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Clasa XI – M2 – prof. Cornelia Mestecan
Fişă de lucru – DERIVATE – FUNCŢII SIMPLE
1
Exerciţii rezolvate
Să se calculeze derivatele funcţiilor, scriindu-se de fiecare dată şi formulele utilizate:
a) 2: , 3 8 2f f x x x ; b) 2: , 2xf f x x ;
c) : , 3 5x xf f x e ; d) 4
3
1 1: \ 0 , 5f f x x
x x ;
e) 4
: \ 0 ,x
f f xx
; f) 2
4: ,
2
xf f x
x
;
g) 5: , 7 2 xf f x x x e ; h) : 0; , ln 2 lnf f x x x ;
i) : 0; , 3 lnf f x x x ; j) : , 2sin cosf f x x x ;
k) : , 2 sinf f x x x ; l) : 1;1 , 5arcsin 8arccosf f x x x ;
m) 2: 1;1 , 3 arcsinf f x x x ; n) 3sin 5
: ,cos 2
xf f x
x
;
o) : , 2 5f f x arctgx arcctgx ; p) 5 3
3 2
1 1: 0; , 3f f x x x
x x
Rezolvare:
a) 2 2 2(3 8 2) 3 8 2 3 8 0 3 2 8 6 8f x x x x x x x x x ;
am folosit formulele: ' ' 'f g f g ;
' 'c f c f ; 0c ; 1x ; 1( )n nx n x
b) 2 2( 2 ) 2 2 2 ln 2x x xf x x x x ;
am folosit formulele: ' ' 'f g f g ;
1( )n nx n x ; lnx xa a a
c) ( 5 ) 5 5 ln5x x x x x xf x e e e ;
am folosit formulele: ' ' 'f g f g ; lnx xa a a
; x xe e
d) 4 4 3 1 3 3 2 4
3 3
3
2 4
1 1 1 15 5 5 4 20 1 3
1 320
f x x x x x x x x xx x x x
xx x
;
am folosit formulele: ' ' 'f g f g ;
' 'c f c f ; 1( )n nx n x ; 1r rx r x
e)
2 2 2 2
4 4 1 4 14 4 4x x x x x xx x xf x
x x x x x
;
am folosit formulele:
' ' '
2
f f g f g
g g
;
' ' 'f g f g ; ' 'c f c f ; 0c ; 1x .
f)
2 2 2 2 2
2 2 222 2 2
2
22
4 2 4 2 1 2 4 24 2 2 8
2 2 2 2
8 2
2
x x x x x x xx x x xf x
x x x x
x x
x
;
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Fişă de lucru – DERIVATE – FUNCŢII SIMPLE
2
am folosit formulele:
' ' '
2
f f g f g
g g
;
' ' 'f g f g ; 0c ; 1x ; 1( )n nx n x
g)
5 5 5 4 5
5 4
[ 7 2 ] 7 2 7 2 5 7 7 2
5 7 5
x x x x x
x
f x x x e x x e x x e x e x x e
x x x e
;
am folosit formulele:
' ' 'f g f g f g ;
' ' 'f g f g ; 0c ; 1x ; 1( )n nx n x ; x xe e
h) 1 1
ln 2 ln ln 2 ln ln 2 1 ln 2f x x x x xx x
;
am folosit formulele: ' ' 'f g f g ; 1x ;
1ln x
x
; ' 'c f c f
i) 1 3
3 ln 3 ln 3 ln 1 ln 3 lnx
f x x x x x x x x x xx x
;
am folosit formulele: ' ' 'f g f g f g ; 1x ; 0c ;
1ln x
x
;
j) 2sin cos 2sin cos 2cos sinf x x x x x x x ;
am folosit formulele: ' ' 'f g f g ;
' 'c f c f ; sin cosx x ; cos sinx x
k) 2 sin 2 sin 2 sin 2sin 2 cos 2sin 2 cosf x x x x x x x x x x x x x
am folosit formulele: ' ' 'f g f g f g ;
' 'c f c f ; 1x ; sin cosx x ; cos sinx x
l) 2 2 2
5 8 135arcsin 8arccos 5arcsin 8arccos
1 1 1f x x x x x
x x x
;
am folosit formulele: ' ' 'f g f g ;
' 'c f c f ; 2
1arcsin
1x
x
; 2
1arccos
1x
x
m) 2
2 2 2
2
33 arcsin 3 arcsin 3 arcsin 2 arcsin
1
xf x x x x x x x x x
x
;
am folosit formulele: ' ' 'f g f g f g ;
1( )n nx n x ; 0c ; 2
1arcsin
1x
x
n)
2
2 2
2 2
2 2
2 2
3sin 5 cos 2 3sin 5 cos 23sin 5
cos 2 cos 2
3cos cos 2 3sin 5 sin 3cos 6cos 3sin 5sin
cos 2 cos 2
3 cos sin 6cos 5sin 3 6cos 5sin
cos 2 cos 2
x x x xxf x
x x
x x x x x x x x
x x
x x x x x x
x x
;
am folosit formulele:
' ' '
2
f f g f g
g g
;
' ' 'f g f g ; 0c ; ' 'c f c f ;
sin cosx x ; cos sinx x ;
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şi formula fundamentală a trigonometriei
o) 2 2 2
2 5 32 5 (2 ) (5 )
1 1 1f x arctgx arcctgx arctgx arcctgx
x x x
am folosit formulele: ' ' 'f g f g ;
' 'c f c f ; 2
1
1arctgx
x
; 2
1
1arcctgx
x
p)
5 3 5 3
3 2 3 2
3 2 2 51 3
5 3 5 32 2
5 2 3 3 5
1 1 1 13 3
3 3 3 1 2 3 3 1 2
5 2 32 2 2 5 2 3
f x x x x xx xx x
x x x x x xx x x x x x
am folosit formulele: ' ' 'f g f g ;
' 'c f c f ;
m
n m nx x ; 1
2x
x
; 1r rx r x
Exerciţii propuse
1.Să se calculeze derivatele funcţiilor, scriindu-se de fiecare dată şi formulele utilizate:
a) 2: , 8 12f f x x x ; b) 5: , 3 7xf f x x ;
c) : , 2 2 4x x xf f x e ; d) 7
2 4
1 1: \ 0 , 3f f x x
x x ;
e) 3
: \ 1 ,1
xf f x
x
; f) 2
3: ,
1
xf f x
x
;
g) 2: , 3 2 xf f x x x e ; h) : 0; , ln7 2lnf f x x x ;
i) 2: 0; , 2 lnf f x x x ; j) : , 3sin 2cosf f x x x ;
k) : , 3 4 cosf f x x x ; l) : 1;1 , 4arcsin 3arccosf f x x x ;
m) : 1;1 , 2 3 arcsinf f x x x ; n) 2cos 3
: ,sin 2
xf f x
x
;
o) : , 6f f x arctgx arcctgx ; p) 4
5 3
1 1: 0; , 2f f x x x
x x
2.Construiţi alte 3 funcţii asemănătoare pentru fiecare subpunct de la ex. 1 şi calculaţi derivatele lor .
2 2cos sin 1x x