Bazele Mecanicii Aplicate (5) - Dinamica Punctului Material

67
240 NICULAE MANAFI BAZELE MECANICII APLICATE PARTEA IV-a DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL CONŢINUT 13. ANALIZA DINAMICĂ A PUNCTULUI MATERIAL 241 13.1 Generalităţi 241 13.1.1 Obiectivul analizei dinamice 241 13.1.2 Parametrii dinamici generali 241 13.1.3 Funcţia de forţă. Forţe conservative. 243 13.1.4 Teoremele generale ale Dinamicii în cazul punctului material 246 13.2 Dinamica punctului material liber 247 13.2.1 Ecuaţiile generale de mişcare în diferite sisteme de coordonate 247 13.2.2 Integrarea numerică a ecuaţiilor de mişcare 249 13.2.3 Mişcarea punctului material greu în vid 250 13.2.4 Mişcarea punctului material greu în mediu rezistent 252 13.2.5 Mişcarea punctului material acţionat de o forţă centrală. Cazul general. 256 13.2.6...Mişcarea punctului material sub acţiunea forţei de atracţie universală. 261 13.3 Dinamica punctului material supus la legături 266 13.3.1 Ecuaţiile mişcării 266 13.3.2 Mişcarea pe planul înclinat 267 13.3.3 Pendulul sferic 270 13.3.4 Pendulul matematic 275 13.3.5 Micile oscilaţii ale pendulului matematic 276 14. DINAMICA MIŞCĂRII OSCILATORII A PUNCTULUI MATERIAL 282 14.1 Generalităţi 282 14.2 Oscilaţii libere fără amortizare 283 14.3 Oscilaţii libere cu amortizare 285 14.4 Oscilaţii forţate fără amortizare 288 14.5 Oscilaţii forţate cu amortizare 291 15. DINAMICA MIŞCĂRII RELATIVE A PUNCTULUI MATERIAL 294 15.1 Generalităţi 294 15.2 Ecuaţia generală a mişcării relative 294 15.3 Mişcarea unei culise pe o bară oblică în rotaţie 297 15.4 Mişcarea unei particule pe suprafaţa interioară a unui cilindru înclinat 302

description

c

Transcript of Bazele Mecanicii Aplicate (5) - Dinamica Punctului Material

  • 240

    NICULAE MANAFI

    BAZELE MECANICII APLICATE

    PARTEA IV-a DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL

    CONINUT

    13. ANALIZA DINAMIC A PUNCTULUI MATERIAL 241 13.1 Generaliti 241

    13.1.1 Obiectivul analizei dinamice 241 13.1.2 Parametrii dinamici generali 241 13.1.3 Funcia de for. Fore conservative. 243 13.1.4 Teoremele generale ale Dinamicii n cazul punctului

    material 246 13.2 Dinamica punctului material liber 247

    13.2.1 Ecuaiile generale de micare n diferite sisteme de coordonate 247

    13.2.2 Integrarea numeric a ecuaiilor de micare 249 13.2.3 Micarea punctului material greu n vid 250 13.2.4 Micarea punctului material greu n mediu rezistent 252 13.2.5 Micarea punctului material acionat de o for central.

    Cazul general. 256 13.2.6...Micarea punctului material sub aciunea forei de

    atracie universal. 261 13.3 Dinamica punctului material supus la legturi 266

    13.3.1 Ecuaiile micrii 266 13.3.2 Micarea pe planul nclinat 267 13.3.3 Pendulul sferic 270 13.3.4 Pendulul matematic 275 13.3.5 Micile oscilaii ale pendulului matematic 276

    14. DINAMICA MICRII OSCILATORII A PUNCTULUI MATERIAL 282

    14.1 Generaliti 282 14.2 Oscilaii libere fr amortizare 283 14.3 Oscilaii libere cu amortizare 285 14.4 Oscilaii forate fr amortizare 288 14.5 Oscilaii forate cu amortizare 291

    15. DINAMICA MICRII RELATIVE A PUNCTULUI MATERIAL 294

    15.1 Generaliti 294 15.2 Ecuaia general a micrii relative 294 15.3 Micarea unei culise pe o bar oblic n rotaie 297 15.4 Micarea unei particule pe suprafaa interioar a unui

    cilindru nclinat 302

  • 241

    Partea IV-a DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL

    13. ANALIZA DINAMIC A PUNCTULUI MATERIAL

    13.1 Generaliti

    13.1.1 Obiectivul analizei dinamice

    Dinamica are ca obiectiv general stabilirea legii de micare a unui corp sau a unui sistem de corpuri atunci cnd se cunosc forele care le acioneaz. La acest obiectiv se adaug i determinarea forelor de legtur dintre corpurile aflat n micare.

    Legea fundamental a Dinamicii, coninut n cel de al II-lea principiu al Mecanicii newtoniene, stipuleaz c o for aplicat unui punct material i imprim acestuia o acceleraie pe direcia i n sensul ei de aciune; legea este exprimat de relaia clasic:

    Fam (13.1)

    n cazul punctului material, F poate fi o for unic sau rezultanta unui sistem de fore concurente aplicate acestuia.

    O for poate fi constant sau variabil n funcie de poziia i viteza punctului i, n unele aplicaii, n mod explicit de timp. Cu notaiile din Cinematic relaia de mai sus mai poate fi pus sub forma general:

    ),,( trrFrm (13.2)

    Se recunoate o ecuaia diferenial de ordinul II sub forma vectorial, prin integrarea creia se determin legea de micare a punctului material:

    )()( trrtrv (13.3)

    care nglobeaz legea vitezei i respectiv legea spaiului.

    13.1.2 Parametrii dinamici generali

    Un prim grup de parametri, numii parametri de stare, caracterizeaz

    micarea mecanic a corpurilor ntr-o poziie dat; n acesta se includ impulsul, momentul cinetic i energia cinetic. Un parametru de proces, care caracterizeaz transferul de energie ntre dou poziii ale corpurilor, este lucrul mecanic al forelor care le acioneaz. n cazul punctului material parametrii menionai au definiiile expuse n continuare.

    a) Impulsul mrime fizic vectorial care exprim cantitatea de micare pe care o are un punct material la un moment dat. Relaia de definiie

    vmH (13.4)

    pune n eviden coliniaritatea impulsului cu viteza (fig.13.1). Impulsul este util n studiul variaiei micrii mecanice a punctului material.

    Fig.13.1

    (m)

  • 242

    n coordonate carteziene viteza are dezvoltarea:

    kvjvivv zyx (13.5)

    astfel c pentru impuls se poate scrie:

    kmvjmvimvkHjHiHH zyxzyx )()()( (13.6)

    b) Momentul cinetic mrime fizic, deasemenea vectorial, reprezentnd momentul impulsului n raport cu un punct, de exemplu punctul O (fig.13.2).

    Relaia de definiie este:

    vmrHrKO (13.7)

    Caracteristicile momentului cinetic se evalueaz dup regulile cunoscute ale produsului vectorial. Direcia lui este perpendicular pe planul

    vectorilor r i H . n coordonate carteziene momentul cinetic are expresia:

    kKjKiKK zyxO (13.6)

    Proieciile lui se calculeaz cu relaiile:

    )(

    )(

    )(

    xyz

    zxy

    yzx

    zyx

    O

    yvxvmK

    xvzvmK

    zvyvmK

    mvmvmv

    zyx

    kji

    vmrK (13.7)

    Proieciile reprezint momentul cinetic al punctului fa de axele de coordonate. c) Energia cinetic mrime scalar, caracteriznd deasemenea micarea

    mecanic a punctului material, definit prin relaia:

    2mv

    2

    1E (13.8)

    n timpul micrii energia cinetic poate fi transformat din i n alte forme de energie (de exemplu energie potenial, energie termic, etc.). n funcie de proieciile vitezei ea se mai poate scrie:

    )(2z

    2y

    2x vvvm

    2

    1E (13.9)

    d) Lucrul mecanic mrime scalar de proces care msoar variaia energiei transferate sub aciunea forelor. ntr-un interval de timp infinitezimal dt o for efectueaz un lucru mecanic elementar definit prin produsul scalar:

    cosrdFrdFdL (13.10)

    n care rd este deplasarea elementar efectuat n acest timp (fig.13.3). n

    funcie de valoarea unghiului dintre for i deplasare, se precizeaz: 0dL020 ,cos, lucru mecanic motor;

    0dL02 ,cos, lucru mecanic nul;

    0dL02 ,cos, lucru mecanic rezistent.

    Fig.13.2

    Fig.13.3

    (m)

    O

    t+dt

    t

    O

  • 243

    Dac micarea punctului este raportat la un sistem de referin cartezian n care:

    kFjFiFF zyx (13.11)

    kdzjdyidxrd (13.12)

    lucrul mecanic elementar ia forma:

    dzFdyFdxFdL zyx (13.13)

    La trecerea ntre dou poziii distincte A i B aflate pe traiectoria punctului se calculeaz un lucru mecanic total prin integrala curbilinie:

    AB

    zyxABAB

    AB dzFdyFdxFrdFdLL )( (13.14)

    Pentru calculul lucrul mecanic efectuat de un cuplu

    de fore (fig.13.4) se observ c deplasarea infinitezimal: dRdsrd || (13.15)

    i 0cos . Lucrul mecanic elementar este:

    dMdRF2dL || (13.16)

    n care M este momentul cuplului iar d unghiul de rotaie elementar. Lucrul mecanic total produs de un cuplu ntre dou poziii A i B se evalueaz prin integrala:

    AB

    dML (13.17)

    13.1.3 Funcia de for. Fore conservative.

    Exist cmpuri de fore n care un punct material aflat n repaus posed o energie, fie n stare latent, fie acumulat prin transformarea unei cantiti de energie cinetic n urma efecturii unui lucru mecanic. Aceast energie nmagazinat, notat V, poart numele de energie potenial i poate fi cedat n anumite condiii prin retransformarea ei n energie cinetic. Variaia energiei poteniale la trecerea dintr-o poziie A ntr-o poziie B n acest cmp de fore se exprim prin relaia:

    ABBA LVV (13.18)

    Spaiului n care este activ un astfel de cmp de fore i se poate ataa o funcie poziional scalar ),,( zyxUU , uniform i derivabil. Dac pentru forele

    cmpului se poate scrie relaia general:

    kFjFiFkz

    Uj

    y

    Ui

    x

    UUgradF zyx

    (13.19)

    atunci U este o funcie de for iar forele care deriv din aceasta se numesc fore conservative. Proieciile pe axe ale unei astfel de fore sunt:

    z

    UF

    y

    UF

    x

    UF zyx

    (13.20)

    Se reamintete din Analiza matematic proprietatea c la derivarea parial a unei funcii implicite n raport cu dou variabile rezultatul nu este influenat de ordinea derivrii:

    Fig.13.4

    R

  • 244

    y

    U

    xx

    U

    yyx

    U2 (13.21)

    n consecin, ntre proieciile pe axe ale unei fore conservative exist relaiile:

    z

    F

    x

    F

    y

    F

    z

    F

    x

    F

    y

    F xzzyyx

    (13.22)

    Lucrul mecanic elementar al unei fore conservative este:

    dUdzz

    Udy

    y

    Udx

    x

    UdzFdyFdxFdL zyx

    (13.23)

    respectiv este egal cu difereniala total a funciei U. La trecerea dintr-o poziie A ntr-o poziie B se integreaz distinct cei doi termeni, reamintind c funcia U este dependent de poziie n timp ce lucrul mecanic L este o mrime de proces.

    ABAB

    B

    AAB

    UULdUdL (13.24)

    Comparnd aceast relaie cu (13.18) se constat c exist egalitatea:

    VU (13.25) respectiv c funcia de for nu este altceva dect energia potenial cu semn schimbat.

    Forele conservative ntlnite n Mecanic sunt prezentate n continuare. La stabilirea expresiei funciei de for pentru fiecare caz n parte se vor utiliza integralele nedefinite, fapt care va conduce la determinarea acesteia cu aproximaie de o constant.

    a) Greutatea punctului material. Proieciile pe axele unui sistem de referin cartezian cu axa Oz vertical n sus sunt:

    mgGF0F0F zyx (13.26)

    Rezult funcia de for:

    CmgzCdzFU z (13.27)

    Considernd constanta 0C , energia potenial va fi: mgzUV (13.28)

    Lucrul mecanic efectuat de greutate la trecerea din A n B este:

    hmgzzmgUUL ABABAB )( (13.29)

    Se deduce c lucrul mecanic al unei greuti este dependent exclusiv de diferena de nivel dintre cele dou poziii, indiferent de drumul pe care se face deplasarea. n relaia de mai sus semnul + se va lua la coborre iar la urcare.

    b) Fora elastic. Arcul din fig.

    13.6 are n stare liber lungimea 0l ; n

    aceast stare el nu exercit nici-o for asupra punctului material de care este legat. Alungit sau comprimat cu o

    cantitate lx , el va aplica acestuia o

    Fig.13.5

    Fig.13.6

    A

    B

    z

    y

    x

    O

    (m)

    k

    x

    O

  • 245

    for elastic proporional cu deformaia, factorul de proporionalitate fiind constanta arcului k; direcia forei este coliniar cu axa arcului iar sensul ndreptat ctre poziia de echilibru O. Fr a reduce din generalitate, se alege un sistem de coordonate cu axa Ox suprapus axei arcului:

    0F0FkxFF zyex (13.30)

    Funcia de for va fi n acest caz:

    Ckx2

    1CdxkxCdxFU 2x (13.31)

    Considernd constanta 0C , rezult energia potenial:

    lF2

    1xkx

    2

    1kx

    2

    1UV e

    2 (13.32)

    ntre dou poziii A i B pe direcia arcului, lucrul mecanic este:

    )(2A

    2BABAB xxk

    2

    1UUL (13.33)

    c)Fora de atracie universal. Dou mase M i m situate la distana r (fig.13.7) se atrag reciproc printr-o for:

    2r

    MmfF (13.34)

    n care f este constanta atraciei universale. Alegnd un sistem de referin cartezian cu originea n centrul masei M, fora aplicat masei m va fi:

    rr

    Mmfu

    r

    MmfF

    3r2 (13.35)

    n care r

    r

    r

    rur este versorul vectorului de poziie al masei m.

    Proieciile acestei fore pe axe vor depinde de coordonatele masei m:

    23222z23222y23222x zyx

    zfMmF

    zyx

    yfMmF

    zyx

    xfMmF

    )()()(

    (13.36) n baza relaiei (13.23) se calculeaz funcia de for:

    Cr

    fMmC

    zyx

    fMmCdzFdyFdxFCdUU

    21222zyx

    )()(

    (13.37)

    Lund constanta de integrare 0C se gsete pentru energia potenial forma:

    r

    MmfUV (13.38)

    ntre dou poziii A i B lucrul mecanic este:

    ABABAB

    r

    1

    r

    1MmfUUL (13.39)

    Fig.13.7

    (m)

    z

    y

    x (M)

    r

  • 246

    13.1.4 Teoremele generale ale Dinamicii n cazul punctului material

    a) Teorema impulsului. Se deriveaz n raport cu timpul impulsul definit de relaia (13.4):

    Famdt

    vdm

    dt

    vmd

    dt

    Hd

    )( (13.40)

    Sub forma concentrat:

    FH (13.41) aceast relaie permite enunarea teoremei impulsului derivata n raport cu timpul a impulsului unui punct material este egal cu rezultanta forelor aplicate acestuia. Cu alte cuvinte, aciunea forelor determin o variaie a cantitii de micare a punctului material. Teorema impulsului este echivalent legii funda-mentale a Dinamicii (13.1). La nivelul proieciilor relaia de mai sus ia forma:

    zzzyyyxxx FmaHFmaHFmaH (13.42)

    Dac punctul material se afl n micare dar asupra lui nu acioneaz nicio for (sau rezultanta forelor este nul), atunci:

    CvmH0dt

    Hd (13.43)

    unde C este o constant vectorial. Se spune c n acest caz impulsul se conserv, respectiv c punctul material rmne cu aceeai cantitate de micare. Viteza punctului va fi constant i el i va continua deplasarea rectilinie i uniform (principiul ineriei). Conservarea impulsului poate avea loc i numai dup o direcie. Dac, de exemplu:

    .constmvH0F xxx (13.44)

    atunci viteza xv pe aceast direcie rmne constant.

    b) Teorema momentului cinetic. Demonstraia urmeaz aceeai cale:

    )()( FMFrHrHrHrdt

    d

    dt

    KdO

    O (13.45)

    deoarece vr este coliniar cu H , produsul lor vectorial fiind nul; FH conform teoremei impulsului. Din forma concentrat:

    OO MK

    (13.46)

    se enun teorema momentului cinetic derivata n raport cu timpul a momentului cinetic al unui punct material fa de un punct oarecare O, este egal cu momentul rezultantei forelor aplicate lui, n raport cu acelai punct O. Altfel spus, momentul unei fore aplicat unui punct material va determina variaia momentului cinetic al acestuia. n coordonate carteziene:

    kMjMiMM zyxO (13.47)

    astfel c relaia (13.46) se mai poate scrie la nivelul proieciilor:

    zzyyxx MKMKMK (13.48)

  • 247

    Dac momentul 0MO , situaie n care 0F sau punctul O se afl pe

    direcia forei (cazul, de exemplu, al unei fore centrale), atunci:

    CvmrK0dt

    KdO

    O (13.49)

    unde C este o constant vectorial. Momentul cinetic al punctului se conserv

    iar micarea efectiv depinde de relaia dintre r i v . Dac momentul forei n

    raport cu o ax este nul, se conserv momentul cinetic fa de axa respectiv.

    .)( constvzvymK0M yzxx (13.50)

    c) Teorema energiei cinetice. Energia cinetic se poate pune sub forma:

    )( vvm2

    1mv

    2

    1E 2 (13.51)

    Se difereniaz aceast relaie innd cont de proprietile produsului scalar:

    dLrdFrdamdt

    vddtvmvdvm2

    2

    1dE

    )()()( (13.52)

    Relaia obinut, respectiv: dLdE (13.53) se integreaz ntre dou poziii finite A i B, innd cont c energia cinetic este o mrime de stare n timp ce lucrul mecanic este o mrime de proces:

    ABABAB

    B

    ALEEdLdE (13.54)

    Teorema energiei cinetice, sub forma diferenial sau finit, precizeaz c variaia energiei cinetice a unui punct material la trecerea dintr-o poziie n alta este egal cu lucrul mecanic efectuat de forele aplicate punctului pe durata acestei treceri.

    Dac un punct material este acionat numai de fore conservative, combinnd relaiile (13.23) i (13.53) se obine: .)( constUE0UEddUdE (13.55)

    tiind c UV , se definete energia mecanic:

    .constVEUEEm (13.56)

    ca suma dintre energia cinetic i cea potenial a punctului material. Relaia de mai sus pune n eviden c energia mecanic a unui punct material acionat numai de fore conservative este invariabil. n timpul micrii cele dou forme de energie se transform una n cealalt, suma lor rmnnd constant.

    13.2 Dinamica punctului material liber

    13.2.1 Ecuaiile generale de micare n diferite sisteme de coordonate

    Ecuaia fundamental a Dinamicii, pus sub forma:

    ),,( trrFrm (13.57)

    poate fi proiectat pe axele diferitelor sisteme de coordonate cunoscute.

  • 248

    Se obin astfel sisteme de ecuaii difereniale scalare prin integrarea crora se determin legea de micare. Find ecuaii difereniale de ordinul II, dubla integrare introduce cte dou constante de integrare pentru fiecare ecuaie. Valorile acestor constante se determin de regul din condiiile iniiale ale

    micrii, respectiv la 00 vvrr0t ,, .

    a) n coordonate carteziene ecuaiile difereniale sunt:

    zyx FzmFymFxm (13.58)

    Printr-o prim integrare rezult legea vitezei:

    )()()( tzvtyvtxv zyx (13.59)

    iar printr-o a doua integrare legea spaiului )()()( tzztyytxx (13.60)

    Cele 6 constante de integrare se calculeaz din condiiile iniiale:

    z0zy0yx0x

    000

    vvvvvv

    zzyyxx0t

    ,,

    ,, (13.61)

    Dac micarea are loc ntr-un plan, atunci numrul ecuaiilor difereniale se reduce la 2 iar cel al constantelor de integrare i al condiiilor iniiale la 4.

    b) n coordonate polare ecuaiile difereniale sunt:

    Fr2rmmaFrrmma r2

    r )()( (13.62)

    Se reamintete c acest sistem de coordonate este specific micrilor plane. Pentru micri n spaiu se utilizeaz coordonatele cilindrice, la ecuaiile de mai sus adugndu-se ultima ecuaie (13.58). Prin integrare se obine legea vitezei:

    )()( tvrvtvrv rr (13.63)

    i legea spaiului: )()( ttrr (13.64)

    Condiiile iniiale care se pun pentru determinarea constantelor de integrare sunt:

    00

    0r0r

    0

    0

    rvv

    rvvrr0t

    )(

    )(

    (13.65)

    b) n coordonate intrinseci (triedrul Frenet) ecuaiile difereniale sunt:

    F0maFs

    mmaFsmma2

    (13.66)

    Legea vitezei i legea spaiului au forma:

    )()( tsstvsvv (13.67)

    Condiiile iniiale ale micrii sunt:

    00

    0

    svv

    ss0t

    )( (13.68)

  • 249

    13.2.2 Integrarea numeric a ecuaiilor de micare

    n mediile de programare pe calculator cu destinaie matematic exist rutine specializate pentru integrarea sistemelor de ecuaii difereniale. Marea majoritate a acestora au la baz metoda Runge-Kutta de ordinul IV. Fr a intra n aspectele matematice specifice, se precizeaz c prin algoritmul metodei se rezolv numeric orice sistem de ecuaii difereniale de ordinul I. Ecuaiile difereniale de ordin superior pot fi prelucrate i, prin introducerea unor ecuaii intermediare, pot fi transformate n astfel de sisteme.

    Dat fiind simplitatea programrii precum i facilitile grafice oferite, n aplicaiile care urmeaz se va utiliza mediul de programare MATLAB orientat pe operaiuni cu matrici.

    Se consider un sistem de n ecuaii difereniale de ordinul I:

    ),,,(

    ),,,(

    ),,,(

    n1nn

    n122

    n111

    yytfy

    yytfy

    yytfy

    (13.69)

    Se alctuiete un vector linie y al variabilelor sistemului i un vector coloan

    dery al derivatelor, respectiv al funciilor din membrul drept al acestui sistem:

    n21 yyy y (13.70)

    ),(

    ),(

    ),(

    y

    y

    y

    dery

    tf

    tf

    tf

    y

    y

    y

    n

    2

    1

    n

    2

    1

    (13.71)

    Variabila independent t n raport cu care sunt definite derivatele (n majoritatea aplicaiilor din Dinamic aceasta este timpul) va cpta n timpul integrrii un ir

    de valori discrete, cuprinse ntre extremele mint i maxt , valori care vor fi depuse

    ntr-un vector coloan t. Operaiunea de integrare numeric este apelat n

    programul general printr-o instruciune avnd forma : ),,'('],[ y0timpyt func45ode (13.72)

    n aceast instruciune ode45 este denumirea funciei din biblioteca MATLAB care va face integrarea. Argumentele acestei funcii au urmtoarea semnificaie:

    func este denumirea atribuit unei file separate (de forma func.m) de tip funcie n care se vor calcula valorile derivatelor pe baza expresiilor din (13.71); Aceast fil va fi apelat de ode45 pentru fiecare pas de integrare. Prima linie a filei func.m va fi de forma:

    ),( ytdery funcfunction (13.73)

    n care argumentele de intrare i ieire au semnificaiile indicate mai sus.

    Simbolizarea matricilor i vectorilor se va face n textul de fa prin caractere bold. Se prezint forma cea mai simpl a acestei instruciuni.

  • 250

    timp =[tmin, tmax] este un vector linie care conine limitele intervalului de integrare; numrul m de valori n acest interval se stabilete automat de ctre program n funcie de anumii parametri de acuratee implicii;

    y0 este un vector linie care conine valorile iniiale, respectiv la mint , ale

    variabilelor din y.

    La terminarea integrrii se obine vectorul t, care conine toate cele m valori pe care la ia variabila independent n intervalul dat, i o matrice y[m,n] cu valorile corespondente ale soluiilor sistemului. Se observ c aceast matrice este o extindere pe coloane a vectorului linie iniial y din (13.70). Este evident c denumirile atribuite variabilelor din program sau filei func.m pot fi diferite de

    cele expuse mai sus, fiind necesar ns respectarea sintaxei i a tipului vectorilor menionai.

    13.2.3 Micarea punctului material greu n vid

    Se consider un punct material de mas

    m aruncat cu o vitez iniial 0v sub un unghi

    fa de orizontal ntr-un mediu care nu opune nicio rezisten la deplasarea acestuia, cum ar fi, de exemplu, vidul. Se alege un

    sistem de referin cartezian cu originea n punctul de lansare, avnd axele dispuse n

    modul artat n fig.13.8. Singura for care acioneaz asupra punctului pe traiectorie este greutatea proprie, astfel c se pot scrie urmtoarele ecuaii difereniale ale micrii:

    0z

    gy

    0x

    0zm

    mgGym

    0xm

    (13.74)

    Se integreaz succesiv aceste ecuaii n raport cu timpul:

    63

    522

    41

    3z

    2y

    1x

    CtCz

    CtCgt2

    1y

    CtCx

    Czv

    Cgtyv

    Cxv

    (13.75)

    Condiiile iniiale, respectiv poziia i viteza n punctul de lansare, sunt:

    0z

    0y

    0x

    0v

    vv

    vv

    0t

    0

    0

    0

    0z

    00y

    00x

    )(

    sin)(

    cos)(

    (13.76)

    Se nlocuiesc aceste condiii n relaiile (13.75) i rezult constantele de integrare:

    0CCCCvC

    vC6543

    02

    01

    sin

    cos (13.77)

    Fig.13.8

    O

    (m)

    z

    y

    x

    G

  • 251

    Se introduc aceste valori n relaiile (13.75) i rezult legea de micare a punctului pe traiectorie:

    0v

    vgtv

    vv

    z

    0y

    0x

    sin

    cos

    (13.78)

    0z

    tvgt2

    1y

    tvx

    02

    0

    sin

    cos

    (13.79)

    Se observ c traiectoria punctului material este coninut n planul vertical xOy; ecuaia analitic a acesteia se obine eliminnd timpul ntre ecuaiile (13.79):

    tgcoscos

    sincos

    xx

    v2

    g

    v

    xv

    v

    xg

    2

    1y 2

    2200

    0

    2

    0

    (13.80)

    Sub forma bxaxy2 se

    recunoate ecuaia unei parabole cu axa de simetrie vertical, trecnd prin punctul O (fig.13.9). Deoarece coeficientul 0a , concavitatea parabolei este n jos. n punctul A, n care se atinge nlimea maxim, tangenta la traiectorie este orizontal; viteza, care are ntotdeauna direcia tangentei, nu va avea proiecie pe direcia vertical.

    g

    vt0vgtv 0A0AAy

    sinsin (13.81)

    Rezult n continuare coordonatele punctului A:

    2g2

    vtxx

    20

    AA sin)( (13.82) 2

    20

    AmaxAg2

    vtyyy sin)( (13.83)

    i viteza:

    cos0AxA vvv (13.84)

    Distana maxxOB poart numele de btaie i se determin punnd condiia

    0y :

    g

    v2t

    0t

    0tvgt2

    10

    B

    O

    02

    sinsin (13.85)

    Se observ c AB t2t fapt care arat c urcarea i coborrea pe traiectorie au

    aceeai durat.

    2g

    vtxxx

    20

    BmaxB sin)( (13.86)

    Se observ deasemenea c AB x2x , confirmndu-se simetria parabolei. Pentru

    viteza n punctul B se fac calculele:

    Fig.13.9

    O

    y

    A

    x

    B

  • 252

    )||||(tgtgsin)(

    cos

    Bx

    By

    02By

    2BxB

    0ByBy

    0Bx

    v

    v

    vvvv

    vtvv

    vv (13.87)

    Viteza de impact este egal cu viteza iniial i unghiul de inciden este egal cu unghiul de lansare. Pentru cazul particular n care lansarea se face pe verticala

    punctului O se va lua 2 ; se gsesc urmtoarele rezultate mai importante:

    0B0

    B0

    A

    20

    max vvg

    v2t

    g

    vt

    g2

    vy (13.88)

    13.2.4 Micarea punctului material greu n mediu rezistent

    Asupra unui punct material greu lansat n condiiile aplicaiei precedente dar ntr-un mediu rezistent, de exemplu n aer, pe lng greutatea proprie acioneaz i o for proporional cu viteza, n sens contrar acesteia:

    )( jyixkmvkmR

    jmgG

    (13.89)

    n care k este o constant de proporionalitate avnd dimensiunea ][ 1s . Micarea

    va avea loc numai n planul xOy, astfel c ecuaiile difereniale vor fi:

    )(

    )(

    2

    1

    gyky

    0xkx

    mgykmym

    xkmxm

    (13.90)

    Cele dou ecuaii difereniale, independente ntre ele, se integrareaz separat. Ecuaia (1) este o ecuaie diferenial omogen de ordinul II cu coeficieni

    constani. Pentru integrare se alege o soluie de forma:

    rt2rtrt eCrxCrex0Cex (13.91)

    Se fac nlocuirile n (1) i se gsesc rdcinile ecuaiei caracteristice:

    kr

    0r0krr0krrCe

    2

    12rt )()( (13.92)

    Cu observaia c 1e0 , soluia ecuaiei (1) este:

    kt21tr

    2tr

    1 eCCeCeCx21 (13.93)

    n care 1C i 2C sunt constante de integrare.

    Ecuaia (2), avnd n partea dreapt un termen liber diferit de 0, este o ecuaie diferenial neomogen de ordinul II cu coeficieni constani. Soluia este:

    pom yyy (13.94)

    n care omy este soluia ecuaiei omogene; la aceasta se adaug o soluie

    particular py care trebuie s verifice integral ecuaia neomogen.

    Fig.13.10

    x O

    y

    (m)

  • 253

    Ecuaia omogen are aceeai form cu (1) astfel c soluia va fi:

    kt

    43om eCCy (13.95)

    Soluia particular trebuie s fie de aceeai form cu termenul liber. Fr a intra n detalii teoretice, se alege pentru aceasta un polinom de variabila t, avnd gradul cu o unitate mai mic dect ordinul ecuaiei difereniale:

    0yaybaty ppp (13.96)

    Coeficienii acestuia se determin prin identificare:

    0bk

    gagkagyky pp (13.97)

    Soluia particular va avea n consecin forma:

    tk

    gy p (13.98)

    Soluiile sistemului de ecuaii difereniale (13.90) vor fi:

    k

    gkeCy

    keCx

    tk

    geCCy

    eCCx

    kt4

    kt2

    kt43

    kt21

    (13.99)

    Cele 4 constante de integrare se determin punnd condiiile iniiale:

    sin)(

    cos)(

    00y

    00x

    vyv

    vxv

    0y

    0x0t

    (13.100)

    Efectund calculele rezult:

    2

    043

    021

    k

    g

    k

    vCC

    k

    vCC sincos (13.101)

    Se nlocuiesc aceste constante n (13.99) i se gsete legea de micare:

    tk

    ge1

    k

    gv

    k

    1y

    e1k

    vx

    kt0

    kt0

    )(sin

    cos)(

    (13.102)

    k

    ge

    k

    gvyv

    evxv

    kt0y

    kt0x

    sin

    cos

    (13.103)

    Pentru stabilirea ecuaiei analitice a traiectoriei se elimin timpul t ntre ecuaiile parametrice (13.102). Se fac urmtoarele explicitri:

    1x

    v

    k

    k

    1t

    v

    kxe1

    00

    kt

    cosln

    cos (13.104)

    i se obine:

    x

    v

    k1

    k

    gx

    kv

    gy

    02

    0

    cosln

    costg (13.105)

  • 254

    Se observ c traiectoria admite o asimptot vertical (fig.13.11) pentru:

    cosk

    vx 0C (13.106)

    valoare care anuleaz argu-mentul funciei logaritmice

    )(ln 0 . Pentru nli-

    mea maxim se pune

    condiia 0tvv AyAy )( ;

    se determin:

    1

    g

    kv

    k

    1t 0A sinln (13.107)

    Se face nlocuirea n (13.102) i se obine:

    1

    g

    kv

    k

    g

    k

    vyy 0

    20

    A sinlnsinmax (13.108)

    Extragerea timpului Bt din ecuaia 0tyy BB )( nu este posibil, astfel

    nct nu se poate stabili o relaie analitic explicit pentru distana maxxxB i

    pentru viteza Bv . Problema se poate rezolva pe cale numeric n condiiile

    cunoaterii valorile parametrilor kv0 ,, . Se dau valori succesive variabilei t,

    pornind de exemplu de la At , i se determin prin interpolare valoarea lui t

    pentru care funcia )(tyy schimb semnul. Cu valoarea astfel obinut se

    calculeaz apoi maxx i Bv . Se pot face totui unele observaii comparnd

    micarea punctului material greu n mediu rezistent i n vid (cele dou traiectorii au fost reprezentate n fig.13.11). Astfel, n mediul rezistent:

    timpul de urcare i cel de coborre sunt mai mici; nlimea maxim este mai redus, btaia este mai scurt;

    viteza de impact Bv este mai redus;

    unghiul de inciden este mai mare. Pentru aruncarea pe vertical a unui punct material greu n mediu rezistent

    se introduce n legea de micare 2 i se gsesc relaiile:

    tk

    ge1

    k

    gv

    k

    1y kt0

    )( (13.109)

    k

    ge

    k

    gvyv kt0

    (13.110)

    1

    g

    kv

    k

    1t 0A ln (13.111)

    1

    g

    kv

    k

    g

    k

    vyy 0

    20

    A lnmax (13.112)

    Fig.13.11

    O

    A

    y

    x

    B

    C

    asimptota

  • 255

    Problema 13.1 S se compare traiectoriile descrise de un punct aruncat n aceleai condiii iniiale ntr-un mediu rezistent i n vid.

    Date numerice: 1

    000 s050k45sm60v0y0x ,,,/,,

    Rezolvare: Ecuaiile sistemului (13.90), stabilite pentru micarea n mediu rezistent, se dispun sub forma:

    gyky

    xkx

    (13.113)

    Pentru micarea n vid vor fi utilizate aceleai ecuaii n care se va lua 0k , astfel c se vor efectua dou operaiuni de integrare.

    Variabila independent este timpul. Intervalul ( mint , maxt ) se stabilete prin

    ncercri pentru a acoperi ntreaga traiectorie. Cele dou ecuaii difereniale de ordinul II pot fi prelucrate rezultnd un

    sistem de patru ecuaii difereniale de ordinul I. Se alctuiete un vector z cu variabilele acestui sistem i vectorul dery al derivatelor acestora. Pentru claritatea expunerii vectorii linie z i z0 se transpun sub form de coloan.

    y

    x

    y

    x

    z

    z

    z

    z

    4

    3

    2

    1

    z (13.114)

    gyk

    xk

    y

    x

    y

    x

    y

    x

    dery (13.115)

    Condiiile iniiale sunt cele date de relaiile (13.100):

    sin

    cos

    0

    0

    y0

    x0

    0

    0

    v

    v

    0

    0

    v

    v

    y

    x

    z0 (13.116)

    Dup efectuarea fiecrei integrri se extrag din matricea z coloanele 1 i 2 care se depun n vectorii coloan xrez, yrez i respectiv xvid, yvid; acetia vor servi apoi la trasarea traiectoriilor cu ajutorul funciilor grafice MATLAB. Pentru comparaie, cele dou traiectorii vor fi reprezentate n cadrul aceleiai diagrame (fig.13.12).

    Programul general este coninut n fila P13_1.m iar funciile de evaluare a derivatelor sunt incluse n fila rezvid.m.

    P13_1.m

    % TRAIECTORIA PUNCTULUI MATERIAL

    % IN MEDIU REZISTENT SI IN VID clear; close all; global G K

    % DATE NUMERICE G=9.80665; K=0.05; v0=60;

    alfa=pi/4; % INTERVALUL DE INTEGRARE tmin=0; tmax=10;

    timp=[tmin, tmax];

    % CONDITIILE INITIALE

    x0=0; y0=0; v0x=v0*cos(alfa); v0y=v0*sin(alfa);

    z0=[x0, y0, v0x, v0y]; % INTEGRAREA PENTRU AER [t,z]=ode45('rezvid',timp,z0);

    xrez=z(:,1); yrez=z(:,2); clear z;

  • 256

    % INTEGRAREA PENTRU VID

    K=0; [t,z]=ode45('rezvid',timp,z0); xvid=z(:,1);

    yvid=z(:,2); % DIAGRAME plot(xvid,yvid,'-k',xaer,yaer,'-k');

    grid; axis equal; title('TRAIECTORII PUNCT ARUNCAT');

    aervid.m

    function dery=rezvid(t,z) global G K xp=z(3);

    yp=z(4); xpp=-K*xp; ypp=-K*yp-G;

    dery=[xp; yp; xpp; ypp];

    Fig.13.12

    13.2.5 Micarea punctului material acionat de o for central. Cazul general.

    Se consider un punct material de mas m

    acionat de o for F al crei suport trece printr-un punct fix O, numit for central (fig.13.13). Se aplic acestui punct material teorema momentului cinetic:

    0FrFMK OO (13.117) Rezult c tot timpul micrii momentul cinetic al punctului se conserv:

    rvmrCKO (13.118)

    unde C este o constant vectorial de forma:

    kCjCiCC 321 (13.119)

    Fig.13.13

    x

    O y

    (m) z

    0 50 100 150 200 250 300 350 400

    -150

    -100

    -50

    0

    50

    100

    150

    TRAIECTORII PUNCT ARUNCAT

    n mediu rezistent

    n vid

  • 257

    Se nmulete relaia (13.118) scalar cu vectorul de poziie r :

    0rvmrrC (13.120) deoarece la dreapta se afl un produs mixt cu doi termeni identici. Se dezvolt produsul scalar al termenilor din partea stng:

    0zCyCxC 321 (13.121)

    S-a obinut ecuaia unui plan n coordonate carteziene, plan care trece prin punctul fix O. Rezult de aici c micarea punctului material acionat de o for central se va efectua ntr-un plan care conine centrul acesteia. Pe baza acestei demonstraii se utilizeaz n continuare sistemul de coordonate polare, specific, dup cum s-a mai artat, micrilor plane (fig.13.14).

    Pornind de la ecuaiile generale (13.62) se scriu ecuaiile difereniale ale

    micrii punctului pe direciile definite de versorii ru i u :

    )(

    )(

    )(

    )(

    20r2r

    1m

    Frr

    0r2rm

    Frrm22

    (13.122)

    Se analizeaz mai nti ecuaia (2) care se nmulete cu r:

    0rdt

    d0rr2r 22 (13.123)

    Se constat c termenul din parantez este constant:

    .constCr2 (13.124) n cap. 9.2.2, rel. 9.47, s-a definit viteza areolar drept variaia n raport cu timpul a ariei acoperite de raza vectoare OP. Fcnd legtura ntre relaii se obine:

    .constC2

    1r

    2

    1 2 (13.125)

    Se deduce de aici c sub aciunea unei fore centrale punctul material se deplaseaz cu vitez areolar constant, respectiv c raza vectoare OP "mtur" arii egale n intervale de timp egale. Pe traiectoria din fig.13.15 arcele AB i CD, sunt parcurse n acelai interval de timp, ariile corespondente fiind egale. Lungimile arcelor i vitezele de parcurgere vor fi ns diferite. Constanta C din relaia (13.124) poart numele de constanta ariilor.

    Ecuaia diferenial (1) reprezint o relaie ntre )(trr i )(t .

    Identificarea traiectoriei n coordonate polare presupune gsirea unei relaii de forma )(rr n care s nu mai intervin variabila t. n acest scop ea va fi

    eliminat direct din ecuaia (1). Se extrage din (13.124) i se nlocuiete n (1):

    2r

    C (13.126)

    m

    F

    r

    Cr

    3

    2

    (13.127)

    Fig.13.14

    Fig.13.15

    D

    C B

    A

    O

    O

    (m)

    P

  • 258

    Se prelucreaz n continuare derivatele coordonatei polare r:

    r

    1

    d

    dC

    r

    1d

    d

    C

    r

    dr

    d

    C

    r

    C

    d

    dr

    d

    dr

    dt

    d

    d

    dr

    dt

    drr

    22

    (13.128)

    r

    1

    d

    d

    r

    C

    r

    1

    d

    dC

    d

    d

    r

    C

    dt

    d

    d

    rdr

    dt

    dr

    2

    2

    2

    2

    2

    (13.129)

    Se face nlocuirea n (13.127) i se ordoneaz relaia:

    m

    F

    r

    C

    r

    1

    d

    d

    r

    C3

    2

    2

    2

    2

    2

    (13.130)

    2

    2

    2

    2

    mC

    Fr

    r

    1

    r

    1

    d

    d

    (13.131)

    Relaia (13.131) este cunoscut n Mecanic sub denumirea de ecuaia lui Binet. Integrarea ei pentru obinerea traiectoriei se face n funcie de fora aplicat punctului material.

    Problema 13.2 Un punct material de mas

    m este lansat din poziia 0P , situat pe axa polar

    la distana 0r de polul O, cu viteza iniial 0v

    care face unghiul 0 cu aceast ax (fig.13.16).

    Asupra punctului material acioneaz permanent o for de atracie .constF S se determine traiectoria punctului.

    Date numerice :

    m10r0 , sm20v0 / , 450 ,

    kg2m , N100F

    Rezolvare: Constanta ariilor C se poate evalua pornind de la relaia de definiie (13.124):

    000002 vrvrvrrrrC sin)()(

    (13.132)

    n ecuaia lui Binet (13.131) se introduc substituiile:

    r

    1u (13.133) .const

    mC

    FA

    2 (13.134)

    Se obine ecuaia diferenial de ordinul II:

    2u

    Auu (13.135)

    n care variabila independent poate lua valori intervalul [ min , max ]. Pentru

    integrarea numeric (cap.13.1) se definesc vectorii

    u

    u

    u

    u

    2

    1u (13.136)

    2u

    Au

    u

    u

    udery (13.137)

    Din relaia (13.128) se deduce:

    C

    vu

    C

    r

    r

    1

    d

    d r

    (13.138)

    Fig.13.16

    O

    (m)

    P

    r

  • 259

    Vectorul valorilor iniiale, corespunztoare poziiei min , se iniializeaz cu

    valorile variabilelor din momentul lansrii:

    0

    0

    u

    uu0 (13.139)

    n care:

    0

    0r

    1u (13.140)

    C

    v

    C

    vu 000r0

    cos)( (13.141)

    Pentru a avea o imagine mai cuprinztoare asupra traiectoriei se dau valori

    variabilei independente ntre 0 i 4. Programul MATLAB este coninut n fila P13_2.m iar funciile derivatelor n fila forcon.m. Diagrama )(rr n

    coordonate polare este prezentat n fig.13.17. P13_2.m

    % PROBLEMA 13.2 % PUNCTUL MATERIAL ACTIONAT DE O % FORTA CONSTANTA

    clear; close all; global A; % DATE NUMERICE

    r0=10; v0=20; alfa0=pi/4; m=2; F=-100;

    % CONSTANTE C=r0*v0*sin(alfa0); A=F/(m*C*C);

    % INTERVALUL DE INTEGRARE tetamin=0; tetamax=4*pi;

    inter=[tetamin, tetamax];

    % CONDITIILE INITIALE

    u10=1/r0; u20=-v0*cos(alfa0)/C; u0=[u10, u20];

    % INTEGEAREA [teta,u]=ode45('forcon',inter,u0); % REZULTATE

    r=1./u(:,1); polar(teta,r);

    forcon.m function dery=forcon(t,z); global A;

    u=z(1); up=z(2); upp=-u-A/(u*u);

    dery=[up; upp];

    Fig.13.17

    5

    10

    15

    30

    210

    60

    240

    90

    270

    120

    300

    150

    330

    180 0

  • 260

    Problema 13.3 Un punct material de mas m este prins la extremitatea unui arc care are cealalt extremitate fixat n centrul O (fig.13.18); constanta arcului este k. Punctul este

    lansat dintr-o poziie 0P aflat pe axa polar cu

    viteza iniial 0v i sub unghiul 0 ; n poziia de

    lansare arcul este relaxat i are lungimea 0r . S

    se determine traiectoria punctului material.

    Date numerice: kg5m , m1r0 ,

    sm50v0 /, , 450 , mN50k /

    Rezolvare: Se procedeaz la fel ca n problema precedent, cu excepia definiiei forei care n acest caz este proporional cu deformaia resortului:

    )( 0e rrkF (13.142)

    Ecuaia lui Binet ia forma:

    2

    20

    2

    2

    mC

    rrrk

    r

    1

    r

    1

    d

    d )(

    (13.143)

    Se introduc substituiile:

    r

    1u (13.144) .const

    mC

    kA

    2 (13.145)

    i se obine:

    20

    3 u

    r

    u

    1Auu (13.146)

    Aceast ecuaie diferenial se prelucreaz n modul urmtor:

    u

    u

    u

    u

    2

    1u (13.147)

    20

    3 u

    r

    u

    1Au

    u

    u

    udery (13.148)

    Condiiile iniiale sunt aceleai ca n problema precedent (rel.13.139 13.141)

    iar variabila ia valori n intervalul (0, 2). Programul MATLAB este coninut n fila P13_3.m iar funciile derivatelor n fila forel.m. Diagrama )(rr n

    coordonate polare este prezentat n fig.13.19.

    P13_3.m % PROBLEMA 13.3

    % PUNCTUL MATERIAL % ACTIONAT DE O % FORTA ELASTICA

    global A R0; % DATE NUMERICE m=5; R0=1;

    v0=0.5; alfa0=pi/4; k=50; % CONSTANTE

    C=R0*v0*sin(alfa0);

    A=k/(m*C*C); % INTERVALUL DE

    INTEGRARE tetamin=0; tetamax=2*pi; inter=[tetamin, tetamax];

    % CONDITIILE INITIALE u10=1/R0; u20=-v0*cos(alfa0)/C;

    init=[u10, u20]; % INTEGEAREA [teta,u]=ode45('forel',inter,init);

    % REZULTATE r=1./u(:,1);

    polar(teta,r);

    forel.m

    function dery=forel(t,z); global A R0; u=z(1);

    up=z(2); upp=-u+A*(1/u-R0)/(u*u); dery=[up; upp];

    Fig.13.18

    O

    (m)

    P

    k

  • 261

    Fig.13.19

    13.2.6...Micarea punctului material sub aciunea forei de atracie universal.

    Se alege polul sistemului de coordonate n centrul masei atractoare M (fig.13.20) Asupra masei atrase m va aciona fora:

    2r

    MmfF (13.149)

    n care )(, 2311 skgm106646f este

    constanta atraciei universale. Se introduce aceast for n ecuaia lui Binet (13.131) i se obine ecuaia diferenial:

    22

    2

    C

    Mf

    r

    1

    r

    1

    d

    d

    (13.150)

    Pentru o integrare comod se face substituia:

    2C

    Mfuuu

    r

    1 (13.151)

    Soluia acestei ecuaii difereniale de ordinul II, neomogen, are forma general:

    pom uuu (13.152)

    Ecuaia omogen:

    0uu (13.153) se integreaz alegnd o soluie de forma:

    ekueku0eku 2 (13.154)

    Se determin rdcinile ecuaiei caracteristice:

    i0101ke 2122 , (13.155)

    Fig.13.20

    90

    180

    0.5

    1

    1.5

    3

    0

    210

    60

    240 270

    120

    300

    150

    330

    0

    O

    (m) r F

    (M)

  • 262

    i rezult forma ntia a soluiei ecuaiei omogene:

    i

    2i

    1om ekeku (13.156)

    n care 1k , 2k sunt constante de integrare complexe. Utiliznd relaiile lui Euler:

    sincossincos ieie ii (13.157)

    se obine:

    sincos 2121om kkikku (13.158) Se notez n continuare:

    21 kkA )( 21 kkiB (13.159)

    i se obine forma a doua a soluiei ecuaiei omogene:

    sincos BAuom (13.160)

    n care A i B sunt noile constante de integrare reale. Exist i o a treia form a soluiei care se gsete fcnd substituiile:

    0DA cos 0DB sin (13.161)

    n care D i 0 sunt tot constante de integrare reale:

    000om DDu cos)sinsincos(cos (13.162)

    ABBAD 022 tg (13.163)

    Soluia particular a ecuaiei difereniale este:

    .constC

    Mfu

    2p (13.164)

    Se observ c aceast soluie verific ecuaia (13.151). Pentru analiza care urmeaz sunt utile urmtoarele forme ale soluiei ecuaiei difereniale:

    2C

    fMBA

    r

    1u sincos (13.165)

    20 C

    fMD

    r

    1u cos (13.166)

    a) Recunoaterea formei traiectoriei. Relaia (13.166) se prelucreaz n modul urmtor:

    )cos(

    )cos()cos(0

    0

    2

    2

    02

    e1

    p

    Mf

    DC1

    Mf

    C

    DC

    Mf

    1r

    (13.167)

    Expresia obinut, n care s-au introdus notaiile:

    Mf

    Cp

    2

    (13.168) 22

    22

    BAMf

    C

    Mf

    DCe (13.169)

    reprezint ecuaia unei conice ntr-un sistem de coordonate polare, la care polul O coincide cu focarul conicei iar axa polar este axa ei de simetrie. Se poate enuna concluzia c sub aciunea unei fore centrale, un punct material se va nscrie pe o traiectorie plan, curba respectiv aparinnd familiei conicelor.

  • 263

    Constantele de mai sus poart denumirile: p parametrul conicei, e excentricitatea conicei. Conicele se departajeaz ntre ele prin valoarea

    excentricitii: 0e pentru cerc, 1e0 pentru elips, 1e pentru parabol i

    1e pentru hiperbol. b) Analiza micrii n funcie de condiiile iniiale. n definirea excentricitii (13.169) intr constantele de integrare A i B.

    Pentru determinarea lor se utilizeaz forma a doua a soluiei ecuaiei difereniale:

    2C

    fMBA

    r

    1 sincos (13.170)

    la care se adaug derivata ei n raport cu timpul:

    cossin BAr

    r2

    (13.171)

    Cu observaia c Cr2 , aceasta se mai poate scrie:

    cossin BAC

    r

    (13.172)

    Se consider c punctul material este lansat din poziia 0P aflat chiar pe axa

    polar (fig.13.21), astfel c se pot defini condiiile iniiale:

    000

    000r0

    vrv

    vrv

    0

    rr0t

    sin)(

    cos)(

    (13.173)

    Pe baza acestora se poate face determinarea constantei ariilor:

    0000022 vrrrrrC sin)()( (13.174)

    Se reine pentru nevoile demonstraiei i relaia:

    00

    0vr

    Csin (13.175)

    Se introduc condiiile iniiale n relaiile (13.170) i (13.172)

    20

    2

    202

    2

    20

    2

    020

    20

    00

    20

    r

    1

    C

    vB

    C

    Mf

    r

    1A

    1C

    vB

    C

    Mf

    r

    1A

    BC

    v

    C

    MfA

    r

    1

    sincos

    (13.176)

    n continuare se utilizeaz aceste constante de integrare n relaia (13.169) a excentricitii i, efectund calculele, se obine relaia final:

    0

    2022

    222

    2

    r

    fM2v

    Mf

    C1BA

    fM

    Ce (13.177)

    Se poate observa c valoarea excentricitii depinde de valoarea vitezei de

    lansare 0v . Astfel, pentru:

    Fig.13.21

    O

    (m)

    (M)

    P

    r

  • 264

    1er

    Mf2v

    00 traiectoria este o elips,

    1er

    Mf2v

    00 traiectoria este o parabol,

    1er

    Mf2v

    00 traiectoria este o hiperbol.

    Din relaia (13.177) nu se poate stabili condiia ca traiectoria s fie circular. Pentru aceasta se poate folosi direct ecuaia (13.150) de la care s-a pornit analiza, n care se introduc condiiile specifice unei micri circulare

    raza constant ( constrr 0 ) i viteza perpendicular pe raz ( 20 ):

    20

    20

    20

    200

    2

    vr

    Mf

    C

    Mf

    r

    1

    C

    Mf

    r

    1

    r

    1

    d

    d

    (13.178)

    n care s-a luat:

    00000 vrvrC sin (13.179)

    Se gsete viteza:

    0

    0r

    Mfv (13.180)

    Se observ c dac se introduce aceast valoare n relaia (13.177) se obine excentricitatea 1e , fapt explicabil prin aceea c cercul reprezint un caz particular al elipsei.

    c) Calculul vitezelor cosmice.

    n condiiile n care masa atractoare M este masa Pmntului iar masa atras m aparine unui obiect sau vehicul lansat n spaiul extraterestru, vitezele determinate mai sus poart numele de viteze cosmice. Calculul lor este uor de efectuat dac se pune n eviden faptul c la nivelul suprafeei terestre fora de atracie universal se manifest prin greutatea corpurilor:

    2

    2gRfM

    R

    Mmfmg (13.181)

    n care 2sm819g /, este acceleraia gravita-

    ional iar km6370R este raza Pmntului.

    Prima vitez cosmic, numit i viteza de satelizare i notat 1v , este

    viteza minim necesar nscrierii unui obiect lansat n spaiul extraterestru pe o traiectorie ciclic n jurul Pmntului. Corespunztor acesteia traiectoria va fi circular (fig.13.22). Considernd c lansarea se face la o nlime h deasupra Pmntului, din relaia (13.180) se deduce:

    Fig.13.22

    Fig.13.23

    h R

    parabol

    R

    cerc

    h

  • 265

    skm917gRhR

    gR

    hR

    Mf

    r

    Mfv

    2

    01 /,

    (13.182)

    n mod practic Rh i poate fi neglijat. Dac viteza de lansare este mai mic

    dect 1v atunci punctul parcurge un arc de elips revenind la suprafaa terestr.

    A doua vitez cosmic, notat 2v , este viteza minim necesar pentru ca

    mobilul s se nscrie pe o traiectorie neciclic, respectiv s nu mai revin n spaiul din proximitatea Pmntului. Aceast vitez corespunde unei traiectorii parabolice pentru care 1e (fig.13.23). Conform analizei de mai nainte:

    skm2112vr

    Mf2v 1

    02 /, (13.183)

    Prezentarea comparativ a traiectoriilor unui mobil lansat din acelai punct dar cu viteze iniiale diferite, este dat n fig.13.24.

    A treia vitez cosmic, notat 3v , se

    definete ca fiind viteza cu care ar trebui lansat un mobil direct de pe suprafaa terestr, n sensul de rotaie al Pmntului, astfel nct mobilul s se nscrie pe o traiectorie de prsire a sistemului solar. Analiza efectuat mai sus poate fi extins la nivelul sistemului solar considernd c traiectoria Pmntului n jurul Soarelui este aproximativ circular. Astfel, viteza necesar nscrierii pe o traiectorie parabolic n raport cu soarele se

    obine n mod analog vitezei 2v , pornind de aceast dat de la viteza Pmntului:

    2vv P0 (13.184) skm30T

    R2v PP /

    (13.185)

    unde km1051R8

    P , este raza traiecto-

    riei Pmntului n jurul Soarelui iar

    .sec360024365T este perioada de

    revoluie. Pe poriuni comparabile cu dimensiunea Pmntului se poate considera traiectoria rectilinie (fig.13.25).

    Deplasarea mobilului va avea loc n lungul axei polare suprapus acestei poriuni de traiectorie. Asupra lui va aciona atracia Pmntului exprimat prin fora de atracie universal, astfel c ecuaia de micare se integreaz n modul urmtor:

    Cr

    fM2rv

    r

    rfM2rr2r2

    r

    Mmfrm

    22

    22

    (13.186)

    Constanta de integrare se determin observnd c pentru r viteza relativ

    este P0 vvv . Rezult legea vitezei relative a mobilului fa de Pmnt:

    Fig.13.24

    Fig.13.25

    (m)

    F

    r R

    v

    (M)

  • 266

    2P0 vvr

    fM2v )( (13.187)

    n punctul de lansare 3vv , Rr , 2gRfM i rezult:

    skm616vvgR2v 2P03 /,)( (13.188)

    13.3 Dinamica punctului material supus la legturi

    13.3.1 Ecuaiile micrii

    Axioma legturilor, enunat n Static pentru punctul material, stipuleaz c orice legtur poate fi suprimat i nlocuit prin fore corespunztoare, acesta putnd fi tratat n continuare ca i cum ar fi liber. n aceast situaie, pe lng forele exterioare date, asupra punctului material vor aciona i forele de legtur (reaciunile). Teoremele generale demonstrate n cap.13.1.4 se completeaz dup cum urmeaz:

    legFFH

    (13.189)

    )()( legOOO FMFMK

    (13.190)

    legdLdLdE (13.191)

    Ecuaiile scalare care se obin prin utilizarea diferitelor sisteme de coordonate vor avea ca necunoscute, pe lng legea de micare, i reaciunile din partea legturilor. Dac legturile sunt cu frecare, la ecuaiile scalare menionate se adaug i relaia de definiie a forei de frecare de alunecare*):

    NFf (13.192)

    Pentru rezolvarea problemelor de Dinamic se contureaz dou metode: metoda impulsului, bazat pe teorema impulsului i pe cea a momentului

    cinetic, care permite o rezolvare integral prin determinarea att a legii de micare ct i a reaciunilor;

    metoda energiei, bazat pe teorema energiei cinetice, care permite determinarea numai a legii de micare; completarea rezolvrii, respectiv calculul reaciunilor, se face apelnd la ecuaiile metodei impulsului.

    Se reamintesc din Static reaciunile specifice punctului material:

    punct material pe o suprafa - N dup direcia normalei la suprafa,

    fF n planul tangent la suprafa, n sens invers micrii;

    punct material pe o curb - N ntr-un plan normal la curb, fF pe

    direcia tangentei la curb, n sens invers micrii;

    punct material suspendat de un fir - tensiunea T pe direcia firului ntins.

    *) Spre deosebire de Static, n Dinamic se prefer notarea forei de frecare prin fF .

  • 267

    13.3.2 Micarea pe planul nclinat

    Un punct material de mas m este lansat pe un plan nclinat cu unghiul fa de orizontal; viteza iniial 0v face unghiul cu baza planului (fig.13.26).

    ntre punctul material i suprafaa planului nclinat exist frecare cu coeficientul

    . Se dorete stabilirea ecuaiilor difereniale ale micrii. Aparent, micarea acestui punct

    material este asemntoare cu cea dintr-un mediu rezistent (cap.13.2.4) unde s-a

    considerat c rezistena este variabil att ca mrime ct i ca direcie n funcie de vitez. n cazul de fa ns, fora de frecare este constant ca mrime, numai direcia ei este variabil odat cu cea a vitezei. Pentru vectorul forei de frecare se poate stabili relaia de definiie:

    || v

    vNFf (13.193)

    n care viteza punctului n coordonatele carteziene din fig.13.27 este:

    jyixjvivv yx (13.194) 22 yxv )()(|| (13.195)

    Pentru scrierea ecuaiilor difereniale ale micrii este suficient utilizarea teoremei impulsului:

    fFNGamH

    (13.196)

    din care se obin ecuaiile:

    cos

    sin||

    ||

    GN0

    Gv

    vNym

    v

    vNxm

    y

    x

    (13.197)

    Cu observaia c mgG aceste ecuaii devin:

    sincos

    cos

    gyx

    ygy

    yx

    xgx

    22

    22

    (13.198)

    Cele dou ecuaii difereniale de ordinul II, neomogene, sunt cuplate ntre ele. Condiiile iniiale sunt:

    sin

    cos

    0y

    0x

    vyv

    vxv

    0y

    0x0t

    (13.199)

    Integrarea acestui sistem pentru a gsi o soluie analitic este dificil.

    Fig.13.26

    Fig.13.27

    z

    y

    x

    (m)

    z y

    G

    N

    x

    y

    v

  • 268

    n cazul particular n care aruncarea se face perpendicular pe baza planului

    nclinat, 0xxx i 2 . Relaiile (13.198) se reduc la o singur

    ecuaie:

    .)||

    cos(sin consty

    ygy

    (13.200)

    care se integreaz direct:

    21

    2

    1

    CtC2

    tgy

    Ctgy

    )cos(sin

    )cos(sin

    (13.201)

    Cu condiiile iniiale 0y i 0vy se gsesc constantele de integrare 01 vC

    i 0C2 . Legea de micare ia binecunoscuta form:

    20

    0

    tg2

    1tvy

    tgvv

    )cos(sin

    )cos(sin

    (13.202)

    n care semnul + se va lua la urcare iar la coborre. Aceste relaii sunt valabile pentru studiul pe poriuni al micrii deoarece exist un punct de oprire dup care fora de frecare i schimb sensul. n cazul unei micri continue, urcare urmat de coborre, trebuie integrat ecuaia (13.200).

    Problema 13.4 S se integreze pe cale numeric ecuaiile de micare ale unui punct material pe un plan nclinat cu frecare n cazul general. Date numerice:

    0x0 , 0y0 , sm5v0 / , 30 , 60 ,

    20, , 806659g ,

    Rezolvare: Se noteaz constantele: sincos gbga (13.203)

    astfel c ecuaiile (13.198) vor lua o form simplificat:

    byx

    yay

    yx

    xax

    2222

    (13.204)

    Se transform aceste dou ecuaii difereniale cuplate de ordinul II ntr-un sistem de patru ecuaii de ordinul I care se integreaz numeric n modul descris n cap.13.2.2. Se alctuiesc vectorul soluiilor z i cel al derivatelor dery:

    y

    x

    y

    x

    z

    z

    z

    z

    4

    3

    2

    1

    z (13.205)

    byx

    ya

    yx

    xay

    x

    y

    x

    y

    x

    22

    22

    dery (13.206)

  • 269

    Vectorul z0 va conine condiiile iniiale (13.199):

    sin

    cos

    0

    0

    0

    0

    y0

    x0

    0

    0

    v

    v

    y

    x

    v

    v

    y

    x

    z0 (13.207)

    Variabila independent este timpul t care va lua valori n intervalul 02 sec. Dup efectuarea integrrii numerice se extrag din matricea z coloanele 1 i

    2 care vor conine valorile )(tx i )(ty ; cu acestea se traseaz o diagram care va

    reprezenta traiectoria punctului pe planul nclinat. Programul MATLAB este coninut n fila P13_4.m iar funciile de evaluare a derivatelor sunt incluse n fila plan.m; diagrama este prezentat n fig.13.28. P13_4.m

    % PROBLEMA 13.4

    % MISCAREA PE UN PLAN % INCLINAT CU FRECARE clear; close;

    global A B; % DATE NUMERICE v0=5;

    alfa=pi/6; beta=pi/3; miu=0.2; g=9.80665; % CONSTANTE

    A=-miu*g*cos(alfa); B=-g*sin(alfa); % INTERVALUL DE INTEGRARE

    tmin=0; tmax=2; timp=[tmin, tmax]; % CONDITIILE INITIALE

    x0=0; y0=0; v0x=v0*cos(beta); v0y=v0*sin(beta);

    z0=[x0, y0, v0x, v0y];

    % INTEGEAREA [t,z]=ode45('plan',timp,z0);

    % REZULTATE x=z(:,1); y=z(:,2);

    plot(x,y); grid; title('TRAIECTORIA PE PLANUL INCLINAT);

    plan.m function dery=plan(t,z); global A B;

    xp=z(3); yp=z(4); v=sqrt(xp*xp+yp*yp);

    xpp=A*xp/v; ypp=A*yp/v+B; dery=[xp; yp; xpp; ypp];

    0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2 TRAIECTORIA PE PLANUL INCLINAT

  • 270

    Fig.13.28

    13.3.3 Pendulul sferic

    Un punct material de mas m este suspendat la extremitatea

    unui fir de lungime l avnd cealalt extremitate n punctul fix O. Dac firul rmne permanent ntins, traiectoriile descrise de punct sunt

    coninute pe suprafaa unei sfere cu centrul n O i raza egal cu lungimea firului. Pentru poziio-narea pendulului, sistemul de axe

    cartezian se dispune n modul artat n fig.13.29.

    Micarea pendulului pe sfer poate fi studiat mai comod dac prin punctul P se duc dou plane

    mobile perpendiculare unul pe cellalt un plan meridian vertical care face

    unghiul cu planul fix xOz i un plan orizontal. n planul vertical firul pendulului face unghiul cu axa Oz. Unghiurile i sunt alese drept parametri poziionali independeni ai pendulului.

    Pentru stabilirea ecuaiilor difereniale ale micrii se consider adecvat raportarea parametrilor cinematici (viteza i acceleraia) precum i a forelor la

    un triedru mobil cu originea n punctul P; axa a acestuia trece prin punctul de suspendare O iar axele n i t sunt tangente la cercurile rezultate din intersectarea sferei cu cele dou plane menionate mai sus. Se observ c viteza punctului P va fi coninut n planul tangent la sfer determinat de direciile n i t.

    Pentru determinarea proieciilor vitezei i acceleraiei pe axele acestui triedru este mai comod s se calculeze mai nti expresiile lor n coordonate cilindrice (cap.9.2.3) notate n acest caz zr ,, , n care:

    cossin lOMzlMPONr (13.208)

    n aceste coordonate vitezele sunt:

    sin

    sin

    cos

    lzv

    lrv

    lrv

    z

    r

    (13.209)

    n fig.13.30 aceste viteze sunt reprezentate n sensurile lor pozitive. Pornind de la aceeste

    relaii se determin proieciile pe

    Fig.13.29

    a) b)

    Fig.13.30

    O

    (m)

    l

    z

    y

    x

    P

    M

    N

    t

    n

    x

    y

    P

    O M

    O

    z

    N

    M

    P

    t

    r

    l

    n

  • 271

    axele locale tn,, :

    rlvv

    lvvv

    0vvv

    n

    rzt

    rz

    sin

    cossin

    sincos

    (13.210)

    n coordonatele cilindrice zr ,,

    acceleraiile au expresiile :

    sincos

    cos

    sin

    sincos

    sin

    llza

    l2

    lr2ra

    ll

    lrra

    2z

    2

    22r

    (13.211)

    n fig.13.31 aceste viteze sunt reprezentate n sensurile lor pozitive. n coordonatele locale tn,, proieciile acceleraiei sunt:

    cossin

    cossincossin

    sinsincos

    l2laa

    llaaa

    llaaa

    n

    2rzt

    222rz

    (13.212)

    a) Micarea pendulului sferic n mediu nerezistent

    Forele aplicate pendulului sunt greutatea G i tensiunea din fir T (fig.13.29). Ambele fore sunt coplanare cu axa Oz i momentele lor fa de aceasta sunt nule. Drept urmare, momentul cinetic al pendulului fa de aceast ax se conserv:

    .constK0MK zzz (13.213)

    Se reamintete c, prin definiie, momentul cinetic reprezint momentul vectorului impuls fa de un punct sau fa de o ax. Impulsul masei m va fi:

    ntnt HHvmvmvmH (13.214)

    Componenta tt vmH este coplanar cu axa Oz i nu va da moment fa de

    aceasta. n consecin:

    .)( constmCrmmvrK2

    nz (13.215)

    Cu notaia specific aplicaiei se poate recunoate prin analogie n expresia:

    .constrC2 (13.216)

    constanta ariilor definit n cap.13.2.5. Se poate deduce c proiecia n planul orizontal Oxy a pendulul sferic se rotete cu vitez areolar constant.

    Valoarea constantei ariilor se poate deduce din condiiile iniale, respectiv din momentul lansrii pendulului sferic:

    a) b)

    Fig.13.31

    x

    y

    P

    O M

    O

    z

    N

    M

    P

    t

    r

    l

    n

  • 272

    00n0 lvrrC sin)()( (13.217)

    Din relaia (13.216) se pot pune n eviden derivatele n raport cu timpul

    ale unghiului care vor depinde att de constanta C ct i de unghiul :

    222 l

    C

    r

    C

    sin (13.218)

    32l

    C2

    sin

    cos (13.219)

    S-a obinut astfel prima ecuaie diferenial a micrii pendulului sferic. Pentru a obine a doua ecuaie este mai simplu s se apeleaze n cazul de

    fa la metoda energiei, bazat pe teorema energiei cinetice sub forma:

    dt

    dL

    dt

    dEdLdE (13.220)

    n aceast relaie energia cinetic ntr-o poziie oarecare este:

    ])sin()[()(222

    n2t

    2 llm2

    1vvm

    2

    1mv

    2

    1E (13.221)

    Se nlocuiete cu (13.218) i se deriveaz expresia obinut n raport cu

    timpul:

    34

    22

    l

    Cml

    dt

    dE

    sin

    cos (13.222)

    Dintre cele dou fore aplicate pendulului, numai greutatea d lucru mecanic deoarece deplasarea dup direcia tensiunii este nul dac firul este ntins. Lucrul mecanic elementar al greutii, innd cont i de sensul axei Oz, este: dmglldmgdzmgdL sin)cos( (13.223)

    Se obine pentru derivata n raport cu timpul a lucrului mecanic expresia:

    sinmgldt

    dL (13.224)

    Se fac nlocuirile n (13.220) i se obine cea de a doua ecuaie diferenial a micrii pendulului sferic:

    sin

    sin

    cos

    l

    g

    l

    C34

    2

    (13.225)

    Integrarea sistemului format din ecuaiile difereniale de ordinul II (13.219) i (13.225) n vederea gsirii soluiilor )(t i )(t este posibil numai pe

    cale numeric. Se poate observa c n ambele ecuaii difereniale nu intervine masa m a pendulului i deci nu influeneaz micarea acestuia.

    Se poate pune n eviden faptul c ecuaia (13.225) se poate integra numai

    parial pe cale analitic; astfel, dac se nmulete aceast ecuaie cu 2 , se

    obine prin integrare:

    124

    22 C

    l

    g21

    l

    C

    cos

    sin

    (13.226)

    Constanta de integrare 1C se determin punnd condiiile iniiale:

  • 273

    l

    v0t 0t000

    )()(,)( (13.227)

    innd cont i de expresia (13.217) a constantei C se obine:

    02

    20

    02

    20n

    2

    20t

    1l

    g2

    l

    v

    l

    g2

    l

    v

    l

    vC coscos

    )()( (13.228)

    n care 0v este viteza iniial a pendulului. nlocuind n (13.226) se determin:

    )coscos(sin

    024

    2

    2

    20

    l

    g21

    l

    C

    l

    v

    (13.229)

    Aceast ecuaie diferenial de ordinul I nu se poate integra n continuare pe cale analitic.

    Aparent, micarea pendulului sferic s-ar putea studia prin integrarea numeric a sistemului de ecuaii difereniale de ordinul I format din ecuaiile (13.218) i (13.229). Dificultatea se datoreaz n special formei patratice a vitezei

    0v , form care altereaz condiiile iniiale. Relaia (13.229) este totui util la

    determinarea tensiunii n firul pendulului sferic. Tensiunea din firul pendulului se poate calcula proiectnd relaia specific

    metodei impulsului pe direcia firului (fig.13.31, a):

    cosmgTma (13.230)

    Se nlocuiete a cu expresia din (13.212) i rezult pentru tensiune relaia:

    cos)sin( mgmlT 222 (13.231)

    Dac n aceast relaie se nlocuiesc n continuare i cu expresiile obinute

    mai nainte se obine:

    )coscos( 0

    20 23mgl

    mvT (13.232)

    Trebuie fcut observaia c atunci cnd firul pendulului este ntins, tensiunea este pozitiv. Dac n timpul micrii ea devine negativ, se deduce c firul nu mai este ntins iar ecuaiile difereniale ale micrii, stabilite mai sus, nu mai sunt valabile; pendulul i continu micarea ca un punct material liber acio-nat numai de greutate iar parametrii cinematici din momentul n care tensiunea a devenit nul vor servi drept condiii iniiale pentru noua lege de micare.

    Fa de tratarea analitic clasic prezentat mai sus, ecuaiile difereniale ale micrii pendulului sferic pot fi obinute cu mai mult uurin prin utilizarea metodei impulsului. Se proiecteaz pe axele nt,, relaia vectorial specific:

    TGam (12.233)

    0ma

    Gma

    GTma

    n

    t

    sin

    cos

    (13.234)

    innd cont de relaiile (13.212), se obine:

  • 274

    0l2lm

    mgllm

    mgTllm

    2

    222

    )cossin(

    sin)cossin(

    cos)sin(

    (13.235)

    Din aceste relaii se expliciteaz ecuaiile difereniale ale micrii:

    sin)cos(l

    g2 (13.236)

    ctg2 (13.237)

    i relaia pentru calculul tensiunii n firul pendulului:

    cos)sin( mgmlT 222 (13.238)

    b) Micarea pendulului sferic n mediu rezistent Rezistena mediului se concreti-

    zeaz printr-o for care este proporional cu viteza de deplasare, are direcia ei i este ndreptat n sens invers acesteia. n relaia de definiie :

    vkmR (13.239)

    constanta k [ 1s ] este un factor de

    proporionalitate. La pendulul sferic viteza este coninut n planul tangent determinat de direciile t i n, astfel c proieciile ei pe axele locale nt,, (fig.13.32) vor fi:

    sin

    lkmkmvR

    kmlkmvR

    0R

    nn

    tt (13.240)

    Pentru stabilirea ecuaiilor de micare se utilizeaz metoda impulsului. Relaia vectorial:

    RTGam (13.241)

    se proiecteaz pe axele nt,, i, innd cont de relaiile (13.212), se obine:

    sin)cossin(

    sin)cossin(

    cos)sin(

    lkml2lm

    mglkmllm

    mgTllm

    2

    222

    (13.242)

    Din aceste relaii se expliciteaz ecuaiile difereniale ale micrii:

    kl

    g2 sin)cos( (13.243)

    k2 ctg (13.244)

    i relaia pentru calculul tensiunii n firul pendulului:

    Fig.13.32

    O

    (m)

    z

    y

    x

    P

    t

    n

  • 275

    cos)sin( mgmlT 222 (13.245)

    Se observ c forma relaia pentru calculul tensiunii n fir este aceeai ca i n cazul micrii n mediu nerezistent.

    Integrarea celor dou ecuaii difereniale ale micrii este posibil numai pe cale numeric.

    13.3.4 Pendulul matematic

    Pendulul matematic poate fi tratat drept un

    caz particular al pendulului sferic, n care micarea are loc ntr-un plan vertical fix. Dac n demonstraia din capitolul precedent se introduce

    .const , atunci 0 , 0vn , 0an ,

    0C i relaiile (13.225), (13.229) devin:

    sinl

    g (13.246)

    )cos(cos 02

    20

    l

    g2

    l

    v (13.247)

    S-a notat prin viteza unghiular a micrii circulare a pendulului. Relaia (13.231) pentru calculul tensiunii devine:

    cosmgmlT 2 (13.248)

    Relaia (13.232) i pstreaz forma:

    )coscos( 0

    20 23mgl

    mvT (13.249)

    cu observaia c din calculul vitezei iniiale 0v lipsete componenta nv .

    Pendulul matematic poate fi studiat ntr-un mod elegant i prin aplicarea metodei impulsului ntr-un sistem de coordonate Frenet (fig.13.33). n cazul n care micarea acestuia are loc ntr-un mediu care nu opune rezisten la deplasare, se obin cu uurin relaiile de mai sus. Coordonata intrinsec este lungimea arcului de cerc fa de poziia de echilibru a pendulului:

    lPParcs 0 ls ls (13.250)

    Centrul de curbur al traiectoriei este punctul de suspendare O iar raza de curbur este lungimea firului pendulului, respectiv l .

    Dac micarea pendulului are loc ntr-un mediu rezistent, pe lng forele

    G i T mai intervine i o for de rezisten proporional i coliniar cu viteza

    pendulului, n sens invers acesteia:

    lkmRlsvvkmR (13.251)

    n care k este o constant de proporionalitate. Se aplic metoda impulsului pe

    direciile i :

    Fig.13.33

    l

    O

    (m)

    P M

    s

  • 276

    Fs

    mmaFsmma

    (13.252)

    i rezult ecuaiile difereniale ale micrii:

    )(cos

    )(sin

    cos

    sin

    2mgmlT

    1l

    gk

    mgTml

    kmlmgml

    22

    (13.253)

    Legea de micare )(t se poate determina numai pe cale numeric

    pornind de la ecuaia diferenial a micrii (1). Spre deosebire de celelalte

    situaii analizate, n cazul de fa nu se poate explicita astfel c tensiunea din fir se va putea determina pe cale numeric cu ecuaia (2) odat cu integrarea ecuaiei de micare.

    Observaiile fcute la pendulul sferic referitor la tensiunea n fir i pstreaz valabilitatea i n cazul pendulului matematic.

    13.3.5 Micile oscilaii ale pendulului matematic

    Un caz special este cel al micilor oscilaii ale pendulului matematic n jurul

    poziiei de echilibru n care valoarea maxim a unghiului este 65max ..|| .

    Pentru aceste valori se poate face aproximaia sin (n radiani) i ecuaia diferenial a micrii va lua forma:

    0pl

    g 2 sin (13.254)

    n care s-a introdus notaia:

    lgp2 (13.255)

    Soluia acestei ecuaii difereniale omogene de ordinul II este:

    )(sin ptA (13.256) )cos( ptpA (13.257)

    Se recunoate o oscilaie armonic sinusoidal n care A este amplitudinea, este faza iniial iar p este pulsaia*). Pentru condiiile iniiale:

    l

    v0t 0000 )(,)(

    (13.258)

    se determin din relaiile de mai sus constantele de integrare:

    20

    202

    0

    2

    0

    gl

    v

    pl

    vA

    (13.259)

    gl

    vv

    pl

    0

    0

    0

    0 arctgarctg (13.260)

    *) Pulsaia s-a notat prin p pentru a se evita confuzia cu viteza unghiular a micrii circulare a pendulului; pentru micarea oscilatorie a se vedea capitolul urmtor.

  • 277

    Din analiza relaiei (13.259) se deduce c lansnd pendulul din poziia 0 fr

    vitez iniial, amplitudinea va fi 0A .

    Punnd condiia |||| maxA se gsete c pentru a avea mici oscilaii

    este necesar ca:

    )(|| 202max0 glv (13.261)

    cu condiia evident ca |||| max0 .

    Problema 13.5 S se alctuiasc un program general MATLAB pentru studiul micrii pendulului n condiiile analizei teoretice din capitolele precedente.

    Date numerice: kg1m , m1l , 00 , 600 , sm2v 0n /)( ,

    sm2v 0t /)( ; 1s180k .

    Rezolvare: Valorile iniiale ale derivatelor unghiurilor i se stabilesc pornind de la relaiile (13.210):

    0

    0n0

    l

    v

    sin

    )()( (13.262)

    l

    v 0t0

    )()( (13.263)

    Se observ c ecuaiile difereniale:

    kl

    g2 sin)cos( (13.264) k2 ctg (13.265)

    stabilite pentru pendulul sferic, pot fi utilizate i pentru pendulul matematic dac

    se impune condiia iniial 0v 0n )( , astfel ca micarea s aib loc numai ntr-un

    plan vertical. Aceleai ecuaii pot fi utilizate i pentru micarea n mediu

    nerezistent punnd condiia 0k . Pentru tensiunea n firul pendulului se utilizeaz n toate situaiile relaia:

    cos)sin( mgmlT 222 (13.266)

    Pe baza ecuaiilor de mai sus se alctuiesc vectorul soluiilor z i cel al derivatelor dery:

    4

    3

    2

    1

    z

    z

    z

    z

    z (13.267)

    k2

    klg2

    ctg

    )/cos(dery (13.268)

    innd cont de relaiile (13.262) i (13.263), vectorul condiiilor iniiale va fi:

    )sin()(

    )(

    )(

    )(

    00n

    0t

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    lv

    lv

    z0 (13.269)

  • 278

    Se observ c nu are sens perechea de condiii iniiale 00 i 0v 0n )( care

    conduce la o nedeterminare n cazul pendulului sferic. Variabila independent

    este timpul care ia valori intr-un interval ],[ maxmin tt stabilit prin ncercri.

    Dup efectuarea integrrii numerice se reprezint traiectoria pendulului proiectat n plan orizontal n coordonatele polare r i (cap.13.3.3); se reprezint i proiecia traiectoriei n planul vertical xOz. Se utilizeaz relaiile:

    coslr cosrx sinlz (13.270)

    Se reprezint de asemenea diagramele )(t i )(tTT . Pentru pendulul

    matematic se reprezint numai aceste dou diagrame. Programul MATLAB este coninut n fila P13_5.m iar funciile de

    evaluare a derivatelor sunt incluse n fila pendul.m.

    P13_5.m % PENDULUL SFERIC

    clear; close all; global K A; g=9.80665;

    % DATE NUMERICE m=1; l=1; fi0=0; teta0=60*pi/180;

    vn0=2; vt0=-2; K=0.18; % CONSTANTE A=g/l;

    % INTERVALUL DE INTEGRARE tmin=0; tmax=10; timp=[tmin, tmax];

    % CONDITIILE INITIALE tetap0=vt0/l; if teta0==0

    fip0=0; else fip0=vn0/(l*sin(teta0));

    end z0=[teta0, fi0,tetap0, fip0]; % INTEGEAREA

    [t,z]=ode45('pendul',timp,z0); % REZULTATE teta=z(:,1);

    fi=z(:,2); tetap=z(:,3); fip=z(:,4);

    n=length(t);

    for i=1:n r(i)=l*sin(teta(i));

    x(i)=r(i)*cos(fi(i)); zz(i)=-l*cos(teta(i)); T(i)=m*l*(tetap(i)^2+(fip(i)*sin(teta(i)))^2)

    +m*g*cos(teta(i)); end % GRAFICA

    if vn0~=0 figure(1); polar(-fi,r);grid; figure(2); plot(x,zz); grid;axis equal;

    figure(3); plot(t,teta*180/pi); grid; figure(4); plot(t,T);grid; else

    figure(1); plot(t,teta*180/pi);grid; figure(2); plot(t,T);grid; end

    pendul.m

    function dery=pendul(t,z);

    global K A; teta=z(1); fi=z(2);

    tetap=z(3); fip=z(4); tetapp=(fip^2*cos(teta)-A)*sin(teta)-K*tetap;

    if teta==0 fipp=0; else

    fipp=-2*fip*tetap*cot(teta)-K*fip; end

    dery=[tetap; fip; tetapp; fipp];

    a) Pendulul sferic n mediu nerezistent ),( 0k0vn

  • 279

    Observaii: micarea pendulului sferic n mediu nerezistent nu este limitat n timp; traiectoria sferic a pendulului este coninut ntre dou plane orizontale;

    cotele acestora corespund limitelor superioar i inferioar ale unghiului evideniate n fig.13.36 (pe cale analitic aceste valori s-ar putea obine punnd

    condiia 0 n rel.13.263 i cutnd soluiile ecuaiei n intervalul ,0 );

    tensiunea n firul pendulului (fig.13.37) oscileaz n antifaz cu unghiul

    , fiind maxim atunci cnd acesta este minim.

    b) Pendulul sferic n mediu rezistent ),( 0k0vn

    Fig.13.34 Fig.13.35

    Fig.13.36 Fig.13.37

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    330

    150

    300

    120

    270

    90

    240

    60

    210

    30

    180 0

    -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

    1.2

    1

    0.8

    0.6

    0.4

    0.2

    0 x

    z

    5

    10

    15

    20

    25

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t

    T

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20

    30

    40

    50

    60

    70

    80

    t

  • 280

    Observaii: micarea pendulului sferic n mediu rezistent se amortizeaz n timp; amplitudinea oscilaiei n planul vertical descrete succesiv, pendulul

    tinde asimptotic ctre poziia de echilibru vertical;

    tensiunea n firul pendulului oscileaz n antifaz cu unghiul ; amplitu-dinea tensiunii descrete succesiv, ajungnd la limit s fie egal cu greutatea mg a masei pendulului.

    c) Pendulul matematic n mediu nerezistent ),( 0k0vn

    Observaii:

    Fig.13.38 Fig.13.39

    Fig.13.40 Fig.13.41

    Fig.13.42 Fig.13.43

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    330

    150

    300

    120

    270

    90

    240

    60

    210

    30

    180 0

    -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    1

    0.8

    0.6

    0.4

    0.2

    0

    -0.2

    z

    x

    0 5 10 15 20 25 0 10 20

    30 40 50 60 70

    t

    24

    14

    22

    6

    12

    16

    20 18

    8 10

    25 20 15 10 5 0 t

    T

    0 5 10 15 -80 -60 -40 -20

    0 20 40 60 80

    t

    0 5 10 15 0

    5

    10

    15

    20

    25

    t

    T

  • 281

    micarea pendulului matematic n mediu nerezistent este o oscilaie periodic nearmonic, nelimitat n timp;

    tensiunea n fir este maxim pentru 0 , respectiv n poziia vertical a pendulului, i minim n poziiile extreme.

    c) Pendulul matematic n mediu rezistent ),( 0k0vn

    Observaii: micarea pendulului n mediu rezistent este o oscilaie nearmonic care

    se amortizeaz n timp; amplitudinea descrete asimptotic ctre poziia vertical de echilibru;

    amplitudinea tensiunii n fir scade succesiv, la limit fiind egal cu greutatea mg a masei pendulului.

    Fig.13.44 Fig.13.45 0 5 10 15 20 25 -80

    -60 -40 -20

    0 20 40 60

    t

    t

    T

    0 5 10 15 20 25 4 6 8

    10 12 14 16 18 20 22 24

  • 282

    14. DINAMICA MICRII OSCILATORII A PUNCTULUI MATERIAL

    14.1 Generaliti

    Micarea oscilatorie a punctului material se studiaz de obicei ntr-un domeniu mai larg, acela al Vibraiilor Mecanice. Se consider util introducerea acestui capitol n contextul studiului dinamic general al punctului material, ca aplicaie la stabilirea ecuaiilor difereniale ale micrii i la integrarea analitic i numeric a acestora. Se vor trata numai oscilaiile liniare cu un grad de libertate ale unei mase asimilabil unui punct material.

    Oscilatorul reprezentat n fig.14.1 este compus dintr-o mas m, un arc spiral i un amortizor. Menionm c amortizorul este un dispozitiv constituit de obicei

    dintr-un cilindru hidraulic la care fluidul poate trece de pe o parte pe

    alta a pistonului prin nite orificii practicate n acesta; rezistena opus la deplasarea pistonului n cilindru este proporional cu viteza lui.

    Pentru studiu oscilatorul a fost dispus n poziie orizontal, astfel nct greutatea proprie a elementelor componente s nu influeneze micarea. Deplasrii rectilinii a masei m i se ataeaz o ax Ox cu originea n poziia n care arcul nu este ntins sau comprimat. n cazul general, la o distan x fa de origine, asupra masei acioneaz urmtoarele fore coliniare cu deplasarea: fora

    elastic eF exercitat de arc, rezistena aF opus de amortizor, for

    perturbatoare pF avnd o variaie armonic. Definiiile acestor fore sunt:

    kxFe (14.1) xccvFa (14.2) ptFF 0p cos (14.3)

    n aceste relaii k [N/m] este constanta arcului, c [Ns/m] este constanta amortizo-

    rului, 0F [N] este amplitudinea forei perturbatoare iar p ][1s este pulsaia

    acesteia*). Teorema impulsului aplicat pe direcia Ox are forma:

    ptFxckxxmFFFma 0pae cos (14.4)

    Se mparte cu masa m i se ordoneaz termenii dup ordinul derivatelor:

    ptqxx2x2 cos (14.5)

    n care s-au introdus notaiile:

    m2

    c (14.6)

    m

    k (14.7)

    m

    Fq 0 (14.8)

    *) n cadrul acestui capitol se vor nota prin p pulsaia forei perturbatoare i prin pulsaia proprie a oscilatorului, n acord cu cele stabilite n cap.9.3.4 referitor la cinematica oscilaiilor armonice

    Fig.14.1

    x

    x

    (m)

    c

    k

    O

  • 283

    Relaia (14.5) reprezint o ecuaie diferenial liniar (necunoscuta x i derivatele ei sunt la puterea ntia); prin integrarea ei se obine legea de micare a oscilatorului.

    Cu observaia c 0 , oscilaiile liniare ale punctului material se pot

    clasifica n funcie de constantele i q dup cum urmeaz: 0q0 , oscilaii libere fr amortizare;

    0q0 , oscilaii libere cu amortizare;

    0q0 , oscilaii forate fr amortizare;

    0q0 , oscilaii forate cu amortizare.

    Ecuaiile difereniale specifice fiecrui model de oscilaie pot fi obinute prin particularizarea ecuaiei generale (14.5). Soluia analitic se poate evidenia distinct n funcie de tipul ecuaiei difereniale obinut. Integrarea numeric se

    poate face ns pornind de la cazul general i acordnd constantelor i q valorile specificate mai sus.

    14.2 Oscilaii libere fr amortizare

    Oscilatorul este reprezentat n fig.14.2. Masa m este scoas din poziia de echilibru i este lsat s se mite numai sub aciunea forei elastice. Ecuaia diferenial a micrii este:

    0xx 2 (14.9) Se recunoate o ecuaie diferenial omogen cu coeficieni constani. Se detaliaz n continuare modul de integrare analitic a acesteia.

    Se alege o soluie avnd forma i derivatele urmtoare:

    rt2rtrt eCrxeCrx0eCx (14.10)

    Se fac nlocuirile n (14.9) i se determin rdcinile ecuaiei caracteristice:

    ir0r0reC 212222rt ,)()( (14.11)

    Se obine forma ntia a soluiei:

    ti2ti

    1tr

    2tr

    1 eCeCeCeCx21 (14.12)

    n care 1C i 2C sunt constante de integrare complexe. Relaiile lui Euler:

    tite

    tite

    ti

    ti

    sincos

    sincos (14.13)

    permit s se obine forma a doua a soluiei:

    tbtatCCitCCx 2121 sincossin)(cos)( (14.14)

    n care 21 CCa i )( 21 CCib sunt constante de integrare reale. Forma a

    treia a soluiei se obine fcnd mai sus nlocuirile sinAa i cosAb :

    )(sin)sincoscos(sin tAttAx (14.15)

    )cos( tAxv (14.16)

    Fig.14.2

    k

    x

    (m)

  • 284

    Se recunoate n aceast ultim form o oscilaie armonic*) n care

    termenii au fost definii n cap.9.3.4. Se reamintete c maxxA este

    amplitudinea, t este faza oscilaiei iar este faza iniial. Mrimea

    mk este o caracteristic constructiv a oscilatorului i este denumit

    pulsaia proprie a acestuia. Perioada i frecvena oscilaiilor:

    k

    m2

    2T

    (14.17)

    m

    k

    2

    1

    T

    1f

    (14.18)

    sunt deasemenea nite caracteristici constructive ale oscilatorului. Amplitudinea i faza iniial se determin din condiiile iniiale:

    )(

    )(

    cos

    sin

    )(00

    20

    20

    0

    0

    00

    0

    vxarctg

    vxA

    Av

    Ax

    vx

    xx0t

    (14.19)

    Ilustrarea grafic a oscilaiei libere neamortizate este dat n fig.14.3.

    Dac oscilatorul funcioneaz n poziie vertical (fig.14.4), asupra masei oscilante va aciona i greutatea proprie. Pornind de la ecuaia (14.4) se deduce ecuaia diferenial a micrii:

    gyymgkyymGFma 2e (14.20)

    Ecuaia obinut este neomogen astfel c soluia este de forma:

    pom yyy (14.21)

    Soluia ecuaiei omogene are forma (14.15), respectiv:

    )sin( tAyom (14.22)

    Pentru soluia particular, care trebuie s verifice ecuaia diferenial (14.20), se alege un polinom de aproximare n variabila t, avnd gradul cu o unitate mai mic dect ordinul ecuaiei difereniale:

    0yayatay 1p01p (14.23)

    *) Se reamintete c o funcie armonic se exprim prin funciile trigonometrice sin sau cos.

    Fig.14.3

    Fig.14.4

    t v

    x

    0

    f

    y (m)

    G

  • 285

    f

    k

    G

    k

    mggy

    ga

    0a

    gatagyy

    2p20

    1

    012

    p2

    p

    )(

    (14.24)

    n relaia obinut .constf reprezint deformaia static a arcului sub aciunea

    greutii care se adaug lungimii 0l din starea netensionat (fig.14.4). Soluia

    final a ecuaiei difereniale (14.20), respectiv: ftAy )(sin (14.25)

    pune n eviden faptul c, spre deosebire de poziia orizontal analizat mai nainte, n poziia vertical a oscilatorului oscilaia armonic este translatat cu f, avnd loc n jurul poziiei deformate a resortului. n mod curent n aplicaii constanta f este suprimat prin translatare originii oscilaiilor n aceast poziie.

    Rezultatul acastei analize este valabil i pentru celelalte tipuri de oscilaii studiate n continuare.

    14.3 Oscilaii libere cu amortizare

    Ecuaia diferenial a micrii oscilatorului din fig.14.5 este:

    0xx2x2 (14.26)

    Se recunoate i n acest caz o ecuaie omogen cu coeficieni constani pentru care se alege deasemenea o soluie de forma (14.10) i se caut rdcinile ecuaiei caracteristice:

    222122 r0r2r , (14.27)

    Soluia general a ecuaiei (14.26) difer n funcie de raportul dintre i . a)

  • 286

    n fig.14.6 se poate observa c pentru amplitudinile succesive se pot trasa dou curbe nfurtoare a cror ecuaie analitic este de forma:

    tAet )( (14.34)

    Acestea sunt curbe exponeniale asimptotice la axa orizontal care ilustreaz faptul c amplitudinea oscilaiei tinde ctre 0.

    Raportul ntre dou elongaii situate la interval de o perioad este constant:

    .])([sin

    )(sin

    )(

    )()(

    constee

    1

    TteA

    teA

    Ttx

    tx 2TTt

    t

    (14.35)

    Elongaiile, i n mod evident i amplitudinile, distanate prin T scad n

    progresie geometric. Exponentul 2 poart numele de decrement

    logaritmic.

    Legea de micare integral a oscilatorului este:

    )(cos)(sin

    )sin(

    tteAxv

    teAx

    t

    t

    (14.36)

    Pentru calculul constantelor de integrare A i se introduc n legea de micare condiiile iniiale:

    00

    0

    2

    0020

    0

    0

    00

    0

    xv

    xarctg

    xvxA

    Av

    Ax

    vx

    xx0t

    )cossin(

    sin

    )(

    (14.37)

    b) = (amortizare critic) n acest caz rdcinile ecuaiei caracteristice (14.27) sunt reale i egale:

    rrr 21 (14.38)

    Fig.14.6

    x

    t O

    A

    -A

  • 287

    Din teoria ecuaiilor difereniale se cunoate c n cazul unei ecuaii de ordinul n la care ecuaia caracteristic are n rdcini egale, soluia are forma general:

    1n

    0k

    kk

    rt1n

    0k

    rtkk tCeetCx (14.39)

    n care kC sunt constante de integrare. n cazul analizat 2n astfel c soluia

    ecuaiei (14.26) este:

    )(

    )(

    tCCCexv

    tCCex

    101t

    10t

    (14.40)

    Analiza acestor relaii pune n eviden faptul c oscilatorul are o micare neperiodic. Pentru t prima relaie de mai sus prezint o nedeterminare; aceasta se rezolv aplicnd procedeul cunoscut din Analiza Matematic (regula lui l ' Hspital):

    0C

    e

    C

    v

    ux

    e

    tCC

    v

    ux 0

    t0

    ttt10

    limlim

    (14.41)

    Se deduce pe aceast cale c elongaia tinde ctre 0 odat cu creterea timpului.

    Legea de micare a oscilatorului amortizat este ilustrat n fig.14.7 n funcie de poziia i viteza iniial.

    Constantele de integrare 0C i 1C

    se determin din condiiile iniiale:

    001

    00

    010

    00

    00

    0

    xvC

    xC

    CCv

    Cx

    vx

    xx0t

    )( (14.42)

    c) > (amortizare puternic) Rdcinile ecuaiei caracteristice (14.27) sunt reale i distincte, ambele fiind negative:

    )( ,,, 0r 212122

    21 (14.43)

    Soluia ecuaiei difereniale (14.26) are n cazul unei amortizri puternice forma:

    t22

    t11

    t2

    t1

    21

    21

    eCeCxv

    eCeCx

    (14.44)

    Micarea oscilatorului este neperiodic, fiecare din aceste ecuaii reprezentnd o combinaie de dou exponeniale care tind asimptotic ctre 0.

    Constantele de integrare se determin din condiiile iniiale:

    12

    0102

    12

    0201

    22110

    210

    00

    0

    xvC

    x