Cinematica Punctului Material

46
Capitolul I CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 1.1. Un punt material se mişcă după legea: Se cer traiectoria, viteza şi acceleraţia punctului material. Rezolvare: Pentru a afla traiectoria va trebui să eliminăm timpul din cele două relaţii. Sistemul linear în şi : oferă soluţia: unde Avem deci: ;

description

Cinematica Punctului Material

Transcript of Cinematica Punctului Material

1

Capitolul I

CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL

1.1. Un punt material se mic dup legea:

t

A

t

A

x

w

w

sin

cos

2

1

+

=

t

B

t

B

y

w

w

sin

cos

2

1

+

=

Se cer traiectoria, viteza i acceleraia punctului material.

Rezolvare: Pentru a afla traiectoria va trebui s eliminm timpul din cele dou relaii. Sistemul linear n

t

w

cos

i

t

w

sin

:

=

y

x

t

t

B

B

A

A

w

w

sin

cos

2

1

2

1

ofer soluia:

-

-

D

=

y

x

A

B

A

B

t

t

1

1

2

2

1

sin

cos

w

w

unde

1

2

2

1

B

A

B

A

-

=

D

Avem deci:

(

)

y

A

x

B

t

2

2

1

cos

-

D

=

w

;

(

)

y

A

x

B

t

1

1

1

sin

+

-

D

=

w

ntruct:

1

sin

cos

2

2

=

+

t

t

w

w

rezult:

(

)

(

)

1

1

1

2

1

1

2

2

2

2

2

=

+

-

D

+

-

D

y

A

x

B

y

A

x

B

sau:

(

)

(

)

(

)

2

2

1

2

2

2

1

1

2

2

2

1

2

2

2

2

D

=

+

+

+

-

+

A

A

y

B

A

B

A

xy

B

B

x

care reprezint ecuaia unei elipse.

Matricea acestei forme ptratice este:

(

)

(

)

+

+

-

+

-

+

2

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

2

1

2

2

A

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

B

.

Problema de valori proprii:

(

)

(

)

0

2

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

2

1

2

2

=

-

+

+

-

+

-

-

+

l

l

A

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

B

sau:

(

)

(

)

(

)

0

2

1

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

=

+

-

-

+

-

+

B

A

B

A

A

A

B

B

l

l

d semiaxele elipsei:

2

1

/

1

;

/

1

l

l

=

=

b

a

unde

1

l

i

2

l

sunt soluiile ecuaiei de gradul doi obinute. Sistemul linear omogen:

(

)

(

)

0

sin

cos

2

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

2

1

2

2

=

-

+

+

-

+

-

-

+

q

q

l

l

A

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

B

d nclinarea axelor elipsei fa de sistemul de coordonate Oxy:

(

)

(

)

1

1

2

2

2

2

1

2

2

2

1

1

2

2

1

2

1

2

2

1

;

B

A

B

A

B

B

tg

B

A

B

A

B

B

tg

+

-

+

=

+

-

+

=

l

q

l

q

Cele dou axe, determinate de unghiurile

1

q

i respective

2

q

, sunt perpendiculare ntre ele i formeaz un nou sistem de coordonate OXY fa de care elipsa traiectorie are forma:

1

2

2

2

1

=

+

Y

X

l

l

sau:

1

1

1

2

2

2

1

=

+

l

l

Y

X

Componenetele vitezei sunt:

(

)

t

A

t

A

v

x

w

w

w

cos

sin

2

1

+

-

=

(

)

t

B

t

B

v

y

w

w

w

cos

sin

2

1

+

-

=

de unde se poate obine valoarea vitezei:

2

2

y

x

v

v

v

+

=

.

Componentele acceleraiei sunt:

(

)

x

t

A

t

A

a

x

2

2

1

2

sin

cos

w

w

w

w

-

=

+

-

=

(

)

y

t

B

t

B

a

y

2

2

1

2

sin

cos

w

w

w

w

-

=

+

-

=

i dau valoarea acceleraiei:

(

)

2

2

4

2

y

x

a

+

=

w

.

Relaiile de definiie ale spaiului se mai pot scrie:

(

)

1

1

cos

j

w

+

=

t

a

x

(

)

2

2

cos

j

w

+

=

t

a

y

unde:

1

2

1

2

2

2

1

1

;

A

A

tg

A

A

a

-

=

+

=

j

;

1

2

2

2

2

2

1

2

;

B

B

tg

B

B

a

-

=

+

=

j

Viteza va fi dat atunci de relaiile:

(

)

(

)

2

2

1

1

sin

;

sin

j

w

w

j

w

w

+

-

=

+

-

=

t

a

v

t

a

v

y

x

iar acceleraia:

(

)

(

)

2

2

2

1

2

1

cos

;

cos

j

w

w

j

w

w

+

-

=

+

-

=

t

a

a

t

a

a

y

x

1.2. Ecuaiile parametrice ale unui punct material n micare sunt:

t

e

r

a

=

;

t

b

q

=

. S se determine traiectoria, viteza i acceleraia utiliznd sistemul de coordonate polare.

Rezolvare: Eliminm timpul t ntre cele dou relaii:

b

q

=

t

de unde

q

b

a

=

e

r

. Traiectoria este deci o spiral logaritmic. Avem:

t

e

r

a

a

=

&

;

t

e

r

a

a

2

=

&

&

;

b

q

=

&

;

0

=

q

&

&

.

Rezult:

t

r

e

r

v

a

a

=

=

&

;

t

e

r

v

a

q

b

q

=

=

&

.

Vectorul vitez:

(

)

q

a

q

q

b

a

e

e

e

e

v

e

v

v

r

t

r

r

+

=

+

=

r

r

are valoarea:

2

2

b

a

a

+

=

t

e

v

.

Unghiul fcut de vitez cu raza vectoare este:

(

)

ct

v

v

r

v

tg

r

=

=

=

a

b

q

,

.

Acceleraia are componentele:

(

)

2

2

2

b

a

q

a

-

=

-

=

t

r

e

r

r

a

&

&

&

;

t

e

r

r

a

a

q

ab

q

q

2

2

=

+

=

&

&

&

&

(

)

[

]

q

a

ab

b

a

e

e

e

a

r

t

2

2

2

+

-

=

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

2

4

b

a

b

a

b

a

a

a

+

=

+

-

=

t

t

e

e

a

Unghiul fcut de acceleraie cu vectorul de poziie al punctului

(

)

ct

a

a

r

a

tg

=

-

=

=

2

2

2

,

b

a

ab

r

q

.

1.3. Un om se deplaseaz trgnd de extremitatea punctului C a unei funii, trecut dup un scripete mic B, cealalt extremitate a funiei fiind legata la un crucior care se deplaseaz pe o platform orizontal. tiind c viteza cu care alearg omul este constant i egal cu

u

r

i c diferena de nivel dintre platform i extremitatea C a funiei este

h

, se cere s se determine viteza

v

a cruciorului i acceleraia sa (fig. 1.3).

Rezolvare: Din figur rezult

ut

x

=

;

2

2

2

2

2

h

t

u

h

x

y

+

=

+

=

.

Viteza cruciorului este:

dt

dy

v

=

deci

2

2

2

2

h

t

u

t

u

v

+

=

sau

2

2

h

x

xu

v

+

=

.

Acceleraia cruciorului este:

dt

dv

a

=

deci

(

)

2

3

2

2

2

2

2

h

t

u

h

u

a

+

=

sau

(

)

2

3

2

2

2

2

h

x

h

u

a

+

=

.

1.4. O particul se deplaseaz n linie dreapt cu viteza

s

m

x

v

+

=

4

5

. S se determine poziia acesteia la

s

t

6

=

, dac la

0

,

0

=

=

x

t

. De asemenea, s se determine acceleraia cnd

m

x

2

=

.

Rezolvare: Din

dt

dx

v

=

, rezult

dt

v

dx

=

;

dt

x

dx

+

=

4

5

;

(

)

dt

dx

x

5

4

=

+

;

(

)

=

+

t

t

s

dt

dx

x

0

5

4

0

,

t

t

s

s

t

x

x

0

0

5

2

4

2

=

+

,

t

s

s

5

2

4

2

=

+

.

Dac t = 6s

.

72

,

4

m

s

=

dx

dv

v

dt

dx

dx

dv

dt

dv

a

=

=

=

.

Cum

(

)

2

4

5

x

dx

dv

+

-

=

rezult c:

(

)

(

)

3

2

4

25

4

5

4

5

x

x

x

a

+

-

=

+

+

-

=

.

Pentru

m

x

2

=

, rezult

2

116

s

m

a

-

=

.

1.5. Acceleraia unui punct material n micare rectilinie este dat prin relaia

(

)

2

1

2

s

m

t

a

-

=

. Dac

m

x

o

1

=

i

s

m

v

o

2

=

la

0

=

o

t

s se determine viteza punctului material i poziia acestuia la

s

t

6

=

. De asemenea s se determine spaiul total parcurs de punctul material n acest interval de timp.

Rezolvare: Din relaia

dt

a

dv

=

, prin integrare rezult:

(

)

2

;

;

1

2

2

2

2

+

-

=

+

-

-

=

-

-

=

t

t

v

t

t

t

t

v

v

dt

t

dv

o

o

o

t

to

v

v

o

La momentul t = 6 s rezult:

s

m

v

32

=

.

Putem scrie:

(

)

dt

t

t

dx

dt

v

dx

2

2

+

-

=

=

,

(

)

+

-

=

6

0

2

1

2

dt

t

t

dx

s

,

m

s

m

t

t

t

s

67

66

12

18

72

2

2

3

1

6

0

2

3

=

=

+

-

=

+

-

=

-

,

m

s

s

d

54

1

55

0

=

-

=

-

=

1.6. Micarea unui punct pe suprafaa unui con circular drept este definit n coordonate polare prin:

a

r

tg

t

h

=

,

t

=

p

q

2

, unde

a

este semiunghiul la vrf al conului i

h

este distana cu care punctul se ridic la o rotaie n jurul axei

Oz

a conului (fig. 1.6). S se determine modulul vitezei i acceleraiei punctului mobil, la orice moment

t

.

Rezolvare: Fiind vorba de un con circular drept, avem:

z

tga

r

=

rezultnd:

t

h

tga

z

=

=

r

Componentele vitezei sunt:

a

r

r

tg

h

v

=

=

&

;

(

)

p

a

q

r

q

2

tg

t

h

v

=

=

&

;

h

z

v

z

=

=

&

,

iar modulul vitezei va fi:

a

p

a

2

2

2

cos

4

ec

t

tg

h

v

+

=

.

Componentele acceleraiei sunt:

(

)

2

2

p

a

r

tg

t

h

a

-

=

;

(

)

p

a

q

2

2

tg

t

h

a

=

;

0

=

z

a

,

iar modulul acceleraiei va fi:

(

)

2

2

2

1

2

t

tg

h

a

p

p

a

+

=

.

Relaia dintre

q

i z este

h

z

p

q

2

=

.

1.7. S se determine traiectoria, viteza i acceleraia pentru un punct ale crui ecuaii de micare n coordonate carteziene sunt:

q

lq

cos

0

-

+

=

e

x

x

;

q

lq

sin

0

-

+

=

e

y

y

;

lq

-

+

=

e

z

z

0

,

unde

0

x

,

0

y

0

z

i

l

sunt parametrii constani.

Rezolvare: Traiectoria este descris prin ecuaiile parametrice date. Pentru a obine informaii suplimentare despre curb vom elimina parametrul

q

din ecuaii

(

)

(

)

ct

t

=

=

=

w

q

q

q

&

;

. Scriem ecuaiile parametrice se scriu sub forma:

q

lq

cos

0

-

=

-

e

x

x

;

(

)

q

lq

2

2

2

0

cos

-

=

-

e

x

x

;

q

lq

sin

0

-

=

-

e

y

y

;

(

)

q

lq

2

2

2

0

sin

-

=

-

e

y

y

;

lq

-

=

-

e

z

z

0

;

(

)

lq

2

2

0

-

=

-

e

z

z

,

Apoi se ridic la ptrat toate cele trei ecuaii, primele dou se aduna i a treia se scade din acestea, rezultnd ecuaia:

(

)

(

)

(

)

0

2

0

2

0

2

0

=

-

-

-

+

-

z

z

y

y

x

x

.

Ecuaia obinut reprezint un con pe care se nfoar elicea conic cu relaiile date.

Componentele vectorului vitez sunt:

q

q

q

q

l

lq

lq

sin

cos

-

-

-

-

=

=

e

e

x

v

x

&

&

&

;

q

q

q

q

l

lq

lq

cos

sin

-

-

+

-

=

=

e

e

y

v

y

&

&

&

;

lq

q

l

-

-

=

=

e

z

v

z

&

&

,

deci:

(

)

(

)

[

]

k

j

i

e

v

l

q

q

l

q

q

l

q

lq

-

+

-

+

+

-

=

-

cos

sin

sin

cos

&

,

iar modulul acesteia este

2

2

2

2

2

1

l

q

lq

+

=

+

+

=

-

e

z

y

x

v

&

&

&

&

.

Componentele vectorului acceleraie, innd sema c

ct

=

=

w

q

&

, sunt:

(

)

[

]

q

l

q

l

q

lq

cos

1

sin

2

2

2

-

+

=

=

-

e

x

a

x

&

&

&

;

(

)

[

]

q

l

q

l

q

lq

sin

1

cos

2

2

2

-

+

-

=

=

-

e

y

a

y

&

&

&

;

lq

q

l

-

=

=

e

z

a

z

2

2

&

&

&

,

deci:

(

)

[

]

(

)

[

]

{

}

k

j

i

e

a

2

2

2

2

sin

1

cos

2

cos

1

sin

2

l

q

l

q

l

q

l

q

l

q

lq

+

-

+

-

+

+

-

-

=

-

&

iar modulul acesteia este

(

)

4

2

2

2

1

l

l

w

lq

+

+

=

-

e

a

.

1.8. Bara AC de lungime egal cu

l

(

)

R

l

2

>

este articulat n A de manivela OA i trece prin punctul fix B (fig. 1.8). tiind c manivela OA se rotete fa de O i are legea spaiului unghiular

t

k

=

j

, se cer s se determine: a) viteza punctului C; b) acceleraia punctului C; c) raza de curbur a traiectoriei punctului C. (fig. 1.8)

Rezolvare:

a) Coordonatele punctului C n raport cu sistemul de referin

xOy

sunt:

2

sin

cos

kt

l

kt

R

x

+

=

;

2

cos

sin

kt

l

kt

R

y

-

=

.

Componentele pe axele sistemului de referin pentru viteza punctului C sunt:

2

cos

2

sin

kt

k

l

kt

k

R

x

v

x

+

-

=

=

&

;

2

sin

2

cos

kt

k

l

kt

k

R

y

v

y

+

=

=

&

.

deci modulul vitezei este:

2

sin

4

2

2

2

2

kt

l

R

l

R

k

v

v

v

y

x

C

-

+

=

+

=

r

.

b) Componentele acceleraiei punctului n sistemul de referin

xOy

sunt:

2

sin

4

cos

2

2

kt

k

l

kt

k

R

x

a

x

-

-

=

=

&

&

;

2

cos

4

sin

2

2

kt

k

l

kt

k

R

y

a

y

+

-

=

=

&

&

.

Mrimea acceleraiei punctului C este:

2

sin

2

16

2

2

2

2

2

kt

l

R

l

R

k

a

a

a

y

x

C

-

+

=

+

=

r

.

c) Raza de curbur

C

r

se determin cu relaia:

n

r

C

C

C

a

v

2

=

.

Acceleraia

t

C

a

(acceleraia tangenial) este:

2

sin

4

4

2

cos

2

sin

4

2

2

2

2

2

kt

l

R

l

R

kt

l

R

k

kt

l

R

l

R

k

dt

d

dt

dv

a

C

-

+

-

=

-

+

=

=

t

.

Rezult c:

2

sin

4

16

2

cos

2

sin

2

16

2

2

2

2

2

2

2

2

kt

l

R

l

R

kt

l

R

kt

l

R

l

R

k

a

C

-

+

-

-

+

=

n

i n final

2

sin

36

2

sin

12

2

sin

96

16

64

2

sin

4

4

2

2

2

3

3

4

2

2

4

3

2

2

2

kt

l

R

kt

l

R

kt

l

R

l

l

R

R

kt

l

R

l

R

a

v

C

C

C

+

-

-

+

+

-

+

=

=

n

r

.

1.9. S se calculeze, n coordonate polare, n plan, expresia

a

v

r

r

i s se deduc, cu ajutorul acesteia raza de curbur a traiectoriei. n particular s se ia unghiul polar

q

ca msur a timpului.

Rspuns:

(

)

2

3

2

2

2

3

2

2

2

2

1

q

q

q

q

q

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

r

r

r

r

r

r

r

r

R

+

+

-

+

=

1.10. Ecuaiile micrii unui punct urmnd o elice nfurat pe un tor, sunt:

.

ct

R

r

=

=

,

t

w

y

=

;

t

k

=

j

. S se determine proiecia vitezei i acceleraiile punctului ntr-o poziie situat ntr-un sistem de coordonate toroidale

(

)

.

.,

ct

k

ct

=

=

w

.

Rspuns:

(

)

(

)

2

2

cos

cos

w

w

R

kt

kt

R

a

a

r

-

+

-

=

;

k

kt

R

R

kt

a

w

w

y

-

=

sin

2

cos

2

2

;

(

)

2

sin

cos

w

j

+

=

kt

kt

R

a

a

.

1.11. Un punct material M se deplaseaz pe bara OA n micare uniform pornind din O cu viteza

s

m

v

2

,

0

=

. Bara OA de lungime egal cu

m

1

se rotete fa de O dup legea spaiului unghiular

t

p

q

4

,

0

=

. Se cer s se determine componentele vitezei i acceleraiei punctului material ajuns n poziia A.

Rspuns:

v

v

=

r

;

vt

v

p

4

,

0

=

;

(

)

vt

a

2

4

,

0

p

r

-

=

;

v

a

p

q

8

,

0

=

;

s

m

v

A

272

,

1

=

;

2

657

,

1

s

m

a

A

=

.

1.12. Calculai traiectoria unui punct M al unui sistem biel-manivel, viteza i acceleraia. Se d:

ct

=

=

p

j

4

&

.

Aplicaie:

cm

l

r

60

1

=

=

,

l

MB

3

1

=

, (fig. 1.12).

Rezolvare:

AM

r

AM

OA

r

+

=

+

=

1

r

r

;

j

r

i

r

r

r

r

r

j

j

sin

cos

1

1

1

+

=

;

j

l

i

l

AM

r

r

j

j

sin

3

2

cos

3

2

-

=

;

j

l

r

i

l

r

r

r

r

r

j

j

sin

3

2

cos

3

2

1

1

-

+

+

=

.

Ecuaiile parametrice de micare ae punctului M vor fi:

:

sin

3

2

;

cos

3

2

1

1

j

j

-

=

+

=

l

r

y

l

r

x

de unde prin eliminarea parametrului variabil

j

rezult ecuaia traiectoriei:

1

3

2

3

2

2

1

2

2

1

2

=

-

+

+

l

r

y

l

r

x

.

nlocuind valorile rezult:

1

20

100

2

2

2

2

=

+

y

x

deci o elipsa raportat la sistemul de coordonate Oxy cu semiaxele 100 i 20 cm (fig.1.12.b).

Fig. 1.12.b

Viteza se determin prin derivarea vectorului de poziie n raport cu timpul:

:

cos

3

2

;

sin

3

2

1

1

j

j

j

j

&

&

&

&

-

=

=

+

-

=

=

l

r

y

v

l

r

x

v

y

x

tiind c

ct

t

d

d

=

=

=

p

j

j

4

&

,

0

=

j

&

&

viteza devine:

:

cos

3

2

4

;

sin

3

2

4

1

1

j

p

j

p

-

=

=

+

-

=

=

l

r

y

v

l

r

x

v

y

x

&

&

iar modulul vitezei este:

(

)

j

j

p

2

2

1

2

2

1

cos

sin

3

2

9

4

4

-

+

+

=

l

r

l

r

v

M

.

Acceleraia se determin derivnd vectorul vitez n raport cu timpul:

.

sin

3

2

cos

3

2

;

cos

3

2

sin

3

2

2

1

1

2

1

1

j

j

j

j

j

j

j

j

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

-

-

-

=

=

+

-

+

-

=

=

l

r

l

r

y

a

l

r

l

r

x

a

y

x

1.13. S se determine ecuaia analitic a traiectoriei, viteza i acceleraia unui punct al unei drepte care se rostogolete, fr alunecare, pe un cerc de raz R (fig. 1.13.a) (evolventa cercului).

Rezolvare: Se alege ca parametru cinematic unghiul

q

fcut de raza OT cu verticala. Avem:

q

R

arcAT

TM

=

=

.

=

+

-

+

+

=

+

=

)

sin

cos

(

)

cos

sin

(

j

R

i

R

j

R

i

R

TM

OT

r

r

r

r

r

r

q

q

q

q

q

q

EMBED Equation.3

j

R

i

R

r

r

)

sin

(cos

)

cos

(sin

q

q

q

q

q

q

+

+

-

=

.

Ecuaiile parametrice ale evolventei sunt deci:

)

sin

(cos

)

cos

(sin

q

q

q

q

q

q

+

=

-

=

R

y

R

x

Componentele vitezei vor fi:

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

cos

)

cos

sin

sin

(

sin

)

sin

cos

(cos

&

&

&

&

&

&

R

R

y

v

R

R

x

v

y

x

=

+

+

-

=

=

=

+

-

=

=

,

iar viteza se obine din relaia:

2

2

2

2

)

(

q

q

&

&

&

R

y

x

v

=

+

=

de unde:

q

q

&

R

v

=

.

Fig.1.13.a. Evolventa cercului

Acceleraia va fi dat de:

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

sin

cos

cos

cos

sin

sin

2

2

2

2

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

R

R

R

y

a

R

R

R

x

a

y

x

-

+

=

=

+

+

=

=

cu valoare dat de:

)

4

(

2

2

4

4

2

2

2

q

q

q

q

q

q

q

q

&

&

&

&

&

&

&

+

+

+

=

R

a

.

Lungimea arcului de evolvent este:

=

=

=

=

a

a

a

q

q

q

q

0

2

0

2

R

d

R

dt

R

vdt

s

&

Fig.1.13.b. Proprietile evolventei

(am presupus

0

q

&

). Unghiul fcut de vectorul vitez cu verticala este dat de:

q

b

tg

v

v

tg

y

x

=

=

,

de unde:

q

b

=

.

Rezult:

viteza este perpendicular pe TM (paralel cu OT) (avem

0

=

TM

v

r

);

are valoarea

TM

w

, unde am notat

w

q

=

&

:

TM

R

R

v

=

=

=

w

q

q

q

q

&

&

Punctul M de pe dreapt se comport dpdv al vitezei (instantaneu) ca i cum ar avea o micare circular pe un cerc de raza TM cu centrul n T, cu viteza unghiular

w

. Dac

ct

=

=

w

q

&

, atunci:

)

sin

(cos

)

cos

(sin

2

2

q

q

q

q

q

q

q

q

-

=

+

=

&

&

R

a

R

a

y

x

(

)

2

2

2

2

2

2

1

)

(

q

q

+

=

+

=

&

R

a

a

a

y

x

de unde:

OM

R

a

=

+

=

2

2

2

1

)

(

w

q

q

&

.

1.14. S se determine traiectoria, viteza i acceleraia unui punct de pe periferia unei roi de raz R care se rostogolete fr alunecare pe planul orizontal (fig.1.14.a).

Rezolvare: Lum ca parametru variabil unghiul

q

. Vectorul de poziie al punctului M de pe periferia roii, dup ce aceasta s-a rostogolit cu unghiul

q

, este dat de relaia:

j

R

i

R

j

R

i

R

CM

AC

OA

OM

r

r

r

r

r

r

q

q

q

cos

sin

-

-

+

=

+

+

=

=

cu componentele:

)

cos

1

(

)

sin

(

q

q

q

-

=

-

=

R

y

R

x

care reprezint ecuaiile parametrice ale cicloidei (parametrul fiind unghiul

q

). Viteza va fi dat de relaiile:

q

q

q

q

sin

)

cos

1

(

&

&

&

&

R

y

v

R

x

v

y

x

=

=

-

=

=

Fig.1.14.a. Cicloida

cu valoarea:

=

+

+

-

=

+

=

)

sin

cos

cos

2

1

(

)

(

2

2

2

2

2

2

q

q

q

q

&

&

&

R

y

x

v

2

sin

)

(

4

)

cos

1

(

)

(

2

2

2

2

q

q

q

q

&

&

R

R

=

-

=

2

sin

2

q

q

&

R

v

=

Valoarea maxim a vitezei se obine pentru

2

/

2

/

p

q

=

deci

p

q

=

.

Fig.1.14.b. Graficul valorii vitezei

Componentele acceleraiei punctului sunt date de relaiile:

q

q

q

q

q

q

q

q

cos

sin

sin

)

cos

1

(

2

2

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

R

R

y

a

R

R

x

a

y

x

+

=

=

+

-

=

=

iar valoarea de:

+

+

+

-

=

)

sin

cos

cos

2

1

(

)

(

2

2

2

2

q

q

q

q

&

&

R

a

)

cos

cos

1

(

sin

2

)

cos

(sin

)

(

2

2

2

2

2

q

q

q

q

q

q

q

q

+

-

+

+

+

&

&

&

&

R

R

q

q

q

q

q

q

sin

2

)

(

)

cos

1

(

)

(

2

2

2

2

2

&

&

&

&

&

&

R

R

R

a

+

+

-

=

4

2

2

2

2

2

2

sin

2

2

sin

4

q

q

q

q

q

q

&

&

&

&

&

&

R

R

R

+

+

=

de unde:

4

2

2

sin

2

2

sin

4

q

q

q

q

q

q

&

&

&

&

&

&

+

+

=

R

a

Lungimea arcului de cicloid este:

=

=

+

=

=

vdt

dt

y

x

ds

s

2

2

&

&

EMBED Equation.3

-

=

=

a

a

a

q

q

q

q

0

0

)

2

cos

1

(

4

2

sin

2

2

sin

2

R

d

R

dt

R

&

2

sin

8

2

a

R

s

=

La o rostogolire complet a cercului spaiul parcurs de punctul material este:

R

R

L

8

2

2

sin

8

2

=

=

p

.

Unghiul fcut de vitez cu orizontala este:

)

2

2

(

2

2

sin

2

2

cos

2

sin

2

cos

1

sin

2

q

p

q

q

q

q

q

q

b

-

=

=

=

-

=

=

=

tg

ctg

x

y

v

v

tg

x

y

&

&

deci:

2

2

q

p

b

-

=

.

(pentru

]

2

;

0

[

p

q

) cu excepia cazului cnd

,

0

2

/

sin

=

q

,

2

/

p

q

k

=

p

q

k

2

=

. n acest caz:

0

;

0

)

1

1

(

=

=

-

=

y

R

x

&

&

q

, deci v=0. n punctele

p

q

k

2

=

unghiul fcut de vitez cu orizontala prezint discontinuitate:

;

2

;

2

lim

1

2

2

1

p

b

q

b

p

q

p

q

-

=

-

=

=

ctg

tg

Fig.1.14.c

Graficul unghiului de nclinare a vitezei n funcie de unghiul de rostogolire

q

este dat n fig. 1.14.c. n cazul n care considerm c roata se rostogolete cu vitez constant

w

q

=

=

ct

&

atunci

v

r

i

a

r

au urmtoarele proprieti:

a) vectorul

v

r

este perpendicular pe AM i egal n modul cu

AM

w

. ntr-adevr

2

/

2

/

)

(

2

/

q

q

p

p

b

=

=

-

-

=

EMBED Equation.3

)

2

/

sin(

2

q

R

AM

=

i atunci (fig.1.14.d):

Fig.1.14.d. Interpretarea geometric a micrii pe o cicloid

=

+

-

+

-

=

]

2

sin

2

2

cos

2

sin

2

][

sin

)

cos

1

(

[

2

j

R

i

R

j

R

i

R

AM

v

r

r

r

r

r

q

q

q

q

q

q

q

0

]

2

sin

sin

2

cos

2

sin

)

cos

1

(

[

2

2

=

+

-

-

=

q

q

q

q

q

q

&

R

w

q

w

=

=

AM

R

v

2

sin

2

Rezult c punctul M de pe periferia roii se comport d.p.d.v. al vitezei ca i cum discul s-ar roti cu viteza unghiular

w

n jurul punctului A (viteza unghiular

w

definete variaia n timp a unghiului

q

) (fig.1.14.d).

b) Vectorul

a

r

are direcia razei MC i este egal cu

MC

2

w

:

q

w

q

q

sin

sin

2

2

R

R

x

a

x

=

=

=

&

&

&

;

q

w

q

q

cos

cos

2

2

R

R

y

a

y

=

=

=

&

&

&

j

R

i

R

MC

r

r

q

q

cos

sin

+

=

deci:

MC

j

R

i

R

j

a

i

a

a

y

x

2

)

cos

sin

(

w

q

q

=

+

=

+

=

r

r

r

r

r

.

Punctul M de pe periferia roii se comport, d.p.d.v. al acceleraiei ca i cum s-ar mica pe periferia cercului de raz R, cu vitez constant (fig.1.14.d). Dac punctul material se gsete n interiorul unui cerc care se rostogoleste se obine cicloida scurtat (fig.1.14.e) i dac se gsete pe exteriorul lui, facnd corp comun cu cercul se obine cicloida alungit (fig.1.14.f).

Fig.1.14.e

Fig.1.14.f

1.15. a) S se determine traiectoria, viteza i acceleraia unui punct al unui cerc mobil ce se rostogolete pe exteriorul unui cerc fix (epicicloida).

b) S se determine traiectoria, viteza i acceleraia unui punct al unui cerc mobil ce se rostogolete pe interiorul unui cerc fix (hipocicloida) (fig.1.15.a).

Fig.1.15.a. Epicicloida i hipocicloida

Rezolvare: a) Dac un cerc mobil deraz r se rostogolete peste un cerc fix de raz R avem AT=TM, deci

a

q

r

R

=

. Ecuaiile parametrice ale traiectoriei sunt:

)

1

(

sin

sin

)

(

)

sin(

sin

)

(

r

R

r

r

R

r

r

R

x

+

-

+

=

+

-

+

=

q

q

a

q

q

)

1

(

cos

cos

)

(

)

cos(

cos

)

(

r

R

r

r

R

r

r

R

y

+

-

+

=

+

-

+

=

q

q

a

q

q

Prin derivri succesive se obin expresiile vitezei i acceleraiei. Pentru vitez avem relaiile:

]

)

1

cos(

[cos

)

1

(

q

q

q

r

R

r

R

r

x

v

x

+

-

+

=

=

&

&

]

)

1

sin(

sin

[

)

1

(

q

q

q

r

R

r

R

r

y

v

y

+

+

-

+

=

=

&

&

.

Lungimea arcului de epicicloid se obine, prin calcul,

)

(

8

r

R

l

+

=

.

b) Dac cercul mobil de raz r se rostogolete n interiorul cercului de raz R avem, din egalitatea AT=TM,

a

q

r

R

=

, iar ecuaiile parametrice ale traiectoriei sunt:

)

1

(

sin

sin

)

(

)

sin(

sin

)

(

r

R

r

r

R

r

r

R

x

+

-

-

-

=

+

-

-

-

=

q

q

a

q

q

)

1

(

cos

cos

)

(

)

cos(

cos

)

(

r

R

r

r

R

r

r

R

y

+

-

+

-

=

+

-

+

-

=

q

q

a

q

q

de unde, prin derivri, se obin viteza i acceleraia:

]

)

1

cos(

[cos

)

1

(

q

q

q

r

R

r

R

r

x

v

x

+

-

-

+

-

=

=

&

&

]

)

1

sin(

sin

[

)

1

(

q

q

q

r

R

r

R

r

y

v

y

+

-

-

-

+

-

=

=

&

&

Lungimea arcului de hipocicloid, la o rotaie complet, este:

)

(

8

r

R

l

-

=

.

Fig.1.15.b. Epicicloida i hipocicloida pentru cazul R/r=2

Fig.1.15.c. Epicicloida i hipocicloida pentru cazul R/r=3

Fig.1.15.d. Epicicloida i hipocicloida pentru cazul R/r=4

Fig.1.15.e. Epicicloida i hipocicloida pentru cazul R/r=5

n fig.1.15.b-e sunt reprezentate epicicloide i hipocicloide pentru diferite valori ale raportului R/r.

Fig.1.16. Micarea pe cardioid

1.16. S considerm un cerc mobil care se rostogolete pe un cerc fix de aceeai raz R (fig.1.16). S se determine traiectoria, viteza i acceleraia unui punct de pe cercul mobil.

Vom exprima vectorul de poziie al punctului M:

=

+

+

=

=

BM

AB

OA

OM

r

r

=

-

+

+

-

+

=

)

2

sin

2

cos

(

)

sin

cos

(

2

j

R

i

R

j

i

R

i

R

r

r

r

r

r

q

q

q

q

j

R

R

i

R

R

R

r

r

)

2

sin

sin

2

(

)

2

cos

cos

2

(

q

q

q

q

-

+

+

-

=

S-a folosit observaia c ABMO este trapez isocel. Rezult:

q

q

2

cos

cos

2

R

R

R

x

+

-

=

;

q

q

2

sin

sin

2

R

R

y

-

=

;

2

2

2

2

2

2

)

cos

1

(

4

)

2

cos

cos

4

3

(

2

q

q

q

-

=

+

-

-

=

+

=

R

R

y

x

r

;

2

cos

4

)

cos

1

(

2

)

cos

1

(

2

2

a

a

q

R

R

R

r

=

+

=

-

=

,

adic ecuaia cardioidei. Componentele vitezei vor fi:

)

2

sin

(sin

2

q

q

q

-

=

&

&

R

x

;

)

2

cos

(cos

2

q

q

q

-

=

&

&

R

y

iar valoarea:

2

sin

16

)

cos

1

(

4

2

2

2

2

2

2

q

q

q

q

&

&

R

R

v

=

-

=

2

sin

4

q

q

&

R

v

=

;

p

q

a

=

+

;

q

a

&

&

-

=

,

iar componentele acceleraiei:

)

2

cos

2

(cos

2

)

2

sin

(sin

2

2

q

q

q

q

q

q

-

+

-

=

&

&

&

&

&

R

R

x

,

)

2

sin

2

sin

(

2

)

2

cos

(cos

2

2

q

q

q

q

q

q

+

-

+

-

=

&

&

&

&

&

R

R

y

1.17. S se determine viteza i acceleraia unui punct care se mic pe o elice cilindric (fig.1.17.a).

Rezolvare: Ecuaiile parametrice ale elicei cilindrice cu pas constant sunt:

=

=

=

a

q

q

q

tg

R

z

R

y

R

x

;

sin

;

cos

Prin derivare se obin componentele vitezei i acceleraiei:

Fig.1.17.a. Micarea pe elicea cilindric

=

=

-

=

=

-

-

=

=

=

=

=

=

-

=

=

.

;

sin

cos

;

cos

sin

.

;

cos

;

sin

2

2

a

q

q

q

q

q

q

q

q

q

a

q

q

q

q

q

tg

R

z

a

R

R

y

a

R

R

x

a

tg

R

z

v

R

y

v

R

x

v

z

y

x

z

y

x

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

de unde:

Fig.1.17.b

(

)

(

)

.

cos

/

cos

/

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a

q

a

q

a

q

&

&

&

&

&

&

R

v

R

tg

R

z

y

x

v

=

=

=

+

=

+

+

=

(

)

(

)

.

cos

/

cos

/

4

2

2

4

2

2

2

2

4

2

4

2

2

2

2

q

a

q

q

a

q

a

q

q

q

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

+

=

+

=

=

+

+

=

R

a

R

tg

R

R

R

a

Lungimea arcului de elice este dat de relaia:

=

=

=

=

b

a

q

a

b

cos

cos

0

R

dt

R

dt

v

ds

s

.

1.18. S se determine micarea unui punct material pe o elice cilindric utiliznd coordonatele polare.

Rezolvare: Vectorul de poziie se poate scrie (vezi fig.1.17.a):

k

tg

R

e

R

r

r

r

r

+

=

a

q

r

.

Aadar viteza i acceleraia rezult, prin derivri succesive:

(

)

.

2

k

tg

R

e

R

e

R

a

tg

k

e

R

k

z

e

R

v

r

&

&

r

&

&

r

&

r

r

r

&

r

&

r

&

r

a

q

q

q

a

q

q

q

r

q

q

+

+

-

=

+

=

+

=

1.19. S se determine raza de curbur a cicloidei, evolventei, elicei cilindrice i cardioidei.

Rezolvare: Se va folosi relaia

2

2

2

v

a

v

&

-

=

r

i se va considera

ct

=

q

&

(ntruct raza de curbur nu trebuie s depind de timp). Se obine:

i) pentru cicloid:

2

sin

2

q

q

&

R

v

=

;

2

cos

2

q

q

&

&

R

v

=

;

2

q

&

R

a

=

;

2

sin

16

2

cos

4

2

sin

16

2

2

2

4

2

4

2

4

4

4

2

q

q

q

q

q

q

r

R

R

R

R

=

-

=

&

&

&

.

ii) pentru evolvent

q

q

&

R

v

=

;

2

q

&

&

R

v

=

;

)

1

(

2

2

2

2

q

q

+

=

&

R

a

;

2

2

4

2

4

4

2

4

4

4

2

)

(

q

q

q

q

q

q

q

r

R

R

R

=

-

+

=

&

&

&

&

;

q

r

R

=

.

iii) pentru elicea cilindric:

a

q

cos

&

R

v

=

;

0

=

v

&

;

2

q

&

R

a

=

.

a

r

2

cos

R

=

.

iv) pentru cardioid:

)

2

cos

2

(cos

2

2

q

q

q

-

=

&

&

&

R

x

;

)

2

sin

2

sin

(

2

2

q

q

q

+

-

=

&

&

&

R

y

;

)

cos

4

5

(

4

)

cos

4

4

1

(

4

2

2

4

2

2

q

q

q

q

-

=

-

+

=

&

&

R

R

a

;

2

cos

2

2

q

q

&

&

R

v

=

;

=

-

-

=

2

cos

4

)

cos

4

5

(

4

2

sin

256

2

4

2

4

2

4

4

4

2

q

q

q

q

q

q

r

&

&

&

R

R

R

9

2

sin

64

2

sin

2

sin

8

2

sin

64

2

sin

)

cos

1

(

4

2

sin

64

2

2

2

2

4

2

2

4

2

q

q

q

q

q

q

q

R

R

R

=

+

=

+

-

=

2

sin

3

8

q

r

R

=

.

1.20. S de determine viteza i acceleraia unui punct aflat n micare circular utiliznd coordonatele carteziene (fig.1.20).

Rezolvare: Coordonatele carteziene ale punctului material aflat (n micare pe cerc sunt:

q

q

sin

;

cos

R

y

R

x

=

=

,

de unde, prin derivare, se obine succesiv:

q

q

q

q

cos

;

sin

&

&

&

&

R

y

R

x

=

-

=

;

q

q

q

q

q

q

q

q

sin

cos

;

cos

sin

2

2

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

R

R

y

R

R

x

-

=

-

-

=

,

Fig.1.20 Fig.1.21

cu

q

q

&

&

R

v

R

v

=

=

2

2

2

i

(

)

4

2

2

2

q

q

&

&

&

+

=

R

a

.

Dac

q

&

= ct, micarea se numete micare circular uniform. Not(nd

0

w

q

=

&

rezult

0

0

q

w

q

+

=

t

. Dac

q

&

&

> 0 micarea este uniform accelerat, iar dac

q

&

&

< 0 micarea este uniform (nt(rziat. Not(nd

0

w

q

=

&

i

e

q

=

&

&

se obine legea spaiului

0

0

2

2

q

w

q

e

+

+

=

t

t

.

1.21. S de determine viteza i acceleraia unui punct aflat n micare circular utiliznd coordonatele polare (fig.1.21).

Rezolvare: (n coordonate polare (fig.1.21) se scrie:

r

e

R

r

r

r

=

;

;

;

q

q

q

&

r

&

r

R

v

e

R

v

=

=

4

2

2

;

q

q

q

q

q

&

&

&

r

&

&

r

&

r

+

=

+

-

=

R

a

e

R

e

R

a

r

cu componentele:

q

q

q

&

&

&

R

a

R

a

r

=

=

;

2

.

Fig.1.22

1.22. S de determine viteza i acceleraia unui punct aflat n micare circular utiliznd coordonatele naturale (fig.1.22).

Rezolvare: (n coordonate naturale (fig.1.22) avem:

(

)

0

q

q

-

=

=

R

AM

s

t

q

t

q

r

&

r

&

r

&

&

R

s

v

R

s

v

=

=

=

=

;

n

q

t

q

q

r

q

n

t

r

&

r

&

&

r

&

&

&

&

&

&

2

2

2

;

;

R

R

a

R

s

a

R

s

a

+

=

=

=

=

=

2

2

q

q

q

q

a

n

t

&

&

&

&

&

&

=

=

=

R

R

a

a

tg

.

1.23. S se determine viteza cu care se mic corpul B dac corpul A se mic cu viteza constant u.

Fig.1.23

Fig.1.6

Fig.1.3

Fig.1.12.a

Fig.1.8

_1317139428.unknown
_1317231944.unknown
_1317374929.unknown
_1317394379.unknown
_1327658633.unknown
_1327659036.unknown
_1327659295.unknown
_1327659438.unknown
_1327674799.unknown
_1327677202.unknown
_1327678225.unknown
_1327660753.unknown
_1327660754.unknown
_1327659640.unknown
_1327659357.unknown
_1327659066.unknown
_1327659172.unknown
_1327659044.unknown
_1327658943.unknown
_1327658956.unknown
_1327658813.unknown
_1327658821.unknown
_1327249368.unknown
_1327249899.unknown
_1327658435.unknown
_1327658445.unknown
_1327658316.unknown
_1327249549.unknown
_1327249885.unknown
_1327249896.unknown
_1327249420.unknown
_1317394410.unknown
_1327249112.unknown
_1327249230.unknown
_1327249012.unknown
_1317394389.unknown
_1317375105.unknown
_1317375682.unknown
_1317375863.unknown
_1317376593.unknown
_1317376795.unknown
_1317377981.unknown
_1317378582.unknown
_1317384469.unknown
_1317377763.unknown
_1317376716.unknown
_1317376280.unknown
_1317376521.unknown
_1317375924.unknown
_1317375742.unknown
_1317375834.unknown
_1317375690.unknown
_1317375267.unknown
_1317375397.unknown
_1317375665.unknown
_1317375480.unknown
_1317375291.unknown
_1317375248.unknown
_1317375259.unknown
_1317375153.unknown
_1317375056.unknown
_1317375077.unknown
_1317375092.unknown
_1317375067.unknown
_1317375041.unknown
_1317375050.unknown
_1317375019.unknown
_1317232125.unknown
_1317232257.unknown
_1317232402.unknown
_1317374805.unknown
_1317374840.unknown
_1317374864.unknown
_1317374819.unknown
_1317232435.unknown
_1317232476.unknown
_1317232559.unknown
_1317232768.unknown
_1317232471.unknown
_1317232407.unknown
_1317232306.unknown
_1317232380.unknown
_1317232385.unknown
_1317232317.unknown
_1317232267.unknown
_1317232271.unknown
_1317232261.unknown
_1317232153.unknown
_1317232163.unknown
_1317232248.unknown
_1317232253.unknown
_1317232239.unknown
_1317232157.unknown
_1317232144.unknown
_1317232149.unknown
_1317232134.unknown
_1317232011.unknown
_1317232108.unknown
_1317232116.unknown
_1317232120.unknown
_1317232112.unknown
_1317232099.unknown
_1317232103.unknown
_1317232067.unknown
_1317232094.unknown
_1317231997.unknown
_1317232004.unknown
_1317232008.unknown
_1317232001.unknown
_1317231974.unknown
_1317231985.unknown
_1317231955.unknown
_1317139857.unknown
_1317139954.unknown
_1317139992.unknown
_1317141138.unknown
_1317227668.unknown
_1317228859.unknown
_1317229690.unknown
_1317229725.unknown
_1317229909.unknown
_1317230065.unknown
_1317229709.unknown
_1317229292.unknown
_1317229446.unknown
_1317229105.unknown
_1317228169.unknown
_1317228678.unknown
_1317227676.unknown
_1317142517.unknown
_1317143499.unknown
_1317153319.unknown
_1317142860.unknown
_1317142856.unknown
_1317141484.unknown
_1317141641.unknown
_1317141480.unknown
_1317140062.unknown
_1317140082.unknown
_1317140091.unknown
_1317140153.unknown
_1317140156.unknown
_1317140095.unknown
_1317140087.unknown
_1317140076.unknown
_1317140079.unknown
_1317140069.unknown
_1317140072.unknown
_1317140066.unknown
_1317139999.unknown
_1317140059.unknown
_1317139996.unknown
_1317139978.unknown
_1317139984.unknown
_1317139987.unknown
_1317139981.unknown
_1317139963.unknown
_1317139971.unknown
_1317139958.unknown
_1317139923.unknown
_1317139940.unknown
_1317139947.unknown
_1317139950.unknown
_1317139943.unknown
_1317139934.unknown
_1317139937.unknown
_1317139927.unknown
_1317139902.unknown
_1317139915.unknown
_1317139920.unknown
_1317139912.unknown
_1317139888.unknown
_1317139893.unknown
_1317139885.unknown
_1317139748.unknown
_1317139788.unknown
_1317139825.unknown
_1317139837.unknown
_1317139854.unknown
_1317139832.unknown
_1317139819.unknown
_1317139822.unknown
_1317139791.unknown
_1317139774.unknown
_1317139781.unknown
_1317139784.unknown
_1317139777.unknown
_1317139755.unknown
_1317139771.unknown
_1317139751.unknown
_1317139692.unknown
_1317139728.unknown
_1317139740.unknown
_1317139744.unknown
_1317139731.unknown
_1317139699.unknown
_1317139725.unknown
_1317139695.unknown
_1317139651.unknown
_1317139675.unknown
_1317139688.unknown
_1317139656.unknown
_1317139435.unknown
_1317139648.unknown
_1317139432.unknown
_1166799495.unknown
_1166799595.unknown
_1166799612.unknown
_1166799671.unknown
_1166799681.unknown
_1248088326.unknown
_1315953402.unknown
_1316985883.unknown
_1316986231.unknown
_1316361709.unknown
_1248088331.unknown
_1248088693.unknown
_1248088271.unknown
_1248088297.unknown
_1166799683.unknown
_1166799684.unknown
_1166799682.unknown
_1166799676.unknown
_1166799679.unknown
_1166799680.unknown
_1166799678.unknown
_1166799674.unknown
_1166799675.unknown
_1166799673.unknown
_1166799664.unknown
_1166799667.unknown
_1166799669.unknown
_1166799665.unknown
_1166799614.unknown
_1166799615.unknown
_1166799613.unknown
_1166799603.unknown
_1166799607.unknown
_1166799610.unknown
_1166799611.unknown
_1166799609.unknown
_1166799605.unknown
_1166799606.unknown
_1166799604.unknown
_1166799599.unknown
_1166799601.unknown
_1166799602.unknown
_1166799600.unknown
_1166799597.unknown
_1166799598.unknown
_1166799596.unknown
_1166799515.unknown
_1166799525.unknown
_1166799555.unknown
_1166799593.unknown
_1166799594.unknown
_1166799556.unknown
_1166799529.unknown
_1166799530.unknown
_1166799527.unknown
_1166799519.unknown
_1166799523.unknown
_1166799524.unknown
_1166799522.unknown
_1166799517.unknown
_1166799518.unknown
_1166799516.unknown
_1166799503.unknown
_1166799507.unknown
_1166799513.unknown
_1166799514.unknown
_1166799512.unknown
_1166799505.unknown
_1166799506.unknown
_1166799504.unknown
_1166799499.unknown
_1166799501.unknown
_1166799502.unknown
_1166799500.unknown
_1166799497.unknown
_1166799498.unknown
_1166799496.unknown
_1166799455.unknown
_1166799474.unknown
_1166799487.unknown
_1166799491.unknown
_1166799493.unknown
_1166799494.unknown
_1166799492.unknown
_1166799489.unknown
_1166799490.unknown
_1166799488.unknown
_1166799478.unknown
_1166799484.unknown
_1166799486.unknown
_1166799479.unknown
_1166799476.unknown
_1166799477.unknown
_1166799475.unknown
_1166799464.unknown
_1166799468.unknown
_1166799472.unknown
_1166799473.unknown
_1166799471.unknown
_1166799466.unknown
_1166799467.unknown
_1166799465.unknown
_1166799460.unknown
_1166799462.unknown
_1166799463.unknown
_1166799461.unknown
_1166799457.unknown
_1166799458.unknown
_1166799456.unknown
_1166799438.unknown
_1166799447.unknown
_1166799451.unknown
_1166799453.unknown
_1166799454.unknown
_1166799452.unknown
_1166799449.unknown
_1166799450.unknown
_1166799448.unknown
_1166799442.unknown
_1166799444.unknown
_1166799445.unknown
_1166799443.unknown
_1166799440.unknown
_1166799441.unknown
_1166799439.unknown
_1166799430.unknown
_1166799434.unknown
_1166799436.unknown
_1166799437.unknown
_1166799435.unknown
_1166799432.unknown
_1166799433.unknown
_1166799431.unknown
_1166799426.unknown
_1166799428.unknown
_1166799429.unknown
_1166799427.unknown
_1166799424.unknown
_1166799425.unknown
_1166799423.unknown