14 Transformata Laplace

Contribuții privind studiul comportării barelor și plăcilor pe mediul elastic sub actiunea forțelor mobile

Transformata Laplace – Prezentarea matematică și utilizarea ei în în integrarea ecuațiilor diferențiale Pag. 1

2. Transformata Laplace - Prezentarea matematică şi utilizarea ei în integrarea ecuaţiilor diferenţiale

2.1 Transformatele integrale

Aplicarea matematicii în domeniul ingineriei este un lucru esenţial şi

inevitabil. Metode de rezolvare a acestor probleme de matematică aplicată într-

un domeniu mai restrâns creează dificultăţi specifice. Se pot „împrumuta”

modele de rezolvare din alte domenii ale ingineriei, dar tot e necesară o

„ajustare” a metodelor la modelele fizice aplicate în ingineria civilă.

Transformata Laplace asigură trecerea de la problema pusă de matematică la

aflarea soluţiei problemei. Pierre-Simon Laplace a fost un matematician renumit

pentru contribuţiile şi noutăţile aduse în diverse domenii ale matematicii.

Transformarea (integrală) ce îi poată numele nu e chiar atribuită lui. Se pare că

transformarea a fost folosită prima dată de D. Poisson. Dezvoltarea acestei

metode de rezolvare a părții matematice din domeniul ingineriei este posibilă

datorită și unor matematicieni din secolul trecut: Bromwich, Garson, van der Pol

și alții care s-au implicat în calculul matematic cu variabile complexe.

Transformatele integrale se pot defini, într-o formă generală, astfel:

2

1

a

a

T f(x) K(t ,x) f(x)dt, (1.1)

în care K(t,x)este o funcţie nucleu a transformatei; fiind o funcţie (expresie)

dependentă de 2 variabile.

Transformata Laplace face parte din grupul transformatelor integrale.

Transformatele integrale sunt utilizate pentru început mai mult în domeniul

ingineriei electrice. Utilizarea acestor transformate este posibilă în vaste

domenii. La începuturile secolul 19 studiile mai avansate asupra energiei

electrice a condus la dezvoltarea aparatului matematic care să analizeze

fenomenele fizice. Astfel, s-a făcut trecerea de la expimarea impulsurilor electrice

şi a câmpurilor electromagnetice la analiza dinamică a acţiunilor asupra

construcţiilor dar şi în domeniul termotehnicii. Transformările integrale, în

general, pornesc de la o funcţie de variabilă reală tot la o funcţie aparţinând lui R

şi sunt operatori liniari. Transformata Fourier, în schimb, ne conduce la o funcţie

complexă:



2 x iF( ) f(x)e dx,

(1.2)

unde timpul poate fi exprimat de x, iar variabila frecvenţa. Transformata

Fourier are utilizare mult mai intensă, începând cu rezolvarea ecuaţiilor

diferenţiale cu derivate parţiale, probleme de gravitaţie şi magnetism până la

aplicaţii în problemele elasticităţii şi a conductivităţii termice. Un ultim domeniu

în care sunt folosite aceste transformate este cel al procesării semnalelor

acustice (scanări prin intermediul sonarelor) dar şi a procesării imaginilor sau

filtrării lor.

Din familia transformatelor integrale amintim:

- transformata lui Hartley:

1H( ) f(t) cos( t) sin( t) dt,

2

(1.3)

fiind o transformată alternativă la transformata Cauchy. Se evită astfel calculul cu

o funcţie exponenţială complexă. Încă un avantaj ar fi dezvoltarea funcţiei

original în două componente sinusoidale.

- transformata Mellin:

s 1

0

(s) x f(x)dx,

(1.4)

transformată stâns legată de transformata Laplace dublă şi transformata Fourier.

Aplicaţiile acestei transformate se referă la probleme discrete de matematică,

analizarea algoritmilor şi analiza combinatorică. Inversa acestei transformate

este defapt inversa transformatei lui Laplace.

- transformata Weierstrass:



2y

41

F(x) f(x y)e dy,4

(1.5)

folosită la probleme de termotehnică – legea de variaţie a căldurii pentru o bara

cu coeficient de conductivitate termică constantă, de lungime infinită

- transformata Hankel:

n n

0

H f(t) t J ( t)f(t)dt,

(1.6)

unde nJ ( t) este functia Bessel de prima speţă.

- transformata lui Abel:

2 2x

f(r)rf(x) 2 dr

r x

(1.7)

utilizată în determinarea distribuţiei radiale a masei galaxiilor şi pentru

inversarea datelor telemetrice, perturbate de alte planete, pentru determinarea

grosimii atmosferei altor planete.

Utilitatea şi utilizarea acestor transformări este până la urmă nemărginită

şi cu un vast domeniu de aplicabilitate.

2.1. Definirea transformatei Laplace.

Transformata Laplace este folosită în integrarea ecuaţiilor diferenţiale și a

sistemelor de ecuații. Acest mod de rezolvare, ne „transformă” o ecuaţie

diferenţială, deobicei cu coeficienţi constanţi pentru domeniul ingineriei civile,



într-o ecuaţie algebrică polinomială iar o ecuație diferențială cu derivate parțiale

într-o ecuație diferențială ordinară. Nu întotdeauna e mai avantajoasă această

metodă, dar când are aplicabilitate ne simplifică foarte mult volumul de calcule şi

ne conduce la soluţie mult mai uşor de găsit. După aplicarea transformatei

Laplace, aplicăm şi inversa ei, conducându-ne la o formă mult mai avantajoasă a

problemei matematice iniţiale.

Schematic, aplicarea transformatei Laplace ar consta în:

(n)

(n)

transformata inversad f... L(s) f (x)

Laplace transformateidx

Transformata laplace se poate aplica ecuaţiilor diferenţiale, ordinare sau cu

derivate parţiale, în care variabilele pe care le transformăm variază în intervalul

0 .

Definiţia transformatei lui Laplace, pentru o funcţie f, continuă pe

intervalul 0 este:

sx

0

L(s) e f (x)dx

(2.1)

unde L(s) este funcţia imagine, prin intermediul transformatei Laplace a funcţiei

f(x), iar s este o variabilă complexă. În mod simplificat vom folosi notaţia:

(2.2)

unde simbolizează operatorul transformatei Laplace.

Ca şi observaţie, integrala

o scriem şi sub forma:

(2.3)

2.1.1. Condiții de existență.

Existenţa trasformatei Laplace este suficientă pentru o funcţie care are

următoarele proprietăţi:



funcţia f(x) trebuie să fie continuă pe orice intervale , ,

unde dacă limitele funcţiei la capetele intervalelor există

şi sunt finite; (1)

f(x) să aibă o creştere cel mult exponenţilă. (2)

O funcţie are o creştere exponenţială (funcţie de ordin exponenţial) dacă

există o valoare M şi astfel încât:

kxf (x) M e , adică funcţia f(t) să nu aibă o creştere mai rapidă

decît . Condiţia se mai poate scrie şi sub forma:

kxe f (x) M .

Exemplu de funcţie cu creştere exponenţială:

2f (x) x

Există cel putin o funcţie de forma , astfel încăt 2 3xx e , x 0 . Se observă cu

ușurință în figura 1 creșterea mult mai rapidă a funcției față de

creșterea funcției .

Fig.1 Graficul funcţiei și .

În varianta este puţin mai dificil să comparăm două funcţii,

de aceea e mai simplu să comparăm o funcţie cu o constantă reală M. În practică,

nu e dificil să demnstrăm că o funcţie are o creştere exponenţială datorită

nelimitării valorilor constantelor reale M şi k, care pot să ia orice valoare dorită.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x^2

e^3x



Indicele de creştere, reprezentat prin k este în cazul de faţă egal cu 3.

Putem arăta că orice funcţie , n fiind o constantă reală pozitivă, are

o creştere exponenţială. Condiţia ca să fie o funcţie cu creştere exponenţială

este:

Să considerăm k 1 (indicele de creştere exponenţială). Astfel vom avea:

n kxx M e

E mai uşor să comparăm o funcţie cu o constantă decât o funcţie cu altă

funcţie. Atunci vom scrie:

n

n

xM

e

O problemă este cât de mare să fie M, astfel încât condiţia de mai sus să fie

îndeplinită. Cea mai simplă abordare ar fi să găsim punctul maxim funcţiei

n

x

xy(x)

e .

Derivata de ordinul I este:

y (x) n 1 x n xn x e x e

n 1 x(n x)x e .

Se observă că pentru x (0,n) funcţia este crescătoare, iar x n funcţia

este descrescătoare. Punctul de maxim fiind x n. Mergând la limită cu condiţia

y(x) M, găsim valoarea lui M:

n n

n n

y(n) n e

M n e ,

adică n nM n e .

Pentru orice valoarea a lui x real şi pozitiv, avem:

n n n xx n e e ,



iar funcţia nx are cel mult indicele de creştere exponenţial egal cu 1. Se pot da

valori şi mai mici pentru k . Doar cu condiţia ca k 0. Funcţia are o creştere

exponenţială, cu un indice de creştere subunitar. Pentru valori negative a lui n, se

poate arăta că M nu poate fi definit ca o constantă pozitivă, astfel încât condiţia

de creştere exponenţială să fie satisfăcută.

Dacă considerăm funcţia 3xf (x) e o să arătăm că ea nu este de ordin

exponenţiat, având o creştere mult prea rapidă pentru orice valori am da

constantelor M şi k.

Condtiţia ca funcţia să aibă ordin exponenţial:

kxe f (x) M

scriind:

3kx xe e M

3x kxe M ,

termenul din stânga crescând mult prea repede, odată cu creşterea lui x, fiind

mai mare decât orice constantă M aleasă. Funcţiile trigonometrice sin(x) şi

cos(x) sunt funcţii cu ordin exponenţial. Deobicei, funcţiile ale căror valori sunt

marginite într-un interval sunt funcţii de ordin exponenţial.

Cele două condiţii (1) şi (2) amintite mai sus sunt suficiente ca trasformata

Laplace a unei funcţii să existe, dar nu şi obligatoriu necesare. Există funcţii care

nu îndeplinesc condiţia de mai sus, şi totuşi transformata să existe.

În continuare vom arăta, în mod direct, transformata Laplace la diferite

tipuri de expresii matematice folosind datele din dicţionarul imaginilor:

- funcţiei îi corespunde transformata Laplace:

- →

- →

- →



- →

- →

- →

- →

Am dat ca şi exemple doar o parte din dicţionarul imaginilor

transformatei lui Laplace. Pentru restul cazurilor se va consulta literatura de

specialitate, în special în [2] se gasesc mult mai multe exemple de imagini ale

funcţiilor sau a expresiilor matematice.

2.2. Distribuția lui Dirac. Funcția Heaviside

Trebuie să amintim de 2 „funcţii” importante în domeniul matematicii

aplicate în domeniul ingineriei. Distribuţia lui Dirac şi distribuţia lui Heaviside

(funcția treaptă).

Nu sunt funcţii din punctul de vedere al matematicii clasice. Termenul de

distribuţie e mai aproape de realitate. Distribuţia lui Dirac se utilizează la

modelarea matematică a fenomenelor fizice discontinue. Pentru a defini

distribuţia lui Dirac, începem cu expresia unei funcţii definită astfel[1]:

a

a

, pentru

x 0 ε

Fε(t)



Fig.3 Graficul funcţiei F (t)

Se poate observa destul de uşor că odată cu diminuarea valorii lui , chiar

când 0 , valoarea funcţiei pe intervalul 0; tinde spre 1. Astfel încât aria

geometrică delimitată de dreptunghi devine egală cu 1. Adică:

0

F (x)dx 1.

Forma finală a distribuţiei, cu limitarea lui spre zero, e distribuţia lui

Dirac. P.A.M. Dirac a folosit-o mai extensiv de aceea, posibil, să i se atribuie şi

numele funcţiei numelui lui.

Încă o modalitate de a ajunge la distribuţia lui Dirac este prezentată în [2].

Se porneşte de la o funcţie continuă de forma:

h : R [0,1]

0

00

0

0, x x

x xh(x) , x [x ,a)

a x

1, x a

Fig 4. Graficul funcţiei h(x)

Dacă derivăm funcţia h(x), avem:

x

y

0 x0

1

a

http://ro.wikipedia.org/wiki/Paul_Dirac



0

0

0

0, x x

1h (x) , x (x ,a)

a x

0, x a

Fig 5. Graficul funcţiei h’(x)

Se observă că funcţia h(x) nu este derivabilă în punctele x0 şi a.

Când trecem la limită 0a x funcţia h(x) devine distribuţia lui Heaviside:

0

0

0

0, x x(x x )

1, x x

(2.4)

Fig 6. Graficul distribuţiei lui Heaviside

Derivata acestei funcţii fiind:

x

y

0 x0

0

a

1a-x

x

y

0 x0

1



(2.5)

din considerentele următoare:

0

0a x

(x x ) lim h (x)

, (2.6)

iar 0a x

0

1lim

a x

.

Astfel putem concluziona cu:

0 0(x x ) (x x ) , (2.7)

adică derivata distribuţiei lui Heaviside este chiar distribuţia lui Dirac.

Amintim un număr de proprietăţi importante ale distribuţiei lui Dirac:

0

(x)dx 1

(2.8)

0

(x) g(x)dx g(0)

(2.9)

0 0

0

(x x ) g(x)dx g(x )

(2.10)

pentru orice funcţie g(x) continuă.

2.3. Proprietățile transformatei Laplace



Ca şi proprietăţi importante ale transformatei Laplace, amintim:

a) liniaritatea:

b) translaţia în imagine:

c) translaţia în original:

- dacă avem funcţia

atunci:

sau

d) schimbarea la scară:

e) transformata derivatelor

cazul general:

f) transformata integralelor



g) produsul de convoluţie (integrala lui Duhamel):

Produsul de convoluție a două funcții se definește ca [6]:

O proprietate importantă a acestui produs este:

altfel spus:

unde şi .

h) transformata distribuţiei lui Heaviside (funcţia treaptă

unitate):

Transformata Laplace a funcţiei Heaviside fiind:

i) transformata Laplace la produsul dintre o funcţie şi distribuţia

lui Heaviside

j) transformata Laplace a distribuţiei lui Dirac ( funcţia impuls

unitate )



iar dacă ,

atunci

k) transformata Laplace a derivatelor distribuţiei lui Dirac

iar dacă avem:

l) derivata funcţiei imagine ( L(s) )

m) integrala imaginii

unde

2.4. Inversarea transformatei Laplace

Inversa transformatei Laplace se defineşte ca:



(3.1)

unde şi sunt două numere complexe. Inversa lui Laplace este

defapt formula lui Mellin sau integrala lui Bromwich.

Se poate pune problema dacă inversa transformatei e unică pentru o

funcție oarecare. Am menționat anterior că transformata Laplace o aplicăm

pentru funcții continuue, distincte pe intervale închise, pe domeniul .

Astfel, cunoscând teorema lui Lerch, putem afirma că inversa transformatei

Laplace pentru o funcție distinctă este unică.

Câteva exemple ale inversei transformatei:

1

s 1

2

1

s x

n 1

1

s ,

nx

n!

1

s a axe

2 2

1

s a

sin ax

a

2 2

1

s a cosax

2 2

1

s a

sinh ax

a

2 2

s

s a cosh ax

2.4.1. Proprietățile inversei transformatei Laplace

Proprietăţile inversei transformatei Laplace sunt:



1. Liniaritatea

1 c1 L1 s c2 L2

s c1 1 L1 s c2

1 L2 s

c1 f1 x c2 f2 x

2. Proprietatea translaţiei în imagine

3. Proprietatea translaţiei în original

4. Schimbarea la scară

5. Inversarea transformatei a derivatelor

6. Inversarea transformatei a integralelor

menţionând că în toate cazurile evidențiate mai sus s-a utilizat notaţia:

.

2.5. Aplicarea transformatei Laplace la rezolvarea

ecuațiilor diferențiale



La rezolvarea ecuațiilor diferențiale transformata Laplace e utilă atât în

rezolvarea problemelor Cauchy (problemele condițiilor inițiale) cât și pentru

problema condițiilor la limită (problema bilocală). Ecuațiile diferențiale liniare

cu coeficienți constanți, omogene sau neomogene se transformă prin aplicarea

transformatei Laplace atât în membrul stâng cât și în membrul drept al ecuației,

într-o ecuație algebrică în necunoscuta . După aflarea soluției ecuației se

aplică inversa transformatei Laplace rezultând astfel soluția generală a ecuației

diferențiale inițiale. Constantele de integrare sunt cuprinse în forma valorilor

funcției original și al derivatelor sale în origine:

,

unde n este ordinul ecuației diferențiale.

Constantele de integrare fiind chiar condițiile inițiale atât pentru problema

Cauchy cât și pentru problema bilocală. Dacă coeficienții ecuației diferențiale

sunt variabili, după aplicarea transformatei Laplace rezultă, în general, tot o

ecuației diferențială în necunoscuta . Complicații pot să apară dacă ecuația

diferențială este neliniară, ajungându-se la o ecuație algebrică de grad ”i”, care

admite mai multe rădăcini.

Ca și mod de lucru, generalizat, aplicarea metodei trasformatei lui Laplace

în integrarea ecuațiilor diferențiale se poate schematiza în modul următor:

a) se aplică transformata Laplace ambilor membrii ai ecuației, noua

ecuație mai numindu-se ecuația transformată

b) se ajunge la o ecuație liniară în necunoscuta

c) se rezolvă ecuația în necunoscuta rezultând soluția ecuației y

În continuare exemplificăm modul de calcul, la aplicarea transformatei

Laplace în rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale. Să considerăm ecuaţia diferenţială

liniară ordinară omogenă:

y 4y 3y 0 ,

cu condiţiile iniţiale:

y(0) 0

y (0) 2

Aplicăm transformata Laplace, ţinând cont și de proprietatea de liniaritate:

y 4 y 3 y 0 L L L



2y'' s L(s) s y(0) y (0) L , şi cu condiţiile iniţiale avem:

2y s L(s) 2 L

y s L(s) y(0) s L(s) L

y L(s)L

astfel avem ecuaţia:

2

2

s L(s) 2 4s L(s) 3 L(s) 0

L(s) s 4s 3 2

şi continuând, despărţind în fracţii simple:

2

2 2L(s)

s 4s 3 s 1 s 3

, ecuaţia reprezentând funcţia

imagine.

A BL(s)

s 1 s 3

efectuând calculele mai departe:

A s 3 B s 1 2

s 1 s 3 s 1 s 3

,

,

.

rezultând:

A B 0

3A B 2

astfel, A 1 şi B 1 . Astfel, expresia funcţiei imagine este:

1 1

L(s)s 1 s 3

.



Aplicăm inversa transformatei lui Laplace, ştiind că ax 1e

s a

ajungând la

funcţia „y”:

x 3xy(x) e e , reprezentând soluţia ecuaţiei diferenţiale, cu

condiţiile iniţiale cunoscute.

Iar în cazul ecuațiilor diferențiale neomogene:

,

cu condițiile inițiale (problema Cauchy):

și

Aplicăm transformata Laplace pentru membrul stâng și drept:

,

rezultând

scriind mai departe, ținând cont de condițiile inițiale:

Descompunem în fracții simple:

Aplicăm inversa transformatei Laplace, în care:

,

rezultând soluția generală a ecuației diferențiale:

Pentru cazul sistemelor de ecuații diferențiale nu apar dificultăți în

aplicarea transformatei Laplace. Modul de lucru este asemănător cu cel aplicat

ecuațiilor diferențiale, sigura diferență constă în rezolvarea unui sistem liniar de



ecuații, nu doar o ecuație algebrică. Asta în cazul sistemelor de ecuații

diferențiale liniare cu coeficienți constanți.

Pentru cazul ecuațiilor integrale, care au forma:

unde și fiind funcții cunoscute. Nucleul ecuației integrale este

iar este funcția necunoscută.

Dacă limitele domeniului de integrare a și b sunt constante, atunci avem o

ecuație integrală de tip Fredholm. Iar dacă a este o constantă și atunci

discutăm despre o ecuație integrală de tip Volterra.

Ecuație integrală de mai sus se mai poate scrie, prin intermediul produsului

de convoluție:

în care s-a notat cu ”*” produsul de convoluție dintre funcțiile și

Aplicând transformata Laplace, obținem:

mai departe scriind

Aplicând inversa transformatei Laplace se ajunge la soluția

ecuației.

2.6. Aplicarea T.L. la rezolvarea ecuațiilor diferențiale cu

derivate parțiale



Cazul ecuațiilor cu derivate parțiale le împărțim în două segmente. Unul

referitor la componenta spațială (abscisa „x”) și unul referitor la componenta

temporală (timpul „t”).

Baza teoretică este aceeași, diferența constă în efectuarea calculelor

matematice cu funcții de două variabile [5].

, (4.1)

iar inversa

(4.2)

Componenta spațială aplicând transformata Laplace se scrie:

(4.3)

continuând,

(4.4)

iar în mod similar putem scrie:

(4.5)

Componenta temporală a ecuației direrențiale cu derivate parțiale se scrie:



Integrând prin părți, pentru derivatele de ordinul I, obținem:

(4.6)

ajungând la o formă similară cu cazul transformatei Laplace aplicate derivatei

funcției.

S-au folosit notațiile

Similar, tot prin integrarea prin părți se ajunge și la forma derivatelor de

ordinul II:

(4.7)

Ecuațiile diferențiale cu derivate parțiale apar în cazurile problemelor la

limite sau a condițiilor inițiale (probleme Cauchy). Când întâmpinăm ambele

situații avem probleme mixte, deobicei fenomenele nestaționare ne conduc la

asemenea situații. Separarea variabilei temporale („t”) față de cea spațială („x”)

ne conduc la probleme de tip Sturm-Liouville, în care variabila spațială aparține



unei probleme la limite iar cea temporală unei probleme a condițiilor inițiale.

Problemele de tip Sturm-Liouville sunt descrise de ecuații diferențiale cu

derivate parțiale în care valorile la limită sunt nule.

Bibliografie

1. Spiegel M.R., Laplace transforms. Schaum Publishing, 1965.

2. Borş I., Aplicaţii ale transformatei Laplace şi reprezentări Dirac în

Mecanica construcţiilor. Editura Dacia, 1999.

3. Joel L. Schiff, The Laplace Transform:Theory and Applications. Springer

1999.

4. Krzlov V.I., Skoblza N.S., A handbook of methods of approximate Fourier

transformation adn inversion of the Laplace transformation. MIR

publishers Moscow, 1977.

5. Yovanovich M.M., Laplace Transform (www course)

6. Stanley J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and

Engineers. Dover Publications, Inc. New York

14 Transformata Laplace

Documents

Transcript of 14 Transformata Laplace