Adrian Sandovici Culegere BAC 2012

download Adrian Sandovici Culegere BAC 2012

of 125

Transcript of Adrian Sandovici Culegere BAC 2012

Adrian Sandovici Antrenament Matematic pentruBACALAUREAT2012. Teste de Algebra i Geometrie Editura LUMINIS 2011Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 2 @ Copyright 2011, Editura LUMINIS ToatedrepturileasupraprezenteiediiisuntrezervateEDITURIILUMINIS. Reproducerea parial sau integral a coninutului, prin orice mijloc, fr acordul scrisalEDITURII LUMINISesteinterzisisevapedepsiconform legislaiein vigoare. Editura LUMINIS ISBN: 978-606-92716-9-8Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 3 Prefa Prezentalucrarevinensprijinulelevilordeliceu,nspecialalcelordin clasa a XII-a, n vederea pregtirii Bacalaureatului la matematic. Lucrarea estentocmitpebazaprogrameicolare,urmndcerineleprogramei elaborate de Ministerul Educaiei Cercetrii Tineretului i Sportului pentru examenul de Bacalaureat. Lucrarea conine 58 de teste recapitulative de algebr i geometrie construite petiparulexamenuluideBacalaureat.Cele58detestesuntcomplet rezolvate iaufostnaafelconceputenctsasigurefixareaunuibagaj suficientdecunotinepentruaputearezolvaprimaparteaprobeide matematic din cadrul examenului de Bacalaureat. Mult succes la EXAMEN! 5 noiembrie 2011, prof. dr. Adrian Sandovici Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 4 Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 5 Testul 1 1. S se calculeze32323P A C + . Soluie: Avem urmtoarele formule de calcul !!( )!knnCk n k=, )! (!k n nAkn=i! n Pn = . n consecin3 6 626! 3! 1! 3! 1 ! 2 ! 332323= + = + = + P A C . 2. Fie punctele) 1 ; 2 ( Ai) 3 ; 1 ( B . S se determine numerele realea ib astfel nctj b i a AB + = . Soluie: Dac) , (1 1 y x A i) , (2 2 y x B atunci are loc urmtoarea formul de calculj y y i x x AB ) ( ) (1 2 1 2 + = . Prin urmare: j i j i AB 4 3 )) 1 ( 3 ( ) 2 1 ( + = + = , de unde3 = a i4 = b 3. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 2 log 5 log 4 log5 4 3= x . Soluie: Folosind formula schimbrii de baz: abbccalogloglog = , avem: 9 3 2 log 25 loglog4 log5 log4 log2333333= = = = x xx. 4.S se calculeze 2010220101x x + , tiind c 1xi 2xsunt soluiile ecuaiei0 12= + + x x . Soluie: . Fieixuna dintre soluiile ecuaiei0 12= + + x x . Deci 0 12= + +i ix x , de unde prin nmulire cu1 ixavem0 ) 1 ( ) 1 (2= + + i i ix x x . Folosind formula 3 3 2 2) )( ( b a b ab a b a = + + pentru ix a =i1 = b obinem din relaia de mai sus c0 13= ix adic13=ix ,2 , 1 = i . Avem Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 6 670 3 2010 = , de unde1 1 ) (670 670 31670 3120101= = = =x x x . Analog 120102= x . n consecin:2 1 12010220101= + = + x x . 5.Se consider funcia| | R f 1 , 0 : , 2) ( x x f = . S se determine ]) 1 , 0 ([ f . Soluie: Deoarece funcia f este strict descresctoare pe intervalul ] 1 , 0 [rezult c] 0 , 1 [ )] 0 ( ), 1 ( [ ]) 1 , 0 ([ = = f f f . 6.Se consider triunghiulABCcu4 = AB ,7 = AC i3 = BC . S se calculezeB cos . Soluie: Aplicnd teorema cosinusului avem:233 23 33 8124 3 27 16 32 2cos2 2 2 2 2 2=== += += +=AB BCAC AB BCac b c aB. Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 7 Testul 2 1.S se afle partea real a numrului complex 4) 1 ( i z = . Soluie: Avem succesiv: 4 ) Re( 4 ) 1 ( 4 ) 2 () 1 2 1 ( ) 2 1 ( ) ) 1 (( ) 1 (22 2 2 2 2 2 4 = = = = = + = = =z ii i i i i z. 2.S se determine ce rat a dobnzii s-a aplicat la un mprumut de 100 de lei, dac peste un an s-a returnat suma de 105 lei. Soluie: Rata anual =% 5 % 100100100 105= . 3.S se calculeze suma soluiilor ntregi ale inecuaiei 1 5 52s + x x . Soluie: Inegalitatea dat se scrie succesiv sub forma:0 4 5 0 1 5 5 1 5 52 2 2s + s + s + x x x x x x . Soluiile ecuaiei ataate sunt11 = xi42 = x . Din tabelul corespunztor de semn obinem c soluiile inecuaiei sunt} 4 , 3 , 2 , 1 { ] 4 , 1 [ = = Z S , de unde rezult c suma lor este10 4 3 2 1 = + + + . 4.S se determine valorile reale pozitive ale numrului x, tiind c x lg , 23ix lg sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Soluie: Trei numere a, b i c sunt n progresie aritmetic dac i numai dac 2 c ab+= . n consecin: = + = + += 3 lg lg213 lg lg2lg lg23x x x xx x100 10 2 lg 6 lg 3 6 lg 2 lg2= = = = = + x x x x x . Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 8 5.S se determine suma vectorilor de poziie ai punctelor( ) 8 , 4 Ai( ) 3 , 6 B . Soluie: Avemj i rA 8 4 =ij i rB 3 6 + = de undej i r rB A 5 10 = + . 6.S se calculeze aria triunghiului ABC tiind c2 = AC , = Z 30 ) ( BAC mi4 = AB . Soluie: Folosind forumula de calcul:) sin(21] [BAC AB AC A ABCZ = obinem: 2214 30 sin 4 221] [= = =ABCA . Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 9 Testul 3 1.S se calculeze suma primilor 20 de termeni ai irului 1, 7, 13, 19, . Soluie: irul considerat este o progresie aritmetic de prim termen11 = a i raie6 1 71 2= = = a a r . Folosind formula termenului generalr n a an) 1 (1 + =obinem 115 114 1 6 19 1 6 ) 1 20 ( 120= + = + = + = a . Deci 1160220 ) 115 1 (220 ) (20 120= += +=a aS . 2.Se consider toate numerele naturale de cte trei cifre scrise cu elemente din mulimea {1,2}. S se calculeze probabilitatea ca, alegnd un astfel de numr, acesta s fie divizibil cu 3. Soluie: n total sunt8 2 2 2 = numere. Dintre acestea doar numerele 111 i 222 satisfac cerina din enun. Deci probabilitatea este 4182= . 3.S se determine soluiile reale ale ecuaieix x = + 2 . Soluie: Pentru ecuaia x x = + 2se impun urmtoarele condiii de existen e s >> > +] 0 , 2 [0200 2xxxxx. Prin ridicare la ptrat obinem0 2 22 2= = + x x x x , ultima ecuaie avnd rdcinile -1 i 2. Dintre acestea doar1 = xsatisface condiiile de existen. 4.Se consider funcia. 1 2 ) ( , : + = x x f R R f S se calculeze ) 2010 ( ... ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( f f f f f + + + + + . Soluie: ) 1 2010 2 ( ... ) 1 2 2 ( ) 1 1 2 ( ) 1 0 2 () 2010 ( ... ) 2 ( ) 1 ( ) 0 (+ + + + + + + + =+ + + + f f f f Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 10 22011 2011 2011) 1 2010 ( 2011 201022011 201022011 ) 2010 ... 3 2 1 ( 2= =+ = + =+ + + + + = 5.S se determine ecuaia dreptei care conine punctul( ) 1 , 2 Ai este perpendicular pe dreapta0 5 2 = + y x . Soluie: Fie0 5 2 :1= + y x di notm cu d2 dreapta pe care trebuie s o determinm. Putem scrie2 5 2 :11= + =dm x y d . Din 2112 2 12 1 = = d d dm m m d d . Ecuaia dreptei d2 se poate scrie sub forma: x y d x y x yx y x x m y yA d A21:211211) 2 (211 ) (22 = = + = + = + = . 6.S se calculeze aria triunghiului ABC tiind c2 = AB, = Z 30 ) ( A mi = Z 75 ) ( B m . Soluie: = = Z Z = Z 75 75 30 180 ) ( ) ( 180 ) ( B m A m C m . n consecin triunghiul ABC este isoscel, de unde2 = AC . Deci 212212230 sin 2 22sin] [== = =A AC ABA ABC. Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 11 Testul 4 1.S se determine partea real a numrului complex 20101 i z = . Soluie: Din1 ) ( 1 12 502 4 2010 4 2 = = = = i i i i i . Deci ( ) 2 ) Re( 2 1 1 12010= = = = z i z . 2.S se calculeze termenul al treilea al dezvoltrii binomiale 6) 5 1 ( + . Soluie: Pentru dezvoltarea binomului nb a ) (+formula termenului general este k k n kn kb a C T =+1. n cazul nostru6 = n ,1 = a , 5 = b iar2 = k 7525 6 55! 4 ! 2 ! 6) 5 ( 12 2 6 26 3= = = = C T . 3.Fie funciaR R f : , de forma3 8 ) (2 = x mx x f , unde m este un numr real nenul. S se determine m tiind c valoarea maxim a funciei f este egal cu 5. Soluie: Funcia admite maxim dac0 < m , acesta (maximul) fiind egal cu a 4A . = = A = = = ) 3 ( 4 64 4 3 , 8 ,2m ac b c b m am mm mam3 16412 64412 64+ =+ =A + = A . Din 0 2 8 16 5 3 16 53 1654< = = = =+ =A m m m mm ma. 4.S se determine soluiile reale ale inecuaiei x x) 25 , 0 ( 4 > . Soluie: Avem 14411002525 , 0= = = . Inecuaia se scrie succesiv: ) ; 0 [ 0 0 2 4 4 ) 4 ( 41+ e > > > > > x x x x xx x x x. Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 12 5.S se determine numrul real a tiind c vectoriij a i u + = 2 i j a i v + = ) 2 ( 3sunt coliniari. Soluie: Vectoriiuivsunt coliniari dac i numai dac 4 3 4 2 3 ) 2 ( 22 32 = = = = a a a a aa a. 6.S se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC, tiind c3 = AB i = Z 30 ) ( C m . Soluie: Folosind teorema sinusului:RCcBbAa2sin sin sin= = = , avem 3 2 6 2213230 sin32sin2sin= = = = = = R R R R RCABRCc. Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 13 Testul 5 1.S se determine forma algebric a numarului complex 42 33 2|.|

\|+=iiz . Soluie: Avem succesiv ( )( )( )( )ii i i ii ii iii ==++ = + =+13132 36 9 4 62 3 2 32 3 3 22 33 22 22, de unde rezult c ( ) 144= = = i i z . 2.S se calculeze probabilitatea ca, alegnd un numr din mulimea{ }3 3 3 330 , , 3 , 2 , 1 = Aacesta s fie numr iraional. Soluie: n mulimea A sunt doar 3 numere raionale, i anume: 1 13=,2 83=,3 273= . Deci probabilitatea cerut este de 101303= . 3.Fie funciilef : R R , f (x) = x+3i g : RR , g(x) = 2x 1. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 2 f (x) + 3g(x) = -5. Soluie: Ecuaia se scrie sub forma: ( ) ( ) 1 3 5 8 5 3 6 6 2 5 1 2 3 3 2 = = = + + = + + x x x x x x . 4.S se determine soluiile reale ale ecuaiei. 2 log log2 xx = Soluie: Pentru ecuaia 2 log log2 xx =se impun urmtoarele condiii de existenx > 0 ,1 = x . Folosind formula( )1log log= b ba ai notndy x =2log obinem ecuaia1 112 = = = y yyy .Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 14 Dac1 = y 2 2 1 log111 2= = = x x x , iar pentru 1 = y212 1 log12 2= = = x x . 5.n reperul cartezian) ( j i O , ,se consider vectoriij i u 2 3 + =i j i v = 5 . S se determine coordonatele vectoruluiv u 3 5 + . Soluie: Avem succesiv:( ) ( ) j i j i v u + + = + 5 3 2 3 5 3 5j j i j i 7 3 15 10 15 = + + = . n consecin coordonatele vectoruluiv u 3 5 + sunt 0 i 7. 6.Fie triunghiul dreptunghic ABC i D mijlocul ipotenuzei BC. S se calculeze lungimea laturii AB tiind c6 = ACi5 = AD . Soluie: Ne folosim de figura de mai jos: Avem. 10 22= = = AD BCBCAD Aplicnd teorema lui Pitagora n triunghiul ABC avem: AB =2 2AC BC =2 26 10 = 64 8 = . D B A C 5 6 Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 15 Testul 6 1. S se calculeze partea real a numrului complex 2010z tiind cverific egalitatea0 12= + + z z . Soluie: Avem1 0 ) 1 )( 1 ( 0 13 2 2= = + + = + + z z z z z z . n consecin1 1 ) (670 670 3 2010= = = z z . 2. Fie funciileR R g f : , ,( ) 12+ + = x x x f i( ) 4 + = x x g . S se calculeze coordonatele punctelor de intersecie ale graficelor funciilor f i g. Soluie: Avem } 3 , 1 { 0 3 2 4 1 ) ( ) (2 2 e = + = + = x x x x x x x g x f . n plus 3 ) 1 ( = f , 7 ) 3 ( = f . n concluzie, exist doua puncte de intersecie: ) 3 , 1 ( A i) 7 , 3 ( B . 3. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 25 , 0 log log log224 2= + x x . Soluie: Se impun urmtoarele condiii de existen:0 , 02> > x x0 > x . Avemxxx x222422log4 loglog2 log 2 log = = = i 2 log 25 , 0 log 412 2 = = . Ecuaia devine 211 log 2 log 22 2= = = x x x . 4. S se calculeze probabilitatea ca alegnd un numr din mulimea} 10 , , 4 , 3 , 2 { = Aacesta s fie raional. Soluie: Numerele raionale din mulimea A sunt2 4 = i3 9 = , de unde rezult c probabilitatea cerut este 92. Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 16 5. S se determine numrul real a dac dreptele0 3 2 :1= + y x di0 5 2 :2= + + y ax d sunt perpendiculare. Soluie: Reamintim faptul c dreptele de ecuaii0 :1 1 1 1= + + c y b x a di0 :2 2 2 2= + + c y b x a d sunt perpendiculare dac i numai dac 02 1 2 1= + b b a a . n situaia de fa aceast condiie se scrie sub forma 1 2 2 0 2 ) 1 ( 2 = = = + a a a . 6. Se consider triunghiul ABC cu1 = AB ,2 = AC ,5 = BC . S se calculeze cos B. Soluie: Aplicnd teorema cosinusului avem 515 24 5 15 1 22 ) 5 ( 12cos2 2 2 2 2 2= += += +=BC ABAC BC ABB ,adic55cos = B . Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 17 Testul 7 1.S se calculeze 4241x x + tiind c 1xi 2x sunt soluiile ecuaiei . 0 2 22= + x x Soluie: Vom folosi relaiile lui Vite = = +222 12 1x xx x. Din22 1= + x xobtinem4 2 2 4 2222122 2 121= + + = + + x x x x x x02221= + x x8 2 2 ) ( 2 0 22 22 1424142222141 = = = + = + + x x x x x x x x . 2.Fie funciaR R f : ,x x f 4 3 ) ( =. S se calculeze) 1 ( g tiind c g este inversa funciei f . Soluie: FieR y eastfel nctf(x )= y = = = = 43) (433 4 4 31yy fyx y x y x1444) 1 ( 3) 1 ( = = = g . Deci1 ) 1 ( = g . 3.S se determine soluiile reale ale ecuaiei xx|.|

\|=3132. Soluie: Deoarece 1331= , ecuaia din enun se scrie sub forma x xx x = = 2 3 32 (1). Avem urmtoarele condiii de existen: >> 00 2xx

| | 2 , 00202e >s> > xxxx x. Ridicnd la ptrat ecuaia (1) avem ] 2 , 0 [ , 1 4 4 0 4 4 4 42 2e = = = = + x x x x x x x . Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 18 4.Se depune suma de 1000 lei, cu o rat anual a dobnzii simple de 10%. S se calculeze dup ci ani se obin 1300lei. Soluie: Folosind formula ) 1 ( nr S Si f+ =, unde fS este suma finala, iS suma initiala, n = numarul de ani , iar r este rata dobanzii. Prin inlocuire obinem 3 13 10 3 . 1101100101 1000 1300 = = + = + |.|

\| + = n nnnani. 5.Se consider punctele) 2 , 3 ( ), 1 , 2 ( ), , 1 ( C B a A i). 2 , 1 ( D S se determine numarul real tiind c dreptele AB i CD sunt paralele. Soluie: Are loc urmtoarea echivalen CD ABm m CD AB = || .Mai mult,aax xy ymA BA BAB = == 11 21 i 2243 12 2== ==C DC DCDx xy ym, de unde3 2 1 = = a a . 6.Se consider triunghiul ABC cu6 , 5 = = AC ABi7 = BC . S se calculezeA cos . Soluie: Folosind teorema cosinusului:51cos60126049 616 5 27 6 52cos2 2 2 2 2 2= == += += AAC ABBC AC ABA . Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 19 Testul 8 1.S se determine a 2010-a zecimal a numrului 0,(285714). Soluie: mprind pe 2010 la 6 obinem restul 0. Rezult c a 2010-a zecimal va fi a asea zecimal, adic 4. 2.Se consider funcia1 2 ) ( , : + = x x f R R f . S se determine punctul care are abscisa egal cu ordonata i aparine graficului funciei f. Soluie: AvemfG A x x x x x f e = = + = ) 1 , 1 ( 1 1 2 ) ( . 3.S se determine soluiile reale ale ecuaiei. 36 2 23= ++ x x Soluie:36 2 23= ++ x x . Notamyx= 2i obinem ecuaia 4 36 9 36 8 = = = + y y y y 2 4 2 = = xx. 4.S se calculeze ce rat anual a dobnzii simple s-a aplicat la depunerea sumei de 1000 lei, dac dup 4 ani se ncaseaz suma de 1100 lei. Soluie: Folosind formula:) 1 ( nr S Si f+ = , unde fS este suma finala, iS suma initiala,n = numarul de ani , iar r este rata dobanzii. Prin inlocuire obinem:% 5 , 2 % 10040140140001004000 100 4000 1000 1100 ) 4 1 ( 1000 1100= = = = = + = + =r rr r r. 5.S se determine ecuaia dreptei care conine punctul( ) 1 , 1 Ai este paralel cu dreapta0 5 2 4 = + + y x . Soluie: Orice dreapt paralel cu dreapta0 5 2 4 : = + + y x deste de forma0 2 4 : = + + ' p y x d . 6 0 1 2 1 4 = = + + ' e p p d A 0 6 2 4 : = + ' y x d . Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 20 6.S se calculeze aria triunghiul ABC tiind c6 = AB,10 = AC , =150 ) (BAC m . Soluie: Avem succesiv 152110 3 ) 30 sin( 10 32) 150 sin( 10 62) sin(] [= = = = =BAC AC ABAABC Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 21 Testul 9 1.S se calculeze suma 1+5+9+13++101. Soluie: Numerele 1,5,9,13 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice de prim termen 1a = 1 si ratie 4 1 51 2= = = a a r . Pentru a vedea ci termeni sunt folosim formula termenului general: 26 25 1 100 ) 1 ( 4 4 ) 1 ( 1 101 ) 1 (1= = = + = + = n n n n r n a an. Suma este data de formula 1326226 ) 101 1 (2) ) 1 ( 2 (2) (261 1= += +=+= Sn r n a n a aSnn. 2.Se consider funciaR R f : , 2) ( mx x f = 2 + mx . S se determine numarul real nenul m tiind c valoarea minim a funciei este egal cu -1. Soluie: Dac funcia admite punct de minim atunci m>0 . Valoarea minim a funciei este a 4A . Avemm m 82 = A . Atunci 22281 1 8 44 412 0 {0,12}m mm m ma mm m mA = = + = + = e.Deoarece m>0rezult c12 = m . 3.S se determine soluiile reale ale ecuaiei( ) 3 2 log log2 2= + + x x . Soluie: Avem urmtoarele condiii de existen0 > x , 0 2 > + x 0 > x . Ecuaia se scrie succesiv: . 2 0 }, 4 , 2 { 0 8 22 2 3 ) 2 ( log 3 ) 2 ( log log23 2 22 2 2= > e = + = + = + = + +x x x x xx x x x x x Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 22 4.S se calculeze probabilitatea ca alegnd un numr din mulimea2 { = A , 3 , 4 ,.., 11 } acesta s fie iraional. Soluie: n mulimea A sunt 10 numere. Dintre acestea irationale sunt: 11 10 , 8 , 7 , 6 , 5 , 3 , 2 si . Deci probabilitatea cerut este egal cu 54108= . 5.S se determine ecuaia dreptei care conine punctul( ) 3 , 2 A i este perpendicular pe dreapta de ecuaie 0 5 2 = = + y x . Soluie: Fie0 5 2 :1= + + y x di fie 2ddreapta cutat. Avem: 212521:11 = =dm x y d . Din2 12 2 12 1= = d d dm m m d d . Folosim ecuaia dreptei care trece printr-un punct dat) , (0 0 y x M i are panta cunoscut m : ) (0 0x x m y y = . Atunci: 0 7 2 : 4 2 3 : ) 2 ( 2 ) 3 ( :2 2 2= = + = y x d x y d x y d . 6.S se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ABC tiind c 6 = AB ,10 = ACi( )120 = BAC m . Soluie: Folosim teorema cosinusului: . 14 196 60 136 )21( 120 136)) 60 cos( ( 120 100 36) 120 cos( 6 10 2 10 6) cos( 22 22 2 2= = + = = + == + = + =BCBAC AC AB AC AB BCoo Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 23 Testul 10 1.S se determine al noulea termen al unei progresii geometrice, tiind c raia este egal cu 31 i primul termen este 243. Soluie: Folosim formula termenului general 11 =nnq a a . n cazul nostru avem: .2713133124331, 243 , 985881 9 1= =|.|

\| = = = = = q a a q a n 2.Se consider funcia. 1 2 ) ( , : = x x f R R f S se determine soluiile reale ale ecuaiei. 6 ) 1 ( ) 1 ( = + + x f x f Soluie: Avem succesiv:1 2 1 2 2 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( + = + = + = + x x x x f , 3 2 1 2 2 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( = = = x x x x f , de unde . 2 6 2 4 6 3 2 1 2 6 ) 1 ( ) 1 ( = = = + + = + + x x x x x f x f 3.S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia: . 0 2 42= + x x Soluie:0 4 0 2 42 2= = + x x xi0 4 0 22= = x xi. 2 0 2 = = x x 4.S se determine numrul strict pozitiv x, tiind c al treilea termen al dezvoltrii61||.|

\|+xxeste 120. Soluie: Utilizm formula termenului general al dezvoltarii nb a ) (+ , adic.1k k n kn kb a C T =+

Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 24 Pentru xb x a n k1, , 6 , 2 = = = =avem: 2 6 2 2 43 63 31 6! 1120 ( ) 120. 1202! 4!15 120 8 2.T C x xxxx x x= = = = = = 5.n reperul cartezianXOY se consider punctele( ) 1 , 1 A ,( ) 1 , 2 B , ( ) 1 , 4 C . S se determine ecuaia nlimii din A n triunghiul ABC. Soluie: Ecuaia dreptei BC este: 2 1: 2( 2) 6( 1)4 2 23 1 0 : 3 11 1 1: .3 3 3B BC B C BBCx x y y x yBC x yx x y yx y BC y xBCy x m + = = + = + + = = + = + =

Fie AD nlimea din A a triunghiului ABC. Atunci : . 0 4 3 ) 1 ( 3 1 ) ( :3 1= = + = = = y x x y x x m y y ADm m m BC ADA AD AAD BC AD 6.Se consider triunghiul ABCavnd aria egal cu 15. S se calculezeA sintiind c6 = ABi10 = AC . Soluie: Avem: .21sin 15 sin 302sin 10 62sin] [= = = = A AA A AC ABA ABC Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 25 Testul 11 1.S se calculeze.54545P A C + + Soluie:. 5 ! 5 ! 54 3 2 15 4 3 2 1! 5)! 4 5 (! 5)! 4 5 ( ! 4! 554545= + = + = + + P A C 2.S se calculeze suma 2010 3 231...3131311 + + + + + = S . Soluie: Numerele 2010 3 231,...,31,31,31, 1sunt primii 2011 termeni ai unei progresii geometrice avnd primul termen11 = a i raia 31= q . Vom folosi formula sumei primilor n termeni ai unei progresii aritmetice: ||.|

\||.|

\| =|.|

\|=|.|

\| = =20112011 201113112332311311311111Sqqa Snn. 3.Se consider funciab ax x f R R f + = ) ( , : . S se determine numerele reale a i b tiind c3 ) 2 ( ) 1 ( + = + x x f x f , pentru. R x e Soluie: Dinb ax x f + = ) (rezult c b a ax b ax a b x a x f + + = + = + = ) 1 ( ) 1 ( , i b ax b x a x f + = + = 2 ) 2 ( ) 2 ( . Atunci: (1 ) (2) 3 2 32 3f x f x x ax a b ax b xax a b x + = + + ++ + = + + + = + 1 3 2 , 1 = = = + = b a b a a . Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 26 4.S se determine soluiile reale ale ecuaiei( ) . 2 log 3 log2233xx= Soluie: Vom folosi urmatoarele formule: 21x x =,313x x = . Avem:( )3 313 log 3 log 3 log31331333xxxx x= = = = , i ( )22 log 2 log 2 log222212 2222xxxx= =||.|

\|= . Ecuaia se scrie acum sub forma:. 0 2 3 3 22 32 22= = = x x x xx x Avem0 , 2 , 3 = = = c b a , 4 0 3 4 4 42= = = A ac b , de unde .32, 06 2 242 1 2 , 1= = =A = x xabx 5.n reperul cartezian) , , ( j i O , s se determine vectorul de poziie al centrului de greutate al triunghiului ABC tiind c A(1,2), B(-1,1), C(3,3). Soluie: Avem succesiv . 2 ) 6 3 (31)) 3 3 ( ) ( ) 2 ((31) (31j i j ij i j i j i r r r r rG C B A G + = + =+ + + + + = + + = 6.S se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC tiind c8 = BCi oA m 45 ) ( = Z . Soluie: Vom folosi teorema sinusului RABCBACCAB2) sin( ) sin( ) sin(=Z=Z=Z, de unde rezult: Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 27 . 2 422 828222822282) 45 sin(82) sin(= = = = = = =ZR RR R RABCo Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 28 Testul 12 1.Se consider mulimile} 0 9 | {2s e = x R x A i } 0 7 2 | { < e = x N x B . S se determine mulimea. B A Soluie: Pentru a rezolva inecuaia0 92s xrezolvm mai nti ecuaia ataat: ] 3 , 3 [ ] 3 , 3 [ 3 , 3 0 92 12 = e = = = A x x x x. Apoi, } 3 , 2 , 1 , 0 {277 2 0 7 2 = < < < B x x x . n consecin }. 3 , 2 , 1 , 0 { = B A 2.S se determine ecuaia dreptei care conine punctele) 3 , 2 ( Ai ) 2 , 3 ( B . Soluie: Ecuaia dreptei care trece prin punctele) , (B A y x Ai ) , (B B y x B este A BAA BAy yy yx xx x=. n cazul nostru avem . 0 1 3 253523 232 32: = + = = = y x y xy x y xAB 3.Se consider funcia25 ) ( , :2 = x x f R R f . S se calculeze: ). 2010 ( ) 2009 ( .... ) 1 ( ) 0 ( .... ) 2009 ( ) 2010 ( f f f f f f Soluie: Deoarece0 ) 5 ( = frezult c 0 ) 2010 ( ) 2009 ( .... ) 1 ( ) 0 ( .... ) 2009 ( ) 2010 ( = f f f f f f . 4.S se determine soluiile reale ale ecuaiei2 log 293 xx= . Soluie: Vom folosi urmatoarele formule :b a x xba= =log 2|, |i formula schimbrii de baza a logaritmilor: abbccalogloglog = . n plus avem condiia de existena0 > x . Apoi, Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 29 . log2log29 loglog2 log 233339xx xx = = = Ecuaia se scrie acum: | | | | 33logx x xx= =i. 0 0 > = > x x x x Deci( ) + e , 0 x . 5.S se rezolve ecuaia. , 123N x Cxxe = Soluie: Avem urmtoarele condiii de existen 2 3 0 2 0 3 > > > x x x x . 2 2 2 3 , 2 , 3 = > + > > x x x xn concluzie unica soluie a ecuaiei este2 = x . 6.Se consider triunghiul ABC de arie egala cu 6, cu3 = ABi 8 = BC . S se calculezeB sin . Soluie: Folosim formula .21sin sin 24 122sin 8 362sin] [= = = = B BB B BC ABA ABC Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 30 Testul 13 1.S se determine partea real a numarului complex 33 1+=iiz . Soluie: Avem succesiv: ii iii i ii ii iiiii ==++ = =+ +=+ +=+10101 93 10 393 9 3) 3 ( ) 3 () 3 ( ) 3 1 (3 3 133 122,de unde rezult c0 ) Re( = z . 2.Se consider funciileR R g f : , ,( ) 1 3 32+ = x x x f i ( ) 1 = x x g . S se determine soluiile reale ale ecuatiei ( ) ( ) x g x f = . Soluie:( ) ( ) x g x f =0 2 3 0 1 1 3 3 1 1 3 32 2 2= = + + + = + x x x x x x x x32, 02 1= = x x. 3.S se determine soluiile reale ale ecuaiei 1log + x( ) 4 42+ x x = 2. Soluie: Avem urmtoarele condiii de existen > + = + > +0 4 4 1 10 12x xxx.Ecuatia se scrie: 213 6 1 4 4 24 4 1 2 4 4 ) 1 (2 2 2 2= = = + + = + + + = +x x x xx x x x x x x, numr care verific condiiile de existen. Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 31 4.S se arate utiliznd binomul lui Newton c numrul ( ) ( )n n5 1 5 1 + +este ntreg ,N n e . Soluie: Aplicm formula binomului lui Newton: n nnnnnnn nnnb a Cb a C b a C b a C b a ++ + + = + 02 2 2 1 1 1 0....) (

i avem: ( ) ( )( ) ( ) ... 5 1 5 15 1 5 1 5 132 322 21 100+ + + + = + nnnnnnnnnC CC C ( ) ( )( ) ( ) ... 5 1 5 15 1 5 1 5 132 322 21 100+ + = nnnnnnnnnC CC C Adunnd relaiile de mai sus obinem: ( ) ( ) N C C Cn n nn ne + + + = + + ..... 5 2 5 2 2 5 1 5 12 4 2 0 5.S se calculeze aria triunghiului echilateral ABC tiind c A(-1,1) i B(3,-2). Soluie: Folosim formula distanei dintre dou puncte2 2) ( ) (B A B Ay y x x AB + = . n cazul nostru obinem: 5 9 16 )) 2 ( 1 ( ) 3 1 (2 2= + = + = AB . Folosim i formula ariei unui triunghi echilateral: 4 32lA = . Deci4 3 25] [=ABCA. 6.Se consider triunghiul ABC de arie egal cu 7. S se calculeze lungimea laturii AB tiind c2 = ACi c msura unghiului A este egala cu 30 . Soluie Folosim formula 2sin] [A AC ABAABC = 1422127 = = ABAB. Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 32 Testul 14 1.S se determine forma algebric a numrului complex 2011 2010 20091 1 1i i iz + + =. Soluie: Dini i i i i i i = = = =502 4 2008 2009 4) ( 1 , 1 ) (2 2 502 4 2 2008 2010 = = = = i i i i i ii i i i i i i i = = = =3 3 502 4 3 2008 2011) ( . Deci 1111 111 1 = =++ =i i i iz . 2.Se consider funcia30 11 ) ( , :2+ = x x x f R R f . S se calculeze ). 10 ( ... ) 1 ( ) 0 ( f f f Soluie: Soluiile ecuaiei0 ) ( = x fsunt51 = xi62 = x . Deci: 0 ) 10 ( ..... ) 6 ( ) 5 ( ..... ) 1 ( ) 0 ( 0 ) 6 ( ) 5 (0 0= = == =f f f f f f f . 3.S se rezolve ecuaia28 2 23= + x x. Soluie: Avem: 2 4 2 28 2 728 2 2 8 28 2 2 2 28 2 23 3= = = = = = +xx xx x x x x x 4. S se determine termenul al aptelea al dezvoltrii binomului 10 3) ( x x + . Soluie: 6 610 72 4 610364 6106 3 6 10 610 1 6 7) ( x C T x x C x x C x x C T T = = = = =+. Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 33 5.n reperul cartezian (O ,i , j ) se consider vectoriij i OA 3 2 + =ij i OB = 5 . S se calculeze distana dintre punctele A i B. Soluie: Avem succesiv:) 3 , 2 ( 3 2 A j i OA + = i ) 1 , 5 ( 5 = B j i OB . Deci 5 16 9 )) 1 ( 3 ( ) 5 2 (2 2= + = + = AB . 6.S se calculeze perimetrul triunghiului ABC tiind c2 = AB , 4 = BCi msura unghiului B este egal cu 60. Soluie: Folosim teorema cosinusului pentru a calcula AC: B BC AB BC AB AC cos 22 2 2 + = . Deci 3 2 12 12 8 16 4214 2 2 4 22 2 2= = = + = + = AC AC . Atunci: 3 2 6 3 2 4 2 + = + + = + + =AAC BC AB P ABC. Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 34 Testul 15 1.S se calculeze numrul submulimilor mulimii {1,2,.,9} care au un numr par nenul de elemente. Soluie: Sunt 29Csubmulimi care au dou elemente, 49Csubmulimi care au patru elemente, 69Csubmulimi care au ase elemente i 89Csubmulimi care au opt elemente. Deci numrul submulimilor cutate este egal cu 255 1 256 1 2 28 091 9 89694929= = = = + + +C C C C C . 2.S se determine soluiile reale ale ecuaiei 51125 =x. Soluie: Avem 35 125 =i 1551= . Atunci ecuaia se scrie echivalent sub forma:

311 3 5 5 5 ) 5 (511251 3 1 3 = = = = = x xx x x. 3.S se determine funcia. 6 5 ) ( , :2+ + + = m x x x f R R fS se determine valorile numrului real m tiind c0 ) ( > x f, pentru x . R e Soluie: Avem urmtoarea echivalen: 0 , 0 , 0 ) ( s A > e > a R x x f . Este clar c prima condiie este satisfcut deoarece0 1 > = a . A doua condiie se scrie echivalent sub forma: |.|

+ e s s s s A ,41414 1 0 4 1 0 m m m m . Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 35 4.S se calculeze valoarea produsului 59 5 3... i i i i , unde12 = i . Soluie: Avem 59 ... 5 3 1 59 5 3...+ + + += = i i i i i P . Numerele 1, 3, 5, ..., 59 sunt termeni consecutivi ai unei progresii de prim termen11 = ai de raie2 1 3 = = r . Calculm n continuare numrul de termeni ai progresiei. Avem 1( 1) 59 1 ( 1) 2 59 1 ( 1) 258 2 2 60 2 30na a n r n nn n n= + = + = = = = = Atunci: 900 30230 60230 ) 59 1 (230 ) (59 ... 5 3 12 30 1= == += += + + + + =a aS1 ) 1 ( ) (450 450 2 900= = = = i i P . 5.S se calculezeCA BC AB + + , tiind c A, B i C sunt vrfurile unui triunghi. Soluie: Folosind regula poligonului de adunare a vectorilor avem 0 = = + + AA CA BC AB . 6.S se calculeze perimetrul triunghiului ABC, tiind c 5 = AB , 4 = ACi 60 ) ( = ZA m . Soluie: Pentru a calcula lungimea laturii [BC]a triunghiului ABC vom folosi teorema cosinusului: A AC AB AC AB BC cos 22 2 2 + = . Atunci: 21 20 16 25215 4 2 4 52 2 2= + = + = BC 21 = BC21 9 + = + + = ABC AC AB P ABC. Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 36 Testul 16 1.S se calculeze 35582538C C C C + . Soluie: Folosind formula combinrilor complementare:k nnknC C=avem 5838C C=i2535C C= . Atunci suma cerut este 0. 2.S se determine soluiile reale ale ecuaiei. 3 ) 5 ( log2= + x Soluie: Ecuaia se scrie echivalent sub forma: . 3 8 5 2 5 3 ) 5 ( log32= = + = + = + x x x x 3.S se determine o ecuaie de gradul al II-lea ale carei soluii 2 1, x xverific simultan relaiile 12 1= + x xi73231= + x x . Soluie: Avem succesiv: ) ( 1 ) )( ( 722 2 12122 2 121 2 13231x x x x x x x x x x x x + = + + = + =7 3 ) ( 7 2 ) 2 (2 122 1 2 122 2 121= + = + + x x x x x x x x x x2 6 3 7 3 12 1 2 1 2 1 = = = x x x x x x = = +212 12 1x xx x2 1, x xsunt soluiile ecuaiei 0 22= x x 2 , 12 1= = x x . 4.S se determine numrul complex z care verific egalitatea . 3 2 i z z + = + Soluie: Folosim forma algebrica a numrului complex z: b i a z b i a z = + =. Atuncii ib a ib a + = + + 3 ) ( 2 ) ( i bi a ib a + = + + 3 2 2i zbabai ib a = === = + = 11113 33 3 . Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 37 5.S se determine coordonatele punctului C tiind c el este simetricul punctului( ) 4 , 5 Afa de punctul( ) 1 , 2 B . Soluie: Avem c punctul B este n fapt mijlocul segmentului [AC]. Atunci: 9 5 ) 2 ( 2 22 = + = + = +=C C C A BC ABx x x x xx xx , i 2 4 1 2 22 = = + = +=C C C A BC ABy y y y yy yy . Deci ) 2 , 9 ( C . 6.S se calculeze lungimea nlimii din A n triunghiul ABC, tiind c4 , 3 5 , 3 5 = + = = BC AC AB . Soluie: Avem: 22 2 2 216 8 8 3 3 5 2 5 3 3 5 2 5) 3 5 ( ) 3 5 (BCAC AB= = + = + + + + = + + = + ABC A este dreptunghic. Atunci 2143 54) 3 5 )( 3 5 (==+ == =BCAC ABAD h . Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 38 Testul 17 1.S se calculeze 135 sin . Soluie: 2245 sin ) 135 180 sin( 135 sin = = = . 2.S se calculeze conjugatul numrului complex 3) 1 ( i z = . Soluie: Avem succesiv:i i i i i i ii i i i i i i i z2 2 2 2 ) 1 ( 2 ) 1 )( 1 2 1 () 1 )( 2 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (22 2 3 3 3+ = + = + = + + =+ + + = + + = + = = = 3.S se determine soluiile reale ale ecuaiei4 33log 2=x. Soluie:20404 34 32 loglog 2233= >=>= = xxxxxx 4.S se determine numrul naturalntiind c 128 ...2 1 0= + + + +nn n n nC C C C . Soluie: Folosim formula n nn n n nC C C C 2 ...2 1 0= + + + + . Atunci 7 128 2 = = nn. 5.Fie funcia2 3 ) ( , :2+ = x x x f R R f . S se determine]) 2 , 0 ([ f . Soluie: Intervalele de monotonieale funciei 2 3 ) ( , :2+ = x x x f R R f sunt ((

\| 23;i |.|

;23.Avem i 0 2 6 4 ) 2 ( , 2 ) 0 ( ,4124922934923= + = = = + = + =|.|

\|f f f . n consecin ((

=((

|.|

\|= 2 ,41)} 2 ( ), 0 ( max{ ,23]) 2 , 0 ([ f f f f . Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 39 6.Se consider triunghiul echilateralABC nscris ntr-un cerc de centruO. S se calculezeOC OB OA + + . Soluie: n general, dacABC este un triunghi oarecare, atunci 0 = + + GC GB GAundeG este centrul de greutate al triunghiului ABC. n cazul nostru,G O = deoareceABC A este echilateral. n consecin:0 = + + OC OB OA .Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 40 Testul 18 1.S se calculeze 3 log3 log22. Soluie:22113 log213 log3 log3 log3 log3 log22212222= = = = 2.S se calculeze probabilitatea ca un element al mulimii } 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 { s verifice inegalitatea50 !< n . Soluie: Avem:, 50 1 ! 0 < = 50 1 ! 1 < = ,50 2 ! 2 < = ,50 24 ! 4 < = , 50 120 ! 5 < = (Fals!). n consecin probabilitatea cerut este egal cu 65. 3.S se rezolve ecuaia514= xx . Soluie: Pentru a rezolva ecuaia514= xx notm 0 14 5 51402= = > = y yyy y xAvem,81 56 25 ) 14 ( 1 4 25 = + = = A , de unde72 9 51=+= y , 229 52 == y . Deoarece 0 > y , rezult c49 7 7 = = = x x y . Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 41 4.S se demonstreze c pentru orice numra real, ecuaia de gradul al doilea0 cos 1 ) sin 2 ( ) cos 1 (2= + + a x a x aadmite soluii reale egale. Soluie: Vom artac0 = A . ntr-adevr: 0 4 1 4 4 ) cos (sin 4 cos 4 4 sin 4) cos 1 ( 4 sin 4 ) cos 1 )( cos 1 ( 4 ) sin 2 (2 2 2 22 2 2= = + = + = = + = Aa a a aa a a a a 5.tiind c j i u 3 2 =ij i v 2 = , s se determine numerele reale , , pentru carej i v u + = 5 3 . Soluie: 1 10 5 9 6 ) 2 ( 5 ) 3 2 ( 3 5 3 = = + = + = = j i j i j i j i j i v u . 6.Raza cercului circumscris triunghiuluiABC este 23, iar3 = BC . S se calculezeA sin . Soluie: Din teorema sinusului avem: 1 sin 3sin3232sin32sin= = = = AA ARABC. Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 42 Testul 19 1.S se calculeze 24 log124 log124 log14 3 2+ + . Soluie: Avem succesiv: 1 24 log ) 4 3 2 ( log4 log 3 log 2 log24 log124 log124 log124 2424 24 244 3 2= = =+ + = + + 2.S se calculeze 135 cos . Soluie: 2245 cos ) 135 180 cos( 135 cos = = = 3.S se determine numrul soluiilor reale ale ecuaiei 2 1 5 = + x x . Soluie: Avem urmtoarele condiii de existen e s>>>> > xxxxxxx15150 10 5. Prin urmare ecuaia nu are soluii. 4.S se determine numarul naturaln , tiind c6)! 5 ()! 3 (=nn. Soluie:6)! 5 ()! 3 (=nn. Condiiile de existen sunt: 5 , , 0 5 , 0 3 > e e > > n N n N n n n . Ecuaia se scrie sub forma: 0 6 7 6 12 7 6 ) 4 )( 3 (2 2= + = + = n n n n n n . Soluiile acestei ecuaii sunt 1 i 6. Deoarece5 > nrezult c unica soluie a ecuaiei este6 = n . Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 43 5.S se determine numarul realatiind ca vectoriij i u 2 + =i j a i a v + = ) 4 (sunt coliniari. Soluie: Folosind condiia de coliniaritate a doi vectori avem 8 2 8 ) 4 ( 2241= = = =a a a a aa a 6.Fie funcia5 6 ) ( , :2 + = x x x f R R f . S se calculeze]) 5 , 0 ([ f Soluie: Avem 5 , 6 , 1 = = = c b a . Abscisa punctului de maxim este) 5 , 0 ( 3) 1 ( 262e = = ab. Deoarece5 ) 0 ( = f ,4 ) 3 ( = f , 0 ) 5 ( = frezult c] 4 , 5 [ )] 3 ( )}, 5 ( ), 0 ( [min{ ]) 5 , 0 ([ = = f f f f . Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 44 Testul 20 1.S se calculeze6 log 5 log51log61log7 7 7 7+ + + . Soluie:0 1 log 6 55161log 6 log 5 log51log61log7 7 7 7 7 7= =|.|

\| = + + + . 2.S se determine soluiile reale ale ecuaiei 2 12= + x x . Soluie: Avem urmtoarea condiie de existen0 12> x . Atunci ecuaia se scrie sub forma: x x = 2 12. Din nou se impune condiia0 2 > x . Prin ridicare la ptrat avem: 455 4 2 2 2 12 2 2= = + = x x x x x , numr care verific condiiile de existen45= x . 3.S se determine o ecuaie de gredul al doilea ale crei soluii 1xi 2x verific simultan relaiile22 1= + x x i22221= + x x . Soluie: Avem: 1 2 2 2 2 ) (2 1 2 1222 2 12122 1= + = + + = + x x x x x x x x x xdeci 1 , 2 = = P S . Ecuaia care are rdcinile 1xi 2xeste0 1 22= + x x . n urma rezolvrii ecuaiei obinem12 1= = x x . Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 45 4.S se determinexnatural astfel nct 262 1C C Cx x= + . Soluie: Pentru ecuaia 262 1C C Cx x= +se impun urmtoarele condiii de existen 2 , 2 , 1 , > e > > e x N x x x N x . Avem 2) 1 (, , 152 1 26= = =x xC x C Cx x. Ecuaia se scrie sub forma 0 30 30 2 152) 1 (2 2= + = + =+ x x x x xx xx} 6 , 5 { e x . Deoarece 2 > xrezult c5 = x . 5.S se determine valorile numrului realatiind c distana dintre punctele) , 3 ( a A i) 2 , 1 ( Beste egal cu 5. Soluie: Folosind formula distanei dintre dou puncte avem succesiv: 5 ) 2 ( )) 1 ( 3 ( 52 2= + = a AB3 2 9 ) 2 ( 25 ) 2 ( 162 2= = = + a a a3 2 = asau3 2 = a , de unde} 5 , 1 { e a . 6.S se determine numrul realxpentru carex ,7 + xi 8 + x sunt lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic. Soluie: Deoarece8 7 0 + < + < < x x x , teorema lui Pitagora se scrie sub forma: 0 15 2 64 1649 14 ) 8 ( ) 7 (2 22 2 2 2 2= + + =+ + + + = + +x x x xx x x x x x5 0 }, 5 , 3 { = > e x x x . Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 46 Testul 21 1. S se calculeze 2 log 455 . Soluie:Vomfolosiformulab aba=log.Atunci 4 16 2 5 54 2 log 2 log 445 5= = = = . 2.SeconsiderfunciaR R f : ,( ) 3 2 + = x x f .Sserezolven mulimea numerelor naturale ecuaia( )2x x f = . Soluie:( ) 0 3 2 3 22 2 2= + = = x x x x x x f . Avem 1 = a , 2 = b , 3 = c , ( ) ===A = = = = A2 4 22 16 22 16 2216 3 1 4 4 42 , 12abx ac b 1 , 32 1 = = x x . Deoarece3 = e x N x . 3. S se determine mulimea valorilor reale ale luix pentru care . 4 2 3 4 s + s x Soluie: Inecuaia se scrie sub forma: ((

e s >s > s >s + > +32, 23222 36 32 4 34 2 34 2 34 2 3xxxxxxxxx. 4. S se determine soluiile inecuaiei. ,727N x C Cx xe >

Soluie: Avem urmtoarele condiii de existen: { }( ) 1 . 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2790 277 22e sse> ss e e xxxN xxxxN xN x Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 47 Inecuaia se rescrie acum sub forma: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ).2972 169 8 72 9 8 1! 9 ! 2 ! 7 !! 7 !! 7! 2 7 ! 2! 72 2> > + > > > > x xx x x x x x x x xx x x xx x x x Folosind i condiiile de existen rezult c{ }. 7 , 6 , 5 e x 5. S se determine numrul real a tiind c vectoriij i a u 3 2 + =i j i v 5 =sunt coliniari. Soluie: Vectoriij y i x v + =1 1 1 sij y i x v + =2 2 2 sunt coliniari dac i numai dac 1221yyxx= . n cazul nostru avem: .1033 105312 = = = a aa 6.SsecalculezeariatriunghiuluiABCtiindc2 3 = AB , 2 3 + = ACi10 = BC . Soluie: Din faptul c: ( ) ( )22 22 210 2 2 3 2 3 2 2 3 2 32 3 2 3BCAC AB= = + + + + =+ + = +,rezult cABC Aeste dreptunghic n A. Obinem atunci c: | |( )( ).2122 322 3 2 32==+ ==AC ABAABC Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 48 Testul 22 1. S se determine numrul realxtiind c3 x ,4 ,3 + xsunt trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. Soluie:c b a , ,sunt n progresie geometric dacac b =2. n cazul nostru:( )( ) 5 25 9 16 3 3 42 2 2 = = = + = x x x x x . 2.Fiefuncia R R f : ,( ) 7 82+ = x x x f .Ssecalculeze distanadintrepuncteledeterminatedeinterseciagraficului funcieifcu axaOx . Soluie: Interseciile graficului funciei fcu axaOxsunt punctele ( ) 0 ,1x A i( ) 0 ,2x B unde 1x si 2x suntsoluiileecuaiei 0 7 82= + x x .Acesteasunt11 = x si72 = x .Prinurmare 6 7 12 1= = = x x AB . 3.Ssedemonstrezeca( ) ( )2 23 2 2 2 + + = E estenumr natural. Soluie:Avem succesiv: ( ) ( ). 5 2 3 2 22 3 2 2 3 2 2 22 2NEe = + + + =+ + = + + = 4. S se determine cte numere de cte trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulimii{ } 4 , 3 , 2 , 1 , 0 . Soluie: Pe primul loc (cifra sutelor) putem pune cifrele 1, 2 ,3 si 4.ntotalsunt4posibiliti.Pentrufiecaredintreaceste posibilitiavem 24A modurideacompletacifrazeciloricifra unitilor.nconsecinsunt 244 A numere,adic ( )482244! 2! 44! 2 4! 44 424= = = = Anumere. Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 49 5.Seconsiderpunctele( ) 1 , 2 A i( ) 2 , 1 B .Ssecalculeze coordonatele punctuluiCtiind cBC AB AC + = 2 3 . Soluie:Fie MrvectoruldepoziiealpunctuluiM.Atunci A Br r AB = ,A C r r AC =i B Cr r BC = . Relaia din enun se scrie sub forma : ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) .23,2123,213 , 1 22 , 1 1 , 2 2 2 2 2 3 32 2 3 3 2 3|.|

\||.|

\|= = + = + = + = + = + = C r rr r r r r r r r r rr r r r r r r r r r r rC CC B A C B A B A C CB C A B A C B C A B A C 6.SsecalculezeA sin ,ntriunghiulABC,tiindc4 = AB , 2 = BCi = 60 )(C m . Soluie: Folosind torema sinusului avem: .43sin232 sin 4sin260 sin4sin sin= = = = A AA ABCCAB Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 50 Testul 23 1. S se calculeze 120 sin . Soluie: Vom folosi formula( ) ( ) x x = 180 sin sin . Avem ( ) ( )2360 sin 120 180 sin 120 sin = = = . 2. Se consider funciaR R f : ,( ) 5 62+ = x x x fi dreapta de ecuaie4 = y . S se determine numrul punctelor de intersecie ale dreptei cu graficul funcieif . Soluie: Punctele de intersecie se determin rezolvnd ecuaia ( ) 4 5 6 42 = + = x x x f( ) . 3 0 3 0 3 0 9 6 4 5 622 2= = = = + = + x x x x x x xDeci exist un singur punct de intersecie i anume( ) 4 , 3 A . 3. S se determine soluiile reale ale inecuaiei( ) 0 3 log21> x . Soluie: Inecuaia se scrie succesiv sub forma: ( ) ( )( | 4 , 3431 30 31 log 3 log 0 3 log212121e s>s > > > xxxxxx x 4. S se calculeze probabilitatea ca o submulime a mulimii { } 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = As aib un numr impar de elemente. Soluie: . Mulimea A are32 25=submulimi. Dintre acestea cu un numar impar de elemente sunt: 16 1 10 5! 0 ! 5 ! 5! 2 ! 3 ! 5! 4 ! 1 ! 5553515= + + =++= + + C C Csubmulimi. n consecin probabilitatea cerut este egal cu: 213216= = p . Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 51 5. n reperul cartezian( ) j i O, ,se consider vectoriij i OA = 2i j i OB 2 + = . S se determine vectorul de poziie al mijlocului segmentului [AB]. Soluie: Fie Mmijlocul segmentului| | AB . Avem: ( ) ( ) ( ) j i j i j i j i OB OA OM rM 21233212 22121+ = + = + + = + = = . 6. S se determine numrul ntreg x care verific inegalitile 421 23 ssx. Soluie: Inegalitatea se scrie succesiv sub forma: .29,2729279 27 28 1 26 1 2421 2321 2((

e s>s>s > s>xxxxxxxxx Deoarece 4 = e x Z x . Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 52 Testul 24 1. S se determine primul termen i raia unei progresii aritmetice, tiind c al aptelea termen este 19 i al treilea este 7. Soluie: Vom folosi formula termenului general al unei progreii aritmetice:( )r n a an11 + = . Avemr a a 61 7+ =i7 21 3= + = r a a . Obinem sistemul de ecuaii: = += +7 219 611r ar a. Scznd ecuaiile sistemului obinem. 1 7 3 2 3 12 41 1= + = = = a a r r 2. S se demonstreze c ecuaia0 1 1 cos 22= + x xnu admite soluii reale. Soluie: Avem ecuaia0 1 1 cos 22= + x x . Calculm discriminantul ecuaiei i obinem: ( )( ) 0 1 sin 4 1 cos 1 44 1 cos 4 1 1 4 1 cos 2 42 22 2< = = = = = A ac b.n consecin ecuaia nu are soluii reale. 3. S se calculeze probabilitatea ca alegnd un termen al dezvoltrii( )83 2 +acesta sa fie raional. Soluie: Exist 9 termeni ai dezvoltrii. Termenul general estek k n kn kb a C T =+1, unde2 = a ,3 = bsi 8 = n ( )kk kkC T 3 288 1 = +. Termenii raionali se obtin pentru 6 , 4 , 2 , 0 = ki 8. Deci probabilitatea cerut este 95= p . Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 53 4. S se ordoneze cresctor numerele 241|.|

\|, 64 i 3128 . Soluie: Avem succesiv( )4 22122 4 441= = =|.|

\|, 62 64 =i 373 32 2 128 = = . Deoarece6 437< >> > xxxxx.Prin ridicare la ptrat obinem ecuaia . 3 , 2 0 6 1 2 72 12 2= = = + = x x x x x x xDeoarece numai31 = xverific condiiile de existen rezult c unica soluie a ecuaiei este3 = x . Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 55 4.S se calculeze probabilitatea ca alegnd un termen al dezvoltrii( )63 1 i +acesta s fie real. Soluie: Dezvoltarea conine 7 termeni. Folosind formula termenului general obinem( )kk kkk kki C i C T 3 3 1666 1 = =+. Atunci e+R Tk 1k este numr par, adic{ } 6 , 4 , 2 , 0 e k . n consecin rezult c probabilitatea cerut este 74= p . 5.S se rezolve n mulimea numerelor reale pozitive inecuaia 21s +xx . Soluie: Avem succesiv: ( )100 100 100 1 202 102122 2= > = >s >s + >s +>s +xxxxxxx xxx xxxx 6.S se demonstreze c n orice triunghi deptunghic ABC de arie S i ipotenuz egal cu a este adevrat identitatea S C B a 2 sin sin2= . Soluie: Avem abB = sin , acC = sini 2c bS= . Identitatea din enun se scrie echivalent sub forma: bc bcc bacaba S C B a = = =22 2 sin sin2 2(Adevrat!). Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 56 Testul 26 1.Se consider progresia aritmetic( )1 > n nan care53 = ai116 = a . S se calculeze 9a . Soluie: Vom folosi formula termenului generalr n a an + = ) 1 (1. Avem:5 21 3= + = r a ai11 51 6= + = r a a . Am obinut sistemul = += +11 55 211r ar a. Scznd membru cu membru ecuaiile sistemului obinem: 1 5 2 2 2 6 31 1= = + = = a a r r . Atunci 17 2 8 1 81 9= + = + = r a a . 2.Se consider funciaR R f : ,x x f + = 2 ) ( . S se calculeze ) 20 ( ... ) 2 ( ) 1 ( f f f + + + . Soluie: Vom utiliza formula: 2) 1 (... 3 2 1+= + + + +n nn . Avem: . 250 210 40221 2040 ) 20 ... 3 2 1 ( 20 2) 20 2 ( ... ) 2 2 ( ) 1 2 ( ) 20 ( ... ) 2 ( ) 1 (= + =+ = + + + + + =+ + + + + + = + + + f f f 3.S se rezolve ecuaia 5 222 4+ +=x x. Soluie: 4.S se rezolve ecuaia212 =++nnC ,N ne . Soluie: Folosind formula combinrilor avem: ( )( )( ) ( )( )0 2 22! 12 ! 12! 1 ! 1! 2212= = + =++ + = ++ =++n nnn nnnCnn Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 57 5.S se determine numrul real m pentru care vectoriij i v 3 2 + =ij m i w + =sunt coliniari. Soluie: Doi vectorij y i x v + =1 1 1 ij y i x v + =2 2 2 sunt coliniari dac i numai dac 2121yyxx= . n cazul nostru avem 233 2312 = = =m mm. 6.S se calculeze 180 cos ... 2 cos 1 cos 0 cos + + + + . Soluie:Din faptul c( ) x x cos 180 cos = rezult c( ) 0 180 cos cos = + x x. Atunci ( ) ( ) ( ). 0 90 cos90 cos 91 cos 89 cos ... 179 cos 1 cos 180 cos 0 cos180 cos 179 cos ... 2 cos 1 cos 0 cos= =+ + + + + + + == + + + + + Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 58 Testul 27 1.S se determine numrul elementelor mulimii { } 1 1 2 | s e = x N x A . Soluie: { } 1 , 0 1 0 2 2 0 1 1 2 1 1 1 2 = s s s s s s s A x x x x . 2.Se consider ecuaia0 5 42= + +x xcu soluiile 1xi 2x . S se calculeze 2221x x + . Soluie: Vom folosi relaiile lui Vite pentru ecuaia de gradul al II-lea02= + + c bx ax , adic relaiile: = = +acx xabx x2 12 1 n cazul nostru avem: 6 16 10 16 2542221222122 2 1212 12 1= + = + + = + + = = +x x x x x x x xx xx x. 3.S se rezolve ecuaia1 32= x . Soluie: Se impun condiiile de existen:3 0 32 2> > x x . Prin ridicare la ptrat ecuaia devine { } 2 , 2 0 4 1 32 2 e = = x x x . Ambele rdcini satisfac condiiile de existen. 4.S se calculeze 4434241404C C C C C + + . Soluie: Avem14404= = C C ,43414= = C Ci6! 2 ! 2 ! 424== C . Atunci suma cerut este0 1 4 6 4 1 = + + . Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 59 5.n reperul cartezian xOy se consider punctele( ) 2 , 1 A ,( ) 6 , 5 Bi ( ) 1 , 1 C . S se determine ecuaia medianei duse din vrful C n triunghiul ABC. Soluie: Mediana este segmentul de dreapt care unete un vrf cu mijlocul laturii opuse. Fie M mijlocul laturii| | AB . Avem ( ) 4 , 326 2,25 1M M |.|

\|+ +. Ecuaia dreptei CM este: . 0 7 4 3 :0 7 4 3 4 4 3 33 1411 41) 1 ( 3) 1 (= + = + = + =+= =y x CMy x y xy x y xy yy yx xx xC MCC MC 6.S se calculeze aria triunghiului MNP dac6 = MN , 4 = NP i ( )30= P N M m . Soluie: | |62214 62sin= = =P N M NP MNAMNP. Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 60 Testul 28 1.S se determine partea real a numrului complex iiz+=12. Soluie: ( )( )( )21Re232123 122 211 21222 2/ 1= ==+ = =+= z ii i i iii iiizi. 2.Se consider funciaR R f : ,1 2 ) ( = x x f . S se calculeze ) 30 ( ... ) 2 ( ) 1 ( f f f + + + . Soluie: Avem succesiv: ( ) ( ) ( )( ) 900 30 31 30 30231 302 30 30 ... 2 1 21 30 2 ... 1 2 2 1 1 2 ) 30 ( ... ) 2 ( ) 1 (= = = + + + = + + + = + + + f f f 3.S se rezolve ecuaia( ) ( ) 3 3 log 5 2 log22 2+ + = + x x x . Soluie: Avem urmtoarele condiii de existen> + +> +0 3 30 5 22x xx.Atunci ecuaia se scrie echivalent sub forma: { } 2 , 1 0 2 3 3 5 22 2 e = + + + = + x x x x x x .Observm c ambele numere verific condiiile de existen. 4.S se calculeze probabilitatea ca alegnd unul din numerele 24C , 25C i 34Cacesta s fie divizibil cu 3. Soluie: Avem6! 2 ! 2 ! 424== C ,1025 4! 2 ! 3 ! 525=== C ,4! 1 ! 3 ! 434== C . Doar primul numr este multiplu de 3. n consecin probabilitatea cerut este 31= p . Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 61 5.n reperul cartezian xOy se consider punctele( ) 3 , 2 A ,( ) 5 , 1 Bi ( ) 2 , 4 C . S se calculeze distana de la punctul A la dreapta BC. Soluie: Dac( )0 0, y x Mi0 : = + + c by ax d atunci ( )2 20 0,b ac by axd M dist+ + += . Ecuaia dreptei BC este. 0 6 : 5 1 :3531:5 251 41: := + = + ===y x BC y x BCy xBCy xBCy yy yx xx xBCB CBB CB Atunci ( ) .22211 16 3 2,2 2= =+ += BC A dist 6.Se consider vectoriij i v = 4ij i w 3 2 + = . S se determine un vector coliniar cuw v + 2 . Soluie: Avem ( ) j i j i j i j i j i w v u + = + + = + + = + = 10 3 2 2 8 3 2 4 2 2 . Un vector coliniar cuu se obine prin nmulire cu un scalar nenul. nmulind spre exemplu cu -2 obinem vectorulj i 2 20 . Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 62 Testul 29 1.S se determine numerele reale a i b pentru carebi aii+ =+21 . Soluie: Avem succesiv: .53,51535153 151 3 222 2) 2 )( 2 () 1 )( 2 (212 22= = + =+= += + + +=+ + +=+b a iiiii i ii ii iii 2.Se consider funciaR R f : ,3 ) ( = x x fcu inversa R R g : . S se calculeze). 1 ( ) 2 ( + g g Soluie: Determinm mai nti funcia g: 3 ) ( 3 ) ( 3 3 ) (1+ = + = + = = =y y g y y f y x y x y x f .Atunci7 2 5 ) 3 1 ( ) 3 2 ( ) 1 ( ) 2 ( = + = + + + = + g g . 3.S se calculeze ecuaia. 1 ) 1 ( log23= x Soluie:2 4 3 1 1 ) 1 ( log2 2 23 = = = = x x x x . 4.S se calculeze. 62425+ A C Soluie:4 6 12 10 6! 2! 2 4 325 46! 2! 4! 3 ! 2 ! 562425= + = + = + = + A C . 5.n reperul cartezian xOy se considera punctele A(3,-1) i B(1,1). S se determine numerele reale m i n pentru care punctele A i B se afl pe dreapta de ecuaie0 = + + n my x . Soluie: Avem 3 0 ) 1 ( 3 = + = + + e n m n m d A . Apoi, 1 0 1 1 = + = + + e n m n m d B . Rezolvnd sistemul format din cele dou relaii obinute obinem 1 = m i2 = n . 6.S se calculeze 10 sin 9 sin ... ) 9 sin( ) 10 sin( . Soluie: Deoarece0 10 sin ... 0 sin ... ) 10 sin( 0 0 sin = = .Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 63 Testul 30 1.S se calculeze suma 2010 3 2... i i i i + + + + , unde12 = i . Soluie: Avemi i=1,12 = i ,i i =3,14= i , i i=5,16 = i , i i =7,18= i , ... de unde: 0 1 14 3 2 1= + = + + + i i i i i i , 08 7 6 5= + + + i i i i , ... Atunci: ( ) ( )i i ii i i i i i i i i i+ = + + =+ + + + + + = + + + +1 0 502... ...22010 2009 2008 3 2 2010 3 2 2.Se considera funciaR R f : ,1 2 ) ( = x x f , cu inversa R R g : . S se calculeze) 5 ( g . Soluie: Determinm mai nti inversa funciei f. Avem:+= += + = = =2 1) (2 11 2 1 2 ) (1yy fyxy x y x y x f 32 1 5) 5 (2 1) ( =+= += gyy g . 3.S se rezolve ecuaiax x = + 3 2 . Soluie: Pentru ecuaiax x = + 3 2avem urmtoarele condiii de existen: >> +00 3 2xx. Ecuaia se scrie sub forma: } 3 , 1 { 0 3 2 3 22 2 e = = x x x x x . Folosind i condiiile de existen rezult c unica soluie a ecuaiei este3 = x . 4.S se calculeze probabilitatea ca, alegnd un element al mulimii} 5 , 4 , 3 , 2 , 1 { = A , acesta s verifice inegalitatea1 log2s x . Soluie: Avem succesiv:1 0 1 log2s = ,1 1 2 log2s = ,1 3 log2> , 1 4 log2>i1 5 log2> . n consecin probabilitatea cerut este egal cu 52. Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 64 5.n reperul cartezian xOy se consider dreptele de ecuaii 0 3 2 :1= + my x di0 5 :2= + y mx d . S se determine numerele reale m pentru care dreptele 1di 2d sunt paralele. Soluie: Se tie c dreptele de ecuaii0 :1 1 1 1= + + c y b x a di 0 :2 2 2 2= + + c y b x a dsunt paralele dac 212121ccbbaa= = . n cazul nostru aceast condiie se scrie sub forma 2 253122 = = ==m mmm. 6.S se calculeze 3sin4cos6sin + . Soluie: Avem: 23 2 12322213sin4cos6sin+ = + = + . Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 65 Testul 31 1.Se consider progresia aritmetic 1) (> n nan care11 = ai 135 = a . S se calculeze 2010a . Soluie: Vom folosi formula termenului general pentru o progresie aritmetic:r n a an + = ) 1 (1. Avem13 , 1 , 45 1 1 5= = + = a a r a a3 12 4 13 4 1 = = = + r r r . Atunci6028 1 ) 1 2010 (1 2010= + = + = r a a . 2.Se consider ecuaia0 22= + + mx xcu soluiile 1xi 2x . S se determine valorile reale ale lui m pentru care52221= + x x . Soluie: Vom folosi relaiile lui Viete: = = = = = = +21212 12 1acx xmmabx x. De aici rezult c: 3 92 2 ) ( ) (22 12 222122 2 12122 12 = = = + + + = + = m mx x m x x x x x x x x m 3.S se rezolve ecuaia4 22=x x. Soluie: Avem: } 2 , 1 { 0 2 2 2 2 4 22 2 22 2 e = = = = x x x x xx x x x 4.S se determine al treilea termen al dezvoltrii binomului 8) 1 2 ( x . Soluie: 6 6 282 2 8 28 1 2 32 ) 1 ( ) 2 ( x C x C T T = = =+. Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 66 5.n reperul cartezian xOy se consider punctele) 3 , 2 ( ), 1 , 1 ( B A i ) 1 , 3 ( C . S se determine distana de la punctul A la dreapta BC. Soluie: Ecuaia dreptei BC este : ==3 132 32 y xy yy yx xx xB CBB CB 0 7 2 3 4 2 = + = + y x y x . Atunci: 5 2 ) , (5101 2| 7 ) 1 ( ) 1 ( 2 |) , (2 2= =+ + = BC A dist BC A dist . 6.S se determine numrul real m astfel nct vectorii + + = j m i m v ) 1 (i + = j i w 3 2s fie coliniari. Soluie: Vectorii vsi w sunt coliniari 3 2 3 33 2 1 = = + =+ m m mm m. Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 67 Testul 32 1.S se determine numerele reale a i b pentru care bi aii+ =+2 33 2. Soluie: Avem succesiv:1 , 013134 96 4 9 6) 2 3 )( 2 3 () 3 2 )( 2 3 (2 33 22 = = ==++ =+ =+b aii i i ii ii iii 2.Se consider funcia3 ) ( , : + = x x f R R f . S se calculeze ) 2 ( ... ) 2 ( ) 2 (10 2f f f + + + . Soluie: Folosind expresia funciei f avem: 2076 30 2 2048 30 2 2301 21 22 10 3 ) 2 ... 2 2 2 () 3 2 ( ... ) 3 2 ( ) 3 2 ( ) 3 2 () 2 ( ... ) 2 ( ) 2 (111010 3 210 3 210 2= + = + =+ = + + + + + =+ + + + + + + + =+ + + f f f 3.S se rezolve ecuaia1 1 = + x x . Soluie: Se impun urmtoarele condiii de existen > > +0 10 1xx. n aceste condiii ecuaia se scrie succesiv == = + = + = +300 3 1 2 1 1 121 2 2xxx x x x x x x . Doar 3 = x verific condiiile de existen. Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 68 4.S se determine probabilitatea ca, alegnd un element al mulimii} 4 , 3 , 2 , 1 { , aceasta s verifice inegalitatea 2! n n > . Soluie: Este uor de verificat faptul c) ( 1 ! 12A > ,) ( 2 ! 22F > , ) ( 3 ! 32F > , ) ( 4 ! 42A > . De aici rezult c probabilitatea cerut este egal cu 2142= = p . 5.n reperul cartezian xOy se consider dreptele de ecuaii 0 2 2 :1= y x di0 8 3 :2= +y x d . S se calculeze distana de la punctul) 0 , 0 ( Ola punctul de intersecie al celor 2 drepte. Soluie: Punctul de intersecie al celor 2 drepte se determin rezolvnd sistemul construit cu ecuaiile celor dou drepte:2 2 14 78 36 3 68 33 / 2 20 8 30 2 2= = = = += = + = = += y x xy xy xy xy xy xy x.Deci punctul de intersecie este) 2 , 2 ( A . 6.S se calculeze + + + + + 180 cos 150 cos 120 cos90 cos 60 cos 30 cos 0 cos. Soluie: Folosind valorile funciilor trigonometrice uzuale obinem: 112321021231180 cos 150 cos 120 cos90 cos 60 cos 30 cos 0 cos = + + += + + + + + . Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 69 Testul 33 1.Seconsiderprogresiaaritmetic( )1 > n na ,ncare42 = a si 63 = a . S se calculeze suma primilor 10 termeni ai progesiei. Soluie: Folosim formula termenului general( ) r n a an + = 11 pentru a obine urmtorul sistem: = += ++ =+ =6 242111 31 2r ar ar a ar a a, de unde obinem21 = ai2 = r . n consecin: ( ) | |110210 22210 2 1 10 2 210== + = S . 2.S se determine funcia de gradul al doilea al crei grafic trece prin punctele( ) 1 , 0 A ,( ) 3 , 1 B i( ) 1 , 1 C . Soluie: Considerm funia f sub forma( ) .2c bx ax x f + + =Atunci ( )( )( )( ) 1 10211311 13 11 02+ + = = = = = = + == + = + +== ==x x x f c b ab ab a cc b ac b acfff. 3.S se rezolve ecuaia x x =5 1 23 3 . Soluie: Avem succesiv 2 6 3 1 5 2 5 1 2 3 35 1 2= = + = + = = x x x x x xx x. 4.S se calculeze 25 3 4A P P + . Soluie: 38 20 6 24! 3! 5! 3 ! 425 3 4= + = + = + A P P . Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 70 5.Seconsiderpunctul( ) 3 , 2 A .Ssedeterminenumrulrealm pentru care A se afl pe dreapta0 2 : = + m y x d . Soluie:1 0 1 0 3 2 2 = = + = + e m m m d A . 6.n triunghiulMNPse cunosc= MN 4,6 = NP i( )45 = ZMNP m . S se calculeze aria triunghiului. MNP Soluie: Folosim formula: | |2 62226 42sin= = =N NP MNAMNP. Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 71 Testul 34 1.S se rezolve ecuaia0 3 22= + + iz z , unde. 12 = i Soluie:Avem3 , 2 , 1 = = = c i b a , ( )224 16 3 1 4 4 4 i ac b = = = = A , de unde rezult c i ii iz 224 22 , 1 = = . n concluziei z i z 3 ,2 1 = = . 2.Seconsiderfuncia, : R R f ( ) . 1 + = x x f Ssecalculeze ( ) ( ) ( ) ( ). 2010 ... 2 1 0 f f f f + + + + Soluie: Folosind expresia funciei f avem: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + + + + + =+ + + +1 2010 ... 1 2 1 1 1 02010 ... 2 1 0 f f f f( ). 2023066 2011 2021055201122011 20102011 2010 ... 2 1= + =+= + + + + = 3.S se rezolve ecuaia( ) ( ) 2 3 log 4 log2222+ = x x x . Soluie:Avemurmtoarelecondiiideexistenpentru ( ) 4 log22 xi( ) 2 3 log22+ x x> + > 0 2 30 422x x x.nacestcazecuaiasescriesubforma: 6 3 2 3 42 2= + = x x x x 2 = x ,numrcarenuverific condiiiledeexisten.nconsecintecuaianoastrnuare soluii. Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 72 4.Ssedetermineprobabilitateacaalegndunuldinnumerele ,3P13Asi 34C , aceasta s fie divizibila cu 3. Soluie: Princalculdirectobinem: 4! 1 ! 3 ! 4, 3 3! 2! 3, 3 6 ! 33413 3== = = = = C A P carenumaiestedivizibil cu 3. Deci probabilitatea cerut este egal cu32. 5.Se consider vectoriij i v 4 3 + =si. j m i w + =S se determine numrul realm pentru care avem relaia. 2 j i w v + = + Soluie: Avem succesiv ( ) ( ) ( ) + = + + + = + + + + = + j i j m i j i j m i j i j i w v 2 4 2 2 4 3 23 1 4 = = + m m . 6.S se calculeze.3sin4cos6sin2 + Soluie: 232321212322213sin4cos6sin22= + = +||.|

\| = + . Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 73 Testul 35 1.Se consider mulimile{ } 0 2 3 |2s + e = x x R x Ai B { } 3 1 3 | > e = x x R x . S se determine mulimea. B A Soluie: .2 , 1 0 2 32 12= = = + x x x x . Folosind tabelul de semn al funciei de gradul al doilea rezult c | | 2 , 1 = A .Apoi, | ). , 1 1 2 2 3 1 3 3 1 3 + = > > = > B x x x x x xDeci| | 2 , 1 = = A B A . 2. Se consider funcia( ) . 1 2 , : = x x f R R fS se calculeze ( ) ( ) ( ). 10 ... 2 1 f f f + + + Soluie: Avem succesiv: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + = + + + ) 1 10 2 ( ... 1 3 2 1 2 2 1 1 2 10 ... 2 1 f f f = ( ) 100 10 110 10211 102 10 10 ... 2 1 2 = = = + + + . 3. S se rezolve ecuaia. 5 55 52 =x x x Soluie:{ } 5 , 1 0 5 6 5 5 5 52 2 5 52e = + = = x x x x x xx x x. 4. Dup dou scumpiri succesive cu10%, respective 20% preul unui produs este de 660 lei. S se determine preul iniial al produsului. Soluie: Fie x preul iniial al produsului. Dup prima scumpire preul produsului devine,1001011x x |.|

\| + = iar dupa a doua scumpire acesta devine: x x x|.|

\| + |.|

\| + =|.|

\| + =1011102110211 2. Apoi 500 11 12 6600010111012660 6602= = = = x x x x . Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 74 5. n reperul cartezianxOyse consider puncteleA( ) 1 , 2 , B( ) 2 , 1i C( ) 0 , 1 .S se calculeze aria triunghiului ABC. Soluie: Dac( ) ( ) ( )3 3 2 2 1 1, , , , , y x C y x B y x Aatunci | |A =21ABCA ,unde 1113 32 21 1y xy xy x= A . n cazul nostru( ) ( ) 8 2 62 21 31 11 0 10 2 20 1 31 0 11 2 11 1 23 33 23 1= = === A+L LL L. Deci | |4 821= =ABCA . 6. n tringhiul MNP se cunosc3 = MN ,5 = MP MP 5 =i 60 ) ( = ZM m . S se calculeze lungimea laturii NP. Soluie: Folosind teorema cosinusului avem: 19 19 15 25 9215 3 2 5 3 60 cos 22 2 2 2 2= = + = + = + =NPMP MN MP MN MP. Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 75 Testul 36 1. S se determine numerele reale a i b pentru care ( ) ( ) bi a i i + = + 2 3 2 . Soluie: Deoarece( ) ( ) i i i i i i i 4 7 3 4 4 3 6 2 4 2 3 22 = + = + = + rezult c7 = a i4 = b . 2. Se consider funcia, : R R f ( ) x x f = 5 . S se calculeze ( ) ( ) ( ) ( ). 2010 ... 2 1 0 f f f f Soluie: Deoarece ( ) = = 0 5 5 5 f ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2010 ... 5 ... 1 0 = f f f f . 3. S se rezolve ecuaia( ) ( ) 1 2 log 1 2 log323+ = x x x . Soluie: Au loc urmtoarele condiii de existen > +> 0 1 20 1 22x x x. n aceste condiii ecuaia se scrie echivalent sub forma )` + e = + = 21, 2 0 2 3 2 1 2 1 22 2x x x x x x . Dintre acestea doar2 = xsatisface condiiile de existen. Deci unica soluie a ecuaiei este2 = x . 4. n dezvoltarea( )nx 1 3 suma coeficienilor binomiali este 64. S se determine termenul al patrulea al dezvoltrii. Soluie: Se tie c n nn n nC C C 2 ...1 0= + + + . Din ipotez rezult c 8 64 2 = = nn. De aici obinem ( ) ( ) ( )5383 3 838 1 3 43 1 3 x C x C T T = = =+. 5. n reperul cartezianxOy se consider punctele( ) 1 , 1 A ,( ) 5 , m Bsi ( ) m C , 2 . S se determine numerele reale m pentru care punctele A, B iC sunt coliniare. Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 76 Soluie: Punctele( )1 1, y x A ,( )2 2, y x Bi( )3 3, y x Csunt coliniare 01113 32 21 1= y xy xy x.n cazul nostru aceasta conduce la ( ) 01 14 11 1 00 1 10 4 11 1 101 21 51 1 13 1= = =+mmmmmm( ) { } 3 , 1 2 1 2 1 0 4 12 e = = = m m m m . 6. Un triunghi dreptunghice are ipotenuza de lungime 6 i msura unui unghi de 30 . S se calculeze aria triunghiului. Soluie: Presupunem c avem triunghiul ABC dreptunghic n A, iar msura unghiul C este de30 .Avem, 36 2130 sin = = = ABABBCAB; 3 36 2330 cos = = = ACACBCAC. Atunci | |23 923 3 32===AC ABAABC. Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 77 Testul 37 1. S se calculeze numrul complex 2010i . Soluie: Deoarece12 = iavem( ) ( ) 1 1222 4= = = i i . Atunci () ( ) 1 1 1502 25024 2 2008 2010 = = = = i i i i i . 2. Se consider funciaR R f : ,( ) x x f = 2 . S se calculeze ( ) ( ) ( ) 2010 ... 2 1 f f f + + + . Soluie: Avem succesiv: ( ) ( ) ( ) 2010 ... 2 1 f f f + + + = ( ) ( ) ( ) 2010 2 ... 2 2 1 2 + + + = ( ) 2010 ... 2 1 2010 2 + + + =22011 20102010 2 2017035 2021055 4020 = = . 3. S se rezolve ecuaia2 22 = x x x . Soluie: Avem urmtoarele condiii de existen > > 0 20 22xx x. n aceste condiii, prin ridicarea la ptrat a ecuaiei, obinem ( )222 2 = x x x 4 4 22 2+ = x x x x 6 3 = x 2 = x , numr care verific condiiile de existen. 4. S se calculeze probabilitatea ca, alegnd un element al mulimii} { 6 , 5 , 4 , 3 , acesta s verifice inegalitatea102>nC . Soluie: Prin calcul direct obinem10 323< = C ,10 624< = C , 10 1025> = Ci10 1526> = C . Deci probabilitatea cerut este egal cu 2142=. Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 78 5. Se consider vectoriij i v = 2 ij i m w 3 + = . S se determine numrul realmpentru care vectoriiw v +iw v sunt coliniari. Soluie: Avem( ) j i m w v 2 2 + + = +i( ) j i m w v 4 2 = .Aceti vectori sunt coliniari dac i numai dac 4222=+mm( ) ( ) m m = + 2 2 2 4 ( ) = + m m 2 2 2m m = 2 2 4 6 = m 6 = m . 6. S se calculeze 6sin6cos2 2 + . Soluie:16sin6cos2 2= + (Am utilizat formula fundamental a trigonometriei care spune c1 sin cos2 2= + x xpentru orice numr real x). Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 79 Testul 38 1.Se consider progresia geometric( )1 > n nbn care62 = bi 183 = b . S se calculeze 5b . Soluie: Avem: 11 =nnq b b . Atunci: = =21 31 2q b bq b b = = 186211q bq b 186211=q bq b3 = q 6 31= b 21 = b 81 2 3 24 41 5 = = = q b b1625 = b . 2. Se consider funciaR R f : ,( ) 22+ + = mx x x f . S se determine numerele realem pentru care minimul funcieifeste egal cu 41 . Soluie: Minimul funciei de gradul al doilea este a 4A . Avem: 1 = a ,m b = ,2 = c 8 42 2 = = A m ac b 414 =Aaa = A1 82= m 92= m } { 3 , 3 e m . 3. S se rezolve ecuaia 8 5 223 3 =x x. Soluie: 8 5 223 3 =x x8 5 22 = x x 0 3 22= x x } { 3 , 1 e x . 4. S se rezolve ecuaia212=xC ,N x e . Soluie: Pentru ecuaia212=xC ,N x ese impune condiia de existen:2 > x . Atunci ecuaia se scrie succesiv 212=xC ( )2121= x x0 422= x x } {)`> e27 , 6xx7 = x . Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 80 5. Se consider vectorii( ) ( ) j m i m v 3 1 + + =ij i w + = 3 . S se determine numrul realm pentru care vectoriiv iw sunt coliniari. Soluie: Cei doi vectori sunt coliniari dac i numai dac are loc urmtoarea proporionalitate 1 33 1 =+ m m9 3 1 = + m m 10 2 = m 5 = m . 6. n triunghiulABCse cunosc6 = = AC ABi3 6 = BC . S se calculezeA cos . Soluie: Din teorema cosinusului obinem216 266 6 26 3 6 62cos22 2 2 2 2 2 2 = = += +=AC ABBC AC ABA . Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 81 Testul 39 1. S se determine partea real a numrului complex iiz+=23. Soluie: . Deoarece ( )( )( )( )ii iii i ii ii iiiz + =+=+ +=+ + += ++ +=+= 155 51 41 5 622 3 62 22 3232 22 rezult c ( ) 1 Re = z . 2. Se consider funciaR R f : ,( ) x x f 2 3 = . S se calculeze ( ) ( ) ( ) ( ). 10 ... 2 1 0 f f f f + + + + Soluie:( ) ( ) ( ) ( ) 10 ... 2 1 0 f f f f + + + += ( ) ( ) ( ) ( ) 10 2 3 ... 2 2 3 1 2 3 0 2 3 + + + + = ( ) 10 ... 2 1 2 11 3 + + + =211 102 33/ / = 110 33 = 77 . 3. S se rezolve ecuaia2 52= x . Soluie: Ecuaia2 52= xse scrie echivalent sub forma4 52= x12= x } { 1 , 1 e x . 4. Se consider mulimea} { 4 , 3 , 2 , 1 , 0 = A . S se determine cte numere formate din 2 cifre distincte se pot forma cu elementele mulimiiA. Soluie: Numrul cutat este egal cu 16 4 20 4! 3! 5425= = = A . Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 82 5. n reperul cartezianxOyse consider punctele( ) 4 , 2 A ,( ) 1 , 1 B , ( ) 1 , 3 C . S se calculeze lungimea medianei dinA a triunghiului ABC . Soluie: FieMmijlocul segmentului| | BC . Atunci |.|

\| + +2,2C B C By y x xM ( ) 0 , 2 M.Folosind acum formula distanei dintre dou puncte rezult c ( ) ( ) 4 0 4 2 22 2= + = AM 6. S se calculeze aria unui triunghi dreptunghic care are un unghi de msur 60i ipotenuza de lungime egal cu 8 . Soluie: Presupunem c avem triunghiul ABC dreptunghic n A, iar msura unghiul B este de60 .Din BCACB = sin 3 4238 sin = = = B BC AC . Apoi, BCABB = cos 4218 cos = = = B BC AB . n consecin | |3 823 4 42=== AAC ABABC. Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 83 Testul 40 1. S se determine numerele realeaibpentru care ( ) ( ) bi a i i + = + 2 7 . Soluie:( ) ( ) i i i i i i i 5 15 1 5 14 2 7 14 2 72+ = + + = + = + 15 = a , 5 = b . 2. S se rezolve sistemul de ecuaii = + = +0 20 22y x xy x. Soluie: Sistemul se scrie succesiv: = + = +0 20 22y x xy x = + =0 2 222x x xx y = + =0 2 322x xx y Rezolvm ecuaia0 2 32= + x x ,1 = a ,3 = b ,2 = c ,1 8 9 = = A , 21 32 , 1= x ==1221xx. Pentru21 = xobinem12 = y , iar pentru 12 = xobinem12 = y . 3. S se rezolve ecuaia( ) 1 9 log25= x . Soluie:( ) 1 9 log25= x 5 92= x 9 52 = x 42= x } { 2 , 2 e x . 4. S se calculeze probabilitatea ca alegnd un elementn al mulimii} { 4 , 3 , 2 , 1 = A , acesta s verifice inegalitatea5 !< n . Soluie: Prin calcul direct obinem5 1 ! 1 < = ,5 2 ! 2 < = ,5 6 ! 3 > =i 5 24 ! 4 > = . Atunci probabilitatea cerut este egal cu 2142..= = =posibile cazurilor nrfavorabile cazurilor nrp . Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 84 5. Se consider vectoriij n i u = 2i( ) j i m v + = 1 . S se determine numerele realemin astfel nctj i v u + = + 5 2 . Soluie: ( ) ( ) j i m j n i v u + + = + 1 2 2 2 ( ) j i m j n i + + = 1 2 4( ) ( ) j n i m 1 2 5 + + = . Atunci avemj i v u + = + 5 2 = + = 1 1 25 5nm

==00nm. 6. Se consider triunghiulABCn care8 = AB ,4 = ACi = 45 ) ( A m . S se calculeze aria triunghiului. Soluie: Folosind una dintre formulele care d aria unui triunghi obinem: | |2 82224 82sin= = =A AC ABAABC. Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 85 Testul 41 1. S se determinele numerele reale a i b pentru care bi a i i + = + ) 4 ( ) 3 2 ( . Soluie: Prin calcul direct obinem: 10 , 1110 11 3 10 8 3 12 2 8 ) 4 ( ) 3 2 (2 = = = + = + = + b ai i i i i i i. 2.Se consider funciaR R f : ,2008 2009 ) ( = x x f cu inversa R R g : . S se calculeze) 2010 ( g . Soluie: += + = = =200920082008 2009 2008 2009 ) (yx y x y x y x f220092010 2008) 2010 ( =+= g . 3.S se rezolve ecuaia0 3 3 4 9 = + x x. Soluie: Notmyx= 3 . Atunci 2 2 2 2) 3 ( 3 ) 3 ( 9 yx x x x= = = =i ecuaia devine: 0 3 42= + y y ,1 = a ,4 = b ,3 = c , 4 = A , 32 2 41 2 , 1= = y y , 12 = y . Pentru11 = yobinem01 = x , iar pentru32 = yobinem12 = x . 4.S se calculeze al patrulea termen al dezvoltrii binomului 6) 2 ( x . Soluie: Folosim formula termenului general k k n kn kb a C T =+1.n cazul nostru,2 = a ,x b = ,6 = ni3 = k , de unde rezult c ( )3 3 3633 36 42 2 x C x C T = = . Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 86 5.n reperul cartezian xOy se consider punctele M(1,2) i N(2,1). S se determine ecuaia dreptei MN. Soluie: Folosim formula M NMM NMy yy yx xx xMN=: . n cazul nostru avem succesiv 2 ) 1 ( :121 1:2 121 21: = ==y x MNy xMNy xMN0 3 : 2 1 : = + = + y x MN y x MN . 6. S se calculeze 45 302 2ctg tg + . Soluie: 3413113145 30222 2= + = +||.|

\|= + ctg tg . Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 87 Testul 42 1.Se consider progresia aritmetic 1) (> n na n care52 = a i25 = a . S se calculeze 7a . Soluie: Folosim formula termenului generalr n a an + = ) 1 (1 i obinem sistemul: = += ++ =+ =2 454111 51 2r ar ar a ar a a6 5 1 1 3 31 1= = = = a a r r , de unde ( ) 0 6 6 1 6 6 61 7= = + = + = r a a . 2.Se consider funciaR R f : ,3 ) (2+ = x x f . S se rezolve inecuaia12 ) ( s x f . Soluie:| | 3 , 3 3 9 12 3 12 ) (2 2 e s s s + s x x x x x f . 3. S se rezolve ecuaia0 8 2 6 4 = + x x. Soluie: Notm. 2 yx=Atunci . 0 8 6 ) 2 ( 2 ) 2 ( 42 2 2 2 2= + = = = = y y yx x x x 1 = a , 6 = b ,8 = c ,4 = A ,42 2 61 2 , 1= = y y ,22 = y . Pentru2 4 2 41 1= = = x yx, iar pentru 1 2 2 22 2= = = x yx. 4.Se consider mulimea} 4 , 3 , 2 , 1 , 0 { = A . S se determine cte numere formate din 3 cifre distincte se pot forma cu elementele din mulimea A. Soluie: Sunt 35Amoduri de a forma secvene de trei cifre care conin cifre distincte. Dintre acestea trebuie excluse cele care conin pe 0 pe primul loc. Numrul este 24A . Rezult c sunt 2435A A numere, adic Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 88 48 12 602242120! 2! 4! 2! 52435= = = = A A . 5.n reperul cartezian xOy se consider punctele A(-1,-1), B(1,1) i C(0,-2). S se calculeze distana de la punctul A la dreapta BC. Soluie: . Ecuaia dreptei BC esteB CBB CBy yy yx xx xBC=: . n cazul nostru obinem: 0 1 3 3 ) 1 ( 1 ) 1 ( 31 211 01: = + = =y x y xy xBC0 2 3 : = y x BC . n consecin: ( ) ( )510 21010 4104102 1 31 92 1 1 3) 1 ( 32 3) , (2 2= = = + =+ = + =A Ay xBC A dist. 6.S se calculeze 180 cos ... 20 cos 10 cos 0 cos + + + + . Soluie: Folosind formula( ) 0 180 cos cos = + x xavem succesiv: 0 90 cos ) 100 cos 80 (cos ...... ) 170 cos 10 (cos ) 180 cos 0 (cos180 cos ... 20 cos 10 cos 0 cos= + + ++ + + += + + + + Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 89 Testul 43 1.S se calculeze partea real a numrului complex iz=25. Soluie:2 ) Re( 25) 2 ( 5) 2 )( 2 () 2 ( 5= + =+=+ += z iii iiz 2.Se consider funciaR R f : ,5 ) ( + = x x f . S se calculeze ) 2 ( ... ) 2 ( ) 2 (5 2f f f + + + . Soluie: ) 5 2 ( ) 5 2 ( ) 5 2 ( ) 5 2 ( ) 5 2 () 2 ( ... ) 2 ( ) 2 (5 4 3 25 2+ + + + + + + + + =+ + + f f f 87 25 2 64 25 2 2 25 ) 1 2 ( 2251 21 22 5 5 ) 2 2 2 2 2 (6 555 4 3 2= + = + = + =+ = + + + + + = 3.S se rezolve ecuaia8 22 3 22= + x x. Soluie: )` e = + = + = = + +1 ,250 5 3 23 2 3 2 2 2 8 222 3 2 3 2 2 3 22 2x x xx xx x x x 4.S se calculeze probabilitatea ca alegnd un element n al mulimii {2,3,4,5}, acesta s verifice inegalitatea!2n n n > + . Soluie: Prin calcul direct avem ) ! ( 5 5 5 ), ( 4 4 4 ), ( 3 3 3 ), ( 2 2 25 4 3 2Fals F A A > + > + > + > + .De aici rezult c probabilitatea cerut este egal cu 2142= . Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 90 5.n reperul cartezian xOy se consider punctele A(2,-1) i B(-2,a),R a e . S se determine numrul real a, astfel nct dreapta AB s treac prin punctual O(0,0). Soluie:B O A AB O , , e coliniare 1 0 2 2 021 201 0 01 21 1 2= = = = a aaa . 6.S se calculeze cos x, tiind c 53= xi) 90 , 0 ( e x . Soluie: 2516cos2591 cos 1 cos2591 cos sin2 2 2 2 2= = = + = + x x x x x . Deoarece 54cos 0 cos = > x x . Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 91 Testul 44 1. Se consider progresia aritmetic 1) (> n na n care52 = a i3 = r . S se calculeze 8a . Soluie: Folosind formula termenului general al unei progresii aritmetice:r n a an + = ) 1 (1 avem 23 21 2 3 7 2 7 2 3 51 8 1 1 1 2= + = + = + = = + = + = r a a a a r a a . 2. Se consider funciaR R f : ,2009 ) ( + = x x f , cu inversa R R g : . S se calculeze) 2010 ( g . Soluie: Avem succesiv: 2009 ) (2009 ) ( 2009 2009 ) (1 = = = = + =y y gy y f y x y x y x f. Deci1 2009 2010 ) 2010 ( = = g . 3. S se rezolve ecuaia1 ) 1 2 ( log5= + x . Soluie: Avem succesiv 2 4 2 5 1 2 1 ) 1 2 ( log5= = = + = + x x x x . 4. S se calculeze numrul submulimilor cu 2 elemente ale unei mulimi care are 6 elemente. Soluie: Numrul submulimilor cu 2 elemente ale unei mulimi care are 6 elemente este egal cu1526 5! 4 ! 2 ! 626=== C . 5. Se consider vectoriij i u 3 6 + = ij i m v = . S se determine numrul real m pentru care vectoriiu ivsunt coliniari. Soluie: Condiia de coliniaitate a doi vectori conduce la egalitatea 2 3 613 6= = =m mm. Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 92 6. S se calculeze valoarea expresiei 165 sin 135 sin 105 sin75 sin 45 sin 15 sin+ ++ += E . Soluie: Folosind formula) 180 sin( sin x x = obinem succesiv: 115 sin ) 165 180 sin( 165 sin45 sin ) 135 180 sin( 135 sin75 sin ) 105 180 sin( 105 sin= )`= == == =E .Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 93 Testul 45 1.S se determine forma algebric a conjugatului numrului complex iiz+=17. Soluie: Avem: i z iiiii i ii ii iiiz4 3 4 328 61 11 8 717 7) 1 )( 1 () 7 )( 1 (172 22+ = ==+ = + =+ =+= 2.Se consider funcia. 4 3 ) ( , : = x x f R R f S se calculeze ). 10 ( ... ) 2 ( ) 1 ( f f f + + + Soluie: Prin calcul direct avem: 125 40 165 40 55 340211 103 10 4 ) 10 ... 3 2 1 ( 3) 4 10 3 ...( ) 4 3 3 ( ) 4 2 3 ( ) 4 1 3 () 10 ( ... ) 3 ( ) 2 ( ) 1 (= = = = + + + + = + + + =+ + + + f f f f 3.S se rezolve ecuaia( ) 2 10 log3= x . Soluie:( ) 1 9 10 3 10 2 10 log23= = = = x x x x . 4.S se determine soluiile reale ale sistemului = += + +30112 2xy y xxy y x . Soluie: Pentru ecuaia . 122=nAse impune condiia de existen 2 > n . Atunci ecuaia se scrie succesiv { } 4 ; 3 0 12 12 ) 1 ( 12)! 2 (!2 e = = =n n n n nn n. innd cont i de condiia de existen rezult c4 = n . Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 94 5.n reperul cartezian xOy se consider punctele ). 1 ; 3 ( ), 2 ; 5 ( ), 2 ; 1 ( C B A S se calculeze perimetrul triunghiului ABC. Soluie:) 1 , 3 ( ), 2 , 5 ( ), 2 , 1 ( C B AFolosind formula distanei dintre dou puncte avem: 4 0 16 ) 2 2 ( ) 5 1 (2 2= + = + = AB , 13 9 4 )) 1 ( 2 ( ) 3 5 (2 2= + = + = BCi13 9 4 )) 1 ( 2 ( ) 3 1 (2 2= + = + = AC . Atunci 13 2 4 + = + + =AAC BC AB P ABC. 6.S se determine numrul real m pentru care vectorii j i m u 2 ) 1 ( + = ij i v 6 3 + =sunt coliniari. Soluie: Cei doi vectori sunt coliniari dac i numai dac 2 1 1 6 ) 1 ( 6623 1= = = =m m mm. Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 95 Testul 46 1.Se consider progresia aritmetic( )1 > n nbn care11= bi32= b . S se calculeze.4b Soluie: Folosim formula termenului general al unei progresii geometrice 11 =nnq b b, obinem: 27 3 3 1 3 1 33 3 31 4 1 2= = = = = = = q b b q q q b b . 2.Se consider ecuaia02= + m x xcu soluiile1xi 2x .S se determine numrul real m pentru care111112 1=+++ x x. Soluie: Vom folosi relaiile lui Viete = = = = = = +mmacx xabx x11112 12 1. Atunci avem: 1 1 1 2 11 ) ( 2 ) () 1 )( 1 ( 1 1 111112 1 2 1 2 12 1 1 22 1= + + = + + + + = + + + + = + + + =+++m mx x x x x xx x x xx x 3.S se rezolve ecuaia0 3 92= + x x . Soluie: Ecuaia se srescrie succesiv: 30 30 90 30 90 3 92 22= = = = = = + xxxxxx x . Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 96 4.S se calculeze probabilitatea ca alegnd un element al mulimii { } 4 ; 3 ; 2 ; 1aceasta s verifice inegalitatea 33 nn> . Soluie: Prin calcul direct obinem ) ( 4 3 ), ( 3 3 ), ( 2 3 , ) ( 1 33 4 3 3 3 2 1 1A F A A > > > >. n consecin probabilitatea cerut este egal cu 43. 5.n reperul cartezian xOy se consider punctele) 1 ; 5 ( Ai). 1 ; 3 ( BS se determine coordonatele simetricului punctului Afa de punctul B. Soluie: .Fie( ) y x C ;simetricul punctului A fa de punctul B.Atunci B este mijlocul segmentului] [ AC . Deci ) 3 ; 1 (311 25 621125322Cyxyxyxy yyx xxCCCCCCC ABC AB==+ =+ =+ =+=+=+=. 6.S se calculeze aria triunghiul MNP tiind c4 , 10 = = NP MN i . 60 ) (= ZMNP m Soluie: Folosind o formul de calcul pentru aria unui triunghi avem: | |( )3 102234 102sin= = =P N M NP MNAMNP. Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 97 Testul 47 1.Se consider progresia aritmetic( )1 > n nan care71= ai373= a . S se calculeze suma primilor 10 termeni ai progresiei. Soluie: Folosind formula termenului general al unei progresii aritmetice obinem: 5 30 6 6 7 37 61 7= = + = + = r r r r a a , de unde 52 45 7 5 9 7 91 10= + = + = + = r a a . Atunci295 5 59210 ) 52 7 (210 ) (10 110= = += +=a aS . 2.Se consider funcia. 2 7 ) ( , : x x f R R f = S se calculeze ). 20 ( ... ) 2 ( ) 1 ( f f f + + + Soluie: Prin calcul direct avem: 280 420 140221 202 20 7 ) 20 ... 3 2 1 ( 2 20 7) 20 2 7 ( ... ) 2 2 7 ( ) 1 2 7 ( ) 20 ( ... ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( = = = + + + + = + + + = + + + + f f f f 3.S se rezolve ecuaia4 21= x. Soluie:5 4 1 2 1 2 2 4 22 1 1= = = = = x x xx x. 4.S se calculeze465657C C C . Soluie: Folosind formula combinrilor avem:0 21 21 15 6 2126 5626 7! 2 ! 4 ! 6! 1 ! 5 ! 6! 2 ! 5 ! 7465657= = = == C C C Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 98 5.Se consider vectoriij i m u 5 + =ij m i v + = .S se determine numrul real m pentru care. 4 2 j i v u + = Soluie: Avem succesiv:21 2 54 24 ) 2 5 ( ) 2 (4 2 2 54 ) ( 2 5 4 2= = = ++ = + + + = + + + = + + + = mmmj i j m i mj i j m i j i mj i j m i j i m j i v u 6.S se calculeze aria unui triunghi echilateral care are lungimea nlimii egal cu3 3 . Soluie: Fie l latura triunghiului, h nlimea sa i A aria sa. Atunci 23 lh =i =432lA 3 94 3 364 3 66233 32= = = = = A ll. Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 99 Testul 48 1.Se consider progresia aritmetic( )1 > n nan care31= ai73= a . S se calculeze suma primilor 10 termeni ai progresiei. Soluie: Folosind formulele de calcul pentru progresii aritmetice avem: 120210 ) 2 9 3 2 (210 ) 9 2 (2 4 2 2 3 7 21101 3= + = += = = + = + =r aSr r r r a a 2.Se consider funcia. 1 3 ) ( , :2+ = x x x f R R f S se determine numerele reale m pentru care punctul) 1 , ( m A aparine graficului funciei f. Soluie: Punctul) 1 , ( m A aparine graficului funciei fdac i numai dac { } 2 ; 1 0 2 3 1 1 3 1 ) (2 2e = + = + = m m m m m m f . 3.S se rezolve ecuaia( ) 2 3 2 log5= + x . Soluie: Avem succesiv: ( )11 22 23 25 2 5 3 2 2 3 2 log25= = = = + = +x xx x x. 4.S se calculeze numrul submulimilor cu 3 elemente ale unei mulimi cu 5 elemente. Soluie: Numrul cutat este dat de:1025 4! 2 ! 3 ! 535=== C . Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 100 5.n reperul cartezian xOy se consider punctele ). 1 ; 2 ( ), 2 ; 1 ( ), 2 ; 1 ( C B A S se calculeze distana de la punctul Cla dreapta AB. Soluie: Folosind ecuaia dreptei care trece prin dou puncteA BAA BAy yy yx xx xAB=:avem succesiv:0 2 : ) 2 ( 2 ) 1 ( 42 221 11: = + = + ++=++y x AB y xy xAB . Atunci: 555) 1 ( 2) 1 ( 2 2) , (2 2= = + = AB C dist . 6.Se consider triunghiul ABC n care8 , 8 = = AC AB i . 30 ) (= A m S se calculeze ariatriunghiului ABC. Soluie: Folosind una dintre formulele care d aria unui triunghi avem:16230 sin 8 82sin] [= = =A AC ABA ABC. Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 101 Testul 49 1.S se calculeze suma. 111 ... 31 21 11 1 + + + + + Soluie: Numerele111 ,..., 21 , 11 , 1sunt termenii unei progresii aritmetice de prim termen11 = ai raie egal cu10 1 11 = = r . Fie n numrul de termeni.Folosind formula termenului general al unei progresii aritmetice obinem: ( ) ( ) . 12 11 1 10 1 110 10 1 1 111 = = = + = n n n n n consecin suma cerut este egal cu ( )672212 112212 111 112== += = S S . 2.Se consider funciaf : R R ,( ) 4 22+ = x x x f . S se determine valorile numrului real m pentru care punctul ( ) 4 , m A aparine graficului funciei f. Soluie: Punctul( ) 4 , m A aparine graficului funciei f dac i numai dac() } 2 , 0 { 0 2 4 4 2 42 2e = = + = m m m m m m f . 3.S se rezolve ecuaia8 212=+ +x x. Soluie: Ecuaia se scrie succesiv sub forma }. 1 , 2 { 0 23 1 2 2 8 222 3 1 12 2 e = + = + + = =+ + + +x x xx xx x x x 4.S se calculeze probabilitatea ca alegnd un element n al mulimii {1,2,3,4} acesta s verifice egalitatea! 2 nn< . Soluie: Deoarece! 1 21 + m x m x m , pentru orice x real . Soluie: Pentru ca funcia( ) c bx ax x f R R f + + = 2, :s fie strict pozitivestenecesarisuficientcaurmtoarelecondiiisfie satisfacute < A>00 a .n cazul nostru( ) 3 , 3 , 3 = = = m c m b m a .Prima conditie se scrie sub forma3 0 3 > > m m . Apoi: ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 0 3 3 3 4 33 3 4 3 42 2 22 2< = = = = Am m mm m m ac b .Atunci condiia cerut este echivalent cu3 > m . 5.ntr-unrepercartezianse considerpunctele ( ) a A ; 0 ,( ) 2 ; 1 B i ( ) 5 ; 4 C ,unde a este un numr real . S se determine valorile lui a pentru care triunghiul ABC este dreptunghic n A . Soluie: Triunghiul ABC este dreptunghic n A 4 7 10 145 2 1010 450 121 122= + =+ = = = a aa a a a ax xy yx xy ym m AC ABA CA CA BA BAC AB { } 6 , 1 0 6 72e = + a a a . Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 111 6.S se rezolve ecuaia 169433421=|.|

\||.|

\|xx . Soluie: Avem succesiv: = + = + |.|

\|=|.|

\||.|

\|=|.|

\||.|

\||.|

\|=|.|

\|(((

|.|

\| =|.|

\||.|

\|+ 0 322 1243434343434343431694334221221 221121xxxxxxxxxxxx { } 2 , 1 0 2 32e = + x x x. Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 112 Testul 54 1.S se determine partea real a numrului complex ii+23 1 . Soluie: Avem succesiv: ( )( )( )( ).5123 1Re57515 7 11 43 7 223 6 22 22 3 123 12 22 =|.|

\|+ = =+ = + =+ =+iiii iii i ii ii iii 2.S se determine inversa funciei ( ) 3 4 , : = x x f R R fcalculat n punctul1 = x . Soluie: Calculm mai nti inversa funciei f:( ) ( )4 34 33 4 3 41+= += + = = =yy fyx y x y x y x f , de unde( ) 1 11=f . 3.S se determine valorile reale ale parametrului m tiind c solutiile 1xi 2xale ecuaiei( ) 0 3 12= + + x m x verific egalitatea 2 13x x =. Soluie: Folosim relaiile lui Vite: ( )3 , 11 12 1 2 1= = = = = +acx x mmabx x . Din. 1 1 3 3 322222 2 1 = = = = x x x x xDac 3 1 3 1 3 11 1 2 = = + = = m m x x. Dac5 1 3 1 3 12 1 2= = = = m m x x . Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 113 4.S se determine lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic dac raportul lor este 43 i ipotenuza are lungimea egal cu 20 . Soluie: Fie a i b lungimile catetelor triunghiului ABC. Atunci 43=ba i 2 2 220 = + b a . Am obinut aadar sistemul: = +=2 2 22043b aba= +|.|

\|=2 22204343bbba. Atunci: 12 12 1643164 20 5 4 20 25 201692 2 2 2 22= = = = = = = +a a bb b bb 5.Sa se verifice egalitatea ( )( )nnnnC Cn nn1 2 1 24! 1 !! 2+ =+, pentru orice -e N n. Soluie: Avem succesiv:( )( ) | |( )( ) | |( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( ) | |( )! 1 !1 2 2 4 4 ! 1 2! 1 !! 1 2 ! 1 2 1 4! 1 !! 1 2! 1 !! 1 24! 1 2 !! 1 2! 1 2 !! 1 24 421 2 1 2++ + =++ +=++= ++ = + n nn n n n nn nn n n nn n nn n nn n nnn n nnC Cnnnn ( ) ( )( )( )( )( )( )! 1 !! 2! 1 !2 ! 1 2! 1 !2 4 4 4 ! 1 22 2+=+=+ + =n nnn nn nn nn n n n n . Adrian Sandovici _____________________________________________________________ 114 6.Se consider ptratul ABCD. Punctele M i N sunt mijloacele laturilor BC i respectiv DC . S se exprime vectorulBD n funcie de AM i AN. Soluie: Vom rezolva problema n dou moduri: Metoda I : NotmB A a= siD A b =. Atunci b a D A A B D B a b N D D A N A b a M B B A M A + = + = + = + = + = + = ,21,21, de unde rezult: ( )N A M A aN A b aM A b aN A b aM A b a 2 4 / 32 24 2 42 22 / 2 2+ = = + = = + = +M A N A bN A M A M A a M A b N A M A a 323434382 2 23243 = + = = = .De aici obinem: M A N A M A N A N A M A M A N A D B 2 2363632343234 = = + = . Metodaa II-a .Mult mai simplu! ( ) M A N A M A N A N M D B 2 2 2 2 = = = .Am folosit faptul c [MN] este linie mijlocie n triunghiul BDC.

Antrenament Matematic pentru BACALAUREAT 2012 _____________________________________________________________ 115 Testul 55 1.S se calculeze numrul. 45 sin 135 cos 150 cos 60 sin + + Soluie: Avem succesiv: 4322222323145 sin 135 cos 150 cos 60 sin = + ||.|

\| = + + . 2.S se determine