Calculul ultimei cifre a unei expresii numerice cu puteri, a unui produs.P ătrate perfecte. Cuburi perfecte

1. Determinaţi ultima cifră a numerelor: a = 340 – 240 , b = 12004 + 92003 +82002 +72001 , c=20022003 + 20032004 , d = 19831983 – 777777 , e = 941992 - 491992 +51992 , f = 1421 + 1422 +1423 +…+14220 ,

2. Să se afle ultima cifră a numerelor: a) n2 + 3n + 2 b) 34n + 42n+ 5n b) 24a + 74b+1 +34c+2 +92d+1 , unde a,b,c,d- numere naturale nenule

d) 5n + 6n +7n +n , n număr natural3. Determinaţi ultima cifră a numerelor:

a = 19974n +1 + 19992n +120014 20052n , b = 12n + 23n+1 +34n+2 + 45n+3 , n număr natural. 4. Aflaţi ultima cifră a numărului: 5. Fie a = 6 + 62 +63 + … +61996 şi b = 9 + 92 +93 + … +91997 . Aflaţi ultima cifră a numerelor a+b şi ab.6. Să se determine ultimele 2 cifre ale numărului: A = 24n +24n+2 , n-număr natural. 7. Să se determine ultimele 3 cifre ale numărului: a) A =22000 –21998 + 21995 b) c) C= 7+72 +73 +…+72008

8. Să se determine ultima cifră a numerelor: A = 1+3+32 +33 +…+350 şi B = 4+42 +43 +…+4201

9. Să se determine ultimele 1993 cifre ale numărului .10. Aflaţi ultima cifră a numărului: .11. Fie a,b,c,d numere naturale care împărţite la 5 dau câturi impare consecutive şi resturi nenule diferite. a) Determinaţi ultimele 2008 cifre ale numărului . b) Determinaţi ultimele 2010 cifre ale numărului , când a+b+c+d este minim.12. Să se determine ultima cifră a numărului , unde .13. a) Calculati suma cifrelor numărului . b) Aflaţi ultima cifră a sumei .14. a) Determinaţi numărul natural x, ştiind că: b) Stabiliţi ultima cifră a numărului ,unde x este numărul determinat la punctul a).15. In produsul se elimină toate numerele pare şi cele care au ultima cifră 5.Să se determine ultima cifră a produsului numerelor rămase.16. Fie .Dacă ultima cifră de la unul din numerele este diferită de ultima cifră de la fiecare din celelalte două numere, să se afle ultima cifră a numărului N. 17. Arătaţi că a=1+3+5+…+1999 este pătrat perfect. Generalizare18. Arataţi că dacă un număr poate fi scris ca suma primelor n numere naturale consecutive pare, atunci acel număr nu poate fi pătrat perfect.19. Să se arate că n = 21999 - 21998 - 21997 - 21996 este pătrat perfect.

20. Arătaţi că numărul 1549 15492 3 7B nu este pătrat perfect.

21. Arătaţi că 179n+3+314n+5 nu este pătrat perfect pentru nici un număr natural n.22. Arătaţi că nu este pătrat perfect.23. Fie numarul A=32+34+....+32006.Arătaţi ca 8A+9 este pătrat perfect.24. Fie şi . Stabiliţi dacă numerele A şi B sunt pătrate perfecte.25. Fie x număr natural astfel încât .Arătaţi că x este pătrat perfect.

26. Să se arate că numerele şi nu sunt pătrate perfecte.27. Să se arate că numerele A = 6738 +9243 , B = 534 +517 , C = 2n 3n+1 +2n+1 3n , n număr natural, nu sunt pătrate perfecte.28. Fie numerele naturale Să se arate că numărul nu este pătrat perfect.29. Arătaţi că numerele şi nu pot fi pătrate perfecte.30. a) Scrieţi numărul ca sumă de trei pătrate perfecte nenule. b) Scrieţi numărul ca sumă de trei pătrate perfecte. c) Scrieţi numărul ca sumă de trei pătrate perfecte şi ca o sumă de patru pătrate perfecte, unde n este număr natural.31. Arătaţi că numărul se poate scrie ca sumă de patru cuburi perfecte.32. Demonstraţi că numărul este pătrat perfect oricare ar fi n număr natural. 33. Să se arate că N=10·26n+2 +3·26n+3, n număr natural este atât pătrat perfect cât si cub perfect.34. Fie numerele x şi y cu proprietăţile: şi , n număr natural nenul. Să se demonstreze că x este pătrat perfect, iar y nu este pătrat perfect.

35. Determinaţi numerele naturale impare n cu proprietatea că numărul 2 4 115n n na este pătrat perfect.36. a) Aflaţi astfel încât să fie pătrat perfect. b) Aflaţi astfel încât să fie cub perfect.37. a) Găsiţi toate numerele de forma pentru care numărul este pătrat perfect. b) Determinaţi numerele naturale x şi y astfel încât .38. Să se determine numerele naturale nenule m şi n astfel încât numărul să fie pătrat perfect, unde

39. Fie numărul natural scris în baza 10. Determinaţi valorile cifrei a pentru care x este

pătrat perfect. Poate fi numărul x cubul unui număr natural?

40. Să se arate că numărul este pătrat perfect dacă a este pătrat perfect şi dacă a

este pătrat perfect atunci şi n este pătrat perfect.41. a) Arătaţi că pentru orice numărul nu este pătrat perfect. b) Determinaţi n număr natural nenul pentru care este pătrat perfect.

42. Există n număr natural astfel încât numărul 2 1214n să fie pătrat perfect ?

43. Determinaţi numărul aab în baza 10 , ştiind că atât el cât şi baa sunt pătrate perfecte.44. Arătaţi că pentru orice n număr natural există x şi y pătrate perfecte astfel încât .45. Determinaţi numărul pătratelor perfecte de 5 cifre care au ultimele două cifre egale. 46. Arătaţi că numărul S = 1! + 2! + 3! + … + 2000! + k nu este pătrat perfect, pentru k {0;1;2;3;4;5}.