Geometria fără axiome Adrian Chira ©

ote

Am folosit notaţia AB sau (AB) pentru o dreaptă, ‚ABƒ

pentru un segment de dreaptă iar (ABƒ pentru o semidreaptă. Notaţia A-B-C semnifică faptul că B se află între A şi C. Notaţia ‚ACƒB indică drumul cel mai scurt de la A la C prin punctul B.

Introducere

<Geometria euclidiană este cel mai vechi şi din punct de vedere istoric cel mai important exemplu de disciplină ştiinţifică bazată pe deducţie>.1 Ea a fost elaborată de Euclid în cartea sa Elemente despre care R. Penrose spune: <Întradevăr, întreaga carte Elemente, care a fost publicată pentru prima dată în jurul anului 300 î. de Hr., trebuie să fie considerată ca una dintre lucrările care au avut cea mai profundă influenţă din toate timpurile. Ea a stabilit cadrul pentru aproape toată gândirea ştiinţifică şi matematică de atunci încolo.>2 Ca să elaboreze geometria, Euclid afolosit metoda deductivă plecând de la definiţii şi postulate (sau axiome), cum ar fi postulatul unicităţii dreptei determinate de două puncte (prin două puncte nu poate trece decât o singură dreaptă) sau postulatul paralelelor (printr-un punct exterior unei drepte nu se poate duce decât o paralelă la dreapta respectivă). Geometria elaborată de el a rămas neschimbată mult timp şi filosofi cum ar fi Kant i-au dat un statut absolut. Lucrurile s-au schimbat în secolul IX când s-au elaborat geometriile neeuclidiene de către Gauss, J. Bolyai şi Lobacevsky. Totul a pornit de la faimosul postulat al paralelelor. El nu apare la fel de evident ca şi celelalte postulate întrucât afirmă ceva despre infinit. Euclid a încercat să-l demonstreze pe baza celorlalte postulate însă nu a reuşit. Mulţi alţii după el au încercat să demonstreze postulatul dar fiecare încercare s-a soldat cu un eşec. Odată cu apariţia geometriilor neeuclidiene însă, geometria euclidiană caracterizată de postulatul paralelelor şi-a pierdut statutul absolut şi este considerată doar ca <una printre altele>. În această lucrare îmi propun să stabilesc elementele fundamentale ale geometriei euclidiene fără să fac nici un postulat, bazându-mă doar pe definiţii, teoreme şi elemente preluate din aritmetică.3 Îmi propun deci să demonstrez postulatele făcute de Euclid şi în special postulatul paralelelor. În felul acesta geometria euclidiană îşi recapătă statutul absolut iar geometriile neeuclidiene devin contradictorii.

Definiţii

Definiţia dreptei: o dreaptă este totalitatea punctelor (succesive) pentru care este adevărată următoarea propoziţie: oricare două puncte am lua, drumul cel mai scurt dintre ele

1 (editori) W. Gellert =i colaboratorii, Mică enciclopedie

matematică, Editura Tehnică, Bucure=ti, 1980, pag. 885 2 R. Penrose, The Emperor’s �ew Mind, New York, Penguin Books,

1989, pag. 161 3 Stabilindu-se o rela\ie biunivocă între geometrie =i artimetică (de

exemplu între punctele unei drepte =i mul\imea numerelor reale) unele din axiomele folosite de Hilbert, cum ar fi de exemplu axiomele de ordonare sau axioma lui Arhimede, pot fi preluate din aritmetică, fără să fie considerate axiome geometrice. A se vedea totu=i anexa 1 =i 2.

este format din puncte pentru care este adevărată propoziţia menţionată (dreapta este o mulţime d de puncte, astfel încât ]n această mulţime, oricare două puncte am lua, drumul cel mai scurt dintre ele este o mulţime de puncte care este submulţime a lui d).4

Definiţia perpendicularei: o perpendiculară la o dreaptă dată este formată din totalitatea punctelor succesive (sau coplanare) pentru care drumul cel mai scurt până la dreapta dată se termină în acelaşi punct de pe această dreaptă.

Definiţia dreptelor paralele: două drepte sunt paralele dacă sunt coplanare şi nu se intersectează niciodată.

Definiţia planului: un plan este format din totalitatea punctelor dreptelor care intersectează cel puţin două din trei drepte care se intersectează reciproc în două puncte distincte.5

Definiţia spaţiului geometric6: spaţiul geometric este

(format din) totalitatea punctelor (a căror existenţă este posibilă, necontradictorie).

Teoreme

Teorema 1 (teorema sau principiul existenţei entităţilor

geometrice)

Dacă este posibil ca un punct să existe (existenţa lui nu este contradictorie) atunci el există în spaţiul geometric.7

Demonstraţie

Teorema rezultă din definiţia spaţiului geometric.

Teorema 2

Într-un plan, o dreaptă intersectează cel puţin una din două drepte concurente (ˆ care se intersectează).

Demonstraţie

Dacă într-un plan o dreaptă nu ar intersecta nici una din două drepte care se intersectează reciproc, atunci, chiar dacă ar intersecta o a treia dreaptă care intersectează pe cele două, ar intersecta cel mult una din trei drepte care se intersectează reciproc, ceea ce contrazice definiţia planului.

Teorema 3

Într-un plan, perpendiculara într-un punct al unei drepte formează o dreaptă unică.

Demonstraţie

Mai întâi vom demonstra că două puncte (A şi B) ale perpendicularei de o parte şi de alta a dreptei date (a) şi punctul (C) de pe dreaptă în care duce drumul cel mai scurt al tuturor punctelor de pe perpendiculară sunt colineare. Iniţial să presupunem că A, B şi C nu sunt colineare. Atunci, întrucât A şi B sunt de o parte şi de alta a dreptei a, drumul cel mai scurt de la A la B va intersecta dreapta. C nu poate fi punctul de intersecţie deoarece în acest caz C ar fi pe drumul cel mai

4 Această defini\ie se reduce la defini\ia clasică: <dreapta este

determinată de drumul cel mai scurt dintre două puncte>. 5 Dacă o dreaptă intersectează două din cele trei drepte date în

acela=i punct atunci ea este inclusă în plan doar dacă prin alt punct al ei se poate duce o dreaptă care satisface condi\iile pentru a fi inclusă în plan (în acest caz dreapta ini\ială are două puncte în plan =i pe baza teoremei 4 va fi inclusă în plan).

6 Am folosit expresia «spa\iu geometric» pentru a face distinc\ie de un spa\iu real care, în principiu, ar putea avea mai pu\ine dimensiuni decât toate dimensiunile posibile pe care le are spa\iul geometric.

7 Principiul extins ar fi acesta: <Dacă existen\a unei entită\i geometrice (formate din mai multe puncte) este necontradictorie atunci ea există în spa\iul geometric. Pe acest principiu se bazează construc\ia dreptei, a planului =i a spa\iului tridimensional (vezi anexa 1) =i înlătură nevoia pentru axiomele care afirmă existen\a lor.

2scurt dintre A şi B şi cele trei puncte ar fi colineare. Există deci (cel puţin8) un punct D pe dreapta a, diferit de C, astfel încât A, B şi D să fie colineare. Deci, drumul cel mai scurt de la A la B prin D este drumul cel mai scurt de la A la B şi deci este mai scurt decât drumul cel mai scurt de la A la B prin C. Drumul cel mai scurt de la A la B prin C este egal cu drumul cel mai scurt de la A la C (segmentul ‚ACƒ) plus drumul cel mai scurt de la C la B (segmentul ‚CBƒ). Drumul cel mai scurt de la A la B prin D este egal cu suma dintre ‚ADƒ şi ‚DBƒ. Însă, deoarece ‚ACƒ este drumul cel mai scurt de la A la dreapta a, ‚ACƒ ≤ ‚ADƒ.9 La fel, ‚BCƒ ≤ ‚BDƒ. Se obţine ‚ACƒ ‡ ‚BCƒ ≤ ‚ADƒ ‡ ‚BDƒ. Deci, ‚ABƒC ≤ ‚ABƒD. Aşadar, drumul de la A la B prin D nu poate fi mai scurt decât cel prin C astfel încât A, B şi D să fie colineare. Deci, dacă nu există un punct D diferit de C care să fie colinear cu A şi B atunci C este punctul colinear cu A şi B (1).

Vom arăta cum că A, B şi C sunt colineare şi în cazul în care A şi B sunt de aceeaşi parte a dreptei a. Să considerăm o perpendiculară la o dreaptă a în punctul C. Luăm un punct A de o parte a perpendicularei şi unul B de cealaltă parte. Pe baza concluziei anterioare (1), A, B şi C sunt colineare (2). Să presupunem că există un punct D, de aceeaşi parte cu A, astfel încât drumul cel mai scurt de la D la dreapta a să se termine în C (deci D aparţine perpendicularei) şi D să fie necolinear cu A, şi C. Pe baza concluziei (1), D fiind de cealaltă parte faţă de punctul B, D trebuie să fie colinear cu B şi C (3). Din concluziile (2) şi (3) rezultă că D este colinear cu A, B şi C.10 Deci, în concluzie, toate punctele unei perpendiculare, fie că sunt de aceeaşi parte fie că sunt de o parte şi de alta a dreptei, sunt colineare între ele şi sunt colineare cu punctul de intersecţie. Aşadar, perpendiculara într-un punct al unei drepte formează o dreaptă unică.

Teorema 4

Prin două puncte trece o singură dreaptă.

Demonstraţie

Întrucât sunt două puncte există cel puţin un drum cel mai scurt între ele – prin urmare există cel puţin un segment de dreaptă care leagă cele două puncte. Dacă există cel puţin un segment de dreaptă atunci există cel puţin o dreaptă din care acel segment face parte.

Luăm două puncte A şi B şi presupunem că prin ele pot trece două drepte: (AB)1 şi (AB)2. Vom avea ‚ABƒ1 ˆ ‚ABƒ2 (1). Ducem prin B o dreaptă a astfel încât (AB)1 ⊥ a (2). Din (1) şi (2) rezultă că şi (AB)2 ⊥ a (3). Relaţiile (2) şi (3) contrazic teorema 3, deci presupunerea iniţială este falsă.

Teorema 5

Într-un plan, dintr-un punct exterior unei drepte nu se poate duce decât o singură perpendiculară la acea dreaptă.

Demonstraţie

Considerăm o dreaptă a şi un punct exterior A. Să presupunem că din el se poate duce două perpendiculare la

8 Deoarece încă nu am demonstrat că prin două puncte poate să

treacă doar o singură dreaptă, ar fi posibil ca drumul cel mai scurt dintre două puncte să nu fie unic ceea ce ar însemna că există mai multe puncte de intersec\ie cu dreapta care desparte cele două puncte.

9 Rela\ia este ‚ACƒ ≤ ‚ADƒ =i nu ‚ACƒ ‚ADƒ pentru că încă nu am demonstrat că drumul cel mai scurt dintr-un punct exterior unei drepte la dreapta respectivă este unic.

10 Deoarece punctul B este oarecare, A =i D sunt ambele colineare cu semidreapta [CB), deci apar\in dreptei (CB).

dreapta a. Acestea vor intersecta dreapta în B şi C. Luăm pe AB un punct D astfel încât B-A-D. Întrucât AB este distinctă de AC, D nu poate să aparţină şi dreptei AC (pe baza teoremei 4). Deci, A, C şi D nu sunt colineare. Există atunci un drum de la D la C mai scurt decât drumul prin A. Fie F un punct colinear cu D şi C (F este între D şi C). Drumul cel mai scurt din D în C prin A este mai lung decât cel prin F: ‚DCƒA Ž ‚DCƒF (1). ‚DCƒA ˆ ‚DAƒ ‡ ‚ACƒ (2). Dar AB ⊥ BC şi AC ⊥ BC şi din aceasta rezultă că ‚ABƒ ˆ ‚ACƒ (3). Din relaţiile (2) şi (3) rezultă că ‚DCƒA ˆ ‚DAƒ ‡ ‚ABƒ ˆ ‚DBƒ (4). Din (1) şi (4) rezultă că ‚DCƒF ‚DBƒ. Însă DB ⊥ BC, deci ‚DBƒ este drumul cel mai scurt de la D la BC. Aceste ultime două concluzii sunt contradictorii, deci premiza iniţială că din A se pot duce două perpendiculare la o dreaptă trebuie să fie falsă.

Teorema 6

Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură paralelă la acea dreaptă.

Demonstraţie

Mai întâi să demonstrăm existenţa paralelei. Luăm o dreaptă a şi un punct A exterior ei. Prin A ducem o dreaptă b

astfel încât a ⊥ b. Prin punctul A mai ducem o dreaptă c astfel încât c ⊥ b şi c să fie coplanar cu a şi b.11 Dreptele a şi c nu pot să se intersecteze, întrucât ar încălca teorema 5, deci sunt paralele. Deci, printr-un punct exterior unei drepte se poate duce cel puţin o paralelă la acea dreaptă. Afirmarea existenţei paralelelor se poate face şi pe baza principiului existenţei (teorema 1).

Demonstraţia unicităţii paralelei rezultă direct din teorema 2.12

Teorema 7

Intersecţia a două plane este o dreaptă unică.

Demonstraţie

Să presupunem că două plane se intersectează într-un singur punct. Considerăm un plan α şi un punct A în care se intersectează cu un al doilea plan β. Prin A ducem două drepte (a şi b) care intersectează planul α în A şi care sunt conţinute în planul β. Luăm pe dreapta a un punct B şi pe dreapta b un punct C de cealaltă parte a planului. Dreapta BC

11 Construim perpendiculara c la dreapta b pe baza teoremei 3.

Altfel, pe baza presupunerii că legile geometriei sunt la fel pentru toate planurile =i pentru toate dreptele (fie se poate ridica dintr-un punct al unei drepte o perpendiculară la acea dreaptă fie nu se poate), ajungem la concluzia că nu există drepte perpendiculare =i apoi la concluzia că nu există trei puncte necolineare, nu există plan (dacă ar exista vreun punct exterior dreptei atunci în mod sigur va exista cel pu\in un drum cel mai scurt de la el la dreaptă, adică o perpendiculară). Putem construi perpendiculara c =i pe baza teoremei 1.

12 Demonstra\ia pentru teorema 2 este totodată demonstra\ia pentru această teoremă. Luăm o dreaptă a =i =i un punct A exterior ei. Să presupunem că prin A se pot duce două paralelele b =i c la dreapta a. Luăm pe b =i c câte un punct B =i respectiv C, diferite de A =i ducem prin aceste două puncte dreapta BC. Dacă BC intersectează dreapta a atunci acesta din urmă va intersecta cel mult una din cele trei drepte care se intersectează reciproc (b, c =i BC) =i prin urmare nu este coplanară cu ele (defini\a planului prevede ca o dreaptă inclusă într-un plan să intersecteze cel pu\in două drepte din trei drepte din acel plan care se intersectează reciproc). Această concluzie contrazice cerin\a de paralelism – cele două drepte paralele care se intersectează b =i c trebuie să fie coplanare cu dreapta a fa\ă de care sunt paralelele. A=adar, paralela la o dreaptă dată printr-un punct exterior acelei dreapte este unică.

3va intersecta planul α într-un punct diferit de A pe care să-l numim D. Să luăm un alt punct, E, pe dreapta b de aceeaşi parte cu C. Dreapta BE va intersecta planul α într-un punct F diferit de A şi D. Punctele A, D şi E trebuie să fie colineare pentru că altfel s-ar obţine două planuri – unul format de dreptele BA, AD şi DB, iar altul format de BA, AF şi FB. Însă, există doar un singur plan – planul β, deci A, D şi F trebuie să fie colineare. Aşadar intersecţia a două planuri este cel puţin o dreaptă.

Să presupunem că intersecţia a două plane formează două drepte. Să presupunem că dreptele se intersectează. Cazul în care dreptele sunt paralele poate fi redus la cazul în care două drepte se intersectează.13 Luăm câte un punct pe fiecare din drepte astfel încât punctele să fie diferite. Pentru ca prin cele două drepte să treacă două planuri distincte trebuie ca prin cele două puncte să treacă cel puţin două drepte distincte. Însă, pe baza teoremei 4, prin două puncte nu poate trece decât o dreaptă.

Teorema 8

Dintr-un punct exterior unui plan se poate duce o singură perpendiculară la acel plan.

Demonstraţie

Punctul este depărtat de plan şi există o infinitate de drumuri care pot fi parcurse pentru a ajunge de la punct la plan. Cel puţin unul dintre ele este drumul cel mai scurt de la punct la plan.

Să presupunem că există două drumuri care sunt cele mai scurte de la punct la plan, deci două perpendiculare pe plan şi rezultă că există două perpendiculare coplanare pe dreapta de intersecţie dintre planul iniţial şi planul perpendicularelor duse din acelaşi punct, ceea ce contrazice teorema 5.

Teorema 9

Dacă a ⊥ b atunci şi b ⊥ a.

Demonstraţia 1

Să presupunem că perpendiculara a la o dreaptă b nu este dreapta pe care b este perpendiculară. Fie o dreaptă b şi altă dreaptă a astfel încât a ⊥ b în punctul A. În conformitate cu presupunerea iniţială, în planul format de a şi b există o altă dreaptă c astfel încât b ⊥ c în punctul A. Fie α planul faţă de care b este perpendiculară în punctul A – b ⊥ α în punctul A (planul α va conţine dreapta a). Fie β planul dreptelor perpendiculare pe b în punctul A – β ⊥ b în punctul A (planul β va conţine dreapta c).14 Fie d dreapta care reprezintă intersecţia planului β cu planul α. Fiind în ambele planuri va avea proprietăţile ambelor planuri: b ⊥ d şi d ⊥ b. Această concluzie contrazice presupunerea iniţială deci acesta este falsă iar teorema este adevărată.15

13 Luăm un punct pe o dreaptă =i două puncte pe cealaltă dreaptă iar

apoi unim aceste puncte prin drepte care se intersectează. 14 Chiar dacă aceste drepte nu formează un plan, ele, fiind infinit de

multe, formează o suprafa\ă continuă formată din linii drepte care se intersectează în A. Întrucât această suprafa\ă continuă intersectează dreapta b va intersecta =i planul α care trece prin dreapta b. Întrucât atât suprafa\a continuă cât =i planul α sunt formate din linii drepte care trec prin A intersec\ia lor trebuie să fie cel pu\in o linie dreaptă (d) care trece prin A.

15 Demonstra\ia se bazează pe presupunerea că legile geometrice sunt acelea=i în toate planurile. Această presupunere este implicată de fiecare dată când considerăm că demonstra\ia unei teoreme pentru un plan este valabilă pentru orice plan. În cazul acestei teoreme legea care se presupune a fi valabilă în toate

Demonstraţia 2

Teorema mai poate fi demonstrată dacă se defineşte unghiul. Fie unghiul gradul de depărtare dintre două semidrepte care au origine comună astfel încât folosind conceptul de unghi să putem exprima în mod unic orice dreaptă care intersectează o altă dreaptă dată. Una din aceste drepte este perpendiculara la dreapta dată în punctul respectiv. Să considerăm că îndepărtarea unei semidrepte faţă de semidreapta complementară ei este de 1800. Să presupunem că relaţia de dreaptă perpendiculară nu este exprimată de jumătatea acestui unghi, adică de 900. În cazul acesta, într-un punct al unei drepte date se pot duce două perpendiculare distincte deoarece unghiul dintre ele este nenul (una se construieşte în raport cu una dintre semindreptele determinate de punctul considerat pe dreapta dată iar cealaltă se construieşte în raport cucealaltă semidreaptă). Această concluzie încalcă teorema 3, deci relaţia de perpendicularitate este exprimată de un unghi de 900, să-l numim unghi drept. Însă şi dreapta dată se află faţă de perpendiculară la o deschidere de un unghi drept, aşadar şi ea este perpendiculară pe perpendiculara pe ea.16

Teorema 10

Dacă două drepte sunt paralele ele sunt perpendiculare pe aceeaşi dreaptă.

Demonstraţie

Să presupunem că două drepte paralele nu sunt perpendiculare pe aceeaşi dreaptă. Luăm două drepte paralele a şi b care intersectează o a treia dreaptă c în A şi respectiv B astfel încât a ⊥ AB. Dacă b nu este perpendiculară pe AB atunci va exista o altă dreaptă d care va fi perpendiculară pe AB în punctul B. Deoarece a nu se intersectează cu b, pe baza teoremei 2, a se va intersecta cu d. Aceasta înseamnă că două perpendiculare la aceeaşi dreaptă se intersectează ceea ce contrazice teorema 5. Aşadar, dacă două drepte sunt paralele ele sunt perpendiculare pe aceeaşi dreaptă.

Teorema 11

Dacă într-un plan ducem două perpendiculare la o dreaptă a şi prin două puncte ale perpendicularelor egal depărtate de dreapta a şi de aceeaşi parte a ei ducem o a doua dreaptă b, perpendicularele pe dreapta a sunt perpendiculare şi pe dreapta b.

Demonstraţie

Facem construcţia din teoremă. Fie A şi B punctele de pe dreapta a din care se duc perpendicularele iar C şi D punctele de pe perpendiculare egal depărtate de dreapta a astfel încât cele două perpendiculare sunt AC şi BD. Să presupunem că AC nu este perpendiculară pe b. Atunci există o altă dreaptă EC astfel încât EC ⊥ CD, punctul E fiind intersecţia cu dreapta a. AC şi BD, fiind perpendiculare pe aceeaşi dreaptă, nu se intersectează. EC se intersectează cu AC. Deci, pe baza teoremei 2, EC se intersectează cu BD. Fie F punctul de intersecţie. ‚ECƒ ≥ ‚ACƒ pentru că altfel AC nu ar mai fi perpendiculară pe AB. Însă ‚ACƒ ˆ ‚BDƒ (menţionat în teoremă), deci ‚CEƒ ≥ ‚BDƒ (1). La fel, ‚EFƒ ≥ ‚FBƒ (2)

planurile este fie: <dacă a ⊥ b atunci b nu este perpendicular pe a> fie <dacă a ⊥ b atunci =i b ⊥ a>.

16 Procesul de rotire a semidreptelor pentru a forma unghiuri trebuie să fie simetric fa\ă de timp =i fa\ă de direc\ie (vezi anexa 1). A=adar, dacă avem două semidrepte ‚AB) =i ‚AC) atunci unghiul BAC este egal cu unghiul CAB.

4pentru că altfel FB nu ar mai fi perpendiculară pe AB. ‚FCƒ ˆ ‚FEƒ ‡ ‚ECƒ (3) şi ‚FDƒ ˆ ‚FBƒ ‡ ‚BDƒ (4). Din relaţiile (1) – (4) se obţine: ‚FCƒ ≥ ‚FDƒ (5). Însă, ‚FDƒ ≥ ‚FCƒ (6) pentru că altfel FC nu ar mai fi perpendiculară pe CD. Din relaţiile (5) şi (6) se obţine că ‚FCƒ ˆ ‚FDƒ. Din această relaţie şi relaţiile (1) – (4) se obţine: ‚CEƒ ˆ ‚CAƒ. Atunci, întrucât CA ⊥ AB, şi CE trebuie să fie perpendiculară pe AB. Aceasta însă contrazice teorema 5. Deci, presupunerea iniţială este falsă iar teorema adevărată.

Teorema 12

Distanţa dintre două drepte paralele rămâne constantă.

Demonstraţie

Din teoremele 9 şi 11 rezultă că dreapta dusă prin două puncte egal depărtate faţă de o dreaptă dată este paralelă cu dreapta dată (altfel se încalcă teorema 5). Cu alte cuvinte, dacă avem o dreaptă a şi un punct A exterior ei prin care ducem o dreaptă b paralelă la dreapta a atunci un punct B aflat la aceeaşi distanţă faţă dreapta a ca şi punctul A (şi de aceeaşi parte) se află pe dreapta b paralelă la dreapta a. Deci, teorema este adevărată.

Teorema 13

O perpendiculară la o dreaptă este perpendiculară pe orice dreaptă paralelă cu aceasta.

Demonstraţie

Demonstraţia rezultă din teorema 12.

Comentarii despre geometriile posibile în relaţie cu:

1. Teorema perpendicularei la plan (8)

Din această teoremă rezultă că patru dimensiuni distincte nu sunt doar imposibil de imaginat ci, mai mult, existenţa lor este imposibilă din punct de vedere geometric (indiferent de natura fizică a dimensiunilor în cazul în care modelul geometric este aplicat unui model fizic). Pentru ca să existe o a patra dimensiune distinctă de celelalte trei trebuie ca aceasta să fie perpendiculară pe celelalte trei. Însă, întrucât dintr-un punct exterior unui plan nu se poate duce decât o singură perpendiculară la acel plan, existenţa unei a patra perpendiculare pe toate celelalte trei este imposibilă. Pentru ca să existe a patra dimensiune ar trebui ca dintr-un punct exterior unui plan să se poată duce cel puţin două perpendiculare la acel plan, perpendiculare care în acelaşi timp trebuie să fie perpendiculare şi între ele (ceea ce implică apoi faptul că la un plan, dintr-un punct exterior, se pot duce o infinite de perpendiculare).

Pentru ca a patra dimensiune să formeze un spaţiu unitar împreună cu celelalte dimensiuni, ea trebuie să paotă fi relaţionată la acestea. Trebuie ca ea să fie perpendiculară pe ele. Altfel nu ar mai fi exterioară lor, independentă de ele. Astfel, această a patra dimensiune formează împreună cu una din celelate trei dimensiuni un plan perpendicular pe spaţiul tridimensional format de cele trei dimensiuni iniţiale. Cu alte cuvinte, în acest plan exterior spaţiului tridimensional, format de a patra dimensiune şi una di cele trei iniţiale, se poate duce o infinitate de perpendiculare pe planul format de celelalte două dimensiuni iniţiale. Această concluzie contrazice teorema unicităţii perpendicularei la plan (teorema 8).

Se poate astfel vorbi despre geometrii sferice ca geometrii pe sfera bidimensională (corp geometric particular al spaţiului drept tridimensional), dar nu se poate vorbi despre geometrii în spaţiul curb tridimensional, corp geometric particular al spaţiului drept 4-dimensional (geometriile neeuclidiene).

Teorema unicităţii perpendicularei dusă la un plan dintr-un punct exterior lui (teorema 8) invalidează modelele fizice care se bazează pe existenţa a mai mult de trei dimensiuni geometrice, cum ar fi teoria relativităţii generalizate care se bazează pe trei dimensiuni spaţiale şi o dimensiune temporală care formează împreună patru dimensiuni distincte, şi de asemenea teoriile stringurilor care se bazează pe 10 sau chiar 26 de dimensiuni. Această teoremă este strâns legată de teorema 5 (folosită şi în demonstraţie – într-un plan, dintr-un punct se poate duce o singură perpendiculară la o dreaptă) şi, prin ea, de teorema paralelelor (teorema 6). Teoria relativităţii generalizate se bazează pe un spaţiu neeuclidian care contrazice teorema paralelelor.

2. Teorema paralelelor (6)

Definiţia planului folosită în lucrare implică faptul că trei drepte care se intersectează reciproc determină un plan şi este echivalentă cu afirmaţia că trei puncte necolineare determină un plan (cele trei puncte necolineare determină trei drepte care se intersectează reciproc). Însă, definiţia folsosită este precisă şi exclude orice plan curb şi face ca «postulatul paralelelor» să fie foarte uşor de demonstrat (vezi demonstraţia 2 a teoremei 6). Dacă printr-un punct exterior unei drepte se pot duce două paralele la dreapta dată, atunci fie una din ele nu mai este în acelaşi plan, fie planul şi spaţiul care se bazează pe acest plan nu mai sunt drepte. Cele două exprimări sunt echivalente. Cea dea doua paralelă trebuie să facă parte din alt plan decât cealaltă (unul dintre ele este planul determinat de dreapta dată şi punctul exterior ei iar celălalt este un plan diferit). Dacă cele două plane sunt <condensate> într-un singur plan, prin cerinţa de coplanaritate a dreptelor paralele, atunci planul unic rezultat nu mai este drept . El <ascunde> în curbura sa dimensiune sau planul suplimentar. După cum vom vedea în Anexa 3 acest plan curb este neadecvat.

3. Definiţia planului

Definiţia clasică a planului se face prin intermediul axiomei care afirmă că: <trei puncte necolineare determină un plan>. Această exprimare este imprecisă şi deci neadecvată. Se pune întrebarea <Cum determină cele trei puncte un plan?>, <Care este relaţia care le leagă de planul determinat de ele?>. Nu există nici o legătură directă între trei puncte necolineare şi plan. Această <determinare> sau legătură trebuie exprimată fie prin elementele sau relaţiile stabilite deja fie, dacă acestea nu sunt suficiente, adăugându-se acestora o nouă relaţie, care poate să fie introdusă ca termen prim, nedefinit,17 sau să fie definită, caz în care definirii ei se aplică acceleaşi cerinţe ca şi în cazul definirii planului. În cazul definirii dreptei s-a folosit conceptul de punct căreia i s-a adăugat o relaţie introdusă ca şi un termen prim, nedefinit, şi anume, <drumul cel mai scurt>. Conceptele anterioare celui de plan sunt conceptul de punct şi cel de dreaptă. Acestea sunt suficiente pentru a stabili o relaţie între plan şi trei puncte necolineare.18 Cele trei puncte necolineare <determină> (pe baza relaţiei de <drum cel mai scurt>) trei

17 Este evident că nu se pot defini to\i termenii si că trebuie să

pornim de la ni=te termeni primi nedefini\i, bazându-ne pe o în\elegere intuitivă a lor.

18 Conceptul de drepte secante sau concurente – drepte care se intersectează, care a un punct comun – se consideră deja definit.

5drepte care se intersectează reciproc. Care ar putea fi relaţia dintre aceste drepte şi plan?

Nu are rost să definim un nou concept decât dacă acesta adaugă ceva celui mai complex concept definit deja (altfel noul concept ar fi inutil). Conceptul cel mai complex anterior celui de plan este conceptul de dreaptă. Conceptul de plan trebuie să fie o extindere a conceptului de dreaptă întocmai cum conceptul de dreaptă este o extindere a conceptului de punct. Planul deci, trebuie să fie mai mult de o dreaptă. Dacă afirmăm existenţa unui punct exterior dreptei atunci automat vom avea o infinitate de drepte pe lângă dreapta iniţială. Aceste drepte sunt determinate de drumul cel mai scurt de la punctul exterior la fiecare punct al dreptei. Întrucât dreapta are o infinitate de puncte dreptele generate vor fi tot o infinitate. Am obţinut aşadar o nouă entitate geometrică formată dintr-o infinitate de puncte. Am putea să definim planul ca totalitatea punctelor dreptelor care trec prin punctul exterior şi intersectează dreapta dată (planul însă va conţine mai multe drepte decât acestea deoarece punctele de la diferite drepte care trec prin punctul exterior şi intersectează dreapta dată vor genera alte drepte). Am stabilit deci că planul este format din drepte. Dacă luăm două puncte ale planului prin ele va trece o dreaptă. Întrucât prin două puncte trece o singură dreaptă este suficient ca o dreaptă să aibe două puncte într-un plan pentru ca ea să fie conţinută în plan. Întrucât un plan este determinat de o dreaptă şi un punct exterior ei şi întrucât o dreaptă este detrminată de două puncte, putem spune că planul este determinat de trei puncte necolineare (ceea ce prevăzusem deja). Aceste trei puncte necolineare determină trei drepte care se intersectează reciproc. Deci, putem spune că planul este determinat de trei drepte care se intersectează reciproc (întrucât prin două puncte poate trece o singură dreaptă, cele trei drepte sunt legate îm mod unic de cele trei puncte necolineare). Întruct este suficient ca o dreaptă să aibă cel puţin două puncte pentru ca să fie conţinută într-un plan, este suficient ca o dreaptă să intersecteze cel puţin două din cele trei drepte care determină planul pentru ca să fie conţinută în plan (dacă intersectează cel puţin două drepte va avea cel puţin două puncte în plan – punctele de intersecţie). Acum putem defini planul ca fiind totalitatea punctelor dreptelor care intersectează cel puţin două din trei drepte date care se intersectează reciproc. Am ajuns astfel la o definiţei precisă a planului care permite să se demonstreze <postulatul paralelelor>, şi încă într-un mod foarte simplu. Această definiţie stabileşte o relaţie între trei drepte care se intersectează reciproc (determinate de trei puncte necolineare) şi plan prin intermediul relaţiei de intersecţie dintre drepte. Planul, fiind format din drepte, trebuie să fie definit printr-o relaţie între drepte

19 după cum dreapta, fiind formată din puncte, a fost definită printr-o relaţie între puncte. Conceptul de <drum cel mai scurt> a stabilit o relaţie între puncte fiind folosit la definirea dreptei iar conceptul de intersecţie a stabilit o relaţie între drepte fiind folosit la definirea planului.

A. N. Whitehead, coautorul împreună cu B. Russell a renumitei cărţi Principia Mathematica, fiind cu precădere

19 Este nevoie de o rela\ie între drepte întrucât este nevoie să se facă

distinc\ie între drepte. Altfel, planul nu ar con\ine decât o dreaptă =i conceptul de plan s-ar reduce la cel de dreaptă. Rela\ia de intersec\ie dintre drepte satisface această condi\ie de a face distic\ie între drepte.

filosof şi logician, este mai preocupat decât geometri să definească cât se poate de precis conceptele folosite. Astfel, în cartea sa Process and Reality, el dă aceeaşi definiţie pentru plan ca şi cea dată aici, afirmând totodată că definiţia este valabilă pentru toate geometriile (inclusiv cele non-euclideene).20 El însă nu a mers mai departe ca să analizeze implicaţiile geometrice ale acestei definiţii.

Începând de la Euclid până la descoperirea geometriilor neeuclidiene, sarcina principală a geometrilor a fost demonstrarea postulatului paralelelor. D. Brânzei afirmă în Bazele raţionamentului geometric: <De la Euclid şi până acum circa un secol evoluţia geometriei este strâns corelată cu încercările de demonstrare a postulatului V ‚al paralelelorƒ>.21

După descoperirea geometriilor neeuclidiene încercările de a demonstra postulatul au căzut în completă dizgraţie încât E. Colerus afirmă următoarele: <Vom accentua ... că postulatul paralelelor este nu numai nedemonstrat, ci că el este şi nedemonstrabil>.22 Domeniul principal de cercetare în geometrie după descoperirea geometriilor neeuclidiene a fost tocmai aceste geometrii. Ele au constituit un punct culminant care au schimbat complet orientarea geometrilor. Despre revoluţia produsă de ele tot E. Colerus afirmă că este <poate cea mai mare pe care a cunoscut-o istoria ştiinţelor>.23 Este în acelaşi timp tragic şi comic să vezi cât efort zadarnic a fost depus de către geometri, şi nu numai de ei, fie căutând să demonstreze postulatul paralelelor fie elaborând geometriile neeuclidiene, datorită unei lipse de precizie în definiţie. Problema geometriei nu era legată de postulatul paralelelor spre care şi-au concentrat cu toţii eforturile ci era legată de o <banală> definiţie.24

Postulatul paralelelor nu este mai special decât celelalte deşi se afirmă că Lobachevsky şi J. Bolyai au <demonstrat> că el este independent de celelalte postulate şi deşi geometria construită doar pe baza acestora din urmă este numită <geometria absolută>. E. Colerus de exemplu, afirmă că: <Dacă această axiomă ‚a paralelelorƒ ... nu ar fi totalmente independentă de celelalte axiome, nu ar putea exista o astfel de geometrie pe sferă>.25 De fapt, orice axiomă trebuie să fie total independentă de celelalte în sensul că prin negarea ei se poate construi geometrii neconstradictorii. Dacă nu ar fi aşa, adică dacă negarea ei ar duce la o geometrie contradictorie, nu ar mai rămâne axiomă ci ar deveni teoremă întrucât valabilitatea ei ar putea fi demonstrată pe baza celorlalte teoreme prin reducere la absurd (care reiese din caracterul contradictoriu al geometriei construite prin negarea ei).

(Totuşi, unele teoreme, cum ar fi cea a unicităţii dreptei 20 N. A. Whitehead, Process and Reality, New York, The Free

Press, 1969, pag. 388. Whitehead mai dă =i o altă defini\ie care însă, după cum spune chiar el, este echivalentă cu cea men\ionată anterior.

21 D. Brânzei =i colaboratorii, Bazele ra\ionamentului geometric, Editura Academiei, Bucure=ti, 1983, pag. 43

22 Egmont Colerus, De la punct la a patra dimensiune, Editura Stiin\ifică, Bucure=ti, 1967, pag. 109

23 E. Colerus, De la punct la a patra dimensiune, pag. 362 24 Unii au luat în conisderare modificarea defini\iilor pentru a

rezolva problema paralelelor însă s-au preocupat de defini\ia dreptelor paralelele. Proclus (sec. V), de exemplu, a propus redefinirea dreptei paralele la o dreaptă dată ca fiind locul (sau mul\imea) punctelor care se află la o anumită distan\ă fixă fa\ă de dreapta dată. El nu a reu=it însă să arate că mul\imea acestor puncte formează o linie dreaptă.

25 E. Colerus, De la punct la a patra dimensiune, pag. 115

6determinată de două puncte (teorema 4), nu implică definiţia planului în demonstraţia lor şi, în consecinţă, pot fi demonstrate independent de ea.)

4. Definiţia dreptei

În definirea dreptei s-a apelat la conceptul prim nedefinit de <drum cel mai scurt>, care pare că necesită observaţiile noastre, pe măsurători (expresia <mai scurt> implică măsurarea). Se poate însă să retranscriem definiţia dreptei ca să evităm acest lucru.

Să presupunem că există două puncte distincte A şi B. Pentru ca ele să fie distincte ele trebuie fiecare să aibă cel puţin o proprietate, o trăsătură sau valoare. Să presupunem că ele au câte o singură proprietate pe care o reprezentăm printr-o valoare (numerică). În acest caz <drumul cel mai scurt> sau <dreapta> reprezintă procesul, funcţia sau respectiv valorile ei, prin care valoarea punctului A devine identică cu valoarea punctului B (apelăm astfel la aritmetică).

Să presupunem că punctele au două proprietăţi distincte. Aceasta înseamnă că cele două proprietăţi ale unui punct sunt independente şi este posibil ca să modificăm una din proprietăţi sau valori fără ca cealaltă să se modifice. Fie A(xa, ya) şi B(xb, yb). Dreapta este o funcţie prin care se ajunge de la A la B. Fie xb’ valoarea relativă xb faţă de xa: xb’ ˆ xb – xa. Fie A’(xm, yn) un punct intermediar definit conform relaţiilor de mai jos şi xm’ valoarea relativă a lui xm faţă de xa: xm’ ˆ xm – xa. Avem: xm’ ˆ xb’/m şi yn’ ˆ yb’/n (m şi n pot să varieze independent). Punctul A’(xm, yn) aparţine dreptei AB dacă m ˆ n. Există o multitudine de <drumuri> de la A la B, sau de modalităţi de modifica pe A ca să devină B, dar există un drum unic sau un proces unic, care dă dreapta. S-a definit astfel dreapta conceptual, fără să se mai facă apel la noţiuni legate de lumea reală cum ar fi măsurarea. Mai mult, din această definiţie rezultă şi unicitatea dreptei, întrucât această relaţie sau funcţie este unică.

Anexe

Anexa A. - Teorema sau principiul identităţii ‚ABƒ ˆ

‚BAƒ

Pentru a vorbi despre lungimi am introdus expresia de «drum parcurs». Această exprimare ne ajută să înţelegem intuitiv lungimea pentru că are un corespondent în lumea fizică pe care o experimentăm. Parcurgerea unei distanţe este un concept introdus din fizică, legat de noţiune de mişcare şi implicit de noţiunea de timp. matematicii, în cazul nostru geometria. Spaţiul geometric este caracterizat de stări nu de procese cum este caracterizat spaţiul fizic. Dacă, însă, prin terminologia folosită am introdus timpul şi mişcarea, trebuie ca acesta din urmă să fie simetrică faţă de timp – stările mişcării (punctele) trebuie să fie identice dacă derulăm mişcarea în sens invers, dând astfel timpul înapoi. Astfel, să presupunem că s-a parcurs drumul dintre două puncte distincte A şi B. Acum, dacă derulăm timpul sau mişcarea înapoi (deci dacă se parcurge drumul din B în A) se va trece prin exact aceleaşi puncte sau stări prin care s-a trecut când s-a parcurs drumul în celălalt sens (din A în B). Deci, cele două drumuri sunt identice – ‚ABƒ ˆ ‚BAƒ.26 Mişcarea care nu este simetrică faţă de timp (simetria T), ceea ce implică faptul că nu este simetrică nici faţă de direcţie27 (simetria P), depinde de timp şi nu poate fi folosită pentru descrierea relaţiilor geometrice care sunt atemporale.

Anexa B - Teoreme elementare (de construcţie şi de

ordonare)

Teoremele de construcţie (ale punctului, a segmentului de dreaptă, a dreptei şi a planului). Acestea se bazează pe principiul existenţei (teorema 1). Pe baza lui putem afirma existenţa punctului, a dreptei, a planului şi a spaţiului tridimensional întrucât existenţa nici unuia din aceste «entităţi geometrice» nu este contradictorie şi nu duce la contradicţii. După cum am văzut (teorema 8), existenţa unui spaţiu 4-dimensional este contradictorie. De asemenea, principiul ne permite să afirmăm că dreapta, planul şi spaţiul geometric sunt infinite ca extindere iar segmentul de dreaptă este infinit în ce priveşte divizibilitatea.

Mai întâi, principiul ne permite să afirmăm existenţa punctului (să-l numim punctul A). Putem acum afirma existenţa unui alt punct B diferit de A astfel încât pentru a se ajunge de la A la B trebuie să se parcurgă o distanţă nenulă şi se poate ajunge de la A la B parcurgându-se o distanţă finită. Deci, fiind două puncte diferite există cel puţin un drum nenul de la un punct la celălalt şi cel puţin unul dintre drumuri este cel mai scurt. Pentru ca cele două entităţi geometrice elementare (pe care le-am numit puncte) să fie poată fi distincte am introdus o relaţie care să le diferenţieze – lungimea sau distanţa, exprimată în termenii <drumului cel mai scurt> (dintre puncte). Acest drum cel mai scurt îl numim segment de dreaptă. Întrucât punctele sunt diferite iar drumul nenul, lungimea segmentului va avea o valoare finită diferită de zero. Fie n această valoare. Dar, întrucât lungimea punctului are valoarea zero vom avea n ˆ ∞·0. Aşadar, un segment este format dintr-o infinitate de puncte – între

26 Dacă este posibil ca drumul parcurs între A =i B să fie parcurs =i

între B =i A =i invers (condi\ie satisfăcută de simetria fa\ă de timp), atunci drumul cel mai scurt dintre A =i B =i totodată între B =i A este identic.

27 Dacă mi=carea este de la stânga la dreapta, schimbarea direc\iei timpului face să se schimbe =i direc\ia mi=cării – acesta va fi acuma de la dreapta la stânga.

7oricare două puncte distincte există o infinitate de puncte.

Fie C un punct între A şi B. Deci, drumul cel mai scurt de la A la B va trece mai întâi prin punctul C. Aceasta înseamnă că ‚ACƒ ‚ABƒ şi ‚CBƒ ‚ABƒ (1).28 Aceste relaţii implică faptul că cele trei puncte sunt distincte. Să presupunem acum că C nu este între B şi A. Să presupunem că B este între C şi A. Aceasta înseamnă că ‚CBƒ ‚CAƒ (2). Dar, ‚ACƒ ˆ ‚CAƒ (3) (vezi anexa 1). Relaţiile (1), (2) şi (3) sunt contradictorii, deci presupunerea că B este între C şi A este falsă. La fel se poate arăta că nici cealaltă presupunere – că A este între C şi B, este falsă. Deci, dacă C este un punct între A şi B el este un punct şi între B şi A. Deci, dintre trei

puncte colineare doar unul poate fi între celelalte două. (Au fost demonstrate axiomele de ordonare 1 şi 3 ale lui Hilbert.)

Pe baza principiului existenţei entităţilor geometrice afirmăm că pentru orice segment ‚ABƒ există un punct C astfel încât ‚ABƒ ‚ACƒ şi ‚ABƒ inclus în ‚ACƒ (deci B se află între A şi C). Existenţa unui astfel de punct C nu este contradictorie, deci el există în spaţiul geometric (axioma de ordonare 2 a lui Hilbert). Dacă pentru orice segment ‚ABƒ există un punct C astfel încât B se află între A şi C, ‚ABƒ ‚ACƒ şi ‚ABƒ este inclus în ‚ACƒ atunci va exista un punct D astfel încât ‚ACƒ ‚ADƒ etc. Deci segmentul ‚ACƒ poate fi oricât de mare, adică infinit, şi pe baza principiului existenţei, dacă poate să fie un astfel de segment atunci el există în spaţiul geometric. Să numim acest segment pentru care una dintre extremităţi este infinit depărtată faţă de un punct de pe segment (C faţă de B) iar cealaltă este finit depărtată faţă de punctul respectiv (A faţă de B) semidreaptă. La fel putem construi dreapta care are ambele extremităţi infinit depărtate

faţă de un punct de pe ea. Fie d dreapta cosntruită. Pe baza aceluiaşi principiu

afirmăm că există un punct exterior dreptei d. Fie A acest punct. Întrucât dreapta conţine o infinitate de puncte vor exista o infinitate de drumuri de la A la dreapta d. Cel puţin unul dintre ele va fi drumul cel mai scurt de la A la d. Acesta este un segment de dreaptă şi îl putem extinde la infinit, construind o dreaptă. Numim această dreaptă29 determinată de drumul cel mai scurt de la un punct la o dreaptă perpendiculara de la dreaptă prin punctul respectiv. Afirmăm acum că există o infinitate de perpendiculare la o dreaptă corespunzătoare fiecărui punct de pe dreaptă. Am ajuns astfel la plan. Afirmăm acum că prin fiecare punct al unei drepte pot trece o infinitate de perpendiculare sau printr-o dreaptă trec o infinitate de plane şi am ajuns acum la spaţiu. La el se poate ajunge şi dacă afirmăm existenţa unui punct neinclus în plan după care definim perpendiculara la plan pe care o extindem la fiecare punct al planului.

Pe baza principiul existenţei entităţilor geometrice putem afirma şi existenţa dreptelor paralele – existenţa lor este necontradictorie, deci pot să existe drepte paralele, deci, în spaţiul geometric, există drepte paralele.

Din definiţiea spaţiului geometric, pe baza satisfacerii principiului existenţei, rezultă afirmaţia axiomei de completitudine (a doua axiomă de continuitate a lui Hilbert) – elementele geometriei formează un sistem complet de entităţi geometrice astfel încât nu i se pot adăuga alte entităţi geometrice care să fie necontradictorii. 28 Definim expresia <a fi între> în func\ie de no\iunile de <mai

mare> =i <mai mic>. 29 Se poate lăsa deschisă posibilitatea ca perpendiculara să nu fie

formată dintr-o dreaptă unică. Teorema 3 ]nsă va impune aceasta.

Anexa C - Teorema simetriei şi cea lui Pasch

Teorema simetriei. Considerăm o dreaptă a conţinută într-un plan. Intersecţia acestei drepte cu alte drepte conţinute în plan este un punct iar un punct împarte o dreaptă în două semidrepte. Vom numi semiplan determinat de dreapta a mulţimea tuturor punctelor semidreptelor de aceeaşi parte a dreptei a determinate de intersecţia dreptei a cu celelalte drepte ale planului. Un punct împarte dreapta în două semidrepte de o parte şi de alta (vezi cosntrucţia dreptei şi a semidreptei). Toate punctele uneia dintre semidrepte cu excepţia punctului care determină semidreapta vor fi într-un semiplan iar toate punctele celeilalte semidrepte cu excepţia aceluiaşi punct vor fi în celălalt semiplan (vezi construcţia semiplanului). Deci, dacă avem trei puncte colineare A, B şi

C, B fiind între A şi C, iar A se află într-un semiplan

determinat de o dreaptă care trece prin B atunci C se află în

celălalt semiplan. Teorema axiomei lui Pasch (a patra axiomă de ordonare a

lui Hilbert sau axioma lui Pasch). Fie trei puncte necolineare A, B şi C. Fie a o dreaptă în planul determinat de cele trei puncte care intersectează dreapta AB într-un punct D între A şi B. Dreapta a va intersecta segmentul ‚ACƒ sau ‚BCƒ. Să dăm demonstraţia. Fie Y semiplanul determinat de dreapta AB care conţine punctul C iar Z celălalt semiplan. Pe baza teoremei 2 dreapta a va intersecta cel puţin una din dreptele AC sau BC. Să presupunem că intersectează ambele drepte. Să presupunem că intersectează dreapta AC de partea lui A într-un punct E (astfel încât punctul A să fie între punctul E şi punctul B). Să presupunem că dreapta a intersectează dreapta BC într-un punct F astfel încât F-B-C. Să presupunem că E-D-F. E se află în semiplanul Z (1) iar C în Y. Avem F-B-C, deci F se află în semiplanul opus celui care îl conţine pe C, deci se află în semiplanul Z (2). Concluziile (1) şi (2) contrazic teorema simetriei. La fel, se contrazice aceeaşi teoremă raportat la semiplanele determinate de dreptele BC sau AC dacă se presupune că D-E-F sau D-F-E. Deci, presupunerea că avem relaţia F-B-C este falsă. La fel, presupunerea că avem relaţia B-C-F este falsă întrucât contrazice aceeaşi teoremă a simetriei sau se ajunge pe baza acestei teoreme la concluzia că două drepte diferite se intersectează în mai mult de două puncte, concluzie care contrazice teorema 4. Rămâne doar cazul că avem relaţia B-F-C, care satisface teorema pe care o demonstrăm. Aceeaşi demonstraţie se aplică şi cazului în care avem relaţia A-C-E.

Să luăm acum cazul în care dreapta a intersectează doar una dintre dreptele AC sau BC. Să presupunem că aAC intersectează dreapta BC în punctul F. Putem face aceeaşi demonstraţie ca mai sus presupunând că dreapta a intersectează dreapta AC într-un punct E infinit depărtat faţă de A sau B. Putem să facem demonstraţia şi în alt mod. Dacă a nu se intersectează cu AC atunci toate punctele dreptei a se află în acelaşi semiplan determinat de AC. Deci relaţia B-C-F nu este posibilă (3). Să presupunem că F-B-C. Ducem prin B paralela b la dreapta AC. Pentru că F-B-C, F aparţine semiplanului format de dreapta b opus celui care conţine dreapta AC (fără să aparţină dreptei b) (4). Pentru că A-D-B, D aparţine semiplanului format de dreapta b care conţine dreapta AC (fără să aparţină dreptei b) (5). Din (4) şi (5) şi teorema simetriei rezultă că dreapta FD (dreapta a) va intersecta dreapta b (6). Însă, bAC şi FDAC (7). Concluziile (6) şi (7) încalcă teorema paralelelor (teorema 6)

8

şi prin urmare nu putem avea relaţia F-B-C (8). Din (3) şi (8) rezultă că avem relaţia B-F-C, ceea ce satisface teorema.

În concluzie, fie că a intersectează şi pe BC şi pe AC fie

că intersectează doar una din ele, ea intersectează unul din segmentele ‚BCƒ sau ‚ACƒ.

Tot ce este nevoie este să existe întotdeauna o dreaptă care să intersecteze două puncte. Dacă această cerinţă nu este satisfăcută întotdeauna atunci se pune întrebarea ce fel de spaţiu geometric este acela în care există două puncte astfel încât nu există nici o dreaptă care să le unească? Dacă nu există nici un drum drept care să unească acele două puncte atunci, implicit, nu există nici un fel de drum care să facă aceasta (dacă ar exista un drum, atunci, fiind unic, el ar fi drumul cel mai scurt, deci ar fi drumul drept)! Această concluzie este incompatibilă cu unicitatea spaţiului geometric. Cum s-ar putea ca două puncte care nu pot fi legate în nici un fel între ele să aparţină aceluiaşi spaţiu geometric? Un astfel de spaţiu ar fi rupt în două spaţii distincte, independente. De la două astfel de puncte neraportabile unul la celălalt se poate porni ca să se construiască două spaţii geometrice <paralele> independente. Însă natura spaţiului geometric (vezi definiţia lui) implică unicitatea lui şi exclude orice alt spaţiu <paralel>. De fapt, posibilitatea unirii a două puncte printr-un segment de dreaptă nenul este condiţia şi garanţia distincţiei dintre ele.

Anexa D - Demonstraţii ale postulatului paralelelor care

nu necesită definirea precisă a planului

Notă: Semnul Σ reprezintă suma unghiurilor unui poligon iar ∆ reprezintă diferenţa dintre suma unghiurilor pe care un poligon le-ar avea în geometria euclidiană şi suma unghiurilor pe care acesta le are în geometria lobacevskiană (de care ne vom ocupa). Să numim această diferenţă dintre suma unghiurilor în cele două geometrii diferenţă unghiulară. Este uşor de observat că diferenţa unghiulară pentru un poligon este egală cu cu suma diferenţelor unghiulare a poligoanelor care îl compun.

Demonstraţia 1

Pornim de la premiza că suma unghiurilor într-un triunghi este mai mică decât π (premiză echivalentă cu postulatul geometriei lobacevskiane care afirmă că dintr-un punct

exterior unei drepte se poate duce o infinitate de drepte paralelele cu acea dreaptă).

Demonstraţia 2

Pornim iarăşi de la premiza că suma unghiurilor într-un triunghi este mai mică decât π. Primul lucru pe care îl demonstrăm este că lungimea perpendicularei dusă de la o dreaptă la o altă dreaptă pe care o intersectează poate să crească indefinit de mult. Cazul în care acest lucru nu este adevărat este reprezentat de figura alăturată (BC ⊥ AC şi DE ⊥ AE). În acest caz lungimea perpendicularelor nu creşte indefinit de mult şi orice perpendiculară ridicată de pe dreapta AC va intersecta dreapta AB. Acest lucru este însă valabil pentru geometria riamnniană şi nu pentru cea lobacevskiană (de care ne ocupăm aici). Cu cât ne depărtăm mai mult de punctul A,lungimea a două perpendiculare (BC şi DE) este tot mai apropiată, tinzând să fie egală (perpendiculara DE creşte faţă de perpendiculara BC într-o măsură tot mai mică). Aceasta înseamnă că unghiurile DBC (care este mai mare decât π/2) şi BDE (care este mai mic decât π/2) tind să fie egale, adică tind spre valoarea de π/2. Însă, în geometria lobacevskiană, BDE trebuie să tindă să fie tot mai mic şi nicidecum să tindă să fie tot mai mare (să tindă spre π/2) pentru că în acest caz ne-am putea îndepărta suficient de mult de punctul A astfel încât suma unghiurilor triunghiului ∆ADE ar fi mai mare decât π/2 oricare ar fi mărimea unghiului DAE.

În cazul geometriei lobacevskiane este adevărat cazul reprezentat de figura următoare. În această geometrie o perpendiculară (dreapta c din figură) ridicată de pe o dreaptăa nu intersectează întotdeauna o dreaptă b care intersectează dreapta a. Altfel, s-ar putea dovedi foarte uşor că geometria lobacevskiană este contradictorie.30

30 Ducem o perpendiculară de pe b pe a =i se formează un triunghi, ∆ABC, unghiul BCA fiind unghi drept iar punctul A fiind punctul de intersec\ie a dreptelor a =i b. Construim un triunghi idenctic cu primul, ∆BCD, BCD fiind unghi drept. Ridicăm din punctul D o perpendiculară pe dreapta a care va intersecta dreapta b într-un punct E. Vom avea un nou triunghi drept ∆ADE care va avea un ∆ de două ori mai mare decât a triunghiului ∆ABC. Acum construim un triunghi identic cu triunghiul ∆ADE =i vom ob\ine astfel un triunghi care va avea un ∆ de două ori mai mare decât al triunghiului ∆ADE =i de patru ori mai mare decât a triunghiului ∆ABC. Dacă o perpendiculară ridicată pe dreapta a va intersecta întotdeauna dreapta b atunci vom putea continua procesul descris anterior la infinit =i vom ob\ine un triunghi care va avea un ∆ mai mare decât π (adică suma unghiurilor sale va fi negativă!) indiferent cât de mic este ∆ pentru triunghiul ABC.

a

b c

A

B D

C E