1

Cercul Judeean de Excelen la Matematic Prof. Gr. I. Cristina Costea

Constana

http://exmatecta.wikispaces.com

Lecia 11 - Clasa a VII-a

22.03.2014

Calcul algebric

EVALUARE

Nr.

crt.

Numele i prenumele

elevului

Numrul problemei Total

2 4 7 10 14 17 19

1. Ababei Daniel 3 3 7 - 5 - 4 22 p

2. Adi Elif 0 5 0 0 0 0 0 5 p

3. Andrei Sorina - - - - - - - -

4. Bojin Victor - - - - - - - -

5. Constantinescu Gabriela - - - - - - - -

6. Dordea Sabina-Ioana 0 3 5 6 4 7 7 32 p

7. Dumitrescu Roxana 7 5 7 0 3 0 0 22 p

8. Epure Mihai Marian - - - - - - - -

9. Huditeanu Elena 7 7 7 0 3 0 0 24 p

10. Ivanciu Alexandru 7 7 4 0 0 0 0 18 p

11. Matei Anastasia 7 2 5 7 0 2 3 26 p

12. Melinte Octavian 0 0 0 0 0 0 0 0 p

13. Necula Alexandru - - - - - - - -

14. Oprea Theodor-Alin - - - - - - - -

15. Pucau Radu Andrei 7 5 7 2 0 0 7 28 p

16. Sandu Ramazan-Sezer 7 7 7 7 7 4 7 46 p

17. Stan Ionu-Octavian 7 7 7 7 7 7 7 49 p

18. Stanca Adelin 7 0 0 0 3 7 7 24 p

19. Timpuriu Mircea 3 7 0 7 0 0 0 17 p

20. Turcu Alexandru - - - - - - - -

2. a) Scriei numrul 900 ca sum a patru cuburi perfecte.

Soluie: Fie }729;512;343;216;125;64;27;8;1;0{M mulimea primelor 10 cuburi perfecte.

Combinnd patru elemente din aceast mulime observm c:

3333 7665900

343216216125900

, adic am scris numrul 900 ca o sum de patru cuburi perfecte.

b) Demonstrai c numrul *133 ,1010 Nka kk se poate scrie n forma 333 2 zyx , cu *,, Nzyx .

Soluie: 900101010(101010)1(3)2333133 kkkk

Dup modelul anterior alegem scrierea numrului a sub forma:313131833)1(3 )107()106(2)105()7625(10 kkkka , *1*1 106;105 NyNx kk i

*1107 Nz k .

http://exmatecta.wikispaces.com/

2

4. a) Demonstrai c dac un numr natural nenul n are proprietatea c 1n este produsul a patru

numere naturale consecutive, atunci n este ptrat perfect.

Soluie:

Fie k astfel nct 1)2)(1)(3()3)(2)(1(1 kkkknkkkkn

1)23)(3( 22 kkkkn . Notm 121)2(3 22 xxnxxnxkk 222 )13()1( kknxn n este ptrat perfect.

b) Determinai numerele naturale n pentru care 892 nn se scrie ca produsul a patru numere

naturale consecutive.

Soluie: 1893)2)(1(89222 Mnnkkkknn (din a)

22 99 Mnn ,

unde 132 kkM

Dar 16899)4(99,)5(99)3( 2222*22 nnnnnnnNnnnnn

7 n . Rmne sa discutm cazul 0n . ns n acest caz problema nu are soluie deoarece 8 nu

se scrie ca produs de patru numere consecutive.

7.Demonstrai c numrul 421

4...4441...111orindeorinde

y nu este ptrat perfect, *Nn .

Soluie: nn

n

nndendeorinde

y 1........111........114101.......114.......440......001....112

2..2...

ppfxppfyn

n

n

nn

n

1........11)110(1.........11)410410(1........1122

Dar ppfestenuxMxkkxn

343)2(438411001......112

Observaie: Un ptrat perfect d restul 0 la mprirea cu 4 sau restul 1 la mprirea cu 4 n funcie

de paritatea numrului care se ridic la ptrat.

10.a) Fie a i b dou numere naturale astfel nct 1a sau 1b . Demonstrai c numrul 44 4bax nu este numr prim.

Soluie: 2222222244 )2()2(444 abbaxbababax

)22)(22( 2222 abbaabbax . Evident c abbaabba 22222222

Pentru a demonstra c x este un numr prim este suficient s artam c 12222 abba

0)(22222 222222222 bbaabbabbabaabba

Dac 1)( 22 bba , atunci 0ba i 1b este imposibil sau 1)( 2 ba i 10 ab i

0b de asemenea imposibil.

Deci xabba 12222

nu este numr prim.

b) Demonstrai c pentru orice numr natural n, nenul i 2n , numrul nny 44 nu este

prim.

Soluie: Discutm 2 cazuri:

I. n = numr par yy 4 nu este numr prim

II. n = numr impar *Nk astfel nct 12 kn . Atunci 44124 )2(44 kk nyny

Notm 12 mk

, obinem 1,4 44 mmny care evident nu este numr prim conform

punctului a).

14. Fie mulimea 12,,|2 22* baNbabaM a) Demonstrai c MyxMxy ,, .

3

Soluie: Fie

2

2,

dcy

baxMyx unde ;,,, *Ndcba

12

12

22

22

dc

ba

22)(2

**

kmxybcadbdacxy

mk

i )2)(2(2222222 dcbakm

Mxykm 12 22

b) Demonstrai c mulimea M conine cel puin trei numere.

Soluie: Se verific uor c Mx 223

Din a) MxxMxMxxx 222 21217

MMxMx 27099)223)(21217( 33 conine cel puin 3 numere.

17. Demonstrai c numrul 2713 nn

este divizibil cu 9 oricare ar fi n numr natural. Gazeta matematic nr.1/2013

Soluie: n

a

n bMba )(

999

33 2112343219727133 MMMkn kkkk

27343132197271313 1313 kkkkkn

9999 271327)1(13)1( MMMM

27343132194271323 22323 kkkkn

9999 247249)1(169)1( MMMM

19. Demonstrai c numrul

nnnnn

943

15221324

este numr natural pentru orice n numr natural.

Gazeta matematic nr.6-7-8/2012

Soluie: Notm

)1522()943(

)1522(

)943(

)1522( 3243241324

nn

nn

nnn

nn

nnn

F

)1522(

943

1522 324

1

324nn

n

F

n

nn

este suficient sa demonstrm c NF 1

3

54

)32(3

)52)(32(

)32(3

1)42(

)32(3

1162822

22

2

22

2

24

1

n

n

nn

n

n

n

nn

F

Deoarece

FFMMn

nn

1333

54515)13(54