Ecuaţii algebrice

download Ecuaţii algebrice

If you can't read please download the document

  • date post

    22-Jun-2015
  • Category

    Documents

  • view

    2.753
  • download

    3

Embed Size (px)

Transcript of Ecuaţii algebrice

  • 1. REZOLVAREA ECUAIILOR ALGEBRICE 1) ECUAII ALGEBRICE CUCOEFICIENI N , , , 2) ECUAII BINOME,BIPTRATE, RECIPROCE

2. ECUAII ALGEBRICE CU COEFICIENI N Forma general: n 1an x + an 1 xn+ ... + a1 x + a0 = 0,x , ai , i = 0, n Orice ecuaie algebric de gradul n cucoeficieni n corpul numerelor complexeareexact n rdcini complexe. 3. ECUAII ALGEBRICE CU COEFICIENI N Dac o ecuaie algebric cu toi coeficienii n corpul numerelor reale , admite soluia complex dar nereal = a + ib, , atunci admite i soluia conjugat = a ib, . 4. EXEMPLE ICONTRAEXEMPLE Ecuaia x 3 x 2 + x 1 = 0 soluiile ,1areiEcuaia x 2 x + 3 x 2 x + 2 = 0 4 32 aresoluiile i,1 i Ecuaia x + ix x i = 0 soluiile i, 1 32 are - Explicai! 5. APLICAIE Rezolvai ecuaia x 5 x + 10 x 10 x + 4 = 04 3 2tiind c admite soluia x1 = 1 + i 6. REZOLVARE Ecuaia are coeficieni reali, deci admite isoluia x2 = 1 i mprim ecuaia prin( )() x 1+ i x 1 i prin mprirea cu schema lui Horner sauobinuit; Obinem ecuaia de gradul II: x 3 x + 2 =2 0 Cele 4 soluii sunt: 1 + i,1 i ,1, 2 7. ECUAII ALGEBRICE CU COEFICIENI N Daco ecuaie algebric cu toi coeficienii n corpul numerelor raionale admite soluia iraional a + b c atunci admite i soluia conjugat a b c 8. EXEMPLE ICONTRAEXEMPLEEcuaia x x 3x + 3 = 0 soluiile 3,1 3 2 are Ecuaia x 2 x 5 x + 8 x + 4 =are432 0soluiile 1 2, 2 Ecuaia x 3 3 x 2 x + 3 = 0 soluiileare Ecuaia 3, 1 are soluiile32 i 33 4x3 2 = 0 - Explicai!32, 22 9. ECUAII ALGEBRICE CU COEFICIENI N p Dac = q este o soluie raional a ecuaieicu coeficieni ntregian x + an 1 x + ... + a1 x + a0 = 0, ai , i = 0, nn n 1atunci p / a0i q / anDac ecuaia admite soluii ntregi, acestea suntprintre divizorii termenului liber. 10. APLICAIE Determinai parametrul a i rezolvaiecuaia x 3 x + ax + 1 = 0tiind c are cel3 2puin o soluie ntreag. Rspuns: a = 1, x1 = 1, x2,3 = 1 i 2a = 3, x1 = 1, x2,3 = 2 5 11. REZOLVAREA ECUAIILOR BINOME Ecuaii de forma:z = a, a , a = x + iyn Se scrie numrul complex a sub form trigonometric a = r ( cos t undesin t )+i x yr = x + y , cos t = ,sin t = , t [ 0, 2 ) 22 r r Soluiile ecuaiei sunt rdcinile de ordin nale numruluicomplex a : t + 2k t + 2 k zk = r cos n + i sin, k = 0, n 1 n n 12. REZOLVAREA ECUAIILORBIPTRATE Ecuaii de forma: ax 4 + bx 2 + c = 0, x , a, b, c Generalizare: ax 2 n + bx n + c = 0, x , a, b, c Folosim substituia: x 2 = ysau x = y obinem niecuaia rezolvent ay + by + c = cu soluiile y1,2 2 0 Rezolvm ecuaiile x n = y1 i x n = y2 13. EXEMPLE ICONTRAEXEMPLE Care dintre urmtoarele ecuaii suntecuaii biptrate?2x + 5x 7 = 0424 y 3y + 2 = 0 63 x + 8x + 3 = 06 4 14. APLICAIE S se rezolve ecuaia: 4 x 13 x + 9 = 0 4 2 3 Rspuns corect: x1,2 = i x3,4 = 1 2 15. ECUAIII RECIPROCE Ecuaii de forma:n 1a x +a xn n n 1 + ... + + a1 x + a0 = 0cu an = a0 , an 1 = a1 , an 2 = a2 , ...ax + bx + cx + cx + bx + a = 05 4 32ax + bx + cx + bx + a = 043 2ax + bx + bx + a = 032 16. REZOLVAREA ECUAIILOR RECIPROCE DE GRADUL III Orice ecuaie reciproc de grad imparadmite soluia = 1; Dup mprirea prin x 1 rmne derezolvat o ecuaie de gradul II. 17. APLICAIE S se rezolve ecuaia:2 x + 3x + 3x + 2 = 0 32 Rspuns corect: 1 15x1 = 1, x2,3 = i 4 4 18. REZOLVAREA ECUAIILORRECIPROCE DE GRADUL IVEcuaia ax + bx + cx + bx + a = 0se mparte prin 4 3 2x2 i dup gruparea termenilor rezult: 2 1 1 a x + 2 + b x + + c = 0 x x1 Cu substituia x + = y se obine ecuaia rezolventxde gradul II ( ) a y 2 2 + by + c = 0 19. APLICAIE S se rezolve ecuaia:2 x + 3 x 10 x + 3x + 2 = 0 43 2 Rspuns corect:7 33x1 = x2 = 1, x3,4 = 4 20. X + 4 X 3X + 4 X + 1 = 0 4 3 2