MECANICA FLUIDELOR

Capitolul 7. Mecanica fluidelor. Statica fluidelorOBIECTIVELE capitolului.

Dup studierea capitolului 7 studentul terbuie s poat desvolta urmtoarele noiuni:

- caracteristicile generale ale fluidelor- definiia unui fluid,

- caracteristicile generale ale gazelor (expansibilitatea, compresibilitatea - incompresibilitatea),

- caracteristicile fluidului ideal,

- presiunea, uniti de msur ale presiunii,

- expresia presiunii hidrostatice i a diferenei de presiune ntr-un fluid,

- expresia legii lui Pascal,

- formula barometric,

- expresia legii lui Arhimede.

7.1 Proprieti generale ale fluidelor

Dup starea lor de agregare, corpurile se mpart n trei mari categorii: solide, lichide i gaze.

Corpurile aflate n stare de agregare solid i pstreaz forma n anumite limite ale efortului aplicat. Putem vorbi n acest caz de o proprietate de elasticitate a formei corpului. Corpurile aflate n stare de agregare lichid i pstreaz volumul, fr ns a-i pstra i forma ele iau forma vasului n care sunt puse. Corpurile gazoase nu i pstreaz nici volumul i nici forma, ele sunt expansibile, adic ocup tot spaiul pe care l au la dispoziie. Lichidele i gazele poart denumirea de fluide. Plasma (a patra stare a materiei, format numai din electroni i ioni pozitivi) este de asemenea un fluid.

Un fluid este, prin definiie, o substan care poate curge i care ia forma vasului care o conine.

O definiie mai complet spune c fluidul este acel mediu care:

- este continuu (n sensul c mrimile fizice care i descriu proprietile sunt funcii continue),

- este infinit divizibil,

- are proprieti bine definite n fiecare punct al su.

Lichidele sunt mrginite de suprafee proprii care le delimiteaz volumul. Suprafaa de separaie dintre lichid i gaz se numete suprafa liber.

Lichidele sunt foarte puin compresibile, densitatea lor rmnnd practic constant.

n cazul lichidelor, deplasarea straturilor vecine de substan, unul fa de cellalt are loc cu frecare. Aceast caracteristic este cuprins sub termenul de vscozitate.

Gazele sunt expansibile i compresibile. Expansibilitatea gazelor const n faptul c neavnd suprafee de separaie proprii, gazele ocup n ntregime volumul pe care l au la dispoziie.

Compresibilitatea gazelor reflect proprietatea acestora de a se comprima foarte uor, sub aciunea unor fore externe, prin modificarea rapid a densitii.

Gazele nu au vscozitate, la viteze de curgere mici, frecarea dintre straturi fiind foarte mic.

Pentru caracterizarea fluidelor se folosesc urmtoarele funcii:

funcia densitate funcie continu poziie i de timp,

funcia de presiune funcie continu de poziie i de timp,

cmpul vitezelor tot o funcie continu de poziie i de timp,.

Spaiiile determinate de funciile de densitate i de presiune sunt spaii scalare, pe cnd spaiul vitezelor este un spaiu vectorial.

Se poate caracteriza uor, acum , din punct de vedere al compresibilitii un fluid oarecare. Dac x;y;z;t spunem c avem de-a face cu un fluid incompresibil adic densitatea sa se menine constant indiferent de poziie i de momentul de timp. Dac exist o dependen a densitii de poziie sau de timp, indiferent despre care coordonat este vorba, spunem c avem u fluid compresibil.

7.2 Presiunea

Pentru a studia comportarea fluidelor, se utilizeaz un model fizic numit fluid ideal care este incompresibil i lipsit de vscozitate. Acest model de fluid ideal constituie o aproximaie satisfctoare pentru un numr mare de lichide i gaze, atta timp ct vitezele acestora sunt mai mici dect viteza sunetului. Aceast limit este determinat de faptul c la viteze care depesc viteza sunetului, proprietile gazelor se modific.Totui, pentru mai mult percizie, dm aici limita de viteze acceptat pentru a categorisi un gaz aflat n micare drept imcompresibil. Se definete o mrime adimensional denumit numrul lui Mach (cel care a introdus aceast mrime):

Msurtori experimentale au artat c pentru variaia relativ a densitii unui gaz aflat n micare este de ordinul . De aici reiese c gazul poate fi considerat ca fiind incompresibil dac viteza sa este mai mic de cinci ori dect viteza sunetului (n aceleai condiii de presiune i temperatur). Presiunea (notat cu p) este o mrime fizic scalar egal cu raportul dintre valoarea forei F care acioneaz normal i uniform distribuit pe o suprafa i aria S a acelei suprafee:

p = (7.1)

Unitatea de msur pentru presiune este Pascalul(Pa) i ea rezult din ecuaia de definiie a presiunii:

(7.2)

n practic sunt utilizate i alte uniti de msur pentru presiune:

- torrul (torr) este presiunea exercitat, datorit greutii sale, de o coloan de mercur cu nlimea de 1mm:

1torr=133,3

- atmosfera tehnic (at) reprezint presiunea exercitat de greutatea unui

corp cu masa de 1kg pe o suprafa cu aria de 1:

- atmosfera fizic(atm) reprezint presiunea exercitat de aerul atmosferic

la nivelul mrii, n condiii normale de clim:

7.3. Presiunea hidrostatic

Presiunea exercitat n interiorul unui lichid aflat n echilibru n cmp gravitaional se numete presiune hidrostatic.

Un fluid aflat n repaus, exercit fore orientate perpendicular pe orice suprafa aflat n contact cu fluidul. Considerm un vas n care se gsete un lichid aflat n echilibru. Dac fora F exercitat de lichid nu ar fi perpendicular pe perete, am putea s o descompunem ntr-o component normal i o component tangenial. Sub aciunea forei tangeniale, lichidul s-ar deplasa n lungul peretelui vasului i nu ar mai fi n echilibru.

Suprafaa liber a unui lichid aflat n echilibru se orienteaz asfel nct ea s fie perpendicular pe rezultanta tuturor forelor. Astfel, dac un vas ce conine ap este pus ntr-o micare accelerat, suprafaa apei se nclin pn cnd devine perpendicular pe rezultanta dintre greutate i fora de inerie.

Fig.7.1. Rezultanta forelor de greutate i de inerie este normal la suprafaa lichidului.

Pentru a gsi factorii de care depinde presiunea hidrostatic considerm un vas ce conine un lichid. La o adncime h delimitm un element de suprafa S. Lichidul situat deasupra acestei suprafee va exercita o apsare datorit greutii coloanei de lichid. Presiunea p la adncimea h n lichid se calculeaz astfel:

(7.3)

Astfel, expresia de calcul a presiunii n interiorul unui lichid este:

p =gh (7.4)

Presiunea este independent de orientarea suprafeei, depinznd numai de

adncimea h la care se msoar aceasta i de densitatea a lichidului.

ntr-un lichid aflat n repaus, delimitm un volum V cu o form

paralelipipedic cu aria bazei S i nlimea h, care are greutatea: G = .g.S.() = .g.S.hAici reprezint nlimea coloanei de lichid.

Presiunea exercitat de ctre lichid pe faa superioar a volumului paralelipipedic are valoarea:

iar pe faa inferioar:

Pe feele laterale presiunile sunt egale i i anuleaz reciproc efectele, fiind de sens opus.

Condiia de echilibru a lichidului din volumul V se scrie ca suma forelor care acioneaz pe vertical n jos s fie egal cu suma forelor care acionez pe vertical n sus:

Sau:

de unde:

(7.5)unde este diferena de presiune ntre nivelele i .

Putem formula urmtoarea concluzie:

Diferena de presiune ntre dou puncte aflate ntr-un lichid n echilibru n cmp gravitaional este direct proporional cu diferena de nivel dintre cele dou puncte.

p = ghAcesta este principiul fundamental al hidrostaticii.

Observaii:

1.Presiunea hidrostatic este independent de forma vasului n care se afl lichidul.

2.Presiunea hidrostatic este aceeai n toate punctele aflate la aceeai adncime n lichid.

7.4.Presiunea atmosferic

Aerul este un amestec de gaze i el nconjoar toat suprafaa Pmntului ntr-o ptur groas numit atmosfer terestr. Atmosfera este alctuit dintr-un amestec de gaze cu vapori de ap, cristale de ghea, praf i diverse alte impuriti. Masa atmosferei a fost estimat ca fiind egal cu 6.tone. Greutatea acestei mase de aer exercit o presiune continu pe suprafaa Pmntului, numit presiune atmosferic.

Datorit greutii aerului, straturile inferioare de aer sunt comprimate de ctre cele superioare astfel nct densitatea aerului atmosferic scade cu altitudinea.

La nivelul mrii presiunea atmosferic are o valoare de ordinul a .Forele de presiune mari exercitate de ctre atmosfer asupra plantelor i animalelor nu sunt suprtoare datorit adaptrii la aceste condiii de presiune.

Presiunea atmosferic se poate determina experimental printr-o metod simpl propus de ctre fizicianul italian Torricelli n anul 1643. Se folosete un tub de sticl cu lungimea de aproximativ un metru i nchis la un capt, numit tub barometric. Se umple tubul cu mercur dup care se rstoarn cu captul deschis ntr-o cuv cu mercur. Se constat co parte din mercur coboar n cuv dar n tub rmne n final, o coloan

cu lungimea de aproximativ 76cm. Este lesne de neles c la echilibru, presiunea atmosferic este egal cu presiunea dat de coloana de mercur: p = H = .g.h (7.6) 7.5.Legea lui Pascal

Conform principiului fundamental al hidrostaticii, diferena presiunilor ntre dou puncte date ale unui lichid aflat n echilibru n cmp gravitaional este: (7.7)

Dac termenul .g.h este constant, orice modificare a presiunii ntr-unul din cele dou puncte provoac o modificare corespunztoare a presiunii n cellalt punct.

Putem formula urmtoarele: Variaia presiunii produs ntr-un punct al unui lichid aflat n echilibru n cmp gravitaional se transmite integral n toate punctele acelui lichid.

Aceasta este legea lui Pascal. Este evident c legea lui Pascal este valabil numai pentru fluide incompresibile. Legea lui Pascal are numeroase aplicaii.

Particularizare. Presiunea hidrostatic

Dac intenionm s exprimm presiunea ntr-un punct aflat la o nlime h de suprafaa Pmntului atunci aceast presiune o exprimm astfel:

unde este presiunea de la suprafaa Pmntului (7.8) Aceast relaie este cunoscut sub numele de relaia presiunii hidrostatice.Observaie. Relaia presiunii hidrostatice a fost calculat presupunnd c avem de a face cu un fluid incompresibil, adic a crul densitate nu variaz cu nlimea.

7.5. Fluide compresibile. Formula barometric

n cazul fluidelor compresibile, densitatea acestora i pesiunea din interiorul lor se modific n funcie de fora care acioneaz asupra lor

Considerm c fluidul este tocmai atmosfera Pmntului. Pentru a determina modul n care variaz presiunea n funcie de nlime folosim relaia fundamental a hidrostaticii (legea lui Pascal ) sub forma:

(7.9)unde semnul minus semnific faptul c c presiunea scade cu creterea nlimii.

Presupunem c densitatea depinde numai de presiunea n punctul considerat. Un astfel de fluid este denumit ca fluid barotrop. Considerm c putem aproxima atmosfera Pamntului, n zona de interes ca un gaz ideal. Folosim atunci ecuaia de stare a unui gaz ideal:

de unde reiese uor c (7.10)

Folosim aceast expresie n relaia (7.9) i avem succesiv:

de unde, prin integrare, se obine:

se obine:

, sau

(7.11)Aceasta este formula barometric.

Tema. Comentai dependenele coninute n formula barometric i tipul acestora.

Reprezentarea grafic a formulei barometrice este pezentat n figura

7.6.Legea lui Arhimede

Legea lui Arhimede este o consecin important a principiului fundamental al hidrostaticii.

Considerm un corp cilindric cufundat ntr-un lichid aflat n repaus. Conform principiului fundamental al hidrostaticii, forele de apsare pe suprafaa lateral a cilindrului i fac echilibru. Rezultanta forelor verticale de presiune, normale pe bazele cilindrului, este:

innd cont i c p = .g.h obinem:

F = .g().S = .g.h.S = G" (7.7)unde este nlimea cilindrului, este densitatea lichidului, iar G" este greutatea lichidului dezlocuit de corp.

Deci, rezultanta forelor de presiune exercitate asupra corpului cufundat n fluid, numit for arhimedic, este egal i de sens opus cu greutatea volumului de lichid dezlocuit de corp.

Enunul legii lui Arhimede este urmtorul:

Un corp cufundat ntr-un fluid aflat n repaus este mpins de jos n sus cu o for egal cu greutatea volunului de fluid dezlocuit de acel corp.

Punctul n care se aplic fora arhimedic se numete centru de presiune.

Un corp introdus ntr-un lichid este aadar supus aciunii a dou fore: greutatea sa aplicat n centrul de greutate al corpului i fora arhimedic aplicat n centrul de presiune. Rezultanta acestor fore se numete greutate aparent:

Aplicaii ale legii lui Arhimede se regsesc n condiiile de plutire a navelor, a submarinelor, n construcia densimetrelor, etc.Capitolul 8. Mecanica fluidelor. Dinamica fluidelorOBIECTIVELE capitolului.

Dup parcuregera capitolului 8, studentul trebuie s poat desvolta urmtoarele noiuni:

- explicaia curgerii unui fluid,

- curgere staionar,

- debit masic, debit volumic, unitti de msur ale debitelor,

- sensul fizic al ecuaiei de continuitate,

- expresia matematic a legii lui Bernoilli, semnificaia termenilor,

- vscozitate, curgere laminar, curgere turbulent, coeficient de vscozitate, coeficient de fluiditate.

8.1.Curgerea fluidelor. Debitul

Dinamica fluidelor reprezint partea din capitolul de mecanic a fluidelor care se ocup cu micarea acestora n raport cu un sistem de referin.

n general, n timpul micrii, un fluid nu se deplaseaz ca un tot unitar, straturile de fluid alunec unele fa de altele, rezultatul fiind coninzut n formularea c lichidul curge.

Vom studia curgerea n cazul unui fluid ideal, adic un fluid incompresibil i fr vscozitate.

n timpul curgerii straturile de fluid alunec unele fa de altele, ceea ce nseamn c ele au viteze diferite. De aceea este necesar s se cunoasc vectorul vitez n fiecare punct al fluidului. Curgerea staionar este acea curgere n care vectorul vitez n orice punct al fluidului este constant n timp, depinznd doar de poziia punctului respectiv. Linia de curent este o curb imaginar, tangent n fiecare punct la vectorul vitez al fluidului n acel punct. n curgerea staionar, dou linii de curent nu se intersecteaz niciodat. Debitul reprezint cantitatea de substan care traverseaz o seciune n unitatea de timp.

Debitul se noteaz cu Q. n funcie de mrimea a crei curgere este studiat, deosebim dou tipuri de debite: debitul masic i debitul volumic.

Debitul masic printr-o seciune a unui tub de curent este definit prin relaia:

(8.1)unde este masa de fluid care strbate o anumit arie n timpul . Debitul masic se exprim n kilograme pe secund (kg/s).

Debitul volumic este dat de relaia:

(8.2)unde este volumul de fluid care strbate o anumit arie n timpul .

8.2.. Ecuaia de continuitate

Ecuaia de continuitate este o ecuaie de conservare.

S considerm un fluid n curgere staionar printr-un tub de curent care este delimitat de seciunile i . Vitezele de curgere prin cele dou seciuni sunt i respectiv .Debitele de volum prin ariile i au aceeai valoare. Ca urmare putem scrie:

;

; (8.3)

Fluidul fiind incompresibil, ariile i sunt strbtute de acelai volum de fluid n unitatea de timp. Prin urmare,

(8.4)

Sau:

care reprezint expresia matematic a ecuaiei de continuitate.

Observaii:

1.Viteza de curgere a unui fluid prin seciuni diferite este invers proporional cu mrimea seciunii.

2.Ecuaia de continuitate este o lege de conservare.

8.3.Legea lui Bernoulli lucrul mecanic al forelor de presiune

Considerm un fluid care curge dintr-o zon n care presiunea este n alt zon n care presiunea este . i fie, de exemplu, situaia n care .

Un element de suprafa S este deplasat pe distana dx de ctre rezultanta forelor care provin din cele dou presiuni.

Lucrul mecanic necesar pentru aceasta este:

EMBED Equation.3 =

(Ne reamintim c lucrul mecanic este produsul scalar dintre for aplicat i deplasarea realizat).Sau:

- (8.5)

Pentru deducerea ecuaiei lui Bernoulli s considerm c o mic poriune de fluid, cu densitatea i volum dV se deplaseaz dintr-o poziie A (unde are viteza ) n poziia B (unde are viteza ) fr a-i modifica volumul. n timpul curgerii, aceast poriune de fluid, i modific i altitudinea, de la la

n cursul deplasrii poriunii de fluid forele de presiune produc lucrul mecanic

- (8.6)iar fora de greutate un lucru mecanic: (8.7)Conform teoremei de variaie a energiei cinetice se poate scrie:

(8.8)

Dar potrivit cu legea de conservare a energiei vom putea scrie:

Sau avnd n vedere relaiile (8.6), ( 8.7) i (8.8) obinem:

-+

De unde, dup simplificarea cu elementul de volum dV i reordonarea termenilor corespunztori celor dou poziii se obine:

Sau:

(8.9)Aceasta este expresia matematic a legii lui Bernoulli.Se observ c aceasta este expresia unei relaii ntre presiunile care intervin n situaia unui fluid aflat n micare . Aici primul termen (p) este presiunea static, al doilea () este presiunea dinamic, iar al treilea (gh) este presiunea de poziie (sau hidrostatic).

Enunui legii lui Bernoulli este urmtorul: Presiunea total n lungul unei linii de curent ntr-un fluid incompresibil i fr vscozitate, aflat n curgere staionar, se conserv.Aplicaii ale legii lui Bernoulli le regsim n cazurile pulverizatorului, al sondei de presiune, al tubului Pitot, al tubului Venturi, .a.

8.4. Vscozitatea

n timpul curgerii unui fluid real, ntre straturile de fluid aflate n micare relativ se exercit fore de frecare intern. Acest fenomen este denumit vscozitate.

Datorit acestor fore, stratul de fluid care are viteza de curgere mai mic va frna stratul de fluid cu viteza de curgere mai mare, o parte din energia mecanic a particulelor de fluid trecnd n energie intern a moleculelor fluidului.

Curgerea fluidelor este stnjenit i de pereii fa de care alunec straturile de fluid, frecrile vscoase determin viteze de curgere mai mici n vecintatea pereilor.

Vscozitatea se exprim prin coeficientul de vscozitate dinamic .

Fora de vscozitate depinde de viteza relativ v dintre straturile vecine, de distana dintre ele , de aria comun S a acestora i de natura lichidului.

In cazul curgerii unui fluid printr-o conduct, stratul de fluid aflat chiar n contact cu peretele conductei este n repaus, straturile vecine avnd o vitez din ce n ce mai mare pe msur ce poziia lor este mai deprtat de perete. O astfel de curgere, n care straturile de fluid rmn paralele ntre ele n cursul deplasrii se numete curgere laminar. Cellat tip de curgere, ntlnit la viteze mari, n cadrul creia vinele de fluid se amestec, formndu-se vrtejuri, se numete curgere turbulent.

Experimental s-a stabilit c fora de frecare este proporional cu variaia vitezei ntre straturile de fluid i cu suprafaa:

(8.10)Aici, litera ( litera eta, din limba greac) se numete coeficient de vscozitate.

Semnul negativ indic faptul c fora de frecare se opune micrii fluidului.

Unitatea de msur pentru coeficienul de vscozitate dinamic este pois(P).

n Sistemul Internaional unitatea de msur este decapoisul (daP):

Lichidele au coeficientul de vscozitate de ordinul a iar gazele de ordinul

Vscozitatea dinamic a lichidelor scade puternic cu temperatura. n cazul gazelor, aceasta crete cu temperatura dup legea .

Mrimea invers a coeficientul de vscozitate se numete coeficient de fluiditate, i se noteaz cu .

(8.11)

NTREBRI

1. Care dintre cele dou stri de agregare fluide (lichid i gazoas) se apropie cel mai mult de modelul de fluid ideal?

a) starea gazoas, pentrru c gazele sunt lipsite de vscozitate,

b) starea lichid, pentru c lichidele sunt incompresibile,

c) ambele stri,

d) nici o stare,

e) fluidul ideal este un model i el conine proprieti idealizate ale ambelor stri.2.In unele situaii presiunea atmosferic este exprimat n milimetri de coloan de mercur, unitate nestandardizat. Care este unitatea standardizat corespunztoare?

a) atm,

b) at,

c) torr,

d) pascal,

e) nu exist corespondent standardizat.3. Principiul fundamental al hidrostaticii arat c diferena de presiune ntre dou puncte ale unui lichid aflate la adncimi diferite este proporional cu diferena de adncime. Ce alte proporionaliti mai pot fi enunate n acest caz?

a) niciuna,

b) proporionalitate direct cu valoarea suprafeei,

c) proporionalitate invers cu valoarea suprafeei,

d) proporionalitate invers cu densitatea,

e) nici un rspuns corect.4. n cazul frnei hidraulice, potrivit legii lui Pascal, presiunea este transmis integral n toate punctele fluidului utilizat..Prezint importan, n aceste condiii, aria suprafeei de frecare a frnei?

a) nu, pentru c presiunea fiind aceeai, la suprafa mai mare i fora este mai mare,

b) da, pentru c avem o proporionalitate invers ntre for i suprafa.

c) nu, pentru c nu exist nici o legtur ntre aceste mrimi,

d) da, pentru a se obine un efect de frnare mai accentuat,

e) nu, pentru c cu ct aria este mai mare i fora necesar va fi mai mare.5. n ce uniti de msur poate fi exprimat debitul?

a) kg/s

b) mc/s

c) kg/s i mc/s,

d) kg,

e) mc_1204711419.unknown

_1204713163.unknown

_1204880864.unknown

_1221747311.unknown

_1221751675.unknown

_1221752314.unknown

_1221752519.unknown

_1232377251.unknown

_1221752624.unknown

_1221752402.unknown

_1221752021.unknown

_1221752277.unknown

_1221751905.unknown

_1221747938.unknown

_1221750079.unknown

_1221747433.unknown

_1221746488.unknown

_1221747139.unknown

_1221747233.unknown

_1221746517.unknown

_1221746120.unknown

_1221746185.unknown

_1221746035.unknown

_1204882189.unknown

_1204713514.unknown

_1204872770.unknown

_1204876416.unknown

_1204879971.unknown

_1204880167.unknown

_1204880347.unknown

_1204880483.unknown

_1204880258.unknown

_1204880061.unknown

_1204876706.unknown

_1204879835.unknown

_1204876473.unknown

_1204875722.unknown

_1204875770.unknown

_1204876027.unknown

_1204876184.unknown

_1204875734.unknown

_1204875295.unknown

_1204875480.unknown

_1204875232.unknown

_1204872436.unknown

_1204872684.unknown

_1204872755.unknown

_1204872469.unknown

_1204713736.unknown

_1204713631.unknown

_1204712714.unknown

_1204713149.unknown

_1204712870.unknown

_1204712971.unknown

_1204712817.unknown

_1204712133.unknown

_1204712527.unknown

_1204712555.unknown

_1204712460.unknown

_1204711571.unknown

_1204711964.unknown

_1204711500.unknown

_1204707010.unknown

_1204710939.unknown

_1204711116.unknown

_1204711143.unknown

_1204711017.unknown

_1204711050.unknown

_1204710658.unknown

_1204710805.unknown

_1204710906.unknown

_1204710676.unknown

_1204709117.unknown

_1204710546.unknown

_1204709040.unknown

_1204705465.unknown

_1204706018.unknown

_1204706085.unknown

_1204706687.unknown

_1204706047.unknown

_1204705838.unknown

_1204705932.unknown

_1204705531.unknown

_1204698517.unknown

_1204698690.unknown

_1204705298.unknown

_1204698666.unknown

_1204698237.unknown

_1204698388.unknown

_1204698125.unknown