Sisteme de Ecuaţii Diferenţiale Şi Modele În Fizică Inginerie Şi Sociologie

Sesiunea de Comunicri tiinifice Studeneti, SCCS 2015, Seciunea 12.X

SISTEME DE ECUAII DIFERENIALE I MODELE N FIZIC, INGINERIE I SOCIOLOGIE

Autori Oana Daciana BOTTA1, Loredana Angelica MARE2, Coordonator tiinific Valeriu PREPELI3

Abstract: Ecuaiile difereniale, la o prim observare, ar prea s aparin strict unui cadru matematic, fiind o completare logic formal a calculului diferenial. Totui, acest domeniu i are originea n mecanic, Newton i Leibniz fiind iniiatorii calculului diferenial. Sistemele de ecuaii difereniale sunt folosite n modelarea numeroaselor sisteme naturale, avnd un rol important n misiuni

spaiale, proiectare, calculul variaiei numerice a populatiilor i rspndirea epidemiilor. n aceast lucrare ne propunem s artm rolul sistemelor de ecuaii in diferite domenii de interes, ajutndu-ne de calculul cu soft specializat.

Cuvinte cheie: sisteme de ecuaii difereniale, modele fizice, aplicatii inginereti, probleme sociologice.

1. Introducere

O ecuaie diferenial este, ntr-o definiie ampl, o ecuaie matematic pentru o funcie necunoscut, de una sau mai multe variabile, ale crei valori i derivate de ordine diferite sunt n legtur direct cu un fenomen particular[1]. Datorit versatilitii lor, acestea constituie o arie larga de studiu i sunt folosite pentru studierea i modelarea fenomenelor naturale. Cu ajutorul lor se pot anticipa viitoare aciuni, precum condiiile sub care s-ar putea rupe o grind, felul n care s-ar mprtia o boal contagioas sau modul n care variaz populaiile diferitelor specii n timp [2]. De multe ori, este necesar mai mult de o singur ecuaie pentru studiul unui fenomen. Spre exemplu, dac acesta este constituit din interacia mai multor variabile dependente de o variabil independent (ce reprezint de obicei timpul), soluia se va gsi prin rezolvarea sistemului format. Pentru rezolvarea acestora exista diferite moduri, cum ar fi folosirea metodei operatorului, cu

ajutorul creia sistemul se rezolva asemntor celui algebric, a matricilor sau a Transformatei Laplace [3]. n aceast lucrare, vom vorbi despre situaii n care au fost folosite sistemele de ecuaii difereniale i probleme din diferite arii ce se rezolv cu ajutorul lor.

1 Student, grupa 1322, Facultatea de tiine Aplicate

2 Student, grupa 1322, Facultatea de tiine Aplicate

3 Prof., Departamentul de Matematic-Informatic

Autori Oana Daciana Botta, Loredana Angelica Mare, Coordonator tiinific Valeriu Prepeli

2. Teoria lucrrii

Pentru rezolvarea ecuaiilor difereniale exist diferite metode pentru reducerea acestora la o problem mai simpl. n continuare vom prezenta cateva dintre acestea.

2.1 Notarea operatorului

Una dintre metodele de rezolvare a unui sistem liniar de ecuaii implic operatorul diferenial

ce poate fi folosit pentru un sistem cu oricte ecuaii, avantajul fiind simplificarea rezolvrii, aceasta devenind asemntoare cu cea a unui sistem algebric. Forma general a unui sistem se va reprezenta ca

(1)

unde L1, L2, L3 i L4 sunt operatorii difereniali liniari cu coeficieni constani. Astfel soluiile x i y trebuie s depind de aceleai funcii liniare independente, dar nu i aceleai constante arbitrare. Numrul de constante din soluie este acelai cu ordinul determinantul matricei

Dac acesta este nul, sistemul este degenerat, avand niciuna sau infinite soluii. Pentru rezolvarea sistemului se folosete acest determinat i mpreun cu regula lui Cramer gsim c

Dac toi 3 determinanii sunt nuli, sistemul are infinite soluii, iar dac doar primul este nul, dar nu i egal cu ceilali doi, sistemul nu are soluii.

Sisteme de ecuaii difereniale i modele in fizic, inginerie i sociologie

2.2 Calcul matriceal

Vom considera scrierea unui sistem liniar cu coeficieni constani ca fiind matricea

cu

valorile proprii i

vectorii proprii ai matricei A. Soluia

general a sistemului va fi determinat de valorile proprii ale lui A. Pentru a gsi soluia presupunem c este o soluie a sistemului, deci trebuie s satisfac ecuaia Considernd ca i ecuia se simplific

Cutm soluii diferite de i deci, dac A are n valori proprii distincte, se poate gasi un set de n vectori proprii liniari independeni i astfel forma n soluii liniar independente de forma

n consecin, soluia general se va scrie sub forma

2.3 Transformate Laplace

n multe cazuri, transformatele Laplace pot fi folosite n rezolvarea problemelor

cu sistemele liniare de ecuaii difereniale. Sistemul de ecuaii algebrice se va obine n urma aplicrii transformatei Laplace fiecrei ecuaii. n final, inversa transformatei Laplace va fi folosit pentru gsirea funciilor necunoscute din soluiile sistemului.

3. Exemple de probleme

Ecuaiile difereniale i-au gsit rolul n numeroase aplicaii, din trecut pn n prezent, dintre care i unele ce nu au o direct legtur cu matematica. n continuare vom prezenta cteva dintre ele.


3.1 Circuite RLC

Pentru a determina cderile de tensiune dintr-un circuit, se vor nsuma tensiunile n sensul acelor de ceasornic. Direcia pozitiv va fi luata de la borna negativ a sursei de tensiune ctre cea pozitiv. De asemenea, se va ine cont de legea lui Kirchhoff pentru tensiune

Exemplu : Se consider circuitul RLC

cu i . Vom determina curentul cu ajutorul valorilor [0,0], [1,1], [-1,1], [1,-1], [1,2], [1,-2], [-1,2], [-1,-2], [2,1], [2,-1], [3,1],

[3,-1], [4,1], [4,-1], [5,1], [5,-1], unde fiecare pereche reprezinta [C1, C2] din

soluia general. Se va construi un grafic pentru diagrama de faz.

Pentru modelarea acestui circuit se va folosi sistemul de ecuaii

Cu ajutorul celor 16 perechi corespunztoare constantelor C1 i C2 din soluia sistemului omogen, se va realiza diagrama de faz (figura 1) cu I i Q in funcie de variabila t.

V(t)

+

L

C

-

R


Fig. 1

De asemenea se vor realiza diagramele pentru soluiile particulare ale lui Q(t), figura 2, respectiv I(t), n figura 3, pentru t aparinnd [1,16] .

Fig. 2 Fig. 3

3.2 Interacii ntre populaii

Una dintre problemele ce pot fi tratate cu sisteme de ecuaii este dinamica unor populaii prdtor-prad, ce se poate modela cu un sistem Lotka-Volterra ce modeleaza interaciunea dintre dou populaii. Considerm x(t) i y(t) cele dou populaii la un anumit moment de timp. De asemenea, fie a rata natalitii pentru x(t) i b rata interaciunii ntre x(t) i y(t). Avnd n vedere c interaciunea ntre


cele dou populaii reprezint un prdtor ce i consum o prad, variaia lui x n funcie de timp va fi :

Similar consideram d rata de cretere a populaiei de prdtori i c rata mortalitii, deci variaia lui y n funcie de timp va fi

Cele dou ecuaii formeaz sistemul Lotka-Volterra ce trebuie rezolvat cu populaiile iniiale x(0)=x0 i y(0)=y0.

Exemplu: Ne propunem s gsim punctele de echilibru ale ecuaiilor Lotka-Volterra.

Considerm sistemul:

1)0(,1)0(,

3

2

yx

xyydt

dy

xyxdt

dx

Astfel, gsind soluiile particulare vom avea graficele celor dou n raport cu timpul, att simultan (figura 4) ct i separat (figurile 5 i 6).

Fig. 4


Fig. 5 Fig. 6

n final, dac se consider condiiile iniiale ca fiind sysx 2)0(,3)0( i

folosim o serie de valori pentru soluiile particulare, graficul celor dou n funcie de t va fi cel din figura 7.

Fig. 7

Semnificaia acestuia este dependena celor dou populaii, astfel nct dac una dintre ele se micoreaz, acelai efect va avea loc i asupra celei de-a doua.

3.3 Cuplaj de mas i resort

Micarea unui corp de mas m ataat la captul unui arc a fost modelat cu o ecuaie diferenial de ordinul doi ce se poate simplifica pn la modelarea cu ajutorul unei ecuaii difereniale de ordinul nti. Amintim c n cazul n care nu


exist nici o for exterioar, ecuaia diferenial de ordinul doi reprezentativ aceastei situaie se scrie sub forma

02

2

kxdt

dxc

dt

xdm ,

unde m este masa ataat la captul arcului, c este coeficientul de amortizare, k

este constanta lui Hooke, iar f(t) este funcia de for. Folosind substituia ydt

dx ,

ecuaia poate se rezolva mai uor.

Prin urmare, avem

.

Aadar, n urma utilizrii substituiei vom obine sistemul

ym

cx

m

k

dt

dy

ydt

dx

Exemplu: Ne propunem s determinm diagrama de faz pentru fiecare dintre urmtoarele situaii:

a) ,1m 0c , 1k b) ,1m 1c , 2

1k


c) ,1m 5c , 1k d) ,1m 2c , 1k

De asemenea, sistemele pot fi folosite i pentru cuplaje formate din mai multe resorturi ce au o mas ataat de fiecare n parte. n modelarea unui cuplaj constituit dintr-o mas ataat unui resort, iar de care este ataat o alt mas i un alt resort, modelarea se va face cu ajutorul unui sistem de ecuaii de ordin 2. Considerm masele m1 i m2 ataate de resorturile S1 i S2 ce au constantele de elasticitate k1 respectiv k2. innd cont de legea lui Hooke i de legea a doua a mecanicii, sistemul rezultat va fi :

unde poziiile iniiale i vitezele vor fi date de x(0), x (0), y(0), y(0).


3.4 Difuzia printr-o membran

Rezolvarea problemelor pentru determinarea difuziei unui material ntr-un mediu

duce la sisteme de ordinul nti de ecuaii difereniale. De exemplu, considerm situaia n care dou soluii de substan sunt separate printr-o membran de permeabilitate P. Presupunem c o cantitate de substan care trece prin membran la un anumit moment este proporional cu diferena dintre

concentraia celor dou soluii. Prin urmare, dac 1x i 2x reprezint cele dou

concentraii, iar 1V i 2V reprezint volumul fiecrei soluii, atunci sistemul

diferenial este dat de

)(

)(

21

2

2

12

1

1

xxV

P

dt

dx

xxV

P

dt

dx

unde, valoarile iniiale ale lui 1x i 2x sunt date.

Exemplu: S presupunem c dou concentraii de sare de volum egal V sunt separate printr-o membran de permeabilitate P, determinai cantitatea de

sare n fiecare concentraie la timpul t dac 2)0(1 x i 10)0(2 x .

Sistemul care se creeaz este:

.10)0(,2)0(, 21

212

121

xx

xxdt

dx

xxdt

dx

Soluiile particulare ale acestuia vor fi:

t

t

etx

etx

2

2

2

1

46)(

46)(.

Reprezentarea parametric ale acestora se poate observa n figura 8, iar reprezentarea simultan a soluiilor (figura 9) ne arat cum ambele concentraii tind catre valoarea 6, care este chiar media celor dou valori iniiale.


Fig. 8 Fig. 9

4. Observaii

n exemplele anterioare am utilizat un soft specializat, Maple, n vederea

rezolvrii unor situaii ntlnite n fizic, inginerie sau sociologie. n cazul unui cuplaj de mas i resort, ne-am propus s observm diferenele aprute n diagrama de faz n anumite situaii. Un alt caz ce poate fi tratat cu sisteme de ecuaii difereniale este dinamica unor populaii prdtor-prad, n urma creia, am observat interdependena dintre cele dou. n cazul RLC, au fost determinai curenii cu ajutorul unor valori i s-a reprezentat grafic diagrama de faz pe baza acestor valori.

5. Concluzii

n aceast lucrare, am aratat rolul sistemelor de ecuaii difereniale n diferite domenii utiliznd calculul cu soft specilizat. Se poate observa astfel faptul c ecuaiile difereniale se aplic n numeroase domenii, unele dintre ele neavnd o legtur direct cu matematica.


BIBLIOGRAFIE

[1]. P. J. Olver, e-Study Guide for: Applied Linear Algebra, Cram101, 2012, 1-376

[2]. K. Caronongan, An Application of Differential Equations in the Study of Elastic Columns,

2010

[3]. M. L. Abell, J. P. Braselton, Differential equations with Maple V, Boston: AP Professional,

1994.

[4]. P.Garabedian, Partial Differential Equations, Wiley, 1964.

[5]. E.C.Zachmanoglou and D.W.Thoe, Partial Differential Equations with Applications, Dover,

1987.

Sisteme de Ecuaţii Diferenţiale Şi Modele În Fizică Inginerie Şi Sociologie

Documents

Transcript of Sisteme de Ecuaţii Diferenţiale Şi Modele În Fizică Inginerie Şi Sociologie