CAPITOLUL 4

DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL

În mecanica tehnică, un corp poate fi asimilat cu un punct

material dacă îndeplineşte simultan următoarele două condiţii:

are dimensiuni mici şi neglijarea lor nu influenţează mişcarea mecanică a corpului;

rotaţia corpului este foarte lentă (viteza unghiulară are valori mici).

Prin adoptarea modelului mecanic de punct material, corpul respectiv se reduce din punct de vedere dimensional la un singur punct geometric – centrul de masă al lui, – dotat cu masa întregului corp.

În funcţie de specificul problemei de dinamică şi de gradul de precizie al rezultatelor obţinute este posibil ca un corp să poată fi tratat ca punct material într-o problemă şi să nu poată fi tratat ca atare în altă problemă.

În dinamică, la fel ca în cinematică, se vor considera cele două cazuri distincte de mişcări ale punctului material: mişcarea absolută şi mişcarea relativă.

4.1. Dinamica mişcării absolute a punctului material 4.1.1. Principiile fundamentale ale dinamicii punctului material Mişcarea unui corp modelat ca punct material are loc astfel

încât sunt respectate principiile formulate în 1687 de Isaac Newton în lucrarea sa „Principiile matematice ale filozofiei naturale”, unele principii fiind formulate parţial şi de Galileo Galilei.

În lucrările actuale de mecanică, aceste principii fundamentale corespunzătoare modelului mecanic punctual, sunt prezentate fie în

– 170 –

versiunea formulată de Newton, fie în versiuni reformulate, fără însă a infirma formularea newtoniană.

1. Principiul inerţiei

„Orice corp îşi păstrează starea de repaus sau de mişcare rectilinie şi uniformă dacă nu este constrâns de cauze externe să-şi schimbe starea”.

Acest principiu a fost enunţat pentru prima dată de Galileo Galilei în anul 1632.

2. Principiul acţiunii forţelor

„Acceleraţia imprimată unui punct material de o forţă ce acţionează asupra lui este coliniară cu aceasta, factorul de coliniaritate dintre forţă şi acceleraţie fiind masa punctului material”.

Acest principiu, cunoscut şi sub numele de legea a II-a a lui Newton, are următoarea expresie matematică

,Fam (4.1)

m fiind masa punctului care este o mărime scalară constantă şi pozitivă. Relaţia (4.1), care exprimă principiul acţiunii forţelor, descrie comportamentul dinamic al punctului material, fapt ce justifică denumirea de legea fundamentală a dinamicii punctului material.

Această lege se mai poate enunţa sub următoarea formă:

„Derivata în raport cu timpul a impulsului unui punct material este egală cu rezultanta forţelor care acţionează asupra lui”.

Matematic, această lege se poate scrie sub forma

, Ft d

)v (m d sau F

t d

H d (4.2)

unde

– 171 –

,v mH (4.3)

reprezintă impulsul acestui model mecanic aproximativ. Dacă într-un anumit interval de timp în care se studiază

mişcarea unui punct material este satisfăcută condiţia

0F , (4.4)

atunci relaţiile (4.2) vor lua formele

0t d

)v (m d sau 0

t d

H d .

Prin integrarea relaţiilor de mai sus, se va obţine legea de conservare a impusului exprimată prin una din formulele:

000 v mHv m ; HH , (4.5)

unde oo v mH reprezintă impulsul iniţial al punctului material.

Relaţia

oo v

m

Hv , (4.6)

exprimă principiul inerţiei cunoscut şi sub denumirea de legea inerţiei în dinamica punctului material cu următoarea formulare:

„Dacă asupra unui punct material se exercită un sistem de forţe exterioare cu rezultantă zero într-un interval determinat de timp, atunci în tot acest interval de timp punctul material respectiv îşi păstrează fie starea de mişcare rectilinie uniformă, fie starea de repaus, după cum în momentul iniţial al aplicării sistemului de forţe menţionat, viteza lui este diferită de zero sau egală cu zero”.

3. Principiul acţiunii şi reacţiunii

„Acţiunile reciproce a două puncte materiale sunt totdeauna egale şi dirijate în sensuri contrare”, (Fig. 4.1).

– 172 –

Fig. 4.1

4. Principiul independenţei acţiunii forţelor sau principiul paralelogramului

„Efectul produs de două forţe care acţionează asupra unui punct material este acelaşi cu efectul produs de o singură forţă aplicată punctului material şi obţinută – ca mărime, direcţie, sens – din cele două forţe date, după regula paralelogramului”, (Fig. 4.2).

Conform acestui principiu, dacă asupra unui punct material acţionează simultan mai multe forţe, efectul uneia dintre ele este independent de efectele celorlalte forţe.

Fig.4.2

– 173 –

5. Principiul condiţiilor iniţiale

„Starea iniţială a punctului material determină mişcarea acestuia”.

Prin stare iniţială se înţelege poziţia şi viteza punctului material la un moment 0t , când începe mişcarea, adică

00 r)t(r şi 000 v)t(v)t(r . (4.7)

Acest principiu a fost formulat pentru prima dată de Galileo Galilei.

4.1.2. Forţele care acţionează asupra unui punct material

Forţele care acţionează asupra unui corp asimilat cu un punct material sunt vectori concurenţi legaţi. Torsorul într-un punct fix O al unui sistem (S) de n forţe ce acţionează asupra unui punct material P, are următoarele componente

,

FOP)F(M)F(M

)n,....2,1i(,FF

)S(Tn

1iOiOO

n

1ii

O

M (4.8)

unde F este forţa rezultantă aplicată în punctul material P;

OM este momentul rezultant al sistemului (S) de forţe, egal cu

momentul rezultantei )F(MO , conform teoremei lui Varignon [3, 7, 9]

ceea ce înseamnă că

.0F O M (4.9)

Există două cazuri de reducere [3, 7, 9]:

- sistem echivalent cu zero

– 174 –

;0;0F O M (4.10)

- sistem echivalent cu o rezultantă unică

,0

;0;0F OM (4.11)

cu 0O M , dacă suportul rezultantei F trece prin polul O şi 0O M ,

dacă suportul nu trece prin pol.

4.1.2.1. Clasificarea forţelor ce acţionează asupra unui punct material

În continuare, se prezintă o clasificare succintă a forţelor care acţionează asupra corpurilor asimilate cu puncte materiale, în baza următoarelor criterii de clasificare adoptate [3, 7, 9]:

1. caracterul real sau fictiv al forţelor;

2. caracterul motor sau rezistent al lucrului mecanic efectuat de forţe;

3. forma de interacţiune, directă sau prin elemente de legătură, a punctului material, cu corpurile din mediul înconjurător. Clasificarea forţelor în baza Criteriului 1:

– forţe efectiv aplicate asupra unui punct material; – forţe de inerţie.

Forţele efectiv aplicate sunt forţe reale, atât pentru un observator solidar cu reperul fix, cât şi pentru un observator solidar cu reperul mobil, care apreciază mişcarea relativă a punctului material.

Forţele de inerţie pot avea un caracter real sau fictiv, în funcţie de poziţia observatorului:

- pentru un observator legat de reperul fix, forţele de inerţie sunt forţe fictive; introducerea lor furnizează o metodă comodă de

– 175 –

rezolvare a problemelor de dinamică, prin metoda cineto-statică;

- pentru un observator legat de reperul în mişcare, care apreciază mişcarea relativă a punctului material, forţele de inerţie acţionează ca forţe reale, efectiv aplicate corpului.

Forţa de inerţie are următoarea expresie:

a mFin , (4.12)

unde F reprezintă, după cum s-a precizat, rezultanta forţelor efectiv aplicate punctului material. Relaţia (4.1) se poate scrie sub forma:

,0FF in (4.13)

Clasificarea forţelor în baza Criteriului 2:

– forţe active; – forţe pasive.

Forţele active, în funcţie de unghiurile pe care le formează cu vitezele punctelor materiale, pot efectua lucru mecanic pozitiv (motor), atunci când ,2/0 (Fig. 4.3.a); negativ (rezistent), dacă ,2/ (Fig. 4.3.b), sau nul, pentru 2/ , (Fig. 4.3.c).

Forţele pasive sunt forţele care în toate situaţiile efectuează numai lucru mecanic rezistent sau nul, (Fig. 4.3.b şi c).

a. b. c.

Fig. 4.3

2/

a

P

F

v

)( P )( P

a

P

F

v

2

a

P

F

v )( P

2

– 176 –

Se poate scrie următoarea relaţie vectorială

pa FFF , (4.14)

unde

aF este rezultanta forţelor active care acţionează asupra

punctului material; pF este rezultanta forţelor pasive.

La rândul lor forţele pasive pot fi:

disipative;

ideale.

Forţele pasive disipative lucrează cu consum de energie, efectuând numai lucru mecanic rezistent.

Forţele pasive ideale lucrează fără pierderi de energie; în cazul acestor forţe, lucrul mecanic este nul.

Clasificarea forţelor în baza Criteriului 3:

– forţe de interacţiune directă (la distanţă sau de contact); – forţe de interacţiune prin elemente de legătură.

Forţele de interacţiune directă se exercită direct între două corpuri, fără elemente intermediare de legătură.

Forţele de interacţiune prin elemente de legătură, se exercită, după cum reiese din denumirea lor, între două corpuri prin intermediul unor elemente de legătură, activă sau pasivă.

În continuare, se prezintă schematic principalele forţe întâlnite

în mecanica tehnică care acţionează asupra corpurilor asimilate cu puncte materiale.

– 177 –

4.1.2.2. Forţe active a) Forţe active de interacţiune directă:

- la distanţă, cum ar fi greutatea corpului;

FORŢE

efectiv aplicate

de inerţie

active )F( a

pasive )F( p

de interacţiune directă - greutatea P

de legătură activă - forţa elastică eF

de rezistenţă - rezistenţa mediului zR - rezistenţa de amortizare aR

de legătură pasivă (reacţiunile din legături) - reacţiunea normală N - forţa de frecare fF

- tensiunea din fir T - efortul din tijă S

– 178 –

- de contact, de exemplu, forţele motoare.

Greutatea P a unui corp are sens numai dacă mişcarea lui, efectuată la suprafaţa solului terestru, este studiată de un observator situat pe Pământ. În cazul punctului material, greutatea are expresia:

,g mP (4.15)

unde g reprezintă acceleraţia greutăţii aproximată în aplicaţiile

tehnice curente cu acceleraţia gravitaţională terestră tg .

Forţa corespunzătoare acceleraţiei gravitaţionale terestre

tg gmF , (4.16)

reprezintă forţa exercitată de Pământ asupra unui corp de masă m, aflat la înălţimea h deasupra solului terestru şi are expresia

,i)hR(

M m kF r2

pg

(4.17)

cu Mp şi R, reprezentând masa, respectiv raza Pământului, ri fiind

versorul vectorului de poziţie CPr (C, centrul Pământului). În baza relaţiilor (4.16) şi (4.17), rezultă

r2

pt i

)hR(

Mkg

. (4.18)

Se menţionează faptul că această forţă gravitaţională terestră,

gF , nu intră în mod explicit în ecuaţiile care descriu mişcarea

corpurilor la suprafaţa Pământului.

b) Forţe de legătură activă

Legătura activă dintre un punct material şi alt corp cu care acesta interacţionează este un element elastic care prezintă următoarele caracteristici:

– 179 –

- nu împiedică, între anumite limite, deplasările relative ale celor două corpuri cuplate; - forţele de interacţiune ce apar în punctele de legătură a elementului elastic cu cele două corpuri cuplate au caracteristici de forţe active.

Elementul elastic de legătură între două corpuri asimilate cu puncte materiale poate fi:

- un arc elicoidal deformat prin întindere şi comprimare;

- o bară elastică deformată prin încovoiere plană.

În cazul legăturii elastice realizată prin arc elicoidal deformat prin întindere şi comprimare (Fig. 4.4.a) şi al legăturii prin bară elastică deformată prin încovoiere plană (Fig. 4.4.b), conform principiului acţiunii şi reacţiunii, în punctele de legătură vor apărea

forţele elastice ,Fe şi *eF - eF .

Fig. 4.4

Forţa elastică, ,Fe exercitată asupra punctului material P, legat

printr-un arc elicoidal de un punct fix O, este o forţă de tip central şi are expresia:

r kF ee , (4.19)

a.

b.

– 180 –

unde ke (N/m) este constanta elastică a arcului, iar OPr este vectorul de poziţie al punctului material P în raport cu punctul fix O; deformarea elastică a arcului, în timpul mişcării punctului material P, se aproximează cu distanţa OP, dat fiind lungimea suficient de mică a arcului nedeformat. Asupra forţei elastice se va reveni în capitolul următor al lucrării.

4.1.2.3. Forţe pasive a) Forţe pasive de rezistenţă:

– rezistenţa mediului, zR ;

– rezistenţa de amortizare, aR .

Rezistenţa mediului, zR , numită şi forţa de frecare vâscoasă, pe care mediul fluid o exercită asupra unui punct material aflat în mişcare în mediul respectiv, este determinată de legea lui Bernoulli, exprimată prin relaţia

vz iv cR , (4.20) unde c )smN( este coeficientul de rezistenţă a mediului care depinde de densitatea mediului şi se determină experimental; )s/m( i vv v reprezintă viteza punctului material; este un exponent care depinde de mărimea vitezei punctului material şi se determină experimental.

În aplicaţiile tehnice se folosesc în mod curent următoarele forme particulare ale legii lui Bernoulli pentru un corp asimilat cu un punct material:

Legea I-a a lui Newton:

,v cRz (4.21)

pentru )sNm(c),s/m(50v,1 1 ;

– 181 –

Legea a-II-a a lui Newton

,i v cR v2

z (4.22)

pentru )sNm(c),s/m(250v)s/m(50,2 22 . Rezistenţa de amortizare, aR , este forţa datorită căreia,

mişcarea punctului material P, cuplat printr-un element elastic cu corpul P* cu care interacţionează, se amortizează. În Fig. 4.5 se prezintă prin simbolul cilindru-piston, amortizarea la translaţie produsă la cuplajul elastic realizat prin arc elicoidal deformat prin întindere şi comprimare.

a. b.

Fig. 4.5

– 182 –

Concluziile cercetărilor experimentale au condus la următoarea

expresie a acestei forţe

*)vv( CRa , (4.23)

unde C (N·s/m) este coeficientul de amortizare, care se determină

experimental şi depinde de natura materialului din care este confecţionat elementul elastic, precum şi de vâscozitatea mediului în care este montat;

v (m/s) este viteza punctului material P căruia i se studiază mişcarea; v (m/s) este viteza punctului material P*, cu care este cuplat, prin element elastic, punctul P (Fig. 4.5.a).

În Fig. 4.5.b, punctul material P este fix ( 0v ). b) Forţe de legătură pasivă

Legătura pasivă dintre un punct material şi un alt corp cu care acesta interacţionează este o formă particulară de interacţiune, care introduce restricţii în variaţia parametrilor de poziţie a punctului material şi uneori, şi în variaţia vitezei lui. Matematic, existenţa legăturilor se exprimă prin ecuaţii sau inecuaţii de legătură. Astfel, dacă un punct material este obligat să se mişte pe o suprafaţă, fixă sau mobilă, atunci coordonatele lui trebuie să satisfacă ecuaţia suprafeţei pe toată durata mişcării; legătura se va exprima prin relaţii de forma

0)z,y,x(f , (4.24)

respectiv, 0)t,z,y,x(f . (4.25)

Dacă un punct material este obligat să se deplaseze pe o curbă, fixă sau mobilă, atunci coordonatele lui vor trebui să satisfacă pe toată durata mişcării, ecuaţiile curbei respective, legătura se va exprima prin relaţii de forma

– 183 –

0)z,y,x(f ;0)z,y,x(f 21 , (4.26)

respectiv, 0)t,z,y,x(f ;0)t,z,y,x(f 21 . (4. 27)

Dacă un punct material este obligat să se deplaseze într-un domeniu anume, spre exemplu, să rămână de aceeaşi parte a unei suprafeţe, fixă sau mobilă, atunci legătura respectivă se va exprima prin relaţii de forma

,0)z,y,x(f (4.28) respectiv,

0)t,z,y,x(f . (4.29)

Legăturile pasive se pot clasifica din mai multe puncte de vedere:

I. Clasificarea după modul de exprimare matematică a restricţiilor impuse punctului material:

– legături unilaterale, cu restricţiile exprimate prin inegalităţi de forma (4.28), (4.29);

– legături bilaterale, cu restricţiile exprimate prin egalităţi de forma (4.24)÷(4.27), numite ecuaţii de legătură.

II. Clasificarea după caracterul cinematic al restricţiilor:

– Legături geometrice (finite), sunt legăturile care impun restricţii numai poziţiei punctului, ele fiind exprimate prin relaţii analitice între coordonatele punctului material şi eventual timpul t, cum ar fi, de exemplu, relaţiile (4.24)÷(4.27);

– Legături cinematice (diferenţiale) sunt legăturile care impun restricţii referitoare la poziţia şi viteza punctului material, eventual şi de timp, ele fiind exprimate prin relaţii între coordonatele punctului, viteza lui şi eventual timpul t:

0)t,z,y,x,z,y,x(f . (4.30)

– 184 –

Ecuaţiile de forma (4.30) pot fi integrabile sau nu.

Legăturile olonome sunt legăturile geometrice şi cele cinematice exprimate prin ecuaţii diferenţiale integrabile; spre exemplu, ecuaţiile de forma (4.30) pot fi aduse, prin integrare la forma (4.25);

Legăturile neolonome sunt legăturile cinematice exprimate prin ecuaţii diferenţiale neintegrabile (mai rar luate în consideraţie în aplicaţiile tehnice).

III. Clasificarea legăturilor după modul de comportare în timp:

- legături staţionare sau scleronome, care nu se modifică şi nu se deplasează în timp; ele se exprimă prin ecuaţii de legătură în care timpul t nu apare în mod explicit: (de exemplu relaţiile (4.24), (4.26), (4.28));

- legături nestaţionare sau reonome, care se modifică sau se deplasează în timp; ele se exprimă prin ecuaţii de legătură ce conţin timpul t în mod explicit (de exemplu relaţiile (4.25), (4.27), (4.29)).

Corpul modelat ca punct material acţionează asupra legăturii, iar legătura la rândul ei, conform principiului acţiunii şi reacţiunii, va exercita o forţă asupra corpului, numită forţă de reacţiune sau simplu, reacţiune.

Reacţiunea R poate avea două componente:

- o componentă ideală, care efectuează lucru mecanic nul; - o componentă disipativă, datorată frecărilor existente în le-

gătura respectivă, ce efectuează lucru mecanic rezistent.

Rezultă că legăturile pasive pot fi:

– reale (cu frecare); – ideale (se neglijează frecarea).

Legături reale (cu frecare)

Punctul material poate fi supus la două tipuri de legături pasive:

– 185 –

- reazemul (pe o suprafaţă sau pe o curbă); - legătura prin fir sau tijă rigidă. Reazemul simplu

Un punct material P este supus la legătura prin reazem atunci când se sprijină pe o suprafaţă materială sau o curbă materială. Forţa de reacţiune R se descompune în două componente vectoriale ortogonale

,FNR f (4.31)

unde componenta N se opune desfacerii legăturii, iar componenta

fF se opune alunecării punctului P pe suprafaţa (Σ) (Fig. 4.6.a), sau pe curba (C), (Fig. 4.6.b).

a. b.

Fig. 4. 6

Reacţiunea normală N are următoarele caracteristici:

are direcţia normalei la suprafaţă în punctul P sau într-un plan normal la curbă în punctul P;

v

– 186 –

sensul ei este dat de sensul în care punctul poate părăsi

legătura, în cazul legăturilor unilaterale şi necunoscut, în cazul legăturilor bilaterale;

are mărimea (modulul) necunoscută, 0N ; dacă 0N ,

atunci legătura prin reazem nu există. Reacţiunea normală N împiedică deplasarea punctului pe direcţia normalei.

În cazul în care punctul material se deplasează pe o suprafaţă (Σ), reacţiunea normală N are una din expresiile

,kz

fj

y

fi

x

ff grad n NN P

(4.32)

după cum punctul P se găseşte pe o suprafaţă cu direcţia normalei cunoscută, determinată de versorul n sau pe o suprafaţă oarecare de ecuaţie (4.24).

În cazul în care punctul P este situat pe o curbă (C), de ecuaţie (4.26), pentru determinarea reacţiunii normale N se va ţine cont de faptul că normalele la cele două suprafeţe sunt şi normale ale curbei (C). Rezultă că reacţiunea normală va avea expresia

221121 f grad f grad NNN pp . (4.33)

Reacţiunea tangenţială numită şi forţa de frecare la alunecare, fF , prezintă următoarele caracteristici:

are direcţia tangentei la suprafaţa de rezemare (Σ) sau la curba (C), fiind coliniară cu viteza de deplasare a punctului P;

are sensul contrar vitezei de deplasare a punctului;

mărimea (modulul) este proporţională cu mărimea reacţiunii normale în P la suprafaţa (Σ) sau curba (C), pe care se află punctul P; se determină cu formula care exprimă legea lui Amonton-Coulomb

NFf , (4.34)

unde μ este coeficientul de frecare la alunecare (adimensional), care

– 187 –

se determină experimental şi depinde de natura şi modul de prelucrare a suprafeţelor în contact.

Vectorul fF are expresia

,i NF vf (4.35)

vi fiind versorul vitezei v de deplasare a punctului.

Dacă se consideră φ, unghiul dintre reacţiunea totală R şi componenta normală N , (Fig. 4.6) cu vârful în punctul P, se poate scrie

;N

N

N

Ftg

f tg , (4.36)

unghiul purtând numele de unghi de frecare.

Reazemul simplu se numeşte legătură ideală atunci când suprafaţa (Σ) sau curba (C) sunt perfect netede şi forţa de frecare poate fi neglijată, 0Ff . În acest caz reacţiunea din reazem se va reduce doar la componenta normală:

NR . (4.37) Legătura prin fir Legătura prin fir este o legătură ideală.

Firul, ca element de legătură dintre un corp asimilat cu un punct material şi un alt corp, este un corp solid de masă neglijabilă, cu două dimensiuni neglijabile în raport cu cea de a treia, inextensibil (alungirile la tensionare sunt neglijabile) şi flexibil (poate lua orice formă fără să opună rezistenţă).

Reacţiunea legăturii prin fir T , (Fig. 4.7), aplicată punctului material P, prezintă următoarele caracteristici:

are direcţia firului; are sensul spre punctul de ancorare de alt corp;

– 188 –

mărimea T , în general, este necunoscută.

Fig. 4.7

Deoarece legătura prin fir există atâta timp cât firul este tensionat, reacţiunea în fir se numeşte în mod curent tensiunea din fir.

Tija rigidă

Prin tijă rigidă se înţelege o bară subţire cu masă neglijabilă ale cărei extremităţi se leagă prin intermediul unor articulaţii mici şi cu frecare neglijabilă de corpul asimilat cu un punct material P şi de alt corp. Legătura numită articulaţie, va fi tratată în cadrul Capitolului 5, unde se vor aborda probleme de dinamica rigidului.

Reacţiunea legăturii prin tijă rigidă, (Fig. 4.8), numită efort în tijă S , prezintă următoarele caracteristici:

are direcţia tijei;

are sensul necunoscut, deoarece spre deosebire de fir, tija poate fi supusă la întindere sau comprimare;

are mărimea necunoscută.

– 189 –

Valoarea scalară a efortului în tijă S fiind o necunoscută a

problemei de dinamica punctului material, iniţial se va considera un sens arbitrar al ei iar prin rezolvarea problemei se va obţine sensul real şi mărimea acestei reacţiuni.

Fig. 4.8

În cazul punctului material supus simultan la legătura prin reazem şi la legătura prin fir sau tijă rigidă, rezultanta R a reacţiunilor de legătură pasivă va avea una din expresiile:

TFNR f sau .SFNR f (4.38)

Reacţiunile T ,N şi S sunt forţe pasive ideale, iar reacţiunea

fF este o forţă pasivă disipativă.

4.1.3. Problemele şi ecuaţiile dinamicii mişcării absolute a punctului material Problema generală a dinamicii mişcării absolute a punctului

material are următoarea formulare:

– 190 –

Se consideră cunoscute:

masa „m” a punctului material; legăturile active şi pasive la care este supus punctul material; date referitoare la forţele active care acţionează asupra punctului material; condiţiile iniţiale

,v(0)r

r)0(r:0t

0

0

(4.39)

Se cere să se determine:

ecuaţiile de mişcare ale punctului material; reacţiunile legăturilor pasive aplicate punctului material; elemente scalare necunoscute ale torsorului forţelor active aplicate punctului material.

După cum s-a arătat în paragraful 4.1.1 al acestui capitol, comportamentul dinamic al unui corp în mişcare poate fi descris de relaţia (4.1)

,Fam

care exprimă principiul acţiunii forţelor, numită şi ecuaţia vectorială fundamentală a dinamicii punctului material. Plecându-se de la această relaţie, se stabilesc diverse forme ale ecuaţiilor dinamicii punctului, corespunzătoare diverselor sisteme de parametri aleşi pentru determinarea poziţiei punctului material în mişcare. În cele ce urmează vor fi prezentate patru forme de astfel de ecuaţii, corespunzătoare, celor patru sisteme uzuale de parametri de poziţie consideraţi în capitolul 1 al lucrării.

.1o Ecuaţia vectorială a dinamicii punctului material

Această formă a ecuaţiei dinamicii punctului material se foloseşte în cazurile când drept parametru de poziţie al punctului material se alege vectorul său de poziţie )t(r în raport cu originea reperului fix (R).

– 191 –

Astfel, în cazul în care ,0R adică punctul material nu este

supus la legături pasive (reazem, fir, tijă), forţele pasive vor fi reprezentate în cazul general prin zR , rezistenţa mediului şi aR ,

rezistenţa de amortizare. Rezultanta forţelor active

)t,r(FF aa (4.40)

şi rezultanta forţelor pasive, reprezentate prin rezistenţa totală

)t,r(R)t,r(R)r(RR tazt , (4.41)

evidenţiază faptul că rezultanta F a forţelor care acţionează asupra punctului material nesupus la legături pasive, va depinde de poziţia punctului, dată de r , vector de poziţie, de viteza v a lui şi de timpul t

)t,r,r(F)t,r(R)t,r(FF ta . (4.42)

În aceste condiţii, ţinând cont şi de relaţia de definiţie a acceleraţiei punctului material

ra ,

ecuaţia fundamentală a dinamicii (4.1) devine ecuaţia diferenţială vectorială a dinamicii punctului material, cu următoarea formă echivalentă

).t,r,r(Frm (4.43)

Condiţiile iniţiale ale mişcării sunt de forma

.v)0(r

r)0(r0t

0

0

(4.44)

Integrarea ecuaţiei diferenţiale vectoriale (4.43) a dinamicii punctului material se poate face sub formă vectorială în următoarele situaţii:

– 192 –

membrul drept al ecuaţiei se reduce la un vector constant; ecuaţia diferenţială vectorială este liniară în funcţia

vectorială )t(r , neomogenă, cu coeficienţi constanţi, de forma:

)t(frkrcrm . (4.45)

Soluţia generală a ecuaţiei (4.45) este de forma

)C,C,t(rr 21 , (4.46)

1C şi 2C fiind vectori constanţi de integrare care se determină din condiţiile iniţiale precizate în relaţiile (4.44).

.o2 Ecuaţiile scalare ale dinamicii punctului material în coordonate carteziene

Acest sistem de ecuaţii corespunde situaţiei când poziţia punctului material în mişcare se determină prin coordonatele lui carteziene în reperul absolut (R). Sistemul de ecuaţii scalare se obţine prin proiectarea ecuaţiei vectoriale fundamentale a dinamicii punctului material, Fam , pe axele reperului fix .Oxyz)R(

Ţinând seama de expresia analitică a acceleraţiei punctului material în coordonate carteziene kzjyixra şi exprimând analitic membrul drept al ecuaţiei vectoriale fundamentale a dinamicii punctului material, în raport cu reperul fix, kFjFiFF zyx , prin

proiectarea pe axele acestui reper a relaţiei ,Fam rezultă următorul sistem de ecuaţii scalare

,

)t;z,y,x;z,y,x(FFzm

)t;z,y,x;z,y,x(FFym

)t;z,y,x;z,y,x(FFxm

zz

yy

xx

(4.47)

căruia i se asociază următoarele condiţii iniţiale

– 193 –

,

v)0(z;z)0(z

v)0(y;y)0(y

v)0(x;x)0(x

0t

z

y

x

00

00

00

în care, 000 z,y,x sunt coordonatele carteziene ale punctului material

în momentul iniţial, iar z0y0x0 v,v,v sunt proiecţiile vitezei iniţiale pe

axele Ox, Oy şi Oz. Prin integrarea ecuaţiilor diferenţiale (4.47) în condiţiile iniţiale precizate anterior, se obţin ecuaţiile parametrice ale traiectoriei punctului material în coordonate carteziene

x=x(t); y=y(t); z=z(t).

.o3 Ecuaţiile scalare ale dinamicii punctului material în coordonate cilindrice

Aceste ecuaţii corespund situaţiei când poziţia punctului material în mişcare se determină prin coordonatele lui cilindrice raportate la reperul (R). După cum se ştie din cinematică, sistemul de axe de coordonate cilindrice, care corespunde coordonatelor cilindrice ale unui punct P, reprezentate prin raza polară , prin unghiul polar şi prin cota z a punctului respectiv, are originea în punctul P determinat prin aceste coordonate şi axele orientate astfel:

– axa radială P cu orientarea determinată prin versorul i ;

– axa transversală P , cu sensul dat de versorul i ;

– axa cotelor P , cu sensul dat de versorul ki .

Expresia analitică a acceleraţiei punctului are expresia

kzi)2(i)(a 2 .

În acest caz, forţa rezultantă care acţionează asupra punctului material devine funcţie de coordonatele punctului, de derivatele lor de ordinul întâi în raport cu timpul şi eventual şi de timp explicit

)t;z,,;z,,(F)t,r,r(FF .

– 194 –

Prin proiectarea ecuaţiei vectoriale fundamentale a dinamicii

punctului material, Fam , pe axele reperului cilindric, rezultă următorul sistem de ecuaţii scalare

.

Fzm

F)2(

F)(m

z

2

(4.48)

Sistemul de ecuaţii scalare (4.48) se reduce numai la primele două ecuaţii în cazul mişcării plane a punctului material, prin alegerea planului mişcării ca plan de coordonate polare P .

Sistemului (4.48), i se asociază condiţiile iniţiale, de forma

,

)0(zv;z)0(z

)0()0(v;)0(

)0(v;)0(

0t

z00

00

00

unde ooo z,, sunt coordonatele cilindrice ale punctului material la

momentul iniţial, iar z000 v,v,v

sunt proiecţiile vitezei iniţiale pe

axele mobile P , P şi P . Soluţiile sistemului de ecuaţii diferenţiale (4.48) reprezintă ecuaţiile parametrice ale traiectoriei punctului material în coordonate cilindrice

);t( );t( )t(zz .

Ecuaţiile (4.48) se reduc la primele două în problemele plane (z=0), când sistemul de axe de coordonate cilindrice devine sistemul de axe de coordonate polare.

.o4 Ecuaţiile scalare ale dinamicii punctului material

sub formă intrinsecă

Această din urmă formă a ecuaţiilor scalare ale dinamicii punctului material corespunde situaţiilor când poziţia punctului

– 195 –

material, în mişcare pe traiectorii prestabilite )( , se determină cu ajutorul coordonatei intrinseci s, legea de mişcare a punctului material fiind )t(ss Acestei coordonate intrinseci îi corespunde sistemul de axe intrinseci, numit şi triedrul lui Frenet, cu originea în punctul P şi cu următoarele axe:

– axa tangenţială, cu sensul dat de versorul ; – axa normalei principale de versor ; – axa binormalei, de versor .

Expresia analitică a acceleraţiei punctului, în acest reper, este

,R

vv

R

ssa

c

2

c

2

cR fiind raza de curbură a curbei )( în punctul P.

Prin proiectarea ecuaţiei vectoriale fundamentale a dinamicii punctului material, Fam , pe axele triedrului lui Frenet, rezultă următorul sistem de ecuaţii scalare ale dinamicii punctului material sub formă intrinsecă

,

F0

FR

sm

R

vm

Fsmvm

c

2

c

2

(4.49)

condiţiile iniţiale fiind de forma

.v)0(s

s)0(s0t

0

0

În cazul punctului material pot fi scrise un număr de trei ecua-ţii scalare de mişcare, 3e , dacă traiectoria punctului este o curbă spaţială şi un număr de două ecuaţii scalare de mişcare, 2e , dacă traiectoria este plană.

– 196 –

Din formularea problemei generale a dinamicii mişcării

absolute a punctului material, reiese faptul că acest tip de problemă poate conţine, în general, următoarele necunoscute scalare:

un număr de „p” parametri de poziţie rămaşi independenţi în urma aplicării legăturilor pasive ( 3p , în problemele spaţiale şi

2p , în problemele plane);

un număr „pd” parametri de poziţie ai punctului material dependenţi de primii, ca urmare a legăturilor pasive aplicate acestuia, cu relaţiile de dependenţă prezentate prin ecuaţiile de legătură;

un număr de „r” elemente necunoscute ce caracterizează legăturile, reprezentate în mod obişnuit, prin modulii sau valorile scalare ale componentelor ideale ale reacţiunilor;

un număr de „f” elemente scalare necunoscute care carac-terizează forţele exterioare active aplicate punctului material.

Numărul total „s” de elemente scalare necunoscute pe care le poate conţine o problemă de dinamica punctului material este dat deci de relaţia

frpps d . (4.50)

Pentru rezolvarea unei probleme de dinamica punctului material se dispune de următoarele două sisteme de ecuaţii scalare:

un număr de „e” ecuaţii scalare de mişcare, reprezentate prin unul din sistemele de ecuaţii scalare ale dinamicii stabilite ( 3e , în problemele spaţiale şi 2e , în problemele plane);

un număr de ecuaţii de legătură introduse între parametrii de poziţie dependenţi şi cei independenţi de legăturile pasive aplicate punctului material ( 3 , în problemele spaţiale şi 2 , în problemele plane).

Rezultă deci că numărul total te de ecuaţii scalare de care se

poate dispune pentru rezolvarea unei probleme de dinamica punctului material este dat de relaţia

.eet (4.51)

– 197 –

Rezolvarea completă a unei astfel de probleme va fi posibilă

numai în cazul satisfacerii condiţiei

,sfrppee dt (4.52)

atestând caracterul de problemă dinamic determinată al problemei considerate.

Dacă se observă însă că numărul total de ecuaţii de legătură, de forma

),....2,1(,0)z,y,x(f (4.53)

este egal cu numărul parametrilor de poziţie dependenţi

dp , (4.54)

se poate trage concluzia că, în fond, condiţia (4.52) de problemă dinamic determinată se reduce la condiţia:

.frpe (4.55)

Cel mai adesea, problemele concrete de dinamica punctului material aparţin uneia din următoarele două clase:

Probleme de tip direct, caracterizate prin condiţiile

,0f,0p (4.56)

corespunzatoare cazului când mişcarea este prestabilită – se consideră cunoscuţi toţi parametrii de poziţie ca funcţii de timp, care satisfac şi ecuaţiile de legătură pasivă impuse punctului – şi se cere să se determine reacţiunile necunoscute ale legăturilor, precum şi elementele necunoscute ce caracterizează forţele active aplicate acelui punct.

Condiţia (4.55) ia forma

,fre (4.57)

iar problema de dinamică se reduce la o problemă pur algebrică.

– 198 –

Probleme de tip invers (de tip fundamental), caracterizate

prin condiţiile ,0f,0p (4.58)

corespunzătoare situaţiei când toate forţele active ce acţionează asupra punctului material sunt cunoscute. În această situaţie, condiţia (4.55) ia forma

rpe (4.59)

şi sistemul de ecuaţii scalare ale dinamicii punctului material va conţine:

- mărimi algebrice necunoscute: valori scalare ale componentelor ideale ale reacţiunilor legăturilor pasive aplicate punctului material;

- funcţii necunoscute de timp: parametrii de poziţie ai punctului care intră în ecuaţiile de mişcare fie direct, fie prin intermediul derivatelor lor de ordinul unu şi doi în raport cu timpul.

În cazul ultimei clase de probleme de dinamică, rezolvarea lor presupune parcurgerea următoarelor etape de lucru:

Stabilirea sistemului de ecuaţii scalare ale dinamicii şi separarea subsistemului de „p” ecuaţii diferenţiale ale mişcării punctului material;

Integrarea analitică, dacă este posibilă, sau numerică a sistemului de ecuaţii diferenţiale;

Determinarea, cu ajutorul condiţiilor iniţiale a celor „2p” constante de integrare, obţinându-se astfel ecuaţiile parametrice ale mişcării punctului material corespunzătoare parametrilor independenţi;

Determinarea ecuaţiilor parametrice ale mişcării corespun-zătoare parametrilor de poziţie dependenţi, prin înlocuirea în ecuaţiile de legătură a parametrilor de poziţie independenţi cu expresiile lor obţinute în etapa anterioară;

Determinarea reacţiunilor necunoscute ale legăturilor pasive aplicate punctului material.

– 199 –

4.2. Dinamica unor mişcări particulare ale punctului material

4.2.1. Mişcarea punctului în mediu cu rezistenţa mediului neglijabilă

Dintr-o poziţie iniţială oarecare oB , un punct material de masă

m este lansat în aer, cu o viteză iniţială ov formând unghiul cu

planul orizontal Fig. 4.9. Neglijându-se rezistenţa mediului, se cere să se studieze mişcarea acelui punct sub aspect dinamic.

Fig. 4.9 Alegând reperul fix Oxyz)R( astfel încât planul de coordo-

nate Oxy să fie vertical şi să conţină poziţia iniţială 0B a punctului şi

viteza sa iniţială 0v , cu axa Ox orientată pe orizontală şi cu axa Oy

orientată pe verticală şi în sus, rezultă următoarele condiţii iniţiale de poziţie şi viteză pentru punctul material considerat

oy

2B

oB

2B

1B

ox b

)(

or

ov

)R(

x

z

O

y

B

maxy

)(h gmP

maxx

– 200 –

,

0)0(z;0)0(z

sinv)0(y;y)0(y

cosv)0(x;x)0(x

0t 00

00

(4.60)

0x şi 0y fiind coordonatele, în reperul ales, ale poziţiei iniţiale oB a

punctului material B, iar unghiul format de viteză iniţială 0v cu

orizontala, numit şi unghi de lansare. În baza datelor conţinute în enunţul problemei şi a modului de alegere a reperului la care se raportează mişcarea punctului material dat, rezultă următoarele condiţii pentru forţele la care este supus el

,0R;0R;jmggmPF za (4.61)

deci următoarea formă concretă corespunzătoare acestei situaţii, a ecuaţiei fundamentale vectoriale a dinamicii punctului

.gmPrm (4.62)

În acest caz, ecuaţia diferenţială

,g)v(dt

dr (4.63)

are în membrul drept un vector constant, va putea fi integrată succesiv prin separarea de variabile, obţinându-se mai întâi integrala primă

1Ctgvr (4.64)

şi apoi soluţia generală

212 CtCtg

2

1r , (4.65)

1C şi 2C fiind vectori constanţi de integrare.

Se asociază ecuaţiei (4.65), condiţiile iniţiale vectoriale

– 201 –

,v)0(r)0(v

r)0(r:0t

0

0

(4.66)

cu

.j)sinv(i)cosv(v

;jyixr

000

000

(4.67)

Prin impunerea condiţiei ca aceste valori iniţiale să satisfacă

relaţiile (4.64) şi (4.65) rezultă cei doi vectori constanţi de integrare

01 vC şi 02 rC şi deci următoarea formă determinată a acestor

relaţii ,tgvv 0 (4.68)

respectiv,

200 tg

2

1tvrr , (4.69)

ultima reprezentând ecuaţia vectorială parametrică a mişcării punctu-lui material. Prin proiectarea ecuaţiei (4.69) pe axele reperului cartezian la care se raportează mişcarea punctului, rezultă, ţinându-se seama şi de relaţiile (4.67), următoarele ecuaţii scalare

.0z

;2/gtt)sinv(yy

;t)cosv(xx2

00

00

(4.70)

Prin proiectarea, pe axele fixe, a expresiei (4.68) a vitezei, se obţin expresiile proiecţiilor

}.0v;gtsinvv;cosvv{:v z0y0x (4.71)

Relaţiile stabilite evidenţiază faptul că mişcarea punctului ma-terial studiat este plană, ea efectuându-se în baza modului de alege-re a reperului (R), în planul de coordonate Oxy, Fig. 4.9.

– 202 –

Cele două serii de relaţii stabilite mai sus permit să se rezolve următoarele probleme de balistică exterioară, numite astfel deoarece sunt întâlnite frecvent în tehnica lansării proiectilelor:

) . Determinarea formei traiectoriei punctului Eliminând timpul t între ecuaţiile (4.70) adică scoţând din pri-ma ecuaţie

)xx(cosv

1t 0

0

(4.72)

şi introducând această valoare în cea de-a doua ecuaţie, se obţine ecuaţia analitică a traiectoriei )( a punctului

.)xx(cosv2

g)xx(tgyy 2

0220

00

(4.73)

Examinând relaţia (4.73), se observă că reprezintă ecuaţia

unei parabole cu axa de simetrie paralelă la axa Oy, cu concavitatea orientată în sensul negativ al axei Oy – coeficientul termenului pătratic este negativ – care trece prin punctul )y,x(B 000 .

În cazul când poziţia iniţială 0B coincide cu originea O a repe-

rului ( 0yx;OB 000 ), ecuaţia (4.73) ia forma simplificată

.cosv2

gxtgxy

220

2

(4.74)

) Determinarea înălţimii maxime atinse de punctul material în mişcare

Pentru a calcula această înălţime maximă, maxy , a punctului

material în mişcare, care va fi determinată în raport cu orizontala Ox, se observă că la momentul 1t în care punctul atinge vârful traiectoriei sale parabolice )( , proiecţia vitezei lui pe axa Oy devine zero, ceea

ce înseamnă că la momentul 1t este satisfăcută condiţia

– 203 –

,0gtsinv)t(v 101y (4.75)

de unde rezultă valoarea timpului 1t

.g

sinvt 0

1

(4.76)

Introducând această valoare în expresia lui y din (4.70), după efectuarea calculelor, se obţine

),,v(hyg2

sinvy)t(yy 00

220

01max

(4.77)

unde

),,v(hg2

sinvh 0

220

(4.78)

reprezintă înălţimea maximă atinsă de punctul material în mişcare, raportată la orizontala ce trece prin poziţia iniţială de lansare a punctului.

Din relaţia (4.78), se observă că înălţimea maximă este dependentă de mărimea vitezei iniţiale şi de unghiul .

Rezultă de aici, că pentru o viteză iniţială 0v dată, înălţimea

maximă atinsă de mobil va depinde numai de unghiul de lansare , adică relaţia (4.77) devine o relaţie de forma

,sing2

vy)(hyy 2

20

00max (4.79)

care evidenţiază existenţa unui maxim maximorum pentru 2/ . Acest maxim maximorum este dat de relaţia

,g2/vy)(hyy 200max0maxmax

(4.80)

cu forma particulară ,g2/vhy 2

0maxmaxmax (4.81)

– 204 –

în cazul coincidenţei originii reperului cu poziţia iniţială de lansare a punctului )0y,BO( oo .

) Determinarea bătăii maxime atinse de punctul material în mişcare

Prin noţiunea de bătaie a unui punct material lansat cu viteza iniţială 0v , se înţelege valoarea abscisei maxx a punctului 2B de

intersecţie a traiectoriei parabolice )( a punctului cu axa Ox, Fig.

4.9. Atingerea, de către punctul material mobil, a poziţiei 2B se

produce la un moment 2t pentru care va fi satisfăcută condiţia

,02/gtt)sinv(y)t(y 222002 (4.82)

care, rezolvată în raport cu necunoscuta 2t , conduce la unica soluţie

acceptabilă din punct de vedere fizic )0t( 2

.g

y2

g

sinvg

sinvt

00

2

220

2

(4.83)

În cazul coincidenţei originii reperului cartezian cu poziţia sa iniţială, ,BO 0 0yx 00 , relaţia (4.83) are forma particulară

.t2g/)sinv2(t 102

Introducând valoarea (4.83) în expresia (4.70) a lui x, se obţine următoarea valoare a bătăii punctului material considerat

.gy2

g

sinvcosv

gcossinv

xx 02

220

0

20

0max

(4.84)

În cazul alegerii originii reperului (R) în poziţia iniţială de

lansare a punctului 0BO , se obţine forma particulară

),v(bg/)2sinv(g/)cossinv2(bx 020

20max (4.85)

– 205 –

din care se observă, că pentru viteza iniţială dată ov , bătaia este, de

asemenea, o funcţie de unghiul de lansare , atingând cea mai mare valoare posibilă

,h2g/vbx max20maxmaxmax

(4.86)

la aruncarea cu unghiul de lansare 4/ .

4.2.2. Mişcarea punctului material liber în condiţiile considerării rezistenţei mediului

Datele problemei sunt aceleaşi din exemplul precedent, cu deosebirea că se va lua în consideraţie şi o forţă pasivă, reprezen-tată prin rezistenţa mediului, de forma vcRz , Fig. 4.10.

Fig. 4.10

În acest caz, pe lângă forţa activă unică reprezentată prin

greutatea punctului material cu expresia

)(

)(

zRv

oy

oB

limx ox

)(

or

ov

)R(

x

z

O

y

B

gmP

– 206 –

,jgmgmPFa (4.87)

asupra punctului B va acţiona şi forţa pasivă unică, reprezentată prin rezistenţa aerului, orientată în sens contrar vitezei, Fig. 4.10 cu expresia dată de relaţia

.rcvcRF zp (4.88)

Ecuaţia vectorială a dinamicii punctului material

,rcgmRPrm z (4.89)

prin introducerea notaţiei m/c , se poate scrie sub forma finală

.grr (4.90)

Relaţia (4.90) reprezintă ecuaţia diferenţială vectorială a mişcării punctului material considerat, căreia i se asociază condiţiile iniţiale, or şi ov având şi acum expresiile analitice (4.66).

Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (4.90) este de forma

,rrr po (4.91)

or fiind soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene

,0rr (4.92)

corespunzătoare ecuaţiei (4.90), iar pr reprezintă o soluţie particulară

a ecuaţiei complete. Ecuaţiei omogene (4.92) îi corespunde ecuaţia caracteristică

0zz2 , cu rădăcinile 21 z;0z , deci soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene are următoarea formă

,eCCeCeCr t21

tz2

tz1o

21 (4.93)

1C şi 2C fiind vectori constanţi de integrare, care se determină cu ajutorul condiţiilor iniţiale.

– 207 –

Ţinând seama că membrul drept al ecuaţiei (4.90) este un

vector constant şi în membrul stâng al acestei ecuaţii lipseşte termenul liniar în funcţia necunoscută de timp )t(r , se va căuta o soluţie particulară a ecuaţiei complete de forma

,tCr 3p (4.94)

3C fiind un vector constant.

Vectorul constant 3C se determină impunându-se condiţia ca soluţia

particulară (4.94) să verifice ecuaţia diferenţială completă (4.90), adică el va rezulta din ecuaţia

,gCsaugrr 3pp (4.95)

cu soluţia .t)/g(r/gC p3 (4.96)

În baza relaţiilor (4.93) şi (4.96) soluţia (4.91) devine

./geCrcu/tgeCCr t2

t21 (4.97)

Impunând condiţiile iniţiale (4.66) în (4.97) rezultă ecuaţiile

algebrice vectoriale în vectorii necunoscuţi 1C şi 2C

,/gCv;CCr 20210 (4.98)

ale căror valori sunt

.g

v1

rC;g

v1

C 00102

(4.99)

Introducând valorile (4.99) în soluţia generală (4.97) se obţine ecuaţia vectorială a mişcării punctului material

,tgg

v)e1(1

rr 0t

0

(4.100)

cu

– 208 –

.g

eg

vrv t0

(4.101)

Prin proiectarea ecuaţiei (4.100) pe axele reperului Oxy, rezultă sistemul de ecuaţii scalare

.0z

;tg

)gsinv(e1

yy

;)e1(cosv

xx

02

t

0

t00

(4.102)

Prin proiectarea, pe axele aceluiaşi reper a expresiei (4.101) rezultă următoarele expresii ale proiecţiilor vitezei acestui punct

.

.0v

ge

gsinvv

e)cosv(v

:v

z

t0y

t0x

(4.103)

Concluzii

– mişcarea punctului material este şi în acest caz plană, cu traiectoria situată în planul Oxy;

– pentru t , din relaţiile (4.103) şi (4.102) rezultă

,xcosv

x)(x;0)(v limx

o

o

(4.104)

evidenţiind faptul că de această dată traiectoria )( a punctului nu

mai este parabolică (curba trasată cu linie întreruptă în Fig. 4.10), ci coboară progresiv cu trecerea timpului, curba )( apropiindu-se

asimptotic, de dreapta )(

– 209 –

.cosv

xxx olim o

(4.105)

4.2.3. Dinamica mişcării punctului material pe un plan înclinat aspru

Se consideră un punct material B de masă m rezemat pe un plan fix aspru înclinat cu unghiul faţă de planul orizontal, Fig. 4.11, care, în momentul iniţial al mişcării se afla în poziţia oB . Punctului B i

se imprimă viteza iniţială ov , paralelă la linia de cea mai mare pantă

a planului înclinat şi se cere să se studieze mişcarea punctului. Întrucât mişcarea punctului se efectuează pe o traiectorie pre-stabilită, ecuaţiile scalare ale mişcării punctului se vor scrie sub forma intrinsecă, corespunzând coordonatei intrinseci )t(sBBs o .

Fig. 4.11

În funcţie de sensul, ascendent sau descendent, al vitezei ov

a mişcării acestui punct material, se întâlnesc două variante.

a). Mişcarea ascendentă a punctului material

În această situaţie, alegând originea O a coordonatei intrin-

seci în poziţia iniţială a punctului material oB , ( oBO ), Fig. 4.12,

ov

oB

ov

B)t(ss

– 210 –

axa tangenţială tO , de versor , având direcţia liniei de cea mai

mare pantă a planului înclinat şi axa normalei principale nO , de

versor , astfel încât reperul tnO să fie drept, rezultă expresiile analitice ale forţelor active şi pasive ce acţionează asupra punctului:

.FNFNRF

);cos(singmgmPF

ffp

a

(4.106)

Fig. 4.12

Ecuaţia vectorială a dinamicii mişcării punctului este de forma

.FNPRPFFam fpa (4.107)

Acestei ecuaţii vectoriale, în baza relaţiilor (4.106), precum şi a faptului că în acest caz sa , îi corespund următoarele ecuaţii scalare de mişcare de proiecţie pe axele intrinseci

,Ncosmg0;Fsingmsm f (4.108)

cu

nP tP

al

n

t

fF

R

N

gmP

OBo

ov

B

– 211 –

.NFf (4.109)

Din cea de-a doua dintre relaţiile (4.108) rezultă

,cosmgN (4.110)

care reprezintă una dintre necunoscutele scalare ale problemei. Introducând această valoare în prima dintre ecuaţiile (4.108), această ecuaţie va lua, după efectuarea calculelor, una din formele

),sin(cos

g)cos(sings al

al

(4.111)

ultima expresie rezultând prin considerarea unghiului de frecare la alunecare al , definit prin relaţia

.N

Ftg

fal (4.112)

Prin integrarea succesivă a ecuaţiei diferenţiale (4.111), rezultă integrala primă

,Ct)sin(cos

gs 1al

al

(4.113)

precum şi soluţia generală

,CtCt)sin(cos2

gs 21

2al

al

(4.114)

1C şi 2C fiind constante de integrare.

Impunând în relaţiile (4.113) şi (4.114), condiţiile iniţiale

,}v)0(s;0)0(s{:0t 0 (4.115)

rezultă 01 vC , 0C2 , în baza cărora, ecuaţia parametrică (4.114)

a mişcării punctului va lua forma

– 212 –

,tvt)sin(cos2

gs 0

2al

al

(4.116)

care evidenţiază faptul că această mişcare este totdeauna o mişcare rectilinie uniform încetinită, efectuată cu acceleraţie constantă

).sin(cos

gasa al

al0

(4.117)

b). Mişcarea descendentă a punctului material

Se alege triedrul lui Frenet ca şi în exemplul precedent, Fig. 4.13.

Fig. 4.13

Expresiile analitice în acest reper ale forţelor rezultante active şi pasive la care este supus punctul material considerat sunt de forma:

,FNFNRF

);cos(singmgmPF

ffp

a

(4.118)

cu fF dată şi acum de relaţia (4.109).

nP tP

al

n

t

fF

R

N

gmP

OBo

ov

B)t(ss

– 213 –

În aceste condiţii, ecuaţia vectorială fundamentală (4.107) va furniza, prin proiectare pe axele triedrului lui Frenet, ecuaţiile scalare

.Ncosmg0;Nsingmsm (4.119)

Din cea de-a doua dintre relaţiile (4.118) rezultă

.cosmgN (4.120)

Introducând această valoare în prima dintre ecuaţiile (4.119), se obţine, după efectuarea calculelor, ecuaţia diferenţială

),sin(cos

g)cos(sings al

al

(4.121)

ultima formă fiind stabilită prin considerarea relaţiei (4.112). Prin integrarea succesivă a ecuaţiei diferenţiale precedente,

rezultă integrala primă

1alal

Ct)sin(cos

gs

(4.122)

şi soluţia generală

,CtCt)sin(cos2

gs 21

2al

al

(4.123)

1C şi 2C fiind constante de integrare. Impunând în relaţiile (4.122) şi (4.123), condiţiile iniţiale

,}v)0(s;0)0(s{:0t 0 (4.124)

rezultă 01 vC , 0C2 , în baza cărora, ecuaţia parametrică (4.123)

a mişcării punctului va lua forma

.tvt)sin(cos2

gs 0

2al

al

(4.125)

– 214 –

Se observă că în acest caz este vorba de o mişcare uniform variată, efectuată cu acceleraţie constantă

),sin(cos

gasa al

al0

(4.126)

care poate fi: uniform accelerată, în cazul când al , uniform

încetinită, în cazul când al şi uniformă, dacă al .

4.2.4. Pendulul matematic

Mişcarea unui punct material este numită miscare de pendul matematic – iar punctul însuşi este numit pendul matematic –, atunci când ea se efectuează în următoarele condiţii: – unica forţă activă aplicată punctului este greutatea sa; – mişcarea se efectuează pe o traiectorie prestabilită circula-ră, situată într-un plan vertical; – se pot considera neglijabile toate forţele disipative la care ar putea fi supus punctul material (rezistenţele mediului şi, eventual, forţele de frecare). Dintre modurile de realizare practică a unui pendul matematic, cel mai frecvent întâlnit este cel reprezentat în Fig. 4.14, corespun-zând unui punct material legat la extremitatea unui fir inextensibil de lungime , numită lungimea pendulului matematic, cu extremitatea opusă fixată în punctul O ales ca origine a reperului plan vertical Oxy.

Legătura este în funcţiune atâta timp cât firul este întins (fără a fi alungit), rezultând de aici ecuaţia de legătură

,0yx)y,x(f 222 (4.127)

care condiţionează menţinerea punctului pe cercul )( de rază R şi cu centrul în O. În baza modului de definire a pendulului matematic, rezultă

,TRRF;TR;0R;gmPF zpza (4.128)

– 215 –

T fiind tensiunea din fir şi reprezintă componenta ideală, necunos-cută, a reacţiunii legăturii.

Fig. 4.14

Ecuaţia vectorială a dinamicii mişcării punctului este de forma

.TgmTPam (4.129)

Se alege sistemul de axe de coordonate polare, B , cu

originea în punctul B, şi, în condiţiile 0,0, , acceleraţia punctului B este de forma

,iikzi)2(i)(a 22

iar forţele care apar în ecuaţia (4.129) au expresiile analitice

.iTT;isinmgicosmgP

Prin proiectarea ecuaţiei vectoriale (4.129) pe axa radială ( B ), respectiv pe axa transversală ( B ),se obţine sistemul

ovoB stBO

O

i

T

gmP

o

B

y

x

OB

i

v

– 216 –

de ecuaţii scalare de proiecţie

,sinmgm

;Tcosmgm 2

(4.130)

T fiind valoarea scalară a tensiunii din fir, raportată la versorul i .

Ecuaţia diferenţială a mişcării punctului B, prin introducerea notaţiei

,/gk2 (4.131)

are forma finală de mai jos

.sink2 (4.132)

Pentru stabilirea condiţiilor iniţiale, de poziţie şi viteză, asoci-ate acestei ecuaţii diferenţiale, se va observa că punerea în mişcare a pendulului se poate realiza prin îndepărtarea lui din poziţia de echilibru static stB într-o poziţie iniţială 0B , determinată prin unghiul

polar 0 , şi imprimarea unei viteze iniţiale 0v , tangentă la cerc în

punctul 0B , având mărimea

).0(v 00 (4.133)

Rezultă următoarele condiţii iniţiale

.}/v)0(;)0({:0t 000 (4.134)

Rezolvarea problemei de dinamica mişcării de pendul mate-matic a punctului material se va face în următoarele două variante:

a). Cazul micilor oscilaţii

Deoarece acest caz corespunde condiţiei 6 , se poate

accepta aproximarea sin , în baza căreia ecuaţia diferenţială (4.132) capătă forma

– 217 –

.0k2 (4.135)

Soluţia acestei ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi con-stanţi, omogenă, se poate scrie sub forma

),tksin( (4.136)

cu consecinţa ),tkcos(k (4.137)

şi fiind constante de integrare. Introducând în relaţiile (4.136) şi (4.137 ) condiţiile iniţiale (4.134), rezultă sistemul algebric

,cosk/v;sin 00 (4.138)

cu rădăcinile

,v

karctg

;g

v

k

v

00

0

0

202

022

202

0

(4.139)

0 şi 0 desemnând acum valorile cunoscute, determinate prin

condiţiile iniţiale, ale celor două constante de integrare. Rezultă astfel următoarea ecuaţie parametrică a mişcării pendulului în cazul micilor oscilaţii

),tksin( 00 (4.140)

care defineşte o mişcare oscilatorie armonică de amplitudine 0 , de

fază iniţială 0 şi de pulsaţie k, efectuată cu perioada

.g

2/g

2k2

T (4.141)

– 218 –

Ultima relaţie demonstrează valabilitatea celor patru legi ale

pendului matematic în cazul micilor oscilaţii:

- legea izocronismului oscilaţiilor: perioada micilor oscilaţii nu depinde de amplitudinea lor şi nici de faza iniţială;

- legea maselor: perioada micilor oscilaţii este independentă de masa punctului;

- legea lungimilor: perioada micilor oscilaţii este direct proporţională cu rădăcina pătrată din lungimea lui;

- legea variaţiei perioadei cu acceleraţia greutăţii: perioa-da micilor oscilaţii este invers proporţională cu rădăcina pătrată din acceleraţia greutăţii punctului.

Cunoaşterea funcţiei (4.140), cu

),tkcos(k 00 (4.142) permite, prin introducerea expresiilor (4.140) şi (4.142) în prima dintre ecuaţiile scalare (4.130), să se determine mărimea (modulul) tensiunii din fir

.)tk(coskg

cosmgT 022

02

Valoarea scalară a tensiunii din fir, raportată la versorul i are

expresia

,)tk(coskg

cosmgT 022

02

(4.143)

care, în cazul micilor oscilaţii, având în vedere aproximarea sin ,

cu consecinţa 1cos , precum şi semnificaţia (4.131) a lui 2k , devine de forma

.)tk(cos1PT 022

0 (4.144)

– 219 –

b). Cazul variaţiilor mari ale unghiului polar

Este cazul când 6 şi nu se mai poate accepta aproxima-

rea sin , ecuaţia diferenţială a mişcării pendulului păstrându-şi forma (4.132), formă care, prin înmulţire cu 2 , conduce la relaţia

.sink22 2 (4.145)

Observând semnificaţiile celor doi termeni )(dtd

2 2 şi

)(cosdt

dsin , relaţia (4.145) devine de forma

),cosk2(dt

d)(

dt

d 22 (4.146)

care, prin integrare, furnizează integrala primă

,Ccosk2 122 (4.147)

1C fiind o constantă de integrare.

Impunând în ultima relaţie condiţiile iniţiale (4.134), rezultă

.g2

vcosk2

k2

vcosk2

cosk2v

cosk2)0(C

20

02

22

20

02

02

2

20

022

1

(4.148)

Introducerea acestei valori în (12.147) permite determinarea

funcţiei )( sub forma

.cosg2

vcosk2 0

20

(4.149)

– 220 –

În cazul satisfacerii condiţiilor

,1cosg2

v1 0

20

(4.150)

prin introducerea notaţiei

,cosg2

vcos 0

20

0

(4.151)

cu 00 pentru 0v0 , relaţia (4.149) devine de forma

.coscosk2 0 (4.152)

Mişcarea descrisă de pendulul matematic este o mişcare

oscilatorie periodică, Fig. 4.15, fără a mai fi însă armonică, elongaţiile lui atingând valorile extreme

,; 0min0max (4.153)

Fig. 4.15

după perioade de timp determinate prin relaţia

1B

O

B

2B

stB

o

– 221 –

,16

1g

216

1k2 2

020

T (4.154)

care evidenţiază acum dependenţa perioadei de amplitudine. Introducând expresia (4.149) în prima dintre ecuaţiile (4.130), se obţine expresia mărimii (modulului) tensiunii din fir

,g

cosmgT2

cu valoarea scalară raportată la versorul i

,mv

)cos2cos3(P

cosg2

vcosk2

gcosP

gcosmgT

20

0

0

202

2

(4.155)

Din relaţia (4.155) rezultă

P/mv)cos2cos3(PT 200 ,

cu valoare maximă

P/mv)cos23(PT 200 ,

pentru 0 .

– 222 –

4.3. Dinamica mişcării relative a punctului material

4.3.1. Formele ecuaţiilor dinamicii mişcării relative a punctului material

În ecuaţia vectorială fundamentală a dinamicii mişcării absolute

a punctului material ,FFFamam paa (4.156)

vectorul acceleraţie absolută, aa , se înlocuieşte cu expresia care

exprimă teorema lui Coriolis

,aaaa ctra

obţinându-se astfel următoarea relaţie

F)aaa(m ctr ,

respectiv, .amamFam Ctr (4.157)

Termenul

tint amF , (4.158)

se numeşte forţă de inerţie de transport, iar termenul

Cin

C amF , (4.159)

poartă numele de forţă de inerţie complementară sau forţă Coriolis. Prin introducerea acestor forţe de inerţie în relaţia (4.156) se obţine ecuaţia vectorială fundamentală a dinamicii mişcării relative a punctului material:

inC

intr FFFam (4.160)

Dacă se ţine cont de expresia acceleraţiei de transport

– 223 –

),"rx(x"rxaa

;aaaa

tttwt

axrottrt

se poate spune că forţa de inerţie de transport are următoarele trei componente:

- forţa de inerţie de transport de translaţie

;amamF trwintrt (4.161)

- forţa de inerţie de transport de rotaţie

;am)"rx(mF rottinrott (4.162

- forţa de inerţie de transport axipetă, care mai poartă numele de forţa centrifugă

.am)"rx(xmFF axttcfinaxt (4.163)

Forţa de inerţie complementară are expresia vectorială

.am)vx(m2F Crtin

C (4.164)

Ţinând cont de relaţiile (4.161)÷(4.164), ecuaţia (4.160) poate fi scrisă sub forma

.vm2rm)r(mrmamF

vxm2)"rx(xm"rxmamFam

rt2ttttW

rttttwr

(4.165)

Expresiile analitice, în reperul zyxW)R( , ale vectorilor care figurează în relaţia anterioară sunt de forma

".k)FF("j)FF("i)FF(FFF

;kji;kzjyixa

;kji;kzjyixv

;kajaiaa;kzjyixr

"p

"a

"p

"a

"p

"apa

ztytxttr

ztytxttr

WzWyWxW

zzyyxx

(4.166)

– 224 –

În baza relaţiilor (4.166) şi a calculelor de mai jos

,k)xy(m2j)zx(m2

i)yz(m2

"z "y "x

"k "j "i

m2vxm2

);"k"z"j"y"i"x)((m

)"k"j"i)("z"y"x(m

rm)r(m)"rx(xm

;k)xy(mj)zx(m

i)yz(m

z" y""x

"k "j "i

m)"rx(m

"t

"t

"t

"t

"t

"t

"t

"t

"trt

2"t

2"t

2"t

"t

"t

"t

"t

"t

"t

2ttttt

"t

"t

"t

"t

"t

"t

"t

"t

"tt

yxxz

zyzyx

zyx

zyxzyx

yxxz

zyzyx

înmulţind scalar, pe rând, ecuaţia vectorială (4.165), cu versorii j,i

şi k , rezultă următorul sistem de ecuaţii scalare ale dinamicii mişcării relative a punctului material:

– 225 –

).xy(m2

)(zm)yx(m

)xy(mamFFzm

);zx(m2

)(ym)zx(m

)zx(mamFFym

);yz(m2

)(xm)zy(m

)yz(mamFFxm

ytxt

2t

2tztytxt

ytxtWzpa

xtzt

2t

2tytztxt

xtztWypa

ztyt

2t

2txtztyt

ytztWxpa

yx

zz

zx

yy

zy

xx

(4.167)

În cazul plan, când ,jyixr,0z,0zW ktt ,

,jyixvr ,jyixar ,jaiaa WyWxW ktt , şi

0rt (ca urmare a ortogonalităţii vectorilor t şi r ), ecuaţia

vectorială (4.165) va lua forma simplificată

.vm2rmrmamFFam rt2ttWpar (4.168)

Se transcrie ecuaţia vectorială a dinamicii mişcării relative a punctului material (4.168), sub formă analitică, în reperul (R")

,

0 "y "x

0 0

"k "j "i

m2)"j"y"i"x(m

0 y""x

0 0

"k "j "i

m

)"ja"ia(m"j)FF("i)FF()"j"y"i"x(m

t2tt

"w

"w

"p

"y

"p

"x yxyx

– 226 –

după care se înmulţeşte scalar, pe rând, cu versorii "i şi "j , şi se obţin următoarele ecuaţii scalare ale dinamicii mişcării relative a punctului material în planul :"y"x"O

".xm2"ym"xmmaFF"ym

;"ym2"xm"ymmaFF"xm

t2tt

"w

"p

"a

t2tt

"w

"p

"a

yyy

xxx

(4.169)

Aceste ecuaţii scalare, destul de complicate, chiar şi în cazul problemei plane, capătă forme simplificate în aplicaţiile concrete, în următoarele situaţii:

mişcarea de transport este un caz particular de mişcare: translaţie, rotaţie uniformă în jurul unei axe fixe sau de direcţie fixă, etc.;

mişcarea relativă este o mişcare simplă (exp.: mişcarea rectilinie a punctului material efectuată după una din axele reperului (R").

De asemeni, trebuie avută în vedere şi alegerea convenabilă a axelor de coordonate ale celor două repere (R) şi (R").

4.3.2. Problema fundamentală a dinamicii mişcării relative a punctului material

În continuare, se va lua în consideraţie numai cazul când mişcarea de transport este cunoscută, prestabilită, neinfluenţată de mişcarea relativă a punctului, deasemeni vor fi luate în seamă numai tipurile fundamentale de probleme în care toate forţele active aplicate punctului sunt cunoscute. Problema fundamentală a dinamicii mişcării relative a punctu-lui material se poate formula astfel:

Se presupun cunoscute:

masa „m” a punctului material; legăturile pasive şi active la care este supus punctul material;

– 227 –

forţele active aplicate punctului material; mişcarea de transport a reperului )R( în raport cu care se

consideră mişcarea relativă a acestui punct, deci funcţiile

),t();t();t(

);t(zz);t(yy);t(xx

tttttt

wWwWwW

(4.170)

în cazul problemelor spaţiale şi funcţiile

,)t();t(yy);t(xx ttwWwW (4.171)

în cazul problemelor plane;

condiţiile iniţiale de forma

,v(0)v ;r)0("r :0tr0r

"0 (4.172)

respectiv,

,z)0(z;y)0(y;x)0(x

z)0(z;y)0(y;x)0(x:0t

ooo

ooo

(4.173)

cu 0zo şi 0zo în cazul mişcării plane a punctului material.

Se cere să se determine:

ecuaţiile parametrice ale mişcării relative a punctului ma-terial; reacţiunile legăturilor pasive aplicate punctului material în mişcarea relativă.

În problemele de dinamica mişcării relative a punctului material, cei p parametri de poziţie rămaşi independenţi în urma aplicării legăturilor pasive sunt reprezentaţi prin p dintre coordonatele carteziene "z"y,"x ale punctului material în raport cu reperul (R") faţă de care se consideră mişcarea relativă:

3p , în cazul spaţial;

2p , în cazul plan.

– 228 –

Pentru punctul material liber (nesupus la restricţii în mişcarea relativă prin aplicare de legături pasive) sunt valabile egalităţile:

p=3, în cazul spaţial;

p=2, în cazul plan.

Condiţia de problemă dinamic determinată, se va exprima şi în dinamica mişcării relative a punctului material, prin relaţia:

e=p+r+f, (4.174)

cu e=3, în problemele spaţiale şi e=2, în problemele plane.

În cazul problemelor de tip fundamental, (p≠0, f=0), condiţia (4.74) se reduce la condiţia:

e=p+r. (4.175)

Rezultă că metodologia de rezolvare a problemelor de dinamică de tip fundamental, prezentată pentru mişcarea absolută a punctului material, rămâne valabilă şi în cazul de faţă, în rezolvarea problemelor de tip fundamental ale dinamicii mişcării relative a punctului material; deosebirea constă în faptul că funcţiile necunoscute de timp care vor trebui determinate prin integrarea sistemului de ecuaţii diferenţiale ale mişcării sunt reprezentate acum prin p dintre funcţiile )t("z şi )t("y),t("x în loc de p dintre funcţiile x(t), y(t) şi z(t) corespunzătoare mişcării absolute (în situaţia că ecuaţiile scalare de mişcare sunt stabilite în coordonate carteziene).

4.3.3. Echilibrul relativ al punctului material Sisteme de referinţă inerţiale şi neinerţiale

În legătură cu mişcarea relativă a punctului material se mai pot pune următoarele două probleme:

.o1 Stabilirea condiţiilor de echilibru relativ a punctului material, adică a condiţiilor în care mişcarea relativă a lui nu mai are loc, punctul material deplasându-se numai odată cu reperul mobil (R”).

– 229 –

Starea de echilibru relativ se caracterizează prin condiţia

0vr , (4.176) cu consecinţele:

0ar , (4.177) şi

0vxm2F rtin

c . (4.178)

În baza relaţiilor (4.177) şi (4.178) ecuaţia vectorială fundamentală a dinamicii mişcării relative a punctului material, va lua forma particulară:

,0FFFFF intpa

int (4.179)

numită ecuaţia de echilibru relativ a punctului material.

Prin proiectarea ecuaţiei vectoriale (4.179) pe axele unui reper cartezian triortogonal drept – care poate fi reperul )R( , reperul )R( sau chiar un reper auxiliar Q , cu originea chiar în punctul considerat şi cu axele convenabil orientate –, se obţine sistemul de ecuaţii scalare de echilibru relativ al punctului, având în cazul când proiectarea se face pe axele reperului auxiliar Q , formele:

,0FFF

;0FFF

;0FFF

intpa

intpa

intaa

(4.180)

acest sistem reducându-se la primele două ecuaţii în cazul plan.

.o2 Definirea sistemelor de referinţă inerţiale şi neinerţiale

Ecuaţia vectorială fundamentală a dinamicii mişcării relative a unui punct material

,FFFam inc

intr

– 230 –

se deosebeşte de ecuaţia fundamentală (4.1) a dinamicii mişcării absolute a aceluiaşi punct material

,Famam a

prin prezenţa, în membrul drept al ecuaţiei, a forţelor de inerţie de transport şi Coriolis. Există însă şi situaţii în care reperul (R”) execută în raport cu reperul absolut, numai o mişcare de translaţie rectilinie uniformă în lungul axei )( , Fig. 4.16, adică o mişcare caracterizată prin condiţiile:

0. 0; ;0a ttw (4.181)

Fig. 4.16

În aceste condiţii, rezultă următoarele valori pentru cele trei componente ale forţei de inerţie de transport definite prin relaţiile (4.161), (4.162) şi (4.163):

r

0r

))0(R( P

0P

O

Wr

W

)R(

y

x

)0(W

)0(z

)0(y

)R( z

y

x

)0(x

z

)(

– 231 –

,0)"rx(xmFF

;0"rxmF ;0amF

ttcfin

t

tin

twin

t

ax

rottr

(4.182)

cu consecinţa .0Fin

t (4.183)

În baza relaţiilor (4.178) şi (4.183), ecuaţia vectorială (4.160) a dinamicii mişcării relative a punctului material capătă forma particulară

,Fam r (4.184)

identică celei corespunzătoare mişcării absolute a punctului material. Din relaţiile (4.178) şi (4.182), în condiţia

,0F (4.185)

rezultă legea inerţiei în dinamica punctului material (vezi relaţia (4.6)).

Această lege este valabilă şi în reperul absolut, şi în orice alt reper aflat în mişcare de translaţie rectilinie uniformă în raport cu acesta. Din acest motiv, toate sistemele de referinţă aflate în mişcarea de translaţie rectilinie şi uniformă în raport cu reperul absolut faţă de care legea fundamentală a dinamicii punctului material se scrie la fel ca şi în raport cu reperul absolut se numesc repere inerţiale. Reperele neinerţiale sunt reperele care execută orice altă mişcare în afara translaţiei rectilinii şi uniforme faţă de reperul absolut, în raport cu care ecuaţia fundamentală a dinamicii conţine cel puţin un termen datorat forţelor de inerţie.