IIB-n E esBlS

e3rle8 uBoI

nropuPrPLUS uelols

P3!uPlS ullPlP3

nuPuad snlleN

6TT8IItIIBOIt0rIOI00rL6

t6T668t8

8L

VL

.. . . . . .(.,.0.).1:.t.p.!^!put tnltoJouod nr+uad psrl

orenle^o op alsal

:::: : : : : : : : : : : : ji:l1-'l:-yl:lli:iadol':snlcalaeau pro 8 rialerur3az rricerl gnop e ea.rri.rgdr.ul '6il

' ' olelrorpouad 'pleur3az ericer; lellnzar no alErnleu roloraurnu eerrfrpdrui 'g'II9V) lEnpr^rpur 1nrlo;oyod nrlued gsr3

' aJenle^a op olsalalnuau aleu.|3az ap llu!+ leunu un are oles

aleuroaz rricer; reun e leJnleu luauodxe nc arelnd el eareorplu "g'Ii

: : :'ii: : .l :l::: ::li.l

:l:rjii jj": :8;ilil;iiilill:1fi:11'llll'r'"' x'ij ''"' arenle^a ap alsofalnuau oleurcoz op

lruu rBWnu un ne oJPs oleurcoz Jollllsell eoJop9ssrs eoreunpvrrgurrxo.rdy

TT

'olpt!naz rolrricell E rolaJot!nu exe ed eareluezerdat 'eoreuopto 'eerereduo3Z'il

,;," ; ",;;

;", " ; ;;,, ; ; ;,. ",,",",,,",,;,r;',jli"":iff il,:,J,l

'pleuJrooz grlrol qns OI rnl ole uelnd r.rolrrunu no oleurplo.rolrricerl eaJarJcs 'I'IIalerurcaz rricerg 'II

' ' ' ' 'e-IA e roselc lnleur+ e1 ap pleuorieN eorenle^3 nrlued lapoLu-lse1(?V) lenpr^tpur 1n11olo1lod n.riued p6rl

orenle^o ap olsalpreurpro arioerl o-rlurp nes lernleu rpunu un-rlurp eluecord/rrfcer1 'Z

: : : : : : : : t:*: :: ::t::ir r::l ;,,;,,r,,i-j ;:",':i"'l#;:l1t ' areurpro.rolrricer;eerrirpdul'0I'I' oreurpro rolil]3ell earilnuul '6'i

(7y) lenprnrpur 1n11o;opod n-r1ued gir3orenle^o ap olsaf

aJeurpro rolrrlcerJ eoropP3s 'g' ' areurpro lolil]f,el} eaJpunpv 'L

areurpro rolrricerl eareuopJo rs earereduo3Jolorou n u exe ed oreu r pJo .ro1 r r[cer; eereluezerdag

(1y) lenprnrpur 1n11o;opod nriuad p6r3" "' arEnle^o ap elsof

: : .:li:T:!.".,i i+::il '.rolrricerl earectltldtuts r6 eereotltldtuy "rr'1

" " olualenrqca rr[cer3 'E'ierBUrpJo.rolrricerleaJeotltselJ'E'i

onr]onporlur runriop 'arBUrpro lricer3 'I'IoJeurpJo rrlcBJc 'l

ErqoEN

69L999I969L9v9Z96VLV9VTV

LE

veIE6Z

LZ

OZ

LTZT8

II.q. Mediaaritmeticiadouasaumaimultefracliizecimalefinite ...... L21-

Ii.10. Metode aritmetice pentru rezolvarea probtemetor cu fracliiin care intervinsiunititidemdsurd ......124

Testedeevaluare ...1,26Figa pentru portofoliul individuat (A8) . . . 1"27

Test-model pentru Evaluarea Nalionali de [a finalut clasei a VI-a . . . . 129Ii.ll-" Probleme cu caracter aplicativ .. 131,

TI"12. Probleme pentru performanli gcolari 9i otimpiade . . . 135

Geo etrie

III. Elemente de geometriei1I.1. Punctu[. Dreapta. Planu[ .. 1,40

III.2. Semidreapta.Semip[anu[ ... ....L45IIi.3. Segmentulde dreaptd .. . . t49iIL4, Poziliite relative a doui drepte . . 151iil.s. Lungimeaunuisegment.... ....1'54Testedeevaluare ...1,59Figipentru portofoliulindividuat(G1) ... t61.Test-model pentru Evaluarea Nalionald de [a finalu[clasei a VI-a . . . . L63III.6. Unghiut .... 1.65

IIL?. Clasificarea unghiurilor . .. 1-70

III.8. Probleme cu caracter aplicativ . . 172III.9. Probleme pentru performanli gcolari 9i otimpiade . . . L75

IV. UnitS[i de masurdIV.1. Unitdlide mdsurh pentru [ungime. Perimetre. Transformdri . . . . .... 178IV.2. Unitilide misurd pentru arie. Aria pitratuluigi a dreptunghiutui.

Transformiri . ... .. 1-81

IV.3. Unitdli de mdsurd pentru votum.Vo[umulcubuluigialparaletipipedutuidreptunghic.Transformdri ... ..... 185

Testedeevaluare ...189Figd pentru portofoliul individuat (G2) . . . 193Test-model pentru Evaluarea Nalionati de [a finalul clasei a Vi-a . . . . 195IV.4. Probleme cu caracter aplicativ . . a97IV.s. Probleme pentru performanli gcolard gi olimpiade . . . 200

V. Subiecte pentru evaludrile finaleVariantedesubiectepentrutez5. .......206Variante de subiecte pentru evaluarea finald . . . 21LTeste-model pentru Evaluarea Nalionatd de [a finalulclasei a VI-a . . 21-5

Sotu!ii 22t

O parte dintr-un intreg, impdrlit in parli egate, se numegte unitate t'racfionard.

Exemple: Partea co[orati din urmatoare[e figuri reprezinti:

EaH

Una sau mai multe unitS!i frac!ionare se numegte fraclie. Forma generatd a frac!iei este

unde a, b sunt numere naturale si b + 0.

Numdrula se numegte numdrdtor 9i aratd cAte unitdlifraclionare s-au [uat; numdrulb se numegtenumitor gi aratd in cAte pdr!i egale a fost impdrlit intregut; [inia orizontald (sau obticd) se numestelinie de fraclie.

Fractia este o pereche de numere naturale, a si b, scrisd sub forma

Partea co[orati din urmitoare[e figuri reprezinti:

3 ..i; citim trei patrimi sau trei supra patru sau trei pe patru.

t5;

citim patru treimi sau patru supra trei sau patru pe trei,

saualb,b+0.

o doime sau o jumdtofe sau unu pe dor; se scrie

o treime sau unu pe treii se scrie

o pdtrime sau un s/ert sau unu pe patru; se scrie

1.

5

1.

2

1,

n

a

b'

d

i

OOScrieli sub formd de f raclie:

o patrime; o treime;

o gesime; o sutime;

o zecime; treioptimi;

g o miime;

h o milionime;

i doud cincimi.

Citi!i urmitoarele f raclii:

1,11,1, t 1, 1,,_- 5' 'r' 9' 1L' 40' 19' 17'235793227'i'n'B'i'4' a'B'

1 oo0 ooo '

10 1,6 24

a5'23'AO'15 13 12

T,T'T

I.1, Frac!ii

6

o+@a

:rolp.uJn 1nBer1u1 urp 9

ffi

,8 .8 ,V ,V9Z9I

auosop uJ'lieluazoJdau E

'rurtldo ntled 1

:lLurlns ap a1de5 t5 toeztarl q

lrLuulpd eseS

Irr.urcurc nlled

Irirrcez ldo

irr-uu1qd elde5 e

lrursei rf,uro q

!t

ffi

ffio

X:p el op

1nldluaxe uJ ec 'uosap urp plelnseq eeyed ap gleluozardar ericer; sol teu ap lnleqe] u1 riar.rcS

.Z ,ZT ,VZ ,9 ,TI t L 9T

alrrice.r; !qBunldalp ]saf,e utp rie.ro1o3 'r-uc 7 r6 Luo 9 op eltuntsuotutp nc rqBunldoJp un rieueseo

EI 'la ulp 3 epren nc r5 1e urp : n6o.r nc rie.ro1o3 'LUo t op p nlel no lerlgd un t[euesa6 9

'i' i' 9 "l"ice'l'aluolr'

'+,'1, '9 :tticerJ aloreolgurn ouasop ut'td tieluezardag

13983094810383a2xulTltl urmaloare[elractll:

E' 4' 12' i' 42' .,6' 50' 2w' 96' b' w'Folosind cAte doui dintre numerete 3,5,7, scrieli toate fracliile posibile.

Fotosind cAte doud dintre numerele 6, 4, lO, scrieli toate fracliile posibile.

Scrieli toate fracliite de forma $, unde a gi b sunt numere naturale mai mici decAt 6 si mai marib'

decAt 3.

Scrieli toate f racliite de forma $ , unde a 9i b sunt numere naturale prime distincte cuprinse intreD

10 9i 20.

Rezolvare: Numerele prime cuprinse intre 10 gi 20 sunt: 11, !3, !7 9i 19. Fracliile care se pot

. !1_ lt !L 13 13 13 17 17 t7 t9 19 !9scrle cu aceste numere suntl

- ' i ' .-:9' i' 17 ' rg' i' 13' rg' i' a3' L7 '

Scrieli toate fracliite de forma f , unde o gi b sunt numere naturale prime diferite, cuprinse intreb'20 9i 40.

Scrieli in tabeluI de mai jos fraclia reprezentatd de partea haguratd din desen, ca in exemplul h:

!',

1t

10

11

13

2(

21

22

15

AH e#

==o15 Scrieli toate fracliite care indeplinesc, simultan, condi!iile:

. numirdtoruI este o cifrd pari, nenuld;

. numitoruleste o cifri cu cel pulin 3 mai mare decAt numirltoru[.

26

10

Consolidare

1!t2

7.4

d

TT'z nr leBa nes e-:*

lnJolqrPunu E3 ealelaudord ne ares alas ac :'-

9+DqrS roipJpunu orlurp euns pc eoleloudoJd ne olec '

96

D.-.q-qDeurol ap rolil]3eJ] lnJetunu rleururalao 9z

L

pq '9=c. Q=o.o lgf,uJla+]se t;,;,

rrice:; ep roltqcaled lnrPuinu tieutLurelac tZ

a - -- -a:,.rozrnrp un urind lao ne lnroltr.unu ts

'-= -.- -t -31ue lnicund e1 elrsgE elrricellollulc E

l:-: :!.to+ ap toltticell lnleulnu tieutulela6 e)7'

'1ce;led letlgd also Joltunu

euuol ep .ro1 r ricerl I nJptu nu tieu t r-uraleo gz

9Z

(t

:!c!e relqc eualqord p^lozou

'g llnLu lao no lnlo]glpunu lgcap areur reu plnuau gted gl;tc o also lnloltutnu .

lgredutprJre o olso lnJolplpunu .

:e1tritpuoo 'uellnLUts 'csautldapul elec a1tticell oleol tierrcS

'8t>g>O'f,t>o>gt51er

-nleu rpunu rnun lnqnc olsa g'1ern1eu Jptunu rnun 1n1er1gd also D "prn'9

elrricell eleol tiettcg

'lnJolPJPLUnu l93ap oJeu leu lnl

-olrunu ale ericell elec nllued 'lcepad leriqd 'x letnleu lnteunu lieutulele6 #erioel;

ar3

' 6'V'T'g r; eleod xpo pllnzaJ'11 > x tS

lceped 1er1qd alsa x LunJ'II > x <+ Z i I ZZ > xZ e I - tZ > xZ e tZ > T + xZ ua^V :orenlozau

'lnJolPJPurnu }gcop cru leu lnJ

-olrurnu ere ericerl erec nrlued 'lceped 1er1gd 'x lelnleu lnlpunu tfeutulele6 #

ericer; all 5r

q

0Jl

loc

zz

tz

oz

aJ]

'g > D let 'g? !5 gZ ellut asut:dnc eut.td aJaunu 1uns g 16 o apun '9 "rroJ

ep elrricer; e1eo1 tiettcg

'gE lnl lB rozr^rp atso g 15 zT !nl le rozt^tp alsa D .prn 'fl euilol ep elrricer; eleol riatlcsLI

le

8I

Fie o 9i b doui numere naturate, cu b +0. Fraclia I se numegte:'b- echiunitard, daca o: b (numdrdtoruI este egal cu numitoru[);. subunitaro, daci o < b (numdrdtoruI este mai mic decAt numitoru[);. supraunitard, daci o > b (numirdtoruI este mai mare decAt numitoru[).

Exemple:

(treitreimi)

23 10023' 1,OO'

205 58881003'B' 6'7' 25

(o pdtrime)

(treicincimi)

L443O7

1.

n

205 10' 13' 5' 7 ' 3008

3

5

3;

811-t-lE11

Compteiali numiritoruI sau numitoru[ [ipsi, astfelincAt sd obline!

6 11, tl 10 13 tl trtr'tr-' i.3'E'E' *' ,*'

fraclii ech

Dati cAte trei exemple de:

fractii echiunitare;

fraclii subunitare cu numdritoru[ 7;

fraclii subunitare cu numitoru[ 12;

fractii supraunitare cu numitoru[ 10;

fraclii supraunitare cu numdrdtoru[ 20.

Scrie!ifrac!iite echiunitare, fractii[e subunitare gifrac!iiLe supraJ. tare din girutde fractii:

3 5 7 B 3 11 9 9 1,4 31 90 _33 4052' 6' 7' 4' 5' 1,2' 8' 1,0' 20 ' 30' 9--' :3 ' 504'

L2

r.z

Exersare10

1t

t2

EE.06"og

,69 ,OTTL II

.9r,€"rt oz

7'fctcc tvv tJ.!.t, -.^ -

'--:t g g g z =- -^:-cns luns tticell aloleolPulrn orlulp ole]

OOOf,C,,o,o, / ,v ,r .- .

- .crEl unQf S ]UnS ll]3ell alaleolPl.J.lln ollUlp o]eSL6nV9r

IT

,z-x 'Tt

.6L ,98 ,TL ,€i .TV ,LZ ,9T ,OTL698ZLEV 8IN9TZ 6

:orPlrunqns ]uns oreolPturn olllicel] oJes nlluad x lelnleu lnreunu tietlv e

,LTZT+ X

t .- 11

x

X

v

I,+ XZ'- u

Z+ XE

xz.- ir

9

L.- !,1

T+X

T-x .- 4TZ

L,-tT+X

z+x .- eVT

vX

xz .mg"

0r q 2,2yTTL9I.V

'arelrunerdns olilic€Jl 3:alelrunrqoa alri3er+ q :oleltunqns al.licelJ €:eolsoce arlurp rlelsolas

.zo9,T8,LV,t6,iT,ZT,Vl,tr,6,2T.0r,8,9,t,9 .L,9,V,V,2,t,902 tor vL 6€, €z 9r vT TT 6 I I 6 9 L 8 t 9 I t t Z

:alilicerl Praprsuoc as

. r+uagrelrunerdns olsa

- ellcell u alelnleu oleulnu olgf, nlluad

Dq+qc+cD'pJeltuntq3o alsa pe + 3q,+ qrD

elleeJJ pc tlelPlv

'El ,sTI'

ET TT II892"

also3e allutp nlled alef,uo enl uolnd '2T "" 'Z'T'O aleJatunu allulp lnun U aleod x oleuln ulld'EI > x potpe 'lntolrunu ]gf,op cil.u teu olsa lnlolgrpunu Poep Plellunqns alsa elicell :oJPnlozau

'prelrunqns aricpr+ o EUrurelap' f e,icerl uJX rnl lnool uJosnd 'e;ec elernleu orotttnu nrled tiectpul

xv

€T,

:olelru nerdns

]uns oleolptuln ollicell aleo nlluad xlernleu rnlnrpunu aluolen'zpc oleca4 uJ'tiBUtLUloloO 4

,OIc-^

,V+XOZ' voT

,0r 'z- x

:arelrunrqra ]uns oreolPrurn alilif,erl ojel nlluad x lernleu lnlPUnu 'ze3 oJecall uJ'lieltv 9

,9,9,.t,t9V ZT

:oJelruneldns

oloo od lutl pnop no ts oleltunqns allioerJ arurl o no rierurlqns 'lricerl op giuanoos eateoleuln uI I

90r,89,80r,9T,TV,09,tV,02,9T,2,9,T,291 98 66 18 I9 OLIV t,Z LT 9 9 ZT

:a,teltunetdns olal ac e1-rierurlqns'rrioer; ap rl6 lnlolPUrn uI

L6

L7

La cAte dintre fracliite 9 . g. 1. 18 . 24 . 60 35 8 19

3' 4' 6' a3' 53' 6' t*';'i trebuiesimodificSm numdritorii

pentru ca toate sd devini, dupi modificare, frac!ii echiunitare?

Pentru cAte numere naturate n fractia n*3

".1" subunitari?'27

Determinali numerele naturale n care verificd simultan conditiile:

" 'I1 este fractie supraunitari;5

',, frt7 este fractie subunitara.

20

Rezolvare: Fraclia 'f 1 este supraunitari daci n+1> 5, adici n >4. Fracli^ Tl este sub-520

unitarddacin+7<2l,adicin<13.Oblinem4<n<13,decinpoateluavalorile5,6,7,...,!1,,12.

Determinali numerele naturale n care verifici simultan condiliile:

26

" n::

este fractie subunitari;15

b 1- este fraclie supraunitari.7

19 Folosind ca numitorisinumdritorioricare douddintre numerele 3,5,6 9i9, scrielitoatefracliile:

a subunitare;

2o Subliniali fracliite subunitare:

b supraunitare.

34823683501.6847302q5' 4' ],B' 21-' 4 ' 10 ' 13 ' 2s' 32' 40' 47' L2o' 5a'

Cite numere naturale n existi astfetincit fractia !7 si fie supraunitar6?' 2n+3

Dali exemplu de o fraclie echiunitari care sd aibi ta numirltor cubul unui numdr natural,iar [a numitor pitratulunui numir naturat.

23 Determinalinumerele naturale nenule o Sib astfetincAt

24 Determinali numerele naturale o gi b pentru care fraclia

a+b -- - si fie echiunitari.6

2a+3b

-

este:12

a echiunitar6; b subunitari.

i.:ii Determinati numerele naturale a gi b, nu ambe[e nule, astfetincAt fraclia = 'U- si fie echi-' 2a+7b

unitard, iar suma o + b si f ie minimi.

Rezolvare: Fraclia =IL este echiunitari daca 2a- 7b= 35 Atrnci b este numdr impar2a+7b

(dacd b arfi par, suma 2o +7b ar figiea numdr par, deci nu pci:=' =1=.i :r 35).

t4

2:

ST

']ca}lod ]EJlpd alsa xg lnjolPrPunu p3 pu[]a '

']caIod lerlPd alsa 9x lnrolqrPurnu p3 pu rls

I nf, leEa alsa eolor] le t6 O n3 oleBo ]uns , 'q 'D ala.lauinu allulp gnop

O no leBe alsa ealto.ll le t5 I nJ aleBa luns 3 'q 'D alolaunu arlulp Pnop

qt'+oV_tu3o atl es

-t9

'Lrud rqunu elsa Zzf lnrolrunu rer

= *- -- :p areyunerdns alrricer; rieuruurele6 q

'uud rgunu e+sa z{t lnro}runu Jer

?.1lJo+ op arPlrunqns elrricer; rieururalag eq

ti_x9

AE

9x

r000r0007TTOr0tOIT

red

lncaleEelunsaleo] T i I i t I

erincsrq 3 q E

--r---- ---- )

:lnlaqe] ul eztueElo tod as olunze3 'g nc aleFe oleo] tl 1od nu tep '1 nc aleBe

llnur la3 r11od c'q 'D oloJoLunN 'zo + "Q

* "o

< ? pep gleltuneldns olsa glep erioerS P :oJEAlozoU

'prelrunrq3o a.sa !!An-t- ericer; arec nrlued q t5 o a1e.rn1eu olorarunu tieuturala6 c

_3+ _O+ _D'prelrunrLlca oll es I_-{---1 ericerl lgouJla;1se 'o'q'D olernleu olaJarunu tieutuuele6 q

^9

'grepune:dnsauEs zc+ zq+ zo erice.r;lgcuJlo+lse c'q'Dalprnleu olaroulnu r[eurturalag e 1,7v

'ler

!7!7!7TTT

:!c!E relqc euelqord pnlozou

'pturxeu oll qs g + D eruns 15 grelrun

erice.r; ]gJuJ loJlse 'alnu alaqup nu 'g t5 n alernleu aloraunu t[eututaleg

'9 = I !S 0 = D luns alnJac alolaunN'prelrunrq3a olso rptu nu ericer; rgunle 'g < q ece6 .

'9=Q +P € 0=P € 9t:9t+ DZ€ 9=QE3E[ o

'OT:q +D€ L=oe9t,=TZ+DZ= g=gpceQ .'9I=Q +Detl=o e9t= L+DZ=T=q 9ce0 .

:al

,ZI

-qn

JO

ReeoEvare: a Fraclia 4 estesubunitarddacix6<3y,deunder-- S:, .=2. Pentrux=1,3y

rezulti x6=1,6=4',iar pentru x=2,numd,rulx6= 26 nu este patral 3:-j3.:. Numerete prime

de forma 3y sunt 31 si 37. Frac!iite cdutate srnt f gi *31 37

Andrei scrie pe tabtd toate fractiite de forma 9, ., proprietatea cd o B, Bianca scrie toate frac-o

-atiitedeformal,cuproprietateacdbls.Corinascrietoatefrac!iitedeformaa,undeal+giAlO.' b' b

Determina!i frac!iite echiunitare, frac!iite subunitare si fractiite supraunitare scrise de fiecaredintre cei trei copii.

Fie giruI de f rac!ii ordinare:

L 2 3 4 201,5201,620172017'201-6'201,5'201-4'"'' 3 ' 2' 1

Scrielifracliite echiunitare, fracliite subunitare gifracliite supraunitare din acest 9ir.

31 a gtiind cifraclia :+l+este echiunitari, determinali o+b.2ab+123

b gtiind ci fractia :Pl+ este subunitari, determinali valoarea maximi a sumei o + b.2ab+!23

30

33 Fie secvenla de fraclii +,1,+, 1,'rt+, 1,1,lt +,...,20

24

32 Aretali cd fraclia2.2' .2' . ....2'o'o

este supraunitard.(32tooe1zst

a Determinali numdruI termenilor secvenlei date.

b Determinali numirulfracliilor subunitare din secvenla datd.

c Determinali numdrutfracliitor supraunitare din secvenla dat5.

t6

29

!.7

LVTL_.1 iz

tV1-=- pTTT

:elualenrqce ricerl

.9T _ .ZT

riauriqo ps lgruJ

fl 6.E-Z'.0r 9

Cllc

n

E, lal.}sBale,lnleU orounu eraqrl aleinsqo ul rierrcg g

0r-- I '-l l- r

igt tzv'oz

-9 '* L-le '9.------0t

:_t t- o9I IZT

.i _vznlZor,v

-gZ s L--l er

,9t _Lor L--l Z

o/' f----) "

ysl 9

L_6V t_gL__-]17

T_ t9 tzL)oor I,9T nZToz L--l?

IT'------II ,-l l- Izrttg

,66 _TTsrlZ,iTnL ._t_(AL

:(+ nes =; rolezund-seroo lnuues alo orluJ rieucs rS eluelenrqDa luns rricer; ep rqoared aloreolgurn gcep liecrlueTl 7

L_09 tt_s!ol

,9 n92r L--l sr

,t-08 .-lzt I og

,0r 9 '9 9

9V .-+-9I

'q r5 e elaldruoxo uJ er '(+ nes =) rolgzundserocriaucs r5 elualenrqoa ]uns rricerJ ep rqce.red aloJpolptuln gcep riecrluoA r

L9 '9.9*Z.tasareoep'-+- '9t

iV .ZT= t..9To3oleoop '9= -q 'v9T

:i. L=82 .I arare o"p'9! =! VL

t9 :I.9+t.taooreoa?'-+- 'rt:v . TT = ZZ. zoooreoop'99 =+ vc

:OI't=9 9osareoep'Z=l '0T9

p q p,q 'i+ D rilou3s'3.q + p .D Esep oluale^rqsa ]uns nu '

!. t olil]3erl

p q p,q-=: LUOll3S'3.q:g.DPJepalUalDA.lqJaluns - ls - ellllfPlr "6i r;:!.!-'tlx D -- ..; -r - -t t- 3 D

L=9 auos rualnd 'Berlul urp epedZT

rseeace plurzerdar | ,t ! elrricer,t po rlplelsuo3 'plernlple ernBr; pugzrleuyz'r ""

ore

'el

, o}€Elgxf