Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1.Se obine suma egal cu3 6 9 + = . 2.Condiia 43 4 0 , ;3x x + > ecuaia devine 43 4 25 7 ;3x x + = = . 3. 1 21 2 1 21 1 1.2x xx x x x++ = = 4.() ( ) 1 1, 0; 0 f V = punct de maxim ( ) ( ) ( ) [ ] 0 0 1, 0 . f x f f x = 5. ( ) ( ) 1 2 3 1 3 4 3, 4. AB i j i j a b = + + = + = =JJJJG G G G G 6.Se aplic teorema cosinusului n triunghiul ABC ( )2 2 23: cos 30 .2 2AB BC ACB m BABBC+ = = =D)Rezolvari M2 2009www.mateinfo.ro I pag.1->pag.100 II pag.101->pag.200 III pag.201->pag.300Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1.Deoarece( ) 3 0 f = rezult c produsul este egal cu 0. 2.Condiii2 0 x + >i( ) 0 0, . x x > Ecuaia devine 22 8 x x + =cu soluia2. x =3.Inecuaia se scrie [ ] { }25 4 0 1, 4 1, 2, 3, 4 . x x x + = ] 4. 13 1 5 3 132x xx+ + += , deci numerele sunt n progresie aritmetic, pentrux \. 5. ( ) ( )4 8 6 3 10 5 . OA OB i j i j i j + = + + = JJJG JJJG G G G G G G VectorulOA OB +JJJG JJJG are coordonatele( ) 10, 5 . 6.Aria sin2.2AC AB AABC = =Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1.irul este o progresie aritmetic de raie 10 16 9 55. r a a r = = + = 2.Exist 32numere naturale de trei cifre scrise cu elementedin mulimea{ } 1, 2 . Dintre acestea sunt divizibile cu 3 numerele 111 i 222. Probabilitatea este egal cu 0,25. 3.Condiia[ ) 0, . x Ecuaia devine 22 0 2. x x x = =4.( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 1 3 1 1 3 0. f f f f + + + = + + =5.Ecuaia dreptei: 3 0. AB x y =6. Aria sin 1.2 2AC AB AABC = = Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1.Inecuaia se scrie( ) { }26 0 2, 3 1, 0,1, 2 . x x x < = ]2.Raia este egal cu 2. 5 59, 25. a S = =3.Condiia( ) 0 , 0 . m m < Valoarea maxim a funciei este egal cu 64 12 20 2.4m m ma + = = 4.Condiia( ) 5, . x Ecuaia se scrie 22 2log 3 8 6.5 5x xxx x+ += = = 5.Vectorii, uvGG sunt coliniari24.3 2aaa = = 6.Se aplic teorema sinusurilor 32 2 3.1sin2ABR R RC = = =Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1. [ ] 3;1 A = ]adic numrul elementelor mulimii este 5. 2.n mulimea{ } 1, 2,3,...,30 singurele cuburi perfecte sunt 1, 8 i 27, deci probabilitatea este 30,130 = . 3.Ecuaia devine8 8 0 1. x x + = = 4. 400 x = . 5. 5 3 15 10 15 3 7 u v i j i j j + = + + =G G G G G G G. Coordonatele vectorului sunt( ) 0, 7 . 6.BC = 2 AD = 10. Se aplic teorema lui Pitagora nABC + : 2 2 264 8 AB BC AC AB = = = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1.( )22 22 16 6 10. a b a b ab + = + = =2.Se rezolv sistemul 214y x xy x= + = + 21 2 1 21 4 1, 3 3, 7 x x x x x y y + = + = = = = .Coordonatele cerute sunt( ) 1,3 i( ) 3, 7 . 3.Deoarece( )333lg lg 2 lg 3 10 10 1002x x x x x x x + = = = = = . 3. 13 1 5 3 12 32x xx+ + += , deci numerele sunt n progresie aritmetic. 4.Singurele numere raionale din mulimeaA sunt4 i9.Probabilitatea este egal cu 2.9 5.Din condiia de paralelism a dreptelor 2 1 32 5 a = rezult4. a = 6.Deoarece 2 2 2AB AC BC ABC + = + dreptunghic n A, deci 5cos5ABBBC= = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1. Deoarece 1 2 1 2 1 2 1 22, 2 0. x x x x x x x x + = = + + =

2.Inecuaia se scrie 12 8 0 , .4x x 3.Ecuaia devine 23 3 2x xx x = = , dar0 x i2 x , adic[ ] 0; 2 x , deci1 x = . 4.3 3 0. =5.1, 2 3AB CD AB CDAB CD m m m a m a = = = = & . 6. Se aplic teorema cosinusului n 2 2 21cos .2 5AB AC BCABC AAB AC+ = =+Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1. ( ) 1 13 7492S+ = = . 2.( ) 2 1 1. f x x x x x = + = = Punctul cerut are coordonatele( ) 1, 1 . 3.Ecuaia se scrie2 8 2 36 2 4 2x x xx + = = = . 4.4! 1 25 + = . 5.Panta dreptei este egal cu2 , deci ecuaia dreptei este( ) 1 2 1 2 3 0. y x x y = + =6.Deoarece ( )2 2sin130 sin 180 50 sin50 sin 50 cos 50 1. = = + =D D D D D D Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1. 3 2log 9 2, log 8 3 = =i 41log 14 = , de aici concluzia. 2.( ] [ )20 4 0 , 0 4, m m m . 3.{ }22 0 1; 2 x x x = . 4.Rata dobnzii este 8 % . 5.3 1 4B Bx x = = ,4 1 5B By y = = . 6.92ABCDA = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1.34 13127 13a a q = = = . 2. Ecuaia devine{ }24 4 0 1,1 . x x = 3. Se noteaz2 0xt = >i se rezolv ecuaia n t, 23 2 0; t t + =obinem 1 21, 2 t t = = . Atunci{ } 0,1 . S =4.8. a b = =5. ( ) ( )( ) 2 3 4 3 2 3 0,17 w i j i j w = + JG G G G G JG. 6. Aria sin 115 sin2 2AB AC AABC A = = = + . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1.5 120 125. + =2.Suma este egal cu 12181. 3.Se obine3 3 2 3 5, 1. ax b x x a b + + = + = = \4.Condiii : 22 0 x x > i( ) 2 3 0 2, . x x > + Se rezolv ecuaia 24 3 0 3. x x x + = =5. AB CDAB CD m m = & , 1 5, 62 2AB CDam m a= = = . 6.Se aplic teorema sinusurilor n2 4 2sinBCABC R RA = = + . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1.Deoarece( ) 5 0 f = , produsul din enun este egal cu 0. 2.Ecuaia devine 256 0 8. n n n = =3. 3 23 3 3 3log 2 log 2 log 25 log 25 5a + + = . 4.Deoarece 21 0, x x x + + > \ , dup aducerea la acelai numitor i efectuarea calculelor, inecuaia devine[ ]22 0 1, 2 . x x x 5.Panta drepteiAB este egal cu 1.Ecuaia drepteiAB este 3 2 1 0. y x x y = + =6.Aria sin 16 sin .2 2ABBC BABC B = = = +Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1.Numrul tuturor submulimilor de 2 elemente ce se pot forma cu elemente din mulimea { } 1, 2, 3, 4, 5 este egal cu 2510. C =2.Ecuaia se scrie 22( ) ( ) 0 3 2 0 0,3f x gx x x x + = = . 3.Condiie:( ) { }22 2 9 5, 1 . x x x = 4.Condiie: 20 4 4 0 2. m m m = + = =5.AB = 5Aria 23 25 34 4lABC = = + . 6. 3cos5x = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1.Ecuaia are dou soluii reale distincte deoarece1 0. = >2.Deoarece( ) 6 0 f =produsul este egal cu 0. 3.7 2 28 2.xx = =4. 6 56 5 2 02 = . 5.Lungimea segmentului( ) ( )2 25 2 1 3 5. AB = + =6.Se aplic teorema cosinusului n triunghiul ABC212. AC = Perimetrul6 2 3 ABC = + + . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1.Numrul submulimilor cu cte k elemente ale unei mulimi finite cu n elemente,0 k n este 246knC C = .2.Ecuaia se scrie 3 115 5 3 13xx x= = = . 3.Condiie: 1 10 1 4 0 , .4 4m m m 4.2 4 3 2 2.x x = + Notnd2 0,xt = > se rezolv ecuaia 22 3 2 0 2. t t t = = Deci1. x =5.0 AB BC CA AC CA + + = + =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G. 6.Se aplic teorema cosinusului n triunghiul ABC221 BC = Perimetrul9 21 ABC = + + . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1. 3 38 80. C C =2.Condiie( ) 5 0 5, x x + > ;5 8 3 x x + = = . 3.Se noteaz1 2 1 2, . x x Sx x P + = =Deoarece 2 20 2 0 x Sx P x x + = = .4.Deoarece( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 0. f f f = =5.Punctul B este mijlocul segmentului AC522Cx + =i( )41 9, 22CyC+= . 6.Triunghiul ABC este dreptunghic n A, deci lungimea nlimii din A este egal cu 12.5AB ACBC= Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1. 3 3 3 32log 4 4log 2 4log 2 4log 2 0. = = 2.Ecuaia se scrie 22 12 2 8 3.2xx xx + = = =3.Ecuaia se scrie2 10 5. n n = = 4.Funcia f este descresctoare pe [0,2], ( ) ( ) ( ) [ ] 0 3, 2 5 5,3 f f f x = = . 5.Fie D mijlocul segmentului BC, atunci2 0 OB OC OD AO OA OA OB OC OA OA + = = = + + = =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G. 6. ( )2sin135 sin 180 45 sin 452 = = = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1.2 2 2 21log 3 log log 3 log 3 0.3+ = = 2.Deoarece5! 120, 4! 24 = = probabilitatea este egal cu 56. 3.Se noteaz2 0.xt = > Ecuaia devine 25 14 0 2, t t t + = = deci1. x =4.Deoarece( )2 2 2 24sin 4 1 cos 4sin 4sin 0 a a a a = = ecuaia admite soluii reale egale,. a \5.3 5 6 9 5 10 1. OA OB i j i j i j = + = + = =JJJG JJJG G G G G G G 6.Se aplic teorema sinusurilor n triunghiul ABC 2 sin 1.sin 2BC BCR AA R = = = Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1.6 6 6log 24 log 4 log 6 1. = = 2.( ) 1 0, f = deci produsul este egal cu 0. 3.Condiie:[ ) 5 0 5, . x x Din5 4 9. x x = =4.( ) ( )( )( )( )( )25 ! 4 36 4 3 6 7 6 0 65 !n n nn n n n nn = = + = =. 5. ( ) ( )2 225 2 5 3 2 0 AB a a a a = + + = + = , deci{ } 1, 2 . S =6.( )2 2sin135 sin 180 45 sin 45 cos 45 sin 45 1. = = + =D D D D D D Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1.3 3 3 312log 6 log 2 log 4 log 1.4+ = = 2.Condiie:( ] [ )22 0 , 1 2, . x x x Ecuaia devine{ }26 0 2,3 . x x S = = 3.Se noteaz 1 2 1 2, x x S x x P + = = . Deoarece 2 20 2 3 0. x Sx P x x + = =4.Condiie:( ) 1 0 1, . m m > +Din ( )22 2.2 1mmm+= = 5.16 9 5. AB = + =6.Condiie:( ) 0, . x Conform teoremei lui Pitagora( ) ( )2 22 28 7 2 15 0 5. x x x x x x + = + + = = Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1.Condiii:1 0 x + i[ ] 5 0 1,5 . x x 211 24 0 3. x x x + = = 2.( ) (0) (1) (5) 2 1 2 ... 5 6 3 48. f f f + + + = + + + + = 3. Scznd 2 din fiecare membru al inegalitii i apoi mprind cu 3, se obine 22, .3x 4.Distana este egal cu 1 2, x x unde 1x i 2x sunt soluiile ecuaiei ( )1 20 2 4 6. f x x x = = =5.2 2.ABAB BCBC= = 6.Prin reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul ABC este dreptunghic A. Aria 24.2AB ACABC= = Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1. 2 8 4. x x = =2.Distana este egal cu 1 2, x x unde 1x i 2xsunt soluiile ecuaiei( )1 20 7 1 6. f x x x = = =3.1 3 5 21 + + + + este suma a 11 termeni n progresie aritmetic de raie egal cu 2, deci 211 11. E = = 4. Cu elementele mulimii{ } 1, 2, 3, 4 se pot forma 3424 A = de numere de cte trei cifre distincte. 5. Din CA = 2CB i( ) C AB 2 . AC CB = Din( ) 2, 1C CAC x y

i ( )5 51 , 2 0, 0,3 3C C C CCB x y x y C = =

. 6. Se aplic teorema sinusurilor n triunghiul ABC4 2 3sinsin sin sin 4 32AB BCAC A A = = = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1. Deoarece 7 96 2 1 8 7 2 9 , 4.2 2x x x x < = ]2.( )26 5 4 3 f x y x x x = + = = , deci dreapta intersecteaz graficul funcieifn punctul de coordonate( ) 3, 4 . 3. Condiie: 3 x > . Deoarece3 1 4. x x = =4. Cu elementele mulimii{ } 1, 2, 3, 4 se pot forma 24 16 =numere de dou cifre. 5. 3 3 12 2 2 2OA OB i jOM i j+ += = = +JJJG JJJG G GJJJJG G G. Coordonatele vectoruluiOMJJJJGsunt 3 1, .2 2| | |\ . 6.( )3sin120 sin 180 60 sin60 .2 = = =D D

Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1. 1 3 5 19 + + + + este suma a 10 termeni n progresie aritmetic de raie egal cu 2, deci este egal cu 100. 2. 24 0, , a a = < deci ecuaia nu admite soluii reale. 3. ( )( ){ }222 12 1,3 .4 4mm m = = 4.24 612 ,64 24 = = i 38 2 = deci 2318 < 64.4 < 5.Fie D mijlocul segmentului BC32 2 3 02AB AC AD AO AB AC AO + = = + = 6.Aria ( )sin 3, sin120 sin 180 60 sin602 2AB AC AABC = = = = Aria33 392.2 4ABC = = Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 REZOLVARE 1. 60lg20 lg3 lg6 lg 1.6+ = =2. 6 190 15p = = . 3. Condiie:( ] 7 0 , 7 . x x Din{} 7 1 6 6 . x x S = = =4. 1 2 1 22 1, 3 5 1 11, x x m x x m m + = + = + =deci2. m =5.2sin , sin 2 sin sin AC a BAB a C S AB AC a B C = = = = . 6.( )sin170 sin 180 10 sin10 sin10 sin10 0 = = =D D D D D D.Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare1. 3 1 16 15 2 5 111 5 11 2a a r aa a r r= + = = = + = = ; 9 18 17 a a r = + = . 2. ( ) 3 22 20(1) (2) ... (20) 3 4 ... 22 250.2f f f+ + + + = + + + = =3. 22 4 5 22 2 2 4 5 1.x xx x x+ += + = + =4.2 2 0. n n + = =5. 2 3 31 2mm= = . 6.( )cos cos 180 0, x x x + = D\;cos30 cos 60 cos120 cos150 0 + + + = Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1.[ ] { } 2 1 1 1 2 1 1 0,1 0,1 x x x A = ` . 2. 1 21 235x xx x+ = = ;( )22 21 2 1 2 1 22 19. x x x x x x + = + =3.( ] [ )225 0 , 5 5, x x ;( ] [ )225 144 13 , 5 5, x x = = . 4. Prin calcul se obine 0. 5. Fie M mijlocul lui AB(3, 4) M ;: 3 4 7 0 CM x y + = . 6. sinAria 62MN NP NMNP = = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1.feste descresctoare pe[ ] 2,1 cea mai mic valoare este(1) 2 f = . 2.(1) (2) ... (6) 1 3 ... 11 36 f f f + + + = + + + = . 3. 22 5 05,23 3 0xxx x+ > | | |+ + > \ . ; 21 25 52 5 3 3 1 , , 2 ,2 2x x x x x| | | |+ = + + = = ||\ . \ .. 4. 2 2 34 5 416, 10, 43C C C p = = = = . 5. Fie M mijlocul segmentului BC 5 7,2 2M | | |\ .;2 25 7 22 32 2 2AM| | | |= + = ||\ . \ .. 6. 3 3sin60 cos30 0.2 2 = = Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1. 2 25 46 10 12 6 4 C A + = + = . 2.( 6) (0) (6) (12) 0 f f f f + + + = . 3.( ) ( )21 0 , 1 1, x x > ;( ) ( )21 3 2 , 1 1, x x = = . 4.( )( ) { }2 22 3 2 32,1 ; 2, 72 7 4x y y xSx x y x = = = + = = . 5. 3 0 11 0 2m n mm n n + = = + + = = . 6.sin120 sin60 , cos150 cos30 = = D D produsul este 0. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1. 82 72 11 2 2 ... 2 1 2552 1+ + + + = =. 2.( )223 2 3 2 1 0 , x x x x x + > + > \. 3.[ )2 3 00,0xxx+ ;[ ) [ )21 22 3 3 0, , 1 0, 3. x x x x x + = = = =4. Inegalitatea este verificat pentru{ } 1, 2, 4,5 n45p = . 5. 2 321 5mmm = = . 6. 1 2 3 1 2 3sin30 cos 45 sin602 2 2 2 + + = + = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1. 1 151 113 3a aa r= = = = ; 2009 12008 6025 a a r = + = . 2. 1 21 22x x mx x+ = =; 24 5 3 m m = = . 3. 22 21 22 2 2 0 2, 1x xx x x x= = = = . 4.( )22 21 1(1) 1 1 4 4 1 0 2 1 0 ,4 4f m m m m m m + + + + + \. 5. Fie{ } M AD BC M = este mijlocul segmentelor AD i BC 5, 22M| | |\ . i( ) 6,5 D . 6. ( )cos cos 180 0 cos100 cos80 0. x x + = + =D Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1. 10 216 8 16 2. a a r r = = =2. ( ) ( )2 7 2 7(2) 2 ... 2 2 3 2 3 ... 2 3 275 f f f + + + = + + + + + + = . 3.[ )1 01,1 0xxx+ ; [ )[ )1 220 1,1 2 13 1,xx x xx = + = + = . Deci soluia este3 x = . 4. Inegalitatea este verificat pentru1 n =i4 n =2 14 2p = = . 5.( )2 2 02, 23 8 0x yAx y = + =; 2 22 2 2 2 d = + = . 6. 2 2 2 22 22 2 2sin sin 1AC AB AC ABB CBC BC BC++ = + = = Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1. 2 12 r a a = = ; 10 19 20 a a r = + = ; ( )1 1010101102a aS+ = = . 2.( )27 73 7 32 2 2Vbx m f x x xa= = = = + . 3. 2 1 53 3 2 1 5 2x xx x x = = = . 4. 25 320 6 14 A P = = . 5.4 3 0 1 m m + = = . 6. 24 6sin2Aria 6 22 2MN NP NMNP = = = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1.( ) [ ]22 1 9 3 2 1 3 1, 2 x x x . 2.(0) (1) ... (10) 1 2 ... 11 66. f f f + + + = + + + =3. Condiii: 24 044 0xxx+ > > + > ; 21 24 4 0, 1 x x x x + = + = = . 4. 1 33 3 426, 3, 43P A C p = = = = . 5.: 1 0 AB x y + + = . 6. 35 6sin 15 32Aria2 2 2AB AC AABC = = = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1. 5 5 5 510 3log 10 log 3 log 6 log 16+ = = . 2.(1) (2) ... (6) 3 5 ... 13 48 f f f + + + = + + + = . 3. 25 5 21 25 5 5 5 1, 5x x xx x x x x = = = = . 4. Se noteaz cu x preul iniial. Se obine ecuaia 110 120660 500100 100x x = =lei. 5.( ) ( )2 22 2 2 1 5 AB = + + = . 6. 2 2 22 cos 19 NP MN MP MN MP M NP = + = .

Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1.( ) ( )2 23 2 0 3, 2 a b a b + + = = = . 2.(5) 0 f = produsul este 0. 3. Condiii: 3 1 01,2 1 0 3xxx > | | |+ >\ .;3 1 2 1 2 x x x = + = . 4. 0 4 00 1 0 a < < > > adevrat m \ . 5.: 2 1 0 AB x y = . CumC AB 5 m = . 6.2 sin 1sinACR BB = = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1. 24 22 2 4 2xx x = = = . 2.(2) 0 f = produsul este 0. 3. Condiii:[ )22 02,2 0x xxx ;[ )2 22 4 4 2 2, x x x x x = + = . 4. Inegalitatea este verificat pentru5 n =i6 n =12p = . 5. Fie C simetricul lui A fa de B B este mijlocul lui (AC)(0, 0) C . 6.( ) sin10 cos 90 10 cos80 = = ; 2 2 2 2sin 80 sin 10 sin 80 cos 80 1 + = + = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1. 213bqb= = ; 45 1162 b b q = = . 2. 218 1 34 4m ma = = = . 3. 21 22 5 8 3, 1. x x x x = = = 4. ( )!212! 2 !nn=;6 nu convine7 n = . 5.: d y x n = + ;( ) 1,1 0 : A d n d y x = = . 6. 2 2 23cos2 2AB BC ACBABBC+ = = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1. 1321log 4 8 2 2 2 22 + = + = . 2.(0) (1) ... (6) 3 1 ... 9 21 f f f + + + = + = . 3. Condiii:[ ]2169 0 13,13 x x ;[ ]2169 144 5 13,13 x x = = . 4. 3424 A = . 5. Fie D mijlocul lui (BC)( ) 2, 0 D ;( ) ( )2 22 2 4 0 4 AD = + = . 6. Catetele sunt4i4 3 Aria 8 3 = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1. 2 20 5 6 0 x Sx P x x + = + = . 2.( )( ) { }221;1 ; 2;02 2 0y xSx x x= = + = . 3. Condiii:( )29 0 3,3 x x > ;( )29 5 2 3, 3 x x = = . 4. Inegalitatea este verificat pentru1 n =i2 n = , deci 12p = . 5. ( )sin 180 sin sin135 sin 45 x x = = D; 2sin13521cos 45 22= =. 6. 28 4sin28 2.2 2ABCAB AC AA = = =+ Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1.[ ]29 0 3, 3 x S = . 2. 201022009f = punctul aparine graficului. 3.3 0xt = > ; 24 3 0 1 0, 3 1 t t t x t x + = = = = = . 4. 1 92 1 22x x++ = = . 5.: 3 0 MN x y + = . 6. 2 21 4tg 30 ctg 45 13 3 + = + = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1. 2 11 r a a = = ; 7 16 0 a a r = + = . 2.[ ]23 12 3,3 x x + . 3. 22 0 6 8 0 2 1, 4 2xt t t t x t x = > + = = = = = . 4. 45120 A = . 5. 2 2 22 2, 2, 10 AB AC BC AB AC BC ABC = = = + = este dreptunghic n A. 6. ( )cos cos 180 0 x x + =D;(cos10 cos170 ) (cos 20 cos160 ) 0 + + + = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1. 3 21 1x y xx y y+ = = = = . 2.( )( ) ( )2 5 2 52 2 ... 2 2 5 2 5 ... 2 5 87 f f f + + + = + + + + + + = . 3. 22 3 2 3 21 252 2 2 3 2 3 1,2x xx x x x+ = + = = = . 4. Inegalitatea este verificat pentru2 n =i3 n = , deci 12p = . 5. AB:( ) 1 4 2 2 0 a x y a + + + = ; cum( ) 0, 0 O AB 1. a =6. 2 24sin cos 1 cos5x x x + = = i 4cos 0 cos5x x > = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1. 8 26 23 a a r = + = . 2. ( ) ( )2 5 2 5(3) 3 ... 3 3 2 3 2 ... 3 2 373 f f f + + + = + + + + + + = . 3. 12 1 0 ,2x x + > ; 12 1 5 2 ,2x x + = = . 4. 2615. C =5. Fie C mijlocul lui (AB). Se obine C(1,1). 6. ( )sin 180 sin sin150 sin30 x x = = D; 2 2 2 2sin 150 cos 30 sin 30 cos 30 1 + = + = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1.22Vbxa= = ;94Vya= = . 2.(1) (2) ... (10) 1 2 ... 26 125. f f f + + + = + + + =3.( ) 10 0 ,10 x x > ; ( ) 10 9 1 ,10 x x = = . 4.( ) 1 12 4, 3 n n n n = = = 4 n = . 5.4, 13, 13 AB AC BC = = = ;4 2 13. P = +6. 1 2 3sin30 , sin 45 , sin602 2 2 = = = ; 13p = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1. 213bqb= = ; 34 127. b b q = =2. 1 21 21 x xx x m+ = =; 1 21 1 3 3 361 1 4 2 4mx x m+ = = = + + +. 3. Condiii:[ )24 02,2 0xxx ;[ )24 2 0 2 2, . x x x = = = 4. Inegalitatea este verificat pentru{ } 1, 2, 4 n34p = . 5. Fie C simetricul lui A fa de B B este mijlocul lui (AC). Se obine C(1, 3). 6. 310 4sin2Aria 10 3.2 2MN NP NMNP = = = Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1. 1 110 1077 752 295.37 5a aa Sa r= = = = = = 2.(7) 0 f = produsul este 0. 3.1; x [ ) 1 2 5 1, x x = = . 4. 5 5 47 6 621 6 15 0. C C C = =5.( ) ( )2 21 22 1 1 5 3, 5 a a a + + + = = = 3 a = . 6. 23 36; 9 32 4l lh l A = = = = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1. 1 133 37 2a aa r= = = = ; ( )1 1010101202a aS+ = = . 2. 1 2( ) 1 2, 1 f m m m = = = . 3. 32 3 0 ,2x x| |+ > |\ .; 32 3 25 11 ,2x x| |+ = = |\ .. 4. 3510. C =5. Fie M mijlocul lui AB(0, 0) M ;5. CM =6. 18 8sin2Aria 162 2AB AC AABC = = = Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1. ( ) 1 111 121 11 ... 111 6722+ + + + = = . 2. 21 2( ) 4 2 4 4 0, 2 f m m m m m = + = = = . 3. 21 3 21 22 2 1 3 1, 2x xx x x x+ += + + = = = . 4. Inegalitatea este verificat doar de 4 14p = . 5. 21 20 0, 2 m m m m m + + = = = . 6. 36 6sin2Aria 9 32 2MN NP NMNP = = = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Rezolvare 1.{ } 3 2 4 1 3, 0,1, 2, 3 x x x x A + = ` . 2.( ) : 0, 3fG Oy A ; 3: , 02fG Ox B . 3.( ] [ )24 0 , 2 2, x x ; { }2 2 S = . 4. 8500 40100 = lei. 5.( ) 2 3 ; 5 8 1,8 OA i j OB i j OA OB i j v = + = + + = + JJJG G G JJJG G G JJJG JJJG G G G. 6.2 6 l P = = , deci 234lA = 3 A = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. Se rezolv ecuaia( ) 2 2 3 1 3 x x x = + + i se obine2 x = . 2. Dac x este preul iniial al produsului, atunci 1099100x x = , de unde110 x = lei. 3. Numrul este 0 deoarece combinrile sunt complementare. 4. Dac( )2f x ax bx c = + +cu, , a b c\,0 a , atunci( ) 1 3 f = ,( ) 0 5 f =i( ) 1 11 f = , de unde2 a = , 4 b = i5 c = . 5. MN, MP, PN linii mijlocii; deciAMNPparalelogram. ObinemAN AM AP = +JJJG JJJJG JJJG. 6. Din teorema cosinusului se obine 2cos2A = .Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.Numrul este 1 deoarece 2 23log log 3 12 = . 2. Se rezolv sistemul 2 4 03 0x yx y+ = + = i se obine punctul comun( ) 1; 2 A . 3. Se nlocuiete x cu 5 i se obine 71;4S = . 4. Din condiii rezult[ ) 2; x . Se obine ecuaia 23 2 1 0 x x + =cu soluiile1 i 13. 5.10; 1; 13 AB AC BC = = = . Deci1 10 13 P = + + . 6. Se aplic teorema sinusurilor i se obine2 AC = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. 1 2 9 1lg lg ... lg lg 12 3 10 10+ + + = = . 2. Numrul este 0 deoarece combinrile sunt complementare. 3. Se noteaz3x cu t i se rezolv ecuaia 1 103tt+ = . Se obine 13;3t i{ } 1; 1 x . 4. Trebuie s avem0 < . Se obine( ) 3;7 m . 5. Se aplic teorema cosinusului i se obine 1cos15A = . 6. Deoarece2ABm a = , 54ACam=i1AB ACm m = se obine{ } 1;6 a . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. Se aplic proprietile logaritmilor i se obine rezultatul 1. 2. Deoarece funcia este descresctoare avem( ) max 1 5 f f = = . 3. Din 1 23 x x =i 1 23 x x =se obine 21 x = . Dac 21 x = , atunci3 m = ; dac 21 x = , atunci5 m = . 4. Se folosete formula combinrilor complementare:11 1nn nC C+ += i rezultatul este 0. 5.sin10 cos80 cos80 cos80 0 = =D D D D. 6. Mijlocul segmentuluiAB are coordonatele (3,3). Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. 22 4 =i 2log 32 5 = , deci 222 log 32 < . 2. Din( ) 2 3 f =se obine1 m= . 3.3 x = . 4. Se obine ecuaia 23 4 0 n n = . Convine doar4 n = . 5. 10 10 32 2sin 3 32BCR R RA = = = . 6. 3 3 3sin60 cos1502 2 4 = = D D. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. Deoarece 2log 8 3 = , se obine numrul2` . 2. Se rezolv sistemul 4 6 2 02 3 7 0x yx y = + = i se obine punctul comun( ) 2;1 A . 3. Deoarece 21 23 x x m + = +i 1 23 x x = , se obine ecuaia 26 7 m + =care are soluiile1 . 4. Dup simplificri se obine ecuaia 23 54 0 n n + = ; convine doar soluia 6. 5. 2 2 22 22 2 2cos cos 1AB AC BCB CBC BC BC+ = + = = . 6. sinria 4 32AB AC AA = = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. Raia este 3 i ( )62 17 6572S+ = = . 2. Se pune condiia0 =i se obine 236 0 m = , de unde6 m = . 3. Condiia( ) ( )23 10 0 ; 5 2; x x x + > . Ecuaia devine 23 10 8 x x + = . Se obine{ } 3, 6 x . 4. Elementele divizibile cu 5 sunt 15 i 35, deci 14p = . 5. Ecuaia este1 04 2x y+ = , adic2 4 0 x y + =6. Se aplic teorema cosinusului i se obine 3cos5B = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. Numrul este 0 deoarece 5log 25 2 =i 3log 9 2 = . 2. Se rezolv sistemul2 7 a b + =i2 a b + = i se obine3 a = ,1 b = . 3.( )22 21 2 1 2 1 2 1 22 1 2 2 x x x x x x x x + = + = + = + + . 4. Din 10 3 0 n in` se obine{ } 0;1; 2;3 n . 5. Mijlocul segmentuluiBCeste( ) 3;0 Mi5 AM = . 6. Deoarececos30ABBC=D rezult8 BC = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.( ) ( )( )27 5 3 11 x x x + = +i se obine 13;2x . 2. Dac se noteaz cu x preul n lei al produsului la productor, se obine 19238100x x + = , de unde200 x =i valoarea TVA este 38 lei. 3. 2log 4 2 = , 3log 9 2 = , deci2 2 6 + < . 4. Se rezolv inecuaia3 4 3 4 1 x + i se obine( ] ; 2 x . 5. Se rezolv ecuaia 223 120 0 x x + =i se obine{ } 15;8 x . 6.( ) 2 2 1 2 4 0 y x x y + = = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. Se obine 22 x x + = , de unde{ } 1; 2 x . 2. Se pune condiia2 3 0 x >i se obine 3;2D = . 3. 2min3 f m m = .{ }min2 1; 2 f m = . 4.2009 1004 2007 1004 2008 0 = . 5. Se aplic teorema cosinusului i se obine5 7 AC = . 6. M este mijlocul segmentului AB, deci( ) 3; 2 M . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. Numrul este 630log 15= . 2. Se pune condiia0 =i se obine( )21 0 m = , adic1 m = . 3. Se obine( )( ) 1 5 0 x x + adic[ ] 1;5 x . 4. 8!563!5!= , 9!362!7!=deci numrul este 20. 5.( )22 2sin sin cos sin cos 1 x x x x x + = + = . 6. Aria10 10 sin30252 = =D. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.( ) 2 0 2; x x + > + .( ) 2 9 7 2; x x + = = + . 2.max 4 10 6 f m m = = = 3. Condiia: 1 1; ; 2 1 49 24 ;2 2x x x + = = . 4.( ) { } 1 8, , 2 2;3; 4 nn n n n n + ` . 5.( ) { }213 25 1 169 11;13 AB a a = + = . 6. Se aplic teorema sinusurilor i se obine20 R = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. 1 1 14 10 3 a a a + + = = . 2. 1 2x x m + = , 1 22 x x m = + ;2 4 4 m m m + = = . 3. Condiia: ( )21; ; 2 01xx xx+ = =+. 4. 4 210 5p = = . 5. Mijlocul segmentului BC este 3; 22M , iar simetricul este( ) 0; 4 D . 6. 10 16 sin60ria 40 32A = =D. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. Raia este 2 i 132b= . 2. 1 21 2 1 21 12009x xx x x x++ = = . 3. Condiia:22 0 x x > . Se obine 22 4 x x = , de unde{ } 2;3 x . 4. Se obine inecuaia( )( ) ( ) 19 18 1 n n nn ,n`,2 n ,17 n , de unde{ } 10;11;...;17 n . 5. Se rezolv sistemul format din cele dou ecuaii i se obine( ) 2;1 A . 6. Se folosete teorema cosinusului i se obine3 2 AB = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. Numrul este3`. 2. Se obine ecuaia{ }24 3 1, 3 x x x = . 3. Se obine ecuaia4 6 0 m m = , de unde 2 m = . 4. 2 190 45p = = . 5. Punctele de intersecie cu axele sunt( ) 0; 5 A i 5;03B , iar aria este 256. 6. 2 23 1sin 120 cos 60 14 4+ = + =D D. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. Se arat c 13 22 log 2 5 C = + . 2. Punctele sunt( ) 0; 2 Ai( ) 1;0 B . 3. 12 6 16m m = = 4. Numrul este 10. 5.cos60 4 AB BC = =D,sin60 4 3 AC BC = =D. 6. Aria este 4. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.5 1 6 3! + = =2. Punctele sunt( ) 1;0 A ,( ) 1;0 Bi( ) 0; 1 C . 3. 25 4 0 m = + > ,m \. 4. Se rezolv sistemul 1 28 b b + =i 2 14 b b = . Se obine 12 b= , apoi raia3 q =i suma 26. 5. Se folosete teorema sinusurilor i se obine10 2 AC = . 6. Se obine 5; 22M i6, 5 AM = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. Se rezolv sistemul de inecuaii3 2 4 x + > i3 2 4 x + , de unde{ } 4; 2 x . 5. 23a = deoarece 23AG AM =JJJG JJJJG, deci 23AG MA = JJJG JJJG. 6. Avem( ) 30 m ABC =D)i aria este egal cu 40. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. Rezultatul este 6. 2.1, 1V Vx y = = . 3. Se ridic la puterea a treia i se obine1 x = . 4. 7 191 13p = = . 5. Se obine20 AC = ,10 AO OD = =i se aplic teorema cosinusului n triunghiul AOD:( )7cos25AOD= ) . 6. 1 1 14 4 2+ = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. Se obine raia 2 i 57 2 4 15 a = + = . 2. Se obine ecuaia( ) 1 12 nn = ,n`,2 n cu soluia4 n = . 3. Avem1 0 = > ,m \ . 4. Condiia: 3 1;2 2x . Se obine ecuaia( )( ) 4 2 3 1 2 x x x + + = , de unde1 x = . 5. Se obineAC CB =JJJG JJJG. 6.sin 9 AC BC B = =i12 AB = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. Rezultatul este 0. 2.( )11 3 2 b q q = = . 3. Condiia:( ) 1; x . Se obine ecuaia1 2, x + = de unde3 x = . 4. 211 30 0 x x + = . 5.7 0 x y + = . 6.5 BC = ,5 3 AB = ,ria 25 3 A = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. Raia progresiei este 2 i3 x = . 2.( ) ( )24 5 0 f x g x x x = = . Deci( ) 5;9 Ai( ) 1;3 B . 3.{ }3 2 32 1; 2 x x x x x + = . 4. 81500 1500 1620100+ = lei. 5.0 OM ON OP PO OP + + = + =JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G 6.ria =12 3 A . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.Avem 23 3 3log 9 log 3 2log 3 2 1 2 = = = =i 3 3 364 4 4 = = ; cum2 1 4 = , rezult c termenii sunt n progresie geometric de raie 2. 2.Cum(2) 2 2 0 f = = , rezult produsul 0. 3.Condiii: 22 3 0 x x + , prin ridicare la ptrat obinem 22 15 0 x x + = , ecuaie de gradul 2 cu soluiile 3 x =i5 x = , care verific condiiile de existen, deci{ 5; 3} S = . 4. 21 5 12 0; 2 5 2 0 , 22 2xt t t t tt = > + = + = , adic{ } 1,1 S = . 5.Coordonatele punctului sunt 3 5 0 ( 2)4, 12 2x y+ += = = = . 6. 2 2 2 2sin 135 cos 45 sin 45 cos 45 1 + = + =D D D D. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.2 2 2 2 25 12log 5 log 12 log 30 log log 2 130+ = = = . 2.23 4 0 m = < , deci funcia pstreaz semnul + pe tot domeniul de definiie adic reprezentarea grafic a funciei f este situat deasupra axei Ox. 3.22 (4 1) 2 2a a a+ + = + . Notm2 0at = >i avem 2 22 2 4 2 5 2 0 t t t t t + = + + = , cu soluiile 12 sau2t t = = , deci1 sau 1 a a = = . 4. 1 2 211 1 1 2nC n n n n+= + = = . 5.MN MQ =JJJJG JJJJGPN PQ JJJG JJJGQN QN =JJJG JJJG, adevrat. 6.( )cos 90 sin x x =Di ( )cos 180 cos x x = D; obinem 2 2sin cos 1, x x + = adevrat pentru oricare x.. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.141322CA+= . 2.( 1) (2 1)12x xx + + = , deci2 2 3 2, 4 x x x + = = . 3. ( ) ( ) ( )0 1 2 3 44 3 2 541 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 310 1 42 2 2 2 2 16 162f f f+ + + + + + + = + + + + = = = . 4. Utilizm relaiile lui Vite: 1 2 1 21; S x x m P x x m = + = = = , deci1 2( 4) 3. m m m = + =5.1 21 3 6,2 1 1 2y xy x = = obinem: 3 5 AB y x = . 6.sin , sin ,AC AB AB ACB C ADBC BC BC= = = ; obinem 22AC AB AB ACAD AB ACBC BC BC = = , adevrat. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. 5 5 5 5 518log 18 log 2 log log 9 2log 32 = = = , deci 5 5 55 5log 18 log 2 2 log 32log 3 log 3 = = . 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 2 2 a f x h x a x a x ag x + = + = + = ,( ) ( )122ag x g x a = = . 3.Cum 24 (2 ) 2x x x= = , din egalitatea dat obinem 3 32 8 2x= =i din injectivitatea funciei exponeniale rezult x = 1. 4. 44! 24 P= = . 5.21 25 32Cmx m += = =sau3 m = . 6.DC AC BC AC CB = = +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG, deciDC AB =JJJG JJJG. Rezult c ABCD paralelogram. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.182! 3! 2 618C+ += = . 2. Echivalent cu a arta c 2(0) (1) ( 3) f f f = , adic 23 1 9 = , adevrat. 3.Din prima ecuaie avem3 y x = , i a doua ecuaie devine 22 3 0 x x + = . 1 21, 3 x x = = , care implic 1 22, 6 y y = = ; deci{(1, 2); ( 3, 6)} S = . 4.Condiii: 3 1 0, 1 0 x x + > > deci1 x > ;( ) ( ) ( )5 5log 3 1 log 5 1 x x + = ivem3 1 5 5 3 x x x + = =soluie care verific condiiile de existen, deci{3} S = . 5.ON = OM=2 2( 2 0) (3 0) 13 + = , deci MN = 2OM= 2 13 . 6.2sinBCRA = , adic 6 3 3sin2 24 3 2 3BCAR= = = =, deci( ) 60 . m A=D) Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. 2 32 21log log 2 2; 8 24= = = , rezultatul este 0. 2. Se obine inecuaia: 22 2 12 0, x x + echivalent cu 26 0, x x + deci[ 3, 2] S = . 3.422Vx = =, deci f(2) este maximul funciei, deci( ) ( ) 2 f x f , oricare ar fi. x\4. 10 10 25540 800100 100 100x x x x x = = . 5.2 2 2 2 22 5M MOM x y m = + = + = , deci 25 4 1, 1 m m = = = . 6. 2 2 22 cos BC AB AC AB AC A = + , deci 2 016 36 2 4 6 cos 60 52 24 28, 2 7 BC BC = + = = = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Soluie 1. 3 33 2 33 33 33 93 3= = = , deci obinem 0. 2. Din relaiile lui Vite avem 1 2 1 2; 1 x x a x x a + = = , deci 1 2 1 21. x x x x + =3.Obinem12 23 3x = i1. x = 4.( ) C AB i2 CA CB = ; deci 143CB AB = = . 5.Ecuaia lui AB: 2 1 y x = + . Ecuaia lui CD: 2 1 y x = . AB este paralel cu CD pentru c au pantele egale, 2AB CDm m = = i ordonatele la origine diferite ( 1 1 ). 6. Utilizm proprietile unghiurilor suplementare: sin(180 ) sin , cos(180 ) cos x x x x = = D D, deci sin100 cos100 sin(180 80 ) cos(180 80 ) sin80 cos80 0 a a a a a + = + = = =D D D D D D D D. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Soluie 1.1 23 32 2 3 3 2 0 C A = = . 2. 2 2 2 2 2 214 3 7 6log 14 log 3 log 6 log log log 76 6 + = = = . 3. Condiii:21 0, 2 0 x x x + ; obinem 21 2 x x x + = , adic 22 3 0 x x =care are soluiile 1 21, 3 x x = = . 4. Din relaiile lui Vite, 1 2 1 2( 1)1;1 1m mx x m x x m ++ = = + = = , deci 1 2 1 2( 1) 1 x x x x m m + = + = .5. 24 6sin( )26 22 2ABCAB AC BACA = = = . 6. Cumsin(180 ) sin x x =D, obinemsin135 tg45 cos45 1 + =D D D. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.Cum2 1 >i3 2 1 < , obinem1 b a < < . 2. Cerina e echivalent cu a arta c0 = . Cum 2( 4) 4 4 16 16 0, = = = obinem c parabola este tangent la Ox. 3.Ecuaia este echivalent cu 1(3 5) 15; 15 15x x = = 1 x = . 4. 19357 300100x x x + = = lei, deci TVA-ul este 57 lei. 5. 10 BD = 5 BO CO = = , cu{ } AC BD O = . Din teorema cosinusului obinem( )7cos25BOC = ) . 6. Vectorii, OA OCJJJGJJJG, respectiv, OBODJJJGJJJG sunt opui deci suma lor este0G; deci0 OA OB OC OD + + + =JJJG JJJG JJJG JJJG G. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Soluie 1.341 116 16 22 8b = = = . 2. Sistemul este echivalent cu rezolvarea ecuaiei 20 t St P + = , unde6, 8 S x y P xy = + = = = , deci 26 8 0 t t + + = . Sistemul are soluiile{( 2, 4); ( 4, 2)} S = . 3. Ecuaia este echivalent cu 22 2x =i obinem2, 2 x x = = . 4. Numrul cazurilor posibile este egal cu 23 9 = . Numrul cazurilor favorabile este 3; 3 19 3P = = . 5.AC AD AD BD DC AB = =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG. 6. ( )sin 180 sin x x =D, deci ( )4sin 180 .5x =D Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. Sistemul este echivalent cu rezolvarea ecuaiei 20 t St P + = , unde5, 6 S x y P xy = + = = = , deci 25 6 0 t t + = , 1 22, 3 t t = = ; deci sistemul are soluiile{(2, 3); (3, 2)} S = . 2.( ) ( ) ( )( 1) 0 1 01 5 5; 0 5 1; 5 1 5 5 5 1 f f f = = = = = = = , obinem( ) ( ) ( ) 1 0 5 1 5 1 1 7 f f f + + = + + = . 3. Cum 2(1 2) 1 2 2 2 3 2 2 + = + + = +obinem 1(3 2 2) (3 2 2)x+ = +i obinem1 x = . 4. 266 5152C= = . 5. Fie( ) ; Mxymijlocul segmentului AB, 1 ( 3) 2 43; 12 2x y+ += = = = ,( ) 3; 1 M . 6. Avem proprietatea ( )cos 180 cos x x = D, deci ( )1cos 1803x = D. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. 42 3 3 11 a = + = .2. Din condiiile0, 0 P > < , se obine: 1 4 0 m > i0 m< ;( , 0) S = . 3. Condiii de existen: ( )22 0; 2 4 0 2; x x x x > > ; din proprietile logaritmilor obinem: ( )22 2 2 2 2log 2 log (2 4) 1 log (2 4) log 2 log 2(2 4) x x x x x = + = + = i avem 22 4 8 x x x = 25 6 0 x x + = , cu soluiile 2 i 3, dar doar 3 verific condiiile impuse, deci{3} S = . 4. ( )21 4 4 n nn n + = = , dar2 n , deci2 n = . 5.12 2sin212 2ABCAB AC AA = = = . 6.Cumsin(180 ) sinox x = , obinem 22 22 12sin 135 2sin 45 2 2 12 2o = = = = D. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. 1 4 110, 19 3 10 3 19 3 a a a r r r = = = + + = = . 2. fdescresctoare ( )min1 0 f f = = . 3.Condiie:0 x > . Notmlg x t = 21 23 2 0 1, 2 t t t t + = = = .{ } 10;100 S = . 4. 15460 400100x x x + = =5.( ) ( ) 3 4 3, 4 ; 7 2 7, 2 OA i j B OB i j A = + = + JJJG G G JJJG G G, deci( ) 5, 3 M . 6. Cumsin100 sin80 ; cos100 cos80 = = D D D D, rezultatul este 0. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. Obinem 2 6 71 2 2 2 2 1 127 + + + + = = . 2. 2( 1)( 1) 0 x x + ; cum 2( 1) 0 x + , pentru1 x avem1 0 x , deci1 x . Pentru1, x = inecuaia se verific, deci soluia este{ 1} [1, ) S = + . 3. Cum 2 22009 4 0 m = + > , exist soluii reale i din relaiile lui Vite,1mPm= = , constant. 4. 0 11 8n nC C n + = + = , deci7 n = . 5.DO OB AO DO AO OB AB DC = + = + = = . 6.Cum printre factorii produsului se afl i ( )lg tg45 lg1 0 = =D, produsul este 0. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. 25 11 74+ = , deci 7(1 25) 7912S+ = = . 2.( ) { } 2;1 1;0 x = ] . 3. 23 6 108 6 6 2x xx = = = . 4. Cerin echivalent cu a determina numrul funciilor:{ , , } {1, 2} f a b c , adic 23 = 8. 5.Relaia0 AB CD + =JJJG JJJG Gserescrie AB DC =JJJG JJJG,ceeaceimplicfaptulcAB||CD,AB=CDABCD paralelogram.6.Din teorema sinusurilor avem2sinBCRA = , deci 10 1sin20 2A = = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.Elementele mulimii A sunt termeni n progresie aritmetic de raie 3, deci sunt 40 11 143+ = elemente.. 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 0 1 f f f f f f f = = = = , deci produsul este 1. 3.Condiii de existen: x >0; obinem 3 32 2 8 x x = = = . 4.Cerin echivalent cu numrul permutrilor de 3 elemente, adic 3!=6.5.DincondiiadeapartenenaluiBladreaptrezult1 4 5 0 a + = ,deci2 a = .Dincondiiade apartenen a lui A la dreapt rezult2 5 0 b + = , deci3 b = .6.Printre factorii produsului se afl i 0 0cos 5 cos 5 0 = ; produsul este 0. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. Avem: 1 2 32, 2, 2 2 b b b = = = , deci 1 2 38 b bb = . 2. 2 2( ) 2 ( ) 4 4 1 2(2 1) 4 1 f x gx x x x x + = + + = 24 1 1 0 x x = = . 3. 2 23 2 3 3 3 3 3 3 3 3 (3 1) 3(3 1) (3 1)(3 3) 0 0x x x x x x x x x xx + = + = + = + = = . 4. 244 33! 3! 6 6 0.2C = = =5. 2 2( 6) 8 10 AO = + = . 6.sin , cos sin cosAC AB AB ACB B B BBC BC BC+= = + = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. Cum(1) 0 f = , produsul este 0. 2.Minimul funciei este2,4a = deci 2 28 8 16 4 m m m = = = . 3.0 x > . Utilizm proprietatea loga xa x = , deci x = 4.4. 22 2 5 1 n n n n + + + = + = . 5. Obinem (2, 3) B i( 2, 3) C , deci 2 2(2 ( 2)) ( 3 3) 52 2 13 BC = + = = . 6.Din teorema sinusurilor,2sinBCRA = , deci 12 4 42BC = = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. ( )22 2 2 2log 18 log 3 2 2log 3 log 2 2 1 a = = + = + . 2.(1) (2) (3) ( ) (2 ) (3 ) 6 3 f f f a b a b a b a b + + = + + + + + = + , deci0 b = . Cum( ) 4 8 f = , obinem 4 8 2 a a = = , adic( ) 2 f x x = . 3. Intersecia cu Oy este(0, (0)) (0, 6) f = . Pentru intersecia cu Ox rezolvm ecuaia 3( ) 0 2 2 2xf x x+= = = ; punctul de intersecie este( 2, 0) . 4.5400 4860 540 = ;5400 540 10100xx = = , deci 10 %. 5. Condiia: 2 28 4aa= . Din 216 a = rezult4 a = , dar pentru4 a = cele 3 fracii devin egale,4 a = . 6.Dac M(x,y) este mijlocul lui BC, atunci 2 0 0 21, 12 2x y+ += = = = , deci(1,1) M . 2 2(2 1) (3 1) 5 AM = + = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. 2 2(1 2) (1 2) 1 2 2 2 1 2 2 2 6 + + = + + + + = `. 2. Cerina este echivalent cu 24 3 1, x x + adic 2 24 4 ( 2) 0 x x x + = ( ) Apentru oricarexreal. 3. mprim prima ecuaie prin 2 i notm8, 12 S x y P xy = + = = = , deci, xysunt soluii ale ecuaiei 20 t St P + = , adic 21 28 12 0 2, 6 t t t t + = = = , deci sistemul are soluiile (2,6) i (6,2). 4. mprim ecuaia prin( 2)! n ; se obine( 1) 12 3 4 nn = = , deci singura soluie este4 n = . 5.; 3 5 , 4 4 OA i j OB i j OC OA OB i j = = + = + = +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G G G G G G, deci(4, 4) C . 6. Utilizm teorema cosinusului pentru unghiul A: 2 2 24 16 9 11cos2 16 16AB AC BCAAB AC+ + = = =. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. ( 1) ( 3)2 22x xx + + = ; obinem4 4 2 2 2 6 3 x x x x = + = = . 2. Cum 24 0 m = + > , condiia ca soluiile s fie opuse este ca suma lor s fie 0, deci0 S m m = = . 3. 22 2 , 2 2 2 1x xx x x x = = = = . 4. 9 8 1 110 9 10 910 9 1 C C C C = = = . 5.: 6 AB y x = +iC AB 5 6 1 m m = + = . 6. Cum triunghiul este dreptunghic avem proprietatea c 3sin cos sin5C B C = = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.( 1) (2 5)12x xx + ++ = , de unde avem2 2 3 4 2 x x x + = + = . 2.9 4 0 m = > , deci 94m ; (lg 1)(lg 3) 0 x x = , deci10 x = sau1000 x = . 4. 15680 800100x x x = = lei.5.2 2 2 2( 2) ( 2) (4 2) AB m m = + + = , deci 2 22( 2) 32 ( 2) 16 2 sau 6 m m m m + = + = = = . 6. 2 2 225 75 100cos 02 50 3AB AC BCAAB AC+ + = = =. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. 33 3 3 3log 24 log (3 2 ) log 3 3log 2 1 3a = = + = + . 2.2 2 a b b a a b a b + = + = = , deci( ) ( ) , f x gx ax a x = = + \ f g = . 3. 1 14 4x = rezult1 1, x = adic0 x = . 4. 2( 1)6 6 ( 1) 12 4 32nnnC nn= = = = , deci soluia este4 n = . 5. Obinem ecuaia1 4 3 12 03 4x yx y + = + = . 6.Triunghiul MON este dreptunghic n O, are catetele de lungimi 3 i 4, deci ipotenuza este 5 i nlimea din O este 3 4 125 5= . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. Din2 1 3 1 x x + , obinem2, x x `, deci{0,1, 2} A = . 2.()2 2 21 (4) (2) log 1 log 4 log 2 0 2 1 1 f f f + = + = + =. 3.9 4 0, m = >deci 94m< i 1 20 x x m = < , deci( , 0) m . 4.Numrulcazurilorposibileeste4;numrulcazurilorfavorabileeste2(pentru2 n = i4) n = ,deci probabilitatea este 2 14 2=5.: 2 1, AB y x C AB = + , deci7 m = . 6.Fie B(x,y). Avem 232x += , adic4 x =i 452y += , adic6 y = , deci(4, 6) B . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1. 1 2 31 ( 2) 4 8 b bb = = . 2.( ) ( )33 31 3 2 log 1 2 log 3 2 0 8 1 11 f f + = + + + = + + + = . 3. 3 3; 02 2 2V Vbx y fa = = = = . 4. 1 5 10 4 + = . 5. Dac( , ) Mxy , atunci 3 2 5 2 3 5;2 2 2 2x y+ += = = = , rezult c 2 25 5 5 22 2 2OM = + = . 6. Aplicm teorema sinusurilor,2sinBCRA = , deci 44122R = =. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Utiliznd relaiile lui Vite se obine1 2 30 x x x + + = . b) Se nlocuiesc soluiile 1 2 3, , x x x \n relaie. Adunnd relaiile obinute se ajunge la rezultatul 3 3 31 2 36 x x x + + = . c) Se utilizeaz relaiile Vite i se obine0 d = . 2.a) Egalitatea se demonstreaz prin gruparea termenilor sau efectuarea calculelor. b)( 4) 4 x = D , oricare ar fix\. c) Din punctul b) rezult( 4) 4 a = D , oricare ar fia\, deci rezultatul compunerii este4. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Se obine rezultatul14. d =b) 3 3 33 d a b c abc = + + i apoi se verific prin calcul direct. c) Ecuaia se scrie n forma 3 3 3(2 ) (3 ) (5 ) 3 2 3 5 0x x x x x x+ + = , se utilizeaz descompunerea n produs de la punctul b) i se obine unica soluie0 x = . 2.a)( ) ( ) ( )( ) 2 3 6 3 3 2 3 3 3 x y x y y x y = + = +. b)3 18 21 3 3 x x = + = = . c) irul de compuneri 1 2 3 2009 conine elementul9 , pentru care avem 9 3, a a = . Se obine rezultatul3. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Din relaiile lui Vite se obine 1 2 30. x x x + + =b) Utiliznd formula( ) ( )22 2 21 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 32 x x x x x x x x xx x x + + = + + + +i relaiile lui Viete se obine 2 2 21 2 34 x x x + + =. c) Se obine0 d = . 2.a) Prin calcul direct se obine 4 3 22 28 8 96. h X X X X = + + b) Se obin valorile2 a =i8. b = c) Ecuaia se scrie n forma 4 3 2(2 ) 2 (2 ) 28 (2 ) 8 2 96 0x x x x+ + = . Utiliznd rezultatele de la punctele anterioare se obin soluiile 12 x =i 21 x = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Efectund nmulirea 2A AA A = =se deduce egalitatea 3. A A = b) Se utilizeaz egalitatea 22 2 2 2( ) ( ) ( )( ) ( ) Xa Xb I aA I bA I aA bA abA I a b abA = + + = + + + = + + + . c) Avem 2 2 2(1) (2) (3) ... (2009) 2 ... 2009 X X X X I A I A I A + + + + = + + + + + + , de unde se obine (1) (2) ... (2009) X X X + + +22009 1005 2009 I A = + . 2.a) Se obin soluiile 11 x = i

24 x = . b) Se obine0 d = . c) Soluiile sistemului sunt perechile ordonate

( )

( )( )1, 2 , 3, 4 5, 0 . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Din egalitatea( )2det( ) 3 1 0 A x = =se obin valorile 12 x =i 24 x = . b) Se verific prin calcul direct. c) Se obine4 x = . 2.a)( ) ( ) ( )( ) 2 2 6 2 2 2 2 2 2 2 x y xy x y x y y x y = + = + = + D . b) Se utilizeaz rezultatul de la punctul a). c) Utilznd proprietatea de asociativitate a operaiei i egalitatea2 2, x x = D \, se obine rezultatul2. E = Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Condiia de coliniaritate 0 0 11 2 1 02 4 1=este verificat. b) Din coliniaritatea punctelor 1 2; ; OA Arezult c numrul de drepte care trec prin cel puin dou dintre punctele 0 1 2; ; ; OA A Aeste 4. c) Se utilizeaz formula 12S = i se obine rezultatul 112 22n nS= = . 2.a) Se verific prin efectuarea calculelor. b) Egalitatea,x e x e xA A A A x+ = = ] este verificat pentru0 e = , deci elementul neutru din grupul ( ) , G este matricea 0 3. A I =c) Se verific egalitatea( ) ( ) ( ) f x y f x f y + = , oricare ar fi, . xy ] Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Se obine 2B A = . b) Se verific egalitatea 12AA I = . c) Se utilizeaz egalitatea 2 1 126 C B A A A I = + = + = . 2.a) Se utilizeaz condiia

| (2) 0 g f f = , se obine1 a =

b) Se verific prin calcul direct. c) Ecuaia se scrie n forma 2( 1)( 1) 0 X X + + =

, care are soluiile

14 x = ,

22 x =i 33 x = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a)( ) 1 2 3tY = ;( )12 1 2 33A|||= =||\.1 2 32 4 63 6 9 | | | | |\ .. b) Se obinedet( ) 0 A=c) Avem( ) det ( ) 1 4 Ba a = , 1\4a ` )\ , deci( )1det( ) 0 ( ) B Ba . 2.a) ( ) ( ) 0 0 f g =i ( ) ( ) 1 1 f g =

2 a =i

2 b = . b) Se obine (0) (1) (2) (3) (4) 0 f f f f f + + + + = c) Se rezolv ecuaia 22 2 0 x x + = n 5] i se obin soluiile10 x = i

24 x = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) 2 22 0 02 2, 0, 0, 22 0 0a bA I O a b c dc d+ + = = = = = = + . b)( )20det0tb cB A A B c bc b = = = . c) 22 2 02 1,2 0 2ta b cA A I a d b cb c d+ + = = = = = + . ( )2det 4 4tA A b = # . 2.a)5 e = . b)( ) ( ) ( )( )( )3 34 4; 4 4 4 5 3 0 x x x x x x x x x = + + = = D D , adic{ } 3, 4, 5 x . c) Lum, de exemplu, 243a =i 34 1 4 52b a b = = + = D `. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Se obine( ) det 0 A= . b) Se obine 2 32. A A A A O + = + =c) Se deduc relaiile 2kA A = i2 1,kA A k = `i se obine rezultatul 2 102 ... 10 5 A A A A + + + = . 2.a) Se obine descompunerea( 1)( 2) g X X = . b) g nu divide f pentru c( ) 1 0 f .c) Se utilizeaz teorema mpririi cu rest. Se obine restul1. r = Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Se obine sistemul de ecuaii 09 0vx yx vy+ = + =, de unde rezult 2( 9) 0. x v =b)det 0 \ { 3,3} V v \ . c) Sistemul este nedeterminat, avnd o infinitate de soluii de forna( , 3 ), \ . De exemplu, trei soluii distincte ale sistemului sunt(0, 0), ( 1, 3), (1, 3) . 2.a)( ) ( )33 31 1 x x x x = + = D . b)( ) ( )3 3 3 32 x y z x y z x y z = + + = D D D D legea este asociativ. c) Din a) i b) rezult( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 ... 3 4 4 4 3 3 2 2 1 1 0 = = D D D D D D D D D D D D ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 2 = = D D D D . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Se verific prin calcul direct. b) Se obine 2 21 2 40 1 20 0 1A B + = c) Se obine ( )121 2 10 1 20 0 1A = 2.a) Se obine ( )2 2 40 = Db)( ) ( ) ( )( ) 7 7 42 7 7 7 7 7 7 7 x y xy x y x y y x y = + + + = + + + = + + D . c) Ecuaia se scrie n forma 3( 7) 7 x x + =i se obin soluiile 1 2 38, 7, 6. x x x = = = Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Valoarea determinantului este(9) 96 D = . b) Se rezolv ecuaia 22 8 6 0 a a + =i se obin soluiile 11 a =i 23 a = . c) Avem( )3 0xD = 2(3 1)(3 3) 0x x =de unde se obin soluiile 10 x =i 21. x =2.a) Avem 22 3 2 4 4 0, k k = + = deci2. k =b) Pentru2 k =avem[2, ) M = i 2( ) 6 x y xy x y = + + . Avem de rezolvat ecuaia 24 0 x x = , cu[2, ). x Ecuaia are soluiile 10 x =i 24 x = , dar cum[2, ) x , rezult c ecuaia are o singur soluie n[2, ) M = , adic4 x = . c) Avem de demonstrat inegalitatea 2( ) xy kx y k k k + + + , pentru orice, . xy M Inegalitatea se scrie n forma ( )( ) 0 x k y k , care este adevrat pentru orice, xy M . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Se obine rezultatul 230 00 2A A + = . b) Avem de rezolvat ecuaia 2 5 125 5n n = . Se obine soluia3. n =c) Se obine 20092 200920095 15 5 ... 5 05 040 1 1 ... 10 2009de oriB + + + = =+ + +

i tB B = .2.a) Din condiiile(0) 0 f =i(1) 0 f =se obin valorile1 m = i0. n =b) Avem( ) ( )22 2 2 21 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 42 2 x x x x x x x x x x xx + + + = + + + + + = i folosind relaiile lui Viete se obine valoarea1. m = c) Avem ( ) ( )( )24 2 2 2 2 21 1 1 1 f X X X X X X X X = + + = + = + + +factori care sunt ireductibili pentru c au0 < . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Se verific prin calcul direct. b) Se obine rezultatul 2 2 225 A B I + = . c) Se folosete relaia 25 C A B I = + = . 2.a) Se obin valorile3 a = i1 b = . b) Se obine 2( 3)( 1)( 2) f X X X X = + + . c) Ecuaia se scrie n forma 4 3 2(3 ) 3 (3 ) (3 ) 5 3 6 0x x x x + + = . Folosind rezultatul de la punctul precedent, se obin soluiile11 x =i 20 x = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Se obine2 m = . b) Se obine sistemul22 0( 1) 4 9 2m mm = + + = , care are soluia2. m =c) Pentru1 m = soluia sistemului este tripletul(4;8; 6) . 2.a) Se obine ctul de9 X i restul egal cu0 . b) Se nlocuiesc rdcinile 1 2 3, , x x x \n ecuaia( ) 0 f x =i se adun relaiile obinute. c) Folosind rezultatul de la punctul a) ecuaia se scrie n forma( )( )2(3 ) 1 3 9 0x x =i se obin soluiile reale 10 x =i 22. x = Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Ecuaia dreptei 1 2A Aeste 2 1 0 x y + =b) Folosind formula de calcul 12S = pentru aria triunghiului 1 2OA Ase obine rezultatul 12S = . c) Se consider trei puncte ( , 2 1); ( , 2 1); ( , 2 1)m p qA m m A p p A q q + + + ,, , , mp q`pentru care se verific condiia de coliniaritate. 2.a) Se verific prin efectuarea nmulirii( ) ( ) A a A b b) Are loc egalitatea 1 1 1( ) ( ) 2 ( )2 2 2A a A A A a A a A a = = = , deci 12A este elementul neutru fa de operaia de nmulire a matricelor din mulimea. Mc) Are loc egalitatea 1 1(1) ( ) (2 )2 4A Ax A x A x = = = , deci simetricul matricei(1) Afa de nmulireamatricelor din mulimeaMeste 14A . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Pentru valorile 221 01, 0 10 1a b a I G = = = = , iar pentru valorile 220 00 0 10 0b a a O G = = = . b) Se obine matricea 1 11 1B = c) 2 1det( ) 1 0 A a A= = , se determin matricele tA ,A i se obine 1, A A G = oricare ar fi matricea. A G 2.a) Din condiia( 2) 0 f =se obine valoarea 4. a = b) Se obin soluiile 1 2 32, 3 2, 3 2. x x x = = + = c) Se nlocuiesc soluiile 1 2 3, , x x xn ecuaia( ) 0 f x =i se adun relaiile obinute. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Ecuaia dreptei 1 2B Beste2 0 x y + = .b) Se verific egalitatea coordonatelor punctelor nAi nB , oricare ar fin` . c) Se verific condiia de coliniaritate a punctelor 1 2, ,nA A A ,oricare ar fi3. n 2.a) Prin calcul se obine ctul 22 4 q X X = + +i restul7 5 r X = + .b) Din egalitatea 21 0 y y =se obine 21 y y = + , adic 3 2 32 1. y y y y y = + = +c) Din teorema mpririi cu rest rezult ( )( )2 2( ) 1 2 4 7 5 f y y y y y y = + + + + . Din punctele anterioare avem 21 0 y y =i7 5 y + _, deci( ) . f y_ Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Ecuaia dreptei care trece prin punctele 1Ai 2Aeste 3 8 0 x y + + = . b) Folosind formula 12= A se obine rezultatul 18 42= = A . c) Se verific condiia de coliniaritate a punctelor 1 2, , ,nA A Aoricare ar fi3 n . 2.a) Se obine l(0) (1) 2. f f + = b) Soluiile ecuaiei( ) 0 f x = n 5[ ] X ] sunt

12 x =i

24 x =c) Se obine ctul

24 3 q X X = + +

i restul 0 r = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Se obine rezultatul3det( ) 1 I B + = . b) Se obine 23 3( ) 3 f A A A I I B = + = + . c) Din punctul b) rezult( ) ( )3 32 33 3( ) 3 3 f A I B I B B B = + = + + +i 33B O = . 2.a) Se rezolv ecuaia 2( 3) 2( 3) 0 x x = , care are soluiile numere ntregi 13 x =i 25 x = . b) Se obine valoarea3. a =c) Soluia sistemului de ecuaii este perechea ordonat ( ) 4, 2 . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Pentru valorile 2 221; 0 3 1 a b a b I G = = = , iar pentru valorile 2 220 3 1 a b a b O G = = b) Se verific egalitatea prin calcul. c) Folosind egalitatea 12AA I = , se obine 1,3a bA Gb a = oricare ar fi matricea. A G 2.a) Din condiia(1) 0 f =se obine 9 m = . b) ( )( )72 2 2 22 7 2 2 2 7 222f m m m m m = + + + + + + = _ _ . c) Se folosesc relaiilentre soluiile i coeficienii ecuaiei( ) 0 f x =i se obine rezultatul 2 2 21 2 324781x x x + + = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Folosind formula 12S = , se obine13. S =b) Pentru 2 a = ecuaia dreptei care trece prin puncteleBiCeste 2 0 y + =c) Condiia de coliniaritate a punctelor, , B CMeste verificat dac are loc egalitatea ( 2) 3( 2) 0, a x a x + + = \. Se obine valoarea de2. a = 2.a) Din relaiile lui Vite se obine3. a = b) Din condiia( 2) 0 f =se obine3 a = . c) Se obine descompunerea( 1)( 2)( 2)( 2) f X X X X = + . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Se nlocuiete tripletului(2,1, 1) n sistemul de ecuaii i se obine3. m =b) Se obine ecuaia 22 15 0 m m + = , care are soluiile reale 13 m=i 25. m= c) Pentru5 m = soluia sistemului de ecuaii este tripletul(0, 3,1)2.a) Din relaiile lui Vite rezult 0. m =b) Din condiia( 3) 0 f =se obine0. m =c) Se obine descompunerea( )( )21 3 f X X = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) Se obine rezultatul( ) det (4) 6 A = . b) Din condiia de existen a matricei inverse ( ) det ( ) 0 A a rezult( 2)( 1) 0 a a . Deci matricea( ) A aeste inversabil pentru orice numr\ {1, 2} a\c) Soluia sistemului este tripletul(1, 0, 0)oricare ar fi numrul\ {1, 2} a\ . 2.a) Din relaiile lui Vite rezult2. a =b) Se obine2. a =c) Rdcinile raionale posibile sunt printre divizorii termenului liber. Conform cerinei avem de verificat divizorii pozitivi ai lui4. Polinomul af nu admite rdcin 1 x =oricare ar fia] Pentru2 x =se obine2 a = ,pentru4 x =se obine5 a = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluie 1.a) 22a bAab a b = + . b) 200aaIa = , 20 bbAab b = . c) Fie x yXz t = ; ay x byXAat z bt+ = + ; z tAXax bz ay bt = + + . Obinem z = ay i t=x+by, deci 2x yX xI yAay x by = = + + ;m x = in y = . 2. a)( ) 1 1 f a = ;( ) 1 0 f = ,1 a = . b) 4 31 f X X X = + ;( )( )( )21 1 1 f X X X X = + + + ;1 x = . c) Rdcinile raionale sunt printre divizorii termenului liber. Singurele rdcini raionale sunt1 , care sunt ntregi. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1. a) 22 22 2A = . b) 2 22 2AB = ; 2 222 2B = . c) x z y tAXx z y t+ + = + + ; x y z t x y z tAXBx y z t x y z t+ + + = + + + ; ( ) 0 AXB x y z t B x y z t = + + + + + + = . 2. a) 2 21 g X X X = + + + ; 2 21 g X f = + = . b) 2f g X X + = + ; 1, 1 c r X = = + . c)Numrul funciilor de la o mulime cu 3 elemente la una cu 2 elemente: 32 8 = .

Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a) 21, 0 a b I M = = . b) 2a b bA aI bVb a b+ = + = ; 2det A a = .A este inversabildet 0 0 A a . c) 22V O = ;AB = ( )1 2 1a I bV + ( )2 2 2aI b V + = ( )1 2 2 1 2 2 1a aI a b ab V + + , care este din M, deoarece 1 2 1 2 2 1, a a a b ab + R . 2. a) Prin calcul. b) Legea este comutativ i ( )( ) ( )( ) 5 5 5 , 5 6 0, x e x x e x x x e x = + = = R R 6 e = . c) ( )25 5 x x x = + ;( )35 5 x x x x = + . Soluiile sunt: 4, 5, 6. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a) 2 2tI I = ; 2 2 22 020 2tI I I + = = . b) ma mbmAmc md = ;( )tma mcmAmb md = ; tma mcmAmb md = . c) 22ta b cA Ab c d+ + = + 0, a d c b = = = , deci 00bAb = . 2. a)( )22 2 2 x x x x x x = = =sau2 1 x = + . b)( ) ( )( )( )( )2 2 2 2 x y z x y z x y z = = +c) Legea este comutativ i, 2 1 x e x x e = = + R .

Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a) 012 4 2xx y zx y z= + + =+ + = ;0, 1, 0 x y z = = = . b)( )( )( ) det A a b b c c a = . c)0, detx z yA = = = ;0, 1, 0. x y z = = =2. a)( ) ( ) 2 , , , x y z x y z x y z m xyz = = + + + \ . b)6 m = . c)2 m = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a)( )1 11,11 0A = ;( ) det 1,1 1 A = . b) ( ) ( )1 2 1 21 2 1 2 1 2a a b bA Bb b a a b b+ + + = + + + , cu elemente dinA B + \ M. c)( )00,bA bb b = ,( )210,1bI A bb b = + ;( ) ( )22det 0, 1 I A b b b = + +221 31 0,2 4b b b b + + = + + > R . 2. a) ( ) 0 1 g = . b) ( )22 f X X = + ; 2 2 1 2 1 = = , ( ) ( ) ( ) 0 1 2 0 f f f = = = . c) 3 2h aX bX cX d = + + + , ( ) ( ) ( ) 0 0, 1 0, 2 2 2 0 0 h d d h a b c h a b c b = = = + + = = + + = =i 0 a c + = . Soluiile:3 2, 0, 1, 2 a b c h X X = = = = +sau 3 1, 0, 2 2 a b c h X X = = = = + . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a) y x = . b)0 0 111 1 1 122 4 1A = = . c)( )( )( ) p n p m n m este numr par deoarece din trei numere naturale, cel puin o pereche au aceeai paritate. Atunci( )( )( )12p n p m n m este ntreg, deci aria e numr natural. 2. a)()21 8 15 f m m = + + ;( ) { } 1 0 5, 3 f m = . b) Suma rdcinilor polinomului este 404mm m = = .c)( )221 14 5 6 f X X X XX X | | | |= + + + ||\ . \ . ;{ }12,3 Y X yX= + , 1 2 3,43 51,2x x x= = = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a) 1 5 60 1 50 0 1AB = . b) 1 2 1 2 1 21 210 10 0 1x x z z x yXY y y+ + + = + ;XY M, deoarece are elementele dinZi forma matricelor din M . c) 10 10 0 1m pU n = ;10 10 0 1a m c p anVU b n+ + + = + , 10 10 0 1a m c p anUV b n+ + + = + ; , , 0, 0, VU UV an bm a b m n p = = = = ] Z , p] . 2. a)( )( )2422 1 1 f X X X = + = ; 1 2 3 41 x x x x = = = = . b) Se efectueaz nmulirile sau se descompune cu formula diferenei de ptrate. c) 1 24 , 4 a a = = ; 1 20 0, 0 0 a a . Deci0 a = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a) 1 2 1 3 5 153 6 2 6 15 45tA A = = . b) 2 22 2ta c a b a c ab cdXXb d c dab cd b d + + = = + + . ( ) ( )( )( ) ( )2 22 2 2 2dettXX a c b d ab cd ad bc = + + + = . c) ( )det 0tXX ad bc = = ; obinem a cb d= . 2. a)( ) x y z xyz xy xz yz x y z = + + + D D ;( ) x y z xyz xy xz yz x y z = + + + D D . b)( )( ) 1 1 1 0 x y x y > > D . E adevrat pentru c1, 1 x y > > . c)( ) ( ) 1 2 1 0, x a a x a a x = = D ]1 a = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a) 21 00 1tI = ;( )22 00 2f I = . b)( )tta e b f a e c gA Bc g d h b f d h+ + + + + = = + + + + ; t ta c e g a e c gA Bb d f h b f d h+ + + = + = + + . c) 2 222ta b cA A O Ob c d+ + = = + 0, 0 a d b c = = + = ; 0,0bA bb = R . 2det 1 1 1 A ad bc b b = = = = , deci 10 11 0A = i 20 11 0A = . 2. a) 1 2 3 4x x x x a + + + = , a = 5. b)( ) ( ) ( )( )24 3 3 21 0 1 1 0 1 1 0 x x x x x x x x x + = = + + = .Deci soluiile reale sunt: 1 21 x x = = . c) Soluiile ntregi sunt printre divizorii termenului liber, adic1 . Pentru1 x = ,1 a = ; pentru1, 1 x a = = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a) 23 3 33 3 33 3 3B = ; 23 B B = . b) 3m n n nmI nB n m n nn n m n+ + = + + ,, n m n + Z . c) 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2 22 2 22 2 22 2 2a b ab b ab bA ab b a b ab bab b ab b a b + + + = + + + + + + , 2 2 232 0 0 2 0 a b a b ab b A O + = = = + = = . 2. a) Prin calcul direct. b) ( )( )2 27 5 f X X = . Rdcinile5, 7 nu sunt ntregi. c) ( )( )( )( )5 5 7 7 f X X X X = + + . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Soluii 1.a) 2 10 20 0 2a bA F c+ + = ;3, 3, 5 a b c = = = . b)det 1 0 F = , deci F este inversabil; 11 0 10 1 00 0 1F F = = . c) 11 2 3 6 6 64 5 6 4 5 67 8 9 7 8 9X F = = . 2.a) Se efectueaz nmulirile i se reduc termenii asemenea. b)( ) 4 2 2 2 x y z xyz xy xz yz x y z = + + + ;( ) 4 2 2 2 x y z xyz xy xz yz x y z = + + + . c)( ) ( ) { } 1 0 2 1 0 0,1 x x x x x = = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a)( )1 3 21 2 2 71 1 4a a = = .b) 16, 60, 12, 4x y z = = = = ; 15 3 1, ,4 4 4x y z = = = . c) Din ultima ecuaie00 z =0 0 0 0 0 01 134, 2 5 ,3 3x y x y y x + = = = = ; 103b = . 2. a)( ) ( ) ( ) ( ) 5 0, 5 2 5 5 2 f g f g = = + = . b)( )( )20090 1 2009... 1 5 5 0 a a a g + + + = = + < . c) Conform teoremei mpririi cu rest avem:( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) , 5 7 g X f X h X aX b f X X X = + + = . ( ) ( ) 5 5 2, 7 7 2 2, 12 g a b g a b a b = + = = + = = = , deci restul este2 12 X . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a)1, 0 a c b = = = ;0,1\. b) 1 2 1 21 2 1 2a a b bA Bb b c c+ + + = + + . Elementele sunt numere reale. c) 1 2 2 1 1 2 2 11 2 2 1 1 2 2 10( ) 0a b ab b c b cAB BAa b ab b c b c + = + ; ( )21 2 2 1 1 2 2 1det ( ) 0 AB BA a b ab b c b c = + . 2. a)4 10 2 6 10 2 x x x = + = = . b)( ) 2 2 , 2 x a a x a a x a = = = \ . Legea este comutativ, decia x x a = . c) Un element al compunerii este 401822009 = . Deci2 2 2 x y y = = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a) 11 4 4det 3 5 53 2 2A= . 1det 0 A= (are 2 coloane egale). b) A doua ecuaie are soluia dat pentru8 a = , iar a treia pentru10 a = . c) Dac3 3 y z x + = = (din prima ecuaie); scznd ultimele 2 ecuaii( ) ( ) 2 6 y z a y z + + + = , decia = 0;3, 2 3 7 2, 1 y z y z y z + = + = = = . 2. a)( ) ( ) 1 1 1 , x x x x = + + = Z;( ) 1 1 1 , x x x x = + + = Z. b)( )21 x y z ax aby bz a = + + D D ;( )21 x y z ax aby bz b = + + D D , , xyz Z 1 a b = = sau 0 a b = = . c)( ) 3 f x y x y = + + ;( ) ( ) 3 f x f y x y = + + D . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a)7 = .b)7, 7, 0x y z = = = ;1, 1, 0 x y z = = = . c)1 x y z = + = ;1, 0 y z = = 0 a = . 2. a)( ) 2 0 4 f a = = . b) ( )22 4 8 f X X X = + ctul este( ) c X X =i restul este8 r = . c) 1 2 32 X X X + + =i 2 2 21 2 1 3 2 3 1 2 34 2 XX XX X X a X X X a + + = + + = . Dac2 2 4 a a > > 4 2 0 a < 2 2 21 2 30 X X X + + < exist cel puin o rdcin care nu este real. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a) 22 00 2A = ; 22 020 2I = . b) 21 11 1xA xIx = ;( )22det 2 A xI x = ; 22 0 2 x x = = . c) ( )( )224 222 4 A X A X I X = = =i la fel 44 X A X = . 2. a) 3, 2] i 2 23 2 2 1 = , deci3 2 2 G + . b) 1 1 2 2 1 1 2 22, 2, , , , x a b y a b a b a b = + = + ]i 2 2 2 21 1 2 22 1, 2 1 a b a b = = ;

( )( )( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 12 2 2 2 xy a b a b a a b b a b ab = + + = + + + ; 1 2 1 22 a a b b + ,1 2 2 1a b ab + ];( ) ( )2 21 2 1 2 1 2 2 12 2 a a b b a b ab + + =( )( )2 2 2 21 1 2 22 2 1 a b a b = . c)( )22 2 1 2 12, 2 1 0; 2, 2 1 x a b a b x x a b a b x G = + = = = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a)0 a b c d = = = = ; 30 O \ M. b) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 21 200 0a a a b b a a c c a b dA A a a a d d aa a+ + + = + ; are elementele nR, cele de pe diagonal egale i 0 sub diagonal, deci matricea produs este din M. c) 3det A a = ; 30 0 a a = = ; 00 00 0 0b cA d = , 20 00 0 00 0 0bdA = ; 33A O = . 2. a) 4 3 21 f X X X X = + + ; 2, 1 q X Xr = = . b)( ) 1 1 1 f c a b = = . Restul mpririi la 21 X +este( ) 1 2 b X a b + ;0, 1 a b c = = = . c) 1 2 3 4 1 2 3 41, ... x x x x x x x x a + + + = + + = ; 2 2 2 21 2 3 41 2 x x x x a + + + = ; 1 2 0 a < nu pot fi toate rdcinile reale. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a)( ) det 1 A ad bc = = . b) ta cAb d = ; 2 22 2ta b ac bdAAac bd c d + + = + + . c) S =( ) ( )2 22 2 2 22 2 a b c d ac bd a c b d + + + + + = + + + . S = 00 a c + =i0 b d + = ; detA = 0. 2. a) 1 2 3 42 x x x x + + + = . b) 4 3 22 2 f X X X X = + ;( )( )( ) 2 1 1 f X X X X = + + ; 1 2 3 40, 2, 1, 1 x x x x = = = = . c) Din prima relaie 1 4 2 31 x x x x + = + = ;( )( )1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 31 x x x x x x xx a x x xx a + + + + = + = ( ) ( )1 4 2 3 2 3 1 4 1 4 2 3x x x x xx x x b x x xx b + + + = + = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a) 222a bc ab bdAac cd bc d + + = + + . b)( )22a ad ab bda d Aac cd ad d + + + = + + ;( ) ( )222a bc ab bda d A ad bc Iac cd bc d + + + = + + . c)( ) ( )2AM a d AM ad bc M = + ;( ) ( )2MA a d MA ad bcM = + ;0 a d AM MA + = . 2. a) 3 22 f X X X = + ; 3 22 f X X X = + ;( )21 f X X = ; 1 2 30, 1 x x x = = = . b) 1 2 32 x x x + + = , 1 2 1 3 2 3x x x x xx a + + = ; 2 2 21 2 3x x x + + = 2 4 2 2 1 a a = = . c) 2 2 2 21 2 30 x x x b b b = = =sau b =1 ; 2 2 21 2 3 1 2 31 x x x x x x a + + = + + = ; a = 1 ib = 0. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a) 20 00 0A = . b)( )3 11,14 1M = .( ) ( )det 1,1 1 M = ,( ) ( )1 1 11,14 3M = . c)( )2,4 2x y yMxyy x y+ = .( )2det M x x= R. 2. a)( ) 1 f p = . b)( ) 1 0 2 0 2 f p p = + = = . c) 2 2 2 21 2 3 1 2 1 3 3 2 1 2 3 1 2 3, 0 , 1 x x x px x x x x x x x x p x xx + + = + + = + + = = . ( ) ( )2 2 2 2 2 21 2 1 3 2 30 2 1 2 xx xx xx p p + + = = 4 4 4 41 2 34 x x x p p + + = + . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a) 24 0 00 1 00 2 1A = . b) 38 0 00 1 00 3 1A = ; 238 0 04 5 2 0 1 00 3 1A A I + = . c)det 2 0 A= 110 020 1 00 1 1A = , 234 2 0 00 00 2m n pmA nA pI m n pm n m n p+ + + + = + + + + + .Identificnd elementele obinem 1 5, 2,2 2m n p = = = . 2. a) A doua ecuaie 1 2 2 3 3 11 2 312x x xx xxx xx+ + = ; 1 2 34 x xx = . b) 1 1 2 3 2 1 2 1 3 2 3 3 1 2 3, , s x x x s x x x x xx s x xx = + + = + + = ; ecuaia 3 21 2 30 x s x s x s + =ecuaia cerut

3 22 2 4 0 x x x + = , deci2, 2, 4 a b c = = = . c)( )( )( )( )( )22 2 2 2 2 f x x x x x = = + . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a) 21 2 30 1 20 0 1X = b)( )11 0 0 1 1 0det 1, 1 1 0 , 0 1 11 1 1 0 0 1tX X X = = = . c) 31 3 60 1 30 0 1X = , 234 6 93 0 4 60 0 4r r rX rX I r rr+ + + + + = + + + . Identificnd elementele,, , a b c R, obinem3 r = . 2. a)( )02008 2008 2 1 = = D . b){ }2 264 6 3, 2 x x x x x = + = D . c)( )2 2 12 2 ; 2 2 2 1 0x y x y zx y x yz zx y z z z z x y x y+ + ++ ++ += = = + = + + = = D D D . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a) 1 22 30 2M M= + ; ( )1 2det 4 M M + = . b) 21 20 1aaM = . c),x yXz t = ax az y atMXz t+ + = , ax ax yXMz az t+ = + ; , , , , x az xy at ax yz z t az t a + = + = + = = + R; obinem0; z t x = = , deci 0x yXx = , pentru oricare, xy R. 2. a) 0 x x = . b)( )3 3 3 3 3 3 3x y z x y z x y z = + = + + ;( )3 3 3 3 3 3 3x y z x y z x y z = + = + + . c) 3 3 31 0 02 2 x x x = = . Prin inducie: 301nx n x = + ; 37 0 08 2 x x x = = _, pentru 0x _. 3 3 3 3 3 3 3 32 0 1 0 0 0 3 0 2 0 0 02 3; 3 4 x x x x x x x x x x x x = = + = = = + = , 0x _ i 334 x _ _. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a)1, 0 a b c = = = ; 0 i 1\ . b) 1 2 1 21 2 1 2a a b bA Bc c a a+ + + = + + . Elementele sunt numere reale. c) 1 2 2 12 1 1 200b c b cAB BAb c b c = ;( ) ( )21 2 2 1det 0 AB BA b c b c = . 2. a) 21 f X X = + + ; ( ) 1 0 f = . b) 1,1 1 1 2 b a a = + + = = . c) 9 = numrul funciilor de la o mulime cu 2 elemente la una cu 3 elemente. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a) Se obine( ) ( )det . Ha a =b)( ) ( ) ( )1 ln 00 1 0 , , 0.0 0abHa Hb Hab a bab = = > c)( ) ( ) ( ) ( )2009 ln 2009! 01 2 3 2009 0 2009 02009 20100 02H H H H + + + + = Calculul determinantului 32009 1005. = 2.a)( ) ( )( ) 2 6 2 2 6 2 2 2. x y xy x y xy x y x y = + + = + = + b) Pentru( )( ) , 2 2 0 2. xy G x y x y > >Deci. x y G

c) Se determin e. Obinem2 2 6 3. xe x e x e + = =Obinem 2 3 12 2 6 3 2 2, .2 2xxx x x x x Gx x + = = = + > Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a) Se obine 23 A A = . b) 10 93 A A = , deci ( )10det 0. A =c) 2 1.det 4 0.2 3B B = = Deci Beste inversabil. Prin calcul 13 112 2 4B = . 2.a) 3ln 38 8 2.ex x x = = = b)Pentru( ) { }3ln, 0, \ 1 0yxy x > i 3ln1 .yx x y G D c) ( ) ( )9ln ln., , .y zx y z x x y z xyz G= = D D D D Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a) Se determin punctele( ) ( )0 10, 2i1, 3 A A . 0 11: 0 2 1 01 3 1x yA A = . Finalizare2 0 x y + = . b)( )22, 4 A . Atunci 01 20 2 11 3 1 0 , ,coliniare.2 4 1A A A = c) 0 0 11 unde2 1 2 1.21 3 1A n n An n= = + = =+ + 2.a) 1 37.2 8f = b) Relaia se scrie( ) 5. f a = Se obine{ } 1, 0,1 . a c)0 =pentru c 1 2 30 x x x + + = .Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009 MATEMATIC Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 Soluii 1.a) Se verific, nlocuind n fiecare ecuaie a sistemului,0, 3 i1. x y z = = =b) Sistemul admite soluie unic dac determinantul matricei sistemului este nenul; ( ) det 5 15 0 A m = + pentru{ } \ 3 m\ . c) Pentru3 avemdet 0. m A Se aplic regula lui Cramer. Obinem soluia 0, 3, 1 x y z = = = . 2. a)( ) ( ) ( )( ) 2 6 6 21 2 3 6 3 3 2 3 3 3. x y xy x y x y y x y = + = + = +

b)Ecuaia este echivalent cu:

( )22 5 3 8 5 3 2 cu soluiile0 i1.x xx x = = = = c) Se determin e. Obine