Inegalităţi algebrice în...

Inegalităţi algebrice

INEGALITĂŢI ALGEBRICE

PROBLEME COMENTATE

1. Să se demonstreze inegalitatea:

, oricare ar fi , 0.2

a b ab a b+≥ ≥

Să se precizeze în ce caz inegalitatea dată devine egalitate. Soluţie: Demonstrăm inegalitatea folosind echivalenţele:

( )

( )

2 2 2

22 2

2 4 2 4 2

2 0 0, ceea ce este evident, oricare ar fi , 0.

a b ab a b ab a b ab a ab b ab

a ab b a b a b

+≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + + ≥ ⇔

⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ ≥

Observăm că egalitatea are loc dacă şi numai dacă ( )2 0,a b− = adică .a b= Comentarii: a) Inegalitatea demonstrată mai sus reprezintă inegalitatea dintre media aritmetică şi media geometrică, iar metoda folosită în demonstraţie se numeşte reducere ( scrierea inegalităţii iniţiale în forme echivalente prin efectuarea de operaţii simple asupra unei inegalităţi, până se ajunge la o formă despre care putem spune cu certitudine că este adevărată ). Aşadar am demonstrat:

( 2MA MG− )

2a b ab+

≥ ,

oricare ar fi , 0.a b ≥ În acelaşi mod, se pot demonstra inegalităţile:

( )2MP MA−

2 2

2 2a b a b+ +

≥ ,

oricare ar fi , 0a b ≥ ( media pătratică şi media aritmetică ),

Prof. Marius Damian, Brăila - 1 -


( )2MG MH−

21 1ab

a b

≥+

,

oricare ar fi , 0a b > ( media geometrică şi media armonică ). În fiecare dintre acestea egalitatea are loc dacă şi numai dacă .a b= Astfel, am stabilit şirul de inegalităţi ale mediilor:

( )2 - - - MP MA MG MH

2 2 21 12 2

a b a b ab

a b

+ +≥ ≥ ≥

+,

oricare ar fi , 0a b > ,

unde recunoaştem media pătratică, media aritmetică, media geometrică şi media armonică. b) Inegalităţile mediilor se pot generaliza, mai întâi pentru trei numere:

( )3MP MA−

2 2 2

3 3a b c a b c+ + +

≥+

)

,

oricare ar fi , , 0,a b c ≥

( 3MA MG− 3

3a b c abc+ +

≥ ,

oricare ar fi , , 0,a b c ≥

( 3MG MH− ) 3 3

1 1 1abc

a b c

≥+ +

,

oricare ar fi , , 0,a b c > în fiecare dintre acestea, egalitatea având loc dacă şi numai dacă .a b c= = Să demonstrăm aceste inegalităţi. Pentru ( )3

MP MA− folosim tot reducerea:

( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2

22 2 2 3 3 3 3 9

a b ca b c a b c a b c a b c a b c+ ++ + + + + +

≥ ⇔ ≥ ⇔ + + ≥ + + ⇔

⇔

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 a b c ab bc ca a ab b b bc c c ca a⇔ + + ≥ + + ⇔ − + + − + + − + ≥ ( ) ( ) ( )2 2 2 0,a b b c c a− + − + − ≥ inegalitate evidentă, egalitatea având loc, evident, dacă şi numai dacă .a b c= =



Pentru ( )3MA MG− facem apel la:

identitatea

( )1 ( ) ( )3 3 3 2 2 23x y z xyz x y z x y z xy yz zx+ + − = + + + + − − −

şi inegalitatea

( )2 2 2 2x y z xy yz zx+ + ≥ + + ,

oricare ar fi , , .x y z∈

Identitatea se verifică uşor prin calcul, iar inegalitatea se demonstrează astfel:

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 0

x y z xy yz zx x y z xy yz zx

x xy y y yz z z zx x x y y z z x

+ + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + ⇔

⇔ − + + − + + − + ≥ ⇔ − + − + − ≥ 0,

ceea ce este evident. Să mai observăm că inegalitatea dată devine egalitate dacă şi numai dacă ( ) ( ) ( )2 2 2 0,x y y z z x− + − + − = altfel spus .x y z= =

Este clar acum că ( )( )3 3 3 2 2 23 0x y z xyz x y z x y z xy yz zx ,+ + − = + + + + − − − ≥ deci 3 3 3 3 , egalul având loc dacă şi numai dacă .x y z xyz x y z+ + ≥ = =

Nu rămâne decât să notăm:

3 3

3 3

3 3

x a x a

y b y

z c z c

⎧ = ⇔ =⎪⎪ = ⇔ =⎨⎪ = ⇔ =⎪⎩

b şi inegalitatea 3 3 3 3x y z xyz+ + ≥ se scrie

echivalent 3 ,3

a b c abc+ +≥ cu egalitate dacă şi numai dacă ;a b c= = astfel am demonstrat

inegalitatea ( )3MA MG− .

Pentru a demonstra inegalitatea ( )3

MG MH− ne folosim de inegalitatea ( )3MA MG−

( demonstrată mai sus ).

Putem scrie: 3 3

1 1 13 1 1 1 1 3

a b cabca b c

a b c

+ +≥ ⇔ ≥ ⋅

+ +

1 1⋅

şi recunoaştem inegalitatea ( )3MA MG− aplicată numerelor 1 1 1, , 0.

a b c>

Mai precizăm că şi în inegalitatea ( )3MG MH− egalul se atinge dacă şi numai dacă .a b c= =

În concluzie, am reuşit să ordonăm mediile şi pentru trei numere:

( )3MP MA MG MH− − −

2 2 23 3

1 1 13 3a b c a b c abc

a b c

+ + + +≥ ≥ ≥

+ +,



oricare ar fi , , 0.a b c >

c) Se pot demonstra inegalităţile mediilor şi pentru numere reale : n 1 2, ,..., 0na a a >

( )nMP MA−

2 2 21 2 1 2... ...n na a a a a a

n n+ + + + + +

≥ ,

( nMA MG− ) 1 2

1 2...

...n nn

a a aa a a

n+ + +

≥ ⋅ ⋅ ⋅ ,

( nMG MH− ) 1 2

1 2

... 1 1 1...n

n

n

na a a

a a a

⋅ ⋅ ⋅ ≥+ + +

,

în fiecare inegalitate egalul având loc dacă şi numai dacă 1 2 ... .na a a= = = Avem deci inegalităţile : ( )n

MP MA MG MH− − −

2 2 21 2 1 2

1 2

1 2

... ...... 1 1 1...

n n nn

n

a a a a a a na a an n

a a a

+ + + + + +≥ ≥ ⋅ ⋅ ⋅ ≥

+ + +,

oricare ar fi 1 2, ,..., 0.na a a >

2. Să rezolvăm următoarele probleme ( în legătură cu problema comentată 1 ): (i) Demonstraţi că oricare ar fi au loc inegalităţile: , , 0,a b c >

3 .3 3

a b c ab bc ca abc+ + + +≥ ≥

Soluţie: Pentru prima inegalitate folosim reducerea:

( ) ( )2 2 2 2 3 3 3

a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca+ + + +≥ ⇔ + + ≥ + + ⇔ + + ≥ + +

şi am obţinut inegalitatea ( )2 . Pentru a doua inegalitate avem, prin ridicare la pătrat:

( ) ( )( )( )2

3 3 3 3 3 3

ab bc ca ab bc ca ab bc caabc abc ab bc ca+ + + + + +≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ,

inegalitate adevărată, dacă ţinem cont de ( )3MA MG− aplicată numerelor , , .ab bc ca



Cu toate că nu se cere în problemă să mai spunem că în ambele inegalităţi egalul se atinge dacă şi numai dacă .a b c= =

(ii) Demonstraţi că, dacă atunci: , , 0,a b c > .bc ca ab a b ca b c+ + ≥ + +

Soluţie: Rezolvarea este imediată conform inegalităţii ( )2 :

( )2 2 2 2 2 2 bc ca ab a b c b c c a a b abc a b ca b c+ + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + ⇔

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 ,ab bc ca ab bc bc ca ca ab+ + ≥ + + inegalitate evidentă. Egalul are loc dacă şi numai dacă .ab bc ca a b c= = ⇔ = =

(iii) Determinaţi valoarea minimă a expresiei: ( ) 4 42 22, ,E x y x y

x y= + + unde , .x y∈

Precizaţi valorile lui şi x y pentru care se realizează acest minim. (OLMR 2003, Clasa a VIII-a)

Soluţie: Aplicăm de două ori inegalitatea ( )2

:MA MG−

( )3 ( ) 4 4 4 4 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 12 2 2 2E x x y x y x y x y

x y x y x y x y⎛ ⎞

= + + ≥ + = + ≥ ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 4.

Se pare că valoarea minimă a expresiei ( ),E x y este 4. Mai trebuie să vedem dacă această

valoare poate fi atinsa, altfel spus dacă există o pereche ( ),a b pentru care ( ), 4E a b = .

,

Mai mult, vom căuta toate perechile cu această proprietate. Să ne reamintim că inegalitatea mediilor devine egalitate dacă şi numai dacă toate variabilele sunt egale.

Cu alte cuvinte, dacă atunci , 0a b ≥ .2

a b ab a b+= ⇔ =

Prin urmare, cele două inegalităţi din ( )3 trebuie să devină egalităţi şi acest lucru se întâmplă

dacă pe de o parte 4 4 ,x y x y= ⇔ = ±

iar pe de altă parte ( )42 22 21 1 1.x y xy xy

x y= ⇔ = ⇔ = ±

Se obţin imediat soluţiile ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 1,1 , 1,1 , 1, 1 , 1, 1x y ∈ − − − − şi acum este clar că singurele posibilităţi de atingere a minimului sunt:

( ) ( ) ( ) ( )1,1 1,1 1, 1 1, 1E E E E= − = − = − − = 4.

***



Am văzut că reducerea este o metodă deosebit de utilă în abordarea inegalităţilor. Metoda care urmează a fi discutată completeză reducerea şi ne imbogăţeşte arsenalul de atac asupra inegalităţilor. Ea se bazează pe proprietăţile relaţiei de ordine " pe mulţimea numerelor reale şi se numeşte spargere.

"≥

Ne sunt utile următoarele propoziţii:

( )1 : Fie , , , , astfel încâtP a b c d ∈ . Atunci a cb d≥≥

a c b d+ ≥ + ;

( )2 : Fie , , , 0, astfel încâtP a b c d ≥ . Atunci a cb d≥≥

.a c b d⋅ ≥ ⋅

Facem observaţia că în loc de " putem pune " "≥ ".> Altfel spus, dacă vrem să demonstram o inegalitate de forma a c b d+ ≥ + ( sau de forma

), unde este suficient să demonstrăm că a c b d⋅ ≥ ⋅ , , , 0,a b c d ≥ şi .a c b d≥ ≥Egalitatea în a c are loc dacă şi numai dacă ambele inegalităţi b d+ ≥ + şi a c b d≥ ≥devin egalităţi. Tot pe baza proprietăţilor amintite, o inegalitate care trebuie demonstrată se poate sparge echivalent în trei sau mai multe inegalităţi "mai mici" care trebuie demonstrate. Să exemplificăm cele discutate rezolvând următoarea problemă: 3. Fie , ,x y z numere reale strict pozitive. Să se arate că:

a) 2

2 23 2 ;x x y

xx xy y−

≥+ +

b) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2 2 2 2.

3x y z xy

xyzy x xy y z y yz z x z zx x+ +

+ + ≥+ + + + + +

yz zx

Soluţie: a) Utilizând reducerea putem scrie:

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

23 2 2 3 3 2 2

2 2

22 2 2 2

3 2 3 2

0 0 0, evident.

x x y x x y x xy y x y x y xyxx xy y

x x y y x y x y x y x y x y

−≥ ⇔ ≥ − + + ⇔ + ≥ + ⇔

+ +

⇔ − − − ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − + ≥

Egalitatea are loc dacă şi numai dacă .x y= b) Vom sparge inegalitatea de demonstrat:

( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 2 3x y z xy yz zx

xyzy x xy y z y yz z x z zx x+ +

+ + ≥+ + + + + +

în trei inegalităţi (acest lucru ne este sugerat de faptul că membrul stâng conţine trei termeni).



Mai întâi, inegalitatea de la a) se poate scrie echivalent:

( )2

2 2

23

x x yxyy x xy y−

≥+ +

, oricare ar fi , 0x y > .

Atunci au loc şi inegalităţile:

( )2

2 2

23

y y zyzz y yz z−

≥+ + ( )

; 2

2 2

23

z z xzxx z zx x−

≥+ +

.

Prin sumarea ultimelor trei inegalităţi (în care a fost spartă inegalitatea "mare"), obţinem:

( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 23 3 3 3

x y z x y y z z x xyxy yz zx xyzy x xy y z y yz z x z zx x

yz zx− − − + ++ + ≥ + + =

+ + + + + +

şi soluţia se încheie. Comentariu: Să reţinem din rezolvarea primei cerinţe a problemei o inegalitate ce se va dovedi a fi un rezultat deosebit de util în multe alte probleme cu inegalităţi:

( )4 , 3 3 2x y x y xy+ ≥ + 2

.oricare ar fi , 0x y ≥Aceasta devine egalitate dacă şi numai dacă .x y= Mai facem precizarea că ea se poate generaliza. Pentru orice are loc: *n∈ ( )5 1 1n n n nx y x y xy− −+ ≥ + ,

oricare ar fi , 0x y ≥ .Egalul are loc dacă şi numai dacă .x y= Să demonstrăm inegalitatea ( )5 . Avem:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

1 1 1 1 1 1

2 2 3 3 2

0

0 0

... 0, inegalitate evidentă, cu egal pentru .

n n n n n n n n

n n n n

x y x y xy x x y y x y x y x y

x y x x y xy y x y

− − − − − −

− − − −

≥

+ ≥ + ⇔ − − − ≥ ⇔ − − ≥ ⇔

⇔ − + + + + ≥ =



În demonstraţia anterioară am folosit identitatea: ( )6 ( ) ( )1 2 3 2 2 3 2...p p p p p p p px y x y x x y x y x y xy y− − − − − −− = − + + + + + + 1 ,

oricare ar fi *, , .x y p∈ ∈ Merită reţinută şi aceasta; ea pote fi utilă în demonstrarea prin reducere a unor inegalităţi dar şi în alte probleme de algebră pentru olimpiadă. Să ne uităm în urmă şi să observăm că experienţa în materie de inegalităţi ni s-a îmbogăţit pe de o parte cu inegalităţile mediilor şi alte inegalităţi mai "mai mici" (dar nu lipsite de importanţă), iar pe de altă parte am exersat două metode deosebit de utile: reducerea şi spargerea. Pentru a întări ceea ce am afirmat despre inegalităţile "mai mici" pe care le-am dat mai sus, să ne încercăm forţele cu o problemă de OBMJ (Olimpiada Balcanică de Matematică pentru Juniori). 4. Fie numere reale pozitive. Demonstraţi inegalitatea: , ,a b c

3 3 3 2 2 2

2 2 2 .a b c a b cb c ab c a

+ + ≥ + +

Soluţie: Suntem tentaţi sa aplicăm reducerea. Ideea este falimentară, deoarece se obţine o inegalitate mai "urâtă". Să încercăm spargerea inegalităţii date în trei inegalităţi (întrebarea este: Cum?). Un ajutor neaşteptat ne este oferit de inegalitatea demonstrată anterior:

( )4 3 3 2 2 ,x y x y xy+ ≥ + oricare ar fi , 0x y > ,

scrisă echivalent, prin împărţire la şi gruparea convenabilă a termenilor: 2y

3 2

2 .x x x yyy

≥ + −

Din ultima inegalitate rezultă inegalităţile:

3 2 3 2 3 2

2 2 2, , ,a a b b c ca b b c c ab c ab c a

≥ + − ≥ + − ≥ + −

care prin sumare dau inegalitatea ce trebuia demonstrată. 5. Să se rezolve, folosind spargerea, problemele următoare: (i) Demonstraţi că oricare ar fi n număr natural nenul:



( )2 2 16 20 42 ... .5 9 13 4 1

n n nn

++ + + + <

+ 2

Soluţie: Termenul general al sumei din membrul stâng este:

( ) ( )( ) { }

2 2 1 2 2 1, 1, 2,...

4 1 2 2 1k

k k k ka k

k k k+ +

= = ∈+ + +

n

Forma obţinută ne duce cu gândul la folosirea inegalităţii:

( )2:MG MA− ,

2a bab +

< oricare ar fi , 0,a b ≥ ,a b≠

scrisă echivalent:

( ) 17 .2

aba b

<+

Atunci:

( )8 ( )2 2 1 1 ,

4 1 2k k

k+

<+

oricare af fi { }1,2,... .k n∈

În relaţia din ( îi dăm lui k pe rând, toate valorile 1 şi obţinem: )8 , , 2,..., k ( )2 2 16 1 20 1 42 1 1, , ,..., .

5 2 9 2 13 2 4 1 2n n

n+

< < <+( )9

<

Prin sumarea acestor inegalităţi (în care a fost spartă inegalitatea iniţială), obţinem ceea ce trebuia demonstrat. (ii) Fie astfel încât Să se arate că: , , , 0a b c d ≥ 1.a b c d+ + + =

8 1 8 1 8 1 8 1 8a b c d+ + + + + + + ≤ .

Soluţie: Spargem inegalitatea dată în patru inegalităţi folosindu-ne de:

( ) ( )1 8 18 1 1 8 1 4 1

2x

x x+ +

+ = + ≤ = + ,x oricare ar fi 0.x ≥

Egalul se atinge dacă şi numai dacă 1 8 1 x=0.x= + ⇔ Rezultă inegalităţile:

( )10

8 1 4 1, 8 1 4 1, 8 1 4 1, 8 1 4 1.a a b b c c d d+ ≤ + + ≤ + + ≤ + + ≤ +

Prin sumarea acestora şi folosirea condiţiei din ipoteză avem:



( )8 1 8 1 8 1 8 1 4 4a b c d a b c d+ + + + + + + ≤ + + + + = 8 şi soluţia se încheie. Mai facem observaţia că în inegalitatea precedentă nu putem avea egalitate şi asta deoarece ar trebui ca inegalităţile din ( să devină egalităţi, iar acest lucru se întâmplă dacă şi numai dacă imposibil dacă ţinem cont de condiţia

)100,a b c d= = = = 1.a b c d+ + + =

(iii) Demonstraţi că oricare ar fi numere reale pozitive având produsul egal cu 1, are loc inegalitatea:

, ,a b c

3 3 3 3 3 31 1 1 1.

1 1 1a b b c c a+ + ≤

+ + + + + +

Soluţie: Pe baza condiţiei şi a inegalităţii 1abc = 3 3 2 2 ,x y x y xy+ ≥ + putem scrie:

3 3 3 3 2 21

1abc abc c

a b ca b a b abc a b ab abc= ≤ =

+ ++ + + + + +

şi relaţiile analoage:

3 3 3 31 1, .

1 1a b

a b c a b cb c c a≤ ≤

+ + ++ + + + +

Prin sumarea acestor trei inegalităţi obţinem inegalitatea care trebuia demonstrată. Egalul se atinge dacă şi numai dacă 1.a b c= = = 6. Să se demonstreze inegalitatea:

( ) ( ) ( 22 2 2 2a b x )y ax by+ + ≥ + , oricare ar fi , , , , , 0a b x y a b∈ ≠

şi să se precizeze in ce condiţii are loc egalitatea. Soluţie: Demonstraţia este simplă şi foloseşte reducerea. Avem: ( )( ) ( )

( )

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

22 2 2 2

2

2 0 0, inegalitate evidentă.

a b x y ax by a x a y b x b y a x abxy b y

a y abxy b x ay bx

+ + ≥ + ⇔ + + + ≥ + +

⇔ − + ≥ ⇔ − ≥

⇔

Egalitatea se atinge dacă şi numai dacă ( )2 0,ay bx− = echivalent cu ,ay bx= adică .x ya b=

Comentarii: a) Inegalitatea de mai sus poartă numele de inegalitatea Cauchy - Schwarz ( pe scurt, CS ); ea mai poate fi demonstrată folosind identitatea lui Lagrange:

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2a b x y ax by ay bx+ + = + + −

După cum este de aşteptat inegalitatea (CS) se poate generaliza. Mai întâi:



( )3:CS ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 ,a b c x y z ax by cz+ + + + ≥ + + , , 0,a b c ≠

egalitatea având loc dacă şi numai dacă ,x y za b c= = altfel spus dacă şi numai dacă , ,x y z sunt

proporţionale cu , , .a b c Să demonstrăm, folosind reducerea, această inegalitate. Avem:

( )( ) ( )

( ) ( ) (( ) ( ) ( )

22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

0, inegalitat

a b c x y z ax by cz

a x a y a z b x b y b z c x c y c z

a x b y c z abxy bcyz cazx

a y abxy b x b z bcyz c y c x cazx a z

ay bx bz cy cx az

+ + + + ≥ + + ⇔

⇔ + + + + + + + + ≥

≥ + + + + + ⇔

⇔ − + + − + + − + ≥

⇔ − + − + − ≥ e evidentă.

) 0 ⇔

Mai observăm că egalul are loc dacă şi numai dacă , şi ,ay bx bz cy cx az= = = echivalent cu

.x y za b c= = Astfel am demonstrat inegalitatea ( )3

CS .

Dacă în facem obţinem: ( )3

CS 1a b c= = =

( ) ( )22 2 23 x y z x y z+ + ≥ + + ,

care admite formele echivalente:

2 2 2x y z xy yz zx+ + ≥ + + ,

inegalitate foarte importantă pe care am demonstrat-o mai sus şi

2 2 2

,3 3

a b c a b c+ + + +≥

carte este tocmai inegalitatea ( )3

.MP MA− b) Intuim că inegalitatea (CS) are loc şi pentru numere. 4n ≥ ( ) :

nCS ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2... ... ...n na a a x x x a x a x a x+ + + + + + ≥ + + + n n

Egalitatea în ( se atinge dacă şi numai dacă )nCS 1 2

1 2

... .n

n

xx xa a a

= = =

Demonstraţia acestei inegalităţi se poate face, de exemplu, asemănător celei pentru . ( )3

CS



5. Să rezolvăm trei probleme folosind inegalitatea ( )CS : (i) Fie astfel încât Demonstraţi că: , ,x y z∈ 2 2 2 1.x y z+ + =

3 3x y z− ≤ + + ≤ .

Soluţie: Scriem inegalitatea în forma: ( )3

CS

( ) ( )2 2 2 23x y z x y z+ + ≤ + +

şi conform condiţiei obţinem: 2 2 2 1x y z+ + =

( )2 3 3 3x y z x y z+ + ≤ ⇔ − ≤ + + ≤ care încheie soluţia. (ii) Dacă atunci: , , 0a b c >

2 2 2

.2

a b c a b cb c c a a b

+ ++ + ≥

+ + +

Soluţie: Folosim trucul acesta constă în scrierea inegalităţii care trebuie demonstrată într-o formă echivalentă obţinută prin înmulţirea ei cu o cantitate pozitivă ce se regăseşte în inegalitatea ( )

( );CS

.CS Pentru a fixa ideile, scriem mai întâi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2

2

.2


a b c a bb c c a a b b c c a a bb c c a a b

+ ++ + ≥ ⇔

+ + +⎛ ⎞ + +

⇔ + + + + + ⋅ + + ≥ + + + + + ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ + +⎝ ⎠

c

În continuare să observăm că membrul stâng al ultimei inegalităţi pare să se regăsească în inegalitatea ( ) .CSAcest lucru se confirmă după cum se vede mai jos:

( ) ( ) ( )2 2

2 2 2

2

.

a b cb c c a a bb c c a a b

a b cb c c a a bb c c a a b

2⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤+ + + + + ⋅ + + ≥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞≥ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

Aşadar am aplicat inegalitatea şi mai avem de arătat că: (CBS )

( ) ( ) ( )2

.2

a b c ab c c a a b b c c a a bb c c a a b

+ +⎛ ⎞+ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ ≥ + + + + + ⋅⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦+ + +⎝ ⎠

b c



Acesta din urmă se scrie echivalent: care este evidentă. ( ) (2a b c a b c+ + ≥ + + )2

Să mai precizăm că egalitatea se atinge dacă şi numai dacă:

a b ca b cb c c a a b a b c

b c c a a bb c c a a b+ + += = ⇔ = = ⇔ =

+ + ++ + + .=

(iii) Dacă să se arate că: , , 0a b c >

3 .2

a b cb c c a a b

+ + ≥+ + +

Soluţie: Aplicăm din nou trucul ( ) :CS

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 23 .2

a b cb c c a a b

a b ca b c b c a c a b a b c b c a c a bb c c a a b

+ + ≥ ⇔+ + +

⎛ ⎞⇔ + + + + + ⋅ + + ≥ ⋅ + + + + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ + +⎝ ⎠Conform inegalităţii ( avem: )CS

( ) ( ) ( ) a b ca b c b c a c a bb c c a a b

⎛ ⎞+ + + + + ⋅ + + ≥⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ + + +⎝ ⎠

( ) ( ) ( )2

,a ba b c b c a c a bb c c a a b

⎡ ⎤≥ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

c+

deci mai trebuie să demonstrăm că:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

3 .2

a b ca b c b c a c a b a b c b c a c a bb c c a a b

⎡ ⎤+ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ ≥ ⋅ + + + + +⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎣ ⎦+ + +⎣ ⎦

Aceasta se scrie echivalent:

( ) ( )2 2 2 23 a b c ab bc ca a b c ab bc ca+ + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + , inegalitate evidentă care încheie soluţia. Egalul se atinge dacă şi numai dacă .a b c= = 6. Arătaţi că oricare ar fi şi , 0a b > ,x y∈ are loc inegalitatea:

(*) ( )22 2 x yx y

a b a b+

+ ≥+

.( variantă a inegalităţii CS )

În ce caz are loc egalitatea?

Soluţie: Din nou reducere:



( )

( )

22 22 2 2 2 2 2 2 2

22 2 2 2

2

2 0 0, ceea ce este evident.

x yx y abx b x aby a y abx abxy abya b a b

b x abxy a y bx ay

++ ≥ ⇔ + + + ≥ + + ⇔

+

⇔ − + ≥ ⇔ − ≥

Egalul are loc dacă şi numai dacă x ya b= şi soluţia se încheie.

Comentarii: a) Inegalitatea demonstrată mai sus este deosebit de importantă, ea oferind demonstraţii elegante multor inegalităti. Vom exemplifica acest lucru. Dar mai întâi să încercăm generalizarea acesteia. Fie şi , ,x y z∈ , , 0.a b c >Conform inegalităţii (*), putem scrie:

( ) ( )2 22 2 2 2

.x y x yx y z z

a b c a b c a b c+ +

+ + ≥ + ≥+ +

c++

Am obţinut astfel:

(**) ( )22 2 2 + ++ + ≥

+ +x y cx y z

a b c a b c,

oricare ar fi şi , , 0a b c > , , .x y z∈

Egalul se atinge dacă şi numai dacă .= =x y za b c

Dacă în (**) facem ,a b c= = obţinem din nou inegalitatea:

( ) ( )22 2 23 x y z x y z+ + ≥ + +

care este pe de o parte o formă echivalentă a inegalităţii

( 3MP MA− )

2 2 2

,3 3

+ + + +≥

a b c a b c

iar pe de altă parte, după desfiinţarea parantezelor şi reducerea termenilor asemenea, obţinem binecunoscuta inegalitate:

.+ + ≥ + +2 2 2x y z xy yz zx

b) Pe aceeaşi idee putem demonstra forma generalizată a inegalităţii , adică: 3( )TA

( )......

...

222 21 21 2

1 2 1 2

nn

n n

x x xxx xa a a a a a

+ + ++ + + ≥

+ + +

oricare ar fi 1 2 1 2, ,..., , , ,..., 0.n nx x x a a a∈ >



Egalitatea are loc dacă şi numai dacă 1 2

1 2

... .n

n

xx xa a a

= = =

7. Utilizând inegalitatea precedentă, să se demonstreze următoarele inegalităţi, precizâd în ce condiţii are loc egalitatea: (i) Dacă atunci: , , 0a b c >

2 2 2

.a b c a b cb c a+ + ≥ + +

Soluţie: Din inegalitatea (**) rezultă:

( )22 2 2 a b ca b c a b cb c a a b c

+ ++ + ≥ = + +

+ +

şi inegalitatea este justificată. Egalul se atinge dacă şi numai dacă:

.a b c a b cb c a= = ⇔ = =

(ii) Dacă atunci: , , 0a b c >

2 2 2

.2


+ ++ + ≥

+ + +

Soluţie: Punând inegalitatea (**) în acţiune, putem scrie:

( )( ) ( ) ( )

( )( )

2 22 2 2

.2 2

a b c a b ca b c a b cb c c a a b b c c a a b a b c

+ + + + + ++ + ≥ = =

+ + + + + + + + + +

Mai precizăm că egalitatea are loc dacă şi numai dacă:


= = ⇔ = =+ + +

şi soluţia se încheie. Aţi recunoscut desigur că inegalitatea pe care tocmai am demonstrat-o a fost justificată mai devreme cu ajutorul inegalităţii ( ).CS Să remarcăm cu acestă ocazie simplitatea şi eleganţa

soluţiei în care am folosit inegalitatea(**). Asta nu înseamnă că inegalitatea ( )CS trebuie neglijată. Există probleme în care această inegalitate este mai utilă la rândul ei decât inegalitatea ( ) .TA

(iii) Dacă să se arate că: , , 0a b c >

3 .2

a b cb c c a a b

+ + ≥+ + +

Soluţie: Avem:



( )( )

22 2 2

,2

a b ca b c a b cb c c a a b ab ac bc ba ca cb ab bc ca

+ ++ + = + + ≥

+ + + + + + + +

deci mai rămâne să arătăm că:

( )( )

23 .

2 2a b cab bc ca+ +

≥+ +

Ultima inegalitate se poate scrie echivalent:

( ) ( )2 2 2 23 a b c ab bc ca a b c ab bc ca+ + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + ,

evidentă şi dacă mai precizăm că egalul are loc dacă şi numai dacă ,a b c= = soluţia se încheie.

***

Să recapitulăm. În acest capitol am discutat despre câteva inegalităţi, să le spunem clasice, deosebit de importante: inegalităţile mediilor, inegalitatea Cauchy -Schwarz, împreună cu varianta ei, precum şi alte câteva inegalităţi, le-am zis noi "mai mici", dar la fel de importante. Pe lângă acestea, problemele rezolvate au făcut apel la trei metode simple: reducerea, spargerea şi trucul (CS). Evident arsenalul de inegalităţi şi metode nu este epuizat. Să mai spunem aici că o altă metodă foarte elegantă este intercalarea (vom aplica această metodă în sectiunea problemelor propuse). Dar înainte de a trece la problemele propuse să trecem în revistă şi alte câteva inegalităţi clasice care, cu siguranţă, vor fi arme utile în lupta împotriva inegalităţilor. Acestea vor fi scrise în forma generală, iar ca exerciţiu, se pot face particularizări ale lor. Inegalitatea Minkowski Oricare ar fi avem: *

1 2 1 2, ,..., , , ,..., , ,n na a a b b b n∈ ∈

( ) ( ) ( )22 22 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2... ... ... .n na a a b b b a b a b a b+ + + + + + + ≥ + + + + + +n n

Inegalitatea Cebâşev Oricare ar fi şirurile de numere reale şi 1 2, ,..., na a a 1 2, ,..., ,nb b b *,n∈ I) Dacă şirurile sunt la fel ordonate, adică 1 2 ... na a a≤ ≤ ≤ şi 1 2 ... ,nb b b≤ ≤ ≤ atunci:



1 1 2 2 1 2 1 2... ... ....n n n na b a b a b a a a b b b

n n n+ + + + + + + + +

≥ ⋅

II) Dacă şirurile sunt invers ordonate, adică 1 2 ... na a a≤ ≤ ≤ şi atunci: 1 2 ... ,nb b b≥ ≥ ≥

1 1 2 2 1 2 1 2... ... ....n n n na b a b a b a a a b b b

n n n+ + + + + + + + +

≤ ⋅

Inegalitatea rearanjamentelor Fie şiruri de numere reale la fel ordonate, iar

şirul format din numerele scrise eventual în altă ordine. Atunci:

*1 2 1 2, ... , ... ,nn a a a b b∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ nb

−

1 2, ,..., ,nc c c 1 2, ,..., ,nb b b

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1... ... ... .n n n n n n na b a b a b a c a c a c a b a b a b−+ + + ≥ + + + ≥ + + +

Inegalitatea Bernoulli Oricare ar fi are loc inegalitatea: şi , 1,n a a∈ ∈ >

( )1 1na n+ ≥ + .a

Observaţie: Pentru inegalitatea Bernoulli mai poate fi scrisă şi sub forma , 2,n n∈ ≥

( )1 11 1na a

n+ ≤ + .

(Dacă 1

0 şi , 2, prin înţelegem .nnx n n x≥ ∈ ≥ x ) Inegalitatea Hölder

Oricare ar fi *1 2 1 2

1 1, , ,..., , , ,..., şi , , , 2 astfel încât 1,n nn a a a b b b p q p qp q

∈ ∈ ∈ ≥ + =

avem:

( ) ( )1 1

1 1 2 2 1 2 1 2... ... ... .p qp p q qp qn n n na b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +

Inegalitatea mediilor generalizată Oricare ar fi are loc: *

1 2, , ,..., 0 şi , , , 2, ,nn a a a p q p q p q∈ > ∈ ≥ ≥

1 1

1 2 1 2... ....

p p p q q qp qn na a a a a a

n n⎛ ⎞ ⎛+ + + + + +

≥⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠



- PROBLEME PROPUSE -

1. Dacă atunci au loc inegalităţile: , , 0,a b c ≥

a) 2 2

;2 2

a b a b+ +≥

b) ( )2 2 2 2 2 2 2 .a b b c c a a b c+ + + + + ≥ + + (OLMR 1990, Clasa a VII-a)

2. Arătaţi că: a) dacă atunci , 0 şi 1,a b a b≥ + = 2 2 1;a b+ ≤

b) oricare ar fi avem x∈ [ ]2

4

2 0;1 ;1

xx∈

+

c) oricare ar fi avem * şi oricare ar fi x n∈ ∈( )222

4 4

12 1.1 1

nn xx

x x

⎡ ⎤−⎛ ⎞ ⎢ ⎥+ ≤⎜ ⎟ ⎢ ⎥+ +⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦

(OLMR 1994, Clasa a VIII-a)

3. Fie ( ) 1 1 1 11 1 1 ... 1 , , , 2, 1.2 3 4n k k k kE k n k n k

n⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ∈ ≥ ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a) Calculaţi ( )1 .nE

b) Calculaţi ( )2 .nE

c) Să se arate că ( ) 12nE k > oricare ar fi , , ,n k n k 2.∈ ≥

(OLMR 2001, Clasa a VII-a) 4. Să se demonstreze inegalitatea:

2 2 2 21 1 1 1 2001... .

40042 4 6 2002+ + + + <

(OLMR 2002, Clasa a VI-a)

5. Arătaţi că: 0 1 2 19941 1 1 1 1... .

11 11 11 11 9⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + <⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0

(OLMR 1994, Clasa a VII-a)

***



6. a) Arătaţi că ( ) ( ) ( )22 2 23 ,a b c a b c a b c+ + ≥ + + ∀ ∈ , , .

b) Fie cu Demonstraţi că: , , 0a b c > 1.a b c⋅ ⋅ =2 2 2 2 2 2

3.b c c a a b a b ca b c+ + +

+ + ≥ + + +

(OJMR 2003, Clasa a VIII-a)

7. Să se arate că ( ) ( )4 4 4 , , , .a b c abc a b c a b c+ + ≥ + + ∀ ∈ (OJMR 1995, Clasa a VIII-a)

8. Fie Arătaţi că: , , 0.a b c >

a) ( ) 1 1 4;a ba b

⎛ ⎞+ + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

b) dacă atunci 1,a b c+ + =1 1 1 9.a b c+ + ≥

(OJMR 1995, Clasa a VII-a)

9. Dacă ( ) ( ), 1;1 , arătaţi că 1;1 .1a ba b

ab+

∈ − ∈ −+


10. Demonstraţi că, oricare ar fi are loc: *,n∈

1 2 3 1 1 1 1... ... .2 3 4 1 3 4 5 2

nn n

+ + + + < + + + ++ +


11. Arătaţi că, oricare ar fi are loc inegalitatea: , , 0,x y z >

( )( ) ( )( ) ( )( )3 .

4yx z

x y x z y z y x z x z y xyz+ + ≤

+ + + + + +


12. Se dau numerele 1 3 5 1993 2 4 6 1994... şi ... .2 4 6 1994 3 5 7 1995

M N= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

a) Comparaţi numerele şi .M N b) Arătaţi că a patra zecimală a numărului 2M este cel mult egală cu 5.


13. Fie astfel încât: , ,a b c∈6 12 8, 6 12 8, 6 12 8.abc ab c abc bc a abc ca b− + > − + > − + >

Arătaţi că cel puţin unul din numerele este mai mare decât 2. , ,a b c(OJMR 1996, Clasa a VII-a)

14. Dacă sunt lungimile laturilor unui triunghi, arătaţi că: , ,a b c

( )2 2 2 2 0a b c ab bc ca+ + − + + < . (OJMR 1995, Clasa a VII-a)




( )2

2 22 .a b ac b cc

⎛ ⎞+ + + >⎜ ⎟⎝ ⎠


*** 16. Numerele reale verifică următoarele ingalităţi: , , ,a b c d

3 , 3 , 3 , 3 .a b c d b c d a c d a b d a b c+ + ≤ + + ≤ + + ≤ + + ≤ Comparaţi numerele , , , .a b c d

(ONMR 2000, Clasa a VII-a) 17. Fie , ,x y z numere reale. Să se arate că: a) 2 2 2 ;x y z xy yz zx+ + ≥ + +

b) dacă atunci 1,x y z+ + = 2 2 2 1 .3

x y z+ + ≥

(ONMR 1986, Clasa a VII-a)

18. a) Să se arate că pentru orice numere reale are loc inegalitatea: ,x y ≥ 02 .x y x+ ≥ y

b) Fie numere reale pozitive cu , , ,a b c d 1.abcd = Atunci are loc inegalitatea: 2 2 2 2 10.a b c d ab ac ad bc bd cd+ + + + + + + + + ≥


19. Fie Să se arate că: , , cu 1.x y z x y z∈ + + =

( )2 2 2 4 1x y z xy yz zx+ + ≥ + + − . În ce caz are loc egalitatea?


20. a) Fie , , ,u v x y numere pozitive. Arătaţi că: ( )( )2

4.

uy vxu vx y x y

++ ≥

+

b) Fie numere pozitive. Arătaţi că: , , ,a b c d

1.2 2 2 2a b c d

b c d c d a d a b a b c+ + +

+ + + + + + + +≥

(ONMR 2005, Clasa a VIII-a)

21. Fie , , ,x y z t numere reale astfel încât: 1

3tx y z +

+ + = şi 2 4 48 ,

36t txy yz zx + +

+ + = cu 0.t <

a) Să se afle t pentru care 2 2 2 3.x y z+ + ≥ b) Pentru ce valori ale variabilelor , , ,x y z t avem egalitate?




22. Fie numere naturale distincte mai mari sau egale cu 2. Să se arate că: , ,a b c

2 2 21 1 11 1 1

2a b c⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞− − − >⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

1 .


23. Să se arate că oricare ar fi are loc inegalitatea: , 10,n n∈ ≥

( )334 1 .3

n n> +


24. Fie Să se arate că: , , 1.x y z ≥ a) 1 ;x y x+ ≤ + y b) ( )3 2 ;xy yz zx x y z+ + ≥ − + + +

c) ( )( )(1 1 1 14

).xyz x y z≥ + + +

În ce caz are loc egalitatea? (ONMR 1988, Clasa a VIII-a)

25. Fie mulţimea ( ){ }, 0,D x y x y= ∈ × > > 0 .

a) Să se arate că, dacă ( ),x y D∈ şi 1,x y+ = atunci 1 11 1 9x y

⎛ ⎞ .⎛ ⎞+ + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟

b) Să se reprezinte grafic mulţimea punctelor ( ),x y D∈ astfel încât [ ] [ ]2 2 9,x y+ ≤ unde

[ ]a reprezintă partea întreagă a numărului real .a (ONMR 1989, Clasa a VII-a)

26. Fie numere reale strict pozitive. 1 1 2 2, 2 şi , , , ,..., ,n nn n x y x y x∈ ≥ y

n a) Demonstraţi că dacă 1 2 1 1 2 2... ... ,n nx x x x y x y x+ + + ≥ + + + y atunci

1 21 2

1 2

... ... .nn

n

xx xx x xy y y

+ + + ≤ + + +

b) Folosind, eventual, punctul a), demonstraţi că dacă sunt numere reale pozitive , ,a b c cu proprietatea că atunci 3ab bc ca abc+ + ≤ , 3 3 3 .a b c a b c+ + ≥ + +


27. Fie , , , , ,x y z a b c numere reale nenule care verifică egalităţile:

1 şi 0.x y z a b ca b c x y z+ + = + + =

Să se arate că: a) 2 2 2

2 2 2 1;x y za b c

+ + =

b) 2 2 2

2 2 2 9.a b cx y z

+ + ≥




28. a) Să se determine cel mai mic număr real astfel încât pentru orice numere reale ,a ,x y

să avem ( ) ( )2 2 2 .x y a x y+ ≤ +

b) Să se determine cel mai mic număr real astfel încât pentru orice numere reale ,a , ,x y z

să avem ( ) ( )2 2 2 2 .x y z a x y z+ + ≤ + +


29. Dacă sunt lungimile laturilor unui triunghi, demonstraţi că: , ,a b c

3.a b ca b c a b c a b c

+ + ≥− + + − + + −


30. Fie astfel încât Să se arate că: ,a b∈ 2.a b+ =

{ } { }min ; 1 max ;a b a b≤ ≤ dacă şi numai dacă ( )3;1 .a b⋅ ∈ − (ONMR 1996, Clasa a VIII-a)

31. Fie , ,x y z numere reale pozitive astfel încât 1.xyz = Arătaţi că:

9 9 9 9 9 9

6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6 2.x y y z z xx x y y y y z z z z x x

+ + ++ +

+ + + + + +≥


***

32. Fie numere reale pozitive astfel încât , ,a b c 1 1 1 .a b ca b c

+ + ≥ + +

Arătaţi că 3 .a b cabc

+ + ≥

(Baraj pentru OBMJ 2005)

33. Fie numere reale pozitive astfel încât , ,a b c ( )( )( ) 1.a b b c c a+ + + = Arătaţi că: 3 .4

ab bc ca+ + ≤

(Baraj pentru OBMJ 2005) 34. Fie numere reale pozitive cu , ,a b c 3.a b c+ + = Arătaţi că:

( )( )( ) 2 2 23 2 3 2 3 2 .a b c a b− − − ≤ c (Baraj pentru OBMJ 2005)

35. Fie numerele reale pozitive astfel încât , ,a b c 2.a b c⋅ ⋅ = Să se demonstreze inegalitatea:

3 3 3 .a b c a b c b c a c a b+ + > + + + + + (Shortlist OBMJ 2002)



36. Determinaţi toate tripletele de numere reale ( ), ,x y z astfel încât:

2 1 2 1 2 1 .x y y z z x xy yz− + − + − ≥ + + zx (Shortlist OBMJ 2000)

37. Dacă atunci are loc inegalitatea: , , 0,a b c >

( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 27 .

b a b c b c a c a a b c+ + ≥

+ + + + +

(OBMJ 2002)

38. Arătaţi că, oricare ar fi are loc inegalitatea: , , 1,x y z > −2 2 2

2 2 2

1 1 1 2.1 1 1

x y zy z z x x y+ + +

+ + ≥+ + + + + +

(OBMJ 2003)

***

39. Fie numere reale pozitive. Demonstraţi inegalitatea: , ,a b c

( )22 2 2 4.

a ba a a a b cb b b a b c

−+ + ≥ + + +

+ +

Când are loc egalitatea? (OBM 2005)

40. Demonstraţi că , oricare ar fi ( ) ( )222 3 1 6 !n nn n n+ + ≥ ⋅ .n∈

(OBM 1992)

41. Numerele reale 1 2 3 4 5 6x x x x x x≤ ≤ ≤ ≤ ≤ verifică următoarele condiţii:

1 2 3 4 5 6 10,x x x x x x+ + + + + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 2 3 4 5 61 1 1 1 1 1x x x x x x− + − + − + − + − + − = 6.

Care este cea mai mare valoare pe care o poate lua 6 ?x (OBM 1993)

42. Fie astfel încât *

1 2 şi , ,..., 0nn x x x∈ ≥ 1 2 ... 1.nx x x+ + + = Arătaţi că:

1 2

1 2

... .2 2 2 2

n

n

xx x nx x x n+ + + ≥

− − − −1

(OBM 1984) 43. Fie astfel încât Arătaţi că: , , 0a b c ≥ .a b c a b c+ + ≥ ⋅ ⋅

2 2 2 3 .a b c abc+ + ≥ (OBM 2001)

***



44. Dacă verifică atunci: , , 0x y z ≥ 1,x y z+ + =70 227

xy yz zx xyz≤ + + − ≤ .

(OIM 1984)

45. Fie numere reale pozitive astfel încât , ,a b c 1.abc = Demonstraţi că:

( ) ( ) ( )3 3 31 1 1 .

2a b c b c a c a b3

+ + ≥+ + +

(OIM 1995)

46. Fie , ,x y z numere reale pozitive având produsul egal cu 1. Demonstraţi că: 1 1 11 1 1x y zy z x

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞− + − + − + ≤⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

1.

(OIM 2000) 47. Fie numere reale pozitive.Demonstraţi că: , ,a b c

2 2 21.

8 8 8

a b c

a bc b ca c ab+ + ≥

+ + +

(OIM 2001) 48. Fie lungimile laturilor unui triunghi de arie Demonstraţi că: , ,a b c .S

2 2 2 4 3 .a b c S+ + ≥ Când are loc egalitatea?

(OIM 1961) 49. Dacă sunt lungimile laturilor unui triunghi, arătaţi că: , ,a b c

( ) ( ) ( )2 2 2 3 .a b c a b c a b c a b c abc+ − + + − + + − ≤ (OIM 1964)


( ) ( ) ( )2 2 2 0.a b a b b c b c c a c a− + − + − ≥ Când are loc egalitatea?

(OIM 1983)

***



BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ

[ ]1 Drimbe, M. O., Inegalităţi, idei şi metode, Editura Gil, Zalău, 2003

[ ]2 Vornicu, V., Olimpiada de Matematică de la provocare la experienţă, Editura Gil, Zalău, 2003

[ ]3 Becheanu, M., Enescu, B., Inegalităţi elementare ... şi mai puţin elementare, Editura Gil, Zalău, 2002 [ ]4 Romanian Mathematical Competitions, 1995-2005 [ ]5 Fianu, M., Olimpiadele bucureştene de matenatică, Editura Gil, Zalău, 2003 [ ]6 http://www.mathlinks.ro


Inegalităţi algebrice în...

Documents

Transcript of Inegalităţi algebrice în...