Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I

8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I

1/120

Ecuaţii diferenţiale şi cu derivate parţiale

Prof.dr. Ioan Roşca


2/120

2


3/120

Cuprins

1 Ecuaţii diferenţiale 5

1 Ecuaţii diferenţiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1 Noţiunea de ecuaţie diferenţialǎ . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Ecuaţii diferenţiale integrabile prin cuadraturi . . . . 15

1.3 Modele matematice reprezentate prin ecuaţii diferenţiale 36

Probleme şi exerciţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Problema Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1 Existenţa şi unicitatea locală . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Existenţa şi unicitatea globaľa . . . . . . . . . . . . . 52

2.3 Continuitatea soluţiei ı̂n raport cu parametrii şi cucondiţiile initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4 Diferenţiabilitatea soluţiei ı̂n raport cu parametriişi cu condiţiile iniţiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61


3 Ecuaţii diferenţiale liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.1 Ecuaţii diferenţiale liniare omogene . . . . . . . . . . . 68

3.2 Ecuaţii diferenţiale liniare neomogene . . . . . . . . . 74

3.3 Ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi . . . 77

3.4 Ecuaţii diferenţiale liniare reductibile la ecuaţiidiferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi . . . . . . . 85

3.5 Proprietǎţi ale soluţiilor ecuaţiilor diferenţiale liniarede ordinul doi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90


4 Sisteme diferenţiale liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3


4/120

4 CUPRINS

4.1 Sisteme diferenţiale liniare omogene . . . . . . . . . . 97

4.2 Sisteme diferenţiale liniare neomogene . . . . . . . . . 101

4.3 Sisteme diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi. . . 102

4.4 Proprietǎţi ale zerourilor soluţiilor sistemelor liniare . 114



5/120

Capitolul 1

Ecuaţii diferenţiale

Acest capitol este destinat studiului ecuaţiilor diferenţiale.

Dupǎ ce ı̂n §1 se prezintǎ noţiunea de ecuaţie diferenţialǎ, ŝınt prezenteĉıteva ecuaţii integale prin cuadraturi şi modele matematice reprezentateprin ecuaţii diferenţiale. Problema Cauchy asociatǎ unei ecuaţii sau sistemde ecuaţii diferenţiale este tratatǎ ı̂n §2.Ecuaţiile diferenţiale liniare ŝınt studiate ı̂n §3 iar ı̂n §4 se studiazǎ niştesisteme de ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul ı̂ntı̂i.

5


6/120

6 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale

1 Ecuaţii diferenţiale

1.1 Noţiunea de ecuaţie diferenţialǎ

Studiul ecuaţiilor diferenţiale a ı̂nceput odatǎ cu apariţia calculului diferenţialşi integral. Necesitatea considerǎrii ecuaţiilor diferenţiale apare direct dincele douǎ modele care au condus la constituirea conceptelor fundamentaleale analizei, tangente la o curbǎ şi viteza ı̂n mişcarea neuniformǎ.

Incǎ ı̂n secolul al XVII-lea se studia aşa numitǎ problemǎ inversǎ a tangen-telor, constı̂nd ı̂n determinarea unei curbe pleĉınd de la proprietǎţile cunos-cute ale tangentei la o curbǎ: aceasta era aşa cum vom vedea, o problemǎde ecuaţii diferenţiale.

Intr-o scrisoare din 1638 a matematicianului F. Debeaune , pe care Mersenne i-a transmis-o lui Descartes , se formuleazǎ problema determinǎrii unei curbe

pentru care raportul dintre ordonată şi subtangentă este egal cu raportul din-tre un segment dat şi diferenţa ı̂ntre ordonatǎ şi abscisǎ. In rǎspunsul sǎu,din 20 februarie 1639, Descartes recunoaşte importanţa unor astfel de prob-leme, dar considerǎ imposibilǎ rezolvarea lor cu ajutorul regulilor pe careFermat şi el ı̂nsuşi le dǎduserǎ pentru determinarea tangentelor. Aceastase petrecea ı̂ncǎ ı̂nainte ca, ı̂n lucrǎrile lui Leibniz şi a lui Newton , calcululdiferenţial şi integral sǎ se fi construit ı̂n mod sistematic. In limbajul deastǎzi, problema propusǎ de Debeaune se rezolvǎ astfel:

Fie f : [a, b] → R funcţia a cǎrui grafic este cǎutat, x0 ∈ [a, b]; ecuaţiatangentei la grafic ı̂n punctul (x0, f (x0)) este y − f (x0) = f ′(x0)(x − x0).Tangenta intersecteazǎ axa Ox ı̂n punctul dat de

−f (x0) = f

′(x0)(x

−x0);

subtangenta este f (x)/f ′(x0). Relaţia care trebuie sǎ determine curba estedeci

f (x0)

f (x0)/f ′(x0) =

k

f (x0) − x0 sau f ′(x0) =

k

f (x0) − x0 .

Ecuaţia la care am ajuns se scrie

y′ = k

y − x

iar funcţiile f care verificǎ relaţia f ′(x) = k

f (x)

−x

se numesc soluţii ale

ecuaţiei diferenţiale.Inainte de a da, ı̂n general, definiţia unei ecuaţii diferenţiale şi a formulaproblemele care se pun ı̂n legǎturǎ cu aceste ecuaţii sǎ vedem cum se ı̂ncadreazǎo ecuaţie diferenţialǎ ı̂n clasa ecuaţiilor operatoriale.


7/120

§1. Ecuaţii diferenţiale 7

Ecuaţii operatoriale.

Fie X şi Y douǎ mulţimi şi f : X → Y o aplicaţie. Formulǎm urmǎtoareaproblemǎ: d̂ındu-se un element y

∈ Y , sǎ se gǎseascǎ elementele x

∈ X ,

pentru caref (x) = y. (1.1)

Aceastǎ problemǎ se numeşte ecuaţia operatorialǎ.

Printr-o solut ̧ie a unei ecuaţii operatoriale ı̂nţelegem un element x ∈ X ce satisface relaţia (1.1). Teoria ecuaţiilor operatoriale se construieşte ı̂nlegǎturǎ cu structura cu care ŝınt ı̂nzestrate mulţimile X şi Y . Dacǎ X şi Y sı̂nt ı̂nzestratǎ cu o structurǎ de spaţiu liniar peste un corp K , ecuaţia (1.1)se numeşte liniarǎ, dacǎ f este o aplicaţie liniarǎ. Dacǎ y ̸= 0 vom spunecǎ ecuaţia liniarǎ este neomogenˇ a sau ecuat ̧ie afinˇ a , iar dacǎ y = 0 ecuaţia(1.1) se zice liniarǎ şi omogenˇ a . Notǎm cu S y mulţimea soluţiilor ecuaţiei

(1.1). Observǎm cǎ S 0 este nucleul (kerul ) lui f adicǎ S 0 = Kerf. Decistudiul mulţimii soluţiei ecuaţiei

f (x) = 0 (1.2)

revine la a studia nucleul operatorului f . O primǎ concluzie din acest studiu:

Mult ̧imea solut ̧iilor ecuat ̧iei liniare şi omogene (1.1) formeazˇ a un spat ̧iu liniar al lui X . In cazul ecuat i̧ei liniare şi omogene, a studia mult ¸imea solut ̧iilor revine la a determina dimensiunea lui Ker(f ) şi la a construi obazˇ a ı̂n Ker(f ). Pentru S y are loc urmǎtoarea teoremǎ de structurǎ:

Presupunem cˇ a S y ̸= ∅. Fie x1 ∈ S y. Atunci S y = Kerf + {x1}.Alte aspecte privind ecuaţia liniarǎ (1.1) ŝınt precizate mai jos.

(i) Ecuat ̧ia (1.1) are cel mult o solut ̧ie, pentru orice y ∈ Y , dacˇ a şi numai dacˇ a aplicat ̧ia f este injectivˇ a.

(ii) Ecuat ¸ia (1.1) are cel put ̧in o solut ̧ie, pentru orice y ∈ Y , dacˇ a şi numai dacˇ a f este surjectivˇ a.

(iii) Ecuat ̧ia (1.1) are o solut ̧ie şi numai una, oricare ar fi y ∈ Y , dacˇ a şi numai dacˇ a f este bijectiv˘ a.

Este clar din cele prezentate mai sus cǎ problema studiului mulţimii soluţiilorunei ecuaţii operatoriale ( adicǎ a ecuaţiei (1.1) ) este foarte complexǎ. Eainclude, printre altele, probleme de tipul urmǎtor:


8/120


(i) determinarea cardinalului unei mulţimi;

(ii) studiul dimensiunii unui spaţiu liniar;

(iii) studiul injectivitǎţii, surjectivitǎţii şi bijectivitǎţii unui operator dat.

Ecuaţii diferenţiale

Dacǎ X şi Y sı̂nt mulţ imi de funcţii atunci ecuaţia (1.1) se numeşte ecuaţiefuncţionalǎ ı̂n sens larg. O ecuaţie funcţionalǎ ı̂n care apare funcţianecunoscutǎ numai sub operaţii algebrice, se numeşte ecuaţie funcţionalǎı̂n sens restrı̂ns.

O ecuaţie funcţionalǎ ı̂n care intervine funcţia necunoscutǎ ı̂mpreunǎ cuanumite derivate ale sale se numeşte ecuaţie diferenţialǎ .

Dacǎ funcţia necunoscutǎ este de o singurǎ variabilǎ ecuaţia diferenţialǎ se

numȩste ecuat ̧ie diferent ̧ialˇ a ordinarˇ a . Dača funcţia necunoscutǎ este demai multe variabile, ecuaţia diferenţialǎ se numeşte cu derivate parţiale.

Exemple :

1) Considerǎm aplicaţia

ϕ : Ω ⊂ R2 → R, (x, y) → ϕ(x, y)şi alegem

X =

y ∈ C 1[a, b]; (x, y(x)) ∈ Ω, ∀ x ∈ [a, b],

, Y = C [a, b]

iar aplicaţia f : X → Y , y → f (y) = y′

(·) − ϕ(·, y(·)).Ecuaţia diferenţialǎ f (y) = 0 convenim sǎ o scriem sub forma

y′ = ϕ(x, y)

adicǎ o ecuaţie diferenţialǎ de ordinul ı̂nt̂ıi.

2) FieF : Ω ⊂ Rn+2 → R

(x, y0, y1, . . . , yn) → F (x.y0, y1, . . . , yn)şi alegem spaţ iile

X =

y ∈ C n

[a, b]; (x, y(x), y′

(x), . . . , y(n)

(x)) ∈ Ω, ∀ x ∈ [a, b],Y = C [a, b], iar aplicaţia f definitǎ de legea

f : X → Y, y → f (y)


9/120


unde[f (y)](x) = F (x, y(x), . . . , y(n)(x)).

Obţinem astfel ecuaţia funcţionalǎ

f (y) = 0

pe care convenim sǎ o scriem sub forma

F (x,y ,y′, . . . , y(n)) = 0 (1.3)

şi care este o ecuaţie diferenţialǎ realǎ de ordinul n.

Graficul unei soluţii a ecuaţiei diferenţiale (1.3) este o curbǎ ı̂n Rn, curbǎce poartǎ denumirea de curbǎ integralǎ . Dacǎ ecuaţ ia (1.2) poate fiexplicitatǎ ı̂n raport cu y (n), atunci ea se poate scrie sub forma

y(n)

= f

x,y ,y′

, . . . , y(n−1)

. (1.4)

Ecuaţia (1.4) se numeşte forma normalǎ a ecuaţiei (1.3.)

Ecuaţii integrale

O altǎ categorie importantǎ de ecuaţii funcţionale este datǎ de ecuaţiileintegrale.

Fie Ω au deschis din Rn, aplicaţiile

F : D1 ⊂ Rn+2 → R, K : D2 ⊂ R2n+1 → Rşi spaţiile

X =

ϕ ∈ C (Ω, R); (x, ϕ(x),∫ Ω

K (x,ξ,ϕ(ξ ))dξ ) ∈ D1

, Y = C (Ω, R).

Ecuaţia funcţionalǎf (ϕ) = 0 (1.5)

unde f : X → Y este definitǎ prin

[f (ϕ)](x) = F

x, ϕ(x),

∫ Ω

K (x,ξ,ϕ(ξ ))dξ

se numeşte ecuaţia integralǎ de tip Fredholm. Prin diferite particularizǎriale lui F şi K obţinem urmǎtoarele clase importante de ecuaţii integrale:∫

ΩK (x, ξ )ϕ(ξ )dξ = f (x) (1.6)


10/120


ϕ(x) =

∫ Ω

K (x, ζ )ϕ(ζ )dζ + f (x). (1.7)

Ecuaţia (1.6) se numeşte ecuaţia integralǎ de tip Fredholm de speţǎ ı̂nt̂ıi,iar ecuaţia integralǎ de tip Fredholm de speţǎ a doua. Se vede cu uşurinţǎ

cǎ aceste ecuaţii ŝınt liniare, iar dacǎ f = 0, sı̂nt liniare şi omogene.

Dacǎ ı̂n (1.7)

K (x, ξ ) =n∑

i=1

ai(x)bi(ξ ) (1.8)

ecuaţia corespunzǎtoare se numeşte cu nucleu degenerat.

Rezolvarea ecuaţiilor integrale cu nucleu degenerat revine la rezolvarea unorsisteme algebrice.

Putem presupune că ai, bi, y şi f sı̂nt uniform continue pe Ω şi că a1, . . . , amşi b1, . . . , bm ŝınt liniar independente. Această presupunere nu restr̂ınge

generalitatea. Intr-adevăr, să presupunem că există C 1, . . . , C m astfel ca

C 1a1 + · · · + C mam = 0

şi cel puţin o constantă dintre C 1, . . . , C m este diferită de zero. Fie C m ̸= 0.Atunci putem scrie am = C

∗1a1 + · · · + C ∗m−1am−1. Luı̂nd această expresie de

forma nucleului obţinem

K (x, y) =m−1∑i=1

ai(x)bi(y) +m−1∑i=1

C ∗i ai(x)bm(y)

m−1

∑i=1

ai(x)[bi(y) + C ∗i bm(y)] =

m−1

∑i=1

ai(x)b∗i (y)

Deci, a fost posibil să reprezentăm nucleul K (x, y) ca sumă cu un numărmai mic, ca m, de produse de funcţii ı̂n x şi funcţii ı̂n y. Dacă ai or b

∗i , i =

1, . . . , m1, ŝınt din nou liniar dependente, putem reduce din nou nuumărullor. In felul acesta putem presupune că a1, . . . , am şi b1, . . . , bm sı̂nt funcţiiliniar independente ı̂n Ω.

Presupunem, acum, că ecuaţia integrală Fredholm, av̂ınd nucleul (1.8), areo soluţie. Atunci

ϕ(x) = ∫ Ω

m

∑i=1

ai(x)bi(y)ϕ(y)dy + f (x)

sau

ϕ(x) =m∑i=1

ai(x)

∫ Ω

bi(y)ϕ(y)dy + f (x)


11/120


Lûınd ∫ Ω

bi(y)ϕ(y)dy = C i (1.9)

atunci funcţia ϕ are forma

ϕ(x) =m∑i=1

C iai(x) + f (x) (1.10)

Pentru a determina constantle C i, substituim ı̂n (1.9) pe ϕ şi aceasta dă∫ Ω

bi(y) m∑ j=1

C ja j(y) + f (y)

dy = C i.

Lûınd ∫ Ω

bi(y)a j(y)dy = K ij,

∫ Ω

bi(y)f (y)dy = f i

obţinem, din (1.10)

C i =m∑

j=1

K ijC j + f i, i = 1, . . . , m (1.11)

Deci oricărei soluţii a ecuaţiei (1.7) ı̂i corespunde o soluţie a sistemului (1.11).In virtutea liniar independenţei funcţiilor a1, . . . , am există numai o soluţie.Reciproc, dacă sistemul de ecuaţ ii algebrice (1.11) are o soluţie, substituindaceasta ı̂n (1.10), obţinem o soluţie pentru ecuaţia integrală (1.7), deoareceorice pas făcut ı̂n trecerea de la ecuaţia (1.7) la (1.11) est inversabil.

Am redus astfel problema rezolvării ecuaţiei integrale (1.7) cu nucleu dege-nerat la rezolvarea unui sistem algebric (1.11).

• Dacă det(E − K ) ̸= 0 sistemul algebric (1.11) are soluţie unică, deciecuaţia integrală are soluţie unică.

• Dacă det(E − K ) = 0 atunci sistemul algebric are soluţ ie dacă şi numaidacă

m∑i=1

f iC ∗i = 0,

unde (C ∗1 , . . . , C ∗m) este soluţie arbitrară a sistemului omogen

C ∗ =m

∑i=1K ijC

∗i , j = 1, . . . , m .

Exemplu : S˘ a se determine solut ̧ia ecuat ̧iei integrale

u(x) = x + 2

∫ 10

(x − t)u(t)dt


12/120


In acest caz f (x) = x, a1(x) = x, a2(x) = −1, b1(t) = 2, b2(t) = 2t deci funcţiilea1, a2 şi b1, b2 sı̂nt liniar independente. Notı̂nd

C 1 = ∫ 1

0

b1(t)u(t)dt, C 2 = ∫ 1

0

b2(t)u(t)dt

soluţia ecuaţiei integrale este de forma u(x) = x + C 1x − C 2, unde (C 1, C 2) verificăsistemul de ecuaţii algebrice

2C 2 = 1, 2

3C 1 + 2C 2 =

2

3.

Soluţia sistemului algebric este C 1 = −1/2, C 2 = 1/2, iar soluţia ecuaţiei integraleeste dată de

u(x) = x − 1

2 .

Fie acum

F : D1 ⊂ R3 → R, K : D2 ⊂ R3 → Rşi spaţiile

X =

ϕ ∈ C (I, R); (x, ϕ(x),∫ xa

K (x,ξ,ϕ(ξ ))dξ ) ∈ D1

, Y = C (I, R)

Ecuaţia funcţionalǎ

g(ϕ) = 0 (1.12)

unde g : X →

Y este definitǎ prin

[g(ϕ)](x) = F

x, ϕ(x),

∫ xa

K (x,ξ,ϕ(ξ ))dξ

(1.13)

se numeşte ecuaţie integralǎ de tip Volterra.

Prin particularizǎri ale aplicaţiilor F şi K obţinem urmǎtoarele cazuri par-ticulare de ecuaţii Volterra

∫ xa

K (x, ξ )ϕ(ξ )dξ = f (x) (1.14)

ϕ(x) +∫ xa

K (x, ξ )ϕ(ξ )dξ = f (x). (1.15)

Ecuaţia (1.14) se numeşte ecuaţie integralǎ de tip Volterra de speţǎ ı̂nt̂ıi, iarecuaţia (1.15) este o ecuaţie integralǎ de tip Volterra de speţǎ a doua.


13/120


Inecuaţii operatoriale

Fie f : X → Y , unde Y este ı̂nzestrat printre altele cu o structurǎ de ordine.Fie dat y

∈ Y . Se cere sǎ se determine elementele x

∈ X , astfel ca

f (x) ≤ y. (1.16)

Obţinem astfel o inecuaţie operatorialǎ. Un element x ∈ X , caresatisface (1.16) se numeşte soluţie a acestei inecuaţii. O clasǎ importantǎde inecuaţii operatoriale ŝınt inecuaţ iile diferenţiale şi inecuaţiile integrale.Iatǎ cı̂teva exemple de asemenea inecuaţii:

y′ + f (x,y ,y′) ≤ 0 (1.17)

y(x)

≤ ∫ b

a

K (x,ξ,y(ξ ))dξ (1.18)

y(x) ≤∫ xa

K (ξ, y(ξ ))dξ. (1.19)

Un rol important ı̂n cele ce urmeazǎ ı̂l au inecuaţiile liniare de forma

y(x) ≤ ϕ(x) +∫ xa

ψ(s)y(s)ds, x ∈ [a, b] (1.20)

unde funcţiile y, ϕ şi ψ ŝınt continue pe [a, b] iar ψ(x) ≥ 0, pentru x ∈ [a, b].

Lema 1.1 (Gronwall) . Dacˇ a

y(x) ≤ ϕ(x) +∫ xa

ψ(s)y(s)ds, x ∈ [a, b] (1.21)

unde funct ̧iile y ,ϕ, ψ sı̂nt continue pe [a, b] iar ψ(x) ≥ 0, pentru x ∈ [a, b],atunci y verificˇ a şi inegalitatea:

y(x) ≤ ϕ(x) +∫ xa

ϕ(s)ψ(s)exp∫ x

sψ(τ )dτ

ds, ∀ x ∈ [a, b].

Demonstraţie. Fie u(x) =∫ xa

ψ(s)y(s)ds. Din egalitatea u′(x) = ψ(x)y(x),

utilizı̂nd ipotezele lemei rezultǎ

u′(x) ≤ ψ(x)ϕ(x) + ψ(x)u(x).


14/120


Inmulţind ultima inegalitate cu exp−∫ xa

ψ(s)ds

se obţine

d

dxu(x) exp(− ∫

x

a

ψ(s)ds) ≤ ψ(x)ϕ(x)exp− ∫

x

a

ψ(s)ds.Prin integrare rezulťa

u(x) ≤∫ xa

ψ(s)ϕ(s)exp∫ x

sψ(τ )dτ

ds, ∀ x ∈ [a, b]

de unde, conform cu (1.21), rezultǎ inegalitatea doritǎ.

Corolarul 1.1 Dacˇ a

y(x) ≤ A +∫ x

am(s)ds +

∫ x

aψ(s)y(s)ds,x ∈ [a, b] (1.22)

unde funct ̧iile y, m şi ψ ŝınt continue pe [a, b], iar m ≥ 0 şi ψ ≥ 0 pe [a, b] ,A ∈ R, atunci y verificˇ a inegalitatea

y(x) ≤

A +

∫ xa

m(t)dt

· exp∫ x

aψ(s)ds

.

Demonstraţie. Lûınd ϕ(x) = A +

∫ xa

m(s)ds, utilizı̂nd lema Gronwall,

obţinem

y(x) ≤ ϕ(x) +∫ xa

ϕ(s)ψ(s)exp

∫ xs

ψ(t)dt

ds.

Cum dds

exp

∫ x

sψ(t)dt

= −ψ(s)exp

∫ xs

ψ(t)dt

avem

∫ xa

ϕ(s)ψ(s)exp∫ x

sψ(t)dt

ds = −

∫ xa

ϕ(s) d

ds exp

∫ xs

ψ(t)dt

ds =

= −ϕ(s)exp∫ x

sψ(t)dt

xs=a

+

∫ xa

ϕ′(s)exp∫ x

sψ(t)dt

ds =

= −ϕ(x) + ϕ(a)exp∫ x

aψ(t)dt

+

∫ xa

m(s)exp∫ x

sψ(t)dt

ds =

= −ϕ(x) + ϕ(a)expx∫

a

ψ(t)dt

+exp x∫ a

ψ(t)dt ·

x∫ a

m(s)exp−

s∫ a

ψ(t)dt

ds

≤ −ϕ(x) + A exp∫ x

aψ(t)dt

+∫ x

am(s)ds

· exp

∫ xa

ψ(t)dt ≤


15/120


≤ −ϕ(x) +

A +

∫ xa

m(s)ds

· exp∫ x

aψ(t)dt

deci

y(x)

≤ A + ∫

x

a

m(s)ds ·exp∫

x

a

ψ(t)dt, ∀ x

∈ [a, b].

Din cele de mai sus constatǎm cǎ putem reformula rezultatul anterior astfel:

Dac˘ a

y(x) ≤ ϕ(x) +∫ xa

ψ(t)y(t)dt, ∀ x ∈ [a, b]unde y ,ϕ,ψ sı̂nt funct ̧ii continue pe [a, b], ψ ≥ 0 iar ϕ este primitiva unei

funct ̧ii integrabile pozitive atunci

y(x) ≤ ϕ(x) · exp∫ x

aψ(t)dt

, ∀ x ∈ [a, b].

1.2 Metode elementare de integrare aecuaţiilor diferentiale

Ecuaţiile diferenţiale pentru care putem sǎ indicǎm o procedurǎ efectivˇ a pentru determinarea formei generale a soluţiei ŝınt puţine la numǎr. Vomanaliza ı̂n cele ce urmeazǎ ĉıteva tipuri de asemenea ecuaţii.

Prima ecuaţie diferenţialǎ a fost rezolvatǎ o datǎ cu apariţia calculului inte-gral ı̂n secolul XVII,

y′ = f (x), x ∈ I (1.23)unde f este o funcţie continuǎ. Soluţia ecuaţiei (1.23) este datǎ de formula

y(x) = y0 +∫ x

x0f (s)da, x ∈ I .

Intreg secolul XVIII şi o parte din secolul XIX a fost dominat de efortulunor matematicieni, printre care L. Euler (1707 – 1783), J. Bernoulli (1667– 1748), J. Lagrange (1736 – 1813) şi alţ ii, de a da soluţii prin cuadraturi unuinumăr ĉıt mai mare de ecuaţii diferenţiale. Astăzi această problemă prezintăun interes secundar. Cu toate acestea, considerăm necesar să prezentămĉıteva tipuri importante de ecuaţii diferenţiale rezolvabile prin cuadraturi şicare intervin frecvent ı̂n exemple şi aplicaţii.

Ecuaţii cu variabile separabile

Numim astfel ecuaţiile diferenţiale de forma

y′ = f (x)g(y), x ∈ (a, b) (1.24)


16/120


unde funcţia f este continuǎ pe intervalul (a, b), iar funţia g este continuǎ şidiferitǎ de zero pe un interval (c, d) ( eventual nemǎrginit ).

O soluţie a acestei ecuaţii este o funcţie ϕ : (α, β ) ⊂ (a, b) → (c, d) derivabilǎşi astfel ı̂nĉıt

ϕ′(x) = f (x) · g(ϕ(x)), ∀ x ∈ (α, β ).Incercǎm, pentru ı̂nceput, sǎ deducem informaţii suficiente despre ϕ pentrua putea indica un procedeu de determinare a soluţ iei.

Deoarece ϕ este o soluţie, rezultǎ ϕ′(x)/g(ϕ(x)) = f (x). Fie G : (c, d) → Ro primitivǎ a funcţiei 1/g, deci G este derivabilǎ şi G′ = 1/g; atunci G ◦ ϕeste derivabilǎ şi (G ◦ ϕ)′ = (G′ ◦ ϕ)ϕ′, adicǎ

d

dx[G(ϕ(x))] = G′(ϕ(x))ϕ′(x) =

1

g(ϕ(x)) ϕ′(x) = f (x)

deci (G ◦

ϕ)′ = f . Prin urmare, dacǎ F este o primitivǎ a funcţiei f , ı̂n(α, β ) avem G(ϕ(x)) = F (x) + C , C fiind o constantǎ.

Deoarece 1/g ̸= 0, funcţia G este strict monotonǎ, deci inversabilǎ şi prinurmare

ϕ = G−1 ◦ (F + C ).Am obţinut despre ϕ informaţii care o individualizeazǎ p̂ınǎ la o constantǎarbitrarǎ. Sǎ arǎtǎm acum cǎ reciproc, orice funcţie ϕ din familia de maisus este o soluţie a ecuaţiei (1.24). Intr-adevǎr, dacǎ ϕ(x) = G−1(F (x) + C ),rezultă G(ϕ(x)) = F (x) + C şi derivı̂nd avem G′(ϕ(x))ϕ′(x) = f (x), adicǎϕ′(x)/g(ϕ(x)) = f, deci ϕ′(x) = f (x)g(ϕ(x)) şi ϕ este soluţie. Intervalul dedefiniţie al funcţiei ϕ este format din mulţimea punctelor x

∈ (a, b) astfel

ı̂nĉıt F (x) + C se aflǎ ı̂n domeniul de definiţie al funcţiei G−1, deci domeniulvalorilor lui G, adicǎ ı̂ntre limy→c G(y) şi limy→d G(y). Iatǎ, acum, regulade integrare a ecuaţiilor diferenţiale cu variabile separabile.

• Se ı̂mpart ecuaţiile (1.24) cu g(y) şi se obţine ecuaţiady

g(y) = f (x)dx

care are ı̂n primul sǎu membru numai variabila y, iar ı̂n al doilea mem-bru numai variabila x.

• Se integreazǎ cei doi membri adǎuĝınd celui de al doilea o constantǎ.Exemplu : Sˇ a se integreze ecuat ̧ia

y′ = (y − 2)tg x, x ∈ (0, π2

).


17/120


Procedı̂nd ca mai sus, scriem ecuaţia sub forma

dy

y − 2 = tgx · dx

şi prin integrare obţinem

ln|y − 2| = −ln|cosx| + C 1.Rezultǎ pentru soluţia y (x) formula

|(y(x) − 2)cosx| = C, x ∈ (0, π2

).

Prin urmare, funcţia (y(x) − 2)cos x are valoare constantǎ pe intervalul (0, π/2) şideci soluţia generalǎ este datǎ de

y(x) = C

cos x + 2, x ∈ (0, π

2).

Ecuaţia omogenǎ

Sǎ considerǎm acum ecuaţia diferenţialǎ

y′ = h(y

x) (1.25)

unde h este o funcţie continuǎ pe intervalul (c, d). Ecuaţia (1.25) se numeşteomogenǎ. Deoarece funcţia f (x, y) = h(y/x) este omogenǎ de gradul zero

(reamintim cǎ ı̂n general f : R2

→ R este o funcţie omogenǎ de gradul αdacǎ f (tx) = tαf (x)).Fie ϕ o soluţie a ecuaţiei (1.25) definitǎ pe un interval (α, β ) ce nu conţinepunctul x = 0. Atunci pentru x ∈ (α, β ) avem ϕ(x)/x ∈ (c, d) şi ϕ′(x) =h(ϕ(x)/x). Sǎ notǎm u(x) = ϕ(x)/x şi sǎ observǎm cǎ funcţia u : (α, β ) →(c, d) este derivabilǎ şi

u′(x) = xϕ′(x) − ϕ(x)

x2 =

1

x

ϕ′(x) − ϕ(x)

x

=

= 1

xh

ϕ(x)

x −

ϕ(x)

x =

1

x

[h(u(x))

−u(x)] .

Rezultǎ cǎ u este soluţia unei ecuaţii cu variabile separabile şi conform cu celeprezentate anterior, funcţia u poate fi determinatǎ p̂ınǎ la o constantǎ, ceeace implicǎ posibilitatea de a determina soluţia ϕ. Rǎmı̂ne numai sǎ observǎm


18/120


cǎ orice soluţie a ecuaţiei cu variabile separabile asociate genereazǎ o soluţiea ecuaţiei omogene date. Intr-adevǎr, dacǎ

u′(x) = 1

xh(u(x)) − u(x) şi ϕ(x) = xu(x)

atunci

ϕ′(x) = u(x) + xu′(x) = u(x) + h(u(x)) − u(x) = h(u(x)) = h

ϕ(x)

x

.

Exemplu : S˘ a se integreze ecuat ̧ia

xy′ = y + x, x > 0.

Ecuaţia este omogenă deoarece

y′ = y

x + 1.

Făcı̂nd substituţia y = u · x obţinem u′x + u = u + 1 sau u ′ = 1/x care are soluţiau(x) = ln x + C.

Soluţia căutată a ecuaţiei diferenţiale este dată de

y(x) = x(

ln x + C

.

• Trebuie sǎ menţionǎm faptul cǎ diverse ecuaţii de ordinul ı̂nt̂ıi, chiar dacǎnu au forma indicatǎ (1.25) se reduc prin substituţii simple la ecuaţii cuvariabile separabile sau omogene. Sǎ considerǎm ecuaţia

dydx

= f

ax + by + ca1x + b1y + c1

(1.26)

unde a,b, c, a1, b1, c1 sı̂nt constante

i) Sǎ presupunem cǎ c2 + c21 = 0, adicǎ ecuaţia (1.26) are forma

dy

dx = f

ax + by

a1x + b1y

care este o ecuaţie omogenǎ. Cu substituţia y = xz ecuaţia de mai susse transformǎ ı̂n ecuaţia

xz′ = f a + bz

a1 + b1z

− z

care este o ecuaţie cu variabile separabile.


19/120


ii) Dacǎ c2 + c21 ̸= 0 şi ab1 − a1b ̸= 0, dreptele(D) : ax + by + c = 0, (D1) : a1x + b1y + c1 = 0

se intersectează in punctul (x0

, y0

). Fǎĉınd schimbarea de variabilǎ şide funcţie

u = x − x0, v = y − y0obţinem ecuaţia

dv

du = f

au + bv

a1u + b1v

care este de forma de mai sus, deci cu schimbarea de funcţie v = z · use obţine o ecuaţie cu variabilele separabile.

iii) Dacǎ c2 + c21 ̸= 0 şi ab1 − a1b = 0 dreptele(D) : ax + by + c = 0, D1 : a1x + b1y + c1 = 0

ŝınt paralele. Din ab1 − a1b = 0 rezultǎ a1a

= b1

b = k, deci

dy

dx = f

ax + by + c

k(ax + by) + c1

; (1.27)

dacǎ facem schimbarea de funcţie ax + by = z , ecuaţia se transformǎı̂n

1

b

dzdx

− a

= f

z + c

kz + c1

care este o ecuaţie cu variabilele separabile dacǎ bf z + c

kz + a+ a ̸

= 0,

a cărei soluţie este de forma x + C = ϕ(z), sau x + C = ϕ(ax + by),

unde ϕ este o primitivǎ pentru funcţia z → bf

z + c

kz + c1

+ a.

Exemple :

1) S˘ a se integreze ecuat ̧ia

y′ = y − 2x2y − x , 2y − x ̸= 0.

Facem schimbarea de funcţie y = u · x, de unde y ′ = u′ · x + u, deci

u

′

· x + u = u

−2

2u − 1 , sau u′

· x = −2u2 + 2u

−2

2u − 1care este cu variabile separabile şi care are soluţia

ln |x| + 12

ln |u2 − u + 1| + C.


20/120


Revenind la variabila iniţială obţinem integrala generală

y2 − xy + x2 = C

care reprezintă o familie de elipse cu centrul ı̂n origine.2) S˘ a se integrexe ecuat ̧ia

y′ = −2(x − 2y + 1)5x − y − 4 .

Dreptele x−2y+1 = 0, 5x−y−4 = 0 se intersectează ı̂n punctul (1, 1). Efectuı̂ndschimbarea de funcţie şi variabilă x = u + 1, y = v + 1 ecuaţia se transformă ı̂n

dv

dx = −2u − 4v

5u − v .

Făcı̂nd schimbarea de funcţie v = u ·z obţinem dvdu

= udz

du+z şi ı̂nlocuind ı̂n ecuaţie

se obţinedz

du · u + z = −2 − 4z

5 − z sau dz

du =

z2 − z − 2u(5 − z)

care este cu variabile separabile. Prin integrare se obţine

C |u| = |z − 2|(z + 1)2

.

Dacă revenim la variabilele iniţiale u = x−1, z = (y − 1)/(x − 1), obţinem integralagenerală a ecuaţiei date

y

−2x + 1 = C (y + x

−2)2.

3) S˘ a se integreze ecuat ̧ia

y′ = x − 2y + 93x − 6y + 19 .

Dreptele x − 2y + 9 = 0, 3x − 6y + 19 = 0 ŝınt paralele. Făcı̂nd schimbareade funcţie x − 2y = z se obţine y ′ = 1

2 − 1

2z′, care ı̂nlocuite ı̂n ecuaţia iniţială dau

z′ = z + 1

3z + 19. Soluţia generală a ultimei ecuaţii este dată de

3z + 16 ln |z + 1| = x + 2C

sau pentru ecuaţia iniţială

8 ln |x − 2y + 1| + x − 3y = C.


21/120


Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul ı̂nt̂ıi

O clasǎ deosebit de importantǎ de ecuaţii diferenţiale pentru care soluţiilepot fi gǎsite prin cuadraturi o reprezintǎ ecuaţiile de forma

y′ = a(x)y + b(x). (1.28)

In cazul b(x) = 0, ecuaţia este cu variabile separabile şi admit evident soluţia

y(x) = C · exp(F (x))

unde F este o primitivǎ a funcţiei a. Sǎ observǎm cǎ dacǎ a este o funcţieicontinuǎ pe intervalul I , iar x0 ∈ I , o primitivǎ ı̂n I este datǎ de

x →∫ xx0

a(s)ds,

deci o soluţie a ecuaţiei diferenţiale omogene este datǎ de

y(x) = C exp

∫ xx0

a(s)ds

.

Pentru x = x0 deducem C = y(x0), deci putem scrie soluţia y sub forma

y(x) = y(x0) · exp∫ x

x0a(s)ds

.

Pentru a obţine forma soluţiei ı̂n cazul b ̸= 0, sǎ considerǎm o soluţie ϕoarecare definitǎ pe I şi sǎ definim funcţia ψ prin

ψ(x) = ϕ(x) · exp−∫ xx0

a(s)ds

.

Funcţia ψ astfel definitǎ este derivabilǎ şi avem

ψ′(x) = ϕ′(x)exp

−∫ xx0

a(s)ds

− ϕ(x)a(x)exp(−

∫ xx0

a(s)ds) =

=

a(x)ϕ(x) + b(x)

exp

−∫ xx0

a(s)ds

− ϕ(x)a(x)exp

−∫ xx0

a(s)ds

=

= b(x)exp− ∫

x

x0 a(s)ds

.

Deducem

ψ(x) = ψ(x0) +

∫ xx0

b(t)exp

−∫ tx0

a(s)ds

dt.


22/120


Pe de altǎ parte ψ(x0) = ϕ(x0), ϕ(x) = ψ(x)exp

∫ xx0

a(s)ds

deci

ϕ(x) = ϕ(x0)exp∫ x

x0

a(s)ds + ∫ x

x0

b(t)exp∫ x

t

a(s)dsdt. (1.29)Am obţinut, astfel, o formulǎ care individualizeazǎ complet soluţia ϕ cuajutorul valorii ei ı̂ntr-un punct x0.

Se verificǎ, cu uşurinţǎ, cǎ funcţia ϕ definitǎ prin formula (1.29) este soluţiea ecuaţiei diferenţiale (1.28).

Observaţii.

1) Metoda folositǎ pentru obţinerea soluţiei (1.29) se numeşţe metoda variat ̧iei constantelor pentru cǎ, scriind :

ϕ(x) = ψ(x) exp(∫ x

x0

a(s)ds)

am considerat soluţia generaľa a ecuaţiiei omogene (pentru b = 0),ı̂n care constanta C am ı̂nlocuit-o cu funcţia ψ(x).

2) Soluţia generalǎ a unei ecuaţii diferenţiale liniare este o funcţie deforma

y = ϕ(x) + Cψ(x), (1.30)

adicǎ o familie de curbe care depind liniar de o constantǎ arbitrarǎ.Reciproc, orice familie de curbe care depind liniar de o constantǎ ar-bitrarǎ verificǎ o ecuaţie liniarǎ de ordinul ı̂nt̂ıi. Intr-adevǎr, y′ =ϕ′(x) + C ψ′(x) şi dacǎ eliminǎm pe C ı̂ntre aceastǎ relaţie şi relaţia(1.30) obţinem

y − ϕ(x)ψ(x)

= y′ − ϕ′(x)

ψ′(x)

adicǎ

y′ = ψ′(x)

ψ(x) y +

ψ(x)ϕ′(x) − ϕ(x)ψ′(x)ψ(x)ψ′(x)

care este o ecuaţie liniarǎ de ordinul ı̂ntı̂i.

Exemplu : Sˇ a se integreze ecuat ̧ia

y′ + 2xy = e−x2

, x

∈ R.

Integrı̂nd ecuaţia omogenǎ y ′ + 2xy = 0 obţinem soluţia y = C e−x2

, unde C este oconstantǎ arbitrarǎ. Pentru integrarea ecuaţiei neomogene folosim metoda variaţieiconstantelor

y = C (x)e−x2

, y′ = [C ′(x) − 2xC (x)] e−x2 ,


23/120


ı̂nlocuim ı̂n ecuaţia datǎ şi obţinem

C ′(x) = 1, deci C (x) = x + A1

iar soluţia generalǎ a ecuaţiei date este

y(x) = (x + A1)e−x2 , ∀ x ∈ R.

Ecuaţii de tip Bernoulli

La ecuaţii diferenţiale liniare se reduc ecuaţiile de forma

y′ = a(x)y + b(x)yα, a, b : I → R (1.31)

continue, α ∈

R\ {

0, 1}

, numite ecuat ̧ii Bernoulli .

Pentru a deduce forma soluţiei, considerǎm ϕ : I → R derivabilǎ strictpozitivǎ soluţie a ecuaţiei (1.31), adicǎ

ϕ′(x) = a(x)ϕ(x) + b(x)ϕ(x)α

şi fie u(x) = ϕ(x)1−α. Rezultǎ u derivabilǎ şi

u′(x) = (1 − α)ϕ(x)−α · ϕ′(x) = 1 − αϕ(x)α

a(x)ϕ(x) + b(x)ϕ(x)α

=

= (1 − α)[a(x)u(x) + b(x)],deci u este o soluţie a unei ecuaţii liniare. Reciproc, dacǎ u este soluţie aecuaţiei liniare

u′(x) = (1 − α)[a(x)u(x) + b(x)] şi u(x) > 0

ı̂n I , atunci ϕ(x) = u(x)1

1−α este soluţie a ecuaţiei (1.31). Intr-adevǎr ϕ estederivabilǎ şi

ϕ′(x) = 1

1 − α u′(x) · u(x) α1−α = [a(x)u(x) + b(x)]u(x) α1−α =

= a(x)u(x)

1

1−α

+ b(x)

u(x)

1

1−αα= a(x)ϕ(x) + b(x)[ϕ(x)]

α

.


√ x3 y′ − √ x y + y2 = 0, x > 0


24/120


şi s ̌a se determine o solut ̧ie particularˇ a care trece prin punctul A(1, 2).

Impǎrţind ecuaţia datǎ cu√

x3 se obţine

y′ = 1

xy

− 1

√ x3y2

care este o ecuaţie Bernoulli. Făcı̂nd substituţie z = 1

y, − y

′

y2 = z′ şi ecuaţ ia se

transformǎ ı̂n ecuaţia liniarǎ

z′ = −1x

z + 1√

x3

a cǎrei soluţie este z = 1

x

(C + 2

√ x

, deci soluţia generalǎ a ecuaţiei date este

y(x) = x

C + 2√

x, x > 0.

Pentru a determina soluţia particularǎ cerutǎ ı̂nlocuim coordonatele punctului A(1, 2)ı̂n integrala generalǎ şi determinǎm astfel pe C = −3/2, soluţia particularǎ este

y(x) = 2x

−3 + 4√ x , x > 9

16.

Ecuaţii diferenţiale de tip Riccati ( 1676 - 1754 ).

Forma generalǎ a ecuaţiilor diferenţiale cu acest nume este datǎ de

y′ = a(x)y + b(x)y2 + c(x), x ∈ I (1.32)unde a,b, c ŝınt funcţii continue pe intervalul I. Ecuaţia (1.32) nu este, ı̂ngeneral, integrabilǎ prin cuadraturi. Totuşi, ı̂n cazurile ı̂n care printr-unmijloc oarecare se găseşte o soluţie particularǎ, integrarea devine posibilǎ.

Fie ϕ0 o soluţie a ecuaţiei (1.32), iar ϕ o soluţie arbitrarǎ pentru aceiaşiecuaţie. Pentru funcţia ψ = ϕ − ϕ0 avem

ψ′(x) = ϕ′(x) − ϕ′0(x) =

= a(x)ϕ(x) + b(x)ϕ2(x) + c(x) − [a(x)ϕ0(x) + b(x)ϕ20(x) + c(x)] == b(x)[ϕ(x) − ϕ0(x)][ϕ(x) + ϕ0(x)] + a(x)[ϕ(x) − ϕ0(x)] =

= b(x)ψ(x)[ψ(x) + 2ϕ0(x)] + a(x)ψ(x) =

= b(x)ψ2(x) + [a(x) + 2b(x)ϕ0(x)] ψ(x)


25/120


deci ψ este soluţia unei ecuaţii Bernoulli cu α = 2, prin urmare se poateconstrui soluţia ϕ a ecuaţiei Riccati.


xy′

+ y2

− 4y + 3 = 0,şi s ̌a se determine o solut ̧ie care trece prin A(1, 2).

Se observǎ cǎ funcţia x → ϕ0(x) = 1 este soluţie a ecuaţiei date. Dacǎ ϕ este osoluţie oarecare a ecuaţiei date atunci funcţia ψ = ϕ − ϕ0 verificǎ ecuaţia

ψ′ = −1x

ψ2 + 2

xψ.

Fǎcı̂nd substituţia z = 1

ψ obţinem ecuaţia

z′ = −2x

z + 1

x

cu soluţia generalǎ z = 1

x2

C +

x2

2

. Soluţia generalǎ a ecuaţiei date este

y(x) = 1 + 2x2

2C + x2, x ∈ R.

Ca soluţia sǎ treacǎ prin punctul A(1, 2); avem 2 = 1 + 2

2C + 1, deci C =

1

2 adică

soluţia cǎutatǎ este

y(x) = 1 + 2x2

1 + x2, x ∈ R.

Ecuaţii diferenţiale de tip Lagrange

Numim astfel ecuaţiile

y = xϕ(y′) + ψ(y′) (1.33)

unde ϕ şi ψ ŝınt funcţii continuu diferenţiabile pe un interval din R şi ϕ( p) ̸= p pentru toţi p.

Presupun̂ınd cǎ y este soluţie a ecuaţiei (1.33) pe intervalul I ⊆ R, rezultǎprin derivare

y′ = ϕ(y′) + xϕ′(y′)y′′ + ψ(y′)y′′ (1.34)

unde y ′′ = d2y/dx2. Not̂ınd cu p funcţia y ′, din (1.34) rezultǎ

dx

dp =

ϕ′( p)

p − ϕ( p) x + ψ′( p)

p − ϕ( p) (1.35)


26/120


care este o ecuaţie liniarǎ ı̂n x. Rezolvı̂nd aceastǎ ecuaţie gǎsim pentru x oexpresie de forma

x = A( p, C ) (1.36)

unde C este o constantǎ arbitrarǎ. Din ecuaţia (1.33) se obţine atunci

y = A( p, C )ϕ( p) + ψ( p). (1.37)

Interpretı̂nd p drept un parametru, (1.36) şi (1.37) devin ecuaţ iile parame-trice ale necunoscutei y care verificǎ (1.33). Cu alte cuvinte, folosind metodaindicatǎ mai sus, soluţia ecuaţiei (1.33) se obţine sub formǎ parametricǎ.


y = x(y′)2 + (y′)3.

Notǎm y′ = p, deci y = xp2 + p3; derivı̂nd ı̂n raport cu x,

p = 2xpdp

dx + p2 + 3 p2

dp

dx

şi obţinem ecuaţia liniarǎ

dx

dp = − 2 p

p2 − p x − 3 p2

p2 − p , p2 − p ̸= 0

de unde

x = 1

( p − 1)2

C − 23

p3 + p2

y = p2

( p − 1)2 C −

2

3

p3 + p2 + p3care reprezintǎ soluţia generalǎ.

Pentru p2 − p = 0 avem douǎ situaţii:a) p = 0, y = 0; dreapta y = 0 este o integralǎ singularǎ;

b) pentru p → 1 şi C ̸= −1/3, |x| → ∞, deci dreapta y = x + 1 este o direcţieasimptoticǎ a curbelor integrale care au C ̸= −1/3. Dacǎ C = −1/3 curba integralǎse descompune ı̂n dreapta y = x + 1 şi o conicǎ.

Ecuaţia de tip Clairaut (1713 - 1765).

Ecuaţia de tipul y = xy ′ + ψ(y′) (1.38)

este o ecuaţie de tip Clairaut. Acest tip de ecuaţie este un caz particular deecuaţie Lagrange si anume cazul ĉınd ϕ( p) = p.


27/120


Prin derivarea ecuaţiei (1.38) obţinem

y′ = xy ′′ + y′ + ψ′(y′)y′′

de unde rezultǎy′′(x + ψ′(y′)) = 0. (1.39)

Prin urmare, avem douǎ tipuri de soluţii. Prima este definitǎ de y ′′ = 0 care,prin integrare dǎ

y(x) = C 1x + C 2 (1.40)

unde C 1 şi C 2 ŝınt constante arbitrare. De fapt, introduĉınd (1.40) ı̂n (1.38)se constatǎ cǎ C 1 şi C 2 nu sı̂nt independente ci C 2 = ψ(C 1). Prin urmare

y = C 1x + ψ(C 1) (1.41)

unde C 1 este o constantǎ arbitrarǎ.

O altǎ categorie de soluţii se obţine din (1.39)

x + ψ′( p′) = 0. (1.42)

Proced̂ınd ca la ecuaţ ia lui Lagrange, notǎm y′ = p şi obţ inem din (1.42)ecuaţiile parametrice

x = −ψ′( p)y = −ψ′( p) p + ψ( p) (1.43)

ale unei soluţii pentru ecuaţia Clairaut.

Soluţia sub forma (1.41) este soluţie generalǎ a ecuaţiei lui Clairaut, iar

soluţia sub forma (1.43) este o soluţie singularǎ a ecuaţiei lui Clairaut.

Observaţie. Soluţia generaľa a ecuaţiei Clairaut este o familie de dreptece depind de un parametru C . Eliminı̂nd pe C ı̂ntre ecuaţia

y = C x + ψ(C )

şi derivata ı̂n raport cu C x + ψ′(C ) = 0

sau, ceea ce este acelaşi lucru, lûınd pe C parametru, obţinem curba

x =

−ψ′(C )

y = −Cψ′(C ) + ψ(C )care este integrala singularǎ. Prin urmare integrala singularǎ este ı̂nfǎ̧surǎ-toarea familiei de curbe reprezentatǎ de integrala generalǎ.


28/120



yy ′ = x (y′)2 + 1.

Ecuaţia este de tip Clairaut, deoarece poate fi scrisă y = xy′

+

1

y′ .

Soluţia generalǎ este datǎ de familia de drepte

y = C x + 1

C . (1.44)

Integrala singularǎ are ecuaţiile parametrice x = 1

p2, y =

2

p; eliminı̂nd p, obţinem

parabola y2 = 4x care este ı̂nfă̧surǎtoarea dreptelor reprezentatǎ de soluţia generalǎ.Rezolvind ı̂n raport cu C ecuaţia (1.44) obţinem C 2x − Cy + 1 = 0.Soluţiile C 1, C 2 ŝınt reale dacǎ y

2 − 4x > 0, deci dreptele reprezentate de integralagenerala, nu intersecteazǎ parabola, care este o curbǎ convexǎ.

Ecuaţii de tipul y = f (x, y′).

Notǎm y ′ = p, deci

y = f (x, p) (1.45)

şi derivı̂nd ı̂n raport cu x, ţinı̂nd seama cǎ p este o funcţie de x; obţinem

p = ∂f

∂x(x, p) +

∂ f

∂p(x, p) · dp

dx (1.46)

care este o ecuaţie rezolvatǎ ı̂n raport cu

dp

dx . Dača putem ı̂ntegrarea pe(1.46) avem

p = ϕ(x, C )

care introdusǎ ı̂n (1.45), ne conduce la soluţia generalǎ cǎutatǎ

y(c) = f (x, ϕ(x, C )).


y = y ′2 − y′x + x2

2 .

Lûınd y ′ = p, avem y = p2 − px + x2/2, care derivata ı̂n raport cu x şi ţinı̂nd seamacǎ p este funcţie de x obţinem

p = 2 pdp

dx − x dp

dx − p + x


29/120


sau

(2 p − x)

1 − dpdx

= 0.

Avem douǎ posibilitǎţi:

a) dpdx

= 1 sau p +C = x, pe care dacǎ o introducem ı̂n ecuaţia datǎ obţinem soluţia

generalǎ

y(x) = (x − C )2 − x(x − C ) + 12

x2

sau

y(x) = −Cx + C 2 + 12

x2, ∀ x ∈ R.

b) x = 2 p, care cu y = p2 − px + 12

x2 ne dǎ

x = 2 p, y = p2, p ∈ Rcare este soluţia singularǎ.

Se observǎ ca o soluţia singularǎ este ı̂nfǎ̧surǎtoarea familiei de parabole reprezen-

tate de soluţia generalǎ.

Ecuaţii de tipul x = f (y, y′).

Notǎm y ′ = p, decix = f (y, p) (1.47)

şi derivı̂nd ı̂n raport cu y , consider̂ınd pe x şi p funcţia de y; avem

1

p =

∂f

∂y(y, p) +

∂ f

∂p · dp

dy (1.48)

deoarece dx

dy = 1/(

dy

dx) =

1

p.

Dacǎ putem integra pe (1.48), care este o ecuaţie diferenţialǎ ı̂n p şi y,

explicitǎ ı̂n raport cu dp

dy, obţinem

p = ϕ(y, C ). (1.49)

Dacǎ introducem (1.49) ı̂n (1.47) rezultǎ soluţia generalǎ cǎutatǎ

x = f (y, ϕ(y, C )).

Exemplu: Sǎ se integreze ecuaţia

(y′)3 − 4xyy ′ + 8y2 = 0. (1.50)


30/120


Inlocuind pe y ′ cu p, obţinem p3 − 4xyp + 8y2 = 0. Avem

x = p2

4y +

2y

p . (1.51)

Derivı̂nd ı̂n raport cu y şi ı̂nlocuind dx

dy cu 1/p obţinem

1

p =

2 p

4y

dp

dy − p

2

4y2 +

2

p − 2y

p2 · dp

dy

sau p3 − 4y2

2y

dp

dy − p

= 0.

Avem douǎ cazuri de considerat şi anume:

a) 2ydp

dy − p = 0, care integratǎ dǎ p = C √ y, şi apoi inlocuim pe p astfel obţinut ı̂n

ecuaţia datǎ, rezultatǎ integrala generalǎ

C 3y3/2 − 4Cxy3/2 + 8y2 = 0sau 8

√ y = 4Cx − C 3, sau y2 = C 1(x − C 1)2, 4C 1 = C 2.

b) 4y2 − p3 = 0; care ı̂nlocuitǎ ı̂n (1.50), obţinem soluţia

y = 4

27x3

care reprezintǎ integrala singularǎ.

Intr-adevǎr integrala generalǎ este formatǎ dintr-o familie de conice, ı̂n timp cesoluţia singularǎ este o parabolǎ cubicǎ.

Prin eliminarea lui p ı̂ntre ecuaţiile (1.50) şi 4y2− p3 = 0 mai obţinem şi y = − 427

x3

care nu este soluţie.

Ecuaţii de forma F (x,y ,y′) = 0.

Analizǎm ı̂n cele ce urmeazǎ cazurile ĉınd o ecuaţie de ordinul ı̂ntı̂i de forma

F (x,y ,y′) = 0 (1.52)

poate fi integratǎ prin cuadraturi.

Presupunem cǎ F : I × I 1 × I 2 ⊂ R3

→ R este de clasa C 1

. O funcţieϕ : I ′ ⊂ I → I 1 derivabilǎ cu ϕ′ : I ′ → I 2 şi F (x, ϕ(x), ϕ′(x)) = 0, ∀ x ∈ I ′este soluţie a ecuaţiei (1.52). Dacǎ se dǎ un punct (x0, y0, z0) astfel ca

F (x0, y0, z0) = 0 şi ∂F

∂z (x0, y0, z0) ̸= 0, din teorema funcţiilor implicite existǎ


31/120


o funcţie f de clasǎ C 1 definitǎ ı̂ntr-o vecinǎtate a punctului (x0, y0) cu valoriı̂ntr-o vecinǎtate a lui z astfel ı̂nĉıt

F (x,y ,f (x, y)) = 0, f (x0, y0)) = z0.

Dacǎ ϕ este o soluţie a ecuaţiei diferenţiale y′ = f (x, y) definitǎ de funcţia f ,avem ϕ′(x) = f (x, ϕ(x)), deci F (x, ϕ(x), ϕ′(x)) = F (x, ϕ(x), f (x, ϕ(x)) ≡ 0şi ϕ este soluţia problemei date.

Rezultǎ cǎ putem reduce,cel puţin local problema gǎsirii soluţiilor ecuaţiei

F (x,y ,y′) = 0, ∂F

∂y ′(x,y ,y′) ̸= 0, la problema gǎsirii soluţiei unei ecuaţii

diferentiale scrise ı̂n forma normalǎ. Deoarece aceastǎ cale presupune re-zolvarea prealabilǎ a unei probleme de funcţii implicite, ea nu este ı̂n generalconvenabilǎ ı̂n studiul unor ecuaţii particulare ĉınd poate exista speranţaunor procedee alternative mai simple pentru gǎsirea soluţiilor.

In cele ce urmeazǎ vom considera trei procedee alternative care se dovedescuneori utile.

1. Primul procedeu reduce gǎsirea soluţiilor unei ecuaţii de forma consid-eratǎ la (1.52) la gǎsirea soluţiilor unui sistem de trei ecuaţii diferenţiale.

Fie (x0, y0, z0) astfel ca F (x0, y0, z0) = 0 şi presupunem cǎ ∂ F

∂z (x0, y0, z0) ̸= 0

(F de clasǎ C 1). Formǎm sistemul de ecuaţii diferenţiale

dx

dt =

∂F

∂z (x,y ,z)

dy

dt = z

∂F

∂z (x,y ,z)

dzdt

= −∂F ∂x

(x,y ,z) − z ∂F ∂y

(x,y ,z)

. (1.53)

Presupunem cǎ reuşim sǎ gǎsim (α,β,γ ) o soluţie a acestui sistem, astfelı̂nĉıt

α(0) = x0, β (0) = y0, γ (0) = z0.

Atunci, deoarece ∂F

∂z este o funcţie continuǎ, existǎ un interval ce conţine

originea astfel ca pentru t ı̂n acest interval sǎ avem

∂F

∂z (α(t), β (t), γ (t)) ̸= 0

deci dαdt

(t) ̸= 0; de unde rezulťa cǎ funcţia α este inversabilǎ ı̂n acest interval,fie τ inversa sa. Avem α(τ (x)) = x şi τ (α(t)) = t. Fie

ϕ(x) = β (τ (x)), ψ(x) = γ (τ (x)).


32/120


Funcţia ϕ este soluţie a problemei date cu ϕ(x0) = y0 şi ϕ′(x0) = z0. Pentru

a demonstra acest lucru, observǎm mai ı̂nt̂ıi cǎ F (α(t)), β (t), γ (t)) ≡ 0.Intr-adevǎr, pentru t = 0, avem F (x0, y0, z0) = 0 şi apoi conform teoremeide derivare a funcţiilor compuse avem:

d

dtF (α(t), β (t), γ (t)) =

∂F

∂x (α(t), β (t), γ (x))

dα(t)

dt +

+∂F

∂y (α(t), β (t), γ (t))

dβ (t)

dt +

∂ F

∂z (α(t), β (t), γ (t))

dγ

dt(t) ≡ 0.

Rezultǎ cǎ funcţia t → F (α(t), β (t), γ (t)) este o constantǎ C şi cum pentrut = 0 avem C = F (α(0), β (0), γ (0)) = F (x0, y0, z0) = 0 rezultǎ cǎ funcţiat → F (α(t), β (t), γ (t)) este identic nulǎ. Luı̂nd ı̂n relaţia obţinutǎ t = τ (x),deducem

F (α(τ (x)), β (τ (x)), γ (τ (x)) = F (x, ϕ(x), ψ(x)) ≡ 0.

Rǎmı̂ne sǎ arǎtǎm cǎ ψ(x) = ϕ′(x). Avem

ϕ′(x) = dϕ

dx(x) =

dβ

dt (τ (x))τ ′(x) = γ (τ (x))

∂F

∂z (α(τ (x)), β (τ (x)), γ (x))τ ′(x) =

= ψ(x)dα

dt (τ (x))τ ′(x) = ψ(x).

In acest fel problema gǎsirii soluţiilor ecuaţiei F (x,y ,y′) = 0 a fost redusǎla problema gǎsirii soluţiilor unui sistem de trei ecuaţii diferenţiale scris subforma normalǎ şi la o problemǎ de inversare a unei funcţii.

Exemplu : S˘ a se integreze ecuat ̧ia

y = xϕ(y′) + ψ(y′).

In acest caz F (x,y,z) = xϕ(z) − y + ψ(z). Sistemul asociat este

dx

dt = xϕ′(z) + ψ′(z)

dy

dt = z(xϕ′(z) + ψ′(z))

dz

dt

=

−ϕ(z) + z

Acest sistem se poate integra prin cuadraturi, deoarece ultima ecuaţie este cu vari-

abile separabile. Apoi cu z astfel gǎsit, prima ecuaţie devine o ecuaţie liniarǎ, iar

dacǎ x şi z au fost determinate, aflarea lui y se reduce la aflarea unei primitive.


33/120


2) In ipoteza ∂F

∂z ̸ = 0, putem reduce problema gǎsirii soluţiilor ecuaţiei

(1.52) la problema gǎsirii unui sistem de doua ecuaţii diferenţiale scris subforma normalǎ. Sǎ considerǎm sistemul

dy

dx = z

dz

dx = −

∂F

∂x(x,y ,z) + z

∂F

∂y (x,y ,z)

∂F

∂z (x,y ,z).

(1.54)

Sǎ presupunem cǎ am gǎsit (ϕ(x), ψ(x)) o soluţie a sistemului (1.54), astfelı̂nĉıt

ϕ(x0) = y0, ψ(x0) = z0, F (x0, y0, z0) = 0.

Atunci ϕ este soluţie a ecuaţiei (1.52). Intr-adevǎr, avem ϕ′(x) = ψ(x),

d

dx[F (x, ϕ(x), ψ(x)))] =

∂F

∂x(x, ϕ(x), ψ(x))+

+∂F

∂y (x, ϕ(x), ψ(x))ϕ′(x) +

∂ F

∂z (x, ϕ(x), ψ(x))ψ′(x) =

= ∂F

∂x(x, ϕ(x), ψ(x)) +

∂ F

∂y (x, ϕ(x), ψ(x))ψ(x)−

−∂F ∂z

(x, ϕ(x), ψ(x)) ·∂F

∂x(x, ϕ(x), ψ(x)) + ψ(x)

∂F

∂y (x, ϕ(x), ψ(x)))

∂F

∂z (x, ϕ(x), ψ(x))

≡ 0

deci funcţia x → F (x, ϕ(x), ψ(x)) este o constantǎ şi cum aceastǎ constantǎeste nulǎ pentru x = x0, rezultǎ F (x, ϕ(x), ψ(x)) = 0 adicǎ

F (x, ϕ(x), ϕ′(x)) = 0.

• In anumite cazuri este convenabil sǎ considerǎm alt sistem asociat şi

anume, presupun̂ınd

∂F

∂x(x,y ,z) + z

∂F

∂y (x,y ,z) ̸= 0


34/120


considerǎm sistemul

dx

dz = −

∂F

∂z (x,y ,z)

∂F

∂x (x,y ,z) + z∂F

∂y (x,y ,z)

dy

dz = −

z∂F

∂z (x,y ,z)

∂F

∂x(x,y ,z) + z

∂F

∂y (x,y ,z)

.

(1.55)

Fie ξ , η) o soluţie a acestui sistem cu

ξ (z0) = x0, η(z0) = y0, F (x0, y0, z0) = 0.

In plus dacă admitem ∂F

∂z (x0, y0, z0) ̸= 0, rezultǎ dξ

dz ̸= 0 deci funcţia ξ este

inversabilǎ. Dacǎ ζ este inversa sa, avem ξ (ζ (x) ≡ x şi ζ (ξ (z)) = z. Fieϕ(x) = η(ζ (x)). Avem

ϕ′(x) = dη

dz(ζ (x))ζ ′(x) =

= −ζ (x)

∂F

∂z (ξ (ζ (x)), η(x)), ζ (x))ζ ′(x)

∂F

∂x(ξ (ζ (x), η(ζ (x)), ζ (x)) + ζ (x) + ζ (x)

∂F

∂y (ξζ (x)), ηζ (x), ζ (x))

= ζ (x) d

dz(ζ (x))ζ ′(x) = ζ (x).

Observǎm cǎ ζ (ξ (z0)) = z0, deci ζ (x0) = z0, ϕ(x0) = η(ζ (x0)) = η(z0) = y0şi deci F (x0, ϕ(x0), ζ (x0)) = 0. Sǎ aratǎm cǎ

d

dxF (x, ϕ(x), ζ (x)) ≡ 0.

Avem, ı̂ntr-adevǎr d

dxF (x, ϕ(x), ζ (x)) =

= ∂F

∂x(x, ϕ(x), ζ (x)) +

∂ F

∂y (x, ϕ(x), ζ (x))ϕ′(x) +

∂ F

∂z (x, ϕ(x), ζ (x))ζ ′(x) =

=

∂F

∂x (x, ϕ(x), ζ (x)) +

∂ F

∂y (x, ϕ(x), ζ (x))ζ (x) +

∂ F

∂z (x, ϕ(x), ζ (x))ζ ′

(x) =

−∂F ∂z

(ξ (ζ (x)), η(ζ (x)), ζ (x))· 1dξ

dz(ζ (x))

+∂F

∂z (ξ (ζ (x)), η(ζ (x)), ζ (x))·ζ ′(x)) = 0


35/120


deoarece dξ

dz(ζ (x))ζ ′(x) ≡ 1, deci ξ ′(x) = 1/ dξ

dz(ζ (x)). Deducem

F (x, ϕ(x), ζ (x)) ≡ 0, deci

F (x, ϕ(x), ϕ

′

(x)) ≡ 0şi ϕ este soluţie a ecuaţiei (1.52).

3) Sǎ indicǎm acum un procedeu care permite reducerea problemei (1.52)la găsirea soluţiei unei singure ecuaţii diferenţiale scrise ı̂n forma normalǎ.

Sǎ presupunem cǎ am gǎsit funcţiile f , g , h definite pe un domeniu D din R2

cu valori reale de clasǎ C 1, astfel ı̂ncı̂t

F (f (u, v), g(u, v), h(u, v)) ≡ 0.

Presupunı̂nd hf ′v − g′v ̸= 0, considerǎm ecuaţiadv

du =

g′u − hf ′uhf ′v − g′v

. (1.56)

Fie (u0, v0) ∈ D, α o soluţie a ecuaţiei (1.56) cu α(u0) = v0 şi presupunemcǎ

D(f, g)

D(u, v) =

f ′u, f

′v

g′u, g′v

̸ = 0ı̂n (u0, v0), deci ı̂ntr-o vecinatate a acestui punct. Funcţia β definitǎ prinβ (u) = f (u, α(u)) este inversabilă, β (u0) = f (u0, α(u0)) = f (u0, v0) = x0.Avem

β ′

(u) = f ′u(u, α(u)) + f

′v(u, α(u))α

′

(u) =

= f ′u(u, α(u)) + f ′v(u, α(u)) ·

g′u(u, α(u)) − f ′u(u, α(u))h(u, α(u)f ′v(u, α(u)) · h(u, α(u)) − g′v(u, α(u)

=

= f ′uf

′vh − f ′ug′v + f ′vg′u − f ′vf ′uh

f ′vh − g′v=

−D(f, g)D(u, v)

f ′vh − g′v̸= 0.

Deci β este intr-adevǎr inversabilǎ. Fie γ inversa funcţiei β şi fieϕ(x) = g(γ (x), α(γ (x)). Avem

ϕ′(x) = g′u(γ (x)), α(γ (x))) + g′v(γ (x), α(γ (x)))α′(γ (x))γ ′(x).Din β (γ (x)) = x rezultǎ β ′(γ (x))γ ′(x) = 1, deci

f ′u(γ (x), α(γ (x))) + f

′v(γ (x), α(γ (x))α

′(γ (x))

γ ′(x)] = 1,


36/120


γ ′(x) = 1

f ′u(γ (x), α(γ (x))) + f ′v(γ (x), α(γ (x)))α

′(γ (x)),

ϕ′(x) = g′u(γ (x), α(γ (x))) + g

′v(γ (x), α(γ (x)))α

′(γ (x))

f ′u

(γ (x), α(γ (x))) + f ′v

(γ (x), α(γ (x)))α′(γ (x)) =

=

g′u + g′v ·

g ′u − hf ′uhf ′v − g′v

f ′u + f ′v ·

g ′u − hf ′uhf ′v − g′v

= h · (f ′vg′u − f ′ug′v)

f ′vg′u − f ′ug′v

= h(γ (x), α(γ (x))).

Deducem

F (x, ϕ(x), ϕ′(x)) = F (β (γ (x)), ϕ(x), ϕ′(x)) =

F (f (γ (x), α(γ (x)), g(γ (x), α(γ (x))), h(γ (x), α(γ (x)))) ≡ 0,

ţin̂ınd seama de felul cum au fost alese funcţiile f, g şi h. Am aratat astfel

cǎ ϕ este soluţie a ecuaţiei date şi

ϕ(x0) = g(γ (x0), α(γ (x0)) = g(u0, α(u0)) = g(u0, v0)

ϕ′(x0) = h(γ (x), α(γ (x0)) = h(u0, v0).

In acest fel problema rezolvǎrii ecuaţiei (1.52), s-a redus la rezolvarea ecuaţiei(1.56) scrisă sub forma normalǎ şi la inversarea unei funcţii.

1.3 Modele matematice reprezentate prin ecuaţii diferenţiale

Un proces de modelare matematicǎ constǎ din urmǎtoarele etape mai im-portante:

(i) Formularea problemei de cercetat Se formuleaza problema in termeniidisciplinei ı̂n care ea apare. Aceastǎ etapa se realizeazǎ ı̂n interiorulacestei discipline matematice.

(ii) Construirea modelului matematic asociat problemei de cercetat. Pornindde la problema dată se realizeazǎ o cercetare interdisciplinarǎ urmǎrindgǎsirea unui model matematic ĉıt mai fidel pentru aceastǎ problemǎ.

De obicei aceastǎ etapa ajutǎ şi la finalizarea primei etape.(iii) Studiul modelului matematic . Reduĉınd problema de bazǎ la o prob-

lemǎ de matematicǎ se trece la studiul acestei probleme. De reguľaaceastǎ etapǎ se realizeazǎ ı̂n interiorul matematicii.


37/120


(iv) Interpretarea solut ̧iei problemei matematice din punctul de vedere al problemei de bazˇ a . Este vorba de o cercetare interdisciplinarǎ a cǎreicomplexitate ţine de natura problemei de bazǎ ĉıt şi de natura apara-tului matematic ce se utilizeazǎ ı̂n aceastǎ cercetare.

Vom da ı̂n continuare ĉıteva exemple de modele matematice reprezentateprin ecuaţii diferenţiale.

Dezintegrarea radioactiva.

S-a verificat fizic cǎ radioactivitatea este direct proporţionalǎ cu numǎrul deatomi din substanţa radioactivǎ. Astfel, dacǎ x(t) este cantitatea de materienedezintegratǎ la momentul t, viteza de dezintegrare x′(t) este proporţionalǎcu x(t) adicǎ

−x′

(t) = αx(t) (1.57)unde α este o constantǎ pozitivǎ depinẑınd de materialul radioactiv. Soluţiagenerală a ecuaţiei (1.57) este dată de

x(t) = x0e−α(t−t0), t ∈ R (1.58)

Drept mǎsurǎ a vitezei de dezintegrare se ia aşa numita perioadǎ de ı̂nju-mǎtǎţire, adicǎ timpul necesar pentru dezintegrarea unei jumǎtǎţi din can-titatea de substanţǎ. Din formula (1.58) rezultǎ

T = 1

α

ln 2.

Un model matematic al cresţerii populaţiei

Dacǎ p(t) este populaţia unei anumite specii la momentul t iar d(t, p) estediferenţialǎ dintre rata natalitǎţii şi cea a mortalitǎţii, atunci ı̂n ipoteza cǎpopulaţia este izolatǎ (adicǎ nu au loc emigrari sau imigrǎri ), viteza decreştere a polulaţiei p′(t) va fi egalǎ cu d(t, p). Un model simplificat decreştere a populaţiei presupune cǎ d(t, p) este proporţional cu p, cu altecuvinte, p va verifica ecuaţia diferenţialǎ

p

′

= αp, α = constant. (1.59)

Soluţia ecuaţiei (1.59) este deci

p(t) = p0eα(t−t0)


38/120


ceea ce ne conduce la legea malthusiana a creşterii populaţiei.

Un model mai realist a fost propus de biologul olandez Verhulst ı̂n 1837.In acest model se ia d(t, p) de forma αp − β p2 unde β este o constantǎpozitivǎ foarte micǎ ı̂n raport cu α. Acest model neliniar de creştere ia ı̂nconsiderare interacţiunea dintre indivizii speciei şi anume efectul inhibatoral aglomerǎrǎrii. Ecuaţia diferenţialǎ

p′ = αp − βp2

are soluţia generalǎ

p(t) = αp0

βp0 + (α − βp0) exp(−α(t − t0))−1

unde (t0, p0) reprezintǎ condiţiile iniţiale.

Modelul Lotka - Volterra

Un sistem biologic ı̂n care douǎ specii N 1 şi N 2 convieţuiesc ı̂ntr-o zonǎ limi-tatǎ astfel ı̂nĉıt indivizii speciei N 2 (rǎpitorii ) se hrǎnesc numai cu indiviziidin specia N 1 (prada) iar aceştia din urmǎ se hrǎnesc cu resursele zonei ı̂ncare trǎiesc.

Dacǎ notǎm cu N 1(t), N 2(t) numǎrul indivizilor din prima, respectiv a douaspecie la momentul t, modelul matematic al sistemului biologic de mai suseste descris de sistemul diferenţial

N ′1

= aN 1 −

bN 1

N 2

N ′2 = −cN 2 + dN 1N 2(1.60)

unde a,b, c, d ŝınt constante pozitive.

Un model matematic al epidemiilor

Vom descrie un model matematic elaborat ı̂n 1927 de Karmac şi McKendric.

Sǎ considerǎm o populaţie formatǎ din n indivizi şi o maladie ı̂n care infecţiase rǎspı̂ndeşte prin contact direct. Se presupune cǎ indivizii infectaţi vor fifie izolaţi, fie devin imuni prin vindecare. Prin urmare, populaţ ia este com-

pusǎ la un moment t din trei categorii x(t), y(t), z(t) reprezent̂ınd respectiv,indivizi neinfectaţi, indivizi infectaţi care circulǎ liberi şi indivizi izolaţi.Vom presupune cǎ viteza de infectare x ′ este proportionalǎ cu numǎrul xy,reprezent̂ınd numǎrul contactelor dintre indivizii neinfectaţi şi cei infectaţi.


39/120


De asemenea, indivizii infectaţi devin izolaţi cu o vitezǎ proporţionalǎ cunumǎrul lor.

Prin urmare, ecuaţiile care guverneazǎ procesul sı̂nt urmǎtoarele (ca de obi-

cei am notat ′

=

d

dt ).

x′ = −βxyy′ = βxy − γyx + y + z = n

Din primele douǎ ecuaţii se obţin

x′

y′ = − βx

βx − γ adicǎ

dy

dx = γ

−βx

βx = γ

β · 1

x − 1.

Prin integrare se gǎseşte soluţia

y(x) = y0 + x0 − x + γ β

ln x

x0.

Oscilatorul armonic

Sǎ considerǎm mişcarea unui punct material de masǎ m care se deplaseazǎ pedreapta orizontalǎ 0x sub acţiunea forţei elastice F ı̂ndreptatǎ cǎtre originea0. Dacǎ notǎm cu x(t) distanţa, ı̂n momentul t, de la punctul de origine,din legea a doua a lui Newton rezultǎ cǎ ecuaţia mi̧scǎrii va fi

mx′′ = F.

Pe de altǎ parte, F fiind o forţǎ elasticǎ va fi de forma F = −ω2x. Rezultǎastfel ca mişcarea punctului este descrisǎ de ecuaţia diferenţialǎ de ordinuldoi

mx′′ + ω2x = 0. (1.61)

Un model mai complex al mişcǎrii este cel ı̂n care se admite existenţa unei

forţe de frecare proporţionalǎ cu viteza, adicǎ de forma −bx′, cı̂t şi a uneiforţe exterioare f (t) aplicate masei P . Se obţine atunci ecuaţia diferenţialǎ

mx′′ + bx′ + F (x) = f.


40/120


Pendulul matematic

Sǎ considerǎm problema oscilaţiilor unui pendul. Fie s(t) = lα(t), l fiindlungimea firului, α(t) unghiul firului faţǎ de verticalǎ. P = mg, unde m este

masa punctului material, g acceleraţia gravitaţională.Forţa P se descompune ı̂n douǎ componente dintre care una este anulatǎde rezistenţa firului. Mişcarea se desfǎ̧soarǎ sub acţiunea componentelor−mg sin α. Ecuaţia diferenţialǎ a mişcǎrii este mlα′′(t) = −mg sin α(t) sau

α′′(t) + g

l sin α(t) = 0.

Consider̂ınd numai oscilaţii mici, putem lua aproximativ sin α(t) ≈ α(t) şiecuaţia devine

α′′(t) + g

lα(t) = 0.

Se verificǎ imediat cǎ orice funcţie de forma

α(t) = k sin g

l t + ϕ

este soluţie a ecuaţiei.

Probleme şi exerciţii

1. Sǎ se determine soluţia generalǎ a urmǎtoarelor ecuaţii diferenţiale cenu conţin variabila independentǎ

y′ = y2; y′ = ey, y′ = y3 + y3 + 1, y′ =

4 − y2

2. Sǎ se integeze ecuaţiile cu variabile separabile:

y′ = 1 + y2

1 + x2, 2yy ′ =

ex

ex + 1, y′ =

y

x · x

3 + 1

y2 − 1 , y′ =

x

y ·√

1 + y2√ 1 + x2

.

3) Sǎ se integreze urmǎtoarele ecuaţii diferenţiale omogene :

y′ = y

x + exp

yx

, y′ =

y2 + x2

xy , y′ =

x + y

x − y , y′ = −3x

2y + y3

2x3 .

4) Sǎ se integreze ecuaţiile diferenţiale de forma:

2x + y = (4x − y)y′, y′ = 2(y + 2)2

(x + y − 1)2 , y′ =

3x + 3y − 1x + y + 1

.


41/120


5) Sǎ se determine soluţia generalǎ a ecuaţiilor diferenţiale liniare de or-dinul ı̂nt̂ıi.

y′ = y

x−

2 = 0, 3y′(x2 − 1) − 2xy = 0, y′ + y = 2ex.

3. Sǎ se determine soluţia generalǎ a urmǎtoarelor ecuaţii şi apoi sǎ seafle curba integralǎ ce trece prin punctele indicate:

xy′ − y + x = 0, A(1, 1)

y′ + 2y

x2 − 1 = 2x + 2, A(0, −3).

7) Ecuaţia diferenţialǎ y′ + P (x)y = Q(x) admite integrale particularey1(x) = x şi y2(x) = x sin x

(i) Sǎ se construiascǎ integrala generalǎ.(ii) Sǎ se afle P (x) şi Q(x)

(iii) Sǎ se determine integrala particularǎ y(x) care ia valoarea 2πpentru x0 = π.

8) Sǎ se integreze ecuaţiile diferenţiale

xy′ + y = a4

xy2, y′ = 1 + ex+2y.

9) Sǎ se integreze ecuaţiile diferenţiale de tip Bernoulli :

y′ − yx

= 1x2y2

, y′ − 4yx

= x√ y, y ≥ 0, x ̸= 0,

y′ + xy = y2 sin x, y′ − 3xy = xy2.10) Sǎ se integreze ecuaţiile diferenţiale de tip Riccati cǎut̂ınd soluţ ii par-

ticulare de forma unui polinom de gradul ı̂nt̂ıi:

y′ = y2 − x2 + 1, 2(x − x2√ xy′ + 2√ xy2 − y − x = 0.

11) Sǎ se integreze ecuaţia diferenţialǎ

y′ − 3x2

x5 − 1 − x4

x5 − 1 y + 2xx5 − 1 y2 = 0

ştiind cǎ admite soluţii particulare de forma axm.


42/120


12) Sǎ se integreze ecuaţiile de tip Lagrange :

y = 2a

1 + y′2, x+y =

y′ + 1

y′

−1

2, y = 2xy′−(y′)2, y = x(1+y′)+(y′)2.

13) Sǎ se integreze ecuaţiile Clairaut :

xy2 − yy ′ + a = 0, y = xy ′ + 1(y′)2

, y = xy ′ − a(1 + (y′)2).

14) Sǎ se determine viteza minimǎ cu care trebuie aruncat un corp verticalı̂n sus ca el sǎ nu se intoarcǎ pe Pamint.

15) O p̂ılnie are forma unui con cu unghiul α la vı̂rf. Fie s aria secţiunii princare curge lichidul din ea, H ı̂nǎltimea lichidului la momentul t = 0.

Sǎ se determine ı̂nǎlţimea h(t) a lichidului din p̂ılnie la momentelet > 0. (Indicaţie : Se considerǎ cǎ viteza de scurgere este egalǎ cuv(t) =

√ 2gh(t) ).

16) Un rezervor conţine l litri de apǎ sǎratǎ cu concentraţia α. O conducţǎdescarcǎ ı̂n acest rezervor cu viteza de 10 litri pe minut apa saratǎ cuconcentraţia α0. Aceiaşi cantitate de lichid pe minut pǎrǎseşte printr-oalta, conductǎ rezervorul. Presupun̂ınd cǎ prin agitare se realizeazǎ ı̂nmod permanent omogenizarea conţinutului rezervorului, sǎ se gǎseascǎevoluţia ı̂n timp a concentraţiei de sare a lichidului din rezervor.

17) O substanţǎ trece din starea solidǎ ı̂n starea gazoasǎ cu viteza directproporţionalǎ cu aria expusǎ. Sǎ se studieze evoluţia razei unei bilecare la un moment dat avea raza r0.


43/120

§2. Problema Cauchy 43

2 Problema Cauchy

Vom prezenta, ı̂n cele ce urmeazǎ, unele rezultate clasice privind existenţa,unicitatea şi dependenţa de date a soluţiei problemei Cauchy pentru ecuaţii

şi sisteme de ecuaţii diferenţiale.

Considerǎm sistemul de ecuaţii diferenţiale

y′ = f (x, y) (2.1)

unde f : Ω −→ Rn, Ω ⊂ Rn. Problema lui Cauchy relativă la sistemul (2.1)constǎ ı̂n aceea cǎ se dǎ un punct (x0, y0) ∈ Ω şi se cer soluţiile ecuaţiei (2.1)ce satisfac condiţia

y(x0) = y0 (2.2)

Condiţia (2.2) poartǎ denumirea de condit ̧ie init ̧ialˇ a sau condit ̧ia lui Cauchy .

Din punct de vedere geometric, problema lui Cauchy revine la a determinacurbele integrale ale ecuaţiei (2.1) ce trec prin punctul (x0, y0).

Se observǎ cu uşurinţǎ cǎ problema Cauchy (2.1) + (2.2) este echivalentǎ cuecuaţia integralǎ Volterra

y(x) = y0 +

∫ xx0

f (s, y(s))ds. (2.3)

Intr-adevǎr, dacǎ funcţia continuǎ y verificǎ (2.3) pe un interval I , atunci eaeste evident de clasǎ C 1 pe acest interval şi verificǎ condiţia iniţialǎ (2.2).Prin derivare rezultǎ cǎ y este o soluţ ie a ecuaţiei (2.1). Reciproc, oricesoluţie a problemei Cauchy (2.1)+ (2.2) este soluţie a problemei (2.3).

2.1 Existenţa şi unicitatea locală

Vom incepe studiul problemei lui Cauchy pentru ecuaţii de ordinul ı̂ntı̂i.

Problema lui Cauchy pentru ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntı̂i

Teorema 2.1 Presupunem verificate urmˇ atoarele condit ̧ii:

1) Funct ¸ia f este continuˇ a pe mult ̧imea

D =

{(x, y)

∈ R2;

|x

−x0

| ≤ a,

|y

−y0

| ≤ b

} (2.4)

2) Funct ¸ia f este lipschitzianˇ a ca funct ̧ie de y pe mult ̧imea D, adicˇ a existˇ a o constantǎ pozitivˇ a L astfel ı̂nĉıt

|f (x, y) − f (x, z)| ≤ L|y − z|, ∀ (x, y), (x, z) ∈ D. (2.5)


44/120


Atunci existˇ a o solut ̧ie unicˇ a y = y(x) a problemei Cauchy (2.1) - (2.2)definitˇ a pe intervalul I = {x ∈ R; |x − x0| ≤ δ }, unde δ = inf(a, b/M ), iar M = sup{|f (x, y)|, (x, y) ∈ D}.

Demonstraţie. Aşa cum am vǎzut ceva mai sus, problema Cauchy (2.1)+ (2.2) este echivalentǎ pe intervalul I cu ecuaţia integralǎ Volterra (2.3).Deci pentru a demonstra teorema este suficient sǎ arǎtǎm cǎ ecuaţia (2.3)admite soluţie continuǎ pe intervalul I = [x0 − δ, x0 + δ ]. Pentru aceastavom utiliza metoda aproximaţiilor succesive, fundamentatǎ pentru problemaı̂n cauzǎ de Emile Picard (1856 - 1941 ). Considerǎm şirul {yn} definit peintervalul I dupǎ cum urmeazǎ

yn(x) = y0 +

∫ xx0

f (s, yn−1(s))ds, n = 1, 2, · · · (2.6)

unde y0(x) = y0. Este uşor de observat cǎ funcţiile yn sı̂nt continue şi avem

|yn(x) − y0| ≤ M |x − x0| ≤ M δ ≤ b, ∀ x ∈ I , n = 1, 2, · · · (2.7)Rezultǎ din cele de mai sus, cǎ şirul {yn} este bine definit.Vom demonstra cǎ acest şir converge uniform pe I la o soluţie a ecuaţiei(2.3). Din (2.6) şi (2.7) rezultǎ inegalitatea:

|y2(x) − y1(x)| = |∫ xx0

(f (s, y1(s)) − f (s, y0)))ds| ≤

≤ | ∫ x

x0|y1(s) − y0(s)|ds| ≤ LM

2 |x − x0|2.

Prin inducţie relativ la n se obţine inegalitatea

|yn(x) − yn−1(x)| ≤ M Ln−1

n! |x − x0|n ≤ M L

n−1

n! δ n (2.8)

pentru toţi n ∈ N şi x ∈ I . Vom arǎta acum cǎ şirul de funcţii {yn} convergeuniform pe I cǎtre o funcţie continuǎ y, ĉınd n → ∞. Convergenţa acestuişir este echivalentǎ cu convergenţa uniformǎ a seriei de funcţii

y0 +∞∑n=1

(yn − yn−1) (2.9)

deoarece, dupǎ cum se vede imediat, şirul sumelor parţiale ale seriei (2.9)este şirul {yn}

y0 + (y1 − y0) + (y2 − y1) + · · · + (yn − yn+1) = yn.


45/120


Seria telescopicǎ (2.9) este majoratǎ de seria numericǎ convergentǎ

M

L

∞

∑n=1(Lδ )n

n!

deci seria (2.9) este uniform convergentǎ pe I . Fie y = limn+∞ yn. Cum {yn}converge uniform pe intervalul ı̂nchis I rezultǎ cǎ y este o funcţie continuǎpe I . Din continuitatea funcţia z → f (x, z), rezultǎ evident

limn→∞

f (x, yn−1(x)) = f (x, y(x))

uniformǎ ı̂n x ∈ I , Se poate trece la limitǎ ı̂n (2.6) şi se obţine

y(x) = y0 +

∫ x1x0

f (s, y(s))ds, x ∈ I (2.10)

cu alte cuvinte, y este o soluţie a ecuaţiei (2.3), deci y este soluţie a problemei

Cauchy (2.1)+ (2.2).

Unicitatea se obţine utiliẑınd lema lui Gronwall ( Lema 1.1 ). Intr-adevǎr,prin reducere la absurd, vom presupune cǎ pe lingǎ soluţia continuǎ y,obţinutǎ ca limitǎ a şirului {yn}, mai existǎ o altǎ soluţie z ̸= y. Cu altecuvinte avem

z(x) = y0 +

∫ xx0

f (s, z(s))ds, x ∈ I . (2.11)

Scǎzı̂nd ecuaţia (2.10) şi (2.11) şi folosind condiţ ia Lipschitz se obţine

|y(x) − z(x)| ≤ L|∫ xx0

|y(s) − z(s)|ds|, x ∈ I .

Din inegalitatea lui Gronwall rezultǎ y(x) = z(x), ∀ x ∈ I . Observaţii.

1) Unicitatea soluţiei problemei Cauchy (2.1) - (2.2) poate fi demonstratǎutiliẑınd procedeul folosit pentru demonstrarea existentei. Intr-adevǎr, sǎpresupunem cǎ mai existǎ o soluţie z a problemei (2.1) - (2.2), deci

z(x) = y0 +

∫ xx0

f (s, z(s))ds.

Atunci

|yn(x)

−z(x)

| =

| ∫ x

x0

(f (s, yn−1(s))

−f (s, z(s))ds

|sau, folosind condiţia lui Lipschitz

|yn(x) − z(x)| ≤ L|∫ xx0

|yn−1(s) − z(s)|ds|


46/120


de unde prin recurenţǎ

|yn(x) − z(x)| ≤ M Ln−1 |x − x0|n

n! ≤ M L

n−1δ n−1

n!

de unde deducem cǎ limn→∞ yn(x) = z(x), deci y(x) = z(x), ∀ x ∈ I .2) In construcţia aproximaţiilor am luat pentru aproximaţia de ordin zerovaloarea iniţialǎ y0. Aceastǎ valoare poate fi ı̂nlocuitǎ cu orice funcţie ucontinuǎ pe intervalul {x ∈ I, |x − x0| ≤ δ } şi care ı̂ndeplineşte condiţia|u(x) − y0| ≤ b. Şirul aproximaţiilor se construieşte ı̂n mod asemǎnǎtor,

y1(x) = y0 +

∫ xx0

f (s, u(s))ds,

. . . . . .

yn(x) = y0 +

∫ xx0

f (s, yn−1(s))ds

şi limita şirului este tot funcţia y .Exemplu : S˘ a se g˘ aseasc˘ a solut ̧ia problemei Cauchy

y′ − y = 0, y(0) = 1 (2.12)utilizı̂nd metoda aproximat ̧iilor succesive.

Ecuaţia Volterra asociată ecuaţiei (2.12) se scrie

y(x) = 1 +

∫ x0

y(s)ds.

Construim şirul y0, y1, · · · , yn, · · · priny0(x) = 1

y1(x) = 1 +∫ x0

y0(s)ds = 1 + x

y2(x) = 1 +

∫ x0

y1(s)ds = 1 + x + x2

2!

y3(x) = 1 +

∫ x0

y2(s)ds = 1 + x + x2

2! +

x3

3!. . . . . .

yn(x) = 1 + x + x2

2! + · · · + x

n

n!

Limita acestui şir ( care converge uniform pe ı̂ntreaga axă reală ) este y (x) = ex.

Problema lui Cauchy pentru sisteme diferenţiale de ordinul ı̂ntı̂i

Considerǎm sistemul diferenţial:

y′i = f i(x, y1, . . . , yn), i = 1, . . . , n (2.13)


47/120


cu condiţiile iniţiale:

yi(x0) = y0i , i = 1, . . . , n (2.14)

unde funcţiile f 1, . . . , f n ŝınt definite pe un paralelipiped de forma:

D = {(x, y), |x − x0| ≤ a, |yi − y0i | ≤ b, i = 1, . . . , n} (2.15)din spaţiul n + 1 dimensional Rn+1.

Teorema 2.2 Presupunem c˘ a urmˇ atoarele condit ̧ii ŝınt indeplinite :

1) Funct ¸iile f i, i = 1, · · · , n ŝınt continue pe D.

2) Funct ¸iile f i, i = 1, . . . , n sı̂nt lipschitziene ı̂n y = (y1, . . . , yn) pe D,adicˇ a existˇ a L > 0 astfel ı̂nĉıt

|f i(x, y1, . . . , yn) − f i(x, z1, . . . , zn)| ≤≤ L max{|y j − z j|, 1 ≤ j ≤ n}, i = 1, . . . , n

(2.16)

pentru tot ̧i (x, y1, . . . , yn), (x, z1, . . . , zn) din D.

Atunci existˇ a o solut ̧ie unicˇ a y(x) = (y1(x), . . . , yn(x)) a problemei Cauchy (2.13) - (2.14) definitˇ a pe intervalul I = {x ∈ R; |x − x0| ≤ δ } unde

δ = inf(a, b/M ) şi M = max{|f i(x, y1, . . . , yn)| : (x, y1, . . . , yn) ∈ D}.

Demonstraţie. Teorema de mai sus rezultǎ printr-un raţionament identiccu cel folosit pentru demonstrarea Teoremei 2.1, astfel cǎ vom indica doar

etapele principale ale demonstraţiei.

Problema Cauchy (2.13) - (2.14) este echivalenťa cu sistemul de ecuaţiiintegrale:

yi(x0) = y0i +

∫ xx0

f i(s, y1(s), . . . , yn(s))ds, i = 1, · · · , n (2.17)

Pentru demonstrarea existenţei soluţiei sistemului de ecuaţii Volterra (2.17)construim şirul {y(k)}k∈N prin

yki (x) = y0i +

∫ xx0

f i(s, yk−11 (s), . . . , y

k−1n (s))ds, i = 1, . . . , n . (2.18)

Se observǎ cǎ funcţiile ŝınt bine definite şi ŝınt continue pe intervalulI = {x ∈ R; |x − x0| ≤ δ }, iar prin inducţie se gǎseşte evaluarea

max1≤i≤n

|yki (x) − yk−1i (x)| ≤ M Lk−1δ k/k!


48/120


şi apoi se demonstreazǎ cǎ şirul {yk}y=(y1,...,yn) converge uniform pe inter-valul I la y = (y1, . . . , yn). Treĉınd la limitǎ, cı̂nd k → ∞, ı̂n sistemul(2.18) rezultǎ ı̂n final cǎ y = (y1, . . . , yn) este soluţie a sistemului (2.17),deci soluţie a problemei Cauchy (2.13) - (2.14) . Unicitatea soluţiei rezultǎ

cu un raţionament analog cu cel folosit ı̂n Teorema 2.1.

At̂ıt formularea teoremei de existenţǎ şi unicitate pentru problema (2.13) -(2.14) ĉıt şi demonstrarea sa, par sǎ arate cǎ nu existǎ o diferenţǎ de fondı̂ntre ecuaţiile diferenţiale s

Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I

Documents

Transcript of Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I