ISBN973'30-3097'x L.l3 600

A GIASA vlll-q

M r N t : ; t ' E n uL r ) t ) ( ; AE l N A T I O N A L E L I

I

t

OTTESCU Prof.univ. dr. ION CUCULESCU Prof.CONSTANTIN Prof.OLlMPlA PQPESCU

t,

ilfifillllllGlpentruclasaa Vlll-a Manual

o

GEOMETRIE

a.

{

DIDACTTCA PEDAGOGICA, EDTTURA. R.A, 5l BUCURESTI

III

nmffJm;#pi::i"."*' "-,-,'fip c'l din anul 196 AcNalul manu ll r'ptoduc

\.7

PTANE DREPTE, PUNCTE,

I tulrcdvcetane"am ocupat de stlrdiul anumitor mullimi de punrt') ln claseleprecetlente pi"..'f,"-"rn numil liguri g'omkiceli le+m ron'rctizat prin dcs-rx "1. """i

9zs-so-sosz-x r5eN

;'*T: J"'i: i;ll:'"::$ff"i::$i:::',lJ ni#i:&fi; forosrAric 3:: i.'.;;;;;; u;ui bstru. cum cxistao deospbireiil"l'"':;;11 Intre {i i;;.lhr,*'l;;#;i;; obiectulfotograliat. dc prin abstra'rizare rnulli'nirl' i; .paliu nc vom oeupa. sa lrcbutF pornrmoo rl lum.a carp.are rliel" PFnlrua'Fasta ouncte'din (sre nu.l" i"ii"i'i "".irn"* : O" ta lu"*.i despre'areltim c' insramnd'pc . prrn p'nrru inlFlegere 'omparA\'r, ri, cel muh. le descricm deiinim irin sllcle, n"i'i"llTi 'il",il" in qeometria spaliucstsimilarcu cpl.dinseomerriu In qi nu poateIi confundat o bulina' Nu *." 'u in "1"'- rii rlll -inrina'"t.din i.'i"'"""meri.a, o cunoasr.em geomctria plan Eslc "'tr ''- il rr' ori'6l" dar' sprcileuhcl prelungit presupus iarabilacu un tir binetntinc, a qrosime. considerd li o mullimede.puncle. Se is acegta.'n-arc unpi spF lrnrFl'teAsomoDnr{rr cu l,t \ \t L es6 comparsbil uprsfal6 o csleo porlrllne utr'rr apalini$tild" pcntruce Insdloarleaproximativr6. este nu nici el grosimP. esle"slral_'conlrncorcPtF' Plsnuln-are glob(cetlerpsl,ru). esteo mullimede Puncte. '-"i; un ii;;;; l.t srint desenar.e punct '4 0 dreaprd d li un plan c iar N.,d-';";"t"i ;u-; litera rnare, i"'aptu cu o lile;i mi'n din olhhort'l o esLe srmpla Aressta gi ilanul .u o litcradin alfabelul.gre'. latiir 'onvelr\r' puLemuneoriabat. de noiaiie. de la care n"e

llu!'ltltuN'll: I PAPUC Pnf u^t' dr DAN

ilil i3$ill$"i.Xti* ""*^*u

;;l Tiai?1""#l;l^

?'::i"iT'r'$t *-",TTT:h"XL ;:,$T:i"-$J' .,.di.".jJ;l'HiTiliHJlt-i":ncdutot: PTot ALINA CARIi'IEN BIRTA

i

lI.'

Afi g ll

Jffi3iffiuo$o*"t"ude Aun ti2at1201 1998 - . . ^..

dconlinenddrepla' s$- currr vurtr Plenul tl descnim(deti este oemArginil. a sa drepl'unghiular5''8re in nerilfi ' vede. rn* depa"t"1. printr'o.porliune tivl* va apdrca ca uo pamleiogram. cn AllBofl. Dentru a nu compllca llgurs' vom reprezenta'ln desFn'Illonrrl P un ilrunglu..To"*ptio rnt"uno ain lcllile urndtoa'e ce setnlelege p'in ,,?erspe(iiri'

t

""'"'*i*::##ffi* o**1" lii,i,l.i -CiJ1es"

t

t,

a

DREPTE PLANI 5I PUNCTE, DESPRE PROPOZITIIpr('lx'aiiit: rt(tt\rill'l', d' ln tnc']l)ut' urmdtoarel' (l,rrxrrl,rilrrr 'ti,,,,, 't '.lttu at' , , !r,.t I tlitttnn { ,t,,t,,: ,, rt 'l

l rl r i rl , \ , , r , , lh, l t , l|r ! l, r jqi I r t |r lr u||,| / , , 1, r , I r . r lu ( i , 1, l r,, rI t, rl , | , , r r r l|lr ,, lr ( i r I si , lr ! , t r ln , P( / , Jn|i'] i ( , r lr i, 1, , 1, tr IIs1,,.,l ri ,tr lr , r u l, inlr o silgL, ', r lil r i m i( i, f i 1, r i1;r l, 'r r , lir r ,,,) (l i q. 1.1) .

'

I 'r

mi i p o a te to rmul a r' r astfpl : l ,ri rt)r r ' , f 1, , ' t r , ' - l " r ' rfi rn rd l ' r ' " uunniuna'

t ttlrrr '1

,t1 )

' |

' t!:t

r tt'

ri

plan rt,,"r lt nn, lt l' ' s ur rL i n a c ' l a Er ' in Setrnetria PlinlI'rrp.zitiile I't si !!' Itau idelilrale ni rrlv',1i,

;i::;,:' ;; ::

:; a iii,',llii t',i,i),,',,i',,i,,', rt''"pt'1 "

ii; ili',11iJi"iff,f;#'"[ii"'^;'f ,,,,.Ji""i,jiFig. 14 ./rnh d,i .. Consd a do m ii sus nd rr,l ,.,l p p\r.rpn , .' ,1,,,r, I,1,e ,dF n..,,' I int plane pa.alele dc clcnevon ocdpa iirirl mai t)| nri ( com un Ei l:t i:ti pattu tu,ttt. n.sitttut. in a(lusi plan (n(coplann ). Aceastn p,,,pozi l i e, im p. eune cu Pr , ne ,.scoatc spaliu{'!. trnr:i ea anl studia s,.,. ir metrj a tot in plan.

r\.

",;; ** "u'" ,;:,,,,,, i, :i ,,,:l;,:rt\,::,1::i,|::, ,;,::"u,,|;,:;tr:;;:' ,, ,;:s mai poate formula: l'r'ima porte a acesrei afirmalii= /l L u ' apqr line pla n u l u i d s c " " oon

t', d' n: l :d,,,y,,pli',.'l.il'.i't?iio'^"'', ;: ;, 1:;-r,: t,, r * es",'n p :''u\i 4 l I' g 0"", l te i l I)r.i l r ' unt t ul ,r' ',O

f ig. r . 2

! L ,,!t ' n, t ht ,. r . u, t . t 4^ t

f i B l n l ' ,i tu a ! i nn' n 't tt t t i u a ' ' t p td n i

' h' Ili stluate ttl

d^r : t,).p f \ r,'r . rus D tu,!'t: !.;snutTIal |: I'L;';,,': ii!: ti,:' ii,t.i | tn "i a, tstc Lonlin td (squ ylanulFig 1 .i,

t,

ln fiecarc plan din staliu, .ronsidcrim r(ievnrate toate pmpozitijte (.\i,, nll{, si teofcnele) ralahile in qometriaplani. ln phrs, relaliilo dc (,.lngru,)nr,i ti o$rrinalf ..operrazi" ;i In plane dilerite. De pikle, doud triunghiuri pol jnsfrnrnii ii , ,,nsi u.nle, chiar drcn nu sunl in a{rla,si {bjneinlelcs plan aceasta .n n n.ceptat aceati alinnalje pcrtru segmenteSi unghiuri). T0at.c rr'Ir !iil. h,'nlinn:" I o,'r,,' ,lp a."mFrae

iDETERT\4INAREA PLANULUIl ) 1,1 n. af ir m d ci: Tit i punch nr cu{iniaf t dd. r nt Lni un xn. l );' r rr.xt m ot iv, une. r r i, . vom not a I jlanul car e co ! , ine pul. t ele . 1, 11,t , 11'): tA LL) ^ \,)n, dcm c, r st r a . r ; i: ' 2)tttl rtp t t d. r i nt Nnt t &r 1: nu i apar iine dt t nnind l1/ ,/ 1a, ( l" in , , d,l, r rri rIr rrrr 1,1, 'r ri'r lol. q, , ni c, i er isli un I lan qi num ai unul cl'r r k, r J, nt inr ,) " l nt14rl ' v r ir , t ic d ! qi. 1 e I ( liq. Li) . J'inend s{, an, a( lf t r , 1, ', , , 't , , 'f r , 'r l, , i l r,.t)!1,' ,,,,,r sr l, r |l, , u: Lt 'r r , 1, ./ / t si/ |t nr r liniUr l ( lr r lr l, i. l. l'|'r f t ll{ , 1, / 1, / ,1,l r' ,,,i r,' ,l | , t ) li, , L, 1, , , , ', ', 1r , ', , r , , li, ! 't , lr r / , t r , 'il r , r i ii , 't 'i, r li'r nlijl ai r . r il

a$ { unl re'ult6 ei un plan este nemi&init' I)in {oeastdultimd propozilie ant'efloara' rtirmam !n Pag-rno i' t:t! ntt t l'r'irtl tt '1r t'ttttt mr 'ntLortt ,r,, r,,,it,, ,, ,) Ii ''/t t,,.' int4 rr t'ttt t )t't 't1 i ttr'! '!n t t { ln r 't (: on {tlrirrlu : r'"' | ilf 'r t t r l ^ rr t ) t l r t t l ) r '!

'I

tA

--rFlg l5

T

POZIJIILE RELATIVE DREPTELOR ALE $I AtE PTANELOR IN SPATIU

POZITIILE REIAIIVEDOUA A DREP]E SPATIU INili,D, rlin gomtrialn plan, cn doud drepte (srtuate in arelafi t)hr) ri,,l atra ur) punct comun (pot fi concurente) pot sd nu aibi nici un |urr,r sau fon)un (sn ria paralele) (Iig. 1.8). Despre astfel de drepl.e se spunc f s,,rl tafundtt lsnrt ,,situatei'in acela.si plan).

conlind fi (. ,\,lst trhn rsl., uric. Dace ar mai erista un alt Plan, carc sd rlrlrt,ln d fi punctul ,'l, otunci 9i puncteteB ti C i-e|aparline, deci acesi plan primul phr (conformou PJ. Uneori vom nota planul deter',r,!,inri,lo,r, (lc ilrcrpl.r .l ti d{r punctul ,4 astfel: {d, .4). 'ninrl :l) Irfui lrtlr trt nt1 |n p nct conm dt:l mind un PIan |ic drptele d, ti d', concurentein ,4 (fig. 1.6). Ludm M d,, ,V 4 Pun(tnle,,1,M,,ry determjnl un plan care, evident,conline drepleledate.

$------Fi8. 1.3

(tv+l ,N+AJ..

ln spaliu existi lnsi ti drepte care, deti nu sunt paratele, n au ri,,i ,r pu ot comun. Ca erernplu, inchipuili,vi lncdpereadin ligura 1.9. CoDsirt,,r^ll mrrgineaa a pretelui careexistdtabla $i latura, a podelei.Itinfill,,l,s pe cartrceastanu constituie o demonstratie!Se tncrcem6d demonstrdma,r,irslr

Fig 16 Dacn ar mai exista un all plan, care Ee con-tinl aoestedrepte' a' conllne I' cele trei puncte, deci ar coincidecu primul. plan' D lr,fi btpte parakh determind un ,4 g rl. Punotul '4 d dreapta g deter lie d ti g doun tupte paralele ;i rnin; planul c. Dacd linem seaDa de P,, afirmdm cd d $i g sunt coplanare' fi,rPptanutlor.Darplaneledqipaucomunedreaptaggipunctul'4,decicoincid (lis. 1.7). Fig.r.9 Fis. fis. 1.{0 N. voni fdos; de po. Fie punctele A, B, C, D nesituatein r(cln)i trtrr. (1,,,8,(l,fnn, drcrpta d (carerreceprin,1 9i B) qi I itr{rpra(col, tro,!. q; I)) (lig. Llo), d n( t|r( - o. Dacd d ti 8 s-arinrrihi, trr tns,,,'lrx,./.1 ..1, /t,/1, //^rlirothnM.. l)r'r rwr$to 0steconirarnipot{,rei.\r,0,,r),,r,,.rt, l,r, ,j ,'t'r! i i ", r, | , I I I ! | M r I I I I I t !r ' \[,rl l !.r tj trrrtr.|l ., rtr,t,r,

li{

|7

Dt o b | 'f i ! i' I l

rh, ,lrrlrlrl' fn l,' rill, rrrlrrr,,nrr t$lIrnlr, ,L.rrrrrlt|r ou l rigun' Lll l

Ilt

Pnir|ll,uitl Iry| i . - 4, , , . , D pot . u punct . . ( oI t dn, r . . . n) l ' ]or I i r ccslf punct e coliniar c?Jnsliihali . aspt r nsul l. dr b) ti ni ndt r le donn calc doul, . a1e dlept ese por obiine?

$

(r. Dand',se patru puncie,iunt! c{re o.icarelrei su.i i.otinia.e. cAtedreple dqt..,li. ral e de.A tc doul dint . e elesepor duc?{t nlccde, , sepor dnce, . pur elnspune, , exist r , . , d.oareceuneori nu le lom d6ena,.i nonai von deno.stra cd ele suni dtermhrr..) p nin prt"' puncte dare, exact rrei sutrr coliniare. a) Cele pl{ne dilerite. carc si conlin{ t.ei dintre elc. necotiniare,exisld? b) Cete plane diie.itc, .9te se coniind lrei dinlre ete, xistA?l ' 4, I.i cdsia, dor t d. ept ecoplanr . e.Fi. i un pr ncl apa4inand lui d t i / r t r t r punci aptr4i.and lui 8. Si se n.ate cd orice puncr t{, apa4inend-segslenrutui .{r, sr rfl i l i n phnul dcle. m in. r td. d. 9i s. 6. Intr-un phn ; suni dlte puncreledistincre M,, t1,, ,lt!, Mr, M,, ]r.9i, itr airh | .r. rn pur' ,1 Vr . a) (lare este cel nai nic numilr de ptane,exceptand planul d, delomjnale {t. .ntr l,rei djni.e ele sl in pe siiuaiie se ohline? b) Dar ccl nai mare? c) Exisli Dxrui tr.i asltel de plan? 0*. intr.un plan a suni dare 6 puncle disrincte, Mr, M,, Mi, M1,,tr:, n/. _ ri irl anrra iui, un punci nt?. cbl mni mic numdr de d.epre, care s!-rrrercr prin cel pul .toui .. "l 9"":"t"1 dinl.e e1e?bl Dar ccl mai mare ntrnrr? l n i i q ', r a Lt 3. punr t pt p, 4r i R nI sunt sit , r alpt n pt onuld.Daci t pl . -7. un punct oar ecar e pt anuluia, sa se a. ale . A pA , pB > nl ti Q 1eA, , 4r nd eB

Fig t lt I'tobltmd r6ot(atd. Fie ,.1, B, d, , pattu puncte nesituate toate r.ohti plan. CAte plane determine aceste patN puncte?rl i g I I2' !vident, l tr:.lr na F e r pld n u l d -l e ' n rn J l d a p u n ' l Pl P /t , , i i ' , r l , ,, (i nu s unl c ot inia re c l .i , d a c a a r Ii c o l i n i rre .' a l uncidrerl l a care l e f n rtr.u n l c u D, a! deie rm i n au n p l a n i i d c c i A , B , C, D 4t Ii copl anare nfn r, p l 'n ' , lur d r um inF n .m ' i p ,' n ( -l D t

0

I J

i . r;g. r.ri\ (9y' s. d,'u dr I t "t " par it Ft F r i 8. SA! c ar at c ci t oar , dr pr FlF car o d odnrn cu d ti unul cu s sunr conlinute tn ptanut determinar de d,i I. l32fDa.{ dieapia-dr esre coplana.dcD dr, iar dr este coptanardcu d!, , ll d! lunt coplanarc? l0r. Dlndtr-so aore drepte concurenred ,r g, sa se gaseasc{ locul Itrncl .l or ,l r.l, r , . ld cir . r . st f ljir r po 1 t i iunr par dl. l. cu g. lpr in Inl or.arm rI r x nn t ir n, | . nDr r n f { , / | I von n.rn ru . trol,h{nrl', fiflrthtlvo, Fig. 1. 13

u I'u .c t ul D im p. eud l.u .1 i i .A d e te .mi n d n P l a n.r' A ni l og,l on.ttrl l ) tmpreune f r Il s.i C t i c u , t i C .te l e .mi n i c a i e u n p l a r c , l i .rsl )(l i v di l )dri cel e pattu tl n .r. d c r . f lnind pr aD e l .i ,{ rC 1 , l AB D t. l l t( D t ;i l . l t t,). An r n{ i t ulea genrtifi a s l fc l r c A Ie g n ,!f d r' ' 1 11.l ' fa l rrrr' l o, rl l nl r' p(nctel e . ,1 ,rl , (, D, nur c d ior . ra , a s ti e li n .i l d .u n A rrl r rn rl l | $ !rtr' rl ' l trl nl r' nn ponct? l\rl u , l 1 r . t de{ , heai, 4 . ,r .u a ti ,rr /), 1 r I' h l r{ rrrrl l rl al , 1.{ l rD l ' I' ul on l uo n ' rr l rl rt i rurl i rri ) l trcn D ai coD si ' o b l i !.h r? (I)r 1 fr /l I'(r{h .r//t . ( l( r Dii ,rl , u rrr l h rrr rl Fl rrrnhal d l ,rrr| ' i oh ,' l l ' D . /, it,{r1 njli 8f l, pr l. lCl) 1, r o l ' l i r,,l ' h' rD ,,1 ,s l r,l t,' | | ,h rl l n l , l n r (t{ri ' thl nmrl nl un pl ' n' ), !!mdn. n tl rr llnl: o, hlif f ln {h rn r . r $J r i t ) lnn t r n s i rri r l ' rrx 'I , In rn r . B odr r i l, , ur. rn r,r,,,, rn l rrrrl ,,rl i rl ' rf l { vl dorrl h Idtrrt moduri l )cfi otl N l n t lnl lr hnf ' lll. r' 1 "

r-,,r:rdtf

l l ., tl dil o t l t ll d { l r r I' u tr{ t.4 o x l o rl o fo l s l N ' ri l o' i rLl htul l Fcm' l rl ' E d P[nct0lor llrotrlolo.o&o Inl Prlr / fl printf-un prnol mobll l' 'l

[,

f'

1

Yom .puno,ln too.t oez,ci dre{pttraal,a parel6ll cu pl6nul. Sd ardttrmctr 6ri!td.astllde drepte.Fie un plan c, o draptA continutil d . aoe8tplan (dc c) ti u! punct, nosituatIn planul c (lrl,,2.j), C \A "l 'n ") A

FTAiJA UNTPLAN DE ALE REI.ATIVE UNEIDREPTE POZIIIILEl , (, l rttt'hi I l, t ina rc m u n ru u n p ta n d o u d l l u n ^tr' acest plan (Pr)' $tinr Al,unoi cd ea st ln tntregime coolinutd h l , u '!, ,tt,t , t lt r 4t nx n u n \n l tl t p n d ro mu n e u u n pl on .

A6

Privili, de edmplu,liniR de interseoliea doi perli ti plenul podelei Dar oum acrasll obsarvalie nu est o demonshal,ie'sd ddm una:. l'ie pltnul c, un Punct ,4 d ti un punct 3 nesituat tn planul d (-B e d)' Drrapta r!, care trece prin '{ qi B, ara nunai punctul '4 comon cu d Dac{ .r m;i svea lncd un punct C In c, ar ti coDlinutd tn lntregime ln c, ceea ce ru .!to rdov&al: (B C a) (fig. 2.1).

Fig. 2.i

t.

1 -E

,rr rt/=

I Jt

i

Prin,4ducemdrcapta, pareleld a. Alirmdm cd , eBte cu paralelicu planulc. Procedim prin rcducer ebsurd.prsupunem D ar tniepaplanulin punc_ la cd tul R(, n d : {Bl). NoUm planul deteminatde dreptele paraiete si d cu a Piqnelea qi p au comunddreaptad. Dacd, nu e-a" afta p" o, r"'fn.".ri, B. ctr p ti d ar coincide! pentru c{ ar aveao dreaptda ,i un punct g erterior ei. comune. Deci]B. aprlin6ndinrersecliei cetor doui ptane,se alla pe a. Dar a.east8 e8te imposibil. pentru.d r li, sult paralele. rn rond. am demonltratprin a.astaurmeioara Tsoremd. O irpaptd paraleld cn o dreaptdd,in plan estc pantetd cu ptanul , (lett .ontinuti!in ct). R:"tlFd d6ci,o dreaptdpoateave& retativ la un plan, una alir urmd.toarele trci poziiii: 1) se fie conlinute plan; tn 2) sI aibd un singurpunct comun cu planul; 3) sd lie paralell cu planul (nici un punct comuncu elj.

Conrmlie.De multe ori, cdnd o drcap$ are un punct comuncu planul' vom utiliza qi o exprimaremei femiliar{: drcapta ,,tnreap[" planul Vom -de ,,mascdt" porliunea de PlaD figuratd, punct'at'ln rest dercnaeegmentul nelntrerupf(fig. 2.2)' va ti desenatd dr6.pta

t ,li"$, ,

POZTI RE|-AT|VEDOUA PLINE IE A

F ig. 1. 2

sd a, O dftapti|il po.]tr nn aihd nici un fun.t comuncu planul\dna - al' l0

'1 gtim din p" ce aaci doudplaneau trcr punctenecoliniar tomune,elcoincid. . lixirt{ planecarc au numai o dreaptdcomund? De, suntmtndemnatistr apunm, privindlinia dupecorse lntdlncate perete clasei taianull uD al cu Da. 3! 9i demonstrdm, consider5m plan c. o dresptA Se un dcc ,i un Punat .4 C c. Dreeptsd ti functtrl ?4detrmind plan p, care are comun un 0u plenul a numai drcaptAd. lnt..adevdr., dacdp er mai avea comuncu c ltotr un punct,I, nespnrlinA[rl d, rtunci el ar coincide r, d6ci / C ,, hi cu 0.0. 0o oonl,!!vin. ipotor.l, ilooi rrt f.b (fig. 2.4).

u.,,-ryr1.

I iqd' Fig. ,.4

xo

s. fis. ,6

Den nslrnliA proccdentdne-a ardtat. cd existd plan (cum sunt d 9i p)' rlrrf ltu nunrri 0 drroptd oomund,altfel spuB:se intilrrescdupn o dreapt6. l)ur existi olrro plonc care n'au nici un punct comun? Un exemplu ar fi l,odcdutr9i tavonul. Dar sd ddm !i o demonstrale. I)entlr aceaslasd demonstrim urmiloara: o t,onri trf"'r.mo ajulrl.ArFl. tttlai lotn tthplt paratPl" :lt b suN st!uN'. tttt,ittt,.in non,iinut t i I Nn st, ntuB.ctcart dupA o bnptd ., atun(! | ''t. tirdl ld .)r ftr d f, n h. Ii\isti, intr'advir, aslfel de planer luem un puntl' C care nu-i nici pc d, lntemeclia tor Dioi pe ,, el rletermini cu a 9i cu D respectiv planele cautate -c dreptle D fi c n-ar fi ire,," p"in d !i afirmnm ci este paraleli cu , Dach parnleie,riind coplanare (siluato in p), ar avea un puncl comun -D (fig 25)'

Dreptle d: ii d determind ur plan p. Dacd planele d ti p n ar fi trrdl,,li, ,,1 evea o dreaptd comund c, cale ar tibui sd fie paraleh atet cu, cat fi .u .r. ceeace ar contraziqepostulatul lui Euclid, o 9i, fiind concurentein P. Rezumind:Doad plcne dhtinctc pol ovea &mund,t dieaptd,ri nurtar ,td sdu pot li paralcle (sd n-Aibd niai un pun l camun). AItd sit,.alie nu t,ristit Din demonstralia anterioard, rezultd 9i urmitoarea teoremi rezoftoroamultor probfpmc: Dr.d un ptnn "onli,: .l,ttn .1".1 taal.lc tu In dlt plan, atuhtl ide daud pldne kkri l,rraa,/r. CATEVATEOREME PARATEIISM DE Daq" 4,"oOtotdt "s( pnratptd t .,, ..t..ntst. ,- ":o:T"t, .6 cart'co^tln? atcllsti.d,re\ptdi int.'.sfttco:Aplthut i;,i.;:flt,o/at dUdo \8) Parcleli e d. ultli lrl

it attli

c

-TFis. 2 5Fig 2. t

ilr"rsi(leriirn acun plarrul 'r. determinat de dreptele paralele a gi 1,. Punctul aparqine dreptci ,, conlinutn in 'r (, , c /) nr &parline ptanului 1, deoarece DP.i pun.lul , sirhfla b:d {pnnrru.a D :.c cv=.D:';LDar (lp(i po drcalta 'r. Cu Alr' 'rr\in - nun''nl d L, inter"ntia plsn"lou si a. D nr aparline atat, dreptei a,cat qi dreptei 6. Dar acest lucru este imposib;l' trnr||r .:i o Ei , sLrnl paralelc. I)urenr acum demonstra ci cxisti plane paralolo: Fie un pl,rn d, (luun iD ,lroplo r] ,ci 1,ln planul d. concurnte P gi un punct Q exterior lltnului fu drcspla d', pnrak,li, /r. li dreaptaD', pnralcli cu , lris 2.ii) I'ri,r {l rlrrtorrr l?

D.montbatie. Dreptete g, fiind coplanare 2.71'sunr parRt.te. d;i (fic. tie tio concurente. Dacdar fi concurehte ]l), ar rezultac6 aceltpunctar aparlineli (ih dreptnid ti planului d. Da! cum d li d sunrparatele, rezulrdc6 Ei d fi r surt. paralele,.Aceastd teoremi poate fi consideratd reciprocda celpi rlo In o pAgina 11.Toorems 2, t ) a, t i. t , dt t l l, t l $h lat at , t ii , , , , t d|, n| n pt aldd ( r \ t , t tuntt ol l l ,t h|l: 0 | 1 t l rl rn l rMt lhi , t t ( , , t lt ^r t t l l, M, . . , t ) t , , n t d) . t t , t r t t un , , t p, lidlr ( t ) . a, jr st , r

IJ

dA

a

(lotrrldofilnl lln pnnor ,4 Itrirr'rla t ) o lr t l ducom pr ln. 4 df er plt r d; por 0lolI ,u dr. l ).c pt ol. d, t i d; dot . m ini1r n )l n c, pefalol l,u dr (ponln' .r ri ,r; l l d!). car ! iI lpr soct eat A d. e{pr u d, h punct ul f {lig. ?. 10) .

EFigl 2.8

A

/_\,

disJ

prin la Dcmonstrali?. Prsupunem, reducerc absurd'edg nu ar li conlinutd planul determinatde dNpteled 9i g, notat cu p. ln c (fig. 2.8). Considerdm Planelecai B 6-artdia dupd,. Deci,tn llanul pr prin Punctul,4ar-trece dreppara)ele d, ceeace sle imposibil. cu tele g qi r, ambet Toorums3. franzitivitatarelaliei de paralelism. spaliu,doud drcpte In suntPlrakLt Intr. (k. lt: listin(t ParaL lu o a b(ia este vorba de o Dcmonitralie. Decd dreptelesunt toate trei coplanare, din,georietia ln plaD' Dacd sunt evidentda axiomeiparalelelor consecinle cn doud cete aloudcollanarepresupunem d I , ti,ll c ai vom a$ta numai de planulB, determinat 6 ti c, li duce ' p.int -un oda ll , (tig. 2.9).Considerdrh ieoremeiprecedente, c p. Fa{d de punct r{ c, o dreaptdI ll d. ConJorm I

\/d3f ig. 2. io

da

b

c

D ucem p. in punct ul t 'd. oapia ac. pa. alell ci1d, \ C e 4) i dr eaph AC eBr . cl ri ar drerpla g cnulald. , Vom da, @ 3d puteli spun und est greteala. o Falrd denonstrutie d. unicitotc. Dti punctul ,4 est arbitrar ales pe /,, planul a peralel cu d, sle unic. Acest plan est inrersectat de dreapra dr tntr-un pt|nct r, evident unic. Din postulatul lui Euclid, parattd rC la d;, aeci ta dr, 6!l aidenl unicA Deci dreapla s este unic6. Chia. decA esto adevdrat c! dreapta g $re uDic6, demonslratia d m6t tui l .bui s. o considcr amlolut i cr onat d. qr egesla consr i t o laDt ut c{ m loda de constru. lie lolosile la dem onst r ar e|er isr ent i nu Nt e ! ing! r a m et odAp6t . blu ti asttel demonst&rtiaunicitltii a devenit dependenr[ do consrrociia aleasd. Uniaitar.a. Conaideren,c{, ,,sprij inindu-se,.ps dr ti d,, exisu doua d&plo C, tl EP, amAndoul pamlele ou d. (Ii& 2.tt). Acesto dreple, CB qt rir, vor ii aecr paralololntr lB, ti dci coplea.e. Deci ti dreapra Ct : dr ri dreapra ,,F :4 so Sltolc Intr-un acelagiplan dtorminat de CB gi EF. Aceastd concluzie Inst e$ro rb.rrdA, pntru cA In ipotelA rm prcizat cI d1 ti d, nu sunt coglanare.

,

ti g . 2 .9

Fig. t . 1l!

sau o poatointalni lntr-un punct,. draplu6, dreaptaI poate Ii paraleltr cd Dacds-arintelnihir-un punct B, a. rezulta prin .Bsepot ducedoudParalele lui astlelpo6tula{ul Euclid. Rezultl dci distincte,, qig, la a. S-ai contrazice cn drcaptag coincidecu c qi deci tranzitivitateaette demonstratd' trei Pttbbnu rp:otvatn. deu d|cptFdI d! ti.l3, attlel tncAtoricar perechs Se eles[ fie necoplanaF, nici toatel,reisd nu tie psra]eleru un ncel6d dintre ti nlan. SrI rc orate c[ exist[ o rlralplil I osro 8e rsp ijin[" no dr li pe dr ti (u .nro rrte lrrrul"lrr d!. Sl * n|trlr ril (c|rltd'l.tnl,t[ ort. uniol

Aco!.h 6teo dmon.trati.d unicitatocorecte,pentm cI tac6 abltrrcrto do curn a,nodul !.8 domongl,rat oiistgnla. No.amopril mai mulr ta comontaroa acesrot lroblom. psntru s pune tn rvidonln un tip d eroar de retionamnt,dlhl do d$ Intllnlt, d{r oorotrob,rl. vllrt ou multl grijn. At.^ti.l L, o d.'ronitrrlh (1, unloltatr, ovualt d roro.tli d.monrrrath dr arl.l.ntl,

ta

l0

|'loE LIfil

t

RETATIVE POZITIILE A TREI PI.ANE

r l | | p l tr - r , , lili. il. . De mo n s trd l i (.1 ,4 t l i ,rrN s u rt pd.rl cte 6 ) lr q" r \ t A B .l ' a tp ta r' ri , n e p rra l .l l / , !i l u ' ri i n pl anul d' ' o tn ri d r r 212 l t' m" -l rul al i c ' m . a' -- 3 cn.' D r,{ V/r llx r " nt li in Pl ' n ' ,1c r' D rc i ,4 D q' i n l e a P l l l aaul ,)t, I t ii. d lDn. ( , r l u n d e d i i a p l a l ,

doud plan.Sd veden)in cc situtrli $tin, in o pozilii relstivs se r)ol nll,,r lelrtive so pol rlla trpi planerdiferitc doul cdte doua. li r t:t ti tr.t t)|tt.t: .n. au a dnaptd comundSi nuna; u/ra. (f ig. 3.1). \ Sple exemplu, dosarcu o fild, un

Fig r.12

a. Dac r dr ept c l e a l l ,I

c , rc z u l l i c l s u q l t oai e l oP l an' re?

a, D rci l 4l l I9i ' l l r. S e dau iloun l l a n c a 9 i p 9 i d o u l d re p te d c i i ,cI nu esto prraleli cu ,, sI se demonslrezecI planele 4 ii p sunt pa'alelo' tl c 6 . F iir d dalo pa l fd p u n " r n F ' o Pl J n A rec n rPP sl enumarrl dc dr' pl e ' e sF P oL parr' r P U n' l e? d' o b i i n c l, inr e. s . . ' i; . d o u d c e l p d o u a . I p l 0 n e l o fd aetmi ' rdrP a" sl e -i. DAnilu{ doid Planele.alele. a.{taii p l a n c s lc pdf dlHlrc u Pl d n u la l d o i l e r' ca oric dteaPln 'onliDutA ln primhl

?*. Formulaii o reciprocd a p.opoztiei din lfoblems 6 ii veriricati dac{ &'ea{e este sau tru adevirat{ ca s. Este oa.e sniicient ca {lour pide se fie laralele cu aceerfi itreaPui Penbu sa l i e par . lP lFinlr P } l e ? p 0 . Dlndu. F dou e PIa n F d rJ l ' l P .o .i ' P d rPJ p r Al i n !ri mri pl ; ' sp ' o ri .e dr r aplr d, n pl a n u l a l d o i l ,d ? pstJl ' l l 'L

dreaptnI I||tr-d(levir.considernm dreapta Siun plan N careintersecteaze d In pu'rftul_P.Prin P ducem. planul 3, trei drepted, D, ., distincte. I)t.pia l,el', ti .l determini planul d,,,si d planul 9. c Si d planut y. Iceste pl,,n l/ ar .unt dist;Dcte:daci ar t; {ronfundrte, coinpideou }, dar drexpta lur s'nr'r,,ri ru ilo . 'llir'ula in 3. '/ lt,.ti Ir" t'on ,d\ ri un ttun4 comtnst nuna unut. lrlr.ade(d.. in planul desen dreptele ti., caretrec prin punctul ,|'. nm. , ' li. / un pun{it exterior planului c (li.g.3.2).Notim dreapta,4P cu a t, de tllnneledeterm;naie zr., cu y ti d, c cu p. Planeled' p, y au toate l|i,r

i l i u .a A' c o nti nrrrAn P l i nnl a i a.t-.l tl R U) . Unr r iuns nin BC i F n u ma i --A trm S r dL' i l i l i p v z i l i a .l re p l P r M ,{ s rn de P l rnul a da' b: a ' 4M 9 i A t e, 4a rcm. l -{ - 3' m' MB -' \cm' c m : b ) .l M: c m, rv o :6 nt t : 3 ro ,w : "r, N r-1c m . U, DacA un plan 6le pi.alel .u doua hiuri 63te prirll ti-cu a lreia lrtur[ a triunghiuhi' ale untri triunghi d''nnnsltut' cil

rurul7

Inl r_!n l l rtr' l ! . . Un t . apc z AB C D (A B \l C D ) a ' e n u ' n ai l A tura ' 1t ' onl i nrl i l a l ) i n to $ rtl c o' A l l dnrl a dtrl l o rl rul ' U 1 { c. Ir , ) t hn . c : . on i i n c .l re tri p l r gtahtlili porilia d..Ptrlor ,'l l' ii I

tltl prrcl comun ti numai unul (p). Daei ar rsai avea unut, s-ar ajungo l0 ncluzia cd o, b, c coincid, ceac este imposibil pentru cn ,4 nu stc conli ut I fl rul a. doft ,]dt.d.ul, IIri ilqrnrtrrvom ve(l.n .il , s(t si trti ptanl' J ?tittrr Itrtltt ,1,,"rnltt i ttit| 1,,/t(1,i, l'onrru rco.rslrva trobui sn rltnnD tir'1r ont.!tr tr,or,rn. {Jrlnl0 rs,

l6

l .o ! . hl'

/ ' r ' l, / , rn t,Ih tt\4 ),rx ttrtt)rl n u i | tu n \d),tr' t'

tn tl

Il ,t pl u.

Erislcnra.Prin pun.lul drl !s duc douddrcptedislinctoparolnlocu Ilanul, plenul doterminat de acosto dreDie este cel c6utat. iar Dlenuldot.minatJ a.rl.d.eDteeste.el caulat lJni,.itot?a. Sd.Dr$uDunem cd Drin ,4 irec doud D pr$upunem pdn plene dttincte (p ti y) prrallou c {fiq. 3.3).El. avdndun pun.l comun {,4J. o dreaDtd ou comunA. dieaplri (d I d), ln plariulc..onsidcrem doud puncte. B qi C, Fio d acastd

Inln ,,rr t,,.iln{t'tn,/,,,rsr,ti.tr,,r t,,,lft.t,.,tiAti , r,, .t. /j .. ti ( {ti,r. :t.41. fful,rlI'rlrl ctr|1FFrtrr.rt I't,ti.it t. tliu' l,' Il t,t,l ti n"li !. 3. v il"t, rn, ,nr, d. n ,i, L. n t tlr (. .' sunr pornl,,l,, ,liFr "titrjir,.). i,,,.t,.. {r Noi (1,itr, ulIllttor.e{ '1, toorernnutit,i li, rto'no,rsrraliir''l l , ( f r {n r i , /r ,,d 1 1 r ,1 t,l ,u r , \':t, t"( ,r i i , n i , ,t t, I j tl t,l ,r r ,t. ,I l t"l ) ttl , tl , ttt t.t. r .,. t, t t l t , r t l i l i t t , t ) "tn t,, i ! tl .ti ,r t. , r ( :u n i ,l o ti i h ,l i n ti q u r r 3 .5 . D r Fsu D U n .m fti d I ) , r a h . r t i t i ,. B sr f,, ?

tIig. 3.3 e.tll Incat drcaptalor Ed ru fie paraleldcu / (alegercs aceslor puncteeste .impl6: du.pm plin B o dreapted' a 9i punctul a tl ludm riesiiurp d'). Punctole,4,B. C d.terminAun plan t. carc taio planeleg ti y dupd dreptele cliblc ,BCtib BC). Exisla doudposibiliteti dreptel;; ai As;usd iietn I prolungire. sau diferite. DacAar fr In pre)ungire. otun.i r spsrlina ambelor plsne (p ti y) fi deci 3-arconlulda cu d, .cea ce cste imposibilintru.dl, prin conrtruolie, nu estc psroleldcu Ba. Da.A, ti. ar fi drferitc,plc treb;ind d !A fi6 paralelocu Bd, s-ar contrazicpostulatut lui Euclid. Unicitatea estedci d6monBtratC. Tooromtr. /raa; pron, tJistin.,,I paral,l,.u nn dt tr.i a plon (4irttntt d.,1, ) sun t t,t.nl,lt int r , t lt .

A

h'r' l,, d ilur;, ,lrpsprsd. Dr(d y nu ;' rhia ti b" p. ar in*f,nA , ,i I'ri',r, ,,ri a . ar pulFa Juce doud plone (d ti y) psralpt-ta lt, ,.eeJ,.c ,.stn P,rI' i ,l

f i g.3 .5

4_/-

nl'i'rr,l. Dc.i .1n p - b. Ilai dcfarlp. drFpr.lea si , sunt .opta'rArc. D.,,., n.rr li parchle.ar in*mnn .r ar a'"a un pin.l .nm,rna. r)r ( , Ar'rtin,t',,1 droplol"rd 9i ,. Ar aparlinc ai !lAnplnrd i$ 3. in ,rft, n,s.rp d;Fpl; -,r, ' r'Bp.ctir cun!inure. .\r;r.pl,rR cA a ti -"i nu ar fi t,Fral"lts. p Ceoa,.pe.r,. rl.ur(llh , ; .tt 4 .t t, , .t,i "t. \,, 1 .1 ,r , ",- .1 tt.. .t..!,t. ., ,,, ,tti :a , t,t" ", -l l r r I i r , t . , r n , 'f a ,p i n sa d p r n u r ,q l r ,l i n .d r r r ,b u r sn r n r :i g ,"r ',, ,r t a Jtl .t ,1 ,. l a tt r p zu l r ., ,l i n I,u r Fm B .l p l A t:,!r i r r I; lihno.xiqlii.,esl a T o o r o m r i . / , ,.,r tr ', tl h t t . 'h , i ) : . , l ..tt a t.,t. , ..

.6 Fie a , p 9i p lly. Dsrd d 9i y n-ar li paraleh,ar tDscmna su ccl putiD un punct B comrln. Or. prin B treceuo singur plan paralelcu p, ar insemnA cdctiTnuarli d|!lin.le. Dpcj s-ar.ontrazi.c prcsupunerFa d Si .r sunl ra impli.it .d cxi(td trP| planp dBtincte. AceaBldlporemd ne demonstreazA (carcn.au.dor'6.dle doua.ni.i un pun.t.omun) Dar sd.onstruim l)ArAlplp Intrp ele. fctiv trei Dlanedislincte Daralclc

Un.,nrtrcl;,. Cu nolarijl. ,lin ligu'a J.U,dd,,i sr ,nar ft r,,,i,. '1. I'il,i,,d intilneAF.a lol'..r'r rmbui qn,sF rr,rr un t,uri | 1 , rale nr,r1'rr1:rin,. i l,rl,rr,, ,h, o.lr tt'e; plane d, p fi T, ceeace contraziceipotza.

/4

drig.3.{

trlt, I a

l8

lc

Ptolr,!:ltt

li

I n1

ALTE IEOREME PARAI-ELISM DEl, SrBorotric lsralelo lntro Dltno l&.rl0l0*, I)onriplanr pfttnllt l,tt.trrr,ll ) tl ' )rt ,t t , t ) t , t , d\ r hlt , I ) t t ut t lt t t , |\ t t t , 1iir , lf ; int nt t t onlnr tt b,xt,att r dt ; , l'lan6le par JllF sunr r ) i B. Jr plFli p0r . , l I sU, | , / : i (l i B . 4.1). I 'lanul ( d, g) int er sect eazepe a qi pe B dupd doud dr epio l, , '. lllf l, ,

l. l) ouI df t ' p l ep a r.rl e l c u a c e l a ti h n s u r l trfdI,rnl lprrrl ,,l ol nl frel d? e p ! , S edit r d o u .ld .e p ten e c o p l e n a reri , ti un l ) nct ar. sI s. ducA n C o dreapl r c prl coplanarl alal cu 4 cAl ti cu ,. S . Dac nd. e p l e l e i i R s u n l .p n ra l e l e i i s e siparal cl e pl enula, atunci gi dN apl ad d cu e estepa.allecu planui a tsau continul{ t[ er]. 4. DacIpat.u puncle.r, r, C, D sunt ne.oplana.e,segmenlele,4t,rC, CD, r,:1abdtuiesc .eea ce se cheemi un palrulale. stramb; .1C ai tD sunt diasonalelc lui. Dace se inlersecleazi lalrile sale cu un plan prElel cu o di.gonaU. se s slabileas.nnatun poli gonului convex cu vd.lurile ln acestepuncte de inteBeclie. 6' ! . Dar ; r l o u , d rp l p p n ra l e l e .i 6 s u n r ll i a' e de un pl an r1.i bi l . i n puncl cl e,,l . a rspchvt, sil se 8tuasce locul geometdcat mijlocuhi seSmentuhi/a_ 0. DouI plane nepa.alele 9i p slnt iliai de un al treile, plan y. tn ce condilii 4 dr ept elea= , ny s u n i p r.a l e l e? fi r:p O y ' 7*. Daca d ti I srnt dou{ dfeple necoplRnare, atunci existe un llan ti trumfli urul. m.e se contiDAne d ti sa lie paralel cn I. 8+ . $lim . 1 u n p ra n l a i ad o u a p rd n e a rd lel dupAdouddFpte l arshl o. Ford' ,l dl lo p e 'reiprocr ii cercelati dac{ ea esteadevlrala. 9. Doul t r iu n s h i u flA BC ti A .D d u l s l uri l p.l A ti ,4D .onl i D urpi n_run pl l n ' (C d). Fie ]r .1C, asuelca .lnt = MC. Pamlla p.in M la ,4t inlersecteazldreapta ,c tn punctll ,T. Paralela !.in ,V la,4D intesecieazd d.eapla CD ln pnn.tul P. Stabiliti ?ozi9iaplanelor l.rtD) li (,ltvP). 10. Se dru trei plane paElele d, F, y ti luncielc /. A in pla;nl a, iat C, L id planul p. D.eplle,4C, ,C, tD, ,4, laie pland T in pmctele t, ,F',C, l{. M se a.a1e cA ligum ,',t'Clt este un paralelogEln. tl. Iie,4, a. C, D palru purcle necoplana.e ,rlt. rv. P- Q, A. S, mijloa.ele seg9i menteto.,{8, DC, QD, DA, AC,,BD (ln aceast[ord'n6). SI s eale cn: a) M.v"Q esle panlelosram: br ItF PS eslp paEl"logmm: c) rY.RQd esl laralelogram i d) dreltete MP, .VQ ri 1RJshni coD.urente. l! . F i' pal ru p u n ,re n e .o p l s n a rp A : C . D ti ,[t. j y. P . Q mi j l oal cl eFsp.cti vp A. a D . D 4 . A rl ri l i c i tt.l Y . P .Qsuni .opl aD a!.. a ls p*m F nlploa .8 r. ir liL Doua!hne, fiecalc dintre ele paratelcn doln drepie collanare,suntparilclo lrir. eb? Adeugati o coadilie tn nunt pentru ca el.sA ilevid ati.nati!. 14+. Se daDdrepleled pdmkh cu D fi.r nepa.atehcu ele ti n.copl xrl u! ici uor dinlre le. Punctul,4 pa.curgedreapla .. Planel. d.lerminalc do a ti ,,{ fl do ,91 ,1 !. laio dDpAo dreapu d. Allafi ldi,l goirn.tric ol pnnclclor drlllol I

ci de0i ABCD est paratelogrdm, ,C = ,4r. e lA ll ti DC). Rezultd patrulaterul

Fig 4.r

l. Toorems lui Thalcs ir sp{tiu. ,li/ai nutlte plane |aml.l. ddnntni I, dh t ltu r aart..ltr. ntu Ic intt'Jt-na.d p. atst?a, s gmcnt(ttstttttr !)pl Drru)nsrdlic. Fie a. p qi 1tri plane paralle, distincte doud cetc dour', ll lio dr $i d! doue drepte distinste, care taie cele trei plane ln punctctc ,4r, 8r, dr respectiv Ar, Bt C' (tjg. 4.2]'.

d,' dz\ ,o,

At

.

1 ln, ,v!y'I f i g . t.,

N

/t & u,/ 7/z

q+l ,i

.,v,,

-K^c{

\ /4'

\

Ducemprin .4, rJ porslolAdi la droaptadr ti fio 8! ti a'r Inl,it..oliilo d' drr.ploi cu pfenele ti 't. tJ . scgmentul 8,8! esteparalelcu ara! li putfn Astfel,tn t.iunghiul ,4,CrC$ lcrie deci: &e" :.*!:-.B2C' t B'C'

llR

,i 5

Rezultd: i4

A"B"

- -4- . B"C"

t

P6 Insd,4rB! = A\& gi B'C'= BrCr Aezr s6 !t!z : Nz . A,B, B,ctobrNatic. ln enunlul leoFmei aB vorbi|ddpre .:mai bullF Planc poml.le_ li nu desprc tEi plane ata cum apare ln demonstratie Daca am avea doe doue platr' atunoi 1'B' ratofltrt nu am avcacri cine sei comparam Dsc{ sm ava moi mult de'lt lFi ' A , R, plane paralele.am oblin un 9ir dB rapoarte egale{nuiolrul d rapoafte fiind egal cu num6' rul llanelor micFrat cu l).

looromd. rrril.

atriuri & lirLurit,: t.sptttit patun,t,1:t;it \,,..1 ;

TBOBLf,Mf, 4 l. tn fiSura a-6, planelec, p, T Nnt pa. ete Ei /C,..4C sunl dout seqmtc. $ l i i !,1 0l A'A'- 5 ch, B'C' : x cm ri AC 12 cm. calculaii,4.a si tC. -

3, ttryhiuri eu laturitt tcspcctit pa*1.6 Fie + fry !i * c'O'y' doudunparalele ll O'r' qiog I O'9 ti astfel ghiuri necqplaDarc, laturilerspectiY Oa cu ir.rrcer O'r' sd lio in acelaqisemiplan deterfoinat de drdpta OO" lA fel ti O^ cd Ov ltt O'!'- Sd demon8trdm tr rO! = + r'O'g' \1i9.4.41.

i L ?;,l ' i g.4. 6

i

0'nicIL.4

li Vom lua pe laturile pat&lle segmentleO,{ =O'A'\OA:a) AfilBdm c[ iriurghiurile OAB 9i O'A'B' snnl coa' OB=O'B'(OB-b). gnrento. lirtr-adevdr, Patrulaterul AOO'A' este peralelogmm'a\e d leturile O,4 ti O',4' paralele conguente.La fel ti BOO'B' estepamlelogrem' ti aYand doud1a!ud,4,4' ti ,8' De aici rezultdcd gi.4BB'.4'esteparalelogram, AO'A'B' (avendhturilo rftpectiv paralele coilguente.ReLnlldc\ 9i ^,OAB=propozilie este demonstrattr degi + AOB = + A'O'B' !i congnrent), diforito ss dinirs laturile paralele all[ ln 8miplane Dacdnumaio pereche (lig. 4 5). utor latd de OO' se demonstreazd cd unghiurilesunl .uplomentarPutsm dsci afirma: 22

t dl o dr capr d si xn pun. t , . t , er t pr iorpi. Se . onsiit pr im , r t lim ea d pldn. lorqr o . .F. It.r trlfl ,{ aisur nqll|lrla .D d. s.l $ srsio .t acesre planc au o dFApta .om,rnr. 1.. th FlAnul r id. p. pr s d c. Dar d, 4 psr . ur gF r i t psl. DUn. lut r r pni, n! , , r r d d c, r orl .d por ili. ' ln d. . nm est ct o. ul geom f r . i.sl m ijt o. ut ui spsm cnt ului t / ? ,4 4.. s. d$r douA drepl. r&oncurcnle tn sprliu, d 9i g. Crrc csre locul r{cornetri!rl toul rl i i ' fn r , ! lul{, i . / - {innde. De d. C e s, cjnd: a) d lgi bl dt is sunr nccoDliniii, . Ar'dlrai l,n,l,l,ma ,tn.n ir ro. dc dFptelc d ti g s. dau s,.Fm*nrrto ,.1/ ii /V: J.1 A nl l trt, t '\ / t , t r r 'nl, hnnr r r P0 a lr.,monit.0li otl dscil pntnr droprc na.alole determjnd,prj trn plon dtrt, vtrru.ir. p|rnl"lo{nrm, trltrnrid.lnrminil te orice plan mr. lc r,ri. llrtrtritc unnj Dftrlrrocnrnr. t, ArAl ll .il iltrrl d.tril dfl)ro con,xrreDlo jntiBe.l.Ari cn donil Dhn. Dtrn,r.l,, s. llnolnl...li ,, tl riit'o.tiv C. D. lxrt.t Inc{t palrutoLorl .4rcr) ![ fio in(f,itubit, | | l r.frtr .. ln lb, ln'r t nr I hl, t t n r r nDr ', . , r ( r \ . t L D r' i l lr p. dunnhnnr r r *m . nr . . ons. r . nr r , n. qt r ' l Nr i t hr . I , ir . , t i, t c, t ir nint rl i runl t dr . l, l. / . ln. r I l, t r ll r t 4r unr {l r lt r t .

'll

\

pe Drcoptoperpendlculord un ptonl'!nlru a explica aceasrd noliutro vrlirrcdqta sd ardtd {,r'tj(lAn(tu,ir. o tlm[!14 a gi un punct 4 = 4, existiiul| t)hl| d caresd trerci prin tunctul ,1, Inoi\t oric drapt{ o acestuiplon sd fie prpendiculard dreltlr a. pe ^rlfol Vom corsideradoud p)anp ti .r, careconlin dreaptaa, ti vom du(x' t,r l$r'rro (lin ele doud dreptD (bcp) 9i c(ccy), perpendicular ln,l l),r dr$rl'l.r 4. Planul determinatde dreptle 9i c estecel cdutar (fig.5.2), r

pc s.sssntDl ''t-B ora rnc6l i;:3 Iisurd descrie c cend ,4 ti t

\*

paNurg 4 ti

1l'. Linin tr6nls tncl'iod '1'CD ste t.iate rle Dlanul0 In punrtele 'U. lV, P Q P ecD . QeD A I l M e A B , N eaC . d' Ducanil prin ,4, ,, C. rcspeolieplaDels 'apoi o draPld d cars S. v. t pamlele .u 0 li * iri" *"st" Pta"" \n A', A C" D" a^ releiie dovede$c{ AM ,r -B N .C P .u! MB NC PIJ QA (Veri liglra a7)

f18. 5 2

I r ig. 5. 3

Von domonsra acest fapt. Pentru dreptele din d paratele cu It sau cu ., 14 nvld6nl, unghiurile lor cu a liind chiar unghiurile drepte ..{16au /, ,ti'r

fl|r|r. 5,ii.'

IN SPATIU PERPENDICULARITAIE , Drepte PerPendiculore

1 d , I I

jr:,il , an | ^l:. l:rfl,.i;::iJ"#'ffpararcrc r"""'5':.1"i""1fi f;*lill ard n *'""'Fi8. 5 t

gt .c nsea9-,..* mna J"i,:l,l::1"fi im :li:;"," ,J":l'lii;'l"TTl "

0l d0tnonstrdmacst lucru pentru o drcaptd oarecaredC d, care nu rst(. prrrh,la,^, nici una din drptele si c (lig. 5.3). D l)rlrtnr llrin ,,1o paraleld d' la acastddreaptd. Se aratd utor ci a fsrf 0(,rllhut( ln plnnul a. .{lngnrno Altd drcepti tn planul a, care nu trece prin ,{ gi carc tai {ln,f hh l], |', .r' In D, C, F. Putem prsupunecn I se afli lntre B qi t. Infllh po a do d puncteE ,i E, de o parte ti de alta a lui.4, ata incrir Av$m t/l = L'8, |:C =.8'C, din perechile triunghiuri dieptunghi(x, de C0nlru0rlto r, L'll B qi EAC, E AC \fig. 5.4), ',4

ffjll*ru?truxll* tt IJTj";r;"il1; ,",?;'#!;;,"o:::^o;::,::,',';"0"i::::'t';,:;,:x:::;:,1"':;i;:;::;?'i;'Jl',

l" Ilb

!b

5. .

.PA

rclrrtiv lt rrn purrrrt'P' vAzut mai suB {)i (lrr.it nctru{!8 se inlitn\)lit lA orioopn'r(rtdin 8t"'liu *ro vnllbil ,'i,'qilrrr:ru '1tl"tiv '",i ',, ^r,,'

ll'lrrrili'r6rpso' l)(ri rriu'rghiurin/t/t/'r,i t'B(" sunt r!ngrue te (au toate rE nC' tiv congruenle) dedufr!'nd +l)9C = 9i li t'Biq sunt congruenis Ace,istcperrnite sa atirmdm ci triunghi rilo t'F oonsru:n]'e) tuu dour taiu"i qi ungtriul cup ns intre ela respl:ctiv l:iut-ta E-i'E' este isoscel;in el' mediena'F4 va filnel )rfr ='AC "atu'"*"ghiul coneluziadoritii d' L d' adicd d I 4' lime, cees ce .eFezintd dicaPtd tncdt oti'ce A Printr-un pur],.t aI uneidreptc@tece deci un plqn astf?l pe conlinutdin a;e plan sd, perpendiculord ib'llpto a' fie punct exierror uner N Dunm acum urmdioarea problgmd: Printr'url con!'inutein el' perdre;te,;e poate duce un plan arc si aibd toate dreptele' pendi.ularepe dreaPtsiDilialdl A ' cslF afirmativ. Presupunemdats dreaPta a 9i punctul R*"r*;l exl,erior i (fig. 5 5),

Fi8. 5. 6

Putom da deoi urmdtoarea: D.llnlrlo- Nmnim d,reaptd perpend.icutard.un plano rlreapripc.trnt, pe , krtl f bud dftpte neparelele con!;nute a,c(.l tn pta;. Dln 0olodemonstrst anteriorrqzul(tr cd: ttrnptd pprp.ndi.ulard ppun ptan cstp p"r?,ndi. otu p...nr, .. .O n rl n u lri. r|qtj[lmr. Dintr un punit M se lnate d.u(. pt un ptan d, a lrry ,i.L,.

t' i g .5 .5

dumm dtealta lts lD Dlahul determinatdF drcaptad qi dc pun'tul '4 p' d oar pp perp.nrticulora drcapla a {B a d) lntr-un plan care 'onlrnp

6 p: Dl:pI: i",ilii"ri a"-ot""'to.et. aai"e' dinI o perP?ndic'rlaru mar suB' : nclor ratsre

I'n ,48 ti b del,crmind plsn carelndcplinelt" 'onform ncparalere trecdnd prin B o ti oonlinend doud drepl'e """aiiiirr """"", perpendinulare a. Pe Vom demonstra acum urmtrtoarea !"' " l' t1l Teorcmd.ni,/. nn 1,4n4 ,trtor M,11 llan s' root ' '

rdzrl L punctut ,'lt aporline planuluic. Sd presupun.m, _-,Donon*ra1ie. ce prin punerul am puladuceJourC It ,tlnrbrurd. perp.ndicufaro 9i a, a, dr ta Ithnul a. Dreptele ti d, ar determina ptan p. i'ie a areaptade'interl un t0lh n planlor ti p..Dreprcle ti d,. prcsupusc d d: parpcndicutsre planul pe c. .f l|,oocr,perpendinulare dreapta c d (tig.5.?r. pe d fi P:obh." devine.o problcm6 qcometri ftan: In plsnul in punr.de tn B, ..., ,t, r-al putFA ducpdoua perpcndiculare a.est pu;cr pe dreapra Jn d. !:tl O,t,ro6rt lucru csreimporibit. Deci rctaliadr * d, e;tc absurdd. R;zuttll !| prin.punctul al planului sp posteducepF accsta prpendiculsrtr M. c. o numtrl una. ll a,'d!|,I9. Punftul M E a. prcsupunen am putcaduceprin puDctul,41 cA , qi d! perppndicutarc ptenut (tig. S.8).Fic ,{ orophlodr pc c 9i B picioarelo l0.rlo. pr'perdioulare. urma cd triunghiul /MB ar aveadou[ unghiuri Ar dmlio, oeoa estoRbsurd. oo

drepte neparalele conlinute ln planul 4 (fig 5.6). Ducem p n punctul / .Planul pr care se aibd toate drcplelt, oontinut{) in el, perpendicularcpe d1.Ducern-prin,'l planul P, care si llil'i l('rl. rlr(rl'L0lf' pe oonlinute tn el, perpendiculare d!. Planelepr si pz,avend un p n(rl rx)trrun '4, ou o dreaptn comun[ d, care este perpendicu]arii' doci, qi po d' 4i po dr' Oum dr 9i d, nu s nt parnl(le,urmorrA cd drollpto o rrto pc'l$tr(lt'rulutlP0 oriix,rlr(nptd R tlrrotrhi E.

.6i!#;:i:ilt. i';3,1,1i';'l*#.""1ffii'li li'i'" dlei,', doui, l'lil' ii:

l6

,7 ,

' loo forfr[, /,f.r/ L rt|t lttltt

] , ' , , r , , r t it l ry

nl pur t ! t lt ) t 'Ii

d.st r ut t

t lt ' lt tl t 'r t t l t t t r t ' lnt t st t t t s t t l t a u t ,,: ul t t lt

" ,l t

i

r,pt

a tt6t n llr & llii

$i tu r' n t' t

lin

p u tl ttttt

I P d tn pumtul

I, Ij

[. l l .,,l r(]x n l. lt r ngl, j{lr ( plht r ghr l 1'0. ) p0, 4t r . n ht t r r i1*, . oir t . r t , ! lr ( t ^I , t . , i: rfnthhrl/nMl y, \ M N t . 14ucj) . sr r l) ir ili t ) o, llh dnTt . i . r . , t r li r h lr hnul ( . . l1Jlt l 0r. $ so detorminclocDlgometricjtrr sprrriu,at punc:elcr .gat dcpdrtdred. di / P utrcl o B l i nc t e t i A dab. do rr

Dtnonso.ali.. Fie c planul perpeodiculal

,4 (fig. 5.9).

t.. So dau trei prncte ne.oliniam.S{ se debonsrrcze locurgeomer.i.al ptrnflft,,. cd dhr.Dnlir, c,adldpa.hte de ceteiFi puqcr.3ro dreapLi. il0u palru punclenecoplanaN. se demonslreze exisll un pDDcr t. Si5 Sd ce egald.t)tf. trt (h {1. fi sA se determineacesi pnnct. fr)r," pr" " " rl riunshiuluilBc, cu, r 8: 7. m , sedt r cpe. pend, cular er e, , t , {, : , . . r r ff tr' csre ..hi - , cm. Da.AA'C = B'C, A,C : j y'i cm, atamlr ca riunshnrl /rc htifirl

Fig 59 pe d Orjce dreapte din c este pe'pendiculard ln pa 'ioular' toete cele

P. phnul rriunghiului ,4rli se.idice perpendicDlara ,. Pe aceastase ir trn Inl0n0l \r,! tltft|cl lncat RD, = AB t rilhhrl /arC osle echilatcrat. = ACI AB: z) . Dacd ''C: . y'r l a. {t nt i , , r

,ore lrc, prin 4 9i :unt conlinulc in d' incat.drcaptla 'rU'{ D l"""opunu- ce a" e*i"tt,t,t punct 'lt e d, aBtfel 'C dl9iAeb ' ci qi I-L {t,'deci, ar existeo draprd ('Idti' ' oi d ld 9i cc"d' . Fie planul (d, D), care ar tlia d dupa drcapta c' Pentru cd s pot duce doud u"."roit, oa d-Lc. Deci, ln planul (d,6), ar rezulta dreaptd d' eeea !e drepte b ;i c perpendiculareintr-un punct '{ pe aceeaqi imposibil. esi,e

llr,, thr trlun8hi d.eptunShicvafiabil .4rC, cu unghnn ,4: 90.. llre vartu.it, n fl I flrtt fl crleta .,lC de lungime constanu. Clre esrelocul seoDerrid. vdrlului ( ? l a.. l nl !.un pDnd 4, alunuic?f cdr m nlr uO , sp duc?pr . p. ndir ular a pt , , nul r r pe . A l ul D , orm ! l a un pur . r , 4 ss'r erin. 6r q, 4'- s m . I t l, ind , . a dshn{1 . lo . , r I n , , .l .f .6 olle rara ce.cului; U lo.ul Soomtric al lui ,U, mijto{ul lui .1,q card I desc.ie crcut. la. 8rrts 8d!6asce locul gconeiric al pDn.retordin Jpatiu egaldperh|e de punct.t(, $l oaro,

PBOBI,EME 6 pe ele' Du@mdin o!e'p-en' l. Se dau detlele paulele d,,, tiiun puncto, nesittat e tl Suni d'eptele o'4' o'' Ol, oA, oc rcspectiv!e 4, D,' lA e d' B e b' c dicula.ere OC .oplantre? a D' iaiprln B trec !. S dau punctule,,{ ti a Prin '1 fec dreptelea' d" ""' 'lrcptele \t C' C" C' sA se amte cA r1iconc"rente reqrectir ctr primele' o'. I p-p"roi,l,* = OA asr.lelh.at segmentele - oA = OC = OC' OQ' O*" O, "" "-'UO drepie a ii } sunl @lcu'enro 9i 8. O d.eapl[ d estepe.pn{ticula$pe planut d Doud lor? pe.ntelecu d. Esie d.eipta d Perpendicula'I !e Planul ft oo' l i no dn{ t)l u 0' 1 qi r to Utl l, lr r leoa r ioa a o u r a rc p l ep rl o n d i c u l a re pl dra d' (l ut)i (hrl l r / sl { bi l i l i dtr{i d opl ' l e ur ul! plan p tcriloi( lnr r hr lo O l r h i o N (l fM i 1 0ll Si { {unl J!0rl{rll' trlrfir

I tllr.l.

la'. A{ r. Fdsoscd toculgeonetrical punclelo. din spaliu egaldepArtale ve.nrir, de

l& lrr cr onr i. poate dtrceprintFo d.eaptdq, da1e, un ptan perpen.ticnlar peoaltr d.l i l D t la, Fl m it.monllrer .{ da.d douA dreple dr ti d, sunr le.pndicutare, a{rtr st ri. ln .col.fl phn, looto dreptlecaretnulnesc pe d, ii sunr lerpendicutaope d, s,rt lr tn N.fhtl plon. lt, llr(pt{,lu l, tl dr liind dale, tn c caz exisrr un tla. am rnnlino pe dr !i Nlo

l|r

Drol

rhnxtl orl r lil o dr ut r pll. r . , i( '||llnllt [t r r r , ! inunr uiuna, p. l0ond lt r r { t [ , 4 po d ir

'ln'rttr

d, c{m l.ux'prin p rctul I ol ptanutric, nu olto porpondicurdrl

2u

celor trol perpendiculqrc Teoremott t i tdt a si pi n pi ci on ei l recr.o rt t i i) . ' t ) t lt dlt d ' i ' !' t' rl ,tt' ti ' l l (l rtal tdb cottl i n ntn l ' " ' L!t' i in , , , , , 1' , ,r,,,0 V l a tt' p rrl tn ti i " l " ' I ,,,, ttr' i d r' pl dn' r" t l p" 1' ' ,tr r,n r' tf ,,. , 1" t t p' u tJ th !' tL t tP ' \Ji c td' d l ' r d " ^ t 1 ' ' 1 -n a i ' " tn ' ' : t l' , ' '.. t ,L lt r t ) u l' . ' in planul 4' erte perpendiculare , t i it'g. o.il. Dreapia D, fiind conlinutd pe tlecid este perpendiculard planul t*;ndiouhrn ei pe a, l,"-a. ;;:;;.;; orice-drca?tf, (letcrninat de a qi d. Este' prrn urmarer perpendicular[Pe (n4 !i P)tn (4, d) cum drcapia c are doud puncte **r'n*. ",,"it"iiu,. cd dreapta 6 est prpeq' ,,,"", O*t, deci ;ste conlinut'l in el' rezultd dioularl Pe c. Dnfinstra.lie. Se d{ d I d' ac c' b c c-' a } arat c' ti se cere BI s

Reclproce teoremel ole celor trl pr.pendiculoreNi ee paro mai rirnplu sd le forrnuldn f('loBind direcl figura. l) 56 ddu '1 | d. a.- d, hc a, . L ,.So coro a L {lig: 6.3). D?Dpnstalic, Dreapta, este prpendiculgrdpe planul triunghiului ,4/,4 /' prnlru cd este perpendiculardpe doud drcpte coDcurentedin acest plan (t(! d a. ll lo .). Dar a Qsteconlinutd tn planul triungiiului ,f.4P. Rezulta c[ ,I

AI'U)y'P rig. 6.3 l) 8 o rf o ud L a , i L t , o - t l . a c e . r c ' 5 s 3 s 1 6, 1 I .

pe Drapta6 estperpendiculare planul tdunghiului ,t/,1/, , I)rnurn$nalic. pe qi llhtrl porpqndicularl c gi pe d. Deci,esteperpendiculari pe d, carosl.e In planullui,44P,4,avenddoudpuncte(,U ii,{) in Acest plan. I)r(i tonlhrut[ atet pe a c,it l)in ipotezi d-L a, d.ect dLd (pentrucd c conline lj-l, in ll l'0 ,, conourente P). reciproce teoremei ,Nt f/lir.. Incercatisd denonstrali una din aceste al porpendiculare prin reciproca teoremeilui Pitagora. ldor troi 6iF* 62

Fig. 6.1 Fig 6l

mici rpre(notaiiilliind oelediD ligurs 6'2 9i literele Altd denr!)nstralie 9i mdsurilesgmentelor nu drptele)' il ,entdnal, ilata sceaste, aplcand teolema gf : D i un Luem pe a treia perpendicular{ punci 'i' a\emi lui Pitagora'ln triunghiurileM/\PJ /Pt ti MAT' d' c'' ari ez: a2+b2\ f : d'+ e'.

pun.tpc un plan. htntnlnru. run s..onsltuirlt,perp"ndiculara dintr-un Lnem o dreaptdDln planul c. Irixlnr leloird lconna ctlor tni popcndi(ularc2 din /'ul porpondicularei ,4t pe D. Ducemapoi, ln planut d, perpentlnlonrl ' a , lloulnra trr /' p0drdpla (fiq.6.4,. din ,l1 pe d (dusetn planul dterminatde ,tf Conridrlrilm lorpendiculara .Fl.r.(lrdptd clutatd (,rL4). I r). A,uu"Lu

tl

/11

relalie'po d' din |lrinrnrohli'r in (rndef: MI, e : ,4?). lntocuim, a treia l, ' cr- a 1 l' ' | / , is n ' rf 'r . t,',,1 ,t'" d "utrrclali"ti"l'lin""r I " ro'ultl(0 { L t ' 1 -l' 0 " i ,",,","'r ,,,,' lN'lr"'i lui l'rrr{"rn,

nr ( 1i

f o n s l r r r 'l i r r r r l r i L r r r r t '! r p 'n d ' llh .frrnlt'.,\f,:l I n, f , l, r . r r r ur r l' r r ' 1r ' l ! r r f r lr l i o (lf llri rlirr' lrrrr f r r ' |l( r v r I r r l f t t " l i i Lt rlr r r , l! \ lr r it { trt,l,rLlirr r rrlrrit! '" ' , ! ,L I r I I i i | | | u i l) |r r r ! r ' r r ir r ) f i r r l r r r r r l d n c l t i o r l f r i r l l i i d r l n ' \ n" , r "l,j l,* ,"i n u'n r i ' !,'n r rciter.t . r r f , r s l, i , o, , s r nlr |o s . \ , r r r I r f lr r r l i L i l n m t r l l e p r o l r l e d ' d e c r l d u l

frr' . f{! d {l o , ln'{t 'ln lixl / il , , r r , , , n, llr A lA G t l) . Ut r t h! r bobll. cor lln. I drrnl r d. l )i i ?, 1 r |m r t D. t r r d ir r hnr , , 1, t r phnul r lr , . ) dr , S{ oon, l n, rl r. trrDlo.il P .lo*.ri( o .rrbn roplulrrl1i !l rl & l.il{ns:U lotul gEom{trical I'undului P ln sptrtir.

l)t t. apar doud teorott( rcciL)r')( l4 t't'r' n 'thr trci popendicularc? am vdzut' in clasa I', n1ru!i ipotczaesle formati din douii prtlrrzilii 'qi (louriIcc'Proce o Vl tr, cA, int. o asifel dc situalie' pol apire&

l l . I' n,a) nt r t {nol t r r l. nnl lf ilnt hiului, {t c li , t r n punr t pe p$pon. li, r , hn, / / ln nn |l|!.r|l thtr. lil ia amrc cl lac,l lD I tA rlunci /., s nlli pe inriltim.| din ,4 tr tri-

rrrrftlului,4rru.

l,ltoBLltMli 0 pe i l. l; v ar f , , l. 1a l l .n ,n s h i u l u d rc p i u n g h i'c ' d i i :90' i se ' i ' l j ci l erpddi cnl a' a 1 = 30 cm' 40 ni ' l C . rh r r l l. iunt r hiulu ip e .a re s e i a ,4 ,1 t: 1 0 c m $ ii i nd ' l ' 1' : 'm sr''s. {teiefminedisi.nta hri '11la tC asllel incei ,. ll r.rcll iC\ de urLm O 9i'razi t: 8 cm se iau 'louA plnctc '1 Fi it 3 cm fit - r':tt'. lu o se .idid perpendirularu plaiul ccr'ului !e carc sc ia o'r[: Itr sri se dciermine ,lislanta Lui ,lt lu drcalla -'1, = u' !unc1 t. F;e ABCD nn drelirnshi or laln.ile ,44 : 9 cm qi 11) :l cm Fi' E l n E * ri d l p" rl -ndi rrhE tc prJl ' rr p " d, agon, l. ii. . s , p l ,,-;r -:i ; drep\ pe il.eptunghiului. cale se ia tF : 5 cm. Si se deie'minedislanta lui la hlurile ' unghiului. a' o perP endnr A I pl a . 1.lr v er lul, t a l u n u i l { a g o nr g La l d c l a l u rnd, se ' ' i di cl l disiinlcle lui 't{ la laturilc ,,l,n : /, Sd se caloulozc nxl si',u,pe catc se ir un segment hexrgonului drtlui distantel v la dirgonalelehc\a8onrhri 5. Aceleaii.late .le nai sus,sil sc c|lcu1e7e isoscfl1l' = '1C) ii ldct!] r) pi'nttrl nrillitrii 6. !'ie /AC un t.iunghi drcpLunghh in D pc dh !. Sn se demonstrcz.ca d{{rir M tsie trn lunct oa'ecareal lcrpcrdicul"ei p l nnir ln8a. alun ,I l ri u n r ' i ' rl l .l tr ' s l F i ' n s rp l pc ca'e se aregc ?, I'e llanul unuic..c icl, ir dtrt.ul a.estuia.seridion !e'pendicula'n (ire uneriicPe It d !n I'N'.1' 'iy d' IJec$drl (C) es(o un puncl ,1t. Se se a.{le od dreapta ''l . r r ' . . I c ' , . ar , p- ra n r-n ' In /v ' a ' t' rx l trldrtt Pe planul unui t.hnghi (hilattil '1tC d' laiurn a se lidici l)dpcndn 8, "1'4' a Si se gdseas'i'4''l'asttel hcet: $i ./rll'. Se gti. cir aa': ar l.iunghiul A' D'C' sa lie dlePLrnshic l-ts'- 90"1i b r . ir liS hnr lA' B' C s l l i e i s o s .' t.c r _ l ' B' = " 1' C l i \ ,' tr fr I r , r ) dr . r t li d i n ti rl .$ r{ n n tl i n a i n I' u r.r ul / l ' r ' / sr i i ' rn Ii rrl i rr z S n s' r!1' rn" rrf k!rrr {rr' ,',|t u, t ) t n r dr i. bil ri (, rrn i rl r' l rri tr ' t ri ' $ rf [trrl i ' trl i i o r nr i, r r l ! i|i, ) if u l ' ,r l rfl r!rrl rrr| ' r' | rr rl rn t/ In ' d rMl )l i rri

ll. Flo |{ o dminrl troui bnrnFhi etc. t,e perpcndiortara lJIt, p9 ptannt,4ta, i, } ffr nn trtrn(l qrore rrt. rri ! a|{le.aT dact A'. B', C'srnt picidrruk perpenrlnxrh ttfor dln ,tt nriocfiv po DC, Ac ii AR, nl\n.i AA', Dtt tt CC' s\nt lnrlllimib triur.

tlrhrhl ,trc,

ll., fl.,{ |lnlhl|l|" l|| .. tl|f,dlt$Ltih a{ latlltlL rr'

$n Durcl al utri tlsn det d $id, s douii dreple concurenle ]/ ll, y' ,4 h l'o per!ndiculamln.t p. ptanul a sa is un punct I, din @rc se du, t l ti ,O, .espectivpe d ti r lD e d, C e gl. Se se amte c{ patruhrrf,o /. C. r.Gste in$riplibil-

t''i l

|

?lonr p..prndtcilorc

th un plon a f o dreaptd perpDdiculerd l (fi8. 7.1).Els au un punct d pe '"'lCtlun ,1. (Alirmalia ost4 evidnttr: daca d nu er lnlepa planul tn ,4, er ,; i|ultl ot d ll c. ln scert car, ducandprin d un plan B, neparalel c, er cu plrnul c duptro draptt 8k ll d)..Deci ln c er exi.te o droaptet care r , l|l{ p ;: ltu at ll p.rpondiculor{po d, or d, liind prpendiculerc c, esteperpendi ' lult t|| oti.a d rptf din a). Prin d, ducemuD plan y, Spungm planul y ctr

t|

p. FrDandiouler plenul c.

tlr, t.t

3?

u

l ),!,ri t,ul'jn',l

rr nl.r'rr'(rl alt plun 1, dua tl,htt^t ' f \'rtdm cu g lnterseclia d pl'jnul 4 perpendiculara DrcalLa a est' PerPendr'

Dtilirrilie. a,', tl,ttr ' t:tt til)In4ltrldr I tn ti (tl.r) t,tl,ntlttutttrti lt:,]tt:tt tl | ') itu cri V(,'n dcmonstra daci 1 L 4, aturrii li a I (lie 12) Ductm jlr d ti '( Q: plonok,r 'n'i ire g in pnncful A. lDeci uc r, aLg, Aaal

tlrorptl A lui p. Ducomprin ,.t (lrrnt,t r/ I'rr,rloli , u t,. rii r'{ !r ti perp.n,ii.", l^rd p$ toatc dreptsl6din P. Dr(|llpll rt lnlllnott (lr(.dph n t /r. l plr l d{.trrminotd ,1, ,4', Br Rr \ista rh.i rlouil(l'epte ,It Si 1,t' po'pa!',tit 'rhr'! p. rJ.,{'. Duracestlucru esteimposibil,pentru cd -.lB ti 1ti' sunt ('nf rontf. RilnlAne numai cazul ctlud g ar trece prin /, dar qtunci p.oblcDu (,sh, rnrolvntd,g fiind, prin defi ilie. conlinuth ln a.

Pcrpendiculoio comun6o doud dreptetrorcr . l-ta.a a b suntdouddrepte necaplanart. n.i $istti a tttdtt I at "i h l i t u l a r a r' d ,H a , t ; t + i p , b . , a r , t t n , i t n . . " .t , , t r . ) \ t L t t a t ' t |n t t . t t , t , (:u $lto cuvinte. pxisteo dreapte numaiunn.pprpcndicular6 qi pf,t,n,d _ {'lrlu nrroplanarc car{a se sprijinepe el. Ai y pun.t P al lui d. duccm paralel6 6 ti ronsi,t{..,rI lrirl.rla. Dintr-un .u plr||UlI doterminet dea lir'(fig.7.4). Ducem planulp perpndicuhr a If a. cu d orm oonlinedreapt Acestase intersecteaze dreaptaJ in ,U. pe,pu,rdl0ul.ro ,t^r (din ,Y pe a) este dreqptacnutat{. Intr-adevnr, penrru cil trlvc p, MN La, rezultnrf.IfId, deciMN 1,b,, decirv.ryr, !tr!i ,U1[-L a. fl rlln oonntruclie, oPqP

F i g . t.2

pe culard pe plenul y, pntru cd ste perpendieulard doud d'ePt ale"rale pe in (d se g&se9te planulY 9i esteperpendiculard t) Cu alte aIg,aLd dreaptaa, care este perpendicllardPe .r Deei cuvinte, planul a contine aBlfcl c I y. Am demonsrrat laorem . Fiini datud(rud pldne a li .(, dacd'i La atuncijL '1 L'(. inc6 o teorema' Sd c[utdm si demonstrdm (c.Lp), perPendiculara planc perpendiculwe Teoremi. ,ac.i se ilau d.)ud. in oaftcare unuia l.A = c) pe celiildltesle intqime coniinutd sI dintr-un punct si A A 'L B )' t n pr im u lp tan \A A 'c d, A 'ag Notdtn cu m + a n p. Hn reducerela ebgurd, pr6upunerD Demonsl:,o,lie. tl ce AA'Lg nu esleconlinuti in planult Dar r psteperpendicular 9' g'lerpendiculard p (fig 7 3), edicdpe orrce Pe deci existl in r o d.Paptd

\SFr f,7{ ti

l|f, ?.t

l{

doutr porpan'lioula'o l,lri.itdtra, Prer l,unofi, l)rln obnurrl' nA llr 'xlrt8 pe 4' (a 9i l, liintl ,Ulll qi PQ pe a qi J, ru punot;16 ,u, ?' $il'ut't{rpn .. 1i /V, Q consi(l{rrirtrt n","'1ir"u^""1 (fig ? 5) Din Q ttucern Q's pnflrk'lil ou ,|{N lsi

RE9r D|SI PERPENDTCUT OBLTCE. NlA DELA t N

ruNCr ur{P|.AN r

a

l.orcntr. 1,,' .tl r n p utl(t in !]pdlii, a nn pta.n$ N pi ciorul pt r p otl i r ut n", r r') l),r(,1P = d, P * rY, {tunci MP > I|N. l)) l)d,i Pr, 2, sunl puncle din a' atunci Np1 = Np!, darit 1i rrrrrl"i i^t'|l, lIl't -. .tl P2. M,vP' rospeciiv t.i' D.;tuntlrclio o.t6 imediatd' co$idrAad triuqhiul

unthlurifo,tNPr, M NP, lli$.7.6').Fig. 7.i perpcndi'ularc' dc DlAnut v dPtenminat PQ ti ('s Drcntole a $i D sunt pe qmbele, pe plan'rt Y. fiind perpndirul0re dcud ilin drcllnh sule Ar paratele, dar Ple sunl neclplansre'iald ionlrailrclra' Inwmns c,l a qi b sunt cele doud perpendicularear'aYea pe una din RAmine de atudiat cazui ctLnal citit'od"eptele a ra,t D, un punit comun. De pild[ /V: Q Ldsdm pe seoma rului id ,,etimine' ti acesl caz.fiA. 7.6

4"tv

a

Perpendiculorltote porolelism lidreptbptpmillcllLre pe legdturuse xprimd prir.: Doud ln plan, eceaqtd o o treia sunt Paralele' ln apaliu apar doui ebemenea proprietuti; ll I,',,, plan"p"rp,ndi.utlr' p oAtqt dr'a[rldsunt Iaml l ' DacA ar aveaun Punctcomunatunci,uni'du-l cu functele D.natustrolie. Am ale de interdeclie celordoudplanecu dreaptaPecarc suni perpendiculAre (situateln Planuldeier' din doudperpondiculeE acelpunct ps drespti obgine ceesce e6teimposibil' punct qi dreaptd), mi;at do ecel 2l tL.ti tJtpt p rp'n(J; utat 1" un /on suntt'orol'l Po torte Fie Detn/,nstratie, d I o. Orice paralel[ la d esteperpendiculurit le jn Pe din a, rleci esteperPendiculard c' Fie d'perpendicrrllrrn d drDtle faPlului(il (liltr-un d" runctul ,'. Ducemprin ,t psralla la d' Conform pe utt plqn, an d' - d' iun"l ." porf" duce o singurdperpendicular{Ort o r lrttl ati!. ln lpalit, tu e.l' ndivilrol cn doul dnPle P"pcn(licult'c lo

4rerolri, T.ordnt !s poata tormuh gi aluel: P$pndhuroradinlr_uDpunct Po on r dusA achtipulcl LaPbri doul obli(odus!din diD oblicd .t md .ou.tl d..lt orioo h atunci ti numal alunci, dnd pi.lorrlo lor lunt cotrSruente, pnot po un pt"n lll "rnt do plclord prperdiculari. |ll'ltlnrt Dftl[l$!. l(N,tnh ltntli nt,,L P.r, distunla la un punct ]lI la un plan a' tntekeL:nr N I dtsu ricior l pcptndiculareiduscdin M yd.

p planc paraldc, Aturtci distanlu d.e pu ckl. rll Ia llraof../'i ', d, r1,&ri ' p tsk unst\nti. Attasli eottshntd numPsle inLn ll(lt,1' se distdnlQ , t;loaal

Datwntuoti., Fi. tlr, .ld, 6 c ai JV1,lvt Picioareloperpendicularolordin JIr p. P (lig. 7.?).

,la 1.1

a6

!7

deci 'l{r' ?Yr' !i ParAtliEm)' $tim c{ Mr,ryrll',lt!,1, lperpendicularitat'e poraleleFim od proprietdlile planlor .vr.',ttr ."^t lt ""4'5i ptt De la 'i,u"\in,tr,, c@e deai MrN$,11" elte dreptunshiqi deci '4fi;Yr - M'N2' ce trebuia demon3trat. congmente' oblicelor asuprR teorcma .4llicalit Sepot dovediugor,lolosind urmetoarele alirma-tii1 t iLe depdrrate edrfuile suntegdl din al l. Loculgmmenic p nctr'Ior spatiu care centrulcenuiui cicatuscris triunei,t'perp"ndi"aloa ilusd i""ii, 'Lin -"i' FhiuluipP Planul acestuiaO lriunghiului' centrul veriurile ,.monsldlt, Cunotrli:ledin iigu'a' 8' a' .a' dsutrt o$eril trntnshirtuiei M Dn tJuncj o *oen'liculara ln o pe ltanul *.'n,,t lt"*.*.o. din acer'ri Mt = Mc oa obri" dnse ,j; : oIj =oc' dt'i MA ;':fi;;;;;i" un perp'ndiruhFi 'rr-il'r: da'r '^' esrc pun'I In spaiiu' Oiciorul r'4nci din perpendicutar+i rY p Prsnu) piciorur "l'""',;r", "Ort"'" t" " = tc ii ,{' esre I*"il^?u, t! = eoi'cidecu O' Rlunci,1Y4r.ry? G.]Y'C.deci'1Y'I

PBoBlliitx ?

l. Drcphnghiul /trCD cu lalurile,4.B : 3 cm, 8C : t2 cln, se lndoaiede-alurgtl dreprei M,ry '.rt mijlocui iui.1r, ,ll'mrjiocul lui ACl, !en{ (6nd lhnele AMD 9i DCN ilevin perpendiculare. se aae lunsinet segmentului Se ,D dut{ lndoire. e brza ma.e AB :22 cm, bara micd CD 10 cm qi 9. Un l.apez isoscel ,4tdD gatAcu 10.cm. Se lndoaie trapezultn lungul liniei mijlccii M.{, lanl lolur{t nepamlelA Sa clnd planele(,,{aM) ti (DC,v)dvin perpendiculare. se allo distanfa,dupe Indoire,de Ia ptrnctrl n l. bnrr /4. & Dreplunghiul,{ACD se lndoaiede'a lungul diagotaleilC. pAnncend planeleICA 3 cm 9i 8C = 4 cm, s{ ss alle hrngimeaseg_ daain perpendiculare. DacL, I ^CD |n0||luhri t/,, cand planele.1C, 9i .1C, sunl perpendi.r a.e. ,1.U n l i rnshi dFpl', nghi' . la. oo" r na*i" ! n t unsutI nAlt inii 4D. p6nn 'i: "" gr . levin ppr ppndic, , lsr e. iind ( i . 4t - 2y'7 cn si f,l l ff pl .nFre ADD 1t ADC y'iI cm. se se calcriezedislan{a int.e punctele, ti c, du?Aindoir. l0 'l an isos@leABr, G:gool lr Doul triunghirri dreptunShice ti .4Dt, lC:90") lunqimeasegmenlllui,r' Sns calculete a.conunt 5i l)lanele i( flldl teQendiculare. ' e doud pm cle \ AeL, ge\ | I l tc n 9i p dounphne peeendicut arll , 4t i, l, d puDctel , sunt situate la o distanra de 3 n l4e de dreapta d inteFcctic fllhd 'l , f f.ff,r doul Dtsn9i .^ AB =y'sa n. se se calcirlezeldistantra ,ry ti .lY {picioa.elc lntre dusdin .1 ti a pe dreaptade int.rseciie a celor dord plan) l|.Dndloulorolor f' at eaaldepr ate de douedrpteparelele. 1.. g,1* 4"1".-in locul geometric punclelor 1., i[ r0 d.te.mine locul geometricsl pu.cle]or gal depr.lale de dou{ drepl .on

Fig. 7 3

Fig. ?.9

i.. il .. dolomine locul gometrical Punclelo!gal dePlrlate d dooA semiplano d' nr.onqi dtuaptd. tl|tlillo p.eccdentd, trtunct' 10.. lrnil rtrmlm ,,plnnbiscc!,." locul &ometric gdsil la problema rll|rl ,hlo lroi thnc (nro r! un punct comun,gi numai unul, planel. biscc' I rfil' ![, .| | o drt ut l[ f om ur n. l l , l b t,A, t t L. / a: t r ol $8m ont . n. r pondiculnf dooil . dif doni1.Pdpdndicnlnr 't t\ a, | | | pl . r r l r f lnt r f h|llul / lt ( : c^, 1.I n t 'unct uld. I nlllnii{' r l hlllinilor lr i0nt lr luhl

2.ta.utseomctricalp"**,,.0'"'0",!::;;*;:,Tf:":;*"f ;" pe perpendicalara I ":;:"i"r:f rile unui tiunghi eslctn ttiunehi.

"".".TI,"JJ#J::il:::\:':"l.'iTT"';;i'i?'f;ill'JiT#:"T:'J'":llli"i'::r:rt ;iill' ;;;;;;i;;,, * oni""'a*:,T#]il ilT:"ff:'.,""$i::""fl,il:1il,i

:";':1,ff Jj;',ffi riTill :i;;;,,:rl*{f:i ;;jh',"*:irlll tnllHltf rlxcind Ii,. ;(nk tM,4 : JttA : itdc r' 'lln hrNnl cclorrnll porr'nrllixrtlh orririli(to n(ll'ru.,ta luoromoi iI'ti' tr*f'vt ",,".i l'(:'', tldl l l' rr\rttl t lt l ',1

I'iilllldll ll., || hhrulrl ,h., |fl'tr,Inx&l .{ rr0 (i - r0'l n, trdNl,r(la{ l,rnF{l rlr'{0 nlt'and0hndlitrh$thhrrll,r'4,'l'[,,41'rt,l.vlrrl'r4ur,ll,rrl'n'sltN(ht ll0" Ith$thlrl /rlf', rl,llrrrr'lrtrr l ,loh!,rn n|| (tr{lrl,1,, "

fll., ln rrhurhtul ,1r(,, r. oondd.rr llnlo mUlorh' Nlt lN . At ll X.,tC) u xornh IP|P. ,Cr, APn MN . lPl. sls Indoalo trlunfftl$l d... htttrl lul ItJv, arll.l tncal plqn.t. ,,l,U.fv ,M/v !t tle p.rpondiculaF. Sl $ drmonaltt& ol ttlunShlul !l nou fomrt PP',{ !.te bo..sl. ll.. SI.e srato cI plin olic dEapta lllustS Inikun plan q rrcco un plan unlc P.r' p.ndlc,rlel pe c. 16. D6oI dFptele a ti , suot pe.pendiculaE da.d dJ ati l I I {a ii p liind dou6 9i Dl&nol.llunci 4f I. le, Drcs o dlleD|I d.sl intsEsclia a dool plaD6 p.pendicularc po un plln 1, ', 0

9t elegtnrpe penlcla le ,{, du.l prir,{', do rc.6rti part6 r drGpt.i A : I e. t, un punct 8' ale IncAtA'E = AB llig.8.31.

fl g .

i t

PROIEC-IIlproieclie Dolinllicr S nume$te a unui punct. P pe o dreaptdd, dwc piciorul perpend.icularei. d;n P .an d (tni'un Pl pe d.reapta ctn ine puncrul P qi *apla d,) (lig. 8 , 1 ).l'ig. 8;1.

dec\8B' ll AA', BB' Ld, httulateNl AA'B"B esteun,paraleloSram, po.dlepisBB',eerd perpendicula.d planul B8'B'. ln p bl 8'crte pe oenri, ,R'este ln planul pelpendicular d ti ,', deci -B'o.t prollhb ! fadr lui 8' pe d. CumIr steuoghiuldintred qi A' B', iar d ti,{'r' lunt co. rvem A'B' : A'B".cosu: AB.eosu. , tlmn,

PE UN PI,ANortoEona(d un:,i punct A pc un plan cstc p| t ,,rt yra Ddlnllla. Prciec1i,a

La fel ca In geometria ln plAl, so cbnitat[ pd proieclia uriui s6gment ps o d4apttr ite u0 Prhct rau un rgnleDt(fig. 8't). ln tsol'emolede mei jor.'vom co! coBvoni. considerdm e:1 sd gi coa9f : 0.

d,in iculatci d.usd. acel pund pe llan. din proi..t4rro lui,,{. Pmioo. Dcpendioulara punotul,4 pe Flansenumette tui ,f ps un plan estaunicd.lntr-adeyIr, s[ prerupunom ar li dout, cd lptr psrpendiculaielor plan aro obline, lmprundcu punctul ps Slqd pioioarete cu dou[ unghiuri drpte,ceeace esteimposibil. .lr uD triunghi pe Evidani, cand punctul 6e gtrsette plan, atunci l coincidecu proioclii ([3,8.{).

d proiptlipi A'B' a unui spgm?tLt pc o dtPeptd AB Tocemtr. Lunsir?pa unehiului dint, .Eald .u lungim.msigm,nt.ul,ui fnmullitd tu cosinusul '.t" e" sPgm,ntul. d S; dreopta rontinp ,enpr6rralie. Toremao8l,ecutrosoutd'ln c{tul ln oer,4' .B ti d sunt co' avem,dsigurtB * B" planere.ln catd ceDd.{, ,Rti d ou runt coplanare, A.* A't iar A,,{', B nu $rnt colimaE.I Vl dltutn !l r.linti rarltatclc Froblsnslor !4, i5, 16 Pent u cd clo v{ pot ll ullle Ftorya$. 4lorr.. InFig. 8.{

frmiru ol daooamdaidou cunoatt6m alid proieol,iedocet cod ortogonrll lotll apunaaosrtcio,p! aourt, p.oioo!i6.

a0

locul360nrtric ' hln prol.oli. un.l lilu.l o.r.orE p. un plan,lnlelogsm ll t|lhollllor punot.lor |.1. D. roal Db!.{l

'l(fo rrxn i.

I'Ir,

it ' . . t t r

ir t t l'

t

lt t

t

',

t"

nr

1' 1tr,1

t t r nt ) n N tu ttt,

( .l .tl

l.

t ls t , r , ( ) k\ . t {t , 'u f st o t ) r , r t ) u! li. r t u r Legr oDr ct r ia ir ' t hn, ll

t,,,

D(manstruii( Ca:al 1. Cnnd dreapta d nu cstc I,, ,I' , | ,1r,ul ,' f[ l ]c pl an, slunci p.oiecliaei pe acsst. plan ost6o dreaptn(fi q. h;i )

I'rol,l"'nlr so reduc la rrlrrr||t p.orectante d (fig 8.8).

lt ll'i, r t , t , . t , , r .

A Ad -T--T--

/v+/ /------qFig.8.

/ |

t-i---7

H

^.Yi

'f',"in'i' A/Fi 8 .8 .B

/i A'

Llaa

/i,

Consideriin punctul I fix pe drapfi ti punctul B mobil pe aceeagi dreapte. Fie ,4' qi B' proiecliilo acestor puncte pe planul dat. AA', ,.sp.ijicu pentru nindu'se" pe dreapta d 9i avAnd o direclie datd (aceeagi a lui A,{'perpendiculare pe un plan sunt paralele), genereazd un cd doun drepte plan. lnterseclia ecestuiacu planul inilial d esteevident o dreapte. Cea cdutat[. Evident, orice punct M' e A'B' este proieclia unui punct ff Q ,48, pentru ce dace o secantdtaie o dreapld, taie Drice paralel,'.,r oi. p.oiectia va li parabl6 ei. Drcn dreapla paraleh planul, cste cu ei cu O,'..'4tte.DacA pl.n. a @incide pfoiectia in cu ei. d.apla elle continulA Cazul 2- Dfeapte este pexpendrcuLard. pe ln acest.caz prcieclia ei. este un pu deoarece proiectanta oricdrui punct A pe d pe d este d tnsdqi. Deci proieclia d pe planul a te reduce la punctul inter'Becliea lui d cu c {fig. 8.6). ct, de lui de

L,ixl !. Sgmenl,ul car s proiecteazdesie perpendxiular phr, i,r,,,,,, pr Ft0tr'l r |d esteun punct. lntf lntreagadreaptd-suporr segmntulur a 3e lro'r:ctfrrii irrf 1,n 'rlovdr, lr8,i ti segmentul conrinur rn ea. l""r,r t,I ||t,1;lt1: lt

l ,' l tr r t ut r ct coliniar e, 4, t , Csep. oicct er r Apounpt . nt n_1, , r , , a, Sis. , t r r , , , t r ,

,r"'^ ,r "t-!-* 42.IIC L'C' l. lh /t{ t . r nnst rti', l r t l, r nr r . lr rt , I I { un p. . , nr lr , , , t t , . / r r . i. , j, , Lr , x, l . fn' .h rr {'nm t r . ur ( ' 1 1. AB, r t un. i ir , . 5lr r kr puxi, , , r , t,r I . r , r , r t r . r / t I r , ,r , I n , , , , r fr$f! ${trxrrslor D,c,, c,A'. A,E _._ trftr |' fl.,., l,,!otr{ dn?rr pitutcr. Cd pdtcti spune .lesrtu lhnrliil, ldr Ir un nNl.,,,l

a. &' p.orql{tr M triunstri Mtu@re,,lrC p rn platr c tn ,,1,r,(,., Si s. ,t.n!n, al tr...l l. r nnlii ur im lui do Sr our {t rC al t r iunghiului, {r U. st . cf nr r ut , t c Fr , t r l, r l,I , ll l.lhqnlllll i'A'(: lrl conlinutt to l,trlll c, irf ,1, fstr hl ,1 t$ r rrrll'rt rn I rl,,l,t, 90., srsr..an.ul,^, ,* ,i), Frl*lh a, l Jr t hlul , {r , r 90" ae hnr ( O / l l4. t r t t lt . u t t r nt r l c t ) i. il _. t , , ( / ,l, 'st r nt , r,.d blrfr. t'(rrrdtor .r, (), tn a, d.[rati ul .ia)/, eo, trlu|||lln hBr l , , t t t ( , {r r - , , t a: ) r t ut , ( r ( t ut , r n, t ) lr r sl, , f ur 1, {, I rto .1, r:y-.. f.., , 1! "1. t , , t . . , t , r r . t r f ! r qt |lr . t , nn. r . r |r . r , r r . r $ , . ir , , ua . . r r . , , u,^. r i,nr r : , {r , f , . l a1l ,l l A ,tt r nr t , t r or , t n{[ r , ] , ! r r l$! t , ! 1 I , l/ _ t , |. t . r _n) , nn. . , , , r . ur , , . l xi | l { . . f nM r r r ur , , l. tthn'Nlnrl .lhlltlrrul /ir( itu llturu

Ole.voliz.Nu lrebuielntelesinsd .i ,li.r pro ieclia uoei curbepe M plan este o drorplil, cn.br ateastd sleo rlreaptl.Aluel proi{tir o.it:l.,i .,,.ltr plaDe plan perpendicul.r plrnul ri Nr. r pe pe 'rn pofliune ilmaDta inl.rs.elir ,!lor,lo,,,r din de r rl"D. (tis- 3.r, 'I r\rtrrrrl. ' ',,t

jr

t , ,,t, ttrt,

12

L Trlurfllul l.o..rl,,lro.o prol.ct.rd p. phnul{ c. oonlln ,.,O, altl ullnthtl'l { cm,,4'C g cm,t| t. crlouLrl drplunthlc .l'rC. gtllnd cl..t'r ,lrCi r) clnulul unghiulul b) lungirD.lliturii neconFu.nt.cu c.l6hlt6 .ls trlurfhlulul ]{rC,

0u pl.oul r.pectiv d.90. (fig. 9.3, a).

Daotrdrcrpt! 6rt. prpcndloularl phnl vom conriddrc po unghlul d.optoi

UNGHIUTA DOUA DIEPTE Teorrmaesup.acongruen!i ne urghiurilor cu laturil peralele permite!tr dtrm o d6finiri unghiului a dou[ drepl,o,ln gEnelAlncoplenare.SI obrervtrm otr, avAnd doul porechi ds drepie paral6lo c trlc pfid punctele P ti Pi putom algetotdeaunasemidNptope ele, cu originile ln P, relpctiv P', altfel IncAtipotezele teo.ema din citottr !tr tie .otilfIcute. oticeungli Dtai Dolluili.. Prln unEhi a doudbcpte dtu spaliu in{elegen ,tic, cd mult egalr:i 9A".farmat,tn oricepunct d spal;ului,p n ducerea de paral,lpIa drppt"l"dot, (iig.9.11. Do mult6 ori vom fololi drept "urghi. doul dFpt ", mtr.urr lui.

Fig. f.it

il t0 (m( < a) to',90.1).

DloI drseptoestoparalelecu planul,vom conveli strspunemcd dreopto !a ou planul un unghi do 0" (tig. 9.8, b). unghiuluir el unsi dreptecu un plan esls deci cuprinstt tntro 0" -Mftura

a

Unghiul unei b.pt? d u un ptan d .ste cel mai ni: dintr. urht tt :.tfutml, lltt f,tmdtc d.caceadrcdptd cu o drca d oaft&re a planului.

fi g.9.1

Fk.9.{

Ot arri..

Unghiul r douA d!ple e.te d od rhcS !l trud{l drc{ drptcL turl perrreh.

UNoHIULUNEIDREPTE UN PI.AN CU Doliat$o.Nurnln unEhlul nei dr.ptecu un plan, unghiu.l fdcut di alca beaptdcuNoiectia.i peacclplan (ln cazulca4d dEepts nu e.tr Dtpendioulsrl po platr ti nii paraleldcu el) (lig. 9.2).

Dnrorutrotde. Dreaptad se proiecteazd ptanula dupe dreaptad,({,41 pe : d fl r). Coneiderdm f,ltd dreaptdd"cc, pe carc o purem presupune o ctr Prin .{. Din it d, ducemMB Ld'. Lnem pe d,, tn senrutIn care un rlnShia.culit cu d, sogtnentul AC,= AR. T"inn!]iit]l1ila MAB, ItC .u olts doul laturi rospectiv congruenrc qi ..tB j . I I ) {rr,t @m ',i, perpe111igu. obliceiestemai mare dccAtsegmntul tC > IIB (.o8m6ntul , 8a liia cd tn doud triunghiuri cal au cah doudI rturi resDectiv conhturii i tria mai mari i ro opunun unghi mai mare qi reciproc, I IAC > + MAB, ti too!marts demonrrretd.Orr||rL. In p..tlouL!, dacn unghtut unoldEptoa {dtnplunnl .tr d. olt0q)n{ru0nt {}, ||nlol dnphl I ou pr{,l.cll! .a p. !, pul.m irsgconclurhc{ ac![ drrrptd o o.r. ou paohlh dEpt l d p. r.

t la. 9.r

' D.firili. di.t.nl.i d. h un punot un plon li dolinilir li ?nrylr, dlntn o dnrptl uttpl.n.prr rnrlorjr: rnunrc lltlulul irnbclcctonrcntrola n.l mlolporlhlL,dlntr. tort o.l. o.|! pot ll p&!u...

aa

o

Ob..,i{lti..Ul!?1.\ul dIrlN o drlptdtl un phn ertr comlloxrrtr. ifhlfil dintF a.li t)ulul ll lu{tl tl6. dallnltle. &!a d|lapu fi o poryndicub{p aclplan.Acoasis Roemintindu-ne o obseryalie !lativd le unghiul unei drcpto oo un plaD, prcum ti taptul ce doud perpendicularep6 acelati plaD sunt, parslel, ddr! utmCtodreai Itel|oili.1Ft' d.9 dnud plan.. Prin un|hiul dtntr" d si p tnktp|"n ' atoat,o (onund.atuturorunghiur.ilofformatetntre.douddrepteattbtund.ea),d,bLp. Teorour6.,Fiec ti P daad pla e care se intosectedzdd,ipd dreapta d. Sd al\on un punct P e d.fi sd d.ucem dreptelaa C d.,b c p, papend.icularein P pc d. Atunci unghiul d.intreplande c,.P estecongr&ent unghiul d.i.ntre cu dreptele

ti lurruuit dt,Llrul. yrr

ori tl i hru l tttr u, Un. l

l'

: l, r ot lt Nt r

t ut pt ( t it , ln r ( lt laur l sr nult lt t t , a

litulutu/

L

cu O,rr'eaii.. Unghiol'phnelor d t' p est cotrgruent unghiul plan !l dn\lnrlui. ,l,r.l l$ acesluia. car conimr. ac.rt{ nu osle oblur, gi.r duplemenlul Prchk'md rcialeatd. Se dau tn spaliu doud semiplane c qi p, care au n['ijhi{

punct M e n, uc a din fomune m. Se cunoatl,e perpendioularele acelagi cd ti rc, p pe muchia,1. lao lntre ele ulghiul 0 (fig. 9.8),

a s i b. De ronstralie,Se consialerdmplanul r, ferpendicular tn p ps d. El vd conlino dr.eptelea 9i , (lig. 9.5). Planul r va li perpotrdioularp plsnele a pe li p! dciel ye conlinedoutrdEpto a', ,' c trec pria P, perpendiculare c, p r88pectir' (fig. 9.6). Rezultdo'La, b'Lb, UnglLiul.diatreplaneled qi p e8is congrueni uDghiulascuritformat d6 d'ti ,', care, avandkturile percu pndicularo po cele ale uDghiolui asculit lormat de 4 ti ,, est congrunt cir aceets.

itf is 9. 8

c, 9r hr planeled iiP Eegrne"l0io |'ie pe lruchia m,'segmerrtul,B a, "B'B : b, ambeleperpendicular

tFig. 9. 9

Fig. ;.5

, fig. 9.6'

.4'8'. ln Si ro calculeze luncl,iede d, r, c Ai 0 segmentulcu Duc6mrgmGfllrt ,, para.ll congruent 1,4', deci AD : 4 Ducem Df pe.pn' ti rr p. ,r', dci ttiun8hilrrile t ?. A'TB' 9i A'DT sunt dreplunghico Rorulll cdsint 0+co8r 0- 1, $r ullll

Or&Mli". Doudplanesdnt pe.pen.liculare daceti nuDai .lac{ unghiul lor asl.e d.90. DouA piane suot paralol itacd ti rumai dacd unghiul lor este de 05,

UNGHIURI DIEDRE . Dolirdtio,lom nami unghi dietiru, firuru funntt d.edaud stniplan, d(linitale d,e acccaf tl uptd t) tl doud pldv difuik ,, b cc conlin tl. l,tt\ryt d. s. situt, i nrhin &rlrutui (iB.9.71. Ion nunrt ury1hl'h.9.7 {tt\:h rtl ./t tl tn t' r' l o ti

ttl

Ll od 0 + or , co. r 0 + C + ar ' sini 0 9i, t t iir d

A'Tt e A'D' + Dr' =., + dr. sinr 0. ln triunshiul ,'l'"y | fln 0 ri dc ^lci l"A4 = (D- o cos0)r+ ct+ o' 3inr0- ,r .pllc{ looromalui Pitagora: Dcata .r +

- ou ollDololo doue plane crE au o dreaplAcomunA.In fond, 0nu ost. dotAt ln rl pbn rl lnfhhlul di.dru inltial.. f|o',Onl, ,,rnXirf r.r lroit(liri. u',lLt stt'r,tL pt n plon c. tstt qlald rtt |tul lrttrt lnnynt\ t,trnlulri ti to'itrut kntltirhti u dintrr dt@l'tudn4t,l t rqlnM t ly I 'lt t t t t l I

+ or- 2a, cos0. Un8hiul 0 joacl ur rol deo$bittn .{lculul unul

nd

A:hi lii lt.tlru t'ak,utnt ari ,yl

t ni tb?N .t tt, h, anh

t,

Demonstfttli.. Dacdd I c, dtuncl u : gO"tl oor ! r 0, pn laolh aat6u,r punct tc. DacI u rr 90i li6 d'proioclia lui d p c. p.oi.ou. xtm.ntului pe planul a coinoidocu proieclia sd pe drapts dr a 6rto, prin dafinilio, unghiul dintr drcptelod ti d' ti teorcmarezulti adevdretdDo bara oli procedente. lnainte d a stabili un rerultat asupra adei unei proiectii, vom demonltra: Toorohtr .futdtooro. Fie d.ti p doud planc ncperpendiculare, se intersc.ce It:ord dupda draaptd Dacdb este dr&ptd.(lin p, perpendiculaft d,,aiunt)i d,, o pe proicclialui b r c este perpendiculafi tl, iar unghi d.intra fi d este pc ut b cEaL ,u uh,'hiul dinn, planttpa ri p. . Dcmonstalie. Fie P punctul de intrscl,i6al lui ,.clr d (lig. 9.t0). SI duceln un llan r! I d, prin P. El ia conline pe l ;i va fi perpeldicula.

f it . ! , t l

hl unghiul dintrc aD 9i c ste egal .u a. Conformreorpmci relativ t$ I,r, laolfr unui segment un plan,vom avpa: C'D, pe CD. cos,r ti n,A, j .l /r, -

hl

lliraA ' B ' C ' : ! .

tP' . c'o' : !..AB.cn.cosu:(aria,tBC). crx,.

generar. obsorvdm ori.etriunghisetlesfompune triungh|ufl, cd in r -ttl_lllrur liecare cate o latud paraletdcu o dreaptd datd a aln ptanirtanu fVlad

9.r2).

A

--!Fi8. 9.ro

;---

p a, deci proioclie lul Dpo planul a ve li drapta c : ,En c" cre ve ii prpo[diculaatr pe d (, nu 6ate perp6ndicirlard p ai doorFo. p lu erte perpendicularpe a). $o vdrul, lo toEma aiutdtm.s c[ unghiul dintr c ti p sdt6 eSal cu ulghiul dintre , f d, dare, prin dolinil,io, '6.te 68al cu unghiol dintE , d c Acum putem dovedi; fofrrmr. Arid ptoiecliciA'B'C' a unui triunghi ABC pe un plan d l.Jr, e9ald produsul cu di.ntte aria triunehiulu;ABC,si @sitLusut unghiutuiu d;ni. planul ltiunghiului Si planul a. Dqnonstralie. Dac[ u : 90i triutrghiul s6 proisct.ertr dupl un logmont (cor & : 0) 6to. Dacd n : 0., triunghiul 16 pmiqcteartrduptrun t.iunghi congruoni cu el, conlorm torrroi prcdsnte(cos n: i) 6tc. Fie doci,(F < u < 9f. Plenuta va oveecu pleDultdunShiuluio drrpt! oomuDtrd. Sd conliderdm htai cazultn caretriunghiul ,4BC ero o l.turtr (li. .. ,{r) paraleln d (fig.9.11).S[ duoom cu Indllim6aCD a triunghiului,Conlormtcorsmi aiutltoare, proioclielui CD e.i. tnlllim6a C?, . triunghiului ,l,r,C,

Fk. c rt tolienr rclajin de denonstrat pentru liecare din acestetriungliuri, lo ln li obfinem rBlatia dorit!.lrlr.tr,!r& T.orma .c geneh izearA h olice potigon ptan. Ilotrma fuf Do8lt8uosr. Din ptncLul V prnts( t i * ntlrt t)tt i l), t, n|t t t t t t i I t t : t t 'udr t alt t a a l nn punt hlt . 1, . l'. / , f s, , , r turrt,hln. t l' lr t ir l lt . lt 'si pr : ! nidt t ( t t u t lr dt lt ( . ( ". r t t ll i t it lr t unll dtuttrh sii lu lit . r t st , t t t r , t , ur t l, l. . lt I t t lr , t ) t , 1, l tr tl tt t t l, t . lll( i , l'll'( ' " ,l l t | . t 'lt '. ll( ' i lt '( ', ( , 1 \ \ i C"t ' int ilnt t t i t t 'i nt t t t olt , ut t r ' q! t.{non.tftti. \lo|Jnrnlr{, miltrrdi, .A dFpi.lo ,-,lar /t'C', lU tt .4'tt, a{t ?C' |. hlllnt'nr !l trpol c{ p n(ji.tc lor d( i tl.rsntn, srul rulitriln,. hfr nddvt r . p n. lolF. , l, . 4', i. C iu'r r r opt dt r t r n, , , l1ia. t t t r , it r nt r t r dhlr t , r i 4, . ht a' tl C' l'. drirpl{ .: ,lr,Itol. i tl . runt con(rrrtrr!, drrr .oDlxnrrr,.

'ltlt, e,l3).

rl'rrrnl, hMrtrrulrur r hrn In In iahrM nutntt fi'nr nnrlr{ vr

at

{l

Pn)Ln tur.l' n. Nr'un dcpri|lr, r rn ioum, .l folorlm unori Boomolrh ln &ru pl4, dlr problemo lernrF'riF tn !p{lhr. .,]l|olo,l'l do lhn pm'ru a Frolvtr probleme Dt!|.{1i,.i" ne d,l po6il,iliialon !A f,rrernfl drunrl inv..si B0 prolLlnr problomcdr |l3lo un r'x0nt,ll l|.omol!i. phnlt cu ajirtor l $omlrieiln spnllu. Too|trnalui Decrryue$ d$lc ln trfel|sll Drivintd. E.d4rtNi.lrcpt t^ Ittda (.le.l4kt@Ntd ) d.b,. @bcut.bte l lfis.9.rrl. DotA l^ lrit lhiuti llAC ,i .a D'C' au "dtfu.it ,esp..tiepe k.ste.lrept. ti nu da ldtwin oft tu^.dttw, L)u,qLle. Sd .lot..lim atunci cd @.ttd le titd,lt.tc tn tr.i pv^.|. collni6,, t'ie d planul drcptIor., r,, ti p un alt plan (prl a), csre tr@ prl. t/ {i prhrr-o ar.apu d' (/ e a lce 3proietea,I ln a dupedrupta d {lig.9.16). Fic il e 4', puncln In.4' n a, lul c{ft s6 proicteaz{ .4 pe a ti ,:1r z'. punctul carese proieclcAril

tr'ig. 9.t3 lin rpote?d, dreplcle4. qi ,4'C'nu sunr paJaleh,dci, riiod coph,ar;ls InuI ne3.. Fie 1V punclul lor dc inteeclic. l",a lel, AB 9i A'B' * tntAheic ln p, BC qi EC ln M. Dar punctelo jtf, n, ' 'P, situate pe iirept]BC,CA,AB, apa{in ptanuruihiunghiului ,trd; aceteqi puncte n{, P, Iiind siluaio fi pe drcptele R'C', C,A', A,l", apa4in ti pt0nului triurghiutii -ry, A'A'C', de.i s0t sihrate p6 deapta de inta.sctie a ptanetor. Relult{ cLt, ry, , suni coliniareobs.tutii. r. Dacr. douA din latufile biunghiurilor, & ereDplu ,{-d, .utrr "{C ti pdalele tl rstul enuntulul r,men acla9i, se dovrdqto u!o. c{ drpt* fip, A'C fi .4C dunl p8lalele. 2, Dae A . l l A C . ,8 c l l t' c ' a tu o c i 9 i ,4al l ,{' r,5i e 61pamlel o cel al lriDghiului ,,t'Zq lfig. 9_t{). pl anut | ri uahi urui /rC trtunghiurilor r,llBc ti .,fiA?', c{fe tndepliDBccoDditiil leorcni lui Dint. ln rpatiu, !o inter6o.tea,I la tri puDcte coliDi$s Mr, -iv1,I! cars to vor prolo(llr

unldrepteliind tot o drerptr, rcrl|lt{ cI d ,lV, P po planula. Dar, proiectia

iuFig. 9_t4 Dac{ vom conveni sn spunen o{ doun dFpt6 paralele au u|t punot comu! b inrinit ti cd doud plrne peralcte o d$aptd comun0la infinit, In munlul t.or.d.l tul au Dsargues mel dste nevoie de speci{ic{t cA lllurilo tliurghh'rllor,{rofl,{,r,C nu nu sunt r6peclivporalele. DnDntul ra dnrpllllot, ln ..hinb !. ul .tu c.ttta o! plu. de hol.c{lur[, prin 8lnorulLur',

tlt, l,l,

5{)

. U, n P srn r .o h rh l Y. Vo l i o b te .ts.A p roi ..l l h ux.t drl r. port. ( ttU !ruct.di . aceals s Inlompld cAnd dpld Rle p6rp.14icuta.! pI In r.r{t n(lairu J|rrN, tlu 6r ' p l a n e l o r,{ rrc a i ,{ ra C , c a rci . treb,ria uuci l rl .n, !rr} rndkutth.{l ' nr (deoamce ele pe. er s p (ri a contin o dlapr{ pe.psodicutar{ 1): Dar qrunci n.am rutsveo t4 pe r ull ,,t.iunghi" .4rc,.ci trci puncte pe un segroenr:4,.a, C.

PBOALEME 9 1 Un iamenl.4t t0 cm lacecu planula un unghi de: a) {5o; b) Oooic) 60.. Aflali mnlu.a pfoiectiei segmentnlui .rtt pe ptanul c. in cetetri @zuri. t Trjunghiul drep[uDghicjAC t*/:90o) a(e @rela,{t continuu tn Dlanut a. Proie(lia pun.tului C pe 4 ste C'. Si s? demotrstrcze rri,rn8hiut ,arc, Fstc dFpldnChic ca t Triunghiul dreptunghicisGcet,,lrC (+t = 90o)aretatula tCconlinulA tn planuI { 9i 30 proiectead pe acssrph! dupa l/rc. ptiiDd cd *al,c are r2ooli ca tc _ a, 3d a) Inillimea 4D lD e tc) a |riunghiului r.4,c rn furciie de 4l b) una din func9iileFisononetrice ale u!8hiuilo. tolmate de,.rr li,{C cu phnul c. l. Se dA uluhill ,Oy Si un puncl ,' @ nu apa.tine planutui unahiului. Si s. aftic .r drct proiectialui,lt pe planul unghiului apa4in bisectoarei acestuia, atunci puncrutM .3te eSal dep,rlar de lalurile unghiului roy. 5._Ur traper dreptunshic.4tCD IAB llcD, +A =90.) ar bara maro lr.ontrinuti ln planul a. Sliitrd cA = s cm, CD : 2 cm. ,C 6 cm, ti c6 ptanul tmp.zului tormearncu. ur unghi e8atcu unghiul slu asulit,.se ce.er ^8 a) $ 3 ardte cd patmlatdrnl ABC'D' \C', D' - pmiecliile lui C Si pe d) .!le ln}z 'o drptutrghic; bJ .5 sc c.lculle dime8iuniL tlapetului .{rC,D'. 0. Un legment ,{, se p.oiectearl pe un plan c dupd ,{,Il'. glijnd cd ,4,4,.n s. .alculetp tangpnlaunghiului rormat de rgmentul /8 c 1r8,

l l . Ur lnr plr dm plunBhic, bar ( h ( t oI r ct , . n, t , , t t ( . 1 +8y'l) . m . dr ohinm ol, aon.9.p m locloot locillr oper pounphl|. A. oit phnt ac. c{nlr r ut nr t lr r hi t r t r r t r {hl aal unShhl Alctrllt ql traperuhrl. SI se Atto orttr prolecfti,i l.aprz,,lui ' 11.. Tf iulghiuf r t cr e I ndoxie alun8ul t inlei m ijlocii , , n, , !t M . / 1! t . , . de. N . t r 'l aalLl Inclt planul t.iuoShiului ,,1,rldlv l al trape?utui,t,ryCt sA lo.mezc!n ,ti,{lnr itrrr,l tj ' rl Sd 3 determineunghiul ptan al diedrutDitormar de llanut lkr.runri rrli t/ rl o.l d6lerminat de punclle ,{, a, C. b) Notlnd cu S a.ia triunghiului iniiial ,4tC, se se deleminc, h t ncii, (l| .f. ,..1i toulul t luoShi obtinuCdupd Indoire. 11.. Un trape, isorcelar bara micd fi laturil6 obiie egate tiecare ta, i{r n I {h ir rt t,! cu L(i|llto $le cu 600. SI s c{lculeze a.ia pmiectiei acestui lrapez pc un t)r,rn.!r. I hO. cu p lsnul t r apezului unghi. onr DeDr cu unghiutAsculir'ar Uiago"nr , , l, , i un ' I F lJ Ua l|apez ABCD. cu ba?a mare It r :. conlinur{ tn planul ,, o.e ral.rl,,r t,,r,t,tr St iind c{ dist snlade ls punct nta la pjanut a est e de 24 r D, . sl ir , , r h

a lrapezurui, plannld. ali.nla d. Ia putctul o, do interseclie dia8onaletor la tl...I'ie, Inh,un plan r, uI hxagon regulat ,ltCDtI de lalurA4 (pnr,,tri ort$ rtrr ,4, l|lllrt de n&uII: m, dm, km etc.).tn punctsl 8, C, , se.idioA De.D.nitj,lrtln,h

an,oFlo A'B', A'c', A'D', B'c', D'D', c'D'.

,,l't

DB', CC', DD' pe planul 3du, de lungimi: t,4, 2,1 lln aceasteodinr). sir. nrrr

hturilor drptunahiului A'D' - 5.c@,geliii lungimiio ,4tcr-

ll P. phnul dreplunghiului rltc, se construiesc perpendicnlarete /, In t9 om, 8A': a lru ssgnentele/l': 14 cm, DD' : 23 cm. DE1NA'A,

?. Un triutrglti rhihteral.4Bc cu latura de 6 cm r proi.ctparl pe {n ptu i. (, c onlinepdnc t u l ,4 , d u p f.4 t' C ' . Se g ti e c d + D ' A C ' -90., A B 9i A C l rc cu c urS .ri uri congruenle, ti cn sunt de aceeati parle a lui c. SA s calculeze unBbiul tormar de /{, ti E, Doua obli@ dre ple;cn din acelatipuncl ertrlor unui plan au lunginile d6 20 cn 16.In. P.oieria pe pha a primi obli@ o3tede ti cm. SI s ano luoSim4proiectiei ti celei d. a doua obli.e. 9.. ftiunghiull?C s proiectazA planul a, car@nline pe tC, dulil t.iunglitl pe , l' t c . 9liit r d c 6 t + B A' C -9 0 " . < AB C = 4 5" . * R A C = 7i o si .d tn ti mea ,4D s tliuoahiului ,{rC {D e tcl arf lugimm 4 s! . cslculeze: a) !ghonreb DD qi DC ln turcl.ie d ai b) Indltimea cdrlpunr.ntm! lalu.ii '8C a trionshlului ,.{'c; c) ccinulurile unghiurilor toroat de..4, ll /iC cu planul .. 10.. Ur iriunghi drcptunghic.lBt {t,t 90.), cu nA 6 cm, ,4C I cm !. pron\1. terrd p ur plan a dupl.4'A'C'. gtiind c{ a.ia triunghiului.,l'r'C'o.t. - ds rt car', !t .. rlle unghiul plan al didlului lo.rlat d6. cu pllnul trlunghiulul,

PARTICUI-ARE POL]EDRE

TETRAEDRUTlntelegn pdn poliedru o figurd car, prin proprietdtilo ei spatialo,n6 smintette proprietdlile poligonului,ca.ligurd pland. Vom tncepeprin a studia diferite poliilrcparticul{irs.Sd menliotr[m cd paralelipipedul, pildd (intelnit in clasaa cincea), de estou! poliedru. Poliedrul,analogtriunghiului dih plan, este tetraedrul. Un letraedruetedeliait prin patru puncte,oumite varfuri, cortrcboi (la sd fie patru punnte ne.oplsnare fpl, ln plan, tflunghiul estdetinitprin oeletrei varfuri al sale,cardtrebuie sd lie recolinisrs). SAunimccle patrupunctc toatemoAurilc in posibit ,0,t). Segmn;b (tig. de dreaptd oblinute le- numim machi;letetraedrului.Triunghiurile cire re formeaze inl,erioarele alcdtuiedc 1or ace6tDr ti f4ele te\adrutui. Reu4iunea tclc 4srcsuplafala t.trottuutw. Unind cu un segmpnt doudpuncte de pe suprafataunui ttmedru,noatozate pe aceeaqi fa!d, orice punct din i[teriorul aoestuisegmont numolto se ului. Pun.t intefior hlraefu Reuniunea dintre supralalatstrasdruluiti interiorul stiufo.mesztr corp uD Nrmit tohsoilru. Uneori,vom considera problemedrept tetradrunumsi ln suprafala sa. .\trntaari.itorf4ior t.tra.dr lui o numim oria totatd. tuba.1lruli. Daca a considerimtetraedrul,,aiezat"p une din fele, o vom numi pe aceasta rard, iar pe celelaite, fele latefule. Distanrade la un va (de pildd,4) ta fala opus{ lui {ADad), llig. to.t) se numeqt; tndllimeatetradrutui (r" din fig. 10,1).Luati estlel Iniliimse 6steun numdr. unele ln probleme vomconsidera cAifgmenlcu un capat o fi tr varl gi cu cel alt capdtln planul ts!i cc nu tFece priD vertul rlpectiv. Un tetrapdru are os[ru Inditimi. '

,.l),\'k tulr . Oliootclo din ju.ul D0upA nrai ,.1or1.. rrrrn nnrr rru| (h(:I tnic. LIrrrluhp do bucdlrtrie, piklI, '),'itn'orte,.mni nrrre,,t'8I .,nn,it),,1i'r de 'loc" d" lf.rtsreIn jurul sdu,decicl uutil .,maimutr to,..d||r..rrnritnt; ,1,. 'loo".a ,arn.rei. tlin.lnlcles c6 forldm pulin modul (to erpr;'nnfl, p+,,rn|,I ,rorhi dc lu,ruri .unus.ute. Suntpm cbnduti In rnod h;s,.b[.o;n,,rr{i,,r. Intr-un t"l ,'ar.^Are.,rit lor ocupAun obiert. (ir (6r toc ocupdalt ot',,i.r. ,trrr rpeliul inconjurdtor. Apare jdees de a asocialiechrui corp din spaliu (nti, ur) Iumdr, pc carell \om numi wlumul slu, caresd n permitd s6 fn.crn trhtt,,ltr a .1 t.,,,t... 1 . 1 , t ,'ttt n 't I . t .. :1 ,,1 !t,,. .t .r t |,,u tn ,'r .r - ,,tt !.,r p r .l r ..,t,,., ,t,.t".;!,t 1 .. ,a .t.|. |"...t.\..t.L , ,t...

Aceastd delinifie necesitdprecizAri. In primul rrdndtrebuie ardtRt cn ||foit (o lundr csle a.elati. ori.ore ir fi al"gerea'fc!.i rerracdrutui, sid{' ,rll rn ,fa.l, 9i a lnEllimii corcspunzetoare;i. Pentru arcasts, du.em Indltimile lelclot ABC si DBC tAM .- a'r fi inel{imil. tctraedruluiAQ = hr DP: /h (fig. 10.2j. '

Fig. 10. 2

e congruenta unghiurilorQAM qi PD,ry.Dreptele1|/Qii ,ryDsunr p,,runghiurilor?,4 te congruenla M PDN. ttQ fi sunt p'lrpe otrlRro Bd (DN liind lndllime ti iltQ din una dintre rcciproclo aoo. i oelor trei perpendiculare). DFci,'tQ1l1yD. fel,,l/,4 lPA.ln-r0nnrnr La

deruur'"tr,rr .gnhtstea produselor a,n, qi a"nr. Pntu occn6ts r,'rl

tAMQ. +PND. Rezultd cd ii complementele Funt congfuento lor tl AQ = + NDP), lr MAQ : a). Exprimdm, In doud moduri. coainurul Sf,litaloa cdutatd.

produsul a ului c: coe - I : t ii, egaldnd mzitor dl extremilor, cu Vom nota cu 5r,,, 9i Sa .r ariiloferelor8dD, respectiv 8C-,1. dovcdim, Sd

i $U:!'-

",'",t

r,

o":',

Dsr, l tr-un tetraodru,oricare doud fete au o laturd cornunll,dooi ar li hln rleAs{ inillinrea cu produsul {rsto oorespunzdtoare, lor .cs,ofl. oaoll |r dll uo tetr|edu ABCD 1i prin dreapta,lD !e duooun plon c|rrc muohlr/,(,'l|lt.-un punct interiorM, lto ovidntcd rum{ volumok,r Jt\lnrABMD li iL'MD $*. oxslf,ou volunrul totra$drutui .4rrCD, u n/l ||fnf0n ilrn Allilrlt ll d M(:0 rrto r.in A rJ(.'r, inr lDtllirn..F l 8 . l 0 .l

-

: ZS."tL

-

aft,'- a"tr,, retatio demon.

Flrrlllr1''r. r.nil0r ldli irl. i',tt',itl (llt, 10.:J),

0l

t0

Al

Fia, to,3

L Fig. r0.6

A2D.4ltutirea unui tetraeilru, prerupunem, pli concretizarc, un tet.sedru o{rton (tetraedN-slpralald deoi,nu tetraedm-corp;. ,,fUinau-t,,, exerni ae de-alungulmuchiilor,,18,,{C, /D, sd-i,,rbetem,i ielelelrre a b deforrne, la,un^p^ofigon ApArCArD, ce.ercprozintd dostdrurerr plan o t :.: ?"1q tradrului

IiIl tetraedru cu toate muchiile congruente se numeFte Cdnd desenAmun tetraedru, avm grijd.'tn general, sd figurdm muohiile care nu se ydd, punctat, Exemple h tig. 10.4i

Fig 101

"

t0.6).

ABCD. (Atenlie Ap = ip,

A.C = CAr, Ar; =';;:rj

lloBt D[f, r0' St(!iutti lnt..un trtt'a.drfl. lnlcrsp, l,iRu"u' plan cu un totrupdru Bcn'rnrefte sctiunea determinatd de Dlan tn tetraedru. O problendde desen. De;du-sc tctraedrul,4E.-Dri punctete tt. N. p pe muchiile sale,asa cum ne;rat{ ligura 10.5, sd desenAm secliuneadeterminati In tetfaed.u rte planul ci tiece prin ,t, .it, P.l. Un teiraodruaF hara un r.iunghi dFpru.ghic..u iporfrula de t0 ct[ ti o crrerl .tri. Indllihee term.d.urui estede r0 cm. Ca; elts votunur sdu?

t Totlaodrul r,{aa ae tak ,.ttC un lriunghi e.hitalemt "u tatum 8y'T cm, d c{ disrinla rui y h ptatrul r/aa, esretO.m: Fr ss aflevolumul termedrutui.I

aObservim cd segmnlul,ltd erte conlinut b latta ARC,la fel