Demonstraţie: Cum este convergentă, atunci pentru ∀ M > 0, şi ( )a

g x dx∞

∫

( )a

Mg x dx∞

∫ (= M ) este convergentă. Astfel, după criteriul de

comparaţie cu inegalităţi (teorema VII.11), ipoteza | f (x) | ≤ Mg(x), ∀ x ≥ a

implică faptul că

( )a

g x dx∞

∫

( )a

f x dx∞

∫ este convergentă. Deci ( )a

f x dx∞

∫ , (conform

definiţiei), este absolut convergentă. Pentru ∀u>a, luând ( )( )u

a

F u f x d= ∫ x ,

şi folosind o proprietate cunoscută de la integrala

definită, avem:

( )( )u

a

G u g x dx= ∫

( ) ( ) ( )( ) ( )u u u u

a a a a

F u f x dx f x dx Mg x dx M g x dx= ≤ ≤ =∫ ∫ ∫ ∫ , şi treând la

limită pentru u → ∞ se obţine inegalitatea respectivă.

Fie f : [a, ∞) →R local integrabilă şi de semn oarecare (adică f nu

are semn constant pe [a, ∞)). Convergenţa integralei improprii ( )a

f x dx∞

∫

poate fi caracterizată prin teorema VII.7 (Criteriul lui Cauchy). În plus,

cum | f | ≥ 0 pe [a, ∞), dacă ( )a

f x dx∞

∫ este convergentă, atunci ( )a

f x dx∞

∫

este absolut convergentă, deci este şi convergentă după consecinţa VII.2.

Convergenţa absolută a ( )a

f x dx∞

∫ se cercetează cu criteriile de comparaţie

şi consecintele lor, criteriul integral al lui Cauchy şi consecintele sale.

554

Pentru a cerceta simpla convergenţă (semiconvergenţa) vom indica criterii

analoage cu: criteriile Abel – Dirichlet şi Leibniz pentru serii numerice cu

termeni oarecare.

Teorema VII.17 (Criteriul Abel – Dirichlet)

Fie f , g: [a, ∞) →R local integrabile. Dacă sunt îndeplinite condiţiile:

555

) |

1°) f este continuă şi are o primitivă mărginită F pe [a, ∞)

( sup | (x a

M F x≥

= );

2°) g∈C1([a, ∞)) şi g este monoton descrescătoare cu atunci lim ( ) 0x

g x→∞

=

( ) ( )a

f x g x dx∞

∫ este convergentă.

Demonstraţie: Fie f ∈ C0([a, ∞)) şi g∈C1([a, ∞))⇒ f g∈ C0([a, ∞))

şi atunci fg este integrabilă pe orice compact [a, u] ⊂ [a, ∞). Fie pentru

∀u > a, funcţia şi în ipotezele teoremei se poate

aplica integrarea prin părţi:

( ) ( )( )u

a

H u f x g x dx= ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

.

u u uu

aa a a

u

a

H u f x g x dx g x F x dx g x F x F x g x dx

g u F u g a F a F x g x dx

′= = = −

′= − −

∫ ∫ ∫

∫

=

Cum ( ) 0, [ , )g x x a≥ ∀ ∈ ∞ şi F este mărginită, avem:

( ) ( ) ( ) ,g u F u Mg u u a≤ ∀ ≥ .

Dacă g este monoton descrescătoare atunci

( ) ( ) ( )0, [ , ) şi , [ , )g x x a g x g x x a′ ′ ′≤ ∀ ∈ ∞ = − ∀ ∈ ∞ . În aceste condiţii

avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) este mărginită. Cum

u u u u

a a a a

u

a

F x g x dx F x g x dx M g x dx M g x dx

M g a g u Mg a F x g x dx Fg

′′ ′ ′≤ ≤ = −

′ ′= − ≤ ⇒

∫ ∫ ∫ ∫

∫

=

este mărginită şi crescătoare, rezulta că există

( ) ( ) ( ) ( )limu

ua a

F x g x dx F x g x dx∞

→∞′ ′= ∈∫ ∫ R.

Astfel, ( ) ( )a

F x g x dx∞

′∫ este convergentă, deci ( ) ( )a

F x g x dx∞

′∫ este absolut

convergentă.

În final, există:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) lim adică u

u ua a a

H u f x g x dx f x g x dx f x g x dx∞ ∞

→∞ →∞= = ∈∫ ∫ ∫R,

este convergentă.

Observaţie

1] Criteriul Abel – Dirichlet poate fi demonstrat şi în alte condiţii mai puţin

restrictive folosind teorema a doua de medie din Calculul Integral.

Criteriul lui Abel – Dirichlet (alt enunţ echivalent)

Fie f , g: [a, ∞) →R local integrabile. Dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1°) Integrala ( )a

f x dx∞

∫ are integralele parţiale mărginite:

556

( ) ,u

a

f x dx M u a≤ ∀ >∫ .

2°) g este monoton decrescătoare şi

este convergentă.

( ) ( ) ( )lim 0, atunci x

a

g x f x g x dx∞

→∞= ∫

Consecinţa Criteriului Abel - Dirichlet.

Fie f , g: [a, ∞) →R local integrabile. Dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1°) ( )a

f x dx∞

∫ este convergentă;

2°) g este monoton descrescătoare şi mărginită (adică ∃ )

atunci

lim ( )x

g x l→∞

= ∈R

( ) ( )a

f x g x dx∞

∫ este convergentă.

Funcţia f: [a, ∞) →R, local integrabilă, are prin definiţie, semn alternant

pe [a, ∞), dacă există un şir ( ) 0n na

≥⊂ R cu 0 1 ... ...na a a a= < < < < şi

, astfel încât f are semn constant pe fiecare interval lim nna

→∞= +∞

( ) ( ) ( )1 1 2 1, , , ,..., , ,...n na a a a a a− şi semnele respective se schimbă alternant:

(+, -, +, -, ...) sau (-, +, -, +, ...).

Teorema VII.18 (Criteriul de tip Leibniz)

Fie f: [a, ∞) → R local integrabilă, de semn alternant pe [a, ∞) şi şirul

⊂ R. Dacă ( ) ( )1

0,

n

n

a

n na

b f x dx b+

≥= ∫ n ( ) 0n n

b≥

tinde monoton descrecător la

zero ( lim 0nnb

→∞= ), atunci ( )

a

f x dx∞

∫ este convergentă.

557

Demonstraţie: Şirul ( ) 0n na

≥⊂ R este crescător, cu şi

deci, ∀ u >a, ∃ n∈N a. î.

lim nna

→∞= +∞

1na u an+≤ < (în mod unic). Atunci:

( ) ( ) ( ) ( )11

0 0

k

k n n

au un n

kk ka a a a

u

f x dx f x dx f x dx b f x dx+−

= =

= + = +∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ .

Funcţia f are semn constant pe ∀( )1,n na a + şi pe ( ),na u . Astfel avem:

( ) ( ) ( )1

. Cum lim 0n

n n n

au u

n na a a

f x dx f x dx f x dx b b+

→∞≤ ≤ =∫ ∫ ∫ n = rezultă că

( )lim 0n

u

na

f x dx→∞

=∫ . Aşadar, seria numerică satisface

criteriul Leibniz pentru serii numerice alternate, fiind deci o serie

convergentă. În aceste condiţii, există limita finită şi

deci

( )11

0 0

k

k

an n

kk k a

b f x+−

= =

=∑ ∑ ∫ dx

( )limu

ua

f x dx→∞

∈∫ R

( )a

f x dx∞

∫ este convergentă.

Exemple:

1°. ( ) ( )0

sin sin,cu f : 0,x xdx f xx x

∞∞ → =∫ R, .

Deoarece există 0

sinlim 1x

xx→

= , se poate prelungi prin continuitate funcţia f,

în x = 0, prin: ( )sin ; (0,1

0; 0

x xf x x

x

⎧ ∈⎪= ⎨⎪ =⎩

% ].

558

Avem:1

1 20 0 1

sin sin sin , cu x x xdx dx dx I I fx x x

∞ ∞

= + = +∫ ∫ ∫ % continuă pe [0, 1] şi,

asfel, 1

10

sin xI dxx

= ∫ este convergentă. Convergenţa integralei

21

sin xI dxx

∞

= ∫ se obţine folosind consecinţa criteriului Abel – Dirichlet

(din 2]), unde ( ) sinf x x= 1şi ( )g xx

= satisfac condiţiile 1°) şi 2°).

Astfel: 1

( ) sin cos1 cos 2, 1 u

F u xdx u u= = − ≤ ∀ >∫1iar ( )g xx

= este

descrescătoare, cu lim ( ) 0x

g x→∞

= . Prin urmare, 2 1

sin xI dxx

∞= ∫ este

convergentă. Din convergenţa integralelor 1

0 1

sin sin şi x xdx dxx x

∞

∫ ∫ , după

teorema de reducere, rezultă că 0

sin x dxx

∞

∫ este convergentă.

2°. 0

sin ,cu 0x dxx

∞

α α >∫ . Folosind criteriul Abel – Dirichlet (teorema VII.7)

cu ( ) sinf x x= şi 1( )g xxα= , se constată că sunt îndeplinite condiţiile 1),

2) şi 3).

În consecinţă, 0

sin x dxx

∞

α∫ este convergentă, (semiconvergentă) pentru

α<2.

559

3°. ( )2

2

1 şi (ln ) lnn

dxn n x x

∞ ∞

αα=∑ ∫ au aceeaşi natură. Seria

2

1 (ln )n n n

∞

α=∑ , după

criteriul de condensare al lui Cauchy, are aceeaşi natură cu seria

( )2 2

1 12ln 22 ln 2

nnn n n

α∞ ∞

α α

⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑ 1 ,⎟⎟∑ care este convergentă pentru α >1 şi

divergentă pentru α ≤ 1. Astfel, ( )2

lndx

x x

∞

α∫ este convergentă pentru

α >1 şi divergentă pentru α ≤ 1.

4° 2

7 20 2 3 2 1x dx

x x x∞

+ − +∫ (convergentă, după criteriul în α, cu α = 5).

5°. 31

ln1

x dxx

∞

+∫ (convergentă, după criteriul în α, cu α = 2).

6°. 0

xxe dx∞ −∫ (convergentă ∀α >1; lim 0, 1x

xx xeα −

→∞∃ = ∀α > ).

7°. 41 1

xe dxx

∞

+∫ (divergentă; 4lim ( ) lim1

x

x x

x ex f xx

αα

→∞ →∞= = ∞

+, pentru α = 1).

3. Metode de calcul pentru integrale improprii

Definiţia convergenţei unei integrale improprii (prin existenţa

limitei în R a unei integrale definite cu limita superioară variabilă) permite

adaptarea, fără dificultate, a metodelor de calcul de la integrala definită:

formula Leibniz – Newton, integrarea prin părţi, schimbarea de variabilă.

Teorema VII.19 (Formula Leibniz - Newton).

560

Fie f : [a, ∞) →R local integrabilă şi care are primitive, între care φ este

una dintre ele. Integrala improprie ( )a

f x dx∞

∫ este convergentă, dacă şi

numai dacă, există şi este finită ( )lim ( )not

xx

→∞φ = φ ∞ ∈R . În acest caz, avem:

(VII.24) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( )not

aa xf x dx x a a x

∞ ∞

→∞== φ −φ = φ ∞ −φ = φ∫ .

Demonstraţie: Fie ∀ u ∈[a, ∞) fixat. Cum f este local integrabilă

pe [a, ∞) rezultă că [ ],a uf este o funcţie integrabilă şi are primitive, una

dintre ele fiind [ ],a uφ . Atunci, prin aplicarea formulei Leibniz – Newton,

avem:

( ) [ ] [ ] [ ], , ,( ) ( ) ( ) ( ) ( )

u u

a u a u a ua a

F u f x dx f dx u a u a= = = φ −φ = φ −∫ ∫ φ .

Dar ( )a

f x dx∞

∫ este convergentă. Deci există ( )limu

ua

f x dx→∞

∈∫ R . Prin

urmare, există [ ]lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )u u

u a u a a→∞ →∞

φ −φ = φ −φ = φ ∞ −φ ∈R şi avem

( ) ( ) ( )a

f x dx a∞

= φ ∞ −φ∫ adică are loc formula (VII.24).

Consecinţa VII.6.

561

Dacă f:[a, ∞)→R este funcţie continuă, atunci pentru ∀φ : [a, ∞)→R, o

primitivă a lui f, ( )a

f x dx∞

∫ este convergentă, dacă există lim ( )not

x→∞φ = φ ∞ ∈R

şi are loc formula (VII.24): ( ) ( ) ( )a

f x dx a∞

= φ ∞ −φ∫ .

Teorema VII.20 (Formula de integrare prin părţi)

Fie f , g : [a, ∞)→ R cu f , g ∈ C1([a, ∞)), astfel încât şi

este convergentă. Atunci

lim( )( )x

fg x→∞

∈R

( ) ( )a

g x f x dx∞

′∫ ( ) ( )a

f x g x dx∞

′∫ este convergentă

şi are loc formula:

(VII.25) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b

a axf x g x dx f x g x f a g a f x g x dx

∞

→∞′ ′= − −∫ ∫ .

Demonstraţie: Pentru ∀u > a, pe [a, u], în ipotezele teoremei, este

aplicabilă formula de integrare prin părţi:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(*)u u

u

aa a

f x g x dx fg x g x f x dx f u g u f a g a′ ′= − = −∫ ∫

( ) ( )u

a

g x f x dx′−∫

−

. De aici prin trecere la limită pentru u → ∞, avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim limu u

u u ua a

f x g x dx f u g u f a g a g x f x dx→∞ →∞ →∞

′ ′= − −∫ ∫ .

În membrul al doilea cele două limite există şi sunt finite, deci există

( ) ( )limu

ua

f x g x dx→∞

′ ∈∫ R . Astfel ( ) '( )a

f x g x dx∞

∫ este convergentă şi, prin

trecere la limită, pentru u → ∞, în (*) se obţine formula (VII.25).

562

Teorema VII.21. (Schimbarea de variabilă într-o integrală

improprie)

Fie f : [a, ∞)→ R o funcţie continuă, iar ϕ : [α, β)→ [a, ∞), cu -∞ < α< β ≤

≤ +∞, o funcţie bijectivă şi ϕ ∈C1([α,β)). Atunci ( )a

f x dx∞

∫ este

convergentă, dacă şi numai dacă, ( )f dtβ−

α′ϕ ⋅ϕ∫ o este convergentă şi, în

acest caz, are loc formula:

(VII.26) ( )( ) ( ) ( )a

f x dx f t t dt∞ β−

α′= ϕ ⋅ϕ∫ ∫ o .

Demonstraţie: Deoarece ϕ ∈C1([α,β)) şi ϕ este bijectivă, rezultă

că ϕ este un homeomorfism strict crescător. Avem: ϕ(α)=a şi ϕ(t) =

= ϕ(β - 0) sau li ϕ(t) = ∞ pentru β = ∞. În aceste condiţii, pe orice

compact [α, t] ⊂ [α, β) este valabilă formula de schimbare de variabilă:

limt→β

mt→∞

(**) ( )( )

( ) ( )

, [ ,t tt

a

f f f tϕ ϕ

α ϕ α

′ϕ ⋅ϕ = = ∀ ∈ α β∫ ∫ ∫o ) .

Integrala improprie ( )fβ−

α

′ϕ ⋅ϕ∫ o este convergentă ⇔ există limita finită

( )limt

tt

f→β

α<β

′ϕ ⋅ϕ∫ o ⇔ există limita finită ( )

( )

limt

tt

fϕ

→βϕ α<β∫ ⇔ există limita finită

limx

xa

f→∞ ∫ cu x = ϕ(t) ⇔ ( )

a

f x dx∞

∫ este convergentă. Prin trecere la limită în

563

egalităţile (**), avem: ( )( ) ( )f t t dβ−

α

′ϕ ⋅ϕ∫ o ( )limt

tt

f→β

α<β

t = ′ϕ ⋅ϕ∫ o =( )

limt

tat

fϕ

→β<β∫ =

= limx

xa

f→∞ ∫ = ( )

a

f s ds∞

∫ ⇒ are loc formula (VII.26).

Consecinta VII.7.

Fie f : [a, ∞)→ R o funcţie continuă şi ϕ : [α, β)→ [a, ∞) cu -∞<α<β≤ +∞,

o funcţie bijectivă cu ϕ-1∈C1([α,β)).

Atunci ( ) 'f dtβ−

αϕ ⋅ϕ∫ o este convergentă, dacă şi numai dacă,

este convergentă şi are loc formula: ( )1

a

f∞

− ′ϕ∫ o

(VII.27) ( ) 'fβ−

αϕ ⋅ϕ∫ o = ( )1

a

f∞

− ′ϕ∫ o .

Demonstraţia este asemănătoare cu cea pentru teorema VII.21.

Observaţii:

1. Teorema VII.21 şi consecinţa VII.7 sunt valabile pentru funcţii C1 –

difeomorfisme: ϕ: [α, β)→ [a, ∞).

2. Intervalul de definiţie al lui ϕ poate fi şi de forma (α, β] cu -∞ ≤ α < β <

< + ∞. Atunci ϕ(β) = a ϕ(t) = ϕ(α + 0) sau ϕ(t) = - ∞ pentru

β = - ∞.

limtt→α>α

limt→−∞

Exemple:

1. 1

20 1

dxx

−

−∫ este convergentă, deoarece:

564

( ) ( )1 1

1

1 1 1lim 1 ( ) lim pentru 21 1 2x x

x

xx f x

x x

λλ

→ →<

−− = = ∈ λ

− +R = .

Facem schimbarea de variabilă ( ): 0, [0,1), cu sin2

x t tπ⎡ ⎤ϕ → = ϕ =⎢ ⎥⎣ ⎦ şi

avem: 1 2 2

2 20 0 0

cos21 1 sin

dx tdt dtx t

π π− π

= = =− −

∫ ∫ ∫ .

2.2

20 (1 ) 4

dx2x x

−

+ −∫ este convergentă, căci:

( ) ( )( )22 2

2 2

2 1 1lim 2 ( ) lim = pentru =10 21 2 2x x

x x

xx f x

x x x

λλ

→ →< <

−− = ∈ λ

+ − +R, .

Facem schimbarea de variabilă

[ )2cos ( ), cu : 0,2 ,02

x t t π⎛= = ϕ ϕ → ⎜⎤⎥⎝ ⎦

şi avem: 2

2 20 (1 ) 4

dxIx x

−

= =+ −

∫

( )2 2

220 0

2sin1 4cos1 4cos 2sin

tdt dttt t

π π− −−

= − =++∫ ∫ . Prin schimbarea de variabilă

( )2tg arctg , cu şi :[0, ) [0, )1 2

dyt y t y dt y dyy

π′= ⇒ = = = ψ ψ → ∞+

, avem:

2

2 2 2000 0

2

1 1 arctg41 cos 1 5 5 511

dt dt dy yIt y y

y

π ∞− ∞∞

= = ⋅ = =+ + ++

+

∫ ∫ ∫ =

1 0lim arctg arctg25 5 5y

y→∞

π⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

15

= ⋅ .

565

Valori principale, în sens Cauchy, ale integralelor improprii

divergente

566

]Fie f: \{c}→R, cu c ∈(a, b) punct singular al lui f şi f integrabilă pe

orice compact [α, β] ⊂ [a, c) ∪ (c, b]. Funcţia f are integrală improprie

convergentă pe

[ ,a b

[ ],a b dacă integralele improprii ( ) ( ) şi c b

a c

f x dx f x dx−

+∫ ∫

sunt convergente. În aceste condiţii, se spune că integrala improprie

( )b

a

f x dx∫ este convergentă în sensul valorii principale Cauchy, dacă

există în R, limita:

(VII.28) ( ) ( ) ( )0

0

lim + . .c b bnot

a c a

f x dx f x dx v p f x dx−ε

ε→+εε>

⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫ ∫ .

Exemple:

1°.1

1

dxx−

∫ cu f : [-1, 0) ∪ (0, 1] →R prin ( ) 1f xx

= şi x = 0 punct singular.

Aici 0 1

1 0

şi fdx fdx−∫ ∫ sunt divergente iar

1

1

dxx−

∫ admite valoarea principală

Cauchy:

[ ]1 1

0 01 10

1. . lim lim ln ln 0dx dxv p dxx x x

−ε

ε→ ε→− − εε>

⎡ ⎤= + = ε − ε⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫ ∫ = .

2°.3

1 2dxx −∫ cu f : [1, 2) ∪ (2, 3] →R prin ( ) 1

2f x

x=

− şi x = 2 punct

singular. Avem:

( )

3 2 3

01 1 20

2 3

0 01 20 0

. . lim2 2 2

lim 2 2 2 2 lim 2 4 2 4.

dx dx dxv px x x

x x

−ε

ε→+εε>

−ε

ε→ ε→+εε> ε>

⎡ ⎤⎢ ⎥= + =⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − + − = − ε + − ε =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

Fie f : R → R local integrabilă pe R (integrabilă pe orice compact

⊂ R). Funcţia f este integrabilă în sensul valorii orincipale

Cauchy dacă există şi este finită limita:

[ ],a b

(VII.29) ( ) ( )lim . .u notat

uu

f x dx v p f x dx∞

→∞− −∞

=∫ ∫ .

Dacă integrala improprie ( )f x dx∞

−∞∫ este convergentă conform

definiţiei, există ( ) 3limv

vuu

f x dx I→∞→∞

= ∈∫ R şi, în acest caz, există

( ) ( ) ( ) 3

0

lim lim . .v u

v uu uu

u v

f x dx f x dx v p f x dx I∞

→−∞ →∞− −∞→∞

+ =

= = =∫ ∫ ∫ .

Implicaţia inversă nu are loc.

Exemple:

1°. 2

21

x dxx

∞

−∞ +∫ este divergentă, deoarece, pentru ∀x∈R ( )c

f x dx∞

∫ este

divergentă ( lim ( ) 2x

x f xα

→∞= , pentru α = 1, sau 2

2

2 lim ln( 1)1 x

c

x dx xx

∞

→∞= + −

+∫

2ln( 1)c− + = ∞ ). Această integrală improprie (divergentă) are valoarea

principală Cauchy:

567

( ) ( )2 22 2

2 2. . lim lim ln 1 ln 1 01 1

u

u uu

x xv p dx dx u ux x

∞

→∞ →∞−∞ −

⎡ ⎤= = + − +⎣ ⎦+ +∫ ∫ = .

2°. cu b

a

dx a c bx c

< <−∫ este o integrală improprie divergentă (

c

a

dxx c

−

−∫ şi

b

c

dxx c+ −∫ sunt divergente, deoarece ( )lim ( ) 1

x cx c f xλ

→− = pentru λ = 1).

Integrala improprie (divergentă) are valoarea principală Cauchy:

0 0. . lim lim ln ln ln

b c b

a a c

dx dx dx b c b cv px c x c x c c a c

−ε

ε→ ε→+ε

⎡ ⎤a

− ε −⎡ ⎤= + = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − ε⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫ ∫ −

.

Observaţii:

1. Integrala improprie dintr-o funcţie şi valoarea principală Cauchy din

aceeaşi funcţie sunt noţiuni diferite.

2. O integrală improprie poate fi divergentă, şi totuşi, pentru ea să existe şi

să fie finită în unele cazuri, valoarea principală Cauchy definită prin

(VII.28) şi (VII.29).

3. Dacă integrala improprie este convergentă, atunci valoarea sa în sensul

definiţiei date coincide cu valoarea principală Cauchy, dar nu şi reciproc.

4. Ideea esenţială în definirea valorii principale în sens Cauchy este de a

izola, în mod simetric, fiecare punct singular din intervalul de integrare şi

apoi de a se trece, simetric, la limită.

5. Noţiunea de valoare principală Cauchy pentru o integrală improprie este

legată de Teoria Cauchy a integrării în planul complex, un capitol

important al disciplinei "Teoria funcţiilor complexe de o variabilă

complexă".

568

O altă idee este de " a extrage partea finită" a unei integrale

improprii divergente.

Exemple:

1°. 1

20

1 dxx∫ este divergentă şi se poate reprezenta sub forma:

1

20

1 1 1dxx

= − +ε∫ , în care, dintre cei doi termeni, numai 1⎛ ⎞−⎜ ⎟ε⎝ ⎠

este motivul

divergenţei integralei şi al doilea termen reprezintă partea sa finită 1

20

1. . 1p f dxx+

=∫ .

2°.1

dxx

∞

∫ este divergentă şi se poate reprezenta sub forma1

2 2u dx u

x= −∫ .

Astfel, 1

. . 2dxp fx

∞

= −∫ .

Pentru "a extrage partea finită" a unei integrale improprii

divergente, se reprezintă o integrală parţială sub forma unei sume cu doi

termeni dintre care unul are limită finită şi care se numeşte partea finită,

iar celălalt devine nemărginit în vecinătatea punctului singular ([15], pag.

200).

Există cazuri în care valorizarea părţii finite nu este posibilă. De

exemplu:

( )1 1

1 1

cos. . sin lnxp f dx x xx− −

= +∫ ∫ dx ([15], pag. 201).

569