 3604,80 483,34 -291,07 84724,31 0,001337 36965,6237 27646366,92

12 Cipru 0,79 16 0,62 12,64 12,09 3,91 15,30 0,79 0,62 192,27 -188,35 35477,14 0,00136515,2934535

5 11200,20144

13 Letonia 2,26 18 5,11 40,68 44,73 -26,73 714,46 2,26 5,11 3,91 -30,64 938,89 0,001365714,528474

2 523300,5004

14 Lituania 3,34 26 11,16 86,84 68,71 -42,71 1824,20 3,34 11,16 -26,73 -15,98 255,41 0,0013651824,32052

9 1336127,979

15 Luxembourg 0,49 38 0,24 18,62 5,43 32,57 1061,04 0,49 0,24 -42,71 75,28 5667,72 0,0013651060,94720

5 776985,7728

16 Ungaria 10,03 92 100,60 922,76 217,26 -125,26 15690,61 10,03 100,60 32,57 -157,84 24912,11 0,00136515690,9481

1 11498003,21

17 Malta 0,41 5 0,17 2,05 3,65 1,35 1,82 0,41 0,17 -125,26 126,61 16030,62 0,0013651,81868024

5 1331,911782

18 Olanda 16,48 571 271,59 9410,08 360,48 210,52 44316,82 16,48 271,59 1,35 209,17 43750,27 0,00136344316,2438

5 32506397,6

19 Austria 8,35 274 69,72 2287,9 179,96 94,04 8843,94 8,35 69,72 210,52 -116,47 13566,04 0,0013658843,68806

8 6479306,475

20 Polonia 38,13 310 1453,90 11820,3 841,22 -531,22 282197,50 38,13 1453,90 94,04 -625,26 390956,20 0,001354282198,942

4 208426487,2

21 Portugalia 10,62 168 112,78 1784,16 230,36 -62,36 3889,16 10,62 112,78 -531,22 468,86 219829,28 0,0013653889,32644

1 2850220,5322 Romania 21,49 115 461,82 2471,35 471,73 -356,73 127257,33 21,49 461,82 -62,36 -294,37 86652,73 0,001362 127258,299 93448720,17

23 Slovenia 2,03 35 4,12 71,05 39,62 -4,62 21,36 2,03 4,12 -356,73 352,11 123980,96 0,00136521,3768949

7 15655,74492

24 Slovacia 5,41 63 29,27 340,83 114,68 -51,68 2670,31 5,41 29,27 -4,62 -47,05 2213,98 0,0013652670,45189

1 1956038,968

25 Finlanda 5,32 171 28,30 909,72 112,68 58,32 3401,62 5,32 28,30 -51,68 110,00 12099,66 0,0013653401,45973

8 2491469,845

26 Suedia 9,25 290 85,56 2682,5 199,94 90,06 8110,40 9,25 85,56 58,32 31,73 1007,07 0,0013658110,15251

8 5942431,838

27 Marea Britanie 61,59 1563 3793,33 96265,17 1362,15 200,85 40339,94 61,59 3793,33 90,06 110,79 12274,49 0,00133640339,4026

8 30202752,73

28 Islanda 0,31 8 0,10 2,48 1,43 6,57 43,17 0,31 0,10 200,85 -194,28 37743,79 0,00136543,1528716

1 31603,02322

29 Norvegia 4,79 272 22,94 1302,88 100,91 171,09 29272,49 4,79 22,94 6,57 164,52 27067,36 0,001365 29272,0224 21440231,53

30 Elve iaț 7,7 354 59,29 2725,8 165,52 188,48 35523,01 7,7 59,29 171,09 17,38 302,18 0,00136535522,4995

7 26023890,742295,89660

B.

Gafic 1. Populația și PIB-ul țărilor din Europa în anul 2009

C.

Estimarea punctuală a parametrilor

∑yi = na + b∑xi 12889 = 32*a + 588,32*b

∑xiyi = a∑xi + b∑xi2 633534,38 = 588,32*a + 28675,89*b

unde: ∑yi = 12889 mil. loc. ∑xi2 = 28675,89 mld. euro

∑xi = 588,32 mld. euro n = numărul de observa ii = 32ț

∑xiyi = 633534,38 (calcule cu ajutorul Excel)

Utilizând metoda substitu iei rezultă: a = – 5,454 i b = 22,205ț ș

Estimarea parametrilor prin intervale de încredere

se = = = 292,95 mld.€

În medie, valorile predictorii diferă de cele observate cu 292,95 mld. €.

b - tα,n-2 * sb β b + tα,n-2 * sb

sb = = = 1,73

ttab= tinv(α;df) = tinv(5%;30) = 2.042 (conform Excel)

22,205 – 2,042*1,73 β 22,205 + 2,042*1,73 18,672 β 25,737

β є [18,672; 25,737]

D

Testarea semnifica iei corela iei (ț ț testarea coeficientului de corela ie – ρ)ț

1. Formularea ipotezelor:

H0: ρ = 0 (între variabile nu există legătură liniară)

H1: ρ 0(între variabile există legătură liniară)

2. Selectarea nivelului de semnifica ieț

α = 5%

3. Determinarea distribu iei – testul tț

4. Graficul

Zona de acceptare

Zona de respingere Zona de respingere

-ttab 0 +ttab tcalc

5. tcalc = r = 0,88 = 0,88 * = 10,05

r = 0,88 conform calculelor din Excel r2 = 0,77

r = coeficientul de corela ieț

6. tcalc є ZR (zonei de respingere). Avem suficientă eviden ă statistică pentru a respinge Hț 0. Între variabile există legătură liniară semnificativă.

Testarea parametrilor unui model de regresie (β)

1. H0 : β=0 (panta dreptei nu există)

H1 : β 0 (panta dreptei există)

2. α=5%

3. Distribu ia tț

13

ttab= tinv(α;df)=tinv(5%;30)=2,042

4. Graficul

Zona de acceptare

Zona de respingere Zona de respingere

-ttab 0 +ttab tcalc

5. tcalc= = = = 12,835

6. „Respingem” H0. Avem suficientă eviden a statistică pentru a demonstra că legăturaț dintre popula ie i PIB este liniară, adică panta dreptei există.ț ș

E Analiza ANOVA

ANOVA

df SS MS F Significance F

Regression 1 8805774,362 8805774,362102,610230

7 3,38634E-11

Residual 30 2574531,107 85817,70357

Total 31 11380305,47

CoefficientsStandard

Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Lower 95,0%Upper 95,0%

Intercept -5,454659652 65,61992233 -0,0831250550,93430428

9 -139,4684192128,559099

9 -139,4684192 128,5590999POPULATIA (milioane locuitori) 22,20483599 2,192058993 10,12967081 3,38634E-11 17,7280543

26,68161768 17,7280543 26,68161768

SST=SSR+SSE

SST = Total Sum of Squares = măsoară variaţia valorilor observate Yi în jurul mediei Y

SSR = Regression Sum of Squares = măsoară variaţia explicată de modelul de regresie 14

2ii

2i

2

i)Y(Y)YY()Y(Y ˆˆ −+−=− ∑∑∑

SSE = Error Sum of Squares = măsoară variaţia ce poate fi atribuită altor factori, diferiţi de variabila explicativă X

F

Testarea ipotezei de homoscedasticitate

xi yi

NR. CRT TARA

POPULATIA (milioane locuitori)

PIB (miliarde

euro)

28 Islanda 0,31 8

17 Malta 0,41 5

15 Luxembourg 0,49 38

12 Cipru 0,79 16

6 Estonia 1,34 13

23 Slovenia 2,03 35

13 Letonia 2,26 18

14 Lituania 3,34 26

31 Croa iaț 4,43 45

7 Irlanda 4,45 159

29 Norvegia 4,79 272

25 Finlanda 5,32 171

24 Slovacia 5,41 63

4 Danemarca 5,51 222

2 Bulgaria 7,6 35

30 Elve iaț 7,7 354

19 Austria 8,35 274

26 Suedia 9,25 290

16 Ungaria 10,03 92

3 Cehia 10,46 137

21 Portugalia 10,62 168

1 Belgia 10,75 339

8 Grecia 11,26 233

18 Olanda 16,48 571

22 Romania 21,49 115

20 Polonia 38,13 310

9 Spania 45,82 1053

11 Italia 60,04 1520

27 Marea Britanie 61,59 1563

10 Fran aț 64,36 1907

32 Turcia 71,51 440

5 Germania 82 2397

Total 32 588,32 12889

Tabel 2. Seturile de ări pentru testarea homosedasticită iiț ț

15

Pentru primul set de observa iiț

Regression StatisticsMultiple R 0,764819407R Square 0,584948725Adjusted R Square 0,543443598Standard Error 1,275244435Observations 12

ANOVA

df SS MS FSignificanc

e F

Regression 122,9193829

722,919

3814,093

410,0037582

Residual 10 16,26248371,6262

48

Total 1139,1818666

7

Pentru al treilea set de observa iiț

SUMMARY OUTPUT

Regression Statistics

Multiple R0,800123

557

R Square0,640197

706Adjusted R Square

0,604217477

Standard Error490,2241

077Observations 12

ANOVA

df SS MS FSignificanc

e F

Regression 14276017,90

94276017,

90917,79304

1270,0017767

38

Residual 102403196,75

8240319,6

758

Total 116679214,66

7

16

Testarea ipotezei de autocorelare a erorilor

http://www.nd.edu/~wevans1/econ30331/Durbin_Watson_tables.pdf

Testul Durbin-Watson

D = = = 1, 277

dl = 1,160

du = 1,283

H0 : Nu există autocorela ie pozitivățH1 : Nu există autocorela ie negativăț

Respingem H0 Acceptăm H0 i Hș 1 Respingem H1

Zonă de indecizie Zonă de indecizie 0 dl du 2 4-du 4-dl 4 d

Testarea liniarită iiț

Din numărul de 32 de ări se extrage un e antion de ț ș 9 ări.ț

xi yi

17

NR. CRT TARA

POPULATIA (milioane locuitori)

PIB (miliarde

euro)xi-xmed (xi-xmed)^2 (xi-xmed)^2*ni

1 Belgia 10,75 339 -9,16 83,91 83,912 Bulgaria 7,6 35 -12,31 151,54 303,073 Cehia 10,46 137 -9,45 89,30 267,914 Danemarca 5,51 222 -14,4 207,36 829,445 Germania 82 2397 62,09 3855,17 19275,846 Estonia 1,34 13 -18,57 344,84 2069,077 Irlanda 4,45 159 -15,46 239,01 1673,088 Grecia 11,26 233 -8,65 74,82 598,589 Spania 45,82 1053 25,91 671,33 6041,95

Total 9 179,19 4588 0 5717,28 31142,85

Media e antionului este : xș med=19,91 mil loc

Dispersia e antionului este: σș 2= 3460,3166

Abaterea standard este: σ=58,82

1. H0: μ = 0 (media erorilor este 0)

H1: μ 0 (media erorilor nu este 0)

2. α=5%

3. distribu ia tț

4. Graficul

Zona de acceptare

Zona de respingere Zona de respingere

-ttab 0 tcalc +ttab

ttab= 2,3646

5. tcalc = = = = 1,0158

18

6. ”Acceptăm ipoteza nulă”. Avem suficientă eviden ă statistică pentru a demonstra căț media erorilor este 0.

Testarea normalită ii erorilorț

1. H0: Erorile nu urmează o distribu ie normalăț

H1: Erorile urmează o distribu ie normalăț

2. α = 5%

3. χ2 (Goodness of fit)

df= 32 - 1 = 31

χ2tab = chinv(5%;31) = 44,98

4. Graficul

Zona de acceptare Zona de respingere

χ2tab χ2

calc

5. χ2calc = = = 1931792123,36

6. χ2calc χ2

tab. ”Repingem H0”. Avem suficientă eviden ă statistică pentru a demonstra căț

erorile urmează o distribu ie normalăț

19