ECUATIIECUATII

COSTANTIN IUSTINABOBOC CLAUDIAPOPITANU ELENAMATEI DIANA

Elevii:

Ecuatii de gradul IEcuatii de gradul I cu o cu o necunoscutanecunoscutaEcuatii de gradul IIEcuatii de gradul IIEcuatii Ecuatii de gradul Ide gradul I cu doua cu doua necunoscutenecunoscuteAriiAriiPerimetrePerimetreFormuleFormule

Cuvinte cheieCuvinte cheie

DEFINITIIDEFINITII ECUATII:ECUATII:

In matematica , o ecuatie este o propozitie In matematica , o ecuatie este o propozitie matematica ce afirma ca doua expresii matematica ce afirma ca doua expresii matematice sunt egale.matematice sunt egale.

2x+2=4X-4=9

18+x=135

134-x=76

Ecuatii:Ecuatii: Ecuatii de gradul IEcuatii de gradul I cu o necunoscuta cu o necunoscuta Ecuatii de gradul IIEcuatii de gradul II Ecuatii Ecuatii de gradul Ide gradul I cu doua cu doua

necunoscutenecunoscute

Ecuaţii de gradul Ecuaţii de gradul II

Ecuaţia de gradul I Ecuaţia de gradul I are are formaforma generalagenerala::

aaxx ++ bb == 00, a,b numere reale, a,b numere reale Ecuaţia de grad I cu o necunoscuta se mai numeşte Ecuaţia de grad I cu o necunoscuta se mai numeşte

ecuaţie liniaraecuaţie liniara. . Poate avea o soluţie (daca a este nenul) , o Poate avea o soluţie (daca a este nenul) , o

infinitate de soluţii (daca a si b sunt nule )sau nici o infinitate de soluţii (daca a si b sunt nule )sau nici o soluţie (daca a este nul si b este nenul).soluţie (daca a este nul si b este nenul).

Pentru rezolvarea ecuaţiei de gradul I cu o Pentru rezolvarea ecuaţiei de gradul I cu o necunoscuta se folosesc proprietăţile relaţiei de necunoscuta se folosesc proprietăţile relaţiei de egalitate.egalitate. 0 , 0

ba x b a x b a a

a

Exemple:Exemple:

1)1) x+5=10 / -5x+5=10 / -5

x=10-5x=10-5

x=5x=5

2) 2x+2=4 x2) 2x+2=4 x /-2/-2xx

2=2=2x 2x

2x=2 /:22x=2 /:2

x=1x=1

Ecuatia de gradul Ecuatia de gradul IIII Ecuatia de gradul II Ecuatia de gradul II are are formaforma generala generala ::

    Soluţiile sale se determina in urma aplicării unor formule speciale (studiate in clasa VIII)Soluţiile sale se determina in urma aplicării unor formule speciale (studiate in clasa VIII) Ecuaţia de forma x² = m este un caz particular al ecuaţiei de grad II si se studiază in clasa VII. Numărul m este un număr real pozitiv. Ecuaţia de forma x² = m Ecuaţia de forma x² = m este un caz particular al ecuaţiei de grad II si se studiază in clasa VII. Numărul m este un număr real pozitiv. Ecuaţia de forma x² = m

se rezolva astfel se rezolva astfel

x² - m =0 => (x- √ m)(x+ √ m) =0 => x = √m sau x = - √m.x² - m =0 => (x- √ m)(x+ √ m) =0 => x = √m sau x = - √m.

ExempleExemple

1)1) x² = 16 → x = √16 sau x = - √16 , adica x = 4 sau x = -4; S={ - 4 ; 4 }.

22) 3 4 0 (3 4) 0 0 3 4 0

4 43 4 0 3 4 ; 0;

3 3

x x x x x sau x

x x x S

2 0, , , , 0a x b x c a b c a

EcuaţiEcuaţiaa de grad de grad II cu cu 2 2 necunoscutenecunoscute

Ecuaţia de grad I cu 2 necunoscute are forma generala a∙x + b∙y + c = 0, unde a,b,c sunt numere reale. Ecuaţia de grad I cu 2 necunoscute are forma generala a∙x + b∙y + c = 0, unde a,b,c sunt numere reale. Aceasta ecuaţie are o infinitate de soluţii. Aceasta ecuaţie are o infinitate de soluţii. Soluţiile sale se scriu sub forma de perechi ordonate (x;y).Soluţiile sale se scriu sub forma de perechi ordonate (x;y). Cum se găsesc o parte din soluţiile sale? Se da o valoare oarecare lui x sau lui y apoi se înlocuieşte in ecuaţie valoarea aleasa. Se Cum se găsesc o parte din soluţiile sale? Se da o valoare oarecare lui x sau lui y apoi se înlocuieşte in ecuaţie valoarea aleasa. Se

rezolva noua ecuaţie obţinuta si se determina si cealaltă necunoscuta y sau x. Apoi cele doua numere corespunzătoare lui x si y se rezolva noua ecuaţie obţinuta si se determina si cealaltă necunoscuta y sau x. Apoi cele doua numere corespunzătoare lui x si y se scriu in pereche. Întotdeauna valoarea lui x este prima in pereche iar a lui y a doua.scriu in pereche. Întotdeauna valoarea lui x este prima in pereche iar a lui y a doua.

Exemplu 1 Determinaţi doua soluţii ale ecuaţiei

3x - 2y + 6 = 0

Daca x = 0 atunci 3·(0) – 2y + 6 = 0 => y = 3. O soluţie a ecuaţiei este perechea (0;3)Daca x = 1 atunci 3·(1) – 2y + 6 = 0 => y= 4,5. O alta solutie este perechea (1; 4,5)

EcuatiEcuatiaa de grad de grad II cu cu 2 2 necunoscutenecunoscute

ARII

Exemplu 2 Formulele pentru aria si perimetrul unei

figuri geometrice sunt ecuaţii de grad I cu 1, 2 sau 3 necunoscute.

Aria unui triunghi oarecare cu lungimea unei inaltimi h si lungimea laturii corespunzătoare b.

2

h bA

Aria unui triunghi dreptunghic avand lungimile catetelor

1 2

2

C CA

OBSERVATIE: Aria triunghiului oarecare se poate folosi in orice triunghi, indiferent de este isoscel, echilateral sau dreptunghic.

1 2C si C

ARII

Aria patrulaterului convex:

ABCD ABC ADCA A A

A

B

C

D

ARII

ARII

Aria paralelogramului:

Aria dreptunghiului:

A h b

A L l

Aria rombului:

2

d DA

sau

A h b

ARII

Aria patratului:

2A l

ARII

Aria trapezului:

( )

2

B b hA

ARII

Perimetrul

Definiţie : Perimetrul unui poligon convex este

suma lungimilor tuturor laturilor sale. Exemplu Se da AB=4 cm , AC= 7 cm si

BC=5 cm . Aflaţi perimetrul triunghiului ABC .

ABCP AB BC AC

4 5 7

16ABC

ABC

P

P cm

Formulele studiate la fizica sunt ecuaţii cu 1, 2 sau 3 necunoscute.

De exemplu: Legea miscarii rectilinii uniforme, formula densităţii, formulele pentru volumul unui corp geometric.

Exemple

G m g

Greutatea : Volum:

V m

Densitatea

m

V

Legea miscarii rectilinii uniforme :

d v t

Exemple

Legea deformării elastice

F K l Temperatura

9

F C 325

unde F este temperatura in grade Fahrenheit iar C este temperatura in grade Celsius.

Multumim pentru vizionare!