Dinamica Punctului Material Liber
description
Transcript of Dinamica Punctului Material Liber
1
1.Dinamica punctului material liber1.1 Ecuaiile difereniale ale micrii Dinamica studiaz micarea corpurilor materiale innd cont de forele ce acioneaz asupra acestora.
Principiul independenei aciunii forelor se scrie :
(1.1)
Sau nc
(1.2)
ori
(1.3)Ecuaia (1.1) sub una din formele (1.2), (1.3) se numete ecuaia fundamental a dinamicii
Problemele de dinamic a punctului material pot fi :
- probleme directe (se dau m, F i se cere )
- probleme indirecte (se dau m i i se cere F)
Sistemul de coordonate: legat de reperul fa de care studiaz micarea Coordonate carteziene :
EMBED Equation.3
(1.4)
Unde X,Y,Z sunt proieciile vectorului pe axele sistemului ales. Necunoscutele problemei sunt funciile
ntr-un sistem de coordonate cilindrice cu versorii se va putea scrie:
Sau, innd cont de expresiile componentelor acceleraiilor cunoscute de la Cinematic:
(1.5)
n care necunoscutele sunt ,
, iar sunt componentele forei pe axele sistemului ntr-un sistem de coordonate sferice vom avea :
(1.6)
Iar ntr-un sistem de coordonate intrinseci :
(1.7)
1.2 Integrala general a ecuaiilor difereniale ale micrii Fie ecuaiile de micare de forma (1.4). Fora F poate fi funcie de timp, de coordonatele curente x,y,z i de componentele vitezei , , . Prin urmare ecuaiile au forma :
(1.8)
n general, studiul micrii conduce la rezolvarea unui sistem de 3 ecuaii difereniale de ordinul doi. Soluia general are forma :
(1.9)
n care Ci (i=1,2.6) sunt constante arbitrare.
Funciile (1.9) reprezint integrala general a ecuaiilor difereniale ale micrii.
Se observ c existena constantelor arbitrare permite ca punctul care se mic sub aciunea unei fore date poate s descrie diferite traiectorii. Precizarea traiectoriei . Dac funciile din membrul drept al ecuaiilor (1.8) sunt olomorfe n vecintatea sistemului de valori , x = x0, y = y0, z = z0, , , exist trei funcii unice , i care verific sistemul (1.8) i care pentru ndeplinesc condiiile:
,, .
(1.10) , ,
Condiiile (10) reprezint poziia iniial respectiv viteza iniial ale punctului material i se numesc condiile iniiale ale micrii. Cunoaterea lor permite determinarea constantelor (i-1,26) prin rezolvarea sistemului:
(1.11)
Introducnd valorile determinate (i-1,26) n (1.9) se obine integrala particular a sistemului de ecuaii difereniale ale micrii care verific att sistemul (1.8) ct i condiiile iniiale (1.11). Prin urmare, condiile iniiale ale micrii determin n mod univoc micarea punctului material sub aciunea unei fore date. 1.3 Integralele prime ale sistemului de ecuaii difereniale ale micriiFie sistemul format din ecuaiile
(1.12)
obinute prin derivarea soluiilor (1.9) i n care se consider ca necunoscute mrimile (i-1,26). Rezolvnd acest sistem algebric se obine
. (1.13)
.
Aceste funcii reprezint integralele prime ale ale sistemului de ecuaii difereniale .
2.teoremele dinamicii punctului material 2.1 Teorema impulsului
Definiie: Impulsul unui punct material este vectorul a crui expresie este:
(2.1)
Impulsul are aceiai direcie cu viteza, iar dimensiune sa este [H]= LMT-1
Fie ecuaia fundamental a dinamicii (1.3) (2.2)
sau innd seama de (2.1) (2.3)
Relaie care exprim teorema impulsului :
Derivata n raport cu timpul a impulsului unui punct material este egal cu n orice moment cu fora rezultant ce acioneaz asupra acestuia
n proiecii avem:
(2.4)
Dac X = 0 rezult = const., sau nc
(2.5) Relaia (2.5) este o integral prim a micrii. Dac F = 0 avem: , adic , adic punctul descrie o micare rectilinie i uniform
2.2 Teorema momentului cinetic
Definiie: Momentul cinetic al unui punct material n raport cu un punct fix O, este
momentul vectorului impuls al punctului n raport cu punctul O:
(2.6) Sau nc
(2.6) Dimensiunea sa este: [KO] = L2MT-1 Fie ecuaia fundamental a dinamicii (1.3) pe care o vom nmuli vectorial la stnga cu :
(2.7) Deoarece
se poate scrie
astfel nct (2.7) devine:
i n final
(2.8) Aceast relaie exprim Teorema momentului cinetic:
Derivata n raport cu timpul a momentului cinetic al unui punct material calculat n raport cu un punct fix O este egal cu momentul forei rezultante calculat n raport cu acelai punct O
Cum
Din (2.8) se obin ecuaiile scalare:
(2.9)
Dac momentul forei n raport cu axa Ox este nul (fora i axa Ox sunt cooplanare) prima ecuaie din (2.9) devine de unde rezult imediat:
(2.10)
obinndu-se o integral prim a ecuaiei difereniale a micrii.
Dac momentul forei n raport punctul O este nul ( suportul forei trece prin punctul O n tot timpul micrii) atunci vectorul se conserv, rezultnd trei integrale prime:
(2.11)
Relaie care se poate pune sub forma:
(2.12)
n care vectorul este dat de
(2.13)
nmulind scalar ambele pri ale egalitii (2.12) cu i innd seama c
rezult:
(2.14)
adic
(2.15)
de unde rezult c punctul material rmne n tot timpul micrii ntr-un plan ce conine punctul O - plan definit de ecuaia (2.15). n cazul micrii ntr-un plan se pot folosi coordonatele polare, caz n care vom avea , acum
relaia (2.12) devine : (2.16)sau n modul
(2.17)
Avnd n vedere i expresia vitezei areolare rezult
(2.18)
adic punctul se mic cu vitez areolar constant.
Se observ de asemenea c vectorul este tot timpul normal pe planul micrii.
2.3 Teorema energiei cinetice Energia cinetic a unui punct material de mas m aflat n micare cu viteza este scalarul E dat de relaia:
(2.19) Lucrul mecanic elementar al forei corespunztor deplasrii se exprim prin produsul scalar al vectorului cu vectorul :
(2.20)
Deoarece ,
rezult (2.21) Deasemenea, ntruct relaia (2.20) poate fi pus sub forma:
(2.22)
n care este unghiul format de vectorulcu tangenta la traiectorie ( fig.1.1)
Figura 1.1 Lucrul mecanic corespunztor unei deplasri finite din A n B, este dat de integrala
(2.23)
n general integrala este curbilinie fapt ce implic cunoaterea prealabil a traiectoriei punctului material. n cazul particular cnd modulul forei este constant, iar suportul formeaz acelai unghi (= constant) cu tangenta la traiectorie n intervalul considerat, atunci:
(2.24)
innd cont de faptul c din (2.20) rezult:
, relaie care arat c lucrul mecanic al rezultantei este egal cu suma algebric a lucrurilor mecanice ale forelor componente ce acioneaz asupra punctului material.
2.4 Teorema energiei cinetice
Dac nmulim scalar cu ecuaia (1.3)obinem:
(2.25)
innd cont c , vom putea scrie:
(2.26)
Dar cum , vom avea n final:
(2.27)
relaie care exprim teorema variaiei energiei cinetice sau pe scurt teorema energiei cinetice:
,, n fiecare moment din timpul micrii, difereniala expresiei energiei cinetice este egal cu expresia lucrului mecanic elementar corespunztor forei rezultante ce acioneaz asupra punctului material Energia cinetic crete dac lucrul mecanic este pozitiv i scade dac lucrul este negativ. Integrnd ambii membrii ai egalitii (2.27)ntre dou puncte A i B de pe traiectorie , rezult:
(2.28)
n care
(2.29)
Relaia (2.28) exprim teorema energiei cinetice sub form finit.
Uniti de msur:
n tehnic se folosete frecvent noiunea de putere care exprim lucrul mecanic efectuat n unitatea de timp. n sistemul SI avem
1Watt = 1joule /sec.
n domeniul automobilelor se mai utilizeaz i Calul putere - CP (horse power - HP)
1KW =103W= 1,36 CP
sau 1CP= 0,736 KW 2.5 Teorema conservrii energiei mecanice Dac fora are proprietatea c proieciile ei pe axele de coordonate pot fi puse sub forma:
; ;
(2.30)n care este o funcie scalar de coordonatele punctului de aplicaie a forei:
Funcia astfel definit se numete funcie de for, spunnu-se c fora deriv dintr-o funcie de for:
(2.31) Condiiile necesare i suficiente pentru ca fora s dmit o funcie de for sunt:
; ; . (2.32)
Lucrul mecanic elementar devine :
(2.33) n care este difereniala total a funciei .
n acest caz relaia (2.27) devine:
(2.34)
Sau integrnd : (2.35)
n care h este o constant de integrare, numit ,,constanta energiei.
Lucrul mecanic al forei cnd punctul de aplicaie se deplaseaz din A n B devine:
(2.36)
n care i sunt valorile funciei n punctul B, respectiv A. Se observ c lucrul mecanic nu depinde de drumul parcurs ci numai de poziia iniial A respectiv final B. Dac punctul descrie un drum nchis, lucrul mecanic al forei va fi nul. Relaia (2.28), innd cont de (2.36) devine: (2.37)
n locul funciei se poate considera funcia definit prin relaia:
V=-U (2.38)
numit funcie potenial. Acum se poate scrie:
(2.39)
de unde prin integrare se obine:
E+V =const. (2.40)
Mrimea V reprezint energia potenial (de poziie) a punctului material, iar suma dintre energia cinetic i energia potenial se numete energia mecanic:
Em=E+V
Relaia (2.40) exprim teorema conservrii energiei mecanice:
,,Dac fora rezultant deriv dintr-o funcie de for, energia mecanic a punctului material se conserv Forele care deriv dintr-o funcie de for se numesc fore conservative n sensul c acionnd asupra unui punct material energia mecanic a acestuia se conserv. EMBED Equation.DSMT4
P
A
B
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
traiectoria
_1214482216.unknown
_1214560406.unknown
_1214562122.unknown
_1214736085.unknown
_1214739107.unknown
_1214740046.unknown
_1214740563.unknown
_1214741708.unknown
_1221296277.unknown
_1214741961.unknown
_1214742363.unknown
_1214741831.unknown
_1214740943.unknown
_1214741038.unknown
_1214740787.unknown
_1214740406.unknown
_1214740500.unknown
_1214740331.unknown
_1214739548.unknown
_1214739952.unknown
_1214740024.unknown
_1214739296.unknown
_1214739492.unknown
_1214739285.unknown
_1214739130.unknown
_1214737031.unknown
_1214739051.unknown
_1214737320.unknown
_1214738968.unknown
_1214736402.unknown
_1214736990.unknown
_1214736181.unknown
_1214564591.unknown
_1214565829.unknown
_1214735911.unknown
_1214735999.unknown
_1214735868.unknown
_1214565127.unknown
_1214565212.unknown
_1214565308.unknown
_1214565066.unknown
_1214562448.unknown
_1214562646.unknown
_1214563518.unknown
_1214564417.unknown
_1214563685.unknown
_1214562709.unknown
_1214563307.unknown
_1214562572.unknown
_1214562267.unknown
_1214562310.unknown
_1214562156.unknown
_1214561254.unknown
_1214561899.unknown
_1214562055.unknown
_1214561947.unknown
_1214562022.unknown
_1214561497.unknown
_1214561696.unknown
_1214561372.unknown
_1214560732.unknown
_1214561079.unknown
_1214561190.unknown
_1214560781.unknown
_1214560596.unknown
_1214560669.unknown
_1214560444.unknown
_1214558733.unknown
_1214559474.unknown
_1214560025.unknown
_1214560148.unknown
_1214560297.unknown
_1214560107.unknown
_1214559689.unknown
_1214559924.unknown
_1214559571.unknown
_1214558973.unknown
_1214559164.unknown
_1214559245.unknown
_1214559085.unknown
_1214558901.unknown
_1214558931.unknown
_1214558816.unknown
_1214483458.unknown
_1214558095.unknown
_1214558399.unknown
_1214558506.unknown
_1214558162.unknown
_1214557852.unknown
_1214558030.unknown
_1214483592.unknown
_1214482826.unknown
_1214483012.unknown
_1214483086.unknown
_1214482866.unknown
_1214482572.unknown
_1214482693.unknown
_1214482528.unknown
_1214476755.unknown
_1214478809.unknown
_1214479378.unknown
_1214481208.unknown
_1214481362.unknown
_1214481712.unknown
_1214481272.unknown
_1214479446.unknown
_1214479468.unknown
_1214479403.unknown
_1214478880.unknown
_1214479297.unknown
_1214479346.unknown
_1214479226.unknown
_1214478847.unknown
_1214478862.unknown
_1214478824.unknown
_1214478319.unknown
_1214478478.unknown
_1214478565.unknown
_1214478697.unknown
_1214478499.unknown
_1214478386.unknown
_1214478465.unknown
_1214478354.unknown
_1214477294.unknown
_1214477379.unknown
_1214478222.unknown
_1214477377.unknown
_1214476907.unknown
_1214476988.unknown
_1214476811.unknown
_1214474791.unknown
_1214475552.unknown
_1214476333.unknown
_1214476725.unknown
_1214476739.unknown
_1214476370.unknown
_1214475811.unknown
_1214476014.unknown
_1214475696.unknown
_1214475356.unknown
_1214475491.unknown
_1214475541.unknown
_1214475386.unknown
_1214475191.unknown
_1214475200.unknown
_1214474964.unknown
_1214474239.unknown
_1214474553.unknown
_1214474709.unknown
_1214474765.unknown
_1214474651.unknown
_1214474515.unknown
_1214474534.unknown
_1214474250.unknown
_1214473787.unknown
_1214474101.unknown
_1214474182.unknown
_1214473907.unknown
_1214473421.unknown
_1214473428.unknown
_1214473233.unknown