Mircea Eugen Şelariu - Solutii Ingineresti Ale Unor Ecuatii Algebrice

download Mircea Eugen Şelariu - Solutii Ingineresti Ale Unor Ecuatii Algebrice

of 12

  • date post

    17-Aug-2015
  • Category

    Documents

  • view

    245
  • download

    14

Embed Size (px)

Transcript of Mircea Eugen Şelariu - Solutii Ingineresti Ale Unor Ecuatii Algebrice

Mircea Eugen elariu,METODEDESOLUIONAREAUNORECUAII2014 1 Motto:Natura este perfeciunea perfeciunilor.Este, deci, supermatematic METODEDESOLUIONARE COMPUTAIONAL AUNOR ECUAII ALGEBRICE NELINIARECUOSINGUR NECUNOSCUT 1.INTRODUCERE Noile metode, prezentate n prezenta lucrare, se refer la metode numerice de rezolvare a ecuaiilor algebrice, cele vechi fiind prezentate excelent i pe larg n lucrarea [1] . Pleiada de metode vechi, mai cunoscute i mai frecvent utilizate, sunt urmtoarele [1]: 1)Metoda njumtirii intervalului sau metoda biseciei (Fig.1,c); 2)Metoda coardei sau metoda secantei (Fig.1,c); 3)Metoda tangentelor de ordinul I a lui Newton sau metoda Newton-Raphson (Fig.1,c); 4)Metoda tangentelor de ordinul II a lui Newton; 5)Metoda iterativ x = g(x) (Fig.1,c ). 6)Metoda iteraiei dinamice [2] este o combinaie a unor metode anterior prezentate (vezi 3). 2.METODADIVIZRIIECUAIEIIACELOR DOU TANGENTE RugatscontribuilarezolvareauneiecuaiidindomeniulTEHNOLOGIILORDEDEFORMARELARECE (TANARE-MATRIARE)am aplicat mai multedin metodelecunoscutei prezentateanterior, ca s testez rapiditatea fiecrei metode (v 3) la gsirea soluiei i am constatat c sunt posibile i alte metode mult mai rapide. nlucrarea [2],prezentat lao conferinde specialitate,aceastmetoda afost denumitMETODAITERAIEI DI NAMI CE dar ea s-ar putea denumi i METODA DIVIZRII ECUAIEI I A CELOR DOU TANGENTE Fiind vorba de operaii de ambutisare la rece, se cerea, n final, rezolvarea ecuaiei (1)f(x) Sirx + A.cosx -1 = 0 n care, cu A [1, 3] s-a notat o anumit expresie, cu graficele din stnga figurii 1, valoarea concret, considerat n continuare, fiind aleas de A = 1,2 i x [ 0, /2], iar (2)Sirx = sinx x. cosx este funcia lui Gogu (George) Constantinescu sinus romnesc, definit pe o evolvent, cu graficul din figura 2 iar, pentruntregireacunotinelordesprefunciiromnetiisprecinsteamareluisavantromn,darnuiaurmailor urmailorluiromnicarenunupreaauauzitdeeli,cuattmaipuin,deele,iarCorxestefunciacosinus romnesc, definit de ecuaia (3)Corx = cosx + x. sinx cu graficele din figura 2. Rezolvarea ecuaiei (1) f(x) = 0, cu soluia x0, este echivalent cu determinarea punctului de intersecie I(xI,yI) a dou curbe/funciin care s-a divizat funcia f(x) =f1(x) +f2(x) =0, n care (4)

adic la rezolvarea sistemului de ecuaii (5)

I(xI,yI) Mircea Eugen elariu,METODEDESOLUIONAREAUNORECUAII2014 2 n care, punctul de intersecie al celor dou curbe, I(xI, yI) = f1(x) f2(x),apare pe aceeai vertical cu punctul (x0,y0 = 0) de intersecie al curbei f(x) cu axa Ox, adic xI =x0, aa cum se ilustreaz n figura 3,a. Cele dou funcii, n care s-a divizat f(x), sunt reprezentate suprapuse n dreaptafigura 1; f1(x) fiind o curb unic ce intersecteaz familia de curbe f2(x), rezultate pentru A [1, 2] cu pasul 0,2.

] Fig.1 Funcia A(x) = x tanx + 1/cosx = i divizarea funciei (1) n alte dou funcii y1(x) = Sirx i y2(x) = 1- A.cosx, A(x) [1, 2] cu pasul 0,2 SirxF(x) Corx Corx Fig.2Reprezentarea grafic a funciilor lui Gogu (George) Constantinescu sinus romnesc Sirx i cosinus romnesc Corx, definite pe o evolvent a cercului unitate Metoda clasic iterativ (Fig.4 ) de determinare a punctului de intersecie a dou curbe este prezentat n figura 3,b,prinliniintrerupte,deculoarebleau-ciel,iaronoumetod,multmairapid,denumitmetodacelordou tangente simultane, este prezentat suprapus n figura 3,bprin linii negre.Pornind din x = x0 cu o vertical, care intersecteaza cele doua curbe f1(x) i f2(x) n punctele T1 i, respectiv, T2, n care, noua metod, presupune reprezentarea celor dou tangente la cele dou curbe i intersectarea lor n punctul I1(x1, y1). 0.5 1.0 1.51.11.21.31.41.50.5 1.0 1.51.00.50.51.02 4 6 8 10 1210550.5 1.0 1.50.050.050.100.150.202 4 6 8 10 1210550.5 1.0 1.51.11.21.31.41.5Mircea Eugen elariu,METODEDESOLUIONAREAUNORECUAII2014 3 Fig. 3,a Echivalena intersectrii unei funcii cu axa x cu intersectarea celor dou funcii n care s-a divizat funcia; abscisele fiind egale, adicxI = x0, yI y0 = 0

Fig.3,bReprezentarea grafic a funciei f(x) i a divizarii ei n alte dou funcii f1(x) i f2(x) precum i determinarea punctului de minim al funciei f(x), respectiv punctul de intersecie a celor doua funcii f1(x) i f2(x) prin metoda bitangentelor simultane (MBTS) Fig.4 Diverse metode numerice de soluionare a unor ecuaii: metoda aproximaiilor succesive( http://ro.math.wikia.com/wiki/),metoda coardei,metoda tangentei imetoda bitangentei(TA, TB) 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0108642241.52 1.54 1.56 1.58 1.60201510551015Mircea Eugen elariu,METODEDESOLUIONAREAUNORECUAII2014 4 3.METODAITERAIEIDINAMICE Esteprezentattabelar(Fig.6iTab.2),ncontinuare,princomparaiecumetodadivizriiecuaieif(x)(1)n dou pri i a exprimrii celor dou tangente (Fig.5 i Tab.1), la cele dou funcii ale divizrii f1(x) i f2(x), n punctele T1 i T2 de intersecie cu o dreapt vertical, dus din punctul x0 = 0,5856856 33,55733130 de amorsare / antamare a procesului. Prin aceast metod, intersecia lui f(x) cu axa Ox este nlocuit cu intersecia celor dou funcii ntre ele, adic prin rezolvarea sistemului de ecuaii (6)

Fig.5 Divizarea lui f(x) n f1(x) i f2(x), intersectarea lor cu dreapta vertical X = X0, determinarea punctelor de intersecie T1 i T2, n care se duc tangentele la cele dou curbe i se determin punctul lor de intersectie IT1(X1, Y1) Xn = 0,7863354 este soluia cutat a ecuaiei Sirx + A cosx - 1= 0, pentru A = 1,2 ntersecia celor dou tangente este punctul IT1 i se poate observa, n figura 5, ct de apropiat este, dup numai o singuriteraie,depunctulsoluieI1,2,acreiabscisXnestesoluiaecuaieidate.Acelailucrurezultipentruo ecuaie, nespecificat, a crei funcie a fost descompus n alte dou funcii i prezentat n figura 3,b. n figura 4 sunt prezentate,suprapuse,maiultemetodepentruaevideniaavantajelemetodeicudoutangentesimultane,careareoconvergen mult mai rapid dect toate celelalte metode. Ceeaceesteprezentatgraficnfigura5,esterezolvatanaliticntabelul1.Soluiacu6zecimaleexacteeste obinut dup numai 5 pai. Mircea Eugen elariu,METODEDESOLUIONAREAUNORECUAII2014 5 Tabelul 1 Determinarea soluiei ecuaiei f(x) = Sirx + A.cosx -1 = 0 prin metoda TANGENTELOR pentru A = 1,2 Ite-ra-ia X

fS(x) = SirxfS(x) = x.sinx Xn+1 Obs fD(x) = 1-A.cosxfD(x) = A.sinx f(x) = fS-fDf(x) = fS(x) - fD(x) 00,5856856 33,55733130 0,0646990 0 0,064695 0,3237499 0,6633250 0,3395751 0,7762164 00,6981317 400 0,1079876 0,0807466 0,0272410 0,4487504 0,7713451 0,3225947 0,7825751 44,8382510 10,7762164 44,4739230 0,146700 0,1437167 0,0029836 0,5438053 0,0407015 0,296962 0,7862657 20,7862657 45,0497060 0,1522287 0,1522083 0,0000204 0,5564560 0,8492640 0,2928080 0,7862657 30,7863354 45,0536990 0,1522675 0,1522674 0,0000001 0,5565940 0,8493230 0,2927790 0,7863357 Xm = 0,7863355 40,7863357 45,0537160 0,15222676 0,1522678 -0,0000002 0,5565444 0,8493233 0,2927789 0,786335 50,7863351 45,0536820 0,15222673 0,1522672 0,0000001 0,5565436 0,8493228 0,2927792 0,7863354SOLUIA: X = 0,7863354 nfigura6esteprezentatoschiexplicativcuprivirelametodaiteraieidinamiceprezentateanaliticn tabelul 2 pentru aceeai ecuaie (1). Pentru exemplul considerat, punctele extreme ale segmentului

, abscisele corespunztoare ale punctelor A i B de pe curba f(x) din relaia (1), pe axa Ox, evident, pe care se afl, totodat, soluia X sunt punctele extreme ale coardei

. Ele sunt : (7)

Mijlocul segmentului

ca, de altfel, i a segmentului AB, este punctulMM(xM, yM) de coordonate (8) M

Derivata funciei f(x) este (9)f(x) = =Intersecia tangentei din A cu axa Ox este punctul XTA (10)XTA = xA +

=

XTA =Mircea Eugen elariu,METODEDESOLUIONAREAUNORECUAII2014 6 Fig.6Schi explicativ la metoda iteraiei dinamice din tabelul 2 Tabelul 2 Determinarea soluiei ecuaiei f(x) = Sirx + A.cosx -1 = 0 prin metoda ITERAIEI DINAMICE X0,Xrad, f

f X0,Xrad, fM, fmp

f X0,Xrad, f

f X0,Xrad, f

f 1),2)Metoda njumtirii intervalului sau metoda biseciei Mtd. tangentei din A: TA Ox XA = 400

0,6981317 fA = 0,0272410 XM = 450

0,7853982 fM = 0,0002746 XB = 500

0,8726646 fB =0,0235485 XTA = 44,8382510

=0,7825751 fTA =0,00110379 3)Metoda coardei AB Ox =XC Coarda AB y = yA +

XC= XA-yA

0 fC = =- 0,0015779 Axa Ox y = 0 Precizia = 3)Metoda coardei TAB Ox =XD XTA = 44,8382510

=0,7825751 fTA =0,00110379

XD == 0,7866092 fD =fD =XB = 500

0,8726646 fB =0,0235485 Precizia =

4)Metoda mediei ponderate a celor mai mici valori ale funciei f(x) de semne contrare 4) Xmp = XTA +fTA

Xmp = 45,052038750 Xmp =fmp = = 0,0000801Precizia =

Mircea Eugen elariu,METODEDESOLUIONAREAUNORECUAII2014 7 Aplicnd metoda coardei, intersecia acesteia AB cu axa Ox este(11)

(12)XC= XA-yA

Aplicnd din nou metoda coardei, pentru punctele TA i B, cu valorile cele mai apropiate ntre ele, dar cu ordonate de semne contrare, se obine intersecia cu axa Ox n punctul de abscis(13) XD

= = 0,8766092 pentru care valoarea funciei este f(xD) = ceea ce indic o precizie de 4 zecimale exacte Prinmetodamediei ponderate, prezentatn ultimalinieatabelului 2,se obin aceleai valori, ceeace indic o posibil saturare a acestor metode. De aceea se trece la o metod absolut nou, original, dezvltat de autor i n lucrarile [7] i [8]. 2.METODADETERMINRIISUCCESIVEACIFRELOR(MDSC) NUMRULUISOLUIEALUNEIECUAIIOARECARE n lucrarea [1] s-au prezentat comparativ diversele metode de rezolvare a ecuaiei (1)y(x) Logx + 3x2 4x 1= 0, funciereprezentatnfigura6,acreirezolvare,printr-ometodinedit,anterioramintit,sencadreazndomeniul Matematicii atomice (MA) [8] deoarece nu se caut un numr (atomul matematicii clasice), aa cum se procedeaz n matematica clasic sau centric (MC), ci cifrele succesive care-l compun [7] !. Cifrele ntregi constituind protonii MA iar cifrele zecimale electronii MA de pe diversele orbite. Rezolvarea ecuaiei, prin programe mat