Cap5 Transformata Laplace
27
Capitolul 5 Transformata Laplace Cuprins I. Transformata Laplace 1. Noţiuni fundamentale 2. Proprietăţi ale transformatei Laplace 3. Determinarea originalului când se cunoaşte imaginea 4. Exercitii II. Aplicaţii ale transformatei Laplace 1. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi 2. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi 3. Rezolvarea ecuaţiilor integrale de tip Volterra 4. Rezolvarea unor ecuaţii cu derivate parţiale 5. Exercitii
Transcript of Cap5 Transformata Laplace
Capitolul 5
Transformata Laplace
Cuprins
I. Transformata Laplace
1. Noţiuni fundamentale
2. Proprietăţi ale transformatei Laplace
3. Determinarea originalului când se cunoaşte imaginea
4. Exercitii
II. Aplicaţii ale transformatei Laplace
1. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi
2. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi
3. Rezolvarea ecuaţiilor integrale de tip Volterra
4. Rezolvarea unor ecuaţii cu derivate parţiale
5. Exercitii
I. Transformata Laplace
1. Noţiuni fundamentale
Definiţia 1. Funcţia f : R C se numeşte funcţie original dacă
1. f(t) = 0, t < 0;
2. f este continuă pe porţiuni;
3. () M > 0 şi s0 0 a.î. |f(t)| M ts
e 0 .
Numărul real s0 se numeşte indicele de creştere al funcţiei original. Un exemplu foarte
important de funcţie original este dat de funcţia unitate a lui Heaviside
01
02
1
0,0
)(
t
t
t
t , (1)
care are indicele s0 = 0.
Prima condiţie din definiţia funcţiei original restricţionează foarte mult clasa acestor
funcţii. Această ipoteză a fost impusă de problemele practice în care funcţia f(t) reprezintă o
mărime fizică cu proprietatea că, sau este nulă înainte de momentul iniţial t = 0, sau valorile sale
pentru 0t nu prezintă interes. Funcţiile elementare îndeplinesc condiţiile 2. şi 3., dar nu şi pe
1., adică nu se anulează pentru orice valoare negativă. Dar, acest inconvenient a fost depăşit.
Pentru ca o astfel de funcţie să devină functie original se înmulţeşte cu funcţia unitate )(t , spre
exemplu
f(t) = cos t f(t) )(t
0cos
02
1
0,0
tt
t
t
este funcţie original.
Dar, pentru a nu complica scrierea, notăm şi înainte şi după înmulţire cu acelaşi simbol adică
0cos
02
1
0,0
)(
tt
t
t
tf
.
Propoziţia 1. Fie funcţiile original f(t) şi g(t) şi C. Suma f(t) + g(t) şi produsele f(t)g(t),
f(t) sunt funcţii original.
Definiţia 2. Funcţia F de variabilă complexă definită prin
dtetfsFst
0
)()( , (2)
unde s = x + iy, iar f este funcţie original, se numeşte transformata Laplace a funcţiei f sau
imaginea funcţiei f prin transformata Laplace.
Integrala (2) este absolut convergentă în semiplanul Res = x > s0. Într-adevăr,
ltsxl
tsx
l
tiyx
l
st
l
st
sx
eMdtMedtetfdtetfdtetf
00
)(
0
)(
000)(
)()()(
0
0
lsxe
sx
M )(
0
01
0sx
l
dtetf
st
0
)(
0sx
M
.
Deci, transformata Laplace (2) există în semiplanul Res = x > s0. Ea este un operator prin
care funcţiei original f(t) îi corespunde funcţia imagine F(s) şi o notăm prin )())(( sFtfL sau
)()( sFtf
L
. De asemenea, vom nota funcţiile original cu litere mici f(t), g(t), h(t),… iar
imaginile lor cu literele mari corespunzătoare F(s), G(s), H(s),…
Teorema 1. Funcţia imagine F(s) este olomorfă în semiplanul Res = x > s0 şi
dtettfsFst
0
)()(' .
Exemple. 1. Determinăm imaginea prin transformata Laplace a funcţiei unitate )(t .
Ţinând cont că )(t are s0 = 0, ))(( tL există în semiplanul x > 0. În baza lui (2)
avem,
))(( tL ss
edtedtet
st
stst 1)(
000
,
deoarece xttiyxst
eee
0
x
l
0lim
st
t
e .
2. Funcţia exponenţială t
etf
)( , C, este funcţie original cu
0Re,Re
0Re,0
0
s şi )(
teL
ss
edtedtee
ts
tsstt 1
)(0
)(
0
)(
0
,
Res = x > 0
s Re .
Tema. Care este imaginea prin transformata Laplace a funcţiei original tetf
)( ?
În secţiunea următoare, folosind proprietăţile transformatei Lapace, vom vedea şi alte
posibilităţi de determinare a imaginii F(s) a funcţiei original f(t).
2. Proprietăţi ale transformatei Laplace
Teorema 2. Dacă )())(( sFtfL şi )())(( sGtgL atunci
)()())()(( sGsFtgtfL , , C (3)
Demonstraţie. dtetgdtetfdtetgtftgtfLststst
000
)()()()())()((
)()( sGsF .
Relaţia (3) exprimă faptul că transformata Laplace este un operator liniar. În continuare,
folosind această proprietate vom găsi imaginile prin transformata Laplace a funcţiilor
trigonometrice şi hiperbolice.
Exemple. Determinăm imaginile prin transformata Laplace ale funcţiilor sin t, cos t,
sh t şi ch t, C. Să ne reamintim mai întâi definiţiile funcţiilor
trigonometrice şi hiperbolice:
i
eez
eez
iziz
iziz
2sin
2cos
şi
2
2
zz
zz
eeshz
eechz
.
Aplicându-le transformata Laplace şi ţinând cont de proprietatea de liniaritate a
acesteia şi de )(t
eL
s
1 avem:
)(sin tL
isisieLeL
ii
eeL
titi
titi11
2
1)()(
2
1)
2(
2222
2
ssi
isis;
)(cos tL
isiseLeL
eeL
titi
titi11
2
1)()(
2
1)
2(
2222
2
s
s
s
isis;
)( tshL 22
11
2
1)()(
2
1)
2(
ssseLeL
eeL
tt
tt
;
)( tshL 22
11
2
1)()(
2
1)
2(
ssseLeL
eeL
tt
tt
Tema. Care este imaginea prin transformata Laplace a funcţiei original t
ettf2
452sin3)(
?
Teorema 3. (Teorema deplasării) Dacă )())(( sFtfL atunci
)())((
sFtfeLt
, C. (4)
Demonstraţie. dtetfedtetfsFsttts
00
)()()()(
. Dar )(tfe
t este funcţie original cu
indicele de creştere s0 + Re , unde s0 este indicele de creştere al lui f(t), iar funcţia )( sF
este olomorfă în semiplanul Res = x > s0 + Re . Deci (4) este justificată.
Exemple. Ţinând cont de (4) şi de imaginile funcţilor trigonometrice calculăm:
1. )3sin(2
teLt
2
9
3)3(sin
2
stL
92
3)3sin(
2
2
steL
t .
2. )4cos()1(2)()4cos2(3333
teLLchteLtechteLtttt
3
1)(
2
s
schtL
13
3)(
2
3
s
schteL
t ;
3
16)4(cos
2
s
stL
163
3)4cos(
2
3
s
steL
t ;
sL
2)1(2 .
Deci, 163
32
13
3)4cos2(
22
33
s
s
ss
stechteL
tt .
Tema. Calculaţi )5sin33(23
teetsheLttt
.
Teorema 4. (Teorema întârzierii) Dacă )())(( sFtfL atunci
)())(( 0
0sFettfL
st , 0
0 t (5)
Demonstraţie. 0)(0
ttf pentru 0
tt . Deci
))((0
ttfL dtettfdtettfdtettfdtettf
t
st
t
st
t
stst
00
0
)()()()(00
0
0
0
0.
În ultima integrală, schimbarea de variabilă 0
tt conduce la
))((0
ttfL )()()()( 000
0 00
)(
0sFedefedefdtettf
stsstts
t
st
.
Exemple. Calculăm ))1(3(sin)4(2
t
etL .
2)()(
9
3)3(sin))1(3(sin
4
24)4(2
2
s
eeLeeL
s
etLetL
s
tst
s
s
))1(3(sin)4(2
t
etL =9
3
2
s
es
+2
4
s
es
.
Tema. Calculaţi ))1(5sin)4(2( ttchL .
Teorema 5. (Teorema derivării originalului) Dacă )())(( sFtfL şi derivatele lui f : f’, f’’,…,
f(n)
sunt funcţii original atunci
)0()0(...)0(')0()())(()1()2(21)(
nnnnnn
fsffsfssFstfL , (6)
unde f’ (0), f’’(0),…, f(n)
(0) sunt limitele la dreapta în 0.
Exemple. Cunoaştem imaginea funcţiei f(t )= cos t, )(cos tL 22
s
s şi determinăm
imaginea lui sin t, folosind (6) pentru n = 1.
ttf
fssFtfL
sin)('
)0()())('( 1)sin(
2
s
sstL
22
2
)(sin
stL
22
)(sin
stL .
Tema. Fie f(t)=2sint 5t + e-3t
. Calculaţi ))('( tfL folosind teorema derivării originalului.
Teorema 5. (Teorema derivării imaginii) Dacă )())(( sFtfL atunci
)())(()(
sFtftLnn
. (7)
Cu ajutorul relaţiei (7) vom determina imaginea funcţiei polinomiale tn. Avem
sLsFtf
sFtftLnn
1)1()(1)(
)())(()(
)(
1)(
n
n
stL
1
!)1()()1(
n
n
nn
s
ntL
1
!)(
n
n
s
ntL .
Mai mult, utilizând şi teorema deplasării, obţinem
1
!)(
n
nt
s
nteL
.
Exemple. Calculăm )2cos(3 t
tetttL
.
22
2'
2
'
4
4
4)2(cos)2cos)(()2cos(
s
s
s
stLttLttL . Deci,
2
4
3
22
2
1
1)(
!3)(
4
4)2cos(
steL
stL
s
sttL
t
)2cos(3 t
tetttL
22
2
4
4
s
s
4
!3
s 2
1
1
s.
Tema. Calculaţi )42sin(4232
tetttLt .
Teorema 6. (Teorema de derivare în raport cu parametrul) Dacă ),()),(( sFtfL , în care
este un parametru real, atunci
),()),(( sF
tf
L
. (8)
Vom utiliza teorema de derivare în raport cu parametrul în rezolvarea ecuaţiilor cu
derivate parţiale.
Exemple. Relaţia (8) ne oferă o altă posibilitate de a găsi )(nt
teL şi )(
ntL .
Ştim că
seL
t 1)( . Aplicând (8) considerând pe parametru
'
1)(
steL
t
2
!1)(
steL
t .
Aplicăm din nou (8):
'
2
2 1)(
setL
t
3
2 !2)(
setL
t .
Repetând derivarea în raport cu obţinem,
1
!)(
n
tn
s
netL
.
Din teorema deplasării 1
!)(
n
n
s
ntL .
Tema. Calculaţi )4(475 tt
etetL .
Teorema 7. (Teorema integrării originalului) Dacă )())(( sFtfL atunci
s
sFdfL
t)(
))((
0
. (9)
Integrala
t
df
0
)( dă o nouă funcţie original cu acelaşi indice de creştere ca şi f(t).
Relaţia (9) arată că imaginea sa se obţine împărţind imaginea lui f(t) la s.
Exemple. Determinăm imaginea funcţiei t2
sin . Fie ttf 2sin)( care are imaginea
224
2)2(sin
stL . Un calcul imediat arată că
tt
ddf
ttt
2
000
sin1
2
2cos1
2
2cos2sin)(
. Aplicând (9), avem
22
2
04
2)sin
1())((
sstLdfL
t
22
2
2
4
2)(sin
sstL .
Tema. Fie ttf 5sin)( . Cât este
t
dL
0
)5sin( ?
Teorema 8. (Teorema integrării imaginii) Dacă )())(( sFtfL atunci
.)())(
( dwwFt
tfL
s
(10)
Exemple. Exemple
Determinăm imaginea funcţiei t
tsin.
Într-un exemplu anterior am găsit că 22
)(sin
stL . Aplicând (9), rezultă
sarctg
warctgdw
wt
tL
ss
2
1)
sin(
22.
Tema. Determinaţi )3
(t
tshL .
Observaţia 1. În relaţiile (6), (7), (9), (10) se poate vedea că operaţiile de derivare şi integrare
care se fac asupra funcţiilor original sau imagine conduc la operaţii algebrice.
Imaginile unor funcţii uzuale
f(t) F(s)
1 s
1
te
s
1
tsin 22
s
tcos 22
s
s
tsh 22
s
tch 22
s
s
nt
1
!
ns
n
ntte
1
!
ns
n
Observaţia 2. Aşa cum am văzut, imaginea pin transformata Laplace a funcţiei unitate )(t este
funcţia s
1. Este firesc să punem problema şi invers, există o funcţie care să aibă imaginea prin
transformata Laplace funcţia constantă 1? Răspunsul este afirmativ. Funcţia a cărei imagine este
1 se numeşte funcţia lui Dirac, se notează cu )(t şi are proprietatea că nu se anulează în origine,
adică 0)0( .
3. Determinarea originalului când se cunoaşte imaginea
Se pune acum problema inversă, adică cum se poate determina originalul f(t) când se
cunoaşte imaginea F(s)? Răspunsul este dat de următoarea teoremă:
Teorema 9. ( formula Mellin - Fourier) Dacă f este funcţie original cu indicele de creştere s0, iar
F(s) este imaginea sa, atunci
itatediscontinudepunctc
cfcf
tecontinuitadepunctttf
dsesFi
ia
ia
st
,2
)0()0(
),(
)(2
1
,
unde )(lim)0( xfcf
cx
cx
, )(lim)0( xfcf
cx
cx
şi a > s0.
Formula Mellin-Fourier ne oferă o posibilitate de calcul a originalului când se cunoaşte
imaginea. Însă, de multe ori aceasta poate duce la calcule dificile. De aceea vom prezenta în
continuare şi alte câteva modalităţi de găsire a lui f(t) când F(s) este o funcţie raţională, adică
,)(
)()(
sB
sAsF unde )( sA şi )( sB sunt polinoame.
I. )(
)()(
sB
sAsF se decompune în fracţii simple şi apoi, folosind poprietăţile transformatei
Laplace, se scrie sub forma unei combinaţii liniare de imagini ale funcţiilor uzuale cunoscute.
Exemple. 1. Fie 9
53
3
2)(
2
s
s
ssF . Determinăm originalul f(t).
Deoarece )( sF este descompusă în fracţii simple, formăm combinaţiile liniare de
imagini ale funcţiilor uzuale.
9
3
3
5
93
4
12
9
53
4
2)(
222
ss
s
ss
s
ssF ttetf
t3sin
3
53cos32)(
4
.
2. Fie 54
23)(
2
ss
ssF . Se poate scrie:
.1)2(
14
1)2(
23
1)2(
4)2(3
54
23)(
2222
ss
s
s
s
ss
ssF Ştiind că
12s
s şi
1
1
2s
sunt imaginile funcţiilor cost respectiv, sint şi aplicând teorema deplasării cu
= 2 tetetftt
sin4cos3)(22
.
3. Determinăm originalul lui se
s
ssF
2
29
)(
.
Din tabelul imaginilor uzuale ştim că 9
2s
s este imaginea funcţiei cos3t. Dar în
exerciţiul dat acesta apare multiplicat cu exponenţiala se
2 . Aplicând teorema
întârzierii (relaţia (5)) obţinem ).2(3cos)( ttf
4. Fie )4)(1(
4)(
2
sss
ssF . Descompunem în fracţii simple
41)4)(1(
4)(
22
s
dcs
s
b
s
a
sss
ssF
)1()4()4)(1(422
ssdcssbsssas
is
s
s
2
1
0
)42)(2(42
55
44
idici
b
a
1,0
1
1
dc
b
a
.
4
2
2
1
1
11
4
1
1
11)(
22
ssssss
sF tetft
2sin2
11)( .
Tema. Determinaţi funcţia original a imaginii )4)(1(
)(22
ss
ssF .
II. Determinarea originalului prin intermediul produsului de convoluţie.
Definiţia 3. Operaţia
t
dtgftgf
0
)()( (11)
se numeşte produsul de convoluţie al funcţiilor f şi g.
Teorema 10. (Produsul a două imagini) Dacă )())(( sFtfL şi )())(( sGtgL atunci
)()())(( sGsFtgfL . (12)
Exemple. Fie 11
1)(
2
ss
sF . Determinăm originalul f(t).
Deoarece )( sF este produsul imaginilor 1
1
s şi
1
1
2s
a funcţiilor original te şi
tsin , putem aplica (12) şi avem
11
1sin
2
ss
teLt
tetft
sin)(
Din (11)
t
tdtetetf
0
)sin(sin)( , integrală pe care o calculăm prin
părţi.
tt
t
dtetedtetf
0
0
0
')cos()cos()cos()(
tt
t
t
tdtetetedtete
0
0
0
')sin()sin(cos)sin(cos
)(sincos tfttet
ttetft
sincos2
1)( .
Tema. Folosind produsul de convoluţie, determinaţi funcţia original a imaginii
)9(
3)(
22
ss
sF .
III. Formula Mellin-Fourier în cazul )(
)()(
sB
sAsF se simplifică foarte mult prin aplicarea
teoriei reziduurilor, şi anume avem
Teorema 11. Dacă )(
)()(
sB
sAsF satisface
1. grad A grad B – 2 şi
2. B(s) are rădăcinile sk multiple de ordinul mk, ( gradBm
p
k
k
1
), atunci
p
k
k
stsesFreztf
1
)()()( . (13)
Exemple. Fie
11
42)(
2
2
ss
sssF . Determinăm originalul f(t) cu formula (13).
Avem 42)(2
sssA şi 11)(2 sssB . B(s) are rădăcinile simple
11
s şi is 3,2
. Conform cu (III.2.12)
)()()()()1()()( iesFreziesFrezesFreztfststst
.
.2
7
211
42
11
42)1()(
1
2
2
1
'2
2
t
s
st
s
st
ste
sss
ess
ss
essesFrez
is
st
is
st
st
sss
ess
ss
essiesFrez
211
42
11
42)()(
2
2
'2
2
.4
5
)1(2
23itit
ei
i
ei
is
st
is
st
st
sss
ess
ss
essiesFrez
211
42
11
42)(
2
2
'2
2
.4
5
)1(2
)23(itit
ei
i
ei
Deci,
tteeiei
etft
itit
tsin
2
1cos
2
5
2
7
4
5
4
5
2
7)(
.
Tema. Cu reziduuri, găsiţi funcţia original a imaginii
)4)(1(
72)(
2
2
ss
sssF .
4. Exerciţii
1. Determinaţi:
a) )5sin23cos(32
teteLtt
; b) )42cos(32
tetttLt
;
c) )(t
tshL
; d) )2(cos
32ttL .
2. Găsiţi funcţiile original ale imaginilor
a) 4
2
9
2)(
2
ss
ssF ;
b) 106
73)(
2
ss
ssF ;
c) )(4
1)(
32
2
ssseee
ssF
;
d) )4)(2)(2(
1)(
2
sss
sF .
II. Aplicatii ale transformatei Laplace
1. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi
Considerăm problema Cauchy relativă la ecuaţia diferenţială de ordinul n, liniară cu
coeficienţi constanţi
10
)1(
10
00
01
)1(
1
)(
)(
......................
)('
)(
)()()('...)()(
n
n
n
n
n
n
yty
yty
yty
tftyatyatyatya
(1)
unde ai R, i=0,…,n, an 0 şi f : R R este funcţie continuă, iar t0, y1, …, yn-1 sunt numere
date.
Presupunem că funcţia necunoscută y(t), derivatele sale y’(t), y’’(t),..., y(n)
(t) şi termenul
liber f(t) sunt funcţii original şi notăm cu Y(s) şi F(s) imaginile prin transformata Laplace ale
funcţiilor y(t) respectiv, f(t), adică
)(:))(( sYtyL şi )(:))(( sFtfL .
Ţinând cont liniaritatea lui L, aplicăm transformata Laplace ecuaţiei diferenţiale din
problema Cauchy (1) şi obţinem
)()()('...)()(01
)1(
1
)(sFsYatyLatyLatyLa
n
n
n
n
. (2)
Formula de derivare a originalului, aplicată ecuaţiei (2) cu condiţiile iniţiale din problema
Cauchy (1), conduce la o ecuaţie algebrică în necunpscuta Y(s):
121
2
0
1...)(
nn
nnn
nysyysyssYsa
+ 230
21
1...)(
nn
nn
nysyyssYsa
+…+ 01
)( yssYa + )()(0
sFsYa .
echivalentă cu
)(...01
1
1sYasasasa
n
n
n
n
)(.........01230
2
1121
2
0
1sFyaysyysaysyysysa
nn
n
nnn
nn
n
.
(3)
Cu notaţiile
01230
2
1121
2
0
1
1.........:)( yaysyysaysyysysas
nn
n
nnn
nn
nn
01
1
1...:)( asasasasP
n
n
n
nn
,
(3) devine
)()()()(1
ssFsYsPnn
şi de aici,
)(
)()()(
1
sP
ssFsY
n
n
.
Deoarece Y(s) este o funcţie raţională, originalul său y(t) se determină prin descompunere
în fracţii simple sau prin intermediul produsului de convoluţie sau prin teorema 10.
Exemple. Rezolvăm problema Cauchy
0)0(',0)0(
2sin2cos4'4''
yy
ttyyy.
Aplicând transformata Laplace ecuaţiei
)2(sin)2(cos))((4))('(4))(''( tLtLtyLtyLtyL .
Dar,
4
2)2(sin
4)2(cos
)()0()())('(
)()0(')0()())(''(
)(:))((
2
2
22
stL
s
stL
ssYyssYtyL
sYsysysYstyL
sYtyL
4
2
4)(4)(4)(
22
2
ss
ssYssYsYs
24
1)(
2
ss
sY .
Determinăm originalul y(t) decompunându-l pe Y(s) în fracţii simple,
2424
1)(
22
s
c
s
bas
sssY 421
2 scsbas .
is
s
2
2
baiba
c
24241
81
4
1,
8
1
8
1
ba
c
tettty
sss
ssY
2
222sin2cos
8
1)(
2
1
4
2
48
1)(
.
Tema. Rezolvaţi problema Cauchy
1)0(',0)0(
sin''
yy
etyyt
.
În continuare vom rezolva cu transformata Laplace şi o ecuaţie liniară cu coeficienţi variabili.
Exemple. Rezolvăm problema Cauchy
1)0(',0)0(
'2''2
yy
tyty.
Aplicând transformata Laplace ecuaţiei
)())('(2))(''(2
tLtyLttyL .
Notam )(:))(( sYtyL . Pentru ))(''( ttyL aplicăm teorema de derivare a imaginii
(relaţia (7)):
)())((
1)()0(')0()())(''(
)(
22
sFtftL
sYsysysYstyL
nn
)(')(21)())(''())(''())(''(2'2'
sYsssYsYstyLttyLttyL .
3
2 2)(
)()0()())('(
stL
ssYyssYtyL
Înlocuite în ecuaţie, conduc la
3
2 2)(2)(')(2
sssYsYsssY
3
2 2)('
ssYs
5
2)('
ssY . Prin
integrare, cdss
sY 5
2)( c
ssY
42
1)( şi de aici, orginalul său este
)(12
1)(
3tctty . Din condiţia 0)0( y )0()0( cy .
Dar 0)0( c = 0. Deci, 3
12
1)( tty .
Tema. Rezolvaţi problema Cauchy
0)0(')0(
1'2''
yy
tyty.
2. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi
Considerăm problema Cauchy relativă la sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi,
liniare cu coeficienţi constanţi
0
0
0
202
0
101
2211
222221212
112121111
)(,....,)(,)(
)()(...)()()('
................
)()(...)()()('
)()(...)()()('
nn
nnnnnnn
nn
nn
ytyytyyty
tgtyatyatyaty
tgtyatyatyaty
tgtyatyatyaty
, (4)
unde aij R,( i = 1,…,n, j = 1,…,n,), gi(t), i = 1,…,n, sunt funcţii continue, iar 00
2
0
10,...,,,
nyyyt
sunt numere date.
Presupunem că funcţiile necunoscute y1(t), y2(t),…, yn(t) şi derivatele de ordinal întâi ale
acestora sunt funcţii original.
Procedeul de rezolvare a problemei Cauchy (4) prin intermediul transformatei Laplace
este acelaşi ca la problema Cauchy (1), cu menţiunea că la problema (4) se aplică transformata
Laplace fiecărei ecuaţii a sistemului. Se obţine astfel, un sistem algebric liniar.
Exemple.
1. Rezolvăm problema Cauchy
0)0(,0)0(
'
'3
yx
exy
eyx
t
t
.
Aplicăm transformata Laplace fiecărei ecuaţii a sistemului
t
t
eLtxLtyL
eLtyLtxL
)()('
)()('3
.
Cu notaţiile )(:))(( sXtxL şi )(:))(( sYtyL şi cu formula de derivare a
originalului avem
)()0()())('(
)()0()())('(
ssYyssYtyL
ssXxssXtxL
.
Deci, obţinem sistemul algebric liniar în necunoscutele X(s) şi Y(s)
1
1)()(
3
1)()(
sssYsX
ssYssX
2
2
13
3)(
13
1)(
ss
ssY
ss
ssX
.
Determinăm originalele funcţiilor X(s) şi Y(s) cu teorema 10. prin care calculul
originalelor x(t) şi y(t) se reduce la calculul unor reziduuri în 31
s (rădăcină
simplă) şi 13,2s (rădăcină multiplă de ordinul 2). Avem
)1()()3()()(
)1()()3()()(
stst
stst
esYrezesYrezty
esXrezesXreztx
'
2
2
132
'
2
2
132
13
11lim
!1
1|
1321
1)(
13
31lim
!1
1|
1321
3)(
st
ss
st
st
ss
st
ess
ss
sss
esty
ess
ss
sss
estx
'
21
3
21
3
3
1311lim
16
2)(
3
3331lim
16
6)(
st
s
t
st
s
t
es
sstsety
es
sstsetx
ttt
ttt
teeety
teeetx
2
1
8
1
8
1)(
2
1
8
3
8
3)(
3
3
.
2. Rezolvăm sistemul omogen
zyxz
zyxy
zyxx
'
'
'
cu condiţiile iniţiale
0)0( x , 1)0( y , 1)0( z .
Notând )(:))(( sXtxL , )(:))(( sYtyL , )(:))(( sZtzL
1)()0()())('(
1)()0()())('(
)()0()())('(
ssZzssZtzL
ssYyssYtyL
ssXxssXtxL
.
Aplicăm transformata Laplace fiecărei ecuaţii a sistemului:
)()()(1)(
)()()(1)(
)()()()(
sZsYsXssZ
sZsYsXssY
sZsYsXssX
1)(1)()(
1)()(1)(
0)()()(1
sZssYsX
sZsYssX
sZsYsXs
cu soluţia
12
1)()(
12
2)(
ss
ssZsY
sssX
sau descompuse în fracţii simple
1
1
3
2
2
1
3
1)()(
1
1
3
2
2
1
3
2)(
sssZsY
sssX
cu originalele
tt
tt
eetzty
eetx
3
2
3
1)()(
3
2
3
2)(
2
2
,
adică soluţia sistemului cu condiţiile iniţiale date.
Tema.
Rezolvaţi problema Cauchy
1)0()0(
'
'
yx
exy
tyx
t .
În aplicaţii, mai ales în cazul modelelor din mecanică, se întâlnesc sisteme care nu sunt
de ordinul întâi. Pentru a vedea cum se procedează în astfel de situaţii, considerăm exemplul
unui sistem de ordinul doi, cu funcţiile necunoscute x(t) şi y(t).
Exemple.
Rezolvăm problema Cauchy
3)0(',2)0(
1)0(',0)0(
02'''
''''
yy
xx
yyx
eyxxt
.
Aplicăm transformata Laplace fiecărei ecuaţii a sistemului
0)(2)('')('
)(')(')(''
tyLtyLtxL
eLtyLtxLtxLt
.
)(:))(( sXtxL şi )(:))(( sYtyL şi din formula de derivare a originalului
32)()0(')0()())(''(
2)()0()())('(
1)()0(')0()())(''(
)()0()())('(
22
22
ssYsysysYstyL
ssYyssYtyL
sXsxsxsXstxL
ssXxssXtxL
.
Obţinem tot un sistem algebric, liniar în necunoscutele X(s) şi Y(s)
32)(2)(
1
1)()(1
2ssYsssX
ssYsXs
21
32)(
21
1)(
ss
ssY
sssX
.
Determinăm originalul x(t) al funcţiei X(s) prin intermediul produsului de
convoluţie (11) şi a formulei (12):
)*(
21
1)(
2 tteeL
sssX
tt
eetx2
*)(
ttt
t
t
t
t
teeededeetx
2
0
2
0
2
0
)(2)(
.
Pentru a-l găsi pe y(t), descompunem pe Y(s) în fracţii simple:
2121
32)(
s
b
s
a
ss
ssY 1232 sbsas
2
1
s
s
1
1
b
a
2
1
1
1)(
sssY
tteety
2)( .
Deci, soluţia problemei Cauchy este
tt
tt
eety
eetx
2
2
)(
)(.
Tema.
Rezolvaţi problema Cauchy
1)0(
2)0(',0)0(
3'''
''
2
2
y
xx
eyx
eyxyx
t
t
.
3. Rezolvarea ecuaţiilor integrale de tip Volterra
În limbaj general, o ecuaţie se numeşte ecuaţie integrală dacă funcţia necunoscută apare
sub semnul integral. Spre exemplu, o ecuaţie de forma
t
tfdtgyty
0
)()()()( , t > 0, (5)
unde , , R, f, g sunt funcţii reale date, iar y(t) este funcţia necunoscută, este o ecuaţie
integrală de tip Volterra.
Ne propunem să rezolvăm ecuaţia (5) folosind transformata Laplace. De aceea,
presupunem că funcţiile f, g şi y sunt funcţii original cu imaginile )(:))(( sFtfL ,
)(:))(( sGtgL şi )(:))(( sYtyL .
Ecuaţia (5) se poate scrie sub forma
)()()( tftgyty , t > 0. (6)
Aplicând acum transformata Laplace ecuaţiei (III.3.6) rezultă )(
)()(
sG
sFsY
.
Originalul lui Y(s) este soluţia ecuaţiei (5).
Exemple. Rezolvăm ecuaţia de tip Volterra
.0,1)(2)()()(2
0
2 tttdyttty
t
.
Aplicăm ecuaţiei transformata Laplace
1)2(*)()(22
ttLtttyLtyL .
)(:))(( sYtyL şi din tabelul imaginilor funcţiilor uzuale avem
.1
2!1!2
)2(
;1!1!2
)1(
23
2
23
2
sssttL
sssttL
Înlocuind în ecuaţie ssssss
sYsY1!1!21
2!1!2
)()(2323
3
2
3
23222
)(s
ss
s
ssssY
)1)(2)(1(
)2)(1()(
sss
sssY .
Deci, .)(1
1)(
tety
ssY
Tema. Rezolvaţi ecuaţia .0,3cos)(3sin)()(
0
tttdtyty
t
Vom rezolva în continuare şi un sistem de ecuaţii integrale:
Exemple. Rezolvăm sistemul integral
0,
))((4)(4)(
)()(21)(
0
2
0
12
0
2
0
)(2
11
t
dtydytty
dydeyty
tt
tt
t
.
Aplicăm fiecărei ecuaţii transformata Laplace
ttyLtyLtLtyL
tyLetyLLtyLt
*)(41*)()(4)(
1*)(*)(2)1()(
212
2
2
11 .
Notăm )(:))((11
sYtyL şi )(:))((22
sYtyL şi obţinem
22122
211
1)(4
1)(
4)(
1)(
2
1)(2
1)(
ssY
ssY
ssY
ssY
ssY
ssY
22
2
21
21
44)(
1)(
11)(
2)(
ss
ssY
ssY
sssY
s
ssY
1
1
9
8
2
1
9
8
1
1
3
1)(
1
1
1
1)(
22
21
ssssY
sssY
ttt
tt
eetety
teety
9
8
9
8
3
1)(
)(
2
2
1
.
Tema. Rezolvaţi sistemul integral
0,
)(4)(1)(
)()(2)(
0
2
0
)(
12
0
2
0
11
t
dydeyty
deydyety
tt
t
t
t
t
t
.
O ecuaţie integro-diferenţială este o ecuaţie integrală în care apar şi derivatele până la un
anumit ordin ale funcţiei necunoscute. O metodă de rezolvare a unei astfel de ecuaţii este
calculul operaţional cu transformata Laplace.
Exemple. Rezolvăm ecuaţia integro-diferenţială
0,)(')(''2
0
)(2
tedeyty
t
t
t
cu condiţiile iniţiale 0)0(')0( yy .
Fie )(:))(( sYtyL şi aplicând ecuaţiei transformata Laplace
tteLetyLtyL
22*)(')('' tt
eLeLtyLtyL22
)(')('' .
Deoarece
)()0(')0()())(''(22
sYsysysYstyL ;
)()0()())('( ssYyssYtyL şi 2
12
seL
t , ecuaţia devine
2
1
2
1)()(
2
ssssYsYs
22)1(
1
1
11
)1(
1)(
ssssssY
.1)(tt
teety
Tema. Rezolvaţi ecuaţia
0,)()(')()()()(''
00
tchtdtchydtshytyty
tt
cu condiţiile iniţiale 0)0(')0( yy .
4. Rezolvarea unor ecuaţii cu derivate parţiale
Fie u(x,t) o funcţie de două variabile independente x şi t. x
txu
),(,
t
txu
),(,
2
2),(
x
txu
,
2
2),(
t
txu
,
tx
txu
),(2
sunt derivatele de ordinul întâi şi al doilea ale funcţiei u(x,t) în raport cu x
şi t pe care, le presupunem continue pe R2.
Definiţia 1. O relaţie de forma
0),(
,),(
,),(
,),(
,),(
,,,2
22
2
2
t
txu
tx
txu
x
txu
t
txu
x
txuutxF , (7)
unde F : D R7 R, se numeşte ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul al doilea.
Consideram ecuatia
),()()()()()(2
2
2
2
txfuxt
ux
t
ux
x
ux
x
ux
, (8)
care este o ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul al doilea liniară.
Ecuaţiile de forma (8) modelează diverse fenomene, spre exemplu dacă
0 şi , constante reale (8) este ecuaţia coardei vibrante. Insă aceste fenomene
au loc în anumite condiţii. Se poate vorbi de trei categorii de condiţii şi anume:
1. condiţii iniţiale care se referă la variabila temporală t.
dacă 0 şi 0 , adică este de ordinul întâi în raport cu t, atunci avem doar o
condiţie iniţială )(),(0
xtxu .
dacă 0 , adică este de ordinul al doilea în raport cu t, atunci vor fi două condiţii
iniţiale )(),(0
xtxu şi )(),(0
xtxt
u
.
2. condiţii la limită care se referă la variabila spaţială x. Acestea se exprimă prin funcţii de
variabile x şi t şi au loc la orice moment 0t în anumite puncte de pe frontiera
domeniului unde se produce fenomenul.
3. condiţii mixte care sunt condiţii iniţale şi la limită.
Observaţia 3. Ecuaţia (8) cu condiţii iniţiale formează o problemă Cauchy.
Prin intermediul transformatei Laplace, vom determina soluţia ecuaţiei (8) în domeniul
0,0),(: tlxtxD cu condiţiile mixte:
lxxx
t
u
xxu
,0,)()0,(
)()0,(
şi (9)
0,
)(),(),(),(
)(),0(),0(),0(
222
111
t
thtluCtlt
uBtl
x
uA
tgtuCtt
uBt
x
uA
, (10)
unde 222111
,,,,, CBACBA sunt constante reale.
Presupunem că:
- funcţiile ,,,, sunt continue pe l,0 ;
- g(t) şi h(t) sunt funcţii original;
- ),( txf , 2
2),(
,),(
),,(x
txu
x
txutxu
sunt de asemenea funcţii original în raport cu t, lx ,0 .
Fie )(:)( tgLsG , )(:)( thLsH , ),(:),( txfLsxF şi ),(:),( txuLsxU .
Aplicăm transformata Laplace ecuaţiei (8) şi condiţiilor la limită (10). Din proprietatea de
liniaritate şi din faptul că ,,,, nu depind de t, iar 222111
,,,,, CBACBA sunt constante
reale, avem
),()),(()),(()),(()),(()),((2
2
2
2
txfLtxuLtxt
uLtx
t
uLtx
x
uLtx
x
uL
;
)()),(()),(()),((
)()),0(()),0(()),0((
222
111
thLtluLCtlt
uLBtl
x
uLA
tgLtuLCtt
uLBt
x
uLA
.
(11)
În baza teoremei de derivare a originalului şi a condiţiilor iniţiale (III.3.9), rezultă
)(),()0,(),()),(( xsxsUxusxsUtxt
uL
;
)()(),()0,()0,(),()),((22
2
2
xxssxUsxt
uxsusxUstx
t
uL
.
)0(),0()0,0(),0()),0((
ssUussUt
t
uL ;
)(),()0,(),()),(( lslsUluslsUtlt
uL
.
Pe de altă parte, din teorema de derivare în raport cu parametrul rezultă
),()),(( sxx
Utx
x
uL
;
),()),((2
2
2
2
sxx
Utx
x
uL
;
),0()),0(( sx
Ut
x
uL
, ),()),(( sl
x
Utl
x
uL
.
Cu aceste relaţii, (III.3.11) devine
)(),()(),(),(
)(),0()0(),0(),0(
),(),()(),(
)()(),(),(),(
222
111
2
2
2
sHslUClslsUBslx
UA
sGsUCssUBsx
UA
sxFsxUxsxsU
xxssxUssxx
Usx
x
U
,
echivalent cu
)()(),(),(
)0()(),0(),0(
),()()()(
2222
1111
2
2
2
lBsHslUCsBslx
UA
BsGsUCsBsx
UA
sxFxxxsUssx
U
x
U
.
Variabila funcţiei U este doar x, iar pe s îl privim ca pe un parametru, fapt care ne permite să
scriem
),()()()(2
2
2
sxFxxxsUssdx
dU
dx
Ud ,
care este o ecuaţie diferenţială ordinară liniară cu coeficienţi variabili (funcţii de x) cu condiţiile
)()(),(),(
)0()(),0(),0(
2222
1111
lBsHslUCsBsldx
dUA
BsGsUCsBsdx
dUA
.
Rezolvând această problemă se obţine soluţia U(x,s) în mulţimea imaginilor. Originalul funcţiei
U(x,s) este u(x,t), adică soluţia ecuaţiei (8) cu condiţiile mixte (9), (10).
Exemple. 1. Rezolvăm ecuaţia
xexu
ttt
u
x
u
)0,(
0,2cos2.
Fie ),(:),( txuLsxU în care s este variabilă, iar x parametru. Aplicând
transformata Laplace ecuaţiei rezultă
tLtxt
uLtx
x
uL 2cos)),((2)),((
.
Dar,
xesxsUxusxsUtx
t
uL
),()0,(),()),(( ;
),()),(( sxx
Utx
x
uL
;
4)2(cos
2
s
stL conduc la
4
),(2),(2
s
sesxsUsx
x
U x
4
2),(2),(2
s
sesxsUsx
x
U x ,
ecuaţie în care x este variabilă iar s este parametru. Deci putem scrie
4
222
s
sesU
dx
dU x , (12)
care este o ecuaţie liniară de de ordinul întâi în funcţia necunoscută U de variabilă
x, s fiind parametru.
I. Rezolvăm ecuaţia liniară omogenă ataşată:
02 sUdx
dU sdx
U
dU2 sdx
U
dU2 sx
ceU2
care este soluţia
generala a ecuaţiei omogene ataşate.
II. Aplicăm metoda variaţiei constantei, adică căutăm soluţii ale ecuaţiei
(12) de forma sx
excsxU2
)(),( .
sxsxexscexc
dx
dU 22)(2)('
42)('
2
2
s
seexc
xsx
4
2)('2
2)21(
s
seexc
sxsx
)(
42)('
2
2)21(sKdx
s
seexc
sxsx
)(4
1
2
1
2
1
1)(
2
2)21(sK
se
s
excsxsx
.
Deci,
sxexcsxU
2)(),( = )(
4
1
2
1
2
1
1 2
2sKe
ss
esxx
,
adică soluţia ecuaţiei date în mulţimea imagine. Originalul este
)2(2sin4
1),( 2
1
xtktetxuxt
.
Mai trebuie să determinăm funcţia )2( xtk . Din condiţia xexu )0,(
)2( xkeexx xxk ,0)2( 0)2( xtk .
Deci, soluţia ecuaţiei date este
tetxuxt
2sin4
1),( 2
1
.
2. Rezolvăm ecuaţia
0),(),0(
2sin3)0,(
sin)0,(
3sin22
2
2
2
tutu
xxt
u
xxu
xx
u
t
u
, ,0x , 0t .
În problema dată
xxt
u
xxu
2sin3)0,(
sin)0,(
sunt condiţii iniţiale, iar 0),(),0( tutu
sunt condiţii la limită.
Fie ),(:),( txuLsxU de variabilă s şi parametru x. Aplicând transformata
Laplace ecuaţiei şi condiţiilor la limită rezultă
13sin2)),(()),((2
2
2
2
xLtxx
uLtx
t
uL
0),(),0( tuLtuL
Dar,
0),(),0( tuLtuL 0),(),0( sUsU .
xxssxUsxt
uxsusxUstx
t
uL 2sin3sin),()0,()0,(),()),((
22
2
2
;
),()),((2
2
2
2
sxx
Utx
x
uL
;
Aşadar, avem de rezolvat în mulţimea imagine, problema
0),(),0(
3sin2
2sin3sin2
2
2
sUsU
xs
xxsUsdx
Ud
. (13)
I. Ecuaţiei omogene ataşate 02
2
2
Usdx
Ud îi asociem ecuaţia caracteristică
022 sr cu soluţiile sr
2,1 soluţia generală
sxsxececsxU
21
),( .
II. Căutând o soluţie prticulară de forma:
xxxxxxsxUp
3sin3cos2sin2cossincos),(332211
0321 ,
121
s
s ,
4
3
22
s ,
9
1
9
2
23
s
s
s .
Deci xs
s
sx
sx
s
ssxU
p3sin
9
1
9
22sin
4
3sin
1),(
222
şi atunci
soluţia generală a ecuaţiei din problema (13) este
xs
s
sx
sx
s
sececsxU
sxsx3sin
9
1
9
22sin
4
3sin
1),(
22221
.
Impunând condiţiile 0),(),0( sUsU
0
0
21
21
ssecec
cc 0
21 cc
soluţia problemei date în mulţimea imagine este
xs
s
sx
sx
s
ssxU 3sin
9
1
9
22sin
4
3sin
1),(
222
cu originalul
txtxtxtxu 3cos13sin9
22sin2sin3cossin),( .
Tema. Rezolvaţi ecuaţia
2
1)0,(
0,3sin2
xxu
ttt
u
x
u
.
5. Exercitii
1. Rezolvaţi problemele Cauchy
a)
2)0(',0)0(
24sin'2''
yy
eetyyytt
b)
1)0(',0)0(,2
1)0(
2cos2'''2
02'
yyx
ttyx
yxy
2. Rezolvaţi
a) .0,3sin2cos2)(2sin)()(
0
ttttdtyty
t
b) 0,
)())(()(
)()()(
0
2
0
12
0
2
0
11
t
dydtytty
deydyety
tt
t
t
t
t
c) 0,)()(')()()()(''
00
tchtdtchydtshytyty
tt
,
0)0(')0( yy .
d)
xxu
tet
u
x
u t
)0,(
0,1.
