Marius PERIANU Florian DUMITREL

Matematice

clasa a IX-a

semesfful I

filiera teoreticd: profil real (matematicd-informaticd, gtiinfe ale naturii)

filiera tehnologicd: toate profilurile (tehnic, servicii, resurse naturale)

filiera vocafionali : profil militar (matematicd-informaticd)

CUPnINS

RLCEARA Capitolul 1. Mullimea numerelor reale

1.1. Numere ra[ionale gi iralionale. Reprezentdri zecimale1.2. Opera{ii algebrice cu numere reale ............

1.3. Formule de calcul prescurtat. ldentitSli (extindere)Teste de evaluareOrdonarea numerelor rea1e.............

lnegalitdti algebrice (extindere)lntervale de numere reale. Operatii cu intervale ...............

Teste de evaluareModulul unui numir real ..............

Partea intreagd gi partea fraclionard a unui numir real ..............

Aproximiri ale numerelor realeTeste de evaluare

1.10. Probleme pentru performanta gcolari 5i olimpiade

ALGEBRA Capitolul2. Elemente de logici matematici2.1. Propozitie. Predicat. Operatii logice elementare2.2. Rationament prin reducere la absurd2.3. lnduc[ia matematicd ................

Teste de evaluare2.4. MulIimi .....................

2.5. Probleme de numdrareTeste de evaluare

2.6. Probleme pentru performanla 5colard 5iolimpiade

ALGEBRA Capitolul3. $iruride numere reale3.1. $iruri de numere reale. $iruri monotone. $iruri mdrginite ..............

3.2. Progresii aritmetice ...................

3.3. Progresii geometrice ................3.4. Probleme cu progresii aritmetice gi geometrice .................

Teste de evoluare3.5. Probleme pentru performan[a 5colard 5iolimpiade

912

15

2022

25

2932

33

36394243

4955

57

6061

65

6B

69

75

78

80B3

8789

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

GEOMETRIE Capitolul 4. Vectori in plan

Segment orientat. Relatia de echipolen[d. VectoriAdunarea vectorilorinmullirea vectorilor cu scalariDescompunerea unui vectori dupi doi vectori necoliniariReper cartezian in planTeste de evaluare

GEOMETRTE Capitolul 5. Concurenli, coliniaritate, paralelism.

Calcul vectorial in geometria plani5.1. Vectorul de pozitie al unui punct. Teorema luiThales.... ........ 1 1 1

5.2. Centre de greutate. Rela[ia lui Leibniz .................. 1 15

5.3. Teorema bisectoarei. Vectorul de pozi[ie al centrului cercului inscris ... 1 18

5.4. Ortocentrul unui triunghi. Relatia lui Sylvester ........................ 121

5.5. Teorema lui Menelau. Probleme de coliniaritate....'........... ..... 124

5.6. Teorema lui Ceva. Probleme de concurente ..'...'........ ..........."' 187

Testedeevaluare """"""' 130

5.7. Probleme pentru performanla 5colard 5i olimpiade ............'.. '132

SINTEZE Capitolul 6. Variante de subiecte pentru tezi

6. Variante de subiecte pentru tezd - semestrul I .'..'...........'... ""' 139

soLUTil ................. 143

95

98100"t02

105

108

(E

x6(o

roU

I

I

=EI

=I

5

CAPITOLUL

MUIIIMEA NUMERELOR REALE

Tema 1.1. Numere ra[ionale gi iralionale. Reprezentdri zecimale

Tema 1.2. Operatiialgebrice cu numere reale

Tema 1.3. Formule de calcul prescurtat. ldentitdti (extindere)

Testedeevoluare

Tema 1.4. Ordonarea numerelor reale

Tema 1.5. lnegalitS[i algebrice (extindere)

Tema 1.6. lntervale de numere reale. Operalii cu intervale

Testedeevaluare

Tema 1.7. Modulul unuinumdr real

Tema 1.8. Partea intreagd gi partea fractionara a unui numdr real

Tema 1.9. Aproximdriale numerelor reale

Testedeevaluote

Tema 1.10. Probleme pentru performan[d gcolari 5iolimpiade

Tema t,€Numere rafionale gi irafionale. Reprezentiri

zecimale

Notiim cu N mullimea numerelor naturale Si cu Z mul{imea numerelor intregi. Astfel,

N = {0,1,2,3, ..} Si Z= {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\ .

Fractiile i qi I (a,ceZ,b,deZ*) se numesc echivalente dacd ad=bc; scriem'bd

+:9. Multimea tuturor fracfiilor echivalente cu o frac1ie datl se numegte numdr ra{ional.bd

Pentru simplifrcarea exprimdrii, vom identifica un numir ralional cu oricare dintre fracliile

echivalente,care il reprezintl. Mu[imea numerelor ra{ionale se noteazd cu Q ' Aqadar,

p,e eZ, n*O\.

Cu ajutorul algoritmului de impirlire a dou[ numere naturale, orice fraclie ordinard Lq

(p 2 0, q > 0) se poate scrie sub forml de fraclie zecimald periodic[, cu perioada diferiti

de (9). Reciproc, orice fraclie periodici, cu perioada diferit5 de (9), se poate scrie sub

forml de fractie ordinar[.

Dacd a este o fraclie periodicd simpld, adic[ are forma a=as,(a1a2...ctr), unde

ao e N qi a,ar,...,ao e {0,1,2,...,9}, atunci

'P"-%o=on*_.

in cazul cdnd a est1.fraclie periodicd mixtd, adicd a: a0,atq2...qk(ar*rao'r"'au*r) , avem

a=ao+a(12... ak+ p - ara2... clk

99...900...0+L--vJ

p ori k ori

Q este mullimea tuturor frac{iilor periodice (frac}iile zecimale finite sunt considerate

fraclii periodice cu perioada (0) ).

Exist5 fraclii zecimale infinite qi neperiodice,

astfel de fraclie zecimald se numeqte numdr iralional.

de exemplu a=0,1010010001.... O

a={4ls

Reunind mu[imea numerelor ra]ionale cu mu[imeamullimea numerelor reale pe care o notdm cu JR. Aqadar, IR

zecimale, periodice sau neperiodice. Notiim lR.* = IR \ {0} .

Au loc incluziunile: N c Z c Q c JR'.

numerelor iralionale oblinemeste mu$imea tuturor frac,tiilor

Gx(!(g

iJU

I

,<(J

=lrt

=I

*

1. a) Ardtalicd, pentru oice me N , fraclia ?+ este ireductibili.3m+2

D,) Determinali r e N pentru care frac1ia !*2. "rt"reductibil5.3n+l

2. Scrieli ca fraclie zecimald fiecare dintre numerele:

a) 5; uf,; oi, t411'

_4766

o -*; e)

lllEE

=foc(o

oL

lzsEuJG

=(!E

I

10

0X; o-!; ut, .. 77ui; i)

3. Transformafi in frac{ii ordinare urmdtoarele fraclii zecimale:

a) 5,(7); b) -1,(13); c) 0,23(7); d) -1,01(02); e) -3,2(123).

4.Fie a e JR \ Q . Este posibil ca a2 Si a3 sI fie numere ralionale?

5. a) Aflalia 100-a zecimalda numlrului ralional |.l3b) Ic:dllati ci existi un multiplu de 13 format numai cu cifral .

6.Fie aeQ Si rz,raeN*, (m,n) =l.Arlta,ti cd,dacd maeZ qi naeZ,ab,nci aeZ.7. 1,r:A/ari cd, dacd o singuri cifri din reprezenlarea zecimald a unui numlr real se repeti

de o infinitate de ori, atunci num5rul este ralional.

8. tuAtaU c[ un numlr ralional pozitiv L (O,ne N*, (p,4) = 1) se reprezintd" ca fraclieq

zecimald finit[ dacl gi numai dacd q = 2" .50 , unde a, B e N .

**

9. Se considerl num6rul a = 0, I 0100 I 000 I 0000 1... .

a) Ardtali c5 a este numlr iralional.b) Afla,tia 1000-a zecimaldanumf,rului a.c) Calculali suma primelor 1000 zecimale ale numSrului a .

1@.a)Fie r,-/€Q gi aelR.\Q.Ardtali cd x+y.a=0 dactrqinumai dacd x=!=0.b)Fie x,y,zeQ.Arltali cA *Ji+yJ1*rJi:0 dac[ginumai dacd x:y:z-0.

1 t. Demonstrali afirmaliile:a)dacd reQ gi aeIR.\Q,atunci r+a<-R\Q;b)dacd, reQ* 9i aelR"\Q,atunci raelR\Q;

c) dacda e R \Q, atunci 1 e R.\Q;a

d)dacd aelR\Q , a)0,atunci JaeR\Q.

12. Fie n e N. Ar[tafi cd:

d JieN<+n =/r2,keN; U J-"eQ<'rEex.13. fuAtaf, cI existii o infinitate de perechi (a,b) de mrmere irafionale cu a+beQ $i

a.DeQ.

14. tuataf, clnum[ru] Ji *Ji * Jl este irational.

15. fuItali cI, pentru oice n e N+ , urm6toarele numere sunt irat'onale:

O.l|i; b)$".3; c)"t7+s"+7; d)@r--:-

16. Determinaginumerelenaturale k pentrucarenumdrul 'Jk'+3k+14 estera,tional'

17. Fie mu[imea y ={o+bJi I a,b eQ; a2 -3b':1} . Aratari ca: 7

@ 2+Ji e M;b) x,yeM = xYeM;c) M esteinfinit2i.

lg. a)Fie rz,neN*.Demonstatri cAJi+.|-neQ dacdginumai dacdJm, G.N.D) Determinafl pereehile (x, y) de numere naturale astfel incdt Ji * J:y = 10\6 ,

t9.Fie a,DelR\Q astfelincdt q+beQ qi m,neN, m+n.Ardtn$c[numerele a-bqi ma+nb sunt irafionale.

***

20. Determin ali x,ye N* astfel *"* *.; = 0,58(3)'

21. Ardta,ti cd, pentru orice n e N *, num6rul Ji + J" + t este irafional

Zl. Determinali numerele naturale n pentru care numdrul .!-"a1'rJarlay este ralional .

(o

xt!l!

_gtI

rJ

=llr

=t

11

r

i