X. NOŢIUNI FUNDAMENTALE ÎN D PUNCTULUI MATERIAL ŞI … · X. NOŢIUNI FUNDAMENTALE ÎN D...

194

X. NOŢIUNI FUNDAMENTALE ÎN DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL ŞI RIGIDULUI

Lucrul mecanic. Puterea. Randamentul mecanic. Impulsul. Momentul cinetic. Energia mecanică.

10.1 Lucrul mecanic Se consideră forţa F constantă ca mărime, direcţie şi sens, al cărei

punct de aplicaţie parcurge drumul rectiliniu M1M2, fig.10.1.

Fig.10.1 Lucrul mecanic

Se defineşte ca lucru mecanic, mărimea scalară: r Δ⋅=⋅⋅=⋅= FαcosMMFMMFL 2121

(10.1)

NOŢIUNI FUNDAMENTALE ÎN DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL ŞI RIGIDULUI

195

Lucrul mecanic poate fi :

- lucrul mecanic motor , L> 0 , dacă ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡∈

2π,0α ;

- lucrul mecanic rezistent , L< 0 , dacă ⎥⎦⎤

⎜⎝⎛∈ π,

2πα ;

- lucru mecanic nul, L=0, dacă 2πα = .

În S.I., unitatea de măsură pentru lucrul mecanic este Joule-ul (J). a. Lucrul mecanic elementar

Se consideră forţa variabilă F , al cărei punct de aplicaţie se deplasează pe curba C, fig.10.2a, între poziţiile succesive M1 şi M2 , atinse la timpul t respectiv la timpul t+dt. Intervalul de timp dt fiind foarte mic, se poate considera că forţa rămâne constantă, iar arcul M1M2 este egal cu coarda M1M2.

a. b.

Fig.10.2 Lucrul mecanic elementar

Prin definiţie, lucrul mecanic elementar efectuat de forţa F , este : rdFdL ⋅= (10.2)

relaţie din care, dacă forţa şi deplasarea elementară se scriu în funcţie de proiecţiile lor pe axele de coordonate, se obţine : dzFdyFdxFrdFdL zyx ++=⋅= (10.3)

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii

196

Ţinând seama de expresia vitezei, dt

rdv = , se poate scrie :

dt )zFyFxF(vFvFvF dt vFdL xxxzzyyxx &&& ++=++=⋅= (10.4)

b. Lucrul mecanic finit

Dacă deplasarea forţei variabile F se produce pe curba (C) între două puncte A şi B, fig.10.2b, lucrul mecanic total sau finit efectuat de forţă se obţine prin descompunerea mişcării finite în mişcări elementare. Astfel, problema se reduce la cazul precedent, pentru fiecare element de arc forţa considerându-se constantă iar arcul egal cu coarda, astfel încât, însumând lucrurile mecanice elementare, se obţine :

)dzFdyFdxF( rd FL zyAB

xAB

AB ++== ∫∫

(10.5) adică, lucrul mecanic finit se exprimă printr-o integrală curbilinie, fiind dependent atât de forţă, cât şi de arcul AB parcurs.

10.2 Puterea Prin definiţie puterea reprezintă lucrul mecanic produs în unitatea

de timp. Atunci când forţa (sau momentul în cazul rigidului) sunt constante în timp, puterea se exprimă ca :

tLP =

(10.6) respectiv când forţa ori momentul sunt variabile:

dtdLP =

(10.6’)

Dacă în relaţia (10.6’), se ţine seama de (10.3) şi (10.4), rezultă :


197

vFdt

rd FP ⋅==

(10.7)

respectiv : ωθ⋅== M

dtd MP

(10.7’)

În S.I. unitatea de măsură pentru putere este watt-ul [W]. 10.3 Randamentul mecanic Ca randament mecanic, se defineşte raportul adimensional:

m

u

LL

=η

(10.8) în care Lm reprezintă lucrul mecanic motor obţinut ca sumă între lucrul mecanic util, Lu , (produs în scopul în care a fost proiectată maşina) şi lucrul mecanic pasiv Lp (folosit pentru învingerea frecărilor): Lm = Lu + Lp (10.9) Rezultă că randamentul se poate exprima ca :

,LL

LLL

m

P

m

Pm φη −=−=−

= 11

(10.10) unde ϕ , se numeşte coeficient de pierderi.

10.4 Impulsul


198

Prin definiţie, impulsul unui punct material M de masă m, care se deplasează cu viteza v , (fig.10.3a), este reprezentat de mărimea vectorială H , coliniară cu v :

v mH = (10.11)

a. b.

Fig.10.3 Impulsul unui punct material

În S.I. unitatea de măsură pentru impuls este kg.m/s.

10.5 Momentul cinetic Momentul cinetic faţă de un punct O, al unui punct material A de

masă m, care se deplasează cu viteza v , ( Fig.10.3b) , este reprezentat de mărimea vectorială OK :

vm x r H x rK O == (10.12)

Vectorul OK este un vector legat de punctul în raport cu care se calculează momentul cinetic, analog momentului forţei calculat în raport cu un punct, definit în statică.

În S.I. unitatea de măsură pentru momentul cinetic este kg.m2/s.

10.6 Energia mecanică Pentru un punct material de masă m care se deplasează cu viteza

v se defineşte ca energie cinetică mărimea scalară de stare, strict pozitivă:


199

2mv11E =

(10.13) iar ca energie potenţială, mărimea scalară V care caracterizează capacitatea mişcării nemecanice de a trece într-o anumită cantitate de mişcare mecanică. Energia potenţială se poate evidenţia când asupra unui punct material acţionează forţe conservative (ce derivă dint-o funcţie de forţă notată U).

Fie M un astfel de punct, (Fig.10.4), asupra căruia acţionează forţa conservativă F , derivată din funcţia de forţă U= U(x,y,z).

Fig.10.4 Energia potenţială a unui punct material

Dacă poziţia iniţială a punctului este Mo(xo,yo,zo) şi poziţia sa la un

moment dat este M(x,y,z) , lucrul mecanic al forţei F este : )zy,x(U)z,y,x(UUUL o,ooMMMM OO

−=−= (10.14)

Prin definiţie, energia potenţială este :

MMo,ooMM UU)z,y,x(U)zy,x(ULVoO

−=−=−= (10.15) Cum în general U(xo ,yo ,zo)=0 , rezultă că :

V= - U(x ,y ,z) (10.16)

Energia mecanică, este, prin definiţie, suma dintre energia cinetică

şi energia potenţială : VEEm +=

(10.17)


200

Impulsul, momentul cinetic şi energia cinetică reprezintă mărimi de stare, caracteristice mişcării unui punct material la un moment dat.

10.7 Teoreme generale în dinamica punctului material 10.7.1 Teorema impulsului Impulsul unui punct material M de masa m care se deplasează cu

viteza v este: vmH =

(10.18) Derivând impulsul în raport cu timpul, rezultă:

FamvmH === && (10.19)

respectiv: FH =& (10.20) Deci, derivata în raport cu timpul a impulsului este egală cu suma

forţelor care acţionează asupra punctului material. Din proiecţia pe axele sistemului cartezian a relaţiei (10.20) se obţin

ecuaţiile scalare:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=

=

∑∑∑

izz

iyy

ixx

FH

FH

FH

&

&

&

(10.21) 10.7.2 Teorema momentului cinetic Momentul cinetic al unui punct material M de masa m şi vector de

poziţie r care se deplasează cu viteza v , calculat faţă de un punct fix O, este:

vmrHrK 0 ×=×= (10.22)

Derivând momentul cinetic în raport cu timpul, rezultă:


201

00 MFramrvmrvmrK =×=×=×+×= &&& (10.23)

respectiv: 00 MK =& (10.24) Deci, derivata în raport cu timpul a momentului cinetic în raport cu un punct fix O este egală cu momentul rezultant al forţelor care acţionează asupra punctului material, calculat în raport cu acelaşi punct O.

Din proiecţia pe axele sistemului cartezian a relaţiei (10.24) se obţin ecuaţiile scalare:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=

=

∑∑∑

izz

iyy

ixx

MK

MK

MK

&

&

&

(10.25) 10.7.3 Teoremele conservării impulsului şi momentului cinetic Dacă în timpul mişcării punctul material este izolat sau rezultanta

sistemului de forţe exterioare este nulă, 0F = , atunci rezultă că 0FH ==& adică:

CconstH == , (10.26) deci impulsul se conservă. Constanta C se determină din condiţiile iniţiale. Dacă în timpul mişcării punctul material este izolat sau momentul

rezultant al forţelor exterioare este nul, 0M0 = , rezultă 0K =& , de unde:

CK0 = , (10.27)

deci momentul cinetic se conservă. Constanta vectorială C se determină din condiţiile iniţiale ale problemei studiate.

10.7.4 Teorema torsorului Teorema impulsului şi teorema momentului cinetic pot fi exprimate

sub forma teoremei torsorului, sub forma: ( ) ( )i0i FH ττ =& (10.28)


202

adică derivata în raport cu timpul a torsorului impulsurilor iH , în raport cu un punct fix O, este egală cu torsorul în raport cu acelaşi punct al forţelor

iF . Interpretarea geometrică este dată în fig.10.5, unde sunt

reprezentaţi cei doi torsori:

Fig.10.5 Interpretarea geometrică a teoremei torsorului

( )

( ) ⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

0i0

0i0

KH

H

MF

F

τ

τ

(10.29)

Rezultă că forţa F reprezintă viteza vârfului vectorului H , iar

momentul 0M reprezintă viteza vârfului vectorului 0K .

10.8 Momente de inerţie 10.8.1 Momente de inerţie mecanice şi geometrice Momentele de inerţie sunt mărimi ce caracterizează modul de

distribuţie a masei unui sistem de puncte materiale sau rigid. De asemenea,


203

prin intermediul acestor mărimi se exprimă inerţia unui corp în mişcare de rotaţie.

Se consideră un sistem de n puncte materiale Ai (i=1, ..., n), fig.10.6a, fiecare punct Ai având masa mi şi distanţa il faţă de o axă Δ, respectiv solidul rigid ce ocupă domeniul (D). Prin definiţie:

• momentul de inerţie al sistemului pe puncte materiale în raport cu axa Δ :

∑=

Δ =n

1i

2iimJ l

(10.30) • momentul de inerţie al solidului în raport cu axa Δ

∫=Δ)(D

2dmJ l

(10.30’)

a. b.

Fig.10.6 Momente de inerţie mecanice ale unui sistem de puncte materiale (a) şi ale unui corp rigid (b).

Dimensiunile şi unităţile de măsură pentru momentele de inerţie

mecanice sunt: [J] =ML2, respectiv kgm2. După cum în formulele (10.30) , (10.30’) lungimea il reprezintă distanţa la un plan, la o axă sau la un punct, se definesc momente de inerţie după cum urmează:

• Momente de inerţie planare


204

∫∫∫

∑∑∑===

===

)()()(;;

;;

D

2Oxz

D

2Oyz

D

2Oxy

2iiOxz

2iiOyz

2iiOxy

dmyJdmxJdmzJ

ymJxmJzmJ

( 10.31)

(10.31’)

• Momente de inerţie axiale

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫

∑∑∑+=+=+=

+=+=+=

)()()(;;

;;

D

22Oxz

D

22Oyz

D

22x

2i

2iiz

2i

2iiy

2i

2iix

dmyxJdmzxJdmzyJ

yxmJzxmJzymJ

( 10.32)

(10.32’)

• Moment de inerţie polar

( )( )∫ ∫

∑∑++==

++==

)( )(D D

2222O

2i

2i

2ii

2iiO

dmzyxdmrJ

zyxmrmJ

( 10.33)

(10.33’)

• Momente de inerţie centrifuge

∫∫∫

∑∑∑===

===

)()()(;;

;;

DOxz

DOyz

Dxy

iiixziiiyziiixy

dmxzJdmyzJdmxyJ

zxmJzymJyxmJ

( 10.34)

(10.34’)

Momentele de inerţie planare, axiale şi polare sunt mărimi pozitive

(în cazuri particulare momentul de inerţie planar poate fi nul dacă, de exemplu în cazul unei plăci, se calculează momentul de inerţie în raport cu planul în care se situează placa); momentele de inerţie centrifuge pot fi mărimi scalare pozitive, negative sau nule (când una din axe este axă de simetrie a corpului.

Între momentele de inerţie există relaţii de legătură, de exemplu:

( ) OxzOxyxzyxOxzOyzOxyO JJJJJJ21JJJJ +=++=++= ;

(10.35) Legătura dintre momentele de inerţie mecanice şi momentele de

inerţie geometrice se exemplifică în continuare pentru cazul unei plăci plane omogene, pentru care:

• momentul de inerţie geometric este ∫=)(D

2dAI l


205

• momentul de inerţie mecanic este ∫=)(D

2dmJ l

Cum pentru plăcile omogene dm=ρ dA , unde ρ este masa specifică (volumetrică, superficială sau liniară a corpului considerat) rezultă: J = ρ Ι (10.36)

Se numeşte rază de inerţie distanţa faţă de un plan, o axă sau un pol, la care ar trebui plasată întreaga masă ∑= imM a sistemului material, concentrată într-un singur punct, pentru a obţine aceeaşi valoare a momentului de inerţie planar, axial sau polar ca şi cea dată de întreg sistemul material. Deci J=M i2, de unde:

MJi =

(10.37) 10.8.2 Variaţia momentelor de inerţie 10.8.2.1 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele. Teorema lui Steiner. Se dă un sistem material, fig. 10.7, al cărui centru de greutate C este

situat pe axa Δ, şi o altă axă Δ1, paralelă cu Δ. Αxa Δ1 intersectează planul xOy în punctul O’(a,b,0) şi punctul

Ai(xi,yi,zi) de masă mi se proiectează pe planul xOy în puctul A’i (xi,yi,0). Momentul de inerţie al sistemului faţă de axa D se determină cu

relaţia:

( )∑=

+=n

1i

2i

2ii yxmJΔ

(10.38) Momentul de inerţie al sistemului faţă de axa Δ1 se determină

analog, cu relaţia:

( ) ( ) ( )[ ]∑ ∑=

−+−=′′=n

1i

2i

2ii

2ii byaxmAOmJΔ

(10.39)


206

Fig.10.7 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

Prin dezvoltarea relaţiei (10.39) se obţine:

( ) ( )∑ ∑ ∑∑= = ==

Δ ++−−+=n

1i

n

1i

n

1ii

22ii

n

1iii

2i

2ii mbaymb2xma2yxmJ

1 (10.40)

în care 21

22 dba =+ , cu d1 distanţa dintre axele Δ şi Δ1.

Cum ∑=

=n

1ii Mm este masa sistemului, termenii 0Mxxm

n

1iCii ==∑

= şi

0Myymn

1iCii ==∑

= deoarece punctul C se află pe axa Δ, rezultă formularea

teoremei lui Steiner: 2

1MdJJ1

+= ΔΔ (10.41)

Momentul de inerţie mecanic al unui sistem faţă de o axă oarecare Δ1 este egal cu momentul de inerţie al sistemului faţă de o axa Δ paralelă cu Δ1 şi care trece prin centrul de greutate al sistemului, la care se adună produsul dintre masa totală a sistemului şi pătratul distanţei dintre cele două axe. O generalizare a teoremei lui Steiner pentru axe oarecare Δ1 şi Δ2 ,

aflate la distanţele d1 şi d2 faţă de axa Δ ce trece prin centrul de greutate al sistemului şi paralele cu aceasta , (fig.10.7) se obţine prin scăderea relaţiilor

21MdJJ

1+= ΔΔ şi 2

2MdJJ2

+= ΔΔ :


207

( )21

221 ddMJJ

2−+= ΔΔ

(10.42) Formulele aferente teoremei lui Steiner pentru momente de inerţie

geometrice faţă de axe cuprinse în planul unei suprafeţe sunt:

21AdII

1+= ΔΔ

(10.43) respectiv ( )2

1221 ddAII

2−+= ΔΔ

(10.43’) notaţiile având semnificaţia din fig. 10.8a.

a. Axe paralele oarecare b. Sisteme de axe paralele

Fig.10.8 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele cuprinse în planul unei suprafeţe

Variaţia momentelor de inerţie mecanice şi geometrice centrifugale sunt exprimate prin relaţiile:

MabJJ xyyx ⋅+=′′ şi AabII xyyx ⋅+=′′ (10.44)

obţinute analog, iar notaţiile au semnificaţia din fig. 10.8b.

10.8.2.2 Variaţia momentelor de inerţie în raport cu axe concurente


208

Se dă sistemul de puncte materiale reprezentat în fig.10.9, şi se presupun cunoscute momentele de inerţie axiale Jx, Jy, Jz şi cele centrifugale Jxy, Jyz, Jzx. Se cere momentul de inerţie JΔ faţă de o axă oarecare Δ de versor u care trece prin O şi are cosinusurile directoare α, β, γ.

Fig.10.9 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe concurente Momentul de inerţie al sistemului faţă de axa Δ se calculează cu relaţia:

∑=

Δ =n

1i

2iidmJ

(10.45) Ţinând seama că:

( )2iii

2i

2i

2i

2i zyxrODrd ⋅+⋅+⋅−=−= γβα şi

2i

2i

2i

2i zyxr ++=

precum şi de relaţiile de definiţie ale momentelor de inerţie planare şi centrifugale, (10.32) şi (10.35), se obţine expresia momentului de inerţie al sistemului în raport cu axa Δ :

xzxxyz

2y

2x

2 J2J2J2JJJJ αγβγαβγβα −−−++=Δ (10.46) Totodată, relaţia (10.46) reprezintă şi legea de variaţie a momentelor de inerţie mecanice faţă de toate axele ce trec prin O.


209

Analog, se deduce legea de variaţie a momentelor de inerţie geometrice în raport cu axe concurente. Pentru suprafaţa de arie A situată în planul xOy, (fig.10.10), momentul de inerţie faţă de axa Δ, de versor variabil u , care trece prin O şi are cosinusul director ϕ , rezultă ţinând seama că în acest caz 0=== γϕβϕα ,sin,cos şi zi=0.

Astfel, expresia (10.46) devine:

ϕϕϕϕ cossinsincos ⋅−+=Δ xy2

y2

x I2III (10.47)

a.

b.

Fig.10.10 Momentul de inerţie al unei suprafeţe faţă de o axă Δ

Din relaţia (10.47), pentru 0=ϕ rezultă xII =Δ iar pentru 2πϕ = , se

obţine yII =Δ . Analizând variaţia momentelor de inerţie geometrice la rotirea

sistemului de axe xOy cu unghiul ϕ până în poziţia Ox’y’, fig.10.10b, pe baza relaţiei (10.47) rezultă: ϕϕϕϕ cossinsincos ⋅−+=′ xy

2y

2xx I2III

ϕϕϕϕ cossincossin ⋅++=′ xy2

y2

xy I2III (10.48) sau, înlocuind :

2

212

21 22 ϕϕϕϕ cossincoscos −=

+= ;


210

rezultă:

ϕϕ

ϕϕ

2I22

II2

III

2I22

II2

III

xyyxyx

y

xyyxyx

x

sincos

sincos

+−

−+

=

−−

++

=

′

′

(10.49) iar pentru momentul de inerţie centrifugal:

ϕϕ 2I22

III xy

yxyx cossin +

−=′′

(10.50)

Formulele (10.46), (10.47) permit o interpretare geometrică deosebit de utilă din punct de vedere practic:

• dacă pe axa Δ de versor u se consideră u punct M (fig.10.11)

situat la distanţa Δ

=J1OM , de coordonate variabile

ΔΔΔ

===J

zJ

yJ

x γβα ;; se pot scrie relaţiile:

ΔΔΔ

ΔΔΔ

======

zxJzyJxyJJzJyJx 222222

γαβγαβγβα

;;;;

care înlocuite în (10.46) conduc la ecuaţia: 1zxJ2yzJ2xyJ2zJyJxJ zxyzxy

2z

2y

2x =−−−++ (10.51)


211

Fig.10.11 Elipsoidul de inerţie relativ la punctul O

Ecuaţia (10.51)reprezintă o cuadrică închisă (elipsoid) cu centrul în

O, numită elipsoidul de inerţie relativ la punctul O, deoarece reprezintă o imagine geometrică a variaţiei momentului de inerţie JΔ faţă de axele care trec prin punctul fix O.

10.8.2.3 Direcţii principale de inerţie. Momente de inerţie principale

Direcţiile axelor principale de inerţie sunt definite de valorile extreme ale momentelor de inerţie mecanice, JΔ, (10.46), sau ale momentelor de inerţie geometrice, IΔ , (10.47).

Aceste axe se numesc axe principale de inerţie, planele lor se numesc plane principale de inerţie iar momentele de inerţie aferente lor, momente de inerţie principale.

Dacă axele şi planele principale de inerţie trec prin centrul de masă al sistemului considerat, ele se numesc axe (ori plane) principale şi centrale de inerţie.

Valorile extreme ale segmentului notat OM în fig.10.11 sunt date de două din cele trei semiaxe ale elipsoidului de inerţie.

Raportând ecuaţia elipsoidului la axele sale de simetrie (fig.10.11), se obţine:

1zJyJxJ 21z

21y

21x 111

=++ (10.52)


212

În raport cu aceste axe, momentele de inerţie centrifugale sunt nule: 0J,0J,0J

111111 xzzyyx === (10.53)

Pentru a obţine ecuaţia canonică a elipsoidului de inerţie, semiaxele sale se notează a, b, c, obţinându-se expresia:

1cz

by

ax

2

21

2

21

2

21 =++

(10.54) unde :

111 z

2

y

2

x

2

J1c

J1b

J1a === ;;

Dacă semiaxele elipsoidului de inerţie satisfac relaţia a<b<c, atunci momentele principale de inerţie vor avea ordinea de mărime

111 zyx JJJ >> . Rezultă astfel că faţă de toate axele concurente în punctul O, momentul de inerţie minim se obţine faţă de axa mare a elipsoidului de inerţie, iar momentul de inerţie maxim, faţă de axa mică. Momentul faţă de axa intermediară de numeşte moment de inerţie minimax.

În situaţia figurilor plane, axele principale de inerţie sunt date de valorile unghiului ϕ pentru care relaţia (10.46) admite un extrem.

Astfel:

0φ2cosI2φcosφsinI2φcosφsinI2φd

dIxyyx =−⋅+⋅−=Δ (10.55)

de unde rezultă:

xy

xy

III2

φ2tg−

=

(10.56) Din rezolvarea ecuaţiei trigonometrice (10.56) se obţin două valori

ale lui ϕ decalate între ele cu π/2, deci axele principale de inerţie Ox1 şi Oy1 (fig.10.11), sunt perpendiculare între ele.

Relaţiile (10.46) , (10.47) se pot pune sub una din formele (10.49), iar pe baza relaţiei (10.56) se poate scrie:


213

( ) 2

xy2

xy

xy

I4II

IIφ2cos

+−

−±= şi

( ) 2xy

2xy

yx

I4II

II2φ2sin

+−±=

Apoi, efectuând calculele algebrice, rezultă relaţia:

( ) 2xy

2xy

yxyx I4II

21

2II

I,I11

+−±+

=

(10.57) În aplicaţii, momentele de inerţie principale se determină utilizând

relaţia (10.57) iar pentru elipsa de inerţie, se utilizează ecuaţia scrisă sub formă canonică:

1iy

ix

2x

21

2y

21

11

=+

(10.58) unde mărimile

1xi şi 1yi reprezintă razele de giraţie.

Momentele de inerţie mecanice şi geometrice prezintă o

importanţă deosebită în studiul sistemelor mecanice precum şi în analiza dinamicii mişcării sistemelor materiale.

În tabelul 10.1 sunt înscrise momente de inerţie geometrice şi mecanice pentru corpuri având forme geometrice uzuale.

Tabelul 10.1 Momente de inerţie

Momentul de inerţie Profilul figurii Axa

geometric mecanic

y 3

3l

3M

3l

Bara dreaptă

yC 12

3l

12M

3l


214

xc (Ox) 12

ab3 ; (

3ab3

) 2Mb

121

; ( 2Mb31

) Dreptunghi

yc Oy

12ba3

; (3ba3

) 2Ma

121

; ( 2Ma31

)

Ox

( )α2sinα2R81 4 − ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

αα2sin1MR

41 2

Sector de cerc

Oy ( )α2sinα2R81 4 + ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

αα2sin1MR

41 2

Oz ( )44 rRhπ21

− ( )22 rRM21

+ Cilindru gol

Ox Oy ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−3hrR

4hrR 2

2222π

( )222 hr3R3M121

++

Oz hrπ

21 4 2Mr

21

Cilindru

Ox Oy ( )222 hr3hrπ

121

+ ( )22 hr3M121

+

Pol O

5Rπ54

2MR53

Sferă

Ox Oy

5Rπ148

2MR52

10.8.2.4 Aplicaţii

1. Pentru secţiunea reprezentată în fig.10.12, se cere să se determine: a. Momentele de inerţie în raport cu sistemul de axe xCy care trece prin centru său de greutate; b. Poziţia axelor principale de inerţie şi valoarea momentelor de inerţie principale I1 şi I2.


215

Fig. 10.12 Determinarea momentelor de inerţie principale

şi a axelor principale de inerţie

• Determinarea poziţiei centrului de greutate al secţiunii Cu cotele din figură se calculează:

- aria secţiunii : A = 6x9 -5x8=14 cm2

- aria suprafeţei 1 : A1= 8x1=8 cm2 - aria suprafeţei 2: A2 = 6x1=6 cm2

Se completează tabel de mai jos, calculele cotelor zi şi yi fiind efectuat faţă de sistemul de axe Oy1z1.

Nr. supraf.i zi yi Ai Ai zi Ai yi

1 0,5 5 8 4 40 2 3 0,5 6 18 3

∑=

2

1i: 14 22 43

Aplicând apoi relaţiile (3.70), particularizate pentru n = 2 , rezultând :

cm 3,11643 ; cm 1,6

1422 ≅=

∑=

∑==≅=

∑=

∑== 2

2

2

2

1i iA

1i iyiA

Cy

1i iA

1i iziA

Cz


216

Poziţia centrului de greutate C (yc; zc ) al secţiunii este marcat în fig.10.12 în raport cu axele Oy1z1, alese pentru calcul.

• Determinarea momentelor de inerţie Iz şi Iy faţă de axele yCz Momentele se calculează considerând secţiunea dată în enunţ ca rezultând din diferenţă a două dreptunghiuri, conform fig.10.13a, iar cotele necesare calculului sunt înscrise în fig.10.13b.

a. b.

Fig.10.13 Geometria secţiunii pentru calculul momentelor de inerţie Iz şi Iy

( ) ( ) 4cm 114=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅+

⋅−−⋅+

⋅= 2

32

3

z 1358512

8513549612

96I ,,,

( ) ( ) 4cm 40,5=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅+

⋅−−⋅+

⋅= 2

32

3

y 61535812

586136912

69I ,,,

Momentul de inerţie centrifugal se calculează considerând suprafaţa ca suma celor două dreptunghiuri haşurate în fig.10.12. ( ) ( ) ( ) ( ) 4cm 38,56−=−⋅−⋅+−⋅−⋅⋅= 62613161351118Izy ,,,, Direcţia axelor principale se determină cu relaţia :

1,05==−

⋅−=

−=

5731277

11454056382

III2

2tgxy

xy

,,

,,ϕ ;

512303462 oo ′=⇒′= ϕϕ Calculul momentelor de inerţie principale se efectuează cu relaţia:


217

( )

( )

2532577

5638454011421

2540114

I4II21

2II

II

22

2zy

2zy

yz21

,,

,,,

,

±=

=⋅+−±+

=

=+−±+

=

Cu aceste valori, rezultă: 4 4 cm 24 cm 130 ≅≅ 21 II ; 2. Să se calculeze momentele de inerţie ale dreptunghiului din fig.10.14 faţă de axele Az1 şi Ay1.

Fig.10.14 Momente de inerţie ale suprafeţei faţă de axe paralele

12hbI

12bhI

3

y

3

z == ;

hb487

16bbh

12hbdAII

bh487

16hbh

12bhdAII

323

2yy

323

2zz

1

1

=+=′⋅+=

=+=⋅+=

X. NOŢIUNI FUNDAMENTALE ÎN D PUNCTULUI MATERIAL ŞI … · X. NOŢIUNI FUNDAMENTALE ÎN D...

Documents

Transcript of X. NOŢIUNI FUNDAMENTALE ÎN D PUNCTULUI MATERIAL ŞI … · X. NOŢIUNI FUNDAMENTALE ÎN D...