ECUATII

SI

INECUATII

PROPRIETATILE EGALITATII IN R1. Oricare ar fi numerele reale, a, b, c, d, daca a = b si c = d, atunci

a + c = b + d2. Oricare ar fi numerele reale, a, b, c, d, daca a = b si c = d, atunci

a – c = b – d3. Oricare ar fi numerele reale, a, b, c, d, daca a = b si c = d, atunci

4. Oricare ar fi numerele reale, a, b, c, d, daca a = b si c = d, a c = b d

a : c = b : d si c 0, d 0, atunci

Daca a=b si b=a.Daca a = b si b = c atunci a = c a + b = b + a

a + 0 = a

.

E C U A Ţ I I I N RPropozitia cu o variabila de forma ax + b = c se numeste ecuatie cu o necunoscuta.

Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat.

Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero.

EXEMPLU:

2x + 9 = 5x + 302x – 5x = 30 - 9-3x = 21 :(-3) x = -7.

.

PROPRIETATILE RELATIEI DE PROPRIETATILE RELATIEI DE INEGALITATE IN RINEGALITATE IN R

Daca a<b ,a,b,c sunt numere reale atunci sunt adevarate urmatoarele:

1. a+c<b+c

2. a-c<b-c

3. ac<bc, c>0

4. ac>bc, c<0

5. a:c<b:c, c>0

6. a:c>b:c, c<0

INECUAŢII IN RPropozitia cu o variabila de forma ax + b < c (sau >, , ) se numeste inecuatie cu o necunoscuta.

Intr-o inecuatie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat.

Intr-o inecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero.

ATENTIE! Cand impartim/inmultim inecuatia cu un numar negativ, sensul inegalitatii se schimba!

EXEMPLU: 5x – 8 > 7x + 45x – 7x > 4 + 8-2x > 12 : (-2)

x < -6

.

ECUAŢII DE FORMA ax + b = 0•Propozitia cu o variabila de forma ax + b = 0 se numeste ecuatie cu o necunoscuta, unde a si b sunt numere rationale.

•Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat.

•Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor si la final aflarea necunoscutei.

EXEMPLU:5

42

5

3

xxxRezolvati ecuatia

12542

5

3)12

)3)6)4

xxx

6033064 xxx

3060364 xxx

305 x

Stabilim cmmmc al numitorilor si amplificam fractiile:

Amplificam numaratorii si scriem ecuatia fara numitori:

Trecem termenii dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat:

Efectuam operatiile de adunare/scadere:

Impartim ecuatia prin coeficientul necunoscutei:

)5(:305 x

In final, aflam radacina ecuatiei: 6x

.

REZOLVAREA DE PROBLEME CU AJUTORUL ECUATIILOR SAU A

SISTEMELOR DE ECUATIIRezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatiilor sau a sistemelor de ecuatii

presupune urmatoarele etape de rezolvare:

1. Stabilirea datelor cunoscute si a celor necunoscute din problema.

2. Alegerea necunoscutei (necunoscutelor) si exprimarea celorlalte date necunoscute in functie de aceasta (acestea).

3. Alcatuirea unei ecuatii (sistem de ecuatii) cu necunoscuta (necunoscutele) aleasa (alese), folosind datele problemei.

4. Rezolvarea ecuatiei (sistemului de ecuatii).

5. Verificarea solutiei.

6. Formularea concluziei (raspunsului) problemei.

.

PROBLEMA REZOLVATAIntr-un triunghi, ABC, masura unghiului B este dublul masurii unghiului A iar masura unghiului C este cu 25% mai mica decat masura unghiului B. Aflati masurile unghiurilor triunghiului ABC.

REZOLVARE:1. Identificam necunoscuta principala, aceasta fiind masura unghiului A.

Notam x = masura unghiului A.

2. A doua necunoscuta, este masura unghiului B, care fiind dublul masurii lui A,

va fi 2x.3. A treia necunoscuta, este masura unghiului C, care este cu 25% mai mica

decat masura lui B, adica este 75% din masura lui B.

Aceasta va fi 75% din 2x adica 0,752x = 1,5x.4. Suma celor trei unghiuri este egala cu 1800.

5. Avem realizata ecuatia: x + 2x + 1,5x = 1800

6. Rezolvarea ecuatiei: 4,5x = 1800

x = 1800:4,5 x = 400

7. Concluzia: -masura unghiului A este egala cu 400. -masura unghiului B este egala cu 800. -masura unghiului C este egala cu 600

.

PROBLEMA REZOLVATAIntr-un bloc sunt apartamente cu 2 si respectiv 3 camere. Daca in total sunt 11 apartamente si 26 de camere, aflati cate apartamente cu 2 camere si respectiv cu3 camere sunt in bloc.

REZOLVARE:

Notm cu x numarul de apartamente cu 2 camere si cu y numarul de apartamente cu 3 camere.

Din propozitia ca in bloc sunt 11 apartamente x + y = 11

Din propozitia ca in bloc sunt in total 26 camere 2x + 3y = 26

Punand cele doua ecuatii intr-un sistem de ecuatii, vom avea:

2632

11

yx

yx Aplicand, de exemplu, metoda reducerii, avem:

2632

)3(11

yx

yx

2632

3333

yx

yx

–x = –7Deci, x = 7 apartamente cu 2 camere.

Daca in total sunt 11 apartamente, rezulta ca y = 4 apartamente cu 3 camere..

SFARSIT

.