Marius PERIANU

Ioan BALICA Dumitru SAVUTESCU

Matematiclclasa a VII-a

II

1.4.

1.5.

CupnrNS

nLCegnA Capitolul l.Calcul algebric

1.1. Adunarea gi sciderea numerelor reale reprezentate prin litere .............

1.2. lnmullirea 5iimpd(irea numerelor reale reprezentate prin litere .........

1.3. Ridicarea la putere cu exponent intreg a numerelor realereprezentate prin litere ....

Fi5a pentru portofoliul individual (A1)

Formule de calcul prescurtatMetode de descompunere in factoriTeste de evaluare .

Fi5a pentru portofoliulindividual(A2) ............... 41

1.6. Ecualia de forma x' = a, unde a e Q ............... 43

Teste de evaluare ................. 47F i g d pentru po rtofo I i u I i n divi d u a I (A3)

Probleme cu caracter aplicativProbleme pentru performan[5 gcolari gi olimpiade

ALGEBRA Capitolul2. Ecuafii gi iiecualii2.'1. Rela[ia de egalitate in mul]imea numerelor reale. Proprieteti................. 572.2. Ecua[ii de gradul I cu o necunoscutS.

Ecuatii reductibile la ecuatii de gradul I cu o necunoscut5.......................

Teste de evaluore .................

Fi5a pentru portofoliul individual (A4)

2.3. Relatia de inegalitate < pe multimea numerelor reale.ProprietSfi ale relaliei de inegalitate. lnegalitd{i algebrice

2.4. lnecualii deforma ax+b> 0(<,>,<),ctJ a,b elR gi x eZ .......,..........

Teste de evaluareF i g a p entru portofo I i u I i n divi d ua I (A5)

2.5. Probleme care se rezolvd cu ajutorul ecua[iilor gi inecua[ii1or.................

F igd pentru portofoliul i ndividual (A6)2.6. Problemg.cu caracter ap1icativ.................

2.7. Probleme pentru performan[d 5colari 5i olimpiade.

ALGEBRA Capitolul 3. Elemente de organizare a datelor3.1. Produsul cartezian a doui mulfimi nevide. Reprezentarea punctelor

in plan cu ajutorul sistemului de axe ortogonale.Distanfa dintre doud puncte din plan

711

15

1921

232939

6973

787981

85878990

4951

521.7.

1.8.

606667

T(oI(o(!(o

ulJ

=IIF

=97

Reprezentarea gi interpretarea unor dependen[e funclionaleprin tabele, diagrame gi grafice......Teste de evaluore ..................

Fi5a pentru portofoliulindividual(A7) 1073.3. Probabilitatea realizdrii unor evenimente................ 109

Teste de evaluare .................. 1'12Fi$o pentru portofoliulindividual(A8) ...........i.:...........

3.4. Problemecu caracteraplicativ..........

10210s

113

115

5.4.

5.5.

fIJ1A1!l

vt=EE

o

g

o(!o

fzsOEutc'=(!

=

GEOMETRIE Capitolul 4. Relalii metrice tn triunghiul dreptunghic4.1. Proiec{ii ortogonale pe o dreaptd. Teorema indltimii 1194.2. Teorema catetei 1224.3. Teorema lui Pitagora. Reciproca teoremei lui Pitagora 124

Teste de evoluare .................. '129

Figa pentru portofoliulindividuol(G1) 1314.4. Nofiuni de trigonometrie in triunghiul dreptunghic 1334.5. Ariile poligoanelor studiate....................., 138

Teste de evaluare .................. '146

F igd pe ntru po rtofol i u I i n d iv i d u a I (G2)4.6.4.7.

Probleme cu caracter aplicativProbleme pentru performantd gcolard gi olimpiade.

GEOMETRIE Capitolul5.Cercul5.1. Elemente in cerc. Coardd, arc, unghi la centru5.2. Unghi, triunghi gi patrulater inscris in cerc................5.3. Poziliile relative ale unei drepte fatd de un cerc..........

Teste de evaluare .-..........

F i5d pe ntru portofoli ul individual (G3)Poligoane regulate........Lungimi gi arii in cerc................

Teste de evaluareFiga pentru portofoliul individ ual (G4)

5.6. Probleme cu caracteraplicativ..........5.7. Probleme pentru performan!5 gcolard giolimpiade.

SINTEZE Capitolul 6. Subiecte pentru evaluirile finale6.1. Variante de subiecte pentru tezd6.2. Variante de subiecte pentru evaluarea finald

Solutii

"t49

15't

1s3

't79

181"t82

157161165't70't71

173"t76

178

187't92

199

CAPITOLUL

NunaERE RATToNALE

Tema 1.1.

Tema 1.2.

Tema 1.3.

Tema 1.4.

Tema 1.5.

Tema 1.6.

Tema 1.7.

Tema 1.8.

Adunarea gi sciderea numerelor reale reprezentate prin litereinmullirea gi impirgirea numerelor reale reprezentate prin litereRidicarea la putere cu exponent intreg a numerelor reale

reprezentate prin litere

Teste de evaluoreFiSd pentru portofoliul individual (AL)Formule de calcul prescurtat

Metode de descompunere in factori

1.5.1 . Metoda factorului comun

1.5.2. Utilizarea formulelor de calcul prescurtat

t.5.3. Metode combinate de descompunere in factori

Teste de evaluareFiSd pentru portofoliul individual (AZ)

Ecualia de forma x2 = a, a €Q

Teste de evaluareFiSd pentru portofoliul individual (A3)Probleme cu caracter aplicativ

Probleme pentru performan;i gcolari gi olimpiade

Tema 1,1Adunarea gisciderea

numerelor reale reprezentate prin litere

gtim ce Z^lS * Ji = Q + TJi = SJt . in general, 2a + 7 a = p + 7)a= 9a unde

a este un numir real. Numerele 2a qi 7a se numesc termenii sumei 2a * 7a, iarnumerele 2 Si7 poartdnumele de coeficienlii lui a. in suma 3x+2y numerele reale 3

gi 2 se numes c coeficienli, iar x gi y rcprezinti partea literald.

O sumd algebricd este o sumd in care unele numere reale sunt reprezentate prinlitere. Termenii qsemenea ai unei sume algebrice sunt acei termeni in care aparaceleaqi litere ridicate la aceleagi puteri.

Exemplu. in suma algebrictr 7a-2xy2 -4a+Ji +0,9ry2 +ll'fi +5a sunt

asemenea urmltorii termeni:. 7 a cu -4a qi cu 5a (a edror sumi este a(7 - 4 + 5) = 8d)'. -2q? c;rs,0,947 (a cdror sum[ este {f (2. + 0,9) = -l,lxf ;

. .r./5 c, lhE (acdrorsumreste .r6(t+tt)=D.li).Adundnd temenii asemenea, se spune cd se reduc termenii asemeneq, iar suma

init'al[ este egal6 cu 8a-l,bty' +t2J5 .

Exerci[iurezorvat.Reducef itrft;ffF?*ip?f psumialgebricr:

Rezolvare. Folosind proprietilile de asociativitate gi comutativitate suma se scrie astfel:

--7 x + 20 x + lZa' + 9 a' + a2 - 6ry + 6ry = (7 + 20)x + (12 + 9 + l)a2 + (-6 + 6) xy = 13 x + 22a2

Proprietitile adunirii1 . Asociativitatea: (a + b) + c = a + (b + c), oricare ar fi a, 6, c e lR .

2.Comutativitatea: a+ b= b* a,oicare arfi a,D e IR

3.0 (zero) este elementneutru: a*0=01a=a,oicare arfi a e IR..

4. Suma oriclror doul numere opuse a gi --a este egal5 cu 0: a + (-a) = -4 * q = Q,

oricarearfi aelR.

1. Precizali coeficienliisume algebricg:

a) 5x-lly;_l 3

d) -x--v:.'2 5"2. Scrieti opusul fieciruia dintre urmItorii termeni:

J.,L

numerelor reale reprezentate

b) 2ry-7y+7x; c)

4 'l-z* +

"l-sy -2J62 ; CI

prin litere din urm[toarele

l2a+7ab-3a2;a

o.sx2 +J7x3v-7v'.3'

d) Jrtax;

=I

t!I

(!(!

-gUIJF

=llll-

=a) 7x; b) 0,6x2; cS -zJi.

3vt,llll3

UIaEE)og

oC.g-9

fzsG,IIof(g

=

54 i"; A-b'y; g) 0,2xyz; nt -{,'r'

3. Reducet' terrnenii asemenea:

a) 5x-7x; b) 5a+3a-6a; c) 4b+t0b-2b+3b;d) 9y-y; e) l3m-l1m+2m; fi 232-llz-z+192.

4. Reducefi termenii asemenea:a)2x+3x-7x+l?se; b)l3y-2y+(6y-3y)-yic) (16o + l2a + 5a) - (3la - 22 a); d) -5b + 3b - 2b + (7 b - b + Zb) - b.

5. Efectuati:a) 0,5x + 0,7 x - 0,6x + 3,5x - l, 8r ; b) 2,25a -1,65a + (3a - a) - (a - 0,7 a) ;

c) 3,9y +(2,55y +3,45y)+0,1y ; d) 0,3b - (t,Sb -0,7b +0,2b\+2b.6. Efectuali:

a) 5x2 +8x2 -3x2 -2x2 +16x2; b)a3 +3a3 -ga3 +12a3 +(29a3 -27a3)c)-7o2 +4a2 +(13a2 +a'1-7-a'1; d)(16x2 -2x2 -lox21-(23x2 -4*r).

7. Efectuali:

a) 0,3x2 -0,2x2 +(2,5x2 -1,'lx2 +x'1-74,6x, -3,gxr1 ;

b) -9,5a2 +7,75a2 -2,35a2 +7a2 -0,3a2 -0,7a2);c) (0,25y3 -0,75y3 +3,5y3)-(12,6y3 +3,4y3 -l7yt);d) (1,2x2 y2 + 2,8x2 y2 ) - (4,9 x2 y2 - 3, 2x2 yz - 2,6 x2 y2 ) + o,l*, yr .

8. Efectuatr:

d *v + Sxf -*v + 6n? -bcv2 + 3*v;U 6t + iab) + (i, -zi1 - 1l + toz'-'+ot) + 1a2 - bz);

c) (6m + 3n) - Qn ! 3m + 5) - (3m - 4n - 6);d) (13m2 + 2mn - n'1- 12m' * 3mn * 4n21 - 7lom2 + 2mn).

9. Efectua,ti:

0 7J1+trJl+tzJi-sJi;U 7 J-2x + t tJ-z x + tzJ-zx - 5J-z x ;

c1 z"l-z x - sJi x + tzJi x +,1-3 x- t o.f:x ;

d) 5 J-2x + 3 Jl x + z,l-l x - z.fz x + .,|3 x .

-?. -t,\ ,\

1 0. Scriefi in spafiul punctat termenul corespunzltor obflnerii unei propozi{ii adevdrate:a) l5a-l3a+...=20aic) x2 -2x2 + ...+7 x2 = 0 ;

b) l2x + 4x -... = l0x ;

d) l2ab-...-ab=20ab.11. Scrie,ti numirul real 4x+5y ca:

a,) suml de doul numere reale oarecare;D/ suml de trei numere reale oarecare;c,) diferenp de doul numere reale oarecare;

12. Calculafi:

a) (2x + 3 y) -(4x + 5y) - (l 0 - 4y) ; q (zx2 - 7 *y) - @y + s y') - (*' - y') ;

c) (-3a2 + 2a + 4) - (5 - a - 3az) ; d) 6x - (3ry + 3x - 4x2\ - 3x + x2 + 4ry .

13. Calculati:

, i.?-0,4x+1,(6)x-x ; b) ?f -Lx' +2,(3)*' -I*' +2Lr' ;

c) 0, (3)x + l ], -l r, 1t1 * - | *l ; a) 3,7 ab - t, (4)ab + (t,2ab - 0,9 ab) + 2, (6) ab .3 L 3-l14. Calculati:

,t ( *,*r)-f4* r,) *[{-t),-( 3) [3 /[6 4)'

b) 21rx -(i.' . 1.).111.' + 0,61x]- o,zx' ;

c) 10, (7)x - 0, (6)al + [0, (6)x - 0, (5)a] - (#. - *"),a1 lz, 1t1 a - t, (3)b] + [0, (6) a - 0, (6)bl - (3 a - 2b) .

15. Calculali:

al $J z - zJi)x + gJi - 3"lD* - $J, - Ji)x + zJ-zx ;

tt tsJi - Jn), + (J n -t J\o + QJE-3{ot)x ;

d QJn + J$)*y - J-n*v +(.6 + Jr t)rv + Jn stv ;

0 3"f6x2 +(zJrso -Js+)x' +(Jr92-zJE1x' +t"llx' -,16*' ;

16. Fienumerele: A=2x-3+a', B=5+4x-7a2 gi C=ll-9x. Calculafi:

a) A+ B; b) A- B; c) A+ B +C;d) A+(B-C); e) -A+B-C; 0 @-B)+(B-C)+(C-A).

17. Calculalivaloareaexpresiei E=**'2! *I] p"n* x=1$i y=0.' r+5 y-6'18. Considerlm numlrul 1rJ = (3*' + y') - @' + 1) + (1 - y'?) .

a) Calculali.lI, dac5 x =2$i Y =4; Tb) ll;dta,cicd N > 0, oricare ar fi x,y e 1R . g

19. Dac[ 2x+3y -l3qi 3x+2y =l2,calcula]i: fia) 5x+5y; b) x-y; c) 6x+4Y; d) 4x+6Y - $

20. Fie tr:(o,sx' +3,5ry+3)-(2,7x2 +1,75+l,3xy)-(1,25+2,2xy-3,2x2). Efudta,ti cd A estep[trat perfect, pentru orice valori ale numerelor naturale x gi y.

#E

=

5utngt

=lh5.tE)ot,

octEo

==sOEutr=tg

=

.L.L.L

21. Scrieti in spatiul punctat termenul (sau termenii) corespunz[to(i) ob]inerii uneipropozif;i adevlrate:a)i-5a+3*+...=7a+4*'c) x +...+ 17 - 5x = 4x;

22.Efectuali:a)x+)16+3x+...+ lOx;b) x + 2x + 3x +...+ 69x;

b) 3ry+...+5x'-2x- x2 +2ry0@-q*f)-8x*'...=6.

e * + z* + 3x2 +...+ l0l - ?-r - 4x 4x -...- 20x;d) 5a + l0a + l1a +...+ 60a + 3b + 6b + 9b +.-+ 36b;e) (4x - bzy + 1ax - 2b21 + 4rr2;- - 3 b1 + ( I 6x - 4b21 + elx - 5 b2);

23. Dacd 3x - 2y - 6= 0, calculal i (tt + +y - e*)'o'o .

24. Scrie{i num5rul 1=(4x'-9+3y')-(3x'z+2y2)+(14-y,)ca sum6 de dou[pitrate.

25. Calculali:

.(o e)(t to\(z+ tz )", lO* -

E,.,l *[8, * A. fl;Ax' f,ffix );

, ('n -#)..[-.#). [# .#\,, ['E.,8). -[,8.'F)..[E- f).o (za . fr), - (,* . #), .(' n . #), - Fn. - s.t-s y + t li,)

26. Determinati valorile lui x, astfel incdt num5rul A sd fie natural, unde

n = rp J.f *. # - 6)i - F-rrry .Probleme de gapte stele

lx+vl+lr-rl27.Fie ,undex>0,.y>0.zx

a/ Calculalil/ dacil x> y;D/ Scrieli cdte o valoare pentrux qiy, astfel incdt N =2 .

28. Determinafi numerele ra,tionale ,x gi y, astfel incdt 'l-3x

+ 2x - 2J\y - 2y = -1 .

29. F ie a,b,ce ]R, astfel in "61

J " a a Jffi + J; + b + c = 0 . Calculal i 2a + 3b + 4c .

3\,vtulf

vl:,EE

o

t,

oCl!o

f2Glttr.C.E

=

-

20

Testul 2

(3p) r. calculafi: a) 3a-4b+a-b; b) (3r')' ,(-*)'; c) (x+3y)(2x-5y).

{2pl Z. Efectua}i, respect0nd ordinea efectu5rii operafiilor:(x' + t) (:x - t) - (2x)2 (3x - 2) + 7 x(3xz + 3) .

(1p) S. Dacd 2a + b = 2 , calctlali valoarea numdrului

n : (aa + 2b) + (6a + 3b)' + (ta + +b)3 .

(1 p) l. tuetafi c[ numarul o = (4x' + Zx 4) - G x)(2x + l) + 3(2 - r' - r) "rt"pozitiv, oricare ar fi numirul real x.

(1 p) S. Determinali valoarea maxim[ a expresiei E = 5 - 4x2 .

(1p) e. Aflali aria unui pitrat care are perimetrul egal cu 4ry' ru, unde x,y,z e N * .

NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se acordd I punct din oficiu.

Testul 3

(3p) t. Calcula,ti: a) 5x2 -3x+2x2 -x; b)(2"')' .(-l*')' ;")(zx+zy)(3x-2y).

l2pl Z. Efectuali, respectdnd ordinea efectuirii operaliilor:

(r' + y +t)(3 x - y) - (2x)z (x - y) +2x(3x' -2y) .

(1p) S. Dacd a+b:l,calculalivaloareanumirului n=a+b+a2 +b2 +a3 +b3,unde a gi b sunt numere naturale.

(1 p) e. Dac[ GJ + rfy -z + JZr - A : 0, calculali *' + y' + z2, unde x,v,z e N .

(1p) S. Determina{i valoarea minimi a expresiei E =2x2 +5 .

(1p) e. Aflali aria unui dreptunghi care are lungimea egal6 cu dublul hfimii qi

perimetrul egal cu 6ab2 ,wde a,D e N* .

NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se acordi I punct din oficiu.

Testu! 4

(3p) t. Calculali: a) 5x2y+3ry'-6*'y; o1 (zx')'; c1 (x$)(2x-5)-2x2.

l2pl Z. Efectuali, respectdnd ordinea efectulrii operaliilor:(8.16 -1614) :(1x2)2 +(2x)3 .(2+3x):(2x)2 .

(1p) f. Dacd ry=3,y2=6$i xz=4,calculafi *'y'r'.(1 p) +. Dacd x - 5y -3 = 0, calculali (zx - toy - s)'* .

(1p) S. Determinali valoarea minimi a expresiei E = 3x2 -1.(1p) O. Un triunghi isoscel are perimetrul egal cu 6x+3y gi o laturl de lungime

2x + y , x,y > 0. Aretati cd triunghiul este echilateral.

NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se acordi I punct din oficiu.