Matematica - Clasa 5. Sem.2 - Marius Perianu, Catalin Stanica - Clasa 5. Sem.2... · Utilizarea de...

8
Marius PERIANU cdtdlin srAutcA gtefan StuAnANoOtU Matematice clasa a V-a tI

Transcript of Matematica - Clasa 5. Sem.2 - Marius Perianu, Catalin Stanica - Clasa 5. Sem.2... · Utilizarea de...

Page 1: Matematica - Clasa 5. Sem.2 - Marius Perianu, Catalin Stanica - Clasa 5. Sem.2... · Utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operaliilor cu fraclii ordinare sau zecimale 4. Exprimarea

Marius PERIANUcdtdlin srAutcA

gtefan StuAnANoOtU

Matematiceclasa a V-a

tI

Page 2: Matematica - Clasa 5. Sem.2 - Marius Perianu, Catalin Stanica - Clasa 5. Sem.2... · Utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operaliilor cu fraclii ordinare sau zecimale 4. Exprimarea

Prezentul auxiliar a fost aizat de Ministerul Educafiei Naiionale prin Ordinul n. 3022

din 08.01.2018 qi se regdseqte lapozr\ianr.287 drn anexa Ordinului.

Lucrarea a fostreahzatd in conformitate atnoua Programd. qcolard pentru disciplinaMATEMATICi. CUISELE A V-A - A VIII-A, aprobatd prin O.M. nr.3393128.02.2017.

Referenli qtiinfi/ici: prof. drd. Livia Harabagiuprof. gr. I. Dorin Irinel Popaprof. gr. I. Nicolae Bivol

Redactor:Irina MunteanuTe hno r e dac tare: Cornel DraghiaCoperta: Alexandru Daq

Descrierea CIP a Bibliotecii Nafionale a RomflnieiPERIANU, MARIUS

Matematici pentru clasa a V-a / Marius Perianu, Citilin Stinici, $tefanSmdrindoiu. - Bucurepti : Art Educa{ional' 2018

2 vol-rsBN 978-606-8948-43-0Semestrul 2. - 2018. - ISBN 978-606-8948-42-3

I. Stdnici, CitdlinII. Smirindoiu, $tefan

5l

Tiparul executat la:

*48p'.- sj*d", -a*ro#rnes' i{rer

..

iM@rdm!6hdns.rc!@.$@aiaeutun*.B

Pentru comenzi vd puteli adresaDepartamentului DifuzareC.P. 22, O.P. 84, cod 062650, sector 6, Bucureqtitelefon:021.224.17.650721.213.5',760744.300.870

Toate drepturile asupra acestei lucriri sunt rezeryate Editurii Art Educa{ional.

Nicio parte a acestei lucriri nu poate fi reprodusi' stocatd ori transmisd,

sub nicio formd (electronic, mecanic, fotocopiere, inregistrare sau altfel),fErd acordul prealabil scris al Editurii Art Educafional.

@ Art Educalional, un imprint al Art Klett SRL, 2018

CupnrNSUnltatea 1. Fraclii ordinare

1.1. Fraclii ordinare. Noliuni introductive1 .2. Clasificarea fracliilor ordinare........1,3. Fraclii echivalente1 .4, Amplificarea gi sim plificarea fracliilor. Fraclii ireductibile

Teste de evaluare........Fisd pentru portofoliul individual (A1) ................

1,5. Reprezentarea fracliilor ordinare pe axa numere|or................1 .6. Compararea gi ordonarea fracliilor ordinare........1.7. Adunarea fracliilor ordinare........1 .8. Sciderea frac!iilor ordinare........

Teste de evaluare........Figd pentru portofoliul individual (A2) .................

1.9. lnmullirea frac!iilor ordinare........1, 1 0. impirlirea fracliilor ordinare........1,1 1. Ridicarea la putere a unei fraclii ordinare. Reguli de calcul cu prtJ:.::::.::::.

Teste de evaluare........Fi;d pentru portofoliul individual (A3) ...............

1,12 Fracliilprocente dintr-un numdr hatural sau dintr-o fraclie ordinar5.............

l:,,i!fr:ljiJ",'sl:*xllg*:n*k,;l:: :: :::: :..:.:::..:...::...:::.::' : :: ::

Unltatea 2. Fraclii zecimale2,1. Scrierea fracliilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 sub

form6 zecimalS. Transformarea unei fraclii zecimale, cu unnumir finit de zecimale nenule, intr-o fraclie ordinard.........

2.2. Compararea, ordonarea gi reprezentarea pe axa numerelor a

fracliilor zecimale. Aproximiri...2,3. Adunarea ;i sciderea fracliilor zecimale care au un num5r finit

de zecimale nenu1e...........Teste de evaluare........['igd pentru portofoliul individual (A5) ...............

2,4, lnmullirea fracliilor zecimale care au un numEr finitde zecimale nenu1e...........

2,5. Rldlcarea la putere cu exponent natural a unei fraclii zecimalectre are un numdr finit de zecimale nenuleI este de evaluare........I llll pentru portofoliul individual (A6)................

7

11

16't9

2527293235394345475052555759636567

71

75

798587

939697

89

Page 3: Matematica - Clasa 5. Sem.2 - Marius Perianu, Catalin Stanica - Clasa 5. Sem.2... · Utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operaliilor cu fraclii ordinare sau zecimale 4. Exprimarea

2.6. lmpdrlirea numerelor naturale cu rezultat fractie zecimalS.Periodicitate

2.7. lmparlirea a doui fraclii zecimale2.8. Ordinea efectuirii operaliilor. Aproximiri...

Teste de evaluare........Fi;i pentru portofoliul individual (A7) ................

2.9. Media aritmetici a doud sau mai multe fraclii zecimale finite.........................

2.10. Metode aritmetice pentru rezolvarea problemelor cu fractiiin care intervin ;i unitdli de misurdTeste de evaluare........Figi pentru portofoliul individual (A8) ...............................'.....:...Test - model pentru Evaluarea Na!iona15........:.'....................

2.1 1. Probleme cu caracter aplicativ........2.12. Probleme pentru performanli gcolari gi olimpiade

Unitatea 3. Elemente de geometrie3.1. Punctul. Dreapta. Planul ............

3.2. Semidreapta. Semiplanu 1.....................

3.3. Segmentul de dreapti3.4. Poziliile relative a doui drepte...........3.5. Lungimea unui segment

Teste de evaluare........FigS pentru portofoliul individual (G1) ...............

Test - model pentru Evaluarea Nalionald3.6. Unghiul3.7. Clasificarea un9hiuri1or.......................3.8. Probleme cu caracter aplicativ........3.9. Probleme pentru performanld gcolard;i olimpiade.

Unitatea 4. Unitili de misuri4.1. Unitili de mdsuri pentru lungime. Perimetre. Transformdri ....

4.2. Unitdli de mdsuri pentru arie. Aria pdtratului gi a dreptunghiului.Transformdri

4.3. Uniteli de mdsurd pentru volum. Volumul cubului gi al paralelipipeduluidreptunghic. Transformdri 180

Teste de evaluare........ ......'.."..'..."....... 183

Figi pentru portofoliul individual (G2) ............... '185

Test - model pentru Evaluarea Nalionald .. 187

4.4 Probleme cu caracter aplicativ........ 189

4.5 Probleme pentru performanli gcolard gi olimpiade. 192

Unitatea 5. Subiecte pentru evaluirile finale5.1. Variante de subiecte pentru tezi ................ '197

5.2. Variante de subiecte pentru evaluarea fina|5.............. 2O2

Teste - model pentru Evaluarea Na!ionald...... 206

99't04

108'112

113115

133138't43

145

118120121123't25

128

't48153155"t57

159164167169

173

176

Solulii............. 212

UNITATEA

FnecrrroRDrNARE

Tema 1.1.

Tema 1.2.

Tema 1.3.

Tema 1.4.

Tema 1.5.

Tema 1.6.

Tema 1.7.

Tema 1.8.

Fraclii ordinare. Noliuni introductive

Clasifi calea frac!iilor ordinare

Fraclii echivalente

Amplificarea gi simplificarea fracliilor. Fraclii ired uctibileTeste de evaluareFigi pentru portofoliul individual (A1)

Reprezentarea fracliilor ordinare pe axa numerelor

Compararea gi ordonarea fracliilor ordinare

Adunarea fracliilor ordinare

Sciderea fracliilor ordinareTeste de evaluareFigi pentru portofoliul individual (A2)

Tema 1.9. inmullirea fracliilor ordinare

Tcma 1.1 0.lmpir[irea fracliilor ordinare

Tema 1.11. Ridicarea la putere a uneifraclii ordinare. Reguli de calcul cu puteriTeste de evaluareFi;i pentru portofoliul individual (A3)Test - model pentru Evaluarea Nalionali

Trma 1.12. Fracliilprocente dintr-un numEr natural sau dintr-o fraclie ordinardTeste de evaluareFigi pentru portofoliul individual (A4)Test - model pentru Evaluarea Nalionald

Page 4: Matematica - Clasa 5. Sem.2 - Marius Perianu, Catalin Stanica - Clasa 5. Sem.2... · Utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operaliilor cu fraclii ordinare sau zecimale 4. Exprimarea

Competenle generale gi specifice vizate

1. ldentificarea unor date, mirimi ;i relalii matematice, in contextut in care

acestea apar

'1.2. ldentificarea fracfiilor ordinare sau zecimale in contexte variate

2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ structural,

cuprinse in diverse surse informalionale

2.2. Efectuarea de calcule cu fracliifolosind proprietSliale operaliilor aritmetice

3. Utilizarea conceptelor gi a algoritmilor specificiin diverse contexte

matematice

3'2. Utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operaliilor cu fraclii ordinare sau

zecimale

4. Exprimarea in limbajul specific matematicii a informafiilor, concluziilor

;i demersurilor de rezolvare pentru o situafie dati4.2. Utilizarea limbajului specific fracliilor/procentelor in situalii date

5. Analizarea caracteristicilor matematice ate unei situalii date

5.2. Analizarea unor situalii date in care intervin fraclii pentru a estima

sau pentru a verifica validitatea unor calcule

6. Modelarea matematici a unei situaliidate, prin integrarea achiziliilor

din diferite domenii

6.2. Reprezentarea matematicd, folosind fracfiile, a unei situalii date, in

context intradisciplinar gi interdisciplinar (geografie, fizicd, economie etc.)

Tema % . -$

Fraclii ordinare. Noliuni introductive

O parte dintr-un intreg, imparlit in pdrli egale, se mmeqte unitate fraclionard'.lxemple. Partea coloratb din urmitoarele figuri rcprezintd:

o doime sau o jumdtate sau unu pe doi; ser".i" ] .

2

o treime sau unu pe trei; ser"ri" ] .a

o pdtrime sa;u un sfert sau unu pe patru; se scrie

Una sau mai multe unitd,ti fraclionare se numeqte fracyie. Forma genetald a

tiactiei este { , unde e, b sunt numere naturale qi b + 0.'bNumirul 4 se nume$te numdrdtor qi aratd cdte unitili fraclionare s-au luat;

numdrul D se numeqte numitor qi aratd in cdte pdrli egale a fost impdrlit intregul;linia orizontali (sau oblicd ) se nume$te linie defraclie.

Fraclia este o pereche de numere naturale, a qi b, scisd sub forma I sau a/b, b + 0'"bExemple. Partea colorati din urmdtoarele figuri reprezintdl.

3 ..:- citim trei pdtrimi salu trei suprq patru sau trei pe patru.

naffi 1

4

.LJL

d) o freime;e) o sutime;

J) trei optimi;

=I

rg

lo(!gUr(I<,zul

=7

O A ! citimpatru treimi saa patru supra trei saupatru pe trei.

1. Scrieli sub form[ de fraclie:a) o pdtrime;D) o qesime;c) o zecime;

2. Citili urmitoarele fraclii:

_rl !1r I r 1 I-' 5' 7' g' rr' 40' lg ' 17' loooooo'

g) o miime;ft,) o milionime;r,) doud cincimi.

Page 5: Matematica - Clasa 5. Sem.2 - Marius Perianu, Catalin Stanica - Clasa 5. Sem.2... · Utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operaliilor cu fraclii ordinare sau zecimale 4. Exprimarea

-_ 2 3 5 7 9 3 2 2 l0 t6 24 t5 t3 t2hl _ _'' 7'5'4'B'g'4'6'g'15'23'lo' g' g' '7

3. Reprezentali prin desene urmdtoarele fraclii: !-?-!-?-1-1' 3'4's'2'4'24. Scrieli sub formi de fracfie:

Rezolvare. a,) trei noimi ,. ,.ri. ] .9

6. Desenali un pdtrat cu latura de 3 cm. Colorali cu rogu I O* "t

gi cu verde ] ain "f.:3

7. Desenali un dreptunghi cu dimensiunile de 6 cm qi 4 cm. Colorali din acest

dreptunghifracliile !-1-7 - 3.1.3' 6'24'12'2'

8. Scrieli in tabelul de mai jos fraclia reprezentatd" de partea haqurati din desenca in exemplul de la d):

f66zr(Er(Et^cGo

VT

r(Izr(IA

='(!r(!U

:)zsOEt!r5(5

8

.M(W

@#w_/

ffiffi@

a)

b)

c)

d)

e)

J)

a) treinoimi;b) cnci qesimi;c) qapte pdtrimi;

5. Reprezentaf;, in

urmitor:

d) optzecimi;e) patru cincimi;/) qase pdtrimi;

desene diferite, fradile +,?,+,+,1,?,9,92 2 4 4 4' 8 8 8

c)

h)

.i)

k)

m)

fizura a b c d e f e h I k I m

ftaclia ?8

g) cinci cincimi;h) treizeci qi qapte de sutimi;i) patru optimi.

intregul

J. J.7rz\

9. citili urmdtoarele fraclii: t,+,+,:,*, 9 -48 .103 .

83. o "2* -'"r"' 6' 4'12'7' 42'16'50'207'96' b'5y'

10. Folosind cdte doud dintre numerele 3,5,7, scrieli toate fracliile posibile.

1 1. Folosind cdte doud dintre numerele 6,4,10, scriefi toate fracliile posibile.

12. Scrieli toate fracliile de forma ! , unde a qi b sunt numere naturale mai micib'

decdt 6 qi mai mari decAt 3.

13. Scrieli toate fracliile de forma {, unde a qi b sunt numere naturale primeb'

distincte cuprinse intre 10 gi 20.Rezolvare. Numerele prime cuprinse intre l0 9i 20 sunt: ll, 13,17 9i 19. Fracliile care

sepotscrie cuacestenumere r"",, |,j,|, t'- t'. 13

.17 .17 .17 .19 19 19"*"' t3' l7' 19' ll' 17' lg' ll' 13' lg' ll' 13' 17'

14. Scrieli toate fracliile de forma f , ,ntd" a si b sunt numere naturale primeb'

diferite cuprinse intre 20 qi 40.

t------f-----F-----#ffi

,/M$2

F---r----M

tttrffi***Tffi-NT-r-ffir-lffiHffittt

15. Scrieli in tabelul de mai jos fracfia reprezentatd de partea haquratd din desen,

ca in exemplul ft): ffiAeffia)ffiw"ffiryry-l 'ffi- ffi-\c,ffi nwwd)H

ffile)ffi ilffi

nw k,ffifisura a b c d e f a h k

frac{iaJ

6

T(E

*(E(lJ

gUr(TJ

Et!

=9

Page 6: Matematica - Clasa 5. Sem.2 - Marius Perianu, Catalin Stanica - Clasa 5. Sem.2... · Utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operaliilor cu fraclii ordinare sau zecimale 4. Exprimarea

"Wri

f6oz'<c,

=1Ac6(u

Vt

,<gzti.g)(g

,(oU

:)zsOEltto.f(g

=10

16. Scrie{i toate fracliile care indeplinesc, simultan, condifiile:. numdrdtorul este o ciftdparl, nenul6;. numitorul este o cifrd cu cel pulin 3 mai mare dec6t numirdtorul.

17. Scrieli toate fracliile de forma $ , unde a este divizor al 12 pi b este divizor alb'lui 35.

18. Scrieli toate fracliile de forma !, unde a gi b sunt numere prime cuprinseb'intre 25 qi 45, iar a < b .

?k**.,2

19. Fie fractia =" . . Determinali numirul natural x, pdlrat perfect, pentru care' 2x+lfrac\ia are numitorul mai mic decdt numdritorul.Rezolvare. Avem2x + | <23 e2x<23 - I e2x<22 1:2e x < 11. Cumx estepdtrat perfect gi :r < 1 l, rezlhd ci.r poate fi 0, l, 4,9.

20. Fie frac\ia UP. Determinati num[ru] natural x, piltratperfect, pentru care'98frac[ia are numitorul mai mare decdt numdrdtorul.

21. Scrieli toate fracliile f unde a este pdtratul unui numdr natural, 6 este cubulD

unui numdr natural qi 0 < a <37, 0< & < 38 .

22. Scrieli toate fracliile care indeplinesc, simultan, condiliile:. numirdtorul este o cifrd imparS;. numitorul este o cifrd par[ nenulS mai mare decdt numdrdtorul cu cel mult 5.

23.Determinali numdrul fracliilor de forma 4+ care au proprietatea cd suma

dintre numdrdtor gi numitor este nao., O"rfJ"l 6

Probleme de;apte stele

24. Determinali numdrul perechilor de fraclii (tt;) astfel inc6t a.d = b.c: 6 .

25. Determinali num[ru] frac]iilor de formaab+bc+ca

26. a) Determinali numdrul fracliilor de forma 4.ab

h) Dinlre fracliile gdsite la punctul anterior, aflali-le pe cele care auproprietatea c5 numdr[torul qi numitorul au cel puJin un divizor comun maimare sau egal cu 2.

Tema S.mClasificarea fractiilor ordinare

Fie a qi b doui numere naturale, cu b +0 . Frac{ia { se nume,ste:'h- echiunitard,dasd a: b (numdrdtorul este egal cu numitorul);- subunitard, dacd a < b (numiritorul este mai mic decdt numitorul);

- supraunitard, dacd a > b (numdrdtorul este mai mare decdt numitorul).

Exemple.

.L/\

1. Completa,ti numdrdtorul sau numitorul lipsd,

6nXro13nnechlunltare: =, =, -[' !' 13' n' ]' 25' lo3'

2. Dali cdte trei exemple de:

a) fr actii echiunitare ;

h) fraclii subunitare cu numdrdtorul 7;

c) frac[ii subunitare cu numitorul 12;

d) fractii supraunitare cu numitorul 10;

e) fraclli supraunitare cu numdrdtorul 20.

astfel incdt sd oblineli fraclii

T(!

(!(t'

TIr((J

=ul

=11

Frac!ii echiunitare Fracfii subunitare Fracfii supraunitare

ffif, ro"*pitrimi)

1

4(o pdtrime)

ffi ffiffitf, {uunt"pdtrimi)

,ffi

WJ

a (tret trelml)

5(trei cincimi)

ffiW ry

3

, (tret dolml)

I tt 23 100 20sg'.l' 23'1oo' 205

7 t4430710' 13' s' 7' 3008

58881003's'6'7' 25

Page 7: Matematica - Clasa 5. Sem.2 - Marius Perianu, Catalin Stanica - Clasa 5. Sem.2... · Utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operaliilor cu fraclii ordinare sau zecimale 4. Exprimarea

3. Scrie{i fracliile echiunitare, fracliile subunitare qi frac{iile supraunitare dinqirul de fraclii:

357 83119 9 14 3190103405,' 6'1'4' s' 12's'ro' 2o'To'gl' n' 504'

4. in urmdtorul qir de fraclii, subliniali-le pe cele supraunitare:t 2 5 5 t7 23 41 70 51 83 99 86 lst'T'j' 6'G' n' 43' 60' 4l' 15 ' lo3' 6g' lo5'

5. in urmdtoarea secvenfd de fracfii, subliniafi cu o linie pe cele subunitare qi cudoud linii pe cele supraunitare:

t 2 4 4 6 4 3 6 7 tl 9 23 54 18 43 72 86 971'4'f i'a' 4' 6' 6's'lo'lo' 15' n'n' $' 7l' g6':D'

6. Aflafi, in fiecare caz, numdrul natural r pentru care fracliile urrnitoare suntechiunitare:,.ra) +;.14e)

-.' x+2'

7. Determinafi, in fiecare caz, valorile num5rului natural x pentru care fracliileurmitoare sunt supraunitare:

il x+|,'7

fi4;x-l

-14ff,. 104o, _.- 2ox+4'

il9;zx

D#

ai, u\f;9. Indicali paku numere naturale care,

0+zx8. Aflali numdrul natural x pentru care fracliile urmitoare sunt subunitare:

4#; 0*puse in locul lui x in fraclia L

,

determini o fraclie subunitari.Rezolvare. FracJia este subunitari daci numdritorul este mai mic decdt numitorul,adicd x < 13. Prin urmare r poate fi unul dintre numerele 0, l,2, ..., 12. Putem luaoricare patru dintre aceste valori; spre exemplu pentru r : 2, x : 5, .r : 8 qi ;r : l1 se

oblin fracliile subunitare i, i, I si It3' t3' 13 ' 13

1O. Ardtali cdfrac\ia g9:y este echiunitard.

ac+cb+ba

11. Pentru c6te numere naturale n frac\ia -9- "r1" supraunitard?' n+l

12. Se considerd fracliile:2 3 3 5 s 3 8 7 6 9 8 8 9 lt 14 t5 23 39 74 103 20s1'r'4'4' 5'7' 6'1' 6'8' 10' 12' g' 13' 14'E' 14' 93' 47' sr' 502'

Selectali dintre acestea:a) ftac]:iile subunitare; b) ftacliile echiunitare; c) fracliile supraunitare.

.4a) -;x u#; *_1aff;

)ooz,<Er(EthcGotct

r(IzUIc

'(o'(!ulzAEulr)'=(!

"t2

.L J-/L JL

13. Care dintre urmdtoarele fraclii sunt subunitar"t :,:, +,+,?,1,2"!',3'4'6'8'8'3'15'

14. Care dintre urmdtoarele fraclii sunt supraun itarc: 1,2,:,:,*,P. L.9l"'*'' 5'3'7' 5'12'lo' sg'go'

15.La cdte dintre frac{iile t,2,:,

-Y,4,9,+,:,.l2 n.bui" si rnodificdmr'-- 31 4'6'13' 53'60'to4'8'14

numirdtorii pentru ca toate si devin6, dupd modificare, fraclii echiunitare?

16. Pentru cdte numere naturale n fraclia'^*=3 .rt" subunitari?'27

17. Determinali numerele naturale n cate vetifrc[ simultan condiliile:

Rezofvare. a*"0, ? es1g supragnitard dacd n +l> 5, adica n> 4 . Fractia '*7 ""t"'20subunitard dacd n+'7 <20,adicdn <13. oblinem 4<n<13,d*rnpoa;ln hravalorile5,

6,7,...,11,12.

18. Determinali numerele naturale n care verifrcd simultan condiliile:

n+ls) ; este fracfie supraunitar5;

n+2a) ; este fracfie subunitard;

D + este fraclie subunitard.

A + este fraclie supraunitard.

19. Folosind ca numitori si numdrdtori oricare doui dintre numerele 3, 5, 6 qi 9,

scrieli toate fracliile:a,) subunitare;

20. Subliniali fracliile subunitare:

D,) supraunitare.

a,) echiunitard; D) subunitari.

348236835016847302as' 4'lB' n' 4' 10'13' 25'i' 40' 47'tzo' so'

21. C6te numere naturale n existd astfel incdt frac{ia -12- ,5 fie supraunitarS?' 2n+3

22. Dati exemplu de o fraclie echiunitar[ care sd aibl la numdr[tor cubul unuinumlr natural, iar la numitor pitratul unui numlr natural.

2t. Determinali numerele naturale nenule a qi b asfel inc6t " !.b "en"echiunitarS.6

ll. Determinali numerele naturale a gi 6 pentru care frac{ia 2o!}! ""1",'12

=I

(!

*(c(!(o

oTJ

=UI

=13

lJ. Determinali numerele naturale a gi b, nu ambele nule, astfel incdt ftaclia

Page 8: Matematica - Clasa 5. Sem.2 - Marius Perianu, Catalin Stanica - Clasa 5. Sem.2... · Utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operaliilor cu fraclii ordinare sau zecimale 4. Exprimarea

i5_ sd fie echiunitard, iat suma a + b sd fie minimd.2a+7b

15Rezolvare. fraclia

;fi* este echiunitard dacd 2a+7b=35. Atunci b este numdr

impar (dacd b ar ft par, swa 2a + 7 b ar fi qi ea numir par, deci nu poate fi egali cu 35).o dacd,b:l +2a+7:35 + a= 14 > a+ b:15;o dacd b:3 >2a+21:35 + a:7 = a+ b: l0;o dacdb: 5 =2a+ 35=35 = a :0 > a + b: 5;o dacd b > 5 atunci frac{ia nu mai este echiunitarl.

Numerele cerute sunt a:0 qi D : 5.

26.Determinafi numerele nafurale a qi b, nu ambele nule, astfel incdt fractia5?

--: * si fie echiunitari gi suma a + b sd fie maxim6.4a+3b

-t.L.L/\ /t /\

27. a) Determinali numerele naturale a, b, c astfel incdt fraclia , 4 , sA fie' a'+b'+c"supraunitar[.

b) Determin{i numerele naturale a, b, c, astfel inc6t fraclia , i . sA fie' q'+b'+ct --

l6ctzGr(

=t/|coq)

ary

Izr(

vt

='(o,(oU

=zs4t!o.5(o

14

echiunitard.

c,) Determinali numerele naturale a qi b pentru care

echiunitarS.

Rezofvare. a) Fraclia datd este supraunitari dacd,4>a'+b2 +c,. Numerele a, b, cpot fi cel mult egale cu 1, dar nu pot fi toate egale cu 0. cazurile se pot organiza intabelul:

fractia ^-j^ - este' a'+h" +4

28. u) Determinali fracfiile subunitare de forma 4 stiind cd numdritorul3y

pdtrat perfect, iar numitorul 3y este numdr prim.

doud dintre numerele a, b, c srtnl egale cu Iqi al treilea este egal cu 0

doud dintre numerele a, b, c sunt egale cu 0gi al treilea este egal cu 1

x6 este

h) Determinali fracliile supraunitare de forma 9, qtiina cd numdrdtorul Gyt

este pdtrat perfect, iar numitorul y7 este numdr prim.

Rezolvare. a) Frac[ia{ este subunitari dac;t x6 . zy, a" unde x = I sau x : 2.3y

Pentru x : l, rezdtd ,A : rc: 42, iar pentru x : 2, numdrul 'e

: Ze nu este pdtrat

perfect. Numerele prime de forma 3y sunt 3l qi 37. Fracf iile cautate sunt f 9i f .3t' 37

29. Andrei scrie pe tabl6 toate fracliile de forma # , ", proprietatea cd al8 .

Bianca scrie toate fracliile de forma f , "., proprietateacd bl8. corina scrie

toate fracliile de forma | ,unde al4 qi bl6.b'

Determinali fracliile echiunitare, fracliile subunitare qi fracliile supraunitare

scrise de fiecare dintre cei trei copii.

30. Fie qirul de fraclii ordinare:7 2 3 4 201s20162017

20n' 2016' 2015' 2gl['"'t 3 ' 2 '-l-'Scrieli fracliile echiunitare, fracfiile subunitare qi frac,tiile supraunitare din

acest gir.

Probleme de gapte stele

31. a,) $tiind cdfraclia 4++ este echiunitard, determin a\i a+b.2ab +123

D/ gtiind cd fraclia ++ este subunitar[, determinal i valoarea maximd2ab+I23

a sumei a +b.

2.22 .23 .....2'o'o32. Arltafi cdftaclia ' - - "'rrl este supraunitard.

(32'uot r"'

33. Fie secvenla de rraclii !t?t1,1t?tlt1t1'?,1,-:!.'t" r'l'z' l'2'3' l'2' 3' 4'""' 24'

a) Determinali numdrul termenilor secvenlei date'

D/ Determinali numdrul fracliilor subunitare din secvenla dat6'

c) Determinali numirul fracliilor supraunitare din secvenla datd.

=I

(6

(!(o

3Ur((J

=UI

=