Mecanisme planetare_Tulitu

26
COMPETENŢE ÎN CINEMATICA MECANISMELOR PLANETARE DIN COMPONENŢA ROBOŢILOR INDUSTRIALI Profesor drd.ing. Ciortan Marinela 1. GENERALITĂŢI Difiniţii În studiul mecanismelor cu roţi dinţate se utilizează o semnificaţie sunt: - a ngrenaj – mecanism simplu format din două roţi danţate, transmite mişcarea de rotaţie şi momentul de torsiune de un arbore condus; - angrenare procesul continuu de contact intre dinţ dinţate care formează un angrenaj; - d inţi conjugaţi – dinţii care vin în contact în procesul ang - raport de transmitere – relaţia dintre vitezele unghiulare a d care formează un angrenaj. Angrenajele din componenţa mecanismelor cu roţi dinţate exterioară sau interioară, după cum ambele roţi ale angre exterioară, respectiv una este cu dantură interioară iar exterioară. În acest sensse vor deduce formule de calcul cinematic corespunzătoare fiecărui tip de angrenaj. 2. ANALIZA CINEMATICA A MECANISMELOR CU ROTI DINTATE CU AXE FIXE În figura 2.1 se prezintă schema cinematică a unui meca (angrenaj) cu axe fixe cu angrenare exterioară. Mecanismul inferioare A şi C, şi o cuplă superioară B. Mobilitatea m parametrul absolut independent va fi viteza unghiulară 1 ω . Dacă roata dinţată 1 vectorul viteză unghiulară 1 ω orientat după versorul i , roata dinţată 2 va a vectorul viteză unghiulară 2 ω orientat în sens invers, deci raportul dintre cele două roţi va fi: 1 2 2 1 12 z z - = = ω ω i .

Transcript of Mecanisme planetare_Tulitu

COMPETENE N CINEMATICA MECANISMELOR PLANETARE DIN COMPONENA ROBOILOR INDUSTRIALIProfesor drd.ing. Ciortan Marinela 1. GENERALITI Difiniii n studiul mecanismelor cu roi dinate se utilizeaz o serie de termeni ale cror semnificaie sunt: - angrenaj mecanism simplu format din dou roi danate, care are rolul de a transmite micarea de rotaie i momentul de torsiune de la un arbore conductor la un arbore condus; - angrenare procesul continuu de contact intre dinii conjugai a dou roi dinate care formeaz un angrenaj; - dini conjugai dinii care vin n contact n procesul angrenrii; - raport de transmitere relaia dintre vitezele unghiulare a dou roi dinate care formeaz un angrenaj. Angrenajele din componena mecanismelor cu roi dinate pot fi cu dantur exterioar sau interioar, dup cum ambele roi ale angrenajului sunt cu dantur exterioar, respectiv una este cu dantur interioar iar cealalt este cu dantur exterioar. n acest sens se vor deduce formule de calcul cinematic corespunztoare fiecrui tip de angrenaj. 2. ANALIZA CINEMATICA A MECANISMELOR CU ROTI DINTATE CU AXE FIXE n figura 2.1 se prezint schema cinematic a unui mecanism cu roi dinate (angrenaj) cu axe fixe cu angrenare exterioar. Mecanismul are dou cuple inferioare A i C, i o cupl superioar B. Mobilitatea mecanismului fiind M = 1, parametrul absolut independent va fi viteza unghiular 1 . Dac roata dinat 1 are vectorul vitez unghiular 1 orientat dup versorul i , roata dinat 2 va avea vectorul vitez unghiular 2 orientat n sens invers, deci raportul de transmitere dintre cele dou roi va fi: z i12 = 1 = - 2 . 2 z1

Dac se consider cunoscute numerele de dini ale celor dou roi rezult: z 2 = -1 1 . z2kk

1

A

1j

A

1

1

iBC

B2

C

2

22

Fig. 2.1. Mecanism cu roi dinate cu angrenare exterioar

n figura 2.2 se prezint schema cinematic a unui mecanism cu roi dinate cu axe fixe i angrenare interioar. Elementele cinematice 1 i 2 se articuleaz la baz prin cuplele inferioare A, respectiv C. Cupla superioar, format de ctre cele dou elemente, este cupla B.k

B A

B 1 2C

k

1

AC

1

1

j2

i2

2

Fig. 2.2. Mecanism cu roi dinate cu angrenare interioar Mobilitatea mecanismului fiind M = 1, se va considera ca parametru absolut independent viteza unghiular 1. n cazul acestui mecanism se observ c vectorii ambelor viteze unghiulare, 1 i 2 , au acelai sens, deci raportul de transmitere va fi: i12 = 1 z 2 = 2 z1

Cunoscndu-se numerele de dini ale celor dou roi dinate, rezult: 2 = 1 z1 . z2

Pentru un mecanism format din mai multe angrenaje legate n serie, cum este cel prezentat n figura 2.3, rapoartele de transmitere intermediare sunt: i12 = z 1 z = - 2 ; i2'3 = 2' = - 3 . 2 z1 3 z 2'

Deoarece roile dinate 2 i 2 sunt solidarizate ntre ele, rezult: 2 = 2 , i deci 2 = - 1 z 2' z1 , 3 = - 2 . z2 z32

A

1

2

3

B

C

D

E

1Fig. 2.3. Mecanism cu roi dinate cu axe fixe Raportul de transmitere total este egal cu produsul rapoartelor de transmitere intermediare, adic: z z i13 = 1 = i12 i2'3 = (- 2 )(- 3 ) , 3 z1 z 2' z1 z 2' de unde rezult: 3 = 1 . z 2 z3 3. ANALIZA CINEMATICA A MECANISMELOR CU ROTI DINTATE CU AXE MOBILE n cazul mecanismelor cu roi dinate cu axe mobile nu se mai pot aplica formulele anterioare pentru scrierea raportului de transmitere n funcie de vitezele unghiulare, deoarece sunt elemente care au att micare de rotaie proprie, ct i micare de revoluie. Mecanismele cu axe mobile se mai numesc i mecanisme planetare. n figura 3.1 se prezint schema cinematic a unui mecanism planetar simplu. Micrile elementelor sunt dup cum urmeaz:

- roata dinat 1 se rotete n jurul axei AD, care este o ax fix, i de aceea se mai numete i roat central, sau roat solar; - roata dinat 2 are o micare de rotaie proprie n jurul axei BB i o micare de revoluie n jurul axei AD (aceast roat se mai numete roat satelit, sau chiar satelit); - elementul 3 se rotete n jurul axei fixe AD i poart numele de bra portsatelit (sau mai simplu portsatelit). Pentru analiza cinemaic a mecanismelor cu axe mobile se folosesc mai multe metode, care sunt prezentate n continuare. 3.1. Metoda lui Willis Pentru a se putea scrie raportul de transmitere dintre roile 1 i 2, n funcie de vitezele unghiulare, R. Willis a propus o micare a ntregului ansamblu egal i de sens contrar micrii portsatelitului 3. n acest fel, elementele mecanismului i vor diminua vitezele unghiulare cu 3 (viteza unghiular a portsatelitului), obinnduse viteze unghiulare relative fa de elementul 3.2 BC 3 3A, D

2

BC

1

A

1

D

Fig. 3.1. Mecanism planetar simplu

n tabelul 3.1 se prezint, pentru fiecare element cinematic al mecanismului planetar, vitezele unghiulare absolute, precum i cele relative. Tabelul 3.1 Viteza unghiular relativ 13 = 1 - 3 23 = 2 - 3 33 = 0

Element cinematic 1 2 3

Viteza unghiular absolut 1 2 3

Presupunnd portsatelitul 3 ca fiind fix, se poate scrie raportul de transmitere ntre roile dinate 1 i 2 de forma:3 i 12 =

1 - 3 z2 = , 2 - 3 z1

de unde rezult viteza unghiular 2 i anume: 2 = - 1 z1 z1 + 3 (1 + ). z2 z2

Exemple de calcul n continuare, se va aplica metoda lui Willis pentru analiza cinematic a diferitelor mecanisme planetare din componena diferitelor maini i utilaje. Exemplul 1 n figura 3.2.a se prezint schema cinematic a unui mecanism planetar utilizat la realizarea unui dispozitiv de lefuit, iar n figura 3.2.b schema structural corespunztoare. n figura 6, se prezint schema cinematic a ntregului mecanism Mecanismul are gradul de mobilitate M = 1 i numrul de contururi independente N = 4. Se consider ca parametru independent viteza unghiular 1, a elementului 1. Se cere s se determine vitezele unghiulare ale elementelor 2, 4, 5 i 6.5 G 3 2 A,B 1 D C 5 4 F E 4 H 6 J 2' 1 2 C D B A 5 E H 4 J 6 G

3

F

a) b) Fig. 3.2. Mecanismul planetar al unei maini de lefuit

Pentru scrierea relaiilor de calcul ale vitezelor unghiulare, trebuie s fie gsite mecanismele planetare simple, n parte. Astfel, elementele 1, 2 i 5 formeaz un mecanism planetar simplu, unde: - roata 1 este roat solar; - roata 2 este roat satelit;

- elementul 5 este bra portsatelit. Relaia care se scrie pentru acest planetar simplu este:5 i12 =

1 5 z = 2, 2 5 z1 (3.1.1)

de unde rezult: 2 z 2 5 ( z1 + z 2 ) = 1 z1 .

Elementele 3, 4 i 5 formeaz un alt mecanism planetar simplu, i anume: - roata 3 este roat solar; - roata 4 este roat satelit; - elementul 5 este bra portsatelit. Relaia de calcul este:5 i43 =

4 5 z3 = , 3 5 z 4 ( 3 = 0 ) (3.1.2)

de unde rezult: 4 z 4 + 5 ( z3 z 4 ) = 0 .

Dac se consider axa DE fix, pentru mecanismul planetar simplu format din elementele 4, 5 i 6 se scrie relaia:4 i65 =

6 5 z5 = , 5 5 z 6 (3.1.3)

de unde rezult: 4 ( z5 6 ) 5 z5 + 6 z 6 = 0 .

Pentru mecanismul planetar simplu, format din elementele 2,4 i 6 se scrie relaia: z 4 4 i2'5 = 2 = 5 , 5 4 z 2' de unde rezult:' ' 2 z 2 4 ( z 2 + z 6 ) + 6 z 6 = 0 .

(3.1.4)

Folosind relaiile (3.1.1), (3.1.2), (3.1.3) i (3.1.4) se formeaz un sistem de 4 ecuaii liniare cu patru necunoscute, i anume: 2 z 2 5 ( z1 + z 2 ) = 1 z1 4 z 4 + 5 ( z3 z 4 ) = 0 4 ( z5 6 ) 5 z5 + 6 z 6 = 0' ' 2 z 2 4 ( z 2 + z 6 ) + 6 z 6 = 0

(3.1.5)

n necunoscutele: 2 , 4 , 5 i 6 . Considerndu-se:1 = 1 s 1 , z1 = 30, z 2 = 41, z 2 = 21, z 3 = 91 , z 4 = 20, z 5 = 61, z 6 = 20 ,

rezult:

0 .663204 2 =

s-1 , 4 = 0.140421 s-1 , 5 = 0.039555 s-1 , 6 = 0.145539 s-1 .

5 G 3 2 A,B 1 D C 4 F E 5 4

H 6 J 2'

Fig. 3.3. Schema cinematic a mecanismului planetar folosit la o maina de lefuit

Sistemul de ecuaii neliniare (3.1.5) s-a rezolvat prin metoda eliminrii gaussiene.

Exemplul 2

Fie mecanismul planetar din figura 3.4.75

3 C

2' 2 B 1

4 5 F E H 2" D 6

G

L K 7 2"'25

A

Fig. 3.4. Mecanism planetar utilizat la realizarea unei freze de abataj

Se cunosc: - numerele de dini ale roilor dinate din componena mecanismului planetar, i anume: z1 = 31 ; z 2 = 40 ; z = 20 ; z = 21 ; z 2= 21 ; z 3 = 91 ; z 4 = 20 ; z 5 = 61 ; 2 2 z 7 = 21 ; - viteza unghiular a elementului 1 se consider egal cu unitatea, adic: 1 = 1 [rad/s]. Se cer vitezele unghiulare absolute ale elementelor 2, 4, 5 i 6, precum i viteza unghiular relativ 75 .

RezolvarePentru determinarea vitezelor unghiulare absolute 2 , 4 , 5 i 6 se aplic metoda lui Willis i se obine urmtorul sistem de ecuaii liniare 6 ( z1 z 2 + z 2 z 3 ) = 1 z1 z ; 2 z 6 ( z1 + z 2 ) = 1 z1 ; 2 2 6 ( z + z 4 ) = 0; 2 2 2 z + 4 z 4 4 z 4 5 z 5 + 6 ( z 5 z 4 ) = 0. Rezolvarea sistemului de ecuaii liniare obinut se face prin metoda eliminrii gaussiene. Dup rularea programului de calcul rezult soluia sistemului liniar, i anume:

SOLUTIA SISTEMULUI ESTE: X[1]= -0.51667 X[2]= 0.84086 X[3]= 0.37351 X[4]= 0.14554, adic: 2 = 0.51667 [rad/s]; 4 = 0.84086 [rad/s]; 5 = 0.37351 [rad/s]; 6 = 0.14554 [rad/s]. Viteza unghiular relativ 75 este dat de relaia (se folosete metoda axei instantanee ): 75 = 25 z / z 7 , unde: 25 = 2 5 = 0.890178 [rad/s]. Schema cinematica complet a mecanismului planetar este prezentat n figura 3.5.75

4 5 F 3C E 2" H 2' 2 D A B 1 6

G

L K 7 2"'25

Fig. 3.5. Schema cinematic a unei freze de abataj.

3.2. Metoda contururilor In construcia diferitelor utilaje cum sunt mainile unelte, frezele de abataj, roboii industriali etc., apar mecanisme planetare deosebit de complexe, care fac destul de greoaie aplicarea metodei Willis. In cazul acestor mecanisme se poate aplica metoda contururilor pentru determinarea parametrilor cinematici ai

mecanismelor cu bare, metod adaptat la mecanismele cu roi dinate. Aplicarea metodei contururilor i la mecanismele cu roi dinate este favorizat de faptul c suprafeele axoidale sunt suprafee de revoluie. Ca urmare a acestui fapt, pentru un contur format din bare (portsatelii) i roi dinate (solare i satelii) se poate asimila o reprezentare simplificat prin bare drepte i cuple inferioare de rotaie (fig.3.6). Pe conturul nchis ABC...NA se scrie ecuaia vectorial AB + BC + CD + ... + NA = 0 .

Y 2

C 2

3

3

D

B1

1

n

nA

N

O

X

Fig. 3.6. Contur nchis de bare i cuple inferioare de rotaie

Prin derivare n raport cu timpul se obine: 1 AB i + 2 BC i + 3 CD i + ... + n NA i = 0 , unde :i

. i=e Dup simplificare cu i i proiecie pe axa de coordonate paralel cu vectorii AB, BC , CD, ..., se obine o ecuaie scalar din care se poate calcula o singur necunoscut. Pentru N contururi independente se obine un sistem liniar de N ecuaii cu N necunoscute ( 1 , 2, ,..., N), care se rezolv printr-o metod numeric adecvat. Exemple de calcul Exemplul 1 Se consider mecanismul planetar din figura 3.7. Mobilitatea mecanismului fiind M = 2, se consider cunoscute vitezele unghiulare 1 i 4, precum i numele de dini ale roilor dinate. Conform schemei cinematice (fig. 3.7.a), vectorii AH , HG , GB , ... , sunt paraleli cu axa Oy, deci proieciile contururilor se fac numai pe aceast ax. Astfel, pentru conturul independent AHGBA rezult: 1 z1 + 2 z2 - 4(z1 + z2) = 0. (3.2.1) Cunoscndu-se 1 i 4, se calculeaz:

2

2 = 1

z1 z1 + 4 (1 + ). z2 z2

Ecuaia scalar corespunztoare conturului GFEG este: 2 z2 + 3 z3 - 4(z2 + z3) = 0, de unde rezult:3 = 2 z2 z2 + 4 (1 + ). z3 z3

(3.2.2)

3'

E4

3

F2

3

D5

D

F 2

G

E H 1G40

5

H 1A

C

B, C

a)

A H

B

b)

AR(1)

R(R T )

GZ (0)

(2) FR(R T )

B

R(4)

EC c)

DR(R T )(5)

Fig. 3.7. Mecanism planetar cu dou grade de mobilitate

In mod analog, pentru conturul CDEC se scrie: 5 z5 + 3 z3 - 4(z3 + z5) = 0, de unde rezult:5 = 3 z 3' z + 4 (1 + 3' ) . z5 z5

(3.2.3)

Exemplul 2

Fie mecanism planetar din figura 3.8. Mecanismul are gradul de mobilitate M = 2 . Se cunosc vitezele unghiulare 1 i 4 , precum numerele de dini ai roilor dinate. Se menioneaz faptul c z1 = z3 .

Fig. 3.8. Punerea n eviden a paradoxului Fergoson

Folosind metoda contururilor, pentru conturul independent ABCDA rezult: 1 z1 + 2 z 2 4 ( z1 + z 2 ) = 0 . Din relaia (3.2.4) rezult:2 = 1 z1 z1 + 4 (1 + ). z2 z2

(3.2.4)

(3.2.5)

Ecuaia scalar corespunztoare conturului AFEBCDA este: 1 z1 + 22 z 2 + 3 z3 4 ( z1 + 2 z 2 + z3 ) = 0 . (3.2.6)

Din relaia (3.2.6) se obine viteza unghiular a elementului 3, i anume: 3 = 1 z1 z + 4 (1 1 ) . z3 z3 (3.2.7)

n figura 3.8 se prezint schema cinematic a mecanismului planetar simetric (echilibrat perfect)3

F F

4E 2 BC1A, D

4

3

E

2 BC 1

A

D

Fig. 3.8

Dac elemental 1, al mecanismului planetar din figura 3.8, are viteza unghiular egal cu zero ( 1 = 0 ), iar roile dinate 1 i 3 au acelai numr de dini ( z1 = z3 ), din relaia (3.2.7) rezult 3 = 0 , adic roata dinat 3 are o micare de translaie circular. Acest fenomen poart denumirea de paradoxul Ferguson. Dreapta , de pe roata dinat 3, ramne permanent n aceeai poziie. n continuare, se prezint o ecluz construit pe acest principiu. Mecanismul este perfect echilibrat. DAI CLICK PE POZA DE MAI JOS

Canalul Forth and Clyde, care leaga Glasgow -ul de coasta vestica, a fost construit in 1777 intre portul Grangemouth si Falkirk. Intre Falkirk si Edinburgh s -a dat in folosinta canalul Union in 1822. Datorita reliefului accidentat traficul fluvial dintre Glasgow si Edinburgh se putea desfasura doar cu ajutorul unui sistem de 11 ecluze. Intre cele doua canale diferenta de nivel era de 24 m.

3.3. Analiza cinematic a mecanismelor planetare cu roi conice, prin metoda axei instantanee n continuare se prezint un procedeu unitar pentru analiza cinematic a mecanismelor planetare cu roi dinate conice. Metodele tradiionale de analiz cinematic a mecanismelor planetare cu roi dinate cilindrice utilizeaz metoda lui Willis sau metoda contururilor i in cont de semnul raportului de transmitere. Acest lucru nu este posibil pentru un mecanism planetar conic simplu (cu dou roi conice n angrenare), deoarece nu sunt paraleli toi vectorii vitez unghiular. n acest caz, se utilizeaz o relaie vectorial ntre vitezele unghiulare relative, n raport cu braul port-satelit, i vectorii ataai roilor care formeaz angrenajul. Pe baza schemei cinematice a mecanismului, se realizeaz schema versorial, schem care se utilizeaz pentru vizualizarea poziiei iniiale a mecanismului. Metoda este de asemenea utilizabil i pentru analiza cinematic a mecanismelor cu roi dinate conice cu axe fixe, precum i a mecanismelor planetare cu roi dinate cilindrice. Un exemplu de studiu este prezentat pentru un mecanism de orientare, avnd trei grade de mobilitate. n cazul mecanismului planetar cu roi conice (fig. 3.9.a), cu o singur angrenare, nu toi vectorii vitez unghiular sunt paraleli ntre ei, astfel c metoda lui Willis nu se poate aplica. n acest caz raportul de transmitere este de forma: 2 1 z 3 i1 = = , (3.3.1) 23 3 1 z 2

ceea ce arat ca nu se poate determina semnul raportului de transmitere. Dac se dorete determinarea vitezei unghiulare a elementului 2, se pot scrie relaii vectoriale de forma: 2 = 1 + 21 ; 2 = 3 + 23 , (3.3.2)

cu ajutorul crora se construiete poligonul vectorial din figura 3.6.b. Se observ ca metoda este greoaie i nu se preteaz la aplicarea calculului analitic. .

Fig. 3.9. Mecanism planetar cu roi conice: a) schema cinematic; b) poligonul vitezelor unghiulare

3.3.1. Metoda axei instantanee n cazul metodei axei instantanee, se folosete o relaie ntre parametrii cinematici i geometrici ai mecanismului planetar simplu cu roi conice, astfel nct s se poat aplica metodele analitice i analitic-numerice de studiu cinematic. n figura 3.10 se prezint: a) schema cinematic, b) schema structural, c) schema multipolar, d) schema versorial a unui mecanism planetar cu roi conice, avnd dou grade de mobilitate. Acest mecanism se compune din roata solar 3, roata satelit 2 i portsatelitul 1.

e2 2 1C(i ) n0

2B 1QR3 1

e3

n1 1 0

n0 e

2

3 P(k ) e1

O( j ) e1 n0

con p o lo d ic

e1

A, D

O

n1 e23

con h e r p o l o d i ce

2 1

C 3

a)2

e1

n2CR R T ( 2)

d)R(3)

DBZ (0)

D 1b)A

A

R(1)

B

c)

Fig. 3.10. Mecanism planetar cu roi conice: a) schema cinematic cu punerea n eviden a versorilor axelor; b) schema structural; c) schema multipolar, d) schema versorial.

Relaia structural a mecanismului este: Z (0) + R (1) + R(3) + ( R RT )(2) , ceea ce nseamn c mecanismul se compune din baza Z(0), grupele motoare R(1), respectiv R(3), precum i din rodiada 2. Se ataeaz bazei mecanismului triedrul final Hartenberg-Denavit, (n0 , e n0 , e1 ) , cu versorul e1 orientat dup axa OO. Se ataeaz, de asemenea, versorul e2 axei OB i versorul e3 pe o direcie dat n planul roii satelit 2. Axele conturului vectorial, format din versorii e1 , e2 i e3 , se numesc axe principale. Cele dou conuri, polodic 2 i herpolodic 3, tangente dup generatoarea comun, se rostogolesc unul pe cellalt fr alunecare. Fie P un punct situat pe axa instantanee a micrii relative a roilor 2 i 3, iar Q i R proieciile acestuia pe axele OO i OB. n punctul P (i n oricare altul de pe axa instantanee a micrii relative) exist egalitatea: 31 x QP = 21 x RP . Dac folosim versorii triedrului bazei, rezult: 31 e1 x QP n 0 = 21 n 0 x RP (- e1 ) . (3.3.4) (3.3.3)

Vitezele unghiulare 31 i 21 se consider pozitive n sensul versorilor e1 , respectiv e2 . Pentru uurina calculului, peste triedrul bazei se suprapune triedrul O( i, j , k ). Relaia de mai sus devine: 31 QP j = 21 RP j . (3.3.5)

Dup proiecia relaiei (5) pe direcia lui j , se obine relaia de legtur ntre parametrii cinematici i cei geometrici ai mecanismului din figura 2.a, i anume: 21 = 31 QP . RP (3.3.6)

Considerndu-se cunoscute vitezele unghiulare ale elementelor 1 i 3, precum i numerele de dini ale celor dou roi, se obine : z 21 = 31 3 , (3.3.7) z2 31 = 3 1 . unde: Pentru determinarea unghiului rotaiei axiale 21 , se integreaz ecuaia (3.3.7), de viteze unghiulare relative, i rezult: z 21 = 31 3 dt + C , (3.3.8) z2 sau z 21 = ( 30 - 10 ) 3 + C , (3.3.8) z2 unde 30 este unghiul dintre versorul n0 i un vector marcat pe roata 3. Determinarea constantei de integrare se face folosind schema versorial din figura 3.10.d (pentru o poziie iniial a mecanismului). Astfel, pentru 10 = / 2 , 30 = 0 i 21 = , rezult: C = (1 + z3 ). 2z 2 (3.3.9)

Se menioneaz faptul c, metoda este aplicabil i mecanismelor ordinare sau planetare cu roi dinate cilindrice.

3.3.2. Exemple de calculExemplul 1 Fie mecanismul de orientare cu bare i roi dinate, pentru roboi industriali, a crui schem cinematic este prezentat n figura 3.11.a. In figurile 3.11.b, c, d sunt desenate schema structural, schema bloc i respectiv schema versorial a mecanismului. Dup cum se observ din schema structural i din schema bloc, mecanismul se compune din baza Z(0), grupele motoare R(4) i R(5), precum i din rodiadele (R-RT)(1), (R-RT)(2) i (R-RT)(3). Schema versorial a mecanismului servete pentru punerea n eviden a unghiurilor rotaiei axiale i pentru stabilirea poziiei iniiale a mecanismului. Versorii e1 , i respectiv e 2 sunt ataai axelor principale ale mecanismului. Versorul e3 este anexat axei obiectului de manipulat sau unui segment din acesta. Cinematica direct Se consider cunoscute: - variabilele independente 40, 50, 40, 50 ale cuplelor active A i H; - poziia iniial a mecanismului, definit prin: 0 0 0 = 0, 50 = 0, 10 = , 0 = . 40 21 2 2 Se cer: 10, 30, 31, 21 - vitezele unghiulare relative; 10, 21 - unghiurile rotaiilor axiale dup e1 , respectiv e 2 . Pentu determinarea vitezelor i acceleraiilor unghiulare relative folosete metoda axei instantanee. - cupla B: 50 x AB = 10 x CB ; dup nlocuirea vectorilor prin mrimile i 50 i x AB(-k ) = 10 k x CB(-i ) , versorii corespunztori, rezult: sau z5 50 z 5 j = 10 z1 (- j ) . Prin identificare, se obine: 10 = 50 ; z1 z4 - cupla G: 40 x HG = 30 x FG , de unde rezult: 30 = 40 ; z3' z3 - cupla E: 21 x DE = 31 x FE , de unde rezult: 21 = 31 , z2 z z z4 + 50 5 ) 3 . unde: 31 = 30 - 10, sau 21 = ( 40 z 3' z1 z 2

e2 2 1T

e 2 n010

(i ) n0

e3Ce1

P3 2E 3 O F

D

n1

e1

( j)

O (k ) 1

e1 n0 B 5A

0

50D

a)

1 0 e2 4 G 30 e3 H 31 n1 2 1 40 n2 e1

d)

2F

A3G Z (0) F

1B

R(5)

B

R -R T (1 ) D R -R T E (3 )

R -R T (2 )

5

4

R(4)

A 0 H

G

b)

c)

Fig. 3.11. Mecanism de orientare cu dou grade de mobilitate

Acceleraiile unghiulare relative se determin n acelai mod i au expresiile: 10 = 50 z4 z5 z z z4 + 50 5 ) 3 . ; 30 = 40 ; 21 = ( 40 z 3' z1 z 3' z1 z 2

Pentru determinarea unghiurilor rotaiei axiale 10 i 21, se integreaz ecuaiile vitezelor unghiulare corespunztoare: 10 = 50 z5 z z z dt + A ; 21 = (40 4 + 50 5 ) 3 dt + B . z1 z 3' z1 z 2

Impunnd condiiile iniiale, se obin expresiile rotaiilor axiale: 10 = 50 z5 z z z + ; 21 = ( 40 4 + 50 5 ) 3 + . z1 2 z 3' z1 z 2 2

Se menioneaz faptul c determinarea constantelor de integrare se face pentru poziia iniial din care se pornete calculul. Exemplul 2 In figura 3.12.a este schematizat un mecanism de orientare cu bare i roi dinate, avnd trei grade de mobilitate. In figurile 3.12.b, c, d sunt prezentate schema structural, schema multipolar i schema versorial a mecanismului. Mecanismul se compune din baza Z(0), grupele motoare R(8), R(9), R(10) i din rodiadele (R-RT)(1), (R-RT)(2), (R-RT)(3), (R-RT)(4), (R-RT)(5), (R-RT)(6) i (R-RT)(7). Unghiurile rotaiilor axiale se pun n eviden cu ajutorul schemei versoriale. Schema versorial este folosit pentru vizualizarea poziiei curente a mecanismului i pentru stabilirea poziiei iniiale a acestuia. Axele principale ale mecanismului sunt: OO ' , O' O" i O" P . La axele principale ale mecanismului sau ataat versorii e1 , e2 , respectiv e3 . Axei obiectului de manipulat, sau a unui segment din acesta, i s-a ataat versorul e4 . Analiza cinematica direct. Se cunosc: - coordonatele generalizate 80 , 90 , 10,0 , 80 , 90 , 10,0 din cuplele motoare A, B i C; - poziia iniial a mecanismului: 0 0 0 0 10 = , 80 = 0 , 90 = 0 , 0 = / 2 , 32 = / 2 . 21 2 Se cer: - vitezele unghiulare relative: 10 , 21 , 60 , 70 , 51 , 61 , 71 , 41 , 42 , 32 ; - unghiurile rotaiilor axiale 21 i 32 , dup versorii e2 i respectiv e3 ; Pentu determinarea vitezelor i acceleratiilor unghiulare relative, se folosete metoda axei instantanee, dup cum urmeaz: - cupla D: 80 AD = 10 ED ; dup nlocuirea vectorilor prin mrimile i versorii corespunztori, rezult: 80 i AD k = 10 k ED (-i ) , sau 80 z 8 ( j ) = 10 z1 ( j ) . Dup proiectie pe direcia versorului j se obine z8 viteza unghiular relativ dintre elementul 1 i 0, i anume: 10 = 80 ; z1 z9 - cupla G: 90 BG = 60 FG , de unde rezult: 60 = 90 ; z6

b)

a)

d)

c)

- cupla Q: 10.0 CQ = 70 NQ , de unde rezult: z 70 = 10.0 10 ; z7 - cupla H: 41 IH = 61 FH , de unde rezult: z 41 = 61 6 , z 4 z z 61 = 60 10 = 90 9 80 8 ; unde: z6 z1 - cupla M: 51 LM = 71 NM , de unde rezult: z 51 = 71 7 , z 5

unde: 71 = 70 10 = 10.0

z10 z 80 8 ; z7 z1

- cupla K: 21 JK = 51 LK , de unde rezult: z 21 = 51 5 ; z2 - cupla R: 32 SR = 42 IR , de unde rezult: z 32 = 42 4 , z3 z6 z + 51 5 . unde: 42 = 41 21 = 61 z 4 z2 z8 z 7 z z 10.0 10 ) 5 ; Dup locuiri, rezult: 21 = (80 z1 z 5 z 5 z 2 z z z z 32 = (80 8 6 + 90 9 ) 4 z1 z 4 z 4 z 3 z z z z z (80 8 7 10.0 10 ) 5 4 . z1 z 5 z 5 z 2 z 3 Pentru determinarea unghiurilor rotaiilor axiale 10 , 21 i 32 , se integreaz funciile de transmitere ale vitezelor unghiulare corespunztoare: z 10 = 80 8 dt + A ; z1 z z z z 21 = (80 8 7 10.0 10 ) 5 dt + B ; z1 z 5 z 5 z 2 z z z z z z z 32 = [80 ( 6 + 5 7 ) 8 4 + 90 9 4 z 4 z 2 z 5 z1 z 3 z 4 z 3 z z z -10.0 5 4 10 ]dt + C z 2 z 3 z 5 Dup integrarea ecuaiilor de mai sus, se determin constantele de integrare din condiiile iniiale, i rezult: z 10 = 80 8 + ; z1 2 z z z z 3 21 = ( 80 8 7 10.0 10 ) 5 + ; z1 z 5 z 5 z 2 2 z z z z z z z z z z 32 = 80 ( 6 5 7 ) 8 4 + 90 9 4 + 10.0 5 4 10 + z 4 z 2 z5 z1 z3 z 4 z3 z 2 z3 z5 2

Alte exemple de mecanisme care se rezolva prin aceeai metod de calcul (metoda axei instantanee).