Cartografie matematica

CONSTANTIN GH. MUNTEANU

CARTOGRAFIE MATEMATICA

MATRIX ROMBucure§ti 2003

©MATRIXROMC.P.16 -162

77500 - BUCURE~TItel. 01.4113617, fax 01.4114280

e-mail: [email protected]

Editura MATRIX ROM este acreditata deCONSILIUL NATIONAL AL CERCETARII ~TIINTIFICE DIN iNVATAMANTUL SUPERIOR

Descrierea CIP a Bibliotecii Na,lonale a RomanieiMUNTEANU, CONSTANTIN

Cartografle matematlca / Constantin Munteanu- Bucurel;>ti: Matrix Rom, 2003Bibliogr.ISBN 973-685-599-6

Constantin Gh. MUNTEANU

CAPITOLUL 1- SUPRAFETE DE REFERINTA SI LINIIDE COORDONATE

.e.fC.1. Elipsoidul de rotatie. Parametri, coordonate geografice (geodezice), 9raze, arce, reieaua de meridiane ~i paralele

Q 2. Sfera terestra. Coordonate geografice ~i coordonate sferice polare. 12Verticaluri ~i almucantarate

CAPITOLUL II - TEORlE GENERAL A PRIVIND PROIECTIILECARTOGRAFICE

~ 4. Ecuaiiile hlirTii 15

5. Disrante elementare pe elipsoid ~iIn planul de proiectie. 16Arce de meridian ~i de paralel

-vi Q. Defortnatii1e distantelor. Elipsa deformatiilor. Scan 19

e¥J.7. Defortnatiile ariilor 23

f2,/I) 8. Defortnatiile unghiurilor 24

9. Relatii diferentiale specifice unor c1ase de proiectii. 25Latitudinea izometricli

~,IO. Clasificarea proieeetiilor. Generalitliti 29

11. Clasificarea proiectii1or cartografice dupa natura elementelor 30care nu se deformeazli

12. Clasificarea proiectiilor dupa latitudinea polului 31

13. Clasificarea proiectiilor dupii aspectul general al retelei normale 31

3

mailto:[email protected]

http://www.matrixrom.ro

..it 14. Nomenclatura trapezelor de pe e1ipsoid, utilizate drept cadrupentru hfu"titopografice

CAPITOLUL III - PROIECTII AZIMUTALE

~ IS. Principii de baza ~i formule generale ale proieqiilor azimutale

A - Proiecfii :u;imutale neperspective

16. Proiectia azimutalii neperspectivii echidistantii pe meridiane

17 Proiectia azimutalii oblicii neperspectivii echivalentii

B - Proiecfii azimutale perspective

18. Principiul proiectiilor azimutale perspective ~i clasificarea lor

19. Formule generale pentru calculul coordonate1orIn proiectiile azimutale perspective

20. Proieqii azimutale perspective ortografice

21. Proiectii azimutale perspective centrale. Ortodroma

W 22. Proiectii azimutale perspective stereografice

eJO 23. Proiectia stereograficii pe planul unic secant Bra~ov

aJt 24. Proiectia stereograficii 1970. Generalitiiti

~ . 25. Calculul coordonatelor stereografice 1970,functie de coordonatele geografice

~ , 26. Transformarea coordonatelor stereografice 1970 incoordonate geografice

-eta, 27. Deformatiile In proiectia stereograficii 1970

e.;; 28. Reducerea direetiilor la planul proiectiei stereografice 1970

29. Verificarea corectiilor de reducere a directiilorla planul de proiectie .

~ 30. Unghiul de convergentii meridiana in proiect1a stereografica 1970

Reducerea distantelor de pe elipsoid,la planul proieetiei stereografice 1970

4

""32. Cadrul ~i nomenclatura hfu"tilortopogtaficein proieetia stereograficii 1970

33. Transformarea coordonatelor stereografice 1970In coordonate plane Gauss sau invers

~ .34. Proiectie stereograficii pe un plan secant local,parale1 cu planul general 1970'

CAPITOLUL IV - PROIECTIA GAUSS (GAUSS-KRUGER) / UI:Mj «;d f'" (1,0) ):dr<r,J ((I r.c:il)

35. Generalitiiti privind proiectia Gauss 105

36. Calculul coordonatelor plane Gauss, functie de coordonatelegeografice de pe elipsoid

37. Transformarea coordonatelor plane Gauss in coordonate geograficepe c1ipsoid

39. Calculul modulului de deformatie ~i al deformatiilor din proiectiaGauss, functie de coordonatele geagrafice

40. Calculul modulului de deforrnatie si al deformatiilor din proieqiaGauss, funqie de coardonatele plane

42. Verificarea coreetiilor de reducere a direqiilor la planul proieetieiGauss, pe triunghiuri

45. Cadrul si nomenclatura foHar de harta topografica, in proiectiaGauss

U1CB - FaCllltatea de Geodezie, Bucuresti

55. Proiectia conidi conforma modificata Lambert-Choleski,folosita, in trecut, in Romania

56. Proiectia pseudoconica echivalenta Bonne~i modul cum a fost aplicata in Romania

59. Determinarea coordonatelor unui punct de pe hartasau raportarea unui punct dat prin coordonate

60. Determinarea unei distante cu ajutorul unei harti

64. Verificarea vizibilitatii dintre doua puncte din teren,folosind 0 harta cu curbe de nivel

ANEXEBffiLIOGRAFIEABREVIERl

Dedic aceasta lucrare panntilor mei,Gheorghe N. Munteanu (1896-1978) ~iElena Gh. Munteanu (n.Vasiliu-Matiu, 1907-1996)

Acesta lucrare se adreseaza, in primul rand, studentilor de la Facultatea de geodezie dinliversitatea Tehnica de Constructii Bucure~ti. Insa, ea poate fi utila ~i altor persoane a carortivitate are tangenta cu proieqiile cartografice, in cadrul unor lucrari de geodezie, to~ografie,togrametrie, cadastru sau in lucrari de alt gen.

Prima editie a acestui curs universitar a aparut in anul 1975, editata la Institutul demstructii Bucure~ti, in forma litografiata, pe 316 pagini, sub titlul " Cartografie matematicaocmire ~i editare", in care partea de intocmire ~i editare a hartilor, precum ~i primele 30 pagini: lucrarii au fost redactate de regretatul coleg de catedra , dr.ing. Virgil Calistru

Actua~~ editie a cursului se refera numai la cartografia matematica. In ansamblu, am piistratuetura partll de cartografie matematidi din prima editie, dar am cautat sa imbunatiitesc lucrarea ,it sub aspectul formei, cat ~i al continutului.

Tinand cont de faptul ca predarea acestui curs incepe, in general, in anul III de studii, ~i dianii anteriori, sau concornitent cu acest curs, studentii dobandesc unele cuno~tinte de geodezie,I condensat la maximum expunerea, in partile care au tangentli cu geodezia elipsoidala, pentru aluce repetarile la un minim strict necesar urmaririi expunerii.

De c~mun acord cu cadrele didactice de la cursurile cu profil geodezic, am tratat in cursul detografie ~l problemele de reduceri la planul de proieqie, atm: cele referitoare la masuriitorilemutale, cat ~i cele referitoare la distantele cie pe elipsoid.

Proiectiile Gauss-Kruger / UTM ~i stereografica 1970 au fost expuse foarte detaliat, astfel:at sa ofer studenplor solupi complete ~i precise, la problemele de bazA, care decurg din utilizareaproduqia geodezica curenta a acestor proiectii cartografice oficiale.

Mu1tumesc tuturor colegilor care, in faza de redactare finala a lucrarii m-au ajutat curerile lor, in probleme de detaliu privind desenarea in Autocad. '

206210214

Autor,Constantin Gh. Munteanu

In cartografia matematica se utilizeaza, 'in mod curent, elipsoidul de rotatie, sfera siplanul, numite generic "suprafete de referintli". Pe ele se definesc sisteme de coordonate silinii de coordonate, cu ajutorul clirora "descriem" 'in mod convenabil pozitiile reciproce dintreacele puncte de pe teren, care intereseaza 'in proeesele tehnologiee de mAsuratori geodezice,in cele de executare a hlirtilor sau de exploatare 'in forma numerica a ~ezultatelormasuratorilor.

Trecem in revista notiuni cu care yom opera frecvent in cursul de cartografie.

Este denumit ~i "elipsoid de referintli". Rezulta din rotirea unei elipse (elipsameridiana), injurul axei sale mici, PP1 , care este axa polilor geografici.

Mlirimea ~i forma unui elipsoid de rotatie pot fi descrise cu ajutorul unor parametrigeometrici, care sunt acei~i cu cei ai elipsei meridiane, ~i anume (fig. I. 1):

semiaxa mare: a = OE = OEI ;semiaxa mica: b = OP = OPI ;turtirea (geometrica) : f = (a - b) / a ; (I - I)prima excentricitate (la patrat) : e2 = (a2 _b2) / a2 ;a doua exeentricitate (Ia patrat) : (e')2 = (a2_b2) / b2 ;raza polarli C = a2/ b .

Mlirimea ~i forma unui elipsoid de rotatie sun. definite, 'in mod curent, prinintermediul a doi parametri geometrici, dintre care, eel putin unu este 0 semiaxa. Deexemplu, sunt date valorile numeriee pentru semiaxa mare ~i pentru turtire (a ~i t).

Orice elipsoid de referinta poartA un nume, prin intermediul cAruia ne putem referi lael. Elipsoizi care au fost sau sunt folositi 'in RomAnia, in lucrliri eartografice (~i geodezice),poarta nume ca : Bessel ( 1841 ), Clarke ( 1880), Hayford ( 1909), Krasovski (1940 ),WGS-84 s.a.

Din anul 1951, 'in RomAnia se folose~e ca elipsoid de referintlioficial, elipsoidulKrasovski (1940), care are urmlitorii parametri geometrici :

semiaxa mare : a =6378245,000 00 m ; (I - 2)semiaxa mica : b = 6 356 863,018 77 Tn;turtirea (geometrica) : f =0,003 352329869 =(1 /298,3) ;prima excentricitate (Ia patrat) : e2 = 0,006 693 421 623 ;a doua exeentricitate (Ia patrat) : (e'i = 0,006 738525415 ;raza palarli C = 6.399 698 ,901 78 m;

9

,........•......"'.~ " .'

i~·

pp\ - axa polilor geografici;EEl - diametru ecuatoriaL

Coordonate geografice (geodezice) pe elipsoid (B,L)Coordonatele geografice de pe elipsoid (B,L) sunt definite cu ajutorul normalei la

elipsoid, In punctul considerat.Latitudinea Beste unghiul facut de normal a la elipsoid , cu planul ecuatorului. In

emisfera nordica, poate lua valori In intervalul [ 0° ; +90°], iar In cea sudica, [ 0° ; _90°]. Peecuator, B= 0°.

Longitudinea L este unghiul diedru racut de planul meridianului care trece prinpunet, cu planul meridianului de origine. Meridianul Greenwich, considerat de obicei cameridian de origine, L = 0", luat i'mpreuna cu opusul sau, L =180°, Impart Piimantul In douaemisfere: cea vesticii, la vest de Greenwich, in care longitudinile sunt negative (paua la-180") ~icea esticii, la est de Greenwich, in care longitudinile sunt pozitive (pana la + 180").

Uneori , semnele plus ~i minus din fata coordonatelor geografice sunt inlocuite prininitialele denumirilor punctelor cardinale, serise eu majuscule: E, W (sau E, V), pentrulongitudini, ~i N, S pentru latitudini. Ele se seriu dupa valorile numeriee.

Astfel, pentru Romania, se poate spune:latitudinea medie este B = 46" N , ( 1-3 )longitudinea medie este L = 25° E. Greenwich.

Releaua de meridiane $i paraleOriciirui sistem de coordonate i se pot at~ ni~te linii de coordonate, caraeterizate

prin aCe'eaca in lungul unei astfel de linii, una din coordonate nu-~i modifica valoarea.Sistemul de coordonate geografice B, L are doua familii de linii de coordonate:

B= constL= const

este familia paralelelor, inclusiv eeuatorul ;este familia meridianelor. (1- 4 )

Paralelele sunt cercuri de raza variabilii, situate in plane paralele cu ecuatorul ~iperpendiculare pe axa polilor. Ecuatorul, B = 0°, este paralelul eel mai lung. Pe masuraapropierii de polii geografici, paralelele se scurteazii, tinzand catre zero.

Meridianele sunt jumatati de elips!, care unesc cei doi poli geografici de pe elipsoid.Orice meridian impreuna cu opusul sau se gasesc in acela~i plan, iar diferenta de longitudinedintre ele este de 180°.

Meridianele ~i paralelele linii de coordonate alesistemului de coordonategeografice - se reprezinta pe harti constituind reteaua cartograficii. Existenta pe harta aacestei retele estede 0 foarte mare importan!i pentru rezolvarea unor probleme de

Constantin Gh. MUi\rrF.A1IV CARTOGRAFIE MA TEMA TICA. . _ urr.B FaCll1UJl6a d~ChadUi •• BuClnVli

cartometne. ~a Joaca, de asemenea, un rol important ~i in Icaracter teoret\c. rezo varea unor probleme cu

PlFig.1-2

Coordonate geografice pe elipsoid

PlFig.1-3

Meridiane si paralelepe elipsoid

Raze de curbura pe elipsoidul de rotatieIn eartografia matematica se utilizeaza frecvent urmatoarele raze de curbura (fig.1A):

* raza de curbura meridiana (M = segmentul Cm):

M = a(l-e2)

W3

* marea normala (N = segmentul Cn): eUlt e!).}eN=~

W* raza medie de curbura a elipsoidului (R, cu centrul de curbura intre m ~i n)

(1-5)

Cry. ) C(~,(1-6)

R=~MN* raza unui paralel (r = segmentul Cc):

B .est~ latitudinea, W se nume~te "vechea functie fundamentala", iar M $i N sunt razelepnnclpale de curburi ale elipsoidului.

De retinut ca, toate cele patru raze de curbura variaza pe elipsoid funetie de latitudine.In tab~l~le elipsoidului de referinti, sunt date ~i valorile razelor de ·cumura. Ele pot

fi calculate pnn mterpolare, folosind ca argument latitudinea B.

In unele situati~ Pamantul se aproximeaza cu 0 sfera, pe care se efectueaza calcule, invederea realizmi hArtilor. In aceasta ipoteza, formulele de calcul au un aspect mai simplu,deoarece suprafata sferei este mai simpla decat a elipsoidului, avand curbura constanta, laorlce latitudine ~i pe orlce direetie. In plus, sfera permite generaliziiri, pe r:are elipsoidul nuIe permite.

Raza sferei se noteaza R, iar valoarea ei numerica trebuie precizata, pentru fiecare

Coordonatele geografice pe sferiiPe sfera, latitudinea ~i longitudinea se definesc cu ajutorul razei care trece prin puncul

considerat.Latitudinea q>este unghiul Iacut de raza care trece prln punct, cu planul ecuatorului.

Poate lua valori in intervalul [ _90°; +90° ]. ca ~i in cazul elipsoidului.Longitudinea A este unghiul diedru dintre planul meridianului care trece prin punet ~i

planul meridianului de origine. Poate lua valori in domeniul [-180°; + 180°].Liniile de coordonate ale sistemului sunt meridianele ~i paralelele de pe sfera

q>= const este familia tuturor paralelelor, inclusiv ecuatorul;A= const este familia meridianelor.

Paralelele de pe sfera au planele paralele, perpendiculare pe axa polilor geografici.Ecuatorul este cel mai lung paralel ~i are raza egala cu R, raza sferei.Raza r a celorlalte paralele descre~te catre polii geografici ~i se poate calcula cu

relatia:r = R cos q> ( 2 - I )

Meridianele de pe sfera sunt semicercuri mari, care unesc polii geografici, trecandprin punctul considerat. Toate meridianelc sunt egale ca lungime ~i au raza egala cu razasferei, R.

Reamintim ea cere mare, pe sfera, este orlcare cere de raza egala eu raza sferei.Un arc de cerc mare, pe 0 sfera, este 0 linie geodeziea, reprezentand drumul cel mai

scurt, pe suprafata sfere~ intre extremitatile arelllui.Orice triunghi geodezic, pe 0 sfera, are ea laturl arce de cercuri marl.Cele spuse despre elipsoid referitor la emisferele Pamantului ~i la originea

longitudinilor sunt valabile si pentru sfera.

Canstantin Ok MUNJEANUI

P1L!ig. 2-1 Coordonate geografice pe stera P1

Fig. 2-2 Coordonata starice pplara A, Z-.J

Verticalurile sunt semicercuri mari care unesc punctele Qo ~i Qo'. Pe un vertical,A = const.

Almucantaratele sunt eercuri mici, de raza varlabila cu distanta zenitala z. Pe una1mucantarat, z = const, iar raza lui este ra = R sin z . (2 _ I )

Fig. 2-3 Retea de verticalurisi almucantarate

Intr~ ~stemul ~e eoordonate .sfe~ce polare ~i sistemul de coordonate geografice dep,e sfera eXIsta analogll, care sunt utile In eawl a~a numitelor "proieetii oblice" ~i aI celortransversale" :

Elementele comparate In sistemul q>,A In sistemul A, z

Coordonatele sferice polare ( A, z )Mai intai se alege, pe sfera, un pol al coordonatelor sferice polare , Qo , a ciirui

pozitie se determina prin coordonatele sale geografiee. Diametral opus este punetul Qo'.Un punet oarecare C , fig.2-2 , se une~te eu polul Qo printr-un arc de cere mare (linie

geodezica).Unghiul dintre arcul QoC ~i meridianul polului Qo se nume~e azimut ~i se noteaza

cu A. Se miisoara in sensul aeelor de eeasomic ~i poate lua valori mtre 0 ~i 360°.Unghiul din eentrul sferei, care subintinde arcul QoC, se nume~te distanta zenitalii

~i poate lua valori intre 0 ~i 180°.. Sistemul de coordonate sferice polare are ca linii de coordonate verticaluri (A= eonst)

~i almucantarate (z = const).

PoliiSemicercuri marl care unese poliiLongitudini - AzimutePara1ele - Almueantarate*

P,P'meridianeA = constparaleleq>= const\jI

Qo,Qo'verticaluriA=constalmucantaratez =constz

Inainte de a fi reprezentate grafic, pe 0 foaie de harta sau pe un plan topografic,punetel~ din teren sunt reprezentate pe un plan, printr-o pereche de valori numerice, carerepr~zinta coordonatele sale plane. Acest plan este denumit "plan de proiecfie".

In canografie, In mod curent, se lucreaza cu coordonate plane polare ~i cu coordonateplane rectangulare.

Coordonatele plane polare se noteaz&. astfel: p (== raza vectoare = distanta de lapunet la origine) ~i 1) ( = unghiul polar, mlisurat In pol, Intre raza vectoare ~i axa polara,respectiv axa Ox ).

Coordonatele plane rectangulare sunt x ~i y. Axa Ox are sensul pozitiv spre nord,iar Oy aresensul pozitiv spre est.

Dacli polul coordonatelor polare coincide cu originea sistemului xOy ~i axa polaracoincide cu axa Ox, (fig. 3-1), atunci coordollatele rectangulare se exprima functie de celepolare, prin relatiile:

x = p cos /)y= p sin /)

Liniile de coordonate ale sistemului xOy sunt reprezentate de obicei pe harpletopografice sub forma unei retele de patrate, numita caroiaj kilometric. EI este alclituit dindoua familii de drepte paralele la axele de coordonate. Se nume~te 'kilometric", pentru cavalorile coordonatei, care nu variaza pe linia respectiva, se exprima In kilometri. Acestevalori se scriu la cadrul hartii ~i permit rezolvarea unor probleme, In care intervincoordonatele reetangulare x,y. De exemplu, se pot determina , pe cale grafica, coordonatelex,y ale unui punet oarecare de pe harta sau poate fi raportat pe harta un punet, dat princoordonatele sale plane.

X

y, Y2 Y3 y.X4

3 X3

2 X2

I XI

+

Constantin Gk MUNTEANU

TEORIE GENERALA PRIVIND PROIECTIILE CARTOGRAFICE

Pr~blema centrala a cartogr~fiei matematice este reprezentarea elipsoidului de rotatiesau a sferel terestre pe un plan, numlt "plan de proieetie".

In principiu, problema este abordata pentru un punct oarecare din domeniul dereprezentat. UneoD acest domeniu cuprinde intregul elipsoid, alteoD numai un continent 0tara sau mai pUTin. '

In planul In care se face reprezentarea, se define~te sistemul de referinta xOy(coordo~tel~ ~eografice ale originii, orientarea axelor de coordonate). '

Pnnclplal, problema se pune astfel: fiind d~t pe elipsoid (sau sfera) un punct, princoo.rdo~atell~ sale geografice (B, L), sa se determme pozitia imaginii sale din planul deprOlecpe, pnn coordonatele rectangulare (x,y), In care:

x=fl(B,L)Y == f2 (B, L)

Relati!.le (4-1) reprezinta forma generalii a ecuapilor hirtH.Funetule fl ~i f2 sunt arbitrare, dar trebuie sa fie continue ~i finite pentru domeniul de

reprezentat.

Dat fiind cara~rul.arbi~rar a.lcelor doua funetii, rezulta ca exista numeroase solutii laproble~a repre~n~1 ehpsOldulUl sau a sferei In planul de proiectie Fiecare solutiereprezmtli 0 ~rOleetle cartografica, avand avantajele ~i dezavantajele sale.

Functle de scopul ~i destinatia h3.I1ii, precum ~i de alte criterii se alege solutiaconsiderata a fi cea roai potrivitA.· '

. :entru a particulariza relatiile (4-1), sunt puse conditii specifice, pe care trebuie sa Iesansfaca reprezenterea pl~li. De ~xemplu, aeestea se pot referi la aspectul general al rete1eicartografice, la alegerea slstemulUJ de axe xOy, la deformapi ~.a.

. Reprezentarea trebuie sa fie biunivocii, astfel InCat, la un punet de pe elipsoid, datpnnt~~ pereche de coordonate B, L, sa corespunda In plan un singur punct, de coordonatex,y, ~I mYers.

. La ,0 di~antli infinit mica, ds, de pe elipsoid, va corespunde In planul de proieetie tot? dlstanta mfimt mica, ds', iar unei ani elementare dT de pe elipsoid, aria elementara dT'.In planul de proieetie. .

~epre~ntarea plana va avea deformatii, care variazli de la un punct la altul alplanulUJ, motlv pentru care vor fi studiate pe domenii infinit mici din jurul unui punet.

5. DISTANTE ELEMENTARE PE ELIPSOID SI IN PLANUL DE PROIECTIE.ARCE DE MERIDIAN SI DE PARALEL

Punctele suprafetei e1ipsoidului de rotape pot fi referite la un sistem de axerectangulare OXYZ, cu originea in centrol elipsoidului, axa OZ pe directia axei polilorgeografici, XOY in planul ecuatorului, iar axa OX la intersectia acestuia cu planulmeridianului de ongine. In acest caz, se utilizeaza urmatoarele ecuatii parametrice aleelipsoidului, functiede coordonateleB,L :

X = X(B,L) = aco~sL

Y = Y(B,L) = acos;inL

Z=Z(B) =a(1-e2)sinBW

Dad pe elipsoid se considera un punet de coordonate X,Y,Z ~i un punct infinitapropiat, de coordonate X+dX, Y+dY, Z+dZ, atunci, pentro distanta elementara ds, care Ieseparlipe suprafataelipsoidului, se poate scrie:

_ (iJX)2 (ay)2 (iJZ)2E- - + - +-aB 8B an

iJX ax aY aYF=-o_+_o_aB aL 8B aL

Expresia (5-2) poarta numele de prima forma fundamentala patraticll a suprafereielipsoidului de rotatie, iar E,F,G sunt coeficientii' a:c'eSteia.Liniilede ·coordonate fiindortogonale, ace~ticoeficienri au semnificatiile :

Sa consideram ~i planul unei proiectii cartografice, in care pozitiile punetelor suntdefinite prin coordonatele rectangulare x,y, care depind d~ coordonatele geografice alepunctului de pe elipsoid, adica :

x = x (B,L)Y =y(B,L)

Intre un punct oarecare, de coordonate x,y ~iun punct infinit apropiat, de coordonatex+dx ~iy + dy, distanta este ds' ~i:

ax axdx= -dB+-dLaB aL

OY oYdy= -dB+-dLaB aL

Dupa ridicarea la patrat a relatiilor (5-7), 'inlocuirea lor in (5-6) ~i grupareaconvenabila a termenilor, se obtine prima forma fundamentala patratica pentru un plande proiectie:

ax ax ay ayf=_o-+-.-8B aL 8B aL

Arce de meridian ,i de paralel pe elipsoidul de rota tiePe elipsoidul de rotape, areele de meridian sunt arce de elipsa.Arcul infinit mie pe un meridian al elipsoidului are expresia:

iar areul de meridian masurat de la ecuator paua la 0 latitudine oarecare, B , se poate calculacuformula:

Sat = (l/pO) a (l_e2){ l+(3/4)e2+(45/64)e4+(350/512)e6+(11 025/16 384)e8} BO-

-(112) a (l_e2){ (3/4)e2+(60/64)e4+(525/512)e6+(l7 640/16 384)e8} sin 2B +

+(1/4) a (1_e2){

-(1/6) a (l-e2){

+( 1/8) a (1_e2){

(l 5/64)e4+(21 0/5 12)e6+( 8820/16 384)e8} sin 4B-

(35/512)e6+( 2520/16 384)e8} sin 6B +

(315/16 384)e8} sin 8B

in care diferenta de longitudine se exprima in radiani.Din tabelele elipsoidului de referinta, se pot extrage, prin interpolare, atat valorile

areelor de meridian, cat $i ale arcelor de parale! Acestea din urma sunt date, de obicei,pentru 0 diferenta de longitudine de un minut.

Arcele de meridian ,i de paralel pe sfera terestrliPe 0 sfera de raza R , toate meridianele sunt semicercuri mari, care unese eei doi poli

geografici (oricare cerc mare de pe 0 sfera are raza egala cu raza sferei respective) $i, prinurmare, un arc infinit mic de pe un meridian al sferei are expresia:

"'(5 -16)

._~

(5 -17):'.

Arcele de meridian $i de paralel, atat cele de pe elipsoidul de rotatie eat $i cele de pesfera, intervin freevent in caleulele de cartografie matematica.

Suprafata elipsoidului nu este desIR$urabilli. De aceea, la reprezentarea acesteia pe unplan, se produc deformatii, care pot afecta distantele, ariile $i unghiurile.

In anumite cazuri, 0 parte din aceste elemente geometrice ale imaginii se potreprezenta fua deformatii.

Dacli proieetia nu deformeaza unghiurile, ea se nume$te conformli; dacli nudeformeaza ariile , se nume$te echivalentli, iar daca nu deformeaza distantele in lungulmeridianelor, se nume$1e echidistantli pe meridiane (sunt $i proieetii echidistante pe altedireetii decat rneridianele).

Studiul deformatiilor constituie 0 latura importanta a cartografiei matematice. Inaintede realizarea unei hArti cu 0 anum ita destinatie, cunoa$terea deformatiilor permitecompararea proieetiilor intre ele, in vederea unei oppuni, iar dupa realizarea hlirtii, cu ocaziautilizarii ei, ne permite sa corectam rezultatele unor masuratori efectuate pe harta.

Deformatiile distantelor din planul de proieetie se studiazli cu ajutorul scarii,consideratli pe un domeniu infinit mic din jurul punetului $i denumita "modul de deformatieliniara".

Modulul de deformatie Uniara va fi notat, in general, cu I! $i este definit prinrelatia:

ds'I!=~ ,

ineare:ds' este 0 distantli infinit mica din planul de proiecpe; iards este distanta infmit mica de pe elipsoid (sfera), care are drept imagine plana ds'.

Interpretarea valorii numerice a lui J.1 :J.1 = I deformatie nulli ;J.1 > I deformatie pozitiva (distanta din plan este mai mare decat eea de pe elipsoid);J.1 < I defonnatie negativa (distanta din plan este mai mica decat cea de pe elipsoid).

Fiecare sistem de proieetie are formule de caleul speeifice, eu care se ealculeaza:nodulul de deformatie liniara.

In literatura de speeialitate pot fi intalnite diverse formule, prin care se exprima, ingeneral, modulul de deformatie liniara. De exempl u :

2 edB2 + 2fdBdL+gdL2

Il = EdB2 + 2FdBdL+GdL2

in care e,f,g sunt eoefieientii primei forme fundamentale patratiee a planului de proieetie, iarE,F,G sunt coeficientii primei forme fundamentale patratiee a elipsoidului.

dBIntrodueand notatia u = - (6-3)

dL

1l2= eu2+2fu+gEu2 +2Fu+G

Considerand eeIe doua punete infinit apropiate ea varfuri ale unui triunghidreptunghic, avand eatetele dSm ~i dSp , unul din unghiurile ascutite ale aeestui triunghi esteazimutul a ~i

dSm MdB Metga= --=-- =_·u

dsp rdL r

ru= - etga

M

2 e 2 f. 2a g . 2Il = --cos a+--sm +--sm aM2 Mr r2

Rezulta ca, in general, intr-un plan de proieetie, modulul de deformatie liniara semodifica atat de la un punet la altul al planului, cat ~i in aeel~i punet, funetie de azimutul aal direetiei considerate.

iar daca se ia azimutul a = 90° , se obtine 0 formula generala a modulului de deformatieliniara n, pe direetia unui paralel:

n= Jgr

Valorile e, g ~iDaca se noteazli

P=~ M2f

Q=~Mr

Elipsa deformatiilorConseeinta a faptului ea modulul de deformatie liniara se modifica funetie de

azimutul direetiei care pome~e din punetul considerat, un cere infinit mic de pe suprafataelipsoidului, sau a sferei terestre, se reprezintli in planul de proiectie printr-o elipsa infinitmica, numita "elipsa deformatiilor" sau "indicatricea lui Tissot".

Direetiile pe care sunt axele eEpsei de deformatie se numese "directii principale"Ele sunt reciproc perpendieulare, atat pe elipsoid, cat ~iin planul de proieetie.

Pe direetiile principale, modulul de deformatie liniara, din punetul eonsiderat, iavalorile extreme: pe direetia axei mici ia valoarea minima, iar pe direqia axei mari lavaloarea maxima.

Daea raza eereului infinit mie de pe elipsoid se considera egala eu unitatea, atuneisemiaxele elipsei de deformape, notate, in general, eu literele a (= semiaxa mare ) ~i b( = serniaxa mica ) sunt egale chiar cu valoarea modulului de deformatie liniara de pedirectiile respective_ Adiea:

Sunt clase importante de proieqii, in care direqiile prineipale coincid cu meridianul,respeetiv cu paralelul care tree prin punet. In aceste situapi, dupa ce se calculeaza modulul dedeformape liniara pe directia meridianului , m , ~i pe direetia paralelului , n , se comparli celedoua valori, apoi cea mai mare se atribuie lui a, iar cea mai mica lui b. Deei :

a = max (rn,n)b= min (m,n)

In situatiile in care direetiile principale nu coincid cu direetia meridianului ~i aparalelului care tree prin punet, serniaxele a ~i b se pot obtine prin rezolvarea urmatoruluisistem de ecuatii:

de deformatieDin (6-2), luand a = 0°, se obtine 0 formula general a a modululuiliniara m, pe direetia unui meridian:

.f;m=-

M

jar unghiul P fAcut de semiaxa mare cu meridianul care trece prin punct, se poate calcula curelatia:

b Ja2 _m2(6-14)tg P = - 2 b2a m -

Deformatiile Iiniare r~lativeSe stie, di'n teoria erorilor de masurare, ca eroarea absolutli a unei distante raportata la

distanta- respeetiva reprezinta eroarea relativa. Aplicand aceasta notiune pentru cazul distanteielementare ds de pe elipsoid, obtinem deformatia relativa D:

ds' -dsD= --=Il-1

ds

In practicli, este mai sugestiv ca aceasta sa fie exprimata fie in procente, fie incm / km, fie in m / km, astfel:

D [%] 100DD [m/km] 1 000 DD [cm/km] = 100000 D

De exemplu, in cazul I! = 1,000 234, rezulta D= + 23,4 cm/km, iar pentru cazul incarel! = 0,999888, se obtine D= - 11,2 cm/km.

Observalie: valoarea lu: D trebuie folosita cu mult! prudent!, deoarece in lungul uneilinii de un kilometru, ea se poate modifica semnificativ.

Locul geometric al punctelor din planul de proieqie, pentru care modulul dedeformatie (respeetiv deformatia) nu-~i modifica valoarea, este 0 izolinie de deformalie("izocol!"). Forma generaHi a acestora, repartizarea lor in teritoriu, precum ~i factorii care 0

pot influenta-, sunt aspecte practice importante.

Scara generalli ~i scara locala pe 0 bartaRaportul nota! de regula pe 0 hart!, sub numele de scarli, este de fapt scara generalli

Ii haqii ~i exprima 0 legatura intre distantele masurate pe harta ~i cele care Ie corespund inplanul de proieetie. Acest raport este constant pe foaia de harta respectiva. ..

Dar, distantele din planul de proieqie sunt deformate fat! de cele de pe ehpsOld, decatre sistemul de proieqie. Prin urmare, scara generalli nu poate exprima totdeau~a, ~usuficienta preeizie , legatura dintre 0 distantli de pe harta ~i corespondenta ei de pe ehpSOld(care este cea mai apropiata de distanta orizontala corespunzatoare pe teren).

In cazul unei foi de harta pe care este reprezentat un teritoriu foarte intins, cum este,de exemplu, 0 tar!' un continent sau chiar intreaga planet!, daca se va i'ncerca sa se masoaredistante pe hart!, cu ajutorul sclirii generale, este posibil ca in anumite situatii, sa se comitlierori egale sau chiar mai mari decat distanta care se dore$ie a fi masuratli! In astfel de situatii'tar putea fi utila scara locala. Aceasta este egaIa cu produsul dintre scara generala ~i modululde deformatie liniara ~i este constantli doar pe izolinia de deformatie respectiva.

Cmstantin Gh MUNTEANu

In proieqiile neechivalente, ariile se deformeaza. Aceste deformatii variaza de la unpunct la altul al planului de proieetie; de aceea se studiaza pe domenii infi~it mici.

Raportul

dT'p=-

dT

poarta numele de modul de deformatie areolara (a ariilor) ~i exprima,scara jntre doll!suprafete elementare :

dT' este 0 arie infinit mica din planul de proiectie ;dT este aria infini~.mica d~ pe eli~soid, care a fost reprezentata in plan.

.. _ Interpre!area valofll numence a 1m p se face ca ~i in cazul modulului de deformatieItmara, comparand-o cu unitatea. .

Sa considerli~, pe eli~soid, un dreptunghi infinit mic, ale clirui laturi sunt eg~le cu unar~ de paralel dsp ~I respectlv cu un arc de meridian ds"" care ies din punctul considerat.Ana sa este dT:

. Repr~zenta~ pe planul de proieetie, acesta va avea ca imagine un paralelogram intinitmlC, ale Carul latun sunt dSp'~i ds",' ~i fac intre ele un unghi i. Aria sa este dT' :

p = ds~ds~ sinidsmdsn '

in care:

m este modulul de deformatie liniara pe direetia meridianului, iarn este modulul de deformatie liniara pe direqia paralelului.In privinta unghiului i , dintre irnaginile meridianului ~i paralelului care tree prin

punct, yom da detalii ulterior.

Relati~ (7~5) este 0 formula general!, valabila pentiu toate proieetiile cartografice.In prOlequle echivalente, prin definitie p = I. ' .

. . In. proieetii~~ conforme, i i~i plistr~ varoai~'- de unghitirept, pe care 0 are pe~hPSOld, lar moduli! de deformatie liniara SUnt independenti de azimut ( m = n = ,,) astfel~~: .~,

UTCB - Facultatea de Geodezie. BllCUresti

In proiectiile neconforme unghiurile figurilor de pe elipsoid ~i ale celor de pe sfera se

deformeazli. . "AUnui azimut a de pe elipsoid, ii va corespunde in plan un unghl 13 , ashel incat :

Mhtg(a)tg f3 =

re+fMtg(a)

Deformatia azimutului este :13 - a (8-2)

Un unghi poate fi considerat ca diferentA a doua azimute ~i atunci deformapa

unghiului este:

Pe elipsoid, meridianul ~i paralelul care tr~c ~rin pune~ul considerat, se inter~e~eazIisub un unghi drept. Imaginile lor din planul de prOleetle se vor mterseeta sub un unghl I.

in care e este deformatia unghiului drept, dintre meridian ~i ~arale~. _ .Se poate obpne 0 expresie a unghiului i, daca se partlcular~zeaza .relat1a (8:1} pentru

a = 90°. Spre a inlatura nedeterminarea produsa de aceasta mloculfe, numaratorul ~inumitorul fraqiei vor fi implil1iti la tg a ~i atunci :

tg 13- Mh (8-5)reetga+fM

. htgl3( oj = tgi = -

CL~ f

ax Ox Oy Oyf=-·-+---aB aL aB aL

a unghiului drept, dintre meridian ~i paralel, avem:

j. I f

tg e =tg (i-90 = -ctg 1= --:- =--tgt h

Deformalia maxima a unui unghiDeformatia maxima a unui unghi 0 yom nota eu 0) , iar deformatia maxima a unei

.. 0)direepl cu -.

2Din orice punct al unei proieetii neconforme, pomesc patru directiid6 deformatie

maxima. Unghiurile formate din aeeste directii au deformatia unghiulara maxima.Exista diferite formule de ealcul al deformatiei maxime a unui unghi. Mai frecvent

sunt folosite urmatoarele:. 0) a-bsm -=--

2 a+b

Proiectii conformeIn proieqiile conforme, figurile infinit miei de pe elipsoid sau de pe sfera se

reprezinta in planul de proieqie prin figuri infinit mici asemenea.Deoareee asemanarea figurilor presupune ,egalitatea unghiurilor, se spune, in mod

curent, ea "proieqiile eonforme nu deformeaza unghiurile"- In particular, ele nu deformeazaunghiurile masurate in reteaua geodeziea, permitand ea masuratorile geodeziee azimutale safie preluerate direct in planul de proiectie.

Intr-o proiectie eonforma, un cere infinit mie de pe elipsoid sau de pe sfera, trebuie sase reprezinte in planul de proieepe tot printr-un cerc intinit mie. In eonseeintli, modulul dedeformape liniara trebuie sa nu depinda de azimut.

Avem relatia general a (6-6):

2 e 2 f '2a g '2Il = --cos a+-·sm +-,sm ex.M2 Mr r2 '

fQ=-

Mr

Pentru a vedea cand anume Il nu depinde de, azimutul ex., prima derivata a acesteiexpresii, in raport cu a, se egaleaza eu zero:

d(J.l2) = -2Psinacosa + 2Qcos2a + 2Rsin a cosa = 0da

Inl . d P Q R cu relatiile lor de mai sus, conditiile (9-3) se pot serie :OcUIn "

f _ . e ~M2 - 0, M2 - r2

sau:e ~ (9-4)

f= U; M2 - r2

Inlocuind coeficientii e, f, g prin expresiile lor, conditiile (9-4) se pot scrie :

Dad din prima ecuatie se scoate i ~i se inlocuie~te valoarea sa in a doua, se obtine

ax . d a-din prima ecuatie se scoate ax ~i se inlocuie~te valoarea sa ino valoare pentru 8L ' lar ac t 8L

a doua, atunci se obtine 0 valoare pentru i.A..doua ecuatie fiind de gradul doi in raport cu derivatele, solutiile vo~ avea ~ate ~~ua

valori, ~are difera n~mai prin semn. DacA se ia combinatia de semne care da valon pozltlve

pentru : ax Oy Ox Oyh=-·---·-aB 8L 8L aE

atunci , in cazul unei reprezentari conforme a elipsoidului de rotatie pe plan, conditiile (9-4),

sau (9-5), se pot exprima in forma:

Oy = +!-. ax8L MaE

26

In cazul reprezentarii conforme a unei sfere, de raza R, pe un plan de proiectie,aceste relatii capata forma:

ax =-co~0'" 8<p

Latitudinea izometricii, q , folosita in proiectii conformeFie 0 suprafatii curba oarecare (S) pe care un punct este determinat prin coordonatele

u, v, cArora Ie corespunde un sistem ortogonal de linii de coordonate curbilinii , u = const ~iv = const.

Daca sistemul de coordonate a fost stabilit in a~a fel incat pentru un arc infinit mic ,ds, de pe suprafata (S) se poate serie relatia :

atunci se spune ca sistemul de coordonate este "izoterm".Pe liniile de coordonate respective, arcele elementare au expresiile:

ds} = L2 du2

ds.z = L2 dv2 ,

eu alte cuvinte, in cazul unui sistem izotenn, liniile de coordonate deseompun suprafata inpatrate infinit mid, atunci cand coordonatele u ~i v cresc, succesiv, cu cantitati infinit miciegale.

Daca sistemul de coordonate u, v de pe suprafata (S) este izotenn, iar pe 0 altasuprafatii oarecare, (SI), se alege un sistem de coordonate 1, W, care de asemenea esteizoterm, atunci, in cazul unei reprezentiiri confonne a suprafetei (S) pe suprafata (Sl), intrecele doua sisteme de coordonate se poate scrie 0 relatie general a de forma:

in care f este simbolul unei functii analitice (care admite derivate succesive) de variabilacomplexa ( u + iv )

Intr-un plan de proieetie, in care sunt folosite coordonatele rectangulare X, y , pentruo distanta infinit mica, se poate scrie :

relatie de forma (9-8), care ne spune ca intr-un plan, coordonatele reetangulare x, yalcAtuiesc un sistem izotenn.

,UTCB ~ FaculJateil de Geodezie. Bucuresti i

Pe elipsoid, pentro 0 distanta infinit mica, ds, Intre doua puncte, de coordonate (B,L),respectiv (B+dB, L+dL), se poate scrie:

Aceasta relatie nu este de forma (9-8), de unde rezulta cl1, pe elipsoidul de rotape,coordonatele geografice (geodezice) B, L nu apaqin unui sistem izoterm. .

In membrul drept al ultimei egalitati, scotfuld fortat In factor, N2 cos 2 B , se obtme:

dq = MdBNcosB

care este de forma (9-8).Rezulta ca , pe elipsoid, latitudinea izometrica q, impreuna cu longitudinea L

formeaza un sistem izoterm de coordonate ~i di, in cazul unei reprezentari conforme aelipsoidului pe un plan de proieqie, se poate scrie relatia genera!!i:

urmand ca fimctia analitica f, de variabila complexa (q + iL ), sa se determine luandu-se in 'considerare ~i alte conditii, suplimentare, puse reprezentarii conforme.

Observatie: in unele proiectii conforme, longitudinea punctului de pe elipsoid se imasoara de la meridianul central, 1-" , al zonei de reprezentat, se noteaza 1= L-Lo , ~i atunci \relapa de mai sus se va scrie in forma: /'

x+ iy= f( q +il) (9-13')i

Proiectii echivalente IIn proieetiile echivalente, prin reprezentarea elipsoidului in planul de proieqie, ariile I

figurilor infinit mid, cat ~i ale celor finite, nu se schimbli. In orice punct din planul de [proiectie. scara ariilor , p, este constantli ~i egalli cu unitatea : I

iar daca termenii din membrol doi se exprima funqie de coeficientii e, f, g, atunci modululde deformatie areolara se exprima in forma:

~ hp=Mr Mr

iar dupa Inlocuirea lui h, rezuIta urmlitoarea relatie care trebuie satisfacuta de catre oricereprezentare echivalenta a elipsoidului pe un plan: .

ax Oy ax Oy-·---·-=MraB OL oL aB

axOy axOy ?

-. - - _. - = R - cosq>oq> oJ.. oJ.. oq>

Clasificarea proieqiilor cartografice faciliteaza studiul acestora.In literatura de specialitate se arata ca este greu sa se faca 0 clasificare satisIacatoare

pentro toate proiectiile cartografice existente, deoarece multe dintre ele fac parte dincategoria proieetiilor conventionale, iar pentro acea.stii categorie metodele de reprezentaresunt atilt de arbitrare, incat este foarte greu sa fie clasate dupa proprietati camune.

. In clasificarea care urmeaza, sunt avute in vedere numai proiectiile care prezintli unlnteres teoretic ~i, mai ales, praetic mai insemnat, pentro inginerii geodezi.

Drept criterii de clasificare, vor fi considerate:- natura elementelor geometrice care nu se deformeaza;- latitudinea polului Qo al sistemului de coordonate sferice polare;

. - aspectul general al re!elei normale, formatli fie din imaginile plane ale meridianelor~1 paralelelor (atunci ciind polul Qo coincide cu unul din poIii geografici ), fie din imaginileplane ale verticalurilor ~i almucantaratelor (atunci cand polul Qo nu coincide cu nici unul dinpolii geografici).

UTCB .- Facultatea de Geodezie, Bucuresti

CLASIFICAREA PROIECTllLOR CARTOGRAFICE DUPA NATURAELEMENTELOR CARE NU SE DEFORMEAZA

Funetie de elementele geometrice care se reprezinta nedeformate, pot fi:_proieetii conforme (autogo~le sau ortomorfe); ,_proieetii echivalente (avtallce ~au ~om~!ografice),_proiectii echidistante pe anumlte dlreetn;- proiectii arbitrare.

Proiectiile conforme sunt acelea in care figurile .;nfinit .~iei .de .P~ suprafataelipsoidului sa~ a sferei se reprezinta in planul de proieetie Penn figun mfimt mlC! as~me7e;. I,In eonsecintli, unghiurile de pe elipsoid nu se deformeaza pnn reprezentarea lor m p anu e

. . I

prOleetl;~ proiectiile eonforme, modulul de deformatie a lungimilor nu depinde de azimutul I

direetiei considerate, astfel ea :. a=b=m=n=l! , (II-I)

de unde rezulta ca elipsa deformatiilor se transfo~a i~tr-un "cer~ al deforma~ii1or".Modulul de deformatie areolara dintr-o prOiectIe conforma are expresla .

Proiectiile conforme satisfac ~i alte :el~~ii d!ferentiale, expuse detali~t in paragraful 9.In proiectiile eonforme, distantele ~I arnIe, In general, se defonneaza. IProiectiile echivalente se caracterizeaza prin aceea ca pastreaza ~nst~t r~portull

dintre ariile din planul de proiectie ~i corespondentele lor de pe suprafata ehpsoldulUi sau asferei. De regula, acest raport este egal cu unitat~. _ .. .'

Spunem ca proiectiile echivalente nu modifiea valoar~ an~lor ?~p~ ehpsOid.Aceasta proprietate este valabila amt pentru suprafete mfimt mlCI, cat ~I pentru cele de

dimensiuni finite. . . .. . .Rezultli ca, in orice punet din planul unel prOlectll echivalente yom avea.

in care a ~i b sunt semiaxele elipsei de deformati~. _Pentru deformatia unghiularli maxima, Q) , dm formula generala

In paragraful 9 sunt date ~i alte relatii, specifice proieetiilor echiva:Iente.In proiectiile echivalente, in general, unghiurile. ~i distantele se deformeaza, lar

masuratorile geodezice ~i topografice nu pot fi prelucrate direct 'in planul de proieetie.

Proiectiile echidistante pe anumite directil se caracterizeaza prin aceea ca, pedirectiile respective, de exemplu pe meridiane (respeetiv pe venicaluri), distantele nu sedeformeaza. Aceastii proprietate se manifesta numai pe direetiile precizate:' ' ..

De exemplu, daca 0 proiectie este echidistanta pe meridiane, atunci, in oriCe punct dinplanul proieetiei respective, va fi satisfacuta relatia:

In proiectiile echidistante, se deformeaza unghiurile, ariile, precum ~i 0 parte dindistante.

Proiectiile arbitrare pot deforma atat unghiurile, cat ~i ariile ~i distantele. Ele pot fifolosite datorita unor alte proprietliti.

Sa presupunem cli lucram in ipoteza "Plimant-sfera", de raza R.In anumite situatii, este neeesar ca pozitia punctelor de pe sfera sa fie arlitata prin

coordonate sferice polare (azimutul A ~i distanta zenitala Z ). Aceste coordonate se masoarain raport cu un punet Qo((jlo, 1..0), numit "polul proiectiei".

Pozitia geograficli a polului proieetiei se alege tiniindu-se cont de 0 serie de criteriicum sunt: forma, intinderea ~i pozitia geografica a teritoriului de reprezentat, tipul deproiectie in care urmeazli sa se execute harta ~i altele.

Funetie de latitudinea polului Qo , proieqiile cartografice se clasificli astfel:- proieqii drepte (normale sau polare), cand (jlo= 900 (Qo in polul geografic) ;- proiectii oblice cand 00 < (jlo< 900

- proiectii transversale (ecuatoriale), cand (jlo= 00 (Qo situat pe eeuator).

CLASIFICAREA PROIECTllLOR CARTOGRAFICE DUPA ASPECTULGENERAL AL RETELEI NORMALE

Fie 0 sferli de raza R , pe care ne alegem, convenabil, polul Qo. Pozitia retelei devertiealuri ~i almucantarate pe sfera, depinde de pozitia polului Qo. Imaginea plana a acesteiretele 0 yom numi refea normalii.

Fig. 13-1

Proiectie azimutala

.. . aza prin aceea ca reprezinta reteaua norrnala1. Proiectii1e azimu~e s~ caract~~urente in centrol cercurilor (fig. 13-1).

b fi rrna de cercuri concentnce ~Idrepte cosu 0 . ncentrice reprezinm paralele, iar drepte1e

In proieqiile azimutale drepte, cercuri1e co

reprezinta meridiane. .. .. . al bi" . "n cele azimutale transversale, cercunle reprezmt!

In proiectiile aZlmut e 0 Ice ~I ~ .almucantarate, iar dreptele re?re~i~ta Ivertl~o~~ie azimutala la alta, dupa cum aceasta este

Razele cereunlor vanaza e a 0

.conforrna, echivalenta etc.

2. Proiectiile ciJiodrice reprezinta re!eaua normal a prin doua familii de drept<:paralele, dreptele unei familii fiind perpendiculare pe dreptele celeilalte familii (fig. 13-2).

La una din familii, distanta dintre dreptele succesive este constanta (daca proiec!iaeste dreapta, se pastreaza distanta dintre imaginile meridianelor).

3. Proiectiile cooice reprezinta paralelele (almucantaratele ) prin arce de cercuriconcentrice, iar meridianele (venicalurile) prin segmente de dreapta care ies din centrularcelor de cerc, Iacand intre ele unghiuri proportionale cu diferen!ele de longitudine (deazimut, dadi proieqia este oblicli sau transversal a) a~a cum se vede in fig.I3-3

4. Proiectiile pseudociJiodrice (drepte) se aseamanli cu proiectiile cilindrice (drepte)prin modul de reprezentare a paralelelor: drepte paralele intre ele ~i perpendiculare peimaginea meridianul mijlociu al zonei de cartografiat, care se reprezintli printr-o dreaptli.

Celelalte meridiane se reprezinm prin linii curbe, simetrice fatli de meridianul mediuDe exemplu, in proiectia pseudocilindrici Sanson (fig. 13-4), meridianele sunt

sinusoide, meridianul mediu, segment de dreapt[, este nedeformat ca lungime (IDo = 1), iarparale1ele, de asemenea, nu sunt deformate ca lungime (n = I).

5. Proieqiile pseudoconice (drepte) se aseamlinli eu cele conice (drepte) numai prinreprezentarea paralelelor, ca arce de cercuri concentrice.

Meridianele se reprezinm prin linii curbe, simetrice fatA de meridianul mijlociu, carese reprezinta printr-o linie dreaptli. Pe aceastli dreapm se aflli ~i centrol arcelor de cerc princare se reprezintli paralele1e.

Printre proiectii1e pseudoconice se numara ~i proiectia Bonne (fig.13-5), care esteechivalenm ~i a fost folosim ~i in tara noastra, pentro hlirti topografice, in urmli euaproximativ un seeo!.

UTCB ""Facu/tatea de Geodezie, Bucuresti

AI'-- E1E I \ 'I

~: ~,

~

Fig.13-4 Proiectia pseudocilindrica Sanson

6. Proiectiile poljconice (drepte), fig. 13-6, reprezimareteaua normal a (de meridiane~iparalele) astfel:

- paralelele, prin arce de cercuri excentrice;- meridianul mediu, printr-o linie dreapta, pe care sunt situate centre~:imaginilor

paralelelor; . ., ""- meridianele celelalte se reprezinta prin curbe simetrice fatA de meridianul mediu.In practica, seintalne~te a~a numita "proiectie policonidi simplli sau americanli", in

care nu se deformeaza lungimile de pe meridianul mediu (Il1o =1) ~i nici cele de pe paralele(n = I).

Fig. 13 - 6Proiectie policonica

7. Proiectiile circulare reprezinta reteaua normala prin arce de cercuri (fig. 13-7).I ~

Proieetia circulara (dreaptli) conformli a lui Lagrange reprezinta meridianul mediu ~iecuatorul prin cite un segment de dreapta, reciproc perpendiculare, iar celelalte meridiane ~iparalele, prin arce de cerc. Atat ecuatorul cat ~i meridianul mediu sunt axe de simetrie ~Ieimaginii plane.

Obs.l0-Proieepile conventionale nu sunt incluse in c1asificareadupa aspectul rete1einonnale,. deoarece, in aceste proiectii, reprezentarea meridianelor ~i paralelelor (reteleinormale)este foarte diferita, tacandu-se dupa reguli, in general, destul de complicate.

Obs.2°-Proiectiile poliedrice "in esenta nu sunt noi". Ele preiau unele elemente debazlide la celelalteproiectii mentionate anterior.

Caracteristic proiectiilor poliedrice este faptul cli suprafara tuestra se divide intrapeze curbilinii, delimitate de arce de meridian ~i de paralel, apoi fiecare trapez sereprezintlipe cate 0 foaie de harta separata, cu un sistem propriu de axe de coordonate.Planele acestor foi de harta, asamblate, ar putea constitui fetele unui poliedru, pe care sereprezintli suprafata terestra. De aici ~i denumirea de "proiectii poliedrice". Foile au 0

anumitlinomenclatura, in fimqie de pozitia geograficlia trapezului ~ide scara hlirtii.Proiectiapoliedrica pentru harta internationalii la scara 1:1 000 000 a fost adoptatli

in anul 1909, la un congres international tinut la Londra. Ea derivli dintr-o proieqiepoliconica.

14. NOMENCLATURA TRAPEZELOR DE PE ELIPSOID, UTILIZATE DREPTCADRU PENTRU HARTl TOPOGRAFICE

In anul 1951, cand Romania a adoptat proieqia Gauss ca proiectie oficialli pentrulucrarile geodezice, topo-fotogrametrice ~i cartografice, s-a hotarat ca hartile topografice ~iplanuriletopograficede bazli sa aiba un cadru de tip geografic, format din imaginile plane aleunor'aree de meridian ~i de paralel, care, pe elipsoidul de rotape, delimiteaza niste trapezecurbilinii,numitein mod curent "trapeze".

Acest tip de cadru a fost mentinut ~idupa adoptarea proiectiei stereografice 1970.Fiecare trapez are 0 anumitli nomenclatura ~i se reprezintli pe 0 foaie de harta

separata.

Nomenclatura unui trapez este corelata cu scara hiirtii la care urmeaza a fireprezentat, cu pbzitia sa geografica, cu coordonatele geografice ale colturilor ~i cunomenclaturiletrapezelor vecine.

In tara noastrli ~i in alte tiiri, sunt folosite urmatoarele scari standard, legate denomenclatura trapezelor: 1:1.000.000, 1:500.000, 1:200.000, 1:100.000, 1:50.000,1:25.000, 1:10.000, 1:5.000, ~i 1:2.000.

In legiitura cu intinderea trapezelor pe latitudine ~i pe longitudine, vom folosinotapile:

AB= diferenra de latitudinedintre arcele de paralel, care delimiteazliun trapez, lasud ~ila nord;

. AI.= diferenta de longitudine dintre arcele de meridian, care delimiteaza untr~p~'la'vest ~ila est, ',. "':Pentru fiecare din sciirilementionate mai inainte, intinderea trapezului pe latitudine ~ic~a'p~longitudinesunt corelate cu scara haqii.

Constantin Gk MUNTEANu

6° , at3}:p~~c:~e:a~:iC;~e ~::tO~O_OOO./ee:t.oidul,de rotatie se duc meridiane din 6° i'nnumeroteazacu cifre arabe, de la lel~:g (~;~14_1:)nwlch. Ele determina fuse de 6°, care se

Intreaga numerotare a fusel f: d Imeridianulde 1800. or se ace e a vest spre est, i'ncepand de langa

. Fusele 1,...30 sunt situate in emisfera vestica,' fu I '.enusfera estica. Meridianul de 180°des arte fusul 1 i lar, se ~ 31,...60 . ~unt situate Insituat in emisfera estica, iar meridianul ~ . h d s tuat In emlsfera vestlca, de fusul 60,31, situat la est. eenwlc esparte fusul 30, situat la vest, de fusul

Pornind de la ecuator spre r .d -d r't - 0' po I, se consl era paralele duse la intervale de 4° A te Iml eaza zone de 4 , care, in emisfera nordicli und . _. •. . ces eade la ecuator spre Polul nord, (intre latitudinile 00~8 e este sltuata ~IR?mama, .se noteazlialfabetului latin: A, BCD E F G II, 8), cu urmatoarele htere majuscule alearata in fig. 14 -lb. ' , , , , , I, J, K, L, M, N, 0, P, Q, R, S, T, U, V, a~acum se

Paralelele ~imeridianel d4°x 6° care urmeaza afire e, use al~acum am arlitat, determina,pe elipsoid, trapeze de

, prezentate a scara I: 1.000.000.

. Nomenclatura unui trapez de reprezentat l' 1000 00 '. _maJuscula,care aratli zona de 40' _ ". 0 se compune dIntr-o htera• In care se gase~,e trapezul urrnat- d - I fu I'Incare este situat. De exemplu: ' a e numaru su UIde 6°,

(14 -1)

. Pentru a afla limitele geografice ale acestui tra ez s· .htera L, din nomenclatura, ~i fi 14 -lb " p. ' .e.poate proceda astfel: folosmdtrapezul la sud (44°) ~i la nord ~48) . ' se p~t stabl1hlatltudlm.leparalelelof care delimiteazaschemeidin fi 14-1 .. ' lar c~ aJ~t~ru numarulul 34, din nomenclatura, ~ialvest (18°) ~ila ~~t(24~. pot fi stablhte longltudlmle meridianelor care delimiteazli trapezuI la

C~noscand coordonatele geografice ale colturilor tra .trapezulUlL.- 34 pe elipsoidul de referinta. ' pezuluI, ~tim exact pozitia

. Cu aJutorul acelor~i scheme, pot fi deduse imediat .ivecme. ' , y nomenclaturile trapezelor

Pentru trapezele de reprezentat Ia scara 1-500000 • , . . .longitudine se reduc la jumatate fi d - - ,mtmderea pe latItudme ~I cea peunui trapez l' I 000 000' at! e cazul precedent, astfel incat, teritoriul din limitele•. . " . se va reprezenta pe 4 trapeze de 2° x 3° I .m mtenorul trapezului 1"1000000 . I' 1 ' a scara 1.500.000, notate,. '. . , pnn Itere e A, B, C, D (fig.14-2)

Nomenclatura Unul trapez de reprezentat la scara" _ ,nomenclaturatrapezului 1'1000000 ' . 1500.000, se formeaza dillA, B, C, sau D (fig.I4-2). D~ex~mPI~~ncare este sltuat, urmatli de una din Iiterele majuscule

(14-2)Pentm un trapez de reprezentat'la scara 1"200000 . . " .

unui trapez 1:1.000.000, atat e Iati . .". - , s: m.lcsore~ de 6 on.mtm~erealatitudine ~i 1°pe longitudine de und::e:1 cat. ~~pe longltudme, aJungandu-se la 40' pereprezentat 1'200 000 sunt Sl.' t 6 I tli ~ m.fi.~are trapez 1:1.000.000,trapezele de

'. --veza e pe co oane ~I6 hnll.

UTCB .. Facultatea de Geodezie. Bucurestl

Cele 36 trapeze 1:200.000 se numeroteaza cu cifre romane de la~ I la ~VI,incepand ell randul de sus ~i astfel iDeal, pe fiecare rand, numerele sa creasca de lastanga la dreapta (fig.14 -2).

Fig. 14 - 1aNumerotarea fuselor de 6 grade

I0NM

i LI

Nomenclatura trapezelor 1:200.000 are la baza nomenclatura trapezelor 1:1.000.000,

de exemplu :

---L-._~~L.._ 44

! K I, 40

1l+36, I •-tn 32I ,-- 28-tT+- 24

-~ ------+-- 20, E I,

~-~-16, D I,I .;... •• 12lei

tt'l- :I A r

0ECUATORUL

Notarea lonelorde 4 grade latitudine

adica, in nomenclatura (14 -3) nu se precizeaza pozitia ocupata.de trapezul XXXVI intrapezul sclirii imediat mai mici, 1:500.000, ci se precizeazA direct pozitia ocupata in cadrultrapezului L - 34 aI sclirii 1:1.000.000. . " "

~I

i24°00' I

48°00'I 1 I ~ 4! 5 I ~7 8 11 I 12 Ii~"'I'" ,'<V V',,,~5VII-LA+'X+ +B+-x/6

37 ,I I I I I I I 48_~_l--..- l I I I I '

L9~II+- ;IV-i-- Jv+ XVI-LXVII X~1I160

f 6~ I : I I : I 1 I I 72

I.: I ! I ! : • i I: 73 i I : I I i I I i~8r-XIX-r- xx, -+-XXI--t-,' XXII--L...,XXIII XXIV

i85! ilL I i I !96r-t..-:~t-! -----r-: ;: 97' I I I I' I 108~XXV-, C -t-XXVII~'-XXVlIJt DiXXX

~09 , i I i I I I I 120

I .".121 i ': I *' It XXXI-, -XXXII±XXXIII-: -XXXI XXXVI 133 , 134 [ 135 1136 : 137 I 138 I, 139 ! 140 141 I 142

L-34(Scara 1:1 000 000 )

132VI

143 144

Fig. 14-2. Notare trapezelor scmlor 1:500.000, 1:200.000, ~i 1:100.000,in cadrul unui trapez aI scllrii 1:1.000.000

LiB = 20'M.= 30'

In fiecare trapez 1:200.000 sunt situate 4 trapeze de reprezentat 1:100.000.Fiecare trapez 1:1.000.000 contine 144 trapeze de reprezentat 1:100.000 (12linii x 12

coloane), numerotate cu cifre arabe, de la 11a 144 (fig. 14 -2).Nomenclatura unui trapez 1:100.000 se formeazA direct din nomenclatura trapezului

1:1.000.000 in care este situat, urrnata de un numar care-i precizeaza pozitia in cadrulacestuia. De exemplu, trapezul sclirii 1:100.000, situat incoltul de S.E. al trapezului L-34,are nomenclatura

L - 34 - 144

39

UTeS -Faeultatea de Geodezie. Sueuresti

F' 14-3 Notarea trapezelor searilor 1:50.000, 1:25.000, ~i 1:10.000,19. . 'in eadrul unui trapez al searii 1:100.000

Pentru scara 1: 25.000 se ia:LlB = 5'·.ilL = 7' :30'"

Cele 4 trapeze ale scarii 1:25.000, din cadrul fiecarui trapez al sciirii 1:50.000, senoteaza pe Iinii, incepand de sus ~i de la stanga la dreapta, cu literele minuscule a, b, c, d.

De exemplu, trapezul 1:25.000 situat in coltul de S.E. al trapezului L-~4~144-A arenomenclatura:

iar trapezul 1:25.000 situat tot in cohul de S.E. , dar al trapezului L-34-144-D, arenomenclatura:

Trapezele de reprezentat la scara 1 : 10.000 au :LlB = 2' 30"ilL = 3' 45"

astfel ca, in fiecare trapez al scarii 1:25.000 sunt cuprinse 4 trapeze de reprezentat 1:10.000,numerotate cu cifrele arabe 1,2,3,4 (fig. 14-3).

Nomenclatura unui trapez la scara 1:10.000 se compune din nomenclatura trapezuluila scara 1:25000, in care este situat, la care se adauga unul din numere1e 1,2,3, sau 4, deexemplu:

LlB = l' 15"ilL = l' 52",5

astfel incat fiecare trapez al scarii 1:10.000 contine 4 trapeze ale semi 1:5.000 (fig. 14-5), iarin fiecare trapez 1:100.000 sunt 256 trapeze de reprezentat la scara 1:5.000, ordonate pe 16linii ~i 16 coloane, ca in fig. 14 -4.

Nomenclatura trapezelor 1:5.000 are doua variante ~i anume:

Prima variantii de nomenclatura pentru trapezele 1 : 5.000 (veche ~i foarte putinfolosita in sectorul civil din Romlinia) : cu ajutorul unuia din cele 256 numere (de la 1 la256), se arata pozitia trapezului 1:5.000, direct in interiorul trapezului scarii 1:100.000. Deexemplu, utilizlind acest sistem, trapezele de reprezentat 1:5.000, cuprinse in trapezulL-34-144 (scara 1:100.000) au nomenclaturile (fig.l4-4):

L-34-144-(1 )L-34-144-(2) (14-8)

L-34·144-(256)

41

UTeB - Facultatea de Geodezie, Bucuresli

L-35-144( Scara 1'100000)

32~--

48

64

80

96

A

4 4 Numerotarea celor 256 trapeze 1:5.000 in cadrul unui trapez 1:100.000Fig. 1- .

A doua varianta de notare a trapezelor 1:5.000 (folos~t~ cure?t in sectorul civil)utilizeaza cifrele romane I, II, Ill, ~i IV, pentru a arata pOZJ!JaunUi trapez 1:5.000, Ininteriorul trapezului sclirii 1:10.000 (fig. 14-5).

I II1:5000 1:5000

.-

III IV1:5000 1:5 000

Notarea celor patru trapeze 1:5 000 ,dintr-un trapez 1:10 000

De exemplu, acelea~i trapeze 1:5.000, care in prima varianta de notare aunomenclaturile (14-8), in a doua varianta au nomenclaturile (vezi fig. 14-3 ~i fig. 14-5) :

L-34-144-A-a-I-IL-34-144-A-a-I-II

Aceasta este varianta cea mai folosita in unitatile civile de produetie cartografica dinRomania.

Nomenclatura trapezelor de reprezentat la scara 1:2.000 cuno~e, in Romania, totdoua variante, care difera atat prin prin modul de notare a trapezelor, cat ~iprin intinderea lorgeografica:

- prima varianta (veche): fiecare trapez de reprezentat 1:5.000, contine 9 trapeze dereprezentat 1:2.000, notate cu primele 9 litere minuscule ale alfabetului, incepand cu linia desus ~i mergand totdeauna de la stanga la dreapta, ca in fig. 14-6 a. In aceasta varianta, fiecaretrapez 1:2.000 are:

M3 = 25",0&= 37",5 ,

iar nomenclatura unui trapez al sclirii 1:2.000 (varianta veche) se formeaza din nomenclaturatrapezului 1:5.000 (varianta veche), urmata de una din literele minuscule a, b, c, d, e, f,g, h, i scrisa in interiorul parantezei, de exemplu:

1:5000

a1:2000

d e f1:2000 1:2000 1:2000

9 h1:2000 1:2 000 1:2000

a) sistemul vechi

- a doua varianta (aplicata din anul 1973 $i in prezent) folose~te trapeze care auformatul mai mare:

Ml = 37",50&= 56",25

(in loc de 25",00)(in loc de 37",50) ,

adica, (fig. 14-6 b), in fiecare trapez al sclirii 1:5.000 existli 4 trapeze (in loc de 9 trapeze) dereprezentat la scara 1:2.000. Nomenclatura unui astfel de trapez se formeazli dinnomenclatura trapezului 1:5.000, in care Me situat, urmata de una din cHiele arabe 1,2,3sau· 4, de exemplu:

Clasa proiectiilor azimutale, numite uneori "zenitale", 0 asociem cu 0 retea normalaNomenclatura unei foi de harta (care are un cadru geografic de tipul celui expus reprezentatli prin cercuri concentrice, avand ca centru imaginea polului Qo, ~i r~e care ies

mai sus) se compune din nomenclatura trapezului de pe elipsoid, urJilatli de denumirea celei din acest pol (fig. 15-2).mai importante localitati reprezentatli pe harm respectiva, de exemplu:

In cazul in care pe foaia de hartli nu apare nici 0 localitate, atunci se scrie denumireacelui mai important detaliu topografic, astfel ales incat, sa nu aparli pe mai multe foi de harta.

Dacli detaliul topografic mentionat in nomenclatura hliqii este sectionat de cadru,atunci, cu ajutorul punctelor cardinale, est, vest, sud, nord, se fac precizlirile respective. Deexemplu:

In concIuzie, trebuie retinut eli, atunci cand hartile au drept cadru imaginea unuitrapez de pe elipsoid, (cadru de tip geografic), dimensiunile acestuia sunt variabile de la 0

foaie de hartli la alta, chiar daca ele au aceea~i intindere pe latitudine ~i respectiv pelongitudine, ace~i scara generala ~i acel~i sistem de proieqie. Cadrul de acest tip nu estenici trapez, nici plitrat, nici dreptunghi. EI este un un patrulater oarecare, care se construie~teraportlind prin coordonate rectangulare colturile trapezului ~i (eventual) puncte intermediare.Aceste coordonate se obtin prin transformarea coordonatelor geografice in coordonate plane,in proieqia in care se intocme~te harta (de exemplu in proieqia Gauss sau in proiectiastereograficli 1970).

De~i un cadru de tip geografic se reprezinta mai greu decat un cadru de tip geometric(care este un plitrat sau un dreptunghi cu laturile paralele, respectiv perpendiculare, pe liniilecaroiajului kilometric), el ofera unele avantaje legate de: comoda poziponare geografica ateritoriului reprezentat pe foaia de harta, leglitura cu h8.rti la alte scliri sau in alte sisteme deproieqie, masurarea ariilor necesare cadastrului funciar ~.a.

Amlinunte privind constructia ~i verificare cadrului de tip geografic se gasesc incapitolele referitoare la proiectiile Gauss ~i respectiv stereografieli 1970.

Determinarea pozitiei planului deproiectie, fata de suprafata sferei

De regula, polul se alege in zona centralii a teritoriului de reprezentat, se define~teprin coordonatele sale geografice, iar imaginea sa in planul de proiectie se va lua dreptorigine a sistemelor de coordonate plane, atat polare cat ~i rectangulare.

Daca planul este tangent la sfera, atunci punctul de tangentli este chiar polulproiectiei.

Dad se adoptli un plan secant, acesta este paralel cu planul tangent, iar pozitia sa fatlide polul proiectiei, se precizeazli prin intermediul distantei zenitale a cercului de sectionare(fig. 15-1), sau a latitudinii, daca polul p~oiectiei coincide cu eel geografic.

Functie de latitudinea CJlo a polului Qo, proiectiile azimutale pot fi:- drepte (normale, sau polare) CJlo = 900

- oblice 00 < CJlo < 900

- transversale (ecuatoriale) CJlo = 00

Functie de elementele geometrice care nu se deformeaza, proieqiile azimutale pot fi:- conforme;- echivalente;- echidistante pe anumite directii (de exemplu, pe meridiane);- arbitrare (nu sunt nici conforme, nici echivalente, nici echidistante).

UTCB - Facultatea de Oeodezie, Bucuresti

Un alt criteriu de clasificare a proieetiilor azimutale este utilizarea legilorperspectivei liniare. Din acest pun~. de v~der~, ele pot fi:. ... .

- neperspective, cand nu utlhzeaza legIle perspe.ctlv~l.hmare, .. ..- perspective, cand imaginea plana se obtine pnn utthzarea perspectlvel hma:e: .In proiec\iile azimutale drepte, reteaua nonnala coincide cu reteaua de mendlane ~I

paralele, care se reprezinta astfel: ., • I I .- meridianele, ca drepte concurente 'intr-un punct, care este Imagmea plana.a po u U1

geografic ~i a polului Qo (fig. 15-2); un~hiurile dintre aceste drepte sunt egale cu dlferentelede longitudine dintre meridianele respective; .

- paralelele, ca cercuri concentrice, cu centrul 'in pol; ~az.el.ep al~ a~e~tor. cercunvariazli de la 0 proiectie azimutala la aha, funcpe de caractenstlclle prOlectlel a:?;lmutalerespective. 1_, . , In cazul proiectiilor azimutale oblice ~i al celo~ transversale, reteaua _norma acoincide cu imaginile plane ale verticalurilor (A = const) §!ale almucantaratelor (z - const) .Aspectul gener~1 aI retelei este acela~i, numai ca:, . .

- verticalurile se reprezinta prin drepte concurente m polul Qo sub unghlUn egale cudiferentele dintre azimutele respective de pe sfera; . _

'- almucantaratele se reprezinta prin cercuri concentnce, cu centrul m polul Qo ~IrazepI

Aspectul general al retelei normale

in proiecliile azimutale

CO' ' • Inproieetiile azimutale oblice ~i 'in cele transversale, ~et,eaua de ~eridiane ~i para~ele~~'reprt:zinta prin curbe, care se construiesc prin puncte. Mendlanul medlU (A.o)se reprezmt!p~i~tr-~~ segment de dreapta, care este axa. de simetrie ~i axil x x' pentru coordonatele plane

rectangulare. . I" - I' xtre eDirectiile principale, pe care modulii de. deformape I~ll~raau va on em,

corespund direetiilor retelei normale §i vor fi nOlap: m ( pe mendlan), n ( pe paralel ),respectiv J,J.I( pe vertical), J,J.2(pe a1mucantarat ). . w •

In proiectiile azimutale, punctele din plan (hart!) se detenruna fie pnn coordonateplilne polare, fie prin coordonate plane rectangulare.

,'. Coordonatele plane polare se noteazli (fig. 15-3):8 - unghiul polar;p - raza vectoare.

COllstantin Oil. MUN1'EANU

. .Ca a~. polara, in cazul proiectiilor azimutale drepte se poate considera imagineaon~.I. men~lan (de exemplu, a meridianului de origine sau a celui opus lui). In cazulprOlec~lIl~r az~n:utale oblice ~i al celor transversale, ca axa polara se ia dreapta prin care sereprezmta mendlanul Ao al polului Qo .

. ~istem~l de axe de coordonate rectangulare plane, xOy, se alege astfelincat origineasa comcl~li,cu Imaginea polului proieqiei, iar axa x x' sa coincida cu axa polara.

Tmand cont de aspectul general al retelei normale ~i de modul de definire asistemel?r ~e referinta pentru coordonatele plane, pot fi deduse formule generale, valabilepentru dlfente grupe de proiectii azimutale.

In cazul proieetiilor azimutale drepte, formulele generale alecoordonatelor planepolare sunt:

8=1. (15-1)p=f(<p) ,

In care A.trebuie considerat ca 0 diferentli de longitudine, masuratli de la meridianul luat caaxa polara.

Coordonatele plane rectangulare pot fi calculate funqie de cele plane polare, cuformulele generale:

x = p cos 8y=psin8

Fig. 15 - 3. Sistemul de axe pentrucoordonatele plane, 'in proiectiile azimutale

A Pentru deducerea unor formule generale ale modulilor de deformatie, folosim fig. 15-4,mcare:

B (<p,A.) este un punct oarecare de pe sfera de razli R;B B1 este un arc elementar de meridian, pe sfera;B B2 este un arc elementar de paralel, pe sferli;B', B1', B2' sunt imaginile plane ale punctelor B, BI ,B2 de pe sfera.Pentru modulul de deformape liniara pe meridiane, rezult!:

_ ds'm B'B\, -dp dpm- --=--=-,-- !>llU m=--

dSm BB1 Rd<p Rd\llIn care semnul minus din prima formula se datoreazli faptului ca atunci canddescre~te. Pentru modulul de deformape liniara pe paralele rezultli:

n=ds'p=B'B'2=pd8=£= __ p_dsp BB2 rdA. r Rcos<p

UTCB - Facultatea de Geodene. Bucuresti

~+y

\~.J

P1a) pe sfera

Formula generaHi. a modulului de deformatie areolarll in proiectiile azimutale dreptese deduce din formula generalll :

p = m n sin i ,in care se ia sin i = 1 , pentru cll imaginile plane ale meridianelor sunt perpendiculare peimaginile paralelelor, ~i rezultll :

p=mn (15-5)Pentru calculul deformatiilor unghiulare maxime se utilizeaza formulele generale

cunoscute, valabile pentru toate proiectiile.Formulele generale ale proiectiilor azimutale drepte, pentru reprezentarea sferei de

razll R, sunt:

8="p:= f(<p)x = p cos 8y = p sin 8

-dp dpm= --=--

Rd<p Rd\jl

n=£=-P-r RcoS(jl

p= m n• (J) a-bsm -:=--

2 a+b

Pentru reprezentarea elipsoidului de rotap.e in proieetiile azimutale drepte, formulelegenerale diferll de cele ale sferei, prin expresiile moduli lor de deformatie liniara, adica:

-dp dpm=--=--

MdB Md\jl

n= £.:=-P-r NcosB

in care Beste latitudinea pe elipsoid, iar \jI este colatitudinea.

Constantin Gk MUNIEANU

In cazul proiectiilor azimutale oblice - cazul general al proiectiilor azimutale _succesiunea calculelor esteurmatoarea:

1 - suprafata elipsoidului de rotatie·se reprezinta pe suprafata unei sfere;2 - coordonatele geografice de pe sfera setransforma in coordonate sferice polare'3 - calculul coordonatelor plane polare;. '4 - calculul coordonatelor plane rectangulare" x,y ;5 - calculul deformatiilor.

In cazul proiectiilor azimutale perspective ale unei sfere, calc~lele de la punctele 2 ~i3 nu sunt absolut necesare, dupa cum se va arata ulterior.

In cazul hartilor la scari mici, nici calculele de la punctul 1 nu sunt necesaretotdeauna.

Formulele generale ale proiectiilor azimutale oblice ~i ale celor azimutale transversalesunt analoa~e c~ cele deduse _pentru proiectiile azimutale drepte ~i se obtin direct dinacestea, tacand m (15-6) urmatoarele schimbliri de notatii:

in proiectiiledrepte

in proiectiile oblicesau transversale

A(90° - z)z~l

~2

. Se ob~in astfel urmatoarele formule generale pentru reprezentarea sferei in proiectiiazlmutale obhce sau in proiectii azimutale transversale:

8:= Ap = f(900-z) sau p = F (z)x = P cos 8y=psino

dp~l=--

Rdz

~2=-P-Rsinz

p = ~1 ~2

• (J) a-bSIn-=--

2 a+b

weB - Facultatea de Geodezie, Bucuresli

Concluzii: din formulele (IS - 6) ~i (15 - 8) rezulta ca in proiectiile azi~ut~l~,deformatiile depind numai de depiirtarea punctului considerat, fata ,de polul ~o al prole~tl~l.De aceea, izoliniile deformatiilor (izocolele) se reprezintii ca cercun conce~tnce, eare.cOl~cl~fie cu imaginile paralelelor, fie cu imaginile almu~tar:atel?r de pe sfera. A~sta Justlfic~a1egerea polului proieqiei in zona central a a .tenton~lul ~eAreprezentat ~I recomandaproieqiile azimutale pentru teritoriile care se inscnu aproxlmatlv IUtr-un cere.

In cele ce urmeazii sunt prezentate exemple de proiectii azimutale, lara a se maircpeta la fiecare proieqie proprietatile generale comune, care au fost aralate in acestparag:af.

PROIECTIA AZIMUTALA NEPERSPECTIVA ECHIDISTANTA PEMERIDIANE

Consideram Pamiintul de forma unei sfere de razii R.Pentru deducerea formulelor de ealcul specifice acestei proiectii, avem in vedere ca

reprezentarea trebuie sa fie echidistanta pe meridi~ne, adi~a, i~ o~ice p~~ct al ei, pe liingaconditiile generale puse proiectiilor azimutale, trebute sa satlsfaca ~I condlt1a .

m= I ,care, tinand cont de (15-3), se poate scrie :

m= ~=I (16-1)Rdljl

dp=Rdljlp=RIjI+C

Pentru determinarea constantei de integrare C, avem in vedere ca pentru

IjI= 0 , trebuie sa avem ~i p = 0 , de unde reiese ca :C = 0 (16-3)

Tiniind cont de (16-1), (16-2) ~i (16-3), din (15-6) obpnet,n,. formulele cautate:O=A .p=RIjIx = p cos 0y=psinom = 1 (16-4)

P RIjI IjIn=-=--=--

r Rsinljl sinljlsemiaxele elipsei de deformatie: a = n; b = 1

tg (450 +~) = ~ =,J;;4 Vb

Observam ca, datorita echidistantei de pe meridiane, razele vectoare din proieqie suntegale cu lungimile areelor de meridian (R1jI),masurate de la polul geografic spre ecuator.

In lungul paralelelor ~i pe orice directie care nu se confunda cu un meridian,lungimile se reprezinta eu deformatii pozitive.

Ariile din plan au, de asemenea, deformatii pozitive.Unghiurile care au vilrful in polul proiectiei nu se deformeaza, insa cele care au vilrful

in alte puncte se deformeaza.Deformatille liniare de pe paralele, deformatiile areolare ~i cele unghiulare maxime

depind numai de colatitudine (respectiv de latitudine), astfel ca izocolelecorespunzatoare sereprezinta ca cercuri concentrice, care se confunda cu imaginile plane ale paralelelor.

Elipsele de deformatie sunt orientate cu axa mare pe directia paralelelor.Deformatiile mentionate cresc pe masura ce cre~te departarea fata de pol. De aceea

proiectia este mai avantajoasa pentru zonele polare.

In fig. 16-1 este reprezentata 0 retea de de meridiane ~iparalele in proiectia azimutaladreapta echidistanta pe meridiane.

Retea cie meridiane si paralele

intr-o proiectie azimutala dreaptaechidistanta pe meridiane

Pentru cazurile in care polul proiectiei nu coincide eu polul geografie, se obtinreprezentiiri azimutale obliee sau transversale, eu proprietatea de eehidistanta pe verticaluri.Formulele de caleul pentru aceste cazuri se obtin din (16-4), taeand schimbarile de notapi(15-7).

Proiecpa fiind ol:>liea,palul Qo este situat intre~tor ~i polul geografie.Reteaua normal a, formatii din vertiealuri ~i' alinueantarate, are aspectul deseris in

paragraful 15, in care se aratii ~i alte proprietiiti, valabile pentru toate proiectiile azimutale.

UTCB - Facultatea de Geodene, Bucuresti

Conditia de baza pe care aceasta reprezentare trebuie sA 0 satisfacA, este ca toateariile din plan sAfie nedeformate, adica, in orice punct al planului sa avern :

p = J..LlJ..L2= 1

I 81

i

\ ~+X

~O1

\ \)

i

R ~) +y

\ . \", I

\ ~! /

~.L.--·/

~/Q--/ b) in plan

La) pe sfera ..J

Fig. 17-1. Semnificatia lui p intr-o proieetie azimutalli echivalenta a sferei

Pentru a stabili 0 formula de calcul a razei veetoare P , din plan, avem in vedere casuprafetei calotei BQJ31 (fig. 17-1), care are ca baza un almucantarat definit prin distant

a

zenitala z, ii corespunde 'in plan un cere, a carui arie trebuie sa fie egala cu aria ealotei. Prin

urmare, trebuie satisfAcuta relatia :1tp2=21tRI , (17-1)

in care I este 'in8.1timeacalotei. Rezulta:p2= 2RI (17-2)Pentru a-I exprima pe p ca functie de distanta zenitala z, se folose~te 0 teorernll din

geometrie, conform clireia, mtr-un triunghi dreptunghic, patratul unei catete este egal cuprodusul dintre ipotenuza ~iproieetia catetei respective pe ipotenuza. Astfe~ din triunghiul

B Qo Q rezulta:QoB

2=2RIEgaland (17-2) cu (17-3) obtinem:

~i exprimand segmentul QoB , din triunghiul QBQo, funetie de raza R a sferei terestre ~i de

distanta zenitala z, deducem: __ zp = QoB = 2 Rsin _ (17-5)

2Pentru stabilirea celorlalte formule de calcul, specifice acestei proieetii, se

particularizeazi formulele generale (15-8), tinand cont de conditia p = 1 ~i de expresia lui

p din (17-5),

Constantin Gh. MUNIEANU

zdzdp 2Rcos--

J..LI=--= 22Rdz Rdz

cos~:s; 12

de unde rezulta cli verticalurile se reprezinta cu deformatii liniare 'Pentru modulul de d fc .,. negatIve.obt

ine: ~ ormatle hmara pe almucantarate, din conditia

1 1J..L2=-=--~1J..LJ cos~

2

adica, p~ almuc~ntarate se produc deformatii liniare pozitiveomparand (17-6) cu (17-7) rezulta a r I .

almucantaratului care trece prin punc'tul ~d e Ipse e .de deformatie au axa mare pe directiaconsl erat, decl : .a= 1-t2b=J..LI

Pentru ealculul deformatiilor un h' I . (17-8)general a : . g IUare maxI me, se particularizeaza formula

m a-btg-=--

2 2~a b = I-tl1-t2= I ~i se obtine:

1 z---cos-cos~ 2

tg~=1-t2-J..L1 = 2222

sin 2~= __ 2__

2cos~2

w 1 z. ztg -==-tg-sm-

2 2 2 2

din care rezulta cli unghiurile cu v8rful i I ., .planului de proiectie, deformatiile un hi~l po ul pr~)Jecpel nu se ~eformeaza, insli in restulacest pol. g are maXlme cresc odata cu dep!lrtarea fata de

. Pe~tru toate deformatiile, care de ind n . . • .zerutala), 1Z0coiele se reprezinta prin cercurf um.aJ de coo~do~ta ~fenca z (distantaalmucantaratelor. concentnce, care comcld cu Imaginile plane ale

. In concluzie, pentru reprezentare sferei t d -obhcli (sau transversal a) echivalent- .erestre .e. raza R mtr-o proiectie azimutalaa, neperspectlva, se utIhzeaza formulele:

I5=A

p ==2Rsin~2

WeB Faeu/talea de Geodezie, Bueuresti

fa \'ntr-o proiectie azimutala echivalentaRetea norma(constructie grafica)

x = pcosO = pcosAyc= psin8 = psinAp=l

Z~1 = cos2

1 1II =-=--"'2 Z

~l cos-2

0) 1 z.ztg- = -tg-sm-

2 2 2 2

. . .' ., neral pentru' reprezentarea la scan mici a unor'.'.' 'AceastA prOleqle se aph~ In ge '., ., mijlocul teritoriului de reprezentat.teritom aproximativ circulare, alegand polul prOleqlel In

B _ PROIECTII AZIMUTALE PERSPECTIVE

PRINCIPRJL PROIECTllLOR AZIMUTALE PERSPECTIVE SICLASIFICAREA LOR

proprietatile generale ale proie~tiilor azimutale expuse in paragraful 15 sunt valabile

~i pentru proieetiile azimutale perspective.

Caracteristic proiectiilor azimutale perspective este faptul ca utilizeaza legileperspectivei Iiniare. In legatura cu aceasta se fac urmatoarele precizari:

- Pamantul se considera , in general, sferii de razli R;- planul de proiectie se mai nume§te §i plan tablou;- diametrul care trece prin polul Qo(<Po, A.o), ales aproximativ in centrul teritoriului de

reprezentat, se nume§te diametru principal;- pe diametrul principal sau pe prelungirea acestuia se a1ege un punct de vedere (V),

a dirui distanta falli de centrul sferei se noteazB. cu D;- planul de proiectie (planul tablou) este perpendicular pe diametrul principal, iar

distanta dintre punctul de vedere §i plan se noteaza cu K;- dreptele care pornesc din punctul de vedere §i trec prin puncte de pe sfera, care

urmeaili a fi reprezentate pe plan, se numesc drepte proiectante;- imaginea plana a unui punct B de pe suprefalli terestra este un punct B', in care

dreapta proiectantli a lui B inteapa planul (fig. 18-1).

Clasificarile tacute anterior, dupa pozitia polului Qo §i dupa caracterul deformatiilor,sunt valabile §i pentru aceste proiectii. Se adauga c1asiticarea proiectiilor azimutaleperspective functie de distanta D, dintre punctul de vedere V ~: centrul sferei terestre,astfe!:

- centrale (VI),- interioare (V2),- stereografice (V3),

- exterioare (V4),- ortografice (V5),

D = 0 ; ( = proieqii ortodromice);O<D<R;

D=R;R< D < infinit;

D = infinit.

candclndcandcandcand

In fig.18-2 sunt aratate pozitiile punctului de vedere V in aceste cinci subclase deproiectii azimutale perspective ~i imaginile B1', B2' , .,. , B5' ale aceluia§i punct B de pesuprafata terestrll., utilizand It~gile perspectivei liniare §i considerand planul de proiectietangent. .

De repnut cll.,in proieqiile azimutale perspective, pozitia reciproca dintre punctul devedere V, sfera terestra ~iplanul de proieqie se define~e prin :

- coordonatele geografice <po, A.o •ale polului Qo , prin care trece diarnetrul principal;- distanta D dintre punetul de vedere §i centrul sferei;- distanta K dintre punctul de vedere §i planul de proiectie.

Aceste elemente constituie ni~te parametri care deosebesc intre ele proieqiile azimutaleperspective. Ei intervin in formulele de calcul ale fieclirei proieetii, influentand calitatileimaginii plane.

In cele ce urmeazll., vor fi stabilite formule generale ale proiectiilor azimutaleperspective, in care se reglisesc §i ace§ti parametri,

Fig. 18-1. Semnificatiaparametrilor D ~i K

Fig. 18-2. Imaginile plane B1', .. ,Bs' aleaceluia~i punct de pe sfera, In diverseproieetii azimutale perspective

19. FORMULE GENERALE PENTRU CALCULUL COORDONATELORIN PROIECTIILE AZIMUTALE PERSPECTIVE

Seetionand sfera (R) cu planul vertiealului unui punet oarecare B, rezulta situatia dinfig. 19-1, In care Y este 0 pozitie oarecare pe care 0 are punctul de vedere, pe prelungireadiametrului principul, 0 este imaginea plana a polului proiectiei, iar B' este imaginea plana a

luiB.Segmentul OBI reprezintA raza vectoare p a lui B'; z este distanta zenitala a lui B,

iar M este piciorul perpendicularei coboriitA din B, pe diametrul principaLDin triunghiurile dreptunghice asemenea DB'Y ~i MBY rezult!:

OB' OY-=--MB MY

_p_= KRsinz D+Rcosz

Tinand cont ~i de (15-8), se oh,.'in urmiitoarele formule generale, pentru calcululcoordonatelor plane polare In proieqiile azimutale perspective, funettie de coordonatelesferice polare A ~i z:

o=AKRsinz

p=D+Rcosz

Constantin Gh. MUNrEANUUTCB FaCIIltatea de Geodezie. Bueurt!sti

Pentm coordonatele plane rectangulare funetie de cele polare, obtinem:

x = p cos 8 = KR sin z cos AD +R cosz

y = p sin 8 = KR sin z sin AD+Rcosz

Fig. 19-2. ~oordonate1e plane polare~l cele plane rectangulare.

In scopul exprimlirii eoordonatele rectangulare fu'geografice, vom fnlocui convenabil "1 (. x,y ncpe de coordonatele

PexpreSll e sm z co sA) (sin z sinA) .

entm produsul (sin A) r ' , ~l cos z.tria sferiea: z cos , ap leam formula generala (fig.l9-3 a) din trigonome-

sina cosB=cosb sine-sinb cosc cosA

sin z cos A = cos 'P sin 'Po - sin 'P cos 'Po cos I

sin z cosA = sin <pcos<Po- coS<psin <Pocosl

fn eare s-a notat:

Produsul (sin z sin A) se tr f1 • I' APQoB: ans orma ap lcand teorema sinusurilor in triunghiul sferic

urCB Facultatea de Geodezie, B""urestl

p

~

~~

A ~~j_ Z B

Qo (<p,A)

(<po,Ao)

b) tiunghi sferic format din polul geografic,polul Qo sl punctul B de reprezentat

sin z sin\lfsinl = sinA

1 Plidim formula cosinusului unei laturi, In triunghiul sferic

Pentru termenu cos z aPQoB (fig. 19-3 b) ~i obtinem

cosz == cos'¥ cos '¥O + sin '¥ sin '¥Ocos 1

cosz == sin <Psin <Po+ cos<pcos<Pocos 1

.. . (19-6) formulele (19-3) se pot pune subTinfuld cont de expresllie (19-4), (19-5) ~I ,

forma: . 1)KR(sin <pcos<Po- cos<pSIn<p0 cos

x = D +R(sin <psin<Po+ cos<pcosQlo cosl)

KR eos<psin 1Y= D + R(sin Qlsin Qlo+ coSQlcos<Poeosl)

t . 1, fata de formulele generale (19-3), cli nu nece-Aceste formule generale au avan a{~ in coordonate sferiee polare. .

sitli transformarea coordonatelor g~grafl , 'eetie azimutalli perspectivli a sferel.Formulele (19-7) sunt valabIle pentru once prO! ,

• • A d = 900) formulele (19-7)In cawl proiectiilor azimutale perspectIve drepte can <Po '

caplita. o·fOlll1limai simplli :

- KR eosQlcoslx=------

D +Rsin Ql

KR cos Qlsin Iy=

D+RsinQlin care sistemul de axe de coordonate xOy se alege ca In fig.19-4

A. == 1800

Fig. 19-4. Sistem de axe, pentruproiectii azimutale drepte

r >01 +y

I-A I +1...

A. = 00

Proieetiile azimutale perspective ortografice pot fi drepte, obI ice sau transversale.In oricare din aceste trei cazuri, pUGctul de vedere se gase~te la infinit.

D = infinit (20-1 )Polul Qo(cpo, /...0) este situat In zona centrala a teritoriului.Deoarece dreptele proiectante, care vin de la infinit, sunt paralele cu diametrul

principal, raza veetoare este egaIa cu raza almueantaratului care treee prin punctul dereprezentat, astfel cli :

<5=Ap=Rsinz

Pentru coordonatele reetangulare plane, din fig.20-1 rezultli:x = p eos <5=R (sin z cos A)y = p sin <5= R (sin z sin A)

Dacli exprimam continutul celor doua paranteze functie de coordonatele geografiee,conform eu expresiile (19-4) ~i (19-5), atunci obtinem:

x = R (sin cP cos <Po- cos Ql sin cpocos I)y = R cos Ql sin I (20-3)

unde I = A - 1...0.

Directiile principale eoineid cu verticalurile ~i eu almucantaratele.Pentru modulii de deformatie liniara , J..lI~i J..l2, vom particulariza expresiile lor

generale, date in (15-8), j:inand cont de expresia razei vectoare, din (20-2). Obtinem,

Sistemul de axe xOysi coordonateie plane polare

J.ll= ~= Rcoszdz =coszslRdz Rdz

_ p Rsinzpe almucantarate : !i2 - -- = -- = 1 (20-5)

Rsinz RsinzRezultli cli proieqiile azimutale ortografice oblice I transversale sunt echidistante pe

almucantarate, in timp ce distantele din lungul verticalurilor se reprezinta cu deformatiinegative, care cresc pe masura ee se mare~te distanta fatA de polul proieetiei.

Reteaua normala are aspectul din fig.20-2Elipsele de deformape au axa mare pc directia almucantaratului care treece prin

punct, deei :a = !i2 = 1b = !il = COSz (20-6)

Modulul de deformatie areolarap =: !il J.l2= COSZ , (20- 7)

arata ca, in aceste proieqii, ariile se reprezinta cu deformatii negative, eu atat mai rr:ari, cucat sunt situate mai departe de polul Qo.

Calculul deformatiilor unghiulare maxime se face folosind formula general a:• ill a-b

sm-=-- ,2 a+b

In care lnlocuim semiaxele a ~i b cu (20-6) ~i obtinem:

2sin2~• ill J.l2 - J.lI 1- COSZ 2 2 Z

sm-=--=--=--=tg - (20-8)2 J.l2 + III l+cosz 2COS2~ 2

2din care rezulta cli, singurele unghiuri care nu se deformeaza, in aeeste proiectii, sunt eelccare au varful in polul Q•.

Toate izocolele sunt cercuri concentrice, cu centrul in Qo .In proieepile azimutale ortografice oblice ~i in cele transversale, reteaua normala este

formata din imaginile plane ale verticalurilor ~i ale almucantaratelor. Ea are aspeetul dinfig.20-2, iar reteaua eartograficli se reprezinta astfel:

- In proiect.iile azimutale oblice ortografice atilt meridianele cat ~i paralelele sereprezintli prin elipse (respectiv arce de elipse);

- in proiectii1e azimutale transversale ortografice, toate paralelele se reprezinta prindrepte paralele, iar meridianele prin elipse (respectiv arce de elipsa), cu excePtia meridianului

Fig. 20- 2

Aspectul rete lei normaleintr-o proiectie ortografica

Planurile topografiee ale unor suprafete mi i ( _care nu se sprijina pe reteaua geode' _ .' C .care nu depa~esc "campul topografic")

- . • ZlCa, Cl pe 0 tnangulaf I 1- -. ,reprezentarl In proiectii azimutale ortografice. .Ie oca a, pot fi considerate ea

PROIECTII AZIMUTALE PERSPECTIVE CENTRALE. ORTODROMA

In proiect.iile azimutal .terestre. e perspective centrale, punctul de vedere se afla in centrul sferei

Funqie de pozitia polului Q '''1'ortodromice~ pot. fi drepte, oblice sa~ ;r~:::l;. aZlmutaJe perspective centrale (nurnite ~i

Conslder~d planul de proiectie tangent in olul Q ( '"urmlitoarele valon specifice acestor proieqii: p • <Po ,Ao), parametm D ~I K au

D=OK=R

In cele ce unneaza, se prezintli I . ..Particulariza-nd fi ul cazu prOiectlllor centrale oblice.

orm a generala (19-2):

p= KRsinzD+Rcosz

--------~61•..----~---

UJCB - Facuhatea de Geodale, BflCUresti

"I (21 1) obtinem pentru coordonatele plane polare:cu expresll e -, t ,

5 =; A (21-2)p =R tgz I'd

Coordonatele plane rectangulare pot fi calculate fie funetie de eele polare, fo OSInformulele:

x: = p eos 5 = R tg z cos Ay = p sip 5 = R tg z sin A

Sistemul de axe xOysi coordonateJe plane polare

, d' (197) D=O~iK=R'fie funetie de eoordonatele geografice, cu formule care se obtIn In -.' cu .

R(sin <PcOS<Po- cos<psin <Pocos!)x=sin <psin <Po+ COS<Pcos<Pocos!

R cos<psin IY= sin <psin <Po+ cos<p cos<Pocos I

Formulele modulilor de deformalie liniara pe verticaluri (Ill) ~i pe almucantarate (1l2),tinand cont de expresia razei vectoare (21-2), sunt:

R~dp eos2 z 1 (21-4)

III = Rdz = Rdz cos2 z

pdA R tgz = __112= R sin z dA R sin z cosz

1P = III 112 = OS3 Z

Rezulta ca, polu! Qo este ~ingurul punct in care nu .s.e pr?~uc defor~lii .. In r~s~planului de proieetie, atat distanlele cat ~i ariile au deformalll pozlt1ve, cu atat mat mart,cat punctul este mai departe .de pol. .

Elipsele de deformatle au semlaxele :a=IlJb = 112

Constantin Gk AfUl'vTEANU

- 1 1-.-(--1)

. (j) a - b Ill- 112 cosz' cosz l-coszsm-=--=- __ = .2 a+b 111 +112 _1_(_1_+1) -l+cos~" '.

cosz cosz

2sin2~• (j) 2 2 Z

sm - = --- = tg - (21-8)2 2COS2~ 2

2de t:nde tragem concluzia ca, singurele unghiuri care nu se deformeaza sunt cele cu viirfi.l! I:'.pol.

Prin urmare, proiecpile azimutale perspective centrale deformeaza totul (distante, an:.unghiuri), iar izoliniile deformatiilor sunt cercuri concentrice, cu centrul in polul proiectiei

Aspectuf retelei normaleintr-o proiec1ie ortodromica

Calitatea acestor proiecpi este aceea cll , reprezintii printr-o Iinie dreaptiortodroma (curba de lungime minima, care une~te doua puncte de pe sfera terestra, adicaarcul de cere mare care une~te cele doua punete considerate). Datorita acestei calita\Lproieetiile respective sunt utilizate pentru unele hlirtide navigatie.

Reprezentarea ortodromei ea segment de dreapta rezult! din faptul ea, toate drepteleproiectante care tree prin puncte de pe ortodrom! se aft! in acela~i plan, care interseeteazaplanul de proieetie dupa 0 dreapta..

In proieCliile ortodromice drepte, reteaua normal! coincide cu reteaua eartografica (demeridiane ~i paralele).

In proiectiile azimutale perspective stereografice, punctul de vedere se afla pesuprafata sferei terestre de raza R, diametraI opus polului Qo (<Po, 1..0) al proiectiei.

Funqie de latitudinea polului Qo , proieqiile stereografice pot fi drepte, oblice sautransversale.

Planul de proieqie se ia fie tangent 1n polul Qo , fie secant §i perpendicular pediametrul principal (planul secant paralel cu planul tangent 1n pol).

Imaginea 5tereografica a punctului 6

6'1 in planul tangent

6', in planul5ecant

Intr-o proieqie stereografica pe un plan tangent, parametrii D §i K au valorile :D=RK = 2 R (22-1)

In cazul unui plan secant, 1n proieetiile stereografice oblice §i 1n cele transversale,D=RK = R+ R COS Zk , (22-2)

1n care Zk este distanta zenitala a cercului de sectionare a sferei terestre, de catre planul deproieetie.

In cazul proieqiilor stereografice drepte, pe un plan secant,D=RK = R + R cos '1'" = R + R sin <PIC (22-2')

1n care '1'" este colatitudinea paralelului de seqionare a sfere~ de caire plan.

In cele ce urmeaza, sunt prezentate formule de caIcul pentru proiectii stereograficeoblice, pe un plan tangent. Reteaua normal!\, 1n aceste proiecP~ este formata din imaginileplane ale vertica1urilor (drepte care ies din originea axelor de coordonate, racand 1ntre eleunghiuri egale cu diferentele de azimute de pe sfem) §i ale almucantaratelor (cercuriconcentrice, cu centrul1n originea axelor de coordonate). Ea are aspectul din fig.22-3 a.

Constantin Gh. MUNI'EANV

p= KRsinZD+RcosZ

si K=2R, atunci se obtine :

2R X Rsin Z 2R X 2 sin ~cos~p=---_= 2 2

R(l +cosz) 2Rtg~2cos'~ "

:~~~n~ns~~~formulele de calcul pentru coordonatel/ plane polare stereografice pe un

o=A

p = 2Rtg~2

Sistemul de axe xOy5i coordonatele plane po/are

,

iiII

--L_-=-+y

Coordonatele plane reetangulare , funqie de cele palare, sunt :

x = pcosO = 2Rtg~wsA2

Y = psino = 2Rtg~sin A2

Coordonatele plane reetangulare pot fi I Iafi £: ca cu ate §i 1n functie de coordonatelegeogr ce, loIosind formulele: t

x = 2R(sin <P cos<Po- cos<p sin <Po cos I)I + (sin <P sin <Po + cos<pcos <Po cos I)

y = 2Rcos <p sin 1I + (sin <p sin <Po + cos<pcos<pocos I)

care rezulta din formulele generale (19-7), dacii se ia D=R i K=2RPentru modulii de deformap' §.. .

~articUlariziim formulele generale, tinandeco~~ d:~~siad;::~~~ar:.nghiUlare maxime,

UTCB - Faculratea de Geadezie, Bucuresti

dpIII = Rdz =

1 12R--x-dz

2 z 2cos -2

Rdz , zcos- -

2

z z2Rtg- 2tg-

P _ 2 _ 2 ---112 =-.----.-- Z Z ,z

Rsm z Rsm z 2sin -eos- eos- -2 2 2

Deoarece pe directiile principale modulii de deformatie liniara au ac~ea~! :al?are,• e' dul I de deformatle hmara are

rezulta ca proiectiile stereografice sunt conlo~me, lar mo u ,aceea~i valoare, pe orice directie din punctul c~nslderat.. . .

"Elipsele de deformatie" (transformate m cercun) au semlaxele .a=b=1l

Deformatiile unghiulare sunt nule, deei:00=0

Modulul de deformatie areolara are expresia :

1P = 1l11l2 = -- ~ 1

eos' ~2

Concluzii privind deformatiile din proiectia stereografici pe un plan tangent

Unhiurile nu se de formeaza. - .. d' IIn polul proiectiei (originea sistemului de axe xOy) nu se deformeaza mCI Istante e,

nici ariile. . . .' 1·· ..1In orice punet din plan, care nu coincide cu ongmea ax~lor, atat dlst~t~ e cat ~Iaru e

au deformatii pozitive, eu atat mai mari, eu cat punetul este mal departe de ongme.

Deformatiile, de orice fel, depind numai de dep~e3: p~n~lui fat! ~~ polulproiectiei (originea sistemului. de axe xOy),. de unde rezulta \;a, lzohnule deformatulor auaspectul unor eereuri eoneentnce, cu centrol m polul Qo.

Proiectiile stereografice pe un plan secant ., ..In orice plan secant la sfera, p~ale~ cu p~anul tangent in polul Qo , se obpn trnagtm

asemenea, dar mie~rate, in raport cu Imagmea dm planul tangent... 0

Raportul dintre 0 distant! din planul secant ~i cea corespu~t~~e l~ planul tanoenteste totdeauna subunitar, se nume~e "coeficient de reducere a scam , ~l serve~te pentrutranscalcularea coordonatelor intre cele doui plane. ..' I d:. Cercul dupa care planultaie sfera se reprezinta rara d~formatu. EI poarta nume e e"cere de deformatie nuli" ~i are centrulin originea sistemulul de axe de eoordonate xOy.

CARTOGRAFIE MATEMAJ1CA

In interiorul cercului deformatie nula , se produc d~furmatii negative ale distantelor ~iale ariilor, iar in exteriorul eercului de deformatie nula se produCdefoiiriatii pozltive.

In praetica, prin utilizarea planelor secante, se pot obtine doua efecte importante:1) cu un singur plan secant, pentru ansamblul teritoriului, se poate reduce, pana la

jumatate, valoarea. deformatiei maxime din zona de frontiera a planului tangent;2) pentru unele localitat~ se pot stabili plane secante locale, astfel incat cercul de

deformatie nula sa treaca prin zona respectiva, duclind, pe aceasta cale, la anularea sau lamie~orarea deformatiilor.

De retinut doua proprietiiti ale proieqiilor stereografiee, care vor fi utilizate ulterior,la stabilirea formulei pentru calculul coreepei de reducere a direetiilor la planul de proieetie :

1) cercurile mari care tree 'prin polul Qo al proieetiei (vertiealuri, liniigeodezice) se reprezinta prin segmente de dreapta, care ies din Originea axelor de coordonate;

2) celelalte cercuri de pe sfera terestra se reprezinta;ih proieetiile stere-ografice , tot prin cercuri, respectiv aree de cere [21].

In fig.22-3 este aratat aspectul retelei de meridiane ~i paralele intr-o', proieetiestereografica dreaptii (fig. a) ~i intr-una oblica (fig. b).

Fig.22-3 Retea cartografica intr-o proieqie stereografiea dreapta (a)~ intr-una oblieli (b)

Proieqiile stereografice, fiind cooforme ~i avand izolinii de deformatie in forma decereuri coneentrice, sunt avantajoase pemru reprezentarea la scari mari a teritoriilor care seinscriu aproximativ intr-un cere, cum. este, de exemplu, Romania. Sunt utilizate, deasemenea, pentru reprezentarea zonelor circumpolare.

UTes - Facultaua de Geodezle, Bueuresti

Pentru teritoriul Romaniei, au fost ~i sunt utilizate proieetii de tip stereografic. Elesunt prezentate separat, in mod detaliat.

23. PROIECTIA STEREOGRA!?ICA PE PLANUL UNIC SECANT BRASOV( 1933/1930 )

In anul 1933 a fost publicata legea in baza careia, pentru lucrarile geodezice,topografice, de cadastru etc din Romania, trebuia sA ~e aplice "pr~iectia, stereografic.a peplanul unic secant Bra~ov". Acest eveniment mar,,~eaza mceputul unel_epoci de moder~lz~ein domeniul masuratorilor terestre din tara llOastra unde, la acea data, se foloseau dlfentesisteme de proieetie, iar re~a geodezic.i se cerea, de ase~en~, reracuta. . ,_.

Armata inceptlse sa lucreze in acest sistem de prOiectle, neofiClahzat, mca dm anul1930.

ChiM din denumire ( ...stereografica ...) reiese ca proieetia este conforma, calitate carepermite ~ masuratorile geodezice ~i topografic~ , sprijinite pe re~~aua geodezica, sa poata fiprelucfate direct in planul de proiectie, dupa aphcarea unor corecta de reducere la plan.

Precizarea "pe planul unic secant Bra~ov" arata ca, pentru intreaga tara s-a adoptat unsistem unic de referintii, avand ca pol Qo (denumit uneori "punet central"), origine a axel orde coordonate plane, un punct fictiv, nematerializat in teren, situat la circa 30 km nord-vestde Bra~ov.

Coordonatele geografice ale punctului central sunt:-Iatitudinea <Po = 51° OOcOOcc,OOO Nord-Iongitudinea Ao = 28° 21"38CC,510 Est Greenwich

(= 45° 54' 00',0000)(= 250 23' 32",8772)

Barta Wii, in proiectia stereografica, urma sa se sprijine pe 0 triangulatie noua,pentru care s-a adoptat elipsoidul international Hayford (1910), ai carui parametrigeometrici au valorile:

a = 6 378 388,000 mb= 6 356 911,946 mf= I : 297 = 0,0033670034

e2 = 0,006722 6700e,2= 0,006768 1702

Ca punet astronomic fundamental (pentru "orientarea elipsoidului") s-a luat pilast~1de beton al Observatorului astronomic militar din Bucu~ti, In acest punet, pnnmasuratori astronomice, au fost determinate latitudinea, longitudinea ~i un azimut, dupa cumastfel:

- in anul 1895, din determinarile astronomice tacute de capitanul Rlirnniceanu,au rezultat latitudinea :

- in anul 1900, prin determinari astronomice ale diferentei de longitudinedintre punctul astronomic fundamental ~i Observatorul din Potsdam, a fost determinatliindireet longitudinea punetului fundamental fatli de Greenwich, obtinandu-se :

Latitudinea, 10ngitudinea ~i azimutul, determinate in punetul fundamental, au foS!"transportate" (transmise) la capetele bazei geodezice Bucure~ti (baza Cioroglirla-Militaritprintr-o retea locala de triangulatie, obtinandu-se:

- pentru capul Est al bazei (punctul Militari):

<P = 49° 37c 26cc,180A = 28° 90c 74cc,710 ,

<P = 49° 38c 35cc, 775A = 28° 77c 68cc,962

Sistemul de axe pentru coordonatele plane stereografice a fost ales astfel Incat, poluiQo( <Po, 'Ao) este originea, meridianul Ao reprezinta axa Oy, cu sensul pozitiv spre nord, iar axaOx are sensul pozitiv spre est, ca In fig.23-1.

Axele de coordonatein proiectia stereograficape pia nul unic secant Brasov

Pentru unele utilizliri practice, in scopul de a nu se opera cu coordonate negative, s-adat adevaratelor axe de coordonate 0 translatie de 500 000 m spre vest ~i 500 000 m spresud, astfel ca, pentru teritoriul intregii tlir~ aceste "false coordonate" devin pozitive.

De retinut ca, aceste coordonate care au suferit translatii nu este permis a fi utilizatepentru orice calcu!. De exemplu, nu trebuie utilizate pentru reduceri la planul de proieetie,calculul deformatiilor etc.

Coeficientul de reducere a scarli, de la planul tangent Br~ov la planul unic secanLare valoarea:

Calculul coordonatelor stereografice din planul unic secant Bra~ov, functie decoordonatele geografice. Formulele lui Roussilhe.

Ecuatiile hartii, stabilite pentru proiectiile azimutale perspective stereografice aleunei sfere, nu pot fi aplicate acestei proiectii, deoarece proiecj:ia stereografica pe planul unicsecant Bra~v este "cvasistereograficii" (aproape stereograficii). De aceea, au fost utilizateformulele stabilite de geodezul francez Roussilhe, in anul 1924:

x =a-~+Ala(32 -A2a) -AJaJ(3+A4a(34 -A5aJ(32 -A6a

5 -A7aJ(3J -Aga5(33000

(23-3)

= (1 __ f3_+B a2 +B (13 +B a2(1 +B a2(12 +B a4 +B (15 +B a2(33 +B a2(14y p 3000 1 21-' 3 I-' 4 I-' 5 61-' 7 9 I-'

x,y sunt coordonatele din planul unic secant, exprimate in metri;a = lungimea, in metri, a arcului de pe paralelul punctului de reprezentat, cuprins

intre meridianul polului si meridianul punctului;(3 = lungimea, in metri, a arcului de meridian cuprins intre latitudinea polului ~i

latitudinea punctului.Pentru calculul arcelor de paralel ~i de meridian, au fost intocmite tabele ale

elipsoidului international Hayford.

Coeficientii AI,,,., As ~i BI ,,,., B9 sunt constante ale proiectiei, calculate pentruelipsoidul Hayford ~i pentru polul din tara noastra.

Au fost intocmite formulare pentru calculul coordonatelor, pe care sunt tiparitevalorile logaritmice ale coeficientilor constanti, urmand a se calcula logaritmic, valoareaabsolutll a fiecarui termen din polinoamele respective. Procedeul nu se mai practica astiizi.

DeformatiiIe din proiectia stereografici pe planul unic secant Bra~ovIn aceasta proiectie se deformeaza distantele ~i ariile. ExcePtie fac punctele situate pe

cercul de deformatie nula, a cami raza estero = 233 Ian , (23-4 )

~i alcllrui centro este originea axe10r de coordonate plane. Pentru a se stabili valoarea acesteiraze, s-a considerat ell.,in medie, de la centru pana la frontiera distanta este de 330 km, s-acalculat ca in planul tangent, la aceasta distantA deformatia este de + 67 cm I Ian, ~i s-a puscondij:ia ca planul unic secant sa fie pozitionat in a~ fel, incat la distanta de 330 km fatA depol, deforrnatia de + 67 cm I Ian sa se reduca la jumatate. A rezultat raza de 233 Ian ~icoeficientul de reducere a scani:

c = 0,999 666 67.In planul tangent, folosit frecvent ca suprafata auxiliara, modulul de deformatie

liniara se calculeaza cu formula:p2 X2+y2

m (tg) = 1 + -- = 1+ -- (23-5)4R

o2 4R

o2

iar cel din planul unic secant, cu formula:

Constantin Oil. MUNTF.ANU

fo este raza medie de eurbura a elip'soidului, la latitudinea polului Qo.d c: ~. planul .t~gent, toate deformatllie sunt pozitive. Singurul punet •

elormatll este ongmea axelor de eoordonate. m care nu SUnt

In planul unic secant, idinteriorul cereului de d D . _~~S::t:ed~~O~n kexteri?rul cereuluii de deformat~e nu~a su~t o~~d:a~i~l~o~~~~ed:::a\~

t m, atmg + 65 cm/km Cele mal mar .d D .. .axelor: _ 33,33 cmlkm. . '. I e ormatll negatIve sunt in originea

I~ an:be1e pl.a~e (cel tangent ~i cel secant), deformatiile de ind numai d d _punctultu~ fata de ongl~ea sistemului de axe. Rezulta ea izoliniile ~eformatiilor :u~p::r~concen nce, eu centrulm polul proiectiei. '. t ~un

Modulul de deformattie areol~a este egal eu patratul modulului de deformatie liniara. .

p =m2

Deformatiile ariilorau acela~i semn cu deformatiile distante1or.

• " Deformatii Iiniare relative [em I kIn Im prOIeetla stereografica pe planul unic secant Bra~ov (1933)

========---- -=---=--=~~_.-~.=~===.====----Distanta Deformatia Distant~ Deformatl'a -----==========P• - I [..... Distant~ Deformatiaana a em I km ] pana la [ em I k~ ] •.•• .

P~I~~~=======!OI~~~o ~~~~11;0[cm I km ]

o km -33,33 140 km 210 - 1,3 270km +11,520 -33,3 150 -19,5 280 +14,830 -33,1 160 -17,6 290 +18,340 -32,8 170 -15,6 300 +21,950 -32,4 180 -13,4 310 +25,7

60 -31,8 190 -11,2 320 +29,6-31,1 200 88

70 - , 330 +33,6-30,3 210 6280 - , 340 +37,7-29,4 220 3690 - , 350 +41,9

100 -28,4 230 - 0,8 360 +46,3~~2 D3 00

110 ' 370 +50,8120 -25,9 240 + 2,1 380 +55,4130 Ian -24,5 250 + 5,1 390 +60,1

-22,9 260 km + 8,2 400 km +65,0=-----=== -.---======-- ----------

UFCB - Facultalea de Geodez;e, Bucuresti

Aceasta curba faee cu coarda ei (fig.23-2) unghiurile mici, 012 ~i 021 ,numite"corectii de reducere a directiiJor la planul de proiectie" sau "corectii de reducere a

directiilor la coarda". . .. Cele doul! corectii, de semne contrare, sunt egale, In valoare absoluta, cu Jumatate dm

. exeesul sferic al triunghiului format din punetul de statie, punetul vizat ~i originea axelor de

coordonate plane.Formula generala pentru calculul exeesului sferie este:

S1:>= R2 '

in care I: este exeesul sfcric 1'nr>tdiani, S este aria triunghiului sferic, iar R este raza sferei.

Deoareee, In lucrarile geodezice curente, coreetia are valori relativ miei (seeunde sauzeci de seeunde), este suficient ea, pentru ealculul ei, sa se cunoasca aria S eu aproximatie.In eonseeinta, aria triunghiului sferie se poate inloeui eu aria triunghiului plan (fig.23- 2).

Exprimand aria triunghiului funetie de doua laturi (d, PI) ~i unghiul dintre ele,

~i luand raza sferei egala cu raza medie de curbura a elipsoidului in pol, se obtine, pentrucorectia exprimata in seeunde:

in care:d = distanta dintre punetul de statie ~i punctul vizat;PI = distanta dintre punetul de statie ~i originea axelor de coordonate;8, = orientarea de la punetul de statie eatre originea axelor de eoordonate;812 = orientarea de la punctul de statie catre punctul vizat.

rezultata din exprimarea ariei triunghiului I 2 0 eu ajutorul unui determinant, ale ciiruielemente sunt eoordonatele x,y ale celor trei viirfuri ~i unitatea.

Semnul eu care se aplica coreetia este eel rezultat din formula de ealcu!.~~ordona~e~e plane utilizate la caleulul corectiilor 0 trebuie sa fie eele adevarate, lara

translatu, lar preelzla lor poate fi de ordinul a doi metri.Corectia s-a aplicat, de regula, in cazul directiilor din reteaua ge0dezica a caror

lungime depa~ea 7 kilometri. '. Coreefia este nula, atunci eand punetul de statie, punetul vizat ~i originea axelorde coord onate sunt eoliniare.

In capitol.~1 "Proiectia stereografica 1970", sunt prezentate ~i alte detalii privindredueerea dlrectnlor la planul de proiectie, valabile, principial, ~i pentru proiectiastereografica pe planul unic secant Bra~ov. .

T.rasformarea eoordonatelor din proieetia stereografica pe planul unic secantBra$ov, m eoordonate geografiee pe elipsoidul Hayford

. La. epoca r~spect~v.a, aceasta problema se rezolva cu ajutorul unor polinoame Cll

coefielentl constant!, stab!hte de catre francezul Roussilhe. Introducand in aceste polinioamevalorile coordonatelor stereografice din planul tangent, se obtinea arcul de paralel a ~i arculde meridian 13 , iar cu ajutorul lor ~i al tabelelor elipsoidului se ealcula diferentele decoordonate in raport cu polul proiectiei, apoi coordonatele geografice. .

Formulele lui Roussilhe asigura 0 precizie de calcul de ordinul eiitorva centimetrisau chiar mai slaba, daca punetul este situat departe de originea axelor, catre hotarele rarii. '

Cadranele din proieefia stereografiea pe planul unie secant Bra$ovPlanul aeestei proieetii este impartit in patru cadrane, de catre axele de coordonate

plane rectangulare. Fiecare cadran este notat eu ajutorul initialelor punetelor cardinale: N.E.,SE , S. V. , N. V. (fig. 23-3).

+Y

Fig. 23-3Notarea celor patru cadrane

NY N.E.

0+X

SY S.E.

73

Foile fundamentale geodezice ~i sectiunile topografice din proiectia stereograficiipe planul unic secant Bra~ov

Ducand, in planul unic secant, paralele la axa Oy, la intelVale egale t.x = 8 000 m , ~iparalele la axa Ox, la intelVale t.Y = 10 000 In, rezulta ni~te dreptunghiuri, numite sectiunigeodezice sau foi fundamentale geodezice, delimitand fieeare eate 8 000 ha.

Coloanele late de 8 000 m , pe care sunt a~ezate foile fundamentale, se numeroteazlieu cifre romane, in ordine erescatoare de la axa Oy spre est, ~i simetrie spre vest: I, II, III,IV, ... etc (fig 23-4).

Benzile orizontale, late de 10 000 m (zonele), se noteaza (;ll eifre arabe, in ordineereseatoare de la axa Ox spre nord, ~i simetric spre sud: 1,2,3,4, ... etc.

Nomenclatura unei foi fundamentale geodeziee este aleatuita din numele cadranului,l;Iflnat de numarul coloanei ~i de numiirul benzii (zonei). De exemplu, N.E.IY.2 (fig 23-5)

. '.' Fiecare foaie fundamentala contine 40 sectiuni topografice sau sectiuni cadastrale,<llspuse pe cinci coloane, numerotate de la 1 la 5, in sensulin care cre~te valoarea absoluta acoordonatei X, ~i opt linii (zone), numerotate de la 1 la 8, in sensul in care cre~te valoareaabsoluta a coordonatei Y (fig.23-5)

Fiecare sectiune topografica are dimensiunile t.X= 1 600 In, t.Y= 1 250 m ~i aria.~~ fOO ha, in planul unic secant Bra~ov.

Nomenclatura unei sectiuni cadastrale este alcatuita din nomenclatura foiifijndamentale geodeziee, urmata de 0 fraetie avand la numarator numlirul coloanei (cuprinsintre 1 ~i 5), iar la numitor numiirul zonei (cuprins intre 1 ~i 8), in care este situata seetiunea

respectiva. De exemplu, N.E.IY.2, * (fig.23-5).

Foaia fundamentala geodezicli a fost utilizata ca unitate de lucru pentru diverse lucrliride masvratori geodeziee , a~a cum astliz~ de exemplu, se utilizeazA trapezul sell-rii 1: 25 000,iar seetiunea topografiea (seetiunea cadastrala) a fost utilizata in special in lucrarile deeadastru.

••... .Normativele tehniee, de la epoca respectiva, prevad ca in fieeare sectiune topograficas~~~detennine eate un punet geodezie.

Foile fundamentale geodeziee se reprezintA la scara 1:25 000. Ele contin, printrealtele, limitele secpunilor topografiee, punetele geodeziee (eu numiirul ~i eota respeetiva),preeum ~i coordonatele punctelor geodezice red use Ia cadrul sectiunii topografice, adieani~te coordonate relative, masurate de la aeele linii ale cadrului seetiunii topografiee, caresunt situate eel mai aproape de sistemul general de axe xOy.

In fig.23-5 sunt reprezentate grafie coordonatele punetului geodezie 37, reduse laseetiunea topografiea in care este situat. Pe aeeste segmente de dreapta era obligatoriu sa seserie ~ivalorile lor numeriee, astfelineat, din datele serise pe foaia fundamentala geodezieasa se poata deduce, tara difieultate, coordonatele adevarate ale oricarui punet geodeziereprezentat.

Constanti" Gh. AflJNTEANU

IV III II+-1-I

I iI ".ji.+~rl-'-

! I

;

iI : I I+-+.!-T~'- II I : i+--+.-j-t- __L~~ I

: ! !; 1-.;----i----t--- !

0 0 6 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0N .. lD 0\' co"? C)l 'T

+X

-10000

i j' 2

I13

-20000

II-

I

i ! -300000 0 00 0 00 0 0

~ .. NN '"

Fig.23 - 4 Scheletul foilor fundamentale geodezice (fragment)din prOiectia stereografica pe planul unic secant Brasov

FOAIA FUNDAMENTALA GEODEZICA

N.E.IV.2

8: I .1-. i 1600 I'7~ ..• M.•~.!61 I ! I i

3~ • I~tti_l=lj

1 2 3 4 5

WeB -Facultat.a d. G.ad.zi., Bucuresti

. . lanul unic secant Br~ov a fost utilizata ca proiectiePrOlectla. st~reografi,cli. pe, P n'oada 1933-1950 Lucrari geodezice, topografice ~I

cartografica oficlala a Romamel, III pe '. . ... . . liz" nute sltua!llde cadastru executate atunci, sunt utlhzate ~Iast I, III anu .

. - ado tat oiectia Gauss-KrUger, denumita mai scurtproiecti~ ~;~~s,I~;:~ ~r~I~~~ft~r~at, ~roi~ia ~tereograficli 1933, in lucrlirile privindreteaua geodezica, hartile topografice ~I cele cadastrale etc.

I "1 0 noud proieetie, numitaIn anul 1971 Romania a adoptat, pentru sectoru CIVI,

"proiectia stereografica 1970".

~_---~~-----:7-:;;'6-~--------

Urmare a Decretului nr.305 din luna septembrie 1971, emis de Consiliul de Stat altarii, "cu privire la activitatea geodezica, topo-fotograrnetrica ~i cartografica, precum ~i laprocurarea, detinerea ~i folosirea datelor ~i documentelor rezultate din aceasta activitate", insectorul civil din tara noastrli s-a predus 0 inlocuire a proiectiei cartografice Gauss-KrUger,cu 0 noua proieetie, denumitli "proieetia stereograficli 1970".

Printre a1tele, Decretul prevede cll:"Lucrarile geodezice, topo-fotograrnetrice ~i cartografice necesare economiei

nationale se executa In proiectie stereografica 1970 ~i sistem de cote referite la MareaNeagra".

"Pentru nevoile de ap1irare ~i de securitate, precum ~i cele necesare aetivitatilor~tiintifice , invatamantului, uzului public ~i propagandei, aceste lucrari vor fi executate ~i inalte sisteme de proieetie".

In anul 1972, Directia de geodezie ~i cadastru, din Ministerul Agriculturii, IndustrieiAlimentare ~i Apelor, in baza imputernicirilor date prin decretul mentionat, a fiicut publiceurmatoarele elemente caraeteristice proieetiei stereografice 1970 ~i aplic1irii ei In tara noastra

1. Se mentine elipsoidul Krasovski 1940, orientat la Pulkovo , ca ~i in cazul proiectieiGauss ("Sistemul de coordonate 1942"). El are parametrii geometrici:

semiaxa mare a = 6 378 245,000 mturtirea geometrica f= 1 /298,3

2. Polul proiectiei, Qo, denumit, uneori, "centrul proiectiei", are coordonatelegeografice:

latitudinealongitudinea

Bo = 46° nordLa = 25° est Greenwich

3. Intreaga tara se reprezinta pe un singur plan, in care existii un cerc de deformatienula, cu centrulin polul Qo , ~i

Acest fapt corespunde unui "sistem secant", aviind, in pol, deformatii negative de-25 cm/km.

4. Sistemul de axe de coordonate plane rectangulare xOy are ca ongllle imagineaplana a polului proieetiei, axa Ox este imaginea plana a meridianului de 25° ~i are sensu Ipozitiv spre nord, iar axa Oy are sensul pozitiv spre est.

De retinut c1i aceste axe de coordonate sunt notate invers fatli de cele din proiectiastereografica din anu11933.

5. Coeficientul de reducere a sc1irii, folosit la transformarea coordonatelorrectangulare din planul tangent (in polul Qo), in planul secant, paralel cu cel tangent, are

Aceasta proieetie a inceput sa fie aplicata in lucrarile de produclie curentli, pentru taranoastrli, incepllnd din anul 1973, inlocuind treptat, in economia nationalli, utilizarea proieetieiGauss.

Proiectia stereograficli 1970 este conforma, permil!nd ca masuratorile geodezice safie prelucrate direct in planul de proiectie, rara a se calcula coordonate geografice, (.,"uconditiaaplicilrii preaiabile a unor coreetii de reducere a masuratorilor la planul de proiectie

Proieetia deformeaza distantele ~i ariile, funetie de departarea acestora fata de polulproieetiei, ~a cum se va arata in cele ce urmeaza.

Proiectia stereografica 1970 se aseamana principial cu cea din anu1 193:";, dardeosebiri1e privind e1ipsoidul, polul Qo, orientarea sistemu1ui de axe xOy, coeficientul dereducere a scarii, etc nu permit ca orice formula a proiectiei stereografice din 1933 sa fieap1icata ce1ei din 1970, incepand chiar cu formulele 1uiRoussilhe.

In paragrafele care urmeazli, sunt expuse modalitatile de rezolvare a unor problemecurente de calcul, in proieetia stereografica 1970

25. CALCULUL COORDONATELOR STEREOGRAFICE 1970,FUNCTIE DECOORDONATELE GEOGRAFICE DE PE ELIPSOID

Calculul coordonatelor rectangulare plane stereografice 1970, funetie de celegeografice (B,L) de pe elipsoidul Krasovski 1940, se face cu ajutorul unor formule cucoeficienti constanti, in funetie de diferenta de 1atitudine ~i respectiv de longitudine, dintrepolul proieetiei ~i punctul de reprezentat.

In acest calcul se pot deosebi doua etape ~i anume:- calculul coordonatelor stereografice in planul tangent, funcpe de cele geografice de

pe elipsoid (este etapa cea mai laborioasa);- transformarea coordonatelor stereografice din planul tangent in cel secant, prin

modificarea scarii, cu coeficientul subunitar c, de reducere a sclirii.Formulele de calcul au fost stabilite dupa 0 metoda propusa de academicianul bulgar

Vladimir K. Hristov, metoda care, in principiu, consta in a dezvolta in serie Taylor, injurul punctului central, toate mlirimile care depind de latitudine (latitudinea izometrica q,raza paralelului r, etc). Derivatele respective, calculate in punetul central (Bo , Lo), apar cani~te constante, care se grupeaza convenabil, sub forma de coeficienti constanti pentru intregteritoriul Romaniei.

Pentm stabilirea formulelor, s-a pam it de 1a urmatoarele conditii de baza pusereprezentlirii:

conditia 1 : reprezentarea plana sa fie conforma;conditia 2 : meridianul Lo , care trece prin Qo , sa se reprezinte printr-un

segment de dreaptli, fiind axa de simetrie ~i axa xx', cu sensul pozitiv spre nord;

Conston/in Gk MUNTEANU

. cond~tia? originea sistem~lui de coordonate .plane stereografice este imagine-

dPolullul.Qo~I once punct D(B, Lo), sltuat pe meridianul acestui pol are coordonata x -da:a::··ereatla: ' m'

X =2R tgL··m 0 2Ro

in care (fig.25-1):Ro este raza medie de curburaa elipsoidului la latitudinea B .A . 0,

"d' f-' d e~te .un ~c de ~rc meridian, a clinti lungime este egala cu lungim~a arcului d~men Ian e?e elIpSOld, cupnns intre latitudinile Bo ~i B. ~

Relatla (25-1) este expresia razei vectoare din proiectia stereograficli a unei sfere De

~n pl~~ ta~ent, (~/2~) reprezentllnd di~tanta zenitala a punctului D. Dar, ea nu e~e"ala~lla d:cat p~ n;~ndl~nul central, motlv pentm care "proieetia stereografica 1970" esteconSlderata ca fimd cvaslstereografica" (aproape stereografica).

Deoa.·ece reprezentarea este confonna, trebuie ca (x + iy) sa fie 0 funetie analitica devariabiUi complexli (q + il) :

(x + iy) = trq + il) , (25-2)

in care q este latitudinea izometricli, a clirei diferentiala este :d _ MdBq - N cosB '

iar I este longitudinea punctului, masurata de la meridianul central Lo .r-I

o Xm D'~o! ~ I/ --, 13", /

/ If3'(D

II '80//\.y / \

\ ~ / i

\ fu:l)"- V /.----....-- .-/'

V

Lill=B-BoI =L-Lo

Llq =q-qorelalia (25-2) se poate scrie :

_ De~oltlln~ ~e~bml al .doil~a in serie ~aylor in jurul punetului central (Bo , I=OJ.dUb~aputenle varlabllel (Llq + Ii), ~I lullnd originea coordonatelor plane in acest punet. seo tme: . .

[freE - Faeulrarea de Geodez!e, SueureslI

x + iy = f(q)o + f(q)o (L1.q+ il) + ( ~ ) f'(q)o (L1.q+ il)2 + .2!

(25-5)x+il = al (L1.q+ il) + a2 (L1.q + iI)2 + a3 (L1.q+ il)3 + <4 (L1.q + ilt + a, (L1.q+ il)' + 1I6(L1.q+ il)6 +

Dupa ridicared binomului (L1.q+ il) la puterile 1,2, ... 6, ~i inlocuirile:i=~ j2=_1e = - i i4 = +1i'= +i i6 = -1 ,

se separa, in (25-5), partea reali'i de cea imaginara, obtiniindu-se:

x = al L1.q+ a2 L1.q2 - a2 e + a3 L1.q3 - 3 a3 L1.qe + <4L1.q4 - 6 l4 i'lq2 12 + l4 14 +

+ a5 L1.q'- 10 a, ~q3 e + 5 a5 ~q 14 + 1I6~q6 - 15 1I6~q412 + 15 S6 ~q214 _lI61G + .

3 3 3 4Y= al I + 2 a2 L1.qI + 3 a3 ~q2 I - a3 I + 4 l4 ~q I - 4 l4 L1.q1 + 5 !is.1.q 1-

- 10 a5 L1.q2 e + a51' + 6116~q'l- 20 1I6~q3 e + 6116L1.q15 + ...

Cre~terea latitudinii izometrice , L1.q= q - qo, poate fi scrisa sub forma uneidezvoltliri in serie, functie de diferenta de latitudine LiB, astfel:

q = q (B)q = q (Be + LiB)

dq 1 d2q 2 1 d6q) 6 +q=q(Bo)+(-)oLiB+(-)(~2)oLiB + +(-)( 6 o LiBdB 2! dB 61 dB

dq 1 d2q t I d6q 6+ (- )0 LiB +(- )(~2)0 LiB + + (- )(~6)0 LiB +.,cffi 21 dB 6! dB

1 d"qC --(~)"- I dB" 0n.

Deoarece latitudinea Bo este constanta, marimile al , a2, ... , 1I6, Cj, C2, ... ,C6 suntconstante.

Introduciind (25-8) in (25-7) rezulta

+ alOLiB + a20LiB2 + a30LiB3 + <40~4 + a50LiB'12+ a12LiBe + a22LiB212+ a32L1.B312+ <42LiB4 12+14+ al4 LiB14+16

y = bOI I + bll LiBI + b2\ ~2 I + b31LiB3I + b41LiB41 + b51LiB' I ++ b03 e + b13LiB 13+ b23AB2 e + b33LiB3e ++ bo, 15 + bl5 ~ f

in care coeficientii aij, bij (pent,u i, j = 0, 1,2,3 ... ) au indicele i egal cu exponentulluiL1.B,iar indicele j egal cu exponentullui l.

In calculul coeficientilor constanti aij, bij , intra valorile numerice ale termenilor an,Co , in ale caror expresii , date in (25-6) $i (25-7) figureazll derivatele calculate pentrulatitudinea constanta Bo , de exemplu:

800=0alO = al Cj

a20= al Cz + a2 Cl2

bOI = al

bll = 2 a2 Cz + 3 a3 Cl2

Pentru calculul coeficientilor llo necesari in (25-11), in conformitate cu (25-6), sefolose$te relatia (25-1):

x =2R tg_P-m 0 2R

o

Dezvoltiind in serie tg_P- dupa formula generala:2Ro

1 3 2 5tgx=x+-x+-x+3 15 ...

CARTOGRAFIE MATEMA TICA UTCB Facultatea de Geodezie. Bueuresri

1 1 No 1 2)_o=---o=-(I+11uR2 N2 M N2

o 0 0 0

iar in ceilalti termeni din (25-12) se inlocuie~te Ro cu No, atunci :

1 1 5 17 ~7

Xm= ~+ 12N~ (1+11~)~3 + 120N~ ~ + 20l60N~

(dnxm) , necesare In (25-6), se ealculeazii ca pentru 0 funetie dedqn 0

dXm 0=dXm • d~dq d~ dq

Derivand (25-12') in raport eu ~ se obtine :

dXm 1 2 2 1 4 + 119 ~6-=1+--2 (1+11o)~ +24N4~ ?0l60N6

d~ 4No 0 - 0

d~o=MdB

MdBdq=--

NcosB

df3 = NeosBdq

Daeii (25-14) ~i (25-15) se introdue In (25-13), atunei rezultii:

dx cosB 2 2 cosB A4 11geosB A6-..!!!- 0=NeosB +--(1 +110)13 + 24N3'" + 20l60N' •.•

dq 4No 0 0

Pentru latitudinea Bo, arcul de meridian 13= 0

valoarea:


al = No cosBoa2 = (1/2) No to cos2 Boa, = (-1/12) No eos3 Bo (1- 2 to2 + 1102)14 = (-1/24) No to cos4Bo (2 - to2+ 6"102)a5 = (1/240) No eos5Bo (2 - 11 to2 + 2 to4

)

116 = (-II 1440) No to cos6 Bo (17 - 26 to + 2 t04)

dq -_ MdB b'se 0 tmeNeosB

~=~dB NeosB

el = (1/ cos Bo) (1 -1102 + 1104- "106)

e2 = (to / 2 cos Bo) (1 + "102- 3"104)

e, = (1 / 6 cos Bo) (1 + 2 to2+ 1102- 3 TJo4 + 6 to2TJo4 )

c4=(l/24cosBo) (5+6to2 -1102) (25-19)e5 = (1 / 120 cos Bo) (5 + 28 to2+ 120 to4 )

C6 = (to /720 cosBo) (61 + 180t02 + 120 to4)

Introducand (25-17) ~i (25-19) in (25-11), rezultii expresiile pentru caleululeoefieientilor constanti aij, bij :

300=0alO= No (1- TJ02+ 1104-1106

)

a20·= (3/2) No to (1102- 21104)

bOI = No cos Bob11 = - No to cos Bo (1 - TJ02+ TJ04)

b21= (- 1 / 4 ) No eos Bo (1 - 1102+ 6 to2 1102- 12 to2 1104)

In-ell - Facultatea de Geodezie, Bucuresti

in care:Bo = latitudinea polului (punctului central al proiectiei);No = marea normaHi la latitudinea Bo ;to =tgBo;110z = e' 2 COS

Z Bo ;e' = a doua excentricitate a elipsoidului,

Pentru un elipsoid dat ~i 0 latitudine Bo stabilita pentru polul proiectiei, coeficientii(25-20), utilizati in (25-10), au valori numerice constante.

Diferentele de latitudine (Llli) ~i de longitudine (I) care figureaza in (25-10),trebuie exprimate in radiani, de exemplu:

Llli [radiani] =~" (25-21)p

Pentru Romania, 6B" ~i, mai ales, (L-Lo)" pot atinge valori mai mari decat 10000".Astfel de numere, ridicate la puterile 5 ~i 6 ar fi incomode, din cauza marimii lor, in timp cecoeficientii constanti din (25-10), calculati cu (25-20), sunt foarte mici, unii dintre ei, ~iincomozi din cauza numarului mare de zecimale. In scopul evitarli acestui inconvenient, informulele (25-10) s-a luat:

f= 10-4Llli"I= 10-4(L-Lo)" (25-22)

~i in mod corespunzator, tinand cont ~i de (25-21), expresiile (25-20) au fast multiplicate eufactorul:

(~ti (25-23)pIt

in care i este egal cu exponentullui f(respectiv allui 6B), iar j este egal cu exponentullui I.Coeficientii constanti au fost calculati pentru elipsoidul Krasovski 1940 ~i pentru

latitudinea Bo=46° .Valorile care urmeaza au fost calculate ~i utilizate de catre lnstitutul de Geodezie ,

Fotogrametrie, Cartografie ~i Organizarea Teritoriului - IGFCOT - din Bucure~ti (versiunea1972):

800=

RIO = + 308a20= +a30=+l4o=-

aso = +R60=-

o758,957 9813

75,358 496760,216 2733

0,014 85710,014 26090,021 5834

Ro2=+al2 =-a22=-a32=-1142=-

3 752,145 711199,928 0966

6,674 86910,071 30460,002 5911

Constantin 011.MU/liTEANU

Ro4 = +al4 =-aZ4~ +

0,335 91270,062 22870,000 2261

bOl = + 215 179,420 8377bll = - 10 767,838 6289bZ1 = - 128,660 0287b3I=- 2,1060912b41= - 0,049 5324bS1= + 0,000 4263

b03 =-

b13 =-

bZ3 = +b33 = +

23,213 86741,928 10150,131 60980,002 3711

bos =-bI5 = +

0,008 64550,004 4969

. Cu coeficientii constanti (25-24) se obtin coordonatele stereografice la scara I']adlCa " in planul tangent" paralel cu cel secant. '

C~ su?stitutiile (25-22), dand in factor diferenta de longitudine I, formulele (25-10)se pot sene ~l sub forma:

x [Ig] = (800 + alOf + azof + a30f + l40 t + asoF + %0r + ... ) 1 ++ (a02 + al2 f + aZ2f + a32f + 1142t +.. ) f ++ (Ro4 + a14f + . ) 14++ (!lo6 + ) 16

y [Ig] (bo1 + bll f + b21f + b3! f + b41f' + bsd>5 ++ (b03 + b13f + b23f + b33f + ...+(bos +blsf + ...

) I +) I' +) IS

Dad., in (2~-1 0'), expresiile din paranteze se noteaza cu So, S2, S4, S6 ~i respectivSI, S3, Ss, atuncl , pentru coordonatele din planul tangent avem :

x [Ig] So + S2 f + S414 + S616 = ro + r2 + r4 + r6y [Ig] = Sl I + S3 13 +Ss IS = rl + r3 + [S

In mod curent, calculul coordonatelor rectangulare stereografice din planul tangent seface cu formulele (25-10') ~i (25-10"). Cand se lucreaza cu calculatoare de buzunarnepr~gramabil"e, s~ recurge, de obicei, la formulare de calcul, pe care sunt deja imprimat~valonle coeficlentllor constanti.

..l

f;I;lU...~C0f;I;lCf;I;l

"..l

'0 f;I;l- •••~

<~

:z:0co

~U, 000Uf;I;l

=e:l•••u:z:

'"•••:;;:a-.. -

0:2t--rf:Ja->-0f;I;lrf:J

~~

~io ~~&f;I;ltIl

•••rf:J

=0..lf;I;l

•••<:z:0~00U..l

'"..lPU:;jU

0000V)t-a-a-a-0

] 11 II0

~ 8-&: ~

•••

II II II II

~ SS"o, -;;~II ~

';3 II•...

. . . ,

II II II II0 ... .• 'D~ ~ ~ ~

1 IIII

~0

OJ)>< ==-><II><

....•

II II II 110 M .•.... 'C- -V)t--V)0

0 0 c.;> 0 0 0000,0 II,

•.... •.... ::0~ 00N Na- N N

0 0 0 '"V) N 8'" '"'" 0 '"0' 0 0. + I+

'" ~ '" -- '" ..•.- a- '" 0 a-•.... 0 00 M V).

V) 00 ..•. - N..•. N t- .... 8, 0 '"a- '" 0N' a-' ..a 0 0V) a-•...'"+

::: •... M - a- ..•.'" '" .... ~ M

00 a- .... V) 00a- ..•. N 00 '" V).... 00 ::e ..•. ::; -V) V) 0, N

0 a- M '" q 000 V) 0 0 0 0V) .... '"•...000M

+ + + , +

-11 11 11 II 11 II 11

0 -•... ... ... ... •.. 'C•... •... •... •... •... •...

, ,

11 11 11- ~. •..... ... ~

Coordonatele definitive, din planul secant al proieqiei stereografice 1970 (x,y) seobtin prin modificarea sclirii din planul tangent, cu ajutorul coeficientului constantc = 0,999 750 000 .

x = x [Ig) cy y [Ig) C

II

~ 0

•... ~:>,II•...

In afara de adevaratul sistem de axe xOy, in care ongmea are coordonatelegeografice 46"N ~i 25"E Greenwich, se mai folose~te, din anumite considerente de ordinpractic, un sistem de referintA "fals" (x'O'y') ale ciirui axe sunt deplasate cu 500 000 m spresud ~i cu 500 000 m spre vest fata de axele sistemului adevarat, asfel incat, coordonatelestereografice false (x' ,y') au valorile:

11 II II~ •..- - -x' = x + 500 000 my' y + 500 000 m

'" '" 0 0 0 '"

V) a-V) '"..•. a-'" ..•.

0 '" '"00 0 00 0

'" o.0 0

+ I

..•. V) 00t- a- •...'C S 000 '" '"'" 00 - N

0 0- N :; 0N. a-, o.M - '" 0

'"+ +

•... a- t- ~ ..•. M.... 00 00 N '"'" N N a- M N00 '" 0 0 V) ..•.0 00 0 '" a- 0N M '" S ..•. 8..•. 00 '" 00; c-: 00 N' 0 0~ '" ~t-

~ SN

+ , , +

In revista "Buletin topografic" m. 3 / 1959, editatii de Ministerul Fortelor Annate, laBucure~ti, Vasile Fiilie ~i Constantin Strutu au stabilit formulele cu coeficienti constan!i ,pentru calculul coordonatelor stereografice, utilizand procedeul de "calcul cracovian"

De retinut cli, in toate problemele de transcalculare, de evaluare a deformatiilor , dereducere la planul de proiectie, ~.a.,trebuie sa se lucreze cu coordonatele adevarate.

Pe liniile caroiajului kilometric de pe hiirtile topografice, sunt scrise, de regula,coordonatele false.

~.a -:;:;~ II 11 11 11 11 11"0 ... ~ .•. •..u •...•... •... •... •... •...

TRANSFORMAREA COORDONATELOR STEREOGRAFICE 1970IN COORDONATE GEOGRAFICE

Acest calcul ~omportii douii etape:Prima etapi constii In transformarea coordonatelor stereografice din planul secant in

planul tangent, "paralel cu eel secant": se modificii scara, prin Inmultirea cu coeficientul c' ,numit "coeficient de revenire la scara normalii".

c' = ( 1 / c) = 1,000250063Etapa doua, mai laborioasii, constii in transformarea coordonatelor stereografice din

planul tangent, in coordonate geografice B,L, pe elipsoidul Krasovski 1940. 8e rezolvii cuajutorul unor formule cu coeficienti constanti, stabilite intr-un mod asemanator, ca principiu,cu formulele pentru calculul coordonatelor plane stereoografice.

8e calculeazii, intai, coordonatele geografice relative, Lill si I, fatii de polul proieetiei(Bo , Lo ), apoi coordonatele geografice absolute:

B = Bo + Lill (26-1)L= La + I

Formulele pentru calculul coordonatelor geografice relative sunt:

~B" = Aao + AIOX + A20X2 + A30X3 + ~o X' + A50XS ++ Aa2y2 + An xy2 + A22X2y2 + A32X3y2 + ~2 )Cy2 ++ Aa4y4 + Al4 xy4 + A24x2y4 + ...+ Ao6y6 +.. (26-2)

1"= B01Y +B11XY +B21X2y +B31X3y +B41X4y +BS1X5y + ..+ B03y3 + B13xy3 + B23X2y3 + B33 X3y3 + .+ B05y5 + B15xy5 + ...

in care s-a notat:X = Xltg] / 100 000Y = Y[tg] / 100 000

Daca se lucreazii cu calculatoare de buzunar, neprogramabile, este mai comod sa seaplice formulele de calcul intr-o forma in care Y, y2 , ... , y6 sunt dap. in factor:

Lill"= (Aoo +AIOX +A2oX2 +AJoX3 +~~ +A50X5 + ...) 1 ++ (A02 + An X + ~2 X2 + AJ2 X3 + ~2)C +... ) y2 ++ (Aa4 + Al4 X + A24X2 + ) y4 ++ (Aa6 +... ) y6

I "= (BOI + Bl1 X + B21x'- + B31X3 + B41~ + B51X5 + ...+ (B03 + B13X + B23X2 +B33 X3 + ...+ (Bos + BIs X + ...

) y +) y3 +) y5

Lill" = So + 82 y2 + 84 y4 + ~ y6 = ro + r2 + r4 + r6I" = 8 Y + 83 y3 + 85 yS = rl + r3 + rs

Pentru elipsoidul Krasovski 1940 ~i Ba = 46° , coeficientii constanti pentrutransformarea coordonatelor stereografice, din planul tangent, in coordonate geografice auvalorile:

Aaa = 0AIO= + 3 238,772 4276A2a =- 0,256 0279A30=- 0,066 2169~o=+ 0,000 0313Aso = + 0,000 0024

Ao2=- 26,245 7302A12=- 0,620 2059A22=- 0,009 9813AJ2 =- 0,000 1893~2=- 0,000 0031

Ao4=+ 0,003 3123AI4=+ 0,000 1735A24= + 0,000 0055

Aa6=- 0,000 0002 (26-4)

B01= + 4 647,284 5596BII = + 75,319 5104B21=+ 1,506 2413B31=+ 0,028 9995

B41=+ 0,000 5624B51=+ 0,000 0109

B03=- 0,502 0804B13=- 0,028 9995B23=- 0,001 1247B33=- 0,000 0363

Bos=+ 0,000 1125B1S=+ 0,000 0109

Aceste valori (versiunea 1972) au fost calculate ~i utilizate la Institutul de Geodezie,Fotogrametrie, Cartografie ~i Organizarea Teritoriului - IGFCOT - din Bucure~ti.

Intr-un articol publicat in revista "Buletin topografic" nr.3/1959, Vasile Fiilie ~iConstantin Strutu au dat deducerea acestor formule, cu coeficienti constanti, utilizandprocedeul de "calcul cracovian". Valorile date de ei , pentru coeficientii constanti, se referiitot la latitudinea Bo = 46° , insa elipsoidul folosit nu este Krasovski 1940 ci Hayford.

"<:>•...~....fool

II "U ~. -u '"..~ ;>-. -

II "Ii"" ~0 ;>-.

" ~ >, ""0 >-'"

foolE-<"3

'"rJJ

"OJ '" ~u 0 fool

~Z0Q~00u

0fool""Q~fool--::<:E-<rnU>ZQ

'";Jrn••• -0:: ~,J ;2 ;r.

N~ "3"0

~ 'g ..~;.§' "3 ;:;

~~t; " ·u= Col. '",::

0fool

""~0,JfoolE-<«Z0~00U,J.,55 " " "x ." ~U,J

x ;:«u II "' r:Q~ X :eX

X ]=c.>••U

II II II IIo " ~ ~

pC pC pC pC

II II

o ~CQ +<10

'C!..,.II

CQ

....

II II II II0 N ~ ~>- >- >- >-

Ng00 0 0 0 0 00C:0

,

'" '" '":::: '" '"~ 0

'" 0

~ 0 0 0 0 00 g(5 0

0" 0" 0"

+ + +

N c-. '" '" -0 or. '"' '"'" 0 00 ~ 0•... N '"' 0

'" 0 '"' 0 0 0..,. N 0 0 0N ." o• 0 0..D' 0" 0 0" 0"N

, ,

." '"' '" ~ ..,.•... •... 'C! NN N '" 0..,. 0 N 0 0

N 'C! 'C! 0 00

•... '" 'C! 0 0•... N 0 0 000' 0" 0" 0 0

'"N'"+ . + +

....

II II II II II II0 M ~ ~IX X X X X X

II II II- ~ ~pC pC pC

II II II~ ~>- >- >-1

0 0 0 c c 0

or, '"N ;:;....- 0s;: 8. 0 0 0 c(50" °+ +

..,. '" •... '"0 '"' ..,. 'C!00 '" :::: '"0 '" 0N 00 .... 0 0 00 N 0 0

'" o. 0 00" 0 0" 0"

. ,

." ..,. ~ '" ... §0'. ;:; '" '"'" ... '" 'C!V) V) N '" '" 0..•. ~ 'C! 00 c 800 0 N 0N "'. ~ 0 o. 0,.: V) 0" 0 0"

~ •......+ + + + + +

-II II II II II II

0 M

(x~ ~

IX X X X X

-o +_0

'"'"II,J

Proieetia stereografica 1970 nu deformeaza unghiurile, fiindeii este eonformaLungimile ~i ariile de pe elipsoid se deformeaza.

Evaluarea deformatiilor neeesitii cunoasterea modulului de deformalie liniara m = nLa prezentarea proieetiei stereografice a unei sfere pe un plan tangent, am stabilit ca

zp = 2R tg-

2

1m=n=---

, zeos·

2

Considerand 0 sfera a earei raza Ro este egaHi eu raza medie de eurbura a elipsoiduluila latitudinea Bo = 460

, un punet oareeare , situat, pe sfera, la distanta L fata de originea

sistemului de axe de eoordonate plane, are distanta zenitala z = ~ , astfelineatRo

Lp=2Rotg-2Ro

Pentru un punet din Romania, situat la distanla maxima falii de originea axelor decoordonate, de exemplu la 400 kIn, unghiul (L/2Ro) este mie, de ordinul a 0,03 radiani.asfel ca, dezvoltand tangen~a in serie ~i eonsiderand doar primii termeni,

L 1 L' L'tg-=-(L+--+--)

2Ro 2Ro 12Ro 2 120Ro4

dpm=-

dL

e L4

m=I+--+--4Ro

2 24Ro4

p\g (x'+y')tgm", =1+--2 =1+ ,

- 4Ro 4Ro-

Rezulta ca ID planul tangent toate deformatiile sunt pozitive, cresc directproportional cu patratul distantei fatli de originea sistemului de axe de coordonate, iarizoliniile defonnatiilor sunt cercuri concentrice cu centrul!n origine.

In planul secant, modulul de deformatie liniara este:c

m=c(mtg)=c+--2P\ (27-11)4Ro

Pentru a-I exprima pe m functie de coordonatele din planul secant, tinem cont decoeficientul c de reducere a sclirii, !nlocuind :

2

p\=~c2

1 2 1 (2 2)m=c+--, p =c+--2 x +y4cRo 4cRo

Constantin Gh. MUNJ'EANU

Izoliniile deformatiilor

D [cm/km]

Deformatii relative ale distantelor [cm / km], in proiectia stereografica 1970Tab. 27-1

=====---============--==-----===========Distanta Deformatia Distanta Deformatia Distanta Deformatiapana la [ cm / km ] pana la [ cm / km ] pana la [ cm / km ]polul Qo polul Qo polul Qo

Okm102030405060708090

100110120130 km

- 25,0- 24,9- 24,8- 24,5- 24,0- 23,5- 22,8- 22,0- 21,1- 20,0- 18,9- 17,6- 16,2- 14,6

140 km - 13,0 270 km + 19,8150 - 11,2 280 + 23,2160 - 9,3 290 + 26,7170 - 7,2 300 + 30,3180 - 5,1 310 + 34,0190 - 2,8 320 + 37,9200 - 0,4 330 +41,9201,7 0,0 340 +46,0210 + 2,1 350 + 50,3220 + 4,7 360 + 54,6230 + 7,5 370 + 59,1240 + 10,4 380 + 63,7250 + 13,4 390 + 68,5260km + 16,5 400km + 73,3

93

Pentru deformatiile liniare relative, D , din planul secant rezulta:

D1 2 2

= m-1 =(c-1)+ --2 (x +y )4cRo

iar dupa 'inlocuirile c = 0,999 750 ~i Ro = 6 378 956 , se obtine :

D [cm/km] = (m - 1) 105 = - 25 + (6,145388) 10,10 Plm/

Pentru ~ = 201,7 kill, D = 0 ~i ne gasim pe cereul de deformatie nulli.La distante mai mici de 201,7 km fata de origine, suntem in interiorul cercului de

deformatie nula, unde deformatiile sunt negative.In originea sistemului de axe de coordonate P = 0 , iar D = - 25 cm / km.Cand distanta fata de originea axelor este mai mare de 201,7 km , atunci suntem in

afara cercului de deformatie nula , iar deformatiile sunt pozitive In pUllctele cele maidepartate de origine, de exemplu in zonele: Sulina, Mangalia , respectiv Beba Veche inextremitatea vesticii, deformatiile din proieetia stereografica 1970 ating valori de ordinul a

+ 65 cm/kmDeformatii1e depind numai de distanta P fata de originea axel or ~i, in eonsecinta,

izoliniile deformatiilor sunt cercuri concentrice, eu centrul in originea sistemului xOy.Coordonatele folosite pentru calculul deformatiilor trebuie sa nu aibii translatii.

Deformatiile ariilor au aeela~i semn cu deformatiile distantelor, iar modulul dedeformatie areolara, p , se calculeaza folosind relatia :

Valorile deformatiilor relative ale distantelor din planul proieqiei stereografiee 1970sunt date in tabelul27-1. Se observa cii variatia lor este eu atat mai rapida, cu cat depiirtarea

fata de punctul central este mai mare.

REDUCEREA DIRECTIILOR LA PLANUL PROIECTIEI STEREOGRA-FlCE 1970

Aceastli operatie de ealcul se mai nume~te ~i "reducerea directiilor la coardli". Ea seaplica directiilor azimutale rn!\.surate in reteaua de triangulattie geodezica ~i trebuie sapreceada lucrarile de compensare riguroasa propriuzisa.

In principiu, fiecare direetie redus!\. la elipsoid, miisurata din statia i catre punctul jdin reteaua geodezica, va primi 0 coreqie 8ij , a carei valoare depinde de lungimea vizei, deorientare ~ide departarea ei fata de originea sistemului de axe xOy.

In vederea deducerii unei formule de calcul, sa consideram , in planul proiectieistere6grafice, punetele geodezice l(xI, YI) si 2(X2, Y2). Linia geodezica 1-2, care Ieune~te pe elipsoid, are ca imagine plana 0 curba cu concavitatea catre originea sistemului deaxe xOy. In extrerilitatile ei, in punetele 1 si 2 , aceasta curb!\. face cu coarda ei (fig.28-1)

ConstlIJltin Gh. MUNrEANU CARTOGRAFlE .MATEMATICA (fTCB Facultatfod Gad'unghiurile mici, 8\2 si 8 e e ezle, Bueuresn

21 , reprezentand "coreetiile de reducere a dl're t"1 1 Iproieqie " . e 1I or a p anul de

I

~),o

\\ 1\ }--~2\lj

-~~ IQo(q>o,A.o)

b) in planul proiectiei ste,eografice

Fig.28 - 1 Reducerea directiilor la planul proiectiei stereografice1970

~om ~olosi urmatoarele proprietati ale unei proiectii stereografice :ropr:etatea 1 : reprezentarea este conforma .

Propnetatea 2 : liniile geodezice care tree ri I I Q ( , .reprezinta in plan prin segmente de dreapta c tP n ~o u , .0 vertlcalunle de pe 0 sfera) se, are ree pnn ongmea axelor.

Propnetatea 3 : arcele de cerc de pe sf, - 'prin arce de cerc. era, care nu trec pnn polul Qo , se reprezinta tot

Pe baza acestor proprietiiti r - .. ..din punetul de statie, punctul vizat'~i ~ri~~~e~:i:t~~~~~ ~~:~I;~eP~~~~d~ tr~nghiului format

_ latura 1-2 se reprezinta printr-un arc d . ' . _ na e .egale in valoare absoluta; e cerc, m consecmta, cele doua coreetii sunt

- laturile care unesc cele do at' .in baza proprietatii

2. u punc e cu ongmea axelor se reprezinta prin linii drepte,

Proieetia fiind con[, • b'su~a unghiurilor figurii co~::~~:n~~e d~a;~~~p~~rdhi(~1~~: 5;::adminedPI~ea)nsD

afi~ egala cu

scne : . eCI, se poate

adica, in valoare absoluta (8) co ti .triunghiului format din punctu! de rs~~·,a este egala. cu J~matate din excesul sferic e alaxelor de coordonate). tie, punctul Vlzat Sl polul Qo al proiectiei (originea

Formula general a pentru calculul excesului sferic este:

weB - Facu/latea de Geadezie, Bucuresti

Se=-R2

in care e este in radiani S este aria triunghiului sferic, iar R este raza sferei.Deoarece cor~ctia are valori relativ mici (secunde sau z.eci de secun?e).: es~e

suficient ca, pentru calculul ei, sa se cunoasca aria S cu aproximatle. In consecmta, anatriunghiulul sferic se poate inlocui cu aria 51 a triunghiului plan (fig~28.1!, pe ~are o.put.e~caleula formand un determinant care are ca elemente coordonatele varfunlor tnunghiulul ~Iunitatea :

11 1:\1 Y11 11 = - = - (XI Y2 - X2 YI )2 x2 Yo 21 •

Tinand cont de faptul ca in fiecare din cele doua statii direetia curbei este dircctiamasurata, iar directia corzii este directia redusa la plan, precum ~i de faptul ca unghlUnleazimutale au cre~t~rile pozitive in sen'sul acelor de ceasomic, rezulta ca, pentru 0 direetievizata reciproc, cele doua coreepi vor fi egale, dar de semne contrare. Dupa inlocuiri, seobtine:

812" = - 821" = 4~ 2 (XI Y2 - X2 Yl )o

in care:pIt = numaml de secunde dintr-un arc de un radian; . . ..R<J = raza medie de curbura a elipsoidului la latitudinea Bo a polulm prOlectlel;Xl , YI , X2 ,Y2 sunt coordonate provizorii, cu aproximatie de ditiva metri .

Inlocuind constantele prin valorile lor numerice, rezulta urmatoarele formule decalcul:

- in gradatie centesimali :

Semnul corectiei rezulta din formula de calcul.Direetia redu;a la planul de proiectie este egala cu directia masurata (pe elipsoid) plus

coreetia.. Coreetia este nula in cazul in care punctul de statie, punctul vizat ~i originea axelor

sunt coliniare.Coordonatele plane utilizate pentru reducerea direetiilor la planul de proieetie trebuie

sa nu aiba translatii.

Canstantin Gh. MUNTEANU

J?acii s~ i.nverseaza semnul unei coreetii, atunci in direetia respectiva se introduce 0eroare slstematlca egala cu dublul corectiei.

Pentru e.vita:ea gre~eliJor, se recurge la verificarea corectiilor de reducere a directiilorla planul de prOteette, pe triunghiuri. '

29. VERIFICAREA CORECTIILOR DE REDUCERE A DIRECTIILORLA PLANUL DE PROIECTIE

Fie triu~ghiul 1-2-3 din .rete~ua ?~.triangul~tie geodezica. In planul oricarei proieetiic?nfo~e, .latun~e s~e de pe ehpsOld, hnn geodezlce, se reprezinta prin curbele care unescvarfunle tnunghiulul (fig. 29.1)

. . Unghiurile 131., ~2 , 133 dintre aceste curbe sunt egale cu cele ale triunghiului de peeltpsold, deoarece prOlectta este conforma. Prin urmare,

in care e este excesul sferic al triunghiului.

Unghiurile I3'1, I3'2, I3'3, dintre dreptele care unesc varfurile triunghiului suntreduse la planul de proieepe. '

WI+ I3'2 + 13'3 = 1800 (29-2)

N~tand: am = direetia miisurata; <Xc = directia redusii la planul de proieetie;I) = corectJa de rducerela planul de proieetie, se poate scrie, in general:

UTeB _ Facultatea de Geodezie, BueureslI

(CX.)13= (am)13+ 013(CXr)12= (am)12+ 012

~'1 = ~1 + (013- 012)

". d I t toate varrurile triunghiului, considerate, pe rand, ca statii,Aphcand proce eu pen ru

obtinem:

WI = PI + (013- 6d~'2 = ~2 + (021- Oz3)~'3= ~3 + (632- (31)

" .. 'd nt de (29-1) <i (29-2) avem:Insumand aceste relatl1 ~1tman co y'

1800= 1800 + c + (013- (12) + (021 - (23) + (632- (31)

Aceasta este relatia de verificare.

" . d cere la planul de proiectie a unuia dinFiecare paranteza re?rez1~ta ~ore~tJa de re ~ zli = corectia pentru unhiul I; a doua

cele trei unghiuri ale ale tnungh!uIUl. p~l~a para:t:za = corectia pentru unghiul 3 .parantezli = corectia pentru unghlUI 2; u tJma para. , •

tfel' 'in orice triunghi din reteaua geodezlca,Regula de verifieare se poate formula as "1' d reducere la planul de proiectie ale

, ' .. nfi rme suma coreql1 or e , ' 'din planul unel .pr~leql1 ~ o. : b' a fie egala cu excesul sferic c al tnunghlUIUleelor trei unghlurJ ale tnunghlUIUl , tre ule srespectiv, luat cu semnul invers.. . d fi 'tie pozitiv ~i are ca formula general a :

Rearnintim cli, excesul sfenc este, pnn e m. , ,S (29-7)

c--- R2 '

. . hi I . .ar R = raza sferei pe care se considera triunghiul, respectiv razaIn care S = ana tnung u UI, I

medie·de curbura a e1ipsoidului. . 'fi I I de calcul cunoscute. In mod frecventAria S se poate ca1cula cu oncare dm ormu e e

se folose~te relatia:

a <i b sunt doua laturi ale triunghiului, iar C esteIn care: f.este factornl exeesului sferie; y

unghiul cuprins intre ele.

f =-L (29-9)2R2

Factorul excesului sferic este variabil cu latitudinea, dar variatia este lenta, astfel ca,in unele situatii se poate considera constant, pentru un numar mai mare de triunghiuri,deteminandu-se pentru 0 latitudine medie a zonei de lucru.

Toleranta cu care trebuie satisfacuta relatia de verificare (29-6) depinde de ordinultriangulatiei. In principiu, ea este egala cu trei unitati de ultimul ordin zecimal cu care secalculeaza corectiile (0,3" in cazul triangulatiei de ordinele IiI ~dV, respectiv 0,03" Incazul ordinului II).

Daca exista discordante in limitele mentionate, atunci se ajusteaza cateva cofeqif I'aultima zecimala, astfel Incat relatia de verificare sa fie satisIacuta exact, ca ~i cumexcesulsferic ar fi lara erori.

30. UNGHIUL DE CONVERGENTA MERIDIANA IN PROIECTIA STEREO-GRAFICA 1970

Printr-un punct oarecare P(x,y) din planul proieetiei stereografice 1970 (fig 30.1), saducem imaginea meridianului ~i 0 paralele la axa Ox. Unghiul y pe care aceasta dreapta ilface cu meridianul, in punctul considerat, se numeste unghi de convergentii meridiana dinproiectia stereografiea.

In vederea dedueerii unei formule de calcul, pe paralelul punctului P se ia un punetinfinit apropiat, Q(x+dx ; y+dy). Paralele la axele de coordonate , duse prin P si Q, seinterseeteaza in R, iar unghiul y = a , avand laturile reciproc perpendiculere.

In proieetia stereografiea 1970, eoordonatele reetangulare sunt functii de eoordonateJegeografice, (B,I), adiea

x = fl (B,I)Y = f2 (B,l)

£.~dB+ ax dldx aB al

tg y = tg a = - = ""dy ay dB+ oy dl

aB al

Deoarece punctele P ~i Q sunt situate pe acel~i paralel, dB = 0, ~i atunci , dupa simplificari,se obtine: ax

81 Ctgy=tga= -=-ay 0

al

C= Coli + CllABl + C2IAB21 + C31AB31+ C41AB41++ Co313+ Cl3AB e + C23AB2 e + :+ Co515

~B = 10-4 (B-Bo)"I = 10-4 (L-La)" ,

~i de transfonnarea acestora in radiani, au fost obtinute urmatoarele valori numerice pentrucoeficientii constanti c si d [24]:

Col = +Cll = -~l = -C31 = -C41 = -Co3 = +Cl3 = -C23=+

Cos = -

154,787 1224,122 3300,275 3580,002 9420,000 1070,027 7150,005 1340,000 0190,000 007

doo= + 4438,394 15dlO= - 222,102 61d2J = - 2,653 80d30 = - 0,043 44d40 = - 0,001 02dso = + 0,000 01d02= - 1,436 46d12= - 0,119 31d22= + 0,008 14d32= + 0,000 15d04= - 0,000 89dl4 = + 0,000 46

Cy=arctg-

D

In punctele situate la est de meridianul La, u~ghiul de convergenta meridiana y este

Pozitiv, iar in puntele situate la vest de I:-o, este negatlv, _. 'd' x este nul iar pe meri-'d' ul tral La unghiul de convergenta .nen Ian" ,Pe men Ian cen " , o'

dianele extreme ale Romaniei, ia valon de ordmul a 3 ,

Dintre aplicatiile ungbiului y, mentionam: , , , ,10 : in relatia dintre orientll.rile 6ij din planul de prOleqle ~I azlmutele

elipsoid:A;j = aij + Yi - Oij

in care Oij este coreetia de reducere la planul de proiectie, a directiei masurate din statiacatre punetul j ,

o 'A ' hiirti topografice, daca direetia pivot-zero a busol~i,G 2:~I~n:~::t:~~~~n~r~n:1 car~iajului kilometric de pe harta. ~ acest ~az, dech-

se a$8zApar , . _ '" d hart-a, trebuie modificata cu unghiul y , m confor-natia magnetIca, mentlOnata pe 10ala e _ "mitate cu 0 schema existentii langa cadrul hartH,

-----===---:1~00;;-=======~~~

REDUCEREA DlSTANTELOR DE PE ELIPSOID, LA PLANULPROIECTlEI STEREOGRAFICE 1970

Cunosca.nd lungimea unei linii geodezice pe elipsoid, s , ~i coordonatele stereograficeprovizorii, cu aproximatie de cativa metri, ale extremitati10r ei, se cere sa se afle distanta So,care ii corespunde in planul secant al proieqiei stereografice 1970. Aceasta este "distantaredusa la planul de proiectie".

Cuvantul "reducere" trebuie inteles cu sensul de "repn;zentare" ~i nu de mic~orare.Rezolvarea se poate separa in doua etape: .11- reducerea distantei s Ia planul tangent in polul Qo (Eo, La), unde se obtine S;2/- reducerea distantei S din planul tangent (cu scara nonnala), la planul secant (cu

scara redusa), unde se obtine So .In fig.31.1, din planul tangent al proieqiei stereografice, curba dintre punetele 1

(XI, YI) ~i 2(X2, Y2)este imaginea plana a liniei geodezice.Neglijand diferenta dintre Iungimea curbei ~i cea a corzii, yom cauta 0 legatura intre s

Vom considera imaginea plana ca fiind aicatuita din distante infinit mici, insumateprintr-o operatie de integrare.

Distantele infinit mici din planuI de proieqie sunt legate de cele de pe elipsoid (sferade raza medie) prin intermediul modulului de deformatie liniara:

dS11=-ds

dS .ds= -=I1'dS

11

Utiliziind expresia modulului de deformatie ~i dezvoltand-o in serie dupa binomul luiNewton, limitandu-ne la primii termeni avem:

Coordonatele x,y, ale unui punct situat pe linia 1-2, se pot exprima funetie dedistants p masuratii de la punctul 1 pana la punctul considerat ~i de orientarea t a linieirespective:

X=XI + P costY= YI+ P sin t

X2= Xl2 + 2 Xl P COS t + p2 cos2 ty2

= Yl2 + 2 YIP sin t + p2 sin2 t

x2 + y2 = x/ + Y/ + 2 Xl P cos t + 2 YIP sin t + p2

UTCB _ FaCllltateo de GeodezJe. Bucuresti

~i inlocuind in (31-2),

s= T[I-~(X~ +y~ +p.2x,cost+p·2y1sint+p2)]dpp=O 4Ro

S cos t = AxS sin t = Ay ,

Pentru a introduce coordonatele1-2, notam:

Yale punctuJui situat Ja mijlocu! segmentuluiXm, m,

XI = Xm - (Ax /2)YI = Ym - (Ay /2)

s"2 2 2 2+ 2 X Ax-y ~y+-PI = XI + yl = Xm Ym - m m 4

S12

s 1 2 1 S1)-= 1---2 (Xm +Ym +12 'S 4Ro

I ' lanul tangent iar distanta S din membrul al doilea,in care coordonatele st~reogr~cefi sunt ~~ ~ ta de pe' elipsoid fie cu distanta calculatl\ dinnecunoscuta, poate fi mloculta. e ~u IS n, s ,coordonatele stereogr~c: proVlzobrn.1. d . d' (31-9) trebuie calculata cu 8-9 zecimale.

Valoarea numenca a mem ru U1 01 m • d' ta S redusaDupa obtinerea distantei s, reduse la planul tangent, se calculeaza Istan 0 ,

la planul secant:

So = S c ,

in care constanta c = 0,999750000 este coeficientul de reducere a scarii.

Reducerea distan(elor la planul de proieetie stereografica 1970 este obligatorie pentrudistantele masurate in lucrarile de trilateratie care se prelucreaza in acest plan de proieqie.

Compensarea propriu-zisa a masuratorilor trebuieflicuta cu distan(ele reduse la planulde proieetie.

Cele doua etape de calcul pot fi comasate , a~a cum sunt prezentate in formulaurmatoare [24] :

[ + 0,999 750 000 ++ 0,614 538 792 (l0·14 )(Xm2 +. Ym2) +-,-0,512 11 (l0·15 )(AX2 + Ay2 ) ++0,37775 (l0'28)(Xm2+Ym2i] ,

in care So este distanta redusa la planul secant al proieqiei stereografice 1970, s este distanrade pe elipsoid, iar coordonatele reetangulare, aproximative, sunt in planul seca.nt.

CADRUL SI NOMENCLATURA HARTILOR TOPOGRAFICEIN PROIECTIA STEREOGRAFICA 1970

Hlirtile topografice in proieetia stereografica 1970 au cadru de tip geografic, alcatuitdin doua arce de meridian ~i doua arce de paralel, care, pe elipsoid, delimiteaza un trapez.

Searile sunt standardizate, dimensiunile trapezelor de pe elipsoid depind de valoareascarii ~i fiecare trapez are 0 nomenclatura, corelata eu pozitia sa geografiea ~i cu seara.

Toate amanuntele privind dimensiunile ~i nomenclatura trapezelor de pe elipsoid suntexpuse in paragraful14.

Datorita deformatiilor inegale din planul de proieqie, trapezul de pe elipsoid sedefonneaza inegal, astfel incat colturile sale devin varfurile unui patrulater oarecare, luatdrept cadru pentru foaia de harta respectiva.

Imaginile areelor de pe elipsoid sunt curbe cu 0 eurbura foarte mica. La scan mari , deexemplu 1:25000 ... 1:2000, pentru care arcele de pe elipsoid sunt scurte, curbele care uneseeele patru varfuri ale patrulaterului se eonfunda eu corzile lor. In aceastl\ situatie, a construicadrul hartii inseamna a raporta cele patru co1turi prin coordonatele lor stereografice, averifica dimensiunile raportate ale laturilor ~i ale diagonalelor ~i a uni col(urile prin segmentede dreapta.

Dimensiunile cadrului raportat pot diferi de dimensiunile teoretice, reduse la searl\, cuplus sau minus 0,2 mm pe fiecare latura ~i 0,3 mm pe diagonale.

DimensiuniIe teoretice ale cadrului se calculeazli intai pe elipsoid, apoi se reduc laplanul de proiectie, apoi se reduc la scara hlirtii, exprimiind rezultatele finale in cm , cu douazecimale.

Laturile de nord ~i de sud se calculeaza ca arce de paralel.Laturile de y~sqi de est se calculeazli ca arce de meridianRaportarea cadrului se face la coordonatograf, pe un material nedeformabil pentru

In cawl hiirtilor topografice la scm mai mici, cand curbura laturilor depii~e~tetoleran!ele grafice, este nevoie ca, in afara celor patru co1turi ale cadrului, sa se raportezeprin coord onate ~ipuncte intermediare.

Caroiajul kilometric apare rotit fata de cadru, cu unghiul de convergenta meridianadin proieqia stereografica 1970.

33. TRANSFORMAREA COORDONATELOR STEREOGRAFICE 1970IN COORDONATE PLANE GAUSS SAU INYERS

In Romania, pentru ambele sisteme de proiectie se folose~te acela~i datumgeodezic (elipsoidul Krasovski 1940, orientat la Pulkovo). Datorita acestui fapt,transcalcularea coordonatelor intre ce1e doua sisteme de proieqie se poate face foarte precis,prin intermediul coordonatelor geografice, astfel:

1° - coordonatele plane din proiectia se transforma 1n coordonate geografice peelipsoidul Krasovski 1940 ;

2° - coordonatele geografice de pe elipsoidul Krasovski 1940 se transforma 1ncoordonate plane, 1nsistemul de proieqie II .

In prezenta lucrare sunt expu~i toti algoritmii de calcul necesari pentru rezolvareaproblemei.

34. PROIECTIE STEREOGRAFICA PE UN PLAN SECANT LOCAL,PARALEL CU PLANUL SECAT GENERAL 1970

In orice proiectie stereografica pe un plan secant, paralel cu planul tangent 1n polul Qoimaginea teritoriului reprezentat este asemenea cu rea din planul tangent, dar este mai mica,fiind "comprimatii uniform" in tot planul secant, prin modificarea scmi.

Imaginea din planul tangent este considerata ca avand "scara normala", iar cea dinplanul secant are "scara redusi".

Raportul dintre 0 distantii din planul secant ~i omoloaga ei din planul tangent esteconstant ~ise nume~e "coeficient de reducere a sciirii".

In proieqia stereografica 1970, dupa cum se ~tie, coeficientul de reducere a sciirii arevaloarea constanta c = 0,999 750 000, fapt care atrage dupa sine un cerc de deformape nulacu raza de aproximativ 201,7 km ~i0 deformatie de -25 cmlkm in originea sistemului de axede coordonate.

Daca se modifica valoarea coeficientului de reducere a sciirii dandu-i-se 0 valoare k,diferita de c, atunci se obtine 0 reprezentare sterografica pe un plan secant local, paralel cuplanul general. Prin acest procedeu se poate face ca noul cerc de deformatie nulii sa treacaprin zona de lucru, avand efectul de anulare a deformatiilor produse de proiecpa stereografica1970:1n zona respectiva.

. Consrantin Gh. MUNTEANU CARTOGRAFI.E MA TEMA TICA UTCB - Faro/Iateo de Geodene. Bucure.HI

. Aceas~a p~oie~tie cartografica este denumita uneori "proieqia Gauss-KrUger", alteori.mal pe scurt, prOlecp.aGauss".

In tar~ noastra, e~ a fast ad?ptata , oficial, pentru lucrari geodezice, pentru hfu1iltt~pog:afice ~I alte ?enun de lucriin, in anul 1951. In aceea~i perioada a fast adoptat ~iehpsOldul Krasovski 1940, cu punetul astronomic fundamental la Pulkovo ("sistemul decoordonate 1942").

Proiectia Gauss poate realiza 0 reprezentare plana a intregului elipsoid de rotatie.1mpaI1it, in prealabil, pe fuse (fig. 35.1) .

P/-------~~ ~ meridiane./ / i ,\,,~ ... ~/

/ / I \"\~/~

i / ! \0\'->( /' meridian

/ Gr/ I \~\J\I / i \ ~ \E; I

~ // I -I J E1

\~'-.. / [Lo //j\ " I ~

~~

Oricare fus se intinde de la Polul nord la Polul sud ~ieste delimitat de doua meridianenumite meridiane marginale.

Diferenta de longitudine dintre meridianele marginale caracterizeaza miirimea fusuluiIn practica se utilizeaza frecvent fuse de 6° ~i fuse de 3° , dar este posibil sa se foloseasca ~ifuse locale, de alte dimensiuni.

Prin partea centrala a fusului trece meridianul axial.Poziti~ geografica a unui fus este definita prin longitudinea meridianului axial.

. In capltolul II, para~~1 14, este prezentata 0 convenpe intemationala privind deli-mltarea fuselor standard de 6 ~l nomerotarea lor, cu cifre arabe, de la lla 60 (fig. 14-1 a).

[freB - FaCIIlrarea de Geodezie, Bucuresri

Romania este situata 'in fusul m. 34 (cu m~ridianul axial de 21° Est Greenwich) ~i in

fusul m. 35 (cu meridianul axi~ de ?-7° Esdt~red:nwlcdh)t aviind sistemul propriu de axe deFiecare fus se reprezmta m mo .n ~pen en,

coordonate Plan~;~~~~~t:i:tS;:~IUi xOy este ia intersectia meridianului axial cu ecuato~l; a~ meridianul axial, reprezentat printr-un segment de dreaptii, se conSI er ax

Ox, cu sensul pozitiv spre nord; d' d I fusului se reprezinta tot printr-un segment de_ arcul de ecuator, III ca ru ,

dreapta, luat ca axa Oy, cu sensul pozitiv spre est

Reprezentarea plana 'in proieetia Gauss, 'in orieare fus, satisface urmatoarele conditii :

1 - este conforma; 'd d ta este axa de2 _ meridianul axial al fusului se reprezinta pnntr-un segment e reap ,

I ' , ord'simetrie ~iaxa ~x, cu sensu pozltlv'dspre nl 'al' deformariile sunt nule ( modulul de deformatie

3 _ 'in once punet de pe men lanu aXl .•..liniara este egal cu unitatea).

Aspectul general al retelei cartografice, 'in orica~e fus, ~ste u~dt?ru\ (~~5'7~~. -' b recare cu concaVltatea catre men lanu ,

me~:::I;ri~e c~~h:e~~~o:c~~it~~~a esp~: polul'din emisfera respectiva, ~cuatoru1, reprezentat~~ntr-un segment de dreaptii, este a doua axa de simetrie in fusul respectlv

In zona de acoperire, pentru punctele geodezice se calculeaza cate doua perec~,: decoordonate, iar pe foile de harta topografica, 'in afara cadrului, se marcheaza, prin mici !ir.:..::e.caroiajul kilometric referitor la fusul vecin precum ~i coordonatele de pe aceste linii.

De~i din anul 1971 proiectia cartografica oficiala pentru Romania esteproieqiastereografica 1970, pentru haI1ile topografice militare a continuat sa fie folosita pi"oicqiaGauss.

Mai recent, servicii cartografice din cadrul armatei, care colaboreazli cu NATO, ap]jcapentru unele hlirti topografice militare, 0 varianta a proieetiei Gauss, numita UTM (Uni\e~salaTransversala Mercator), asupra ciireia yom reveni cu amanunte'in partea finala a capitolului

36. CALCULUL COORDONATELOR PLANE GAUSS, FUNCTIE DECOORDONATELE GEOGRAFICE DE PE ELIPSOID

Cunoscand coordonatele geografice ale unui punct de pe elipsoidul de rotatie (B.L I ~ilongitudinea meridianului axial al fusului in care urmeaza a fi reprezentat (Lo), se cere sz. secalculeze coordonatele plane Gauss (x,y) ale punctului respectiv,

In planul de proieqie coordonatele rectangulare x,y formeaza un sistem izometnc Peelipsoid, se considera coordonatele izometrice q (latitudinea izometrica ) ~i I , in care:

I=L-Lo (36-1)

dq =. MdBNcosB

Reprezentarea fiind confoffila, trebuie satisIacuta relatia:

'in care funqia analitica f, de variabila complexa (q + il), se determina tinand cont de faprulca proiectiei Gauss, in afara conditiei de conformitate, i se mai pun inca doua condip.; ~ianume:

conditia 2: meridianul axial al fusului , eu longitudinea 1= 0, sa se reprezinte primr-un segment de dreapta, care este axa de simetrie ~i axa x x' (cu sensul pozitiv spre nord)

Rezulta ca pentru I = ° , y = 0 , iar :

Aspectul general al retelei cartograficedintr-un fus, in proieclia Gauss

in care 13 este lungimea arcului de meridian, ffiasurat pe elipsoid, de la ecuator (origineasistemului xoy) pana Ia paralelul care trece prin punctul considerat.

Compariind (a) cu (b) rezulta ca:f(q) = 13 (36-4)

In scopul racordarii lucrarilor din vecinatatea meridianelor marginalI e .~el fuselo~::fu 1 . I Romania, pentru sectoru CIVl, acope

:. a zon'e de acoperire 'intre se e vecme. n . . .~:or este de 7' 30" spre est ~i 7' 30" spre vest de fiecare mendlan margmal,

106

Longitudinea I in radiani este subunitara. Se dezvolta in serie Taylor functia f (q +il),oprind dezvoltarea la derivata de ordinul 6 :

'1 . 'I' .313f(q + il) = f(q)+~f'(q)+-' -f"(q)+-' -f"'(q)+ ...

I! 2! 3'

i=Ri3=-iis = i

i2=-1i4 = +1i6=-1

df3 13 d3f3 I' d5f3y= 1---·-+-·-dq 6 dq3 120 dq5

Aceste relatii sunt formulele de bazii ale proiectiei Gauss. Pentru a Ie putea apJica incalculele numerice, este necesar sa se calculeze ~i sa se inlocuiasca derivatele respective.

Considerdnd arcul de meridian f3ca functie de latitudinea geodezica B, iar pe aceastadin urma ca funqie de latitudinea izometrica q, se calculeaza prima derivata ca pentru 0

functie de functie:

df3 = df3 . dBdq dB dq

df3 =MdB

In (36-2) avem dq = MdB ~i de aici se deduce:NcosB

dB NcosB-----dq M

df3- = NcosB (36-11)dq

d2f3-, = -NcosBsin Bdq

112 = e"cos' Bt = tgB

I [radiani] = ~p

x = f3+~I';'sin BcosB +~1"4sinBcos3 B(5 - t' +911' +4114)+2p'" 24p" 4

+~1"6sinBcos5 B(61-58t' +t4)720p"6

N N NY = -1"cosB +--1"3cos3 B(I-t' +11') +---1"5cossB(5 -18t' + t4 + 14112- 5811't')

p" 6p"3 120p"S

Relatiile (36-18) sunt cunoseute ~i sub numele de formule eu coeficienti variabili,pentru calculul eoordonatelor plane Gauss, funetie de coordonatele geografice de pe elipsoid.

In tabeJele intocrnite de Tarczy-Homoch - V.KHristov, pentru elipsoidul Krasovski1940, formulele (36-18) sunt scrise mai restrans, sub forma:

x = p + IA2 f + I~ 14 + IA,; 16

y = IB1I + IB.1e + IB515

in care 1= (L - Lo)". 10,4 , iar coeficientii variabili P, IA;, IB; se cxtrag din tabele (tab. VII),prin interpolare, folosind ca argument latitudinea punctului.

Formulele (36-18), respectiv (36-18 ' ), asiguni. 0 aproximatie de caleul de ordinul0,001 m.

Formnle cn coeficienti constanti pentrn calcnlul coordonatelor plane GaussIn revista Buletin Topografic Of.3 I 1957, Editura militara a Ministerului Fortelor

Armate ale R.P.R., Vasile Falie ~i Constantin Strutu au publicat articolul "Reprezentareaconforma Gauss, a elipsoidului de rotape in plan, prin serii cu coeficienti constanli (ap1icalie latara noastra)", tratiind problema prin procedeul de "caleul cracovian, al carui autor esteastronornul polonez T. Banachiewiez" (procedeu comparabil cu caleulul matriceal ).

In cele ee urmeaza, se prezinta aspectele practice ale rezolvarii, valabile pentru intregteritoriul Romiiniei, sau pentru oricare alt teritoriu situat intre latitudinile de 42° ~i 50° ~ifolosind elipsoidul Krasovski 1940.

Datele problemei:Lo = longitudinea meridianului axial aI fusului in eare se reprezinta punctul;B, L = coordonatele geografice ale punctului, pe elipsoidul Krasovski 1940 .

Toate coordonatele geografice sunt in gradalie sexagesimala

f = (B-Bo)" . 10-4I = (L -Lo)" . 10,4

Constantin Gh. MUlvTEANU CARTOGRAFIE MATEMATlCA

Dx = ( 300f + aID f + a20f' + a.10r + 340r ). 1 +(+ 302f + al2 f + a22f' + a32r + 342r ).12+(+ 304f + al4 f + a24f' + a.14r ) 14

y (bol f + bll f + b21r + b.1d;! + b41t) .I +(+ bod{) + b13f + b2.1r + b.13r + b4.1r ) 13+(+ bos f + bls f + b25r ).IS

in care p~n S; Su?t notate valorile numerice ale expresiilor din parantezele (36-21 '), iar prinR; , valonle numence ale expresiilor de pe fiecare Iinie din (36-21) sau (36-21')

300= 0 bOI ~ + 215 179,420 83aID= + 308 758,95802 bll ~ - 10767,83826a20= + 75,36064 b21= - 254,691 96a30= - 0,06459 b.11= + 4,13843~= - 0,05909 b41= + 0,05360

(36-23)302= + 3 752,145 70 b03= - 2,80957al2 = - 12,09428 b13= - 8,05441a22= - 17,64146 b23= + 0,42862a32= + 0,01607 b.1.1= + 0,021 70342= + 0,013 96 b4.1= - 0,00083

304= + 1,403 31 bos = - 0,03070al4 = - 0,22026 bls = + 0,00004a24= - 0,00525 b25= + 0,00069a.14= + 0,001 35

In scopul facilitArii calculului, a fost intocrnit un formular (tabel de calcul), pe care segasesc tipante toate valorile constante.

Precizia de calcul obtinuta cu aceste formule este comparabilli cu cea obpnutli cuformulele cu coeficienti variabili. '.

i " " " "~.3j"b8 ' --' x61 " ~::J 0'"x«

~g::>"::«"5o 'g

] '3~.B- N

~@ " "c~"s: ll.

~0

~

II It n II:Ilas~"'8P'l xII =

~ ~II

4-<

" " "•••0 ..:' .::II II II

~ ; ~+X

"X

W'CB - Facultatea de Geadezie, Bucuresti

" " "•.. 0.:' .::'II II

"'0goo'"+'""

-" " "0 N ~- - -

;;:; ~ '" '"N N M

M 0 '" ;:; 00 N 0". N 0 0- 0 0 0

+ +

12 00 oa r- ~N ..". 0 '"'" " -;; ~ M

:! '"0 oa 0 0

r;f ~:f,..: 0" 0"-r-..,+ + +

~ $ '" '"'" 000 0 ..". '"'" "" "" '"0 "'. •... 0. °00 '" 0 0'" r-r-oo0•...+ +

-II " " " "'- N4-< ~

4-<4-< 4-<

" " "~ :..- -

° 2; '"r- ~0 g c•... 0 0 0o. o. o.0 0 0

+

r- -;; N 0 •...'" "" r- oo

'" ..". 00 ;::; 8:° '" ~.00. 0 0 0N 00 0 0" 0"

+ +

•... "" ""•... 800 N '" ..".

g 00 a: ~ :;;•..."" ~ 0..". 00. . "" 0'" r- ..".

!:; '" '"r- N

'" 8M+ + +

..:s ~-;-;.~ II 1/ II II II

~~ ~ ~4-< 4-< 4-< 4-<

37. TRANSFORMAREA COORDONATELOR PLANE GAUSS INCOORDONATE GEOGRAFICE PE ELIPSOID

Cunoscand coordonatele rectanguIare plane Gauss (x, y) ale unui punct oarecare D(fig. 37-1), se pune problema calculiirii coordonatelor geografice (B, L) ale punetuluicorespunzator pe suprafata elipsoidului de referintii.

Paralelul de latitudine B al punctului D intersect"eaza axa Ox (meridianul axial) ~punetul C , iar dreapta dusa prin D, paraleia cu axa Oy, intersecteaza Ox in pun~ulajutator D1 (x, 0) de latitudine B1 .

Deoarece in lungul axei Ox lungimile nu sunt deformate,OD1 =x = 131

in care 131 reprezinta, pe elipsoid, lungimea unui arc de meridian, de la ecuator pW lalatit11dinea B1 .

Folosind tabelele elipsoiduJui, se calculeaza, printr-o simpla interpolare, valoarealaritudinii B1 , funqie de lungimea arcului de meridian, egala cu coordonata x .,-

. - 81

------- ~--- B

D(x,y)

Latitudinea ajutatoare 81,apropiata de latitudinea B

Latitudinea B1 fund apropiata de latitudinea B , necunoscuta, 0 serie de dezvoltiiri :"1serie vor fi fiicute in jurullatitudinii B 1 .

Transformarea pe care 0 facem trebuie sa fie conforma (reprezentare conforrnZ aplanului de proiectie Gauss, pe suprafata elipsoidului), astfel ca, analog cu (36-3), yom folos:irelatia:

Deoarece axa Ox, pe care deformatiile liniare sunt nule, trebuie sa se reprezinte peelipsoid prin meridianul axial, trebuie ca atunci carrd y = 0 sa avem ~i 1 = 0 , astfel ca, din(37-1) rezulta: I

Constantin Gh. MUNT£4NU CARTOGRAFIE MATEMA TlCA wen -Facultatea de Geodezie, Bucuresti

2 2 '3 3 '4 '" -5 5i y w 1 Y III 1 Y IY() I Y FV( )q + il = F(x) +iyF'(x)] +--F (x)] +-F (x)! +--F x! +-51- X] +. ..

] 2! 3! 41 .(37-3)

Stiind ca i = H, ?= -1, ? = -i , j< = + 1, i5 = + i, egaland partea realadin membrul stang cu partea realA din membrul drept, procedand asemanator cu paJ1ileimaginare, ~i !infutd cont de (37-2), se deduce, din (37-3):

Acestea sunt relatiile matematice de bazli ale transformlirii.Pentru obtinerea forrnulelor de calcul numeric, este necesar sa se calculeze derivatele

succesive ale fun~!iei q in raport cu arcul de meridian ~ ~i sa se tread de la latitudineaizometrica q la latitudinea geografica (geodezica) B.

dBStiind ca : dq = -- (37-6)

NcosB

dq= __ =_d~ NcosB r

dB-=-d~ M

Folosind ultimile expresii in derivatele succesive, dupa calcule rezulta:d2q 1- ---td~2 N2cosB

d4q 1 '> 4)-=---t,(5+6t" +Tf -41']d~4 N4 cosB

d5q 1--~(5+28t2 + 24t4 +61']2 +81']2t2)d~5 = N5 cosB

Trecerea de la latitudinea izometrici q la latitudinea geografici BLatitudinea izometrica q este funqie numai de latitudinea geografica B. Inversand, se

poate scrie ca latitudinea Beste func!ie de q :

Dezvoltand in serie Taylor funqia (37-12), in vecinatatea paralelului de latitudine B] ,cunoscuta, rezulta:

iar derivatele lui q in raport cu ~ sunt cunoscute din (37-9). Inlocuindu-Ie in aceasta rela!ie~i apoi introduciind-o in (37-14), dupa neglijarea unor termeni ~i scoaterea in factor aputerilor lui y, va rezulta formula pentru calculullatitudinii B.

Formula de calcul pentru diferen!1i de longitudine 1, fa!1ide meridianul axial aI fusului,rezulta din (37-5), dupli inlocuirea derivatelor cu expresiile lor din (37-9).

Dupa scoaterea in factor a puterilor lui y, expresiile cu care aceste puteri se inmultescreprezinta ni~te coeficienti variabili, care depind numai de latitudinea B] a punctuluiajutlitor D1 ~i pot fi sco~i din tabele speciale, prin interpolare, cu argumentul 81 .

Forma finala, condensata, a forrnuJelor cu coeficien!i variabili pentru transformareacoordonatelor plane Gauss in coordonate geografice pe elipsoid este:

·P 1222424Y A4 = +--4 t, (5 + 3t, + 611, - 6t, 11, - 311, - 9t, 11, )

24N\

yA6 =+~t,(-61-90t\2 -45t,4)720N,

Observatie : valoarea numericii a coordonatei y trebuie considerata de la meridianulaxial al fusului. Orice translatie a axei Ox , care modifica valoarea adevarata a lui y, duce lavalori eronate pentru coordonatele geografice B,L calculate!

Coordonata y poate avea valori care dep~esc 200 000 metri, astfel ca, unele puteriale lui y ar trebui sa se exprime prin numere foarte marl, care ar depli~i cateva zeci de cifre, intimp ce unii coeficienti , numere rnici, ar trebui sa se scrie cu foarte multe zecimale. Pentru ase inlatura acest inconvenient, in tabelele ajutatoare pentru acest gen de calcule, coordonata yse inmulte~te cu 10'5, iar valorile coeficientilor sunt deja inmu1tite cu 105, respectiv cu (105 )2, ... , (105)6.

Tabelele Tarczy-Homoch - VKHristov (tab. VIII), [33], asigura 0 aproximatie decalcul de ordinul 0",0001 pentru coordonatele geografice B,L.

Formule cu coeficienti constanti, pentru transformarea coordonatelor planeGauss, in coordonate geografice pe elipsoidul Krasovski 1940

Constantin Strutu ~i Vasile Flilie, in articolul intitulat " Transformarea coordonatelorplane Gauss in coordonate geografice, prin formule cu coeficienji constanti ", publicat inrevista Buletin Topografic nr. 4/1957, editata de MinisteruI Fortelor Armate ale R.P.R.,prezinta aspecte teoretice ~ practice privind acest mod de rezolvare.

Datele problemei sunt coordonatele plane Gauss (x,y) ~i longitudinea meridianului axial(Lo) al fusului.

Formule de calcul:~=x-Xo

Xo = 5 096175,747 = consty =y.IO.5

Constantin Gh. MUNTEANU CARTOGRAFIE MATEMATICA

unde I este diferenta de longitudine a punctului, fata de meridianul axial.

,1B = Aoo,1xo yO + AIO,1x y<> + A20,1x2 y<> + A30,1x3yO + Aro ,1x4 y<> + A50,1x' y<> +

+Ao2,1xoy2 + AI2 ,1x y2 + A22,1x2y2 + A32,1x3y2 + A.2 ,1x4 y2 + A52,1x5y2 +

+Ao4,1xoy4 + A14,1x y4 +.A24 I1x2y4 + A34I1x3y4 +

+Aoi;,1xo yo + A16,1x y6

(37-18)

1= B01,1xo

Y + Bll I1x Y + B21,1x2Y + B3! I1x3Y + B4! I1x4Y + B51,1x5Y + B6\ ,1x6 Y +

+B03I1xoy3 + B13,1x y3 + B23,1x2y3 + B33,1x3 y3 +B43I1x4yo +

+B05,1x0y' + BI5 ,1x y5 + B2S ,1x2 y5 + B35I1x3y5 +

+B07,1xOy7

i~ ca~e coeficie?pi constanti , pentru elipsoidul Krasovski 1940 ~i latitudini cuprinse intre 420~I50 , au valonle:

Aoo= 0 Bo! = + 4 647,2845610AlO = + 3 238, 772 4270 Bll = + 75,3195100A20= - 0,2560280 B21=+ 1, 791 7640A30=+ 0,000 ]]15 B3\=+ 0, 035 1694A.o = + 0,0000208 B4! = + 0,0007282A50= 0 B,! =+ 0,0000149

B6! = + 0,0000030

Ao2=- 26,2457302 B03=-(37-19)

0,59725451A12=- 0,8191913 B13=- 0,035 16938An =- 0,013 1746 B23=- 0,00145632An =- 0,0002819 B33=- 0,00004925A.2 =- 0,0000057 B43=- 0,00000151A52=- 0,0000001 B53=- 0,00000004

B63= 0,00000000

Ao4=+ 0,0043872 B05= + 0,00014563AI4=+ 0,0002442 BI5=+ 0,00001478A24=+ 0,0000090 B2S=+ 0,00000090A34=+ 0,0000003

,

Ao6=- 0,0000009 B07=- 0,00000004AI6 =- 0,0000001

117

..><

'"'";:>«(;) II II

~ ~«....l>,~"~ "'>-....l

""0 f-

"3 ~I«z" 00; 12u00u~Q

~o-"f-o-~;;;:>'"~>

0:~] 1lu 8-~ '",::&:"9~j.

(;)w0~(;) '-'1IX ~I0....l~f-«

~I0QIX00 " "u 0")....l X ~;:>....l

S;:>U X I%l....l« 6 :3u "X :;

<j :;u0;U

II II "0 N .IX IX IX

UTeB - [<'acultateade Geodezie, Bueuresti

II " II- ~. ~

IX IX IX

-" " "0 N .>- >- >-

'" '" 0 Mt- " 0- 000 " 8 0M '" 0

0 0

" 0 0 00 0 0 0o. o. o. 00 0 0 0+ + + +

'" M '0 0- l"- e0 " v-.M 0- ~ 00 8 0I"- '" 0v-. ~ ~ 8 0 0

" 0 0

'" 00 o. o. 0 0..,; 0 0 0 0 6'"

0 0 v-. 00t- oo - 0C". '" - '"" 0 - 0N :;: 0 0t- o 0

00 t- N 0 o.00 0 0 0M

'"M+ + +

-

" II H " 11 "0 " ~ . ..~ ~ ~ ~ ~ ~

II " "~ ~>- >- >-

M 00 0 " I'0 t- o- 0

'" .". 0 0

" - 0 0- 0 0 0

0\00

0 0 0 00 0 0 0o. 0 0 00 0 0 0 I+ + + +

;;:; 00 '" v-. - " IM M '" v-. 0

" 0- '0 0- 8 0v-. ~ v-. " 0

'" ..,. 0 0 0t- v-. - 0 0 00- M 0 0 0 0'" 0 0 0 o. 00 0 6 0 0 0

0 0 0 .". N '"- 0 " 0- 00 ""0'" - '" ~ N -v-. v-. t- t- o 0..,. a- - or. 0 0

:>C - 0- •.... 0 0"'. •.... t-• o. 0 0 ~t- ,,, - 0 0 0" t-'0

"+ + + + + + +

-

" 11 " " " " "0 " ~ ~ '. ~~ :;s, ~ ~ X ~ X

<j <j

--~=--~~--~11s18r-------=--

Au fost \'ntocmite formulare de calcul, pe care sunt tiparite valorile coeficien~lorconstanli.

Daca \'n (37-18)puterile lui Y sunt scoase In factor, atunci formulele respective se scriu\'ntr-o forma mai condensata, \'n care sunt aplicate In mod practic:

Aproximalia de caJcul a formulelor (37-18)este comparabila cu cu cea a formulelor cucoeficienti variabili .

Printr-un punct oarecare P(x,y) din planul proieqiei Gauss (fig 38.1), sa ducemimaginea meridianului ~i 0 paralela la axa Ox. Unghiul y pe care aceasta dreapta 11face eumeridianul, \'n punctul considerat, se nume~te unghi de convergenta meridiana din proiectiaGauss.

In vederea deducerii unei formule de calcul, pe paralelul punctului P se ia un punctinfinit apropiat, Q(x+dx ; y+dy). Paralele la axele de coordonate , duse prin P ~i Q, seinterseeteaza \'n R, iar unghiul y = a , avand laturile reciproc perpendiculere.

UnghiuJ de convergenta meridianain proiectia Gauss

In proiectia Gauss, coordonatele rectangulare sunt functii de coordonatele geografice,(B,l), adic1i:

x = f1 (B,l)Y= f2 (B,l)

~dB+ Ox dltg y = tg a = dx = aB aI (38-2)

dy Oy dB + Oy dlaB 01

Deoarece punctele P ~i Q sunt situate pe acela~i par:tlel, dB = 0, ~i atunci , dupa simplificari,se obpne:

ax01

tgy = --;:;-oyc3J

II'N 3B(' , 2)y= INcosB+-· cos 1-t +T] +. ..6

ax. I 3 . B 3 B(5 2 ,,2 4 4)-== INsm BcosB+-1 Nsm cos -t +~T] + 11oj 6

care se inlocuiesc in (38-3). Se scoate In factor N cosB , se simplifica, se dezvolta numitoruldupa binomul lui Newton la puterea - I, ~i luand numai primii doi termeni ai dezvoltarii, seobtine:

iar dupa reducerea termenilor asemenea ~i simplificarea ultimului termen ,

tgy = Isin B + ~13 sin Bcos2 B(I + t2 +3112+ 2T]4)3

Notand membrul aI doilea cu x ,tgy= x

y = arc tg x~i dezvoltand in serie Mac-Laurin,

Iy= arctg(tgy)=tgy- _tg3y + ...

3

Inlocuind tg y cu (38-9), iar pentru tg3 y luand numai primul termen din (38-9),rezulta:

I· B 113, 2 , , 4 I 3 3y= sm +~ smBcos B(I+t' +3T]· +2T] )--1 sin B+ ...J 3

S .. d t2 -_ tg2B __ sin', Btun ca ~i scotandu-I din paranteza,cos' B

I· B I 13 . 2 2' I 3 • 2 sin 2B Iy= sm +:;- smBcos B(l+311 +2T]')+-1 smBcos B----13sin3BJ 3 cos2 B 3

Dupa reducerea ultimiJor termeni,

y = Isin B + ~13 sin Bcos2 B(I + 3112+ 2T]4)3

o formula mai precisa pentru calcuJuI Jui y contine ~i termenul in JS, adica:

y == lsin B + ~13 sin Bcos2 B(I + 3T]2+ 2T]4) +~ls sin Bcos4 B(2-e)3 15

In formulele (38-11) ~i (38-12), I ~iy sunt in radiani.Inlocuind

l[radiani] = .!.:.pO

~i inmu1tind membrul aI doilea cu pOl, se obtine pentru y in secunde:(38- 12 ' )

y" == [sin B]I" +[~sin Bcos2 B(l + 3T]2+ 2T]4)]103+[_l-sin Beas4 B(2 _ t2)110S

3~ I~N P

Se observa ca expresiile scrise intre paranteze drepte depind numai de latitudinea B.Ele pot fi considerate ca ni~te coeficienti variabili. Notandu-i cu Ct, C3, Cs, se poatescrie, mai condensat :

iar valorile lor numerice pot fi scoase din tabele ( de exemplu [33] ), prin interpolare, cuargumentul B.

Ultimile formule asigura 0 aproximatie de 0",001 In calculullui y .In formula de calcul a lui y, termenul principal, hotlirator pentru ordinul de marime

~i pentru semn, este primul termen. Prin urmare, \'ntr-o prima aproximatie se poate lua :

de unde rezultii ca, la ecuator ~i pe meridianul axial al fusului y este nul, iar in restul punctelordin planul de proiectie Gauss este mai mic decat diferenta de longitudine L La latitudineamedie a Romiiniei, pe meridianele marginale ale fuselor de 6°, y dep~e~te putin 2°

In emisfera nordica, semnul lui y este egal cu semnullui 1:pozitiv la est de meridianulaxial , ~i negativ la vest de acesta.

Unghbl de convergenta meridiana poate fi calculat ~i (unctie de coordonatele planeGauss:

(38-14)p" pOt " 4' pOt '4'

y"=[-t,]y+[---~ (l+t,~ +11,~-211, )]y' + [--'-, (2+5t," +3t, )]y'N, 3N

j15N

j"

'in care termenii care au indicele "1" sunt ni~te coeficienti variabili, dependenti numai delatitudine , ~i trebuie calculati pentru latitudinea Bj , a unui punct auxiliar situat pe meridianulaxial al fusului ~i avand coordonata x egala cu cea a punctului in care se calculeaza y (vezitransformarea coordonatelor plane Gauss \'ncoordonate geografice, prin formule cu coeficientivariabili).

Tabele Hristov [33], pentru elipsoidul Krasovski 1940, permit ealculul unghiului deconvergenta meridiana din proiectia Gauss, cu precizia de 0",001, fie funetie de eoordonatelegeografice (tab. VII), fie funetie de coordonatele plane x,y (tab VIII) In aeeste tabele,latitudinea este notata " <p " , iar unghiul de convergentii meridiana " c " .

Utilizari ale unghiului de convergenta meridiana din proiectia Gauss:1. La orientarea hiirtilor 'in teren, eu ajutorul declinatorului (busolei) : se a~aza

declinatorul paralel cu liniile "sud -nord" ale caroiajului kilometric, ~i se roteste harta, In planulorizontal, pana ciind acul magnetic indica unghiul D, a carui valoare se determina ~a cumrezultii din figura alaturata, (38.2), pe care sunt folosite urmatoare1e notatii: NG= nordulgeografic; NM= nordul magnetic; Km= linie a caroiajului kilometric, paralela cu Ox;11=declinatia magnetica; D= unghiul cu care orientiim harta.

De obice~ pe hlirtile topografice, 'in afara cadrului, se da 0 schema asemanatoare cucea din figura, iar alaturi sunt precizate: declinatia magnetica In zona centrala la momentultiparirii haqii, variatia ei anuala, unghiul de convergenta meridiana si data imprimlirii hiirtii.

2. In relatia matematica dintre orientarea unei directii din planul proiectiei Gauss ~iazimutul directiei corespunzlitoare pe elipsoid:

A12=812+Yl -812 , (38-15)to care: A este azimutul; 8 este orientarea; 15 este corectia de reducere a directiei la planul deproiecti,e Gauss, explicatii amanuntit in paragrafele urmatoare ale cursului,

Constantin Cill. MUATE.4NU . CARTOGRAFIE MATEMATlCA---~~~". UTes --Facultatea de Geodezie. Bucuresti

NM, NG

10 i /"'"0;1 /p, /I ,Ti'jii7Vi2

I~G I NM\ 'I\1'~ ,",\tP\ !

V4

NG

NM \\ \\ l\) i\\ \.I~

\~\, I\\;

'\J

5

CALCULUL MODULILOR DE DE}<'ORMATIE SI AL DEFORMATllLORDIN PROIECTIA GAUSS, FUNCTIE DE COORDONATELE GEOGRAFICE

. . In planu! de ~roieetie Gauss, ~I unui fus cu meridianul axial Lo, un punct P(B,L) de peeh~s01d ~e c.a Imagme un punct P (x,y), in care vrem sa calculiim valoarea modulului dedeformat1e hruara

Lon~itud~nea punctului fata de meridianul axial este I = L - Lo 'Pe eh~so~d (fig.3~. la), pe 0 direetie de azimut A., la 0 distanta elementara ds, se ia un

punct C al earul paralel mtersecteaza meridianullui P in D,Asimiliind triunghiul PCD, cu laturi infinit mici , cu un triunghi dreptunghic plan,

~ p~an (fig.39 Ib), punctele P'(x,y) ~i C'(x+dx ; y+dy) sunt irnaginile punctelor P si Cde pe ehpsOJd. '

Ducand ~rin p' ~i C' paralele la axele de coordonate, se obtine, la intersectia acestordrepte, punctul F.

Orientarea p'C' s-a notat cu 8.Tinand cont de definitia modulului de deformatie a distantelor, putem scrie:

d' d2d"m2= (_S)2 = __ X + Tds M2dB2+N2cos2Bd12 (39-1)

Din fig.391 rezulta

M dB = N cosB dl ctg A ,astfel ca, (39-1) se poate scrie In forma:

2 ds' 2 dy2 (1+ ctg28)m = (d;) = N2 cos2 Bdl(1+ctg2A)

1Stiind ca, in general, (1+ ctg2x) = -'-2 - ,relatia de mai sus devine:

sm x

2 dy2 sin 2 Am = x--

N2 cos2 Bdl sin 28

sau, extrligand rlidlicina plitratli ~i grupand convenabil:dy 1 sin A

m= -x---x--dl NcosB sin 8

Vom transforma convenabil ultimul term en.

I=const I\ F'~ ~~ C'(x+dx;y+dY)

\1 /\, /\. /

\! I\rl /ds'\ I /\Y

P'(x,y)

\\ d\ C\ ~\

- Io -( I

\) /;\ IdS'6;\ /l-!'/

\ ~/\/\P(B,L)

Deoarece proiectia este conforma, modulul de deformape liniarli are aceea~i valoare peoricare directie care pome~te din p' ~iatunci se poate lua A= 90° Prin urmare:

sinA= sin 900 = 1sin El= sin (900

- y) = cos y ,

dy 1 1m= -x---x--

dl NcosB cosy

Unghiul y [radiani] fiind mic, ultimul termen se se transforma, prin dezvoltliri in serie,in care se considerli doar primii termeni, astfel:

1 1 _ l -1 _ y2--- -(1--+ ...) -1+-+... (39-5)

cosy y2 2 21-2+",

I=const I\\ !

\\~~, //c'

~ : A=90' \~~T"-, ~~---I -;/"

P'

expresia (39-5) ia forma:1 _ 1 . 2

--=I+l·-sm Bcosy 2

Pentru calculul derivatei dy folosim expresia luidl

1Y= INcosB + I' (; Ncos' B(1- t2 + ,,2) + ..,

. Dupli efectuarea produselor ~i neglijarea termenilor care-I contin pe I la puteri maimanca2,

m= 1+12~cOS2B(I-t'+,,2)+12sin2B+. (39-8)

2 2 sin 2Bt =tg B =-~--

COS- B

iar dupa reducerea ultimilor termeni,I

moo 1+ 12 -cos2 B(I +112)

2o formula mai precisa, contine ~i termenulin 14

:

12 ")714 "4moo I+(-cos B(1+11-)]l- +(-cos B(5-4t·)Jl

2 24in care 112 = e,2 cos2 B .

Pentru deformatia relativli a distantelor, D, rezulta:1., n"") (D= m-I=(-cos"B(1+e cos-B)JI- 39-10)2

Din aceasta formula, se pot trage urmatoarele concluzii, privind deformatiiledistantelcir din planul proieqiei Gauss:

- pe meridianul axial, unde 1=0, distantele nu sunt deformate;- in orice punet nesituat pe meridianul axial se produe deformapi pozitive, cu atat mai

mari, cu cat departarea acestuia fata de merldianul axial este mai mare;- pe meridianele marginale ale fuselor, au loc cele mai marl defonnatii;- pe orieare meridian, deformatia maxima are loc la intersecpa acestuia cu ecuatoruL

Daea se dore~te exprimarea deformapei relative a distantelor In em / km , atunei sefolose~te formula:

din care rezulta ca, singura linie pe care nu se produc defonnaj.ii areolare este meridianul axial;In toate celelalte puncte din planul de proiectie Gauss au loc deformatii pozitive, cele mai marlfiind in zonele meridianelor marginale .

Date numerice asupra defonnajiilor relative ale distantelor din planul proiectiei Gauss,functie de diferenta de longitudine fata de meridianul axial al fusului, sunt prezentate intabelul alaturat.

Constantin Gh. MUNTEANlJ

Deformatii relative ale distantelor din planul proieetiei Ga==~ ~[em / kmJ, funefie de eoordonatele geograflee uss,

-----=========---=- -- -==--=:::;..,;=.:.;~=====--~-~=

====~--- -- ----=-----==~=======~._-----------=====---====---

0,0 0,0 0,0

+ 1,7 + 1,8 + 1,9

+ 6,8 + 7,4 + 7,9

+ 15,4 + 16,7 + 17,8 Fus de 3°,pe meridianele marginale-------------------------- -----------------------------------------------

+ 27,4 + 29,5 + 31,6 -------------------------------------

+ 61,6 + 66,4 + 71,2 Fus de 60,

=====================____ pe meridianele marginale----============--====================

CALCULUL MODULULUI DE DEFORMATIE SI AL DEFORMATIILORDIN PROIECTIA GAUSS, FUNCTIE DE COORDONATELE PLANE

Utilizam urmatoarele relatii, deduse anterior:

I=-Y_NcosB

Substituind in (40-1), dupa simplificare se obtine:

-~~~--=---"'"""l';;12;-:;7~-===""---'-----

urCB _ Faculrarea de Geade:ie, BucuTesri

, 'al d b - ale elipsoiduluiPe de alta parte, ~nand cont de expresiile razelor pnnclp e e cur ura ,

3

a (l_e2sin2B)2_____ ,--x 2

1 a(l- e )(l-e2 sin2 B)2

N l-e2sin2BM l-e'

Comparand (40-3) cu (40-4), reiese cii :1+112=N (40-5)

_, M N "I 'rea MN = R2• rezulta:Inlocuind in (40-2), dupa slmphficarea cu 1 ~l In OCUI .

y' (40-6)m= 1+--2R'

, dam lara demonstratie, contineo formula mai precisa pentru calculullul m , pe care 0 '

~i termenul in l 'adicay' y4 (40-6 ')

m = 1+ 2R' + 24R 4

P = 250 000 m termenul in y4 poate influenj:a doar a ~ptea zecimala cu 0entru y , , .' gli'

unitate, astfel incat, pentru nevoile curente ale practlcll, se poate ne Ja,

_ R .ab'l" latitudinea este comod sa se calculeze cu ajutorulRaza de curbura , van I a cu . ,: d terminam cu ajutorul

tabelelor eI~psoidul~i,=~~~~~~~::~~~~:~~~r' p~~e ~:ei~ c~ordonate geografi~e.coordo':t::~~: ~ituapi, latitudinea necesara pentru calculul lui R se poate determJna

grafic, cu ajutorul unei hiirti.

Deformapile relative ale distantelor, din planul proiectiei Gauss, pot fi determinate

funqie de coordonatele plane, folosind relatia:

lD = m - 1= + 2R2 +... ,

--------~-1?12ir8 ~~-~--------

din care se constata ca, pentru y = 0, D = 0, adica pe meridianul axial deformatiiledistantelor sunt nule, iar in celelalte puncte din planul de proiectie sunt pozitive ~i cresc,aproximativ, direct proportional cu pitratul distanfei fata de meridianul axial al fusului

Deformatii relative ale distantelor, in proiectia Gauss,functie de coordonata y,

la latitudinea medie a Romaniei (Bo = 460)

o± 50± 100

0,0+ 3,1+ 12,3

± 150± 200

+ 27,6+ 49,2

In tabelul 40- I se vede ca, in zonele meridianelor marginale ale unui fus de 6° ,deformapa este de patru ori mai mare dedit cea de pe meridianele marginale ale unlli fus de 3°

In scopul Iimitiirii deformapilor produse de proiecpa Gauss, in Romania ~i in alte tiiri,reprezentiirile la scara 1: 5 000 ~i Ia seari mai mari (I: 2 000, I: 1 000 etc) se fac, de obicei,pe fuse de 3°

Pentru lucrliri speciale, cu aproblirile de rigoare, se poate utiliza un fus local, ales in a~afel, incRt meridianul axial al acestuia sa treaca prin zona de reprezentat. In acest caz, pe 0

banda de cateva zeci de kilometri, centrata pe meridianul respectiv, deformatii1e produse deproieetie sunt, practic, nule,

REDUCEREA DIRECTllLOR LA PLANUL DE PROIECTIE GAUSS(Reducerea la coarda)

Liniile geodezice de pe elipsoid, in particular laturile triunghiurilor geodezice de peelipsoid, se reprezinta in proiectia Gauss prin curbe, in general cu concavitatea spre meridianulaxial. In cele doua puncte extreme ale liniei geodezice, curba ~i coarda ei fac cate un un unghimic, 012 ~i 021, (fig. 41-1), reprezentand coreetiile de reducere a direcpilor respective, laplanul de proiecpe Gauss.

Daca masuratorile azimutale efectuate in reteaua de triangulatie geodezica urmeaza afi prelucrate in planul de proiectie Gauss, atunci directiile azimutale masurate trebuie sa fiereduse la planul acestui sistem de proiectie, aplicand fiecarei directii cate 0 coreqie, calculataell formulele specifice proiecpei.

Formulele de calcul pentru reducerea direcj:iilor la planul de proieepe Gauss difera dela un ordin de triangulape geodezica la altu~ funcpe de precizia necesarA in caml respectiv

1. Reducerea directiilor la planul proiectiei Gauss, in triangulatiile de ordineleIII ~i IV

Fie, (fig. 411), ]' (XI, YI ) ~i i (X2 , Y2) imaginile plane ale punctelor I ~i 2 de peelipsoid, iar cuma t'a i -imaginea plana a liniei geodezice respective.

Unghiurile 012 ~i 021 sunt corecj:iile de reducere a direqiilor la planul de proiecj:ieGauss.

Punetele C' ~iD' sunt picioarele perpendicularelor duse din punctele ]' ~ii pe axa Ox.Figura (a i C' D' este imaginea plana a patrulaterului ] 2 C D de pe elipsoid, care

are suma unghiurilor egala cu 3600 + e , in care e este excesul sfericProiectia fiind conforma, trebuie ca suma unghiurilor figurii din plan sa fie egala cu

suma unghiurilorfigurii respective de pe elipsoid, adicli:

10121 + 10211 = ePentru excesul sferic este cunoscutli formula generala:

eW=pw~R2

in care, in cazul de fatA, S este aria patrulaterului I 2 C D de pe elipsoid, iar R este razamedie de eurbura a elipsoidului, in porjiunea patrulaterului considerat.

Deoarece excesul sferic este relativ mic, pentru ealeulul sliu se poate inloeui aria S, depe elipsoid, cu aria S' a trapezului plan I' i c' D' , ~i daca se ia aproximativ :

10121'" 10211 '

Constantin Gh. MUNTEANUCARTOGRAFIE MATEMATICA UTCEp' I

~- - - - _ acu IQlea de Geodezie, Rucuresti

I "/ I "! I W°12 = 021 =-e=Lx y, +Y2 (X -X)I I 2 2R2 2 2 I

pW2R 2 = f (= factorul excesului sferic) ~i

~i tinand eont de faptul ca . t" 'I' .pozitive in sensul aeelor de ce~~~~~ ~~Jr~d~tlile d~ pe limbul teodolitelor au ere~terileformula definitiva: ' n gura ~I semnele din ultimile relatii, deducem

. Aceasta formula asigurli 0" I in calculul cor " .tnangulatia geodezica de ordinele III ~i IV. .ectJel, ceea ce este suficlent, de regula, in

, 2'(X2,Y2./ \

!""- 0'.1/ i

/ /a. I/ /

/Tol)1'(xI,YI)

a) pe elipsoidb) in planul proiect/ei Gauss

Fig.41 - 1 Corectia de reducere a directiilor la planul de proiectie Gauss

2. Reducerea direcpilor la plan I '" G •ordinul n u prOiectlel auss, ID triangulatia geodezica de

In cazul acesta este neeesar sa se asi . d _ ,reducere. gure sutlmea e secunda ill calculul corectiilor de

Folosim fo;mula dedusa anterior, pentru ordinul IIIvaloare absoluta ~I0 exprimam in radiani: ' pentru coreepa 0, 0 lulim in

0= (x2 -x1)Ym2R2 (41-1')

-------..;:.,..;.,-...;....--lM311 --~----------

weB - Facultatea de Geodezie, BuclIresti

1/c,/

/!2'(X2,Y2)

82,1

Reprezentarea liniei geodezicein sistemul de axe cu originea in l'

Pe curba l' i ,imagine plana a liniei geodezice de pe elipsoid., se considera pu~ctele p~i q, care detenruna arcul elementar do. In aceste puncte, corectla este mfImt rruca, astfelincat (41-1' ) devine:

OJ este centrul de curburii aI arcului pq, peste raza sa de curbura, iar unghiulla centru

este 2d8, astfel cli:

~i, aproximiind lungimea curbei (0) cu lungimea corzii (s),

do = ds

1 2d8-=--p ds

----~------1113:;'2~-----------

Consideram punctul ( ca origine a unui sistem de coordonate in care variabilaindependenta t;; se masoara in lungul axei ( i , iar T] pe direqia perpendicularli, ~i scrierr.expresia generalli a curburii, folosind aceste coordonate:

Valoarea derivatei este egalli cu tangenta unghiului mic dintre cumli ~i coardii. PiitratuIacestei valori va fi foarte mic in comparatie cu unitatea la care se aduna, incat se va neglija, ~iatunci expresia (41-4) devine (pentru comoditate se va considera semnuJ pozitiv, urmiind cala srar~itul demonstratiei , printr-o interpretare a figurii, sa se stabileasca dacli trebuie sau TIU

schimbat):

y= Yl +~ sin Sx = Xl + t;;cos S

dx = dt;; cosS

d2T] Y, cosS t;;sinScosS

--=-. --+----d~2 R2 R2

Din aceastli ecuape diferentialli, dacli inmulfim cu dt;, ~i consideram R = Rm = constanta,obpnem:

~iinJocuind in (41 -21) se obtine:I

Coreclia de reducere a direcliilorla planul proiectiei Gauss

_ YI cosS r2 t;,' sin ScasS C r CT]----'" + 2 + 1"'+ 2

2Rm2 6Rm

(x, -Xl)

2Rm2

dT]- = tgojo = 0"dt;, ~ -

Tinand cont de aceste relafii, din (41-9) rezultli:C1 = 812 ,

~. 1 p'Un'" -- x--o (x, - Xl)(2YI + Yo)

3 2R' - -m

Y cosS 2 S3 .O=_l_-S +--smScasS+012s2R 2 6R 2m m

Y casS S2.0)' =_(_1 -.-s+--. smScosS)

• . 2Rm" 6Rm"

Factorul excesului sferic, ~, se calculeazli pentru 0 latitudinemedie, Bm , d,eterminatliaproximativ ~i considerata constanta pentru un numlir mai 1Mre de triunghiuri din retea.

s cas S = ( X2 - Xl )

s sin S = ( Y2- Y1 )

Formulele (41-14), respectiv (41-14'), asigura sutimea de secunda in calcululcorecpei o.

UTCB - Facultatea de Geodezie, Bucuresli

Pentru a obJ:ine 0 direetie redusli la planul de proieetie Ga.uss, trebuie ea directieimasurate sa i se adune, algebrie, eoreetia ealeulatli eu formulele de mal sus.

3. Reducerea directiilor la planul proiectiei Gauss, in triangulatia geodezicli de

ordinul I

In cazul triangulatiei geodeziee de ordinul I, pentru redueerea directiilor la planulproieqiei Gauss, pot fi folosite urmatoarele formule :

Ym = Y mediu, luat la mijloeullaturii respeetiv:.;B

m= latitudinea medie, luata la mijlocullaturn ;

R.n = raza medie de eurbura a elipsoidului, la latitudinea 8m ;T]2 = e' 2 eos2 B ;t = tg B.

Indieele "m" ata~at termenilor R, T] ~i t, care depind de latitudine, arata ea aee~titermeni trebuie ealeulati pentru latitudinea medie Bm a laturii respective. .

In Iiteratura geodeziea, se aratli eli, pentru laturi de pana la 70 ~ .~l_Y de pfma la 350kIn, formulele (41-15) asigara 0 aproximatie de 0",001 'in ealeulul coreqlel b.

4. Aproximatia admisi in coordonatele provizol ii folosite pentru reducerea

directiilor la pIa nul proiectiei Gauss

Deoarece redueerea directii10r la planul de proieep.e trebuie sa prec~a .calculele decompensare, care se finalizeazli prin coordonatele definitive, ~e gasi~ in Sltuatta ca pentrupunctele noi nu dispunem de coordonate x,y necesare ealeululUl eore~tIllo~.

Pentru a ie~i din acest cere vieios, se reeurge la un calcul lteratlv aI ~oordonate!o:plane: 'in prima aproxirnatie, sunt folosite directiile masurate, nereduse la plan, ~l sc:dete~acoordonate provizorii, cu care se pot caleula corectiile de r~u~.re. Dupa aphcareacorectii1or se reia calculul coordonatelor, folosind, de aceasta data, dlrectt1 reduse la planul de

proiectie. .' .Din considerente de ordin tehnic, dar ~l econonuc, este necesar sa se re~lZe~e 0

corelatie intre precizia necesarli corectiilor ~i pecizia necesarli coor.donat~lo~ p:oVlZom, cucare urmeazli a se ealcula aeeste eorectii. In acest scop, daca se dlferentlaza, III raport eucoordonatele plane, formula de caleul a eoreqiei 8 pentru ordinul III de triangulatie, ~idaea

se inloeuie~te simbolul "d" (diferentiala) eu simbolul "~" (eu sensu! de "aproxima!ie" ), seobtine:

Luand, pentru triangula!ia de ordinul I . ~6"= 0",001; Ym = 250 kIn; (X2-XI) = 50 km,rezulta aproximatia ~x,Y = 1 metru, in eunoa~terea eoordonatelor provizorii utilizate pentruealculul eorectiilor 6 .

Pentru triangula!ia de ordinul II, luand ~o"=0",01, se ob(ine, eu formula de mai sus,~x,y= 10 m.

Deci, pentru redueerea direetiilor la planul de proieecie Gauss, 'in eazul vizeIor reIativlungi, peste media ordinului respeetiv de triangulatie, ~i situate 'in zonele meridianelarmarginale ale fuselor, este necesar sa se cunoasea coordonatele provizorii eu 0 aproximatie de0,1 m la ordinul I , respectiv de 1 m la ordinul II. Atingerea aproximatiei de ardinuldeeimetrilor neeesita un proees de ealeul iterativ, care va fi oprit atunei eand doua iteratiisueeesive due la acelea~i rezultate.

In eazul triangula(iilor geodeziee de ordinele III ~i IV, eoordonatele provizoriineeesare redueerii direetiilor la planul proieqiei Gauss este neeesar a fi eunoseute eu 0

aproximatie de ordinul a 10m, respeetiv eiiteva zeci de metri.

5. Situatii particulare, dind latura de triangulatie intersecteazi meridianul axialal fusului

Aplieand careet formulele de ealeul prezentate, rezulta eoree(iile de redueere eusemnul eu care urmeaza a fi 'insumate eu direetiile masurate, pentru a obpne direqiile redusela planul de proiectie Gauss.

Deoarece inversarea unui semn modifiea, in mod eronat, directia respectiva eu 0

valoare egala cu dublul eorecJ:iei, este important sa se verifice eu atentie toate eoreetiile deredueere.

Dnele inversiuni de semn pot fi depistate u~or, examinand, cu privirea, 0 schita lascara a triangulatiei, !iniind eont cli laturile triunghiurilor geodezice de pe eliposoid sereprezinta 'in proieeJ:ia Gauss prin curbe cu coneavitatea spre meridianul axial aI fusului, iarsensul pozitiv de cre~ere din masurlitorile azimutale este sensul aeelor de ceasornie.

Verificarea graficaa semnului corectiilor

Vom prezenta,ln cele ce urmeaza, cazuri particulare de reprezentare in proieqia Gaussa liniilor geodeziee de pe elipsoid, eand aeeste linii intersecteaza meridianul axial (fig 41-5).

In toate cele trei eazuri, care urmeaza, vom considera ea punetul 1 este situat la vestde meridianul axial, iar punctul 2 este situat la est, adica YI < 0 , iar Y2> 0 , astfel eii, inaceste eonditii, putem serie formulele (41-14') sub forma:

0;.1 = +x2 -x1)(+2\Y2!-!y,l)

Presupunem coarda de lungime d, impiiqita in trei segmente egale, d / 3, ~i intersec-tata in ciiteva loeuri caracteristice:

Cazul I: meridianul axial intersecteazli coarda inrt-un punet situat in prima treime acorzii. In aeest caz:

2jY11<ly.1 ~iatunci (-2!YlI+!Y2!»0 ~i °1,. <0

(+2IY21-\YI\)>0 ~i °2,1 >0Prin urmare, cand meridianul axial interseeteazii coarda intr-un punct situat, fatA de

extremitatea'cea mai apropiata a corzii, la mai pupn de 0 treime din lungimea ei, atuncireprezentarea liniei geodezice se face de 0 singura parte a corzii.

Constantin Gh. MUNrEANU CARTOGRAFrE MATEMATICA

, , Prio u',:lllar~,.~tunci cii~d interseqia se produce exact la 0 treime din lungimea COWL

Imagmea p,lana a hmel geodezlCe face un punet de inflexiune, coarda este tangenta la curba i~punetul 1, lar coreetia de reducere a direqiei la plan, in acest punet, este nula.

Cazul III: meridianul taie coarda in treimea din mijloe.In acest caz:

adica, atunci ciind meridianul axial taie coarda in treimea din mijloc, imaginea plana a linieigeodezice intersecteaza coarda, asfel ineat eorectiile din cele doua extremitati ale Iiniei auacela~i semn. .

42. VERIFICAREA CORECTIILOR DE REDUCERE A DIRECTIILOR LALA PLANUL PROIECTIEI GAUSS, PE TRlUNGHIURI

In paragraful 29 din curs, este demon strata relatia de verificare a coreetiilor dereducere a direetiilor la planul oriclirei proiectii conforme.

In orice triunghi din reteaua de triangulatie geodezica, suma corectiilor de reducere laplan ale celor trei unghiuri trebuie sa fie egala cu excesul sferic al triungiuki respect iv, luatcu semnul invers (adica negativ).

Coreetia de reducere la plan a unui unghi se obtine ca diferentli intre corec~i1e dereducere la plan ale celor doua direetii care determina unghiul.

Excesul sferic se considera ca fiind valoarea "justa", pe care se compenseaza, dacaeste cazul, cele maximum 3 unitati de ultimul ordin zecimal, cu care suma nu se I'nchide peexcesul sferic.

Pozijia lriunghiuluitala de meridianul axial

Exemplu numeric pentrn calculul ~i verificarea coreetiilor de reducere a direetiilor laplanul proiectiei Gauss, I'n cazul unui triunghi geodezic din reteaua de ordinul II (fig. 42-1).

Sunt date coordonatele provizorii ale celor trei vfufuri, cu aproximatia de 1 metn: :Punctul x y

499067849758874970986

208224195673219487

Printr-un calcul aproximativ se obtine latitudinea medie a zonei: 44° 51'.Se calculeaza termenul care contine factornl excesului sferic : fm /3 = 845 . 10-12

Se calculeaza cele ~ase corectii ale directiilor si cele trei coreetii ale unghiurilor(expresiile din cele trei paranteze):

DA,B = + 7",65DA,c = +10",58

REDUCEREA DlSTANTELOR DE PE ELIPSOID LA PLANULPROIECTIEI GAUSS SAD INYERS

DB,C = + 1",53DB,A =- 7",49

"Reducerea" unei distante s de pe elipsoid la planul proiectiei Gauss trebuieconsiderata cu sensul de "reprezentare" a acesteia I'n planul de proiectie, proces prin caredistanta de pe elipsoid se deformeaza, neuniform, pe I'ntreaga ei lungime.

Problema care se pune, este sa se gliseasca 0 relatie matematica intre lungimea s aliniei geodezice de pe elipsoid ~i lungimea S , redusa la planul proieetiei Gauss, masurata pecoarda care une~e punctele 1 ~i 2 din plan (fig. 43-1).

Imaginea plana a liniei geodezice de pe elipsoid este curba 1-2, de lungime cr .In literatura de specialitate se arata ca, pentru 0 distarita de 30 km , diferenta dintre

curba ~i coarda este mai midi de 0, 14 mm ~i de aceea, lin mod practic, se poate aproxima .DC.A = -10",77DC.B = - 2",63

S = criar pentru modulul de deformatie Iiniara :

WCB ..Fucu/tatea de Geodezie, Bueuresti

ds= dSI!

in care raza medie de curburii, R, se ia pentru un punct situat la mijlocu! laturii ~i se consideraconstantA.

Notand:p = distanta elementului dS [atii de punetu! 1;YI = ordonata punctului 1;,•.8 = orientarea eorzii 1-2,

dS11 ="-ds

Y = Yl + P sin 8dS = dp

s = Pf=\l (y, + psin 8)2]d2R2 P

p=O

s = J\l- y,2 +2y,psin ~ +p2 sin 28)<12R" Po

~i integrand termen eu termen ,

2y, p2 sin 8

4R2p' sin

o

281

5

6R"o

S dSs= J-

o 11

s = S(1_ y, 2 _ y, Ssin 8 _ S2sin 28)2R2 2R2 6R2

5 2 4

S = J (1+L.+ -Y-f'dS2R2 24R4

o

Termenul in y4, pentru y = 100 km, are 0 v.aloare de.aproximativ ",0,3 . 10-8:Neglijandu-l ~i dezvoltand expresia din parantezii dupii bmomul 1m Newton, luand numalprimii doi termeni, rezultii

5 y2

s= J(1--)dSo 2R2

_Y~ +YmLly_(Lly)2 -YmLly+ (Lly)2s=S[l+ 4 2

2R2(Lly) 2

]

6R2

s = 5 [1- y~ + (8y)2 _ (8y)2 ]=5[1- Y~ _ (8y)2 ]2R 2 8R 2 6R 2 2R 2 24R 2

Cu aceasta formula, poate fi calculata lungimea s a unei linii geodezice de peelipsoid, atunci cand sunt cunoscute coordonatele plane Gauss, definitive, ale extremitatilorei. Este problema inversa fata de reducerea la planul de proiectie.

sS = 2 2

[1_l'!'...-_(8y) ]2R2 24R2

in care expresia de la numitor se calculeaza eu opt sau noua zeeimale.In toate formulele de mai sus, raza medie de eurbura , R , se ia pentru latitudinea

medie a laturii.

Reducerea distantelor la planul de proieetie, eu formula (43-10) sau cu 0 aha formulacare deriva din aeeasta, este necesara, de exemplu, atunei eand se prelucreaza, in planulproieqiei Gauss, masuratori de trilateratie.

Coordonatele plane Gauss, neeesare redueerii distante10r de pe elipsoid la planul deproiectie, este sufieient a fi cunoscute eu 0 aproximatie de paua la 5 metri ~i se pot determinaprin aproximatii succesive, folosind in prima aproximatie distantele de pe elipsoid, neredusela plan.

Pentru 0 distanta de aeeea~i lungime, diferenta dintre distanta redusa ~i cea neredusaeste cu atilt mai mare, cu cat sunt mai mari Ym ~i l1y, adica in zonele meridianelormarginale, pentru laturile orientate perpendicular pe axa Ox .

La latitudinile Romauiei, pentru 0 latura de 30 km , in zonele meridianelor marginaleale fuselor de 6°, coreqia poate dep~i 15 metri.

Laturile reduse la plan sunt mai mari deeat cele de pe elipsoid, deoarece in proieqiaGauss toate deformatiile sunt pozitive.

Pe meridianul axial, distanta redusa la plan este egala cu cea de pe elipsoid.

TRANSCALCULAREA COORDONA TELOR PLANE GAUSS DINTR-UNFUS IN ALTUL

Aceastii problema se pune frecvent, mai ales pentru punete situate in zonelemeridianelor marginale ale fuselor ,ori in cazul reprezentiirilor cartografice la scara 1: 5 000sau la scarl mai mari.

Datele problemei sunt: coordonatele punctului in fusul I ~i longitudinile meridi-anelor axiale ale celor doua fuse vecine, intre care se efectueaza transcalcularea.

Rezultatele transcalcularii: coordonatele aceluia~i punct de pe elipsoid, dar in fusul II.

1) Transcalcularea prin intermediul coordonatelor geograficeAcest procedeu presupune doua etape de calcul:- prima etapa: se calculeaza coordon~tele geografice ale punctului, funqie de

coordonatele rectangulare plane din primul fus;- a doua etapa: se calculeaza coordonatele plane Gauss in fusul !II do ilea, functie de

coordonatele geografice de pe elipsoid, folosind longitudineameridianului axial al acestuifus.

Algoritmii de calcul, aeeesari ambelor etape, sunt expu~i in capitolul 4 al cursului,dedicat proiectiei Gauss.

Procedeul se poate aplica atat pentru fusele standard, fie de trei fie de ~ase grade, cat~i in cazul fuselor locale.

2) Transcalcularea cu ajutorul un or formule cu coeficienti constantiIn revista "Buletin topografic" Uf.l / 1958, Vasile Palie ~i Constantin Strutu au

publicat acest procedeu.

Prima pereche de polinoame se refera la situatii1e in care diferenta de longitudinedintre meridianele axiale ale eelor doua fuse este de plus sau minus 3° , adica poate rezolvasituatiile in care transcalcularea se face fie intre doua fuse vecine de cate 3° , fie intre un fusde 3° ~iunul de 6°

A doua pereche de polinoame se refera la situatiile in care diferenta de longitudinedintre meridianele axiale ale celor doua fuse este de plus sau minus 6° Ea permitetranscalcularea numai intre fusele de 6° veeine.

Coeficientii au fost calculati pentru elirsoidul Krasovski 1940 ~i sunt valabili numaipentru teritoriile situate intre latitudinile de 42 ~i 50°.

3) Transcalcularea dintr-un fus in altol, cu ajutorul tabelelor specialeAstfel de tabele au fost intocmite ~i de cAtre Antal Tarezy-Hornoch, in colaborare cu

Vladimir K. Hristov [33].

Aceste tabele sunt valabile numai pentru elipsoidul Krasovski 1940 ~i pot fi folositenumai la transcalculliri in care diferenta de longitudine dintre meridianele axiale ale celardoua fuse este fie de 3°, fie de 6° .

Din punctul de vedere. al preciziei rezultatelor finale, cele trei procedee suntcomparabile, putftndu-se conta pe centimetru sau chiar pe 0 precizie mai buna.

UTes --[<'aeultatea de Geadezie, Hueuresli

45. CADRUL SI NOMENCLATURA FOILOR DE HARTA TOPOGRAFICAIN PROIECTIA GAUSS

In Romania, haI1ile topografice executate dupa anul 1951, 'in proieqia Gauss, au fost'intocmite la urmatoarele scari standardizate: 1: 1 000 000, 1: 500 000, 1: 200 000,1:100000, 1:50000, 1:25000, 1:10000, 1:5000, 1:2000.

. Toate aceste hlirti topografice au eadru de tip geografic, adica: prin meri~iane ~iparaleLe, duse cu 0 densitate corelata eu scara, s,-a i~'paI1it elipso~dul in trapeze, apO! fi~caretrapez de pe elipsoid, reprezentat in planul prO!ecllel Gauss, deVIne cadru pentru 0 foale de

harta. I . dNomenclatura unei foii de harta este fonnata din nomenclatura trapezu m e pe

elipsoid, insotitli de denumirea celei mai import~te 10ca~iHitirepre~entata pe foai~ de harta,sau, in lipsa unei localitali, 'insotita de denumlrea unm alt detahu topografic ,Important,reprezentat pe harta respectiva.

Constructia unui astfel de cadru presupune urmatorele operalii:- deterrninarea coordonatelor geografice ale colturilor trapezului;- calculul coordonateLor plane Gauss ale coLturilor trapezului, funqie de cele

geografice; . ..- calculullungimii laturiLor ~i diagonaLelor trapezulm, pe ehpsO!d;- reducerea Laturilor de pe elipsoid la planul proieqiei Gauss;- . reducerea LaturiLordin pLan la scara haI1ii ~i exprimarea lor in centimetri (cu doua

zeci!Jlale );~' raportarea colturilor cadrului, prin coordonatele rectangulare pLane; .- verificarea cadrului, comparand laturile masurate direct, cu ceLededuse pnn calcul ,

exprimate in centimetri.

In conditiiLe in care se Lucreaza pe un suport nedeforrnabil pentru desen, iar r~portareacoLturiLor se face La coordonatografuL rectangular, toleranteLe Laraportarea cadrulm sunt de0,2' mm pe fiecare latura ~i de 0,3 rnm pe diagonale.

Cadrul rezultat este un patrulater oarecare, ale clirui dimesiuni se modi fica de la 0foaie de harta Laalta, chiar daca foile de harta sunt la aceea~i scara.

Acest tip de cadru poate fi intiiIniqi la numeroase planuri cadastrale Lascara 1 :5 000,executate fie in proiectia Gauss, fie in proieetia stereografica 1970.

In capitoLuLII, paragraful 14, este expus amanunli~ ,moduLde impaI1i,~ea elipsoiduLuiin trapeze, funqie de scara hfu1ii, precum ~i moduL de stablhre a nomenclatum acestora.

Pentru reprezentariLe cartografice in proieetia Gauss la scari mai mari decat 1: 2 ?OO,se obi§nuie§te a se folosi un cadru de tip geometric, adica un patrat sau dreptunghl dedi~ensiuni'fixe, ale clirui Laturi sunt paraLeLe , respectiv perpendicuLare , hi axeLe decoordonate.

Proiectia UTM este 0 variantaa proiectiei Gauss-Kruger, utiLizata de Statele Unite aleArnericii (Army Map Service - USA), §i de alte tari, care 0 apLica pe fuse de 6°, exceptandzoneLe circumpoLare (pana la Latitudinile de 80\

Pana in anuL 1990, in Romania aceasta proieetiea fost putin aplicataIn ultimii ani, intensificarea diverselor colaborari-romano-occidentaLe, impune ca, in

anumite activitati, sa se utiLizeze acest siste:n de proiectie si eHpsoiduL WGS 84, pentru care:semiaxa mare a = 6 378 137, 000 mturtirea geometrica f= 1 /298, 257 223 563

PrincipaLe caracteristici ale acestui sistem de proiectie sunt urmatoareleReprezentarea se face pe fuse, ca in cazul proieetiei GaussAxele de coordonate rectangulare plane UTM sunt stabilite la felca in proieqia

Gauss, dar coordonatele poarta denumiri ale punctelor cardinale:- coordonata Nord, notata "N" (Northing), cu sensul pozitiv de la ecuator spre nord,

este echivalenta cu x din proiectia Gauss;- coordonata Est, notatii "E" (Easting), cu sensul pozitiv spre est, corespunde lui y

din proiectia Gauss utiLizata la noi in tara .Originea sistemului de axe de coordonate adevarate este la interseqia meridianului

axial cu ecuatorul, dar sunt utilizate ~i " coordonatele false" , E' = E + 500 000 m.Reprezentarea UTM satisface urmatoarele condi~ii :

1 - este conforma ;2 - meridianul axial al fusului se reprezinta printr-un segment de dreapta, este

axa de simetrie ~i axa ON ;3 - pe meridianuL axial, scara reprezentlirii are valoarea Ko = 0, 99960.

Satisfacerea acestor conditii face ca imaginea elipsoidnlni in proiectia UTM sa fieasemenea en cea din proiectia Gauss, dar mai mica.

ReLatia care permite trecerea de La coordonatele plane Gauss (x,y) la coordonateleplane UTM (N,E) ~i invers este :

N=xKoE=yKo

Scara (modulul de deformape liniara) din proieetia UTM se caLculeaza cu relatia

Reducerea scarii din proiectia UTM provoaca modificarea valorii $i a repartitieideformatiilor din plan, comparativ cu proiectia Gauss.

In fiecare fus de 6° al proieetiei UTM exista dona Hnii de deformatie nula, simetricefata de meridianul axial $i aproximativ paralele cu acesta, la distanta de circa 180 km.

WCB - Facultatea de Geodezie, Bucuresti

In sudul Romaniei liniile de deformatie nulii interseeteaza paralelul de 44° la 0

diferentii de longitudine d~ + ~i - 2° 15', iar in nord, paralelul de 48° la + ~i - 2° 25' fata demeridianul axial.

Deci, liniile de deforma[ie nula, din fieeare fus de 6°, sunt situate dineolo de limitelefusului de 3°. Prin urmare, utilizarea fuselor de 3°, in proiectia UTM, nu mai are sens.

Spre deosebire de proiectia Gauss, in care toate defo~atiile sunt ~?zitiv~,. situa~e i~intervalul [0; +71 ] em / km, in proiectia UTM au loc atat ~~formatI,1 POZltIv~, c.at Slnegative. Cele negative sunt euprinse intre - 40 em / km , pe mendlanul axIal al fi~~1 fus,~i 0, pe Iiniile de deformatie nula. Deformatiile pozitive se produe intr~ Imnl~ dedeformatie nula ~i meridianele marginale. In sudul Romaniei, ele pot lua valon de ordmul a+31 em/kID.

Izoliniile deformatiilor sunt aproximativ paralele eu meridianul axial al fusului.

y[km]

Deformatii Iiniare in proiectiile Gauss si UTM [cm / kIn]Elipsoidul Krasovski 1940. Latitudinea B = 44°

Proiectia Proieetia y ProieetiaGauss UTM [km] Gauss

Tab. 46.1Proiectia

UTM

0 0,0 -40,0 130 +20,8 -19,210 + 0,1 -39,9 140 +24,1 -15,920 + 0,5 -39,5 150 +27,7 -12,430 + 1,1 -38,9 160 +31,5 - 8,540 + 2,0 -38,0 170 +35,5 - 4,550 + 3,1 -36,9 180 +39,8 - 0,260 + 4,4 -35,6 .190 +44,4 + 4,470 + 6,0 -34,0 200 +49,2 + 9,280 + 7,9 -32,1 210 +54,2 +14,290 +10,0 -30,1 220 +59,5 +19,5

100 +12,3 -27,7 230 +65,0 +25,0110 +14,9 -25,1 240 +70,8 +30,8120 +17,7 -22,3

-----------~---Date comparative privind elipsoizii Krasovski 1940 si WGS84 Tab. 46.2

Elipsoidul Krasovski 1940 Elipsoidul WGS 84

semiaxa mare a= 6378245,000 6378 137,000 mturtirea geometriea f= 1/298,3 1 /298,257 223 563semiaxa mica b= 6356863,019 6356752,314 mrazala poli e= 6 399 698,901 6399 593,626 mprima exeentrieitate e2= 0,00669342162297 0,006694379990 14a doua excentricitate e' 2 = 0,00673852541468 0,006739 496 742 28sfertul de meridian 10002137,50 10001965,73 meeuatorul 40075 695,27 40075016,69 maria = 510083059,34 510 065621,72 km2

Constantin Gh. MUNfF.ANU

PROPRIETA TI SI FORMULE GENERALE ALE PROIECTIILORCILINDRICE

. P:oie~~~le eilindriee se earaeterizeazii prin aeeea ca reteaua normalii se reprezintapnn doua famlln de drepte paralele, reeiproe perpendiculare, ea in fig .. 17-1.

Dr~pt~l.e unei familii, paralele eu axa Ox, pot reprezenta fie imaginile meridianelor(cazul prOleetnlor drepte), fie imaginile vertiealurilor (eazul proiectiilor obI ice sau al celortransversale).

Dreptele din a doua familie, paralele cu axa Oy, reprezintii fie eercurile paralele, fiealmucantaratele .

. Pe 0 sferii de razii R, pozitia polului proieetiei, Qo , care este ~i polul eoordonatelorsfence ~o~a:e, se de~~e~t~ eu ajutorul eoordonatelor sale geografiee ~i este punetul in careaxa unUi ellmdru auxlhar, Imaginar, inteapa sfera.

Funqie de latitudinea polului Qo , proieetiile eilindriee pot fi . drepte, oblice sautransversale.

Funetie de nat.ura elementelor geometriee care nu se deformeazii, proieqiile eilindricepot fi • eo~fo~me, e.ehl~.ale~t.esa~ eehidistante pe meridiane (respeetiv, pe vertiealuri)

EXlsta prOleetn clltndnee care nu sunt nid eonforme niei eehivalente nicieehidistante. Sunt arbitrare. "

In cele ce urmeazli, sunt prezentate proprietiiti ~i formule generale ale unor subclaseale proiectiilor eilindriee.

A - Proiectiile cilindrice drepte se earaeterizeazii prin urmiitoarele:Reteaua normala coincide cu reteaua cartografica ~i se reprezintii astfel (fig.47-1) •

meridianele - p~n drepte, la distante proportionale cu diferenta de longitudine;. . ~aral~I~le - pnn drepte paralele, perpendiculare pe imaginile meridianelor;

dlstanta ~mtre Imagmtle paralelelor succesive ale retelei variazli de la 0 proieqie cilindricii laalta, dupa cum reprezentarea este fie eonforma, fie echivalenta, fie altfel.

Sistemul de axe pentru coordonatele rectangulare plane se alege astfel:. - ea axa Ox , in principiu, poate fi aleasa imaginea oriclirui meridian; alegerea trebuie

sa tma cont de intinderea ~ide pozitia geograficii a teritoriului;- ca axii Oy , se ia, de obieei, ecuatorul, care este ~i 0 axil de simetrie; dacii teritoriul

este ~m departe de ecuator, atunei, prin intermediul unei constante (translatie), se poateapropla axa Oy de zona reprezentatlL

. Din ~ele. exp.use, rezultli ca, in proiectiile cilindrice drepte, coordonata x depindenumal de latltudme, lar coordonata y este direct proportionalii cu longitudinea.

r.m:B - Facu/ratea de Geodezie, Bueuresli

In toate proiectiile cilindrice drepte, directiile principale coincid cu meridianul ~iparalelul care trec prin punet, astfel ca, semiaxele elipselor de deformatie sunt:

Aspectul general al rete lei normaleintr-o proiectie cilindricadreapta

(echivalenta)

semiaxa mare a = max (m, n)semiaxa mica b = min (m, n)

Formulele generale ale proieetiilor cilindrice drepte pentm reprezentarea elipsoidului de

rotatie sunt:x = f(B)y = a L, unde a = const, iar L se masoara de la axa Ox ;

ds~ dxm=--=--

dSm MdB

_ ds~ dy _ adL _ a _ an- -=----------

dsp

dsp rdL r NcosB

,(J) a-bSlll-=--

2 a+b(J) Jftg(45° +-)= -4 b

In care (J) este deformatia maxima a unui unghi cu varfulln punctul considerat.Fun~tia f ~i constanta a urmeaza a fi determinate pe baza unor conditii supli-

mentare, a§a cum se va exemplifica 'in urmlitoarele paragrafe.Dacli suprafata Plimantului se considera sferi, de raza R , atunci formulele generale

ale proieetiilor cilindrice drepte sunt urmatoarele:

CotlStnntin Gh. MUAIEASU

x=f(<p)y = a A., unde a = const, iar A.se masoara de la axa Ox ;

dxm=---

Rd<p

n = ~ = adA. = ~ = _0._rdA. rdA. r Rcos <p

p= m n

. (J) a-bSIll- =---

2 a+btg(45° +~) = ~4 Vb

Din formulele generale de mai sus, se constata eli , atat in cazul e1ipsoidului cat ~i incazul sferei,. d.~formatiile din proieetiile cilindriee drepte depind numai de latitudine ~i;prinurmare, lzohnule deforma[iilor vor fi drerte paralele, care se confunda cu imaginile plane aleparalel elof.

B - Proiecliile cilindrice oblice ~i cele cilindrice transversale au urmatoarelecaracteristici generale:

Forma Pamantului se considera , de obicei, sfera, de raza R.Reteaua normal a este alclituitli din imaginile plane ale veticalurilor ~i ale

almueantaratelor ~i se reprezinta astfel:- verticalurile (A=const) - prin drepte paralele, la distante proportionale cu diferentele

de azimut (asemanator meridianelor din proieetiile cilln'drice drepte);. - almueantaratele - tot prin drepte paralele, dar perpendieulare pe imaginile vertiea-

lunlor (asemanator paralelelor din proieetiile eilindriee drepte). .Meridianele §i paralelele, In proieetiile eilindrice oblice ~i In cele cilindriee trans-

versale, se reprezinta prin curbe simetriee fata de 0 dreapta, care este imaginea meridianulpolului proieetiei

Polul Qo este §i pol al coordonatelor sferiee polare.Sistemul de axe dt: eoordonate reetangulare plane, xOy, se alege astfellneat axa Ox

sa eoincida cu dreapta prin care se reprezintli meridianul polului proieetie~ iar originea axelorse ia in a~a fel, ineat valorile lui x sa fie pozitive pe teritoriul de reprezentat.

Direetiile principale coincid cu direetiile verticalului si almucantaratului care tree prillpunet ~i se noteazli :

~1 - pe verticaluri ,~2 - pe almueantarate .

Formulele generale ale proieetiilor cilindriee obliee' §i ale celor eilindrieetrsansversale se obtin din formulele generale ale proiectiilor eilindrice drepte ale sferei(47-3), f8.eand Inlocuirile:

A. eu A;<p cu (900

- z) ; sau eolatitudinea IV cu z;m eu ~1 ;

n eu ~2 ,

Sueeesiunea ealeulelor, in eazul proieetiilor eilindriee oblice sau eilindriee trans-versale ale sferei este urmatoarea:

- stabilirea eoordonatelor geografiee ale polului proieetiei;- transformarea eoordonlltelor geografiee in eoordonate sferiee polare;- ealeulul eoordonatelor plane rectangulare, x,y , ale nodurilor retelei de meridiane ~i

paralele, precum §i ale oriearor detalii care urmeaza a fi reprezentate pe hartii, prin coordo-nate rectangulare;

- ealeulul modulilor de deformatie ~i al deformatiilor.

Dadi elipsoidul de rotatie urmeaza a fi reprezentat intr-o proieetie eilindrieii oblieiisau eilindrica transversaIa, atunei problema trebuie redusii la reprezentarea unei sfere, fieaproximand ea latitudinea ~i longitudinea de pe elipsoid isi piistreazii aeelea~i valori ~i pesferii (admisibil pentru hiirtile la seiiri mici, eventual medii), fie recurgand la 0 proieetiedub Iii: reprezentarea elipsoidului pe 0 sferii, apoi reprezentarea sferei pe un plan.

ConcIuzii:In proieetiile eilindriee drepte, reteaua eartograficii are cel mai simplu aspect posibil:

douii familii de drepte paralele. Prin urmare, se construie~te cel mai usor.In variantele "eilindru tangent", eereul de tangentii este reprezentat nedeformat ca

lungime.In variantele "eilindru secant", sunt reprezentate rarii deformatii de lungime amandouii

cercurile de seetionare a elipsoidului sau II sferei.

In toate situa(.iile, izoliniile deformatiilor sunt parale1e cu imaginile paralelelor,respeetiv eu imaginile almueantaratelor.

Proiectiile eilindriee se utilizeaza la intocmirea hiirti10r geografice, la intocmirea unorhiirti de navigatie ~i in alte scopuri.

In eele ee urmeazii, sunt prezentate eazuri particulare de proieetii cilindrice, in careformulele de caleul se obtin prin partieularizarea formulelor generale expuse in acestparagraf

PROIECm CILINDRICE DREPTE ECHIDISTANTE(patratice / dreptunghiulare)

Proieetiile eilindrice drepte pot fi echidistante numai pe meridiane.Dacii eilindrul este tangent, in afarii de meridiane, se reprezintii nedeforrnat ea

lungime ~i ecuatorul.Daea cilindrul este secant, atunci se mai reprezinta nedeformate, ea lungime, ~i eele

doua paralele dupa care cilindrul interseeteazii sfera.Conditia de baza pusa proieetii1or eilindriee drepte eehidistante este ea meridianele sa

se reprezinte nedeformate ea lungime, adica, in mice punet al proieetiei sa fie satisraeutaeondipa:

Constantin Gh. MUNrEANU

P:n~ru repr~zent~Ie la scari miei Pamantul se eonsidera sfera iar pentrureprezentanle la scan marl (sau medii) Pamantul se considerii elipsoid de rotatie.'

Cazul 1: Pamantul se considera sfera de razi RT!nand cont de formulele generale (47-3), conditia de echidistant~ pe mer'd'

poate sene: ' I"" 1 lane se

dxm=--=l

Rdq>

x= fRdq>+C

in ,car~ So,cpreprezinta lungimea areului de meridian masurat pe sfera de la ecuator piina lalatltudmea q>. '

, . Constanta d~ int~~rare C se determina din conditia ca axa Oy sii coincida euImagmea ecuatorulUl, adlca pentru q>= 0 sa avem x = O. In acest caz, din (48-2) rezulta

C=Oastfel ca, pentru 0 latitudine oareeare' avem:

x = So.CPPentru calculul lui y ne folosim de formula generala:

y=aA,in .car~, constan.ta a se ?etermina punand conditia suplimentara ca un anumit paralel, delatItudm~ q>I , sa se reprezmte nedeformat ca lungime.

Tmand cont de formulele generale (47-3), aceasta eonditie se poate serie:

a anl=-=---=I

rl Rcos<jlj

a=rl=R~s~~ ., , (48-4)Formulele g,enerale ale prOleetu1or eIlmdnce drepte echidistante pe meridiane pentru

reprezentarea sferel de raza R, sunt: '

x = So,,,,y = a A, unde constanta a = r\ = R cos q>\m= I

n = ~ = Reosq>, = cosq>,r Reosq> eosq>

p=mn=n• Q) a-bsm-=--

2 a+b

Proiectia cilindricii. dreaptii. echidistantii. pii.traticaLuand, In (48-5), q>1= 0 , ecuatorul se reprezinta nedeformat ca lungime, fapt ce core-

spunde unui cilindru tangent sferei I" ecuator.Reprezentand meridianele ~i paralelele astfel incat diferenta de longitudine dintre

meridianele succesive sa fie egala cu diferenta de latitudine dintre paralele succesive, reteauacartografica ia aspectul unei retele de patrate. De aceea, aceasta proiectie se nume~te"proiectie cilindrica dreapta plitratica".

Formulele acestei proiectii se obtin din (48-5), cu particularizarea <(J1= 0 Ele sunt:x = So.CP=R<{Jy=a.'A. =R'A.m= 1

n= cosq>, =_1_~1cos<{J cOS<{J

1P= mn = n = --2:1 (48-6)

cos<{JSemiaxele elipsei de deformatie: a = n > 1; b = m = 1 ;

• Q) a - b 1-cos<{J 2 <{Jsm - = -- = .----- = tg -2:02 a + b 1+ cos<{J 2

Din interpretarea acestor formule, rezu1ta urmatoarele proprietati ale proiec!ieicilindrice echidistante patratice:

- meridianele ~i ecuatorul nu se deformeaza ca lungime;- pe ecuator nu exista nici deformatii areolare , nici unghiulare;- pe toate celela1te paralele, distantele si ariile au deforrnatii pozitive, care cresc pe

masura ce cre~te latitudinea;- toate deformatiile depind numai de latitudine; de aceea, izoliniile deformatiilor

(izocolele) sunt drepte care se confunda cu imaginile plane ale paralelelor;- polii geografici nu se pot reprezenta: pentru latitudinea de 90°, imaginea in plan a

unui punet de pe sfera (polul geografic) este 0 dreaptli., deci 0 infinitate de punete, nefiindastfel satisfacuta conditia ca reprezentarea plana sa fie biunivocli; in aceasta proieetie, ca ~iin celelalte proiectii cilindrice drepte, polii geografici sunt ni~te"punete singulare";

- proieqia este avantajoasa pentru reprezentarea teritoriilor din zona ecuatoriaUl.

Proiectia cilindrici dreaptii. echidistanti dreptungbiulari a sfereiDacli in formulele (48-5) se ia <{JI diferit de zero, atunei suntem in cazul unui

cilindru secant, iar cele doua paralele de sectionare, de latitudine + <{JI ~i - <{JI ,sereprezinta Taradeformatii de lungime.

, Trasand meridianele la diferente de longitudine egale cu cele de latitudine, la care sereprezinta paralelele, reteaua cartografica ia aspectul unei rete Ie de dreptunghiuri egale. Dinacest motiv, proiectia este denumita "cilindrica echidistanti dreptunghiulari".

COllstalllln Gh. MUlvTEANU

I +y

-<j)1I !

I : :11 ~:-<j)4

.. Asfleetul general al retelei normaleintr-o proi~cti~ cilindrica dreaptaechidistanta patratica

Aspectul general al retelei normaleintr-o proiectie cilindrlca dreaptaechidistanta dreptunghiulara

(cilindru secant)

In a~est caz sunt favorizate, din punetul de vedere al deformatiilor, doua benzi situatede 0 parte ~Ide alta a celor doua paralele de sectionare.

Toate par~elele, inclusiv ecuatorul, se reprezinta cu lungimea pe care 0 au , pe sfera,paralelele de sectlOnare.

Rezulta cli toate paralelele cuprinse Intre latitudinile + <P I si - <P I se reprezinta cudeformatii negative, ceJe mai mari fiind pe ecuator. Intre aceste latitudini, elipsele dedeformarie au axa mare pe directia meridianului, unde deformatia este nula.

Jntre polii geografici ~i paralelele de seet:ionare, toate deformatiile, de lungime ~i aleariilor, sunt pozitive ~i cresc spre poli. Elipsele de deformatie au axa mare pe direqiaparalelului care trece prin punctul considerat.

Cazul 2: Pimantul se consideri eJipsoidTinand cont de formulele generale ale proieqiilor cilindrice pentm elipsoid, (47-2),

conditia de echidistantii pe meridiane se scrie In forma:dxm= -- =}

MdB 'din care, procediind ca in cazu} precedent, referitor la sferii, obtinem urmatoarele formule decaleul pentru reprezentarea elipsoidului de rotarie In proieqii cilindrice drepte echidistante pemeridiane:

x = SO,B

y=aLm= }

_ a r, N,cosB,n- -=-=----

r r NcosBp=mn= n

, co a-bsm~=--

2 a+b

h care SO,B reprezinta lungimea arcului de meridian masurata pe elipsoid, de la ecuator piinala latitudinea B.

Pentru BI = 0, reprezentarea corespunde unui cilindru tangent la eeuator, iar pentruB1 diferit de zero, reprezentarea corespunde unui cilindru secant, care interseeteaza elip-soidul dupa paralelele de latitudine +B1 ~i -B1, paralele care se reprezinta nedeformate calungime.

In ambele cazuri, fie eilindm tangent fie cilindru secant, reteaua de meridiane ~iparalele este alcAtuitli din dreptunghiuri neegale .

Comentariile fiieute eu privire la deformatii In cazul } (Parnant sfera), sunt valabile ~ipentru cazul 2 (Farnant elipsoid).

Yom analiza doua eazuri: cand Pamantul se eonsidera elipsoid de rotatie si candPamantul se considera sfera de raza R

In ambele cazuri de reprezentare echivalentii, conditia specifica este ca raportul dintreo arie din planul de proiectie ~i aria corespunzlitoare pe suprafata elipsoidului, sau a sferei, sa

ConstQntin Gh. A1UNTEANU

fie constant. De obicei, aceasta constanta se ia egala .- .. cu umtatea, astfel incat, conditiareprezentaru echivalente se poate scrie: '

Cazull: Pimantul se consideri elipsoid de rotatie.. In ~azul. elips?i?ului, .I~ orice proiectie cilindrica dreapta, modulii

hmara pe dlrectla mendlanulUl ~I respectiv a paralelului, au expresiile (47-2):

dxm=--

MdB

a an= -=---

r NeosBFolosind aceste exp:-esii, condilia de echivalenla se mai poate scrie:

dx a--X---=IMdB NcosB '

x =~fMNcosBdB+Ca

1~ care, al d~i1ea ten~en al su~ei din paranteza este subunitar. Dezvoltand In serie expresiadm paranteza, dupa bmomullUi Newton, ~i inlocuind In (49-2), rezultli:

b2

x = -;:-f (1+ 2e2 sin 2 B + 3e4 sin 4 B + 4e6 sin 6 B+ ...)cosB dB+C

In .~~ con~tant~ de integrare ~ s~ se detennina In funqie de modul cum se stabile~te axaOy. , Dacllimagmea ecuatorulUl se la ca axii Oy, trebuie ca, atunci cand B = 0 sa . t .egahtatea x = 0, astfel cii, din (49-3) rezulta ' eXlSe ~I

C=OFormula de caleul pentru y se obline din formula general a

y=aL ,

ureB FacuJlalea de Geodezie. Bucuresti

in care constanta ct. se detennina punand conditia suplimentara .c~ un anUl:nit_earalel, delatitudine B\, sa se reprezinte nedeformat ca lungime. Aceasta cond1t1e se expnma III forma:

n ==~ =' a ==1 , (49-5)1 r

1N1 cosB1

adica, constanta ct. este egala cu raza paralelului / paralelelor care dorim sa se reprezintenedefonnat(e) calungime. .

Tinand cont de formulele deduse pe baza conditiei de echivalentii, dar ~l de formulelegenerale ale proiectiilor cilindri~e :trept~, g:.up.a~, ~n cele ce ur~eaza, formulele pentrureprezentarea elipsoidului de rotatte III prOlec!" Clhndnce drepte echlvalente.

b2• 2 2 • 3 3 4 . 5 B 4 6 . 7 B )x == -=-(Slll B + -e Slll B + -e sm + -e sm +.--ct. 3 5 7

Y= ct. L = rl L; (paralelul BI se reprezinta rarAdefonnatii);

p=mn=l

n=~==lr r1m=-n

semiaxele e1ipsei de defonnatie: a = max (m, n); b = min (m, n);

tg(45° +~) =' ~~ =' a4 b

Toate izoliniile sunt drepte, paralele cu imaginea ecuatorului.

Cazul 2: Pamantul se considera sfera .Pentru sfera de raza R, avem fonnulele generale (47-3), din care foloSlm expresiile

lui m ~i n, ~i atunci conditia de echivalentli se poate exprima astfel:

p=mn= ~x_ct._==l (49-8)Rdq> Rcosq>

R2X = -J cosq> dq>+Cct.

R2x= -sinq>+C

ct.

Ca ~i in cazul precedent, luand ca axa Oy dreapta care reprezinta ecuatoru~ rezulta

Cons/an/in Gh. MUNTEANU

in care q>1 este latitudinea paralelului / paralelelor care dorim sAse reprezinte rara deforma-tii

_ Tinand cont ~i de formulele genera Ie (47-3) ale proiectiilor cilindrice drepte, rezultaurmatoarele formule de calcul pentru reprezentiirile cilindrice drepte echivalente ale sferei :

R2x= -sinq>

ay = a A., unde constanta a = r, =R cos q>, ;

n = ~ == 2 = COS ~1r r cos(j)1m= -.n

tg(45° +.0.-» = ~~ == a4 b

Pentru un cilindru tangent sferei la ecuator, se obtine proiectia cilindricii dreaptaechivalenta numita " izocilindrica". Formulele ei se deduc din (49-12), luand (j)1 = 0, adica:

a=Rx = R sin (j)

y=RA.

1n=--

cos(j)m = cOS(j)

semiaxele elipsei de deformatie: a = n; b = mo ill 1

tg(45 +-)=a=--4 C03q>

In cazurile in care Pamantul se considera sfera, raza R se determinii din conditia casuprafata sferei sa fie egala cu suprafata elipsoidului de referinta. .

Sfera cu 0 suprafatli egaHi cu cea a elipsoidului Krasovski 1940, are raza :R=6371 116 m

In toate fQrmule cu care se calculeaza v. valoarea numerica a longitudinii trebuieconsiderata fatA de meridianul axei Ox. J • ~

Pentru reprezentarea retelei cartografice, este recomandabil sa se calculezecoordonate1e plane x,y reduse la scara hartii si exprimate in centimetri. Pentru aceasta, inecuatiile hlirtii se introduce factorul " 100 So ", in care So este scara generalA a hlirt-ii.

In fig. 49- 1 se arata aspectul general al retelei cartografice intr-o proiectieizocilindrica, dar ~i un procedeu grafic, expeditiv, prin care poate fi reprezentata aceastaretea.

Aceasta proiectie a fost imaginata ~i aplicata, in anul 1569, de catre cartografulolandez Gerard Kremer, numit ~iMercator.

Proiectia cilindrica dreapta Mercator este conformii ~i mai are 0 calitate, datoritaciireia este utilizata in mod curent pentru hiirtile de navigatie: ea reprezinta printr-o dreaptacurba numita loxodromii care, pe elipsoid ~i pe sfera, intersecteaza sub acela~i azimutmeridianele dintre doua puncte oarecare.

Reteaua normala este a1catuitli din imaginile plane ale meridianelor ~i ale paralelelor~i are urmiitorul aspect general:

* meridianele sunt reprezentate prin drepte verticale paralele, la distante proportionalecu diferentele de longitudine;

* paralelele sunt reprezentate prin linii drepte paralele, perpendiculare pe imaginilemeridianelor; intervalele dintre paralelele succesive cresc pe masura apropierii de poliigeografici, motiv pentru care, reteaua eartografica este denumita "cu latitudini crescinde".

Se poate aplica fie unei sfere, fie elipsoidului de rotatie.In ambele cazuri, reprezentarea treQuie sa fie conforma, iar pentru aceasta modulul

de deformatie liniarii trebuie sa fie independent de azimut, astfelincat, conditia de conformi-tate se poate scrie in forma

Constanti" Gh. MUNTE4NU

eazull: Reprezentarea sferei in proiectia MercatorIn (47-3) s-a aratat ca in cazul reprezentarii sferei de raza R in p . t" '1' d .

drepte mod I" d d fi . I .. rOlec II Cl In nce, u 11 e e ormape a unglmllor au expresiile generale: .dx a

m=-- si n=---Rdq> Rcos q> (50-2)

in care a = constanta.Folosind aceste expresii, condilia de conformitate sepoate scrie:

dx a--=---Rdq> Rcosq>

din care se deduce formula de calcul pentru x .

x=af_d_q>-+c=af-_d_q>__ +Ccosq> sin (90° + q»

Pentru calculul integralei , transformam numitorul aplicand formula general a :

. A . A . A Asm =sm2-=2sm-cos-2 2 2

f~+ccosq>

f-----d-:q> + C2sin(45° +~)cos(45° +(jl)

2 2

Impartind atat numaratorul cat °i numitorul cu 2cos2(45° +(jl) b'• 2 se 0 tme:

in care In este ~imbolUj logaritmilor naturali, iar C este constanta de integrare.Introducand acest rezultat in (50-3), se obtine:

f d(px=a --+C = a In tg(45° +(jl)+C

cosq> 2

urCB -Facultatea de GeoJezie, Bucuresri

~lgtg(45° +!)+C ,Mod. 2

Determinarea constantei de integrare C se face cu conditia ca axa Oy sa coincida cuimaginea ecuatorului. In acest caz, pentru <P= 0 , trebuie sa aiM loc §i egalitatea x = 0 ,astfel ca, din (50-5) se obtine:

Determinarea constantei a se face puniind conditia suplimentara ca, pe paralelul delatitudine <PI, deformatiile lungimilor sa fie nule, prin urmare sa fie satisfacuta relatia:

Deci constanta a este egala cu raza paralelului (paralelelor) care dorim sa se reprezinte raradefo;matii de lungime. Un astfel de paralel se mai nume§te §i "paralel standa~d". .

Tiniind cont de formulele generale ale proiectiilor cilindrice ale sferel, (47-3), §I deexpresiile deduse pentru x, C §i a, obtinem urmaatoarele formule pentru reprezentareasferei terestre de raza R, intr-o proiectie cilindrici dreapti Mercator:

x = ~lgtg(45° +!)Mod. 2

a R COS <PI COS <PIm=n=-- =--

r R cos<p cos<p

. . Dacii se considera <P1= 0, rezulta a = R §i se obtine 0 reprezentare Mercator pc unClhndru tangent sferei terestre, la ecuator. Acesta se rcprezinta nedcformat, iar In restulplanului de Proieclie se produc deformatii pozitive, care cresc pc masura departarii fata deecuator.

Daca se considera <P1 difcrit de zero, atuncise obtine 0 reprezentare Mercator a sfereipe un cilindru secant la paralelcle + <P1 §i - <P1 , care se reprezinta rara deformalii (douaparalele standard). In planul de proieqie, Intre cele doua paralele standard se producdeformatii negative, cele mai mari ftind pe ecuator, iar Intre paralelele standard §i zonelepolare se produc deformatii pozitive, care cresc clliatitudinea.

Polii geografici nu se pot reprezenta.

Variatia modulilor de deformatie in proiectia Mercatorpe un cilindru tangent sferei, la ecuator

0° 1,000000 1,000 000 0° 1,000000 1,000000

1° 1,000152 1,000105 10° 1,015427 1,0310912° 1.000609 1,001219 20° 1,064 178 1,132474~O 1,001372 1,002746 30° 1,154701 1,333 333.)

4° 1,102442 1,004890 40° 1,305407 1,7040885° 1,003820 1,007654 50° 1,555723 2,420277

6° 1,005508 1,011047 60° 2,000000 4,0000007° 1,007510 1,015076 70° 2,923804 8,5486328° 1,009828 1,019752 80° 5,758770 33,1634379° 1,012465 1,025086 89° 57,298688 3283,139704

Cazul 2: Reprezentarea elipsoidului de rotatie in proiectia MercatorPentru reprezentarea elipsoidului In proiectii cilindrice drepte, ne sunt cunoscute

formulele generale (47-2), in care, pentru modulii de deformatie liniara avem:

dx am= -~ §i n= ---

MdB NcosBFolosind aceste relatii, conditia m = n se scrie :

~=_a __MdB NcosB

de unde rezulta :

[lICB .- Facu1tatea de Geadezie. Bucuresti

M dBdx= a-x--

N cosB

a(l-e2)M= 3

(l-e2 sin 2 B)2

a,iar N= I

(l_e2sin2B)2

M l-e2 _1-e2(sin2B+cos2B)=1N l-e2 sin 2B l-e2 sin 2 B

e2 cos2 Bl-e2sin2B

f e2 cos2 B dBx= a (l-----)--+C

l-e2 sin 2 B cosB

x= af~-aef e ~o~~ dB+CcosB l-e" sm B

Prima integrala a fost deja calculata pentru cazul sferei, astfel ca, in conformitate cu(50-4),

f dB 0 B) C (50 14)a --=alntg(45 +- + -cosB 2

e sin B = sin Ijf ,de unde, diferentiind, rezulta:

e cosB dB = coSIjfdljfInlocuind 'in (50-13), se obtine:

f e cosBdB f cosljfdljfae ----=ae . 2

1- e2 sin 2 B 1- sm Ijf

Inlocuind 1- sin 2 Ijf = cos2 Ijf , dupa simplificarea cu cos Ijf , se ajunge la 0integral a de forma celei precedente:

a ef e cosB dB =a ef ~ =a e In tg(45° +.!)+C1- e2 sin 2B cos Ijf 2

====-~======~-T.16FA4=====--~===-

x = a [In tg(45 ° +~)- e In tg(45° + .!)] + C2 2

sau, restrangiind diferenta celor doi logaritmi ~i trecand la logaritmii zecimali,B

tg(45° +-)x=~lg 2 +C ,

Mod. tge(450 +.!)2

unde : Mod.= 19 (numarul e) = 0,434 294 4819 , C este 0 constanta de integrare, iarexponentul e de la numitorul expresiei este egal cu prima excentricitate a elipsoidului.

Determinarea celor doua constante, C ~i a, se face ca 'in cazul precedent, canePamantul a fost considerat sfera.

Din condiria ca ax;; Oy sa coincida cu imaginea ecuatorului rezultaC=O, (50-18)

iar din conditia ca la latitudinea B1 sa nu se produca deformatii, rezulta :

Pentru facilitarea calculului coordonatei x, care depinde numai de latitudine, au f051intocmite ~i tabele, pentru expresia:

Btg(45 ° + -)

U = 2, unde sin Ijf= e sinE (50-21)tge(45°+~)

2Flicand particularizarile d~ mai sus in formulele generale (47-2), rezulta urmatoarele

formule de calcul pentru reprezentarea elipsoidului de rotatie in proiectia Mercator:a

x= --lgUMod

(L-Lory = a w ; (Lo = longitudinea axei Ox)

pconstanta a = rl = N1 cosBI

B1 = latitudinea paralelului standard

m=n=2r

Pentru cilindrul tangent in lungul ecuatorului, B1 = 0 , acesta se reprezinta laradeformatii, iar toate celelalte paralele se reprezinta cu deformatii pozitive, care pot atingevalori speetaculoase.

Pentru B1 diferit de zero, ne aflam in cawl unui cilindru secant; exista doua paralelestandard, intre care deformatiile sunt negative, iar deformatiile pozitive , care se produc lalatitudinile mai mari decat ale paralelelor standard, sunt mai mici fata de cele din cawlcilindrului tangent.

IntrebuintariLa scari mic~ proiectia Mercator se poate aplica pentru h1i.I1ide ansamblu, pentru

portiuni mari din suprafata terestra ~i chiar pentru intreaga suprafata (h1i.I1iclimatice etc), cuexceptia zonelor palare.

La scan medii ~i mari, proiectia se poate folosi pentru teritorii in forma de banda, nuprea lata, care se intind in lungul ecuatorului sau de 0 parte ~i de aIta a paralelelor standard.

Pentru unele harti de navigatie, este foarte utila , datorita faptului ca reprezinta printr-o dreapta curb a, de pe elipsoid sau sfera, numita loxodroma.

LoxodromaIn principiu, este important pentru un navigator sa ajunga la destinatie pe drumul cel

mai scurt, adica sa se deplaseze pe 0 linie geodezica. Inconvenientul este ca, in lungul uneiastfel de Iinii, numita, in navigatie, ortodroma, azimutul este variabil, obligand navigatorulsa modifice permanent azimutul direetiei de deplasare

Doua puncte de pe elipsoid, sau de pe sfera, intre care ar urma sa se navigheze, potfi unite printr-o curba numita loxodroma, care taie toate meridianele, dintre cele douapuncte, sub acela~i azimut.

Navigarea pe loxodromiI presupune parcurgerea unui drum ceva mai lung dedit cel depe oitodromiI, dar avantajul este ca navigatorul nu trebuie sii corecteze permanent direclia dedeplasare.

In proieetia Mercator, imaginile meridianelor, fata de care se masoara azimutulloxodrome~ se reprezinta prin drepte paralele. Proiectia fiind conforma, imaginea loxodromeitrebuie sa taie imaginea meridianelor sub un unghi egal cu cel de pe elipsoid / sfera, adicaegal cu azimutul. 0 astfel de linie, din planul de proiectie (respectiv de pe harta ), nu poate fidecat un segment de dreapta. Aceasta demonstreaza ca, pe h1i.I1ilein proieqie Mercator,loxodroma se reprezinta printr-un segment de dreapta.

Practic, dacli un navigator dispune de 0 harta in proiectia Mercator, pe care identificapozitia punctului de plecare ~i a celui de destinatie, unindu-Ie printr-o dreapta, peatedetermina, pe harta, azimutulloxodromei respective, precum ~i coordonate geografice pentrupunete de pe traseul ei .

Considerand ca L1 = 0, Bl = 0 ~i L2 = L, B2 = B , avem ecuatia loxodromei peelipsoid:

Constanlin Gk MUNTEANU

--II

Jtodroma ~I /

i7"Aspectul general al retelei normalein proiectia Mercator

Loxodroma

in care (Sm)Bl, B2 este lungimea arcului de meridian, intre latitudinile extremitatilor loxo-dromei.

Formule privind loxodroma pe sferaEcuatia loxodromei pe sfera:

A = tgA In tg(4S0 +~)2

tg(4S0 +~) = eAofBA

2 'in care e este baza logaritmilor naturali.

. Aceste ecuatii arata ca, pe suprafata sferei loxodroma este 0 spiral a, cu punctulasimptotic in polul geografic. '

Lungimea loxodromei pe sfera poate fi calculata cu formula:

in care 1 ~i 2 sunt extremitlitile loxodromei iar pentru un punct curent (x,y), de peimaginea loxodromei, ,

urCB .- Faculratea de Geodez;e, Bucu,-esti

V . t"le (dI ) crescinde cu latitudinea, dintre imaginile paralelelor,ana II • (R - 6378245 m)

in proieM;a Mercator pe un cilindru tangent sferel - 2~l"' Tab. 50-

=----=---------=--=====---=========::::::==dI dlI

..............................................................................................................................................·..···········64(j ..······· ·····9·349·9ZZ······· ..····· .

249517

63° 9100405 8405241 1I3

62° 8859292 7790233323

61° 8625969 7234226089

60° 8399880................................................................................................................ ,

··..··· ·4°··· ·· ·· 445·648 · · · .III 531

3° 334 117 102111429

2° 222688 68111 361

1° 111327 34111327

0° 0---====::::::

PROPRIETATI SI FORMULE GENERALE ALE PROIECTIILORCONICE

In cazu! proiectiilor conice, se considera ca reteaua de meridiane (sau de verticaluri)~ide parale!e (sau de almucantarate) se reprezinta, rnai intai, pe suprafata latcrala a unui contangent sau secant sferei (sau elipsoidului, daca proiectia este dreapta): orice meridian sereprezinta prin generatoarea situata in planul meridian respectiv, ~i fiecami parale! i seasociaza, pe con , un cere al cami plan este perpendicular pe axa conului.

Fig. 51-1. Axa conului inteapa sferain polul Qo

Fig. 51-2. Aspectul general al reteieinormale in proieqiile conice

Hind conul dupa 0 generatoare ~i des~urandu-i suprafata laterala pe planul deproiectie, se obtine reteaua normala cu aspeetul general caraeteristic oricarei proieetii conice(fig.51-2):

* un fascieul de drepte concurente intr-un punct , S· , poate reprezenta fie rneridiane,fie verticaluri (daca proiecpa este oblie!\ sau transversal!\);

* 0 familie de arce de eereuri concenirice, cu eentrul in S·, poate reprezenta fieparalele, fie almueantarate (daca proiectia este oblicli sau transversalli).

In ipoteza Plirnant-sfera, conul poate oeupa orice pozitie, iar punetul Qo , in care axaconului inteapa sfera, este polul proieetiei conice. Pozitia sa pe sfera se precizeaza prineoordonate geografiee, iar aeest Pl.illet va indeplini ~i rolul de pol al coordonatelor sfericepolare.

UTes - Facullacea de Geodezie, BucllresCi

Funcfie de pozifia geografica a polului Qo , proiectiile conice pot fi: drepte, oblice sautransversale (ecuatoriale).

Functie de elementele geometrice care nu se deforrneazli, proieetii1e conice pot fi:conforrne, ~hivalente ori echidiscante pe meridiane (respectiv pe verticaluri).

Reprezeptarea elipsoidului in proiectii conke drepteMeridianele se reprezinta prin segmente de dreapta, care converg spre punctul S',

fig.SI-3. flicand intre ele ungiuri proportionale cu diferentele de longitudine, adi~a:

Dreapta care coincide cu imaginea meridianului de origine, 0 consideram axa polara asistemului de coordonate plane polare (8 = unghiul polar, p = raza veetoare). Polulcoordortatelor plane polare este punctul S'.

Arcele de cercuri concentrice, prin care se reprezinta paralelele, au razele notate cu p~icenfrol in S'.

Paralelul din extremitatea sudica a zonei de lucro se reprezinta cu raza vectoare ps ,iar intersectia sa cu meridianul de la care se masoara I) se considera origine a sistemului deaxe xOy ~l coordonatelor rectangulare plane. Uneori se considera ca e),.'tremitatea sudicaeste ecuatorol.

Coord onate polaresi cele rectangularein proiectiile con ice drepte

Pe baza proprietlitilor enuntate ~i a figurii , se pot scrie urmatoarele formule generalepentro reprezentarea elipsoidului in proiectii conice drepte:

I) = a L, unde const a < 1P = f(B)x = - p cos I); (sau x = ps - P cos 8 )y=psinl)

Constantin Gh. MU!VfEANU

_ ds~ dpm- --=---

dSm MdB

_ dsp _ pdeS petdL p apn- ---=--=a-=---

dsp rdL rdL r NcosBp=mn

. (j) a-bStn-=--

2 a +bsau: tg(45" +~)= ~4 fl;

Semnul minus din expresia lui m se datoreazli faptului ea, cre~terile razei veetoare ~i alelatitudinii au semne eontrare, iar m trebuie sa aiba 0 valoare pozitiva.

Reprezentarea sferei in proiectii conice drepte_Dac~ in formulele (~1-2), valabile pentro elipsoid, inlocuim razele principale de

curbura M ~l N cu raza sferel, R , rezulta urmatoarele formule generale pentro reprezentareasferei in proiectii conice drepte:

I) = a Ie, unde const a < Ip=f(cp)x = - p cos eS; (sau x = Ps - P cos 8 )y=psin8 (51-3)

m=-~Rdcp

n=a£=a--P-r Rcoscp

p=m n• (j) a-b

Stn-= --2 a + b

sau: tg(45°+~)= ~4 Vb

In .cazul proieqiilor conice drepte pe un con tangent, paralelul de iangentli se mainume~te ~I paralel standard. El se reprezinta f'ara deformatii de lungime.

In proiectii1e conice drepte pe un con secant, exista doua paralele standard (laradeforrnatii).

Reprezentarea sferei in proiectii conke oblice / transversaleIn. proiectiile conice oblice ~i in cele transversale, reteaua normalli , cu aspeetul

~ene~al ~Infig. 51-2, este forrnatli din imaginile plane ale verticalurilor (dreptele care convergI~ S ~ ~I a~e.almuc~ntara~elor (arcele de cercuri eoncentrice, cu centrol in S'). Unghiuriledmtre Imaglmle vertlcalunlor sunt proporponale eu diferentele de azimut , A , de pe sfera.

Forrnulele generale ale proieetiilor conice oblice / transversale ale sferei sunt analogecu cele ale proieetiilor conice drepte, (51-3), diferind doar prin notatii: A, Z, !J.I, 112, in locde A., (900

- cp),m si respectiv n.Succesiunea calculelor in proieetiile conice oblice / transversale este, in general,

urmatoarea:

UTCB - Faculratea de Geadezie. Bucuresti

- trecerea de la suprafata elipsoidului de rotatie la suprafata sferei;- caiculul coordonatelor sferice polare A ~i z;- caiculul coordonatelor plane polare <> ~i p;- caiculul coordonatelor plane reetangulare x, Y ;- caiculul modulilor de deformatie ~i al deformatiilor unghiulare maxi me.

In proieqiile conice care sunt prezentate in ce1e ce ~rmeaza, nu vor mai fi repetatetoate proprietatil~ generale ale proiectiilor conice, expuse ~al sus. . .. .

Particularizarea formulelor genc:rale se va face cu aJutorul unor condltll supltmentare,puse reprezentarii pc planul de proiecpe.

52 PROIECTII CONICE DREPTE ECHIDISTANTE, PE UN CONTANGENT LA .ELIPSOID

Proieetiile conice drepte pot fi echidistante numai pe meridiane. Pe imaginile planeale acestora, nu trebuie sAse producA deformatii ale lungimilor.

Luand un con tangent ia suprafata elipsoidului de rotatie (fig.52-1), dupa parale1ul delatitudine Bo , acesta se va reprezenta ~i el nedeformat ca lungime.

Prin urmare, conditiile specifice acestei reprezent1iri conice sunt:m = Ino = 1

Fig.52-1. Seqiunein planul unui meridian

(52-1)(52-2)

Inlocuindu-I pc m cu expresia sa generai1i din (51-2),dpm=---=1

MdB

prima conditie se poate scrie:

(52- t' )

Constantin Gh M1JNTEANU

p=- fMdB+C=-fdsm +C

In care C este constanta de integrare, iar Sm este lungimea arcului de meridian, masurat dela ecuator pana la paraleluJ de latitudine B.

Aplicand aceasta formula pentru calculul razei Pee cu care se traseaza imagineaecuatorului, Sm=O ~i rezulta :

C = pee (52-4)Din formulele generale, se ~tie ca

<>=aL (52-5). Pentru determinarea constantei a < 1 , se utilizt::aza conditia Da = 1 Ea trebuie

sat~sIacut1i pe toata lungimea paralelului de tangenta, prin urmare, imaginea plana a unui arcfintt.de pe acest paralel trebuie sa fie egaJa cu lungimea arcului corespunzator de pe elipsoid,adlca:

cosBo<> No -.-- = L No cos BosmBo

adica, constanta a de proportionalitate a longitudinilor este egala cu sinusul latitudiniiparalelului de tangent1i.

Relatia (52-4) arata doar semnificapa geometrica a constantei C. Pentru g1isirea uneiformule cu care sa se calculeze valoarea ei numerica, se aplic1i formula (52-3) pentrulatitudinea Bo :

Po =C-SO..B.din care rezulta :

C = Po +SO,8.

Din formulele generale (51-2), pnand cont de (52-3), (52-9) ~i (52-10) , rezultliurmatoarele formule de calcul, pentru reprezentarea elipsoidului de rotatie lntr-o proieetieconicii dreaptii echidistantii pe meridiane (con tangent la latitudinea Bo):

o=a.Lp = C - SO,Bconst a. = sin Boeonst C = p"" = No ctg Bo + So,Bx=C-pcosoy = p sin 0m = 1

n=a.£r

p=mn=n• (Q a-b

sm-=--2 a+ b

La oricare latitudine diferitii de Bo, n > I, astfel cli, elipsele de deformatie ausemiaxele:

a=nb=m,

adicli sunt orientate cu axa mare pe direelia paralelelor.Ariile au deformatii pozitive, ca ~i lungimile de pe paralele. Ele cresc pe mlisura ce

cre~te depiirtarea fatAde paralelul standard.Deformatiile depind numai de latitudine ~i , in consecintA, izoliniile deformatii1or se

suprapun peste imaginile paralelelor.

Consideriim sfera terestrii de razii R, determinatii in a~ fel, indit aria sferei sa fieegala cu aria elipsoidului de referinlii.

Fiind yorba de proieetii conice drepte, releaua normaUi este formatii din imaginileplap.eale meridianelor ~i paralelelor ~i are aspectul general din fig. 51-2.

Dacii in condilia de echivalenlii:

se inIocuiesc modulii de deformatie liniara prin expresiile lor generale, date in (51-3), adicii:dp p

m= --- Sl n= a.--- (53-2)Rd<p Rcos<p

COtIs/antln Gir. MUNl'E/!NU CARTOGRAFIE MA TEMA TICA

atunei condilia (53-1) se poate sene:-dp a. p

p=---x---=1R d<p R cos<p

iar de aici se deduce expresia raz~i veetoare p din plan:

- a.p dp = R 2 cos<pd<p

R2P dp = --cos<p d<p

a.

R2fp dp = --f cos <pd<p+ Ca.

1 2 R 2 •-p =--sm<p+C2 a.

7 C 2R2•p' = --- sm<pa.

1n care C este 0 constanta de integrare.Notand:

2R2

C = --c (53.3)a.1n care e este 0 constanta arbitrara, se poate scrie:

2 2R2( •P ,c-_ c-sm<p) (53-4)

a._ Tinand cont de ultima expresie ~i de eonditia de echivalenta, din (51-3) se oblin

urmatoarele formule pentru reprezentarea unei sfere R in proieetii eonice echivalente drepte

2(c - sin (~)p=R ---"'-

n=a.£=~r R cos<p

p=mn=ab=l

1 R cos<pm=-=---

n a.p

o ro f¥ r:;tg(45 +-)== - =va- =a, 4 ~ b

Se observa ca, deformatiile lungimilor ~i deformatiile unghiulare maxi me depindnumai de latitudine. Rezulta ca, izoliniile deforma!iilor se suprapun peste imaginileparalelelor.

Cele doua constante ale proiectiei, a ~i c, se determina pe baza unor conditiisuplimentare puse reprezentiirii, de exemplu (conditie suplimentara): pe un paralel delatitudine <ilK ' data, valoarea modulului de deformatie a lungimilor sa fie egala cu unitatea~i sa fie minima, adica:

anK =-.--=1

sm K

Constantin Gh. MUNfEANU

? 2R2( •

PK ==-- c-smK)a

2R2 2R2•--c == --sm K+ P~a a

Formulele (53-7), (53-8) si (53-9) ne permit sa calculam cele doua eonstante aleproiectiei

Ca In oriee proieqie coniea dreapta, reteaua normala este formata din imaginile planeale meridianelor ~i ale paralelelor, iar aspectul ei general este cel din fig. 51-2.

Reprezentarea fiind conforma, modulul de deformape iiniara, In oricare punet dinplanul de proieqie , trebuie sa aiba aceea~i valoare pe toate direetiile care ies din punctulconsiderat. In acest eaz, conditia de conformitate se poate scrie sub forma:

m = n (54-I)In formulele generale (51-2), pentru reprezentarea elipsoidului de rotatie Intr-o

proiectie eonica dreapta, avem relatiile:

m=-~ n=a--P-MdB NcosB

unde a = const, astfel Incat, conditia (54-I) se mai poate serie :dp p

---=a---MdB NcosB

dp MdB-=-a.---p NeosB

Din aeeast! eeuatie diferentiala se deduce formula de caleul pentru raza vectoaredin planul de proiectie:

fM dBInp=-a -x--+C ,N eosB

In care C este 0 constanta de integrare.Raportul eelor doua raze principale de eurbura se pune sub forma:

M 1-e2 _1-e2(sin2B+eos2B)N l-e2sin2B - I-e2sin2B

UTCB- Facu1lalea de Geodezie, BueurestiConstanlin Gh. MUNTEANU CARTOGRAFIE MATEMATICA

M e2cos2B-==)- 7.'"

N l-e-sm"Bcare se inloeuie~te in (54-2) ~i atunci:

f dB f ecosBInp=-a ---Kle 2 '2 dB+CcosB l-e sm B

Rezultatele celor doua integrale sunt cunoscute de la proiectia Mercator. Folosindu-le~i scriind constanta de integrare C sub fonna unui loga.ritm, punand :

In P = -a In tg(45° +~) +a e In tg(45° +~)+ In K2 2

Btg(45° +-)

U= 2 ~i sin\jl=esinB, (54-5)tge(45° +~)

2in care e este prima excentricitate a elipsei meridiane.

Pentru a vedea ce reprezinta constanta de integrare K, aplicam formula (54-4)

pentru latitudinea B= 0°. Se obtine U=l ~i rezulta :

Deci, constanta de integrare K este egala cu raza vectoare a arcului de cerc prin care sereprezina ecuatorul in planul de proiectie. _

Tinand cont de formulele stabilite mai sus ~i de formulele generale (51-2), rezultaurmatoarele formule generale pentru reprezentarea elipsoidului de rotalie in proiectii

con ice drepte conforme:

0= a A ; (unde const a < 1 )

K,,= - . (unde const K = PB=O = Pee)•.. U" '

Btg(45° +-)

U- 2 sin \jI=esinB\1/

tge(45° +-)2

x = -P coso ; (sau x = Ps -P coso)

y=p sino

Constantin Gh. MUNTEANU CARTOGRAFIE MA TEMA TICA

P aKm=n=a-=--r r U"

r = R COSlj) (54-8)e=OU = tg(45° +~) ,

atunci se obtin urmatoarele formule generale pentru reprezentarea sferei de razi R, inproiectii conice conforme drepte:

0= aA ; (unde const a < 1 )

P = K = K ctg" (45° +.<1'.)= K tga(45° _.<1'.)tga(450 +.<1'.) 2 2

2const K = P<p=o= Pee

x = -P coso ; (sau x = Ps - P coso)y=psino (54-9)

m=n=a--P-R cos<p

Dintre cele doua constante, K ~i a, care apar in formulele proieetiilor coniceconforme, cea mai mare inf1uenta 0 are constanta a, care intervine in calcule sub forma deexponent.

Determinarea celor doua constante se face pe baza unar conditii suplimentare pusereprezentarii, in afara conditiei de coformitate.

In cele ce urmeaza, sunt prezentate exemple de determinare a constantelora ~i K,pentru proiectiile conice conforme drepte.

Cazul!. Reprezentarea conforma se face cu conditia suplimentara ca, pe un paraleJdat, de latitudine Bo eunoseuta, sa avem:

no = 1 = min.Aceasta conditie corespunde unei reprezentliri

latitudine Bo , cunoseutli.Tinand cont de formulele generale, conditia suplimentara (54-10) se poate exprima ~i

in forma:

(54-10)pe un con tangent paralelului de

CARTOGRAFIE MATEMATICA

a NoctgBo = INo cosBo

_a_=1sinBo

Pentru constanta K, in (54-10') se exprima raza vectoare functie de K:aK

no=--" =1roVo

K = roV~a

~i inlocuind ro ~i a func(ie de latitudine, obtinem:

K = No cosB~ U~oBosin Bo

Cu formulele (54-II) ~i (54-12), pot fi calculate cele doua constante, care sa satisfacaconditia suplimentara (54-10).

Cazul 2. In afara conditiei de conformitate, se pune conditia ca, la latitudinile extremeale zonei de reprezentat, Bs la sud ~i BN la nord, care sunt cunoscute, modulii de

deformatie liniara sa aiba valori egale, iar pe un paralel intermediar, a carui latitudine Bo nueste cunoscuta, modulul de deformatie Iiniara sa fie minim si egal cu unitatea.

Aceasta conditie suplimentara se exprima prin relatiile:ns = nN

no = I = min., (54-13)iar cazul acesta corespunde proiectiilor conforme pe un con tangent, la un paralel a cAruilatitudine Bo urmeaza saa se stabileasca prin calcul, pentru a satisface ambele conditiiexprimate prin (54-13).

Constanta a se determina din prima conditie (54-13), in care se exprima modulii dedeformatie cu ajutorul formulei generale din (54-7), scriind:

aK aK

rsU~ =rnV~Logaritmand ~i dand in factor a ,

a (ig Us -lg V N ) = 19 rN - 19rs

Constantin Gk MUNrE4NU

IgrN -lgrsa = (54-14)IgUs -lgUN

Determinarea latitudinii Bo se face tinand cont ca, in cazul precedent s-a demonstrateli, pentru

Constanta K se determina tot din conditiano = 1

UFK=~

a

C.azul 3: Se.pu~e conditia suplimentara ca, reprezentarea sa se faca pe un con secant,care ~ctlOneaza ehpsOidul la latitudinile B, ~i B 2' cunoscute. Pe aceste paralele, scariletrebUle sa fie egale cu unitatea.

r,U~ r2U~din care, ca in cazul precedent, rezulta :

a = 19r, -lg r2

IgU2 -lgU,Constanta K se deduce tot din conditia de mai sus, de egalitate a sciirilor. Din (54-17)rezultii:

K = r, U~ = r2U~a a

Latitudinea paralelului pe care scara este minima, se calculeaza funetie de a :Bo = arc sin a (54-20)

ConcluziiDaca se analizeaza deformatiile distantelor ~i ale ariilor din proieqiile conforme

drepte pe un con tangent, comparativ cu cele de pe un con secant, se constata ca:

UTeB _ Facultatea de Oeodezie. Bucuresti

_ in proiectiile conice conforme drepte pe un con tangent, deformaliile sunt nule peparalelul Bo' de tangen!A, in timp ce, la toate ce1e1alte latitudini, se produc deformaliipozitive, care cresc pe masura ce se mare~te departarea fata de parale1u1 de tangenta;

_in proiectiile conice conforme drepte pe un con secant, pe paralele1e de seclionarenu se produc deformatii; intre paralelele de sectionare se produc deformalii negative,iar in afara paralelelor de sectionare, se produc deformatii pozitive

Proiectii1e conice CO:llOrrnedrepte au 0 larga utilizare pentru intocmirea harti10r lascari medii ~i marl. Ele sUllt foarte avantajoase pentru reprezentarea teritoriilor care se intindde-a lungul paralelelol ~i sunt situate la latitudini medii. Zona se poate intinde oricat pedirectia est-vest deoarece deformatiile sunt independente de longitudine.

lzoliniile deformatiilor sunt arce de cercuri concentrice, care coincid cu imaginile

pllrdlelor.Proiectiile conice conforme se mai numesc ~i "proiectii conice Lambert".In Franta sunt folosite curent, in lucrarile geodezice ~i cartografice.

55. PROIECTIA CONICA CONFORMA MODIFICATA LAMBERT-CHOLESKI, FOLOSITA, IN TRECUT, IN ROMANIA

Proiectia Lambert-Choleski a fost aplicata, in Romania, in perioada 1917-1930.A fost adoptata din considerente de ordin militar, In timpul primului razboi mondial.Pllna In anul 1917, In tara noastra, a fost folosita, pentm hiirtile topografice, proiectia

pseudoconica echivalenta Bonne, adoptata in anul 1873Proiectia Bonne nu satisfacea cerintele militarllor, din mai multe puncte de vedere,

cum sunt:

_ deforma foarte mult unghiurile, fiind improprie determinarii pe harta a directiilornecesare tragerilor de artilerie;

_ harlile topografice existente, In proieetia Bonne, nu puteau fi racordate Intre ele, fiindcapentru fiecare provincie din tara se utilizase cate un elipsoid de referinta diferit, axe decoordonate diferite, formate diferite;

_ zona operatiunilor militare depa~ea limitele !Arii, Intinzandu-se de la Salonic, pana la

Budapesta.Prin adoptarea proiectiei Lambert-Choleski, au fost inlaturate neajunsurile

mentionate, Intocmindu-se planuri directoare la scara 1:20 000 ~i harti topografice la scara

1:100000.Deoarece urgenta operatiunilor militare nu a mai permis executarea unor lucrari

geodezi~ de teren, trecerea de la Mrtile topografice in proiectia Bonne, la cele in proiectia

Lambert-Cholesk~ s-a efectuat printr-o metoda expeditiva, grafico-mecanica.Calculele privind noua proiectie au fost facute de Theodor Pompei, Radu Negoescu ~i

Ion Placintenu, persoane care, ulterior, au desfli~urat ~i 0 activitate didactica in Inva!Amantulgeodezic utuversitar romanesc.

Constantin Oil. MUtvrEANU

Elemente ~atematice caracteristice proiecfiei Lambert-Choleskia) S-~ ~phcat. elipsoidului de referinta Clarke (1880)b) Ongmea slstemului xOy din planu1 d'e proiectie are coordonatele geografice:

Bo =- 50GOO'00"" ,000 N

. Lo = 27GOIo 38'" ,843 E.Greenwj~~ = L(Ramnicu-Valcea),Jar dreapta prin care se reprezinta acest meridian a fost 1uat~ca axa Oy cu sensul pozitiv sprnord. Axa Ox are sensul pozitiv spre est. ' e

c) In sc?p~1 evitlirii .. lucru!u! cu coordonate negative pe harta, adevaratele axe decoordonate au pnmJt translatn de cate 500 000 m, atat spre vest (x + 500 000) cat oi spre sud(y + 500 000). ' •

d) Limitele zonei de reprezentat au fast:

la sud:

1anord:

1avest:la est:

Bs =- 45G;

BN= 55";

_9G fata de Ramnicu-Valcea'+5G faladeRamnicU-Valcea~

G .e) Reprezentarea este conforma, pe un con secant la latitudinile de 47G ~i respectiv53 , ~ltU~t~,fiecare, la cate doua grade fata de limitele de sud ~irespectiv de nord ale zoneide aphcabllttate a proiectiei. Latitudinea medie a zonei este de 50G

.

t) S-a pus ,:,nditia ca valoarea modu1ului de defonnalie Iiniara, n , pe cele douaparalele extre.me, sa ~e e~ala cu valoarea inversa a modulului de deforrnatie liniara de peparalelu1 medlU, de latttudme Bo =- 50G

, adicii:

n(50G) = _1_ =_1_n( 45G

) n(55G)

g) Proiectia are doua constante, CI. si Po , care au fost deduse pe baza conJitiei de maisus.

h) S-a admis aproximatia ca, in plan, razele vectoare cu care se traseaza imaginile pa-ralelelor extreme, BN si B s, difera fata de raza vectoare a paralelului mediu de 50G cu-500 000 m ~i respectiv cu +500 000 m.. i) Densitatea cu care s-a reprezentat reteaua cartografica este de 10 minute cente-

sJmale.

D~torita f~ptu~ui c~a~?oritmii. de calcul ai acestei proiectii au 0 precizie slaba,compw:,atJv :~ ~J at pr01~lllor COUlceconforme prezentate anterior, proiectia nu maipre~mta astaz~ ~ntere~ pra<:?c. De aceea nu ne yom opri asupra formulelor ei de calcul,rugandu-l pe CJtJtorul mteresat, sa consulte editia din 1975 a acestui curs, pentru a1te detalii.

.In a,nul 1933, in R~m~a a fost adoptatli ca proieetie oficialli, pentru lucrlirilegeodeZlce ~Jtopografice, prOleetJa stereografica pe planul unic secant Bra~ov.

UTCB - Facultatea de Geodezie. Bucuresn

PROIECTIA PSEUDOCONICA ECmVALENTA BONNE SIMODULCUM A FOST APLICATA IN ROMANIA

In proiectia Bonne, ca in orice proiectie pseudoconica dreapta, as~ec:ul ?eneral alretelei cartografice se caraeterizeaz! prin aceea eli, toate paralelele se reprezmta pnn ar~ d:cercuri concentrice (ca in pcoieCliile conice), perpendiculare pe 0 dreapta care reprezmtameridianul mediu 1.0, iar celelalte meridiane se reprezinta prin ni~te eurbe simetrice fata deacest meridian.

Coordonate polaresi cele rectangularein proiectia Bonne

---7+y

In afara de aceasta proprietate, valabila pentru toate proieCliile pseudoconice drepte,proiectia Bonne trebuie sa satisfaca ~iurmatoarele conditii referitoare la deforma!ii

I - sa fie echivalentli, adicap= I ; (56-1)

2 -in lungul oricami paralel, deformatiile Hniare sa fie nule, decin= 1 ; (56-2)

3 - in lungul meridianului mediu, deformatiile liniare sa fie, de asemenea , nule, prinurmare

Pozitia unui punct oarecare , A , din proieqie, se determina prin coordonate planepolare , 8,p, sau prin coordonate plane reetangulare, x,y, care se calculeaz1i functie de

coordonatele geografice B,L.

Dreapta care reprezintA meridianul mediu 1.0 se considera axa polara pentrucoordonatele plane polare ~i axa Oy pentru coordonatele plane reetangulare.

Punetul 01 , polul coordonatelor plane polare, este ~i centrul areelor de cerc, de razap, prin care se reprezinta paralelele.

Pentru un paralel Bo, ales arbitrar (de obicei, paralelul care trece pe la latitudineamedie a teritoriului de reprezentat), se ia ca raza vectoare

care constituie 0 constanta arbitrara a proieqiei.

I

Razele vectoare pale celorlalte paralele se exprima functie de Po, avi'md in vedereconditia (56-3), obpnandu-se

130 - este 0 constanta, egala cu lungimea arcului de meridian, de la ecuator, pana lalatitudinea Bo;

13 - lungimea arcului de meridian, de la ecuator, pana la latitudinea B.Tinand cont de aspeetul paralelelor in proiectia Bonne ~i de conditia n = 1 , rezulta

urmatoarea formula de calcul, pentru unghiul polar:sp r

8=-=(L-Lo)- (56-6)P P

in care r este raza paralelului, iar peste raza vectoare.Notand cu Bs latitudinea paralelului care limiteaza la sud teritoriul de reprezentat, se

calculeazii, cu (56-5), distanta 010:010= Ps =Po +(~o -~s) , (56-7)

stabilindu-se astfel pozipa originii 0, in raport eu 01 .

Distanta Ps este 0 noua constanta a proiectiei, care se regase~te in calcululcoordonatelor reetangulare plane:

x= psin5y = Ps - p cost> (56-8)

Curbele prin care se reprezintli meridianele in proiectia Bonne se traseaza prin puneteIn praetiea, atunei cll.nd se urmare~te eonstruetia pe cale grafidi a nodurilor retelei

cartografice, este comod sa se utilizeze coarda de lungime K, pentru punetele situate pcacel~i paralel (fig. 56-2).

K . I)-o=psm-2 2

K 0=2p sin ~ (56-8')2

Lungimea corzii, K, se modifica numai atunci cand se rnodifica latitudinea,In aceasta proiectie, imaginile plane ale Illel"idianelor intersecteaza imagini!e

paralelelor sub unghiuri i, diferite de unghiul drept, adidi, unghiurile respective de peelipsoid sunt afectate de deformatia

pentru care vrem sa stabilirn 0 formula de calcul.In fig,56-3, din plan, patrulaterul eurbiliniu ABeD, cu laturi infinit mlel, este

imaginea plana a unui trapez curbiliniu infinit mie de pe elipsoid, ale earui laturi sunt aree demeridiane ~ide paralele,

Deformatia sa unghiului i

DE pdl)tg&o=-o=--

AE dp

r1)00(L-Lo)-

pDiferentiala acestei expresii, in care (L-Lo) = eonst., este:

dl)=(L_Lo)pdr-rdp (56-10)p2Din fig.51-4 , care reprezinta 0 portiune din e1ipsa meridiana a punetului A(B,L),

rezulta:

Constantin Gh. !vfUlV['EANU

" _, .. -dr=dsm sinB (56-11)~I fimdca, In prOleC!le, paralelele se reprezinta prin arce de eereuri eoneentriee iar m =1, 0,

astfel ca relalia (56-11) se poate serie :I

(56-II ')

l

Portlune din elipsa meridianaa punctuiui A (S,L)

do = (L--Lo) (Pdp)sin,B-r dB

p-care se inlocuie~te in (56-9) ~i rezultli:

p (L _ L ) (p dp) sin B - r dpo 2

tgE = Pdp

tg E = (L _ Lo) dp(psin B - r)p dp

tg E = (L - Lo) (sin B - ~ )p

in care (L - 1.0) se exprima in radiani.In punctele in care imaginile meridianelor ~i ale paralelelor se intersecteaza sub un

unghi drept, E = 0, respectiv tg &= 0 . Aceasta se intampla daca: . -(L - 1.0) = 0 (56-14)

(sinB-~)= 0p

Prima conditie este satisfacuta de meridianul mediu , unde L=Lo .A doua conditie este satisfacuta pentru B = Bo , cand

UTC/3 - Facultatea de Geodezie. BucurestiUTeS· Facultatea de Geodezie. Bucurutl

OJ I I IItg-2 =-2-(a-b)=-2 --+1-2--cOSE

COS2E COSENo cosBo . B . B - 0sinBo------=sm o-sm o-N ~osBo

o sin BoPrin urmare, in proieCJ:ia Bonne, unghiul dintre meridiane ~i paralele se reprezinta

nedeformat numai in punctele de pe meridianul mediu , Lo , ~i in cele de pe paralelul medlUBo. In celelalte puncte din plan, unghiul i are 0 deformatie E , adica:

i =900 +E

tg!!!.. =.!.J I -I2 2 COS2E

I l-cos2e2 cos2 e

I-tge2

ds' AD ADm==----.!!!....=-=----

dSm AE AD cose

OJ I I . rtg"2 = "2tg&= "2(L - Lo)(sm B -p) (56-17)

de unde rezulta ca, pe orice paraJel, deformatiiJe unghiulare cresc pe masura ce cre~tediferenta de longitudine fata de meridianul central Lo .

Regrupand formuleJe pentru reprezentarea elipsoidului de rotatie in proiectia Bonne,

Modulul de deformatie liniara pI' meridiane, in proiectia Bonne, se poate deducecu ajuwrul fig.56-3 :

Im =--=sece

COSEde unde rezulta ca , in general, pe meridiane se produc deformatii pozitive ....

Pe paralele, dupa cum se ~tie din conditia (56-2), nu se produc deform~tll hmare.Pentru moduJuJ de deformatie areolara, daca se aplica formula generala:

p = m n sin i

Po =N"ctgBoris = (L-Lo)-P

x=psiniS

y =Ps -pcosis

Ps = PB, = Po + ((30 -(35)(L - L)O r

tge= 00 (sinB--)P p

p = m n sin(90o +E) = m n coseI

p = --COSE = IcOSE

confirmand astfel ca proiectia pseudoconica Bonne este echivalenta.

Pentru deformatiile unghiulare maxime, co ,sau ~ ale directiilor, se aplica formula

p = In=1m= sece

co Itg"2 ="2tg&

Aceste formule sunt valabile pentru un sistem de axe in care axa Oy este spre nord.

Constanta p poate influenta curbura imaginilor plane ale paralelelor.Daca se ia Bo = 0, atunci se ajunge la proiectia pseudocilindrica a lui Sanson.

ab=p=11

m=--cOSE

n =1

• harta Frantei, la scara 1: 80 000;• harta Germaniei, la scara I: 500 000;• harta de trei verste a Rusiei Europene;• harta Moldovei ~i Munteniei de est, pana la meridianuI Zimnicea;• harta Munteniei de vest de meridianul Zimnicea ~i a Olteniei .

=""="'-~====~""'===""i1~8'8"8~----=======

Cum s-a utilizat proiectia Bonne in tara noastraPentJU Romania, proiectia Bonne are 0 importanta istorica, deoarece "este prima

proiectie aplieata pentJU intocmirea hlirtii topografice a tarii Ea a fost adoptata in anul 1873,caud au fost !acute §i primele lucrari de geodezie, in acest scop".

Lucrlirile geodezice ~i topografice pentru executarea hartii topografice in proiectiaBonne au inceput din nordul Moldovei, desIa~urandu-se treptat in Muntenia de est, paua lameridianul Zimnicea. Pentru Oltenia ~i Muntenia de vest exista 0 harta mai veche, la scara1 : 57 600, executatli prin procedee expeditive.

Dupli anul 1902, lucrarile au continuat ~i spre vest de meridianul Zimnicea, inMuntenia de vest ~i Oltenia, terminandu-se in anul 1932.

In Romania, proieqia Bonne s-a aplicat in mod neunitar, utilizandu-se elipsoizi dereferintA diferit~ sisteme de axe de coordonate diferite etc , astfel:

A. Pentru Moldova $i Muntenia de est, pana Ill. meridianul Zimnicea:s-a folosit elipsoidul Bessel 1841;sistemul de axe xOy ( fig.56-5a ): meridianul central (axa Oy, spre nord), arelongitudinea

La = 25° est Paris,trecaud prin apropiere de Tecuci ~ide Calara~i, iar axa Ox este tangent a la paralelulde latitudine

Bo = 46° 3D' ,care trece prin apropiere de localitatea Roman;cadrul unei foi de harta (seetiune topografica") are fonna de patrat reprezentand, inplanul de proieetie, 10 km x 10 km (cadru de tip geometric);gradatia sexagesimala;lucrlirile de teren au fost executate, pentru Moldova, intre anii (1873-1876), (1884-1893), iar pentJU Muntenia de est, paua la meridianul Zimnicea, in perioada (1893-1902).

B. Pentru Muntenia de vest de meridianul Zimnicea si Oltenia:• elipsoidul Clarke (1880);• sistemul de axe xOy (fig. 56-5 b): axa Oy, spre nord, este meridianul Observatorului

astronomic din Bucurest~ cu longitudinea :La = 23° 46' 3D" est Paris ,

iar axa Ox, spre est, este tangenta la paralelul de latitudine :Bo = 45°

• hArti eu cadru de tip geografic (trapez curbiliniu), delimitat de arce de meridian ~i deparalel;

• gradatia centesimalli;• lucriirile de teren au fost executate in perioada (1902-1932).

Pentru facilitarea reprezentlirii retelei cartografice, au fost intoemite "TabelelePlesis", care contin coordonatele rectangulare plane Bonne ale nodurilor retelei de meridiane~i paralele.

Constami" Ok MUlvTEAilfU

Pentru MOldovaSi Muntenia de est

Lo =25 ° est Paris(Tecuci - CalarasQ

Pentru Muntenia de vestsi Oltenia

Lo=23°46'30" est Paris( Observatorul astronomic Bucuresti )

PROIECTIA HARTH INTERNATIONALE LA SCARA 1:1000000

unei ~i~~~:~~~~;I~a:~~i~ui C_ongre,~international t~~ut la Londra, au fost puse bazeleelement I ' . ~a l~t.regll planete), stabIimdu-se : scara (1 : 1 000 000)executiee e~ccarac~enstlce "ale prOleet1el, nomenclatura foilor de harta, conditii tinice d~

. "' e~pn~a~~ ?nntr-un regulament de i'ntocmire a acestei hlirti" Prol~etla HartH Internationale la seara 1:1 000 000 are la bazli p' ,PM" r ._

~lmplli amencana $i de aceea este denumit- n . " ".. r?I~,~la}O leo~lc,~mternationale 1:1 000 000 " a, u eon, prOleC!la pOhcoDtca a Hartl!

~ar:.c~eri~ti~ile gen~rale ale acestei proiectii, dupa M.DSoloviev (30J· sunt.. nOlectla mternatlOnala face parte din '''1 ,.

trapezelor sunt d~ 4° pe latitudine i 60 " g~pa. pro1ectll or poliedrice. Dimensiunile~ pe longltudme, lar nomenclatura acestora este cea

==========='-"ili<r91j="====--~=====

folosita ~ide proiectia Gauss, pentru trapezele de reprezentat la scara I: I 000 000 (pentrufoile de harta 1:1 000000 in proiectia Gauss, nomenclatura a fost preluata de la foileHiirtii internationale I: I 000 000 ).

2. Paralelele care limiteaza trapezul, la nord ~i la sud, se reprezinta prin arce decercuri excentrice, cu raze

p=NetgB, (57-I)iar centrele acestora sunt situate pe prelungirea meridianului mediu al fiecirui trapez, careeste rectiliniu.

3. Arcele de meridian (din fiecare trapez) se .eprezinta ca linii drepte (spre deosebirede proiectia policonica, in care meridianele se reprezinta prin curbe; de aceea proieqiainternationalli este denumitli uneori ' 'policonici modificati").

4. Lungimile paralelelor extreme ale fieclirui trapez se reprezinta nedeformate, decinN = ns = I (57-2)

5. Doua meridiane, situate la 0 diferentli de longitudine de ±2° fata de :neridianulmediu (care trece prin centrul trapezului), se reprezinta nedeformate ca lungime.

6. Reteaua cartografica se traseaza din grad in grad.7. Trasarea paralelelor interioare. Congresul de la Londra n-a dat indicatii precise

cu privire la reprezentarea paralelelor interioare. Speciali~tii au dat diverse solutii cu privirela aceasta problema. In practica, s-a bucurat de mai mult interes metoda lui Rinks, care apropus ca paralelele sa imparta toate meridianele in plirti egale.

8. Elipsoidul folosit a fost Clarke (1880).

In vederea satisfacerii eonditiei mentionate la punctul 5, de mai sus, este necesar ca inreprezentarea meridianului mediu al trapezului sa se produca 0 deformatie negativa (spredeosebire de proieqia policoniea simplli amerieana, unde mcridianul mediu al zonei sereprezinta rara defurmatii de lungime).

Pentru reprezentarea cadrului ~i a retelei cartografice ale unui trapez la scara1: 1 000 000, se procedeaza astfel:

- Se traseaza pe hartia de desen 0 dreaptli verticala, care reprezinta meridianul centralal trapezului ~i axa xx', apoi se ia, pe aceasta dreaptli, segmentul Os ON (fig. 57-I).

in care:So.B- reprezintli lungimea unui arc de meridian, masurat pe elipsoid, de la ecuator,

pana la latitudinea B;

- In punetele Os ~i ON se due perpendiculare pe axa xx'; in felul acesta, fiecare dincele douB.paralele, Bs si BN, are 0 axa proprie pentru y. Punctele paralelului BN (a, b, c, ...c') primesc coordonate in sistemul care are originea in ON, iar punctele paralelului Bs (A, B,C, ... C') primesc coordonate in sistemul care are originea in Os. Se raporteaza nodurileretelei cartografice.

Constantin Gh. A.fUVTEAAV

- Paral~lel~ ext.reme Bs ~i BN se traseaza unind printr-o lin' _ ._care au aceea~l latltudme. Meridianele se traseaza unind p' r ..l~ curba contmua.. puncteJelongitudine, situate pe cele doua paralele extreme nn lDll repte punctele de aceea~i

- Trasarea paralelelor interioare se face impartind fiecare arc d 'd'grade, in patru segm t I" • e men Ian de palru

en e ega e ~I umnd punctele respective prin Iinii curbe continui~

Formulele pentru coordonatele pia I I 1(57-I), (57-2), ~j de (fig.57-2). ne pe para e e e extreme se deduc tinand cont de

I. Stiind c~ raza vec!oare are expresia p = N ctg B, calculam unghiul polar functie de

ungtmea arculut de parale!: I

O=~== (L--Lo)NcosB _ .p NcosB -(L-L,JsmB

sinB

calc I Prin u~mare'l cjoordonatele plane polare ale ale punctelor de pe paralelele extreme seu eaza cu 10rmUe e: .

p ==NctgB

O=(L-Lo)sinB

a' b' +x a~~ c' ON C b ~ BN---7~_=1~liJT_~

I .' ~---L---------;- \• I , i I I ); i i! i \ \;~~.~~lI li--+-; i !~.! i ' i I 'I~ Ii', __ :I ! r ,----: I

~'I L: L~ 8s-~__!---J . _A' 8' C' Os' C ~, B A +y

Fig.57 - 1 Reteaua cartografica

intr-un trapez 1:1 000 000

iar coordonatele reetangulare plane, in sistemul de axe ariitat in (fig.57.2), eu formulele:

x = p - PCOSO= p (1- coso)y=psin6

C r. calclu~u~ deform,:-tiei absolute K (corectie), de pe meridianul mediuonlorm re a!tel (57-3),10 (fig. 57-3) trebuie sa avem:

========>===11~93r============

Meridianul de longitudine L+2° are ca imagine bB, iar proiectia lui pe meridianuJmediu este segmentul bo Bo .

a

b '\

,t, +x

"'bol;'"I ",-i ~

I ONII i

Ii \

\I

A''-.~,-- Sol ~/) A

~---..-------._-.!\-"~-----Os! \

\ XB

Dar boBo = 0SON + (xb ." xB)

Inlocuind cu (57-3) in aceasta expresie, se ob!ine:boBo = (So,a, - SO,B,) - K + (xb - xB)

Pentru acela~i segment, din triunghiul dreptunghic BDb rezulta:

boBo = bD = ~(bB)2 - (BD)'

~i fiindca segmentul bB se reprezinta nedeformat,bB = (So,B

N- SO,Bs) ,

iar din flg,57-3 reiese ca BD = YB ". Yb 'relatia (57-8) se poate scrie:

boBo =~(SO,BN -SO,B,)2 -(YB -Yb)2

EgaJand re!atii1e (57-7) ~i (57-9) se obtine:

~i rezulta:K = (SO,B

N-So,a)+(xb - XB)-~(SO,BN -SO,Bs)2 -(YB -Yb)2

Formula (57-10) permite sa se calculeze deformatia (corectia) K, care trebuie aplicata

meridianului mediu.m scapul facilitiirii calculelor 'in proiectia Hiirtii internationale 1:1 000 000, au fost

'intocmite tabele, din care se pot extrage valorile arcelor de meridian ~i coreetia K, pentrufoile de hart1\.cuprinse 'intre latitudinile 0° ~i 60°

Constantin Gh. A17JNTE4NU

Concluzii CO privire la deformatiiPe fiecare foaie a Hartii internationale 1'1 000 000 eXI'sta-p t )'" d d" t'1-' I d • .... a ru !nil e elorma Ie

nu a . ce e oua paralel~ ~xtreme ~I cele doua meridiane situate simetric. la doua oradesexageslmale, fata de mertdlanul central al foii , 0

Pc meridianele situate intre cele doua nedeformate se produ d" t" ." , c elorma 11 negative,c~re pot atmge -0,61 m/km, lar pe restul meridianelor se produc deformalii poziti've care potatmge + 0,76 m/km. '

Pe paralele, exceptand cele doua paralele extreme se produc de"o t" . I. , fl' ,,, rma,1I negative ce emal mart nnd pe paralelul central al trapezului (fig. 57-4). '

I"a'

/,' '- '-

,/, I/"'-..,'

i J

I' ..

/.. -."

\ i\ j

.. \( Bs

-~/~

..J

, ~e paralele, exceptand cele doul! paralele extreme, se produc defoflnatii lIegative, celemal man fimd pe paralelul central al trapezului (fig. 57-4). .

~\.I i

, \

I \I \,-----------1I \

/ \

! \j---\I \, \L ~

UTCB ~FacuJwlea de Geodezie, Bucuresti

Raeordarea foilor de hartii . . .Inproieetia Hartii intemationale I:l 000 OO~, atunci cand ~laturamf~'le v~cme dm

aceea~i colow, nu apar intreruperi sau suprapunen (fig.52-5 a), msa, daca mc~r~am sa Ieracordam pe zone ~i pe coloane, ca in (fig. 57-5 b), atuncl apar mtrerupen 10 lungulparalelelor.

Calculul rupturii, in unitati unghiulare, se poate face cu relatia:

Rezulta ca, prin alaturarca a patru foi de hart a, valoarea ung?i~lara a rupturii nudepa~~te 25',1, cea liniara 3,25 mm, iar aceasta are loc in zona ecuatonala.

Reteaua kilometrica e5te formata din drepte paralele la axele de coordonaterectangulare plane

Intervalul dintre liniile succesive ale rete1ei este constant ~i reprezinta un numarrotund de kilometri sau sute de metri, astfel incat se formeaza 0 retea de patrate, orientata

Lucrarile din tara noastrii, pentru Harta internationalii I: I 000 000Romania a ad~rat la hotararile Congresului privind intocmirea Hartii internationale

.1 000 000 ~i i-a revenit intocmirea a doua foi de harta:

L-34 - (Cluj-Napoca), avand coordonatele geograficc'(l B -48(l·Bs = 44; N -, °

Lw=18°; Lo =21°; LE=24.

L-35 - (Bucure~ti), cu coordonatele geografice :Bs = 44° ; BN = 48° ; (l

Lw= 24°; Lj) = 2f ; LE = 30 .

·1~/r-+--l ir-r-------: Ii

Xs

Pentru trapezul L-35 - (Bueure~ti), au fost obtinute valorile numerice :

(SO.48- SO,44)= 444,60 nun

K 0,13 nun0SON = 444,47 nun

dimensiunile foii : 45 em x 48 em .

Presupunem ca avem 0 foaie de hartii, intr-o proiectie cunoscuta; pe harta, sau lacadru, nu este marcat caroiajul kilometric, dar este reprezentata reteaua de meridiane ~ideparalele.

Pentru patru puncte, A,B,C,D, situate ciitre colturile zonei in care dorim sa trasamcaroiajul, presupunem ca am reu~it sa detenninam coordonatele rectangulare plane, inproieetia foii de harta.

Stabilim valorile numerice XN, Xs , Yv , YE , ale unora din dreptele caroiajuluikilometric, pe care vrem sa-I trasam.

Pentru trasarea dreptei x = XN , care trece prin vecinatatea punctelor A ~i B, setraseazii un arc de cerc , de raza (XA - XN), cu centrulin A, apoi, cu centrul in B, se traseaza

alt arc de cere, eu raza (XB - XN), si se duee 0 dreapta tangenta la eele doua arce, ea In figura58-1. Aceasta este toemai dreapta x = XN .

Pentru trasarea dreptei y = yv , ne servim de centrele A ~i C, din care se traseazaareele de cere eu razele (yv - YA), respeetiv (yv - Yc), si se duce dreapta y = yv , tangenta laeele doua arce de cere, ca In fig.58-1.

Procedand asemanator, se traseaza ~i eelelalte doua drepte, dupa care, se verificaparalelismul lor.

Apoi, re!eaua se Indese~te, dupa nevoi.

Cele patru punete , A, H, C, D, ar putea fi , uneori, colturile trapezului curbiliniu caredelimiteaza foaia de harta sau punete geodezice de coordonate eunoseute ~i preeis raportatepe harta.

Pe hiil1ile topografice ~i pe unele hiirti / planuri eadastrale, caroiajul kilometric estetiparit, cu 0 densitate care depinde de scara hiirtii. EI este foarte util In rezolvarea multorprobleme de cartometrie, In eare se opereaza cu eoordonate rectangulare plane.r-

B=?

\

\-r-----.~._~ _ _'___ - -----+- B,

L2

DeterminNea coordonatelorunui punet de pe harta

59. DETERMINAREA COORDONATELOR UNUI PUNCT DE PE BARTASAU RAPORTAREA UNUI PUNCT DAT PRIN COORDONATE

Coordonatele geografice ale unui punet de pe harUi ;Jot fi determinate grafic, folosindreteaua de meridiane ~i paraleie. Rezolvarea se reduee la,o problema de interpolare.

Pentru ca rezultatele sa fie eat mai exaete, trebuie ea densitatea retelei cartografice safie suficient de mare, astfelinclit, in intervalul dintre doua paraleie sau meridiane sueeesive,distanteie de pe hartii sa fie proportionale eu diferentele de coordonate.

Pentru. a determina coordonatele geografiee H, L ale unui punet oarecare P,eunoseand coordonatele HI , B2 , LI , ~ , se masoara direct, eu 0 rigla gradata, distanteledb d2 , h , h, apoi, din proportiile ;

B2 -Bj

(dl+dz)

Consrantur Gh. MUNTEAAV

L = L + I Lz - L, = L -I Lz - L]] ] I z 2(]+12) (l]+Iz)

.. Inve~s, dacii dorim sa raportiim pe harta un punet P(B,L), utilizand reteaua demendlane ~1 paral~le, atunci, pleeand de la aeelea~i proportii (59- 1), sc masoara pe hart a,cu ngla, (d1+d2) ~l (It + h), apoi se caleuleaza:

d =(B-B) (d] +d2)1 , (Ho - H])

do = (Bo _B)id, +do)- - (B2 - B,)

I =(L-L,) (1,+1,)] . (L

l-LJ

10 = (L, - L)~~-L- - (L2-L,)

eu ajutorul carora se poate raporta punetul pe harta.Analog se poate proceda ~i atunei clind, in loeul coordonatelor geografice ~i al rete lei

de meridiane ~i paralele, se utilizeaza coordonate rectangulare plane ~i reteaua kilometrici Inacest caz, ne putem folosi ~i de scara grafiea a hiirtii.

.. In legatura eu miisurarea distantelor eu ajutorul hiirtiior, ne putem gasi in unele situatiit1plee, cum sunt :

1. Urrneaza sa facem miisuratoarea pe 0 harta topografiea la scam medie saumare, deexemplu in proieetia stereografica 1970 sau in proiectia Gauss sau In proieqia UTM. In astfelde proiecti~ deforrnatiile lungimilor sunt, In general, mici :~i , de obieei, nu depa~ese eroareagrafica.

In situatii de acest fel; problema consta in a apreeia 'cat mai exaet distailta citita perigla ~i de a elimina, sau mic~ora cat mai mult, efeetul deformatii1or locale ale hiirtiei,

UTCB - Facultatea de Geodezie, Bucuresti

2 Se utilizeaza harti pentru teritorii relativ intinse, In proiectii_in care deformatiile

liniare de~i sunt mari, depind numai de 0 singura coordonat~ geografica, d~ exemplu numalde latltudine, ca in cazul proiectiilor cilindrice drepte, COnlce drepte, azlmutale drepte ~l

altele. .' I' d' ,Pentru astfel de cazuri, se pot construi scan grafice vanabI1e cu atltu. mea, ~a III

fig.60-1, in care segmentul 1(, baza ~~lirii.' rep~ezintli un numar rotund de kIlometn, lardistanta dintre Iiniile orizontale ale scam se ta arbltrar .

. Distanta CD mlisuratli la 0 latitudine medie, intre BI ~i B2, are valoarea 3K+x, incare x se apr~ciazli'prin interpolare, pe portiunea din stanga originii sclirii

3. Dadi intre extremitlitile distantei de pe hartA exista 0 diferentli pre~ mare d:latitudine, atunci distanta se fragmenteaza, astfel incat, pent~ fi~care seg~ent sa se poataconsidera cii scara este constanta ~i egaUi cu valoarea de la latttudmea medle a segmentulUl

respeetiv. ..' _ .. .Lungimea fiec3.rui segment se determma cu aJutorul scam grafice, ca cc:,ad11lfig.60-1,

iar distanta cliutatli remlta din insumarea lungimilor tuturor segmentelor III care a fastdescompusa.

Daca punctul de statie nu este situat pe unul din meridianele reprezemate pe harta,atunci este necesar sa facem 0 constructie ajutlitoare, pentru a-I reprezenta. De exemplu, intr-o proieetie cilindrica dreapta conformli (Mercator), acest lucru este foarte simplu de facut,deoarece toate meridianele se reprezinta prin linii drepte, paralele.

In proiectiile conice drepte ~i In cele azimutale drepte, trebuie sa se aiba in vedere cameridianele se reprezinta tot prin linii drepte, dar cli ele converg spre un punct.

In privinta imaginii plane a liniei geodezice, aceasta este un segment de dreaptanumai in proiectiile azimutale perspective centrale. In eelelalte proiectii, de obicei sereprezinta printr-o curbli. Daca distanta nu este prea mare, atunci imaginea curbei se poateInlocui cu imaginea corzii sale. In acest caz, aproximatia fAcuta este egala cu corectia dereducere a direetiei la planul de proiectie. '

comparand grada~ile riglei cu reteaua kilometrica, care s-a deformat ~i ea, in acela~i timp cu

hartia

Dacli trebuie masurata 0 orientare, atunci prin punctul de statie trebuie dusa 0 paralelala axa de coordonate fata de care se masoarli orientarile.

Masurarea orientlirilor in proiectia Gauss, ca ~i in proiectia stereografica 1970, seface in raport cu liniile verticale ale caroiajului kilometric.

Pe unele harti topografice, In afara cadrului, se da 0 schitli, In care se arata : nordulgeografic, nordul magnetic, caroiajul kilometric, precum ~i valorile numerice ale unghiurilordintre aceste directii, in zona eentrala a foii de hartli.

Pe harti1e in proiectii neconforme, deformatiile unghiulare pot fi foarte mari, incataceste harti nu sunt potrivite pentru masurari de azimute, orientari sau alte unghiuri.

Atunci cand se pune problema masurarii pe hartli a ariilor unor teritorii, trebuie sa sealeaga hartile eele mai potrivite, din punetul de vedere al proiectiei, al scarii, etc, sa sestudieze precizia lor ~i sa se stabileasca metoda de masurare.

Din punetul de vedere al proiectiei, eel mai avantajos este sa se utilizeze harti inproiectii echivalente, deoarece, in aeeste proiectii, raportul dintre ariile din proiectie(respectiv hartli) ~i cele de pe elipsoidul de referinm se plistreaza constant. Dar, nu avemtotdeauna astfel de harti.

Ideea de baza referitoare la mlisurarea ariilor intinse este aceea ca, suprafatarespeetiva poate fi descompusa in trapeze, delimitate de reteaua de meridiane ~i de paralele,~i In fractiuni de trapeze.

Ariile trapezelor pc elipsoid , Tt , T2 etc, pot fi calculate funetie de coordonatelegeografice ale meridianelor ~i paralelelor care Ie delimiteaza, rlimanand sa se masoare, cuplanimetrul, numai fractiunile 21 , 22 etc.

Prin reducerea volumului de masuran cu planimetruI, se obtine 0 mlirire a preciziei

Pe hartile in proiectii conforme, pot fi tacute m~surliri .~nghiulare, ~u.aproximatii carerezulta din crorile grafiee obi~nuite ~i, eventual, dill neghJarea corecttet de reducere adirectiiIor la planul de proiectie.

Pentru mlisurarea unui azimut, este necesar sa se cunoasca imaginea pe harta ~meridianului care treee prin punctul de statie, precum ~i imaginea liniei geod~zice al carelazimut dorim sA-Imasurlim.

SemneIe ariilor 21 , 22 , ... se stabilesc dupli urmlitorul principiu: fractiunile caretrebuie adaugate la ariile trapezelor intregi au semn pozitiv, iar cele care trebuie scazute dintrapezele intregi au semn negativ (v.fig.62-1).

UTCB _.Facultalea de Geodezie, Bucurestl

_,B4,- \\\\ B3

Descompunerea unei suprafatein trapeze si fractiuni de trapeze

De exemplu, aria S a conturului de pe harta este:6 10

S= LT, + LZ)i=l jc-.l

in care T1=T2=T3=T4, iar T5=T6. ., .Aria pe elipsoid a unui trapez marginit de arce de mendlan ~I de paralel se poate

calcula fie cu ajutorul unor tabele ale elipsoidului, fie cu formula

(L - L )0 [ . ~BT = 2b2 2 1 Asm-cosB-

pO 2 m

-Bsin~~cos 3B +2 m

+c sin?-~ cos5Bm2

-Dsin~~cOS7Bm + ..,- Jfu~ I'B .B2 - sunt latitudinile paralelelor de sud ~i de nord ale trapezu U1;I, ,

L\, L2 - sunt longitudinile meridianelor trapezulUl;

~=B2 -B1;

B = B1 +B2.

m 2'b = semiaxa mica a elipsoidului de referin¢,

. I 2 3 4 IS 6A = 1+-e +-e +-e + ..2 8 16

1,34'36+-e- +-e +-e + ...6 16 16'

3 4 1 6+-e +--·e +80 16

1 6+-e + ...112

In privinta ariilor Zj ( .i =1, 2, 3, ... ), care se masoara cu planimetrul, una dinprobleme este sa se determine cat m"i exact valoarea unei diviziuni a planimetruluiPrincipial, aceasta se obtine comparand aria determinata analitic, pentru un trapez sau grupde trapeze, cu aria corespunzatoare pe harta, masurata cu planimetruL

Pentru a miqora cat mai mult erorile cauzate de deformatiile locale ale hartiei ~i dedeformatiile produse de sistemul de proieqie, este recomandabil ca valoarea unei diviziuni aplanimetrului sa se determine separat, pentru diverse zone de pe harta.

De exemplu, in cazul fig. 62-1, presupunand ca deformatiile areolare variaza numai culatitudinea, atunci pot fi considerate trei zone pentru care sa se detrmine valoarea uneidiviziuni a planimetrului:

ozona cuprinsa intre latitudinile B1 ~i B2;

a doua zona cuprinsa intre latitudinile B2 ~i B3;

a treia zona cuprinsa intre latitudinile B3 ~i B4 'Daca proiectia haf!ii produce deformatii areolare care depind atat de latitudine cat si

de longitudine, atunci valoarea unei diviziuni a planimetrului trebuie sa fie determinatapentru fiecare trapez in parte.

Pfma in anul 1990, ariile necesare cadastrului funciar din Romania, in mod curent,erau determinate grafic, cu ajutorul p1animetrului, prin mlisuratori repetate, pe planuricadastrale la scara I:S 000, in proiectia Gauss sau in proiectia stereografica 1970Deformatiile produse de sistemul de proiectie erau compensate impreuna cu erorile demasurare cu planimetrul, in mod global, obligand suma tuturor "plinurilor" ~i a"golurilor"de pe foaia de harta, sa se inchida pe aria trapezului de pe elipsoid, calculatafunetie de coordonatele geografice.

In scopul eliminlirii / reducerii deformatiilor care se produc prin deformarea hartiei,planurile cadastrale pe care se executa mlisurari cu planimetrul se tiparesc fie pe hartie cusuport nedeformabil, fie pe material plastic nedeforrnabil.

Pentru masurarea pantelor dintre doua curbe de nivel, normale sau principale, se poateconstrui un grafic, 0 scara a pantelor, a1catuita din doua curbe, (fig.63-2), reprezentfmd

UTeB - Facultateo de Geadezie. BueuresriConstantin Gh. MUNJEANU

1 . I=AC, (fig.63-1), dintre doua curbe de nivel succesive, atunci cand sevariatia intervalu U1modifica panta a .I

(63-1)I = 50 Ah ctga ,in care Ah reprezinta diferenta de nivel dintre doua curbe succ~si~e, iar s~ este ~cara hlirtii~

Daca echidistanta curbelor de nivel se exprima in metn ~I vrem sa-l obtmem pe I mmilimetri la scara hlirtii, atunci:

, I[n'm]= 103So Ah[mjctg a

I[mm)= K ctga ,

care se utilizeazli pentru calcul ~i reprezentarea scarii.

-l

U I din grafice se refera la echidistanta Ah dintre doua c~rbe de nivel normale,nu . . I. e iar al doilea grafic se refera la doua curbe pnnclpa e, succeSlve. .

succesl~~ntru construirea scarii pantelor, se ia un sistem de axe r~an~la.:e, apOl, ?e axaorizontala, la intervale arbitrare, se noteazli valori ale pantei. a ~l.s.e ndlc~ perp~nd!cul~ed I . I ale caror extremitati superioare se unesc pnntr-o hme curba contlllua, ca IIIe ungJme [mm],

fig.63-2.

Comparand intervalul dintre doua curbe de nive! consecutive, eu intervalele I de pescara pante/or, se cite~te, pe seara gradata, valoarea pantei.

64. VERIFICAREA VIZlBILITATll DINTRE DOUA PUNCTE DIN TEREN,FOLOSIND 0 HARTA CU CURBE DE NIVEL

In unele situatii, se pune problema stabilirii, eu ajutorul unor hlirti cu curbe de nivel,daea intre doua puncte de pe teren , exista sau nu vizibilitate directa.

Pentru distante de ordinul zeeilor de kilometri, simpla observare a hlirtii in lungulliniei care une~te cele doua punete, nu este totdeauna coneludenta, deoareee influenta curburiiPamantului, de~i mic~orata de refraetia atmosferica, ramane de ordinul zeeilor de metri.

o evaluare mai precisa asupra vizibilitatii se poate face cu ajutorul unui profilsimplifieat, construit astfel : se ia scara orizontala egala eu scara hartii, iar la 0 seara vertical amai mare se raporteaza punetele extreme ~i numai acele pUllete intermediare, care sepresupune ca ar putea constitui un obstaeol pentru vizibilitate.

Una din extremitatile profilului se considera ea statie, de la care se masoara distantele,funetie de care se ealculeaza influenta sferieitatii Pamantului ~i a refractiei atmosferiee.

De exemplu, in fig.64-1, extremitatea A se considera fixa, iar Beste corectat,deplasandu-I in Bo Unind printr-o dreapta statia A cu extremitatea Bo, eonstatam ca viza ,reprezentata de dreapta ABo, ar putea fi interseetata de obstaeolul F. Dar, dupa ee iieorectam ~i acestuia pozitia, deplasandu-I in Fo, eonstatam ca viza nu mai este impiedicata deniei un obstaeoL

AI doilea presupus obstacoJ , E , nu mai este nevoie sa fie coreetat ea pozitie vertical a,deoarece nu ridicii probleme.

----------------------------------------------:,,,

,,

Fig. 64-1. Profil simplificat, corectat in punetele B ~i F, de influenta curburii Pamantului~i a refraetiei atmosferice.

Punand conditia m = n, se ajunge la relatia dintre <jl ~i B :

tg(45° +~J=-'.-!.-tg"'(4Y +~J(I-eSinBJ~' ,2 K 2 l+esmB

in care K este 0 constanta de integrare, iar e este prima excentricitate a elipsoidului.Din conditia ca longitudinile de pe sfera sa fie egale cu cele de pe elipsoid, decurge

C/.=-' I,iar din conditia ca planul ecuatorului sferei sa corespunda celui de pe elipsoid, se obtine

K=1. .

Pentru constantele C/.~i K egale cu unitatea, rezuItaA= L,

tg (45' +~)= tg r450 +~I(I- e sin Bii. . \. 2 \. 2 ) \.I -j- e sin B)

iar dupa transformari ~i neglijarea unor termeni din dezvoItarile in serie eare intervin, seajunge la formulele:

Anen 1. Transformarea coordonatelor geografice de pe sfera, in coordonatesferice polare

Date: coordonatele geografice , pe sfera, ale polului Qo ~i ale unui punet dereprezentat.

Se cere sa se calculeze azimutul A ~i distanta zenitala z ale punctului respectiv, pe

Solutia: Se rezolva triunghiul sferic avand ca vfufuri polul proieetiei, polul geografic~ipunetul considerat. In acest triunghi sunt cunoscute deua laturi §i unghiul dintre ele.Cu relatia (19-5) se poate calcula produsul sin z sin A, iar cu relatia (19-4) se calculeazaprodusul sin z cos A. Din raportullor se obtine tg A §i A. Distanta zepitala z se poateobtine fie din acelea§i relatii, fie aplicaand teorema cosinusului unei laturi, in triunghiulsferic mentionat, din care rezulta formula (19-6).

Anen 2. Reprezentarea elipsoidului de rota tie pe 0 sfera. Proiectii dubleIn unele lucran cartografiee, de exemplu in unele proiectii obi ice sau transversale, se

aplica "proiectii duble": I) elipsoidul de rotatie se reprezinta pe 0 sfera, apoi 2) aeesta sereprezinta pe un plan de proieetie.

Meridianele de pe elipsoid se reprezinta, pe sfera, prin meridiane, iar paralelele de peelipsoid, prin paralele pe sfera.

Un punct de pe elipsoid, de eoordonate B,L, va avea, pe sfera, 0 imagine de formaunui punet, de coordonate <jl,A,iar acesta va avea, in planul de proieetie, un punct imagine deeoqrdonate x,y.

Relatia dintre longitudini se poate exprima in forma generala:A=eJ.L,

tn care a este constanta de propoflionalitate a longitudinilor.Daca se ia C/.=I, situatie freevent intalnita, atunci

A.=a

Latitudinea <pde pe sferli se poate ealcula dupii diver§i algoritmi, funetie de naturadeformatiilor (reprezentliri conforme, reprezentan eehivalente ete).

lmaginea de pe sfera prezintii deformatii fatA de cea de pe elipsoid. Acestea pot fievaluate cu ajutorul modulilor de deformatie, definiti aseml\niitor eelor din planul deproieetie.

A"" L,<jl= B - C2 sin 2B + C4 sin 4B

Anna 3. Reprezentarea conforma a elipsoidului de rotatie pe sferaPe sfera, scara pe direetia unui meridian este

Rd<jlm=--

MdB'iar pe directia unui paralel ,

R cos<j>n=---

N eosB

(e2 5 'I

Co = _+_e4jp'~ 2 24

C4 =~p'48Scarile (modulii de deformatie) se pot calcula eu fOl1l'.ulele

R ( e2. 2 'I

m=n=-'- I+-sm BI,a 2 )

P = m 2 = :: (I + e2 sin 2 B + e: sin 4 B) ,

iar raza sferei se determina punand condilia ca, pe un paralel de latitudine Bk , sa nu seproduca deformatii (mk=I). Se obtine:

R = N. cosB.COS<Pk

din care, pentru <jlk= 0 ,rezulta R = a , unde a este semiaxa mare a elipsoidului,Diferenta de latitudine, (<p- B), depinde atat de elipsoid, cat §i de valoarea lui B.Pe un acela§i elipsoid, diferenta (<p- B) ia valoarea maxima la latitudinea B=45° §i

este de ordinul a -11',5.

Anexa 4. Reprezentarea echivalenti a elipsoidului de rotatie pe sferaConditia de eehivalenta (de reprezentare a ariilor tara deformatii), de la care se

porne§te, estep=mn=l,

in care m §i n sunt sew'ile pe meridian §i respectiv pe paralel.

Raza sferei echivalente se determina din conditia ca aria sferei sa fie egala cu cea aelipsoidului, adica:

47tR2 =41ta(I-e2)(1+~e2 +~e4 +~e6 + ... J,3 5 7

R2 =a(l-e2)(I+~e2 +~e' +~e6 + ... J3 5 7

Pentru elipsoidul Kraso\'5ki 1940, raza sferei echivalente este R=6371 116,08 m, iarpentru elipsoidul WGS 84, raza sferei echivalente este R=6 371 007,18 m.

Pe sfera echivalenta aleasa, longitudinea esteA=L,

iar Iatitudinea se poate calcula din relatia:

. (1 2, 7 4 'j . B (2 2 4 6) . . 2 l( 3 4[ . . 4sm<p= --e-+-e sm + -e --e smBsm B+ -e smBsm B3 45 3 6 5 ) ,

in care termenii scri~i intre paranteze sunt ni~te con stante, care depind numai de elipsoid.La latitudinea de 45°, diferenta (<p-B) este maxima ~ide ordinuI a -8'40".SCMilepot fi calculate cu formulele:

2

m = 1+~cos2 B6,

e'n = 1-- cos2 B

6iar deformatia maxima a unui unghi este

e2

" 2ru" =-- p cos B3

In acest caz, pe meridiane nu se produc deformatii, prin urmare scara pe oricaremeridian este egala cu unitatea:

m = Rd<p = 1MdB

Raza sferei se deduce din conditia ca sfertul de meridian de pe sfera sa aiM aceea~ilungime cu eel de pe elipsoid.

Reprezentarea pe sfera ~i evaluarea deformatiilor pot fi racute cu formulele:

R=S x~0.90' 2

A=L<po = ~ SR O.B

m=1


n = Rcos<pNcosB

p=n

sin~= a-b = NcosB-Rcos<p2 a+b NcosB+Rcos<p.'.

in care S t 1 .O.B es:e unglmea arcului de meridian masurat pe elipsoid d J • _ I

latitudinea B. " e a ecuator pana a

Anexa 6. Re tsfera prezen area echidistanta pe paralele, a elipsoidului de rota tie pe

!n acest .~az, paralelele de pe eJipsoid se reprezinta," firespectand condltla pe sera, rara a fi deformate,

R cos<pn=---=I

NcosBReprezentarea echidistanta pe I I . I

£acute cu formulele: para e e ~l eva uarea deformatiilor de pe sfera pot fi

R=aA=Ltg <p= ..n=--~tgB

m _ -Jl- e2 sin 2 B - ~

-Jl-e2sin2 B +~

=========-=-'2m09O=========-~~~

6. Calistro, V,Munteanu, C

10. Driencourt, LLaborde, l

11. Draghici, M.Tudor, C.

12. Fa1ie, V.Strutu, C.

13. Flilie, V.Strutu, C.

UTCB - Facu!tatea de Geodezie. Bucure.,ti Constantin Gh. MUNlEANU

Lezioni di geometria differenzia1e.Volume I, parte I, Bologna,

1927

Trattato di geodesia et topografia con elementi di fotogramme-tria Volume 1, Padova, 1948.

Geodezie VoL L Eo.didactica ~i pedagogicii. Bucure~ti, 1969.19. Jordan, W.,

Eggert, 0,Kneissl, M.

20. Klinger, L

2L Krasovskii, FN.

22 Levallois, JJ.

23. Munteanu, C

Istoricul cartografiei. Harti vechi referitoare la tara noastra.Hartile 1nstitutului Geografic Militar. LGM., Bucure~ti, 1937.

Cartografie matematica, 'intocmire ~i editare Institutul deConstruqii Bucure~ti, 1975.

Manual practic de cartografie matematicii. Ed. AG ..M.,Bucure~ti, 1965

Calculul coordonate1or rectangulare 'in proieqia stereografica1970 ~i transformarea lor 'in coordonate geografice, cu formulecu coeficienti constanti (manuscris). Bucure~ti.

25. Munteanu, C.Vasilca, D.

26. Munteanu, CVasilca, D.

27. Munteanu, C.Ovdii, M.

Cu privire la noua proiectie stereogr~eaI97?, adoptata pen~ruteritoriul Republieii Soeialiste Romama. ReVlsta. de geodeZle,cadastru ~iorganizarea teritoriului, nr.3/1973, Bueure~ti.

Reprezentarea conforma Gauss a e1ipsoidului de rotatie 'in plan,prin serii eu eoefieienti eonstanti (aplieatie la tara n?astra).Buletin topografie nr.3/1957, Ed. M.F.A., Bucure~tL

Transformarea eoordonatelor plane Gauss 'in eoordonategeografice, prin formule eu coefieienti eonstanti. Buletintopografie nr.4/1957, Ed. M.F.A., Bueure~ti.

Geodezie - Triangulatie. Ed. Didactica si Pedagogidi,Bueure~ti, 1972.

Geodatische Rechnungcn und Abbildungen in derLandesvcrmcssung. Sttuttgart, 1964.

Coordinati Gaussa-Krughera na ellipsoide vrascenia.Moskva, 1957. (Traducere dir. limba bulgara 'in limba rusa).

Matematiceska kartografia. Vtorovo preraboteno izdanic.Tehnika, Sofia, 196 L

Handbuch der Vermessungskunde. Band IV zweite HillfteStuttgart, 1959. "

Asupra unor aspecte cartometrice 'in legatura eu utilizareaplan~rilor topografice 'in proiectia Gauss, pentru evidentafunclara. Refcrat, Sesiune de comuniciiri ~tiintifice,ICB. (geodezie), Bucure~ti, 1970.

Contributii la studiul ~i utilizarea unor proieqii cartograficepentru reprezentiiri la scan mar~ 'in tara noastra.Tezli de doctorat, ICB., Bucure~ti, 1983.

Reprezentarea cartografica UTM ~ideformatiile ei, 'in cazulRomaniei. Buletinul ~tiintific al UTCB, nr.4/1997, Bucure~ti.

Tabele cartografice pentru elipsoidul WGS 84 - Raze ~i arce.Ed. UTCB, Bucure~t~ 1998.

Republica Moldova 'in proicctia Gauss-Kruger pe un fusnestandard, cu scara modificata. Referat, Conferinta jubiliara,Universitatea Tehnica a Moldovei, Chi~inau, 2000

Curs de geodezie. Bucure~ti, 1937.

3 1. Strutu, C.Flilie, V.

32. Strutu, C.Falie, v.

33. Tarezy-Hdmoeh,Hristov, V. K.

UTes - Facultatea de (ieodene. Bucuresti Constan/in Gh. MUNTEANU

DesfA~urarea eonica eonformii a hiiI1iiRomaniei, In sistemulLambert-Cholesky ~i ealculul tabelelor Lambert-Cholesky(1917) .Editie reviizuta ~i completatii In 1940. I.G.M., Bueure~tl, 1940.

Proieetii cartografiee. Tradueere din limba rusa.Ed. M.F.A., Bueure~ti, 1955.

Transformarea eoordonatelor Gauss, dintr-un fus In altu!.Buletin topografie nr.1I1958, Bueure~ti.

Transformarea eoordonatelor stereografiee in eoordonateGauss.Buletin topografie nr.3/1959, Bueure~tj

Tabliti dlia ellipsoida Krasovskovo. Aeademiai Kiado,Budapesta, 1959.

Contributii la studiul proieetiei Gauss. Teza de doctorat.Institutul de Construetii Bueure~ti, 1966.

Propuneri privind apliearea proieetiei stereografiee 1970.Manuseris, BueL;re~ti.

Curs de eartografie YoU, partea I (Teoria proieetiiloreartografiee) Bueure~ti, 1954.

Geometrie analitieii, proieetivii ~idiferentiala.Ed.didaetiea ~i pedagogieii, Bueure~ti, 1974.

Curs de geodezie superioara. Traducere din limba rusa,Ed. M.F.A., Bueure~ti, 1958

Regulament pentru exeeutarea luerlirilor de g~dezie, .previizut la art. 12 alin.II al Legii pentru organlzarea eadstrulUlfuneiar ~i pentru introdueerea ellrtilor funduarein Vechiul Regat ~i Basarabia. Monitorul Ofieial nr.219,partea I, din 23 septembrie 1933, Bucure~ti.

=~=====-==~===;211'l1'l<'2============

Kartografieeskie tabliti Vapusk 97. Trudl T.NJJ.G.A.i K.Moskva, 1953.

Referatele simpozionului "Proieetia Gauss la seliri mariaplicata in Romania", organizat'~.C.!\tedra de geodezie'dinI.C.B, in eolaborare eu ASJT, Bueure~ti, 1960

Instruetiuni pentru triangulatia de ordinul I, II, III ~i IV.D.T.M., Editura militarii, Bueure~ti, 1962.

Tabele euprinzand coordonatele reetangulare Gauss-Kruger ~ieoorconatele geografiee ale eolturilor trapezelor la seara1:10 000, dlmensiunile laturilor, diagonalelor ~i suprafeteloraeestora, pe fuse de 6° Editate de Institutul de GeodezieFotogrametrie ~i Cartografie, Bucure~ti, 1970. '

100 de ani de existenta a Direetiei Topografice Militare1868 - 1968. Bueure~ti, D. T.M., 1971.

Decret nr.305/ 1971 - Cu privire la activitatea geodezica,topofotogrametrica ~i cartografieii, precum ~ila procurarea,detinerea ~i folosirea datelor ~i documentelor rezultate dinaceasta aetivitatePublicat in Buletinul Oficia! nr.111126.09.1971, Bucure~ti.

UTes - Facuitatea de Geodezie, Bueuresti

=lnstitutul de Geodezie Fotogrametrie Cartografie~iOrganizarea Teritoriului (din Bucure~ti)

CARJl TEHNICE - MATRIX ROM - CARJl ACADEMICEI 5 ANI D'EACTIVITATE - PESTE 2000 DE T1TLURI

Selectie din lucrarile apID-utein domeniul CONSTRUCTII* :BAZELE CONSTRUCTIILOR

" Mircea Balcu (Universitatea TehnicA de Constructii Bucure!?ti) - COMPORTAREA INELASTICA. ABETONULUI, ROCILOR $1 MATERIALELOR GEOTEHNICE • Pret 12 RON - pe suportelectronic (CD) " .

).> Mircea Balcu (Universitatea TehnicA de Constructii Bucure~ti) - PROBLEME ACTUALE iNMECANICA SOLIDULUI DEFORMABIL CU APLICATIITN CONSTRU'CTII • Pret 20 RON - pesuport electronic (CD)

).> Manuela Blilan (Universitatea TehnicA de Constructii Bucure~ti) - REZISTENTA MATERIALELOR• Pret: 30 RON',.

).> V. Bllnut, M. Teodorescu (Universitatea Tehnicll de Constructii Bucure~ti) - STATICACONSTRUCTIILOR. APLICATII. STRUCTURI STATIC DETERMINATE. Pret: 17 RON

).> V. Bllnut, M. Teodorescu (Universitatea TehnicA de Constructii Bucure!?ti) - STATICACONSTRUCTIILOR. APLICATII. STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE • Pret: 21 RON

).> V. Bllnul, M. Teodorescu (Universitatea Tehnicll deConstruc\ii Bucure~ti) - DINAMICACONSTRUCTIILOR. APLICATII REZOLVATE • Pret: 12 RON

" V. Bllnut. M. Teodorescu (Universitatea Tehnicll de ConstruC\ii Bucure!?ti) - CALCULUL DEORDINUL II $1 DE STABILITATE. APLICATII REZOLVATE • Pret: 15 RON

" ALCatarig, L.Kopenelz, FLTrifa (Universitatea TehnicA Cluj Napoca. Universitatea Or.adea) -STATICA CONSTRUCTIILOR. STRUCTURI STATIC DETERMINATE. Pret: 23 RON - pe suportelectronic (CD)

" Octavian Ciobanu (Universitatea Tehnica Gh. Asachi la~i) - PROIECTARE CU AJUTORULCALCULATORULUI • Pret: 21 RON

" lolanda-Gabriela Craifaleanu (Universitatea Tehnicll de Constructii Bucure~ti) - MODELENELINIARE CU UN GRAD DE L1BERTATE iN INGINERIA SEISMICA. Pre!: 20 RON

, lolanda-Gabriela Craifaleanu (Universitatea Tehnica de Constructii Bucure~ti) - INTRODUCEREiN CALCULUL STRUCTURAL CU PROGRAMUL SAP2000 • Pret: 12 RON

).> Liviu Crainic. Hinca Stllnciulescu (Universitatea TehnicA de Constructii Bucure!?ti) - CALCULPOSTELASTIQUE DES STRUCTURES. Prel: 10 RON - pe suport electronic (CD)

).> Liliana Craciunescu, Eugenia Popa (Universitatea Tehnicll de Constructii Bucure~ti) -MATERIALE DE CONSTRUCTIE PENTRU UZUL STUDENTILOR - PROFIL CONSTRUCTII •Pret: 25 RON

).> Ruxandra Enache (Universitatea TehnicA de Constructii Bucure!?ti) - RASPUNS SEISMICTORSIONAL GENERAT DE CUTREMURELE VRANCENE. Pre\: 13 RON _ •

).> M. Gheorghiu, M. Chelcea (Universitatea TehnicA de Constructii Bucure!?ti) - INDRUMATORPENTRU OESEN TEHNIC DE CONSTR\JCTII. Pret: 10 RON

).> Mihai Manole (Universitatea TehnicA de Constructii Bucure~ti) - CONSTRUCTII. ALCATUIRICONSTRUCTIVE ALE PRINCIPALELOR SUBANSAMBLURI • Pret: 9 RON - pe suportelectronic (CD)

).> Florica Paul (Universitatea Tehnica de Construetii Bucuresti) - CIVIL ENGINEERING MATERIALS.Pret: 23 RON

).> Florian Petrescu (Universitatea Tehnica de Constructii Bucoresti) - SISTEME INFORMATICEGEOGRAFICE iN URBANISM $1 AMENAJAREA TERITORIULUI. Pre!: 21 RON

).> Hanna Cristina Popescu, MMlilin lIiescu. Otilia Marinela Dumitru, Daniela Marilena Cotescu,Florina Laura Chetan (Universitatea TehnicA de ConstruClii Bucur6!?ti) - DESEN TEHNIC DECONSTRUCTII. PRESCRIPTII GENERALE CONFORM STANDARDELOR iN VIGOARE.SUPORT SEMINAR. Pret: 6 RON

" Nicolae Postllvaru, Dana Eremia, Dana Galan (Universitatea Tehnicll de Constructii Bucure~ti) -GHIO PENTRU iNTOCMIREA DOCUMENTATIILOR TEHNICO-ECONOMICE LA PROIECTELEDE INSTALATII iN CONSTRUCTII. Pret: 25 RON

).> Gabriela Proca (Universitatea Tehnidi Gh. Asachi I~i) - CONSTRUCTII • Pret: 13 RON - pe suportelectronic (CD)

).> Gabriela Proca (Universitatea Tehnicll Gh. Asachi. la~i) - SILICON I TN CONSTRUcTII • Pret:9RON

).> Petru Rllpi~cl!, Florin-Lucian Tllma~, Radu Muntean (Universitatea "Transilvania" Bra!?ov) -DETERMINAREA CALITATII MATERIALELOR DE CONSTRUCTII. Pret:33 RON

•• Petru Rapil?ca (Universitatea "Transilvania" Bral?ov) -MATERIALE DE CONSTRUCTII 0 Pret:50RON

~ Luci:a Ra/U ~ ''CMiJs'' Ccns1cJl(a)- DE5EN lBiNlC DE CQNSTRl.C!1. etR> PEI'lfRU UZULSTl.JDENTLORoPre\: 19 RON

~ Vasile Szolga l?a. (Universitatea Tehnica de Construc\ii Bucurel?ti)- SISTEME DIN BARE. GRINZICU zABRELE vol.1 0 Pret: 28 RON

}> Vasile Szolga l?a. (Universitatea Tehnica de Construc\ii Bucurel?ti) - SISTEME DIN BARE. GRINZICU zABRELE vol.2 • Pre\: 23 RON

~ M.Teodorescu (Universitatea Tehnicll de Constructii Bucurel?ti) - STATICA CONSTRUCTIILOR.STRUCTURISTATIC DETERMINATE. pre\: 9 RON -pe suportelectronic (CD)

~ Sorin Vulcaneanu (Academia de Politie) - DE LA SEMNE ~I .SIMBOLURI LA CITREAPLANURILOR, REPREZENTAREA CONSTRUCTIILOR DE CLADIRI ~I A SPATIILORINVECINATE. Pre\: 24 RON

CONSTRUCTII CIVILE, INDUSTRIALE ~I AGRICOU:}> H. Asanache (Universitatea Tehnicll de Constructii Bucurel?ti) • HIGROTERMICA CLADIRILOR •

Pre\: 23 RON}> H. Asanache (Universitatea Tehnica de Construc\ii Bueur~li) - HIGROTERMICA CLADIRILOR.

APLICATII • Pre\: 15 RON - pe suport electronic (CD)}> loan Bica (Universitatea Tehnica de Construc\ii Bucurel?ti) - HIDRAULICA URBANA ~I

HIDROLOGIE. Pre\: 12 RON - pe :;uport electronic (CD)}> Constantin Budan (Universitat9a fehnica de Construc\ii Bucurel?ti) - SOLUTII TEHNOLOGICE

PENTRU REPARAREA CLADIRILOR REALIZATE CU MATERIALE LOCALE. Pre!: 9 RON~ Mirela CheJ~a, Monica Gheorghiu (Universitatea Tehnicll de Construc\ii Bucurel?ti) '- AUTOCAD

2D. APLICATII PENTRU CONSTRUCTII CIVILE. Pre\: 21 RON}> Mirela Chelcea, $tefania Pllun, Monica Gheorghiu, Florentina Dumitru (Universitatea Tehnica de

Construc\ii Bucurel?ti) - AUTOCAD 2D, Contains applications of civil constructions specific..Pre\: 21 RON

}> LMu Cretnc, Eugen Ena::he (Universitatea Tehnica de ConstruC\ii Bucurel?ti) - PRESTRESSED.CONCRETE. Pre\: 13 RON

}> Mirel Florin Delia (Universitatea Tehnica de Horia Construc\ii Bucurel?ti) - CONSTRUCTI!.SUBANSAMBLURI CONSTRUCTIVE. Pre\: 15 RON - pe suport electronic (CD)

}> Mirel Florin Delia (Universitatea Tehnicll de Construc\ii Bucurel?ti) - UTIUZAREA ANALIZELORTERMO-HIGRO·ENERGETICE IN PROIECTAREA CLADIRILOR. Pret: 17 RON

~ $erban Dima (Universitatea Tehnica de Constructii Bucurel?ti) - COMPORTAREA ~I CALCULULDIAFRAGMELOR DIN TABLA CUTArA UTILIZATE IN CADRUL CONSTRUCTIILOR CUSTRUCTURA METALICA. Pre\: 23 RON .

~ Maria Faur - COROZIUNEA ATMOSFERICA A TABLEI DE ZINC PENTRU CONSTRUCTII •Pret: 19 RON .

~ Dan-Paul Georgescu (INCERC Bucure$t1) - UTILIZAREA CIMENTURILOR ~I ADITIVILORPENTRU ASIGURAREA DURABILITATII BETONULUI. Pre!: 14 RON -pe suportelectronic (CD)

}> Corneliu Dan Hancu - (Universitatea 'Ovidius" Constanta) - DEZVOLTARE RURALA • Pre\: 21RON

» paul loan, :;itefan Betea (Universitatea Tehnica de Constructii Bucurel?ti) • STRUCTURIMETALICE MULTIETAJATE AMPLASATE IN ZONE SEISMICE • Pre\: 12 RON

» Antonloanidi ·CONTRIBUTII LA PERFECTIONAREA CONCEPTIEI ~I TEHNOLOGIILOR DEEXECUTIE A TUNELURILOR • Pre\: 14 RON·pe suport electronic (CD)

» V1ad lordache (Universitatea Tehnica de Construclii Bucurel?ti) • PROTECTIE LA ZGOMOT.ACUSTICA CLADIRII ~I A INSTALATIILOR. Pret: 25 RON

~ Oana Luca (Universitatea Tehnica de Constructii Bucurel?ti) - TEORIA ~I PRACTICAURBANISMULUI. LOCUIREA URBANA. Pre\: 10 RON - pe suport electronic (CD)

~ Carmen Mattei, Lucica Rosu, Constantin Buta (Universitatea "Ovidius" Constanta) - EROZIUNEADE ADANCIME. MAsURI DE PROTECTIE. Pre\: 13 RON

~ Dorel Pilltica .(UniVersitatea Tehnica Gh.Asachi lasi) - FUNDATII. ELEMENTE GENERALE'PRIVIND PROIECTAREA FUNDATIILOR. Prel:13 RON

~ Tudor Postelnicu, Marius Gabor (Universitatea Tehnicll de Construc\ii Bucurel?ti) - BETONPR~C9MPRIMAT. NOTE DECURS. Pre,: 12 RON

~ Tudor Postelnicu, Daniel Nistorescu (Universitalea Tehnica de Construc\ii Bucurel?ti) -INDRUMATOR DE PROIECTARE. STRUCTURA DIN BETON ARMAT CU 2 NIVELURI. Prel: 14RON

» Tudor Poslelnicu l?a. (Universitatea Tehnicll de Construc\ii Bucurel?ti) - COMPORTAREA ~I... -- ... _-- •• ~~ ~~~. ~••e'lTe ne r>I=Tnl'J ~17InARIE. Pre!: 29 RON

;- Tudor Postelnicu, Mihai Munleanu (Un' 't t .ARMAT. CALCULUL ELEMENTELOR ~~e~~~~~ ~ehnlCll de Conslruclii Bucurel?ti) - BETON

}> T. PosU/lnicu F Tilimpea 0 Z fi . RMAT. Pre\: 17 RONSTRUCTURI DE' BETON ARMATa;E~e;~~ ~LAnlvDersitateaTehnicll de Construc\ii Bucurel?ti) ,...Pre\: 13 RON IRI ETAJATE. EXEMPLE DE PROIECTARE.

;.. Alexandrina 'Pretorian (Universilatea Teh 'ca d ..CONSTRUCTIILOR CIVILE. Prel: 55 RON nI e Constructll Bucurel?li) - PROIECTAREA

~ N. RMulescu (Universitatea· Tehn'ca d C ..MODELAREA ANALlTlcA A INT~RAC;IU~~s~~~I~:ucUrel?ti) - FUNDATII DE ADANCIME.electronic(co) . TIE-TEREN • Prel: 18 RON - pe suport

~ !"l.RMule~cu, H.Popa, AMuntean (Universitate Tall.' ..~DRUMATORDE PROIECTARE. Pre\: 19 RO~ rnca...d.~.construc\1I Bucure~ti) • FUNDATII.

~ R~~el Stan (Unlversltatea Tehnica de Construc\iiBucurel?ti) - CGNSTRUCTII ~I MEDIU. Pre!: 28

}> Daniel Stan (Universitatea Tehnica d C.. >', .ST~UCTURALE • Pre!: 29 RON e onstruclll Bucurel?li) - SISTEM~L CLADIRE. SISTEME

~ Daniel Stan (Universitatea Tehnica de C . -STRUCTURILOR. PROPRIETATI SISTEMIC~~S~~C\1I19B~~~el?tl) - ANALIZA .l!lISTEMICA A

~ Dan Slemallu (Unlversitatea Tehnica d C t ..MANAGEMENTUL RISCULUI • Pret 15 R~N ~ns~uctll Bucurel?tl) - IAZURI DE DECANTARE.

» Dan Slemallu (Universltatea Tehnica d C pe port electronIC(CD) .CONSTRliCTII SUBTERANE • Pret. 1: R~~structll Bucurel?ll) - MECANICA ROCILOR PENTRU

~ Alexandru P~ul Takacs _ N.A.T· - pe sup0n.. electroniC (CQ)

VEDERE • Pret 20 RON _pe s~:;:~~c~~c~~O~TODA AUSTRIACA. PUNCTUL NOSTRU DE;.. loan Tuns (Universitatea "Transilvania" Br ) C •

PILOTI. Pre! 21 RON alloy ALCULUL ~I ALCATUIREA FUNDATIILOR PE> Constantin Turcanu (Universitatea T h .• d ..

CONSTRUCTII • Pre\: 17 RON e nlca e Conslwc\1I Bucurel?ti) - SOLUTII ORIGINALE iN

» Dan Zamfirescu, Tudor Postelnicu (Uni' .DURABILITATEA BETONULUI ARMAT. SINv.;~sZAllatEeaLEMTEehnicade Constr.uC!ii Bucurel?!i)

NTELOR DE BAZA. Pre!: 10 RON

;.. Mihai Dicu (Universi~?e~Si~~~lI CA.I FERAT.E, DRUMURI ~I PODURI' ..

APLICATE iN C~NSTRUCTIA DRU~U~~~~~~I~r:~c~~e~~N- UNELE TEHNOLOGII DE LUCRU> Stellan POl?toaca (Unlversitalea T h 'ca d . ..

CONTRIBUTII LA STABILIREA STA~I~OR De Construc!1I Bucurel?ti) - APARATE DE CALE.}> Carmen RllcMel (Universitatea Tehnica de c;n;:O:T~RI ~I DE DEFORMATII • Pre\: 24 RON

RETETEI MIXTURII ASFALTICE. Pre!: 17 RON U.II ucurel?li) - PROIECTAREA MODERNA A~ C. Romanescu, Carmen Rllcanel (uri· 'tal T . ..

L1ANTILOR BITUMINO~I ~I A MIXTU~~~~~ ;;FAe~~,~ ~e ConstrucllI Bucure~li) - REOLOGIA(CD) Pre!. 26 RON - pe suport electronic

~ lo~ Stafie, Costin Radu Turcanu (Univ r itat T ..MASURARE ~I COMANDA PENTRU ~~CU~A ~~~c;~ constAructll Bucurel?ti) - SISTEME DEsuport electronic(CO) . RIEl C II FERATE • Pre\: 9 RON _ pe

}> Ion Stafie, Costin Radu Turcanu (Unive ·tal .SUPRASTRUCTURI PENTRU cAI FERATE MO~IER~aE.;ehnlca de Constructii Bucurel?ti) -

~ C.R.Turcanu, I. Stafie (Universitat T . ret 17 RONPENTRU CAIFERATE MODERNEea ehnlca de Construclll Bucurel?ti) -PRISME DE BALAST

• Pre\: 12 RON~ C·R.Turcanu (Universitatea Tehnica de Ct·· .~ $Iefan Vicoleanu (Ia~i) _ CONTROL~~ ruC1IL~~An~~ti~R~A$INI DECALE. Prel: 35 RON

LucRARILE DE DRUMURI. Pre\: 25 RON CESELOR DE EXECUTIE LA~ $tefan Vlcoleanu (Ial?i) - CONTROLUL PROCESELOR DE EXE

BETON ARMAT CU GRINZI SIMPLU REZEMATE. Pre\: 30 RON CUTIE LA PODURILE DIN

}> N.Antonescu PO StX INNSTALATIIPENTRUCONST:RUCTII, .. dnescu, .N.Antonescu (Unive ital T··

CO~URI ~IINSTALATII DE TIRAJ. PROCESE "'I M~TO~a :.ehnlca de Construc\ii Bucurel?ti) -suport electronic (CO)Y ICI DE CALCUL • Prel: 23 RON - pe

~ N. Antonescu, P.O. Stllnescu, N.N. Antonescu (u··. ..PROCESE DE ARDERE. BAZELE f'IZICE ~I EX nlvers/talea Tehnlca de Conslructll Bucurel?ti) -

~ C. Bianchi, N. Mira, D. Moroldo, ,a (Univers' PERI~ENTALE. Pret 31 RONILUMINAT INTERIOR ~I EXTER~OR. Pre\: :e~6:n1ca de Constructll Bucurel?li) • SISTEME DE

•• Octavia Cocora (Universitatea Tehnicll de Constructii Bucure~ti) - AUDITUl $1 EXPERTIZATERMICA A CLADIRllOR $IINSTAlATlIlOR AFERENTE. Pre!: 25 RON

•• Speranta Coldea, Gheorghe-Constantin lonescu (Universitatea din Oradea) - ElEMENTE DEFIZICA'FlUIDElOR $1 HIDRAUlICA. Pret: 33 RON

•• Comisia Interna~onalll de Iluminat (CIE) - GHIDUL CIE DE IlUMINAT INTERIOR PENTRUlOCURILE DE MUNCA • Pret: 10 RON - pe supon electronic (CD)

•• Mircea Degeratu,Georgeta Bandoc (Universitatea Tehnic1l de Constructii Bucure~ti) -INSTALATII $1ECHIPAMENTE PENTRU UTILIZAREA ENERGIEI MECANICE NEPOlUANTE. UTILIZAREAENERGIEI VALURILOR • Pret: 11 RON

•• Mircea Degeratu,Georgeta Bandoc (Universitatea Tehnidl de Constructii Bucure~ti) -INSTAlATII $1ECHIPAMENTE PENTRU UTlllZAREA ENERGIEI MECANICE NEPOlUANTE. UTILIZAREAENERGIEI VA.NTULUI. Pret: 14 RoN

>- Alexandru Dimache, Mircea Mi!inescu (Universitatea Tehnicll de Constructii Bucure~ti) - RETELEEDILIT ARE. Pret: 30 RON

•• Liviu Drughean (UniVersitatea Tehnica de Constructii Bucure~ti) - SISTEME FRIGORIFICENEPOLUANTE. 8lSTEME FRIGORIFICE CU COMPRIMARE MECANICA. Pret: 19 RON

•• Liviu Drughean, Dra~ Hera, Alina Pfrvan (Universitatea Tehnica de Constructii Bucure~ti) -SISTEME FRIGORIFICE NEPOLUANTE • Pret: 21 RON

•• Dumitru Enache, lolanda Colda, Andrei Damian, Mihai Zgavarogea (Universitatea Tehnic1l deConstructii Bucur~ti) -INSTALATII DE VENTILARE $1 CLiMATIZARE • Pret: 20 RON

•• Mihai F-Iorea. Dumitru Ion Arsenie, Ichinur Mfrzali (Universitatea "Ovid ius" Constanta)HIDRAULICA CONSTRUCTlIlOR. SISTEME SUB PRESIUNE • Pret: 18 RON - pe suportelectronic (CD)

•• Corneliu C. Georgescu, Lucian I. Georgescu (Universitatea Tehnica de Constructii Bucure~ti) -CALCULUL $1 FUNCTIONAREA RETELELOR HIDRAULICE $1 A ELECTROPOMPELORAFERENTE • Pret: 23 RON

•• Corneliu Dan Han~ (Universitatea "Ovidius" Constanta) - PRIZE DE APA $1 ADUCTIUNI • Pret:17 RON

» Drago~ Hera (Universitatea Tehnic1l de Constructii Bucure~ti) -CRIOGENIE TEHNICA • Pret: 33RON

•• Dragos Hera (Universitatea Tehnicll de Constructii Bucure~ti) • INSTALATII FRIGORIFICE.AGENT' FRIGORIFICI • Pret: 21 RON

}> Drago~ Hera, Alina Girip (Universitatea Tehnicll de Constructii Bucure~ti) • INSTAlATIIFRIGORIFICE. SCHEME $1 CIClURI FRIGORIFICE • Pret: 35 RON

•• Drago~ Hera, Uviu Drughean, Alina Girip (Universitatea Tehnic1l de Constructii Bucure~ti) -SCHEME $1 CIClURI FRIGORIFICE PENTRU INSTAlATlIlE CU COMPRIMARE MECANICA.Pret: 26 RON

•• O. lanculescu. Gh. lonescu, Raluca Racoviteanu (Universitatea Tehnic1l de Constructii Bucure~ti,Universitatea Oradea) - CANAlIZARI. Pret: 25 RON

•• O. lanculescu. Gh. lonescu, Raluca Racoviteanu (Universitatea Tehnica de Constructii Bucure~ti,Universitatea Oradea) - EPURAREA APElOR UZATE • Pret: 23 RON

•• O. lanculescu, Gh. lonescu (Universitatea Tehnicll de Constructii Bucure~ti, Universitatea Oradea)- AlIMENTARI CU APA. Pret: 30 RON

•• O. lanculescu, D. lanculescu (Universitatea Tehnic1l de Constructii Bucure~ti) - PROCESUl DECOAGULARE - FLOCULARE TN TRATAREA APEI DE ALiMENTARE • Pret: 23 RON - pesuport electronic (CD)

•• Jan Ignat, CatSlin Popovici (Universitatea Tehnic1l "Gh. Asachi", la~i) - RETElE ELECTRICE DEJOASA TENSIUNE • Pret: 28 RON

•• M. IIina, S. IIina (Universitatea Tehnic1l de Construetii Bucure~ti) - iNCALZIREA lOCUINTElORINDIVIDUALE • Pret 23 RON

•• Mihai IIina, Catalin Lungu (Universitatea Tehnic1l de Construc~i Bucur~ti) - 100 DE PROBLEMEPRACTICE DE INSTALATII PENTRU iNCALZIRE • Pret: 39 RON

•• C. Ionescu,S. Larionescu,S. Galuianu, D. Popescu (Universitatea Tehnic1l de Constructii Bucure~ti)-AUTOMATIZAREA INSTALATlIlOR. COMENZI AUTOMATE. Pre\: 31 RON

•• Gheorghe lonescu (Universitatea Oradea) - OPTIMIZAREA FIABILITATII INSTALATIILORHIDRAULICE DIN SISTEMELE DE ALIMENT ARE CU APA • Pret: 37 RON

•• Gheorghe-Constantin lonescu (Universitatea din Oradea) - INSTALATII DE ALIMENTARE CUAPA. Pret: 40 RON

•• Florin lordache (Universitatea Tehnic1l de Constructii Bucure~ti) - COMPORTAMENTULDINAMIC Al ECHIPAMENTELOR $1 SISTEMELOR TERMICE .Pret: 21 RON

•• Florin lord ache, Bogdan Caracaleanu (Universitatea Tehnicll de Constructii Bucure~ti) _COMPORTAMENTUl DINAMIC AL ECHIPAMENTELOR $1 SISTEMELOR TERMICE.CUlEGERE DE PROBLEME. Pre!: 17 RON

•• Hrisia Elena Moroldo (Universitatea Tehnic1l de Constructii Bucure~ti) -ECLAIRAGE INTERIEURET EXTERIEUR. Pret: 28 RON,

•• Gabriel Racoviteanu (Universitatea Te.hniCll de Constructii Bucure~ti) - TEORIA DECANTARII $1FILTRARII APEI. Pret:17 RON .

•• Lucica Ro~u (Universiiatea "Ovidius" Constanta) - SISTEME $1 REGULATOARE AUTOMATEUTILIZATE iN AMENAJARILE DE IRIGATII • Pret: 20 RON

•• I. Sflrbu, F. Kalmar (Universitatea "Politehnica" Timi~oara) - OPTIMIZAREA ENERGETICA ACLADIRllOR • Pret: 40 RON .

•• Daniel Stan (Universitatea Tehnic1l de Constructii Bucure~ti) - CONSTRUCTII SPECIALEPENTRU INSTALATII. Pret: 28 RON > .

•• P.D.Stanescu (Universitatea Tehnic1l de Constructii Bucure~ti) - ARDEREA PELICULARA ADE$EURILOR. Pret: 12 RON - pe suport electronic (CD)

•• P.-D. Stllnescu, Antonescu N,. N., Popescu (Olea) Lelia Leti\ia (Universitatea Tehnic1l deConstructii Bucure~ti) - iNDRUMATOR DE PROIECTARE. CAZANE. Pre\: 25 RON

}> Traiean $erbu (Academia de Politie) - FIABIUTATEA $1 RISCUlINSTALATIILOR. ElEMENTEDE TEORIE $1 CALCUL • Pre\: 29 RON - pe suport electronic (CD)

•• Clltlllin loan Teodosiu (Universitatea Tehnic1l de Construc\ii Bucure~ti) _ MODELAREA $1SIMUlAREA SISTEMElOR iN DOMENIUL INSTAlATlIlOR PENTRU CONSTRUCTII. Pret: 22RON

GEODEZIE•• Mat:eICcSsI~ (Universitatea Tehnica de Constructii Bucure~ti) - TOPOGRAFIE, ed.2. Pret: 23

RON•• Constantin Co~arca (Universitatea Tehnic1l de Constructii Bucure~ti) - TOPOGRAFIE

INGINEREASCA. Pre! 31 RON» Facultatea de Geodezie din Universitatea Tehnicll de Constructii Bucure~ti - MAsURATORI

TERESTRE. FUNDAMENTE VOl. 1,2,3. Pre\: 110 RON» Ion lonescu (Universitatea Tehnic1l de Constructii Bucure~ti) - FOTOGRAMETRIE

INGINEREAScA • Pre\: 22 RON•• Constantin Moldoveanu (Universitatea Tehnica de Constructii Bucure~ti) - GEODEZIE • Pret: 50

RON•• Constantin Munteanu (Universitatea Tehnic1l de Constructii Bucure~ti) - CARTOGRAFIE

MATEMATICA. Pre\: 21 RON•• Dumitru Onose (Universitatea Tehnic1l de ConstruC\ii Bucure~ti) - TOPOGRAFIE. Pre!: 33 RON•• Aurel Sllracin (Universitatea Tehnicll de Constructii Bucure~ti) - TOPOGRAFIE. NOTE DE CURS

$1 APlICATII. Pret: 14 RON•• Gheorghe Tamflioaga, Daniela Tamaioaga (Universitatea Tehnicll de Constructii Bucure~ti) _

CADASTRUL GENERAL $1 CADASTRElE DE SPECIALITATE • Pret: 40 RON•• Gheorghe Tamflioagll, Daniela Tamaioaga (Universitatea Tehnic1l de Constructii Bucure~ti) _

AUTOMATIZAREA LUCRARILOR DE CADASTRU. Pret: 19 RON

MANAGEMENTUL iN CONSTRUCTII•• Maria Gheorghe (Universitatea Tehnic1l de Construetii Bucure~ti) - VALORFICAREA DE$EURLOR

$I SUBPRODUSELQRINDUSTRIAlE III CONSTRIJCTD.Pre\:26RON-pe suport electronic (CD)•• Petre Ion ita - CONSUL TANTA TN INVESTITII-CONSTRUCTII. SERVICIILE INGINERE$TI

PRIVIND MANAGEMENTUL, CONCEPTIA PREUMINAR'A, PROIECTAREA $1SUPRAVEGHEREA LUCRARILOR. Pret: 20 RON

•• Nicolae Postavaru, Stefan Bancila, Cristina lcociu (Universitatea Tehnic1l de Constructii Bucure~ti)- MANAGEMENT INTEGRAT AL PROIECTELOR INVESTITIONALE • Pret: 30 RON

•• N. Postavaru, $t. Bancila (Universitatea Tehnic1l de Constru~i Bucu~ti) - MONrrORIZAREA $1CONTROLUL EXECtJTIEI DE INVESTJTlIiN CONSTRUCTII. Pret: 65 RON

•• Nicolae Postllvaru, Nafees Ahmed Memon (Universitatea Tehnicll de Constructii Bucure~ti) _CONSTRUCTION MANAGEMENT. Pret: 20 RON

•• Gheorghe zafiu, Aurel Gaid~ (Universitatea Tehnic1l de Constructii Bucure~ti) _ INGINERIA $1MANAGEMENTUL RESURSELOR TEHNOLOGICE iN CONSTRUCTII • Pret: 17 RON _ pesuport electronic (CD)

» Gh.Zafiu, Ion A.lonescu (Universitatea Tehnica de Construclii 8ucure~ti) - PROBLEMATICAECOLOGICA A TEHNOLOGIILORTN INDUSTRIA CONSTRUCTIILOR. Prel: 9 RON - pe suporlelectronic (CD)

> coleclia CATALOAGE DE REEVALUARE A CLADIRILOR ~I CONSTRUCTIILOR SPECIALEDIN GRUPELE 1 ~I 2 DE MIJLOACE FIXE - edilia 1964, document de referinlil in "Metodologiapentru evaluarea cllJdirilor Iji constructii/or speciale din grupela 1 Iji 2 de mijloaca fixe", aprobatilprin Ordinul nr. 32/N/1995 al MLPAT. (s-a pilstrat numerotarea originalil a cataloagelor):

100 - Fundatli Iji eljafodaje sustlnere uti/aje. prel: 8 RON101 - CUidlrilji construcril din industria producatoare de energie electrica • pre\: 40 RON

- 102 - Retele aeriene de dlstribupe Iji /in/i de transport de energie electrica • pre\: 53 RON105 - Cladiri Iji construct" din industria metalurgiei feroaseVol. I Oblecte comune din Industria metalurgiei feroase. pre\: 31 RONVol. II Obiecte din subramurile aglomer:are cocserli furna/e Iji ote/ar;; • prel: 23 RON106 - Cladlri Iji construct" din Industria metalurgiei nefer.oase. prel: 18 RON107 - Cladiri Iji construct;; din Industria constructoare de maljinl. prel: 35 RON108 - Cladlrl Ijl constructii din industria materialelor.. de. construct;; (lnclusiv cariere Iji

balast/ere). pre\: 55 RON .'. •... .109 - Cladlrlljl construct'l din industria lemnului. pre\: 57 RON

- 110 - Cladiri Ijl construct;; forestlere. prel: 26 RON111 - Cladiri Iji constructii din industria chimica. pre\: 67 RON

- 113 - Cladlri Iji construct;; din industria uljoara • pre\: 33 RON- 114 - Cladlrllji constructli din industria alimentara • pre\: 34 RON- 115 - Cladlrilji constructfi agrozootehnice. prel: 40 RON- 116· Cladiri Iji construct;; culturale, de arta Iji poligrafie • prel: 20 RON- 117 - Cladlri Iji constructli Ijcolare. prel: 13 RON- 118· Cladiri Iji construct;; sanitare Iji sociale • pre\: 13 RON- 119 - Cladiri Ij! construct;; sportive. prel: 35 RON- 120· Clad!r! Iji construct;; comerciale. prel: 21 RON- 121- Cladiri Iji constructfi din cadrul cooperapei m9ljteljugareljtllji de consum. pre~ 17 RON

122 - Cladiri Iji construct'i pentru transportul auto (aerogari, garaje, ateliere). pre\: 13 RON- 123 - Cladiri Iji construct'i pentru transportul feroviar. pre\:110 RON

124 - Cladiri de locult Iji administrative. pre\: 22 RON- 125 - Constructfl meteorologice, hidrotehnice, de alimentiiri cu apa I}i canalizare • pre~24 RON

126 - Cladiri Iji construcrii pentru industria gaze/or. prel: 50 RON- 127 - Cladiri Iji construct'i de termoficare (inclusiv conducte/e de termoficare) • pre\: 11 RON

128 - Construct;; hldrotehnice Iji cladiri anexe pentru amenajari energetice. prel: 22 RON- 129 - Cladiri, construct;; Iji rete/e pentru telecomunicatil. prel: 22 RON

132 - Cladiri Iji constructil pentru intreprinderi comunale- Vol. I Alimentari cu apa potabila Iji industriala, canalizari comunale Iji alte act/vitati de

gospodarie comunala • pret: 77 RON- Vol. II Transporturi oraljeneljti Iji distributia gazelor. prel: 42 RON- 133- Drumuri Iji construqll anexe din incinta intreprinderilor, inclusiv racordurile • pre~121RON

135 .Instalapi electrice de forfii, sub 1000 V din cladirile Ijl construCt/ile industrfale. pret:11 RON» colactia INDICATOARE DE NORME DE DEVIZ (edi\ia 1981, inclusiv complelilrile din perioada

1982-1989, publicale In Bulelinul conslruc\iilor) (Republicarea are Ia ba2li acordul autoriloqi aI MLPfL)- C - Constructfllndustriale, agrozootehnice, loculnte, social-culturale. pre\: 120 RON

S - Instalatii sanitare • pre\: 99 RON- E - InstalatJi electrice • pre\: 66 RON

I - Instalatil de Tnciflzire • prel: 66 RON- Iz -Izolatll. pre\: 72 RON- Ts - Terasamente • pret: 77 RON- Ac • Alimentiiri cu apa Iji canalizare • pre~72 RON- HZ - L.ucr;jri hidrotx;hnice pot1Uare. pre!;: 39 ROO- D - Drumuri • pret: 44 RON- P- Poduri. pre\: 44 RON- T - Tunele. pre\: 61 RON- L1 - Linii de cale feratii • pre\: 50 RON- W3 - Semnalizari Iji centraliziJri feroviare • pre\: 44 RON

G - Gaze. prel: 39 RON- If· fmbuniJtatfri funclare • pre\: 33 RON- H1 - Construct;; hidrotehnlce suprafatiJ Iji subterane • prel: 77 RON- Rpl- Reparat;; instalat;; incalzire • pre\: 88 RON

LUCRARI lEHNICG-ECONOMICE> Vietor Asquini In colaborare cu Emil Prager - INDICA TOR TEHNIC TN CONSTRUCTII • Pre\: 73

> ~~ZlCrislian - colJc\ia EFECTUAREA ~I VERIFICAREA EXPERTIZELOR IMOBILIAREExpertlza tehnlca, judiciara Iji extrajudiciarii. Servituti .• pre\: 15 RONfncB/cari de hotare, griinftuiri §i revendiciJri. /eljiri din Indlviziune Iji partaje • prel: 15 RONLucrarl de Tntretinere Iji degnK1ari. imbuniitiipri Iji transformari la imobile • pre\: 16 RONExtrase se/ectate$i rezumate din juristprudenta, cazuriljl rezolvari privlnd expertizatehnicii imoblfiariijuridica 1970-1999. pre\: 60 RON

~ APARITII PERIODICEBuleti!1tehnic de preturi in mica constructie ,i reparatli in constructiiBuletinflthnic de preturi la instalatii electrlce, sanitare, gaze, incalzlre, canalizareindreptar tehnic pentru evaluarea imediata a costurllor elementelor ,iconstructiilor de locuinteSistem de coeficienti de actualizare rapida a valorii de inlocuire a mlJloaceiorfixe - cladi,;.,icor.struetii speciale

> N. Georgescu, D. Sioian - colectia EVALUAREA RAPIDA A CONSTRUCTIILOR- Hale Industriafe • pre\: 11 RON- Spefli comercia/e • pre\: 11 RON- Depozite. prel: 18 RON- Construct;; pentru invatamint, Ijtiinta, cultura, administratie • prel: 17 RON- Constructfi pentru sanatate, asistenta soclala, agrement. pre\: 19 RON- Constructfi pentru transport rutier, aerian • prel: 11 RON- Construepi pentru transport feroviar. prel: 18 RON- Construct;; agricole. pre\: 15 RON- Constructfi pentru transport fluvial, maritim • pre\: 10 RON- Construcfli Iji cladiri speciale pentru alimentare apa Iji canal. prel: 12 RON- Construct;; Iji clad/ri speciale pentru gaze, termoficare • pre\: 13 RON- Constructfi folosintA generala. pre\: 21 RON- Locuinte. camine, hote1uri • pre~ 12RON- Constructfi Iji cladiri speciale pentru industria alimentarii • pre\: 17 RON

Construct'i Iji clad/ri speciafe pentru industria uljoariJ. pre\: 12 RON- Fundatii, eljafodaje, utl/aje • prel: 9 RON

RefeIe Iji lim; de transport energle e1ectricii • ~ 15 RaNIDrumuri Iji constructJ/ anexe • pre\: 15 RONInstalapi e/ectrice de forta sub 1000 V. pre\: 15 RON

- ConstructJi §i cladiri spec/ale pentru industria materialelor de constructJ/ • pre\: 28 RON- Construcfli Iji cladiri speciale pentru industria femnulu/ • pre\: 26 RON

fntreprinderi comunale - allmentari cu apa, canalizari. prel: 39 RON- fntreprinderl comunale· transport orifljenesc, gaze. pre\: 17 RON- Industria meta/elor neferoase • pre\: 15 RON- Construcfli Iji cladiri speciale pentru industria chlm/ca • pre\: 44 RON- Construcfl/ §/ cladiri speciale pentru industria ce/ulozei, hartie/, fibrelor. prep 1 RON- Constructfi hidrotehnlce. pre\: 15 RON- ConstructJi §i c/ifdirl speciale pentru Industria m!nlerif de suprafata. pret: 31 RON- Construcfii §i c/ifdiri speciale pentru industria energ/el electrice • pret: 15 RON- Constructfllji cliJdirl speciale pentru exploatare §I transport forest/er. pret: 19 RON- Construcfii Iji cllidirl speciale pt industria metalurgiei feroase • oblecte comune • pre\: 19

RON- Constructl/ §! cladiri speciale pt. Industria metalurgiei feroase - cocserii, furna/e • pre\: 19

RON- Plantapi hortivitlcole Iji hameicole • prel: 9 RON

RpS - Reparat;; instalatii sanitare • pre!: 83 RON- RpC. Reparatii construcfii • pre!: 110 RON- RpE - Reparatii instalatii e/ectrice • pre!: 72 RON- RpAc - Reparafii alimentilri cu apiJ §/ canallzare. pre!: 61 RON

RpG • Repaiafii instaIatii gaze • pre\:39 RONTf - Termoficare • pre!: 33 RONM1 • Montaj utila}general • pre\: 99 RONTc - Te/ecomunicatii. pre!: 72 RON

- At - AutomatiziJri • pre!: 33 RON- W2 • L1nll e/ectrlce joasiJ tens/une • pre!: 110 RON- W1· Lucmri de stat/I, posturi de transformare, IInli e/ectrice aer/ene §i subterane de

;na/til tensiune • pre!: 99 RON}> colec!ia REGLEMENTARI TEHNfCE fN CONSTRUCTII $IINSTALATII

- Reg/ementilri tehnice privind ca/culul construct/llor §i elementelor de constructie • pre!: 209- RegJementiJri tehnice priv/nd pro/ectarea §/ executarea lucmrilor de terasamente • pre!:

72 RON- Reg/ementiiri tehn/ce privind pro/ectsrea §i executarea fundat/llor. pre!: 165 RON- Reg/ementilri tehnice privind proiectarea §i executarea /ucriiri/or de beton, beton armat §i

beton precompr/mat • pre!: 132 RON- Reg/er.'lentan tehnice privind proiectar8a §i executBroxt /uerarilor de cofraje, ~aje, sche/e •

pre!: 17 RON- Reglementiiri tehnice pr/v/nd pro/ectarea §i executarea lucriirilor de zidiiril • pre!: 77 RON- Reglementari tehn/ce privfnd proiectarea §i executarea /ucmrilor de construct/l metalice • pre!:

171 RON- Reglementari tehnfce privind protectia constructiilor ,i instalatiilor contra agen~i1or • pre!:

99 RON- Regfementari tehnfce privfnd proiectsrea §i executarea /ucmri/or de construct/f din lemn • pre!:

50 RON- Reglementiiri tehnice prfvind pro/ectarea §i executarea /ucrarilor de invelitori • pre!: 50- Reglementiiri tehnice pr/vind proiectarea §i executa rea /ucriirilor de izolat;; • pre!: 220- Reglementilri tehnice privind proiectarea §f executarea lucriri/or de tencuieli §i placaje •

pre!: 44 RON- Reglementiirl tehnice priv/nd proiectarea §i executarea /ucrarfior de pardoseli • pre! 61- Reg/ementiiri tehnice privind proiectarea §i executarea fucriri/or de tamplirie §i geamuri

• pre! 33 RON- Reglementari tehnice privind proiectarea §i executa rea lucriirilor de zugriiveli §i

vopsitorii • pre! 28 RON- Reg/ementari tehnfce pt1v1ndproiectsrea fI executarea /nstafat/llor de apa §i cana/izare • pre\: 231- Regfementari tehnice privind proiectsrea §i executarea fnsta/at//tor termice, cond;ponare a

aerofui §igaze. pre!: 385 RON- Reglementiiri tehnice privlnd pro/ectarea JI executarea instalat/ilor electrice • pre!: 176 RON- Reglementiiri tehnice privind verificarea calitiit/i §i receptia lucriirilor de construcfii §/

Instalatii. pre!: 149 RON- Reglementari tehnice privlnd profectarea, construlrea, intret/nerea §i repararea drumut110r

§i podut1for rut/ere. pre!: 319 RON- Reglementiiri tehnlce privind proiectarea JI executarea lucnit1lor geodezice, topografice,

fotometrice §i cadastrate. pre!: 33 RON

Ofertele ~ §I grah.iIe pe dooJeni se pet sdidIa leIeforic. AcHzi\ionaIIla ci1ior se peate face di'ed de Ia seciuledilurii, prin ceIet poll1aI OJ plata rarburs (pe baza u'1ei comenzj saise) saJ de Ia distrbLibii tin ~ (1ibrOOa RAMA, IbWaAGIR, Ibr8ria t.uoeafBttJ, IiJr.\ia Milai Eminescu), 8ra§ov, elf Napoca, Coo!;tanlp, Qabva, ~, Pi!e¢, SibiJ, Tmi§oom. ClierJ1iprirne!;c periodk:: i1forma\ii despIe noiIe IucrlirI apl1rule sau Tna.rs de ~ .

• Preturlle din aceasti oferti sunt valabile Incepand cu 01.02.2008, Includ TVA ,I sunt exprimate In RON. 'e'

Cartografie matematica

Documents

Transcript of Cartografie matematica