PUNCTE DE EXTREM LOCALALE FUNCTIILOR REALE

Definitia punctelor de extrem

Fie f : A ⊂ IRp → IR o functie reala.Definitie. Un punct a ∈ A este punct de extrem local (relativ) pentru

functia f , daca exista o vecinatate V a lui a asftel ıncat expresia f(x)− f(a)pastreaza semn constant pe V ∩ A.

a este punct de minim local daca si numai daca f(x)− f(a) ≤ 0, pentruorice x ∈ V ∩ A.

a este punct de maxim local daca si numai daca f(x)− f(a) ≥ 0, pentruorice x ∈ V ∩ A.

Valoarea f(a) a functiei f ıntr-un punct de minim, respectiv maxim locala ∈ A, se numeste minimul, respectiv maximul local al functiei.

Punctul (a, f(a)) ∈ IRp+1 se numeste punct de extrem local al graficuluifunctiei.

Definitie. Un punct a ∈ A este punct de extrem absolut (global) pentrufunctia f , daca expresia f(x) − f(a) pastreaza semn constant pentru oricex ∈ A.

a este punct de minim global daca si numai daca f(x)− f(a) ≤ 0, pentruorice x ∈ A.

a este punct de maxim global daca si numai daca f(x)− f(a) ≥ 0, pentruorice x ∈ A.

1

Extremele functiilor reale de o variabila reala

Teorema lui FermatFie f : A ⊂ IR → IR si a ∈

◦A un punct de extrem local (relativ) pentru

f . Daca f este derivabila ın punctul a, atunci f ′(a) = 0.

Definitie. Fie f : A ⊂ IR→ IR.

Un punct a ∈◦A ın care f este derivabila si f ′(a) = 0, se numeste punct

stationar al functiei f .

Un punct a ∈◦A se numeste punct critic pentru f , daca el este punct

stationar sau f nu este derivabila ın acest punct.

Teorema lui Fermat arata ca punctele de extrem local ale unei functiiderivabile se afla printre punctele stationare.

Teorema (conditie necesara de extrem).Daca a este punct de extrem local pentru f , atunci a este punct critic

pentru f .

Teorema (conditii suficiente de extrem).

Daca o functie f : A ⊂ IR → IR este de clasa Cr pe◦A, r ∈ IN , r ≤ 2, si

satisface ıntr-un punct a ∈◦A conditiile:

f ′(a) = f ′′(a) = . . . = f (r−1)(a) = 0 si f (r)(a) 6= 0,

atunci:1) daca r este un numar par, atunci a este punct de extrem local al lui f

si anume:i) daca f (r)(a) > 0, a este punct de minim local,ii) daca f (r)(a) < 0, a este punct de maxim local,

2) daca r este un numar impar, atunci a nu este punct de extrem localpentru f .

Exemple1. Fie f : IR → IR, f(x) = x4 + 2x3 + x2. Aceasta functie este de clasa

C∞ si deci punctele de extrem local ale functiei f se afla printre punctelesale stationare.

Pentru a determina multimea punctelor stationare vom calcula f ′(x) sivom rezolva ecuatia f ′(x) = 0. Avem:

f ′(x) = 4x3 + 6x2 + 2x = 2x(x + 1)(2x + 1).

2

Solutiile ecuatiei f ′(x) = 0 sunt x1 = 0, x2 = −1, x3 = −1

2.

Calculam acum derivata de ordinul doi a lui f :

f ′′(x) = 12x2 + 12x + 2

si valoarea sa ın fiecare punct stationar:

f ′′(x1) = f ′′(0) = 2 > 0,

f ′′(x2) = f ′′(−1) = 2 > 0,

f ′′(x) = f ′′(−1

2

)= −1 < 0.

Conform teoremei de mai sus, derivata de ordinul doi (deci ordin par) nuse anuleaza ın x1, x2 sau x3 ceea ce ınseamna ca aceste puncte sunt punctede extrem local si anume: x1 = 0 si x2 = −1 sunt puncte de minim local,

x3 = −1

2este punct de maxim local.

2. Fie f : IR → IR, f(x) = 5(x − 1)4 + 2(x − 1)3. Functia este de clasaC∞ pe IR. Derivatele sale sunt:

f ′(x) = 20(x− 1)3 + 6(x− 1)2 = 4(x− 1)2(5x− 2),

f ′′(x) = 8(x− 1)(5x− 2) + 20(x− 1)2 = 12(x− 1)(5x− 3),

f ′′′(x) = 12[5x− 3 + 5(x− 1)] = 24(5x− 4).

Punctele stationare sunt x1 = 1, x2 =2

5.

Pentru x1 = 1, avem f ′′(1) = 0 si f ′′′(1) = 120 6= 0, adica derivata deordinul trei (ordin impar) este prima care nu se anuleaza ın punctul x1. Prinurmare x1 = 1 nu este punct de extrem local.

Pentru x2 =2

5, avem f ′′

(2

5

)=

36

56= 0. Rezulta ca x2 =

2

5este punct

de extrem local si anume punct de minim local.

3

Extremele functiilor reale de variabila vectoriala

Fie f : A ⊂ IRp → IR.Teorema lui Fermat (generalizata)

Daca f are ın punctul a ∈◦A un extrem local si este diferentiabila ın acest

punct, atunci daf = 0, adica derivatele partiale ale lui f ın punctul a suntnule:

∂f(a)

∂xi

= 0, pentru orice i = 1, p.

Definitie. Un punct a ∈◦A ın care f este diferentiabila si daf = 0, se

numeste punct stationar.

Un punct a ∈◦A se numeste punct critic pentru f , daca el este punct

stationar sau f nu este diferentiabila ın acest punct.

Punctele de extrem local ale unei functii diferentiabile se afla printrepunctele stationare.

Cazul functiilor reale de doua variabile reale

Fie f : A ⊂ IR2 → IR de clasa C2.Etapele aflarii extremelor locale sunt:

I) Determinarea punctelor stationare.Pentru aceasta se rezolva sistemul:

∂f

∂x= 0,

∂f

∂y= 0.

II) Determinarea punctelor de extrem local din multimea punctelor stationare.

Fie a = (a1, a2) ∈◦A un punct stationar. Se calculeaza derivatele partiale

de ordinul doi ale functiei f si se scrie hessiana ın punctul a:

Hf (a) =

∂2f(a)

∂x2

∂2f(a)

∂y∂x

∂2f(a)

∂x∂y

∂2f(a)

∂y2

.

4

Notam cu ∆1 =∂2f(a)

∂x2si ∆2 = det Hf (a) =

∂2f(a)

∂x2

∂2f(a)

∂y2−(

∂2f(a)

∂x∂y

)2

.

Criteriul lui Sylvester1) Daca ∆1 > 0, ∆2 > 0, atunci a = (a1, a2) este punct de minim local.2) Daca ∆1 < 0, ∆2 > 0, atunci a = (a1, a2) este punct de maxim local.3) Daca ∆2 < 0, atunci a = (a1, a2) nu este punct de extrem local.4) Daca ∆2 = 0, atunci nu putem afirma nimic despre a. In acest caz

Criteriul lui Sylvester nu poate fi aplicat si vom ıncerca cu definitia sa vedemdaca a este sau nu punct de extrem local.

Exemple3. Sa se determine punctele de extrem local ale functiei f : IR2 → IR,

f(x, y) = x3 + y3 − 12x− 6y2 + 9y − 5.Functia este de clasa C2, punctele de extrem local, daca exista, se afla

printre punctele stationare.Etapa I) Vom determina punctele stationare. Consideram sistemul:

∂f

∂x= 3x2 − 12 = 3(x− 2)(x + 2) = 0,

∂f

∂y= 3y2 − 12y + 9 = 3(y − 1)(y − 3) = 0.

Multimea punctelor stationare este: {(2, 1), (−2, 1), (2, 3), (−2, 3)}.Etapa II) Vom testa, cu ajutorul Criteriului lui Sylvester, care puncte

stationare sunt puncte de extrem local.Hessiana functiei f este:

Hf =

(6x 00 6y − 12

).

Avem ∆1 = 6x, ∆2 = 6x(6y − 12).Pentru (2, 1) se obtine: ∆1 = 12 > 0, ∆2 = −72 < 0, deci (2, 1) nu este

punct de extrem local.Pentru (−2, 1) se obtine: ∆1 = −12 < 0, ∆2 = 72 > 0, deci (−2, 1) este

punct de maxim local.Pentru (2, 3) se obtine: ∆1 = 12 > 0, ∆2 = 72 > 0, deci (2, 3) este punct

de minim local.Pentru (−2, 3) se obtine: ∆1 = −12 < 0, ∆2 = −72 < 0, deci (−2, 3) nu

este punct de extrem local.

5

4. Sa se determine punctele de extrem local ale functiei f : IR2 → IR,f(x, y) = x2 + y4 + 2x + 1.

Functia este de clasa C2.Etapa I) Vom determina punctele stationare. Solutia sistemului:

∂f

∂x= 2x + 2 = 0,

∂f

∂y= 4y3 = 0.

este (−1, 0).Etapa II) Vom verifica daca (−1, 0) este punct de extrem local pentru f .Hessiana functiei este:

Hf =

(2 00 12y2

).

In punctul (−1, 0) avem ∆1 = 2, ∆2 = 0. Prin urmare, nu putem decide cuajutorul Criteriului lui Sylvester daca punctul stationar (−1, 0) este sau nupunct de extrem local.

Functia f se scrie:

f(x, y) = (x + 1)2 + y4 ≥ 0 = f(−1, 0), pentru orice (x, y) ∈ IR2.

Rezulta ca (−1, 0) este punct de minim global.

Cazul functiilor reale de p variabile reale

Fie f : A ⊂ IRp → IR de clasa C2.Etapele aflarii extremelor locale sunt:

I) Determinarea punctelor stationare.Pentru aceasta se rezolva sistemul:

∂f

∂x1

= 0,

· · · · · · · · ·∂f

∂xp

= 0.

II) Determinarea punctelor de extrem local din multimea punctelor stationare.

6

Fie a = (a1, . . . , ap) ∈◦A un punct stationar. Se scrie hessiana functiei f

ın punctul a:

Hf (a) =

∂2f(a)

∂x21

∂2f(a)

∂x2∂x1

. . .∂2f(a)

∂xp∂x1

∂2f(a)

∂x1∂x2

∂2f(a)

∂x22

. . .∂2f(a)

∂xp∂x2

· · · · · · · · · · · ·∂2f(a)

∂x1∂xp

∂2f(a)

∂x2∂xp

. . .∂2f(a)

∂x2p

.

Calculam minorii dupa diagonala principala:

∆1 =∂2f(a)

∂x21

, ∆2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∂2f(a)

∂x2

∂2f(a)

∂y∂x

∂2f(a)

∂x∂y

∂2f(a)

∂y2

∣∣∣∣∣∣∣∣ , . . . , ∆p = det Hf (a).

Criteriul lui Sylvester1) Daca ∆1 > 0, ∆2 > 0, . . . , ∆p > 0, atunci a este punct de minim

local.2) Daca ∆1 < 0, ∆2 > 0, . . . , (−1)p∆p > 0, atunci a este punct de maxim

local.3) Daca ∆1 ≥ 0, ∆2 ≥ 0, . . . , ∆p ≥ 0 sau ∆1 ≤ 0, ∆2 ≥ 0, . . . ,

(−1)p∆p ≥ 0 si cel putin un ∆i = 0, atunci nu putem afirma nimic despre a.4) Daca ∆1, ∆2, . . . , ∆p nu ındeplinesc nici una din conditiile de mai sus,

atunci a nu este punct de extrem local.

7