Culegere-EUCLID-2012

7/22/2019 Culegere-EUCLID-2012

1/137

Liceul Teoretic Vasile Alecsandri Iai

IAI - 2012


2/137

Liceul Teoretic Vasile Alecsandri Iai

Fundamentarea actului educaional pe baza nevoilor de dezvoltare

personal i profesional a elevilor din perspectiva dezvoltrii

durabile i a deschiderii sistemului educaional ctre societate, n

contextul integrrii europene


3/137

3

C U P R I N S

Argument ......................................................................................... 4Programul de desfurare al concursului ...................................... 5

Comisia de concurs .............................................................................. 6Autori .................................................................................................... 7Subiecte date la ediiile anterioare ..................................................... 8

EDIIA a XI-a ............................................................................................. 8EDIIA a X-a ............................................................................................ 20EDIIA a IX-a ........................................................................................... 32EDIIA a VIII-a ........................................................................................ 37EDIIA a VII-a ......................................................................................... 42EDIIA a VI-a ........................................................................................... 46EDIIA a V-a ............................................................................................ 55

Probleme i exerciii propuse............................................................ 65Clasele a III-a i a IV-a .............................................................................. 65Clasa a V-a ................................................................................................ 79

Clasa a VI-a ............................................................................................... 84Clasa a VII-a - algebr ............................................................................. 88Clasa a VII-a - geometrie ......................................................................... 93Clasa a VIII-a - algebr ......................................................................... 101Clasa a VIII-a - geometrie ..................................................................... 105

Indicaii i rspunsuri ..................................................................... 112Clasele a III-a i a IV-a ....................................................................... 112Clasa a VII-a - algebr ...................................................................... 126Clasa a VII-a - geometrie .................................................................. 129Clasa a VIII-a - algebr ..................................................................... 133Clasa a VIII-a geometrie .................................................................. 135

Bibliografie .................................................................................. 136


4/137

4

Argument

Concursul de matematic EUCLID a luat fiin n anul 2001, la iniiativa

profesorilor de matematic de la Liceul Teoretic Vasile Alecsandri din Iai.Denumirea acestuia provine de la numele celebrului matematician grec care

a pus bazele geometriei plane i spaiale i ale aritmeticii. nsemnata sa oper,Elemente, alctuit din 13 capitole a constituit, timp de dou milenii, cartea decpti dup care s-a predat matematica. A fost tradus n aproximativ 300 delimbi, fiind cea mai citit carte din lume.

Euclid a adus multe contribuii originale: a enunat teoreme noi: teoremacatetei, a nlimii (unui triunghi dreptunghic), a concureneimediatoarelor unuitriunghi, a reciprocei teoremei lui Pythagoras, a teoremei mpririi cu rest

(pentru numere naturale), a descompunerii n factori primi aunui numr ntreg(pozitiv); i se datoreaz noiunile de semidreapt, tangent (la o curb), cercmare (al unei sfere), puterea unui punct fa de un cerc sau o sfer, ca idenumirile de paralelogram, poliedru, prism, tetraedru, a formulat definiii cele pentru cerc isfer rmnnd n uz.

Concursul EUCLID se adreseaz elevilor din clasele III-VIII la colileGenerale din judeul Iai, iar anul acesta se afl la cea de a XI-a ediie.

Organizatorii i-au propus ca, prin acest eveniment, s stimuleze spiritul

COMPETITIV al elevilor i s le dezvolte nevoia de cunoatere i nelegere.Concursul se bucur de aprecierea participanilor pentru probele la care auposibilitatea s ntre n competiie:

- proba individual ofer posibilitatea fiecrui participant de a-idemonstra competenele dobndite n domeniul matematicii.

- proba pe echipaje dezvolt abilitatea de a lucra n echip i dposibilitatea fiecrei echipe de a promova imaginea colii.

Elevii din clasa a IV-a cu rezultate foarte bune la concurs au posibilitatea s

se nscrie la Liceul Teoretic Vasile Alecsandri fr a mai susine examenul deadmitere n clasa a V-a.Festivitatea de premiere are loc, n fiecare an, la Universitatea Al. I.

Cuza Iai.Parteneriatul dintre Liceul Teoretic Vasile Alecsandri i Universitatea

Al. I. Cuza Iai demonstreaz nc o dat aprecierea de care se bucur LiceulTeoretic Vasile Alecsandri n comunitatea educaional.

Autorii


5/137

5

Programul de desfurare al concursului

15 27.03.2012 nscrierea participanilor

31.03.2012 Susinerea probelor de concurs

NOT:

Programul de desfurare al concursurilor, repartizarea pe

sli, vor fi afiate la avizierul liceului pn pe 30.03.2012. De

asemenea, informaii se pot afla consultnd site-ul liceului:

www.lvais.ro.


6/137

6

Concurs de matematic EUCLIDEDIIA a XII-a

Comisia de concurs

Preedinte de onoare:

prof. univ. dr. Mihai Anastasiei

Preedinte:

prof. Nelu Tudorache director

Vicepreedinte:

prof. Ecaterina Ursu

Membri:

prof. Bodron Dochiaprof. Grigora Julietaprof. Leontie Rodicaprof. Nistor Alinaprof. Nistor Gheorghiprof. Ungureanu Snzianaprof. Mihu Elena

Secretari:prof. Cojocariu Beatrisinf. Cojocaru Gabriela Ctlinaing. Ionenscu Mihaela


7/137

7

Autori

Coordonator:

prof. Nelu Tudorache

Propuntori probleme:

Prof. Berea Gabriela (1 10)

nv. Teodora Pantazie (11-20)

Problemele 21 150 sunt reeditate din ediia 2011.

Clasa a V-a: prof. Mihu Elena

Clasa a VI-a prof. Ursu Ecaterina

Clasa a VII-a: prof. Ungureanu Snziana

prof. Nistor Alina

Clasa a VIII-aprof. Bodron Dochia

prof. Nistor Gheorghi

Tehnoredactare:

Ing. Mihaela Ionescu


8/137

8

Subiecte date la ediiile anterioare

EDIIA a XI-a

31 ianuarie 2011

Clasa a IIIa

SUBIECTUL IAflai numrul necunoscut: [(1+23+45+67+8+9) 108]x= 30

SUBIECTUL IIFratele meu i cu mine avem mpreun ct jumtate din vrsta

tatlui meu.Ci ani am, dac fratele meu este cu 4 ani mai mare dect mine, iar

tata are 48 de ani ?

SUBIECTUL III.apte copii au n fa dou couri cu mere. Pe rnd, fiecare copil ia

dou mere din primul co i le pstreaz pentru el, apoi ia un mr din aldoilea co i l pune n primul co. Cnd l ajunge rndul pe al apteleacopil, acesta ia cele dou mere din primul co, ns nu mai are ce lua dinal doilea co, pentru c acesta este gol.

S se afle cte mere erau la nceput n total n cele dou couri,tiind c la sfrit au rmas cinci mere n primul co.

Barem de corectare clasa a III-aSUBIECTUL I

a) Efectueaz cele patru nmuliri .. 10pb) Efectueaz adunrile ...... 5pc) Scrie relaia (86 - 80)x= 30 ......... 5pd) 6x= 30 ................... 5pe) Finalizare ................ 5p

(30 puncte)


9/137

9

SUBIECTUL II.a) Scrie relaia e + f = t : 2 ........................................... 5p

b) Afl suma vrstelor copiilor, e + f = 48 : 2 = 24 .... 5pc) Reprezint grafic ................................. 10pd)

Afl vrsta lui e = 10 .................. 10p(30 puncte)

SUBIECTUL III.a) Din primul co s-au luat 2+2+2+2+2+2+2 = 14 mere ...... 5p

b) Din al doilea co s-au luat 6 mere ............ 5pc) n primul co erau (14 - 6)+5 = 8+5 = 13 mere ............ 10pd) n al doilea co erau 6 mere .............. 5pe) Finalizare 13+6 = 19 mere ........ 5p

(30 puncte)

Oficiu 10 puncte

Clasa a IV-aSUBIECTUL I (40 puncte)a) ntr-o cutie sunt 61 de fundie roii, verzi i albe. Dup ce s-a folosit

acelai numr de fundie de fiecare culoare, n cutie au rmas 12fundie roii, 15 fundie verzi i 7 fundie albe. Cte fundie de fiecareculoare erau la nceput n cutie?

b) De cte ori semnul + este utilizat n adunarea: 7+7+7...+7=693 ?SUBIECTUL II (30 puncte)

Se mpart dou numere naturale nenule. Dac mpritorul, ctul irestul sunt numere naturale consecutive, cu suma 30, s se afle

dempritul.SUBIECTUL III (20 puncte)

n beciul bunicului stau aliniate 6 couri cu mere. Numrul merelordin dou couri alturate difer cu 1. n courile cu numr impar de merese afl 71 de mere, n total. Care este numrul minim de mere ce se poateafla n celelalte couri ? (Justificai)

Din oficiu - 10 puncte


10/137

10

Barem corectare clasa a IV-aSUBIECTUL I (40 puncte)

a) - Afl numrul de fundie rmase n cutie: 12+15+7=34 ......... 9p- Afl numrul de fundie folosite de fiecare culoare:

(61 34):3 = 9 ............................................................. 9p- Calculeaz numrul de fundie de fiecare culoare:12+9 = 21; 15+9 = 24; 7+9 = 16 ................................. 7p

b) - Determin de cte ori apare 7 n expresia dat: 693:7=99 .... 10p- Finalizare: 98 de semne de + .................................................. 5p

SUBIECTUL II (30 puncte)- Afl numerele consecutive: 9, 10, 11 ........... 15p- Scrie relaia: D = C + R, R


11/137

11

SUBIECTUL IIINumerele naturale nenule se scriu ntr-un tablou n felul urmtor:

12 3 4

5 6 7 8 9................................................................Astfel 1 se gsete pe prima linie a tabloului, 2, 3 i 4 pe linia a

doua, 5, 6, 7, 8, 9 pe linia a treia i aa mai departe.a)Aflai pe ce linie a tabloului se gsete 37.

b)Aflai pe ce linie a tabloului se gsete 2011 i ce poziie ocuppe linia respectiv.

30 puncteOficiu 10 puncte

Barem de corectare clasa a V-aSUBIECTUL I.

a b = 413 ....................................................................................... 5pa = 3b + 53 ........................... 10pnlocuiete i gsete b = 180 .. 10pa = 593 ....................................................................................... 5p

SUBIECTUL II.a) 2005A ................................................................................... 5p

2011A ................................................................................... 5pb) nlocuiete n = 2011 ................................................................. 3p

x = 1020112 + 5 ......................................................................... 4pcalculeaz suma cifrelor = 7 .................................................... 3p

c) n = 0 x = 7 pp ................................................................... 2pn = 1 x = 25 = pp ................................................................. 3pn 2 x = 200 ... 05M5 dar nu este divizibil cu 25 ............... 5p

SUBIECTUL III.

a) fiecare linie se termin cu ptratul numrului ei ..................... 5plinia 6 se termin cu 36 ............................................................ 5p37 se afl pe linia 7 .................................................................. 5p

b) 452 = 2025 2011 se gsete pe linia 45 .............................. 5plinia 44 se termin cu 1936 linia 45 ncepe cu 1937 .......... 5p2011 ocup poziia 75 pe linia 45 ............................................ 5p

Oficiu 10 puncte

NOT: Orice alt soluie corect se noteaz cu punctaj corespunztor


12/137

12

Clasa a VI-aSUBIECTUL I.

Dou fracii avnd ambele numrtorul 5, au suma7733

1 . Aflai cele

dou fracii tiind c suma numitorilor este 18. 30 puncteSUBIECTUL II.

Andrei dorete s i ordoneze timbrele ntr-un clasor. Dac le aeazcte 5, cte 6, cte 7 sau cte 8, i rmn, de fiecare dat, 3 timbre. Dacle aeaz cte 9, nu i rmne nici unul. Afl cel mai mic numr de timbre

pe care l poate avea Andrei.30 puncte

SUBIECTUL III.Unghiurile AOB i BOC sunt adiacente, iar m( BOC) =

43

m( AOB). Fie (OM bisectoarea unghiului AOB i fie semidreapta

ON astfel nct (OC este n interiorul unghiului BON i m( MON)=900.Aflai msurile unghiurilor AOB i BOC tiind c m( CON) = 200.

30 puncte

Oficiu 10 puncte

Barem de corectare clasa a VI-a

SUBIECTUL I.

7713

155

=+ba

........................................ 5p

a + b = 18 ........................................ 5p

7790)(5

==

ab

ba ...................................... 5p

ab = 77 ................................................ 5pa = 1, b = 77 nu convine ............................ 4pa = 7, b = 11 ............................. 4p

fraciile sunt115

,75 ........................... 2p

(30 puncte)


13/137

13

SUBIECTUL II.Teorema mpririi cu rest cu mpritorii 5, 6, 7 i 8,iar restul 3 ... 10pn 3 = [5, 6, 7, 8]k, unde k este numr natural ... 5p

[5, 6, 7, 8] = 840 ............................... 5pn = 840k + 3 i n este divizibil cu 9 ............... 5pn = 8402 + 3 = 1683 ........................ 5p

(30 puncte)SUBIECTUL III.

Desen .................................................. 5pMsura unghiului AOB estex, iar msura lui BOC

este 43

x....................................................................................... 5p(OM este bisectoarea unghiului AOB implic

m( AOM) = m( MOB) =2x .............................................. 5p

m( MON) = m( MOB)+ m( BOC)+ m( CON) .... 5p

900 =2x + x

43 +20; x = 560...................... 5p

m( AOB) = 560

, m( BOC) = 420

.................................. 5p(30 puncte)

Oficiu 10 puncte


Clasa a VIIa

SUBIECTUL I.

Fie A =2010201120102011

...6

232

12

++

+

.

a) Demonstrai c A(0; 1).b) Artai c 442011


14/137

14

SUBIECTUL II.

Determinai numerele raionale nenule x pentru carex

x1

+ este

ntreg. Verificai c n acest caz nn

xx

1+

este ntreg oricare ar fin

natural.30 puncte

SUBIECTUL III.Considerm ABC isoscel, [AB][AC] cu [AD] median i (DM

bisectoarea ADC, unde MAC. Perpendiculara din D pe ABintersecteaz pe AC n Q i pe AB n N. Artai c:

a) NBAN

MC

AM=

2

;b) triunghiul MDQ este isoscel.


Barem de corectare clasa a VIIaSUBIECTUL I. (30 puncte)

a) A = 201020112010201020112011...62632122

+++ ...... 5p

A =20111

1 ................................................................................ 10p

Finalizare ........................................................................................... 5p

b) 120112011 =A ........................................................................ 5p

Finalizare ........................................................................................... 5pSUBIECTUL II. (30 puncte)

Qp

mx = ; m, pQ, (m,p) = 1, p 0 ............................................. 3p

Zmp

pm

xx

+=+

221......................................................................... 2p

+++

mppm

mpmppmmppm

MM

MMM

2

2

22

22

22 , (m,p) = 1 ....................... 15p


15/137

15

1=p i 11 == xm .......................................................... 5p

Dac x = 1 Zx

xn

n =+ 21

....................................................... 2,5p

Dac x = -1 Zxxn

n

n

=+ )1(2

1

.............................................. 2,5p

SUBIECTUL III.(30 puncte)

a) Aplic teorema bisectoarei )1(DC

AD

C

AM= ................................... 5p

AND~ADC )2(DC

AD

D

AN= ....................................................... 5p

(1)=(2) )3(22

2

2

NDAN

CAM = ............................................................ 2,5p

NDA~NBD )4(2 NBNAND = ................................................ 5p

Din (3),(4) ND

AN

MC

AM=

2

......................................................... 2,5p

b) xQDCmBDNm == )()( ................................................................... 2,5p

xCADmDABmBDNm === )

()

()

( .............................................. 2,5p(DM bisectoare 045)()( == CDMmMDAm ............................... 2,5p

xQMDmQDMm +== 045)()( MDQ isoscel ...................... 2,5pOficiu 10 puncte

Clasa a VIII-aSUBIECTUL I

Rezolvai ecuaia: 20111

...3241

231

121

=+++++++ nn .30 puncte

SUBIECTUL II

tiind c 51

=+x

x i x 0, s se afle valoarea expresiei:

xxxxxxxxxE

1...

111)( 234

432 ++++++++= .

30 puncte


16/137

16

SUBIECTUL IIIFie punctele A, B, C, O necoplanare astfel nct OA=6cm, OB= 8cm,

OC=8cm i OAOBOCOA.a) Realizai un desen conform datelor.

b) Aflai d(O,(ABC)).c) Dac OH(ABC), artai c H este ortocentrul ABC.30 puncte

Oficiu 10 puncte

Barem de corectare clasa a VIII-aSUBIECTUL I.

Raionalizare ................................................................................... 10pReducerea termenilor ...................................................................... 10pFinalizare n = 20122 ......................................................................... 10p

(30 puncte)SUBIECTUL II.

Avem

++

++

++

+= 4

43

32

2 1111)(x

xx

xx

xx

xxE ............. 5p

Calculeaz parantezele ................................................................... 20pFinalizare E(x) = 665 ....................................................................... 5p

(30 puncte)SUBIECTUL III.a) desen ............................................................................................ 5p

b) BC = 28 ................................................................................... 5pc) arat H ortocentru Finalizare n = 20122

......................................................................... 10p(30 puncte)

Oficiu 10 puncte

ECHIPAJESUBIECT CLASA a V-a1. Fie mulimea A = {1, 2, 3, , 2011}

a) Ci multipli de 3 conine mulimea A?b) Fie B mulimea elementelor din A care sunt multipli de 3 sau

multipli de 5. Cte elemente are B?

2. S se determine cte numere naturale de forma ( )2abcabc au unnumr de 135 divizori.

20 puncte


17/137

17

SUBIECT CLASA a VI-a1. Fie x, y, z numere naturale astfel ca 25y;23 ++++ zyx i

+ 4

18z

N. S se determine valorile luix.

2. Fie unghiurile adiacente BOA i COB i (OX respectiv (OYbisectoarele lor. tiind c m( YOX )=900 i m( YOB )=3m( XOB ), sse afle msurile unghiurilor BOA i COB .

20 puncteSUBIECT CLASA a VII-a1. Aflai numerele naturale nenule a i b tiind c:

( )ba

x

ba

nn

400020002

21 2000

2

+=+

++

,unde x = 1+3+5+...+1999 (2+4+...+1998)

2. n triunghiul ABC, m 090 =A i AB>AC. Considerm (ADbisectoarea unghiului BAC, D(BC) i CEAD, E(AB). tiind c[CE][BE] se cere:a) Demonstrai c [DC][DE].

b) Determinai msurile unghiurilorABC.20 puncte

SUBIECT CLASA a VIII-a

1. Considerm( )222222 1

111...

41

31

131

21

1+

+++++++++=nn

an cu

nN* i n 2.

a) Artai c

( ) 1

111

1

111 22

+

+=

+

++

nnnn

;

b) Artai c anQ\N oricare ar fi nN* i n 2;

c) Artai c exist nN* astfel nct an = 2010 +20121005

2. Rombul ABCD i triunghiul echilateral ADE sunt situate n planediferite. Fie M i N mijloacele laturilor AE respectiv DE i O centrulrombului.a) Demonstrai c (MNO)||(BEC).

b) Calculai raportul ariilor triunghiurilor MNO i BEC.20 puncte


18/137

18

Barem de corectare ECHIPAJECLASA a V-a1. a) 3, 6, 9, ..., 2010 670 multipli ....... 2p

b) M5 = {5, 10, 15, , 2010} 502 multipli . 2p

M3M5 = M15 = {15, 30, 45, ..., 2010} 134 multipli .... 3pB = 670 + 502 134 = 1038 ........ 3p

2. ( )2abcabc = ( ) 22 1001abc .............................................. 2p( )2abcabc = ( ) 2222 13117 abc ... 2p

135 = 533 2pabc = , cu p numr prim ....... 2p p{17, 19, 23, 29, 31} ..... 2p

Deci sunt 5 numere .................. 2p(20 puncte)CLASA a VI-a

1. z + 4 este divizor al lui 18 ... 3pz este 2, 5 sau 15 ................... 1pz = 2 nu convine .................... 1pz = 5 i y + 5 divide 7 implic y este 2 ...... 1p

x + 3 divide 5 implic x = 2 .... 1pz = 15 i y + 5 divide 17 implic y = 12 .... 1px + 3 divide 14 iplic x este 4 sau 11 ..... 2p

2. Desen .......... 2pMsura unghiului XOB este a, a unghiului BOY este 3a... 2p4a = 900 implic a este 22030 ................................................ 2pMsura unghiului AOB este 450............................................. 2p

Msura unghiului BOC este 1350........................................... 2p(20 puncte)CLASA a VII-a1. n2 + n + 2000 = n(n+1) + 2000 = numr par ...... 2p

x = 1000 .................................. 3p

Obinebaba 2

12

1+

=+

.................................. 2p

a = b = 1 .................................. 3p

2. a) Observ c ACE dreptunghic i isoscel [AC][AE] ....... 2p


19/137

19

CADEAD [CD][DE] ................................................ 3pb) m )BEC = 1350 m )CBE +m BCE = 450 ...................... 2p

CEB isoscel m )CBE = 22030 ....................................... 2p

m BCA = 670

30.................................................................... 1p(20 puncte)CLASA a VIII-a

1. a)( )

=+

+

++

++=

++

)1(2

122

111

11

111 22

2

nnnnnnnn

=( ) 2222 )1(

121

)1(2222

111

1+

++=+

++

+++

nnnn

nn

nn

( ) 1

1111

111 22 ++=

+++

nnnn.................. 4p

b) =

++

++++++=1

111

11

11...

41

31

131

21

1nnnn

an

)1(23

11

21

1+

+=

++=

n

nn

nn

NQan

nn \1)1(2

3


20/137

20

EDIIA a X-a

1 aprilie 2010

Clasa a IIIa

SUBIECTUL Itiind c: a=24+35:7-8; b=50-4x 9-5; c=60-(54:6+4x12), afl

(a+b)xc=?

SUBIECTUL IISuma vrstelor membrilor unei familii compus din cinci persoane

este 76. Afl vrsta fiecruia, tiind c vrsta mamei este egal cu a

tatlui, iar vrsta celor trei copii este reprezentat prin trei numerenaturale consecutive, suma lor fiind 12.Ci ani are fiecare membru al familiei?

SUBIECTUL III.Pcal i Tndal au pornit spre trg, avnd fiecare cte un sac de

pepeni (pepenii sunt de aceeai greutate). Pe drum, Tndal a nceput sse plng de greutatea sacului su.

- Nu te mai vita degeaba, i spuse Pcal. Uite, dac cineva ar lua

un pepene din sacul tu, eu a cra o greutate de dou ori mai mare catine, iar dac eu i-a da un pepene de la mine, am avea de dus greuti lafel de mari.

Ci pepeni avea n sac fiecare personaj?

Barem de corectare clasa a III-aSUBIECTUL ICalculeaz 35:7 .. 2pCalculeaz 24 + 5 .... 1p

Finalizare a = 21 ...... 2pCalculeaz 4 x 9 .. 2pCalculeaz 50 36 .. 1pFinalizare b = 9 ... 2pCalculeaz 54:6 .. 2pCalculeaz 4 x 12 ... 4pParanteza .. 2pFinalizare c = 3 ... 2p

Calculeaz (a+b) .. 5pFinalizare .. 5p(30 puncte)


21/137

21

SUBIECTUL II.Scrie relaia sumei vrstelor membrilor familiei .... 5pScrie relaia sumei vrstelor copiilor . .. 5pDetermin suma vrstelor prinilor .. .. 10p

Determin vrsta fiecrui printe .. 4pDetermin vrsta fiecrui copil .. 6p(30 puncte)

SUBIECTUL III.Scrie relaia: T 1 .... 5pScrie relaia: 2(T 1) ... 5pScrie relaia: T + 1 ... 3pScrie relaia: P 1 .... 3pEgalizeaz ultimele dou relaii: P 1 = T + 1 ... 3pConcluzioneaz: P = T + 2 ... 1pScrie relaia: 2(T 1) = T + 2 ... 3pEfectueaz calculele n relaia 2T 2 = T + 2 .. 3pAfl: T = 4 pepeni .. 1p

(30 puncte)Oficiu 10 puncte

Clasa a IV-a

Problema 1 (40 puncte)c) Scriei toate numerele naturale de patru cifre distincte, care au cifrazecilor 7 i suma cifrelor 11.

d) Suma a dou numere naturale este 999. Dac adunm 3 la fiecare dincele dou numere, iar apoi le nmulim cu 2, ct va fi suma numerelorobinute?

Problema 2 (25 puncte)Fie trei numere naturale diferite de zero. Dac se mparte primul

numr la al doilea, se obine ctul 3 i restul 3, iar dac se mparte altreilea la al doilea se obine ctul 5 i restul 2.tiind c diferena dintre al treilea i primul numr este 121, aflai

cele trei numere.Problema 3 (25 puncte)

Acum, suma vrstelor mamei i fiului este cu 4 ani mai mare dectvrsta tatlui. Peste 9 ani , fiul va avea o treime din vrsta mamei i toitrei mpreun vor avea 115 ani. Ce vrst are fiecare acum?

Din oficiu - 10 puncte


22/137

22

Barem corectare clasa a IV-a

Problema 1 (40 puncte)a) Scrie forma numrului c7ab ... 4 p

Deduce c a+b+c = 4 ... 8 pScrie soluiile 1073; 1370; 3071; 3170 ... 8 p (2 p/soluie)b) Scrie a+b = 999 ... 2 p

Scrie (a+3)2+(b+3)2 sau justific.... 12 pAfl suma numerelor obinute: 2010.... 6 p

Problema 2 (25 puncte)Reprezentarea grafic.....10 p

Deduce c 2p+2 = 124, p = 61 7 pAfl numerele: 186; 61; 307 . 8 p

Problema 3 (25 puncte)Reprezentarea grafic . 4 pDin fig.2 deduce ca suma vrstelor acum a celor trei este 115-27=88..4 pFolosind fig.1 afl c vrsta tatlui este 42 de ani, iar suma vrstei mameii a fiului este 46 de ani.. 6 pAfl c peste 9 ani suma vrstelor mamei i a fiului este 64 de ani ... 4 pAfl c peste 9 ani mama are 48 de ani, iar fiul 16 ani . 4 pFinalizare: tata: 42 ani, mama: 39 ani, fiul: 7 ani ... 3 p

Not: Oricrei alte soluii corecte i se va acorda punctaj maxim.

Clasa a V-a

SUBIECTUL IDeterminai suma numerelor naturale mai mici dect 2000, caremprite la 49 dau ctul egal cu restul.

30 puncteSUBIECTUL II

Fie mulimile: A={xN|1x2

11+

este fracie supraunitar} i

B={xN| x = 2a, aN i a 4}. Calculai AB i (AB)(B\A).

30 puncte


23/137

23

SUBIECTUL IIIUn numr de 1236 de cifre este scris cu cifrele 1, 2 i 3 i cu 12

zerouri. Numrul de apariii al cifrei 1 este de dou ori mai mic dectnumrul de apariii al cifrei 2 i de trei ori mai mic dect numrul de

apariii al cifrei 3. Aflai suma cifrelor numrului. 30 puncte

Oficiu 10 puncte

Barem de corectare clasa a V-a

SUBIECTUL I.Teorema mpririi cu rest............................................................5pD=Cx49+R, R


24/137

24

Clasa a VI-aSUBIECTUL I.

Fie ABCD un ptrat, AB = 6 cm, E un punct n interiorul ptratuluiastfel nct BEC = echilateral.

a) Aflai m )BEA( b) Aflai m )DEA( c) Calculai lungimea perpendicularei dus din E pe AB.

35 puncteSUBIECTUL II.

Fie x, y, z numere naturale nenule, astfel nct:3566

xz2yzxy

=+

;

2855xzx zy32=

+ ; 308125xyzyx z323

=+ . Aflai x, y, z tiind c x

2+y2+z2=4875.

35 puncteSUBIECTUL III.

M-am trezit noaptea i m-am uitat la ceas. Arta ora 2. Apoi mi-amdat seama c ceasul era oprit. L-am ntors i am adormit din nou. Cndm-am trezit, la radio s-a anunat ora 7, n timp ce ceasul meu indica ora5:30. La ce or m-am trezit noaptea ?

20 puncteOficiu 10 puncteBarem de corectare clasa a VI-aSUBIECTUL I.a) Gsete m )BEA( = 75o .. 10p

b) Gsete m )EAD( = m )EDA( = 15o .... 10pc) Gsete m )DEA( = 150o .. 5p

d(E,AB) = 3 cm ... 10p (35 puncte)SUBIECTUL II.

Scrie:3566

xz2)zx(y

=+

. 5p

2855

)zx(xzy3

=+

... 5p

308125)zx(xy z3

3

=+ ... 5p


25/137

25

Calculeaz: 222

22

2

2

2

7x11

y1471133

x2y3

2855

3566

x2y3

=

== .. 5p

2

222

2

2

2

2

7

x25z

14

25

7

3

x2

z3

308

125

35

66

x2

z3 === . 5p

49757

x257

x11x 2

2

2

222 =

+

+ .. 5p

=

=

==

25z55y

35x2549x 2

. 5p

(35 puncte)

SUBIECTUL III.Calculeaz diferena 7 5:30 = 1 or i jumtate (1:30) . 5pCalculeaz 2 + 1:30 = 3:30 .. 5pConcluzie: ora la care s-a trezit este 3:30 .. 10p



Clasa a VIIaSUBIECTUL I.a) Aflai numerele de dou cifre xy , x < y astfel nct

( ) ++ yx6yxxy .b) n triunghiul ABC, nlimea BE, BE AC, E(AC) are lungimea

egal cu lungimea laturii AC. Ptratul MNPD are vrfurile situate pelaturile triunghiului astfel nct M(AB), D(BC) i N, P(AC).Dac BE=AC=a 3 , demonstrai c dublul ariei ptratului este egalcu aria ABC.

30 puncteSUBIECTUL II.

Artai c dac x2+y2=6xy, unde x>y>0, atunci raportul dintrediferena i suma dintre x i y are valoarea 2 -1.

30 puncte


26/137

26

SUBIECTUL III.n triunghiul ABC m( A)=90o iar E i F sunt mijloacele laturilor

[AB], respectiv [BC]. tiind c AC=4cm i c AF CE aflai lungimilelaturilor AB i BC.


Barem de corectare clasa a VIIa

SUBIECTUL I. (30p)

a) ( ) ++ yx6yxxy ( ) ( )11 6 5( )x y x y x y+ + = + 5p

5( )y+ Nx+y=5 ...... 5p

xy {14,23}.... 5pb) Notez latura ptratului cu l i BE MD={F}

BMDBMD D BFC BE

= ..2,5p

nlocuind se obine 3

3 3

l a l

a a

= 2,5p

Rezolv ecuaia 32

al = ...2,5p

Afl AABC =2a3

23a3a 2

= .2,5p

223 3

2 4

MNPD

a aA

= =

2,5p

Finalizare AABC = 2AMNPD ......2,5p

SUBIECTUL II.(30p)Scrie (x-y)2 = 4xy ( )( ) 2x y x y xy+ = ..... 10p

Scrie (x+y)2 = 8xy ( )2

2 ( 2 1)x y xy+ = + ... 10p

Scrie raportul 2 2 1 2 12 12 ( 2 1)x y xyx y xy

= = = + +

.10p


27/137

27

SUBIECTUL III.(30p)AF i CE mediane, AF CE={G} BG BM . 5pAfl GM = 2cm i noteaz AG=2x, GF = x ... 5p

BG = 4cm GC=2y, EG = y

Aflm din T.c. n AEC 2 63

y = 5p

Aflm din T.h. n AEC 2 33

x = 5p

Aflm AE cu T.P. n AGE, AE=2 2 4 2AB = . 5pAfl BC=4 3 .... 5p

Oficiu 10 puncte

Clasa a VIII-aSUBIECTUL Ia) S se determine funcia f : R R, f(x) = ax+b, a < 0, care verific

condiiile: ( ) 20f2f2f 2 = i A(-3,5) aparine graficuluifunciei.

b) Pentru a = 1 i b = 2, aflai valoarea produsului P = f(0)f(1)f(2010).

30 puncteSUBIECTUL II

Fie a,bR astfel nct a + b = 2010 i a2 + b2 = 20102.a) Aflai ab, a3 + b3, a4 + b4.

b) Artai c numrul N = (a5+b5)+(a4+b4)++(a+b) nu este ptratperfect.

30 puncte

SUBIECTUL IIIn SABC o piramid triunghiular regulat, de baz ABC. Punctul Meste mijlocul muchiei BC, SM SA i SA = 26 cm.a) Artai c AB = 12 cm.

b) Calculai volumul piramidei SABC,c) Fie punctele A i B mijloacele muchiilor SA, respective SB, iar P i

Q proieciile punctelor A i B pe planul (ABC). Aflai aria CPQ.30 puncte

Oficiu 10 puncteBarem de corectare clasa a VIII-a


28/137

28

SUBIECTUL I.a) 2f .. 3p

2f ... 3p

( )0f . 3pa2 =1, a < 0 . 5p( ) 53f = .... 2p

b = 2 ... 3pf(x) = x + 2 ... 1p

b) f(2) = 0 .... 6pP = 0 . 4 p

(30 puncte)

SUBIECTUL II.a) ab = 0 5pa3 + b3 = 20103 ... 5pa4 + b4 = 20104 ... 5p

b) a5 + b5 = 20105 ... 5pN = 20105 + 20104 + + 2010N M 5 dar N M 52 nu este ptrat perfect ..... 10p

(30 puncte)

SUBIECTUL III.a) AB = 12 cm ..10pb) V = 272 cm3 .10pc) P mijlocul [AO] 2p

Q mijlocul [BO] 2pACPQ = 315 cm2 ... 6p


ECHIPAJE

SUBIECT CLASA a V-a

1. Trei prieteni au cumprat mpreun o minge. Primul a dat51

din

sum, al doilea53

din rest iar al treilea restul de 8 lei. Care a fost preul

mingii?

2. Numerele naturale a, b, c mprite respectiv la 5, 6, 7 dau acelai cti acelai rest. Aflai numerele tiind c suma lor este 66.


29/137

29

20 puncteSUBIECT CLASA a VI-a1. Dintr-un grup de elevi 6 sunt din clasa a VI-a A (4 fete i 2 biei) iar8 sunt din clasa a VI-a B (5 biei i 3 fete). Care este probabilitatea ca

alegnd la ntmplare un elev acesta s fie:a) fat ?b) biat ?c) fat din clasa a VI-a A ?d) biat din clasa a VI-a B ?

2. Unghiurile BOA i COB sunt adiacente, [OD i respectiv [OE suntbisectoarele lor. Dac m( COB )=5m( BOA ) i m(D O E)=60o, aflai:

a) m(A O B)

b) m(B O C)c) m(A O E)

20 puncte

SUBIECT CLASA a VII-a1. a) Dac a = 52 + 72 scriei a2 ca sum de dou ptrate perfecte.

b) Artai c dac un numr se poate scrie ca sum de dou ptrateperfecte atunci i ptratul su se poate scrie tot ca sum de dou ptrateperfecte.2. Fie a,b,c lungimile laturilor unui triunghi. Se noteaz ah , bh , ch

lungimile nlimilor corespunztoare laturilor. Dac2ah

1 = 2bh1 + 2

ch1

atunci artai c triunghiul dat este dreptunghic.20 puncte

SUBIECT CLASA a VIII-a1. Determinai numerele reale x, y, z care verific relaia:

9z64y49x42x9z 222 =+++ .

2. Se consider paralelipipedul dreptunghic ABCDABCD n careAB=40 cm, AD=15 cm i AA=48 cm. Fie E mijlocul segmentuluiAB i F mijlocul segmentului CC. Aflai:c) Distana de la F la DEd) Msura unghiului dintre planele (DEF) i (ABC).

20 puncte


30/137

30

Barem de corectare ECHIPAJE

CLASA a V-a

1. p preulPrimul copil:

5p

, rest5p4

.... 3p

Al doilea copil:25p12

..... 2p

p825p12

5p

=++ ...... 3p

p = 25 ...... 2p

2. a=5k+r, 0r


31/137

31

CLASA a VII-a1. a) a2 = (52 72)2 + (257)2 .... 4p

b) a2 = (x2 + y2)2 = x4 + 2x2y2 + y4 ..... 3pc) a2 = (x2 y2) + (2xy)2 .... 3p

2. S =2ha a =

2hb b =

2hc c . 2,5p

aS2

ha = ; bS2

hb = ; cS2

hc = ... 2,5p

2

2

2

2

2

2

S4

c

S4

b

S4

a+= 2,5p

a

2

= b

2

+ c

2

triunghi dreptunghi .... 2,5p(20 puncte)

CLASA a VIII-a1. z2 6z + 9 = (z 3)2 .... 2p

( )

=

=+

=

04y

049x42x9

03z

2

2

2

....... 4p

+

3=z2;-=y;37

=x

3=z2;=y;37

=x..... 4p

2. a) Aplic teorema celor 3 perpendiculare .. 3p

=

=

224FM

24CM, unde CM DE ...... 3p

b) Determin unghiul planelor ... 2pUnghiul are 45o .......... 2p

(20 puncte)



32/137

32

EDIIA a IX-a

2009

Clasa a III-a

1. a) Se consider urmtorul ir de numere: 801, 395, 189, 703, 195,119, 311. S se ordoneze numerele n ordinea cresctoare a cifrelorlor. Explicai aezarea numerelor.

b) Un muncitor trebuie s taie dou scnduri, una de 7 m i una de 5m, n buci de cte 1 m. Cte tieturi va face muncitorul ? Explicai

rspunsul.2. Suma a trei numere este 68. Diferena primelor dou este 5, iar aldoilea numr mprit la al treilea d ctul 3. S se afle numerele.

3. Nasul lui Pinocchio msoar 2 cm. Dup ce spune o minciun elspune ntotdeauna un adevr. La fiecare minciun pe care o spunenasul crete cu 2 cm iar la fiecare adevr scade cu 1 cm. Dup cteminciuni i cte adevruri spuse, nasul lui Pinocchio va msura 8cm?

Clasa a IV-a

1. a) Se dau numerele: x= [(240:8+670):2x8-1699]:3+3y = [(116-56:8)x7-519]:4-6x9.

S se calculeze suma, diferena i produsul numerelor x i y.b) Trei copii au mpreun 24 de ani. Ci ani vor avea mpreun

peste 5 ani?2. Nou jetoane numerotate de la 1 la 9 sunt aezate cu faa n jos.Dup ce a luat 4 jetoane din cele 9, Dan i spune lui Mihai : dac ieii tu 4 jetoane, la ntmplare, din cele rmase, atunci sumanumerelor de pe ele este sigur par. Care este suma numerelor de pe

jetoanele lui Dan?3. Suma a trei numere este mai mic dect 73, iar ultimul este cel mai

mare. Suma ultimelor dou numere este cu 20 mai mare dect suma

dintre primul i al treilea numr. tiind c suma primelor dounumere este 40, s se afle al treilea numr.


33/137

33

Clasa a V-a

1. Se dau numerele:x = 19+29+39+ . +20099y = 20091+ +20092+20093+ . +20099.

Stabilii dac produsulxy este numr par sau impar.2. Suma a trei numere naturale este 55. Dac mprim al doilea numrla primul se obine ctul 4 i restul 2, iar dac mprim pe al treileala al doilea obinem ctul 4 i restul 3. Aflai numerele.

3. Fie mulimile: A={aNa=5n+2, nN},B={aNa=5n+3, nN},C={aNa= n2, nN}a) Scriei cte trei elemente pentru fiecare din mulimileA,B, C

b) Artai c suma a+b este divizibil cu 5, oricare ar fi a dinA i bdinB.

c) Artai c (A UB)C=Clasa a VI-a

1. a) Calculai S=991947

44....

743

422

211

++

+

+

b) determinai numerele naturale x, y, z tiind c expresia

E= 37,0 xy,zzx,yyz,x ++ este cel mai mic ptrat perfect nenul, iary

este media aritmetic a numerelorx iy.2. Se consider unghiul AOB, iar semidreptele [OM1, [OM2, [OM3,

[OM4 i [OM5 sunt bisectoarele unghiurilor AOB, M1OB, M2OB,M3OB i M4OB respectiv. Dac msura unghiului M2OM5 este de39012 atunci:a) Aflai msura unghiului AOB

b)Aflai msura unghiului BOC, [OC fiind semidreapta opussemidreptei [OA.

3. Determinai toate perechile de numere naturale a i b cu a>b tiindc c.m.m.m.c. al lor este mai mare dect c.m.m.d.c. al lor cu 26.

Clasa a VII-a

1. a) Artai c numrul 882112494 k23k2k + + este natural,oricare ar fi kN.


34/137

34

b) Fie a= 200....1882 +++ . Aflai cel mai mare numrntreg mai mic dect a.

2.

Fie A= 2008

2007

....4

3

2

1

i B= 2009

2008

....5

4

3

2

a) Artai c AB=

20091

b)2n1n

1nn

+

+0. Valoarea raportuluiBEAD

este

egal cu .

(5 puncte)I.8. n ABC, BC = 10cm iar medianele BB i CC au lungimile de9cm, respectiv 12cm. Lungimea medianei AA =

(5 puncte)

I.9. ntr-un trapez dreptunghic cu diagonalele perpendiculare,lungimile bazelor sunt 125 + cm i 125 cm. Lungimeanlimii trapezului este de .

(5 puncte)

I.10. ntr-un triunghi dreptunghic lungimea nlimii este de 6cm iarraportul lungimilor segmentelor determinate de ea pe ipotenuz

este31

. Perimetrul triunghiului este .

(5 puncte)


51/137

51

PARTEA II: Trece pe foaia de concurs rezolvrile complete:

II.1. a) S se arate c oricare ar fi numrul real a > 0, 2a1

a + ;

b) Dac a, b, c, d > 0, atunci:

d

cba +++

c

dba +++

b

dca +++

a

dcb ++12.

(20 puncte)II.2. Fie D piciorul bisectoarei din A a ABC i ED||AB, E(AC). Se

cere s se demonstreze cAC1

AB1

ED1

+= .

(20 puncte)

Clasa a VIII-a

PARTEA I: Trece pe foaia de concurs doar rezultatele:

I.1. Fie d un divizor comun al numerelor 1400 i 600. Probabilitatea cad s fie ptrat perfect este

(5 puncte)I.2. Media geometric a numerelor 32 i 32 + este ..

(5 puncte)

I.3. Numerele reale x, y pentru care este ndeplinit egalitatea:05y32x4y3x 22 =+++ sunt ..

(5 puncte)

I.4. Dac 0 < x < 1, 7x1x =+ atunci

x1x este ..

(5 puncte)I.5. Cel mai mic numr ntreg care verific inegalitatea

5x45x2 +


52/137

52

I.7. Fie cubul ABCDA'B'C'D', M mijlocul segmentului (AD), Nmijlocul segmentului (BC), aria triunghiului A'MN este 52 ,atunci muchia cubului este .

(5 puncte)

I.8. Fie rombul ABCD cu latura de 6cm, m( A ) = 60o. Pe planulrombului se ridic perpendiculara MA de 3cm. Atuncid(M,BC)=

(5 puncte)I.9. Fie trapezul ABCD, AB || DC, ACBD = {O}, AAOB=2cm2, ADOC

= 8cm2, nlimea trapezului are 6cm, atunci media geometric anlimilorAOB i DOC este .........

(5 puncte)

I.10. O prism triunghiular regulat ABCA'B'C' are AB = 2cm,AA'= 22 cm. Fie P i Q mijloacele muchiilor (AB) respectiv(AC). Notm A'PIBB' = {M}, A'QICC' = {N}, atunci AA'MN esteegal cu .

(5 puncte)

PARTEA II: Trece pe foaia de concurs rezolvrile complete:II.1. Fie funcia f:RR, f(x) = ax+b:

a) Determinai a i b tiind c graficul funciei trece prin punctul decoordonate (1,0) i face cu axa OX un unghi de 45o;

b) Pentru a = 1 i b = -1 artai c numrulf(1982)f(1983)f(1984) f(1985)+1 este ptrat perfect.

c) Pentru a = 1 i b = -1 calculai valoarea expresiei:

)2007(f)2006(f1

...)5(f)4(f

1)4(f)3(f

1

++

+

(20 puncte)II.2. Se d piramida triunghiular regulat VABC n care raza cercului

circumscris bazei este 32 i muchia lateral 34 . Calculai:a) aria lateral i volumul piramidei;

b) ( ))VBC(,Ad ;c) Fie M(VA). S se gseasc poziia lui M astfel nct aria

MBC s fie minim.(20 puncte)


53/137

53

Proba pe echipaje

Clasa a V-a3. Fie dou numere naturale a i b cu b 0. Prin mprirea lui a la b se

obine ctul 5 i restul 27.a) Calculai 3a-15b+10;b) Dac a-b < 143, calculeaz a i b.

(10 puncte)4. Dac aezm 5 flori ntr-o vaz, ar mai fi nevoie de 5 vaze. Dac am

aeza cte 7 flori ntr-o vaz, ar rmne o vaz cu 3 flori i 3 vazegoale. Aflai numrul de flori i numrul de vaze.

(10 puncte)

Clasa a VI-a

1. Fie nN*. Artai c 12......22259

11103105

cifre1n

n1n

43421

+

=

.

(10 puncte)2. n ABC dreptunghic n B, fie (AD bisectoarea A (D[BC]).

Perpendiculara DM dus n D pe ipotenuz (M[AC]) taieprelungirea catetei AB n E. s se arate c DEC este isoscel.

(10 puncte)

Clasa a VII-a

1. Aflai cifrele x,y astfel nct: Q)x(yy,o)y(xx,0 + .(10 puncte)

2. ntr-un patrulater ABCD laturile opuse AB, CD se ntlnesc n P isunt perpendiculare. S se demonstreze c suma ptratelor celorlaltedou laturi este egal cu suma ptratelor diagonalelor.

(10 puncte)

Clasa a VIII-a1. a) Determinai elementele mulimii ( ){ }1xyyxZZy,xA =++= .

b) Dac elementele mulimii A reprezint coordonatele unor puncte,reprezentai-le ntr-un sistem de coordonate i calculai aria

patrulaterului convex cu vrfurile n aceste puncte.(10 puncte)


54/137

54

2. n cubul ABCDA'B'C'D', punctul O este centrul feei ABCD i OM =d(O,BD') =

368

. Fie P(AA'), PA = 7PA'. Aflai:

a) muchia cubului;b) aria total i volumul cubului;c) distana d(P,(B'BD'));d) cosinusul unghiului ( ) ( )( )BCD,PBD .

(10 puncte)


55/137

55

EDIIA a V-a

2 aprilie 2005

Clasa a III-a

PARTEA I: Trece pe foaia de concurs doar rezultatele:I.1. Dublul rezultatului exerciiului (1+2+3+4+5):3+(6+7+8+9+10):8

este ..(10 puncte)

I.2. Dintre numerele 24; 9; 8; 40; 64; 1, alege pe acelea care se potscrie ca un produs de trei numere egale. (10 puncte)

I.3. Andrei este mai mare dect Mihai, Mihai este mai mare dectMihaela, Ioana este mai mare dect Andrei i mai mic dectMaria. Cel mai mare copil este ...

(10 puncte)I.4. Descoper regula i completeaz ultimul jeton:

(10 puncte)I.5. ntr-o curte erau 128 psri: gini, gte, rae i curci. Cte psri

erau de fiecare fel, dac n curte se gseau 86 gini i gte, 77gini i rae, 83 gini i curci ?

(10 puncte)

PARTEA II: Trece pe foaia de concurs rezolvrile complete:II.1. Dan i Rzvan aveau cte 48 de nuci. Dan mnnc un numr de

nuci egal cu suma cifrelor numrului su de nuci. Rzvan a mncatcu 24 nuci mai puine dect restul nucilor. Care copil a mncat maimulte nuci? De cte ori? Cte nuci au acum cei doi copiimpreun?

(20 puncte)II.2. Scrie toate valorile pe care le pot primi numerele a i b, astfel nct

egalitatea a + 3b = 11 s fie adevrat.

(20 puncte)

24 63 97 74

8 18 63


56/137

56

Clasa a IV-a

PARTEA I: Trece pe foaia de concurs doar rezultatele:I.1. Observ regula i completeaz irul: 2 9 31 98 300.

(10 puncte)I.2. Nuferii care cresc pe un lac i dubleaz suprafaa n fiecare zi. Dac n

20 de zile acoper n ntregime lacul, nuferii acoper jumtate dinsuprafaa lacului n zile.

(10 puncte)

I.3.

Produsul a dou numere este 126. Dac se mrete primul numrcu 5, produsul devine 161. Cele dou numere sunt ...; ... .(10 puncte)

I.4. Pentru numerotarea paginilor unei cri s-au folosit 330 cifre.Cartea are pagini.

(10 puncte)

PARTEA II: Trece pe foaia de concurs rezolvrile complete:

II.1. La un concurs de matematic, elevii clasei a IV-a au avut derezolvat 8 probleme. Pentru fiecare problem rezolvat corect li s-au acordat 10 puncte, iar pentru fiecare rspuns greit li s-au sczut2 puncte.Cte probleme au rezolvat corect deintorii premiului nti, doi itrei, dac ei au obinut respectiv 68, 56 i 44 puncte ?

(20 puncte)II.2. Suma a cinci numere naturale este 48. aflai numerele tiind c

primul numr este egal cu suma ultimelor trei, al doilea este dublulprimului, al treilea numr este o ptrime din al doilea, al patruleaeste o treime din primul, iar ultimul este de 6 ori mai mic dectsuma ultimelor 3.

(20 puncte)II.3. ntr-o cutie sunt 35 kg de cuie. Cum se poate, cu ajutorul unei

balane cu dou talere i cu o greutate de 1 kg, prin dou cntriri,s msurm 26 kg de cuie ?

(10 puncte)


57/137

57

Clasa a V-a


I.1. Rezultatul calculului: ( ) 22225 103:6002:2 + este ..(5 puncte)

I.2. Dac 50n6n21n75n9 =+ , atunci n este ..(5 puncte)

I.3. Un cioban afirm c mulimea picioarelor oilor sale este un numrde patru cifre distincte care reprezint elemente ale mulimii A U

B, unde A = {1, 2, 3} i B = {xN | 6Mx}.a)Numrul minim de oi este ..b)Numrul maxim de oi este ..

(5 puncte)I.4. Un elev a depus la CEC suma de 500000 lei cu dobnd de 10% pe

an. Dup un an elevul are la CEC suma de ..(5 puncte)

I.5. Soluiile naturale ale inecuaieix6x181512963 42352821147

>++++++

+++++ sunt ..

(5 puncte)I.6. Dac x,y,z,t sunt numere naturale prime i x+2y+6z+42t = 260,

atunci x = , y = , z = i t = (5 puncte)

I.7. Numrul natural n pentru care: 20031nn 21888 =+ + este ..(5 puncte)

I.8. Dac dintr-un numr de trei cifre scdem 7, rezultatul se divide cu7; dac scdem 8, rezultatul se divide cu 8 iar dac scdem 9,rezultatul se divide la 9. atunci numrul este ..

(5 puncte)

I.9. Dintre fraciile223222

i224223

, cea mai mare este fracia ..

(5 puncte)

I.10. Suma tuturor numerelor ab cu a i b distincte este .. (5 puncte)


58/137

58

PARTEA II:II.1. S se determine dou numere naturale tiind c unul dintre ele este

cu 44 mai mare dect cellalt i c prin mprirea sumei celor dounumere la diferena lor se obine ctul 46 i restul 26.

(20 puncte)II.2. Trei numere naturale a, 3a, 6a au produsulPdivizibil cu suma lorS. Artai c:a) 50 divide sumaS;

b) ctul dintrePiSeste un numr natural multiplu de 45;(20 puncte)

Clasa a VI-aPARTEA I: Trece pe foaia de concurs doar rezultatele:

I.1. Dac )6(,0yx

= atunci raportuly5x9

y3+

are valoarea ..

(5 puncte)I.2. Dac c.m.m.d.c. al numerelor 54 i 6x5 este 18, atunci c.m.m.m.c.

al lor este ..(5 puncte)

I.3.

Dac suma inverselor a dou numere naturale este 10031002

2005

,iar produsul lor este 1005006, atunci suma lor este .

(5 puncte)I.4. Dac unghiurile A i B au msurile de 54o55, respectiv 56o57,

atunci suma dintre complementul unghiului A i suplementulunghiului B este ..

(5 puncte)I.5. Dup ce un cltor a parcurs 24% dintr-un drum, mai are de

parcurs 130 km pn la jumtatea drumului. Lungimea total adrumului este ..(5 puncte)

I.6. Triunghiul ascuitunghic POM are latura PO = 3cm i OM =40mm, iar mediatoarea laturii [PM] intersecteaz latura [OM] n

punctul B. Perimetrul triunghiului POB este ..(5 puncte)

I.7. Pentru a anuna ora 500, un orologiu bate de 5 ori n 5 secunde.Pentru a anuna ora 900, orologiul va avea nevoie de ..

secunde. (5 puncte)


59/137

59

I.8. Unghiul CBA are msura 130o i CBA DBC . Dac oricaredou dintre ele sunt adiacente, atunci m( DBA ) este .

(5 puncte)I.9. Dac punctele A, B i C aparin dreptei d astfel nct d(A,B) =

30mm; d(B,C)=1,7cm; atunci d(A,C) este .cm sau .mm.(5 puncte)I.10. Unghiul care este egal cu 150% din suplementul su are msura de

.. grade.(5 puncte)

PARTEA II: Trece pe foaia de concurs rezolvrile complete:II.1. Numerele a1, a2, , a111 naturale nenule sunt direct proporionale

cu numerele 111, 110, , 2, 1, iar a1 + a2 + + a111 = 31080. Sse afle numerele a1, a2, , a111.

(20 puncte)II.2. Pe laturile [AB] i [AC] ale ABC isoscel cu [AB][AC] se iau

punctele D(AB), E(AC), astfel nct [BD][CE]. Dac BECD= {P}, atunci:a) demonstrai c [BE][CD];b) demonstrai c AP este bisectoarea CAB ;c)

Dac d(A, CD) = 3cm, aflai d(A, BE). (20 puncte)

Clasa a VII-a

PARTEA I: Trece pe foaia de concurs doar rezultatele:I.1. Dac a = 49...321 ++++ i b= )25...321(13 ++++

atunci=

ba .. (5 puncte)I.2. Fie numerele (x-1); (x-2); (x-3); ..; (x-50). Pentru x =

51

:95

1)3(,2

+ produsul numerelor este ..

(5 puncte)I.3. Fie trapezul ABCD, AB||CD, {O}=AC BD. Dac ABOC = 16cm2

atunci AAOD = .. (5 puncte)


60/137

60

I.4. Fie numerele:

=

=

99

98...

7

6

5

4

3

2y

10099

...65

43

21

x. Atunci produsul numerelor

x i y este ..(5 puncte)

I.5. Fieb

3b4a

a =

+cu a,b N*. Valoarea minim a raportului

=ba

..............

(5 puncte)I.6. Fie un patrulater convex cu lungimile laturilor de 10cm, 24cm,

7cm, respectiv 21cm iar una din diagonale de 26cm. Ariapatrulaterului este ..cm2.

(5 puncte)I.7. Produsul celor mai mici 3 numere naturale nenule consecutive,

divizibil cu 204 este ..(5 puncte)

I.8. Fie ABCD un romb la care m( DBA ) = 30o. Perimetrul su este de40 cm. Lungimea lui AC este .........

(5 puncte)I.9. Fie ABCD un paralelogram, A = BCpr A, D = ABpr D. tiind c

AA = 2,5 ; BC = 5 ; DD = 4,1(6) ; atunci lungimea laturii AB=...(5 puncte)

I.10. Fie ABC un triunghi oarecare cu nlimea AA i mediana AM.Dac AA= 12, AM = 13, BC = 30, atunci nlimea din C este

egal cu .. (5 puncte)PARTEA II: Trece pe foaia de concurs rezolvrile complete:II.1. Un triunghi dreptunghic cu m( B ) > m( C ). Notm cu D mijlocul

ipotenuzei [BC]. Perpendiculara n D pe BC intersecteaz cateta[AC] n E.a) S se demonstreze c m( EDA ) = m( B ) m( C );

b) S se determine msurile unghiurilor ABC tiind c(AE)(ED).

(20 puncte)


61/137

61

II.2. Se d numrul n = 123420032004:a) Calculai suma cifrelor numrului n;b) Artai c n este iraional;c) Scriei primele trei cifre ale numrului n .

(20 puncte)

Clasa a VIII-a


I.1. Rezultatul calculului 32218)6(,0 1 este ..(5 puncte)

I.2. Elementele mulimii

++

= N4x4x

4xZxA 2

2

sunt ..

(5 puncte)I.3. Dac DM (ABCD), ABCD ptrat de latur 6 cm i DM =

7 cm, atunci d(M; AC) este .(5 puncte)

I.4. Valoarea de adevr a propoziiei: ( )

2

35 + ( )( )7474 + Q, este .. (5 puncte)I.5. Valorile lui a numere ntregi pentru care A(a; a-3)Gf, unde

f:RR, f(x) = ax-3, sunt ..(5 puncte)

I.6. Volumul unui cub ABCDABCD, dac aria triunghiului ACBeste de 8 3 cm2, este cm3.

(5 puncte)

I.7. Numerele raionale a,b care verific relaia332b22a =++ sunt a = i b = ...(5 puncte)

I.8. Diagonala unui paralelipiped dreptunghic cu suma tuturormuchiilor egal cu 48cm i aria total 94cm2, este de ..... cm.

(5 puncte)I.9. Valoarea minim a expresiei

272y6y163x4x 22 ++++ este ..(5 puncte)


62/137

62

I.10. n vrful B al triunghiului dreptunghic ABC cu m( A )=90o iAB=4cm, se ridic perpendiculara BD pe planul triunghiului,BD= 34 cm. Msura unghiului format de planele (DAC) i(ABC) este .

(5 puncte)

PARTEA II: Trece pe foaia de concurs rezolvrile complete:II.1. Fie funcia f:RR, f(x) = x+1.

a) Calculeaz msura unghiului format de graficul funciei cu axaabsciselor;

b) Calculeaz f(0)+f(2)+f(4)++f(2004);c) Calculeaz:

1)x(f4)x(f)1x()2x(x3)x(f)x(E 2 +++= unde

2,

21

x ;

d) Demonstreaz c f2(x)f(2x-3)f(1-3x) > 0, pentru orice xR.(20 puncte)

II.2. Fie ABCD un ptrat, MA (ABC), MA = a. Dac MBD esteechilateral, se cere:

a) determin latura ptratului;b) gsete cosinusul unghiului format de planele (MBD) i(ABC);

c) arat c NO (ABC), unde N este mijlocul lui (MC), iar Oeste centrul ptratului.

(20 puncte)

Proba pe echipaje

Clasa a V-a

1. Se dau numerele:

++++++=

++++=

++=

02312011202

223332

5555...55z100991

...201

121

61

y

3:10:5223x9103

a) Calculai x i 4z+1;


63/137

63

b) Artai c y este ptratul unui numr raional pozitiv;c) Ordonai cresctor numerele: 14zi(100y);x 4011604 + .

(10 puncte)2. Mai muli copii i mpart o sum de bani (n lei grei) n mod egal,

astfel: primul primete o cincime din sum i nc un leu greu, aldoilea primete o cincime din rest i nc 2 lei grei, al treilea primeteo cincime din noul rest i nc trei lei grei i aa mai departe.a) Aflai suma de bani n lei grei care a fost mprit;

b) Determinai numrul copiilor.(10 puncte)

Clasa a VI-a1. S se afle numrul raional pozitiv care, dup ce se mrete cu 16%,

iar rezultatul se micoreaz cu 16%, se va micora cu 16. (10 puncte)1. Punctele A0, A1, , A10 sunt situate pe dreapta a, astfel nct [A1A3]

este dublul lui [A0A1], [A2A3] este dublul lui [A1A2] .a.m.d. [A9A10]este dublul lui [A8A9]. tiind c lungimea [A0A10] = 211 2, aflailungimea segmentului determinat de mijloacele segmentelor A0A1 iA9A10.

(10 puncte)

Clasa a VII-a2. n trapezul ABCD, (AB || CD, AB < CD) notm cu O interseciadiagonalelor. Paralela prin A la BC intersecteaz pe BD n F i pe

CD n E. Demonstrai c:OCAO

AEAF

= .

(10 puncte)

3. S se arate c numrul Na , unde{ {

,101...111...11a 1nori1-nori1n

+

+=

1nN,n)( > (10 puncte)Clasa a VIII-a

1. Fie expresia: 222

)4x()4x)(3x(2)3x(

1x4)x(F

++++

= , unde

21

Rx .

a) Artai c, oricare ar fi xZ, 22 )4x()4x)(3x(2)3x( ++++ este ptrat perfect.


64/137

64

b) Aducei expresia F la forma cea mai simpl.c) Aflai xN pentru care F(x) 1 este numr ntreg.d) Rezolvai ecuaia

1x22

)x(F

= .

e) Aflai xN pentru care 3 F(x) 5. (10 puncte)2. Fie prisma dreapt ABCDABCD, cu baza ptratul ABCD de latur

x i nlimea AA = y. Notm cu O, respectiv O centrele bazelorABCD i ABCD, iar cu M, respectiv N mijloacele muchiilor AA iCC.a) Aflai x i y tiind c sunt numere naturale, iar aria total a

prismei este de 18 cm2.

b) Pentru x = 1 i y = 4, calculai aria total i volumul prismei.c) Artai c punctele M, O, N i O sunt coplanare i stabilii naturapatrulaterului MONO.

d) Aflai distana de la M la planul (BDB).e) Calculai msura unghiului diedru format de planele (QBD) i

(MNO), unde {Q} = OO MN.(10 puncte)


65/137

65

Probleme i exerciii propuse

Clasele a III-a i a IV-a

1. Calculai: {150x5-[182:7+(324:2:6:9+39x3):5]}:7=

2. Afl numrul necunoscut:

40-40:{40+40:[40x40:(40-a

:4)-140]-32}x5=203. Cu ct este mai mic triplul diferenei dintre suma i diferenanumerelor 90 i 45 dect triplul produsului dintre ctul i suma lor?

4. Suma a trei numere este 1090. S se afle numerele, tiind c primuleste de patru ori mai mic dect al doilea, iar al treilea este cu 40mai mare dect media aritmetic a primelor dou.

5. S-au amestecat 5 kg de cafea la 260 lei kilogramul cu 3 kg de cafea

la 300 lei kilogramul. Ct cost un kg de cafea amestec?6. S-au amestecat 3 litri de alcool de 80 grade cu 2 litri de alcool de

60 grade. Cte grade are amestecul obinut?

7. Doi copii au cules mere dintr-un mr. Unul dintre ei a spus:-D-mi mie un mr i vom avea amndoi acelai numr de mere.-D-mi tu mie un mr ca s am de dou ori mai mult dect tine, a

rspuns cellalt.Cte mere avea fiecare copil ?

8. Despre 3 elevi se tiu urmtoarele lucruri:- Prenumle lor sunt: Petru, Anghel i Dnu;- Locuiesc n localiti diferite: Vaslui, Bacu i Iai;- Unul este elev n clasa I, altul n clasa a II-a i cellalt n clasa a

III-a;- Cel din clasa I locuiete n Vaslui;- Dnu este n clasa a II-a;

- Anghel este prieten cu cel din clasa a III-a, care locuiete nBacu.Aflai clasa i localitatea corespunztoare fiecrui elev.


66/137

66

9. Dac 2 piersici fac ct o lamie i un mr, dac 2 lmi fac ct 2piersici i o cais, dac 4 mere i o cais fac ct o piersic i 2lmi, ct fac 2 caise ?

10. EPITAF:

Acum c nu mai sunt, i spun aa-ntr-o doar:Vzui lumina zilei n zodie amar!S tot fi fost jupne, opt ani dup Rscoal...(1907)Cei zece ani de-acas trecur tam-nisam,Cu foamea i cu poarca...prin curi ori pe maidan.

Apoi, intrai n slujb la un ciocoi hapsn:Opt ani de-amar pine, ce pot s v mai spun.Gsii o fat drag i-un sfert din viaa mea,

Trudind la zerie, i-am petrecut cu ea.Trei ani mi mai rmase i-aceia-n nchisoare,I-am macinat n geamt i-n dor de rzbunare.De ceasul morii mele ziarele n-au scris;Socoate-l fiecare, m rog, dac-i permis!

11. Dan este cu 2 ani mai mare dect sora sa, Irina. Mama este cu 3 animai mic dect tata, iar suma vrstelor celor patru membri este de101 ani. tiind c fiica este de 3 ori mai mic dect mama sa, s se

afle ci ani au fiecare.12. ntr-o cutie erau 5 bile albe, 8 bile verzi, 11 bile albastre, 20

galbene, 20 negre, 35 roii, s se afle:a) Cte bile trebuie s extragem din cutie fr a le vedea culoarea,

pentru a fi siguri c printre ele avem 10 bile de aceeai culoare;b) Dar pentru a avea 15 bile roii?

13. Ionel i-a propus s rezolve n vacan un numr de probleme

pentru a se prezenta la concursul Euclid. El a gndit astfel: dacva rezolva cte 7 probleme pe zi, i-ar mai rmne 18 problemenerezolvate. Dorind s se joace 3 zile, s-a hotrt s rezolve cte 10

probleme pe zi.Cte probleme a avut de rezolvat Ionel i n cte zile le-a terminat?

14. Dac trei pere cntresc ct dou mere i dou prune, iar doumere ct dou pere i trei prune, atunci o par cntrete ... cte

prune?

15. Trei copii aveau respectiv 17 bomboane, 14 bomboane i 13bomboane pe care le-au mncat mpreun cu un prietenul lor, Ionu


67/137

67

care, nu avea bomboane. Dup ce le-au mncat pe toate, Ionu le-adruit 22 de nuci. Cum vor mpri cei trei copii aceste nuci?

16. Sora lui Marian de trei ani a rupt la ntmplare 13 foi dintr-o carte.Suprat, Marian a fcut suma numerelor scrise n josul paginilori

a obinut 2012. Tatl su l-a atenionat c a greit la adunare. Eraadevrat afirmaia? Justificai.

17. Ioana a primit de ziua ei o cutie de bomboane de ciocolat. Ea i-apropus s le mnnce n 4 zile. Astfel n prima zi a mncat ocincime din total i nc 3 bomboane, a doua zi o treime din rest inc 2 bomboane, a treia zi un sfert din noul rest i nc 3

bomboane, iar a patra zi dou treimi din noul rest i nc 4bomboane. Cte bomboane a mncat n fiecare zi i cte erau ncutie?

18. Dac mprim un numr la 13, ctul este cu 228 mai mic dectnumrul dat. Care este numrul?

19. Jucrii: 3 ursulei, 3 ppui i 2 mainue cost 440 lei. tiind c 2ppui cost ct 4 ursulei, iar un ursule cost ct 2 mainue,aflai preul fiecrei jucrii.

20. La o florrie, vnztoarea face simultan buchete cu cte 13 irespectiv 17 garoafe. Cte buchete de fiecare fel va face, dac aredoar 159 garoafe.

21. Calculai pex din expresia: x (78 + 39) = 27.

22. Calculai pex din expresia: 32:4 + 72:9 x = 16.

23. Calculai pe a din expresia: 68 (39 + a) = 11

24. a) Aflai termenul necunoscut: [(x+270:3)5+100]:600=1b) Calculai: {[(126:18+147):14+121]:12-1}11=

25. a) Calculai: 2018-8{7-65-4(3-21)]}=b) Aflai termenul necunoscut: {[(2x+24):17+8] 5+28}8=7234

26. a) Aflai numrul necunoscut: [(1+23+45+67+8+9)-108]x=30b) tiind cA este mai mare dect Ccu 10, s se calculeze valorilecelor dou numere din egalitatea 185+A-15+C=200

27. Determinai numerele naturalex,y,zdin egalitatea:15x+(2y+3z):x=22.


68/137

68

28. Gsii perechile de numere naturale (a, b) cu a < b, pentru careab+3=21.

29. Calculai expresia: 6 + {60: [7 + (351:3 + 452:4):10] + 18}:5 =

30. Calculai expresia: {1505 - [182:7 + (324:2:6:9 + 393):5]}:7 =

31. Aflaix din expresia: 40 + {3[4 + (3+x):2] - 4}3 = 100

32. Aflaix din expresia: 30+5{32:x+5[40+8(200:5 - 72:2)]}=1850.

33. Calculeaz:2 + 4 + 6 + 8 +.......+ 200=1 + 3 + 5 +...+ 99 2 4 6 -...- 56=

34. Calculeaz: 10099 9899+9897 9796+ +43 32+21 =

35. Aflai numrul care adunat cu triplul su i egal cu 36.

36. 5 lumnri ard mpreun n 20 de minute. n cte minute va ardejumtate de lumnare?

37. Aflai numrul care adunat cu sfertul su este egal cu 40. Numruleste _________.

38. Aflai numrul care adunat cu jumtatea lui este 27.

39. Fie irul: 2; 4+6; 8+10+12; . . Care este al cincilea termen ?40. Pentru a se numerota paginile unei cri au fost necesare 1770 cifre.

Cte pagini a avut cartea?

41. Suma a 10 numere naturale nenule este 54. Artai c mcar dounumere sunt egale.

42. S se afle restul mpririi la 25: 1234849 + 37.

43. Se dau sumele 2a+b = 10 i c+d = 13, unde a i b numere naturale.S se calculeze b+c+2a+di 8a+3c+4b+3d.44. Produsul unui numr cu el nsui mprit la 2 este egal cu dublul

numrului. Aflai numrul.

45. La mprirea a dou numere naturale, dempritul este 39, iarrestul 1. Aflai mpritorul i ctul, tiind c sunt diferite de 1 i cmpritorul este mai mare dect ctul.

46. Aflai numerele care, mprite la un numr de o cifr, dau restul 7i ctul de dou ori mai mare dect restul.


69/137

69

47. Care sunt perechile de numere naturale care au diferena 3, iarsuma lor este un numr de patru cifre al cror produs este 2?

48. Cu ct este mai mare produsul dintre ctul i suma numerelor 15 i5 dect ctul dintre produsul i ctul lor?

49. Aflai dou numere care difer unul de altul cu 424 i au ctul 3,rest 2.

50. Aflai cele dou numere naturale, tiind c diferena lor este 5, iarla mprirea dintre triplul sumei lor i dublul diferenei se obinctul 9 i restul 3.

51. Suma a dou numere este 64. Dac mprim suma la ndoituldiferenei lor obinem ctul 4 i restul 0. Care sunt numerele?

52. Aflai numerele a i b, tiind c diferena lor este 10, iar lamprirea dintre suma lor mrit de 5 ori i diferena lor mrit de4 ori obinem ctul 2 i restul 0.

53. mprind un numr natural nenul la 7 obinem restul egal cu ctul.Determin numrul. Cte soluii are problema ?

54. S se afle numerele naturale de forma xyz, tiind c:xy+yz+zx=121 i x


70/137

70

62. Scrie toate numerele naturale de 4 cifre distincte, care au cifrazecilor 7 i suma cifrelor 11.

63. Scrie numerele naturale pare de forma b5a , care au suma cifrelor 14.

64. S se determine numerele ab (numere naturale de dou cifre) careau proprietatea c fiecare este de patru ori suma cifrelor sale.

65. S se determine numerele a,b,c,d dac produsul lor este 24,produsul dintre primul i al treilea este 8, iar suma dintre al doileai al treilea este 7. Cu valorile gsite scriei cel mai mare i cel maimic numr natural de 4 cifre.

66. ntr-o mprire a dou numere naturale, ctul este un sfert dinmpritor, iar restul jumtate din ct. Suma mpritorului cu ctuli restul este 44. S se reconstituie mprirea.

67. Ctul a dou numere naturale este 3. Dac se mresc ambelenumere cu 10, ctul lor va fi 2. S se determine cele dou numere.

68. n dou ldie erau 59 de mere. Dup ce Ioana a mncat 26 de meredin prima ldi i 17 mere din a doua, a constatat c a rmas unnumr egal de mere n fiecare lad. Cte mere erau la nceput nfiecare ldi?

69. ntr-o cutie sunt 61 de fundie: roii, verzi i albe. Dup ce s-afolosit acelai numr de fundie din fiecare culoare, n cutie aurmas: 12 fundie roii, 15 fundie verzi i 7 fundie albe. Ctefundie de fiecare culoare erau la nceput n cutie?

70. Suma a 3 numere este 63. S se afle numerele, tiind c primulnumr este un sfert din al doilea numr i jumtate din al treilea.Care sunt numerele?

71. Trei frai au mpreun 45 lei. Ci lei are fiecare, dac cel mare arede 3 ori suma celui mic, iar mijlociul are jumtatea sumeimezinului?

72. O lucrare de construcie a fost pltit cu 31900 lei unor zidari iunor dulgheri. Primii au primit cte 500 lei, ceilali cte 600 lei.Toi dulgherii au primit mpreun cu 3100 lei mai puin dectzidarii. Ci zidari i ci dulgheri au realizat lucrarea?

73. Pentru o grdini s-au cumprat mere i caise, 70kg, pltindu-se420000 lei. Cantitatea de mere cumprate a fost de 4 ori mai mare


71/137

71

dect cea de caise. 1 kg de caise a costat de 2 ori mai mult dect 1kg de mere. Ci lei a costat 1 kg de mere? Dar 1 kg de caise?

74. Suma a trei numere este 6040. Dac se mparte primul numr la aldoilea, se obine ctul 2 i restul egal cu al treilea numr. Aflai cele

trei numere tiind c al treilea numr este de 100 de ori mai micdect al doilea numr.

75. n dou coulee, Ana are cpune. Primul coule are cu 38cpune mai multe dect al doilea. Cte cpune trebuie s muteAna din primul coule n al doilea, pentru ca n acesta s fie cu 12cpune mai multe dect n primul?

76. Se dau trei numere naturale. Al doilea numr este ptrimea

primului numr plus 4, iar al treilea numr este sfertul celui de-aldoilea plus 4. tiind c diferena dintre primul i al treilea numreste de 145, aflai valoarea celor trei numere.

77. S se afle patru numere pare consecutive a cror sum este egalcu: (400 240 + 100) : (10 5) =

78. Suma a trei numere a, b, c este 900. Aflai numerele tiind c b estede trei ori mai mare dect a i cu 25 mai mic dect c.

79. Aflai suma a patru numere naturale a,b,c,dtiind c suma primelordou este 56, al treilea numr este suma jumtilor primelor dounumere, iar al patrulea este cu 25 mai mic dect triplul lui c.

80. Suma a dou numere este produsul dintre numerele 160 si 5. Cteste fiecare numr dac al doilea numr e mai mic dect primulnumr cu 284?

81. Un frate i o sor au mpreun 60 de ani. Cnd fratele avea 10 ani,fata avea 14 ani. Ci ani are fiecare acum?

82. Anca a citit o carte de 210 pagini n patru zile astfel: n prima i adoua zi a citit 100 de pagini, a patra zi a citit cu 10 pagini mai multdect a treia zi i cu 20 mai mult dect a doua zi. Cte pagini a cititn fiecare zi?

83. Din triplul numrului 197 scdei sfertul numrului 2024. Diferenaobinut o micorai de 5 ori, apoi noul rezultat l mrii cu 105.Comparai numrul obinut cu 199.


72/137

72

84. Avem trei numere. Dac mprim primul numr la al doilea sau aldoilea la al treilea obinem ctul 2 i restul 1. Aflai cele 3 numeretiind c diferena dintre primul i al treilea este 42.

85. La un magazin este un numr de calculatoare de 4 ori mai mare

dect la altul. Dac primul magazin vinde 96 de calculatoare i aldoilea 6 calculatoare, atunci rmne un numr egal de calculatoare.Cte calculatoare au fost la nceput n fiecare magazin?

86. Suma a dou numere este 780. Dac primul numr se mparte exactla 3 i al doilea exact la 2, diferena cturilor este 10. aflai celedou numere.

87. Suma a dou numere este cu 206 mai mare dect diferena lor. Al

doilea numr este cu 141 mai mic dect diferena. Afl numerele.88. Victor i cei doi frai ai si, care sunt gemeni, au mpreun 39 ani.Ci ani are fiecare dac acum cinci ani, suma vrstelor celor doigemeni era egal cu vrsta lui Victor ?

89. S se afle dou numere tiind c suma lor este de 5 ori mai maredect diferena lor, iar la mprirea celor dou numere se obinectul 1 i restul 3.

90. La cei 10 ani ai si, Costel observ c adunnd vrsta sa cu cea abunicului obine de 2 ori vrsta tatlui. Aflai vrsta bunicului i afiului acestuia dac peste 7 ani bunicul va avea cu 50 de ani maimult dect nepotul.

91. n 7 cutii se afl acelai numr de piese (figuri geometrice). Dacdin fiecare cutie se iau cte 25 piese, n cele 7 cutii rmn tot attea

piese cte au fost la nceput n 2 cutii. Cte piese au fost la nceputn fiecare cutie ?

92. ntr-o cutie sunt de 4 ori mai multe bile roii dect albe. Dac se iau6 bile roii i 3 bile albe, n cutie rmn de 6 ori mai multe bile roiidect bile albe. Cte bile roii i cte bile albe au fost la nceput ?

93. Magazinul METRO a vndut ntr-o zi 14852 kg cartofi, cu 6957 kgmai puin ceap, morcov 693 kg, iar ptrunjel de 3 ori mai puin ....i 1469 kg varz. Cte kilograme de legume a vndut magazinul?

94. n trei lzi sunt 612 kg de marf. n a doua lad este de 2 ori maimult marf dect n prima i cu 2 kg mai puin dect n a treia.Cte kilograme de marf sunt n fiecare lad ?


73/137

73

95. Dintr-o eav de oel de 458 g s-au tiat: o eav mic, o eav de 2ori mai mare dect prima i dou evi de 3 ori mai mari dect primai au rmas 8 g de eav. Ct cntrete fiecare eav ?

96. Tatl mpreun cu fiul au 85 de ani. Tatl este mai btrn dect fiul

cu 45 de ani. S se determine peste ci ani tatl va avea vrstadubl n raport cu fiul.

97. Mama, tata i fiul au mpreun 125 de ani. Dac mama i tata auaceeai vrst egal cu de 2 ori vrsta fiului, s se afle cu ci anieste mai mare tatl dect fiul.

98. Mama are de 2 ori vrsta fiicei i este cu 2 ani mai mic dect soulei. mpreun cei trei au 102 ani. S se determine vrsta mamei.

99. Un casier, fiind ntrebat ct a ncasat ntr-o zi, a rspuns: Dac amai fi ncasat un sfert din ct am ncasat i nc 500 lei, atunci a fincasat 55100 lei. Ct a ncasat casierul n ziua respectiv?

100. Raluca are de 5 ori mai muli bani dect Diana. Dac i-ar da Dianei53 lei i ar cheltui 62 lei, cele dou prietene ar avea sume egale.Ci lei are fiecare?

101. Pe o carte am dat 4 lei i jumtate din preul ei, iar pe un joc 12 leii un sfert din preul su. Ci lei cost cartea i jocul mpreun?Dar 5 cri i 8 jocuri?

102. Mihaela are 10 ani, iar mama ei 43 ani. Peste ci ani vrstaMihaelei va fi jumtate din vrsta mamei?

103. ntrebat ci elevi are, Pitagora a rspuns: Jumtate din ei studiazmatematica, o ptrime studiaz natura, o eptime mediteaz ntcere, iar restul sunt 3 fecioare. Ci elevi avea Pitagora?

104. La un concurs de matematic, un elev obine pentru 8 probleme 46de puncte. Cte probleme au fost corecte i cte greite, tiind c

pentru o problem rezolvat corect a obinut 10 puncte, iar pentru oproblem greit a pierdut 7 puncte ?

105. - D-mi 2 creioane de la tine pentru a avea cte ai tu, spuneIoana.-D-mi tu 2 creioane i voi avea de dou ori mai mult ca tine,rspunde Anca.

Cte creioane are fiecare?


74/137

74

106. Peste 2 ani, vrsta Mariei va fi o treime din vrsta mamei, dar cu 8ani n urm vrsta fetei era o optime din cea a mamei. Ce vrst arefiecare acum ?

107. Trei copii i-au mprit un numr ntreg de nuci cuprins ntre 250

i 300, astfel: primul a primit un numr de perechi egal cu numrulgrmezilor de cte 5 nuci primite de al doilea i cu dublulnumrului de grmezi de cte 13 primite de-al treilea. Cte nuci a

primit fiecare ?

108. Aflai numerele naturale a i b, tiind c diferena lor este 10, iarctul la mprirea dintre suma lor mrit de 5 ori i diferena lormrit de 4 ori este 2.

109. n trei lzi sunt 72 nuci. Dac o treime din numrul nucilor dinprima lad se mut n a doua lad, apoi un sfert din numrul nucilordin lada a doua se mut n a treia lad, n fiecare lad avem acelainumr de nuci. Cte nuci au fost iniial n fiecare lad ?

110. Trei frai au depus la banc cte 750 lei. Doresc s-i cumpere unlaptop care cost 3610 lei. Pentru fiecare 100 lei, ei primescdobnd anual de 20 lei. Pot s-i cumpere laptopul dup 2 ani?Dac nu, de ce sum mai au nevoie? Dac da, ce sum le mai

rmne? (Presupunem c preul i dobnda nu se modific).111. ntr-o urn sunt 20 bile identice, numerotate de la 1 la 20. Se extrag4 bile. Prima bil extras are numrul 10, a doua are numrul egalcu o ptrime din numrul bilei a treia, iar a patra bil are numrul odoime din suma numerelor primelor dou bile, adic 7. Care estesuma numerelor bilelor extrase ?

112. Dup ce a parcurs dou din cele 5 pri egale ale unui drum, uncltor constat c mai are de parcurs cu 75 km mai mult dect amers pn aici. Ce lungime are drumul?

113. ntr-o clas sunt 32 biei i fete. Ci biei i fete sunt, tiind c,dac ar fi cu 4 biei mai puini, un sfert din numrul lor ar fi egalcu o treime din numrul fetelor.

114. Se mpart 48 de mere n dou grmezi. Se iau din prima grmadct sunt n a doua i se adaug n a doua. Se ia din a doua grmado ptrime din numrul de mere care era iniial n prima i se adaug

n prima grmad. n urma acestor operaii, grmezile au acelainumr de mere. Cte mere au fost la nceput n fiecare grmad?


75/137

75

115. Suma a trei numere este 120. Dac am scdea 7 din primul numri am aduga 7 la al doilea numr, primul numr ar deveni de 3 orimai mare dect al doilea, iar dac din al treilea am scdea 5 i amaduga la al doilea 5, atunci al treilea ar deveni cu 2 mai mare dect

al doilea. Care sunt cele trei numere?116. Dintr-un numr scdem jumtate din el i nc 1, din rest scdem

jumtate din el i nc 1, din rezultat scdem din nou jumtate inc 1 i se obine 6. Care este numrul iniial ?

117. Aflai 6 numere naturale consecutive, tiind c triplul sumeiprimelor trei este egal cu dublul sumei ultimelor trei.

118. Pe o mas sunt 5 cri numerotate de la 1 la 5. Prima carte are cel

mai mic numr de pagini, a doua are un numr de pagini egal cutriplul paginilor primei cri, iar fiecare dintre urmtoarele trei criau cte un numr de pagini egal cu suma paginilor precedentelordou. Aflai cte pagini au toate cele cinci cri, dac ultima carteare cu 72 de pagini mai mult dect prima i a patra la un loc.

119. Fiind ntrebat ce vrst are, Maria a rspuns: Cu 5 ani n urmaveam de 3 ori mai puin dect voi avea peste 7 ani. Ci ani areMaria?

120. Dac naintea unui numr de o cifr scriem cifra 3, obinem unnumr cu 54 mai mic dect numrul pe care l vom obine dacscriem cifra 3 la sfritul lui. Care este acel numr?

121. Ana i Maria au mpreun 336 fotografii, puse n dou albume careau acelai numr de foi fiecare. tiind c pe o foaie din albumulAnei se pot pune 16 fotografii, iar pe o foaie din albumul Mariei se

pot pune 12 fotografii, aflai cte fotografii are fiecare fat.

122. La un concurs pe teme geografice, din clasa a IV-a A s-au prezentatAndrei, Bogdan i Codrin. Ei au avut de rspuns, fiecare, la cte 10ntrebri. Pentru fiecare rspuns corect li s-au acordat 10 puncte, iarfiecare rspuns greit a fost penalizat cu 5 puncte. Stabiliiclasamentul final, dac Andrei a dat cu trei rspunsuri bune mai

puin dect Codrin.

123. Mihai, Andrei i Ioana au mpreun 360 de timbre. Dac Mihai i-arda lui Andrei 15 timbre i Ioanei 35 timbre, atunci Mihai ar avea de3 ori mai puine dect Ioana i de dou ori mai puine dect Andrei.Cte timbre a avut fiecare?


76/137

76

124. ntr-un magazin au fost 140 m de stof cu preul de 18500 lei / m i168 m de pnz alb cu preul de 5000 lei / m. La sfritul zilei a mai

rmas n magazie51

din cantitatea de stof i31

din cantitatea de

pnz. Ct s-a ncasat pe marfa vndut?125. Pentru a cumpra 4 mingi de fotbal mai trebuie 15 lei iar dac se

cumpr 3 mingi mai rmn 10 lei. Ct cost o minge i ci leisunt?

126. Trei grdini dreptunghiulare au suma perimetrelor de 1090 m.Prima grdin are perimetrul cu 108 m mai mare dect a douagrdin i cu 316 m mai mic dect a treia grdin. S se afle

lungimea celei de-a treia grdin, care are limea ct un sfert dinlungime.

127. n dou cutii mari i trei cutii mici sunt 111 bomboane. Ctebomboane sunt n cutiile mari i cte n cele mici, dac o cutie micare cu 8 bomboane mai puine dect una mare?

128. Suma vrstelor a doi frai este egal cu jumtate din vrsta mamei.Acum 6 ani, vrsta mamei era de 5 ori mai mare dect sumavrstelor celor 2 copii. Ce vrst are fiecare copil n prezent, dacunul este cu doi ani mai mic dect cellalt?

129. O familie are 4 copii. Nici unul dintre acetia nu este cel mai mic,dar nici cel mai mare. Ce vrst are fiecare, dac, produsulvrstelor lor este 36?

130. Alina, mama i tata au mpreun 64 de ani. Alina are vrsta de treiori mai mic dect mama, iar tata, ct cele dou la un loc. Ci aniare fiecare? Peste ci ani, tata va avea dublul vrstei Alinei?

131. Pentru mpodobirea bradului de Crciun s-au cumprat 118globulee galbene i roii. Cte globulee din fiecare culoare sunttiind c, dac ar fi cu 8 mai puine galbene, atunci jumtate dinnumrul celor galbene ar reprezenta de trei ori mai mult dect unsfert din numrul celor roii.

132. Ateptnd nepoii n vizit, bunica a pregtit prjituri. Numrndprjiturile i-a spus: Pentru ca fiecare nepot sa capete cate 5

prjituri ar trebui sa mai gtesc 3, daca insa fiecare se mulumetecu doar 4, atunci 3 prjituri vor rmne pentru mine. Ci nepoiare bunica?


77/137

77

133. La o ferm cresc oi i gini. n total sunt 745 capete i 1880picioare. Cte oi i cte gini sunt la ferm ?

134. Cristina a primit de ziua ei trandafiri. Dac i aeaz cte 3 n vaz,i rmn 10 trandafiri, iar dac i aeaz cte 5, n ultima vaz va fi

doar unul. Ci trandafiri a primit Cristina ?.135. Afl cte fete i ci biei particip la un joc, tiind c dac

formeaz echipe fat-biat, rmn 8 fete fr pereche, iar dacformeaz echipe compuse din 3 fete i un biat, rmn 2 biei fr

pereche.

136. Dac se aeaz cte 10 creioane ntr-o cutie, rmn 6 cutii goale io cutie cu 9 creioane, iar dac se aeaz cte 6 creioane ntr-o cutie,

rmn 3 creioane. Cte cutii i cte creioane sunt?137. ntr-o cutie sunt trei feluri de bomboane: 10 cu ment, 7 cuciocolat i 15 cu fructe. Care este numrul minim pe care trebuies le lum din cutie pentru a fi siguri c lum cte o bomboan defiecare fel?

138. Ancua are ntr-un sertar din dulapul su 7 osete albe i 7 osetenegre. Pentru c becul din camera sa nu funcioneaz, ea se ntreab:a) Cte osete trebuie s ia pentru a fi sigur c va ncla o

pereche de aceeai culoare?b) Cte osete trebuie s ia pentru a fi sigur c printre ele se aflo pereche de osete albe?

139. ntr-o lad au fost amestecate mere de 3 soiuri. Care este cel maimic numr de mere scoase la ntmplare din lad, pentru ca printreele s se gseasc:a) cel puin 2 mere din acelai soi;

b) cel puin 3 mere din acelai soi.

140. Oana are mere i pere. Dac le grupeaz cte un mr i o par, rmnecu 6 pere, iar dac le grupeaz cte un mr i dou pere, i rmn doumere. Cte fructe are din fiecare?

141. ntr-o Grdin Zoologic, patrupedele, psrile i erpii au n total400 capete, 1200 picioare i 450 limbi. Cte patrupede, psri ierpi (presupui a avea dou limbi fiecare) sunt n acea grdin?

142. ntr-o caban sportiv sunt mai puin de 400 sportivi. Dac ei s-argrupa cte 2,3,4 sau 5 atunci, de fiecare dat, ar rmne unul


78/137

78

singur. Dac s-ar grupa cte 7 atunci nici un sportiv nu ar rmne nafara grupelor. Ci sportivi sunt n caban?

143. De o parte i de alta a unei alei de 138m s-au pus bnci cu lungimeade 2m i distana dintre ele de 15m. cte bnci sunt tiind c acetia

s-au pus chiar din captul aleii ?144. ntr-o sal de spectacole, scaunele sunt aezate cte 15 pe un rnd,

n total fiind 25 de rnduri. Scaunele sunt numerotate de la 1 la 375.a) Ce numr are scaunul din centrul slii ?

b) Ce numere au scaunele de pe rndul 22 ?

145. ntr-o urn sunt 300 bile roii, galbene i albastre. tiind c 235 nusunt roii, iar dac mrim de 5 ori numrul bilelor galbene mrit cu

5, obinem un numr de 3 ori mai mic dect bilele albe, s se aflecare este numrul minim de bile pe care trebuie s le extragem, fra ne uita n urn, pentru a fi siguri c am luat cel puin 3 bile:a) albastre;

b) de aceeai culoare;c) din fiecare culoare.

146. Un elev iste trebuie s deschid 6 dulapuri cu 6 chei, fr s tiecare cheie corespunde fiecrui dulap. Care este numrul maxim de

ncercri pentru a deschide fiecare dulap ?147. Pentru traversarea unui ru un grup de copii angajeaz un barcagiu

n a crui barc ncap 7 persoane. Cte drumuri dus-ntors trebuies fac acest barcagiu? Eti sigur? Mai verific o dat!

148. Dac tiprirea unei cri dureaz 7 sptmni i ea a nceput la 15mai, cnd se va termina de tiprit cartea?

149. Reconstituie un numr de telefon despre care tim:

- numrul are 6 cifre;- numrul format din ultimele 3 cifre este 4 ori mai mare dectnumrul format din primele 3 cifre;

- cifra a treia i a patra sunt identice;- a doua cifr este dublul primei cifre;- a treia cifr este dublul celei de-a doua, fiind n acelai timp i cu

2 mai mare ca aceasta.

150. Trei copii aveau de mprit 23 lei i primul trebuia s ia o doime,

al doilea o treime i al treilea o optime din sum. Un coleg al lor,care avea i el 1 leu, a reuit s le fac aceast mprire. Ci lei aluat fiecare copil?


79/137


80/137

80

11. Se mparte numrul naturalx la numrul naturaly i se obine ctul 7i restul 13.a) S se arate c 3x 21y 23 este un ptrat perfect.

b) S se determinex iy dac 3x-2y .305 12. Numerele naturale a, b, c verific relaiile a+3b+5c=200 i

a+4b+7c=225. Determinai valoarea sumei a+b+c.

13. Demonstrai c numrul 19n unde n este un numr natural nenul sepoate scrie ca sum de trei ptrate perfecte.

14. Artai c numrulN=11113, unde cifra 1 se repet de 2011 ori sedivide cu 13.

15. a) S se determine numerele naturale distincte a, b, c astfel nctnumrul

acbca ++5143 s fie numr natural.

b) S se afle numerele naturale xyz, n baya 10, tiind c

++ zyx 23

14N .

16. Media aritmetic a ase numere este 30. tiind c al treilea este egalcu o zecime din al cincilea, cu o ptrime din al aselea i cu ocincime din din al patrulea; media aritmetic dintre al treilea, alcincilea i al aselea numr este egal cu media aritmetic ditre

primul, al doilea i al patrulea numr, iar al doilea numr este egal cuo ptrime din primul, s se afle cele ase numere.

17. S se determine numrul xyzt cu proprietatea c raportulztxy

xyzt

+

are cea mai mic valoare posibil.18. S se determine numrul natural de forma xyzxt care satisface

condiia: xyzxt=xx x .

19. Se consider mulimea de numere naturale A, tiind c suntndeplinite, simultan, condiiile:

1) 2 ;2) Dacx ,A atunci 3x+2 A ;3) Dacx +12 ,atuncix A ;

S se arate c: {1, 4, 5, 26} .A


81/137

81

20. Fie mulimile: A={ },75/ Nnnxx += iB },32005/{ Nppyy +== . Calculai cte elemente are mulimea

BA .

21.La o coal cu 1104 de elevi din Iai se organizeaz n vacana dePate trei activiti: o excursie la Vatra Dornei, vizionarea unui filmla Cinema City i o ntrecere sportiv pe stadion. Se tie c fiecareelev particip la cel puin o activitate i c: a) 51 particip la film ila ntrecerea sportiv, dar nu i la excursie; b) 63 particip numai lafilm; c) 720 merg la Vatra Dornei; d) 90 merg numai n excursie i lantrecerea sportiv; e) numrul celor care merg numai n excursie ila film este de trei ori mai mare dect al celor care particip la toateactivitile i este egal cu al celor care particip numai la ntrecerea

sportiv. Ci elevi merg numai n excursie la Vatra Dornei?22. Aflai numrul naturalx din egalitatea:

43755254....54545454 415320 =+++++++ xx .

23. Determinai numrul natural abcd tiind c:.)()(....)()()(

2)(4009531 abcdabcdabcdabcdabcdabcd =

24.Fie irul de numere naturale 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4,....., 1, 2, 3,4,....., n.a) Determinai numrul de termeni ai irului pentru n = 63.

b) Ce termen este pe locul 2007?25. Stabilii dac exist dou numere naturale x i y care s verifice

egalitatea: .19995333 ++=+ yxyx

26. S se afle din ci elevi este format o clas, tiind c: dac ar plecaun biat i ar veni dou fete, atunci numrul bieilor ar fie gal cu

32

din numrul fetelor, iar dac ar pleca o fat i ar veni doi biei,

atunci numrul bieilor ar fie gal cu numrul fetelor.

27. Artai c nu exist numere naturale care mprite la 3 dau restul 1i mprite la 6 dau restul 3.

28. Un numr de trei cifre mprit la rsturnatul su d ctul 2 i restul100, iar diferena dintre cifra sutelor i cea a unitilor este 4. S seafle numrul.


82/137

82

29. Aflai ctul mpririi numrului 2002 prin numrul natural a , dacrestul este (4- ).a

30. Fie numrul natural:.5326930103152

1223 nnnnnnnn

a +++=

++++

Artai c 1999divide pe .a

31. S se determine numerele naturale i y tiind c.511122 +=+ xyy

32. S se determine cel mai mare numr natural abcd care mprit laaad d ctul 8 i restul abd .

33. S se determine numrul xyzt, tiind c mprindu-l la numrulyzt obinem ctul 1+x i restul .2+x

34. Suma cifrelor unui numr natural n baza zece este egal cu 1995.Poate fi acest numr ptrat perfect?

35. Determinai elementele mulimii }.222/{ acbcababcA == 36. O mam are doi copii. Vrsta mamei se exprim printr-un numr de

dou cifre, fiecare cifr fiind vrsta unuia dintre copii. Dac la vrstamamei se adaug vrsta celor doi copii, se obine vrsta de 49 de ani.Ce vrst are mam

Culegere-EUCLID-2012

Documents

Transcript of Culegere-EUCLID-2012