Structuri algebrice si aplicatii (PDF)

download Structuri algebrice si aplicatii (PDF)

of 99

  • date post

    02-Feb-2017
  • Category

    Documents

  • view

    250
  • download

    8

Embed Size (px)

Transcript of Structuri algebrice si aplicatii (PDF)

  • Structuri algebrice si aplicatii

    23 decembrie 2016

    1 Curs si seminar 1 - Categorii si obiecte remarcabile

    Pentru definirea unei categorii C avem nevoie de urmatoarele tipuri de elemente:

    i) o clasa de obiecte Ob C , ale carei elemente sunt numite obiecte ale lui C.

    Obiectele categoriei C se noteaza A,B,C, . . . si scriem

    A,B,C, . . . ObC;

    ii) A,B ObC, e data multimea morfismelor de sursa A si cosursa B n categoria C,notata cu Hom(A,B). Vom nota f Hom(A,B) sau AfB;

    iii) A,B,C ObC, este data functia

    A,B,C : Hom(A,B)Hom(B,C) Hom(A,C)

    numita compunerea morfismelor; daca

    Af B g C,

    atunci A,B,C (f, g)not= g f este compusul morfismelor g si f .

    Definitie 1.1 Aceste trei tipuri de elemente formeaza o categorie, notata cu C , daca sunt inde-plinite conditiile:

    c1) HomC (A,B) HomC (A, B) 6= A = A, B = B.

    c2) Af B g C h D, (hg) f = h (gf), A,B,C,D, f, g, h (asociativitatea compunerii

    morfismelor).

    1

  • c3) A Ob C, 1A HomC (A,A) astfel ncat B,C Ob C, f, g

    Bf A g C

    sa avem 1A f = f si g 1A = g (existenta morfismelor identitate).

    Observatie 1.1 1A este unic.

    Presupunem ca 1A, e HomC (A,A) astfel ncat

    1A f = e f = fg 1A = g e = g

    }Obtinem1A = e.

    (iau f = 1A, g = e, ca la unicitatea elementului neutru ntr-un grup)

    Observatie 1.2 Conditia c1) nu este esentiala.

    Intr-adevar, putem defini categoria C cu Ob C = Ob C,

    HomC (A,B) = {(A,B)} HomC (A,B) .

    Atunci HomC (A,B) HomC (A, B) 6=

    {A = A

    B = B, adica c1) are loc n C.

    Definitie 1.2 O categorie C se numeste mica daca Ob C este o multime.

    Exemple de categorii

    Exemplu 1.1 Set: categoria multimilorOb Set : multimi

    HomSet (A,B) este multimea functiilor de la A la B

    compunerea morfismelor este compunerea functiilor.

    Exemplu 1.2 Gr: categoria grupurilorOb Gr : grupurimorfismele: morfisme de grupuricompunerea morfismelor este compunereamorfismelor de grupuri.

    Exemplu 1.3 Ab: categoria grupurilor abeliene.

    2

  • Exemplu 1.4 RMod: categoria Rmodulelor, unde R este un inel unitar.ObRMod : Rmodule stangimorfismele: morfisme de Rmodulecompunerea morfismelor este compunerea morfismelor deRmodule.

    Exemplu 1.5 Fie (G, , e) un grup. Definim CG astfel:Ob CG = {}HomCG (, ) = G (aici morfismele nu sunt functii),, : GG G(a, b) ab, compunerea lui a cu b din G; 1 = e.

    Similar, plecand de la un monoid (M, ) obtinem o categorie CM .

    Exemplu 1.6 Fie (X,) o multime preordonata. Definim categoria asociata C astfel:

    Ob C = X

    HomC (x, y) =

    {(x, y)

    x yaltfel

    (deci are un element sau niciunul)

    x,y,z : HomC (x, y)HomC (y, z) HomC (x, z) , unde

    daca x 6 y sau y 6 z, atunci x,y,z e incluziunea HomC (x, z).daca x y si y z, atunci x,y,z ((x, y) , (y, z)) = (x, z).

    Exemplu 1.7 Top : categoria spatiilor topologice{Ob Top : spatii topologice

    morfismele sunt functii continue, notate astfel (X, )f (X , )

    Exemplu 1.8 Set: categoria multimilor punctate.Ob Set : Obiectele au forma (A, a) , unde A este o multime, a A

    morfismele sunt notate astfel : (A, a)f (B, b) , unde

    {f : A Bf (a) = b.

    Exemplu 1.9 Pos : categoria multimilor partial ordonate. Morfismele sunt functii crescatoare.

    Exemplu 1.10 Lat : categoria laticilor. Morfismele sunt morfismele laticiale.

    3

  • Exemplu 1.11 SGr : categoria semigrupurilor. Morfismele sunt morfisme de semigrupuri.

    Exemplu 1.12 Mon : categoria monoizilor. Morfismele sunt morfisme de monoizi.

    Exemplu 1.13 Rng1 : categoria inelelor cu unitate. Morfismele sunt morfisme de inele unitare.

    Exemplu 1.14 Field : categoria corpurilor comutative. Morfismele sunt morfisme nenule de cor-

    puri.

    Exemplu 1.15 RAlg: categoria Ralgebrelor peste un inel comutativ R.

    Exemplu 1.16 MLinSp : categoria spatiilor liniare normate. Morfismele sunt transformari liniare

    marginite (continue).

    Exemplu 1.17 TopBun : categoria spatiilor topologice fibrate.

    Obiectele sunt triplete (X, p,B), unde X,B sunt spatii topologice si p : X B functie continua.

    Exemplu 1.18 Categoria Rmatricilor, unde R este un inel comutativ. Obiectele sunt numerenaturale nenule. Hom (m,n) este multimea nm matricilor cu coeficienti n R. Compunerea estenmultirea matricilor.

    Subcategorii. Subcategorii pline

    Fie C o categorie.

    Definitie 1.3 Categoria C se numeste subcategorie a lui C daca: Ob C Ob C

    HomC (X,Y ) HomC (X,Y ) ,X,Y Ob C

    compunerea n C e indusa de compunerea n C.

    Mai mult, X Ob C, 1X HomC (X,X) .Daca, n plus, X,Y Ob C, HomC (X,Y ) = HomC (X,Y ), atunci C este o categorie plina a

    lui C.

    Exemplu 1.19 Ab este subcategorie plina a lui Ab.

    Exemplu 1.20 Ab este subcategorie plina a lui Gr.

    Exemplu 1.21 Gr este subcategorie plina a lui Set.

    4

  • 2 Obiecte initiale. Obiecte finale

    Definitie 2.1 Fie C o categorie si A f B. f se numeste izomorfism n C daca B g A,astfel ncat g f = 1A si f g = 1B.

    Spunem atunci ca A si B sunt echivalente si notam A B.

    Definitie 2.2 I Ob C se numeste obiect initial daca

    |HomC (I,X)| = 1,X Ob C.

    Definitie 2.3 F Ob C se numeste obiect final daca

    |HomC (X,F )| = 1,X Ob C.

    Definitie 2.4 Un obiect se numeste obiect zero daca este simultan obiect initial si final.

    Observatie 2.1 In categorii cu obiecte zero, A,B Ob C, HomC (A,B) este nevida, deoarecepentru un obiect zero Z, exista un morfism de la A la Z, un morfism de la Z la B, deci exista si

    compunerea acestora.

    Exemple

    Exemplu 2.1 In Set, I = , F este orice mutime singleton {}, iar obiectele echivalente suntmultimile cardinal echivalente.

    Exemplu 2.2 In Gr, I = F orice grup cu un element.

    Daca G contine macar doua elemente, atunci exista cel putin doua morfisme: 1G si morfismul

    nul. Similar in Ab si Rmod.

    Exemplu 2.3 In CG, I = F |G| = 1. Orice morfism este izomorfism n CG. Reciproc, dacao categorie C cu un obiect are toate morfismele izomorfisme, atunci C = CG.

    Exemplu 2.4 In categoria asociata unei multimi preordonata (X,), doua elemente x, y suntechivalente daca si numai daca x y si y x. Avem x = I daca x = minX, daca exista.Similar, x = F daca x = maxX, daca exista.

    Exemplu 2.5 Categoria Rng1 are obiect initial, dar nu si zero.

    Pentru orice inel unitar R exista un unic morfism unitar f : Z R cu

    f (n) = nf (1) .

    Deci inelul Z este obiect initial Rng1, dar Z nu este obiect final, deci nu este obiect zero.Obiectul final este inelul zero, n care 0 = 1.

    5

  • Exemplu 2.6 Categoria corpurilor nu are obiect final, nici initial, dar n categoria corpurilor de

    caracteristica p, inelul Zp este obiect initial.

    Exemplu 2.7 In categoria V ecK a spatiilor liniare peste un corp K, un spatiu liniar zero-dimensional

    este obiect zero.

    Exemplu 2.8 In categoria Top, este obiect initial si orice spatiu topologic singleton este obiectfinal. Top nu are obiecte zero.

    Exemplu 2.9 In categoria Set obiectele initiale, obiectele finale si obiectele zero sunt multimile

    punctate cu un element.

    Exercitii

    1. Aratati ca orice doua obiecte initiale (finale, zero) sunt echivalente.

    Solutie. Fie I1, I2 initiale n C. Rezulta ca !I1f I2, !I2

    g I1. Pe de alta parte,

    I1fg //

    1I1

    // I1 , I2gf //

    1I2

    // I2 ,

    I1 initial = gf = 1I1I2 initial = fg = 1I2

    = I1 I2.

    2. Fie C o categorie cu un obiect zero Z. Atunci A,B Ob C, !OAB : A B morfism, astfelncat OAB = gf , unde A

    f Z si Z g B.

    Solutie. Aratam ca gf nu depinde de Z.

    Z Z

    Verifiam ca gf = gf (not= OAB

    ), unde Z este un alt obiect zero.

    Fie izomorfismul

    Z //oo

    Z .

    Avem

    f = f, g = g.

    Atunci gf = g () f = gf , deoarece = 1Z .

    6

  • 3. Aratati ca daca C este categorie cu obiecte zero, atunci

    X u AB v Y

    ,OABu = OXB

    vOAB = OAY .

    Solutie. Avem OXBdef= g (fu) = OABu.

    3 Curs si seminar 2 - Monomorfism. Epimorfism.

    Bimorfism

    Fie C o categorie, f HomC (X,Y ).

    Definitie 3.1 f este monomorfism daca Z Ob C, u, v

    Zu

    vX

    f Y

    fu = fv = u = v.

    Definitie 3.2 f este epimorfism daca Z Ob C, u, v

    Xf Y

    u

    vZ

    uf = vf = u = v.

    Definitie 3.3 f este bimorfism daca f este monomorfism si epimorfism.

    Observatie 3.1 Daca T este obiect final ntr-o categorie C si daca f : T A este un morfism nC, atunci f este monomorfism.

    Xf Y g Z.

    gf epimorfism = g epimorfism;gf monomorfism = f monomorfism.

    Demonstratie.

    Avem ug = vg / f = u (gf) = v (gf) = u = v. Similar se arata cealalta afirmatie.

    Definitie 3.4 O categorie se numeste balansata daca orice bimorfism este un izomorfism.

    Vom vedea n paragrafele urmatoare ca Set, Gr, Ab sunt categorii balansate.

    Categoria Rel a relatiilor binare este balansata.

    7

  • Izomorfismele n Rel sunt aplicatiile bijective.

    Exercitii.

    1. Dati exemple de epimorfisme care nu sunt surjective.

    Solutie. Consider categoria inelelor Rng.

    Fie i : Z Q incluziunea. i nu este surjectiva.

    Arat ca i este epimorfism.

    Fie fi = gi si fie rs Qf

    gR.

    Arat ca f(rs

    )= g

    (rs

    ).

    E suficient sa verificam f(

    1s

    )= g

    (1s

    ).

    Avem

    f

    (1

    s

    )f (s) g

    (1

    s

    )= f (1) g

    (1

    s

    )= (fi) (1) g

    (1

    s

    )=

    = (gi) (1) g

    (1

    s

    )= g

    (1

    s

    ).

    Pe de alta parte,

    f

    (1

    s

    )f (s) g

    (1

    s

    )= f

    (1