Gheorghe Aniculesei

Ecuaii parabolice i hiperboliceNote de curs

2

Cuprins

1 Elemente de analiz funcional 71.1 Funcionale i operatori liniari pe spaii normate . . . . . . . . 91.2 Spaii Hilbert. Serii Fourier generalizate . . . . . . . . . . . . . 101.3 Integrala Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Valori proprii i vectori proprii pentru laplacean . . . . . . . . . 17

2 Probleme parabolice. Ecuaia propagrii cldurii 232.1 Propagarea cldurii ntr-o bar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Propagarea cldurii n spaiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Ecuaia difuziei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Rezolvarea ecuaiei propagrii cldurii cu metoda lui Fourier . . 292.5 Principiul de maxim pentru operatorul cldurii . . . . . . . . . 35

3 Ecuaii hiperbolice 393.1 Probleme la limit pentru ecuaii de tip hiperbolic . . . . . . . 393.2 Rezolvarea ecuaiei coardei vibrante cu metoda lui Fourier . . . 433.3 Un rezultat de unicitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4 Problema Cauchy pentru ecuaia coardei vibrante . . . . . . . . 514.5 Discuii asupra soluiei ecuaiei coardei vibrante . . . . . . . . . 54

3

4

Introducere

Prezentele note de curs cuprind o tratare elementar a ecuaiilor cu derivatepariale de tip parabolic i hiperbolic, mai exact a ecuaiei propagrii clduriii a ecuaiei coardei vibrante.

La nceput sunt expuse elementele minimale de analiz funcional necesaredezvoltrii metodei separrii variabilelor, metod ce este folosit ulterior larezolvarea ecuaiilor amintite mai sus.

Necesitatea unei asemenea prezentri rezid din faptul c studenii dinanul al doilea, care fac cunotin pentru prima dat cu ecuaiile cu derivatepariale, nu au parcurs n prealabil cursurile de analiz funcional, teoriamsurii i a spaiilor Sobolev, necesare unei dezvoltri mai complete a teorieiecuaiilor cu derivate pariale.

5

6

Capitolul 1

Elemente de analiz funcional

Spaiile normate constituie cadrul natural de prezentare a ecuaiilor cu derivatepariale.

Pentru a nlesni aceast prezentare vom face o scurt introducere n teoriaspaiilor normate, mrginindu-ne doar la noiuni i rezultate fundamentale.

Fie U un spaiu liniar real. Spunem c aplicaia kk : U ! IR denete onorm pe U dac satisface urmtoarele proprieti (sau axiome):

N1: kuk 0; 8u 2 U i kuk = 0 dac i numai dac u = 0N2: kuk = jjkuk; 8 2 IR; 8u 2 UN3: ku+ vk kuk+ kvk; 8u; v 2 U:Axioma N3 se numete inegalitatea triunghiului iar elementele lui U se mainumesc vectori.

Spaiul liniar U , dotat cu norma kk se numete spaiu normat.Spunem c aplicaia (; ) : UU ! IR denete un produs scalar pe U

dac satisface axiomele:

PS1: (u; v) = (v; u); 8u; v 2 UPS2: (u+ v;w) = (u;w) + (v; w); 8 a; 2 R; 8u; v; w 2 UPS3: (u; u) 0; 8u 2 U i (u; u) = 0 dac i numai dac u = 0.

O consecin imediat a proprietii PS3 este inegalitatea lui Cauchy-Schwartz

j(u; v)j (u; u)1=2(v; v)1=2; 8u; v 2 U:Este uor de constatat c orice spaiu liniar dotat cu un produs scalar estespaiu normat prin norma dat de

kuk = (u; u)1=2:

7

8n acest caz inegalitatea lui CauchySchwartz se mai scrie sub forma

j(u; v)j kukkvk; 8u; v 2 U:Prin intermediul normei putem introduce pe U noiunea de convergen.Spunem c irul fungn2IN este convergent dac exist un element u 2 U

astfel nctkun uk ! 0 pentru n!1:

n acest caz se mai noteaz un ! u (un converge la u) sau limn!1un = u: Spunem

c irul fung din U este ir Cauchy dac pentru orice numr real " > 0 existun numr natural N(") astfel nct

kun umk < "; 8m;n > N("):Evident c orice ir convergent este ir Cauchy, reciproca acestei armaii ne-ind n general adevrat. Dac ns n spaiul normat U orice ir Cauchyeste ir convergent, atunci spaiul U se numete spaiu Banach sau complet nraport cu norma dat.

Dac spaiul vectorial U este dotat cu un produs scalar iar fa de normaindus este complet, el se mai numete spaiu Hilbert.

Prin urmare orice spaiu Hilbert este spaiu Banach. ntr-un spaiu Hilbertse veric cu uurin identitatea

ku+ vk2 + ku vk2 = 2(kuk2 + kvk2); 8u; v 2 Ucunoscut sub numele de identitatea paralelogramului.

Mulimea B(u0; ") = fu : u 2 U; ku u0k < "g; " > 0 se numete biladeschis centrat n u0 i de raz ".

Spunem c mulimea A a spaiului normat U este deschis dac pentruorice punct a 2 A exist o bil deschis centrat n a i inclus n A. MulimeaA se numete nchis dac complementara sa este deschis. nchiderea uneimulimi se poate caracteriza i cu ajutorul irurilor.

Adugnd la A mulimea limitelor irurilor convergente din A se obine omulime nchis numit nchiderea lui A. Se mai noteaz cu A. Mulimea Aa spaiului normat U se numete relativ compact dac orice ir de elementedin A are subiruri convergente. Mulimea A se numete compact dac esterelativ compact i nchis. Spunem c mulimea A este mrginit dac existun numr real M astfel c kxk M; 8x 2 A:

Submulimea A a spaiului U se numete dens n U dac A = U:Spaiul normat U se numete separabil dac conine o submulime numra-

bil A care este dens n U .

91.1 Funcionale i operatori liniari pe spaii normate

Dac U i V sunt dou spaii normate, cu normele kkU (respectiv kkV ),spunem c aplicaia A : U ! V este operator liniar dac

A(u+ v) = Au+ Av; 8u; v 2 U; 8; 2 IR:Dac n plus exist un numr real M astfel ca

(1:1) kAukV MkukU ; 8u 2 Uspunem c operatorul liniar A este mrginit. n continuare vom folosi pentruambele norme, din U i V , aceeai notaie. n cazul n care este pericol deconfuzie vom ataa la semnul de norm un indice. Noiunea de mrginire aoperatorilor liniari este strns legat de continuitate. Mai exact, se demon-streaz faptul c un operator liniar ntre dou spaii normate este continuudac i numai dac este mrginit.

Cea mai mic constant M pentru care are loc (1.1) se numete norma luiA i se noteaz kAk. Prin urmare

kAk = supfkAuk=kuk; u 6= 0gi avem

kAuk kAkkuk:Se veric uor c aceast "norm" (numit i norm operatorial) denitpe mulimea operatorilor liniari i continui de la U n V satisface proprie-tile N1 N3: n acest fel mulimea operatorilor liniari i continui de la Un V , notat cu L(U; V ) devine un spaiu normat. Dac n plus V este unspaiu Banach atunci rezult c i L(U; V ) dotat cu norma operatorial estespaiu Banach. O clas special de operatori liniari o formeaz funciona-lele liniare care sunt aplicaii liniare denite pe spaii liniare cu valori reale.Mulimea funcionalelor liniare i continue denite pe U cu valori n IR (deciL(U; IR)) se mai noteaz cu U i se numete dualul spaiului U . O probleminteresant este cea a determinrii formei funcionalelor liniare continue pe unspaiu normat. Prezentm aici doar cazul spaiilor Hilbert.

Teorema 1.1. (Teorema lui Riesz de reprezentare) Fie H un spaiu Hilbert if o funcional liniar i continu pe H. Atunci exist un element unic u 2 Hastfel nct

f(v) = (u; v); 8 v 2 H:Mai mult, kfk = kuk:

10

1.2 Spaii Hilbert. Serii Fourier generalizate

n acest paragraf prezentm o serie de rezultate i aplicaii semnicative careutilizeaz n mod esenial produsul scalar i proprietile operatorilor liniarisau aplicaiilor liniare pe spaii Hilbert.

Am artat c noiunea de spaiu Hilbert se introduce prin intermediulprodusului scalar, fapt care permite analogii cu spaiile vectoriale nit dimensi-onaleR2; R3 etc. Exemplul tipic de spaiu Hilbert nit dimensional l constituie

IRn (n 1), cu produsul scalar (euclidian) (x; y) =nXi=1

xiyi; pentru orice x =

(x1; x2; :::; xn); y = (y1; y2; :::; yn). Generalizarea direct, innit dimensional,o constituie spaiul `2 al irurilor x = (xn)n2IN de numere reale astfel nctseria

Xn1

jxnj2 s e convergent.

Dou iruri x=(xn)n2IN ; y=(yn)n2IN sunt egale dac xn=yn; 8n2 IN: Sedenesc suma x+ y = (xn+ yn)n2IN i produsul x = (xn)n2IN unde este

un scalar. Din inegalitatea jxnynj 12(jxnj2+ jynj2); rezult c dac x; y 2 `2,

atunci seriaXn1

xnyn este absolut convergent (deci i convergent); n plus,

rezult c x+ y 2 `2: Este clar c `2 este spaiu vectorial peste IR i, denind(x; y) =

Xn1

xnyn; se obine un produs scalar. Se arat c fa de norma indus

de acest produs scalar, `2 este spaiu complet, prin urmare este spaiu Hilbert.Alt exemplu important este cel al funciilor de ptrat sumabil pe domeniul

(=domeniu mrginit, deschis din Rn), notat L2():

Dou elemente u; v din H se numesc ortogonale dac (u; v) = 0. Ortogo-nalitatea acestor elemente se mai noteaz cu u ? v i are o semnicaie clarn cazul spaiilor IR2 i IR3.

Dac u1; u2; :::; un sunt ortogonale dou cte dou, atunci are loc egalitatea

ku1 + u2 + + unk2 = ku1k2 + ku2k2 + + kunk2

cunoscut i sub numele de teorema lui Pitagora.Dac M i N sunt dou submulimi nevide ale lui H, spunem c M ? N

(M este ortogonal cu N) dac i numai dac u ? v, 8u 2M; 8 v 2 N:Se demonstreaz uor

Propoziia 2.1. Dac M este o mulime nevid i M este nchiderea sa,atunci

u 2M i u ?M =) u = 0:

11

Consecin. Dac o mulime M din H este dens n H i u ? M , atunciu = 0:

Teorema 2.1. Dac M este o mulime convex i nchis din spaiul HilbertH, atunci exist n M un element de cea mai mic norm. Cu alte cuvinteexist x0 2 A astfel nct

d = inffkxk : x 2Mg = kx0k:

Demonstraie. (schi) Fie xn 2 M , astfel nct kxnk ! d: Deoarece Meste convex rezult 1=2(xn + xm) 2 M i din identitatea paralelogramuluirezult c fxng este ir Cauchy, deci convergent, a crui limit va elementulcutat.

Teorema 2.2. (Teorema de proiecie) Dac H0 este un subspaiu vectorialnchis din spaiul Hilbert H, atunci pentru orice element u 2 H, exist celpuin un element u0 2 H0 astfel nct ku u0k ku pk; 8 p 2 H0:

Elementul u0 este unic i satisface condiia u u0 2 H?0 (ortogonalul luiH0 format din elementele lui H ortogonale pe H0). El se mai numete proiecialui u pe H0.

Trecem n continuare la prezentarea seriilor Fourier n spaii Hilbert. Dacfe1; e2; :::; eng este baza canonic a spaiului IRn, nzestrat cu produsul scalareuclidian, atunci (ei; ej) = ij ; unde ij =

(1; i = j

0; i 6= j , 1 i; j n: Aadar

ei ? ej ; pentru i 6= j i pentru 8x 2 IRn; x = (x1; x2; :::; xn) avem x =nX

k=1

xkek

unde xk = (x; ek), 1 k n: Aceste rezultate pot generalizate la spaiiHilbert.

Deniia 2.1. Fie H un spaiu Hilbert xat. Se numete baz ortonormatn H (sau sistem ortonormat total sau complet) orice ir B = fe1; e2; :::; en; :::gde vectori din H astfel nct (ei; ej) = ij ; 8 i; j 1, iar spaiul liniar generatde B este dens n H.

Exemple.

1. Baza canonic a lui IRn este ortonormat.

12

2. n `2 elementele e1 = (1; 0; 0; :::); e2 = (0; 1; 0; :::); e3 = (0; 0; 1; :::) etc.formeaz o baz ortonormat.

Deniia 2.2. Fie H un spaiu Hilbert real (sau complex) avnd o bazortonormat B = (en)n2IN i u 2 H un element oarecare. Se numesc coecieniFourier generalizai ai lui u relativ la baza B, numerele reale (sau complexe)

cn = (u; en); n 2 IN:

SeriaXn1

cnen se numete seria Fourier generalizat a lui u relativ la B.

Teorema 2.3. Fie B = (en)n2IN o baz ortonormat din spaiul Hilbert H.Pentru orice u 2 H; seria sa Fourier generalizat relativ la B este convergentn H i are suma egal cu u. n plus, seria numeric

Xn1

jcnj2, unde ck = (u; ek)

sunt coecienii Fourier ai lui u relativ la B; este convergent, cu suma egalcu kuk2:

Demonstraie. Avem de demonstrat cXn1

cnen = u iXn1

jcnj2 = kuk2; maiexact

limn!1

unX

k=1

ckek

= 0 i limn!1 kuk2

nXk=1

jckj2!

= 0:

Fie un =nX

k=1

ckek, n 1, unde ck = (u; ek) sunt coecienii Fourier ai lui urelativ la B.

Pentru orice k, 1 k n, avem

(un; ek) =

nXp=1

cp(ep; ek) =

nXp=1

cppk = ck = (u; ek);

adic (un u; ek) = 0:Pentru orice n 2 IN xat, notm cu Hn subspaiul vectorial al lui H

generat de vectorii e1; e2; :::; en: Rezult c un u 2 H?n ; 8n 2 IN: Fiind unspaiu nit dimensional, Hn este mulime nchis n H i, conform teoremeiproieciei, rezult c un este proiecia lui u peHn: (Deoarece, conform teoremeilui Pitagora, ku unk2+kun vk2 = ku vk2; 8 v 2 Hn, rezult ku unk ku vk:)

13

Fie acum " > 0 arbitrar xat. ntruct spaiul liniar generat de B estedens n H exist un element v 2 H, combinaie liniar nit de elemente dinB, astfel nct ku vk < ": Aadar, exist un numr natural N(") astfel n-ct v 2 Hn; 8n N(") i, conform teoremei proieciei, ku unk ku vk,deci ku unk < "; 8n N("): De aici rezult c un !

n!1u n H i deci1Xk=1

ckek = u:

Pe de alt parte, avem

kunk2 = (un; un) =

nXk=1

ckek;nX

k=1

ckek

!=

nXk=1

jckj2; 8n 1:

innd cont c un ! u =) kunk ! kuk i fcnd n ! 1 n relaia de maisus, obinem

1Xk=1

jckj2 = kuk2

adic exact ceea ce trebuia demonstrat.

Observaii.

1. Relaia1Xn=1

j(u; un)j2 = kuk2 este cunoscut sub numele de egalitatea luiParseval.

2. Din relaia de mai sus rezult limn!1(u; un) = 0 i

nXk=1

j(u; uk)j2 kuk2; 8n 1

relaie cunoscut sub numele de inegalitatea lui Bessel.

3. Dac baza B este xat i u 2 H, atunci dezvoltarea Fourier a lui u esteunic.

n adevr, dac u =1Xn=1

cnen i u =1Xn=1

dnen, notnd vn =nX

k=1

dkek; rezult

(vn; ek) = dk; 8 k n: Fcnd n!1; deoarece vn ! u, rezult (u; ek) = dk;deci ck = dk; 8 k 1:

14

Din Teorema 2.3 se vede c pentru orice u 2 H i 8n 1, dintre toatecombinaiile liniare

nXk=1

ckek, cea mai apropiat de u este cea pentru care ck =

(u; ek); deci cea pentru care coecienii ck sunt coecienii Fourier ai lui urelativ la B.

Rezultatul care urmeaz arat c spaiul `2 este prototipul spaiilor Hilbertcu baz ortonormal.

Teorema 2.4. Fie H un spaiu Hilbert real sau complex avnd o baz ortonor-mat B i aplicaia : H ! `2 dat prin

(u) = fc1; c2; :::; cn; :::g;

unde cu fcigi1 am notat coecienii Fourier ai lui u relativ la B. Aplicaia este un izomorsm liniar i conserv produsele scalare.

Demonstraie. irul (cn)n1 este din `2 deoarece1Xn=1

jcnj2 = kuk2 < 1.Injectivitatea lui rezult din unicitatea dezvoltrii n serie Fourier generali-

zat. Pentru surjectivitate e = (cn)n1 2 `2 i un =nX

k=1

ckek; deoarece irul

(un)n1 este Cauchy deci convergent, e un !n!1u:

Dar (un; ek) = ck, 1 k n, de unde rezult pentru n!1 (u; ek) = ck;k 1, adic (u) = :

Liniaritatea lui este evident. Apoi pentru u; v 2 H avem (u; v) =((u); (v)); fapt care arat c pstreaz produsul scalar.

Exemplu. Cel mai important exemplu este dat de spaiul Hilbert real

L2([; ]) dotat cu produsul scalar (f; g) =Z f(x)g(x)dx:

irul

e1 =1p2

, e2 =1pcosx; e3 =

1psinx; e4 =

1pcos 2x; :::

constituie o baz ortonormat n H.n adevr, (ei; ej) = ij , 8 i; j 1: Apoi faptul c subspaiul generat de

fengn1 este dens n H este un rezultat cunoscut de analiz matematic.

15

Fie acum o funcie u : [; ] ! IR din H = L2([; ]): CoecieniiFourier ai lui u relativ la baza ortonormat B = fengn1 sunt

c1 = (u; e1) =

Z u(x)

1p2

dx =

r

2a0;

c2 = (u; e2) =

Z u(x)

1p2

cosx dx = a1p;

c3 = (u; e3) =

Z u(x)

1p2

sinx dx = b1p;

...c2n = an

p;

c2n+1 = bnp;

...

unde an =1

Z u(x) cosnx dx; bn =

1

Z u(x) sinnx dx; n 0 sunt coe-

cienii Fourier clasici ai lui u.Aadar exist o strns legtur ntre coecienii Fourier clasici i cei ge-

neralizai.

1.3 Integrala Lebesgue

O generalizare imediat a integralei Riemann o constituie integrala Lebesgue.Aceasta permite introducerea spaiilor Sobolev necesare (mai ales) n abordareavariaional a ecuaiilor cu derivate pariale. n cele ce urmeaz vom face ofoarte scurt prezentare a integralei Lebesgue i a spaiilor Lp: Pentru a nulungi expunerea, rezultatele pe care le prezentm nu conin demonstraii.

Spunem c mulimea de numere reale E este de msur nul dac pen-tru orice " > 0 exist un ir nit sau innit de intervale (ak; bk) astfel nctE [(ak; bk) iar (bk ak) < ":

Fie acum (a; b) un interval nit sau innit al axei reale. Prin funcie scardenit pe (a; b) nelegem o funcie s ce are ca valori numerele reale c1; c2; :::; cnpe intervalele (a =)x0 < x < x1; x1 < x < x2; :::; xn1 < x < xn(= b)

respectiv, iar prin "integrala"Z bas(x)dx nelegem suma

nXi=1

ck(xk xk1):

(n cazul n care a = 1 sau b =1 constantele c1, respectiv cn se iau zero).Dac fsn()gn2IN este un ir cresctor de funciiscar (adic sn(x) sn+1(x),pentru orice x i 8n 2 IN) atunci irul integralelor formeaz un ir cresctorde numere reale care converge ctre o limit nit sau tinde la +1:

16

Spunem c funcia (cu valori pozitive) f() este msurabil dac exist unir cresctor sn() de funcii scar care converge aproape peste tot la funciaf() pe intervalul specicat. (Prin convergen aproape peste tot nelegemconvergena pe tot intervalul exceptnd eventual o mulime de msur nul.)De altfel, vom spune c o relaie are loc aproape peste tot, pe scurt a.p.t., dacare loc cu excepia unei mulimi de msur nul. Se arat c limita iruluiZ b

asn(x)dx

n2IN

nu depinde de irul de funcii scar folosit la aproximarea

funciei f , prin urmare aceast limit este o proprietate a acesteia. Dac limita

este nit spunem c funcia f este integrabil Lebesgue iarZ baf(x)dx este

denit ca ind limita integralelor irului de funcii scar. n particular, dacintervalul (a; b) este nit, orice funcie msurabil i mrginit este integrabil

deoarece termenii iruluiZ basn(x)dx sunt majorai de (ba) sup f . Dac func-

ia f are att valori pozitive ct i negative putem scrie f ca ind diferena a

dou funcii cu valori pozitive i anume: f = f+ f, unde f+ = 12(jf j+ f) i

f =1

2(jf jf): Spunem c f este integrabil dac f+ i f sunt integrabile iZ b

af(x)dx este denit ca ind diferena

Z baf+(x)dx

Z baf(x)dx: Toate pro-

prietile referitoare la integrala Riemann sunt valabile i n cazul integraleiLebesgue. Orice funcie care are modulul integrabil n sens Riemann (absolut

integrabil) este integrabil i n sens Lebesgue iZ baf(x)dx au aceeai valoare

n ambele cazuri.Noiunea de funcie msurabil (respectiv integrabil) denit pe o muli-

me deschis din IRn (n 1) i cu valori n IR se introduce n mod asemntor.Notm cu Lp(), p 2 IN, spaiul funciilor cu valori reale denite pe mul-

imea , msurabile i pentru careZ

jf(x)jpdx

17

x 2 : Notm

kfkL1() = InffC; jf(x)j C a.p.t. x 2 g:

Se arat c kkL1 este o norm pe L1() care determin pe acesta structurde spaiu Banach.

Fie 1 p 1; notm cu q conjugatul lui p adic 1p+

1

q= 1:

Teorema 3.1. (Inegalitatea lui Hlder) Fie f 2 Lp() i g 2 Lq(), p i qind numere conjugate. Atunci f g 2 L1() iZ

jf(x)g(x)jdx kfkLp()kgkLq():

1.4 Valori proprii i vectori proprii pentru laplacean

Dup cum am vzut deja, problemele la limit pentru ecuaia lui Laplace pot atacate cu metoda separrii variabilelor metod ce poate extins i laecuaiile de evoluie (parabolice i hiperbolice) liniare. Aceast metod faceuz de valorile i vectorii proprii ale operatorului diferenial ce apare n ecuaie,motiv pentru care facem o scurt prezentare a acestor noiuni.

Dac H este un spaiu Hilbert real i A 2 L(H), numrul 2 R se numetevaloare proprie (sau autovaloare) pentru operatorul A dac exist un elementu 6= 0 din H care veric ecuaia

(4.1) Au = u:

Elementul u (care nu este numaidect unic) se numete vector propriu cores-punztor lui .

n cazul n care H este un spaiu de funcii, vectorii proprii se mai numescfuncii proprii (sau autofuncii).

Interesul nostru se restrnge la valorile proprii i vectorii proprii cores-punztori operatorului n cazul unor domenii paralelipipedice din Rn cucondiii la limit (de tip Dirichlet sau Neumann) nule. Rezultatele stabiliteaici vor utile la rezolvarea problemelor mixte pentru ecuaii parabolice ihiperbolice.

Cazul = (0; l).

18

n acest caz, problema de valori proprii pentru operatorul cu condiiiDirichlet nule n capete are forma

(4.2)

(u00 = u n (0; l)u(0) = u(l) = 0:

Soluia general a ecuaiei (2) este

(4.3) u(x) =

8>:e

px + epx; dac < 0

x+ ; dac = 0 cos

px+ sin

px; dac > 0;

unde i sunt constante reale.Impunnd condiiile la limit (4:2)2 pentru soluia (4.3), gsim c singura

soluie nebanal pentru problema (4.2) are forma

uk(x) = ck sink

lx; k 2 N

unde ck (k 2 N) este o constant real nenul.Aceast soluie este obinut pentru valori ale lui de forma k = (kl )

2,k 2 N. Aceste valori se numesc valori proprii pentru operatorul (u =u00) pe segmentul (0; l), iar funciile sin kl x sunt vectorii proprii corespunz-tori.

Remarcm faptul c valorile proprii k = (kl )2 i vectorii proprii sin kl x

au proprietile:

0 < 1 2 : : : k : : :!1; pentru k !1;

fsin klxjk 2 Ng este o baz ortogonal n L2(0; l)

(spunem c dou funcii u() i v() sunt ortogonale n L2(0; l), dac R l0 u(x)v(x)dx =0), care devine baz ortonormat dac lum f

q2l sin

kl xjk 2 Ng: n aceeai

manier se rezolv i problema de valori i vectori proprii pentru pe seg-mentul (0; l) cu condiii de tip Neumann nule n capete.

Mai exact, problema de valori proprii

(4.4)

(u00 = u; n (0; l)u0(0) = u0(l) = 0;

are pentru k = (kl )2, k 2 N vectorii proprii uk(x) = cos kl x, k 2 N.

19

S observm c, la fel ca n cazul problemei (4.2) avem 0 < 1 2 : : : k : : :!1 pentru k !1 i fcos kl xjk 2 Ng este o baz ortogonaln L2(0; l).

Observm c att problema (4.2) ct i problema (4.4) se pot scrie subforma (4.1), adic

Au = u;

cu Au = u00, A avnd n cazul problemei (4.2) domeniul de deniieD(A) = fu 2 C2(0; l) \ C([0; l]);u(0) = u(l) = 0g;

iar n cazul problemei (4.4)

D(A) = fu 2 C2(0; l) \ C1([0; l]);u0(0) = u0(l) = 0g:Dac operatorul A este considerat n L2(0; l), ceea ce va cazul dac

utilizm proprietatea de baz ortonormat a vectorilor proprii corespunztoriproblemelor (4.2) i (4.4), atunci n deniia lui D(A) trebuie adugat u00 2L2(0; l).

Cazul = (0; a) (0; b), a; b > 0.Cutm u 2 C2() \ C() soluia problemei ( 2 R)

(4.5)

8

20

i

(4.9) Y 00 = ( )Y:

Funcia (4.6) veric condiia la limit (4.5)2 dac i numai dac

X(0) = X(a) = 0;(4.10)Y (0) = Y (b) = 0:(4.11)

Ori, din problema (4.2), deducem c problema (4.8)+(4.10) are pentru

k =

k

a

2soluiile

Xk(x) = sink

ax; k 2 N:

n acelai fel pentru problema (4.9)+(4.11) gsim c 2 f( jb )2; j 2Ng, iar soluiile sunt

Yj(y) = sinj

by; j 2 N:

Cumulnd aceste rezultate rezult c problema (4.5) are pentru

kj =

k

a

2+

j

b

2; k; j 2 N;

soluiile

(4.12) ukj(x; y) = sink

ax sin

j

by; k; j 2 N:

Prin metoda lui Fourier se poate rezolva i problema de autovalori pentru cu condiii Neumann nule pe frontiera lui , adic

(4.13)

(u = u; n

@u@ = 0; pe @;

sau 8>:(uxx + uyy) = u; n

ux(0; y) = ux(a; y) = uy(x; 0) = uy(x; b) = 0;

pentru (x; y) 2 @:

21

Problema (4.13) are soluii nebanale pentru

kj =

k

a

2+

j

b

2; k; j 2 N

date de

(4.14) ukj(x; y) = cosk

ax cos

j

by; k; j 2 N:

Att soluiile (4.12) ct i (4.14) formeaz sisteme ortogonale n L2((0; a)(0; b)).

22

Capitolul 2

Probleme parabolice. Ecuaia propagrii cldurii

Modelul standard ce ilustreaz problemele parabolice este cel dat de ecuaiapropagrii cldurii. Pentru realizarea acestui model vom analiza mai multesituaii i anume: propagarea cldurii ntr-o bar, propagarea cldurii n spaiu,ecuaia difuziei.

2.1 Propagarea cldurii ntr-o bar

Pentru xarea ideilor s presupunem c este vorba de propagarea cldurii de-alungul unei bare omogene de lungime `, sucient de subire pentru a asimilatcu un segment de pe axa Ox, a sistemului de coordonate xOu i izolat termicpe feele laterale.

Fie u(x; t) funcia care msoar temperatura n bar la momentul t, npunctul de abscis x. Avnd n vedere faptul c suprafaa lateral a barei esteizolat termic, schimbul de cldur ntre bar i mediul nconjurtor se faceprin cele dou capete ale barei.

Dac extremitile barei se menin la temperaturi constante u1 i u2, atunci,de-a lungul barei, temperatura are o distribuie liniar

u(x) = u1 +u2 u1

`x; 0 x `:

Conform legii lui Fourier difuzia cldurii de-a lungul barei se face de la parteamai cald ctre cea mai rece.

Cantitatea de cldur care trece printr-o seciune transversal de arie S abarei este dat de formula exprimental

Q = k@u@x

S;

unde k este coecientul de conductibilitate termic.

23

24

Presupunnd acum c bara este neomogen (deci k depinde de x) iar Seste de msur 1, cantitatea de cldur Q ce trece prin seciunea x a barein intervalul de timp (t; t+t) este

Q = k(x)@u@x

t:

S considerm poriunea M1M2 din bar, delimitat de abscisele x1 i x2.Conform legii lui Fourier, cantitatea de cldur care intr n poriunea M1M2prin captul x1 este

q(x1; t) = k(x) @u@x

x=x1

;

iar prin captul x2;

q(x2; t) = k(x)@u

@x

x=x2

:

Cantitatea de cldur Q ce trece prin segmentul de barM1M2 n intervalulde timp (t1; t2) este:

Q = Z t2t1

(k(x)

@u

@x

x=x2

k(x)

@u

@x

x=x1

)dt;

relaie care (utiliznd formula de medie) conduce la

Q = @@x

k(x)

@u

@x

x=t=

(x2 x1)(t2 t1)

unde 2 (x1; x2); = (t1; t2):Pe de alt parte, n virtutea aceleiai legi a lui Fourier, cantitatea de cldur

Q necesar pentru a ridica cu u temperatura segmentului de bar x esteegal cu

Q = cux;

unde c este cldura specic iar (x) este masa specic a segmentului x:n cazul segmentului de bar M1M2, cantitatea de cldur Q necesar

pentru ca n intervalul de timp (t1; t2) s-i ridice temperatura cu:

u = u(x; t2) u(x; t1)

are expresia

Q =Z x2x1

c(x) [u(x; t2) u(x; t1)] dx

25

de unde prin aplicarea consecutiv a formulelor de medie (n raport cu t i x)obinem

Q =c(x)

@u

@t

x=1t=1

(t2 t1)(x2 x1)

unde 1 2 (x1; x2); 1 2 (t1; t2):n ne, dac notm cu f(x; t) densitatea surselor generatoare de cldur

din bar (de exemplu cldur degajat n urma trecerii unui curent electric),cantitatea de cldur transmis de aceste surse n intervalul de timp (t1; t2)este eQ =Z t2

t1

Z x2x1

F (x; t)dx dt

sau eQ = [F (x; t)]x=2t=c2

(t2 t1)(x2 x1):

Aplicnd legea conservrii energiei obinem

eQ = Q+Q;care, dup nlocuiri i simplicri conduce la:

@@x

k(x)

@u

@x

x=t=

+

c(x)

@u

@x

x=1t=1

= [F (t; x)]x=x2t=2

:

Raionamentul pe care l-am fcut pn n prezent se refer la intervalele(x1; x2) i (t1; t2) arbitrare.

Trecnd la limit cu x1; x2 ! x i t1; t2 ! t; obinem ecuaia

@@x

k(x)

@u

@x

+ c(x)

@u

@t= F (x; t);

numit ecuaia propagrii cldurii.Dac bara este omogen, atunci k i pot considerai constani i notnd

a2 =k

c; f(x; t) =

F (x; t)

c

ecuaia propagrii cldurii se scrie sub forma

ut a2uxx = f(x; t):

26

2.2 Propagarea cldurii n spaiu

Propagarea cldurii n spaiu este msurat prin intermediul temperaturiiu(x; y; z; t), care este o funcie ce depinde de timpul t i poziia (x; y; z) apunctului din spaiu. Dac temperatura nu este constant, apar uxuri decldur dinspre zonele cu temperatur mai nalt ctre cele cu temperaturmai joas.

Cantitatea de cldur Q care trece prin elementul de suprafa ceconine punctulM(x; y; z) n intervalul de timp (t; t+t) este dat de formula

Q = k(M)@u@n

t;

unde k este coecientul de conductibilitate termic a corpului, iar n este nor-mala la elementul de suprafa orientat n direcia uxului de cldur.

De aici rezult c n intervalul (t1; t2) prin suprafaa trece cantitatea decldur

Q = Z t2t1

24Z Z

k(M)@u

@nd

35 dt = (t2 t1)24Z Z

k(M)@u

@nd

35t=

Cu ajutorul formulei lui GaussOstrogradski ultima integral devineZ Z

k(M)@u

@nd =

=

Z Z

k

@u

@xcos(n; x) +

@u

@ycos(n; y) +

@u

@zcos(n; z)

d =

=

Z Z ZV

@

@x

k@u

@x

+

@

@y

k@u

@y

+

@

@z

k@u

@z

dV =

=

Z Z ZV

div[k(M)gradu]dV;

prin urmare

Q = (t2 t1)Z Z Z

V

div [k(M)gradu]dV jt= ; 2 (t1; t2):

27

La fel ca n cazul barei

Q =Z Z Z

V

c(M)[u(x; y; z; t2) u(x; y; z; t1)]dV =

= (t2 t1)24Z Z Z

V

c(x; y; z)@u

@tdV

35t=1

; 1 2 (t1; t2)

n timp ce cantitatea de cldur produs de surse din interiorul corpului este

eQ =Z t2t1

24Z Z ZV

f(x; y; z; t)dV

35 dt = (t2 t1)24Z Z Z

V

f(x; y; z; t)dV

35t=2

;

2 2 (t1; t2):

Avnd n vedere c volumul V este arbitrar, la fel ca n cazul barei, prinsimplicri i treceri la limit obinem:

(2:1) c(x; y; z)@u

@t div[k(x; y; z)gradu] = f(x; y; z; t):

Dac i k sunt constante (deci corpul este omogen) cu notaiile deja meniona-te ecuaia (1.1) capt forma

(2:2)@u

@t a2u = f(x; y; z; t)

unde este operatorul lui Laplace.

Cazuri particulare. Dac distribuia temperaturii n corp nu depinde detimp (cazul staionar) ecuaia (1.2) capt forma

u = f(x; y; z)

numit i ecuaia lui Poisson.Dac n plus lipsesc i sursele interioare de cldur se obine ecuaia

u = 0

numit i ecuaia lui Laplace.

28

2.3 Ecuaia difuziei

Difuzia este un proces de egalizare a concentraiilor sau de amestecare spontan(pentru corpuri n stare gazoas sau lichid). Dac analizm un tub umplut cuun gaz, atunci constatm c are loc difuzia acestuia din zonele cu concentraiemai mare n zonele cu concentraie mai mic.

Fenomenul este asemntor i n cazul unei soluii, dac concentraia sub-stanei dizolvate nu este constant n tot volumul. Analiznd fenomenul di-fuziei unui gaz ntr-un tub, s notm cu u(x; t) concentraia n seciunea x ila momentul t.

Din legea lui Nernst, cantitatea de gaz care trece prin seciunea x n inter-valul de timp (t; t+ dt) este

dQ = D@u@x

(x; t)S dt;

unde D este coecientul de difuzie sau difuzivitatea substanei, iar S este ariaseciunii tubului.

Dar variaia masei gazului pe poriunea (x1; x2) a tubului, datorit variaieidu a concentraiei, este

dQ =

Z x2x1

c duS dx;

unde c este coecientul de porozitate, egal cu raportul dintre volumul porilori volumul total (n cazul nostru S dx): Procednd ca n cazurile anteriore,ecuaia bilanului de mas de gaz n poriunea (x1; x2) i intervalul de timp(t1; t2) conduce la

@

@x

D@u

@x

= c

@u

@t,

numit i ecuaia difuziei.Dac coecientul de difuzie este constant, aceasta devine

ut = a2uxx

unde a2 = D=c:

Probleme la limit pentru ecuaia propagrii cldurii

Pentru a determina legea de propagare a cldurii ntr-un corp limitat de osuprafa S, trebuie s adugm la ecuaie condiii iniiale i la limit. Condiiainiial presupune cunoaterea temperaturii u(x; t) la momentul iniial t0.

n ce privete condiiile la limit acestea pot diferite n funcie de regimulde temperatur de la frontier.

29

Se consider trei tipuri fundamentale de condiii la limit

Se d distribuia de temperatur u(x; t) la suprafaa corpului:

u(x; t) = '(x; t); x 2 S; t t0

Se d expresia uxului de cldur ce trece n ecare moment prin suprafaace limiteaz corpul

@u

@(x; t) = (x; t); x 2 S; t t0

n ne, ultima condiie la limit este o combinaie a primelor dou

@u

@(x; t) + u(x; t) = (x; t); x 2 S; t t0; ; 2 IR+:

Evident c funciile '; ; sunt presupuse cunoscute.

2.4 Rezolvarea ecuaiei propagrii cldurii cu metoda lui Fourier

Fie IRn o mulime deschis i mrginit cu frontiera @, iar T > 0 xat.Facem notaiile: QT = (0; T ) i T = @(0; T ). In acest cadru

considerm problema la limit

(P )

8>>>:@u

@t a2u = f n QT

u(x; 0) = u0(x) n

u = 0 pe T ;

unde f : QT ! IR i u0 : ! IR sunt funcii date.Introducem spaiul de funcii

C2;1(QT ) =

u;

@u

@xi2 C(QT );

@2u

@xi@xj2 C(QT ); @u

@t2 C((0; T ])

:

Funcia u(; ) : QT ! IR se numete soluie clasic pentru problema (P ) dacu 2 C2;1(QT ) i u satisface ecuaia (P)1 pe QT i condiiile: iniial (P)2 i lalimit (P)3. Pstrm aceeai terminologie de soluie clasic i n cazul cnd nereferim doar la soluia ecuaiei (P)1.

ntruct demonstrarea existenei soluiei clasice pentru problema mixt(P) este dicil, vom cuta soluia acesteia sub forma unei serii Fourier fa

30

de un sistem ortogonal de vectori proprii asociai operatorului lui Laplace ivom arta c n anumite condiii asupra datelor problemei, aceast soluie esteclasic.

Vom ilustra metoda, cunoscut i sub numele de metoda separrii vari-abilelor pe cazul 1-dimensional (deci = (0; l)), cazul n-dimensional ind ogeneralizare reasc a acestuia.

Pentru n = 1 problema neomogen (P) are forma:8>:ut = a

2uxx + f(x; t); x 2 (0; l); t > 0u(x; 0) = u0(x); x 2 [0; l]u(0; t) = u(l; t) = 0; t > 0:

Soluii formale n cazul ecuaiei omogene

Considerm problema mixt

(4.1)

8>:ut = a

2uxx; x 2 (0; l); t > 0u(x; 0) = u0(x); x 2 [0; l]u(0; t) = u(l; t) = 0; t > 0:

Cutnd pentru

()(ut = a

2uxx; x 2 (0; l); t > 0u(0; t) = u(l; t) = 0; t > 0

soluii de forma

(4.2) u(x; t) = T (t)X(x)

ajungem la relaiile:

T 0 + a2T = 0(4.3)X 00 = X(4.4)

X(0) = X(l) = 0:(4.5)

ntr-adevr, dac (4.2) este soluie pentru ut = a2uxx, atunci

T 0(t)X(x) = a2T (t)X 00(x);

adic

(4.6)T 0(t)a2T (t)

=X 00(x)X(x)

:

31

ntruct membrul stng al egalitii (4.6) este constant n raport cu x, iarmembrul drept este constant n raport cu t, din aceast identitate n (x; t)deducem c ambii membri sunt egali cu o constant pe care o notm cu :

n acest fel am obinut (4.3) i (4.4) n timp ce (4.5) rezult punnd condiiaca funcia dat de (4.2) s se anuleze la capetele intervalului (0; l).

Dar, rezolvarea problemei (4.4)-(4.5) revine la determinarea valorilor ivectorilor proprii pentru n cazul = (0; l).

Aa cum am vzut deja aceasta conduce la:

X(x) =

8>:e

px + lpx; dac < 0

x+ ; dac = 0 cos

px+ sin

px; dac > 0;

i ind constante reale.Constantele i se determin impunnd lui X() s verice condiia (4.5)

fr a identic nul, obinndu-se faptul c pentru > 0 exist o funcie detipul X(x) = cos

px+ sin

px care satisface (4.5) numai pentru valorile

(4.7) k =k

l

2; k 2 N:

Pentru aceste valori ale constantei , ecuaia (4.4) are soluiile

(4.8) Xk(x) = sink

lx:

Observm c funciile (4.8) sunt vectorii proprii ai operatorului A : L2(0; l)!L2(0; l) dat prin AX = X 00 i cu domeniul

D(A) = fX 2 C2(0; l) \ C([0; l]) : X(0) = X(l) = 0; X 00 2 L2(0; l)g:

Sistemul de vectori proprii ai operatorului A, este ortogonal i complet nL2(0; l), iar valorile proprii (4.7) au proprietatea

0 < 1 2 : : : n : : :!1; pentru n!1:

Rezolvnd acum (4.3) pentru ( = k) din (4.7) se gsete soluia general

(4.9) Tk(t) = Cke(akl)2t

ceea ce implic

uk(x; t) = Cke(ak

l)2t sin

k

lx:

32

Acum deoarece problema (*) este liniar, conform principiului superpoziieirezult c orice sum nit de soluii ale problemei este, de asemenea, soluie.

Formal, acceptm c i suma unei serii ai crei termeni sunt soluii pentruaceast problem este de asemenea soluie.

Notm cu u(; ) suma unei astfel de serii, adic

(4.10) u(x; t) =1Xk=1

Cke(ak

l)2t sin

k

lx;

unde constantele Ck se determin impunnd condiia ca funcia denit prinegalitatea (4.10) s verice i condiia iniial (4.1)2, adic

(4.11)1Xk=1

Ck sink

lx = u0(x):

Deoarece fsin kl xgk2N este o baz ortogonal n L2(0; l) (acesta este unrezultat de analiz matematic!), funcia u0 admite dezvoltarea n serie Fourierdup aceast baz

(4.12) u0(x) =1Xk=1

ck sink

lx;

unde coecienii sunt dai de relaia

(4.13) ck =2

l

Z l0u0(x) sin

k

lx dx:

Din (4.11) i (4.12) rezult Ck = ck, astfel c (4.10) capt forma

(4.14) u(x; t) =1Xk=1

cke(ak

l)2t sin

k

lx

care se mai numete soluie formal a problemei mixte (4.1).Observaie. Caracterul formal al calculului prezentat aici provine din ac-

ceptarea faptului c (4.14) veric (4.1)1, pentru c ecare termen din membruldrept al egalitii (4.14) veric (4.1)1.

Acest lucru nu este ntotdeauna adevrat (dar are loc atunci cnd attseria (4.14) ct i seria obinut prin derivarea termenilor acesteia sunt uniformconvergente).

33

Soluii formale pentru problema mixt neomogenPrin analogie cu rezultatul stabilit anterior, (formula (4.14)) pentru pro-

blema neomogen

(4.15)

8>:ut = a

2uxx + f(x; t); x 2 (0; l); t > 0u(x; 0) = u0(x); x 2 [0; l]u(0; t) = u(l; t) = 0; t 0

cutm soluii de forma

(4.16) u(x; t) =1Xk=1

Tk(t) sink

lx:

Pretinznd ca funcia u dat de (4.16) s verice (4.15) gsim pentru Tk, irulde probleme Cauchy

(4.17)

(T 0k + (

akl )

2Tk = ck(t);

Tk(0) = dk

n care ck(t) i dk sunt coecienii Fourier din dezvoltrile Fourier ale datelorproblemei

f(x; t) =

1Xk=1

ck(t) sink

lx;

u0(x) =

1Xk=1

dk sink

lx

deci

(4.18) ck(t) =2

l

Z l0f(x; t) sin

k

lx dx;

(4.19) dk =2

l

Z l0u0(x) sin

k

lx dx;

iar soluia problemei Cauchy (4.17) este

(4.20) Tk(t) = dke(akl)2t +

Z t0e(

akl)2(ts)ck(s)ds:

34

nlocuind (4.20) n (4.16) se obine soluia formal a problemei (4.15) ncare coecienii ck i dk sunt dai de formulele (4.18) i respectiv (4.19).

Observaia 1. n cazul problemei mixte cu condiii la limit neomogene8>:ut = a

2uxx + f(x; t); x 2 (0; l); t > 0u(x; 0) = u0(x); x 2 [0; l]u(0; t) = 1(t); u(l; t) = 2(t); t > 0;

rezolvarea se reduce la cazul anterior dac se face schimbarea de funcie

v(x; t) = u(x; t) 1(t) xl[2(t) 1(t)];

obinndu-se pentru v o problem cu condiii la limit omogene.Observaia 2. (Condiii suciente ca soluia formal s e soluie clasic).

Am vzut c soluia problemei (4.1) este dat de

u(x; t) =

1Xk=1

cke(ak

l)2t sin

k

lx

unde

ck =2

l

Z l0u0(x) sin

k

lx dx;

de unde se vede clar c pentru a soluie clasic, avem la dispoziie doar datainiial u0.

Fr a detalia (pentru demonstraie vezi [4]), armm doar c dac u0satisface condiiile

(4.21) u0 2 C[0; l]

(4.22) exist derivata u00 i este continu pe poriuni

(4.23) u0(0) = u0(l) = 0;

atunci funcia denit de (4.14) este soluie clasic a problemei (4.1).Pentru problema neomogen (4.15) condiiile suciente pentru ca soluia

formal s devin clasic implic restricii att asupra datei iniiale u0 ct i aperturbrii f . Dezvoltarea analizei funcionale i a spaiilor Sobolev au permisdenirea unui concept natural de soluie pentru ecuaia propagrii cldurii(vezi [1], [2]). Aceste lucruri vor studiate la cursul EDP-de la Master.

35

2.5 Principiul de maxim pentru operatorul cldurii

n acest paragraf vom prezenta un principiu de maxim pentru operatorul cl-durii @@t pe un domeniu mrginit sau nemrginit i consecine ale acestuia.ntruct dimensiunea spaiului nu introduce diculti suplimentare, vom faceacest lucru n Rn.

Fie IRn o mulime deschis i mrginit cu frontiera @. Fie QT =

(0; T ), T = @(0; T ) i BT = ( f0g) [ (@[0; T )), unde T > 0 estexat.

Teorema 5.1. (Principiul de maxim) Fie u 2 C([0; T ]) astfel nct u estede clas C2 n raport cu x i de clas C1 n raport cu t pe (0; T ).

Dac

(5:1)@u

@t(x; t)u(x; t) 0; 8 (x; t) 2 QT

atunci

(5:2) maxQT

u = maxBT

u:

Demonstraie. Deoarece este un domeniu mrginit, rezult c QT este omulime compact, iar funcia u ind continu pe QT i atinge marginile peaceast mulime. n acest fel se justic existena primului termen al egalitii(5.2). Fie " > 0 i v"(x; t) = u(x; t) "t: Din (5.1) rezult

(5:3)@v"@t

v" = @u@t

u " " < 0 pe QT :

Presupunem c maximul lui v" este atins n (x0; t0), x0 2 ; 0 < t0 T(deci n QT nBT ). Atunci v"(x0; t0) 0 i

@v"@t

(x0; t0) 0 (sau 0; dact0 < T ):

De aici rezult,@v"@t

(x0; t0)v"(x0; t0) 0 care contrazice relaia (5.3).Aceasta implic max

QT

v" = maxBT

v": Astfel

maxQT

u = maxQT

(v" + "t) maxQT

v" + "T =

= maxBT

v" + "T maxBT

u+ "T;

deoarece v" u: Dar " > 0 ind arbitrar, ultima relaie implic (5.2).

36

Din Teorema 5.1 rezult c dac u este soluie clasic a ecuaiei@u

@tu = 0

pe QT , atunci maximul i minimul funciei u pe QT sunt atinse i pe mulimeaBT :

Utiliznd Teorema 5.1 putem demonstra urmtorul rezultat de dependena soluiei clasice a problemei (P) n raport cu datele, rezultat care are dreptconsecin unicitatea soluiei clasice a problemei (P).

Corolarul 5.1. Fie f 2 C(QT ) i u0 2 C(): Atunci problema mixt (P) arecel mult o soluie clasic. n plus, aceasta (dac exist!) veric inegalitatea

(5:4)

min

min

u0; 0

+ t min

QT

f u(x; t)

maxmax

u0; 0

+ t max

QT

f; 8 (x; t) 2 QT :

Demonstraie. Presupunem c u1 i u2 sunt soluii clasice pentru problema(P). Rezult c v := u1 u2 veric problema (P) cu datele nule, iar dinTeorema 5.1 obinem

maxQT

v = minQT

v = 0;

adic u1 u2: Pentru demonstrarea inegalitii (5.4) considerm funciaw = uMt; unde M = max

QT

f:

Aceasta satisface sistemul8>>>:@w

@tw 0 n QT

w(x; 0) = u0(x) n

w = Mt pe T ;

iar din principiul de maxim rezult

maxQT

w = max

max

u0; 0

care implic

(5:5) u(x; t) maxfmax

u0; 0g+Mt; 8 (x; t) 2 QT :

37

Trecnd (n (P)) f n f , u0 n u0, u n u i aplicnd principiul demaxim, obinem (cf. (5.5)) relaia

(5:6) u(x; t) minmin

u0; 0

+mt; 8 (x; t) 2 QT ;

unde m = minQT

f: Din (5.5) i (5.6) obinem (5.4).

Din (5.4) rezult dependena continu a soluiei clasice de datele u0 i f .Mai exact, u satisface relaia

maxQT

juj max

ju0j+ T maxQT

jf j:

Un rezultat asemntor celui prezentat n Corolarul 5.1 are loc i pentrusoluiile slabe ale problemei mixte. n continuare vom prezenta un principiude maxim pentru cazul = IRn:

Teorema 5.2. Dac u 2 C(IRn[0; T ]) \ C2;1(IRn(0; T ]); u mrginit i@u

@t(x; t)u(x; t) 0; n IRn(0; T ]

atuncisup

IRn[0;T ]u(x; t) = sup

IRnu(x; 0):

Demonstraie. Fie M = supIRn[0;T ]

u(x; t) i N = supIRn

u(x; 0): Evident M N:Fie " > 0 i v" funcia denit prin

v"(x; t) = u(x; t) "(2nt+ kxk2):Se observ c

@v"@t

v" 0; n IRn(0; T ]:

S presupunem, prin absurd, c M > N: Pentru kxk2 "1(M N) it 2 (0; T ] avem v"(x; t) M "("1(M N)) = N i v"(x; 0) = u(x; 0) "kxk2 N:

n eQT = f(x; t) : kxk2 "1(M N); t 2 [0; T ]g putem aplica Teorema5.1 i obinem

v"(x; t) N; 8 (x; t) 2 IRn[0; T ]:De aici rezult

u(x; t) N + "(2nt+ kxk2); 8 (x; t) 2 IRn(0; T ):

38

Dac xm perechea (x; t) i facem pe " s tind la zero n inegalitatea de maisus, obinem u(x; t) N care implic M N , de unde M = N:

Teorema 5.2 poate utilizat pentru demonstrarea unicitii soluiei mr-ginite a problemei Cauchy pentru ecuaia cldurii n tot spaiul. Aceast pro-blem are forma

(5:7)@u

@t(x; t)u(x; t) = f(x; t); x 2 IRn; t 2 (0; T )

(5:8) u(x; 0) = g(x); x 2 IRn:

Spunem c funcia u 2 C2;1(IRn(0; T ))\C(IRn[0; T ]) este soluie clasica problemei Cauchy (5.7)(5.8) dac veric ecuaia (5.7) i condiia iniial(5.8). Are loc urmtorul rezultat

Teorema 5.3. Problema Cauchy (5:7)-(5:8) admite cel mult o soluie clasicmrginit n IRn(0; T ):

Demonstraie. Presupunnd c u1 i u2 sunt soluii clasice mrginite nIRn(0; T ), u := u1u2 este funcie mrginit i veric relaiile (5.7) i (5.8)cu f = g = 0: Aplicnd Teorema 5.2 rezult c u 0, deci u1 = u2:

Capitolul 3

Ecuaii hiperbolice

3.1 Probleme la limit pentru ecuaiide tip hiperbolic

Dac ecuaiile cu derivate pariale de tip parabolic descriu fenomenele de trans-fer, cum ar transferul de substane n procesele de difuzie, cele hiperbolice sentlnesc frecvent la descrierea fenomenelor ondulatorii. Prezentm n conti-nuare forma general a ecuaiei hiperbolice de care ne ocupm n acest capitol.

Fie IRn o mulime deschis. Ecuaia@2u

@t2(x; t)u(x; t) = 0; 8 (x; t) 2 (0;1)

este cunoscut sub numele de ecuaia undelor, deoarece ea descrie micareacoardei vibrante (n = 1), vibraiile unei membrane elastice (n = 2) sau asolidului elastic (n = 3):

Dac facem notaiile: QT = (0; T ) (T > 0, xat), T = @(0; T ),atunci problema mixt pentru ecuaia undelor cu condiiile la limit de tipDirichlet omogene, are forma

(1:1)@2u

@t2(x; t)u(x; t) = f(x; t); 8 (x; t) 2 QT

(1:2) u(x; 0) = u0(x);@u

@t(x; 0) = u1(x); 8x 2 ;

(1:3) u(x; t) = 0; pe T ;

unde f : QT ! IR, u0 : ! IR i u1 : ! IR sunt funcii date. n loculcondiiei Dirichlet omogene (1.3) se poate considera o condiie de tip Neumann

(1:3)0@u

@(x; t) = g(x; t) n T

39

40

sau o condiie de tip mixt (Robin)

(1:3)0@u

@(x; t) + u(x; t) = h(x; t) n T ;

unde 0 iar g; h : T ! IR sunt funcii date.Spunem c funcia u : QT ! IR este soluie clasic pentru (1.1)-(1.3) dac

u 2 C2(QT ) \ C(QT ),@u

@t2 C(QT ) i veric (n sens clasic) ecuaia (1.1)

mpreun cu condiiile iniiale (1.2) i la limit (1.3).Trecem acum la prezentarea unui model matematic descris cu ajutorul unei

ecuaii hiperbolice.Prin simplitate i apariia frecvent n multe ramuri ale zicii matematice,

ecuaia coardei vibrante constituie un exemplu clasic n teoria ecuaiilor cuderivate pariale.

Ecuaia coardei vibrante. S considerm (Fig. 1.1) o coard exibil de lungime`, xat la capete, care n poziie de echilibru ia forma unui segment de dreapt.Presupunem c la momentul t = 0 coarda este scoas din poziia de echilibru,care coincide cu direcia axei Ox i ncepe s vibreze.

xl

u

Fig. 1.1.

Notm cu u(x; t) amplitudinea (abaterea coardei de la poziia de echilibru)n punctul x i la momentul t. Ne propunem s obinem ecuaia satisfcut deu, ca funcie de x i t.

Cu alte cuvinte, dac u(x; t) este deplasarea vertical a punctului de pecoard aat la distana x de origine la momentul t, atunci care este ecuaiacu derivate pariale satisfcut de u(x; t)? Pentru a simplica raionamentulfacem urmtoarele ipoteze:

1. Presupunem c deplasrile coardei se a n acelai plan (xOu); iardirecia deplasrii este perpendicular pe axa Ox; atunci fenomenul poate

41

descris printr-o singur funcie u(x; t), care caracterizeaz deplasarea verticala corzii.

2. Coarda este exibil i elastic, adic tensiunile care apar n coard suntorientate totdeauna dup tangentele la prolul ei instantaneu i coarda nu seopune la exiune.

3. Nu exist elongaii ale niciunui segment al corzii, deci dup legea luiHooke, mrimea tensiunii T (x; t) este constant, jT (x; t)j = T0; 8x 2 (0; `);8 t > 0:

4. Forele exterioare, precum rezistena aerului i greutatea corzii suntneglijabile.

5. Panta@u

@xn ecare punct al corzii (deplasate) este neglijabil, prin

urmare amplitudinea u este mic n raport cu lungimea corzii.Alegem n mod arbitrar un arc M1M2 de pe coard n care punctele M1 i

M2 au coordonatele (x; u) i, respectiv, (x+x; u+u) (Fig. 1.2).

u

0

M(x,u)1

M(x+ x,u+ u)2 D D T2

T1a

1

a

2

x x+ xD x

Fig. 1.2.

Notm cu T1 i T2 tensiunile n M1 i, respectiv, M2 care, dup cum amspecicat n ipoteza 2, acioneaz pe direciile tangentelor la arcul

_M1M2 n

cele dou puncte.

Notm cu s lungimea arcului_

M1M2 i (x) densitatea liniar de mas acorzii. Deoarece ecare punct al corzii se mic doar pe direcia perpendicularpe axa Ox, rezult c componentele orizontale ale tensiunilor T1 i T2 sunt

42

egale. DeciT1 cos1 + T2 cos2 = 0

sauT1 cos1 = T2 cos2 = T0 = constant;

unde am notat Ti = jTij; i = 1; 2:Componenta vertical a forei de tensiune ce acioneaz asupra elementului

de arc s esteT1 sin1 + T2 sin2 =

= T0(tg1 + tg2) = T0@u(x; t)

@x+@u(x+x; t)

@x

:

Din legea a doua a lui Newton rezult c (pentru echilibru) suma forelorce acioneaz asupra elementului de arc s trebuie s e nul. Deci

T0

@u(x+x; t)

@x @u(x; t)

@x

= (x)s

@2u

@t2(x; t)

unde x este abscisa centrului de mas a lui s: Deoarece s = x; mprindambii membri ai egalitii de mai sus cu s i trecnd la limit cu x ! 0obinem

(1:4) T0@2u(x; t)

@x2= (x)

@2u(x; t)

@t2

Dac asupra corzii acioneaz o for extern de densitate f0(x; t), atunciecuaia (4) devine

(1:5) (x)@2u(x; t)

@t2 T0 @

2u(x; t)

@x2= f0(x; t); 8x 2 (0; `); t > 0:

Dac presupunem c (x) = constant; atunci ecuaia (1.5) capt forma

(1:6)@2u(x; t)

@t2 a2 @

2u(x; t)

@x2= f(x; t) n (0; `)(0;1);

unde a2 = T01; f = f01:Deoarece extremitile corzii sunt xate, ecuaiei (1.6) i se asociaz condi-

iile la limit de tip Dirichlet

(1:7) u(0; t) = u(`; t) = 0; 8 t 0:n afar de acestea, se dau "condiiile iniiale", adic forma i viteza corzii

la momentul inial

(1:8) u(x; 0) = u0(x);@u

@t(x; 0) = u1(x); 8x 2 (0; `):

43

3.2 Rezolvarea ecuaiei coardei vibrante cu metoda lui Fourier

n cele ce urmeaz, la fel ca n cazul parabolic, vom ncerca s gsim o soluiepentru ecuaia coardei vibrante (deci cazul n = 1), utiliznd metoda separriivariabilelor. Menionm faptul c prin aceast metod vom determina doar osoluie formal care ns este un bun "candidat" la soluia clasic, atunci cnddatele problemei au un grad sucient de regularitate.

Soluii formale pentru ecuaia omogen

Fie problema mixt

(2.1)

8>>>>>>>:utt = a

2uxx; x 2 (0; l); t > 0u(x; 0) = u0(x); x 2 [0; l]ut(x; 0) = u1(x); x 2 [0; l]u(0; t) = u(l; t) = 0; t 0:

Pentru problema omogen

(2.2)

(utt = a

2uxx; x 2 (0; l); t > 0u(0; t) = u(l; t) = 0; t > 0

cutm o soluie de forma

(2.3) u(x; t) = T (t)X(x):

Impunnd acesteia s satisfac ecuaia i condiiile la limit n problema (2.2),obinem pentru X i T , urmtorul sistem de ecuaii difereniale ordinare

(2.4)

8>:T 00 + a2T = 0X 00 = X;X(0) = X(l) = 0:

ntr-adevr, din faptul c (2.3) este soluie pentru (2.2)1 deducem

T 00(t)X(x) = a2T (t)X 00(x);

de unde, dup separarea variabilelor rezult

(2.5)T 00(t)a2T (t)

=X 00(x)X(x)

:

44

Acum, deoarece n (2.5) membrul stng este constant n raport cu variabilax, iar membrul drept este constant n raport cu t, pentru ca aceast egalitate saib loc pentru perechile (x; t) (x 2 (0; l); t > 0) este necesar ca ambii membris e constani n (x; t).

Notm valoarea constantei cu i astfel gsim primele dou ecuaii din(2.4). Ultima relaie din (2.4) rezult din cerina ca (2.3) s satisfac condiiilela limit (omogene) din (2.2).

Problema (X 00 = XX(0) = X(l) = 0

a fost analizat deja (la cazul parabolic) i am vzut c soluiile sunt

(2.6) Xk(x) = sink

lx; k 2 N

pentru valorile parametrului ,

(2.7) k =k

l

2:

Soluiile (2.6) formeaz un sistem ortogonal complet de vectori proprii ai ope-ratorului A : L2(0; l)! L2(0; l); denit prin AX = X 00, cu domeniul

D(A) = fX 2 C2(0; l) \ C([0; l]) : X(0) = X(l) = 0; X 00 2 L2(0; l)gcorespunztor valorilor proprii (2.7).

Rezolvnd acum ecuaia

T 00 + a2T = 0;

obinem soluia general

Tk(t) = Ak cosak

lt+Bk sin

ak

lt;

Ak; Bk ind constante arbitrare. Prin urmare soluiile de forma (2.3) sunt

uk(x; t) = [Ak cosak

lt+Bk sin

ak

lt] sin

k

lx

i deoarece problema (2.2) este liniar este de ateptat ca i suma seriei

(2.8) u(x; t) =1Xk=1

[Ak cosak

lt+Bk sin

ak

lt] sin

k

lx;

45

s e de asemenea soluie.Punnd condiia ca funcia denit de (2.8) s verice condiiile iniiale ale

problemei (2.1) (u(x; 0) = u0(x); ut(x; 0) = u1(x)) obinem

1Xk=1

Ak sink

lx = u0(x)(2.9)

1Xk=1

ak

lBk sin

k

lx = u1(x):(2.10)

Dar fsin kl xgk2N este o baz n L2(0; l), deci funciile u0 i u1 pot dezvoltate n funcie de elementele acestei baze

u0(x) =1Xk=1

ak sink

lx;(2.11)

u1(x) =

1Xk=1

bk sink

lx;(2.12)

coecienii ak i bk ind dai de

ak =2

l

Z l0u0(x) sin

k

lx dx;(2.13)

bk =2

l

Z l0u1(x) sin

k

lx dx:(2.14)

Din unicitatea dezvoltrii n serie Fourier dup o baz dat, analizndrelaiile (2.9)-(2.12) rezult c Ak = ak i Bk = lak bk, prin urmare funcia udat de (2.8) este:

(2.15) u(x; t) =1Xk=1

[ak cosak

lt+

l

akbk sin

ak

lt] sin

k

lx

cu ak i bk dai de relaiile (2.13), (2.14).Aceasta se mai numete soluie formal pentru problema (2.1).

Observaie. La fel ca n cazul parabolic, caracterul formal al soluieiprezentate mai sus provine din acceptarea faptului c suma seriei (2.15) solu-ioneaz problema (2.1), pentru c ecare din termenii si are aceast propri-etate. Evident c acest lucru nu este adevrat n general, dar este posibil nanumite condiii de regularitate asupra datelor problemei.

46

Soluii formale pentru ecuaia neomogen

Pentru ecuaia neomogen a coardei vibrante

(2.16)

8>>>>>>>:utt = a

2uxx + f(x; t); x 2 (0; l); t > 0u(x; 0) = u0(x); x 2 [0; l]ut(x; 0) = u1(x)

u(0; t) = u(l; t) = 0; t 0

procedm la fel ca n cazul problemei parabolice neomogene cutnd o soluiede forma

(2.17) u(x; t) =1Xk=1

Tk(t) sink

lx:

Din cerina ca (2.17) s verice ecuaia utt = a2uxx + f(x; t); x 2 (0; l),t > 0 i condiiile iniiale

u(x; 0) = u0(x); ut(x; 0) = u1(x); x 2 [0; l]

ajungem pentru coecienii Tk la problema Cauchy

(2.18)

8>:T 00k +

akl

2Tk = ck(t)

Tk(0) = ak

T 0k(0) = bk

n care ck(t), ak i bk sunt coecienii din dezvoltrile n serii Fourier ale datelorproblemei f , u0 i respectiv u1,

f(x; t) =

1Xk=1

ck(t) sink

lx;

u0(x) =

1Xk=1

ak sink

lx;

u1(x) =

1Xk=1

bk sink

lx;

47

adic

ck(t) =2

l

Z l0f(x; t) sin

k

lx dx

ak =2

l

Z l0u0(x) sin

k

lx dx;

bk =2

l

Z l0u1(x) sin

k

lx dx:

Folosind metoda variaiei constantelor obinem soluia problemei Cauchy (2.18)

Tk(t) = ak cosak

lt+

l

akbk sin

ak

lt+

Z t0sin

ak

l(t s)ck(s)ds;

care, introdus n (2.17) conduce la soluia formal a problemei (2.16).

u(x; t) =1Xk=1

[ak cosak

lt+

l

akbk sin

ak

lt] sin

k

lx+

+1Xk=1

[

Z t0sin

ak

l(t s)ck(s)ds] sin k

lx:(2.19)

Observaia 1. Problema cu condiii la limit neomogene8>>>>>>>:utt = a

2uxx + f(x; t); x 2 (0; l); t > 0u(x; 0) = u0(x); x 2 [0; l]ut(x; 0) = u1(x); x 2 [0; l]u(0; t) = 1(t); u(l; t) = 2(t); t 0

se reduce la o problem cu condiii la limit omogene cu transformarea

v(x; t) = u(x; t) 1(t) xl[2(t) 1(t)]:

Observaia 2. Dac u0; u1 i f satisfac nite proprieti de regularitatecare asigur faptul c seria (2.19) ce denete soluia formal, precum i seriilederivatelor (pn a ordinul al doilea) n raport cu x s e absolut i uniformconvergente, se poate demonstra prin vericare direct (vezi [4], [5]) c soluiaformal dat de (2.19) este de fapt o soluie clasic a problemei (2.16).

48

3.3 Un rezultat de unicitate

Rezultatul pe care l demonstrm n propoziia urmtoare stabilete unicitateasoluiei pentru problema mixt corespunztoare ecuaiei neomogene a coardeivibrante.

Propoziia 3.1. Problema

(3.1)

8>>>>>>>:utt = a

2uxx + f(x; t); x 2 (0; l); t > 0u(x; 0) = u0(x); x 2 [0; l]ut(x; 0) = u1(x); x 2 [0; l]u(0; t) = 1(t); u(l; t) = 2(t); t 0

are cel mult o soluie.

Demonstraie. Presupunnd, prin reducere la absurd, c problema (3.1)are dou soluii u1 i u2, diferena u = u1 u2 este soluie a problemei

(3.2)

8>:utt = a

2uxx; x 2 (0; l); t > 0u(x; 0) = ut(x; 0) = 0; x 2 [0; l]u(0; t) = u(l; t) = 0; t 0:

Pentru stabilirea unicitii este sucient s artm c problema (3.2) arenumai soluia identic nul.

Fie deci u, soluie a problemei (3.2). Din

utt = a2uxx;

prin integrare prin pri deducemZ l0

d

dt[ut(x; t)]

2dx = 2

Z l0ut(x; t)utt(x; t)dx =

= 2a2Z l0ut(x; t)uxx(x; t)dx = 2a

2ut(l; t)ux(l; t)

2a2ut(0; t)ux(0; t) 2Z l0a2utx(x; t)ux(x; t)dx:

Apoi, din condiia (3.2)3 (u(0; t) = u(l; t) = 0; t 0) rezult ut(0; t) =ut(l; t) = 0; t > 0, care introduse n egalitatea de mai sus conduc la

(3.3)Z l0

d

dt[ut(x; t)]

2dx = 2Z l0a2utx(x; t)ux(x; t)dx:

49

Integrnd ambii membri ai egalitii (3.3) n raport cu variabila t i aplicndteorema lui Fubini de inversare a ordinii de integrare obinem

(3.4)Z l0

Z t0

d

d[ut(x; )]

2ddx = Z l0

Z t0a2

d

d[ux(x; )]

2ddx:

Utiliznd condiiile iniiale (3.2)2 n relaia (3.4) obinemZ l0[ut(x; t)]

2dx+ a2Z l0[ux(x; t)]

2 = 0

i cum ecare termen din membrul stng al acestei egaliti este nenegativrezult Z l

0[ut(x; t)]

2dx = a2Z l0[ux(x; t)]

2dx = 0;

care, avnd n vedere continuitatea funciilor ut i ux implic

ut(x; t) = ux(x; t) = 0; pentru (x; t) 2 (0; l) (0;1);

funcia u ind deci constant. Condiiile iniiale sau la limit din problema(3.2) implic faptul c aceast constant este nul ceea ce ncheie demonstraiapropoziiei.

Exemplu. Vom considera n acest exemplu micrile unei corzi elastice delungime ` xat la ambele capete, asupra creia acioneaz o for f .

Am vzut c modelul matematic pentru aceast problem este dat de sis-temul

(3:5)@2u

@t2 !2 @

2u

@x2= f(x; t); x 2 (0; `); t > 0;

(3:6) u(x; 0) = u0(x);@u

@t(x; 0) = u1(x); x 2 (0; `);

(3:7) u(0; t) = u(`; t) = 0; t 0

unde a2 este o constant ce msoar proprieti zice ale corzii, iar u0 i u1reprezint poziia i, respectiv, viteza iniial a corzii. Pentru determinareasoluiei formale, folosim metoda separrii variabilelor, n care scop avem nevoiede valorile i funciile proprii pentru problema

'00(x) = '(x); 8x 2 (0; `); '(0) = '(`) = 0:

50

Dup cum am vzut, aceast problem are o innitate numrabil de valoriproprii i funcii proprii date prin

k =

k

`

2; 'k(x) =

r2

`sin

k

`x; x 2 (0; `); k = 1; 2; :::

Prin urmare, conform (2.19), soluia problemei (3.5)(3.7) este dat de funcia

(3:8) u(x; t) =1Xk=1

ak cos

k!

`t+ bk sin

k!

`t+ ck(t)

sin

k

`x;

unde

ak =2

`

Z `0u0(x) sin

k

`x dx;

bk =2

k!

Z `0u1(x) sin

k

`x dx;

ck(t) =1

k!

Z t0fk(s) sin

!k

`(t s)ds

fk(s) =2

`

Z `0f(x; s) sin

k

`x dx;

pentru k = 1; 2; :::Dac f = 0, soluia u dat prin formula (3.8) capt forma

(3:9) u(x; t) =1Xk=1

ak cos

k!

`t+ bk sin

k!

`t

sin

k

`x

i reprezint vibraiile libere ale corzii elastice cu capetele xate. Aceastformul are o interpretare interesant pentru instrumentele muzicale cu corzi.

La instrumentele cu percuie (de exemplu, pianul), vibraia este provocatprintr-o lovitur care se d corzii (deci coarda nu are deplasare iniial, u0 0, ci doar vitez iniial), iar la cele cu coarde ciupite (de exemplu, harpa),vibraiile sunt produse de o deviere iniial (deci u1 0):

Termenii seriei,

uk(x; t) =

ak cos

k!

`t+ bk sin

k!

`t

sin

k

`x

descriu micrile simple ale corzii numite i oscilaii proprii. Aceste oscilaii au

perioadele Tk =2`

k!i sunt independente de x, deci aceeai perioad pentru

51

toate punctele corzii, iar amplitudinea esteqa2k + b

2k

sin `x; proprie ecrui

punct al corzii.Cea mai mare amplitudine o au punctele pentru care

sin `x = 1: Aceste

puncte pot determinate uor pe coard pentru diverse valori ale lui k. Vi-braiile corzii provoac vibraii ale aerului care sunt percepute ca sunete. In-tensitatea sunetului este caracterizat de amplitudinea (sau energia) vibraiei,iar nlimea sunetului (sau tonul) este caracterizat de perioada vibraiei.

Tonul fundamental este dat de prima oscilaie (k = 1), iar celelalte oscilaiiproprii reprezint armonice ale tonului fundamental.

O discuie mai detaliat a acestor chestiuni se gsete n [5].

3.4 Problema Cauchy pentru ecuaia coardei vibrante

Problema Cauchy pentru coarda vibrant const n determinarea funcei ucare veric problema

(4.1)

8>:utt = a

2uxx + f(x; t); x 2 R; t > 0u(x; 0) = u0(x); x 2 Rut(x; 0) = u1(x); x 2 R:

Pentru nceput ne ocupm de problema omogen

(4.2)

8>:utt = a

2uxx; x 2 R; t > 0u(x; 0) = u0(x); x 2 Rut(x; 0) = u1(x); x 2 R

Ecuaia

(4.3) utt = a2uxx

poate rezolvat prin schimbarea de variabile (aducerea la forma canonic)

= x at; = x+ at:n urma acestei schimbri de variabile ecuaia (4.3) devine

u = 0

a crei soluie general (dup integrarea succesiv n raport cu i apoi cu )este

u = () + ():

52

Astfel, n variabilele caracteristice soluia ecuaiei coardei vibrante (delungime innit) este

u(; ) = () + ();

iar n variabilele iniiale

(4.4) u(x; t) = (x at) + (x+ at):Aceast soluie depinde de dou funcii arbitrare i i se mai numete

soluia lui D0Alembert.Pentru rezolvarea problemei (4.2), plecm de la (4.4) i folosind datele

iniiale obinem

u(x; 0) = (x) + (x) = u0(x)

ut(x; 0) = a0(x) + a 0(x) = u1(x):Derivnd prima relaie i rezolvnd sistemul obinut n 0 i 0, gsim

0(x) =1

2u00(x)

1

2au1(x)

0(x) =1

2u00(x) +

1

2au1(x):

Integrnd apoi ultimele dou relaii, avem

(x) =u0(x)

2 1

2a

Z x0u1(s)ds+ c1;(4.5)

(x) =u0(x)

2+

1

2a

Z x0u1(s)ds+ c2(4.6)

unde c1; c2 sunt constante.Schimbnd variabilele x 7! (x at) i respectiv x 7! (x + at) n (4.5) i

respectiv (4.6), prin adunare, obinem

(x at) + (x+ at) = u0(x at) + u0(x+ at)2

+

+1

2a

Z x+atxat

u1(s)ds+ c1 + c2:

Fcnd t = 0 n aceast egalitate i innd cont de condiia iniial ((x) + (x) = u0(x)) gsim c c1+c2 = 0, obinnd n acest fel soluia lui D0Alembertpentru problema Cauchy omogen

(4.7) u(x; t) =u0(x at) + u0(x+ at)

2+

1

2a

Z x+atxat

u1(s)ds:

53

Aadar am stabilit:

Teorema 4.1. Dac u este soluie a problemei Cauchy8>:utt a2uxx = 0; x 2 R; t > 0u(x; 0) = u0(x); x 2 Rut(x; 0) = u1(x); x 2 R

atunci ea este dat de formula (4.7).

Corolarul 4.1. Problema Cauchy neomogen

(4.8)

8>:utt a2uxx = f(x; t); x 2 R; t > 0u(x; 0) = u0(x); x 2 Rut(x; 0) = u1(x); x 2 R

are cel mult o soluie.

Demonstraie. Presupunnd c u1 i u2 sunt dou soluii ale problemei(4.8) rezult c diferena u1 u2 veric problema8>:

utt a2uxx = 0u(x; 0) = 0

ut(x; 0) = 0

care, conform formulei (4.7) are doar soluie banal.

Propoziia 4.1. Dac u0 2 C2(R) i u1 2 C2(R), atunci problema Cauchy(4:2) are o soluie i numai una dat de (4:7).

Demonstraie. Unicitatea a fost demonstrat deja iar existena se vericprin cadrul direct plecnd de la formula (4.7).

Cazul ecuaiei neomogene

Fie problema Cauchy

(4.9)

8>:utt = a

2uxx + f(x; t); x 2 R; t > 0u(x; 0) = 0; x 2 Rut(x; 0) = 0; x 2 R:

54

Are loc

Teorema 4.2. Dac f 2 C1(R [0;1)), atunci funcia u, dat prin

(4.10) u(x; t) =1

2a

Z t0

Z x+a(t)xa(t)

f(; )d d

este unica soluie a problemei Cauchy (4.9).

Demonstraie. Se veric prin calcul faptul c (4.10) este soluie a pro-blemei (4.9). Unicitatea rezult din Corolarul 4.1.

Corolarul 4.2. Dac u0 2 C2(R), u1 2 C1(R) i f 2 C1(R [0;1)),atunci problema Cauchy

(4.11)

8>:utt = a

2uxx + f(x; t); x 2 R; t > 0u(x; 0) = u0(x); x 2 Rut(x; 0) = u1(x); x 2 R

are soluie unic dat de formula lui D0Alembert

u(x; t) =u0(x at) + u0(x+ at)

2+

1

2a

Z x+atxat

u1(s)ds+

+1

2a

Z t0

Z x+a(t)xa(t)

f(; )d d:

Demonstraie. Rezult imediat, scriind problema (4.11) ca o sum dedou probleme i aplicnd teoremele 4.1 i 4.2.

4.5 Discuii asupra soluiei ecuaiei coardei vibrante

Dac analizm soluia (4.4)

u(x; t) = (x at) + (x+ at)

constatm c aceasta este suma a dou "unde" care se deplaseaz la dreapta irespectiv la stnga pe axa Ox cu viteza a. Astfel xat = constant, determino dreapt cu panta pozitiv a, n planul xOt, iar este constant pe aceastdreapt. Analog este constant pe dreapta x + at = constant; care are opant negativ a n planul xOt:

55

Cele dou semidrepte xat = constant, se numesc caracteristice, deoarecepe ele se pstreaz valorile undelor de la momentul iniial t = 0:

Aceast proprietate prin care datele iniiale sunt pstrate de-a lungul carac-teristicilor deosebete ecuaiile hiperbolice de cele parabolice i eliptice.

O discuie asemntoare poate fcut plecnd de la formula lui D0Alembert(10.7).

ncheiem, cu cteva observaii succinte ce reies din aceast formul. Undele se propag cu viteza nit Singularitile datelor iniiale u0 i u1 nu se "netezesc" n timp (cum se

ntmpl n cazul parabolic, de exemplu). Dac nu apar fore de amortizare (ca n ecuaia undelor, utt = a2uxx)

soluiile nu dispar n timp.

56

Bibliograe

[1] Aniculesei, G., Ecuaii difereniale i ecuaiile zicii matematice, EdituraUniversitii "Al.I. Cuza" Iai, 2003.

[2] Aniculesei, G., Ania, S., Ecuaii cu derivate pariale, Editura Univer-sitii "Al.I. Cuza" Iai, 2001.

[3] Ban, V., Ecuaii cu derivate pariale, Culegere de probleme, LitograaUniversitii, Bucureti, 1984.

[4] Hrgu, D., Ecuaii cu derivate pariale, Editura Universitii de Vest,2001.

[5] Tihonov, A.N., Samarski, A.A., Ecuaiile zicii matematice, EdituraTehnic, Bucureti, 1956.

57