Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa

8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa

http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 1/37

. '

_ ..-

[ )

.

:

.

Prof. dr. Gheorghe p r i ~ a n

r

Lect

dr. Antonela Toma

As

-drd: Cristhla Anton

1·

. .

, .

• _ \

.

. h \ 1lJ

.L.JL

; . l . 3 J

,

} ~ t i q

EXERCITII DE N LIZ

REALA

SI

COMPLEx

EDITURA PRINTECH

BUCURESTI 2005



Copyright

©

Printech, 2005

Editura acreditataC.N.C.S.I.S.

...!.

. D e s c r i e f e ~ i b l i o t ~ ~ i i N a f i o n a l ~ .. Romaniei

Gheorghe

P R I ~ N

Exercitii de analiza reaHi complexii -

Gheorghe O p r i ~ a n Antonela Toma, Crjstina Anton

B u c u r e ~ t i : P r i n t e c h ? - Q . o j

~ ~ · ~

: , , , , .

p.;cm.

Bibliogr.

ISBN 973-718-33 1-2

L

Universitatea "Politehnica" din

B u c u r e ~ t i

Departamentul de matematici, Catedra de matematici II,

Spl. Independentei 313, sector 6, B u c u r e ~ t i

e-mail: [email protected]

1

I

TIPAR:

I

Editura PRINTECH (S.c.

ANDOR

TIPO

S.R.L.)

Str.TUNARl m.ll , sector 2 • BUCURESTr

TelfFax:

211.37.12

I

I

© Copyright

2005

Toate drepturile prezentei editii sunt rezervate editurii si

autorului. Niei

0

parte din aeeasta luerare nu poate fi

reprodusa, stoeata sau transmisa indiferent prin ee forma, lara

aeordul prealabil sens

al

autorului .

-,

'

.

uprins

P r e f a ~ a

. : - ~ p - ~

I

ENUNTURl

1 ~ i r u r i serii

1.1 $iruri numeriee

1.2 Serii numeriee .

1.3 $iruri scrii de fUlletii .

1.4

Dezvoltari III serie. Dezvoltiiri limitate

1.5 Serii Fourier. . . . . . . . . .

2 Funetii de

mai

multe variabile

2.1 Limite.Continuitate.

2.2 S p a ~ i i

metriee

.

3 Calcul

d i f e r e n ~ i a l

3.1

D i f e r e n ~ i a b i l i t a t e . D e r i v a t c partiale

.

3.2 Extreme. FtIIlctii implieite .

4

Integrala

4.1 Primitive.lntegrale

Riemann.

4.2 Teoria masurii.lntegrala Lebesgue.

4.3 Integrale improprii .

4.4

Integrate

eu parametru

.

4.5 Integrale euleriene

4.6 Integrale eurbilinii

4.7 Iutegrale multiple.Teoria

campului

III

.

I

,L' V ' . 4 ·,

1

3

3

5

8

12

14

17

17

20

23

23

25

31

31

33

35

37

38

39

43

http://slidepdf.com/reader/full/Printech,?-Q.oj

mailto:[email protected]

http://slidepdf.com/reader/full/211.37.12

http://slidepdf.com/reader/full/Printech,?-Q.oj

mailto:[email protected]

http://slidepdf.com/reader/full/211.37.12



4.8 Integrale de

s u p r a f a ~ a

4.9 Formule integrale

Analiza complex8

5.1 F u . n c ~ i i olomorfe. R e l a ~ i i l e Cauchy-Riemann

5.2 Dezvoltari In serie. Reziduuri .

I

~ ~ f l ~ f f ~ ~ ~

6 Transformata Laplace -.

II

IND1CATII

SI RASPUNSURl

L

CUPJUNS

50

52

55

55

59

65

69

refata

Aceasta c o l e c ~ i e de e x e r c i ~ i i acopera cerintele cursului de Analiza.

matematica

care cSte

predat

studentilor din anul I al universitatilor tehnice.

In

pllll

lucrarea contine doua capitole referitoare la teoria f u n c ~ i i l o r

de 0

variabiIa. complexa

Ii

la transformarea Laplace. Aceste elemente sunt nece

sare pentru abordarea unor integraie folosind teorema reziduurilor precum

§i

pentru rezolvarea anumitor tipuri

de

ecuatii d i f e r e n ~ i a l e

lii

integrale.

La problemele propuse nu s-au dat solutii ample ci doar indicatii §i

raspunsnri suficiente

pentru

cititorul care a parcurs elementele teoretice de

baza ale cursului de Analiza matematica. In acest feI rezolvitorul va capata

abiliUiti in aplicarea teoriei element esential

pentru

I n v a ~ a m a n t u l tehnic.

Selectarea acestor probleme reprezinta rezultatlll anilor de

experienta

didactica. a autorilor la

f a c u l t a ~ i l e

de Electronica §i

T h l e c o m u n i c a ~ i i

§i

Automatica §i Calculatoare.

Lucrarea este

utila

atat

t u d e n ~ i l o r cat

§i cadrelor didacticedin InvatiiIl.lantlll

superior telmic sau cercetatorilor care doresc sa-§i amintea.<;ca despre di

versele ti puri de probleme clasice ale matematicii superioare.

v

Autorii

septembrie 2005

C e 2 t ~

R



·0

.J <

Capitolul

1

~ r u r §

serii

1.1 r u r i numeri e

J 1 1

1.1.

Fie

~ r u l

cu

termenul general an = 1

+ 2 + 2

+ .. + · Sa se aratc ca.

2 3

n

§irul (an, n E IN') este convergent,

aratand

ca este mODoton §i Il\iirginit.

l )

1.2.

Dadi ~ i r u an ,

n E lW) esle convergent arc Iirnita (J. E IR , atunci

. a l

+

a

+ .. .+ an

I

l ID = a.

11- 00 n

1.3. Daca ~ i r u (Xn, n E IN'), Xn > 0, este convergent §i are lirnita x > 0,

atunci

lim

\ fX1X2 · · · Xn =

x .

71-+00

F

· . ul (

IN')

0 . . I· a

,,+l

1 4

Ie :jlr

an,

n

E ,

a

> ,

CII propnetat

ea ca eXlsta 1m - - = a.

n- oo n

Atunci :jiml

n

=

yta,; ,

n E N*, este convergent §i

are

Iimita a

1.5.

Sa.

sc calculer.e

limita r u l u i

eu termenul general:

3·5·7· · · 2n-1) ,

l . a

n

= ( )

n

EIN.

2·4·6 ·

··

2n

3·7· 11 . . . 4n - 1)

..

2.

an

= ) n

E

1 \

.

3 . 9 . 13· . . 4n

+

1

3. an = n y'a -

1), n 2

2,

a>

0 .

1 J 1

1+-+-+· ·

·+ -

4. an

2 3

n n> 2

=

In n ' _.

5. an = In

( 1 - ;2

+

In

1

-

;2 + ... +

III

1

-

),

2

2.

3



111

I

II

4

CAP1TOJ,UL 1.

$IRURI

1 SERII

6

an = In I ___ ) +

In (1

_ 1 ) + . . . -I- In

(1

- 1 ) ,

\

1 + 2

1 + 2 + 3 1+2+· · ·+ n

n;::: 2.

Xn

7; an =

I n;:::

1, X> O.

n .

1.6.

Se da §irul cu termenul general

1.7. Sa se arate ca §irul cu termenul general

1 1 1

a = 1 + - + - + .. . + - - In n n > 1

n 23 n

-

este converge.nt

(Iimita acestui

~ i r

este un numar irational

c = 0, 577216 . . .

numit constanta lui Euler)f ' )

1.8.

Sa

se

arate

ca

urmatoar<he' §iruri

sunt

diverge nte:

1. Xn

= sin

n , n ;::: 1;

1 1 1

2. Xn = 1 + 2 + 3+ . . . + ;; ' n;::: 1;

(1

+ atl(2 +

a2)' (n

+ an)

3.x n= 2" ,n;::: I , undeai>0,ata2 ·· ·an = l .

1.9. Sii se calculeze JirniteJe

urmatoarelor i r u r i :

1.

Xn =

yin,

n

;::: 1;

n

3. Xn = nq n ;::: 1;

y n

n

k

5.

Xn

=

n '

n

;:::

1,

x

>

0, k E IN

;

x

7. Xn == sin(r.Jn2 I), n ;::: 0;

Xn+1 x2n

2.

Xn = (n +

I)

+ . , . + (2n) ' n;:::

1,

x

E

1R.;

\In

4.x = n.

n> I

n

n \ / ~ I) ' - ,

1

6.

Xn

=

-In(2n

xn), n >

1,

X>

0;

n

an

+b

n

8. I n

=

. -1 b

+1 ' n;:::

1, a, b

>

O.

an . n.

1.10. Pentru ~ i r u r i l e (Xn) sa se determine inf I n , Sup xn, lim sup Xn, lim inf

X

n

·

to o n t

1

1.

Xn =

1 - , n ;::: 1;

n

3. Xn ==

( - I t -

1

2 n;::: 1;

5. Xn = 1 2 ( _ 1 ) + 1 3 (- 1) n( n

2

1 ) , n ; 1;

n

2

2m.

7.

Xn

=

1 n

2

cos

- 3 - '

n;:::

1;

(_ I)fl 1+( - l ) n

2. In.

=

- ,n;::: 1;

n

n

n n7i

4.

" = 1

- -COS-

, n > 0'

n 1 2 -

6

. n7i

. I n = 1 n

sm

2 ' n

;:::

1;

n

2nIT

8.

I n

=

COS - - ,

n>

1.

3 -

1.2. SERIj NUMERICE

1.11. Folosind criteriul general al lui Cauchy sa se demonslreze

cil. ~ i r u r i l

urmatoare sunt convergenle:

ll

$-;'

. r-

cos

I

cos

2

cos

n

1.

Xn

== -

+ +

. . .

+ , n

>

l '

1·2 2·3 n(n 1)

1 . 1 . 1 .

2. I n = 1 + 22 + 3

2

+ . .. +

n

2 ' n ;::: 1;

cos a cos

2a

cos

na

3.

Xn. = ~ + 2 6 + ' ~ , n;::: 1, aEJR;

n

cos

hr

4.

Xn

==

"

__

1_

n

>

l'

o k

- ,

k ,1

n 1

5.

Xn = L - I ) k - l

k

,

n;::: 1;

k=

n sin(k 1) n > O

6. Xn =L (k + l)(k + 2)· .. (k + 100)' -

k=O

1.2 Serii numerice

< t

1

1.12. Sa se calculeze suwa seriilor :

00 1 00 (_1),,-1 00 (1) 00 2 n - l

a)

~

n(n+2); 0)

~

2

n

1

;

c)

~ l n 1

n

2

;

d)

~ ~

00 00 3an

2bn

e) ' ' (In 2 2/n 1 Jri); f) " , a> 1, b> 1;

o 0 a"b

n

n= 1 n=l

~ 1 co 1. 00 n _ 1 00 1

g ) Lg

2

3

2 ; h ) La r

ctg

2

l ; i )L ( )1 k L a r d g ~ 3 - 3 ;

>1=1

n

-

n

-

=1

n n

n=1

n+

.

,, =

1 . Tl

n +



CAPITOLUL 1. $IRURI

1

SERII

.

1.13. Sii se

studielle

natura urrnatoarelor

serii eu tcrmcni pozitivi:

1

1.

L \10 ,001; 2. L

Jfi+1;

n?2 n?l

n

n+l

. n .

'"

"

3. 02n-l

.

n> l

.

-

In(n+2)

.

5. L v'n3 + 1 '

n> l

-

n

1

~ _ ."

7: L

n 2 ~ ;

n > l

- an.

n! (a > 0);

L ~

n>l

11. L n n + ~ . .

(

'1 )n ,

n? l n+n

13.

'

n

5

o

2

n

+

3n

;

n?1

15

.

L

(3n

Z

+

l ) n .

n? l 2n

2

+

1 '

17 . L / 1

cos .

• 1 \ ,

n? l

l)

1

9. L

1

.

3

'

5

.. .

(2n- l )

n?l

2

·1·

6

..

·

(2n)

.

2n+

l '

21.

L av'n , a >

0;

n? l

23 .

L(

v'n+1-

vn)O

in

'

-1' 0'2:0:

n-

n?1

25. ' (n 1)2 arcsin ~ :

o 2"-;- 1

n?2

27.

L (_I_)IO(lnn)

n

2:

2

In

n ;

1 .

29. L ( lnlnnf '

n

?Z

1 . .

31.

L

In(n

+ I)! '

n > l

- (2n) .

'

)11'

0 (2n

+

1

..

n? l

4.

' rn+T - lfri

nl)

n ? l

1

6. ');

n

?1

. n

(n )z

8.

L a

2n) ' a> 0;

n 2 1 (

n

2

10.

L

(2 + ) n ;

n21

2 . 11' .

12.

L

n

SID 2

n

'

n ? 1

14 .

L

(J 1 \

,

a>

0;

n

nn

l)

n22

n!

16. ' )

o

(a + 1)· · · a + n

n ?l

L

[

1 . 3 . 5

..

.

(2n

18.

()

2 ·4 · 6 , · ,

2n

n ? 1

20. L( vn -

1);

n? 2

22. L(are tgn) - n;

n? l

L ·

2

11

4. sm - ;

2n

n ?1

L 2

11

26. an tg n 2

n

' a>

0;

n ? 1

Llnn .11I(1+1)

28. n

n

n

?2

L

1

0. ;

(Inlnn)lnn

n? l

32. L an

n > l (0.1

+ o.z

··

· +0. )2

34. L (2n

- I)!!

n? 1

n (2n) .

1.2.

SEWI NUMERlCE

7

1.14.

Folosind eriteriul general

aJ

lui Cauchy Sa sc

demonstreze

ca urmatoarele

serii

sunt

convcrgcnte;

' in

nO

!:

2 ' an

f

- ,

, a E

lR;

1. 0

2n""

a E

JR.;

. 0 IOn' Ian I < 10;

n ? 1 n?l

3

'

cosnx - eos(n

+ l)x

4

'

cos xn

. 0 n , x E.IR;

. 0 - -2 - x E

lR:

n? 1

n '

n? l

L

sinn3

5.

x E lR:

6. L p n

sin

nO , Ipi < 1,0'

E

~ ~ .

' - '

n?1

n? l

1.15. Sii

se cerccteze convergenta

(§i absolut

convergenta)

mmatoarelor

scrii:

1

2 ' (_ 1)n-1

1. L - I ) n - 1

_

;

' 0' ' ' aElR:

2n

1

n ? l '

n? 1

2

+

1

n+l n :

4. L(_1)n+l2n+

1.

3.

L - I )

n(n+

1)

'

n

n ? l

3 '

a> -1;

n>1

- (_I)n .

6. L( - l)"'- l _n

.

5.

L n - l nn

1)) 2 .

n ~ l

3n - I '

,

n ~ l . n7r

l)n+1

S I D T

;

8. L(_l tS in2n .

7. L v'n3 + 1

n ? 1

n > 1

- cos nn .

(_1)n

9. L ---;:!'

10.

L yin ;

n?1

n ? 2

2

l)n-l

(

11

L 1

rrn

12 . L - ,

, p E R;

. n >2

In

2

n cos n + 1;

n

P

+

n

? l

2

n

13 ~ sin!!1':

. L IZ

14

.

L ( _ 1 ) n - I ~ a>

0;

n .

n? 2

n? l

n

2n

15 . L( 1

) , - 1

2 cos a

16.

" ' (_I)n

nC' 1

o

v

nsm

-'

: n?1

n

2

+

1

a

E IR;

.

n ? 2 n'

_1)n)

18 . L( _

1)

(n - ' ) n

17.

L

a

+..;n ,

a

E

JR ;

100

(

n

n ? l 2 '

n>1

(_I)n.

20. L

sin

n

sin .

19. L nVil'

' aj

>

O

n? 2

n? l fo '



..

Ie

,;11

I

ill

I

i

t 1

ti

I

'I

8

21. L { - I t .

n ~ 2 . ,

_.

23.

2)-1)n fo

.

n>l ' .'

n +

100'

. I

7

25.

~ l n [1 + - I t ] 1

n ~ 2

nP ,P>2;

29. ~ l r - l t g l T 3 n

n?l

(

_1)"

31.

In n

s inna

33.

L . . L

~

ex

E1R;

n ~ l

35

.L sin::

cos

na,aE1R;

n

n ~ l

1.16.

Sase

stabileasca

natura

urmato

arelorserii:

1. L Sinn;

n? l

. 2

3.L

Sill

ncas .

n? l fo

'

5.

L Si

nnsinn2.

n ~ 1

n '

1.3

~ i r u r i §i

serii

de funct

ii

1.17. Sa secerceteze

convergenta

uniforma.a urma

toarelor ~ i r u r i

de functiipe

multimile

indicate:

1 . ln (x)=x

n

, a ) x E [ o ~ ]

b)X

E

[O

,I];

2.

In(x)

=

xn

-

3.

In(x)

= xn

-

x

4. In{x)

=- - ,x E

(0

, 00);

x+n

.. I

,i, i

.-

1.3.

$JRURI$! SERII EFUNCTII

APITOLUL 1 $IRURI

$1

SERII

22. Ls in ( lTN+ " ) ;

n ~ l

100

In n. nlT

24

. t

sm

- ;

n 4.

n ~ 2 "'

.

:" '

J,

(_I)n

.

26.L , ,_ ,_ , p>O;

n ~ 2

3

28.

L sin n.

'.'

, , ~ l

nO '

30.L

( _ l ) n - l .

n ~ l arctg

n

'

32.

t

cosna

--n--

,

0' E lR:

n ~ l

'

2

34 .L

sin

3n.

fo

'

36. L lt

n

n?l

n3

2.L s i n n

2

;

n

? l

4.

l t ~ ·

fo

n '

2

6. L sinncosn

n ~ l n

xMI,

x E[O,IJ;

x

2n

,

X E [0, 1] ;

nx

5.

In(x)

= ,

x

E[O,lJ;

J+n+x

xn

6. In(x)= a)

x

E[0,1 - el, b)

x

E[1 - e,1

+

eJ , c)

x

E [1

+

£,00), °

£

<

Ij

1

+

xn

.1

...

7. In(x)= : P ~ 2 Rj i .i

8. In(x)=

x+ - x

E (0,00); (V VI ,

g. In(x)=en(x-l , x E (0,1);

. 2 IT

(n

2

+

1)Sill

+

nx.- ..;nx, xE (1,00);

10. In(x)=

-

n

"

" .

'

2 .

x

11

.In(x)

=-4--2

X

x +n

E [1, 00 );

n

12. in(x)=(x

2n

-+

1)2' X E[1,00).

1.18.

Sa

se

determine multimea

de

r g e n ~ a . pentru

urrnatoarele serii

de

functii :

2

n

X .

1. ~ l n n

x;

2.

L2n'

n> l

- xn

xn

3 ~ 2 ;

4.

L,;n;

n

n?l

xn

n?l

6. L

n(n

+

l)xn;

5. L fo' a> 1;

n?la

n?l

xn

8 . ~ ;

.

L

1 + Xn;

L 1+

x2n

n?l

?l

xn

10 .

--

0;

.

L

Sill!!.,.·

L l x

n

n ~ l x n 2n,

n ~ l

11. L [x( x

+

n ]n

.

12 .L ne-

nx

;

n>l n '

n>l

14

. xn

13. L_l- 1

L

n ~ 2 Jnf1 +

2 : 1 . x ~

aE

lR

j

n ~ l



10

CAP1TOLUL 1.

SlRURI

$1 SERII

1.19. Sa secmceteze c o n v e r g e n ~ a uniformaa urruatoarclorser ii de f u n c ~ i i

pe

multi

mileindicate:

, ·.o \ ~ . .

'\

-

- l

xn

xn

1.

L

2

x

E

[-1,1);

2.

L

'

x

E(0,00);n.

n

n ~ 1

3. L ( 1

-

x)xn, x E [0,1);

4. L

[(n

_

I X :

l](nx +

1)'xE

(0,1);

n ~ l

· · ~

.-:

.. . " / c t )

[ o , £ J ; b) x

E IE,00, E

>

0);

e \

5.

L ..- , -. (xn

_

xn+1) , x

E

[-1,1);

2x

7.

L ;

n + l

6.

arctg 2 "

x E

1R;

L

x +n

n > 1

2

+

x

- cos(n+l)x , x ER ;

X

8.

L

) ."x

E[

0, a];

9. L

i j(n+l)5+

x

2

x + n x + n +

n > 1

1

_ I ) n x

1

11. - 2--2 X E .lR.;

0

0.

L.

A'

x

E

JR.;

0

x

+n

n ~ l

-I t

12. --, E

(-2,

(0);

13

. L.

x .,

,,)xE[O,OO);

0x+2

n

n ~ 1

n

x

nx

15. L

~ X n

+x - ) ,

E

14. 0

5 ' ) ' x

E

IR;

l + n x

yn :

l

n>1

cosnx

17. 0

- - 2 - '

xE IR.;

1 6 L ~ ~

. ,xE

JR.;

n

Cfn4 +

n ~ 1 X

n ~ l

IS.

sinnx

19 .Lx

2

e-

n x

, x

E

[0,00);

0 1 1 In , xEIR ;

n ~ l

y , .

n ~ l

2

x

2

(_1)n

21.

L

- -

x

E (0,00);

20.

L T

'

x E

IR;

x+ n

n ~ l

1

22. L

-2--2

' x E IR;

23.

'"""'

1

'

x> 0;

x + n

(x +n)(x +n+1)

X

+n(_1)n

24.

arct.g

2

2x

, x E JR.

;

25. 0

3 ,x

EJR.;

n

+X

x + n

n ~ l

26 . x)x'" x

E

[0,1);

2 7 ' L 2 2 { x E l a , b ] , U n : [ a , b ) ~ I R

(1 -

. n +U

n

x

n :

0

n ~ O

1.3. $IRURI $ISERII DE FUNCTII

1.20.

Utilizand ser iilc de puteri sa. se

determine

r n u l ~ i m e a

de

c o n v c r g e n ~ a

pentruurmatoarele

seriide

f \ l n

" l

...

,

2.

1. L lOnxn;

.

,

n

n ~ 1

" 2n2+5 x

)n

4. L ~ : - - ;

3.

L 7n2 + 8n + 2 2x+ 1 ;

n>1

n?l

5.

"xn.

L r '

n ~ l

n.

n ~ l

2n

+

1

I

x

- x. L ( n

1)3"-

1

n

-

1

;

8.L(-l

r

-

1

(2n_1)!(2n_l);

n ~ l

9. ' ) ' xn

nnxn

,

,

, lU. L---;!

;

n ~ 1

n ~ l

1) _,,2

nx

1 l . L

In(n

1) xn .

12

.

L 1

+- ;

(

e

n ~ 1

n + l

'

n ~ 1

n

n! x

n

13.

, , 3 "

+

(_2)n

L (x

+

l)n.

14 "

) ' a>

0;

. L

(a

+

l)(a

+2) ..

.(a+

n

n '

n?l

(_1)n (x)".

15. L ( l + ~ +

. . .

~ ) x n ;

16. L Jn2+1 '3 I

n?1 n +1 V ')

n ~ l n

n2n

yin

n .

7.

"n

2

+

1

18.

L n

2

+1 n (x -

3)n;

L 2

n

x,

n?1

n ~ 1 .

1.21.

Sa se calculezesumele

urmatoarelor

serii

de puteri

sa

se precizeze

multimea.

de

convergenta.

X2n.+I

1. L x n ;

2 L --- '

2n+

l '

n?O

n :

0

.

xn

3. L ( n +

l)(n

+2)xn;

4. ~ n(n+l);

n?O

n,::l

5. L( -1)"n

2

x";

6.

L ( n +l)(n +

2)(n

+3)xn;

n?1

n?O



J2

C.\/ 'ITOJ.UL I . .i1/1U1U 'iI.'i/·:l I l f

' :r" f· '

2n+2

111

+

I

•

7.

2.) -1),,+l

(;t

+IT

8. L 2ft

+

J

:c ,

n>1

>1

- x l

-

(-l)"x"

.

9. L (n

+

l)(n,

+ 2)'

10.

L (4n)!i

,,>0

- 3

2 1

(n+l ) " - I .

,x

11.

L

n(n + 2)"-r ,

12.2.:)-1),

2ft

+ Ii

n; O

1.22. Folosil}cI serii de pllteri sa se calclllczc slImcle IInniitoarclor scrij de

~ : ~ ~ ~ ~ : ' ' - t c ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ , ; : ' : : J ~ ~ ~ _ ; . .

_

. . ~ l * ~ : : · ' . - ~ ~

~ : ' ~ 7 ~ > : ; ' ~

1.

L

1

n ~ O

(2n

+ I)Jl"+I;

2.

n+ 1.

o

4n '

n ~ O

3. L(_I)n(H+ 1)(n+2)

4. L ( n + l } { n ~ 2 } { n + 3 )

3 ;

n ~ O

[ )

1 .

5.

L(-l) 1L(1L+

1)2'"

.

G L - I ) , , - l n(n + 1).

n ~ l

3

n

'

7. - l),,11 +

1

2H I

8

L(- l) 1

l l ~ l (n + l)(n + 2}{n + 3)

('

2)

j ;

9. L 1 .

1

.

5· .. (271

- 1)

n ~ l 2 · 4·6·· ·(2n) 2

n

'

10

.

L 1

n ~ l

(111

-

3)(

v'3}ln-3·

1.4

Dezvoltari in serie. Dezvoltari limitate.

1.23. Sa se dezvoltc III serie Mac

Laurin

urluiHoarcle f U I l C ~ i i , prcci;:tuIl\u-se

nl\lltilllca de

c o n \ e r g e n ~ a

X .

I

2

1.

f -r

)

= c

,

2. J(

:

1:)

=

cos x ; 3.

J(l:)

==

S

il l

:! x;

:

1'10

.

1

."

4.

J

x )=1_ : r .

5. J(x)

==

(1

_

X)2;

6. J(t) == )1

._

2x ;

(i+7C

1 .

7. f(-r)

=

In V

T = ?

S.J(x) = :r 2;

!J.

J(:t)

= 1- :"_ e

2

'

1 + :t - 2x

1 .

1

1 .

10.

J(x)

==

~ : ; : - x

2

'

11.J(x)

== 2 ;

12. J(x)

== 1 _ ;e

2)

) \

_ x .

2

'

1

+ x + x

+ r,·

13

. J(.l:) 11l 1

:1: +

x

2

+

x :

l)

;

14.

J(x)

== 11l(,,; + )1 +- X2);

I!).

J(x)

== (1

+- x) 111 1

+z;) ;

2 - 2.[

16. J( .r) = :!w::os(1 -

2.-r);

17. J( : ) == an :t.g : : ;

18.

J( :e) ==

ar etg

1

+

h ·

1.4. DEZVOLTARI iN SERlE. DEZ\iOLTAR1 LIMITATE.

13

1.24. Utilizand dezvoltarile limitate

sa

se calculeze lUmatoarele limite:

2

2. l i ~

1 -

(cosx)sinx

1. lim 1 - cosx

.

"' ...... 0

X

3

"' 0 x

2

sinx

T

z2

. arcsin x - arctg x

3. lim

cos

x - e

4. lIm

3 ;

"

......

0 X

' 0 X4

5.

l im 1 - cos(1 - cos x)

X

+

1 1f)

6_ lim

x

(

arctg 2 -

-4

;

. . " ......

00

x + .

0 . x4 .

.•

. 3

7. lim

In(1

+

x ; x

2

)

+ '

In(l- x +

. t ( t g x . § n x ) - x ,

i

"' .....

0 x(c

-

1)

. " ......0

x

5

9. lim

sin(sinx)

- ~ 10. lim(2+COSX 3)

" ...... 0 x

3

sin x - x4 ;

"

......

0

XC

12.

lim

e sinx-x( l+x)

x- o

x l

;

1. } ~ ~ ( x - X 2 l n ( I + D ] ;

13. lim

(Vx

6

+ x

5

-

{!x

6

-

x

5

)j

14. lim..!:.

(.. :.

_ · t )

" ...... 0 x x c gx j

x.......,.oo

16. lim x

+

In(..J1+X2 - x)

15.

lim

-

ctg

2x) ;

,,-.0

" 0 X

1.25. Sa. se dezvolte in serie de puteri in jurul punctulu.i indicat:

1.

f(x) =

, , 2 ~ i X ~ I '

a = 1, x E JR.

2.

f(x) = arctgx, a = I, x E

lR

3. f(x) = xn + X + 1, a

=

1, x E lR.

4. f(x) = , , 2 ~ I ' a = I, x

E C

5.

f(x) = z":2' a = O,X E C

6.

J(x) =

1 ~ z 2 ' a

= O,X

E

C

7. J(x)

=

(Z+I)1(z+2)'

a

=

O,X

E C

1.26. Folosind formula lui Taylor, c a . l c u l a ~ i Cll

3

zecimale exacte

1. sin31°;

2.

v'i02; 3.ln(e

5

+1) ; 4. 2,1

2

,1; 5. In l , 02; 6.103; 7. In16.

1.27.

Sa se dezvolte in serie

de puteri

, precizandu-se domeniul

de C ~ l ~ a . :

2. f(x) =

('"

sin t

d

l.

J(x) = In(l +x2);

o t .,

C

L

4. f(x) = 1

arctg

t dt·

3. f(x)

=

e-

t2

;

o

t '

5.

f(x)

=

-Yl

+

x

http://slidepdf.com/reader/full/C.//'ITOJ.UL

http://slidepdf.com/reader/full/C.//'ITOJ.UL



" p

1.5 Serii Fourier

pcriodicc ric periuadii 2h:

1.

f(x) =

1

1,

x

7T

- :1:

:3. f(x)

=

,-- .c .

~ r - ; ? i

~ ~ ~ ~ : e ~ 1 i ; 7 r )

:1:=0

l

l.

(X )

= x, x

E

(0

, 7T);

1

h

:3,

f(x)

=

2 -

5.

f(x)

=

Si

IlO X

1.30. Sii se c l ~ z

L

J(x)

==

x, x

E

(0,,,);

:3.

f( x) = cos 2x

x

E (0,7r);

5. J(x)

==

COSCtx , : E (0,, , ), Q

fllnctii pcriodicc rie

pcrioaJJ

2T:

f(

.

) -

{a

, x

(0,

T]

-1:

0,

3. J(x)

=

xl.,

X

1.32. F l I l l c ~ i a J(x) =

(0, ,,); b) de

~ i n l l s u r i

pc (0, ,,); (')

sit se c

,, cnlc

ze slllllele ser iilor:

(; . \ I IH)/,(j/ , I ,

Sill/Jill

51

S

EWI

1.28 .

Sa se

dc zvoltc ill selic Fuurier, pe inlervalill

(-7T,

7T), lIrllJa to<lrdc fllllqii

E ( - '

; ,

7T)

;"

2.

f(

x)

=

I

Sill

1:1,

X

E

(-7T,n);

or

x 2

-2-

x

E (0,271 );

4.

f( : )

==

- - -, !: E (0,

27T);

2

47T

G J(x) = Sill OX, X E (-7T, 7T), ( c

rI- 12;

; t . ; i : · t ±

~ h l l ; {-7T;71');-

--'

c.

x

E (-

7T, 0)

,XE(-7T,7T); 1O,f(x)

=

:GE(-7T,O]

x

x E (0, h) 2x, x E (0,7T)

x

E

(-7r, 71 ).

1.29.

Sit sc dezvolte III se ri e Fourier de C O S i l l l l ~ u r i IIrJllat

oa

rele f I l J l c ~ i i

2, f (x)

=

x

3

, X E (0 , 7T) ;

4

siu

:c ,

x

E

(O,h) ;

1,

J(: :)

=

e"'x

,

x

E

(0

,

h)

,

'

E

1l1;

X E (O,n),

Ct

E IR \ II, ;

G. f(:I:)

=

siu 2x, :c E (O , 7T),

; o l t c ill

~ e r i c

F ) u r i ~ [ de I;illllsmi lIr1l1iito (l.[cle [llI1

Cii

i:

2,

fCc)

==

:1::\

X

E (0,71 ) ;

4,

f(x)

= e >:c,

x

E (0,

7T)

,

0 E'

JI1

\

Ll;

E IR \ Zl;

6.

f(:c) = chx, x E (0,7T).

1.31.

Sii sc

dC

7.vo ltc ill se rie Fourier, pe illtervallil (-T, T), T > 0, urJn i(to(l.rc1e

,

2T )

JR

.

, .1:

E ,0, ,

a

E , 2.

f(:c) ==

em:,

:c E (-T, T) ;

x E

(T,2T)

E, (-1,1) , T

=

1;

4,

J(

:c) == Ixl,: j E (-'1',1').

xl., sa sc ~ , y o l ill serie Fourier: il) de l ' o ~ i n \ s l l \ ' i pc

p c (0,2,,)

..

Foiusillrl r(!zull llcle Oi>ti lllltc

00 00 1

00

1

1

' ---:-,

' (·_1),,-1 _ , , - ____

-;.

,

G

l

0 ,,2 0 (2n _ 1)2

n = 1 u= u:.:;

1.5. SERII FOURIER

1.33.

Sa

sc

s t a b i l e a . ~ c a pcrioada 2T

a urmat.oarelor

f l l l l c ~ i i

pcriodicc sa sc

dezvolte

III

serie Fourier pe

-

T,

T).

a) I(x)

=

sgn (cos x); b)

I(x) =

arcsin(sinx);

c) f(x)

=

arcsin(cosx);

d)

f(x)x - [xl·

-



\ ,

\

/ I '

h

j

P I :

'f .

i

I

1\

\

I

C -

. ,

I:

I

,

= :

-

Capitolu12

Funct

ii

de mai

_multe

.... '-- ~ ~ :

variabile

~ ~ ~ . ~ ~

2 1 Limite Continuitate

2.1. Sa

sc

calculeze urUlatoarcl

c

limite:

2X2

-

x

-

4.

· x

+

2 2

2. lim + 1x

.

hm

2 ;

x ~ o o Y X I . l

X-400 X

+

1

2X2 + 2x + 4.

·

{; x2+1-1

3. hm

;

4. lim x

_ 8x +

5

3:-400

x-400 .

X

+ 1

2

x

· 5x + 1)2 2x -<If

6. lim

r;;:;

5.

11Tn

2

3 2 ;

X-400

8 + xvx

x-400 X + X +

2

. JX-1

- 6x + 9

8.

hm - 2- -1 ;

7. lim 2 9 ;

3:-41 X

X 43

X -

27

10. lim J

x

2

+ 5x +

6 -

x;

9 l i m ~ ;

x 4OC

X 427

VX

- 3

11. lim vx + a- Vi

12 .

lim

x +

Vi

- Tl)

;

3:-400

x- 4 00

v f+Sin x -

v 1=

sin

x .

13

r cos ax - cos bx

\

4

. 1m

x

2

3: 40 .

C

.

x ~ ~ ;

16 r arctg3x.

15 r

x -

sin

4x .

.

s i n h

. X +

sin6x

2 h +3

2

1

L\X

17. lim

x

+

x

+

2) - ;+ l

18. lim sin - + - .

(

x 4oo

-400

(

x

2

+ 1

X.

x

e - e

. CaL + e

bZ

)

20. hm 2 ;

19. lim :

X-40

X-40 sinax - sinbx

2

1

1l x

1. lim In(x

+

eX

,

22. lim - In , 1-1

- .

3x

3:-40

(

X

V -

x

3:-40 In(x

4

+ e

)

17



18

CAPITOLUL 2 FUNCTII

DE MAr MULTE VA

RIABILE

2.2. Sa se studieze

e x i s t c n ~ a

limiteifunctiei J in punctuJindicat:

[lJ 'x t 0

a) J(x) =

X

x In

punctul

Xo =0

{

O,x = 0

r

2xsinx,x>

7r

b) f(x) = - in punctuJ Xo

=

7r

{

X

e -

lr

- l x

<7r

2.3. Sa.

se

verifice

dadt f

are limita. Inpunctul Xo:

' ..-'.

- . . . , . . - , , ' :

t '

, . < ' _ c ~ : = . ? ~ - - = - - - : = . ? ' : . :

-oa} J x ) ~ l x l + X + I Xo =

b) f(x)

= ~ , . E O =

0

x-3

X

t 3

2.4.Se

da.

funqia

f:

D --+ lRJ{x) =

{

~ - t ~ : : undeDestedomeniul

maxim de definitiealfunctiei. Siisc studieze continuitatea in Xo =3.

2.5. Sa.

sc

determine parametrii

reali

0:',

{J astfel

incit funqia

f: JR

--+ lR

SinX

X

<

0

J(x) =

{

1f' sa fie dcrivabiJii

peR

x +O:'x +

J ,

x;::: 0

x3

-

2x,x EQ

2.6.

Se

considera f u n c ~ i a f: IR

-7

IR.

J{x)

= 2

{

X

-

2, x

ElR\Q

Sa

se determjne 0:' E lR astfelincit

lim

J{x)

x--+C>

sa

existe.

- ,

J

e-;r ,sin

2 . 7 . F i e f u n c ~ i a f : I R . - - + l R f x ) =

x '

{

a , X

=

0

a E lRa.c;tfel

inclt functia

Sa fie

continua

in O.

2.8. Sa se

studiczc continuit

a tea functiiJor:

1. f(x) = x2+i

x

l

Ixl

2, f(x) =

Jul

I

1

3.

f(x)

= er+2

I

•

f(

;

: =

l+ Th

e

I

r

,J( x )

=

arctg

x=3

x E lR

0

{}

,

Sa

sc

determine

2.1, LIMITE.CONTINUITATE.

I!}

z 9

6.

f(x) = x - 3 xt=3

{

4, x

= 3

, ; .i • •6.:

{x, ' x Q

..

7.

f{x) = -x , x E

lR\Q

3X

- 2,

x

E

Q

8. f{x) =

{

x'l,

X

E lR.\Q

9.

f(x)

=

{S inx , x EQ

cos

x, x E

lR\Q

10. f{x)

=

{e--fz, x t

0

0,

x

=0

11.

f{x)

= {max(x,x

2

X

3

),

x:-::;:

0

min{1

+

, ~ ,

eX)

, x>

0

12.

f(x) =

max(x

2

+

12,7x)

13. f(x) =min{x

2

+4,

5x)

1

14. f(x) =e;c,

15. f{x) = I

1

c'

2.9. Sa se

studie

ze punctele de discontinuitate ale func t iei f precizindu-se

natura

lor :

1.

f:

TH

--+

IR ,

f(x)

:: {XSin

+

c o s ~

x

t

0

0, x

0

2.

f: IR--+

lR,f(x)

=

{x+ X ~ I '

X

t

1

1, x =

1

. «:;;i

2.10. Sa searate ca

f :

IR --+ lR

are

proprietatea lui Darboux"S

1.

f{x) = { X C O S ~ x t 0;

0,. x

=0

c o s ~ ,

x t

0

2.

f{x) = , a

E

[-1,1]'

t i ,

x

=

0



jl

lij

; III

CAPITCjLUL 2,

3, f(x) =

{COS

c o s ~ ,

0,

2.11.

Sa se

arate

ea

f :

R

-+

lR nu are proprietatea lui Darboux:

1. f (x)

= { c o s ~ , x i-

°

a

[-1,1

a, x =°

2. f(x) = [x]

: ; ; ~

xElR\Q

2.2

Spatii met

rice

2.12.

Sa

se arate ca f u n c ~ i i I e urmatoare sunt mctrice pe s p a ~ i i l e indicate:

1. d:

lR

x lR

-+

JR, d(x,y)

=1

aretgx

2.

d: (0,00) x (0 ,

00)

-+ lR, d(x , y)

3. d

l

: lR

n

x

lR

n

-+ lR ,

d

l

(x,

y

,1Inde x

=

Xl,X2: ..

.

,xn),y

=

4. d

k

: Rn

x

lR

n

-4 lR ,

d,,(x,y)

cu

k

> 1 x

= (Xl.,X2, ... ,X

n

),y

=

5.

d: R

n

x

R

n

-4 JR

,

d x,y)

2.13. Sase

stabilcascii dad functiile de mai jos sunt Dorme:

1. . iii

:

lR

n

-+ lR

,

FUNCTlJ

DE MAi MULTE

VAillABILE

xi- °

x

= 0;

u l

, ;

,

arctgy 1

=

1 In

x

- In

y

1

n

= L 1

x - Yk

1

k ~ 1

.

(YhY2,

',Yn)

n ) t

=

1

Xi

-

'iii

I"

(

1

=1

(YI,Y2, ...,Yn)

n

1

Xk

-

Yk

I

= L 1+ 1Xk

-

' Ik I

k=1

n

IIxll l=Llxl

k=1

2.2. SPATH METRICE

x = (XI ,X l ... , x

n

) E JRn

2. . lk :

JR.n

-+ IR

,

U; I ~ ~ = (t 'lx'; : : ~ Q H ) . -

1 1

"

_

, x = (Xl,X-.

',

..

.

,x

n

) E

lR

n

3. X

= cl([a,b],lR) = {j:

[a,b)-+1R..,f continua}

rp

':X -+1R,

( I , -j ( . ' : < :

r f f - ~ ~ a x I C;Y11T

zE[a,b]

4.

X = CO([a,

b],

R) = {j: [a, b]

-+

JR.,

f continua} , II .

III: X

-+ JR

21

1

f 11r=

(r

f

2

(X)dX)

2

i[a,b]

2.14. Fie

X = {j If:

[a,

b] - t 1R

integrabila

Riemann} r.u structura

de spatiu

vectorial real. Se considera functia 0, .) :

X

x

X

-4

JR

, ,

(f, g = r f (x )g(x)dx

i[ a

,

b

Sa se verifice:

1. Dad aceasta f u n c ~ i e este

produs

scalar

2.

Daca

se

notea.za

Y

=

CO([a,

b];

lR)

,

§i

se define§te funct

ia

d: Y x Y lR,d(x,y) =1\ f - 9

II .

Sa se

arate

ca X,d) este spatil.l

. metric.

2.15. Sa.

se precizcze dadi functiile de mai jos

sunt

produse

SCil.lare:

1. X

= CO(

[a, b] ;lR), r.p: X x X -+ lR ,..:p(:_.

2. rp :

lR x

JR.n -+lR, r.p(x,y) = xAyT

3. X =

C1([a,b];lR),rp:

XxX - t lR.,rp(j,9) = J:[J(x)g(x)+f'(x)g'(x)]dx

2.16. Sa.

se cerceteze existenta unnatoarcIor limite §i In caz

di

exista., sa se

http://slidepdf.com/reader/full/notea.za

http://slidepdf.com/reader/full/notea.za



22

caJcuJeze:

1. lim

(x,y)-+(O,O)

3.

lim

(X

,y)4(O,O)

5

I

. 1m

(Z,Y)4(O,O)

. ' .

7. - liln

(Z,Y)4(O,O) x

6

+ y6' :

2.17. Sa

sestudieze

continuitatea

inorigjnea

unnatoarelor c ~ i i :

1. f(x,y) =

{ x ~ ) : ~ '

0,

, y ) = { x ~ ~ 1 2

0,

5. f(x,y)

=

{ ~ : ~ ~

0,

7. f(x

,y)

={X

2

x;.

y

2 ,

0,

9.

f(x

,y) =

{xsin;y

,

0,

l l . f (x,y)=

{

13.

f(x,y)

= {(X

2.18.

Sa se

continua

in origi!1e :

1. f(x, y =

0,

2. f( x

,

y) = {

0,

.,

f('

)-

{ ( S ~ : ¥ ) a ,

.]. y-

0,

CAP

lTOLUL 2. PUNCTII DE MAl MULTE

VARlABlLE

•

x2

,.

y2

x - y

2. lim

- - ;

.. ;x

2

+

y2 +

1- 1

(X,Y)4(O,O) X + y

J x

2

y

2+1 -1

x

2

y2

1

4.

lim .

x<

+

yL

(X,Y)4(O,O) x

2

y2 +

(x - my)4'

.

(2

2

sm

x x

+ y )

· 1- cos(x

2

+

) /)

6 I

1m .

x

2

+ y2

. (X,Y)4(O,O)

(x

2

+ y2)x

2

y2 '

I

€-'+.2

_

"'

. .

_

.a

.

lim ( 1 + x ~ 1 1 I 1 )

~ 2 ~ , 2

\X,Y)4(O,O) - ....

(x,y) (0,0) 2. f(x,y) = {Xl"' YZ ' (x,y) (0,0)

(x, y) =

(0,0)

0,

(x, y) =

(0,0)

( x , y ) ~ ( O , O ) 4·f(x,y)

= {X

2

Y

l,

( x , y ) ~ ( O , O )

x,

y)

=(0,0)

0,

x ,

y) =(0,0)

(x,y)

(0,0)

6.

f( x

,y)

=

(x,y)

(0,0)

(x, y) =

(0,0)

0, (x, y) =

(0,0)

(x,y)

=

0,0)

8.

f(x

,y)

= { f ~ (x,y) =

0,0)

(x,y)

- (0,0)

2 ' (x,y)

- (0,0)

xy=/=O

1 0 . f ( X , y ) = { ~ : : : ; j '

x=/=y

xy = 0 0, x =

y

X.

( )

..J. (0 0) , {X ,}X2..1-3Y2

x

2

+y2' X,y

~ 12·f(x,y)

= X 2 + ~ 2 ' (x,y) =/=(0,0)

0, (x,y)

=(0,0)

0, (x,y) ==(0,0)

2

+ y2)coSxZ!yZ' (x,y) (0,0)

0,

(x, y) = (0,0)

determine

pentru ce valori ale lui 0' functia f:

JR2

-+

JR

estc

{J1X

<> sin jx j ! jy j '

(x,

y

(0,0)

(x,y) = (0,0)

( J x i ~ f ~ I l (

(x,y) (0,0)

(x,y)-(O,O)

(x,y) = =

(0,0)

(x,y) ==

(0,0)

..

apitolul 3

alenl diferential

3.1 Diferentiabilitate.Derivate partiale.

3.1. Sa se st

udi eze

d i f e r e n ~ i a b i l i t a t e a

inoriginea

urmatoarelor

funct

· . l . · ~ h i - -

\

== t :

ii

:

1. f(x, y) =JiXY

2. f(x,y)

=

{ , } X

~ ~ Y 2 '

(x,y)

(0,0)

0, (x,y)

=

(0,0)

3.

f(x,y) =

{(X

2

+ y 2 ) s i n X 2 ~ y 2

(x,y)

(0,0)

0,

(x,

y = (0,0)

x2_y2

4. f (x ,y )=

x y ~ ( x , y ) ~ ( O , O )

{

0, (x,y) =(0,0)

5. f(x ,y) = ? : ~ 2 ' (x,y) ( O , O ~

0, (x,y) =

(0,0,

3.2.

Pentru f u n c ~ i i l e compusc de maijos,

sa

se calculeze derivatele

p a r ~ i a l e

indicate:

1.

u(t)=e:x-

2y

,x

=sint,y =t2;

1lt

=?;

t

2.u t) = x

2

+

y2

+

xY,x = sint,y =e ; 1lt

=?;

3

z(u v)

=

x

2

y

_

y

2

xx =

ucosv

y

=

usinv '

az =? fu. = ?

, ' , 1

u . u . ,

4.

z(u,v)

==x

2

Jny,x= ~ , y 3 u - 2 v ;

az

_7· fu. -?

au

- . , au -. ,

5.

u(x,y) =

j(a.x,by),f

E C

2

(R2) ;

2

a'u _7 .

alu _?

a u

-?

aXI

-.,axay -·,w -.,

2

a

7.

u(x, y)

=

f(xy , f

E C

2

(JR );

2

2

2

u

_7

a

u _?

a

u -?

aXI - ., axay

- . ,

W - '.'

2

3

8.

u(x,

y,

z)

==

f(x + y

+

z,x

2

+

y2 +

z '2

);

f

E C

(JR );

23



CAPITOLUL 3. CALCULDIFERENTIAL

a'u

_?

D

2

u _ ? a

2

u _ ?

[)2u

_'7.

a

2

u

_?

8Xi

- . ,

ax&y

- . , lfij(Ji.-., fi7 - ., azr -.,

9.u(x,y,z) =f(ax,by,cz);f E

C

2

(R

3

):

a

2

u _ ? a'u _ ? a

2

u

_ ? fPu _ ?

a

2

u _'7.

8Xi -:" .iX&ii

- . ,

lJiiliZ - . , 7iir -.

azr

-.,

10.

u(x, y)

=

f(x

2

+

y2,x2:'-'

t},2xy)j

f EC

2

.JR3)j

..'

. ,.....

r - ~

iPu

a

2

u

_ ?

a

2

u

.

_?

ift1

- . ,

i1xlfij -. iijI

- . ,

11. u(x,y) =

xPyqj

a m + n U ? N '

~ = · P q E j

I

~ . - : : : , f , ; l ~ ? ~ ~

~

/Jl.2t

~ = ;

13.u(x,

y, z)

= xyze

x

+

y

+

z

;

am n ,.u

-?

8xf ay

n

z

r

-.,

14.

u(x,y,z)

=

eXYZj

[)3u _ ?

axBy8z - "

3.3. Pentru functiile de mai

jos

sa

se

verificeegalitatile:

1

z(u

v)

=

arctg

x

=

u +

v

Y = u -

v'

az +

az

= u-v .

.

I' , , &U lfV U

2

+V 2 '

fl

2.

z(x,y)

=ip(x

2

+

y2),ip

E

CI(.JR)jyg; -

x g ~ = OJ

3. u(x, y) = sinx+f(siny-sinx), f E CI(JR)j ~ cosx+ cosy = cosx cosYj

4

( )

-

y

fECi IR) '1az + 1az

_ z .

•z

x,y - f(x2 y2) ,

xex

yBy - r '

5. z(x,

y)

= ( ~ ) ,

f E

C l R ) j x ~ + = OJ

ill

6

u(x

y z) = xkf(l. I.) kEN f E CI(R2). + yaU+ zOu =

ku'

.

x ' x" '

ax

ay t f i '

7.

u(x,

t) = ip(x - at) + 1f;(x+ at),

ip,

1f;ECZ(R)j = a 2 ~ ;

a

2

a2

" 2

8. u(x,

y)

=xf(x

+ y)

+

yg(x

+

y), f,g

E C

2

JR)j

ax i

- 2 ~ + =

OJ

9.

u(x,y)

=

p ( ~ ) + x 1 f ; ( ~ ) , t P E C 2 R ) j X 2 ~

+ 2xY::6;; + y 2 ~

= OJ

10

.u(x,

y)

=c,o[x + j (y)J, 1,0 ,1/; E C2(lR)j: ::6;; = ~ ~

3.4.

Sa

seca1culeze d i [ e r e n ~ i a l a indicatapentru functiile:

II

1. u(x,

y) =x

3

+

y3

-

3xy(x

- y);

d

3

u

=7;

2. u(x,

y) = sin(x

2

+ y2);

d

3

u

=?;

3.

u(x, y) = in(x +Y)j dlQu=?;

4.

u(x, y) = cos

xcb

y;

£i6u=7;

ri

5. u(x,

y, z)

=

xyZj

d

3

u

=7;

6.u(x,y,z) =xXyyzz ;d

4

u =

1

;

7.

u(x,y) =

e=+byjd"u = 7;

8. u(x,y) = f(x)g(y);f,g E C"(R)

;d"u =7;

9.

u(x,

y, z) =

f(x

+

y

+

z); f

E

cn(R)j

d"u =?;

3.i - EXTREME.FUNCTJIIMPLICITE

10.u(x,

y, z)

= eax+by+cz;

d"u = ?

. 3.5.

In

e c u a ~ i i l e

urmatoare'

s

se efectuezesCbimbarile

de

variabileindiCate! .

.

.

e... "·r . _ L,...,.J1ra_..1:5,....r . . .

1 x2a

2

y + 2x8y + a' y·="Oldaci.x ( r i ( t ) = .

'

t- .., ... . .

· 8Xi ax X7 . ...

I

2. 1 -

x

2

)

~

- -

=

0,

daca.X=

ip(t)

costj

3. yM - = 0,dacau =x, v = x

2

y2,

u, v·Doilevariabileindependentej '

4. ~ +

=

0,dacax

=

pcos 8, y =

psin

8,p,8- noilevariabileindepen

dente

- - £. - ~ : ' ~ : i ;

a2z a

2

z _0 d

v _

~ 2 _ V 2 . -

5· 8Xi

+ +

m z - , acax -

Y -

uv

y • .

\\ - " 1

V

6 a

2

z - 4 a

2

z +

3

a2z

= '6

daca

u = 3x +y' v = x +Y . .•"- . '

· 8X7

8xlJY lfilI ' , .

7.

~

+ 2cosxJz'ay -:sin

2

x ~

- s i n x ~

=

0, dacau

=

sinx+ x - y, v =

sinx+ y

2

a2

2 .

8. xya z +

(x2

+ y2)_Z_ +xya z_ yaZ

_ x

az

=

0 dacii

t =

x

2

_y2 V =

II

8X7 axBy liil ex By , x

2

9.X

2a2z

+2

xy

a z

+ y 2 C f 1 z + x ~ + y a Z k 2 _ = 0 dacau=l l v= y

.

8Xi ax8y

lfilI ox By

', x'

3.6. Inecuatiileurmatoare

sa

se efectuezesehimbarilede variabile indicate:

t,

;

1. Y M x ~ = (y-x)z, daca.u=

x

2

+y2, v = ~ + ~ -variabile independente,

w =Inz - x - y ·este0 noua

f u n c ~ i e

r

2. (xy

+

z) g;

+

1

-

y2) = x

+

yz,

dac3.u =

yz

- x,

v

= xz - y- variabile

independente,w = xy - z-este0 DOUa [unctie.

3.

fxt + 1 x 2 ~ + =

0,

dacau = x +

y,

v = x -

y-

variabileindependente,

w = xy

- z-este

0 noua[unetie.

3.2 Extreme.

Functii

implicite

3.7.Sa

secalculezcderivateleurmatoarelor[unctii,definiteimplicit,inpunctele

indicate:

1.

F(x,

y)

=

XO

+ yO +

xy - 3; (xo,

YO) = (1,1);Y= f(x);

2.

F(x

, y) =x

3

+

y3

- x

2

- y2;

(xo

,Yo)

= 1,

l);y =

f(x);

3.

{FI(X,y)

=x+2 y - z - 3 . " .:

F2(x, y) = x

3

+ y3+

z3

--

YO,ZQ)

= (1,1,0);y =h(x); Z =

Jz(x)

2 . '

4.

F(x,

y)

=

x

2

+

y2)

-

8a

2

xy,

(xo,

YO) = (a../2 ,a../2);

y

=

f(x);

2 2 2

5.

F(x,y,z) = + +

-l;(xo

,

YO,zo)

=(O ,D,e); z =f(x,y).

3.B.Sasedeterminepuncteledeextrempentrufunctiile:

1. f:

IIi?

-+

lR,

f(x,y)

=

x2

+

(y_1)2;



CAPITOLUL 3.

2.

I;

lR?

JR., f(x,y) = (x 2y+

1)2;

3. I :

lR? JR., f(x,y) = x4 + y4 -

x

2

;

4. I:

, J R .

f(x,y)

= (x

2

+ ~ ) e - ( : c

2 + l

5. I; R2-+ R, I(x,y,z) =

x

2

+

y2 + z2

-

6.

I :

JR3

-+.JR,

I(x,y,

z)

=

x

2

+

2y2

+

z2

7. I: JR2

-+

.JR, f(x, y) = (x - y + 1)2j

{J ) I : JR2

-+

JR.,

f(x,y)

= x

3

+ y3 -

3xy

+

2;

9. I : JR2

-+

JR., f(x,

y)=

xyln(x2

+

y2)j

10: j : R3

=

-m., 'f(x, X

2

i+

y2 - -

z { + 2 . : 1 :

11.

I: JR2 -+.JR, I(x,y) =

x

2

+

xy

+ y2

-

12. I:

JR2

-+

1R.,

I(x,y) = s

inx+cosx+cos(x

-y) , 0

s: x s:.q.

0 s:

y s: .q.;

13. I: JR3 -+ JR., I(x,

y,

z) = 2x2 +

3y2

+ ~ z 2

14

. I ; JR3

-+ JR., f(x,y

, z)

=

x

2

+

y2

+

z2

+

2x

+

6y

15. f; JR3 -+ JR., I(x,y,z) = 3x

2

+

4y2

+

3z

2

16. I: JR.2 -+

JR, I(x,

y) = x

3

+ y3

8xy;

17. I:

JR2\{(0

OJ} -+

lR.

I(x y) = a(x+Y)-1

, . , X

+y2

18. f;

JR3

-+

1R.,

f(x,y ,z

)

=

2x2

+y2

+

z4 -

19. I: JR2 -+

JR.

,

f(x, y)

=

X4 +

y4

-

4xy;

20. I:

JR2

-+ JR.,

f(x,y)

=

l+x-t,

.

,Jl+x2+y2

3.9.

Sa se

determine

puncteJe de extrem

e o n d i ~ i o n a t , e u

legaturile indicate:

1.

I(x,y) = xy ,culegatura g(x,y) =

x

+

Y

2. f(x,y) =

x

2

+ y2,

cu

legaturag(x,y)

= +

3

I ( )

1 I J

\

1

.

x,y = x

+;;

,CH

egaturag

x,YI=?+!j'1-Ql"

4.

I(x, y,z) =

x

-

2y

+ 2;;, cu legatura

g(x, y, z)

5. f(x,y,z)

=

x

+

y+z

,

cu

legatura

g(x,y,z)

6.

I(x,

y)

= cos

2

X+

cos

2

y,

eu

legaturag(x , y)

7.

I(x,

y, z)

=

xy2

z

:J, cu

iegaturag(x, y, z)

=

x

> 0, y > 0, z > 0,

a

> 0;

8. I(x, y , z) = xy z

,cu

legatura

g(x

,

y,

z) =

{

9. I( x

, v, z)

= xyz, eu Jegatura

g(x, y, z) =

10.

I(x,y) = J

+

~ , c u

legatura

g(x,y) = x

11

I( )

2 2 2

1 (

. .

x, y,

z -

x

+

y + Z ,eu egatura

9

x, y,

z

2 . I(x,y) =

x

2

+ y2,

cu Jegatura g(x,y) = J +

CALCUL

DlFERENTJAL

xy +x - Zj

2xy

+x

-

2zj

4;

4lnx .-1OInYi

2xz - 2yz - 2y -

6z;

6z;

4xy - 4xz -

2z

+

1;

a

E lR.:

,

xy - XZj

1

=

0;

-

1 = OJ

1 1 0

= ;

=

x

2

+

y2

+

z2

- 9 = 0;

=

+

t

+

- 1

=

OJ

= x

-

y

- =

0;

x

+

2y

+

3z - a

=

0,

{x2 +

y2

+ z2 - 1

=

0

.

x+y+z=O

X+

Y

+Z - 5=0

xy+xz+yz

= 8

2

+

y2 -1 = 0;

)

_.,2 i .. z2

1 -

O.

-

9'

+

4

+ T - _ ,

- 1

= 0;

3.2. EXTREME.

FUNCTn

JMPLICiTE

27

13 . I( x , y) = ) 4 - x

2

-

y2;

cu

Ic

gatura

g(x

,V) =

x

2

+

Y

-

1 = O.

2

3.10.

Fie

f u n c ~ i a y(x)

defillita implicit de

ecuatiax - 2xV + y2

+

X

+

Y -

2 =

o.

Sa sicllcwezeY'(l) iP)(l)

dacl.

y(l) d '

l

I e , , " p;

\

r-tII

3

Ecuatia

x

+ y3

-

3axy =

0,

a

f=.

0

defin€te implicit

functiay

y(x).Determinati

extremele locale ale functiei

y(x).

3.12.

Sase determine extremele locale

ale

,functiei

z

,:",

z(x;t j i e f i n f f a p l i c i t

de ecuatia

y2

-

x

2

+

z2

'

!.. 2y

+

2x

-

4z - 12

=.0cu lega

turay = 1.

3.13.

Sase determine extremele locale ale functiei

z

= z(x,

y)

definita. implicit

de

ccuatiaF(x, y, z)

=

x

2

+

y2

+

z2 - 2x + 2y

-

4z - tb o.

l

>

3.14.Sa

se calculeze

t daca

z

= z ( ~

este definita implicit de eCllatia

z

+ F(x,y

,z

)

=

0

unde

F

E COO (JR.3)

. . .

3.15.

Dacl

z

=

z(x,

y)

este definita

implicit

de ec

uatia

2x2

+

2y2

+

z2

-

8xz

z

+ 8 =

O,sa

se calcuieze dz,

d

2

z

pentru

x =

2,

y

= 0

!l

i

z =

1.

S

· I d t

{x2

+ y2

-

z2 = 0 d fi

.

Ii

f

1

3

.

16

. lstemu e

e c u a ~ l l 2

?

2

e,

n e ~ t e

Imp

CIt

ul1etll e

x

+

2y-

+

3z

= 0

y

= y(x)

§i z

=

z(x).

Sa se calculeze y' §i

Z l

pentru

x

=

l , y = 1 §i z

=

1

2

3.11.

Eeuatia

F(xy ,x

-

2xyz)

=

0

,F

E

C1(IR?)

d e f i n e ~ t e implicit funetia

z=z(x,y) .

Sa se calculeze expresia E = xy

_y2 ~ ~ .

S

·

1

d ..

{x2 + y2 - 2z2

=

0 d

fi

. I"

f

f"l

3

.

18

. lstemu e ecuatll 2 2 2 e

n ~ t

Imp

lClt u n e ~ 1 l

e

' .

x

+

2y

- 3z =

0

y

=

y(x)

z =

z(x) .

Sasc calculeze

y"

§i

z"

pentru

x

= 1.

3.19. Sa se det ermine

y (XO) y"(xo),

pentru

y

= y(:r:) definita implicit In

vecinatateapunctului

M(xo,yo).

1.

x

2

+ 2xy + 4y3 - 12 = 0, M(2, 1) ;

2.

x

3

- Y - cosy = 0, M(1,O);

3.

y -

2xarctg

;

=

0,

M(1,0)

3.11.



28

.

CAPITOLUV3 CALCUL DIYERENTIAL

4. In{x

2

+

y2)

-

arctg? =

0,

M{1,0)

5.

x

3

+

xy2

-

2y = 0, M 1 , ~ ) .

3.20. sa

se determine punctele de

extrem

ale

f u n c ~ i e i Y = y(x)

definita implicit ,

n

vecinatatea

lui M(xo, YO

2

1.

x4

+

y4 x -

=

0;

2. x

3

? - x + y

=

0;

3. x

3

+ y3 - 3xy =

0;

4. xe-XY

= 1;

:::; -

3.21.

Sa. se

determine

dz(xo, YO £2 z(xo,

YO

pentru z z(x, y

definita

implicit

in vecinatatea

punctului

M{xo, Yo, zo):

3

1. z3

-

3xyz

-

a = 0, a

¥

0, M(O, 0, 0);

2. e

Z

- x

-

z

- xyz

=:.jO, M(l, 0, 0);

",2 • y2

2

3. . . + ? - 1 = 0, M 0,0, c

4.

sinxy + sinxz + sinz =

2,

M 1 , ~ , ~ ) .

3.22. Sa

se determine extremele

f u n c ~ i e i

z

=

z(x, y)

definita implicit prin:

1.

x4 +

y4 + z4 =

2{x

2

+ y2 + z2);

2.

2x2

+

6y2

+ 8xz - 4x -

8y

+ 3

=

0;

3.23. Sa

se determine

y y"

dadt

j

x

2

+

y2

- arctg ' ..

=

0

x

3.24. Sa se

determine pentru

x =

y

= 2, z

= 0, dacii

{x +

y)e

Z

- xy - z =

0

3.25. Sa

se determine ji pentru

x = y = z

= 0, daca

Z

x

Z2 -

xe

Y

- ye - ze = 0

3.26. Sa.

se determine

z x pentru x = y = z =

0, daca.

x In y + y In z + z

In

x - 3 = 0

3.21. Sa se arate ca zsin

-

y2 g; =

0 dacii

(y + z) sin z -

y{x

+ z) = 0

3.28. Sa.

se arate ca. z{x + - y(y +

=

0 dacii

y{x

+

z)

-

(y

+

z)f{z)

=

0

3.2.

EXTREME

FUNCTII

IMPLICITE

x + y + z = C

3.29.

Sistemul de

ecuatii

define jte implicit funqiilc

y = y(x)

{

xyz

=

b

ji

z

= z{x).

Sa se calculeze y z .

x2

+

y2

+

z2

=

1

3.30

.

Sistcmul de e c u a ~ i i

2

defineijte impJjcit f u n c ~ i i l e y

=

{

x y= z

y(x) §i

z = z(x). Sa se ca1culeze

yl

ji Zl

3.31.

Sistemul de c c u a ~ i i

{x2+

y

, W ~ 1 J

= ' : ' : ' d e f i n ; ~ t ~ ~ ~ i t

t u l l c ~ i i l e

x+y+z+u=l

z =

z{x,y) ji

u

=

u(x,y).

Sa 5e

calculeze

z ~ z ~ , u ~ , u ~ .

L



V

____ .

; : ; :

;: - ;

apitolul

Integrala

4.1

Primitive.lntegrale Riemann.

4.1. Sa

calculcze

urroatoarele

integrale

r a ~ i o n a l e

:

1.

J

X ~ I ;

°

;

I

2

J

dx .

· x"- I '

2

dx.

3.

J

x

x"+I'

dx .

4 J (J.Jx)2(l+x2)'

d. t .

5

·

J

x

3

+1)2'

J (x2+x+i)dx . x E (-00,1);

6.

(x

-

l)3(x

2

+x+I)2'

4.2.

Folosind

substitutiile

lui Euler,sa. se calculeze integralele :

1. J

E (0,-1 + -/2 ;

1+

-

- x

2

J dr .

·

xJ(x

2

-1)(4 - x

2

)'

3. J

xJx2

+ 2x + 2dx;

4.J

~

I+x I+x

4.3.

Sa sc caJculeze

urroatoarele

integraJe binoroe:

1. J

Jx

3

+ x

4

dx;

2 J

1 + ~ 2 ;

3

J dx .

· l + ~

4

r

x

5

dx .

.. ~

5 J

vl x

4.4. Sa

se calculeze int egralele trigonometrice :

31



32

1.

J

. .dx 4 ;2 . J (tg

2

x+tg:;x)dx;

s n ~

eos

J

.. dx I

3.

sm5xcosx ;4.

sinx

5. I tgxtg

(a

+ x )dx;

6.

7

I

sin

2

xdx.

8 I

sin

x

cosxdx.

·

l+sin

2

x" s inx+rosx'

9

I

dx

10

I

sin

x-cos

x

· sin

4

2>+-C05

4

x; .

sin z 2 OS

x

4.5. Sasecalculeze integralele

(se

va

folosi

formuladeintegrare

prin pil.r1ji):

.1.I x

2

e

3x

dx; . .

.'

--

-.':"'':''

2. I e

ax

cos

2

bxdx;

3.

I xcX

sinxd x

;

I

d:c

4. Vl+e.";

5.

I arctg

.jXdx;

6. I x In(

I+x )dx'

i x

7. I sinax sinbxdx;

8.

I

'; x

2 -

a

2

dx

;

9.

I , ;a

2

- x

2

dx;

10. I ';x

2

+a

2

dx.

4.6.

Sa secalculezeurmatoareleintegraledefinite:

I

1. J v'f=X2dx ;

2

2.

I ~ 2 1 1 xl2dx;

3

(27r

dx

d

· Jo 2 a b c x;

4

I

l - x

2dx

· Jo arccos

l+x

;

(V3 :2

5. J o ~ x arctgxdx;

6.

I

0

41n(1

+ .gx)dx ;

7

Ie ./ifiX dx

· 1

x(

J+

/ifiX)

3

,

8.

1

arcsin

x-J dx'

Jo

' ;2(x2+1) '

9. I ~ 2 ( l x 3

xl

+ Ix + 2l)dx;

10

1 In(l+;Jd_

· Jo l+ x x ,

11.

(ro eX sin

2

xdx'

10 ,

12 .

Io

f

o < ; n _ ~ k L ; l a l i-Ibl i- 0.

4.7.

Stabilindintiii 0

r e l a ~ i e

de

r e c u r e n ~ a

1.

Io f

sinn

xdx;

4.

4.10.

4.2 . TEORJA

MASURJJ.JNTEGRALA LEBESGUE.

CAPITOLUL

4.

iNTEGRALA

2.

fol 1

-

x

2

)"dx;

dx

3.

fd

xm(lnx)"dx;

sinai

t s in(2n+

1)x

d

JO

SIn x

X.

( 2 + = S ~ )

sin.

,;

i .

.\ . -

liJ

d

X.

4.2 Teoria masurii.lntegrala Lebesgue.

O;x<

-1

4.8.

Fie

F: R F(x)

~ l ~ S x X ~ ; ~ e b e s g U e

{

9;x:::: 2

Stieltjescorespunzatoare. Sasedeterminemasura urrnatoarelor m u l ~ i m i :

a)

{2}

; b { - ~ , 3 } ;c)( - I,O]U

(1,2)

;

d)

[0,

t)

U(1,2] ;e)

{xllxl

+ 2X2 >

I}.

t>

4.9.

Fie masura Lebesgue-Stieltjescorespunzatoare uneifunctliF crescatoare

continua ladreapta F(oo)

=

I,F(-oo)

=

o sa. se cercetczc valabilitatea

urmatorclor a f i r m a ~ i i :

a)

A

E

B

numarabila

> fJ(A)

=0;

b)

fJ(A)

> 0

> A c o n ~ i n c

un intervaldescbis;

e)

fJ(A)

>°

fJ(lR \

A) =

0

> A este

densa

InR;

d) sa. seanalizeze b) §i c) daca. fJ esternasuraLebesguepe JR.

Exemplude m u l ~ i m e care nu e borelianiL NurnereJc x, y E lR vor fi

numite ecbivalentedaca x - y E Q. Dinfiecareclasa de e c h i v a l e n ~ a alegem

un

reprezentantce

a p a r ~ i n e

intervalului[0,1]. Notamcu

A

multimeaacestor

reprez entan ti.Avern:

1.

Dad.

1',

SEQ

,

l i-

o

atunei (1' + A) n(s + A)

= Q(r

+

A

=

{y E lR

I

y=r+a ;aEA}) ;

2. JR=UrE<Q{r+A};

sasecalculeze integralele:

3. Daca. A E 13 > l + A E

13

Daca fJ este masuraLebesgue atunci

I..I A)

=

0

>

11(1

+

A)

=

0;1'

E

Q.

C o n t r a d i c ~ i e

eu2)



C A P j T O { U L hVTEGR L

00

[1 - -t] In tdt =

1

e-

t

In tdt

n

1

t

[

_ n

In tdt = t

e-

t

In tdt

n

J

o

masura

Lebesgue-Stieltjes c Q r : e s p u n z a t Q 3 . r ~

J l n e i functii

:..

..

Se n u m e ~ t e

atom

aI

masurii

jJ. un

punct

x

E lR

astfel

Incat

2. Sa. se dedueaca numaru! de atomi

este

cel

multnumarabil.

4.13.Fie J L la fei ca In

problemaprccedenta

.Sa se

demonstreze

ca dadi. 1m F

este finita

,atunci

J.L{A)

-atomiea.(peste

masuraa.tomica dacaJ.L(A) = 0 ori

DefuLim E E P E) astfe : A E E ~ A este

De asemenea, definim functia

de

munime

{

daci

A estefinita

" . . A

E

E.

1,

~ c a

A este IUfiruta

nu este numiirabiladitiva(i.e. a

N.pentru fiecare A C E fie Nn A) =card(An(o,

n])

iar ; :

p(E) = lim Nn(A)

c.-IOO

-n

algeb:<i.

dar

nu este a-algebra.

2. P. esteunitaditivape; :

dar

DU este numiir

ab

il a d i t i t i v a J . L

un

spatiu

cu masw-j

:?i

F: E -7 J:\ masurabilaBore l. Sa se

= 2: p.{x/ f x) n}

T ES

34

4.11.

Sa. se

arateca:

a)

I

n

im

x-loo

1

b

lim

- ICC

io

..

4.12.Fie J.L

F

: lR

~

R

p{{x}) > 0.

1.

Sa.searateca.J.L({x})=F x) -F x-O) .

de

cite

ori

A

nu

c O D ~ i n e

nieiun atOm).

4.14. Fie E 0 mul\irne

infinita.

finita sauA

C

este finita.

.

).: E-7

{O,l}

prm: )'(A) =

Sa

se

arate

ca

. este finit aditiv3

dar

aditiva)

4.15. Fie E =

familia acelorsubmul\imiA

ale

lui E pentrucare

ex

ista

1. Sa se arate

ea

; : este0

este numita"

densitate

asiruptOtica." pe

E).

4.16.Fie (E, £ , J.L

arateca dad

p.

este finita. ,avem

1fdp.

E

35

.3. INTEGRALE IMPROPRJI.

4.17.Fie

E,

[ p.)

un spatiu

eu

masura,F

: E -7 JR, masurabilii. Bore! A E [ .

. .

Dacii.

i f d j J =

0

at unci

f

=

0, J.L -a .p .t. pe

A.

4.18. Fie (E,[,I ) lin spatiu cu masuraF: E -7 IR integrabilii iarAn,n =

1,2,3 ...

un ~ i r

de

s u m u l ~ i m i

dinF

~ ~ t f

Iueat

lim jJ.(A)

= O.

n-loo

Sa

se

arate

ca

Jim r fdjJ. = O.

n ~ o o J n

In

particular

l)

lim r fdJ.L = O

n-looJ{uI>n}

4.19.

Fie E

, £,jJ.)

un spatiueumasura , I fiind 0 masurafinita .Se

eons

idera

F: E

~

lR

masurabila

Borel c > 0 fhat .Sa se arate

ca

JJldJ.L

< X)

dad numai

daca

00

LP.{:l:/lf x)1 en}

< 00

n=O

4.20.

In

eonditiile

problemei

preeed

en

te

,

sa

se arateeli

J

IJledl

<

X)

daea. numaidad

00

C1p.{x/IJ(x)1

n} <

00

n }

-4.3 Integrale improprii.

4.21.Sa se

calcule

ze urmatoarele

integraJe

improprii,stabilindmai

Intai

o n v e r g e n ~

lor:



.36

C PITOLUL

4 '

INTEGR L

J. O>O rl:r

1.

a

X

2. fd

Inxdx

,-

i

,

froo dx

. : I · i

3.

0

l+xl

t

dx

4.

- I

V

I-x2

oo

dx

J . 00 x2+2x+2 • I

J :O d.x

6. 00

(x2+x+I)2

dx

7 '

froo

a

I+x3

x

2

d

8. fa

00

x4+1

X

9. fr oo arctgx dx

o

(Hx

2

)'1

10. f :O

e-

ax

cos

bxdx;

a

>

0

11. 10

=e-=

sinbxdx;

a

>0

12

.

[n = ~ _ ~ . \ n ,ac- b

2

>

0

13.

J.b l x dx '

a

<i

Q

b x

14

.

t dx

:a

<

b

a J(x-a )(b-

x)

'

15.

Jo'i In sin

xdx

I dx

16

. fa (x' -4

)Jx(x-

l)

17. fo

X

arctg

x

2

dx

18.

1;11

a

2

c o . L ~ h 2

c ; ~ l _; lal :/=

Ibl

19 . foXx- 1e-

Vx

dx. »".

.

4.22 .Sa se studieze c o n v e r g e n ~ a i ~ t e ~

fr

=sin

2

xdx

1. 0 ~

2 d:r.

2. II

xlnx

I

dx

3.

10

Jx(x-I)

.4.4. ,INTEGR LE CU P R METRU

37

4.

J'X co,,,xdx

71

>

0

o x"+1

'

5.

ft) X cos

x

2

dx

1.

.

2

6. f,oo In x dx

x

7.

fl

oo

~ d x

8 J

oo

sinxdx

. I

x

9. f0

4

x 16

-

10.

follnxdx

11.

f.} x ~ d x

12. t

v ~ L ,

[)

4 4

Integrale

ell

parametrll

4.23.

Sa

se studiezeF'(x)da

ca

F(x)

= j: 2e-XY'dy

4.24.

Sa

se calculezeF'(a)

daea

:

1. F(a)= ~ o s a e

a

v'f=X2

d

JSlna

X

2. F(a)= ret In (l+ax)dx

Jo

x

3. F(a)=j·b+a .in ox d

a+a

x

X

4. F(a)=o(). f(x+a,x-

a)dx

4.25.

Folosind teoremele dederivare

In raport

eli

parametrul,

sa secalculeze

integralele:

r

'i

arctg(atgx)dx aElR

1

'

)0

tg

x '

2. l n 1 - 2 a c o s x + a 2 d x , l a l

<1

3 r'i In

l + a c o s x . ~

la

l

<1

' .10 '- a cosx cosx

4.

6

1n

o+bs!nx..'!:!-·a

>b>

0

JO

a-bslI1T.sIOX

arctgJasinx)d

0 smx

X

6.

fo '

In(a

2

sin

2

x

+

b

2

eos

2

x)dx;a,b

>

0



CAPITOLUL

4. INTEGRALA

38

7.

fe

In(I

+acosx)c!x: lal

<1

rl In(i-a'x

2

)d

.

2<1

8

· Jo x

2

v'f=XI x, a

9. f""

..,.ctg= dx

J x2v'z!=l

h

4.26. Pornind

de la egalitatea e-a%;e-

=

f

e-

xYdy

sa

secalculezeintegrala:

r""

e-

O

%_e -

b

% dx b 0

Jo x

'

a,

>

4.27. Sa

se

demonstrezeJ9rmuia

luiFroul,lani "

.fo f ( = ) ~ f bx)dx =

j s t e

0 functie c o n t i n u a iar

integralar:

¥ x are sens

pentru oriee

A

>OAplicat

ii

:

r"" cos=

cosbxdx

a

b> 0

1

· Jo , x ' ,

2

r""

sin ax - siDbxdx

· JO

X '

3. fo

oo

. . , . c t g = ~ . . , . c t g b x d x

4.28.

Folosindderivareain

raport

eu

param

etrul

c a l c u l a ~ i

r"" e-

O

%2_ e

fJ

z2

dx 3

0

Jo x

,a, >

4.5

Integrale

euleriene

4.29.

Sa

seealculezeeu ajutorul

f u n c ~ i i l o r

euleriene

r

§iB:

1. fd v x -

x

2

dx

2 r""

Vi

· Jo (I+I)2dx

3 rOO x'

·

Jo

I+x.

dx

4.

fo X ~ l dx

5 rl dx

·

Jo

~ l _ : r m , n > I m> 0

6.

fo e-

xn

dx,

n>

0

r""

x

7..

Jo

xme-

n

dx

w

8. fa' sin

P

xeos

q

xd x , p>- 1,q>

-1

I)

r

no

, m

. 10 (a+b

xnjpdx,a>O b> O,np> Tn

+1>

0

rl

dx

II.

,/0

... (

1_

"":'J:+

I)

V;=;x ,"!"'

-

x

4.6. INTEGRALECURBILINII

2. .10 Tx+1)

4.30. Sa secalcuJezeeuajutorul functiiloreuleriene

r §i

B:

t..;;,

L

ul.:..n

...

'! i

\ .1 , ·'..iUL..f,

J

L I .....

..

I

O ' :.! :..I...

.z

L r x

3

e-

3x

dx

JO · .

r""

-

x3

d

. Jo e

x

2n

e-

x 2

3.

fa"" x dx

4.6 Integrale

.

curbilinii

\'

4.31. Sa

se

reprezinte parametric ,urmatoarele

eurbe:

1. segmentul de

parabola

y= x

2

+1,

x

2

[ ) 2.

segmentu\

de dreapta AB unde A(xJ,yd,B(X2,Y2)

3.

eereul

x

2

+

y2

=

R2

pareurs

pozitiv

0

datil

4.

eercul

(x - a)2

+

(y

- b)2 = R2

. x'

y2

5. elJpsa (lI +bT = 1

6. x

3

+

y.3

- 3:ry =

0

2 2 ,

7. X l

+

y i

=

a l (astroida)

8. (x

2

+y2)2 = e

2

(x

2

.:... y2)

(lem

iseata

luiBernoulli)

4.32.

Sa secalculeze int

egrala

curbilinie

feCx+y)ds

unde C

este eonturul

triunghinlui

cuvarfurile

0(0,0),

A(I ,0),B(D,

1)

4.33.

Sa

se

ealtuleze

:

1.

f e

xyds

unde C

este areul

dehiperboVi

x = aeh t ,y = ash t ,

0

t

to

4 . 2 2 2

2. feCXJ +y3)ds

unde Ceste

eurba.

inehisa

(astroida) X3 +

yl

= a l

3. Coordonatele eentrului de

g

reutate

G(xG,

yc)

alunui

fir material

eu

densitatea p x,

y)=

x+

y

aearuiimagine

este arellIde

astroid

a

X =

aeos

3

t

AB):

{

. 3 ' tE

[ O , ~ J

y

=

a

SID

t



j 1 ~ : : ( J A Y > i T O 4. ' INTEGRALA

4.

Ie )y 2_

y

)dSU nde c :{ x= t -S in t ,

tE

[ O ~ ]

• _ y=

1- cos

t

• ; .f ·

;

,

5. MOinEmtul

de inertiein raportcuoriginea0 afirului material, eu

denSitatea liniarap(x,y,z) =

xyz

avand forma arcului 'de ' ~ b a de

X

=

t

ecuat

ii

parametrice:

y =

~ t . J t

t

E[0,1J

{

z=t2

: ; ~ ; ~ ~ ~ : : :

: - : .

' : " : : ' ~ ~ ~ ~ ~ ~ ' ; ; ' : J

. _ . . j : <

..

X

= = I t ( : ( j ~ -

6.

Idx+y+z)dsundeC: ~ s i ~ ~ t'E [ O , ~ J .

{

z=

bi.

4.34. Saseaflelungimilearcelordecurba:

1. x

= e-tcost,y =

e-tsint,z=

t,O <

t

< 00

[)

2.

(x

-

y)2

=

a x

+

y),x

2

-

y2

=

~ z 2

de

la

0(0,0

,

0) la

A(I,

1,

1)

x = ~ c o s t

3,

c:

y = ~ s i n t

, t E[O,1l'J

z= t

4.

C:

x

= aln + ~

- Ja

2

- y2,

0<

b S yS

a

· .

3

fj E

[0 31f]

5

.

C

. r=as ln

3

u 2

6.

C : r = a s i n 4 ~ 9E

[

0,%]

X =

acostv'cos2t

7. C : y=asintvco

s2

t

,

0< t

<

:0:

4

{

Z

=at

3

8,

x=e

t

,

y= e

2t

, tE [O,IJ

;-

:

g C: (3 . ., . : , _

[0,2J

y=

3' +

.

X(9) =p(9) cosO

10

.C:

yeO)

= p(O) siuO

,9 E [0,

1lJ

{

p(9) = 9

11.

Y

=

Insinx,

x

E

[ ~ , ~ ]

,

r

4.

6,

INTEGRALE CURBILINII

I

tx

=

4.35.

Sa

He

calculcze Ie (x+I)JX+4Iyds uude

C;

y

=t

2

' t E(0,00)

4.36.

Sa

secalcuJezeIe x

2

+

y2 +

z2)ds uncle

Cestearculdeelice

x= aeost,y = asint,z='bt,O

S

t

S

21l'

4.37.

Sa

secalculezein tegralcle curbilinii:

1. I

exyds

, C= OA ,

O(O,O),A(-I,

1)

2. fcxds,

C

= {y ~ : t ~

3. Ie yds, C=

{y

=v'x+l,

x

E [0,2]}

4,

Ie

~ d s C

={y

= x+ 1, x E [0,5]}

5. Ie

x

2

ds, C=

AB,

A(I,2),

B(3,5)

- {x

2 .C. - }

6.

J.

e

xyds

,

C

- 4'

+

9 - I ,

y

°

4.38.

Sase calcuJezeintegrale1ecurbilinii:

1. Ie xdy + 2ydx, C :

y

=sinx, °

S

x

S

I

2,

I d

x2

- y2)dx +

x

2

+ y2)dy,C :

9x

2

+ y2 = !J

3.

Ie

~ d x +

ydy, c :

arculdecicloidax= aCt

-

sint),

y =a(I

- cos

t),

tE

[a,

4, I d x

+ y)dx + x

-

y)dy undeC : + = 1parcUIsa0

data

in sens

trigonometric

5. Ie

-

, j2xdy ullde

C

es tesemieercu lx

2

+

y2 -

2x

=

0,y

°

parcurs

Insensdirect.

6,

Iexy2dx -

x

2

ydy unde

curba

Illchisa C treceprin punctele

A l ,

I) ,

0(0

, 0),

B( - I,I), C -I , - I ) , dupacum unneaza: a) AOB este arcul

parabolei

y

= x

2

; b)

BC CA suntsegmentede

dreapta

x2 - 2x

+

y2

=

°

7. f e x

2

+ y2)dx+ xydy un

de

C :

>

°

,xE

[0,

IJ

{

y-

X

8, I dx+dy ,

undeC: -

t

2

,

t

E[

0,IJ

V

1

+

x

+y2

{

Y

=

t



42 CAPITOLUL ,4 ; INTEGRALA

{

X =

-tcost

+sint

9. I e Y d ~

X ~ ~ ~ y 2

Z ~ ) d ~ : : ~ n l t

, t E

[0,

1J

:;

: 1 . >

' '

:;. • \

i

10.

Ie

(yz

+

2x)dx

+

xzdy

+

X!;

+

2

z)dz

unde .

C = {(x,y,z) /:2

+

y2 = 1, z= 1,

A(I,

0,1), B(O, 1,

1)}

1

1'

·r

dx ·" • 2'd ....

,- ,.

....;

:.-,.:.... .. _ - o I . : :

4 E : : _ r . J =

.

e

-rZ Y

'

.. u . q u e ~ , , :

..

.

... .

~ L - ~ ~ - =

, 2 2 ' }

C={(x ,y ,z) / z=

V x2+y2 , z =6- x .+ Y )

j

12. Ie

xydx +

yzdy

+ zxdz unde

C

este conturul

determinat

de:

segmentul de

rueaptii

care

u n ~ t e

punctele

A(I,

0,

0)

ii

C O, 0,1);

seg

mentul de rueaptii care une!ite punctele B O,

1,0) §i

C O,

0,1);

arc.ul

mic al cercului x

2

+y2 = 1 (situat in planul xOy) care une!ite punctele

A i i

B C

=

(AB) U (BC) U(CA)

4.39. Sa se calculeze integralcJe curbilinii:

1

Ie xdy + ydx,C :

x(t)

= cos t, yet)= sin t,tE [0,27TJ

2.

Iex(1

+ y)dx+ y(1+x)dy,C:

x(t)

= t, yet)= t

2

,tE (0,1)

:1. Ie l,;y,dx+

1;x2dy,C:

x(t)=

(t

+ 1)2,y(t)= t, tE (0,1)

4. Ic(x

2

+

4y2)dx,

C :

x(t)=

2 cos

t, yet)=

sin

t, t

E

O , ~ )

;1. Ie rl;dx + x

2

dy,

c:

x(t)= \It, yet)= t

2

- 1, tE (0,1)

Ii .

. r ~ . xdx

+

ydy

+

zdz,

C: x(t) =

t, yet)

=

cos

t,

z(t)

= sin

t,

t E

(0,

'I,

,1;.. :r.·)'zdx

+

z

2

dy

+ xy

3

dz,

C:

xCt)= 0, yet)= t, z(t) =

1,

tE (0,2).

.....0.

H

,. t : ~ r c : e t e l . c daci formde d i ~ ; ~ a l e de sub integralasunt diferentiale

1 1 ~ 1 I I t .

I

ji IIpoi

a

se c a l c u l e z ~ :

J

11.1) (

( I. I x lI)(dx - dy)

I)

JI·.,

1

1

) rll , I,dl,

• .

111

1 . .

(I.V) a

nM

. ,

l

4.7.

INTEGRALE MULTIPLE

.TEORIA CAMPULUI

4 . r ~ , ~ / x 2 + 2xy - y2)dx

+

(x

2

- 2xy - y2)dy

pe

UD drum care nu taie

axa Oy

' r(6,I,l) '

ax

- d '" d .. \. \ i , . ....

. - \

:--:

5

· J(I,2,3) yz + xz y'+yx z" .

4.41.

Sa.

se calculeze

Ie

y

2

dx

+

z

2

dy

+

x

2

dz

unde C

este

por\iunea

din curba

lui Viviani: x

2

+ y2 + z2 = a

2

,x

2

+ y2 = ax(z O,a 0) ,parcursa in sens

trigonometric,

daci

0 privim din partea pozitiva,

X >

0 a axei Ox

.

4.42. Sa

se

determine

primi ivele urmatoarele

Q i : . m ~

diferentiale ,

intr-un

dome

niu stelat

in

cate

sunt definite:

1 -

¥dx-xd

y

· w- 3x - 2xy -3y2

2 -

(X2+2XY+5y2tdx+(X2_2Xy+y2)dY

· w- x+y)J

,3. w:::= eX[cY(x- y+ 2) + yJdx+ eX[eY(x- y)+ l]dy

4. w

xd x2d

=

x

- :3

Y

I

Y

5.

w = y ( x + ~ ) d x + x ( ~ + y ) d y

I

, w=(ylny)dx+x(I+lny)dy

7. w=

(y2 +

z2)dx

+

2xydy

+ 2xzdz

8 w= !:.dx - §dy + !:dz

· y Y Y

9.

w= x dx + Y dy+

Z dz

y'x2+y2+z2 y':r:2+y2+z'l .jx2+y2+z2

10. w= (z + y)dx + (x+ z)dy + (y+ x)dz

4.7

Integrale multiple.Teoria

dlmpului

4.43. Sa

se schimbe

ordinea

de integrare la urmatoarele integrale:

2 2x

l l dxIx f(x,y)dy

I x2

J

2. Ja

dx

Jx3 f(x,

y)dy

2 f v'2x-x

2

( )

3. 1 d 7; 2- x f x,y dy

•

4,

J:

dx f ~ n xf(x,y)dy

4.44. Sa se calculeze integralele duble:



45

CAPITOLUI; 4.

INTEGRALA

44

1. JJ

/ xy

2

dxdy ,

undeD

este

miirginitdeparahola

y2 = 2px

dreapta

x =

},P

>0

2.

Ilo/xy/dxdy

,

unde

D ~ t e

cereul

de raza

a,>

0, eu eent.z:uli n

,

9rigine

3.

fIo(x

2

+

1/)dxdy,

undeD este paralelogramul eu laturile

y= x, y= x+a,y= a,y= 3a '

• l " I "

I ' " . . . I

1 J o ( ~ ± y ' ) d x f i Y d

I 4 ~ j J

€ S t ~ i s

l } L P . a r g i n . i t 'de x

2

+y2 = X +y '

. . " 1 " - ' . ~ " " ' 0 : ; .

~ ~ ' ' ' ' ~ ' ' ~ ~ ~ '

· ·

-:1

. r

fJ. _:1.,

.

5.

f x l + I l I ~ l (Ixl +Iyl)dxdy,

6. f fo /1 - - ~ d x d y ,unde D estemiirginitde elipsa + =1

7. fIo(x

+y)dxdy,

undeD

este

miirginit

de eurbelc

y2=2x,x+y

=

4 ,x y= 12 L

8. ff0 xydxdy ,unde Destemiirginit de eurbele xy = 1,x+y=

9. ffoxydxdy ,D={(x,y) ER2jx

2

+y2 2 l, x

2

+y2 - 2x :::: 0,

y

::::

O}

2

y2

2

10. f In(x

+ )

dxdy D={(x

y)

E R2jl <

x

2

+

y2

<e }

o x

2

+y2 , , -

11.

ffo(x

2

+

y2)dxdy, D={(x,y) E R2jx

2

+

y2

X+y}

12

. ffD

~ d x d y , undeD este sfertul

elipsci:

5- +lfb2 - 1 = 0 din

~ ~

a

primuleadran

X -

y

= a

13.

f

~ d y

,

unde

D

este

domeniullimitat de

x=1

o

vx+y'Y y

=

0

{

0::::a:::: 1

14. ffo X 4 ~ y 4 d X d Y i

unde

D={(x,y) ER2jl

x

2

+y2 :::: 4}

15. f ~ ~ D = {(x , y) ER2jO::::

x::::

y ~ , y E(l,2]}

.

.

4.45.

Sii: ~ e u l e z e

integralele,folosind

0 sehimbarc de

variabila

ad

e

evata

:

1.

f fo V(x

2

+y2)3dxdy, D

=

{x

2

+

y2 :::: 9}

2. ffo In(x

2

+y2)dxdy, D

= {I ::::

x

2

+

y2 3}

3.

o

x2 2e

x2

+

y2

dxd D

x

2

+ 2

:::: 4,

2

O

4,7.

INTEGRALE MULTIPLE.TEORIA CAMPULUI

4.

ffD xydxdy, D = {x

2

+

y2

:::: 4x}

5. f fo(x +

y)dxdy,

D = {I::::

x

2

+y2::::

2x}

r : t ' ,

a

"1 !

" .

6.

ffoe-2(x2+y2)dxdy,

D = {(x,y)lx 2

O,y

2O}

7. f f

xdxdy, D =

{(x,y)

I1::::

xy2,x::::

y::::

2x}

8.

f fo (x2

~ r D

=

{(X,Y)

.1

:

2

+

9.

f

10

(x +

y)2dxdy,

D {I::::

x

+y:::: 4, 2x::::

y 4x}

4.46. Sa se

sehimbc ordinea de

integrare:

1. fOI dy f/'ii f(x,y)dx

2. f ~ l

dx

f o ~ f(x, y)dy

( r d fV2rx-x2

f(

)d

3.

Jo x

x

x,y y

"

" .

2

4. 2 d x L ~ v 4 7 f ( x y ) d y

5. f12

dx fx2x

f(x,

y)dy

X

6. f02

dx

[2

6

x- f(x ,y)dy

4.47. Sa seealculeze;

J ,;x

1.

Jo

a

dx 0 dy

2.

f24

dx

I;x

~ d y

f

'!d

( Iny xd

3

. 1

Y

JO C x

4.48. Sa se

sehiwbe ordinea de

iutegrareutiliza

nd

eoordonatelc

polare

:

1. f; dx o ~ f( x

,y)dy

2r

r J

2ry-

y

2

2.

f r.

dx Jo f(x, y)dy

2

3.

f; dx J / ;

2=zI

f( x

2

+y2)dy

4.

d x ~ r x

f(!l.)dy+ f_r

, _dx

f(l i)dy

o

0 x ~ 7 i ' 0 :r.

http://slidepdf.com/reader/full/y')dxfiYdlI!4~jJ%E7%80%93t~is%E3%AC%BDLP.argin.it







CAPITOLUL

4.

INTEGRALA

6

4.49. Sa

se

calculezearia figuriiplanemarginita de:

1. (x

2

+

y2)2 =

xy

2. x

2

+y2)2 =

x3

(

4.50.

Sase calculeze:

1. 11 M d x d y ,

D

=

{(x,ylix

3

2. I I D (

1 i ) d } : ~ ~

j l l : ~ ~

3. 11 ydxdy,

D

este marginitde

y

4. lID xdxdy, D este

miirginitde;r? +

y2 1 =

. J • .

j . . ; ~ t

\

.

Y

X2,

x::::

o}

~

=3x

§i y = x2

+2

°

i

y

-

x

- I

=° x °

2

5

I I

o

x

2

y, D ={(x,yliy x

,x

2

+

y2

-

6

o} "

6.

11

eX+Ydxdy, D

estemiirginit de

x

=0,

y =

°i

y

+

x

- 1=

7.

lID Y!2dxdy, Deste

miirginitde

y =

°

i

y = x, x = 3.

4.51. Sa

secalculeze centrele de

greutate

aleplaciloromogene D:

1. D = { x , y ) l x 2 + y 2 ~ 4 , x ~ o

2

_

{(

Ix

, : i

}

2.

D

-

x, y)

9"

T

16 1,

x

0,

y

°

3. D = {(x,y)\x

2

+ y2 I,y

x}

4.52. Sa secalculezecoordonatele centrelordegreutate aleplacilormateriale

aviinddensitateap(x, y)

a) D = { x , Y ) E R 2 j x 2 + y 2 ~ 6 y }

, p(x,y)=x

2

+y2

b) D=

{(x, y)

E

R2j5y x

2

;x

+

y

- 10

o}

,

p(x, y) =

1

4.53. Sa secalcuJeze

i n t ~ . g r a l e l e :

r1

lilt!

2

1. Jo dx Jo

d "

2. loa

dx

I; dy ~ ( x

+

y

+

z)dz

3.

I ; dx loX dy gxyzdz

3

4. loa dx loX dy fc:

Y

x

y

2

z

dz

4.7. "

INTEGRALE MULTIPLE.

TEORIA

CAMPULUJ

47

5

r

e

- j

dx r

e

-

x

- j

d

J,x+y+e. In(z-x-y)

dz

. Jo JO " . Y e (x-. )(x+y-e)

4.54. Sa

seschimbeordineade integraredin coordonatecarteziene in cOordo

nate sferice§i coordonatecilindrice ;iarapoi sa secalculeintegralele:

1.

1

dx

~ ~ ~ : 2

dy

g

dz

r2 d r../2x-x2 d r

a

. Jo

xJo YJOzVx-+y- z

3.

I

r

dx

~ d rJr2-x2-112(x2 "2)dz

r -.;rr.:: l

y

JO Y

rl r ~ rJI-x

2

_

y

2 V 2

4. Jo dx Jo

dyJOx

+

y

+

z

2

dz

4.55. Sa secalculezeintegraleletriple:

1.

IIIv xy2z3dxdydz ,unde

V

estemiirginitdesuprafetele

z = xy, y =

x,

z =

0,

x =

1

2. I I Iv

( l + t t ; ~ c t ; z ) j ,

lmde

V

estcmiirginitdesuprafetelc

x +

y

+z =

1,

x =0,

y

=

0,

z =

°

3. I I Ivxyzdxdydz, unde

V

cstemarginitdesuprafetele

x

2

+

y2

+

z2 =1,

x

=0,y

=

0,

z =

0

4.

IIJv

~ + ~ + ~ ) dxdydz ,unde V = { ( x , y , z ) j ~ + +

1}

5.

IJJv

J x

2

+y

2

dxdydz, nnde

V

esterniirginitdesuprafetele

x

2

+y2

= z2, z =

1

6. I I Iv 1 ~

-

~

-

~ d x d y d z , u n d e V = { ( x , y , z ) j ~

+ +

}

7.

IIIv(x

2

+

y2)dxdydz,

undeV estemarginitde suprafetele

x

2

+y2

= 2z, z

=

2

8. IIIv

x

2

dxdydz, unde

V

estemarginitde s u p r a f e ~ e l e

z

=

ay2,x =lYIi,y >0,(0<a <b),z

=

o X Z

=

(3x , (0<

0

<

(3),z

=

h, (h >

0)

9.

Sa

secalculeze masa coordonatele cent.ruluide greutate ale corpu

x2

+y2 +

z2 =

1

lui

V

marginit de suprafetelc:

V =

y =

x

{

z =x../3, x O,y

O,Z

2°

daca

densitatea intr-unpunct

M(x,

y, z) alcorpuluivariaza

dupa

legea:

p(x,

y,

z)

=

(x

+

y)z



49

48

C A P I T O L U L 4.

INTEGRALA

10. I I Iv [5(x - y)2+ 3az _ 40

2

]

d x d y ~ z V = { X 2+ y2"- az °

x

2

+ y2 + z2_ 2a

2

°

. "

.. ' · . ·r •• {X;:::O '

y>O

zJdxdydz .V -

11.

I I Iv

(y+z)(x+y+z) ' -

z;:::

°

x y z ~ l

12. I I fv xyzdxdydz ,V

i

z 1

x;:::O

y;:::o

13.

f f l v J x

2

+y2+ z2dxdydz, V ; : : : : { x : y , z ) / x 2 + y 2 + z 2 ~ 2 a x }

/®fJlv J x

2

+

y

2

dxdydz,

V={(x,

y,z /x

2

+ yi

z 8- x

2

_ y2}

15.

f f l v

x 2 + ' 1 ~ z _ 2 ) 2 ,

V={(x,y,z) /x

2

+ y2+ z2

I}

16. I I fv

z( x

2

+ y2)2dxdydz

,

V={ (x, y, z /

x'2

+ y2 z2, Z

E

[0,

I])

x2

y

17. I I fve + dxdydz ,V={(x,y,z) /x

2

+ y2 9,

Z

E [0,4]}

18.

IIIvxyzdxdydz , V={(x,y

, z)/x

2

+ y2 z, z E[0,2]}

19. fflvxydxdyd

z ,

V={(x,y,z) /x

2

+z2 9, x;::: O,y;::: O}

20.

IIfvzdxdydz

, V = { x , y , z ) / ~ + + I,

z;:::

O}

4.56. Sa

secalculeze

centrele de greutate

le

corpurilor

omogeneV :

1. V

= {(x,y,z)/x

2

+ y2 +

z2

9, y;::: O}

?

V = {(x,y,z)!x

2

+ y2 Z h, h> O}

itse calculeze volumele

marginite

de

urmittoarele suprafete

:

1. z

=1+

x

+

y, z=

0,

x

+ y=1,

x

=0,y

=

°

2. x+ y+ z = a ,x

2

+

y2

=R2,X =0,y =0,z =0,(0 ;::: R../2)

2

3. z

=

x

2

+ y2,Y=x ,Y 1, z

=

°

>

4.7. INTEGRALE

AWLTIPLE. TEORlA

CAMPULUI

4.

z

= c

2

+ y2,

Z

=2(x

2

+ y2l,

Y

=

x,y

=1;

1

5. az

=

x

2

+ y2,z

=

j x2 + y2,(a> 0)

4.58. Sa

se calculeze

(a-

vector

constant ,1'-

vectorul

"

de

pozitie

al punctului

cu,rent)

1. rot [a x (il x

r)]

2;

div

[a x (a xf)l

3. grad (a x1')2

4.

rot (a

x

f)

5. div (a x f)

6.

rotaf(r)

7.

rotf(r)f

8.

rot ((a·

f)

f)

9.

div

a·

f)

f)

10.

div

(1 x (a x

f)l

11.

div

(iif)

f

4.59. Folosilldreguliledecalcul cu o p e r a ~ i a \7 , se arate di:

1. u\7) l

=

il

2.

v\7)

Fu =

u

(

grad F)

+ F v\7)

U

3.

(a\7) (u x

v) =

ii x ii\7) U + U x a\7) v

4.

iigrad

(uii)=u(a\7)v+v(ii\7)u

5.

(a x b rotu = /j(ii\7)fi - a(b\7) U

6. u x \7) xv = (i i\7)v+u x

ro tv ud ivv

7.

(\7

x il) x

v

=

ij

x

roUi

+

udivv



50

CAPITOLUL

4.

uude 1'-vector de p o z i ~ i e ;u, V, F - f \ I n c ~ i i derivahiJe; ii, &-vcCtori

c . ( J I l s t a n ~ i

4.60.

Sa se calcuJeze IapJa.cianul fWlqiiJor:

1. F = (il x f) . (Ii x f)

2. WI :0:

[f

x (il x

f)]

x

f

3. W2

= (il

x

f)

x (b x f)

unde

il, -

vcctori

c o n s t a n ~ i

;

1'-

v ~ c t o r d5! p o z i ~ i e

.

- - = -

. . . . . ,,""' -; .; -.:

':::::

,

"' -..

... ~ ~ . ~ , ......

..

; a ' S ; . ~

•. .•

. s ~ a r a t e 'cif a C a · r o t i Y 1 t \ i i i & : ~ 7 r

1.

grad

(rv)

+ rot (1' x ii) + V =

0

2. 6 (1'v) = 0

3.

rot rot (1'

x

v)=o

4.62. Se considera campurile de vectori u

=

~ ( T ) 1 ; v =

iar il

un vector

constant

.Sa.

se

arate

ca

u-camp

irational,

iar

v-

solenoidal.

4.8 Integrale de suprafata

4.63. Sa se calculeze urrnatoarele integrale de suprafata :

1. f.dx2

+

y2 + z2)da, 2: = {(x,

y,

z)/x

2

+ y2 + z2

2.

f'L(x

2

+

y2

+ z2)do,L

=

{(x,y,z)/Ixl +

IYI

+

Izi

legatura dintre integralele de la punctele 1. l1i 2.?

.

J

cia

3.

'L(1+x+y)2,L =

FT{(X,y,z)/x+y+z:S l ,x ,y ,z

Wlui

tetraedru)

{

X = ucosv

4. z ~ ' L: Y = u sin v, 0 < u < a

. c

-'" z

=

v,

0

< v < 270

.; y

{X =

T c o s ~ s i n Q

5.

2

do L: y = T s i n ~ c o s Q ( o : S T : S a ) , ( 0 : S ~ : S 2 7 r ) , Q E ( 0 , ~ )

Z =

TCOSQ

COllstant

6.

f'L y"2 z

2

do-, L

=

{(x,

y,

z)lz2 = 4(x2

+

y2), x

2

+ y2

INTEGRALA

. , . , . .

"

-

' ",...

"

~ ( T ) aL )f) ,

E

C

I

(R)

= a

2

}

=

a}

. Care este

O} (frontiera

2x

:S O}

-1.13. INTEGRALE DE SUPRAFATA

7. f'L j:[;2 + yido, L

=

{(x, y, z)jx'

2

+

yL

+ z2 =

R2}

8. h \ C '+

y2

+ 1 o L

=

{(x,y,z)lz=x

2

+y2,

ZE[0,4j}

I

9. f'L z

2

do, 2: = '{

(x, y,

z

Jlx

2

+

y2

+ z2

=

9,x '

0, y 0, z

O}

4.64.

Sa se calculeze integralele de

s u p r a f a ~ a

de

speta

I-a:

2

ja

2

x

2

. f'L

j a

2

-

x -

y

2

do; L

=

{(x,

y,

z)/z

=

- -

y2; a> O}

2.

f'Lxyzdo-;L

=

{(x,y,z)/x

2

+y2+z2 =

a

2

;x O,y

2:

O,z

O}

3.

f'L

jx2 +

y

2

do;

L = {(x,

y, z)/x

2

+

y2 = 4;

y

0,

z

E [0,5])

. Ix2 y2 \ {(

)/ x

2

y2 z2 }

4

z2

d

J

L Va<

+

/if + C'

0;

=

x,

y,

z ar

+ t;r

+

C! = 1; a> b > c > 0

4 . ~ 5 . Sa se calculeze IlImatoarele integrale de suprafata de s p e ~ a

a

II-a:

"1.

h L . · ; , , ~ )

:czd:rdy+xVdyrlz+yzdxdz; L

= {(x,

V, zl/x

2

+

y2 + z2

2. ~ ( ' . )

x

2

dydz + z

2

dxdy + y

2

dxdz;

L n n j

2: =

{(x,y,z)/z

=

x

2

+y2;z:S h;h

> }

3. . )(x2COSQ+y2cosi3+z2COSI )do;

~ J n l n l

2: =

86

3 unde 63 = {(x,y:z ) / j x

2

+ y

2

:S z:S 4}

4. f

r"

n )(xcOSQ+ycos 3+zcosl')do;

,L..,

1n

.

L

=

86

3

, 6

3

= {(x'1/,z)/x

2

+

4y

2

s z:S

4}

,'i.

f(Ln.n,) xy

2

dydz +- yz

2

dzdx +-

zx

2

dxdy;

2:

=

86

3

6

3

=

{(x,y,z)/x

2

+- y2

+

z2 :S

a

2

;z

:S o}

4.66.

Sa se caIcllleze ariile suprafe telor

definite

prin:

1.

2z =

x

2

+

y2,

Z E [0,4]

2.

x

2

+ y2 +

z2

=

R2

3.

x

2

+ y2 + z2

=

1,

x

2

+

y2

4.

z

=

xv,

x

2

+ y2 :S 4.

-£

_

li

£

li

5. z - 2

oj

3

4 T 9 :S 1

x :S

0:

z

0

=

0

2

; z ~ y 2 ;

L >

()}

I'



53

,1

C I l l H J U n ·1 IYfU; LlL:1

4.!J

Formule intcgraJc

4.67. UtiJiza.nrl fornltIla lui Grecn ,sii calcllkzc Ilnn.l toarele illt.q;ralc

cm

ui1i"ii

(dmmul

parcursin seils trigonometric) ;

1. fcxy

2dy

-

x

2

ydx, mule(C)

este

ci n;

illnf

c

riniax2 .+

1/ =a

2

.-1

, i

2. f

c x

- y)dx- (x - y)dy , IInde (C) cstccJipsa

;;;.

+ =1

3. f ceZ[(l-

cosy

)dx

- (y- siny)dyl u llde

(C)

csl.cfron t icr

<l

dO llenilJlui

x.> 1[ O.

<

!iin;f

..'

" ' ~ ~

~ . , . ; ~ ~ ~ ~

.. .. j ~ ~ ~ ~ . ~ ~ a . A , ~ ~ . ; ~ ' ~ ' ~

4.

fc(.r:

+

y)2dx

-

(x

-

y)2rJy

,

unclc (C) cslc

drumlll

ill

<;

lIis format de

SCglllClltllide dreaptacare u n ~ t e pun ctelcA l, 1) B(2,G) : llreC IlJn

dcarcuide parabola

y

= x

2

+2x - 2 carc l I n c ~ a c c l e a . ~ i

]JUll

c

tC

.

2

5.

fc

e:c

+ y2(yd:c - xdy), undeC= {x

2

+y2 =

4)

6. fc

xy

2

dx+ :rdy, 1 I 1 1 d ~ (Cl,,;tc i c r a d l ( ) l ~ r . l l i I l I U i D

=

{ x,v)1 +

U; =

I,y >o}

. /

7.

fc(:J.:+v)dx+X

2

t1y,1111dc (C) est.e c r ~ dOlllcnilJilii

J)

=

{x

2

+y 'l $

2 x ,

8. f c - ydx +xuy, unclc (C) estc

fr

o llticra domc lIillllliD ={

:c

2

+ / ::;

1,

y x

2

}

9 .

~ , ( x 2

+y3

)d

x --

x:ldV

IlIH1c

C=

{(O

;,

Y)I(:!:

- 1)'1

+(1/

-

1)2$ I}

4.68.

Utilil,iind formul a luiGr een, si:i :;e Ci'ticllkzcUflnaloarea

f =fc 2(x

2

+y2) dx +(x+y)ldy,llndecs f c pcri met r llltrill nghilllni,parcllfs

ill sellspO ? iti v,undepu n

ct

clcSUlll 11(1,1),fl 2,

2),

C(1,:3 .

4.69

. Utili;"alld formula Illi Gn :cll , sa sc trallsforlllCintcgra!a curoili llic

I

=

.f

c x

2

+y2J:c

+V[xy

+

In(x

+

J; 'l

+y'l)J

dy

,lll1dc C

)

estcc0l1t

mll

1 limit?t

de clomeni

J

I

S.

4.70.Ulili";Qn

rl

formula.luiGa llss

-O

s

tr

ogr

?dsk

isasec?!culc;"eflllxull'1fIniito,lrclor

,ciimpnri

vectoriale

prill

s llprafetcleilHuc<1.tc ;

1. v=

:1:

2

t

+1/] +z2J; ,2: csteslIprafaia(!xtcrioar,la cuoliini

{(:c,y,z)

E : : ; x

$

(t,O

$

y::;(1,0

$

Z

$ It

}

2. ii

=

];"t+V

3

]

+z31.: ,2: csteStlflrafa.i,t cxtcrio

ar

il a sfcrci

{ x,V,z) E

R

3

/x

2

+

y2

+z2 =

,,2}

49. FORMULE

INTEGRALE

3. v= (x+y+z)l +(y - z+

x)] +

(2x - 2y - 2z)Ji: ,L cstc s u p r a f a ~ a

exterioara

{ x,

y,z)

E

R

3

/1x -

y

+zl +

Iy

-

z,

+xl

+Iz

-

x

+

yl = I}

"

., ._ 1 ·.·- 11 .. _ f ' . . '. \

,r

> ' _

r _

4. v= xi

+yj+ ik ',

L

este s u p r a f a ~ a exterioara asemisferei

{ ( ~ , y

, z )

E'R31x

2

+

y2

+

z2 = a

2

;z 2: o}

5. v=

x

2

'l +y2]

+z2Ji:

,

L

estc s u p r a f a ~ a sfcrei

{(x,

y,z)

ER

3

/ x -

a)2

+(y- b)2 +(c- z)2 = R2}

4.11. C a l e u l a ~ i integralelede s u p r a f a ~ a ntilizandformulalui

Gauss-Ostrogradski

1.

f f;:,

xdydz

+

ydxdz

+

zdxdy, unde

L

este

f a ~ a exterioara

apiramidei

delimit.ata de planelex+y+z

= a,

x

=

0,y

=

0,z

=

0.

2. f

f;:,

(x

2

cosCl +y2cosf3 +z2 cos

'Y)d

L ,undeL e s t e f a ~ a exterioara a

s l l p r a f e ~ e i

con ice + -

=0, Z E [0 , b]

4.12 .

T r a . n s f o r m a ~ i

integralcleaplicand formula luiStokes:

1.

fe x

2

- yz)dx

+(y2

-

zx )dy+(z 2

-

xy)d.,<

2. ie ydx +zdy+

xdz

4.13. Caleulati integraleledateaplicand formulaluiStokes§i verificandrezul

tateleprillcalenldirect

1. fe y

+z)dx +(z+x)dy +(x+y)d z, und e (C) es te c i r c u m f e r i n ~ a

2

x

2

+y2

+

z2 = a ,X

+

y

+

z= °

2.

fdy

- z)dx

+

(z - x)dy

+

(x -

y)dz

,und e C ) estcelipsax

2

+

y2

=

1,

x+z=

1

X=asint

3. fexdx+ y+x)dy+ x+y+z)dz

,unde

C):

y

=

acost

t

E

{

z

= a(sint+

cos

t)

[O,21r]

4.

fe

y

2

dx

+

z

2

dy+x

2

dz,undeABCAeste perimetrultriunghiuluiABC

de

varfuriA(a,0,0), B(O ,a, 0),C(O,0,a).

4.14.UtilizandformulaluiStokes,sa se calculeze:

http://slidepdf.com/reader/full/ilHuc%3C1.tc

http://slidepdf.com/reader/full/ilHuc%3C1.tc



54

CAPITOLUL 4. INTEGRALA

1. Je x - y)dx - (z - x)dy (x - y)dz,

uncle

e) este

elipsa

{ x,y) ER'2jx

2

y2

=a

2

,

=

1, a> O,I! >O)}

,parcurs

.

ll

sens d i r e c ~ in r ~ o r t cu d i r e c ~ j a pozitiva aaxei

ox

2.

y

2-

z

2)dx+ z2-

x

2)dy+(x

2

-

?/)dz

,unde

C) este

intersectiadintre

frontiera cubu lui { x,y,z) E

R3jO::;

x::; a,O::;

y

::; 0 , 0 ::;

z::;

a}

§i planul x

y

z

=

~ a p a r c u r s a in sens direct In raport cu directia

1 ~ j , U t r . ~ ~ ~ - . - . , ~ _

3.

Je x

2

y

3

dx

dy+ zdz, unde e) este

c e ~ c u l

de

i n t e r s

Intre cilindrul

2

x

2

y2 =a z =0parcurs I'n

sens trigonometric

4.

Je z

- y)dx (x - z)dy+ (y - x)dz unde

e)

este curba

formata de

la

turile

triunghiului ABC definitde punctele

A a, 0,

0),B(O, b, 0),e O, 0,

e),

a

>0, b >0, e>O.

0

J

e ydx zdy xdz , unde e)

este

cereul

c

de i n t e r s e c ~ i e

dintre

sfera

x

2

y2

z2 =

a

2

planul x

y

z = 0

parcurs

III sensdirect.

6. Je yz

2

dx xydy xdz ,unde

C= { x, y, z) E R3 jx

2

y2 = 4z, x -;-

y

z = l}

Capitolul 5

Analiza

complexa

5.1 Functii olomorfe Relatii1e Cauchy Riemann

5.1. a) Sa sedetermine punctelein care f u n c ~ i a

J:

C C data prin:

Z

1)

J z)

=

z2;

2) J(z)

= e ; 3) J z) = e

iz

+z2;

4) J

z)

=

).zn,

n

E.IN" ). E

lR;

5) J z) = z< - zz z2 Z - 2z estederivabila. sa secalculezederivata sa

Inacestepuncte.

b)

Sa

sedetermine

punctele III

care

functia data

prin:

1) J z) = x

2

_y2+2ixy; 2) J z) =

x2+y2_2ixy;

z=x+iy, este derivabi!a.

c)

Sa

se

determine

constantele respectiveastfel incat functiile:

1)

J z) = x ay i(bx

ey);

2) J(z)

= cosx(ch

y ash y). sinx(ch

y

+

b

sh

y);

z =x

iV, sa

fie derivabilc. Sa sescrieapoi J ca functie de z.

5.2. FieJ: C Cdefinitaprin:

pentru z = 0

1) J

z)

= ~

2) J(z) =

pentrll

z

=

0

Sa. se precizezedadi in

z =

0

functia J:

a)este contiuua;

b) satisface relati i1e Cauchy-Riemann;

c) este lR.2 -d iferentiabila.;

d) esteolomorla.

5.3. Sa se determinefUllctiaolomorla J = u iv ,da.c<'i:

a) J: C

C,

u x,y) =

e- X x

siny

- y CO!-lY);

b) J:C C,

u x,y)

=eX

cosy;

3

c) J : C

C, 1t{X,y) =x - -3xy2;

55



57

6 .

CAf ITOLUL

5. ANALIZA COMPLEXA

d)

I:

C\{O}

- tC, u(x,y) = ~ l o ( x < + y 1 . ) - y a r c t g ' { , / ( 1 )

2

x

e)

I:

C\ {O} - t C,

v(x,y) ~

1(-2)

=

0;

x +y

f)

I:

C

-t

C,

ll(x,y)

= e

2

:t

cos2y- x

2

+

y2,/(0)

=

1;

5.4. Fie I(z) = u(x, y) + iv(x,

v),

z = x + iy olomorra In domeniul

D.

Dad.

u

2

+ v

2

esteconstanta.InD atunci1 esteconstanta.in D.

5.5. a).

Sa

sedemonstreze

ca. f u n c ~ i a

omogTaficii I(z)

=

~ ~ : estc

0

transformare

conforrnaa lui

A =

{z E

C I [

) z

>

O} pe

B =

{zE

C

Ilzl

<l};

b)Consideram

f u n c ~ i a

omografidi

I(z) =

eia z - a

ex

ElR , a ECcu lal<1

o z - 1

Sasedemonstrezeca. f u n c ~ i a este0 transformare conformaadiscului

unitate

pe el

I D s m ~ i

careducepunctul

a

In centrulaccstui cerc.

c) Sa

se determine transformarea omograficacare

transfonna

punctele

-1,1, iInpunctele

1, 0

, respectiv -1.

5.6. Sa. secalculezeintegralele:

a) 1

=

,

idz

unde:

I} 1= {z ECI z i= 1},

2) I = {z ECIz= t

2

+it ,lntre

Zo

= 0§i ZI = 4+ 2i};

b)

I

=

1

f-I

dz

unde I = 11UI2U/3;

/1

este segmentulce

u n ~ t e

punctele

" ,z

-3 -2;

' /2

estesemicerculdinscmiplamJ superiorde centru 0§i raza

2;

/3

estc segmentul ce

u n e ~ t e punctcle

2 3.

!

;(2.-.!l !.

c) 1= ,.inzdz unde / : z(t) = e-

2

: t E[0,1].

d)

1=

( ( z -a )nd zunde /={zEC l l z -a l=r } ;

5.1. FUNCTII OLOMORFE. RELATIJLE CAUCHY-RIEMANN

5.7. Folosind teoremclcluiCauchysasecalculezeintcgralcle:

,

\

a) = r

(i+ezsinz)dz;

" •. - ( ,, ', •. ," \ I

w

J

ii

z

l

=2)

.

sm

1[Z

2

+

cos

7rZ

2

b)

1=

dz'

!

l

z

l=3} (z- 1)(z

-

2) ,

c)

1=

r .

e

Z

sinz

dz, T

lali ;:Jbcufje dupa a EC;

Jilzl=r} z- a

smz

d"'"

d ) l =

!

( _E) ( z2+5) .

iJzl=2} z 2

ze

l

e) 1=

J{lzl=3}

(z _ 2)n dz ; d i s c u ~ i c

dupa

n E IN;

)

1

dz .

f

1

= --2

undedrumul

l

este:

1)

Iz - il =

1;

2)

Iz

+

il

= 1;

,. 1+

z

3)

zi

=

2.

5.8. Sasedetermine punctclcIII care f u n c ~ i j l e I:

C

-t

C

date prin:

a) I(z) == z +zz - +2z- z;

b) I(z) = zz

c) I(z) =

d) I(z)=zlzl;

sunt olomorfe saseca1culczederivatelelor III acestepUl1cte.

5.9. Sa se determine constantelc a, b,c,d E lR astfelIllcat functia I: C - t C,

I(z) =

x

2

+

DXy + by2 +

i(cx

2

+

dxy

+

y2), z

=

x

+ iy sa tieolomorfii.

5.10.

FieI: C-t Cdefinitaprill:

1)

I(z) = {e--: ' pentru z f 0;

o pentru z= 0

Rez(lm

z)1 -I. 0

2)

I(z)

= z(i)2 pentru z I

{

o pentru

;;

= 0

SasestabiJeasca.dad!. in punctulz = 0 f u n c ~ i a I: a) este continua.; b) estc

] R ? · d i f e r e n ~ i a b i l a ;

c)

veri

fica

r e J a ~ i i l e

Cauchy·Riemann;d) esteolomorta.



58

CAPITOLUL 5. ANALIZA COMPLEX},

a)

J:

C

--t

C,

u(x,y) = x

2

-

y 2, J(O) .=0;

b)

J: C \

{(O,O)}

-t C,

v(x,y) =

X s i n y ~

x

+ y

c) J: C \

{OJ -t

C, v(x,y)

=In(x

2

+ y2)+ x - 2y

3

d) J:

C \ {OJ -t

C,u(x,y)

= x + xy2

+ x

.

x

2

+ y"

,

-. e h ~ ~ { ~ ~

~

i : o s 2 x Y

J ( O ) 1;

x-v 2 2 2 2 Y

f) J: C\

{OJ

-t C, u(x, y) - v(x, y)

=

-2-'

n

(x + y )- (x + y )arctg;;;

5.12. a) Sa sedcmonstreze

ca

funetia omografieaJ z)

= - i ~ ~ i

este 0 trans

formareeonforma a lui A = {zEC lImz >

0,

Izi < I} pc

B

={zEC IRez<

0,

1mz>

OJ;

b)

Consideram

functia

omografie[)

icrZ

J z)

=

e -

a

a E JR,aEC,1ma

>

O.

z - i l '

Sasedcmonstrezeca funetiaeste 0 transformare conforma a serniplanului

deschis Tmz> 0pe diseulunitate.

c) Sasc determine 0 transformareomografica. care transforma. semiplanul

superiorImz> 0pe discul unitate.

5.13. Sasecalculeze integralele:

a) 1= j zdz unde:

1) r ={zECl lz - 31+lz+31=1O},

2) '/ este lin plUrateuvarfurilc

In

z=

0,2,

2i,2+ 2i;

b) , Rezdz, 1'= [-I,i]U[i,I] ;

c) ~ d z , r: z = c

¥

tE[O 1]'

I )

Z

d) I

t:;

dz, r cste

ecrculde raz

a. 4

cu

centrulln

origine.

'l'

z,/

z

( ) j liz IIndeC estc fronticramultimii {zE

Cll

::; Iz l ::; 2}

orientata

'1

l Iat.l lral.

5.2. DEZVOLTARJ

iN

SERlE.

REZlDUURI

_59 __ _

5.14. Folosind teoremele lui Cauchy

sa. se

calculezc·integralele:

eZ sin

z +

cos

z

d

•

.

,

a z·

1

lzl=I/2} (z-

1)(z - 2)(z -

3)(z-

4)

,

: 4 1

"

t

.

I "

1

Z

b

dz,

a

::j;

0,

unde:

1

r

:

Iz

-

al

=

lal;

2)

r

Iz

+

al

=

lal

l z -a

!

e

2z

e) \

dz;

(lzl=3) (z + 1

!

••

f

sinz

d) dz, kE7l;

{l

zl= l}

Z

!

dz

2 2

e) 'l' (z2 + l)n'

n E

lN

,

'/

: x

+ y

-

ay =

0, a::j; 1;

!

8hz

f) , ... dz.

{ lz-

2i

l=2}

5.2

ezvoltari In

serie.

Reziduuri

5_15. Sa se de7.volte in serie de

puteri

(Taylor sau Lauren t eu precizarea

multimiide c o n v e r g c n ~ a centrateinpuncteleindicate, urmatoarelc functii:

1

a) J z) =

-

:

C \

{I} -t C;zo=0;

1 -

z

1

b) J z) = f

~ \ )

Zo = -2;

Z5

c) J( z)

=

f

) .

1)2' o

=

00;

1

d) J z)

=

2( .: o

=

0

pentru

0

<Izl

<

1;

z 1 - z smz

z -

1

e J z)

= Zo =0; z1 =

00;

Z2 =1;

M

2z

e

f) J z} =

(z_ 1)3'

Zo =

1

z - a

g) J z) = I n - - b ;zo= oc

z

2z

h) J z) = -; Zo =00.

z

+1



60

ANALIZA COMPLEXA

5.16.

Sa

se efectueze tIczvoltarca In seric a urmatoarelor

f U l l ~ i i pc

tIomeniile

2); a) in discul Izi < 1; b) in coroana 1 < Izi <

2;

--; )

in

discu] Izl

<

1; b) in

jurul punctului

de

la

infinit.

.

s i n g u l a r i t a ~ i l e

izolate

din C

sa precizeze natura lor

-

1

1f

sin

z2;

z2 - 1

= z2

+

l)(

z

- -

1)3

5.18. Sa

se

calculcze rcziduurile functiilor de mai jos in

punctele

lor singula re

,a=00,(b>0);

a = Z j , b = Z 2 , ( P E I ' i ) ;

P Z Z2

1,

b = 0;

2)2'

a

= 2.

2

+

y2

+

2x

= o};

= 1;

2;

5.2. DEZVOLTARI

iN

SERlE. REZIDUURJ

61

e I = 1 I I I .

l l n d :

= r

jar

r ~ u f i c i e n t de

mare

z + z +z+1

pcntru

ca

a . H l . c i ~ y e c c u a ~ i e i z I I I +

zll

+ z + 1 = 0 sa se afle in int eriorul

bilei B O, r); l '

, 1

z+a .

f

I

=

,n '

dz

untIe,

: Iz l

=

1,

iar

b

=1=

O,n

>

1.

5.20. eu ajutorul teoremei rcziduurilor sa. se calculeze urniatoarele integrale

reale:

..

1

0

x +

1

dx;

a

I

=

-00 (x2

+

1)2

2

f

oo x dx;

c)

I =

-00

X4

+ 10x2 +

9

r

27r

dx

e) I=Jo (4cosx+5)2'

1

cosx

) I

=

- 4dx;

g

0

1

x

' 1 x

COS

X dx:

i I = -00 x

2

_ 2x + 10 .

roo 1 dx'

b)

I

= Jo x2 + 1)3

d) I = fo

2lf

cosx

ndx,

n

E IN ;

1

0 1

f) I

= (

2 dx,

n

E

IN , a,

b > 0;

o a+bx n

1'2

dx

h

I

=

I

2 '

0

< p <

1;

J

o

1

2pcosx

+

P

1

0

xsinax

j)

I = ~ d x a,b> O.

o x + cr

5.21. Sa

se dezvolte in serie ric

putcri

(Taylor sau

Laurent

cu precizarea

multimii de convergcnta) centrate in pUllctele indicate, urmiHoarele

funct

ii

:

6z

+ 1

a

J(z)

= ( )2'

Zo

= 00;

z - 3

1

b)

J(z) =

.

-

Zo =

0;

smz

e

Z

- 1

c) J(z) = 3

Zo

= 0 pelltru 0

<

Izi <

1;

z'

e

Z

d) J(z) =

(z _ 1

2

o

= 1; Zl =

00.

5.22.

Sa

se efectueze dezvoltarea in serie a

urmatoarelor

functii

pe

domeniile

indicate:

1

1.

J(

z)

=

(z _

1)(z

_ 2)(z _ 3); a) In discullzl

<

1; b) In coroana

1

< Izl <

2;

c in coroana

2

< Izi < 3; d) in jurul punctului de la

infinit.

I

z

2. J(z)

= ~ ; a) in discul

I

zl

<

1; b) in

jurul

pundului de la illfillit.

l + z

CAPITOLUL

5.

indicate:

1 .,

1.

J(

z) =

(z _

1)(z

_

c)

in

jurul punctului

de la infinit.

-

z

2. J(z)

=

8+

z

i \ - ' 5 : i 7

in cazul

urmatoarelor

f u n c ~

Z2

a J(z)

= z2(z

-1)3'

b

J(z)

= ~ ;

1

c)

J( z)

= e<+ l ;

d)

J(z) =

,f>. 1.

e) JL

/) =

ch z

f

J(z)

indicate:

sinz

Z2

+ 1)2

a)

J(z)

= '

a =

2;

b)J(z)=

2

b

2

z

z +

c J(z)

=

ze ' ,

I

a

=

0;

d) J( .2 )

= (

)z(

z - Zl

1

e

Z

e J(z) = zcos - - a =

1

;

f

J(z) =

-3- -

2 '

a

=

z

+

1 z - z

iz

c z

g J(z)

=

z2

+

l '

a =

i;

h)

J(z)

= (z _

l)(

z _

5.19. Sii

sc calculcze

int

egralele:

1

dz

a

1 = - --lIllde :

I z - l l = l ;

.., Z +

1

b) I =

1

2 e I dz u

nde

, = {z = x + iy 1 x

'

1

z2 + 1 .

2

c) I = 2(2 ' )2dz unde,

este

elJpsa T + y2

..,z z+3

d) I =

dz

f (z -

1)2(z2

+ 1) unde, : Iz - 1 - il =



. - ~ +-

--

.

., ;

l )

I

_ _

-----

. .....

r:: •

\

; .

.\

.

t·

I

.

t - / --;

\.

\; \ ' I ' . /.-

L -

1 : , : .8.a

Capitoful

6

Transformata Laplace

- " : " : . .

: : : t a ? J : ~ ~

i · : · ·

•

,',

6.1. Sa

se ca\culezc

transformata

Laplace a urmatoarelor funct

ii

:

a)

f(t) = l sintdt;

b)

(

t) =

cos

3

t;

c)

e

L

- 1

f(t)

=

t ;

d)

f(t)

tQ, a> -1;

e)

f(t)

=

cos

mt

cos

nt,

m,

n

E

lR;

f)

f(t)

=

(t _1)2 et - l .

6.2.

Sa

se c:aleuleze originalcle

pentru

urmatoarele

[unct

ii

ima

gine:

a F(P)

=

p2 + 4p +

5'

p+2 .

b) P(p) = (p + 1)(P 2)(P2 + 4)

e-

P

pe

P

c)

P(p) = . d F(P)

- +

4 + 2

p

3

+ 3p2 + 2p +

l

- p2 - 2p

+

5 r

+

9 .

6.3.

Folosind teorema lui Efros sa. se calcuieze originalel

e

pentru

urma.toarele

f u n c ~ i i im

ag ine:

e-

aVi

a) F(P)

= ,

a > 0;

p

-aVi

b

F(P)=

e

,a ,b>O

6.4. Folosind

transformata

Laplace sa. se rezolve ecuat

ii

1e

diferentiale eu c o n d i ~ j i l e

initiale indicate (problema Cauchy): ... .

a) X + x' = 1; x(O) = x'(O) =

X (O)

= 0;

b) x

+

2x'

+

x =

sin t;

x(O) =

x'(O)

= -1;

c) X _ 2x' + x

=

e

L

;

x(O) =

O,x'(O)

=

1, x (0)

=

2;

d) x

+2x'

+x = e; x(O) = l,x'(O) = 0;

e)

x

-

2x'

+

5x =

e

t

cos

2t; x(O) = x'(O) =

1.

65

.

'i

-

-

-

.

' .



CAPITOLUL 6.

TRANS'FORlvTATA

LAPLACE

6:5. FCiI6siuij

'[orml"iIilui"Diiha:;nersase r c z o i

l l a ~ i i i e

d i f c r e n ~ i a l

a) x"+ x= sin

t;

x(O)

=

X'(O)

=

0;

1

b)

x" - x' = 1+ e

t

;

x(O)

=

X'(O) = O.

6.6. Folosind transformataLaplacesa

se

rezolve ecuatiadiferentiala

._ .

x"(t)

-

x(t

-

1)

=

t;

x(O)

=

X'(O)

=

0

6.7. Folosind transformataLaplacesa se rezolveecuatiilei1ltegrale :

a) x(t)= sint+ r(t

-

r)x(r) dr;

o

t

c)

x(t)= cost+

1te -

T

x(r) dr;

2

t

d) x t) = 1- 2t- 4t + Io

[3

+ 6 t

-

r) - 4(t- r)2Jx(r)dr;

e) xU) [

-.\<:os

3t+1tsin3(t- r)x(r)dr.

6.B. Sa se

d1c

uleze transformata

Laplace

bilateralaa fUllctiei

e-t, t>o

J(t) =

{

2e3t,

t

0

6.9. Sa sc calculezcoriginalulLaplaceCO rCSPW1zator fllnc tiei

2p

Fll(p)

= 1

- p)(P-

3)

defi ui

t,t':

a)

lu banda

1

<

Rep

< 3;

b)

III

s ~ m i p l a n u l

Rep> 3;

c) In scmiplanulRep < l.

6.10. Sa se calculcze transformata Laplacea urmatoarelor functii:

3

a)

J(t)

=

lot

cos wtdt ,wE JR.; b) J(t) = Isintl;

c)

(t) =1-

co

st.

d) f(t) = t inT

dr;

t

J

o

r

e)

f(t)

= sin·

3

t ;

f) J(t)

=

(t- lfs in(t

-1) .

6.11.

Saseca.!culczeoriginalele

pentruurrnatoarele

functiiimagine :

, 1 2

p

3 + p2 +

2p

+

2

a) }(P)=p2+4p+3 ; b) F(P)= p5+2 4+2 3 ;

p

p

e-

3p

c:) 1- (11) =

1,:1 I '/.1

'

!p

'

d) F(P)=. ,,"

.

6.12.Folosindteorema luiEfrossa secalculczeoriginalelepentruurmatoarele

functii imagine:

e- av't

-av't 0

e

a>

a) F(P)= n

'

a>

0;

b)

F(p)

= p(Jp

+

a"

PyP

6.13.

Folosind

transformataLaplace

sa

se rezolve

e c u a ~ i i 1 e d i f e r e n ~ i a l e

cu

conditiileinitialeindicate:

a) X

x" -

s·ln

't · x(O) - X'(O) - xl/(O) -

O·

' "., .

-- .•' ,

- - '.. -

- § ~ · ~

~ ~ . :

b) x" + x' =cost; x(O) = 2,x'(0) = 0;

c) XIII + 2X" + 5x

'

= 0; x(O) =

-1,x'(O)

=

2, X"(O)

=

0;

d) x"

+

2x'

=tsint;

x(O)

=

X'(O) =

O.

6.14. Folosindformulalui

Duhamel

sa. se rczolve

e c u a ~ i i l e

diferntiale:

a)

x" = arctgt; x O) = X'(O) = 0;

b)

XII

+

x'= cos

t;

x(O) =

X'(O)

=

O.

6.15. Folosind

transformata

Laplacesa serezolve e c u a ~ i a diferentiala

xl/(t) - 2X'(t- 1)

=

t; x(O)

=

X'(O)

=

0

6.16. Folosind

transformata

Laplacesa serezolve u a ~ i i l e integrale:

1 t

a)

x(t) =t

+

2

J

(t- r)2

x

(r)dr;

o

b) x(t)

=

1

+

t

+

10 cos(t- r)x(r) dr;

t

c) x(t) = t+ 2Io [(t - r) - sin(t- r)]x(r)dr;

t

2

t

d)x( t )= '2+ Jo(t- r)e' -T

x(r)dr.

6.17.

Sa

se calculezc

transformata

Laplacebilaterala a functiilor:

e-

2ItJ

;

)

J(t)

=

b)

J(t)=

{e-

t

, t

0

e

2

,

t

< 0

6.18. Calcuiati transformata

Laplace

(bilatcrala ) inversa

a

functiei

definite: '

(p + l)(p

+

2)(p- 3)

a) In band a

-2

< Rep < -1 ;

b) In

banda-1 < Rep < 3;

c) In semiplanulRep>

3;

d) In semiplanulRep < -2.

Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa

Documents

Transcript of Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa