Geometria Maselor

5/11/2018 Geometria Maselor - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-maselor 1/30

4. Geometria maselor

51

4. GEOMETRIA MASELOR

4.1. Centre de greutate (centre de masă)

4.1.1. Centrul de greutate şi de masă al unui sistem de puncte materiale

Se consideră in fig 4.1 un sistem de puncte materiale A1, A2,…, An,având masele m1, m2,…, mn situat în câmpul gravitaional al Pământului. Secunosc vectorii de poziie n21 r,...,r,r , respectiv coordonatele punctelor (x1, y1,z1), (x2, y2, z2),…, (xn, yn, zn) într-un sistem de referină Oxyz legat de Pământ.

Punctul material Ai, (i=1,2,…n), este atras de Pământ cu o foră gmG ii = numită greutate. Pe un domeniu restrâns, situat în apropierea

Pământului, se poate neglija atât variaia direciei cât şi a intensităii acceleraiei

gravitaionale g . Ca urmare greutăile punctelor formează un sistem de foreparalele de acelaşi sens.

Fig. 4.1

Rezultanta greutăilor punctelor reprezintă greutatea sistemului depuncte materiale:

gMgmgmGG n

1ii

n

1i

n

1iii =

=== ∑∑ ∑

== =

(4.1)

S-a notat cu “M” masa sistemului de puncte, egală cu suma maselor punctelor:

∑=

=n

1iimM (4.2)

Centrul forelor de greutate, unde se aplică greutatea totală a sistemului

de puncte, se numeşte centru de greutate şi se notează cu “C”. Poziia lui este

Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.

http://www.e-pdfconverter.com/




Statica

52

data de relaiile pentru determinarea poziiei centrului forelor paralele în carescalarul iF al forei paralele iF se înlocuieşte cu greutatea iG a punctului iA :

M

rm

m

rm

gm

rgm

G

rG

ri

n

1i

i

n

1ii

i

n

1i

i

n

1ii

i

n

1i

i

n

1ii

i

n

1i

i

C

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑=

=

=

=

=

=

= ==== (4.3)

Se observă că în expresia finală a vectorului de poziie al centrului degreutate apar numai masele punctelor şi din acest motiv centrul de greutate semai numeşte centrul maselor sau centru de masă . Coordonatele centrului degreutate (de masă) în reperul Oxyz vor fi :

∑

∑

=

==n

1ii

i

n

1ii

C

m

xmx ;

∑

∑

=

==n

1ii

i

n

1ii

C

m

ymy ;

∑

∑

=

==n

1ii

i

n

1ii

C

m

zmz (4.4)

Expresiile i

n

1iixm∑

=

, i

n

1ii ym∑

=

, i

n

1iizm∑

=

de la numărătorii relaiilor (4.4)

se numesc momente statice ale sistemului de puncte faă de planele yOz, zOx,

xOy, iar expresia i1i i rm∑= este momentul static al sistemului faă de punctul O.Aceste mărimi caracterizează distribuia maselor unui sistem de puncte

materiale în reperul Oxyz.Din relatiile (4.3) si (4.4) rezultă egalităile:

Ci1i

i rMrm =∑=

; Ci1i

i Mxxm =∑=

; Ci1i

i Myym =∑=

; Ci1i

i Mzzm =∑=

(4.5)

care exprimă teorema momentelor statice conform căreia: momentul static al

unui sistem de puncte materiale în raport cu un pol este egal cu masa sistemuluiînmultit ă cu vectorul de pozi ie al centrului de greutate în raport cu acel pol,

respectiv momentul static al unui sistem de puncte materiale în raport cu un

plan este egal cu masa sistemului înmul it ă cu distan a de la centrul să u de

greutate la acel plan.

4.1.2. Centrul de greutate al unui corp oarecare

Pentru a putea aplica relaiile stabilite în cazul unui sistem de punctemateriale vom considera corpul (C) din figura 4.2 divizat într-un număr de “n”

volume iV∆ care au masa im∆ şi vectorii de poziie ai centrelor geometrice ir .







53

Fig. 4.2

Conform formulei (4.3) centrul de greutate va avea, aproximativ,vectorul de poziie:

∑

∑

=

=

∆

∆

=n

1ii

i

n

1ii

C

m

mr

r (4.6)

Trecând la limită când ∞→n , atunci sumele din expresia (4.6) se

transforma în integrale, masele im∆ , devin mase elementare “dm” iar vectoriide poziie ir devin r . Relaiile pentru calculul poziiei centrului de greutate al

unui corp oarecare vor fi:

∫

∫ =

)C(

)C(C

dm

dmr

r ;∫

∫ =

)C(

)C(C

dm

xdm

x ;∫

∫ =

)C(

)C(C

dm

ydm

x ;∫

∫ =

)C(

)C(C

dm

zdm

x (4.7)

În relaiile (4.7) r , x, y, z, sunt vectorul de poziie, respectivcoordonatele centrului de greutate ale masei elementare “dm”.

Expresiile ∫ )C(

dmr ; ∫ )C(

xdm; ∫ )C(

ydm; ∫ )C(

zdm reprezintă momentele statice

ale corpului în raport cu polul O, respectiv cu planele yOz, zOx, xOy. Dinrelaiile (4.7) se deduce teorema momentelor statice în cazul unui corp:

C

)C(

rMdmr =∫ ; C

)C(

Mxxdm =∫ ; C

)C(

Myydm =∫ ; C

)C(

Mzzdm =∫ (4.8)






Statica

54

care are un enun analog cu cel al unui sistem de puncte materiale.

4.1.3. Centrul de greutate al unui corp omogen

Pentru definirea unui corp omogen este necesară introducerea noiuniide densitate sau masă specifică.a) Blocuri (volume) omogene (fig. 4.2)

Se numeşte densitate volumetrică (de volum) medie, a unei pari micidin corp, raportul dintre masa acelei poriuni şi volumul său:

V

mVmed

∆

∆=ρ (4.9)

Se numeşte densitate volumetrică punctuală sau densitate volumetrică,

limita către care tinde densitatea volumetrică medie când V∆ tinde catre zero:

dV

dm

V

mlim

0VV =

∆

∆=ρ

→∆

(4.10)

În cazul corpurilor neomogene densitatea este variabilă:

)z,y,x(VV ρ=ρ (4.11)

În cazul corpurilor omogene densitatea este constantă:

constV

MV ==ρ (4.12)

Din (4.10) rezultă:dVdm Vρ= (4.13)

Poziia centrului de greutate al corpurilor omogene se va determina pebaza relaiilor (4.7) în care se introduce expresia (4.13) a masei elementare.După simplificare cu V ρ obinem:

∫

∫ =

)V(

)V(C

dV

dVr

r ;∫

∫ =

)V(

)V(C

dV

xdV

x ;∫

∫ =

)V(

)V(C

dV

ydV

y ;∫

∫ =

)V(

)V(C

dV

zdV

z (4.14)

Suma volumelor elementare de la numitorul relaiilor (4.14) reprezintă volumul corpului:

VdV

)V(

=∫ (4.15)







55

b) Plă ci omogene (fig 4.3)

Fig. 4.3

Se numeşte densitate superficială (de suprafaă) medie, a unei poriunimici de placă, raportul dintre masa m∆ a acelei poriuni şi aria sa S∆ :

S

mSmed

∆

∆=ρ (4.16)

Se numeşte densitate superficială punctuală sau densitate superficială,limita către care tinde densitatea superficială medie când S∆ tinde către zero:

dS

dm

S

mlim

0SS =

∆

∆=ρ

→∆

(4.17)

În cazul plăcilor neomogene densitatea este variabilă:

)z,y,x(SS ρ=ρ (4.18)

În cazul placilor omogene densitatea este constantă:

.constSM

S ==ρ (4.19)

Din (4.17) rezultă:

dSdm Sρ= (4.20)

Poziia centrului de greutate al corpurilor omogene se va determina pebaza relaiilor (4.17) în care se introduce expresia (4.20) a masei elementare.Dup

ăsimplificare cu

Sρob

inem:






Statica

56

∫

∫ =

)S(

)S(C

dS

dSr

r ;∫

∫ =

)S(

)S(C

dS

xdS

x ;∫

∫ =

)S(

)S(C

dS

ydS

y ;∫

∫ =

)S(

)S(C

dS

zdS

z (4.21)

Suma ariilor elementare de la numitorul relaiilor (4.21) reprezintă ariasuprafeei plăcii:

SdS)S(

=∫ (4.22)

c) Bare omogene (fig 4.4)

Fig. 4.4

Se numeşte densitate liniară (de lungime) medie, a unei poriuni mici debară, raportul dintre masa acelei poriuni şi lungimea sa:

l

mlmed

∆

∆=ρ (4.23)

Se numeşte densitate liniară punctuală sau densitate liniară, limita cătrecare tinde densitatea liniară medie când l∆ tinde către zero:

dldm

lmlim

0ll =

∆∆=ρ

→∆

(4.24)

În cazul barelor neomogene densitatea este variabilă:

)z,y,x(ll ρ=ρ (4.25)

În cazul barelor omogene densitatea este constantă:

.constL

Ml ==ρ (4.26)







57

Din (4.24) rezultă:dldm lρ= (4.27)

Poziia centrului de greutate al corpurilor omogene se va determina pe

baza relatiilor (4.7) în care se introduce expresia (4.27) a masei elementare.Dupa simplificare cu lρ obinem:

∫

∫ =

)L(

)L(C

dl

dlr

r ;∫

∫ =

)L(

)L(C

dl

xdl

x ;∫

∫ =

)L(

)L(C

dl

ydl

y ;∫

∫ =

)L(

)L(C

dl

zdl

z (4.28)

Suma lungimilor elementare de la numitorul relaiilor (4.28) reprezintă

lungimea barei:Ldl

)L(

=∫ (4.29)

Observa ii: a) Centrul de greutate păstreaza proprietăile centrului forelor paralele;b) Dacă un corp omogen admite un plan de simetrie, o axă de simetrie

sau un centru de simetrie atunci centrul de greutate al corpului se va afla în acelplan, pe acea axă sau în acel centru.

4.1.4. Centrul de greutate al corpurilor compuse

Fig. 4.5

Se consideră un corp (C) alcătuit din “p” corpuri de mase M1, M2,…,M

p(fig 4.5). Cunoscând poziiile centrelor de masa ale corpurilor componente,

se cere determinarea centrului de greutate al corpului compus.






Statica

58

Vectorul de poziie al centrului de greutate al corpului (C) este:

∑

∑

∑ ∫

∑ ∫

∫

∫

=

=

=

====

p

1kk

k

p

1kC

p

1k )C(

p

1k )C(

)C(

)C(C

M

Mr

dm

dmr

dm

dmr

rk

k

k (4.30)

S-a inut seama că:

kC)C(

Mrdmrk

k

=∫ ; k)C(

Mdmk

=∫ (4.31)

În cazul corpurilor compuse omogene masele kM vor fi, înlocuite,

respectiv cu volumelek

V , ariilek

S sau lungimilek

L .Astfel pentru:- blocuri (volume) omogene,

∑

∑

=

==p

1kk

p

1kkC

C

V

Vr

rk

;

∑

∑

=

==p

1kk

p

1kkC

C

V

Vx

xk

;

∑

∑

=

==p

1kk

p

1kkC

C

V

Vy

yk

;

∑

∑

=

==p

1kk

p

1kkC

C

V

Vz

zk

(4.32)

- plăci omogene,

∑

∑

=

==p

1kk

p

1kkC

C

S

Sr

rk

;

∑

∑

=

==p

1kk

p

1kkC

C

S

Sx

xk

;

∑

∑

=

==p

1kk

p

1kkC

C

S

Sy

yk

;

∑

∑

=

==p

1kk

p

1kkC

C

S

Sz

zk

(4.33)

- bare omogene,

∑

∑

=

== p

1kk

p

1k

kC

C

L

Lr

r

k

;∑

∑

=

== p

1kk

p

1k

kC

C

L

Lx

x

k

;∑

∑

=

== p

1kk

p

1k

kC

C

L

Ly

y

k

;∑

∑

=

== p

1kk

p

1k

kC

C

L

Lz

z

k

(4.34)

Observa ie: Dacă un corp (C) poate fi considerat ca provenind dintr-un corp(C1) din care a fost eliminat un corp (C2) si dacă se cunosc masele M1 si M2 şicentrele de masa C1 si C2 ale celor două corpuri, atunci poziia centrului degreutate (C) se determină cu relaia:

21

2C1CC

MM

MrMrr 21

−

−= (4.35)







59

În cazul unui corp omogen masele se înlocuiesc corespunzător cuvolume, arii sau lungimi.

4.1.5. Teoremele lui Guldin-Pappus [((Guldin, Paul, 1577-1643), (Pappus din Alexandria, secolul 4 d.H.)]

Teorema I-a: “ Aria suprafe ei generate prin rotirea unui arc de curbă

plană în jurul unei axe din planul curbei, arcul fiind situat în întregime de

aceea şi parte a axei, este egală cu produsul dintre lungimea arcului de curbă şi

lungimea arcului de cerc descris de centrul de masă al arcului de curbă ”.

Fig. 4.6

Pentru demonstraie vom considera în figura 4.6 arcul de curba “AB” delungime “L”, situat în planul xOy de acceaşi parte a axei Oy, având centrul degreutate la distana “xc” de axa Oy şi care se roteşte complet în jurul axei Oy.Va lua naştere o suprafaă de revoluie a cărei arie urmează să o calculăm.

Aria elementara “dS” a suprafeei laterale a trunchiului de con elementarrezultat prin rotirea completă a unui arc de curba elementar “dl” este:

dlx2dS π= , (4.36)

unde “x” reprezintă abscisa centrului de greutate al arcului elementar delungime “dl”.Suprafaa de revoluie generată prin rotirea completă a întregului arc de

curba “AB” va avea aria:

∫ ∫ π==)S(

B

A

dlx2dSS (4.37)

Conform (4.28):

LxdlxB

A

C∫ = (4.38)






Statica

60

Substituind (4.38) în (4.37) obinem ce am dorit să demonstrăm:

Lx2S Cπ= (4.39)

Dacă rotaia se face numai cu un unghi π≤α 2 , atunci:

LxS Cα= (4.40)

Teorema a II-a: “Volumul corpului de revolu ie generat prin rotirea

unei suprafe e plane omogene închise în jurul unei axe planul suprafe ei,

suprafa a fiind situat ă în întregime de accea şi parte a axei, este egal cu

produsul dintre aria suprafe ei şi lungimea arcului de cerc descris de centrul de

greutate al suprafe ei”.

Fig. 4.7

Pentru demonstraie vom considera, în figura 4.7, o suprafaă plană omogenă închisă de arie “S”, situată în planul xOy de acceaşi parte a axei Oy,având centrul de greutate la distanta “xC” de axa Oy şi care se roteşte complet în jurul axei Oy. Va lua naştere un corp omogen de revoluie al carui volum

urmeaza să îl calculăm.Volumul “dV” al torului elementare rezultat prin rotirea completă a unei

suprafee elementare “dS” este:

dSx2dV π= (4.41)

unde “x” reprezintă abscisa centrului de greutate al suprafeei elementare de arie“dS”.

Volumul corpului de revoluie generat prin rotirea completă a întregii

suprafee plane va fi:







61

∫ ∫ π==)V( )S(

xdS2dVV (4.42)

Conform (4.21):

SxxdS C)S(

=∫ (4.43)

Substituind (4.43) în (4.42) obinem ce am dorit să demonstrăm:

Sx2V Cπ= (4.44)

Daca rotaia se face numai cu un unghi π≤β 2 , atunci:

SxV Cβ= (4.45)

4.2. Momente de inerie

4.2.1. Momente de inerie mecanice. Momente de inerie geometrice. Rază

de giraie

Momentele de inerie mecanice sunt m

ărimi care caracterizeaz

ă

răspândirea maselor unui sistem material în raport cu elementele unui sistem dereferină dat. Cu ajutorul lor se exprimă ineria unui corp aflat în mişcare derotaie.

Fig. 4.8






Statica

62

În figura 4.8 este reprezentat un sistem de puncte materiale A1, A2,…,An, de mase m1, m2, …, mn, un plan (P), o dreaptă (∆) şi un pol O. Notăm cu“di”, “δi” şi “ri” distanele de la punctul Ai, respectiv la plan, dreaptă şi pol.

Se numeşte moment de iner ie mecanic al sistemului de puncte materiale în raport cu un plan, o dreaptă sau un pol, suma produselor dintre maselepunctelor şi pătratele distanelor la planul, dreapta sau polul considerat.

Vom nota cu: “JP” – momentul de iner ie mecanic planar, “J∆” –

momentul de iner ie mecanic axial, “JO” – momentul de iner ie mecanic polar .Expresiile acestor momente de inerie ale sistemului de puncte faă de planul(P), dreapta (∆) şi polul O sunt:

2i

n

1iip dmJ ∑

=

= ; 2i

n

1iimJ δ= ∑

=∆ ; 2

i

n

1iiO rmJ ∑

=

= (4.46)

În cazul unui corp (fig 4.9) sumele se transformă în integrale referitoarela domeniul ocupat de corp:

dmdJ)C(

2P ∫ = ; ∫ δ=∆

)C(

2dmJ ; dmrJ)C(

2O ∫ = (4.47)

Fig. 4.9

Dimensiunile şi unitaile de măsură pentru momentele de inerie sunt:

[ ] 2 L M J ⋅= , respectiv 2mkg ⋅ .







63

Analog se definesc momentele de iner ie geometrice ale unui corp înraport cu un plan, o axă sau un punct.

- pentru corpuri de volum:

dVdI )V(

2

P ∫ = ; ∫ δ=∆)V(

2

dVI ; dVrI )V(

2

O ∫ = (4.48)

- pentru plăci:

dSdI)S(

2P ∫ = ; ∫ δ=∆

)S(

2dSI ; dSrI)S(

2O ∫ = (4.49)

- pentru bare:

dldI)L(

2P ∫ = ; ∫ δ=∆

)L(

2dlI ; dlrI)L(

2O ∫ = (4.50)

Tinând seama de (4.13), (4.20) şi (4.27), în cazul corpurilor omogene, între momentele de inerie mecanice şi cele geometrice se stabileşte relaiagenerală:

IJ ρ= (4.51)

Fie un corp (C) de masă “M” şi o axă (∆) faă de care momentul deinerie mecanic este J∆. Raza de gira ie sau de iner ie, i∆, a corpului faă de o axă este distana

fictivă la care ar trebui plasată masa corpului, concentrată într-un singur punct,astfel încât momentul de inerie al punctului faă de axă să fie egal cu cel al

corpului faă de aceeaşi axă. Din egalitatea 2MiJ ∆∆ = rezultă:

M

Ji ∆

∆ = (4.52)

Analog se definesc razele de giraie faă de un plan sau un punct:

M

Ji P

P = ;M

Ji O

O = (4.53)

Dacă se ataşează corpului (C) un sistem de referină Oxyz (fig 4.10), sedefinesc următoarele momente de inerie mecanice în raport cu planeledeterminate de axele de coordonate, cu axele şi cu originea O:






Statica

64

Fig 4.10

- momente de inertie mecanice planare,

∫ =)C(

2yOz dmxJ ; ∫ =

)C(

2zOx dmyJ ; ∫ =

)C(

2xOy dmZJ (4.54)

- momente de iner ie mecanice axiale,

dmzyJ

)C(

22x ∫ += ; dmxzJ

)C(

22y ∫ += ; dmyxJ

)C(

22z ∫ += (4.55)

- moment de iner ie mecanic polar ,

∫ ++=)C(

222O dmzyxJ (4.56)

- momente de iner ie mecanice centrifugale,

dmyzJ yz ∫ = ; dmzxJ zx ∫ = ; dm xy J xy

∫ = (4.57)

Momentele de inerie planare, axiale şi polare sunt mărimi scalarepozitive sau cel puin nule, pe când momentele de inerie centrifugale pot fipozitive, negative sau nule.

Între momentele de inerie mecanice date de relaiile (4.54) – (4.57) suntevidente relaiile:

- în spaiu

xOyxOzyOzO JJJJ ++= (4.58)







65

zxOyyzOxxyOzO JJJJJJJ +=+++= (4.59)

( )zyxO

JJJ2

1J ++= (4.60)

xOyzOxx JJJ += ; yOzxOyy JJJ += ; yOzzOyz JJJ += (4.61)

zyx JJJ ≥+ ; xzy JJJ ≥+ ; yxz JJJ ≥+ (4.62)

- în plan

yxzO JJJJ +== (4.63)

4.2.2. Variatia momentelor de inertie mecanice in raport cu axe paralele.

Teorema lui Steiner

Fie un corp (C) de masa “M”, o axă (∆C) ce trece prin centrul de greutateal corpului şi o altă axa (∆) paralelă cu prima. Se cunosc: i) momentul de ineriemecanic al corpului

CJ ∆ în raport cu axa (∆C), ii) distana “d” dintre cele două

axe şi se cere aflarea momentului de inerie mecanic ∆J faă de axa (∆C).

Fig. 4.11

Pentru rezolvarea problemei se alege un sistem de referină Cxyz cu axa

Oz suprapusă peste axa (∆C) şi cu originea în centrul de greutate al corpului






Statica

66

(fig. 4.11). Axa (∆) îneapă planul xCy în punctul “B” de coordoate xB=a, yB=b.Se poate scrie relaia:

222 dba =+ (4.64)

Prin definiie:

( )dmyxJJ)C(

22zC ∫ +==∆ (4.65)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ∫ ∫ ∫ =−+−=′=′=δ=∆

)C( )C(

222

)C(

2

)C(

2 dmbyaxdmBAdmBAdmJ

∫ ∫ ∫ ∫ −−+++=)C( )C( )C(

22

)C(

22 dmyb2dmxa2dmbadmyx

(4.66)

Deoarece centrul de greutate se află în originea sistemului de referină (xC=0, yC=0, zC=0), aplicând teorema momentelor statice, obinem:

0==∫ C

)C (

Mx xdm ; 0==∫ C

)C (

My ydm (4.67)

Substituind (4.64), (4.65) şi (4.67) în (4.66) şi inând seama că

∫ =)C(

Mdm , rezultă relatia:

2MdJJC

+= ∆∆ (4.68)

care exprimă teorema lui Steiner (Steiner, Jakob, 1796-1863) cu următorulenun: “ Momentul de iner ie al unui corp (sistem material) fa ă de o axa (∆)

este egal cu momentul fa ă de axa paralelă (∆C) care trece prin centrul degreutate al corpului plus masa înmul it ă cu pă tratul distan ei dintre cele două

axe”.Din teorema lui Steiner (4.68) decurg câteva proprietăi ale variaiei

momentelor de inerie în raport cu axele paralele:1. Pentru o direcie dată, momentul de inerie minim se obine faă de

axa care trece prin centrul de greutate al corpului (sau sistemului material);2. Locul geometric al axelor paralele cu o direcie dată, faă de care

valorile momentelor de inerie sunt egale, este un cilindru circular a cărui axă de







67

simetrie trece prin centrul de greutate al corpului şi este paralelă cu direciadată;

3. Relaia dintre momentele de inerie faă de două axe paralele (∆1) şi(∆2) situate la distanele “d1” respectiv “d2” faă de centrul de greutate alcorpului este:

21

22 ddMJJ

12−+= ∆∆ (4.69)

4.2.3. Variaia momentelor de inerie mecanice centrifugale în raport cu

axe paralele

Se consideră un corp (C) de masă “M” raportat la un sistem de referină Cxyz, cu originea în centrul de greutate al corpului (fig 4.12). Sunt cunoscute

momentele de inerie centrifugale faă de acest sistem.

dmyzJ yz ∫ = ; dmzxJ zx ∫ = ; dmxyJ xy ∫ = (4.69)

Fig. 4.12

Se urmăreşte determinarea momentelor de inerie centrifugale faă desistemul O1x1y1z1 care are axele respectiv paralele cu ale reperului Cxyz şioriginea O1 în punctul de coordonate (a, b, c).

Prin definiie:

∫ =C

11zy dmzyJ11

; ∫ =C

11xz dmxzJ11

; ∫ =C

11yx dmyxJ11

(4.70)

Înlocuind în (4.70):






Statica

68

x1=x-a; y1=y-b; z1=z-c (4.71)obinem:

( )( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −−+=−−=

CCCC C

zy zdmbydmcdmbcyzdmdmczbyJ11

( )( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −−+=−−=C CCCC

xz xdmczdmadmcazxdmdmaxczJ11

(4.72)

( )( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −−+=−−=CCCCC

yx ydmaxdmbdmabxydmdmbyaxJ11

Deoarece centrul de greutate se află în originea sistemului de referină (xC=0, yC=0, zC=0), teorema momentelor statice conduce la:

0Mxxdm C)C(

==∫ ; 0Myydm C)C(

==∫ ; 0Mzzdm C)C(

==∫ (4.73)

Substituind (4.69) şi (4.73) în (4.72) şi tinând seama că Mdm)C(

=∫ ,

rezultă relaiile:

MbcJJ yzzy 11+= ; McaJJ zxxz 11

+= ; MabJJ xyyx 11+= (4.74)

care exprimă teorema lui Steiner în cazul momentelor de inerie centrifugale.

4.2.4. Variaia momentelor de inerie mecanice în raport cu axe concurente

Fig. 4.13







69

Se dă un corp (C) la care sunt cunoscute momentele de inerie axiale şicentrifugale Jx, Jy, Jz, Jxy, Jyz, Jzx, faă de un sistem de referină Oxyz (fig. 4.13 ).Fie o dreaptă (∆) care trece prin O al cărei versor are cosinusurile directoare: α,β şi γ. Se cere determinarea momentului de inerie J∆ al corpului faă de axa (∆).

Prin definiie:

dmJ)C(

2∫ δ=∆ (4.75)

Pătratul distanei “δ” de la un punct oarecare A(x,y,z) la axa (∆) se înlocuieşte cu:

( ) ( ) ( ) ( ) =⋅−=ψ −=−=δ2222222 urrcosrrOBOA ( ) ( ) =γ +β+α−++

2222 zyxzyx

( )( ) ( ) =γ +β+α−γ +β+α++= 2222222 zyxzyx ( ) ( ) ( ) zx2yz2xy2yxxzzy 222222222 γα−βγ −αβ−+γ ++β++α= (4.76)

În (4.76) a fost folosită identitatea: 1222 =γ +β+α Introducând (4.76) în (4.75) şi tinând seama de relaiile de definiie

(4.55) si (4.57) se obine relaia căutată:

zxyzxyz2

y2

x2 J2J2J2JJJJ γα−βγ −αβ−γ +β+α=∆ (4.77)

Relaia (4.77) exprimă legea de varia ie a momentelor de iner ie în

raport cu axe concurente. Forma matriceală a acesteia este:

[ ] [ ] [ ]uJuJ T⋅⋅=∆ , (4.78a)

unde:

[ ] [ ]γ βα=Tu ; [ ]

−−

−−−−

=

zzyzx

yzyyx

yzxyx

JJJ

JJJJJJ

J (4.78b)

Matricea [J] se numeste tensor iner ial sau matricea momentelor de

iner ie. Dacă sistemul material este situat în planul xOy, axa (∆) fiind de

asemenea în acest plan, înclinata cu unghiul “φ” faă de Ox, rezultă: z=0, γ=0,α=cosφ, β=sinφ, iar formula (4.77) devine:






Statica

70

ϕϕ−ϕ+ϕ=∆ cossinJ2sinJcosJJ xy2

y2

x (4.79)

Fie un corp (C) de masă M de care este invariabil legat sistemul dereferină Cxyz, cu originea în centrul de greutate al corpului, faă de care se

presupun cunoscute momentele de inerie axiale şi centrifugale: Jx, Jy, Jz, Jxy, Jyz,Jzx (fig 4.14).

Fig. 4.14

Momentele de inerie ale rigidului faă de un reper O1x1y1z1, a căruiorigine are vectorul de poziie p şi coordonatele carteziene

cz,by,ax111 OOO === în reperul Cxyz şi ale cărui axe O1x1, O1y1, O1z1 au

respectiv cosinusurile directoare (α1 ,β1, γ1), (α2 ,β2 ,γ2), (α3, β3 ,γ3) faă de axelereperului Cxyz, rezultă din relaia matriceala:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]Rp̂p̂MJRJTT

1 ⋅

⋅⋅+⋅= (4.80)

în care:

[ ]

−−

−−

−−

=

11111

11111

1111

zyzxz

zyyxy

zxyxx

1

JJJ

JJJ

JJJ

J (4.81)

- este matricea momentelor de inerie (tensorul inerial) faă de reperulO1x1y1z1;







71

[ ]

−−

−−

−−

=

zzyzx

yzyyx

yzxyx

JJJ

JJJ

JJJ

J (4.82)

- este matricea momentelor de inerie (tensorul inerial) faă de reperul Cxyz;

[ ]

γ γ γ

βββ

ααα

=

321

321

321

R (4.83)

- este matricea cosinusurilor directoare numită şi matrice de rotaie;

[ ]

−−

−

=0aba0c

bc0

p̂ (4.84)

- este matricea antisimetrică asociată vectorului de poziie al punctuluiO1 faă de punctul C;

[ ] [ ]

+−−

−+−

−−+

⋅=⋅⋅22

22

22

T

bacbca

bcacba

acabcb

Mp̂p̂M (4.85)

- este matricea de inerie a punctului O1 în care se consideră concentrată întreaga masa “M” a corpului, faă de reperul Cxyz.

4.2.5. Momente principale de inerie. Axe principale de inerie

Din relaia (4.77) se constată că momentul de inerie mecanic “J∆” faă de axa “(∆)” ce trece prin originea sistemului de referină Oxyz depinde deorientarea axei prin cosinusurile directoare α, β, γ, care respectă egalitatea:

1222 =γ +β+α (4.86)

Se numesc axe principale de iner ie, relative la un punct, acele axeconcurente în punctul dat faă de care valorile momentelor de inerie devinextreme. Momentele de inerie în raport cu aceste axe se numesc momente

principale de iner ie. Determinarea momentelor principale de inerie conduce la aflarea

extremelor unei funcii supuse la legături. În Analiza matematică, pentrudeterminarea extremelor legate sau condiionate ale unei funcii de mai multe






Statica

72

variabile, se utilizează îndeosebi metoda lui Lagrange (Lagrange, Joshep-Louis,1736-1813). Metoda constă în înlocuirea funciei de studiat

y = f (x1, x2, …, xn) , (4.87)

între variabilele căreia există “p<n” relaii de legatură:

φ1(x1, x2, …, xn)=0φ2(x1, x2, …, xn)=0………………….. (4.88)φp(x1, x2, …, xn)=0.

cu o funcie auxiliară

j

p

1 j

jy ϕλ+=Φ ∑=

, (4.89)

în care “λ j” sunt parametri nedeterminai, numiti multiplicatorii lui Lagrange.Noua funcie depinde de “n+p” variabile considerate independente. Pentru cafunctie Φ sa aibă un extrem este necesar ca cele “n + p” derivate pariale înraport cu (x1, x2, …, xn) , (λ 1 ,λ 2 ,…,λ p) să se anuleze:

0x i

=∂

Φ∂, (i=1, 2, …, n); j

i

ϕ≡λ∂

Φ∂(x1, x2, …, xp) = 0, (j=1, 2, …, p) (4.90)

Din sistemul (4.90), de “n + p” ecuaii, în general neliniare, se determină multiplicatorii “λ j (j =1, 2, …, p)” şi valorile variabilelor “xi, (i=1, 2, …, n)”pentru care funcia “y” devine staionară, f ără a putea preciza caracterulextremului.

În cazul funciei (4.77) există o singură relaie de legatură, de forma(4.88), între variabilele reprezentate de cosinusurile directoare:

Φ(α, β, γ)≡1- α2- β2- γ2=0 (4.91)

Funcia ajutătoare va fi:

222zxyzxy

2z

2y

2x 21J2J2J2JJJ γ −β−α−λ+γα−βγ −αβ−γ +β+α=Φ

(4.92)

Egalând cu zero derivatele pariale ale acestei funcii,

02J2J2J2zxxyx

=λα−γ −β−α≡α∂

Φ∂;







73

02J2J2J2 yzxyy =λβ−γ −α−β≡β∂

Φ∂;

02J2J2J2 zxyzz =λγ −α−β−γ ≡γ ∂

Φ∂,

obinem un sistem liniar şi omogen în necunoscutele α, β, γ:

( )

( )( )

=γ λ−+β−α−

=γ −βλ−+α−

=γ −β−αλ−

0JJJ

0JJJ

0JJJ

zyzzx

yzyyz

zxxyx

(4.93)

care nu admite soluii banale α = 0, β = 0, γ = 0, întrucât α2+β2+γ2=1. Rezultă că determinantul format cu coeficienii necunoscutelor trebuie să fie nul:

0

JJJ

JJJ

JJJ

zyzzx

yxyyx

zxxyx

=

λ−−−

−λ−−

−−λ−

(4.94)

Deoarece elementele determinantului sunt simetrice faă de diagonalaprincipală ecuaia de gradul trei care rezultă din dezvoltarea lui are întotdeauna

rădăcini reale:

0LLL 322

13 =+λ−λ+λ− , (4.95)

unde:

=−−−−=

++=−−−++=

++=++=

321zxyzxyy2zxx

2yzz

2xyzyx3

1332212zx

2yz

2xyxzzyyx2

321zyx1

JJJJJJ2JJJJJJJJJL

JJJJJJJJJJJJJJJL

JJJJJJL

(4.96)

Coeficientii L1, L2, L3 sunt trei invariani (liniar, pătratic şi cubic) care nudepind de alegerea sistemului de referinta Oxyz.

Se demonstrează ca rădăcinile ecuatiei (4.95) sunt chiar valorile extremeale momentului de inerie J∆.

Inlocuind λ =λ 1 in (4.93) şi asociind (4.91) rezultă cosinusurile directoareα1 ,β1 ,γ1 ale axei principale ∆1 în raport cu care momentul de inerie J∆ devineextrem. In baza relaiei (4.77) valoarea momentului de inerie corespunzatoare

acestei direcii este:






Statica

74

11zx11yz11xy21z

21y

21x1 J2J2J2JJJJ αγ −γ β−βα−γ +β+α= (4.97)

Rescriem ecuaiile (4.93), care sunt verificate de λ =λ 1 , α=α1 ,β=β1, γ=γ1:

( )( )

( )

=γ λ−+β−α−

=γ −βλ−+α−

=γ −β−αλ−

0JJJ

0JJJ0JJJ

11z1yz1zx

1yz11y1yz

1zx1xy11x

(4.98)

Înmulim prima ecuaie cu α1, a doua cu β1, a treia cu γ1 şi le adunăm:

0J2J2J2JJJ 21

21

21111zx11yz11xy

21z

21y

21x =γ +β+αλ−αγ −γ β−βα−γ +β+α

(4.99)inând seama de (4.86) şi comparând relaiile (4.99) şi (4.97), rezultă că λ 1=J1. Analog se demonstrează că λ 2=J2, λ 3=J3. Axele corespunzatoareparametrilor λ 2 si λ 3 le vom nota cu (∆2) respectiv (∆3).

Momentele de inertie J1, J2, J3 sunt momentele principale de inerie, iaraxele (∆1), (∆2), (∆3) corespunzatoare, axele principale de inerie.

Observa ii privind axele principale de iner ie 1. Cele trei axe principale de inerie formează un sistem cartezian

triortogonal.Pentru demonstraie se multiplică ecuaiile (4.98), respectiv cu α2, β2, γ2

şi se adună:

( )

( ) ( ) ( ) 0JJJ

JJJ

1221zx1221yz1221xy

21z21y21x2121211

=αγ +αγ −βγ +βγ −αβ+αβ−

−γ γ +ββ+αα+γ γ +ββ+ααλ−(4.100)

Se rescrie sistemul (4.93) pentru λ =λ 2 , α=α2, β=β2, γ=γ2, se înmulescecuaiile, respectiv cu α1, β1, γ1 şi se adună:

( )

( ) ( ) ( ) 0JJJ

JJJ

1221zx1221yz1221xy

21z21y21x2121212

=αγ +αγ −βγ +βγ −αβ+αβ−

−γ γ +ββ+αα+γ γ +ββ+ααλ−(4.101)

Făcând diferena relaiilor (4.101) şi (4.100) rezultă:

( )( ) 021212121 =γ γ +ββ+ααλ−λ (4.102)

Întrucât, în general, λ 1 ≠λ 2, relaia (4.102) devine:







75

0212121 =γ γ +ββ+αα (4.103)

Membrul din stânga relaiei (4.103) reprezintă produsul scalar alversorilor axelor (∆1) şi (∆2):

21212121 uu γ γ +ββ+αα=⋅ (4.104)Ester evident că:

0uu 21 =⋅ (4.105)

adică axele (∆1) şi (∆2) sunt ortogonale. Analog se demonstrează perpendicularitatea axelor (∆2) si (∆3), respectiv (∆3) şi (∆1).

Ca parametrii directori ai axelor principale de inertie pot fi consideratiminorii uneia din liniile determinantului (4.94) în care s-a inlocuit λ , respectiv

cu J1, J2, J3:- pentru axa (∆1),

1zzy

yz1y

JJJ

JJJ

−−

−−;

zx1z

yxyz

JJJ

JJ

−−

−−;

yzzx

1yyx

JJ

JJJ

−−

−−(4.106)

- pentru axa (∆2),

2zzy

yz2y

JJJ

JJJ

−−

−−

; zx2z

yxyz

JJJ

JJ

−−

−−

; yzzx

2yyx

JJ

JJJ

−−

−−

(4.107)

- pentru axa (∆3),

3zzy

yz3y

JJJ

JJJ

−−

−−;

zx3z

yxyz

JJJ

JJ

−−

−−;

yzzx

3yyx

JJ

JJJ

−−

−−(4.108)

2. Axele principale de inerie care trec prin centrul de greutate al

sistemului material se numesc axe principale centrale de iner ie.3. În raport cu planele determinate de axele principale de inerie,momentele de inerie centrifugale sunt nule.

Pentru demonstraie vom considera un sistem de referinta Ox1y1z1 înraport cu care momentele de inerie centrifugale sunt nule:

0J11yx = ; 0J

11zy = ; 0J11xz = (4.109)

Presupunând cunoscute momentele de inerie axiale1xJ ,

1yJ ,1zJ ,

momentele de inertie principale rezultă din ecuaia:






Statica

76

( )( )( ) 0JJJ

J00

0J0

00J

111

1

1

1

zyx

z

y

x

=λ−λ−λ−=

λ−

λ−

λ−

(4.110)

Rezultă că:1x11 JJ ==λ ,

1y22 JJ ==λ ,1z33 JJ ==λ , adică sistemul

Ox1y1z1 este construit pe axele principale de inerie.4. Momentul de inerie faă de o axa (∆), care trece prin O şi care este

definită prin cosinusirile directoare α, β, γ în raport cu axele principale deinerie este:

23

22

21 JJJJ γ +β+α=∆ (4.111)

5. Daca sistemul material este situat într-un plan (de exemplu planulxOy) atunci:

0z = ; ∫ =

)S(x ydmJ ; ∫ =

)S(y xdmJ ; ( )∫ +==+=

)S(yxO

22z JJJdmyxJ ;

∫ =

)X(xy xydmJ ; 0JJ xzyz == (4.112)

Ecuaia (4.94) devine:

0

J00

0JJ

0JJ

O

yyx

xyx

=

λ−

λ−−

−λ−

(4.113)

sau,

( ) ( ) 0JJJJJJ 2xyyxyx

2O =−+λ+−λλ− (4.114)

având rădăcinile:

2xy

2xyyx

2,12,1 J2

JJ

2

JJJ +

−±

+==λ ; O33 JJ ==λ (4.115)

Cunoaşterea momentelor principale de inerie dă posibilitatea aflăriimomentelor de inerie în raport cu orice alt sistem Oxy având acceaşi origine cusistemul axelor principale şi fiind rotit cu unghiul “α” faă de acesta:

α+α= 22

21x sinJcosJJ ; α+α= 2

22

1y cosJsinJJ ; (4.116)







77

α−

= 2sin2

JJJ 21

xy (4.117)

Direciile principale, pentru care momentul de inerie devine extrem, seobin anulând derivata în raport cu unghiul “φ” a expresiei J∆ data de (4.79):

( ) 0sincosJ2cossinJ2sincosJ2d

dJ 22xyyx =ϕ−ϕ−ϕϕ+ϕϕ−=

ϕ∆ (4.118)

Rezultă:

xy

xy

JJ

J22tg

−=ϕ (4.119)

Din această relaie se obin pentru unghiul “φ” două valori “φ1” şi “φ2”,care diferă între ele cu π /2, fapt ce demonstrează că direciile principale suntperpendiculare.

4.2.6. Elipsoidul de inertie

Expresia (4.77), reprezentând legea de variaie a momentului de inerie în raport cu axe concurente, poate fi susceptibilă de o interpretare geometrică dacă pe axa (∆) de orientare (α, β, γ) se consideră un punct “Q” astfel incât:

∆

=JHOQ (4.120)

unde J∆ este momentul de inerie mecanic al corpului faa de axa (∆), iar H esteo constantă de dimensiune astfel încât fracia din membrul doi sa aibă dimensiune de lungime. În particular, constanta “H” poate lua valoarea “1”(H=1).

Se cere aflarea locului geometric al punctului Q atunci cănd axa (∆) işischimbă orientarea.

Vom nota cu “x, y, z” coordonatele punctului Q în sistemul de referină Oxyz (fig. 4.15). Cosinusurile directoare ale axei (∆) pot fi exprimate astfel:

H

Jx

OQ

x ∆==α ;

H

Jy

OQ

y ∆==β ;

H

Jz

OQ

z ∆==α (4.121)

Înlocuind (4.121) în (4.77) obinem locul geometric căutat:

2zxyzxy

2z

2y

2x HzxJ2yzJ2xyJ2zJyJxJ =−−−++ (4.122)






Statica

78

Fig. 4.15

Rezultă că locul geometric al punctului “Q” este o cuadrică închisă cucentrul în “O” denumită de Poinsot (Poinsot, Louis, 1777-1859) elipsoid de

iner ie corespunzator punctului “O”. Acesta reprezintă imaginea geometrică alegii de variaie a momentului de inerie în raport cu axele concurente în “O”.

Presupunând cunoscut elipsoidul de inerie relativ la punctul “O”,

momentul de inerie faă de o axa (∆) care trece prin “O” se determină împărind constanta “H” la pătratul distanei dintre “O” şi unul din punctele “Q” în care axa (∆) îneapă elipsoidul:

2OQ

HJ =∆ (4.123)

Faă de sistemul Ox1y1z1, construit pe axele de simetrie ale elipsoidului,ecuaia este:

1c

z

b

y

a

x2

21

2

21

2

21 =++ (4.124)

în care “a”, “b”, “c” sunt semiaxele elipsoidului. Plasând pe “Q” succesiv înpunctele “A”, “B” şi “C” se observă, pe baza relaiei (4.123) în care “OQ” iasuccesiv valorile “a”, “b”, “c”, că momentul de inerie “J∆” devine maxim,minim-maxim si minim. Deci axele de simetrie ale elipsoidului sunt axeleprincipale de inerie ale corpului corespunzatoare punctului “O”.

Inlocuind în (4.124) pătratele semiaxelor “a”, “b”, “c” cu expresiile lordin (4.120):







79

1

2

J

1a = ;

2

2

J

1b = ;

3

2

J

1c = (4.125)

obinem o nouă formă a ecuaiei elipsoidului în raport cu un sistem de referină

construit pe axele principale de inerie:22

13212

211 HzJyJxJ =++ (4.126)

Din compararea relaiilor (4.122) şi (4.126) se constată că în ultimalipsesc termenii care conin momentele de inerie centrifugale. Se confirmă încă o dată că în raport cu axele principale de inerie momentele de ineriecentrifugale sunt nule:

0JJJ 111111 xzzyyx === (4.127)

Propriet ă i ale elipsoidului de iner ie 1. Elipsoidul de inerie corespunzător centrului maselor se numeşte

elipsoid central de inertie. În cazul unui corp omogen acest elipsoid urmăreşteforma acestuia.

2. Orice axă de simetrie a unui corp omogen este axă principală deinerie pentru toate punctele ei.

3. În orice punct al axei de simetrie a unui corp de revoluie, elipsoidul

de inerie este unul de rotaie în raport cu această axă. Pentru demonstraie vomconsidera axa Oz1 drept axa de rotaie. Rezultă : J1=J2. Ecuaia (4.126) devine:

( ) 2213

21

211 HzJyxJ =++ (4.128)

şi reprezintă un elipsoid de rotaie în jurul axei Oz1.4. Pentru ca un elipsoid definit de ecuaia:

1c

z

b

y

a

x

2

21

2

21

2

21

=++ (4.129)

să fie elipsoid de inerie trebuie ca semiaxele sa respecte condiiile:

222 c

1

b

1

a

1≥+ ;

222 a

1

c

1

b

1≥+ ;

222 b

1

a

1

c

1≥+ (4.130)

Inegalităile (4.130) se obin din (4.62):

321 JJJ ≥+ ; 132 JJJ ≥+ ; 213 JJJ ≥+ (4.131)






Statica

80

inându-se seama de relaiile (4.125).5. În cazul unor mase repartizate numai în planul xOy ecuaia (4.122)

devine:2

xy2

y2

x HxyJ2yJxJ =−+ (4.132)

şi reprezintă elipsa de iner ie relativă la punctul O.În raport cu axele principale de inerie, elipsa de inerie va avea ecuaia:

2212

211 HyJxJ =+ (4.133)

Presupunând că J2<J1, faă de orice axa (∆) care trece prin “O” şi esteconinută în planul xOy vom avea:

12 JJJ ≤≤ ∆ (4.134)

Înlocuind în (4.133) 211 iMJ = , 2

22 iMJ = si 22

21

2 iiMH = , rezultă o altă expresie a elipsei de inerie:

1i

y

i

x21

21

22

21 =+ (4.135)

i1 si i2 fiind razele principale de iner ie.

Axele principale de inerie fac cu axa Ox unghiurile φ1 respectiv φ2 caresunt rădăcinile ecuaiei trigonometrice (4.119):

xy

xy

JJ

J22tg

−=α (4.136)



Geometria Maselor

Documents

Transcript of Geometria Maselor