1

C11: Ecuatii de continuitate. Elemente de modelare numerica a structurilor

semiconductoare

11.1 Ecuaţii de continuitate

Variaţia în timp a concentraţiei purtătorilor de sarcină dintr-un volum elementar al unui

semiconductor se poate datora mai multor cauze: generarea termică, recombinarea, unui proces de

generare sub acţiunea unui agent perturbator extern (radiație optică) sau fluxurilor de purtători

incident și emergent din volumul considerat. Ecuația de continuitate exprimă cantitativ variția în

timp concentrației purtătorilor de sarcină într-un volum elementar al semiconductorului, iar în

continuare vom schița deducerea acestei ecuații pentru un semiconductor macroscopic

Fie M un punct în interiorul unui semiconductor (Figura 1) şi o suprafaţă care delimitează

un domeniu în jurul lui M. Notăm cu p

j densitatea curentului de goluri şi cu n

j densitatea

curentului de electroni. Numărul de goluri care trec într-o anumită direcţie în unitatea de timp prin

unitatea de suprafaţă va fi p

j

e. Numărul total de goluri care traversează suprafaţa centrată pe

punctul M va fi:

1p

j dSe

(1)

unde dS este vectorul normal la elementul de suprafaţă dS .

Fig. 1 Fluxuri de purtători prin suprafaţa

2

Dacă notăm cu V volumul delimitat de suprafaţa , numărul de goluri din unitatea de volum care

traversează spre exterior suprafaţa în unitatea de timp va fi:

0

1 1 1lim div

p pV

j dS je V e

(2)

In mod similar numărul net de electroni din unitatea de volum care pleacă în unitatea de timp din

domeniul considerat, este:

1div

nj

e (3)

Astfel, relaţiile care exprimă variaţia locală în timp a concentraţiei purtătorilor de sarcină sunt:

1divn n n

ng r j

t e

(4a)

1divp p p

pg r j

t e

(5b)

Ecuaţiile (5) reprezintă forma generală a ecuaţiilor de continuitate a purtătorilor de sarcină dintr-

un semiconductor.

Soluţiile ecuaţiilor de continuitate ar fi simple dacă timpii de viaţă ai purtătorilor de sarcină

în exces ar fi mărimi constante. In general, acest lucru nu este adevărat deşi, în scopuri practice,

pentru a simplifica calculele, adesea se face această presupunere.

11,2 Ecuaţiile Shockley

Ecuaţiile care guvernează transportul purtătorilor de sarcină in materiale semiconductoare sunt:

1n n n

ng r j

t e

1p p p

pg r j

t e

n n nj en E eD n (6)

p p pj ep E eD p

D A

eE p n N N

Primele două ecuaţii sunt ecuaţiile de continuitate iar următoarele două ecuaţii sunt expresiile

densităţilor de curent de electroni şi goluri. Ultima ecuaţie este ecuatia lui Poisson, care leagă

3

divergenţa câmpului electric de densitatea macroscopică de sarcină. Aceste ecuaţii, cunoscute ca

ecuaţiile Shockley si sunt fundamentale in teoria dispozitivelor electronice actuale.

11.3 Modelarea dispozitivelor semiconductoare. Generalitați

Dispozitivele semiconductoare clasice sunt în marea lor majoritate structuri semiconductoare în

care se succed domenii p, n, intrinseci şi la care se aplică contacte metalice. Modelul joncţiunii p-

n ideale introdus de Shockley în 1949 a stat la baza modelării structurilor semiconductoare. Putem

afirma că teoria dispozitivelor electronice clasice este construită plecând de la acest model.

Esenţial în modelul Shockley este divizarea joncţiunii p-n în trei regiuni: una centrală de sarcină

spaţială şi două regiuni neutre adiacente. Din considerente fizice Shockley scrie condiţii la limită

pentru aceste regiuni tratându-le în mod independent. In realitate joncţiunea p-n, ca şi alte

dispozitive semiconductoare reprezintă o structură unică, heterogenă numai din punct de vedere

al dopării cu impurităţi şi care trebuie tratată ca atare. Scrierea condiţiilor la limită între regiuni

implică întotdeauna o anumită presupunere legată de condiţiile de funcţionare ale dispozitivului,

care se poate dovedi mai mult sau mai puţin întemeiată.

Abordarea directă a unei structuri semiconductoare prin rezolvarea sistemului de ecuaţii

Shockley (6) este posibilă numai pe cale numerică. In acest curs vom face o scurta introducere in

metoda Gummel.

11.4 Ecuaţiile Shockley adimensionalizate

Considerăm o bară semiconductoare dopată avînd la capete două contacte metalice (figura 2). In

bara semiconductoare procesele se desfăşoară unidimensional după direcţia x.

Fig. 2. Structură semiconductoare dispusă între două contacte

Pentru a calcula curentii de electroni si goluri trebuie să rezolvăm sistemul general de ecuaţii (6),

scris in acest caz unidimensional:

4

1 nn n

jng r

t e x

(7a)

1 p

p p

jpg r

t e x

(7b)

n n n

nj en E eD

x

(7c)

p p p

pj ep E eD

x

(7d)

D A

E ep n N N

x

(7e)

Mărmile care intervin în ecuațiile (6) sunt:

• ND(x), NA(x) – Concentraţiile de dopare, cunoscute;

• n(x,t), p(x,t) – Concentraţia electronilor în banda de conducţie, respectiv, golurilor în banda

de valenţă;

• gn(x), gp(x) – Vitezele de generare a electronilor şi golurilor sub acţiunea unui agent extern

(lumină); cele două sunt egale dacă mecanismul are loc bandă-bandă;

• rn(x), rp(x) – Vitezele de recombinare a purtătorilor;

• E = E(x) – Intensitatea câmpului electric;

La o primă analiză, avem de rezolvat un sistem de cinci ecuaţii cu derivate parţiale, neomogen, cu

necunoscutele: n, p, jn, jp, E. In cazul unui contact ideal (viteză de recombinare infinită la contactul

metal-semiconductor) condiţiile pe frontieră care trebuie scrise sunt:

0 0(0, ) (0); (0, ) (0)n t n p t p (8a)

0 0( , ) ( ); ( , ) ( )n l t n l p l t p l (8b)

Astfel, la contacte sunt asigurate concentraţii egale cu cele de echilibru şi, deci, neutralitatea

electrică.

In ceea ce priveşte condiţiile iniţiale, trebuie cunoscute concentraţiile:

( ,0); ( ,0)n x p x şi, prin acestea, ( ,0)E x x (9)

In general, când se calculează curentul printr-o structură semiconductoare, concentraţiile de dopare

ND(x) şi NA(x) sunt cunoscute.

5

Tabelul 1. Referinţe în adimensionalizarea mărimilor fizice din fizica semiconductorilor. Valorile

numerice sunt date pentru siliciu la tempertura de 300K.

Marimea fizica Referinta Valoare caracteristica

Lungime (lungimea Debye) 2

Bi

i

k TL

e n

33.3 m

Câmp electric B

i

k T

eL

7,75 V/cm

Concentraţie particulelor in 1.51010 cm-3

Densitate de curent 0J – ales arbitrar, 1 A/cm2

Constantă de difuzie 00

i

i

J LD

en

1.38106 cm2/s

Timp 20iL D

8.0510-12 s

Viteză de recombinare 20i in D L

0.1881022 cm-3s-1

Mobilitate a purtătorilor 0

B

eD

k T

5.53107 cm2/Vs

Ca în multe probleme de fizica computaţională, pentru rezolvarea numerică a ecuaţiilor se

utilizează forma adimensionalizată a mărimilor fizice. In fizica semiconductoarelor, mărimile de

referinţă care sunt folosite pentru adimensionalizare sunt listate în tabelul 1.

Mai jos sunt date câteva exemple de adimensionalizare a unor mărimi specifice; cu „ * ” sunt

notate mărimile adimensionalizate:

in n n (10a)

0

2 2

0i i

Dtt t

L D L

(10b)

0J J J (10c)

2

2

0 0

i

i i i

Lrr r

n D L n D

(10d)

Adimensionalizarea ecuaţiei de continuitate (7a) se face astfel:

6

00 0

2 22

0

0 0 0 0

2 2 2

1

1

1

nn n

i ni i

i i ii

i i i n

i i i i

n

jng r

t e x

n n j Jn D n Dg r

L L e x LLt

D

n D n D n D J jng r

L t L L e L x

jng r

t x

(11)

In mod similar se procedează cu toate relaţiile şi mărimile care intervin în problemă,

mărimile de referinţă fiind cele din tabelul 1. Vă recomand să încercați adimensionalizarea tuturor

ecuațiilor (7).

In final, ecuaţiile Shockley (Eq. 7) în formă adimensionalizată se scriu:

nn n

jng r

t x

(12a)

p

p p

jpg r

t x

(12b)

n n n

nj n E D

x

(12c)

p p p

pj p E D

x

(12d)

* *

D A

Ep n N N

x

(12e)

11.5 Regimul staţionar

Un dispozitiv semiconductor funcţionează în regim staţionar, dacă curenţii şi tensiunile la

bornele sale nu se modifică în timp.

Considerăm un semiconductor dopat neuniform în care procesele se desfăşoară

unidimensional. La extremităţi este aplicată din exterior tensiunea constantă Va. După un timp

suficient de lung se atinge starea staţionară.

7

Fig. 3 Potenţialul u(x) de-a lungul direcţiei x într-un dispozitiv semiconductor modelat

unidimensional intre 0 și l.

Notăm cu u(x) potenţialul în lungul direcţiei x ca în figura 3. Tensiunea Va adimensionalizată

este:

cu tensiune la_echilibru

0

0 0 ( )

l

a sV u l u u l u E x dx

(13)

0

( ) (0) ( )

l

cu tensiuneu l u E x dx

reprezintă diferenţa de potenţial la capetele structurii în

cazul aplicării tensiunii Va din exterior iar s este diferenţa de potenţial la borne în stare de

echilibru. s se numşte potenţialul structural fiind o constantă la echilibru termic (în cazul unei

joncţiuni p-n reprezintă tocmai diferenţa internă de potenţial).

Tinand cont ca ( )

( )du x

E xdx

, ecuaţia lui Poisson se rescrie astfel:

2

2( ) ( ) ( )

d un x p x N x

dx

(14)

Variaţia potenţialului de-a lungul structurii semiconductoare poate fi corelată cu variaţia

cvasinivelor Fermi. Tensiunea aplicată din exterior determină ieşirea semiconductorului din starea

de echilibru. Concentraţiile de purtători de sarcină se scriu:

expi n

B

en n u

k T

(15a)

expi p

B

ep n u

k T

(15b)

care după adimensionalizare devin:

8

exp nn u (16a)

exp pp u (16b)

unde , ( )F iE eu x defineste nivelul Fermi intrinsic, ( )nF nE e x defineste cvasinivelul Fermi

pentru electroni iar ( )pF pE e x defineste cvasivelul Fermi pentru goluri.

Astfel, în cazul regimului staţionar, sistemul de ecuaţii Shockley se scrie:

njnR

t x

0 njR

x

(17a)

pjpR

t x

0

pjR

x

(17b)

n n n

nj n D E D

x

n n n

u nj n D D

x x

(17c)

p p p

pj p D E D

x

p p p

u pj p D D

x x

(17d)

Ep n N

x

2* *

2

un p N

x

(17e)

la care se adaugă expresiile pentru concentraţiile de electroni şi goluri (16). Aparitia constantentei

de difuzie adimensionalizata in ambii termeni ai ecuatiilor pentru curenti, este o consecinta a

ecuatiilor Einstein pentru constantele de difuzie scrise adimensional:

*

0 * *

* 0

p pB Bp p

pp

B

D D Dk T k TD

eDe e

k T

Sistemul de ecuații (17) se poate simplifica. Din relaţia (16b) rezultă egalitatea:

*

* ** * ** * * * * *

* * * * * *exp exp

p p

p p

p

d ddp d du duu u p p

dx dx dx dx dx dx

(18)

care înlocuită în expresia densităţii curentului de goluri conduce la:

* ** *

* * * * * * * *

* * * * *exp exp exp

p p

p p p p p p p

d du p dj D p D p D u D u

x x dx dx dx

(19)

La fel, din relaţiile (17c) şi (16a) rezultă:

* * * *

*exp expn n n

dj D u

dx (20)

9

In sinteza, din calculele de mai sus se obtine:

* *

* * * *

1*

0

exp exp

lp

p

p

jx u dx C

D (21a)

*

** * * *

2*

0

exp exp

l

nn

n

jx u dx C

D

(21b)

*

* * * *

3

0

( )

l

pj x R dx C (22a)

*

* * * *

4

0

( )

l

nj x R dx C (22b)

Constantele de integrare se determină din condiţiile pe frontieră. Ţinând cont de expresiile

concentraţiilor (16), acestea se pot scrie în termeni de cvasipotenţiale astfel:

* * *(0) (0) ln (0)n u n (23a)

* * * * * *( ) ( ) ln ( )n l u l n l (23b)

* * *(0) (0) ln (0)p u p (23c)

* * * * * *( ) ( ) ln ( )p l u l p l (23d)

Inainte de a trece la rezolvarea numerică a ecuaţiilor mai trebuie aleasă originea pentru potenţial.

Noi o alegem originea în punctul x = 0, adică u (0) = 0.

11.6 Rezolvarea numerică a ecuaţiilor

Intâi se rezolvă ecuaţia Poisson printr-un proces iterativ. La iteraţia k avem:

1( ) ( )k k ku x u x u (24)

şi ecuaţia Poisson se scrie:

2

1 12exp exp exp exp

k

k n k k p k

u xu u u u N

x

(25)

Dezvoltând în serie funcţia exponenţială: exp 1 ...k ku u şi reţinând numai primii doi

termeni relaţia (25) devine:

10

2

1 12exp 1 exp 1

k

k n k k p k

u xu u u u N

x

(26)

Ecuaţia (26) poate fi transformată într-un sistem algebric, de exemplu folosind metoda

diferenţelor finite centrate (vezi curs 1 Metode Numerice si Simulare in Fizica), în care derivata a

doua se scrie:

2

1 12 2

12i i i

yy y y

x h

(27)

In ecuaţia (26) necunoscuta este ku x . Pentru scrierea sistemului algebric cu diferente

finite discretizam domeniul astfel: x = h∙i unde i = 0, 1, … unde h este pasul retelei. Funcţiile

1exp k nu şi 1exp k pu sunt cunoscute de la pasul anterior.

Astfel, Ec. (26) se transformă astfel:

2

1 1 1 12exp exp exp exp

k

k n k k n k p k k p

u xu u u u u u N

x

2

1 1 1 12

2

1

2

exp exp exp exp

0

kk n k p k k n k p

k

uu u u u u

x

uN

x

Cu notaţiile 1 1 1exp expk k n k pC u u

si 1 1 1exp expk k n k pC u u

rezultă:

2 2

11 12 2

0k kk k k

u uC u C N

x x

(28)

Inlocuind derivata a doua cu schema cu diferenţe fimite din (27) rezultă:

1 1 1 12

1 1 1 1 12

1( ) 2 ( ) ( ) ( )

1( ) 2 ( ) ( ) 0 , 1,2,...,

k i k i k i k i k k

k i k i k i

u x u x u x u x C C Nh

u x u x u x i nh

(29)

Ecuaţiile (29) formeaza un sistem cu n ecuaţii algebrice care trebuie rezolvat la fiecare

iteraţie. In figura 4 este prezentată schema logică a algoritmului de rezolvare a problemei. Pentru

a trasa o caracteristică curent - tensiune, algoritmul trebuie repetat pentru fiecare valoare a tensiunii

Va.

11

Fig. 4 Algoritmul de trasare a caracteristicii unui dispozitiv semiconductor modelat unidimensional.

12