CAPITOLUL IVFUNCŢII REALE DE VARIABILĂ REALĂ

În acest capitol sunt prezentate principalele noţiuni ale analizei matematice şi punctat în mod deosebit noţiunea de derivată cu interpretările ei clasice (fizice şi geometrice) şi noţiunea de diferenţială utilizată foarte mult în proiectare.

4.1 Noţiuni de topologie pe

Fie şi .Definiţia 1. Se numeşte vecinătate a punctului orice mulţime care conţine un interval cu .Aceste vecinătăţi au proprietăţile

a) Orice care conţine pe care este vecinătate a lui , este tot vecinătate a lui ;

b) Intersecţia a două vecinătăţi a lui este tot vecinătate a lui ;c) Dacă , atunci există o vecinătate a lui şi alta a lui disjuncte.

Definiţia 2. Notăm {V|V vecinătate pentru } şi reprezintă bază de vecinătăţi ale punctului .

De obicei se folosesc pentru vecinătăţi intervale simetrice de forma , adică .

Prin alegerea vecinătăţilor( bază de vecinătăţi) pentru un punct sa definit o structură topologică pe dreapta reală, deoarece sunt satisfăcute axiomele spaţiului topologic. Vezi [1] şi [2].Definiţia 3. Fie şi . Punctul se numeşte punct interior pentru

dacă şi numai dacă sau , cu .

Definiţia 4. Fie . Se numeşte interiorul mulţimii şi se notează , mulţimea punctelor interioare pentru , adică:

Definiţia 5. Fie . Punctul se numeşte punct aderent pentru avem .Definiţia 6. Fie . Se numeşte închiderea mulţimii şi se notează , mulţimea punctelor aderente pentru , adică:

Exemplu:

Pentru avem şi .

129

Definiţia 7. Fie . Se numeşte frontiera mulţimii şi se notează

.

Mulţimi mărginite

Definiţia 8. este mărginită inferior sau minorată astfel încât ; se numeşte minorant şi poate să apaţină sau nu lui .

Definiţia 9. este mărginită superior sau majorată astfel încât ; se numeşte majorant şi poate să apaţină sau nu lui .

Definiţia 10. este mărginită A este minorată şi majorată.Definiţia 11. Se numeşte margine superioară a lui cel mai mic majorant al său.Definiţia 12. Se numeşte mărgine inferioră a lui cel mai mare minorant al lui .Definiţia 13. Fie şi un punct care poate să aparţină sau nu lui . Punctul

se numeşte punct de acumulare pentru mulţimea avem .

Proprietatea 1. Orice punct de acumulare este punct aderent. Reciproca este falsă.Exemple:

1) Muţimea are punct de acumulare, iar nu

aparţine mulţimii.2) , cu , este punct aderent, dar nu este punct de

acumulare.Definiţia 14. Fie şi . Punctul se numeşte punct izolat dacă

astfel încât .Definiţia 15. Fie . Se numeşte limita superioară a lui numărul :

,

iar limita inferioară a lui este numărul : .

4.2 Limite de funcţii

Definiţia 16. Fie şi punct de acumulare al lui R.Spunem că numărul este limită funcţie în şi se notează

, astfel încât

cu .

Definiţia 17. Fie şi punct de acumulare al lui R.Spunem că numărul este limită funcţie în şi se notează

astfel încât cu .

Definiţia 18. Fie şi punct de acumulare al lui R.

130

Spunem că numărul este limită funcţie în şi se notează

atunci şirul .

Cele trei definiţii sunt echivalente. Vezi [2].Definiţia 16. Fie şi punct de acumulare al lui R.Se numeşte limita funcţiei la stânga punctului şi se notează

, astfel încât

cu .Definiţia 17. Fie şi punct de acumulare al lui R.Se numeşte limita funcţiei la stânga punctului şi se notează

astfel încât cu

.Definiţia 18. Fie şi punct de acumulare al lui R.Se numeşte limita funcţiei la stânga punctului şi se notează

atunci şirul .

Analog, avem definiţiile pentru limita la dreapta .

4.3 Funcţii continue

Definiţia 19. Fie şi , cu R. Se spune că este continuă în , atunci astfel încât .

Definiţia 20. este continuă în astfel încât pentru .

Definiţia 21. Funcţia este continuă în cu .Definiţia 22. Funcţia este continuă în .Definiţia 23. Funcţia este continuă la stânga în . Definiţia 24. Funcţia este continuă la dreapta în .Definiţia 25. Funcţia este continuă pe dacă este continuă în orice punct al lui .Definiţia 26. Fie şi un punct în care nu este continuă. Atunci este punct de discontinuitate.Definiţia 27. Fie şi este punct de discontinuitate. Dacă limitele laterale şi există şi sunt finite spunem că este punct de discontinuitate de speţa întâi.Definiţia 28. Fie şi este punct de discontinuitate. Punctul se numeşte punct de discontinuitate de speţa a doua dacă nu este punct de discontinuitate de speţa întâi. Mai exact, , f ( ) sau nu există sau este infinită (infinite).

131

Teorema 1. Orice funcţie continuă pe un interval închis şi mărginit îşi atinge marginile. Vezi [1] şi [2].Teorema 2. Fie continuă şi . Atunci există cel puţin un punct

astfel încât . Vezi [1] şi [2].

Continuitate uniformă

Definiţie 29. Fie . Spunem că este uniform continuă pe dacă astfel încât , cu .

Teorema 1. O funcţie continuă pe un interval închis şi mărginit (compact) este uniform continuă pe acel interval. Vezi [2].Teorema 2. O funcţie uniform continuă pe o mulţime este continuă pe acea mulţime. Vezi [2].Observaţie. Funcţiile elementare sunt funcţii continue pe domeniul de definiţie.Definiţia 30. Fie cu şi a<b, c<d. Funcţia f are proprietatea lui Darboux pe (a,b) dacă , atunci există astfel încât .Proprietăţi:1) Orice funcţie , cu , care este continuă are proprietatea lui Darboux.2) Reciproca acestei teoreme nu este totdeauna adevărată, adică există funcţii care au proprietatea lui Darboux dar care nu sunt continue.Contraexemplu Fie , cu

Funcţia f are proprietatea lui Darboux, dar nu este continuă în . 3) Dacă R este continuă şi (presupunem că şi ) atunci f are proprietatea lui Darboux pentru astfel încât .

4.4 Derivate şi diferenţiale

Definiţia 31. Fie cu interval real şi , atunci spunem că este derivabilă în este finită şi unică limita :

L= .

Interpretarea geometrică a derivatei dată de Leibniz Dacă este graficul funcţiei y=f(x), cu x (a,b),

132

atunci avem:

iar

.Raportul:

(*)

unde este unghiul făcut de ipotenuza AB cu cateta AC în triunghiul dreptunghic ABC corespunzător abscisei x.Trecând la limită relaţia (*) găsim că :

unde este unghiul format de tangenta la graficul în cu .Concluzie   : Derivata funcţiei f în reprezintă panta tangentei la graficul funcţiei în . Această interpretare a deivatei a fost dată Leibniz (n.1646-m.1716) în 1675 când a pus bazele calculului diferenţial şi integral concomitent cu I. Newton. Această descoperire a fost numită la acel moment “instrumentul cel mai fecund de descoperiri pe care oamenii l-au posedat vreodată”.Interpretarea mecanică a derivatei (Newton) În acelaşi timp cu Leibniz, Isaac Newton (n. 1643, m. 1727) a introdus noţiunea de derivată pornind de la interpretarea mecanică în care funcţia f reprezintă legea de mişcare a unui punct material, adică o masă m se mişcă în timp după legea:

O x

y

0x x

y=f(x)

A’ B’

B

CA α x

133

s=s(t) cu . Se dorea să se determine viteza instantanee a masei m la momentul . În intervalul de timp masa m parcurge spaţiul s(t)-s( ), iar viteza medie pe acest interval de timp este :

(**)

Trecând la limită în această relaţie se obţine viteza masei m la momentul , care în fizică este notată cu v( ), adică :

.

Deci , adică derivata este o viteză.

Observaţie: Cele două interpetări ale derivatei (ambele conţin acelaşi lucru), au condus la dezvoltarea a două şcoli de analiză în lume, care îşi continuă concurenţa şi în zilele noastre. Definiţia 32. este derivabilă pe dacă este derivabilă în

.Teorema 1. Dacă este derivabilă în , atunci este continuă în . Vezi [1] şi [2].Teorema 2. Dacă este derivabilă pe , atunci este continuă pe . Vezi [1] şi [2].Definiţia 33. şi . Se numeşte derivata la stânga punctului ,

limita .

Definiţia34. Se numeşte derivată la dreapta în limita următoare:

.

Observaţie : Pentru ca funcţia f să fie derivabilă în , trebuie ca f să fie continuă în şi

, adică:

.Definiţia 35. Fie cu şi este derivabilă în . Spunem că este derivabilă de două ori dacă există şi este finită limita

.

Obsevaţie.1.) Analog se definesc derivatele de ordin superior.2.) Funcţiile elementare sunt funcţii derivabile, chiar indefinit derivabile (au

derivate de orice ordin).3.) este de clasă este derivabilă de ori cu toate derivatele

continue.

134

4.) şi sunt funcţii derivabile cu este derivabilă şi .

4. Formula lui Leibniz

Dacă , atunci .

Proprietăţile funcţiilor derivabile

Maximele şi minimele unei funcţiiDefiniţia 36. şi a) se numeşte punct de maxim local al lui , dacă astfel încât

.b) se numeşte punct de minim local al lui dacă astfel încât

.Teorema Fermat. Dacă şi este derivabilă în cu şi dacă este punct de maxim sau minim local .Demonstraţie: Presupunem că este punct de minim local atunci:

iar

Cum funcţia f este derivabilă în , avem .

Analog pentru punct de maxim local.Teoremă Fie derivabilă.

a) Dacă este crescătoare ;b) Dacă este descrescătoare ;c) Dacă este constantă .

Demonstraţie. a) Dacă crescătoare atunci

Fie ;

1)pentru

>0 .

2)pentru

135

Analog b) şi c).

Teorema lui Rolle

Fie cu următoarele proprietăţi:1) continuă pe 2) derivabilă pe 3) .Atunci astfel încât .Demonstraţie. Cazul 1. Dacă Teorema este demonstrată.Cazul 2. Dacă nu este constantă , cum este continuă pe închis îşi atinge

marginile şi astfel încât şi

şi sunt puncte de extrem. Cum este derivabilă conform teoremei lui Fermat sau analog pentru .

Observaţii:1) Din teorema lui Rolle un singur număr impar de puncte în care

derivata se anulează.2) Dacă între două rădăcini consecutive ale polinomului există

un număr impar de rădăcini ale derivatei.3) Între două rădăcini consecutive ale derivatei există cel mult o rădăcină a

funcţiei.

Teorema Cauchy

Fie cu proprietăţile:1) şi continue pe .2) şi derivabile pe .3) .Atunci astfel încât :

.

Demonstraţie. Considerăm funcţia :.

Să determinăm constantele A, B şi C astfel încât .

Scăzând aceste relaţii găsim : pentru şi , funcţia F(x) verifică condiţia de sus. Considerăm

, pentru că sunt trei parametri şi doar două ecuaţii (o singură soluţie)

136

Deci conform teoremei lui Rolle există astfel încât

.

Teorema Lagrange (a creşterilor finite)

Fie .1) continuă pe .2) derivabilă pe .Atunci există astfel încât :

.

Demonstraţie. Se consideră în teorema lui Cauchy şi se obţine concluzia teoremei.

Interpretarea geometrică

B

A

f(a) f(b)

a c b

Raportul reprezintă panta dreptei AB. Teorema Lagrange spune că în

cazul când sunt îndeplinite ipotezele teoremei, atunci există în care panta dreptei AB coincide cu panta tangentei în x=c.Consecinţele teoremei Lagrange: 1)Dacă , 2) Dacă , .3) Dacă , , atunci este crescătoare.4) Dacă , atunci este descrescătoare.

137

Regula lui l’Hospital

Caz 1.

Caz 2. ; se reduce la cazul 1.

Caz 3. ; se reduce la cazul 1.

Caz 4. ; se reduce la cazul 1.

Vezi paragraful 2.3.

Interpretarea derivatei a doua

Definiţia 37. Fie . Funcţia este convexă( ţine apă) dacă

. (Valorile funcţiei se află sub dreapta AB

unde A(a,f(a) şi B(b,f(b)))Definiţia 38. Fie . Funcţia este concavă( nu ţine apă) dacă

. (Valorile funcţiei se află deasupra dreptei

AB unde A(a,f(a) şi B(b,f(b)))

Definiţia 39. Punctul se numeşte punct de inflexiune dacă funcţia îşi schimbă concavitatea.Teoremă. Fie derivabilă de două ori. Au loc următoarele afirmaţii

1) Dacă , atunci este convexă pe .2) Dacă , atunci este concavă pe .3) Dacă , atunci este punct de inflexiune.

Formula lui TaylorDacă , atunci şi , există un punct c între şi astfel încât

(1).

Demonstraţie. Considerăm egalitatea

, (2)

138

unde Reste o constantă pentru care are loc (1). Această constantă urmează a fi determinată. Fie atunci considerăm funcţia auxiliară , definită prin

. (3)

Funcţia are proprietăţile:1) este continuă pe ;2) este derivabilă pe ;3) .Din teorema lui Rolle, rezultă astfel încât . Dar,

+ .

Avem . (4)

Din .

Înlocuind în ( 1), avem

, care reprezintă formula

lui Taylor.Caz particular. Pentru se obţine formula lui Mac Laurin

.

Diferenţiale.Definiţia 40. Fie şi . Funcţia se numeşte diferenţiabilă în

dacă şi funcţie continuă cu astfel încât

. (6)

Teoremă. Funcţia este diferenţiabilă în dacă şi numai dacă este derivabilă în .

Demonstraţie. Să demonstrăm că dacă f este diferenţiabilă în , atunci f este derivabilă în . Dacă f este diferenţiabilă în , atunci din (6) rezultă că:

.

Deci A= . Să demonstrăm că dacă f este derivabilă în , atunci f este diferenţiabilă în

să arătăm că R şi funcţia continuă cu proprietatea că .

Cum f este derivabilă, atunci există, este unică şi finită limita:

139

(8)

Definim funcţia :

. (9)

Evident că şi funcţia este continuă (pentru că f

derivabilă). Constanta . În aceste condiţii diferenţa se poate scrie:

adică f este diferenţiabilă în .

Definiţia 41. Se numeşte diferenţiala funcţiei în , dacă este derivabilă şi se notează cu , unde (diferenţă constantă).

Interpretare geometrică a diferenţialei Membrul stâng al relaţiei (6) se numeşte variaţia reală a funcţiei şi o notăm cu:

. (10) Funcţia mai poartă numele de rest sau abatere şi tinde la zero când x tinde la . Membrul drept al relaţiei (6) este alcătuit din suma dintre o constantă (A) plus abaterea (restul) , înmulţit cu variaţia argumentului . Cum abaterea este foarte mică în raport cu A( ), atunci aceasta parte liniară A( ) a fost numită diferenţiala funcţiei f în şi conform definiţiei 41 avem că :

( ). Relaţia (6) spune că :

. (6’)

Cum pentru , are valori foarte mici şi cum această funcţie nu poate fi determinată, atunci avem posibilitatea să determinăm aproximativ variaţia reală a funcţiei folosind diferenţiala funcţiei, adică :

. (11)

Din această relaţie putem calcula aproximativ valoarea funcţiei în x, când cunosc valoarea funcţiei în şi valoarea derivatei în , adică:

.Observaţie: Acest rezultat se poate obţine şi din formula lui Taylor pentru n=1.Exemplu   : Avem o bilă de rază , care la temperatura are volumul :

.

140

Dacă temperatura creşte şi ajunge la valoarea , atunci raza bilei creşte şi ea la valoarea (care poate fi determinată respectând legile de dilataţie termică). Să presupunem că nu ştim aceste legi şi totuşi trebuie să determinăm volumul sferei la temperaturi . Dacă considerăm funcţia V(r) cu:

atunci:

sau (12)

care reprezintă volumul aproximativ al sferei la temperatura . Dacă particularizăm acest exemplu cu datele următoare:-la temperatura avem ;-la temperatura avem ; Atunci volumul real al sferei la este:

.

Calculând volumul aproximativ al sferei cu (12) găsim:

.

Definiţia 42. Se numeşte diferenţială de ordinul doi a funcţiei în şi se notează cu

, dacă este derivabilă în şi este diferenţiabilă în .

Definiţia 43. Se numeşte diferenţială de ordinul n, o funcţie în , dacă cu şi este diferenţiabilă în şi avem .

141