Introducere

Transformata Laplace are multe aplicaţii importante în matematică, fizică, optică,

inginerie electrică, automatică, prelucrarea semnalelor şi teoria probabilităţilor. În

matematică, este folosită la rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale şi integrale. În fizică, este

folosită la analiza sistemelor liniare invariante în timp cum ar fi circuite electrice, oscilatori

armonici, dispozitive optice şi sisteme mecanice. În aceste analize, transformata Laplace

este adesea interpretată ca o transformare din domeniul timp, în care intrările şi ieşirile sunt

funcţii de timp, în domeniul frecvenţă, unde aceleaşi intrări şi ieşiri sunt funcţii de frecvenţa

unghiulară complexă, sau radiani pe unitatea de timp. Dată fiind o descriere matematică sau

funcţională simplă a unei intrări sau a unei ieşiri a unui sistem, transformata Laplace oferă o

descriere funcţională alternativă care adesea simplifică procesul analizei comportamentului

acelui sistem, sau pe cel de sintetizare a unui sistem pe baza unui set de specificaţii.

Metoda operaţională sau metoda transformatei Laplace constituie o modalitate de

rezolvare a ecuaţilor si sistemelor de ecuaţii diferenţiale. În esenţă transformarea Laplace

este o transformare integrală a funcţiilor, adică o transformare care are o formulă integrală.

Se ştie ca operaţia de integrare imbunatăţeşte proprietăţile funcţiilor: integrala unei funcţii

continue este o funcţie derivabilă. Se poate astepta ca funcţiile transformate astfel să aibă

proprietăţi mai bune, şi deci să se poată efectua cu ele calcule mai eficiente.

Intr-adevăr, vom vedea, că transformata Laplace are proprietăţi deosebit de

convenabile. Spre exemplu, ea transformă derivata funcţiei original în înmulţire cu variabila

funcţiei imagine. Astfel ecuaţii diferenţiale se pot transforma în ecuaţii algebrice, a căror

rezolvare este mult mai simplă. Transformând rezultatul acestor calcule algebrice înapoi,

putem obtine soluţiile ecuaţilor diferenţiale.

1

1. Funcţii original. Transformata Laplace

Fie f : R C o funcţie cu următoarele proprietăţi:

f(t) = 0 pentru orice t<0

f(t) este o funcţie continuă pe porţiuni pe semidreapta t 0

f(t) are o crestere cel mult exponenţială, adică există M si s0 0 ca

f(t) M es0t,

(1.1)

să fie adevarată pentru orice valoare a lui t 0.

Funcţia f se numeste funcţie original, iar s0 se numeste indice de crestere exponenţială

pentru f. Mulţimea acestor funcţii se notează cu Ơ.

Fie f ϵ Ơ o funcţie original, cu indicele s0. Considerăm semiplanul drept S(s0) = { s ϵ C

Re s > s0 } din planul complex al variabilei s. Atunci pentru orice s ϵ S (s0), integrala

improprie

(1.2)

este absolut convergentă.

Demonstraţie.

Conform celei de a treia condiţi din definiţia funcţiei original există M > 0 astfel încat

(t) Mes0t, pentru orice t 0. Scriind s = + ir, rezultă că (t)e-st = (t)e-te-irt deci (t)e-

st = (t)e-t│ Me(so-)t, pentru orice t 0, unde am folosit şi faptul că eix = 1 pentru

orice x ϵ R. Aplicând criteriul de comparaţie pentru integrale impropri, este suficient să

observăm că integrala

(1.3)

este convergentă pentru =Re s > s0

, cu valoarea 1/( - s0

).

Să observăm că pentru orice s ϵ S (s0

). Există

2

(1.4)

şi in plus,

. (1.5)

Putem enunţa acum următoarea

Fie f ϵ Ơ o funcţie original, cu indicele s0

. Funcţia

(1.6)

se numeşte transformată Laplace a lui f.. Vom nota

sau

sau

Asocierea f → F se numeşte transformata Laplace.

3

Exemplul care urmează este important, pentru faptul că, datorită proprietăţiilor transformatei

Laplace, transformata a multor funcţii se reduce la acest caz.

Funcţia treaptă unitară u definită astfel

(1.7)

aparţine lui Ơ, şi are indicele s0

= 0. Să calculăm transformata ei Laplace.

Transformata ei Laplace este funcţia complexă U : S(0) → C, definită prin:

(1.8)

Dar

(1.9)

Pe scurt

4

Faptul fundamental care asigură utilitatea transformatei Laplace este următoarea proprietate

Fie f ϵ Ơ o funcţie original cu indicele s0

. Atunci funcţia complexă F:S(s0

) → C, F = L(f)

este oloformă in semiplanul drept S(s0

) = (Re s > s0

).

În aceste condiţii avem

Înrt-adevăr, dacă │f(t)│ ≤ Mesot

, atunci am văzut că

pentru Re s so.

Rezultă deci că nu orice funcţie complexă este transformata Laplace a unei funcţii din Ơ.

Spre exmplu, F(s) = 1 nu satisface condiţia anterioară, deci ea nu este imaginea nici unei

funcţii original.

5

2. Transformata Laplace inversă.

Am vazut că, dată fiind o funcţie original f(t), imaginea sa F(p)

este complet determinată. Se pune acum problema inversă, să se determine originalul f(t)

când se cunoaşte imaginea sa F(p).

Răpunsul este dat de urmatoarea:

Teoremă:

Dacă f(t) este o funcţie original, având indicele de creştere s0

, iar F(p) este imaginea sa,

egalitatea:

(2.1)

are loc în toate punctele în care f(t) este continuă.

6

În fiecare punct de discontinuitate, valoarea funcţiei în membrul drept este egală cu:

(2.2)

3.

Tabel cu transformate Laplace

Tabelul 1

1 1

2 eat

3

4 ; p > -1

5

6

7

8

9

10

7

11

12

13

14

15

16

17

18

19

8

20

21

22

23

24

25

26

27

28

9

29

30

31

32

33

34

35

36

37

10

4. Proprietătile transformării Laplace

4.1 Teorema asemănării.

Dacă f ϵ Ơ şi , atunci pentru orice număr real strict pozitiv λ > 0,

(4.1)

Într-adevăr,

4.2 Teorema deplasării

Dacă f ϵ Ơ şi atunci pentru orice a ϵ C,

L(f (t) eat )(s) = L(f (t))(s – a) (4.2)

Într-adevăr,

L

4.3 Linearitatea transformării Laplace.

Dacă f şi g sunt funcţii original atunci rezultă din proprietatea integralei că pentru orice

α, β ϵ C,

L(αf + βg)(s) = αL(f)(s) + βL(g)(s)

11

4.4 Teorema întârzierii

Dacă f ϵ Ơ şi , atunci pentru orice transformata Laplace a întârziatului

(4.3)

este sau pe scurt

(4.4)

Demonstraţie:

4.5 Teorema derivării originalului

Fie f ϵ Ơ, o funcţie original, astfel că derivatele sale există până la ordinul n, şi

f ′, f ′′, … , f(n) ϵ Ơ. Dacă există şi limtele laterale f(k)(0+)= 0 ≤ k ≤ n, atunci

L(f ′(t)) = sL(f (t))(s) - f(0+), (4.5)

L(f ′′(t)) = s2L(f (t))(s) – sf(0+) – f ′(0+) (4.6)

L(f ′′′(t)) = s3L(f (t))(s) – s2f(0+) – sf ′(0+) – f ′′(0+) (4.7)

4.6 Teorema derivării imaginii

Presupunem că f ϵ Ơ si . Atunci tnf(t) ϵ Ơ şi L(tnf(t)(s)) = (-1)nF(n)(s)

L(f(t))(n)(s) = L((- 1)ntnf(t))(s) (4.8)

4.7 Teorema integrării originalului

Dacă f ϵ Ơ si F(s)

g(t) = (4.9)

deci g este o prmitivă a lui f, atunci

L(g(t)(s)) = = (4.10)

L (4.11)

Într-adevăr, avem evident g ϵ Ơ g′ = f aproape peste tot deci L(g′(t)(s)) = F(s) adică

12

deoarece g(0+) = 0.

4.8 Teorema integrării imaginii

Fie f ϵ Ơ de indice s0, şi fie G(s) primitiva lui F(s) în semiplanul S(s0), presupusă

olomorfă în punctul de la infinit , cu G() = 0. Dacă Ơ, atunci

(4.12)

Într-adevăr, fie deci f(t) = tg(t). Conform teoremei derivării imaginii, rezultă

F(s) = -Ф′(s), unde Ф(s) = L(g(t)(s)). Dar G′(s) = F(s) deci G +Ф = C, constant. Dar Ф() =

0 şi G() = 0, deci C = 0 prin urmare G = Ф, deci

L

4.9 Imaginea funcţiilor periodice

Presupunem că f ϵ Ơ şi că există T >0 astfel încât f(t + T) = f(t) pentru orice t 0. Notăm

f0(t)[u(t) – u(t – T)];

Dacă f(t) F(s) şi f0(t) F0(s), atunci într-un semiplan drept:

(4.13)

Demonstraţie

. .

Dar

Atunci pentru orice s real şi pozitiv,

Conform principiului identităţii, relaţia are loc pentru orice s cu Re(s) suficient de mare.

4.10 Teorema valorii iniţiale

Dacă

13

dezvoltările fiind convergente în jurul lui t = 0 şi respective s = şi dacă există

, şi limita , atunci

(4.14)

Într-advăr, şi

4.11 Teorema valorii finite

Dacă f ϵ Ơ este derivabilă cu f ′ ϵ Ơ şi există f() = , atunci

(4.15)

Înrt-adevăr integrând prin părţi, avem

Dacă s → 0, rezultă

deci

.

Cu ajutorul acestor proprietăţi se pot calcula transformatele Laplace ale funcţiilor

elementare. Exemplele de mai jos prezintă aceste calcule pentru câteva dintre ele.

Exemplu:

Pentru f(t) = eat avem

L(eat)(s) =

Într-adevăr,

L(eat)(s) = L(eat ∙ 1)(s) = L(1)(s – a) =

Exemplu:

Pentru f(t) = sinωt avem

L(sinωt)(s) = .

Similar

14

L(cosωt)(s) =

L(sinhλt)(s) =

L(coshλt)(s) =

Soluţie

L(sinωt)(s) = L

.

Exemplu:

Pentru f(t) = tn avem

L(tn)(s) =

Într-adevăr,

L(tn)(s) = L((-t) ∙ (-tn-1))(s) = L(- tn-1)′(s) = ∙∙∙ = (-1)n

Fie semiplanul dreptunghiular f : R → R, f(t) = A[u(t – a) – u(t – b)], unde A si 0 < a < b

sunt constante.

Atunci avem

L(f(t))(s) = A .

Cazul particular a = 0, b = ε > 0, A = se numeşte impuls unitar de durată ε aplicat la

momentul t = 0, şi se notează δ(ε) : R → R,

δ(ε) (t) =

Transformata Laplace a lui δ(ε) este

15

Dacă ε 0 atunci

şi obţinem un “candidat” -limε→0 δ(ε) - pentru o “funcţie” care este transformata Laplace

egală cu funcţia

constantă 1. Această limită este însă o “funcţie” potrivită doar într-un sens generalizat al

funcţiilor.

5. Transformatele Laplace ale unor funcţii uzuale

Transformata Laplace a unei funcţii f(t), notată cu simbolul L[f(t)] sau F(s), este definită cu

ajutorul integralei:

16

unde operatorul s este un număr complex de forma :

Pentru simplificare, deşi s este un număr complex, el nu se va reprezenta subliniat.

In relaţia.

f(t) se numeşte funcţie original, iar F(s) se numeşte imagine.

Pentru a se putea aplica transformata Laplace unei funcţii f(t), funcţia trebuie să

îndeplinească următoarele condiţii: f(t) să fie neteda pe porţiuni; f(t) trebuie să crească mai

lent decât funcţia , deoarece în caz contrar integrala nu are limită; f(t)=0 pentru t < 0. În

general, toate funcţiile din electrotehnică satisfac primele doua condiţii.

A treia condiţie nu este satisfăcută în cazul condensatoarelor de către tensiunea la

bornele condensatorului uc si atunci se procedează astfel:

Funcţia uc s-a descompus în două componente din care prima Uc0 este constantă. Cu această

descompunere este îndeplinită şi cea de a treia condiţie în transformata Laplace.

În cele ce urmează se dau transformatele Laplace ale celor mai uzuale funcţii.

5.1 Transformata Laplace a funcţiei impuls unitate.

Funcţia impuls unitate a lui Dirac este reprezentată în figura 5.1 şi este definită de relaţiile :

(5.1)

şi

(5.2)

17

Fig.5.1 funcţia impuls unitate Fig.5.2 funcţia treaptă unitate

Aplicând transformata Laplace funcţiei impuls se obţine:

deoarece integrala de la la este nulă, conform relaţiei

.

Întrucât , exponenţiala poate fi considerată egală cu unitatea în intervalul ,

deci în final:

conform definiţiei .

5.2 Imaginea funcţiei treaptă unitate .

Funcţia treaptă unitate este reprezentată în figura 5.2 şi este definită astfel:

(5.3)

Aplicând relaţia

se obţine imaginea:

(5.4)

5.3 Imaginea unei sume de funcţii.

Este egală cu suma imaginilor funcţiilor:

(5.5)

5.4 Imaginea unei derivate.

Aplicând relaţia

18

şi integrând prin părţi, se obţine:

(5.6)

5.5 Imaginea unei integrale.

Este dată de relaţia:

(5.7)

care se deduce imediat din

5.6 Imaginea unei exponenţiale

(5.8)

Procedând astfel, se pot deduce imaginile diverselor funcţii.

6. Determinarea funcţiei original când se cunoaşte imaginea sa

În principiu, cunoscând funcţia imagine, pentru a obţine funcţia original, se

urmăreşte scrierea funcţiei imagine sub una din formele date în tabel, iar originalul se obţine

prin identificarea din acest tabel.

În majoritatea cazurilor întâlnite în electrotehnică, funcţia imagine rezultă sub forma

unei fracţii raţionale (raportul a doua polinoame în s) de forma :

în care gradul polinomului de la numitor P2(s) este mai mare cu cel puţin o unitate decât

gradul polinomului de la numărător P1(s).

Rezolvând ecuaţia P2(s) = 0, se găsesc rădăcinile s1,s2,…,sn şi (după cum se ştie din

algebră), fracţia raţională poate fi scrisă sub forma:

19

(6.1)

în care constantele C1, C2, . . ., Cn se determină prin identificare.

Având scrisă funcţia imagine sub forma sumei

, conform tabelului rezultă funcţia original sub

forma unei sume de exponenţiale:

Se pot calcula însă constantele Ck direct din

fără a mai fi nevoie să se facă identificarea în

unde se formează produsul

şi se calculează limita sa pentru , aplicând criteriul lui l'Hopital. Rezultă deci:

(6.2)

Introducând relaţia de mai sus în

se obţine funcţia original

(6.3)

20

în care P'2(sk) reprezintă derivata polinomului P2(s) pentru s=sk. Această relaţie reprezintă

teorema dezvoltării (prin forma) a lui Heaviside

7. Aplicaţii

Exemplu 1:

Să se determine soluţia x(t) a ecuaţiei diferenţiale , cu condiţiile iniţiale

(0) = 0, şi

Soluţie.

Notăm X(s) = L(x(t)(s)). Avem

deci

,

de unde

21

Atunci

Şi descompunerea în fracţii simple arată ca A = 1, B = -1, C = 2, deci

De aici aplicăm formulele de transformare în sens invers, şi obţinem

X(s) = L(1)(s) – L(1)(s – 1) - 2L(1)′(s – 1),

= L(1)(s) – L(et)(s) - 2L(et)(s),

= L(1)(s) – L(et)(s) - 2L( - tet)(s),

= L(1 – et – 2( - t)et)(s).

L(x(t))(s) = L(1 – et + 2tet)(s),

x(t) = 1 – et + 2tet.

Exemplu 2:

y(0) = 1

Prima dată se aplică transformata Laplace

Stiind că:

,

şi

obţinem

22

După câteva operaţii algebrice simple obţinem

,

Ce implică

Acum avem nevoie de transformata Laplace inversă:

Pentru primul termen avem

Pentru al doilea termen avem

.

Şi obţinem

, , ,

Deci avem

În final obţinem:

23

Exemplu 3

Transformata Laplace X(s) a unui semnal x(t) este :

Să se determine x(t) în urmatoarele condiţii:

a) Re(s) < -3

b) -3 > Re(s) <1

c) Re(s) >1

Rezolvare:

=>

a) DC: Re(s) < -3 =>

b) Dc: -3 < Re(s) < 1 =>

c) Dc: Re(s) >1 =>

Exemplu 4

Funcţia de transfer a unui sistem liniar invariant în timp şi cauzual este dată de expresia:

Să se determine şi să se deseneze răspunsul dacă la intrarea sa se aplică semnalul

Rezolvare:

24

Y(t) = x(t) * y(t) Y(s) = X(s) ∙ H(s)

Cu poli complecsi s1,2

Sistemul este cauzual: DC este Re(s) > -1

j

1 DC pentru H(s) -2

-1-1

Fig. 7.1

=> cu DC: -2 < Re(s) < 2

Y(s) = X(s) ∙ H(s) =

Domeniul de convergenţă este intersecţia DC pentru H(s) si DC pentru X(s):

-1 < Re(s) < 2

A(s2 + 2s + 2) + (Bs + C)(s – 2) = - 4

25

Exmplu 5

Se consideră circuitul de mai jos cănd întrerupătorul este închis la momentul t = 0 cu V c =

1.0 V.

Să se determine curentul i(t) care străbate circuitul.

Fig. 7.2

Înmulţind cu 10-6

26

Aplicând transformata Laplace

În acest exemplu ştim că Vc(0) = 1.0 V

Deci:

Rezultă:

Deci :

Notăm:

Lăsând termenii cu I în partea stângă şi scăzând

în ambele părţi, avem:

27

Găsind transformata Laplace inversă rezultă:

Fig. 7.3

Exmplu 6

Să se determine curentul i(t) pentru circuitul de mai jos, stiind că, V(t) = 10 sin5t V, R = 4 Ω

si L = 2 H

28

Fig. 7.4

Presupunem că i0 = i(0) = 0

Deci:

25 = A(s2 + 25) + (Bs + C)(s + 2)

Trebuie să găsim A, B si C.

Pentru s = −2 avem:

25 = 29A

Rezultă că A = 25/29

După aceea luăm coeficienţii lui s2 de unde rezultă:

0 = A + B

şi obţinem

29

Acum coeficienţii lui s:

şi obţinem

Deci:

De unde rezultă:

Fig. 7.5

30

Exemplu 7

În circuitul de mai jos, condesatorul la momentul t = 0 nu este încărcat. Dacă se închide

întrerupatorul, să se găsească curenţii i1 şi i2, încărcarea condesatorului C t >0.

Fig 7.6

Pentru primul ochi de retea avem:

...(1)

Pentru al doilea ochi avem:

…(2)

31

Substituind i2 în 1 avem:

Mai departe luăm transformata Laplace a ambelor părţi.

În acest exemplu . q0 = 0

Deci

Acum luând transformata Laplace inversă

32

şi folosind rezultatul 2 de mai sus obţinem:

Pentru încărcarea condensatorului avem nevoie mai întai de tensiunea pe condensator:

Stiind că

avem:

Graficul pentru q(t):

33

Fig. 7.7

Exemplu 8

În circuitul de mai jos, condesatorul are o încarcare iniţială de 1 mC şi comutatorul se află

în poziţia 1 de o durată destul de lungă de timp încat starea lui să fie stabilă. Comutatorul

este trecut din poziţia 1 în poziţia 2 la momentul t = 0. Să se calculeze curentul tranzitoriu

i(t) pentru t > 0.

Fig. 7.8

34

Poziţia 1 după o durată lungă de timp. :

Poziţia 2: (t ≥ 0)

Aplicăm legea a doua a lui Kirchhoff

În poziţia 2 nu avem tensiuni electromotoare:

Găsind transformata Laplace

Înmultind cu 10s avem:

35

Deci curentul tranzitoriu este:

Partea trigonometrică din expresia de mai sus se poate exprima ca fiind:

2 cos 222.2t − 0.45 sin 222.2t = R cos(222.2t + α)

Deci

36

Fig. 7.9

Exemplu 9

Pentru circuitul de mai jos, să se gasească curentul i2 stiind că în momentul t =, 0 i1şi i2 sunt

0.

Fig. 7.10

i1(0) = i2(0) = i1'(0) = i2'(0) = 0.

Pentru prima buclă avem:

37

Pentru a doua buclă avem:

Substituind rezultatul din 1 obţinem:

Acum aplicând transformata Laplace:

(din moment ce i2(0) = 0 )

38

Fie

Deci

Rezultă

Aplicând transformata Laplace inversă:

39

Fig.7.11

Exemplu 10

Un impuls dreptunghiular vR(t) se aplică circuitului RC arătat în figura de mai jos. Să se

gasească raspunsul v(t).

vR(t):

Fig. 7.12

Se consideră că v(t) = 0 V pentru orice t < 0 implică v(0-) = 0 V

Pentru a rezolva această problemă trebuie să lucrăm în tensiune şi nu în curent.

Începem cu

40

Tensiunea pe condensator este dată de relaţia:

.

Deci pentru acest exemplu:

Înlocuind valorile cunoscute:

După aceea

Aplicând transformat Laplace:

Stiind că v0 = 0, avem:

41

Aplicând transformata Laplace inversă:

Fig. 7.13

Exemplu 11

42

Se consideră :

a) Circuitul electric din figura 7.14, alimentat la o tensiune electromotoare constantă E.

b) Un condensator încărcat la tensiunea Uco (fig.7.15),care urmează a se descărca pe un

circuit R,L..

Se cere:

a) Determinarea curentului de regim tranzitoriu i(t) prin bobină, la închiderea

întrerupătorului k.

b) Curentul de descărcare.

Rezolvare:

a) Înainte de comutaţie, curentul prin bobină era dat de relaţia :

Ecuaţia circuitului după comutaţie (traseul figurat punctat în fig 7.14) este:

Aplicând transformata Laplace relaţiei , se obţine:

Fig. 7.14 Fig. 7.15

Cu , relaţia devine:

43

b) Ecuaţia circuitului (traseul punctat în figura 7.15) este:

Aplicând transformata Laplace şi ţinând cont că , se obţine:

Ordonând termenii rezultă:

Expresia din paranteză se numeşte impedanţă operaţională şi se notează cu Z(s) :

Această expresie este analoagă cu impedanţa complexă utilizată în studiul regimurilor

permanente sinusoidale:

Impedanţa complexă se poate obţine din impedanţa operaţională, dacă operatorul s este un

număr pur imaginar

Revenind la relaţia se obţine imaginea :

Rădăcinile numitorului fiind:

relaţia se scrie :

Utilizând tabelul1 găsim funcţia original :

44

sau, cu :

sau încă în final expresia curentului de regim tranzitoriu:

8. Transformata Laplace in Matlab

Transformata Laplace cât si transformata Laplace inversă poate fi calculată usor în

Matlab. Prima dată trebuie specificat că variabilele t şi s au valoare simbolică. Aceasta se

face cu ajutorul comenzii

>> syms t s

După aceea definim funcţia f(t). Comanda pentru calcularea transformatei Laplace este

45

>> F = laplace(f , t , s)

Pentru a face expresia mai usor de citit se pot folosi comenzile, simplify si pretty.

Exemplu:

f(t) = - 1,25 + 3,5te-2t + 1,25e-2t

>> syms t s

>> f = -1.25+3.5*t*exp(-2*t)+1.25*exp(-2*t);

>> F=laplace(f,t,s)

F =

-5 / 4 / s + 7 / 2 / (s+2) ^ 2 + 5 / 4 / (s+2)

>> simplify(F)

ans =

(s-5) / s / (s+2) ^ 2

>> pretty(ans)

s – 5

-------------

s(s + 2)2

care corespunde cu funcţia

Transformata Laplace inversă

Comanda folosită pentru transformata Laplace invarsă este ilaplace. De asemenea trebuie

definite şi simbolurile t şi s.

Să calculăm acum transformata Laplace inversă pentru funcţia anterioară.

>> syms t s

>> F=(s-5)/(s*(s+2)^2);

>> ilaplace(F)

ans =

-5/4+(7/2*t+5/4)*exp(-2*t)

>> simplify(ans)

ans =

-5/4+7/2*t*exp(-2*t)+5/4*exp(-2*t)

>> pretty(ans)

46

5/4 + 7/2 t exp(-2 t) + 5/4 exp(-2 t)

Care este funcţia f(t) = - 1,25 + 3,5te-2t + 1,25e-2t

8.1 Studiul unor sisteme folosind funcţia de transfer în Matlab.

Funcţia de transfer reprezintă transformata Laplace a ieşirii unui sistem în raport cu

transformata Laplace a intrării sistemului. Funcţia de transfer poate oferii informaţii

importante despre comportarea unui sistem în diferite situaţii cât şi despre stabilitatea acelui

sistem fără a mai fi nevoie de simulări care necesită o aparatură adecvată pentru a putea

furniza o marime de intrare şi pentru a putea măsura mărimea de ieşire.

În Matlab, cu ajutorul funcţiei de transfer, se poate studia foarte uşor răspunsul unui sistem

oarecare la diferite semnale cât şi stabilitatea sistemului.

În continuare este ilustrat un program care face exact acest lucru.

Mai jos este prezentată interfaţa acestui program unde se poate defini funcţia de transfer prin

numitorul şi numărătorul,de exemplu unde num=[1 4 3] şi den=[6 3 1].

ei şi se poate selecta răspunsul dorit pentru sistem cât şi harta polilor şi zerourilor de unde se

poate determina stabilitatea sistemului.

Codul sursă al programului este prezentat mai jos. Acesta conţine patru case-uri câte unul

pentru fiecare variantă care poate fi selectată.

popup_sel_index = get(handles.popupmenu1, 'Value');

switch popup_sel_index

case 1

m1 = str2num(get(handles.edit11,'String'));;

b1 = str2num(get(handles.edit12,'String'));;

47

k1 = str2num(get(handles.edit13,'String'));;

m2 = str2num(get(handles.edit21,'String'));;

b2 = str2num(get(handles.edit22,'String'));;

k2 = str2num(get(handles.edit23,'String'));;

num = [ m1 b1 k1 ];

den = [ m2 b2 k2 ];

tutorial_tf = tf(num, den)

bode(tutorial_tf)

case 2

m1 = str2num(get(handles.edit11,'String'));;

b1 = str2num(get(handles.edit12,'String'));;

k1 = str2num(get(handles.edit13,'String'));;

m2 = str2num(get(handles.edit21,'String'));;

b2 = str2num(get(handles.edit22,'String'));;

k2 = str2num(get(handles.edit23,'String'));;

num = [ m1 b1 k1 ];

den = [ m2 b2 k2 ];

tutorial_tf = tf(num, den)

step(tutorial_tf)

case 3

m1 = str2num(get(handles.edit11,'String'));;

b1 = str2num(get(handles.edit12,'String'));;

k1 = str2num(get(handles.edit13,'String'));;

m2 = str2num(get(handles.edit21,'String'));;

b2 = str2num(get(handles.edit22,'String'));;

k2 = str2num(get(handles.edit23,'String'));;

num = [ m1 b1 k1 ];

den = [ m2 b2 k2 ];

tutorial_tf = tf(num, den)

impulse(tutorial_tf)

case 4

m1 = str2num(get(handles.edit11,'String'));;

b1 = str2num(get(handles.edit12,'String'));;

k1 = str2num(get(handles.edit13,'String'));;

48

m2 = str2num(get(handles.edit21,'String'));;

b2 = str2num(get(handles.edit22,'String'));;

k2 = str2num(get(handles.edit23,'String'));;

num = [ m1 b1 k1 ];

den = [ m2 b2 k2 ];

tutorial_tf = tf(num, den)

pzmap(tutorial_tf)

end

Exemple de ilustrare a funcţionării programului:

Răspunsul unu sistem oarecare în frecvenţă:

Răspunsul unui sistem oareacre la intrare treaptă

49

Răspunsul unui sistem oarecare la intrare impuls

Diagrama polilor şi zerourilor unui sistem oarecare

50

9. Concluzii

Mulţi dintre parametri din univers interacţionează prin ecuaţii diferenţiale. De

exemplu tensiunea de pe o bobină este proporţională cu derivata curentului care o parcurge.

Calculul operaţional se bazează pe realizarea unei corespondenţe între două mulţimi

de funcţii numite original şi imaginile lor obţinute printr-o anumită transformare. Interesul

pe care îl prezintă această corespondenţă se datorează faptului că operaţiilor de derivare şi

de integrare aplicate funcţiilor original le corespund anumite operaţii algebrice care se aplică

imaginilor lor şi care sunt mult mai uşor de rezolvat. Exact acest lucru îl realizează şi

transfomata Laplace.

Transformata Laplace este o metodă matematică bine definită pentru rezolvarea

acestor ecuaţii diferenţiale si o tehnică foarte bună pentru analiza sistemelor când semnalele

sunt continue.

În concluzie transformata Laplace este o unealtă extrem de puternică care are

aplicaţii în multe domenii.

51

Bibliografie

1. Bânzaru Titu, Neuhaus Nicolae, ,,Matematici speciale” Edit. Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1985

2. Şilov gheorghi evghenevici, ,,Analiză matematică” Edit. Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1993

3. Boris Mauer si Frank Neubrander, ,,Laplace transform methods for evolution

equations”, Loisiana State University, Baton Rouge, USA

4. http://ro.wikipedia.org/wiki/Transformat%C4%83_Laplace

52

5.http://facultate.regielive.ro/cursuri/electronica/regimul_tranzitoriu_si_transformata_laplace-30712.html

6. http://www.egr.msu.edu/~aviyente/LT_matlab.pdf

7. http://video.google.com/videosearch?hl=en&q=laplace+in+matlab&um=1&ie=UTF-8&ei=VQMxSoCkNoKnsAaLyYW6BA&sa=X&oi=video_result_group&resnum=4&ct=title#

8. http://edu.levitas.net/Tutorials/Matlab/controlsys.html

9. http://www.math.umd.edu/~jow/246/matlab_g3.pdf

53