Icpl(X)=X + ~cpz(t)dt cpl(X)=1- ~cpz(t)dt

4'. ~,(x) ~ 1- i ~,(t)dt 5'. .,(x)~ 'OS: -1+ i~,(')d'

I 0 " 0

, cp3(X)=cos x+ ~ cpl(t)dtcp3(x)=sin x+ ~ ~ (X-l)cpl(t)dt 0

4.13. Rezolvati, aplicind transformata Laplace, ecuatiile integro-diferen-tiale urmatoare:

"1°. cp"(x)= ~ eZ(:H)cp'(t)dl=e2X dadi cp(O)= cp'(O)=O

o" "

2°. cp'(x)- cp(x)+ ~ (x-l)cp'(t)dl- ~ cp(t)dt=x; dad cp(O)=-1o 0

x "3°. cp"(x)-2cp'(x)+cp(x)+2 ~ cos (x-t)cp"(t)dt+2 ~ sin (x-t)cp'(t)dt=

o 0=cosx dadl cp(O)=cp'(O)=O

x

4°. cp"(x)+2cp'(x)- 2) sin (x-t)cp'(t)dt= cos x dad cp(O)= cp'(O)=Oo

" "5°. cp"(x)+ cp(x)+ ) sh(x-t)cp(t)dt+ ~ ch(x-t)cp'(t)dt= ch x dad cp(O)= -1,

o 0cp'(O)=1.

4.14. Rezolvati ,urmatoarele ecuatii cu argument modificat:1°. y(xH-2y(x-1)-3y(x-2)=f(x)

2°. y'(x)+y(x-;)=O, y(x)=cosx, dad -'; ~x~O.

4.15. Gasiti solutiile ecuatiilor diferentiale urmatoare:1°. xy"-2y'=0; 2°. xy':+2y'=O;3°. xy"+(2x-1)y'+(x-1)y=0;4°. xy"+2y'=x-1; .11(0)=0, .11'(0)=- 2-

24.16. Gasiti functia original, dadi]0. F(p)= _1_;

(p-1? .

30. F(p)= 4_p_p2

1'3_p2

p

(p+ 1)(p+2)(p+3)(p+4)1 .

p4_6p3+11p2_6p ,

PreliminariiEcuatii integrale de tip Fredholm

Se considera aplicatiile F: D1-+R, D1CRn+2K: Dz-+R, DzCR2n+l

~i spatiile de functiiX={ cpEC(Q, R), QCRnl(x, cp(x), ~K(x, s, y(S)dS)ED1}

nY=C(Q, R)

~i fie data aplicatia: 1': X-+ Y, cp-+F(x, cp(x), ~ K(x, cp(s»ds)n

Ecuatia functionala 1'(cp)=0, adicaF(x, cp(x), ~ K(x, s, cp(s»ds)=O

nse nume~te eClla[ie integrala de lip Fredholm.Prin diferitele particularizari ale lui F ~i K obtinem urmatoarele claseimportante de ecuatii integrale:

~ K(x, s)cp(s)ds=1'(x)n

cp(x)- ~ K(x, s)cp(x)ds=1'(x) (5.1)n

Prima se nume~te ecuatie integralii de tip Fredholm de spe{a a I-a, iar a douase nume~te ecuatie integraM de tip Fredholm de speta a II-a.

Dadi in ecua~ia de speta a II-a, nucleul K are forman

K(x, s)= E ai(x)bi(s);=1

ecuatia corespunzatoare se nume~te cu nucleu degenerat. Vom presupuneca functiile at, bt, f ~i cpsint continue in domeniul marginit Q ~i d sistemelede functii {ai}7=1 ~i {bj};'=1 sint linear independente. Vom arata ca rezolva-rea ecuatiilor integrale cu nudeu degenerat se reduce la studiul unoI' sistemede ecuatii algebrice lineare.

Sa~presupu~lem di e:uatia integrala de speta a doua eu nucleu degeneratposeda 0 solutle. AtuncI pentru aceasta solutie trebuie sa avem:

<p(.x)= t ai(x) ~ bi(s) <p(s)ds+f(x);=1 Q

~ bi(s) <p(s)ds= CiQ

obtincrn ea solutia ecuatiei integrale este de forma:

"<p(x)= L C;ai(x)+f(x).;=1

Inlocuind In ecua~ia ini~iala ~i nOtlnd

~ aj(s)bi(s)ds=Kij, ~ bi(s)t{s)ds=fi'Q Q

obtinelll sistemul algebric

"Ct= L KtjCrJ-fi, \ i=1, 2, ... , n (5.3)j=l

AsHel fiecarei. solutii a ecuatiei integrale (5.1) cu nucleu degenerat Ii cores-p.unde 0 solutle C~,. C2, ••• .' Cn a aeestui sistelll algebric (5.3). Reciproc, dadi~lstem.uI d.e ecuatn a!gebnce (5.3) poseda 0 solu~ie (Cl> C2, ••• , Cn) atuncillllocmnd III (5.2) obtmem 0 solutie a ecuatiei integrale (5.1). (

Ecuatii integrale de tip Volterra; Fie date apli catiile

F: O-+R, OCR3, (x, y, z)-+F(x, y, z) ~iK: D-+R, DCR3, (x, y, z)-+K(x, y, z)

~i spatiile de functii%

X={ <pEC(I, R), fCR/(x, <p(x), ) K(x, s, <p(S»ds)EQ}a

Y=C(I. R).'%

Se considera aplica~ia f: X-+ Y, <p-+F(x, rp(x), ) K(x, s. ip(s»ds)

%

F(x, <p(x). ~ K(x, s, <p(s»ds=O.

%

~ K(x, s)<p(s)ds=f(x),

%

<p(x)+ ~ K(x, s)rp(s)ds=f(x)a

un de functiile f ~i f{ sint date iar <peste functia necunoscuta. Aceste donaeClta'~ii integrale se numese ecua{ia integrala de speta a intiia a lui Volterra,respectiv ecuatia integra/a de spe[a a dOHa a IHi Volterra.In cazul In care functia necunoscuta apare In eeuatie sub alllbii operatoride derivare ~i de integrare, eellatia se nume~te integro-diferentiaUi.

Exercilii §i llrobleme

5.1. Sa se studieze rezolvabilitatea urmatoarelor ecuatii integrale Cll nu-cleu degenerat:

1

1°. <p(x)=) (x+y)cp(y)dy+1o

1

2°. cp(x) = (4V3-6) ) (x+y)cp(y)dY+lo1

3°. <p(x)=(4'V3-6) ~ (x-y)rp(y)dy=6x2-6x+1o

1 1

4°. cp(x.y)=2~ ~(x~+"I)y)<p(~,"I)d~d"l)-Ho 0

1 J

5°. <p(x, y)= ~ ~ (X~+y2"1)<p(~, 'I)d ~d"l)+x-yo @

I 1 1

6°. <p(x, y, z)= ~ ~ ~ cp(~, "I), ~)d ~d"l)d~o 0 G

1 I I

7°. <p(x, y, z)= ) ) ) (x~+Y"l)+z ~)cp(~, "I),~)·d 1;d'f)d ~+x+y+zo Q 0

Sa se rezolve urmiHoarele sisteme de ecuatii integrale:2

<Pl(X)= ~ [Xcpl(S)+X2SEfl2(S)]ds+xo2

<P2(X)= ~ [S<pi(s)+(l +x)<P2(s)]ds+l-'-xo

1 1

epl(X, y)= S S [Xepl(~' YJ)-yep2(~' YJ)]d ~dYJ-I-2o 01 1

ep2(X, y)= S S[y~epl(~' YJ)-XYJep2(~' "Y)]d~ d'l)o 0

5.3. Sa se discute dupa natura parametrului real Asolutiile urmataarelarecuatii:

"1°. ep(X)=A ~ cas(x-I-y)ep( y)dY-l- cas x;01

2°. ep(X)=A S (5x2-3)y2ep(y)dY-I-e0

1

3°. ep(X)=A S sin In xep(y)dY-l-2x02

4°. ep(X)=A S xe-vep(y)dY-l-50

1

5°. ep(X)=A ~ (x-I-y-2xy)ep(y)dy-l-x-I-x2

0

1

6°. ep(X)=A S (XY-l-x2y2)ep(y)dy-I-x2-1-x4

-1

1 1

7°. ep(x, y) =A S S (xy ~"Y) -f-x2y2 ~2YJ2)ep(~, 'I)d ~d YJ -I- 1o 0

"8°. ep(X)=A S cas2 xep(y)dy-f-l0

1go. ep(X)=A S xevep(y)dy+.x

-1

2"10°. ep(X)=A S IX-7t[ ep(y)dY-l- x

0

1110. ep(X)=A S (2xy-4x2)ep(y)dY-l-1 -2x

0

+112°. ep(X)=A S (x2-2xy)ep(y)dY-l-x3_x

-1

84

2"

13°. ep(X)=A ~ (: cas x cas Y-I- : sin 2x sin 2y)ep(y)dY-l-sin xo

5.4. Sa se rezalve urmiHaarele ecuatii integrale:

"21°. ep(x)-4 ~ sin2 xep(t)dt=2x-7t

o1

3°. ep(x)-2 ~ (1 -I-3xt)ep(t)dt=x2o

1

5°. ep(x)= ~r [x- ~(3t2-1)-I- ~t(3X2_1)J ep(t)dt-l-12 J 2 2-I

5.5. Sa se rezalve urmataarele ecuatii integrale, unde AEll

1

2°. ep(x)- ~ earc sinx ep(t)dt=tg X-I

1

4°. ep(x)- ~ (x+t)ep(t)dt=18x2-9x-4o

"1°. ep(X)=A ~ (x cas t-l-t2 sin x+ cas x sin t)ep(t)dt-l-x

-"

2"

9°. q:J(X)=A) [sin x cos t-sin 2x cos 2t+sin 3x cos 3t]q:J(t)dt+cos x.o

5.6. Se considera ecuatia integralab

q:J(X)= ) K(x, t)f(t, cp(t» dt

1t

4

9(X) - A~sin2 xcp(t)dt=Oo

2n:6°. cp(X)-A) sin x sin tcp(t)dt=O

o1

7°. q>(X)-A ~ (45x2 In t-912 In x)cp(t) dt=Oo1

8°. q:J(X)-A ~ (2xt-4x2)cp(t)dt=Oo1

cp(X)-A ) (5xt3+4x2t+3xt)cp(t)dt=O-1

1

ep(X)-A ~ (x ch t-t sh x)cp(t)dt=O-11

ep(X)-A ~ (x ch t_t2 sh x)cp(t)dt=O-1 '

5°. cp(X)--A) sin x cos t <p(l)dt=Oo

anumita ecuatie integrala de tip Hammerstein, unde functiile K ~i r sintfunctii date, iar necunoscuta este functia cp. Sa se arate ca in cazul cind nu-cleu! K este degenerat, rezolvarea acestei ecuatii se reduce Ia rezolvarea unulsistem algebric.

5.7. Sii se rezolve urmatoarele ecuatii integrale:

1

8°. ep(x)= ~ ~ a(x)a(t)(1+ep2(i»dt, a(x»O,o1 1

go. ep(x) =A2) q:J2(t)dt, AERII

1

10°. cp(x)=1 +A) cp2(t)dt, AER '" {O}o

I

110. cp(X)=A) xt[cp,t)+ep2(t)] dt, AER'" {O}o

5.8. Sa se determine valorile parametralui 'AER, pentru care urrnatoareJeecuatii omogene au solutii nebanale. Pentru valorile determinate sa se rezolveecuatiile date

I 1 x+t1°. cp(x)=A)xtcp2(I)dt, AEIR 2°. cp(x)= ~ ~ e2(1 + cp2(t»dt

00

II3°. ep(x) =2 J xtcp3(t)dt 4°. ep(x)= ) (xl+x2t2)cp2(t)dt

00115°. cp(x)= ) x2t2cp3(t)dt 6°. ep(x)= ~ (1+ cp2(t»dt

00

I

7°. cp(x)= ~ xl dt1+ '1'2(1)

-I

1

XE[O, 1], ~a2(x)dx>I;)

"1·. €flex) - A) (COg

2 X cos 2t+c05 Sa cos3 t)ep(t)dt=O.~o1

2", ~(x) -A 5 (3x-2)tq:J(t)dt=Oo

1

go. cp(X)-A ~ (5xt3+4x2t)q:J(t)dt=O-1

7t

13°. cp(X)-A ~ cos(x+t)ep(t)dt=Oo 1

14°. cp(X)-A ~ (l+xt+x2t2)cp(t)dt=O 15°. CP(:l;)-)'Jarc cos xep(t)dt=O

5.9. Sa se d~~rmine solutiile urmatoarelor eC:latii integr~~e pen~r~ to~tevalorile parametrului real A ~i pentru toate ..valonle parametIllor rcall a, , C

care apar in membrul doi al acestor ecuatll:n:

2

1°. ep(X)-A ~ (y sin x+ cos y)cp(y)dy+ax+ bn:

-2"7t

2°. q:J(X)-A~ cos(x+y)q:J(y)dy+a sin x+bo1

3°. cp(X)-A ~ (1+xY)q:J(y)dy+ax2+ bx+c-II

4°. cp(X)-A ~ ~ (xy+x2y2)cp(y)dy+ax+ b-1

1

5°. cp(X)-A {" l+xy ep(y)+a+x+ bxzJ 1+y2 .

-1

I

3-, ep(X)-A ~ (t Vx-xVi5~(t)dt=fJ()

5.10. Sa se :ezolve urmatoarele ecuatii integrale liniare omogene:4

1°. cp(x)-2 r ep(i) dt =0J l+cos 2i .o

2

2°. cp(x)- ~ ~ Ixl cp(t)dt=O-2

1

3°. CP(x)+6) (x2-2xt)cp(t)dt=0o

~.1l. Sa se puna in evidentade tIp Fre dholm de speta intiia:'

2

1°. ) cp(x)dx=1o

solutii ale urmatoarelor ecuatii integrale

b

2°. ) cp(x)dx=a, a>O, b>Oo2",

3°. ) sin(x+s)cp(s)ds=sin xo1

5°. ~scp(s)ds = ~o

2",4°. ~ cos(x+s)cp(s)ds=cos x

lJ

5.12. Folosind procedeul derivarii -tegrale: sa se rezolve urmatoarele ecuatii in-

.~ x

1°. x ~ y(t)dt=(x+ 1) ~ty(t)dto 0

x

3°, ~ (x-t)my(t)dt=f(x)o

x

2°. y= ~ y(t)dt+x+ 1o

"4°. cp(x)-,,- ~ eX-tcp(t)dt=f(x)

ox

5°, cp(x) - ) [cp2(t)-tcp(t)+ 1]dt = 1o

x

6°. cp(x) - ) [tcp(t)-t]dto

1

.7°. )cp(ax)da=ncp(x)o

intl~;~3. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii integrale ale lui Volterra de speta

1°, S 2cos(x-s)rp(s)ds= =-o 2

x

3°. ) e",-scp(s)ds=chx-lo

x

4°. ~ (16s2-5xs-2x2)(p(s)ds= : x4

o

,5°. ) ez+scp(s)ds=x

o

x

6°. ~eX-'cp(s)ds=xo

5.14. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii integro-diferentiale:x x \.

10. ~Vl +y'2dx=2 V~'+y 2°, 2 ~Y VI +y'2dx=2x+y2o 0

5.15. Sa se scrie ecuatiile integrale Volterra corespunzatoare urmatoa-relor ecuatii diferentiale cu conditii date:

1°. y" +y=O, y(O)=O, y'(O)=l2°. y" +y=sin x, y(O)=O, y'(O)=O3°. y" -3y' +2y=0, y(O)=O, y'(O)= 14°. y" +xy=2x, y(O)=O, y'(O)=O5.16. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii integrale de tip Volterra de speta

a doua:x x

1°. cp(x)= ~ xscp(s)ds+x 2°. cp(x) = - ~e";-scp(s)ds+x0 0

x x

3°. cp(x)=2 ~25+1 cp(s)ds+1 4°. cp(x) = ~ cp(s)ds+e'"

(2x+1)20

0

z x

5°. cp(x)= ~ (x-s)cp(s)ds+x 6°. cp(X)=A~(x-s)cp(s)ds+ 1, A~O0 0

x

7°. cp(X)=A~ (x-s)cp(s)ds+x2, "->0

0

5.17. Sa se determine curba plana care trece prin punctul Mo(2, 4) ~i careare urmatoarea proprietate: printr-un punct al curbei se due doua drepteparalele cu axele de coordonate. Cele 2 suprafete plane in care curba impartedreptunghiul format au proprietatea ca aria uneia este de 2 ori mai marededt q,ria eeleilalte,

5.18. Sii se determine curha plana ce treee prin punctul datN(O, a) (a>O) eu proprietatea ca aria trapezului eurhiliniu determinat decurhii, axa Ox, axa Oy ~i 0 verticala oareeare, este proportionala cu lungimeaarcului curbei, constanta de proportionalitate fiind egala eu a.

5.19. Sii se determine curba plana ce trece prin punctul A(I, 1) a caruiahscisa a a centrului de greutate a suprafetei limitate de axele de coordonate,de curha ~i de nrdonata unui' punct al curbei este egala cu 3/4 din abscisaacelui punet.

9i se presupune din nou ca sint cunoscute valorile y(Xi)= : Yi ale functieinecunoscute (ele pot fi gasite eventual prin una din metodele date anterior)in punctele Xi: =xo-j-ih, i=1, 2, 3. Valorile Yi pentru i=4, 5, ... se deter-mina dupa urmatoarea formula, numita prima lormuUJ. predictor a lui Milne-Simpson:

p - + 4h (')' _' ')')' -4 5Y, -Yt-4 ~y, 3 y, o+~lI, 1 ' 1-" , •••" 3 ,- !-- .1,_

Folosind pe Y1, se determina y; : =f(xi, yf) ~i ~u ajutorul acesteia, se aplicaformula: .

c_ 4 (' '4' ')' -4 5Y'-Yi-,,-j- - y. 01 .y, \+y., 1-, '"I •.• 3 t-~ f.- ~

numita a doua formula cor ector a lui Milne-Simpson.In practica, se utilizeazi'i mai des aproximarea Yt;::;; yf. Formulele (6.27)

9i (6.28) au precizia 0 (h5).

Metoda lui Milne-Simpson poate fi utilizata ~i la sisteme de ecuatii dife-rentiale, pre cum ~i la eeuatii diferentiale de ordin superior.

Se eonsidera problema eu eonditii initiale:

y(n) = {(x, y, y',. ~., y(n-l»), y(j)(xo)=yt, j=O, n-1 (6.29)

Presupunem ca solutia problemei (6.29) poate fi dezvoltata in serie Taylordupa puterile lui x-xo:

y'(x ) y"(x ) y( n !(x )y(x)=y(xo)+ __ 0 (x-xo)+ _'_0 (X-xo)2+ ... + __ 0 (x-xo)n+ ...11 2! nl

(6.30)Conditiile initiale din (6.29) ne furnizeaza direct valorile y(k)(XO)' pentruk=O, 1, ... , n-1, Valoarea y(")(xo) se determina din ecuatia (6.29) illlo-cuind in membrul doi al eeuatiei pe x eu Xo. Valorile y(n+l)(xo), y(n+2)(XO)' . ,se determina derivind succesiv ecuatia (6.29) 9i inloeuind pe x cu Xo.

Dad membrul doi al ecuatiei (6.29) este 0 functie analitiea de to ate argu-mentele sale, atunci pentru x suficient de apropiat de Xo, solutia problemei(6.29) exista in mod unic ~i ea este data de (6.30). Suma partiala a seriei (6.30)este solutie aproximativa pentru problema (6.29).

Aceasta metoda poate Ii folosita absolut analog ~i pentru sisteme dee cuatii diferentiale.

Observafie. In cazul eeuatiilor diferentiale liniare (sa presupunem pentrusimplitate de ordinul doi)

y"+p(,x)y'+q(x)y=r(x), y(O)=Yo, y'(O)=Yb (6.31)se recomanda adesea metoda coelicicn!ilor nedeterminafi care consUl. in urmii-toarele:

Se cauta solutia problemei (5.31) sub forma00

y(x)= E cnxn (6.32)n=O

unde coeficientii c" se cer a fi determinati,. in ipoteza ca funetiile p, q ~i ,din (6.31) pot °fi dezvoltate in serii de puten astfel:

00 '00

p(x)=,:E p"xn, q(x)= E q"xn, r(x)= ~ r"xn

,,=0 ,,=0 ,,_0

D . 0'; d bOOmembri ai lui (6 32) ~i inlocuind· seriile lui y, y', y", p, q, renVIll am 11 • ,

in ecuatia (6.31) obtinem: , co

- f:" n(n--:l)cnxn+ ~ Pnxn. 'tt l1CnXn-I+j; qnxn. ~ cnxn= ~ rnxn

(6.33)H=2 11- . • A

Identificind coeficientii din (6.33) obtinem urmatorul sistem algebnc IIInecunoscuteIe Ci

2C2+CIPO+coqo=ro3cS+2c2PO+CIPI+ClqO+Coql=rl ( 34)4 .3C4+3csPo+2c2PI -j-CIP2+C2qO+CIQI+coQ2=r2 6.

•.•.•.•.••.•.•.•.•.•.•.•.•. "I" •.•.•.•.•.•.•.

(~;~';)(~~~;C~~~;L(Cn+l' Cn' ... , CI' co)=q"

d L(c C•••• 'c" ~o·)·~~~~.; 'f~~'e~~~'l;~i'a~~' ~~. ~~'~~~entele Co,CI' ••• ,

un e n+l, n'''··' l' #

Cn+IC' f" "'I' C Sl' C se determina din conditiile initiale (6.31) astfel d, si~-oe IClellLi 0 ° I . I~' I' (632) conshtmetemul (6.3L1) °poate fi rezolvat succesiv. Suma partIa ~ ad Ul t . (632) areo solutie, a roximativa pentru problema (6.31). Sena ooepu en. .

.' -Pde conver(Jenta~ ca SI'seriile de puten ale functlllor p, q 91r, .uceeasl raza b" , • • d' ~ bstI< D~ca co~ditiile initiale sint date pentru x=xo, atunci ~e 111 Ica su •

" , ' ci ce roblema la eazul precedent conslderat, , .tutla x-xo=t, car~ r~ u oop . d' t· (031) sint funetii periodlce

Observatie. Daca functllle p, Q, I ,lI~ e~ua Ia. . .' f cautata... d 2 atunci soIutia eeuabel dlferentlale (6.31) poate 1

Cll penoa a 7t '. 'sub forma unei serii trigonometnce:

V(x)= E(ale cos kx+bk sin kx)k=O

coeficientii a,,, bic obtinindu-se prin id~ntificare.

7. ;ezoIval'ea aproximativ3. a prolliemelor en condi~ii Ia limitii

Fie data ecuatia diferentiala de ordinul doi" V" = f(x, Y, Vi) (6.35)

, d·tOOI' I"m'ta (problema bilocal~) relativ la ecnatia (6.35)Problema ell con I,ll a 1 I ~ ',' C2[, b] care sa-r I ~ 0 felul urln~a·tor' sa se determine funcha yE a" .seormu eaza lll' 0

tisface ecuatia (6.35) pe intreg intervalul [a, b] ~i care in capetele interva-lului [a, b] satisface conditiile

IXoy(a)+lXly'(a)=A (6.36)(3oy(b)+(3IY'( b)= B

unde constantele IXo,lXI' (30' (31' A, B sint date ~i IIXoi+ IIXll #0, 1(301+ Ifll/ ;6 O.Conditiile (6.36) se numesc condi/ii la limiti'i.Vom descrie pe scurt citeva metode de rezolvare aproximativa a proble-

melor cu conditii la limita.'Metoda cu di{eren/e (inite. Fie xo=a, Xn=b, Xi: =xo+ilz, i=l, 2, ... ,n-l,

o diviziune uniforma a intervalului [a, b] de pas h : = b-a. Valorile aproxi-n

mative ale solutiei exacte Vex) ~i ale derivatelor sale y'(x), y"(x) In puncteleXj, VOl'fi notate prin y" respectiv V;, V;'. Metoda cu diferente finite consta inaproximarea derivatelor y'(xj), y"(xi) in fiecare punct interior al diviziuniiprin urmatoar.ele diferente:

y': = Yl+I-YI ,, 2h

Inlocuind in ecuatia (6.35) ~i in conditiile la limita (6.36) se obtine urmatorulsistem a1gebric:

Yl+I-2Yl+Yl_1 _ r(x y. Yl+l-Yl_l) i-I 2 n-lh3 - '1'., 2h ,-" ••• ,

YI-Yo A (.l A Yn-!!,I-J. BIXOYO+IXl-h- = 'l-'OY"+l-'l h =.

Pentru n suficient de mare, valorile Yi furnizate de acest sistem aproxlmeazasuficient de bine valorile y(xi) diutate. Daca ecuatia (6.35) este liniara, sis-temul algebric (6.38) este liniar. In caz contrar, acest sistem se poate rezolvaprill iteratii.

Metoda lui Galerkin. Metoda cu diferente finite furnizeaza solutia aproxi-mativa a prob1emei cu conditii la limita numai in pUllete discrete. Metodelecare urmeaza ne VOl'da solutia aproximativa sub forma unei expresii ana-litice.

Vom presupune di ecuatia (6.35) este liniara ~iyom introduce urrnatoarelenotatii:

L[y]: =y"+p(x)y'+q(x)y={(x)ra[y]: =IXoy(a)+lXly'(a)=Arb[y]: =(3oy(b)+(31y'(b)=B.

Presupunem ca pe intervalul [a, b] este dat un sistem de runc/if de bazi'i dinL2[a, b].

Uo(x), Ul(X), ... , un(x), ..•care satisface urmatoarele conditii:

(lr Sistemu1 {Ui} este ortogonal in L2[a, b], adidi:b b

~ 1l,(x)uj(x)dx=0, i i'j, ~u; (x)dx ;60. (6.41)a a

(2) Sistemul {ll,} este complet, adica nu exisla nici..f altii(.f~~ctle dif)r~~:de fUllctia zero care sa fie ortogonaHi pe toate functll e Ui z- , , ...

sistemu1ui. t' t' f e condi-(3) Sistemul finit {ui}7=1 este astfel ales incit func,la llo sa IS ac

tiile 1a limita neomogene r [ ]_Bra[llo]=A, b Uo -

. f t"1 () z· -1 2 n satisfac conditiile 1a limita omogene:Jar nnc II e Ui x, - , , ... , ., ra[ud=rb[ud,=O, i=l, 2, ... ,n.

Metoda 1ni Galerkin consta in a canta solntia aproximativa a(6.39) sub forma:

(6.43)prob1emei

••y(x)=uo(x)+ E Cilli(X).

1=1

Din conditiile (6.42), (6.43) rezulta. di Y satisface conditiile la limita din (6.39).Introducem urmatoarea notatle: - (6.45)

R(x, Cl' C2' ••• , cn): =.~{Y].-r(x)C f' t" {c} din (644) VOl'fi astfel alesl mClt mtegralaoe 1clen, II i .' b' ,

) R2(x, Cl' ••• , cn)dxa

sa ia valoarea minima. . . ¥ • d ¥ functia R(x, C1> ••• , cn)Aceasta integrala ia valoare~ mlllllua I:um{al} ~ca.. d~onditia de ortogo-

este ortogonala pe toate fUllctule de baza Ui' crun .nalitate

b~ u/;(x)R(x, cl, ..• ,cn)dx=O, k= 1, 2, ... , na

n b' bE Cj ) llk(x)L{lltldx= ~ uk(x){f(x)-L{uo]}dxi= 1 a a

k = 1, 2, ... , n

care esteun sistem alge?ric liniar in. necun(lo)scutle ifii~'r {u-} nu esteobliga-Observatie. Conditia de ortogonahtate a unc, ,

torie. Este'suficient ca ele sa fie linia.r indepe~de~~e~ a problemei (6.39) subMetoda colocatiei. Se cauta solutla aproXlma Iva

forma:••

y(x) = Uo(x) +E CjU,(x)~-l

unde functiile {u.(x)}n 't I" .' .(6 43)

, ,.=0 sm Huar lndependente' SI' sat' f ...• . .' ' IS ae eondltllie (6.42)-

Metoda eoloeatiei consUl in d t ' . .punind eonditia ea funetia ! e ermmarea eoefieientilor {Ci}~'=1 din (6.'18)

~ R(x, Cl, ... , cn): =L[y]-f(x)=L[Uo]-f(x)'+ t CiL[U;]

sa s~ anuleze intr-un sistem de puncte x '=1.numlte punete de colocalie (N ~. I 1, X2, ... , Xn ale mtervalului [a b]~ .' umalU punetelor de cola .f-' t b . ,.~numarul coeficientilor C

idin (6.48). cayle . re me sa fie egal

Ast~eI pentru determinarea coeficientiloreondu~l Ia urmatorul siste d .. . Cl, C2, ••• , cn din (6.48) slutem. m e ecuatll:. R(xl, C1,C2, , cn)=O

R(x2' Cl, C2, , cn)=O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6.49)R(x", Cv C2,.•. , c,,)=O

Observa!ie. Metoda eoloeatiei poate fi utT ~.mativa a problemei (6.35)-(636) 1 I lzata ~1 pentru rezolvarea aproxi-. . n acest eaz functia R se define~te astfel:

. . R=y" -{(x, y, y')lar slstemul de coloeat· (6 49) . .,Ie . este nehmar in neeunoseutele { .}c, .

8. Rezolvarca numcriea a cen t"l .• .,. a. u or llltegrale.Eenalll llltegl'ale ale lui Fredholm

Se considera eeuatia integrala a Iui Fredholm de t ..,,'spe a a mtlIab •

~ R(x, s)y(s)ds={(x)

b

y(x)-"A ~ K(x, s)y(s)ds=f(x)

~~_s~/tu~e problema, aproximarii soIuti~i y a acestor eeuatii,. e a a s~lmelor finite eonsta' A I " ' .fIlllta aleolud 0 formula 'd. d l~ l~ oemrea Illtegralei definite eu ,0 suma

b e cua ratura eonvenabilab .

} F(x)dx~ t;. AjF(xj) (6.53)

unde xj slut nodurile formulei (6.53)· situ t ' . . .'=1,2,.,., n) slnt eoeficientii formule'" ~ e llldIllt~rvalul [a, b]lar Aj (j=100 I III epen entl de funetia F. In]ocuind

integralele din (6,51) ~i (6.52) prin formula (6.53)~i facindpe X=Xi se obtinenEAjKijYj=fi, i=1,2, ... , n (6.54)

0=1

nYi-"AL,AjKijYj=fi, i=l, 2,.;., n (6.55)

;=1un de y,: =y(Xi)' KtJ: =K(Xi' Xj), fi: = ((Xi)'Astfel am obtinut un sistem liniar algebrie de ecuatii pentm determinareavalorilor Yi' AVlnd aceste valori putem scrie ca aproximatie a solutiei ecuatiei(6.51) polinomul care interpoleaza aceste valori Yi in punetele Xi' iar. pentruecuatia (6.52) solutia aproximativa 0 scriem astfel:

n

y(x)=f(x)+"A L, AJ{(x, Xj)Yj (6.56);=1

Calitatea aproxlmarn depinde de alegerea formulei de euadratura (6.53).Metada apraximarii nucleului printr-un nlzcleudegenerat. Pentru eeuatia

(6.52) 0 alta metoda se bazeaza pe aproximarea nuc1eului K(x, s) astfe!:

"K(x, s) ~ L, ai(x)bi(s)i=1

~i atund se eauta 0 solutie aproximativa a eeuatiei (6.52) sub formano

y(x)=f'(x)+"A L, Ciai(X)i=l

II

Ci= ~ bi(s)y(s)ds

Substituind (6.57) in (6.58) se obtine urmatorul siste'in algebricliniar innecunoscutele c, n

c,-'AEcjAjJ=fi (i=l. 2.",; n);=1

b b

fi: = ~bi(s){(s)ds, Aij: -:- .~aJC,,)b;(s)ds.

Observa!ie. Formula (6.57) poate Ii ~i suma partiaJa ~ seriei Taylor, s~u.a serit;i Fourier pentru functia K.

Eczza!ia integralG. a [Hi VallerraSe considera ecuatia integrala a'lui Volterra de speta a doua:

"y(x)-). ~ H(x, s)y(s)ds={ex)

ounde functiile date' J{ ~i { siut continue. Se presupune cYe'cua\ia (6'.62) an';soll~,tie unidi pentru orice A ..

, Metoda ,slln:e1or finite, descrisa la eeuat' '-<$1 la ecuatIa mtegrala a Iui V It ,w 1m Fredholm se poate aplica(6,53) in felul urmatoI" Pun"lndo" eI'I'a ut~lizind tot formula de cuadratura,,' 'I'd ' m eeuatIa (6 62) p ('"I III Ocum apoi integralele defin't ,'f ' e X=X£ l=l, 2, .. , n), l,e pnn ormula (6.53) se obtine: '

•Y'-A" A (f)K 1", L..- J ifYf=J;" l=O 1 11j=O ", , ••• , (6.63)

unde .lli: =Y(X.), Kif: =K(xi, x,) t" -f(x)A tf I' J' ,. - ,.sese obtme un sistem algebrie r"pentru determinarea valorilor ea t t lillar (6:63) cu matriee triunghiulara

alegerea formulei de cuadratura (~5;)~ Y.· Cahtatea aproximarii depinde de

Pl'obleme ~i exereitii

6.~. F~lo~ind metoda aproximatiiIoI' ' ¥aproxllnatIva a urmatoarei,'p bl' sueee~r~re, sa se determine 0 solutiePO eme cu condltle initiaHi:

y'c=X2+y2, y(O)=O Ixl::;;1, IYI::;;~,

6.2. Pentru' urmato 2

,)

" ,¥area problema eu condi~ie initiala sa se determl'Uo solutie aproxlmabva pe intervalul [0 1] , e'-5 pnn metoda aproximatiilorsuecesive, astfel' 't .mCI eI'oaI'ea sa fie mai mica decit 10-5•

, 1 2Y =lOY +x, y(O)=l.

6.3. Se da sistemul de eeuatii difeI'entiaIe:

!Y'=x+YZ

, 2 2Z =x -Y , y(O)=I, z(O)= ~

Folosind metod '" 2[0 0 3 a apI'oxunatllloI' sueeesive - ¥ ¥; , J 0 solutie aproximat' _ ' sa se gaseasea pe intervalul

6.4. Sa se determine ~va ICU 0 ~roare mai mica deeit 5 '10-3•

pentru solutiile urmiitoaI'~~I:ue e ~~71apI'oxi~~yi~ ~~ecesive luind Yo(x)=Y10, 2 ecua,ll eu eondltll lllltlale date' ()

, y =x+y, y(O)=O ° , .20 ,_ 6. Y =2x-l+y2, y(O)=1, y -x+y, y(O)=1 7° '_y-' 2

')0 , , y - x+Y, y(O)=Ov • Y =2y-2x2-3, y(0)=2 0, .

40, Y'=X2_y2, y(O)=O 8o, y, =xy+ V?' y(O)=O50 y'-e-

X2 (0) 9. y =x+y Sill x, y(O)=O

, - -y, y =1 ° ,10 . y=x+y cos x, y(O)=O11°, 'xy =2x-y, y(I)=2.

6.5. Sa se caleuleze primele trei aproximatii succesive pentru sollltiileurmatoarelor sisteme de eeuatii diferentiale cu eonditii initiale date, luindYo(x)=yo, zo(x)=zo·10. (y'=xy+z 20. {y'=x+y+z

1 z'=xzf'Y, y(O)=O, z(O)=l z'=y-z, y(O)=l, z(O)=-2,

30, {Y'=x_Z2 lY'=Y-Z4°.z' =x+y, y(O)=O, z(O)= 1 1z'=yz,y(O)=O, z(O)= 2'

6.6. Utilizind metoda aproximatiilor succesive cu Yo(x)=Yo sa se deter-mine pe intervalul [0, 1] 0 solutie aproximativa cu eroare mai mica dedt10-3 pentru urmatoarele ecuatii diferentiale Cll conditii date

1°. y'=x+yy-;' y(O)=O20. y'= : yx+ :0 y2, y(O)=O 3°. y'=2x- 1~0y2, y(O)=l.

6.7. Aplicind metoda Iui Euler sa se determine peintervalul [0,1] inmod tabular pentru h=0,2 0 solutie aproximativa a urmatoarei ecua~ii ellconditie data

Y'=y_~, y(O)=11.y

[ 3] F,-"

G.8. Aplicind metoda Iui Euler sa se determine pe intervalul 1'2 cu

h=O,l 0 solutie aproximativa pentru ecuatia

y" + !L +y=O, y(1)=0,77; y'(l)= -0,44,x

:r, 3-2y =y-- e ,y(O)=1.

2

Pe intervalul [0,3], sa se aplice metoda lui Euler de rezolvareaproximativacu h=O,2; h=O,l; h=O,05 $i sa se compare rezultatele cu solutia exactli.

6.10. Aplicind metoda Iui Euler cu h=O,l sa se rezolveaproximativurmatoarele eeuatii diferentiale eu conditii date10. y'=X2+y2, y(0)=1, xE[O,l] 2°. y'=1+xy2, y(O)=O,XE[O, 1]

30. y'= .-l!- -l/'y(O)=l, XE[O, 1] 4°. y'= ~xy, y(O)=l, XE[O, 1]x+l . 2

50, 2 1 ' 1 !l 2' [1 2]y'= _y + 2Ox

2' y(l)=l, xE[l, 216°, Y = ;; - -; -y , y(1)=2, XE ,

70. y'=l+ ~y sinx-y2, y(O)=O, XE[O, 1]5

80. y'= ~ _ ~xy2, y(O)=O, xE fe, ~]2 3 l 2

Iy' =e-(Y'+;:')'+2x '4°.

2 1z'=2x +Z, y(O)=-, z(0)=12

, '

Iy' =In(2x+ V4X<_+-Z2) ,5°. _

z'=V4x2+y2, y(O)=l, Z(O)=~2

GO. {Y'=XY+Z r. {y'=X+Z2

z'=y-z, y(O)=O, z(0)=1 Z'=xy, y(0)=1, z(O)=1,6.26. Aplidnd metoda lui Milne:"Simpson, sa se determine' pe intervalul

[0,1] cu 0 eroare de3 .10-4 0 solulie aproximativa a ecualiei diferenlialeurmatoare:

xy" +y' +xy=O, y(O)=l, y'(O)=O.6.27. AplicInd metoda lui Milne-Simpson" cu valorile de pornire calculate

prin una din metodele anterioare, sa se determine cu 0 eroare de 10-4 0 so-IUlie aproxim,ativa a unnatoarelor ecuatii diferentiale:

, y 3y21°. Y =--- -, , y(l)=l, xE[1,2]x 2

2°. y' -:-:-_5__ y tg X, y(0)=1,XE[0, 1]2 CDS X

'>0 , 2 ) 1 [1] x+Y () [3].:>. Y = x+y, y(O =-, XE 0, - 4°. y'= , y( )=0, XE 0'-410 2 x+y+l

Iy'=y+z '5°. '

z'=-y+z, y(O)=l, z(O)=O, XE[O, ~]6.28. Aplicind metoda serinor, sa se determine primii ~apte' termeni ai

dezvoltarii in serie de puteri a solutiei y a ecuatiei diferentiale urmatoare:

y" +~ y'2+ '(1 + ~X)Y=O, y(O)=l, y'(0)=2.10 10

6.29.5a se deterlnine primii patru termeni ai dezvoltarii in serie a soiu·tiei urmatorului sistem de ecuatii diferelltiale cu condilii date~

{y'=y cosx-zsinxz' =y sin x+z cos x, y(O)=l, z(O)~O '

6.30. Sa se determine primii cinci termeni ai dezvoltarii in serie a saIu·tiei urmatoarelor problemc cu conditii initialc:1°. y"+xy'+y=O, y(O)=O, y'(O)=l 2°. y'=x2+ell, y(l)=O ,3°. y'=cos(x+y), y(O)=O 4°. y'=x In y, y(l)-;l5°. y"+y cosx=O, y(0)=2, y'(O)=O 6°. y"+xy'~e'-:<'=O,y(O)=l, y'(O)=O

108

70, {y' =z+xy , (' 80. ,{ y' =x+z2..

.. z'=y-x, y(O)=O, z(O)=d z'=xy, y(O)==l, z(O)=-1.

6.31. Folosind metoda coeficientilor nedeterminali sa se: determine subforma unei serii de puteri solutia urmatoarei ecuatii diferenliale Cll conditiidate: ,

y" +xy' +2y=12, y(O)=5, y'(0)=2.6.32. Sa se determine prin metoda coeficientilor nedeterminati 0 solutie

aproximativa pentru problema:y"-xy'+y=l-cosx, y(O)=O, y'(O)=l

6.33. Folosind metoda seriilor de puteri sa se determine solutia generaHia urmatoarei ecuatii ..

y" -xy=O.6.34. Utilizind metoda coeficientilor nedeterminati

Iutii aproximative ale urmatoarelor probleme:

1°. y"+y'+x2y=_,1:_. y(O)=O, y'(O)=li-x

2°. y" -xy' -2y=e-x', y(O)= 1, y'(O)= L2

3°.4xy"+2y'+y=O, y(O)=l, Y'(O)=-~2

4°. xy"+y'+xy=O, y(O)=l, y'(O)=O5°. xy"+2y'+xy=0, y(O)=l, y'(O)=O

6.35. Sa se gaseasca solutia problemeiy"+4y=nx-x2,0<x<n

rodezvoltind-o intr-o serie de forma E Cln sin nx.

n=O6.36. Sa se gaseasca dezvoltarea in serie de puteri a solutiei ~('neTale

a ecuatiilor diferentiale1°. y"+y=O2°. y" +xy'-y=O3°. (1+x)y'-xy=0, x;6-1

6.37. Utilizind metoda eu diferente finite sa se gaseasca 0 solutie aproxi~m ativa a urmatoarei probleme la limita:

x2y" +xy' = 1, y(l)=O, y(l, 4)~O,0566 (= ~ In2(1, 4));" ,2 ..

4°. y'-xy=O5°. (2x+1)y" +(4x-2)y' -8y=0

6.38. Sa se determine 0 solutie aproximativa pentru tirmatoarea' problemaIa limita, folosind metoda difereIJ,telor finite,· cu pasulh=O,l;, .

y" -2xy'-2y= -4xy(O)-y'(O)=O; 2y(1)-y'(1)=1 - ..'

6.39. Folbsind metoda cu diferente finite sa se determine soIutii aproxi-tilative cu 0 eroare mai mica dec1t 10-2 pentru urmatoarele probleme la limita:

1°. y"+2xy'+2y=4x, y(O)=I, Y(~)=1,279

2°. y" + ~ y' +(l+2x2)y=4x, y(O)=I, y(I)=1,3672 .

3°. y"+<x-l)y'+3,125y=4x, y(O)=I, y(I)=1,367

4°. y"+2xu'+2y= 2(5-2x), y(O)=l, y(1)=1,367.1 (2_X)3

5°. Y"+Y'_~y=8X2_8x+~, y(I)=y(2)=1.x 2

6.40. Folosind metoda cu diferente finite de pas h=O,1 sa se determinesolutii aproximative ale urmatoarelor ecuatii diferentiale cu conditii lalimita:1°. y"+(I+x3)y'+(l-x2)y=el-3~',2°. y" +x2y' +(I-x)y= _x_· _,

x2+43°. y" +y' sin x+y= 1

4+sin2 x

40." !J' +Y - y=x,yx2+45°. y" +x2y' -xy=cx', y(O)=y(I)=O.

6.41. Se da urmatoarea problema la limita neliniaray"=2+y2, y(O)=y(I)=O

eu ajutorul metodei cu diferente finite de pas h=0,2 sa se determine 0 so-lutie aproximativa a acestei probleme.

6.42. Folosind metoda hii Galerkin sa se aproximeze solutia urmatoareiprobleme la Iimita:

y(O)=y(l)=O

y(O)=y(I)=O

y" - y' cos x+ y sin x=sin xy( -rr)=y(rr)=2.

6.43. Folosind metoda lui Galerkin sa se aproximeze soIutia urmatoareiprobleme la limita:

y"+y=-x, y(O)=y(I)=O.6.44. Folosind metoda lui Galerkin sa se determine solutii aproximative

ale urmatoarelor probleme la limita:1°. y" -V' cos x+y sin x=eos x, y( -rr)=y(rr)=22°. y"-2xy'+2y=x, y(O)=O, y(I)=l3°. y"-2xy'+2y=3x2+x-l, y(O)=O, y'(O)=l .

110

6.45. Folosind metoda eoloeatiei sa se aproximeze solutiile urmatoarelorprobleme la limita:1°. y"=2x+y, y(O)=y(l)=l2°. y"+rr2y=0, y(O)=O,I, y(l)=-O,l3°. y"+(1+x2)y+l =0, y( -l)=y(l)=O4°. y"=2x+y2, y(O)=y(l)=O.

6.46. Aplic1nd metoda eoloeatiei sa se determine solutiile aproximativepentru urmatoarele probleme la limita:1°. y" +x2y' -xy=ex, y(O)=y(l)=O 2°. y" +x2y' -xy=sin x, y(O)=y(I)=O3°. y"+y' - -.!L =x2_ ~x +~, y(O)=O, y'(I)=1

x 4 84°. Y"+Y'_.J!_ =4x2-x+2, y(O)=O, y'(l)=1.

x 26.47. FoJosind formula de euadratura a lui Simpson sa se aproximeze

soJutiile urmatoarelor eeuatii integrale ale lui Fredholm:1 o~

1°. y(x)+ ~xex·y(s)ds= e'" 20. y(x)- r 1+x+s y(s)ds=e-x.o J 2+X2+S2

o6.48. Aplicilld formula de euadratura a trapezului sa se determine solutii

aproximative pentru urmatoarele eeuaW integrale ale lui Fredholm:o

1°. y(x)- ~r e""y(s)ds=l-....!..- (eX-I)2 ~ 2x

11 1

~'!(~) 3 2 ~ l+x+s ()ds 1 22°, y(x)+ . ' ds = -'- -x 3°. y(x)- --- y s = -x.

1+x2+s2 2 2+xso 0

6.49. Inloeuind nudeul K(x, s) prin suma primilor trei termeni din dez-voltarea in serie Taylor a sa, sa se determine solutii aproximative pentruurmatoarele eeuatii integrale ale lui Fredholm:

1 1

1°. y(x)-) sh(xs)y(s)ds=l-x2 3°. y(x)- ~ (1+s)e(XS-l)y(s)ds=l-xo 01 1

2°. y(x)- \ Sin~XS) y(s)ds=x 4°. y(x)- r xs y(s)ds=e-x.t: ~ Yl+xs

6.50. Aplic1nd formula de euadratura a trapezului eu h=0,2 in inter-valul [0,1 J sa se determine solutii aproximative pentru urmatoarele eeuatiiintegrale ale lui Volterra:

'"1°. y(x)- ~e-x-'y(s)ds= ~ (e-"'+e-3X), XE[O, IJ

o

"2°. y(x)- ~

1/(s) ds= 1+x, XE[O, 1]l+x+s

0

"3°. y(x)- ~

u(s) ds= ch X, XE[O, 1]l+e-'"

0

ECUATH CD DERIVATE PARTIALE, ,DE ORDINUL INTU

•40. y(x) - 2

1~ y(s) d 2' []s= -SIll nx, XE 0, 1 .

2+sin n(x+s)o Preliminarii

De(initia 7.1. Se nume~te ecuatie cu derivate p,artia1e de ordinulintli 0relatie in care intervin variabilele independente Xl' X2, ••• ,Xn, functia ne-cunoscuta u de aceste variabile ~i derivatele ei partia1e de ordinul intli illraport cu Xl' X2, ••• , Xn•o ecuatie cu derivate partiale d~ ordinul intli se scrie sub forma:

au au(Xl' X2, ••• , X", u, -, ... , - )=0

OXl aXn

Aceasta reprezinta 0 scriere simbolica a urmatoarei probleme: Se da functia(: D.I-+R, D.ICR2n+1 $i se cere sa se determine functia UECI(D.), D.CRn

astfel 'incit:( ( )

OU(Xl""'X n)Xl' X2, ••• , X,,, U Xv X2, ••• , X" , , ••• ,

OXl

iJU(Xl, .•.• x.) ) r\ ( ) r\ .El.~l' Xl' X2, ••• , Xn El.~ ~lax. '

( (' ') iJU(Xl,'" ,x,,)

Xl' X2, ••• , Xn, U Xl> X2, ••• , Xn , ----- , ••• ,aXl

aU(Xl' ...• X.» 0 ( . ) r\= , Xl' X2, ••• , Xn E l.~.

ax.o solutie UECI(D.) a acestei probleme poarta numele de solutie a ecuatieicu derivate partiale (7.1).

In cazul in care (: D.I-+Rm, iar UECI(D., Rlol) ecuatia (7.1) reprezinta

un sistem de ecuatii cu derivate partiale de ordinul intli.Problema lui Cauchy se formuleaza in felul urmator: Dindu-se ecuatia

cu derivate partia1e (7.1) se cere sa se determine solutiile acestei ecuatii caresatisfac 0 conditie de forma

U(XI, X2" ••• ' Xn-l' XO,,)=<p(Xl> X2,"" Xn-l) (7.2)unde XOilER ~i q$ : D.2-+R, (D.2CRn-l

) sint date.

1. Sisteme de ecualii diferenlialc sub forma sim.etrica

Se considera sisternul de ecuatii diferentialey'=(x, y), f: D.-+R", D.CR"+I (7.3)

113

Definifia 7.2. Printr-o integralii prima a sistemulUI'relatie de forma (7.3) se intelege 0

cp(X, YI' Y2' ... , Yn)=C;are n.u este triviala ~i care este identic satisfacutii da ~ ,~~oSCo~~;ia~u0 solutie a sistemului, constanta C putind C:a ~~ ~odifi~eY~;~~i

Dindu-se n integrale prime ale sistemulul' (7 ).3 , functional independente

~1(X, YI' ... , Yn)=CID(qJI' ... , <P.) =FOD(Yl> .•. , y.)cp,,(X, Yh ... , y,,)=C,.

~i rezolvind in raport cumului (7.3) YI, Y2' ... , Yn, se obtine solutia generaia a siste-

YI= (h(x, CI, ••• , Cn)~2= l./!2(X,CI, ... , Cn)

Yn=l./!n(x, Ch ••• , C.)~i reciproc.

Definifia 7.3. Daca sistemul de ecuatii diferentiale este scris sub formadXI dX2

X1(xll X2, ••• t xn) X2(Xl1 ••• , Xtt)

spunem ca este scris sub forma simelricii.Rez~l~::r~afie: ,Orice ~istem de forma (7.3) poate' fi scris sub forma (7.4).functionat .sl~temu~Ul (7.4) se red.uce Ia ~eterminarea a n-l integrale primetoda' comb~n tePlen ~ntte. D~termlllarea mtegralelor prime se face prin me-

IDa ,n or ID egrabrle.

dx"X,,(Xl> .. , .. x,,)

2. Eeualii eu derivate partiale de ordinul intii Iiniare §i omogene

Definifia 7.4. Ecuatia cu derivate partiale de ordinul intii

XI(xv ... ,x,,) oU + ... +X (x x x) au -0 (7.5)aXI. n 1> 2"", n ---

a."C"

unde Xt: E Q ~R, QCRn, X;ECI(Q) si ~ 2 ,. ' L..,. X;(Xh ... , Xn) fO,;=1

(Xl' X2' ... , X )EQ se numeste t· d' 'Ii' ~ . n , ecua Ie cu envate partiale de ordinul intl'illlara ~l omogena. '

Definifia 7.5. Sistemul de ecuatii diferentialedXI dX2 dx

Xl(xl> ... ,x.) = X2(XV ••• , x.) = ... = x (x· •• x ) (7.6)• ,. 1"" n

se nume!]te ~:astem caracteristic al ecuatiei (7.5).

IH

Teorema 7.1. Dad CPj(XI"'" xn)=Ct (i=1, 2, ... , n-l), cpjECI(Q) slntn-1 integrale prime functional independente ale sistemului (7.6), atunci

u=cI>( CPI, CP2' •.. , CPn-l)unde <DECI(QI), QICRn-l este solutia generaHi. a ecuatiei (7.5), functia <!>fiind 0 functie arbitrara, derivabila.

Metoda d'e rezolvare a ecuatiei (7.5) consta in urmatoarele:_ La ecuatia (7.5) se ata~eaza sistemul caracteristic (7.6) ._ Se determina n-1 integrale prime functional independente ale siste-

mului (7.6)._ Solutia generaIa a ecuatiei (7.5) este 0 functie arbitrara de aceste n-1

integrale prime.Rezolvarea problemei lui Cauchy

X au au T eU 01-+X2 -+ ...+Xn-=eXI eX2 OX"

oU(XI, X2' ..• , X"_h xn)= ep(Xl' X2, ... , Xn-l)se face in felul urmator: Fie <p;(x,YI," ., y,,)=C;, i=1, 2, ... , n-1, Ii-I

integrale prime functional independente ale sistemului caracteristic (7.6)1;)ifie 'Q

I0 vecinatate a punctului (Xl' X2, ... , Xn-l' X~) astfel indt, sistemul

o - .<Pj(XI' XZ, ... ,X,,_l' X,,)=Ci, 1=1,2, ... ,n-1

sa se rezolve in mod unic in Xl' Xz, •.• , X"_l' deci astfel ca• X,=Wi(CI, C;, ... , C,,), i=1, 2; ... , n-l.

Atunci solutia problemei lui Cauchy esteU=<D(WI(CPI(X)", ., CPn_I(X»"" , W,,_I(CPl(X), .•. , ep"_I(X))),

X=(XI' ... , x,,).

3. Ecuatii eu d.el'i vate partiale de ordinul tntU cvasiliniare

Definztia 7.6. ° ecuatie cu derivate partiale de forma:au au auXI(x, H)- +Xz(X, u)- + ... +x,.(x, Hr=- =Xn+l(x, H), (7.7)aXl aX2 ax,.

X=(Xl' ... , xn)n+1

unde X,ECI(Ql)' QICRn+l, i=1, 2, ... , n+1 ~iLX~(x, u)#O se nume~te,=1

ecua[ie cvasiliniara.Definifia 7.7. Sistemul de ecuatH diferentiale

<!xl _ dX2 _ _ d:"C,. _

Xl(Xl, ... ,x.' u) - X2(Xl," . , x.' u) - ',' • - X.(XI'··· , x., u) -du

X,,+l(XI, ... ,x.' u)

se nume~te sistemul caracteristic al ecuatiei (7.7).·

Dadi CPi(Xl"'" xii, U)-Ci, ,i=1,2" ... , it sint n integrale prime func-tional independente ale sis,temului (7.8) atunci solutia generalii a ecuatieicvasiliniare (7.7) este

<1>(CPl(Xl' ••• , Xn, u), ... , CPn(xvX2, ... , xn, u» =0 (7.9)unde <1> : Q--+R, QCRn, <1>EC1(Q) este 0 functie arbitrara derival:liHi. Prinurmare solutia generala a. ecuatiei cvasiliniare (7.7) este definibi implicit.

Observa!ie. Problema lui Cauchy pentru ecuatia cvasiIiniara (7.7) se for-muleaza analog ~i S6 rezolva analog ca ~i in cazul ecuatiei Iiniare omogene.

4. Sisteme de eeuatii en derivate partiale de ordinul intii

Se considera sistemul de ecuatii cu derivate partiale de ordinul in.t~'iau au- =f,(x, y, u); - =g(x, y, u) "c(7.10)ax; ay

cu 0 singura functie necunoscuta u de variabilele independente x ~i y. Sepresupune ca functiiIe f li'ig slnt astfel indt solutiile sistemului u sint de clasaC2(Q), QCR2• Atunci pentru orice solutie u a sistemului (7.10) are loc egali-t t a2u a2u . l' - I t·a ea -- = -- ceea ce Imp lca re a,w:

axay ayax~ + ~ .g = ag + ag • f (7.11)au au ax au·

Aceasta este 0 conditie necesara pentru ca sistemul (7.10) sa aiba solutie~i se nume~te condi!ia de compatibilitate a sistemului.

Daca conditia de compatibilitate (7.11) este satisfacuta, sistemul (7.10)se poate rezolva astfel: se rezolva prima ecuatie din sistem in raport cu x,presllpunind ca y este un parametru: Se obtine 'fuhctia II ce depinde de va-riabila x ~i de 0 functie arbitrara de parametrul y. Impunindu-se ca func-tia II astfel obtinuta sa satisfacii ~i cea de-a doua ecuatie din sistem, se obtineo ecuatie diferentiala care determina functia arbitrara de y.

S'e considera expresia diferentiala(i)=Pdx+Qdy+Rdz

unde P; Q, R : Q-+R, nCRa sint fanctii date sufi dent de regulare.Referitor la (,) se pun urmatoarele doua probleme:

. a) Sa se determine suprafetele din Q : z= cp(x,y) in punctele carora <.U =0adicil pentru care are loc egalitatea '

P(x, y, <p(x,y»dx+Q(x, y, <p(x,y»dy+R(x, y, ep(x, y»dcp(x, y)=Ob) Sa sa determine curbele din Q: X=X, y= cp(x), z= ~(x), pentru care

<.0=0 adicii pentru care are loc ~galitateaP(x, <p(x), ~(x»dx+Q(x, cp(x), ~(x»dcp(x)+R(x, rp(x), ~(x»d ~(x)=O

116

o yom nota simbolicI ). b) constituie ecuafia lui Pfaff pc care

Probleme e a :;;1prin: Pdx+Qdy+Rdz=O

Presupunind ca !(x, y, ~) #0,. (x, y, Z)EQ, e~uatiavalenta cu urmatorul slstem. az Q(x, y, z)

az P(x, y, z) _ =- -- =- ) , ay R(x, y, z)ax R(x, y, z 13) conduce lafbilitate (711) scrisa pentru sistemul (7.

Conditia de compa I' ap aQ )aQ oR ) (aR_ ~) + R (- - - =0P (-, - - +Q ax oZ ay axaz au . . 1 . Pf ff, . . ' I t inte rabilitate a ecuatlel UI a.

care se nume:;;te condl(le de com~ et . t g<1rabilaadmite intotdeauna un factoro eeuatie a lui Pfaff comp e III eo <

inteo-rant. dT'1Daea sint indeplinite con I,ll e oR ap

of iJQ ~ =~, - =--:;;- =- - , az ay ax u

atunci <.U est~ 0 ;~eret~~:l~ t~~~l~ e:-a:c~:t:c~:~ia l~:i Pfaff devine du(x, y, z)=-=0 ~i funct1a cauta a u III •

u(x, y, z)= ~ P(x, y, z)dx+ tQ(XO, y, z)dy+ }oR(XO~Yo, z)dz,

"0 (x, y, Z)EQ, (xo, Yo, zo)",Q (fixat)

.u(x, y, z)=C

. f '1' de solu+ii ale eeua'tiei.defIlle;;te 0 ami Ie ~ . l'Problema b) se poate sene astfe.

du ) dz =0, P(x, y, z)+Q(x, y, z) dx +R(x, y, z dx' .

. . _ . ~'udoua functii necunoscute y,;;l z.care, este 0 ecuatie dlf~rentla1a or~l~:~:r~inind_o pe cealalta prin rezolv~reaAI.O"nd arbitral' una dIll acestea ~I f Te de solutii ce depIlldeeol' lt~ ca problema b) are 0 amI I ,ecuatiei o~tiuut~. re:u . ~e 0 constanta arbitrara. ' .de '0 functle arbltrara ~l .

(7.12)

lui Pfaff (7.12) este echi-

d' l' C' neIiniare6. Ecualii eu derivate partiale de or lUll III 11

~ t' a neliniaraSe considera ecua,lf (x, y, u, au ,, ax

auScrier,ii notam - =p,Pentru u~urarea ax

au) =0auau-=q.ay

(7.16)

(7.17)

Derinilia 7.8. Printr-o integraHi completa a ecuatiei (7,18) se intelegeo familie de solutii ce depinde de doi parametri reali

u(x, y)= ep(x, y, a, b)Se ata~aza ecuatiei (7.18) urmatorul sistem de ecuatii diferentiale, Dumit

sistem caracteristic al ecuatieidx dy du dp--= -= -----P Q Pp+Qq -(x+pU)

unde P= .!.[, Q= at, x= .!1., y= .!1., u= .!1.ap aq ax ay au

Fie g(x, y, 11,p, q)=a 0 integrala prima oarecare a sistemuluiDaca sistemul algebric rex, y, u, p, q)=O

g(x, y, u, p, q)=aeste rezolvabil in p ~i q ~i se noteaza cu p =F(x, y, u, a), q=G(x, y, u, a) so-lutia acestui sistem, atunci ecuatia lui Pfaff

F(x, y, u, a)dx+G(x, y, u, a)dy-du=Oeste complet integrabiHi ~i familia de solutii a ei scrisa sub forma:

Vex, y, u, a, b)=Ocompletii a ecuatiei (7.18).se poate explicita pe u= ep(x, y, a, b) ~i este derivabiladin sistemul de ecuatii

acp(x, y, a, b) =0 acp(x, y, a, b) =0oa ab

pe a=a(x, y), b= b(x, y), se ob~ine u= ep(x, y, a(x, y), b(x, y» care este inie-grala singulara a ecuatiei (7.18).

Daca acp, acp nu se anuleaza identic, atunci se anuleaza deterninantuiaa abfunctional D(a, b) =0 ceea ce inseamna ca intre a ~i b exista 0 relatie func-

D(x, y)tionaUi b=w(a).

Multimea de solutii 11= ep(x, y, a, w(a» se nume~te integrala generalaa ecuatiei (7.18).

Integrala singulara a ecuatiei (7.18) se poate obtine ~i cn ajutol"ul inte-gralei complete (7.22)~i anume eliminind pe a ~i ;b din sistemnl

V( b)-O av(x, y, u, a, b) 0 av(x, y, u, a, b) ••X, y, 11, a, -, ------= , v

aa abProblema lui Cauchy se formuleaza in felul nrmator: sa'se determine

suprafetele integrale ale ecuatiei (7.18) care trec prin 0 curba data definitade ecua!iile:

furnizeaza integl'alaDad din (7.22)

atunci determinind

dq

-(Y+qU)

(7.19).

(7.20)

~ .. (7 18) este u= ep(x, y, a, w(a» atunci re-Daca integraia ge~er~la a eeuaJ~~line "ta a determina functia w astfel ea su-zolvarea problemel 1m ca»uc~ytreaca prin eurba (7.23). Inlocuind pe X, y, uprafata u= ep(x, y.• a, w(a sdin (7.23) se obtlOe: (7 24)

<D(f,a, w(a»):= -X(t)+ep(~(f), ~(f), a, w(a»=O '... bi . IUI' Cauchy se obtine eliminind parametrul a din eeuatllle:

Sol UtIa pro emel~ + ~ ·w'(a)=O.

aa oW

~=O.at

rt' I ale urmatoarelor fa-7.1. Sa se determine ecnatiile, eu deriva.te pa ,la eroilii de suprafete ce depind de dOl par:~e~n. ay+ \j2ax+ b: a, bER

1°. u=ax+by+ab, a, bER 7< u2_2(y-a)(bx-l)=O a,bER2° u=axy+ b, a, bER .1- +b. \ a ay bER8°. u=2 -; +~' a,~o. u=(x_a)2+(y-b)2, a, bER

40. u=ax2+by2+ab, a, bER go. u= [~1(ax2+y+b)r1, a, bER.

-0 )2 ( b)2+u2-r2=0, a, b, rER, r fixat ...:J • (x-a + y- .' I I .' ale urmatoarelot sisteme de ecnatll

7.2. Sa se determlOe ll1tegr~ e e ~)1~mediferentiale scrise sub forma slmetnca:

dxdx dy dz. 2°. - =10. _=- =-, v-x x+y+z x-v

y+z X+Z x+Y dx dy dz.d.l: dy _~=~" 4°. --=-=-,

3°. - = - - z xz Yy-u z-x u-y x-z ddx dy dz. 60. dx =~=~;

5°. -=- =--, x Y xy+zz2_y2 z -y dx dy dzdx dy dz. 8°. ----= -,- = .--

70. -, X+y2+Z2 Y z--;;= y; - xy-yz2+1 d. ale nrmatoarelor sisteme e7.3. Sa se afle integralele prime

ferentiale:dx1°. ----~

X(y2_Z2)

dx3°. _x2

dy_Y(Z2+X2)

dy dz-xy-2z 2

dy

dx dlJ2°. -- =

x(z-y) y(y-x)dx dy, _

---=--x(y+z) z(z-y)

dx d!J--=--=xy~ x2y

_d_x_'= _d_Y_Z2_;I;:l

dzZ(X2+y2)

'd::

<Ix dy dzx(y-z) y(z-x) z(x-y)

7.4. Sa se determine i t I I '. t d '" negra e e pnme corespunzatoareSIS erne e ecuatll dlferentiale scrise sub forma simetridi1°. ~ ~ ~

2y(2a-x) x2+::2_y2_4ax' = -2yz ' aER20. dx dy dz

xy -YV1-y2 zVl-y2-axy' aERdx rIy dz

x(yS -2xS) y(2yS_ XS) 9z(xS- yS)

4 0. _d_x_ = _d_Y_= __ -;=:d:::z==:0-X Y z- VX2+y2+Z2

(Ix dy dz

y(x+y) -x(x+y) - (x-y)(2x+2y+z)

50. _d_x_ = _d_Y_ = zdzx+y x-y y2-2xy_x2

dx dy dz• =--X"y -x-v y2_x~

<IXI <IX2--=,--=

dX1

X2+X3+ • , .,+X,,+Z

dz

Xl+X2+ '" +x"

7.5. Sa se determine solutia a l~ ~partiale de ordinul intH lin" :;>eneraa a urmatoarelor ecuatii cu derivate" lare ~l omogene: '

10. au auy -- -x -- =0 20. all all ' aoX oy x-- - 2y -- -z _u_ =0ax oY oz30, au "\~ all

xY-a- -Y V1-y· - +(zYl-y~-(,xy) ~ =0 aERx oy (jz '.

4°. (x+2y)~ -y ~ '-""0OX 011

,'ell all all(x- z)- + (y-z) - + 2z - =0

OX ay az

(1 +Y3z-x-y) ~ + 2 ~ + au =0ax oY Jz9 au 2 i'Ju' 2 2) allx(1-2y") - -y(l +2x ) -, - +2z(x +y - =0

. ax ' . ay· azall all au ( ) au 0(XI-X2) - +(XI-X2) - +(XI-X2+1)(Xa-X4) -+ Xa--:X4 -- =aXl - axz axs " aX4

all all all(X2+Xa+X4) -,- +(Xa+X4+XI) - +(X4+Xl +X2) - +

, ", aXI 'axz (jXsau+ (:i1.+X1 +X2) - =0~ aX4

00 all all au1 . Xl -- +X2 -- + ... +Xll -- =0.

OXI OXz ax.7.6. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii cu derivate partia1e de ordinul

intii liniare ~i omogene:

10. (y2+Z2 _x2) ~ -2xy ail -2xz ~ =0" eX au iJz

8oll au, _.2 9 au2°. xz-_- +2yz-o- +(4x-+y")- =0

L~. OX oy oZ

all ell all3°. - +(1 +x-y-z) - +(y-x+z) - =0ax oY az40. (m P) Oil + (P ") au '( n m) au 0y -z -- z -x -- -;-x -y , -- =ax au az

7.7. Sa se determine solutii1e urmatoarelor probleme ale lui Cauchy:

'1°, eu + ezz 0 (1)x- y-=, ux, =,XoX ay

, ')0,' :,1-' ezz ,/- aLl' ,r:: 'all 0- vx-+vY-+vz-=,ex ay OZ

3°,

)1 4°.

6°,

7°.

8°,

(1+x2) ~ +xy ~ =0, [l(0,y)=y2AX oY

ell ell 0 ( 1) 2 50. ,all + (?,eX----,-y)' ell =0,x--y-= , [lX, = x; -oX oY OX eY'

2Yx ~ -y ~ =0, l1(1, y)=y2eX ay

ell + ~ +2 eu =0, [l(1, y, z)=yzax oY oz

ell au au 2 2X - + y - +xy - =0, !leX, y, O)=x-t-!; .

eX OY az

7.8. Sa se determine solutiile generale ale urmatoarelor eeuatii eu den·-vate partiale evasiliniare.

° au au au1 . $1 - + X2- + ... + Xn - =ku, kENaXl aX2 oXn

° au au au au2. y-+x-' =x-y; 3°. e"'_+y2_ =ye"';ax au ax au

40 2x au ( ) au 2 au 2 au· -+y-x-=x; 5°.xy--x-=yuax ay ax ay

60 (2 2) au au 2 ~ au au· x +y - +2xy-=-u 1°. x-- +2y- =x2y+uax au ax a!l

80 2 4 au au '\ /-2-- 2 au 2' au· y--xy-=xvu+1; go.xu-+yu-=x+yax au ax au

100 all all all all ,· yu - -xu - =e"; 110. (U_y)2- +xu - =xu~ ~ ~ ~

120 au ( ) au all au y.xy-+x-2u -=uy 13°. y-+u-=-ax au ax au x

° . 2 all all 2 au au14 . SIll x - +tg u - =eos u 15°. (xu+ y) -+(X+lly) -=1-u2~ ~ . ~ ~

) au all(x+u -+(y+u)- =x+yax au

( ) all au auy+z -+(z+x)-+(x+y) -=uax ay azau all all &b~;'" .

x-+y -+(u+z)-=xyax ay az

( ) au au allu-x - +(u-y)- -z - =x+yax au az

7.9. Sa se determine solutiile generale ale urmatoarelor eeuatii de ordinuJintii evasiliniare

° . au au2 . (1 + Vu-x-y)- + - =2ax ay .10. xy~ _ y2 au =-x(l+x2).

. ax au '3°. y~ +yu~ =-(I+u2)

oX ay

4°. 2y(2a-x) ~ +(x2+u2_y2-4ax) ~ =-2yu,. aErRax ay

2 au ? au 2 25°. xy - +X"y- =u(x +y)ax ay

au --- ~u6°. X-.. -. +(y- VR2-U2) _0_ =0, R,= IRex ,iJ.y

7°. x~ + Y ~ =xy+u~ augo. X all + y~ =u+a\lx2+y2+u2, aEIR.

~ au7.10. Sa se determine multimea faetorilor integranti

ferentiaHi:(XSy_ 2y4)dx+(ySx- 2x4)dy=0.

7.n. Sa se rezolve urmatoarele eeuatii eu derivate partiale de ordinulintii cvasiliniare:

au au 2 21°. x-+y-=u-x-yax ay

2°. (x+y)~ +(y-x)~ =uax ax3°. (u+y- x) ~ +(u+x-y)~ =x+y+uax au

4°. x~ +(z+u)~+(y+u)~=y+z~ ay axau au all 2 25°. x-+y-+z-=x + uax ay ax

" all ) au + +60. (y+z+u) ~ +(X+Z+ll) - +(x+y+u - =x y zax ay ax

7°. x~ + Vl+y2~ =xyax ay

go. (cy_bu)~+(au-c~)~=bx-ay,a, b,CEIRax, oY

7.12. Sa se determine solutia generala a urmatoarelor eeuatii:au au au XIX2' •• Xn

1°. X1- +X2- + ... +xn- =u+aXl aX2 aXn uau au " au· + + +2° (1+- /u a x - -a x ) - + - + ... -f - =al a2 ... an

. V-II' • • n n aXl aX2 ax. .al, a2,... , anEIR

'1 au ) au + +3°. (Xz+xs+ ... +xn+u)- +(Xl+xs+ ... +xn+u --;;;- ...aXl 2

all '+(Xl+X2+ .. , +Xn_l+U)- =Xl+X2+ ... +xn•ax.

7.13. Sa se determine suprafetele integrale ee tree prin eurbele date, aleurmatoarelor eeuatii ell derivate par~iale:

10. ax ax. x'x-l z-y2 2° X~-y.!!..=·z;y=x, z=xsz;;; -z a;;='Y-' -, - . ax au

30 oz oz· xz - +yz- = -xy; y=x2, z=x3ax oy

~

o oz oZ 2~ x- -2y - =x +y2; y=l, z=x2ax oy .

50 oZ oz· x- +y-'- =z-xy; x=2, z=y2+1ax auiJz oZ6°. x-.- -y- =z2(x-3y); x=l, yz+l =0ax au .

7°. x~ +y~ =Z_X2_y2. y=-2 z=x-x2ax au ' . , .

80 oz ax· z - -xy - =2xz; x+y=2, yz=loz oZgo. x~+(xz+y)~ =Z; x+y=2z, xz=l

o'/t- au100 2 8z 3z 2· Y - +yz- =-z; x-y=O, x-yz=lax oy110. ( ) oz ( ) ozx-z - + !l-Z - =2z; x-y=2, z+2x= 1

ax 00/12°. xy3~ + x2y2~ =/z; X=-Z3, y=Z2

ax oy130. oz ozx- +y - =2xy;. y=x, z=x3

ax ay14°. z(x+z) oZ -y(y+z) oz =0; z=viJ, x==1.

ax au7.J4. Sa se determine solutiile urmatoarelor probleme Cauchy:

10. oZ oZ u-x 2-- - =- x=l, II =zax ou.z .

20 (2 ) oz 2 oZ 2.. ax a +xy - -ay(a +xy) - = _(X2+y2)Z2, z=a, x +y2=r2, a, rEIRAX au .

30. ( ) oz + oz 2?Z x-a - yz- =ax-x -y-"x=O, y=Oax oy40. 2 oz +2 oz 2 2 ?xz- yz- =z -x -y-,

ax aui) x=a, z2_y2=a2, dE In > ••

ii) x+y+z=O, x2+y2+z2=a2, aE IRoz oz" .,'

5°.2chx-+2yshx-=zshxax . . ' aU· .

i) x=y=zii) x=O, z=2m(y-'-a), a, mEIRiii) z=O, y' eX ch X, cl.EIR."

7.15. 1°. Sa se determine suprafata care este' ortonbrmala familiei deconuri xy=rxz2, rxER~i care trece prin cercul de ecuatie x2+z2=1, y=2.

2°. Analog pehtrn famiIia.:de suprafete ,X2+y2+Z2=rxx, aE IR.7.16. Sa sedetermine suprafata integrala ce trece prin curba data, a

urmatoarei ecuatii:

x(x2 +3y2) ~ + 2y3 ~ =2y2z, z=h, x2-ty2=a2.ax au

7.17. Sa se rezolve ecuatia en derivate partialeaz azxn _'= y" _ +znax ay

pentru nEZ. Sa se gaseasca suprafata care satisface ecuatia ~i care trece prindreapta de ecuatie z=l, x=yY2. Sa se ce~ceteze cazurile n=l, n=-1.- 7.13. Sa se verifice daca urmatoarele sisteIl}e de ecu~tii cu derivate par-tiale sint compatibile ~i In caz afirmativ sa se' rezolve. ' .

Iau- =u+yuax1°.

au =u2-t2xuoU Iau =il Iau =y2. ax eX20. " 3°.

au = 2a _y2 eu.2- + 2a _y2au. U ~u ~ 2y2 Y

Iau = u Iau =y-u I~:=2YU"""'U24°,' OX :a 5°., ax ; .0,0., 3.u

au = _ ~ =xu - =xu.oy U 3u oy

7.19. Se considera forma diferentialaw=(3x2y2-eXz)dx+(2x3y+sin z)dy+(y cos z-eX)dz

Se cere:a) Sa se arate ca w este 0 diferentiala totaUi exacta.b) Sa se determine suprafetele integrale ale ecuatiei lui Pfaff w =0. ,7.20. Sa se integreze urmatoarele ecuatii ale lui Pfaff:

1°. yzdx+xzdy+xydz=O2°. (1-4x)dy+(1 +4y)dy-4zdz=03°. (y+z)dx+(z+x)dy+(x+y)dz=O4 0. x(y_l)~z_l)dx+y(z-l)(x':-l)dy+z(x-'-l)(y-l)dz=O50. (2x2+2xy +2xz2+1)dx +dy +2zdz;::0GO. y2dx-zdy+ydz=07°. x2dx-z2dy-xydz=08°, (x-y)dx+zdy-xdz=Ogo. (2yz+3x)dx+xzdy+xydz=0

10°. 2xdx+dy+(2x2z+2yz+2z2+1)dz=;=O

110. Y(Z- y)dx+x(z-x)dy-xydz=O12°. (1 +yz)dx+x(z-x)dy-(l +xy)dz=O13°. (2x+yz)dx+(2y+zx)dy+(2z+xy-l)dz=0

14°. (yz-In z)dx+(xz-ln z)dy + (xy- x:y) dz=O

15°. y(yz+ a2)dx+x(xz+ a2)dy-xy(x+ y)dz=O, a E IR7.21. Sa se arate ca functia

u=ax+by+[(a, b), a, b EIReste 0 integrala completa a ecuatiei lui Clairaut generalizata

u=px+qy+[(p, q)7.22. Sa se determine integrala completa pentru urmatoarele ecuatii

particulare:1°. [(p, q)=O; 2°. f(y, p, q)=O; 3°. [(ll, p, q)=O; 4°. [(x, y, p, q)=O.

7.23. Sa se determine familia de suprafete integrale ale urmatoarelorecuatii cu derivate partiale neliniare:1°. p2-xp_q=0; 7°. p2+q2=[(yx2+y2)2°. pq-u=O; 8°, pm+qm_u"=O, m, nE IN3°. px+qy+upq=O; go. px+qy-u=O4°. p2_q2+U=0; 10°. (p-x)2_(q-y)2-1=05°. xp2t+y3pq-u-qy=0 110. 2u-PX+qy+q2=06°. (pX+qy)2_11(pX+qy)+p2+t=0 12°. (pX+qy)2_p2_q2_1 =0.

7.24. Sa se giiseasca solutia urmatoarelor probleme Cauchy:1°. u-px-qy-3p2+q2=0; x=O, U=y22°. p2+q2_U=0; x=cos I, y=sin I, u=13°. X(p2+q2)_(X2+y2)p+UX=0; x=cos I, y=sin t, u=O

4°. p2-2pq+2q2_4u=0; x=O, y=t, ,ll= /22

5°. u(p2+q2)_3a2=0; x=O, y=~, z=t, aEIR2aV2

6°. p2_q2_2u=0; x=O, y=t, z=(I+t)2

7°. 2u-2px-2py+q2=0; x=O, y=t, u=!:2

8°. pq-xy=O; x=l, y=t, u=yl +12

go. U2_p2_t-1=O; x=t, y=1-t, u=l

10°. tx-py=O; a) x=O, y=t, u=t3

b) x=t, y=O, u=t2

110, p2+t-u2+1 =0; X2+y2=).,.2, 1l=1

312°. U2(p2+t+4)-16=0,X2+y2= 4' u=1

p9 /213°. ll+px+qy+ q2 =0, x= 2' y=t, u=O.

7.25. Sa se determine integralele singulare ale urmatoarelor ecuatii;10. u_px_qy_p2_pq_q2=02°, p2+q2+p+q+x+y+2u-l =030. p2+q2+1_ ( 1-

p-a)2 =0X+Y+ll .

4°. u+px+X3pq+X2yt=0,3/-5°. u-px-qy- vpq=O

4°. <Jl1(x)=2sinx; <Jlz(x)=2casx-l; CP3(X)=X

5°. <Jl1(X)= cas x, <Jlz(x)=sin x, CP3(x)=sinx+cas x.4.13. 1°. <Jl(x)=xez-ex+l; 2°. cp(x)=-e"';

3°. ep(x)= ~ x sin x; 4°. cp(x)=l-e-z_xe-x

5°. cp(x)=1-x+2(sin x-cas x).

4.14. 1°. Aplicind transformata Laplace obtinem

Y(p)+(2e-P+ 3e-2P) Y(p)=F(p) ~ Y(p)= F(p)(l-e-P)(l +ae-P)

d. - Y() F(p) [ 1 ;l] F(p)a lca p = -- --_-, + --_-, = --[1+e-P+e-2p+ ... +e-np+ ... 1+

4 l-e 1 1-3e p 4

3F(p) F(p) co+ -4 - [l-3e-P+ ... ]= F(p)+ -4- L e-p"[l +( _3)n+1]n=1

1 codeci y(x)=f(x)+ 4L [1-( -3)"+1 ]f(x-n)

u=l

2°. y(x)=cos x.

4.15. 1°. Fie L(y(x»(p)= Y(p).

Atunci L(y'(x»(p)=p Y(p)-y(O)

L(y"(x»(p) = p2 Y(p) - P Y(O) _ y'(O)

L(xy"(x»(p)= - ~ {pzY(p)_py(O)_y'(O)} =dp

o d yep)= -p- ~ -2p Y(p)+y(O).

Ecuatia data devine2 d yep)

- p -- -2pY(p)+y(O)-2pY(p)+2y(O)=Odp

sau Y(p)= y(O) + ~P p4

adica soIutia cautata este: y(x)=y(O)+c1 ~3

2°. Y(X)=C13°. y(x)=(c1 +czxZ)e-X

40 () x(x-3). yx =---6

a+ico

4.16. 1°. f(t) = _1_ (" eVX

dx2rci J (p_l)3

a-ico

Gasim reziduul funetiei F1(p) = ~, (p-l?

1 d2 1 d2 1 x2e'"1'= -lim - [(p-l)3F1(p)]== -'-lim-- eP;o= - limx2ePz= __2! P-'I dp2 2! P-+I dp2 21 p-+! 21

x2exdeci f(p)=--

21° pePX

2. F1(p)=--------(p+ l)(p +2)(p+3)(p+4)

1'1=lim(p+l)F1(p)= - 2..e-x; 1'3=lim(p+3)F(p)= - ~ e-3x .P-+_!' 6 p-+-3 2 J

rz=Iim(p+2)F1(p)=e-21; r4=lim(p+4)F(p)= 2 e-PxP-+-2 P-+-4::;

Deci f(l)= - 2..e-x+e-zx_ ~e-31+ ~e-4Z6 2 3

3°. f(i)=2ex-4x-3

40. f( ) 1 + 1 x 1 2x + 1 3xx=-- -e-_e -e6 2 2 6

50, f() 1 (2 2 6 3)" 1 -x 2. (xV'3 + 7':)X = 8' x - x +, C' - 24 C + '3 51 II -6- 6"

5.L 10. Din ecuatie rezulta ca salutia este de formacp(x)= 1+C1x+ Cz

Cautlnd solu~ie ele aceasta forma sintem candu~i la sistemul

ICl -Cz=l

~Ct cz 1!--+-= -l 3 2 2care are solut.ia C1=-12, C2=-7.

Unica salutie a ecuatiei integrale este cp(x)= -12x-G.2°. Cautind pe cp sub forma

cp(x)=l +C1( '4V3-6)x+Cz(4V3-6)obtinem sistemul algebric:

[1 - 4V:-6 ] C1+(6-4V3)C2=O

(6-4 V3)C1 + [1- 4~-6] Cz= ~

care un are nici 0 solutie. Deci ecuatia nn are nici 0 solutie.

3°. Forma solutiei va fi:

cp(x)=6xz-6x+1 +(4Y3-6)(CIX+C2)

Inlocuind in ecuatie sintem condu~i la sistemul

1(4-'2~3)CI-(4Y3-6)C2=0__ 41/:1-6 ,/;-

-3- CI+(4-2 V3)C2=0

care admite solutia (Cv ~3 C1), adica ecuatia integrala admite solutiile

cp(x)=6xz-6x+1 +(4 Y3-6) (x+ ~3 )CI, liC1EU

4°. Ecuatia admite solutii de formacp(x, y)= 1+2C1x+2CzY

unde CI ~i Cz formeaza 0 solutie a sistemului

I...!:..CI- ...!:..C

z=...!:..

3 2 2

_...!:..CI+...!:..Co=...!:..2 3 ~ 2

Inlocuind in aceste relatii pe cp cu valoarea de mai sus obtinem sistemulin CI ~i Cz:

1t

C1= ~(CIAcos y-CzA sin y+cos 3y) cos y dyo1t

C2= ~(CIAcos y-CzA sin y+cos 3y) sin y dyo

CI (1-1.. ~ )=0Cz( 1+1.. ~)=O.

1-A~ 02

adica CI=-3, Cz=-3.Solutia ecuatiei integrale este deci

cp(x, y)=1-6x-6y5°._7°. Similar cu 1°._4°.5.2. 1°. Se cauta solutie de forma: 'il1(X)=CIX+C2Xz+x

CP2(X)=C3+(1 +x)C4+1-x

Inlocuind in sistem se obtine: ([)1(X)= _ 122 X _ 32 x2+x.• 189 63 '

cpz(X)= -...!:.. + ~(1 +x)+1- x7 21

1+A~2

Pentru 1..#± ~, (6.(1..)#0) sistemul algebric are solutia unica CI=0, C2=07t

') {CI '0=0t?i prin urmare cp(x)=cos 3x. Daca 1..="':" sistemul devine careB',"<!!1I 7t 2Cz=0

are solutia Cz=O, CI - arbitral', astfel ca solutia ecuatiei este cp(x)=

= ~C cos x+cos 3x, CEll.7t

2 {2CI=0Daca 1..=- - sistemul este care are solutia CI==0, Cz - arbitral',7t Co·0=0

deci ecuatia are din nou 0 infi~itate de solutii cp(x)= 2 Csinx+cos3x, CER.n:

1t

cp(x)=A~(cos x cos v-sin X sin y)cp(y)dy+cos 3xo

2°. cp(x)=A(e-2)(5xZ-3)+e"', 'iAEll.

3°. Pentru 1..#-2, cp(x)=~sinlnx+2x2+1..

pentru 1..=-2 ecuatia nu admite solutie.1 () 51.(1- e-2)xe'" +5A#-'co x = ----2' 1-2A.

2°. Similar cu 1°.5.3. 1°. Scriem ecuatia sub forma:

A= ...!:..ecuatia este imposibila.2

A(12Ax -24x- 1.+42)"115°. A#2 ~i A# -6, cp(x)= -------

6(1.+6)(2-),)

A=2 ~i A= -6 ecuatia nu admite solutie.

1t 1t

unde CI= ~ cp(y) cos Y dy, C2= ~cp(y) sin y dy.o 0

6°. A 0/=~ ~i A o/=~, cp(x)= 5(7+2A) XZ+X42 2 7(5-2"-)

3 25A = -, cp(X)=X4+ -Xz+CX CER

2 7'

A = ~, ecuatia nu admite soIutie2 ' .

7°. A 0/=108 ~i A 0/=124, cp(x,y)= 2A2XY+31A2X2y2_Ll(A-124)(A-108) J

A=108, A=l24 ecuatia nu admite solutie.

80. ~ 2 () 2A7t" 0/= -, cp X = 1+ -- cosz X7t 2-A7t

2P.= -, ecuatia nu are solutie.

"9°. A 0/=":'" cp(x)= _e_

2 ' e-2A

A= ~ , ecuatia este imposibiUi.

100. ~ 1 ( 2,,2A"0/= 2"' cp x)=x+ -- IX-TII" 1-"2,,

A= :2' ecuatia nu are solutie.

110. A 0/=-3, cp(x)= 3x(2A2X-2),2_5A-6)+(A+3)"(3+A)2

A= -3, ecuatia nu are solutie.

12°. A 0/=- ~ ~i A 0/=~, ep(x)=x3- ~ 4A+5 X,4 2 5 4oA+3

3 ' 11A= -, ep(x)=x3_ -x+Cxz CER

2 15' ,

A= - : ecuatia nu are solutie.

13°. A0/=1, ep(x)=sin x·A=l, ep(x)=C1 cos x+Cz sin 2x+sin x, C1, CzEH.

'2

5.4. 1°. ep(x)= ...!!.- sinz x+2X-TI,,-1

2". ep(x)=tg x3°. Cautam soIutie de forma

ep(x)=2C1 +6xC2+xz.

in ecuatie, sintem condu~i la urmatorul sistem

IC,+3C'~-,:C1+CZ=- -

4

eare are solutia C1= - 5 , Cz= - ...!.... Astfel solutia ecuatiei inteQ:rale este24 24 ~, ~

ep(x)=x2_'::" - ~4 12

4°. Solutia ecuatiei va fi de forma:ep(x)= C1x+ Cz+ 18xz- 9x-4.

hlocuind in ecuatie, obtinem pentru C1 ~i Cz urmatorul sistem:

{

...!...CI-CZ=- ~2 2

111- -C1+-CZ= --322.a carui solutie este: C1=21, Cz=13. Solutia ecuatiei este

rp(x) = 18xz+ 12x+95°. ep(x)= ~ (x+1)z+ ~

32 165.5. 1°. Se cauta solutia sub forma

ep(x)= C1AX+ CZAsin X+C3A cos x+xunde constantele necunoscute C1, Cz, ,C3 sint definite prin

1t 1t 1t

C1= ~ ep(l) cos l ell, Cz =' ~ lZep(l) dl, C3= ~ ep(t)sin l dl.-1t -1t -n:

Inlocuind pe ep se obtine urmatorul sistem:7t

C1= ~(C1Al+CZAsin l+C3A cos l+l) cos l dl,

7t

Cz= ~ (C1Al+CZAsin l+C3A cos t+t)lZ dt,-7t

7t

C3= ~ (C1Al+CZAsin t+C3A cas l+t) sin l ell-7t

Determinantul acestui sistem este .6.(A)=l +2A2rt2 #0, 'v'AER.

A f 1 C 2A7t2 8A7t2 C _ 27tste 1=---, C2=---- ---1+2A27t2 1+2A2r.2' 3- 1+2;ht2

iar solutia ecuatiei este

( ) 2;,7t ( 4 .<px = 1+2A27t2 ArtX- Art sm x+cos x)+x

2°. <p(x)= ~A+ctg x2

3". ~ -'-2, m(x)-- _2_, ~ 2 t' I t'I\. -r T - 1\.= ecua,Ia nn are so U,.le2-1.-7t2A 1

4°. A#1, m(x)- -- + ---, A=l ecuat,ia este imposibila.T - 8(1.-1) Vl-x~

2A2x+ (;~ +x) In x . 65°. <p(x)= ----- + - (1-4x)

29 51+ _),248

6°. A#2, cp(x)= _2_. sin x, A=2 ecuatia esle imposibiIa.2-1.7°. <p(X)=Art3 sin x+x80. (x)= 2(2cos x+d siB x)

<p 4 I- 2,2- 7i. f\

go. <p(X)=A7t sin x+cos x.5.6. Presupunem ca functia K poate fi scrisa astfeI

m

K(x, t)= L:ai(x)bi(l).i=1

b

cp(x)= ~ ~;(x) ~b;(t)f(t, <p(t»dt.a

Notam Cj = ~ Mt)f(t, <p(t)dt, i=l, m

unde Cj slnt constante necunoscute.Rezulta deci ca

nep(x)= E C;a;(x).

1=1

1nloeuind jn ecnatia initiaia obtinem sistemul de m eeuatii

C;=\jJ(C1, C2, ... , Cm), i=l, m.

\Dad exista soIut.ie pentru acest sistem, sa zieem

\. 0 0 CO. Clo C2, ••• , In

atunel solutia ecuatiei intelZraIe va fi\' , •....•

m<p(.:r)= L: C~a;(x).

i=1

Este clar di numaruI soIutiiIor eeuatiei integrale va fi egal eu numarulsoIntii1or sistemulni In C;.

b

5.7. 1°. Fie C= ~tep2(t)dt.

Atunci solntia va fi cle forma

ep(X)=ACX.lnlocuincl In ecuatie obtinem pentru C ecuatia algebridi

C= 1.2 C24

4care are soIutii1e C1=0 ~i C2= 1.2 •

Prin urmare dad A #0, eenatin are 2 solntii4

GP(x)=O, <p(.T) = -;:-x.

2°. Cauli:im soIutie de fonnax

ep(.:r) = Ce 2

1nloeuind In e~uat.ia initiala, obt:illrm pentru C urmaloarea ecuatie algebrica

(e+ -1)C2-3C+3() -1)=0eare nn are nici (;)racli:icina reala. Deei eeuatia integrala nn are nid 0 solutiereala.

3°._8°. Similar eu 1°._2°.1

go. Punlnd C=~ iep2(t) dt solutia se va diuta sub forma ep(x)=O,x2. 1nlo-o

• C2A2j _ _ . .euind In eeuatie se cbtine pentru C eeuatw C= - care are radacllllle C) =0,

. - - 6

C2= ~. AsHel ep(x)=O, pentru orice II, este solutie ~i clad A #0 atunci ecuatia1.2

admile ~i s6lutia <p(x)= : x2. .

I /

10°. Punind C=~ ep2(1)dl solutia va fi de forma ep(x)=l +AC. Constallta C

este radiicina ecuati~i )

A2C2+(2A-1)C+1 =0.Pentru A <~, ecuatia admite soIut,iile4'

(x)= 1±Yl-4).ep 2),

1 1Pentru 1.= - rezultil co(x) = -4 . 2),

I I

110. Notind C1= ~lep(l) dl, C2=) lep2(t) dl rezulta cao 0

unde CI ~i C2 slnt solutiile urmatofului sistem

{

~ (CI+C2)=CI

).2

- (CI +C2)2=C2.4

Acest sistem admite radacinile CI=0, Cl=O, care furnizeaza solutia 'ep(x)=O," . C 4 (3' ~) C 4 > 4.,.1 1= 9), -", 2= 9).2 (3-1.)- care conduce la ep(x)= 3):: (3-A)x.

1t

5.3. 1°. Introduclnd notatiile: CI= ~ ep(t) cos 21 df,o

1t

C2= ) ep(t)cos3 t dlo

ep(X)=CIA cos2x+C2A COS 3x.Inlocuind in ecuatie, sintem condu~i la urmatorul sistem pentru C

I~i Cz

1- )dc 04 =0 ~

o 1_Arr

84

1.= -;' se obtine C2=0 ~i CI arbitral' ~ ep(x) = CIA cos2 x, CIER., 8

1.= -;' se obtine CI=O ~i C2 arbitral' => ep(x)=C2A cos 3x.1

2°. Pllnincl C= ~ fep(f) df, vom diuta pe ep sub formao

~Io,nind in ewalie oblinem C~O. ded eonalia nn ace 'oln\ie neban,I'.3°. Cautam solutie de forina

ep(x)= C1AVX-C2AX.Pentru C1 ~i C2 obtinem urmiitorul sistem aigebric

I(1 - 25).)C1+ ~ C2=0

:- ~ C1 + (1 + 25

:1.)C2=0C1=0, Cz=O deci ep(x)=O. Ecuatia nu

4°. A= _8_, ep(x)=C sin2 x, CER'It-2

L\(A)=I+ ~ #0.150

5°. Nu exista

6°. !,=~, ep(x)=C sin x, CEll'It

7°. Nu 'exista8°. 1.=3, ep(x)=(x-2x2)C, CER1 ( .. 10)go. 1.= -, ep(x)= ~x + _x2 C, CER

223

10°.1.=:, ep(x)= (: x+x2)C, CER

11°. A=-.!.-, cp(x)=Cshx, CEH2

12°. Nu exista

1')°' 2 () C . 2 () C CER<>. Al=--' CPlX = J sin x; 1.2=-, CP2X = cosx,'It 'It

14°. 1.1= 2., <f!1(X)=CX, CEIl2

A - 27+3\"61 ( .) ~ (.2+ 6-"561 ) C, CER2- 8 ' CP2 X - X

~ _ 27-3\161 ( .)_ ( 2+ 6+' 61 ) C CER"3- 8 ' CP3 X - x 5 '

15°.1.=1, cp(x)=Carccosx, CEll.

16°. Al=l, CPl(X, y)=C[4(x+y)-f-1], CEll1.2=1, ep2(X,y)=C[4(x+y)-1], CEll

5 fi 1° () ),a'lt3

• 2:1.b d - 1 \.I b R.J. . cp x = --- sm x+ -- +ax+b aca A# -, va, E12(1-2),) 1-2), 2

Pentru 1.= 2- ecuatia admite solutie dad si numai daca a=O, b=O ~i cp(x)=2' ~.

=C1 sin x+C2, C1, C2ER.

20 () 2(a-2Ab) . _ 2. cpX =---smx+b daca "A#±- Va bER2+A'It 'It ' ,

P 2 a'lt-4b .entru "A=-, cp(x)= -2- sm x+b+C1 cos x, Va, bER, C1ER

'It 'It')

Pentrll "A=- : ecuatia admite solutie dadi ~i numai daca an+4b=0 ~icp(x)=b+Cz sin x, CzER.

30 () 2),a+3c 3b ? 1 3. cpx =. +--, x+ar daca"A#- ~i A=I-, Va,b,CER3(1-2),) 3-2A 2 2

Pentm A= ~ ecuatia are sollltie dad a + 3c = 0 ;;i cp(x)= ~ bx+axz+2

+C!> CIEn.Pe t A 3 t· 1 1-" d ~ 1n TU = -;- ecua,la are so u~le aca b=O ~i cp(x)=ax2- - (a+c)+Czx.~ 2CzER

3a 5Ab4.0. cp(.x)=.-,x+---xz+b daca "A#3 si "A=15, Va, bER3-A 3(5-A)

Pentru A=3 ecuatia are solutie daca a=O ~i cp(x)=b (: x2 +1 )+C1, C1ER

Pentru "A=5eCliatia are soilitie daca b=O ~i cp(X)=C2X2- 2-ax, CzER2

50 () 2a+),!J(4- 'It) 2 ? 2 2, cpx = ----+ ---- x+bx-, dad 'J- =I- ~i A=I--,2-A'It 2-),(4-'lt) 'It. 4-1C

Va, bERP 2

eutm A= - exista solutie daca an+b(4-n)=0 ~i'It

cp(x)= ~x+bxz+C, CER2(n-2)

Pentru Il= ~ ecuatia este imposibila.4-'It

5.10. 1°. cp(x)=C, CER 2°. cp(x)=Cx, CER 3'0. cp(x)=2ex-2+(2-e)x

5.11. 1°. cp(x)= ~; 2°. cp(x)= : ;

30. () 1 ? 1cp X = -x~ - -x+C, CEll;4'1t 2

4°. cp(x)= 2-xz_~x+C, CEE;4'1t 2

5°. cp(x)=x+axz- 5a x3, aER.4

5.12. 1°. Derivind de 2 ori obtinemxZy' +(3x-l)y=O car~ este 0 ecuatie liuiara omogena

=C_1_ C RY 3 I/x·' EIx e

2°. Derivam ~i obtiuem ecnatia difereutiala y' =y+l => y=Ce"'-l,CEIR

3°. Presupunem ca fEcm+l. Deriviud in raport en x de m+:l oriecnatia se obtine

1m! y(x)=f(m+ll(x), y(x)= - f(m+l)(x).ml

4°. Presupnnem ca fECI. Diu ecuatie se vede ca cp(O)=f(O).Deriv ind obtiuem

x

-:p'(x)-"A ) ex-tcp(i)dt-"Acp(x)=f'(x).o

Tinilld cont de ecuatia iuitiala se obtinecp'-("A+l)cp=f'(x)-{(x), cp(O)={(O)

Aceasta este 0 ecuatie diferentiala liniara.5°. Derivind in raport cu x se ob~ine ecnatia

cp'-cpz+xcp-l=O, cp(O)=1Aceasta e 0 ecna~ie Ricatti care are solutie particulara cp(x)=x.

6°. Derivind obtinem ecuatiacp'(x)-xepZ(x)+x=O, cp(O)=O

Aceasta este 0 ecuatie cu variabile separabile.7°. Facind schimbarea de variabila IXX=t obtinem ecnatia

") cp(i)di=nxcp(x)o

~_~reprin derivare ne conduce la ecua~ia diferentiala lilliaranxcp'(x)+ (n -1) cp(x)=0

a carei multime de sollitii este data de: cp(x)= Cx - -n-, C ER.5.13. 1°. Deoarece functiile care intervin in eCliatie sint derivabile, ~i

noi cantam solutia cp in C1, pntem deriva ecnatia. Se obtine <p(x)-x

- ) sin (x-s)cp(s)ds=x, <p(0)=0o

Derivind inca odata rezulta"cp'(x)- ) cos(x-s)cp(s)ds=1.o

Tinind cont de ecuatia initiaUi avem:'() x

2 +1cp X=-2

x3cp(x)= - +x+C1• Dar <p(O)=One da CI=0

6x3

<p(x)= _:- +x.6

"rp(x)- ~ [3(s-x)+4]rp(s)ds=3x2

oep" -4 rp'+ 3rp= 6

care este 0 ecuatie linial'3. cu coeficienti constanti. Fa.c1nd pe x=o se obtinconditiile:

rp(O)=O, rp'(O)=O.Solutia acestei probleme este

rp(x)=e3x-3ex+2.

3°. Derivind in raport cu x, se obtine ecuatia integral a. Volterra de spetaa doua

.~

rp(x)+ ~ e-srp(s)ds=sh xo

a earei solutie este rp(x)= I-ex.4°. Deriva.m succesiv ecuatia data §i obtinem

x

I8xcp(x)+9x2rp'(x)-9xrp(x)- ~4rp(s)ds= 16x2

o9x2rp" +27xrp' +5cp =32x.

Aceasta este 0 ecuatie de tip Euler §i are ca soJutii5 1

cp(x)=C1X.:.3 +Czx -"3 +x, Cl, C2ERSolutia continua pe R a ecuatiei date este cp(x)=:r.

5°. rp(x)=(I-x)e-2X, 6°. rp(x)=I-x.

5.14.1°. Prin derivare inraport cux obtinemV1+y'2= ~X"+y,.Ridi-1 V- 1',,~dnd la patrat avem ecuatia diferentiaUi y' = - x - . I~ care are solutia

• , 2 2V/l; ,

!J =.2.- Vx2 - Vx+C, CER3

. 2°. Derivind ecuat.ia obtinem2y VI +y,z=2+2yy'

Ridicind la patrat obtinern urmatoarea ecuatie diferentiala cu variabileseparabile 2yy'=y2_1.Mu1timea solutiilor acestei ecuatii este

y= ± VI +Cex, CEll.

" x "

=>y'= ~rp(s)ds+C1 => y(x)= ~ [~ rp(u)du]dt+C1X+'C2=o 0 0

'"= ~(x-s)cp(s)ds+ C1x+ Cz.o

Din y(O)=O, y'(O)=I, => C1=1, C2=O.Ecuatia integrala cautata este

"cp(x)+ ~ (x-s)rp(s)ds=x.

o

x .

y" = cp(x)=y= ~ (x-s)rp(s)dso

"=rp(x) + ~(x-s)rp(s)ds=sin x.o

" "3°. y" = cp(x)=y' = ~cp(s)ds+1 = y= ~ (x~s)cp(s)ds+x

o 0x x

=rp(x)-3 ~ cp(s)ds+2 ~(x-s)cp(s)ds+2x+3=Oo 0,.

rp(x)+ ~ (2x-2s-3)cp(s)ds= -2x-3o

4°. Din ecuatie rezulta ca y" =2x-xyx

=y'(x)= ~ [2s-sy(s)]ds+C1

o

"y(x)= ~ (x-s)(2s-sy(s»ds+C1X+C2

oConditiile initiale dau pentru C1 §i Cz valoarea O. Ecuatia integrala ciiu-

taUi estex

cp(x)= ~s(x-s)(2-rp(s»ds sauo

" x3

cp(x)+ ~s(x-s)rp(s)ds= "7o

~ ~(jl(x)=x (1 + 5 s<p(s)ds). Punind y(X) = 1+ 5 s<p(s)ds ~i derivind aceastii egalitate

o 0se obtine y'(x)=xcp(x), ~i tinind cont de ecuatia data ep(x)=xy(x), r('zultil

x'y'(x)=x2y(x), care are

.3

deci <p(x)=xe i-:3

sol uti a y(x)= Ce , CEll. tntrucit y(O)= 1=> C = 1,

x22°. Derivind ecuatia se obtine <p'(X)=l-x, ep(O) =0, adidi ep(x)=x-':""'" •2

3°. ep(x)= 4x+l ; 4°.<p(x)=(1+x)e"; 5°. cp(x)=sin x;2x+l

6°. cp(x) = ch(y1:'x), A ~ 0;') -

7°. <p(x)= ":::'(chVAx-l), A >0.A

5.17. Aria OAMC=2 Aria CBMx

Aria OAMC= 5 ydxo

~Aria CMB=xy- 5 ydx

ox x x

Ecuatia integraUl obtinuta: 5 ydx=2(xy- 5 ydx),3 5 ydx=2xyo 0 0

i,=>3y=2y+2xy'=>2xy'=y, y2=CX, y(2)=4=>C=8 =>y2=8x~ ,.

5.18. 5 ydx=a 5 VI +y'2dxo 0

y=a V1+y'2

y'= ± 2.";y2_a2a

dy = ± dxVy2_a2 a

I ( ,/~) xn y+ vY -a =±-+C(l ,

35.19) xG=-x

4

z

5 xydxo 3=-x

4x

5 ydxu

x x

~ xydx= : x ~ ydx. Derivamo 0

x x 3r ydx+xy= ~r ydx+ -xyj 4 J ·1o 0

x

1 ~ 1 '2'- l'clx= - - xy=>y= -xy -y=>lj= -xy4.1 4

o 1?!1 =_ 2ch: =y=Cx-2, y(l)=I=C=I=y=-;y x x

CapitoluI VI

l\'IETODE NUMERICE ~I APROXIMATIVE PENT.RU REZOLVAREAECUATHLOR DIFERENTIAL E ~I INTE GRALE

fU. Ecuatia Cll condi~ia ini~iaUi data este echivalenta eu eeuatia inte-grala

~. y(x)= 5 [X2+y2(X)]dx

o

x

Yn(X)= ~[X2+Y;'_I(X)]dx, 11=1,2, ...o

Dupa formulele (6.19), (6.22) rezulta:

Y{=Ya+h ~: =-0,92154+0,1 ·0,32834=-0,88871

y~=f(X4' y~)=0,35745.Calculam aeum eantitatea:

~" 1 (9 ' ,24 = 24 Y4+19Y3-5y~+y~)=0,32840.

Pe baza formulei (6.23) avem:

Y~=Ya+h ~: = -0,92154+0,1·0,32840= -0,88870.

~eotarece IY~~i y~ ~ifera mai putin decit 10-5 considedim pe Y4= -088870en ru ea eulul 1m Y se procedea ~ 1 S ' .torul tabel: 5 za ana og. e obtin rezultatele din urma-

k XI; Yk, (X" ~k h~Yk

lz!!:'!:-2'1 24 24 24

° 0,0 1 0,251 0,1 -0,97528 0,247792 0,2 -0,94978 0,265523 0,3 -0,92154 0,30232 0,328344 0,4 -0,88871

0,32840 0,03283 0,03284

-0,888700,35745 0,39237 0,39216 0,03921 0,03925

5 0,5 -0,84946 0,43040-0,84946

6•.21. Se determina valorile functiilor si Z entr -cu a]utorul formulelor (6.25) noti~d: Y, P U Y4-0,4, x5=0,5, x6=0,6

fI(x, Y, z)= 1+ cos(y+l,lz), fz(x, y, z)=l +X+ 1. x+2,ly2

Rezultatele obtmute sint cuprinse in urmatorul tab Ie:k Xk Yk !::>.Yk Pk !::>.Pk !::>.2pl: !::>.3Pk

° ° 3,141591 0,1 3,14184 ° 73 176 53

2 0,2 3,143640,00073 249 229 63

3 0,3 3,14903 0,011540,00322 478 292 66

4 0,4 3,16057 0,021010,00800 770 358

5 0,5 3,181580,01570 1128

6 0,6 3,216040,03446 0,02708

k-- ~--.Zk !::>.z}; If}; !::>.q" !::>.2qk !::>.3qk

° °1 0,109810,10482 998 -1 °

2 0,229600,11480 997 -1 °

3 0,35934 0,139710,12477 996 -1 2

4 0,49905 0,149650,13473 995 -3

5 0,648700,14468 992

60,15955 0,15460

Caleulele se fae astfel:Pentru xIe=kh, se caleuleaza Yk ~i Zle, k=O, 1, 2, 3. Apoi se ealculeaza y~ ==(I(X", Yle'Zle)' z;,=f2(x,c' Y,,, ZIe)' Ple=hy~, qle=hz~, k=O, 1, 2, 3. Cu ajutorulacestora se caleuleaza diferentele tlp, tlzp, tlap, tlq, tl2q, tlaq. Formulele (6.25)pentru k=3 dau:

tlYa =0,00800 + ~ .0,00478 + ~. 0,00229+ 2..0,00053 =0,011542 12 8

tlza= 0,13473+ ~. 0,00996+ ~ (-0,00001)=0,13971.2 12

AsHel Y4=Ya+tlYa=3,16057, Z4=Za+~za=0,49905.Proeedeul se repeta pentru calculul lui Y5, Z5 ~i Y6' Z6'

6.22. 1°._3°. similar eu 6.194°._5°. similar eu 6.21.

6.23. Se procedeaza analog ea la problema 6.20 alegind pe h astfel incitsa se obtina precizia eeruta.

6.24. Similar cu 6.20.6.25. Similar cu 6.21.6.26. Se transforma ecuatia data intr-un sistem de ecuatii de ordinul

intii. Facind substitutia xV' =z se obtine sistemul:, Z

Y=-X

z'=-Xy, y(O)=l, z(O)=O.Luam pe h=0,2. Pentru 3 obtine valorile de pornire in punctele Xl=0,2.

xz=0,4, xa=0,6, cu 0 eroare mai mica decit 10-4,vom diuta pc Y ~i z sub forma:

y(x)~y(O)+ y'(O) x+ 11"(0) x2 + y"'(O) xa + y(4)(O) x4

1\ 21 31 41

() (0)L z'(O) + z"(O) 2 + z"'(O) a + z(4\O) 4+ zl5l(O) 5 + Z(6) (0) 6ZX~Z -,--X --X --X --X --X --X.

11 2\ 31 41 5\ 61

Caleulind aceste derivate din sistem se obtine:x2 x4 x2 x4. x6

y(x)~l-- +-; z(x)~- - +- --4 64 2 16 384

~i eu ajutorul acestora se caleuleaza valorile de pornireYo, Zi' (i=1, 2, 3) apoi Y;= ~, z~= -XiYi, (i=O, 1,2,3).

Xi 10

Aplicind formula (6.27) se obtine:4hY~=Yo+ - (2y~_y~+2y~)=1-0,1537=0,84633

z~ =Zo+ £:. (2z~_z~+2z~)=0-0,2950=-0,2950,3

.P, -4

~ide aid Y4= -.-, z~= -:-X4Y~'X4

Aplicind acum formula (6.28) se obtine:

c + II ( '+4' ')Y4=YZ "2 Yz Y3+Y4 =0,9604-0,1141 =0,8463

z~=zz+ : (z~+4z~+z~)=-0,0784-0,21G7=-0,2951.

In;rucit diferenta dintre valorile predictor ~i corector nu depa~esc pe 10-4,

l~am Y4 .0,8463, z4=-0,2951. In mod analog se ealc41eaza pentru i=5~l se obtme:

y~=O, 7652, zg= -0,4400; Y~=0, 7652, z~= -O,HOO.6.27. Analog eu 6.26.6.28. Se cauta solutia sub forma (6.30).

y(x) = y(O) + Y'(O) x+ y"(O) xZ+ ... + y(n)(O) "+. 11 21 n x ...

Din conditiile initiale avem: y(0)=1, y'(0)=2.Din ecuatie se obtine: y" = -0,1(y')Z-(1 +0,1x)y deci

y"(0)=-0,1·4-1,1=-1,4.Derivind eeuatia data ~i inloeuind pe x cu 0 se obtine:y"'(O)= -1, 54;y(4)(0)= 1,224; y(S)(0)=0,1768;y(6)(0)='-0,7308 ~i prin urmare

y(x)~1 +2x-0, 7r-0,2567x3+O,051x4+O,00147xs-0,00101x6•

6.29. Se cauta functiile y ~i z sub forma:

y(x)=y(O)+ g'(O) x+ y"(O) xz+ ... + y(k1(0) xk+11 21 kl' ••

z(x)=z(O)+ z'(O) x+ z"(O) xz+ ... + !P)(O) xTc+11 21 leI' ••

?,in eonditiil<:: i.nitial.e avem y(0)=1, z(O)=O, iar din sistem rezulta y'(O)=l.<- (0)=0. Denvmd slstemul sueeesiv de doua ori rezulti'i: .

y"(0)=1, z"(0)=1 ~i g'''(O)=O, z"'(0)=3.

y(x)~1 +x+ 2..xz, z(x)~ ~xz+ ~X3.2 2 2

6.30. Similar eu 6.28-6.29.6.31. Se cauta solutia sub forma:

y(x)=CO+CIX+CZXz+C3X3+ ... +c"x"+ ...Derivind de doua ori ~i inlocuind in ecuatie dupa identifiearea coeficientiloI'se obtine urmatorul sistem algebric: ' ,

2cz+2co=123 '2cZ+3cl =04 ·3C4+4cZ=05 '4cs+5c&=O

Din conditiile initiale se obtine co=5, Cl =2.Suceesiv din sistem se obtine:

ClC3=- -

2

C2A'_1 C2k_2CZk+l=- -- Czx;=- -- ,

2k 2k-l

Prin urmare se obtine:(-1)k.2 (_l)k-t

CZk+l= (2lc)1l ' CZk= (2lc-l)1l ' k=1, 2, 3, ...

00 (_l)k co (_l)k-ttntrucit ambele serii de puteri E-- X2H1 ~i E x2.t

k=! (2lc)1l k=! (2lc-1)1l

po toatii axa reala, solutia cautata este:. co ( l)k co (_l)k-t

y(x)=5+2x+2E---X2k+l + ~ X21'k=! (2lc) 1 I k=! (2lc-l)!!

6.32. Coeficientii ecuatiei au urmatoarea dezvoltare:x2 x. x6

p(x)= -x; q(x)=1, r(x)=1-eos x= - - - + - - ...21 41 61

Cautind solutia y sub forma:y(x)=CO+CIX+C2X2-- ... +c"x"+ ...

llIfl obtine dupa derivare ~i inloeuire ill ecuatie prin identificareatilor, urmatorul sistem:

co+2cz=06C3=O

1-c2+12c,,= -

2

-2C3+20cs=01

-3C4+30C6=- -24

-4C5+42c7=01

-5C6+56cs= -720

l?in conditiile initiale rezulta ca co=O, cl=1, astfel ca C2n+l=O, (n=1, 2, •.. )~l

x4X6 11xB

y(X)~X+ - + - +__24 360 40320

0::>6.33. Ciiutlud solutia sub forma y(X) = ~ CkXkse obtine sistemul de ecuatii

k=l

2C2=03 '2cs-co=O4 ·3C4-Cl=05 '4CS-C2=0

(k+2)(k+1)Ck+2-Cle_l =0.

() 1+ ~ 1.4.7 .... (3k-2) Sleavem: Ylx = L..,,------ x ~ipentru co=lk=l (31c)!

~ 2.5.8 .... (31c-1)Cl=0 rezuWi Y2=X+ L.." Ie XSle+1•

, k=l (3 ')1

Aceste doua functii formeaza un sistem fundamental, ele fiind solutiile pro-blemelor Cauchy ,y(0)=1, y'(O)=O ~i y(O)=O, y(O)=l. Solutia generala aecuatiei date este

6.34. Similar cu 6.32.6.35. 'Se de'zvolta functia 1tX-X2 in serie de sinus pe intervalul' [0, 7t J

~i prin metoda coeficicntilor nedeterminati se gasesc coeficientii (X,le'

6.36. Similar cu 6.32.6.37. Folosind ecuatiile cu diferente (6.38) se obtine:

2 YI+1-2Y'+Yi_l Yi+l-Y' --1Xi -----+Xi---h2 2h

Yt-l (2x;- h.1:i) -4X;Yi +Yi+l(2x;+ hXi)= 2h2.Alegind pc h=O,1 obtinem punctele xi=1+0,1i, i=1, 2, 3 ~i scriind relatiade mai sus pentru i = 1, 2, 3 obtinem sistemul

2,31Yo'-4,84Yl +2,53Y2=0,022,76Yl-5,76Y2+3YS=0,02

3,25Y2-6, 76ys +3,51 Y4=0,02.Din conditiile la limWi se gase~te yo=O, 'Y4=0,0566. Astfel sistemul de susne dii YI =0,0046, Y2=0,0167, Ys=0,0345. Intrucit solutia exacta a problemei

este y(x)= 2-ln2 x, se pot compara valorile gasite cu valorile exacte:Y(Xl)=2

=0,0047; y(x2)=0,0166; Y(XS)=0,0344.6.38._Scriilld sistemul (6.38) se obtine:

Yi+l-:'2Yi+l!l_l-2Xi YI+I-YI_2Yi=-4xi, i=l, 2, ... ,9h2 2h

Y,-Yo ° 2 Yn-Yo -1Yo --h-=' YIO-~ - .

Rezolvilld acest sistem pelltru h=0,1 se obtin valorile:Yo=1,03; Y2=1,13; Y2=1,26; Ys=1,41; Y4=1,60; Ys=1,81; Y6=2,06;Y7=2,36; Ys=2,72; Y9=3,17; Ylo=3,73.S~iutia exacta a problemei este y(x)=x+ex2

•

6.39. Similar cu 6.37.6.40. Similar cu 6.37.6.41. Scriilld sistemul 6.38 corespunzator, se obtine un sistem algebric

neliniar care se rezolva prin iteratii.-6':42. Ca functii de baza (6.40) alegem functiile:uo=2, Ul=Sill X, U2=1+ cos X, lls=sill 2x, U4=coS2x-1,care satisface toate conditiile (6.41)-(6.43).

Cautam solutia aproximativa sub forma:4

y(X) = uo(x) +L CiUi(X)..=1

Sistemul algebric (6.47) este in acest caz urmatorul:

{

CI-C2+0,5c4=1c2+0,5c3=0C2-4C3=0Cl+C4=0

8 2care are solutia Cl= -, C2=C3=O, C4=--.7 7

Astfel y(x)=2 + ~ sin X + ~ sin2 x care se poate compara cu solutia exacUi7 7y(x)=1+esin",.

6.43. Alegem ca functii de baza (6.40) fUl1ctiile:uo(x)=O, 1l1(X)=x(1-x), u2(x)=x2(1-x)

iar solutia aproximativa 0 cautam sub forma:

y=c1x(1-x)+C2X2(1-x)=x(1-x)(C1X+C2)'Astfel (6.45) devine:

R(x, Cl,C2)= -2Cl +c2(2-6x)+x(1-x)(CIX+Ci)+X'

Conditiile de ortogonalitate ale functiei R cu UI respectiv Uz conduc la sill-temul algebric

I

~(x-x2)R(x, Cvca)dx=O,°

I

~(X2-x3)R(x, CI, c2)dx=0

°3 3 1- cI+ -Ca=-10 20 12

3 13 1-CI+ - Ca=-20 105 20v • 71 7a carUl solntie este CI=-, Ca=-!

369 41_. (71 7)Astlel y(x)=x(l-x) - + -x care poate fi comparata cn solutia exactli369 41

sin xy(x)=---x.sin 1

6.44. Similar en 6.42-6.43.6.45. 1°. Alegem functiile Ui, (i=0, 1, 2) astfel

Zlo(x)=I, uI(x)=x(1-x), u2(x)=x2(I-x)~i cautam solutia aproximativa sub forma:

y 1+clx(l-x)+caxa(1-x)Punctele de colocatie Ie luam Xl=0,25; xa=0,75.Sistemul (6.15) de colocatie este

-2,1875cI +0,453125ca=1,5-2,1875ca - 2,640625cz= 2,5

a carui solutie ci= -0,7526695, C2= -0,3232323 conduce la solutia aproxi-mativii

y(X) = 1-0,7526695x(1-x) -0,3232323x2(I-x).2"'. Alegem functme de baza uo(x)=0,1 cos 7tX, Zll(x)=sin 7tX, ua(x)-

=sin 2rcx ~i ciintam solutia sub forma

y(x)=O,1 cos 7tX+CIsin 7tx+ca sin 27tx

iar punctele de colocatie VOl' fi Xl= ~, Xa= ~.4 4

Sistemul de colocatie (6.49) este

-3CI+4 Y2ca=0

-3CI +4 Y2ca=Ocare admite solutia CI=ca=O.

Pon urmare y(x)=0,1 cos 7tX.3°. Functiile de baza alese sint uo(x)=O, uI(x)=I-x2, Ua(x)-:-x2(I-xZ).

Punctele de colocatie VOl' fi Xl=0, Xa= ~ iar forma solutieiaproximative va fi:2

- 2 2 2Y(X)>=CI(l-X )+CaX (l-x ).Sistemul de coloeatie (6.49) este:

1-CI+2ca=07 491-- CI- -C2=016 64

it carui solutie este CI=0,957, C2=-0,022.Astfel y(x)=0,957(1-x2)-0,022x2(I-x2)4°. FunctiiIe de bazii sint: Zlo(X)=O, ZlI(X)=x(1-x), u2(x)=x2(1-x)

Y(x)=clx(1-x)+c2x2(I-x).Punctele de eoloeatie sint Xl=0,25, X2 =0,75.Sistemul de coloeatie este in aeest caz neliniar:

- 2CI+0,5ca =0,5+0,0352ci+0,0176cICa +0,0022c~-2CI -2,5ca= 1,5+0,0352ci+0,0528cICa+0,0198c~

~i seris sub forma

CI= - ~ - ~ (0,0211ci+0,0141clca+0,0031cD3 6

C2=- ~ - 2.- (0,0352cICa+O,0176cD3 3

(r,epoate rezolva prin iteratii. Oprindu-ne numai la trei iteratii, luind ea valoaTede pornire c~=- ~, cg = - ~ se obtine:

3 3

cI~-0,3369, c2~-0,3353.Astfel y(X) = -x(1-x)(0,3369+0,3353x).

6.46. Similar eu 6.45.6.47. 1°. Pentru formula de euadratura

1 1 2h= -, Ao=A2= -, AI=-,263

Astfel eeuatia data se inlocuie~te prin1

y(x)+ (3 [xeo,xYo+4xeO.5"YI +xe"'Y2]=e".

i=O, 1,2 se obtine sistemul algebric

a lui Simpson avem:1Xo=O; Xl = -, Xi= 1.2

Punind X=Xi,

yo=1!II+ 0.:.5 (Yo+4eO.25YI+eO.5Y2)=eO,5

61

Y2 + - (Yo+4eO.5YI+eYa)=e6

a carui solutie este Yo=l, YI=I,0002,

Solutia exaeUi fiind y=l, se vede di aproximarea e buna.2°.-'-3°. Similar eu 1°.6.48.. Similar eu 6.47.

(XS)3 (XS)56.49. 1°. K(x, s)=sh(xs)~xs+ - + -

. 31 51

Se eautil solutia eeuatiei sub forma (6.58)- 2 a 5y(x)=I-x +ClX+C2X +cax .

Punind f(x) = l-x2, al(x)=x, a2(x)=x3, a3(x)=x5, bl(s)=s,

S5sistemul (6.60) devine:

511 1 1 1

Cl= - Cl+ -Cz+ -C3+-3 5 7 4

1 1 1 1Cz = - Cl+ - Cz + - Ca+ -

30 42 54 72

1 1 1 1Ca= 840 Cl+ 1 080 Cz + 1 320 C3+ 2 880

Solutia aeestui sistem este Cl =0,3833, cz=0,0273, ca=:=,0,0008.Solutia aproximativa cautata e~te

y(x) = l-xz +0,3833x+O,0273x3 +0,0008x5.2°. _4°. Similar eu 1°.6.50. 1°. Pentru formula de euadratura a trapezului eu n=5, (h~0,2)

avem: Ao .A5=!:..- =0,1; Aj=h=0,2 (j=I, 2, 3,4), xo=O, Xl =0,2; xz=O,4;2

x3=O,6; x4=0,8; X5=1. Seriind sistemul (6.63) pentru aeeasta ecuatiegasim:

Yo=fo=1

Yl= (11+ ~KlOYo). (1- ~ Kll )-1 =0,8206

Yz= (fz+ ~ KzoYo+hK21Yl)( 1- ~ Kzz rl=0,6731

Y3= [f3+ ~ KaoYo+h(K3lYl +K3ZYz)]( 1- ~ K3arl

=0,5518

Y4= [frl- ~ K40yo+h(K41Yl+K4ZYz+K43Y3)]( 1- ~ K44 rl

=0,4522

Y5= [r5+ ~ K50Yo+h(K5lYl +K52Y2+K5aYa+K54Y4)]( 1- ~K55rl

==0,3705.

7.1. Pentru a determina eeuatia eu derivate partiale a unei familii desuprafete F(x, y, ll, a, b)=O ee depinde de doi parametri reali se eliminaa ~i b din sistemul de eeuatii

of ofF(x, y, ll, a, b)=O, - =0, -- =0ox ay

1°. _all --a, _ou --b, +b + b- u=ax Y a.OX oy

Eliminind pe a ~i b intre aeeste 3 eeuatii se obtine eeuatia ell derivate. au au au aupartIale: x-+Y-+-·--ll=O.

Zx ay ax ax° au eU all au2. - =ay, - =ax, ll=axy+b=:>x - -y - ~O.

ax oy ax ay

3°. all =2(x-a), ~ =2(y- b), u=(x-a)2+(y- b)2=:>( all )2 +ax oy ox,

+ (~)2 -4u=0.ay .

4°. ou =2ax, ~ =2by, 1l=ax2+by2+ab =:>2x au +2y ~ +ax ay axay+ _1_ au ~=O.

xy ax ayau ou 2 25°. 2(x-a)+211- =0, 2(y-b)+211- =0, (x-a) +(y-b)2+112_r =0ax ay=:>1l2( :: r +1l2( :: r +u2-r2=0.

a au,/ __ ' -=a, u=aY+V2ax+b=:> 2ax+b=ax y2ax+b ay= (_a_)2, =:>b=(~)2 __2X~=:>U oll _Y~'~+~=O.

oU oll ax ax au ax ay- -ex ax7°, u ~ =(y-a)b, u~ =bx-l, u2=2(y-a)(bx-l)ax au

~ au ( aU)2 all=:>xu"--2u - +2-.-=0.ax au ou

80. ~=_ v~ _ ay _~ au a u=2"\/a +au+bax xVx x2 x2 ay x V x x

(all )2 all

=:> u+x-, - - =0ax ax

a au 1 1

(ax+ !L.. + ~)2 a; = -;;(ax + ~ + ~)2'

,a a a a

[1 2 ] -1 4 AU AUu= --(ax+y+b) ~u --·-=0.a . ax oY

Se forineaza combinatii integrabile10. dx-dY = dY-dz ~ x-v =C1

v-x z-y y-z

dx+dy+dz dy-dz (+ + )( )2 C-----=--~ x y z y-z =2'2(x+y+z) z-y

2°. dy+dz=O => x+z=C1

dx+dy+dz dy-3dx-dz (+ +)( 3x z)-C-----=-----~ x y z y-. - - 2'x+y+z -(Y-3x-z)

3°. dx+dz=O ~ x+z=C1

dy+du=O ~ y+u=C2

dx-dz dy-du ( )2+ ( )2 C---=---~ x-z y-u = 3.2(y- u) 2(z-x) ,

4°. x dx+dy=O ~ x2+2y=C1

6(y-x2) dx+6x dy-6z dz=O ~ 6d(xy)-2d(xS)--3d(Z2)=0 ~~ 6xy-2x3-3z2=C2•

50. dy = ~ ~ y2+Z2=C1Z -y

dx zaY+lJdz C-- = . ~ dx-d(zy)=O ~ x-yz= 2'Z2_y2 Z2_y2

6°. ~=dY ~~ =C1x Y y

Ydx+xdY=~~d(xy) =~. Notam xy=i =>dl =~~dz=2xy xy+z 2xy xy+z 2l i+z dt

z 1 . d= - -+- -. Este 0 ecuatie liniara neomogena de or inul intii.

2l 2xy-z

=> --=C2•x

dx dy x-=-~-=C1x Y Y

_y_dx_+_x_d_11= __ d_z_ -= _d(_xy_)= __d_z_ ~ d(xy) = _2z ~z . =:>2xyz xyVl+z" 2z Vl+z2 V1-1-"

=> xy-2..j 1+Z2=C2.

80. dy = dz ~.!!....=C2Y z z

dx-2y dy-2z dz dz d(X-X2_Z2) dz X_y2_z2------- = - ~ ----- =- ~--- =C2•X+y2+Z2-·2y2_2z2 z X-y2_z2 Z z

7.3. Se formeaza urmatoarele combinatii integrabile1°. x dx+y dy+z dz=O ~ X2+y2+Z2=C1

z dy+y dz _ dx ~ d(yz) = dx ~ yz =C2.

YZ(y2_Z2) X(y2_Z2) yz X x

2°. dx-dy+dz=O ~ x-y+z=C1

~ = ydz-zdy ~ dx =-d(-=-) ~ In Ixl + ":"'=C2.x(z-y) _y2(Z_Y) x Y Y

30. ~ = dz ~ dx =_ dz ~XZ=Cl_x2 xz x Z

y dx+x dy dz d(xy) dz d( )+2 d 0 + 2 C--- =- ~-- =- xy z z= => xy Z = 2'-2z2x xz -2z 1

dll dz d d 0 2 + 2 C4°.--·-=--~y,y+zz= ~y Z=lz(z-y) y(y-z)

dx dy-dz dx d(I'-z)----- ~ - = - -- ~ x(y-z)=C2.

x(y+z) (z-y)(z+y) x y-z

5°. a dx+b dy+c dz=O ~ ax+by+cz=C1

x dx+y dy+z dz=O ~ X2+y2+Z2=C2.

6°. yz dx+xz dy+xy dz=O ~ d(:ryz)=O ~ xyz=C1x dx+y dy+z dz=O ~ d(X2+y2+Z2)=0 => X2+y2+Z2=CZ'

° dx dy dx dy d d 0 2' 2 C7. -=-~-=-~x x-y y= ~x -y = 1xy2 x2y Y x

!it dx+x dy dz ~ d(xy) = dz ~ xy = C2.

xY(X2+y2). Z(X2+y2) ,xy Z z

80. ~=dY ~~=dY~~=C1z(x-a) yz, x-a y y

X dx+y dy-z dz=O ~ X2+y2-Z2=C2.

1)0. dx = ~ ~xdx+zdz=0~X2+Z2=Clz -x

~ = ~ ~ dx = dy ~..::' = C1

2xz 2yz x Y Y

x dx+y dy+z dz dx d(X2+y2+Z") dx X2+y2+Z2------ = - ~ ---- = - ~ ----- = Cz•

Z(X2-t-y2-t-ZZ) 2xz X2-t-y2+Z2 X X

dx = ~ =>dy = dz =>.!!..-= C1

2y3 2yZz Y z z

= dy =>dx = _1 (_X)3 -L _3 . _x d" . Este 0 ecuatie iferentiaHi omogena2y3 dy 2 y 2 y

x2>---- =C2•y(xz+yZ)

12°. dx+dy+dz=O =>x+y+z=C1yz dx+xz dy+xy dz=O =>d(xyz)=O =>xyz=C2.

7.4. Se utilizeaza urmatoarele combinatii integrabil e10. dx = ~ => d(2a-x) = dz => 2a-x =C

12y(2a-x) -2yz 2a-x z z .

x dx+y dy+z dz dz d(xZ+yZ+Z2) dz xZ+yz+zz~----- = -- =>----- = - =>---- = C2•_y(x2+yz+zz) -2yz XZ+y2+ZZ z z

20 dx = dy =>dx = dy =>In Ixl=-arc sin !l+ln (;1• xy -YV1-Yz X -V1-Yz

=> Xe-arc sin y=C1

dy dz dz z ax --0----------=>-+-- ---yV1-yZ zV1-yZ-axy dy Y V1-y"

Din integrala prima obtinuta rezulta ca x=C1e"rcsiny.

. . dz z ClaearcsinyAstfe! ecuatla deville - + - = --.:::.==-

dy y V1-Yz

Aceasta este 0 ecuatie liniara in z functie de y. RezuWiC _arcsiny Cz V--

z= a Ie +_ =>2yz+ax(y+ 1-y2)=C2y y'

3"'. dx dy =>dy = Y(2y3_X3) Este 0 ecuatie omogena. Facind sub-x(y3_2x3) Y(2y3_X3) dx x(y3_2x3)

stitutia .!!..-=u se ajunge la eeuatia eu variabile separabile u3-2 du=

x ' u(u+1)(u2-u+1)

=dx. Prin integrare rezulta In IC1x!=-21n !ul+In lu+11+1n lu2-u+ll=>x

u3+1 X3+y3=>C1x=-- =>-- =C1u2 XZyz

y dx+x dy dz d(xy) dz 3 3 C---- ---- =>--=- -=>x Y z= 23xy(y3_X3) 9Z(X3_y3) xy 3z

40. dx = dy =>..:...= C1

x Y y

x dx !! dll-=-=

x2 yZ

(z+ VXz+yz+ZZ) dz

(z+ VxZ+yZ+Z2)(Z_VXZ+y2+Z2)

x dx Y dll (z..LVXZ+y2+Z2) dz V~ = 1]2 = '~x2_y2 =>xdx+ydy+zdz+ X2+y2+Z2dz= 0d(X2+y2+Z2)-===+dz=O => VX~+y2+Z2+Z=C22 VX2+y2+Z2

5°. ~ = dy =>xdx+ydy=0=>X2+y2=C1Y -x

Inmultim aeum toate rapoartele eu factorul (x+y)(2x+2y+z). Seobtine:

(2x+2'g+z)dx (2x+2y+z) dll (x+y) dz

Se observa aCllm ca (2x+2y+z)dx+(2x+2y+z)dy+(x+y)dz=O=>2xdx+ 2ydy + 2ydx+ 2xdy + z(dx+ dy)+ (x+ y)dz=O

=>d(x2+y2)+2d(xy)+ d(z(x+ y» =0=>X2+y2+2xy+z(x+y)= C2·

6°. xdx+ydy+zdz=0=>X2+y2+Z2=C1dx dy dy x-y E t

-- = -- =>- = - s e 0 eeuatie omogena. Facindu-se substitutiaX+ y x-y dx x+y

.!!..-=u se ottine y2+2xY-X2=C2..x

7°. xdx+ydy+dz=0=>X2+y2+2z=C1y dx+x dll dz d(l-xy) dIll I C-----= ---=>---=- z=>n -xy +z= 2'

(y2-x2)(1_xy) y2_x2 1-xlI .

80 dXI dX2 C.. -- = -- =>XI-X2= 1XI-X2 X1-X2

dxa-dx4 = ~ => d(xa-x4)

(X3-X4)(XI-X2) XI-X2 xa-x4X4 d(XI-Xa+1)+(XI-X2+ 1)dx4

(X3-X4)(XI-X2+1)

90. dz-dxl dX2-dxI=> Z-Xl

Z-Xl Xa-xl X2-Xl

dz-dxa dX2-dxl Z-X2=C2=>

Z-X2 X2-Xl X2-Xl

Z-xn _ C- n'

X2-Xl

7.5. Pe baza metodei indicate in §2 se ata~eaza sistemul caracteristic(7.6), se determina integraIeIe prime, iar solutia generala va fi 0 fUllctie arbi·'1:rara, derivabiHi de aceste integrale prime.

1°. Sistemul caracteristic (7,6) este

dx dy 2 2 C ' v- = - =>X+Y = este 0 mtegralau -x

Solutia generaHi u=f(X2+y2), f fiind 0 functie arbitrara, derivabila.2°, Sistemul caracteristic este

dx dy dz-=--=-x -2y -z

Integralele prime sint: xz=CI, xYy=C2Solutia general a u=f(xz, xVii>, f este functie arbitrara, derivabilii.

dx dy dz

xu _Y'y1-y2 ZV1-y2_axy

Acest sistem caracteristic coincide cu sistemul 2°, de Ia problema 7.4.Deci integralele prime sint: xe-arc sin y=CI, 2yz+ax(y+v'1-y2)=C2,Solutia general a: U=j'(Xe-arc sin y, 2yz+ax(g+ Yl-y2), f functie arbi-tral'a, derivabila.

dx dy dy YEt t' d'f t' IV v-- = - => - = - -- s e 0 ecua Ie I eren Ia a omogena.x+2u -y dx x+2y , ,

Facind substitutia JL =u rezulta integrala prima xg+y2=C.x

Solutia generala este u=f(xy+y2), f functie arbitrara derivabila.5°. dx du dz E I' d ' I . I' I t b1-' dz 2z-- = -- = - ga III pnmu ~I u tImu rapor se 0 ~me: - =-- .

x- z y- z 2z dx x-z.Aceasta este 0 ecuatie diferentiala omogena, deci 0 integrala prima este

_z_ = CI. Analog din ultimele doua rapoarte se obtine dz= ~ =>(z+x? dy lJ- z

·z=>-- =C2,

(z+y)z

Solutia generala: u=f(-Z-, _Z_) f functie arbitrara derivabilii.(z+x)Z (z+ y)2 '

dx dy dz=-=-

1+V3z-x-y 2 1

Din ultimele doua rapoarte rezultii y-2z=C1.

F v b' +., b'IV 3 dz-dx-dU dz ~/3 + z"ormam com Ina~Ia Integra 1 a: --./ - = - => V z-x-g - =-- y 3z-x-y 1 2

=C2•

Solutia generala u=f(y - 2z,

derivabila.

Y3z-x-g+~), ,.2

X dx-1J dlJ dz 11Integralele prime: ., = 2 2 => x2

- y2 - -,L In Izi= CIX2+y2 2z(x +y) :2

y dx+x dy dz C----- =>xgz= 2'-2xy(x2+ u2) 2:(x2+ yZ)

Solutia generala: u=f(X2_y2- ~/ln Izl, xgz), f functie arbitrara de-

rivabilii.8°. Sistemul caracteristic

XI-XZ XI-XZ (X3-X4)(XI-X2+ 1) X3-X4

a fost rezolvat Ia 8°, problema 7.4.Integralele prime sint: Xl -'X2= Cll (X3 -x4)e -"2 = C2,

X4(XI-X2+ 1)-x3=C3'Solutia generala: U=f(XI-X2, (x3-x4)e-"', X4(XI-X2+1)-X3), f functiearbitrara derivabila.

go. Sistemul caracteristic:

X2+xa+xC Xl+X3+XC XC+Xl+X2 Xl+X2+X3

Integralele prime: ~-dX2 = dxZ-dx

3 => X1-X

2 =C1X2-Xl Xg-XZ X2-X3

~xl-dx2 = dxa-dx4 => ~ =C2

X2-Xl' X4-X9 X3-X4

~'tl-dxa = dxz-dxc => ~ =C3~-~ ~-~ ~-~

Solutia generaHi: u=f(~, ~, ~), f functie arbitrara deri-X2-X3 X3-X4 X2-X4

vabila.10°. Sistemul caracteristic este

dXl dX2 dxn-=-= ... =-

Integralele prime: ~ = CI,Xn

X2 C Xn_1 C- = 2"", -- = n-lXn Xn

, IV f (Xl X2 X,,_1 ) d f t f +'SoIutJa genera a este u= -, -, ... , -- , un e es e 0 unc~Ie{ Xn Xn Xn

arbitrarii derivabiHi.Se observa di solutia generala este formata din multi mea tuturor

functiilor omogene in variabilele Xl' X2, • , • , Xn'

dx dy dz----=--=--

Integralele prime: dy = dz =:> y = C1Y z z

x dx+y dy+z dz dz X2+y2+Z2= -- =:> --- =C2•

_X(X2+y2+Z2) - 2xz z

v (Y X2+y2+z2)Solutia generala: u=f ~, 'z ' f funetie arbitrara derivabiHi.

2°. Sistemul caracteristic: dx ~== -.!!!L = ~8xz 2yz 4x2+y2

I 1 . dx dy xntegra ele pnme: - = - =:> - =C14x Y y4

xdx+ ydy - 2zdz=O=:>x2+y2- 2z2= C2

Solutia generala: u=f(;, X2+y2_2z2), f functie arbitrara, derivabil~

3°. Sistemul caracteristic: dx = dy dz1 l+x-y-z y-x+z

Integralele prime: -dx+dy+dz=O=:>x-y-z=C1

dx dy- = -- =:>(1 +C1)x-y=C2=:>(1 +x-y-z)x-y=C2.1 1+C1

Solutia generala: u=f(x-y-z, (1+x-y-z)x-y), f functie arbitraraderivabila.

4°. Sistemul caracteristic:

Integralele prime: dx+dy+dz=0=:>x+y+z=C1xm+! yn+! ZP+l

xmdx+yndy+zPdz=O=:> -- + - + - =C2•m+l n+l p-f-l

S 1 t' v ,( xmH yn+! zP+l)o u,la generala: u=t x+y+z, -- + -- + - , f functie arbitraram+l n+l p+l

derivabila.dx dy x (X)7.7. 1°. - = - =:> - =Cv u =f - este solutia generala.x y y y

, {~=ClDin sistemul :=1

u=xrezulta y=l, x=C1, u=C1• Inlocuind pe C1 cu '::"se obtine soJutia pro-

y

blemei lui Cauchy u= ~ .y

u=x-y

conduce la x=(C1+1)2, y=(C2+1)2; z=1, u=('C2+1)2_(C2+1)2. In-locuind pe C1 ~i C2 din integralele prime se obtine solutia problemeilui Cauchy u=CV-X - \}z +1)2_(Vy- \}z.+1)2.

30. ~ = d~ =:> Vl+X2 =C1•1+x2 xy Y

lV1-f-X2--=C1

Sistemul x YoU=y2

1 1 y2conduce la x=O, y= -, u= 2 =:>u=--.

C1 Cl l-f-x"

Sist~mulj ;~ 1Cu=2x

conduce la y=1, x=C, u=2C.Solutia problemei lui Cauchy: u=2xy.

f'50. dx '= ~ =:> ~ + y = 2ex• Este 0 ecuatie liniara neomogena ~.l' 2eZ-y dx

=:>eX(y-eX)=C.Sistemul x=O

eX(y-e)=cu=y

conduce la: y=1+C, u=1+CSolutia problemei lui Cauchy este u= 1+eX(y_eX).

dx dy ,,-6°. -= = - =:> VX +In ly!=CxV2 -y

jX=1 y=eC-lU=y2 =:> 2C-2 1 2"1;+2 In y ~ y 2e2Y;-2_ u=e =:>U = -e ~ =yyx+lnlyj=C c2

7°. dx dl! dz C" C1 = -t- = 2"=>:X;-Y= 1> ':::X-Z= 2

f

X-Y=Cl, 2x-z=C2

Sistemul x=l

t u=yzconduce la y=l-Cl, z=2-C2, x=l, u=(1-Cl)(2-C2).

Solu'~iaproblemei lui Caucby: u=(1-x+y)(2-2x+z).dx dy dz-=-=-

Integralele prime: -=- = Cl, xy - Z= C2Y 2

I : =Cl

xySistemUI

1Z2 :Z= C2

U=X2+y2

conduce la x= y"2ClC2, y= "\ /2C2 , z=O, u= 2C1CZ+ 2C2

\( C1 C1

Solutia problemei lui Cauchy este: u =(xy - 2z) (-;- + :).7.~. Se ~crie sistemul caracteristic (7.8) ~i se determina i1 integrale prime

functIOnal llldependente. Solutia general a se obtine implicit.

1°. S' tIt .. dXl dX2 dx duIS emu carac enstIc: __ = __ = ... = __n = _Xl X2 Xft ku

I t I 1 '. Xl C X2 C Xn_l' IInegra e e pnme. - = 1, - = 2"", - = C,,_I' - = Cnxn xn xn xk

tI

Solutia generaHi: F (Xl, X2 , ... , ~, L~) = O. F fUl1ctie arbitraraXn Xn Xn Xn

derivabila.' De aici rezulHi ca U=x;Jl (Xl, ... ,~), fl fiind 0 functier - Xn Xn I

arbitrara derivabila. Deci solutia generala este formata din mu1timeafunctiilor omogene de grad k.

2°. Sistemul caraeteristie: dx = dy = ~X Y x-v

Integralele prime: X2_y2=Cl, x-y+u=CzSolutia generala: F(X2_y2, x-y+u)=O, F func'~ie arbitrara derivabila.'

. t' dx dv3°. Sistemul earactens Ie: - = -2 =e'" V ve'"1 x-In IVI

Integralele prime: e-'"- - = Cl, U + _'" -1 = C2V e -V

(lx-In IVI )Solutia generalii: F e-"'- -, U+"=---=1- =0,V e"'-y

derivabilii.. t' dx d!!4°. Sistemul earactens'le: - = -- =

2x v-x x2

• 2 V-2xIntegralele pnme: X -4u=Cl, --2 - =C2•x

Solutia generalii: F (x2-4U, V::X) =0, F funetie arbitrara derivabila.

. . dx dv du5°. Sistemul earaetenstIe: - = --2 = -xV -x yu

Integralele prime: X2+y2=Cl> .!:..=C2x

Solutia generalii: F (x2+ y2, :1) =0, F fnnetie arbitrarii derivabila.

.. dx dy dll'80. Sistemul earaetenstIe: -'- = -- = --2

X2+V2 2xv -u

1 1 1 1,Integralele prime: -- + - =Cl> -- + -~,=C2

x+y II x-V u

Solutia generalii: F (_1_ + 2.., _1_ + 2..)=0, F funetie arbitrara deri-x+V u x-V u

vabilii. \.. . dx dy du7°. Sistemul earaetenstIe: - = ,- =--

X 2y x2y+ux2 'suIntegralele prime: - = Cl, xy - - = Czy x

Solutia generalii: F (X2 , xy- ~) =0, F functie arbitrara derivabiUi.V X

,00 S' It' t' dx d!J du<0. Istemu earae 'ens Ie: - = - = ~I .,2y4 -xv X y 1+U"

Integralele prime: X2+y4=Cl, (u+ yu2+1)y=C2•

Solutia generalii: F(X2+y4, (u+ yu2+1)y)=0. F fnnetie arbitrara deri-vabila.

. ,dx dl! du'90. Sistemul earactenstIe: - = -' =--x2u y2u x+y

Integralele prime:.!.. _.2-. =C1> X2+y2_U2=C2.x y

Solutia generaHi: F G - ; , X2+y2 _U2) =0, F funetie arbitrara deri-vabila.

10° S· tit . . dx dy du. IS emu earae enstIe: - = -- =--yu -xu e"

Integralele prime: X2+y2=CI, arctg(:) +(u+1)e-u=C2

Solutia generala: F(X2+y2, arctg C) +(u+l)e-U)=O, F funetie arbi-trara derivabila.

11,°. Sistemul earaeteristie: ~ = dy = ~(u-y? xu xy

IntegraleJe prime: y2+U2=C1, x2+(y-U)2=C2Pentru a doua integraJa prima: Se inmuJte~te primul raport eu x, aidoiJea eu y - u ~i al treilea eu u - y.Solutia generala: F(y2+U2, x2+(y-U)2)=0. F funetie arbitrara deri-vabila.

12° S' tit . . dx dy du. IS emu earae enstIe: - = -- = -xy x-2u uy

Integralele prime:'::"=C1, 2X-y2_4u=C2uSe inmulte~te primul raport eu 2, al doiJea eu -2y ~i al treilea eu 4.

Solutia generala: F (: ' 2y-y2-4U) =0, F funetie arbitrara derivabila.

13°. S' tIt . t' dx dy xduIS'emu earae ens Ie: - = - =--y u y

Integralele prime: In Ixl-u=C1 y2-2x(u-1r- .....C2.Solutia generala: F(ln Ixl-u, y2-2x(u-1))=0. F funetie arbitraraderivabiUi.

14°. Sistemul earaeteristie: ~ = -~ = ~sinZx tg u cos2 u

Integralele prime: tg u+ ctg x = C1> Y - 1 = C22 cosz u

Solutia generalii: F (tg u+ ctg x, y- 10

) =0, F funetie arllitrara2 COS" u

derivabila.15°. S' tit .. dx dy duIS emu earae enstIe: -- = -- = --

xu+y x+uy 1-uz

IntegraJele prime: (x-y)(u+1)=C1, (x+y)(u-l)=C2Solutia generala: F«x-y)(u+l), (x+y)(u-1))=O, F funetie arl5itraraderivabiUi.

., dx dl} duSistemuJ earaetenstIe: -- = -- =--

x+u y+u x+y. dx+dy+du dx-dy (x+l}+u) C

Integralele pnme: ----- = -- = 0 = 12(x+y+u) x-v (x-y)"

dx+dy-2du = dx-dY =(x+y-2u)(x-y)=Cz-(x+y-2u) x-v

Solutia generala: F (x+Y+1l , (x+y-2u)(x - y)) =0, F funetie arbi-, (x-y?

trara derivabiHi.. .. dx dy dz du

Sistemul earactenstIe: -- = -- = -- = -.y+z z+x x+y u

. dx-dY du (' ) CIntegralele pnme: -- = - = x-y u= 1v-x u

dy-dz du ( ) C---=-= y-z u= z',z-y udx+dy+dz _ ~ = (x+y+z) =Ca•2(x+y+z) u U

Z

Solutia generala: F (X-Y)U, (y-z)u, x+~z+Z) =0, F- functie arbitrara

derivabila.dx dy dz du

. 18°. Sistemul earaeteristie: - = - = -- =-x y u+z xy

xIntegralele prime: - =C1> xy-2u=Czy_y dx-x dy+dz+du = ~ = d(u+z-xy)-xy-xy+u+z+xy x u+z-xy

= (u+z-xy) =Ca•x

(X 2 u+z-xy) 0 F arbitrara derivabiliLSolutia generaHi: F -, xy- u, = ,, y x

.. dx dy dz du19<1. Sistemul caractenstIc: -- = -- = -- =--

u-x u-y -z x+y

, . dx-dY dz x-v -CIntegralele pnme: ' = - = -- - 1-(x-y) -z z

dx+dy+2du = ~ =(x+y+2u) 'z=Czx+y+2u -z

du-dx-dy = ~ =' x+y-u =Ca2(x+y-u) -z ZZ

(X Y X+1J-U) 0 F' fune+ie arbi-F 7'( x+y+2u)z, ~2 =, ySolutia generaUi:

trara derivabila.

7.9.1°. Sistemul earacteristie: ~ = ~ = __ d_u__xy -y" ~x(l+xZ)

Integralele prime: xy= C1

dx du x2 x4----~-+ - +xyu=C2c1 -x(l +x2) 2 4

Solutia generaUi: F(xy,":':" + ~ +xyu)=O, F funetie arbitrara deriva-2 4

bila.dx =~I.I = ~u2°. Sistemul earaeteristie: ~/_.__ .

l+yu-x-y 1 2

Integralele prime: 2y-u=C1•

Se inmulte;;te primul raport eu -1, al doilea eu -1 ~i al treilea eu 1•.apoi se aduna toate rapoartele ;;i se egaleaza eu eel de-al doilea:

dU-dx-dy dy ,I~/__ = -, y+2vu-x-y=C2

- yU-x-y 1 _

Solutia generaIa: F(2y-u, y+2Vu-x-y)=0, F functle arbitrara deri-vabila.

30 S' tIt . t' dx dy du. IS emu earac ens Ie: - = - = ----y uy -(1+u2)

Integralele prime: dx+udy+ydu=O dx+d(uy)=O~X+Uy=Cldx dy 2 2- = -- ~y -x -2xyu=C2.

11 C1-y

Solutia generala: F(x+yu, y2-x2_2xyu)=0, F funetie arbitrara deri-vabiUi.

2y(2a-x) X2+U2_y2_4ax -2yu

dx du uIntegralele prime: . = -- ~ -- = C12(2a-x) -2yu 2a-xx dx+y dy+u du du X2+y2+U2------- = -- ~ ----- =C2•

_Y(X2+y2+Z2) -2yu u .

(u X2+1/+U2) ,Solutia generala: F --." =0, F funetie arbitr ara derivabila.2a-x u

-0 S' tIt 't' dx dy dub. IS emu earae ens Ie: -- = -- = ----xy2 x2y U(X2+y2)

Integralele prime: X2_y2=C1

ydx+xdy du ~....!!-=C.Xi/(x"+ y2) u(x"+ y2) xy 2

( ? u;,Solutia generala: F lx2 -y", -)' =0, F funetie arbitrara derivabila.

xy

· ,dx dy dll6°. Sistemul earaetenstIe: - = -----x y- VR2-u2 0

, . y- VR2-U2

Integralele pnme: u=C1, x =C2·

Solutia generala: F (u, y- V~) =0, F funetie arbitrara deriva-

bila, sau yR2-U2=y+xf(u), f funetie arbitrara.· , dx dy du7°. Sistemul earaetenstIe: - =- =--

x y xy+u, x C ydx+xdy-du dx d(xy-u) dx

Integralele pnme: - = l' = - ~ = - ~y xy+xy-xy-u x xy-u X

Xy-Il C~--= 2x

Solutia generala: F (-=-, ~) =0, F funetie arbitrara derivabila.y x

· t' dx dySistemul earaetens Ie: - = - =x y

• II dxIntegralele pnme: ..:-= C1, - =x x u+ayx2(1+C~)+U2

+a V1+ C~+ ~:

Aeeasta este 0 ecuatie omogena in sensullui Euler, deci

u+ VX2+y2+U2 -CX"+l - 2

( Y u+ VX2+y2+U2) -0 F f t' al"bl'tr"ara"-;' X"+l - , - une,Ie

du

u+aVx2+y2+u2du ~-~+, -

dx x

Solutia generaHl: Fderivabila.

7.10. Seriind eonditia:

_a [f-l(x, y)(xy3_2x4)]= _a_ [f-l(x, y)(x3y_2y4)].ax ay

se obtine pentru faetorul integrant f-l urmatoarea eeuatie eutiale:

(2x4-y3X) ~ +(x3y_ 2y4) ~ = 9 f-l(y3_X3)ax ay

Sistemul earacteristic este

Integralele prime:Egalind primele doua rapoarte se obtine:

dy x3Y-21J4 •- = '. Este 0 ecuabe omogena. Se face sUbstitutia..JL = u.dx 2x4_xy3' X

. X3+y3Se obtme:-- =Cl•X2y2

Formam acum urmatoarea combinatie integrabila:x2 dx + y2 d!J dfl· 2 3 3 3 C

2(X6_y6) 9fl(y3_X3) = P. (x +y ) = 2·

Solutia general a a ecuatiei este:

F (X3+. yS , p.2(X3+y3)3)=0.F functie arbitrara derivabila sau 1l2(x, y)=X2y2 ' r

1 t' (X3+

yS) f f t" b' d--, unc' Ie ar ltrara erivabila.

(X3+y3? X2y2 '

7.11. 1°. Sistemul caracteristic: ~ = d!J = dux Y U_X2_y2

Integralele prime:!.- = Cly2xdx+2ydy+du dx d(X2+y2+U) dx X2+y2+U

-------= - = ----- = - = ---- =Cz2X2+2y2+U_x2_y2 X X2+y2+U X X

(X X2+y2+U)Solutia generala: F - " =0, F functie arbitrara derivabila.y x

2°. S" tit 't' dx dy duIs'emu carac ens 'IC: -- = -- =-x+y y-x U

I t g I I . dy !J-X t' -n e ra e e pnme: - = --, ecua ,Ie omogena =dx y+x

x= 'Jx2+y2earctgy=C

l·

xdx+!Jdy+udu =~=X2+y2+U2 -C2x2+xy+y2_xY+U2 U u2

y

Solutia generala: F (Vx2+y2earctg-;-,X2+~:+U) =0. F functie arbitra-

ra derivabila.

U+y-X u+x-y x+y+u

Integralele prime: dx+dy+2 dzz = dX-dy =(x+y+2u) (x-y)=C12(x+y+2u) 2(y-x)

dx+dy+2 du dx+dy+du ( 2 )( )2 C2(

=- = x+y+ u x+y+u = 2'x+y+2~ x+y+u

Solutia generala: F«x+y+2u)(x-y), (x+y+ 2u)(X+y+U)2)=0, F -funetie arbitrara derivabila.

. . dx dy dz duSistemul earactenstIc: - = -- = -- =--x z+u y+u y+z

Integralele prime: dx = dy+dz+du = y+z+ u = Clx 2(y+z+u) x2

~ = d!J-dz =(y_ z)x= Czx z-y

dx dz-du ) C- = -- =(u-z x= 3'x u-z

Solutia generaUi: F ( y+z+u , (y-z)x, (U-Z)x) =0, F - functie arbitrara, x2

derivabila.• "dx dy dz duSistemul earactenstlc: - = - = - = ----

x y z x2+2u

Integralele prime:!.- = Cl, .!l- = Czy z

du 1 (t" l' . -) zz 1 C-, = - u+x ecua,le Imara = -" - n x= 3dx x/x·

Solutia generala: F (!.-, .!l-, ~ -In x) =0, F-functie arbitrara deri-y z X"

dx dyy+z+u x+z+u

. dx-d!/ dz-du X-!J Cprune:--= --=--= 1v-x l!-Z z-u

dx-dz

dz

x+y+u

du

x+y+z

cl!J-dzz x-z C=--== 2.ll-y y-u

. dx-f1u dy-dz x-u C----.=---=-- = 3u-x z-y y-z

(X-y x-z X-U) 0 F f t'F --, --, -- = , < unc,lez-u y-Z! y-z

bila.

70 S' It' t" dx dy. lstemu earac 'ens 'Ie: - = ---X V1+y2

Integralele prime: -.~ 0 = Cly+ yl+y"

du .. _ x2-cidx= -. Dm prIma rezulta y= 2 CY .x 1

x2-ci -. ,--, 1 X In x= ---=du=x(y+ V1+y2)----===.- -u=Cz·2xC1 2 y+ Vl+y2

Solutia generala: F ( ; .y+ 1+y2

F functie arbitrara derivabila.

8°. S' tIt . t' dx dy duIS 'emu carac ,ens IC: -- = --' -, = --,ey-bu au-ex bx-ay

, x(y+yl+y2)_ 1 xlnx2 y+ -Yl+y2 -u)=O~,

Integralele prime: adx+ bdy+cdu=O~ax+by+cU=Clxdx+ ydy+ Udll=0~X2+ y2+ u2= C2.

Solutia generala: F(ax+by+cu, X2+y2+Z2)=0, F functie arbitraraderivabiliL

7 12 10 S' tIt . t' dXl dX2 dXn• • . IS emu carac ens 'IC:-- = -- = ... = -- =Xl X2 Xn

U du

U2+XlX2' •. Xn

'r t I I . X2 C X3 C Xn - Cnegra e e pnme: -- = 1, -- = 2"", -- - n-lXl Xl Xl

XlX2' •• Xn

U du

U2+XlX2' •• Xn

~ d(X1X2' .. Xn)

nxlx2' 0 • Xn

d(xlxa... Xn) d(u2) T-~ ----- = ------Notam: XIX2' .. xll=i U2= VnXIX2, •. Xn 2(U2+Xl' • 0 Xn)

dl du du 2 2=> - = -- ~ -- - - v - - =0. Aceasta este 0 ecuatie liniariil

nt 2(y+l) dl III n

2 ( 1-2-~V=t n Cn+ -n2 ( n

21--

n

1-2-I n

----=Cn21--

n• 2

~ U2(XIX2... Xn) n

21--

(XlX2 0 • 0 Xn) n

21--

n2

SIt' l~ F ( X2 X3 xn 2( )----;;o u,la genera a: -, -, ... , -, U XIX2'" x,. -

_ ---;- (XlX2" 0 X;) 1-~) =:: ;1functie x~rbitradi derivabila sau (n-2)u2=;>1--

n2

-=[(n-2)(xIX2'" xn)---;;+ 2XIX2'" Xn]{1 (~, ... , ~), {l- functie arbitr~raXl Xl

derivabila.

dXl dX2 dXn dll--========- = -- = ... = -- = ... - ------1+ -YU-alXl- 0" -anx. 1 1 al+a2+ 00. +a.

Integralele prime: X2=XS,+C1, X2=X4+C2, ... , X2=X,,+C,,_2,UX2= ------+Cn_1al+a2+ ... +an

aldxl +a2dxa+ • 0 • +a. dxn-du + 2V C~/ ~alx2 U-alxl- . 0 0 -a"xlI= n-al Vu-alxj- ••• -a.x.

Solutia generala: F(X2-XS, X2-X4,"" X2-X", ,X2- u ,( al+a2+ "0 +an

alx2+2yu-alxl- ... -anxll)=O. F, functie arbitrara derivabila.

Obs.: Ecuatia data are ~i solutia: u=alxl+'" +anxn. Intr:.adevar.

dad scriem: V=U-alxl- ... -anxn, se constata di V =0 este 0 so-

l +. +.. (1 L,J ) ~ +~ + ... + av +u~le a ecua~lel -,Vu-alxl-'" -anXnaXl aX2 oXnav(a1+ ... +an)- =0au

deci u=alxl + ... +allxn este 0 solutie speciaHi a ecuatiei, care nu estecuprinsa in solutia generaHi. Se observa ea derivatele cceficicntilor eC113-tiei date nu sint marginite in punctele soll1tiei ~=alxl+'" +allxn.

3°. Sistemul caracteristic asociat f'ste:dxl

X2+X3+ 0 <,', +X.+u Xl""i-X2+X4+' o. +X.+U

du

Xl+X2+ ••• +xn

dx.

Xl+X2+ •• ,~+Xn-l+~

Integralele prime:'du-dxl dX2-dxl U-Xl C----~---= 1

X2-Xl X2-XI

dx2-dxl ll-X2 C~--='2

X2-Xl X2-Xl

du·-dxn dX2-dxl u-Xn C= ~--= n'

U-X. X2-Xl X2-Xl

SolutlOa g l~ F ( U-Xl U-X2 ll-X71) 0 Fenera a: -- , --, ... , -- = ,X2-Xl :l'2-XI X2-XI

derivabila.

•.•13 10 So tIt . . dx dl! . dz,. •. . Isemu carac enstJc: - = -' = -..-z -z y-x

Integralele prime: x+y=Cl> y_ Z2 =C2.2

x+y=C1Z2

Din sistemul: Y - 2" = C2

y=C1-1

~ z= ±y'2(C1-C2-1)

x=lZ=y2

tnloeuind in Z=y2 se obtine: ±y2(C1-C2-1)=(C1-1)2 ~ Z2 - (y + x-- l)4+2(y+x+l)-2xy=0no S' tIt . " dx drl' 'dz..:::. IS emu earae enstIe: - = -' =-

x -y, Z

Integralele prime: xy=Cv yz=C2Eliminam pe x, y, z din sistemul:

xy=C1 x=-VC1yz=C2 ~/- C2 ./-

~ y=VC1~VCl =C1VC1~C2-C~=0

Z - ~ ~yz-x2y2=O~Z=xyz=x3 - vc;.-;)0 S' tIt . . dx d11 dz~. IS emu earae enstle: - = -' =-

xz yz -xvIntegralele prime: -=- =C1, xY+Z2=C2.

yEliminam pe x, y, z din sistemul

1x=-C1~=C1Y

xY+Z2=C2 ~y=x2

z=x3

y = -\- =:> ~ + ~ =C2~ (JL)3 + (JL)G =Z2+xyC1 cf c~ x x1

z= -3C1

t "t" dx dy dzearae ens 'lC: - = -' = --x -2y X2+y2

X2y=C1-xdx+ ~ydy+dz=O=y2 _ x" +z=C22 2

x=yC1

y=l~ 1 + ~l -:-C2=2z+ 2y2_x2_x2y_2=0.

z=C1

5°. Sistemul earacteristie: ~ = dy = ~x y z-xy

I I I . x C dz Z-C1y2 dz z zntegra e e pnme: - = l' - = -- = - - - = -C1Y~ - +x=C",

y . dy Y dy y y ,.eeuatia liniara

~=C1Y

!-+x=C2Y

2 C1 2 C02 y2 X= - +- + - 2= ~z=2y+ - + - -xyC1 2 x 2

x=2l z=y2+1 i:.,

60 S' tIt . t' dx cly dz• IS emu carac 'ens Ie: - = - = ---i_~. x -y z"(x-3Y)

dx-3dy dz 1Integralele prime: xy=Cv --- ---.=x- 3y + -=C'I;.x-3y z2(x-3Y) z

xy=C1

x-3y+2. =C2z ~C2+4C1-1 =O=z= 1

1+3Y~4xy-x

yz+l=O

7°. Sistemul caracteristic: ~ = ~ = dzx Y Z_X2_y2

. x dy dz dz zIntegralele pnme: - =CI, -.= ., 2 ~ dy = -Y -y(l +C2

1),y y z-y2(1+C1)

Z-X2-1J2= '=,.C2 (eeuatie liniara)y

2.. =C1

YZ-X2_V2 2---=C2=C1+4C1-C2+2=0

yy=-2z=x-x2

8°. Siste~~ll caracteristic: clx = ~ = ~z -xy 2xz

y2Z=C2.Integralele prime: X2-Z=C1,

X2-Z=C1y2Z=C2

x+y=2yz=l

rl0 S' tIt ' ,dx dy dzOJ. IS emu earae enstIe: - = -'- =-

x xz+y z

I t 1 1 ' x C dy Y +C t' I" v Y 1 Cnegra e e pnme: _. = 10 - = - lZ eeuayle IUlara =:> -,-x= 2z dz z Z ,1

y C--x= 2Z

x+y=2zxz=l

100 S' 1 ,. dx dy dz• , Istemu earactenstIe: - = -' =-

y2 yz _Z2

, dy dzlntegralele pnme: -' = - =:>yz=C1

Y -z

dx dg ~ ~- = -' =:> -' - - C1x= C2=:>-'- -xyz= C2

y2 C1 3 3

[

y;=Cl

-' -xyz=C2 =:>(C1+1)3_3C1(Cd ..1)=3C2

l 3 0 =:>(yz+1)3-3yz(yz+l-x)=y3:=:~-1110 S' 1 t" dx dl; . dz. Istemu earae -enstIc: - = -'- =-

x-z y-z 2z

• dll II 1Integralele pnme: -' =..:---- --dz 2z 2

t' \" - y+z Ceeua.le 1l11ara => -y;: = 1

dx x 1-=---dz 2z 2

t· I" - X+21 Ceeua,Ie Imara =:> --:::r::- = 2

Integralele prime: ~ = CI, y4_X2Z4= Cz

Z

y4_x2Z4=C2 => ci+ci=c2=:>xz-y2=0X=Z3

y=Z2, . dx dy dz

13°. Sistemul earactenstJe: - = - = -x y 2xy

Integralele prime: ~ =C1, z-xy=C211

Solutia gener~Ui: F (Z-XY, ~) =0 F - functie arbitrara derivabiHi

=>z=xy+r( ~),Solutia problemei z=xy-i-{ (~),

11

z(x-+-:) -y(y-t-z) 0

Integralele prime: Z= C1

ll(x+:) C.---= -"2lJ+Z

z=C1

y(x+z) -C C C-' 0 2--- - 2' 2- -'1= , Z =xyy+z

x=l

z=Vydx __ dY_= _zdz

7.14. 1°. Sistemul earacteristic: ~1 -1 y-x

,Integralele prime: x+y=C1

xdx+ydy+zdz=O=>X2+y2+Z2= C2

Z='VC1-1

x=1

dza(a2+xy) -

2°. S' tIt . t' dx dy Z2,Is"emu carac' ens 'IC: - = - =-----x Y X2+y2

Integralele prime: x,11=C1

-ay-dx

xdx z -ydy_x2 = --;;;::y = -=-;;;- =

-a-xdy

z

• dz ax dx- y dy+a(a"+xy) 2' - - (x dy+y dx)z z

d (2 2 2a ( 2 ) 2 2 2a 9X --,11 '- -; a +x,11) =0, x -,11 --- -; (a"+x,11)=C2

:;':,1j",,,,C1

2 L 2 R2 4 2 9+( 2 2 2( 2 ) (z-a ))2 R4X -.,11 = ,X ,11" X -,11 - (l +x,11 -z- - =0

3°, SistemuI caracteristic: ~ = cIy = ~ __z(x-a) yz ax __x2_y2

Integralele prime: -y- =C1x-a

y--=Cvx-a

z=C2-a2Ci2 2 .2 2 2 2 y2C2-a Cl=O~X +,11 +z _.(l -- =0

(x_a)2

4°, S' tIt ., dx dy dzIs"emu carac 'enstIc: -- = - = ---2xz 2yz Z2_x2_y2

Integralele prime: ..!L = C1,x

x dx+y dy+z dz = ~ ~ X2+y2+Z2 = C2

Z(X2+y2+Z2) 2xz x

.!L ~=ClX

X2+y2+Z2---=C2

x

X=(l

z2_,112=a2

..!L =C1

xX2+y2+Z2---=C2

x

a4 ci 4 a4 (C 1)2 2 '0- +- - (l + - 1+ -(l =d d d

X+,11+z=Ox2+,112+z2=a2

5°. Sistemul caracteristic:

(X2+,112+z2)2_2a2(x2+,112+x,11)= 0dx cIy dz

--=--=-=--

y C Z2 C"--= l' -="2eh x y

F (Z2 , --l!.-) =0, F functie arbitrara derivabila.y ehx

lui Cauchy:Cz 2 Z2 ,...2-- =Cl~,11 ch - =;0 ch X

ell C2 II

Solutia problemei

i) -y- =C1,ehx

ii) r

lin) Il

-y- =C1 2m(Cl-a)=ClC2~z2=2m(,11-a ch x)ehx

Z2-=C2Yx=Oz2=2m(,11-a)

-y-=Cvehx

Z2-=C2y

z=O,11=CI.ch x

C2=0, C1 =IY.. prin curba data trec 0 infinitate desuprafete de ecuatie

,11=ChXr(~), f arbitrara, derivabila, ce satisface

conditia f(O)=1Y..

7.15. 1°. Dad F(x, y, z)=a ~i G(x, y, z)=f' sint dona familii de suprafeteeonclitia necesara ~i suficienta ea ele sa fie ortogonale este:

aF aG -I- aF aG + 01' ~ c= 0oa: OX ay ay i)z i)z

Aceasta eonditie se obtine seriindu-se ea de-a luugul eurbei de iutersectieplanele tangente sint ortogonale.

Conditia de mai sus devine:y aG + x 13G 2xz aG () aG + aG'?, aG 0-- -- -- -- = """'yz- xz- -~xy- =Z2 OX z2 i:Jy Z3 az i:Jx By az

S' t 1 . . dx dy dz•. IS 'emu caractenstIc: - = - = --

yz xz -2xy

Integralele prime: X2_y2=C1 2y2+Z2=CZ'

Familia suprafetelor ortogonale familiei date a conmilor csteF(X~_·_y2, 2g2+Z2)=f', F - funetie afbitrara derivahila.Problema lui Canchy: '

{

X2+Z20= 1 ""'"C1+, C2=~5=>:1:2+ y2 +=2,=5y=~2X2_y2=C1

2y2+Z2=CZ

2 9) aG aG aG 02°. Eeuatia eu derivate partiale este: (y +Z" - -2xy - -2xz,- =ax ay , azS· tit .. dx dy dz I 1 I 'IS emu carae 'enstIc: -- = -- = --: lltegra e epnme:

Y~+Z2 -2xy -2xz

J!... =Cl> 2x2+y2+Z2=C2zJ!...-C

- 1Z

2x2 + y2+Z2 = C2""",3Cih2+h2= C2~3h2 y2 +h2 = 2x2 + y2+Z2,Z2 .

y=x2=h.

7 fl' S' I __ dx dy, .__ dz.: II. IS tern u eara cteristi c:

a:(x2+ 3y2) 2y:J 2Z!J2

I t I 1 . !J C dy 2y3 E i' d'f t' IVn 'egra e e pnme: - = l' - = ---. eua\:1C 1 eren 13: az dx X(~C2+ 3YZ) ,

rl ' y '"~- -I- ~ =C2:C,I x" ,

J!...=C1

Z

1/3 1/. -1-' -_·Cx4 x2 - 2

z=h, x2+y2=a2

dx dy dz7.17. Sistemul caraeteristic: - = -,- = -,-

xn _yn in

dx dz 1 1 CIntegralelc prime: Pt n -:f ±1; - = - ~ - - - = 1. xn zn x71-l zn-l

. ( 1 1 1 1 ) 0 7:' b' t' ~ d . I"J"Solu,tia generala: F -- - --. -- + -- = ,L' ar 1"rara .enva)1 a.~ ~ xu-1 zn-l y'/,-l zl1-1.

:=1

x=yY2

xy=C1

yz=C2

xdx=-ydy=zdzX2+y2=C1

y2+Z2=C2

7.18. Se verifidi dadi este satisfiicuta conditia de compatibilitate (7.11)1°. Conditia de compatibilitate este u[1 + u(l + y) J=O.

Singurele functii care ar putea fi solutii sint u=O ~i u= 1_, u=Ol+y

este singura solutie.2°. Conditia de compatibilitate este identic satisfiicutii.

Din prima ecuatie rezultii u(x, y)=xy2+ ~(y), ~ECl(R) este arbitrara.1nlocuind in a doua ecuatie obtinem pentru functia ~ ecuatia

~'(y)_ ~ ~(y)= _y2Y

care este 0 ecuatie liniarii in necunoscuta ~. Rezultii~(y)=Cy2_y3, CEIR=u(x, y)=Cy2+y2(X_Y), CEIR.

3°. Conditia de compatibilitate este satisfiicutii.Din prima ecuatie rezultli: U=xy2+ ~(y), ~ECl(IU). Din a doua eeuatie

2 1 1 1=~l(y)_ -'- ~(y)= __ y2 = ~(y) = Cy2_y3 =u(x, y)=xy2 _Y 2y2 6.11 611

_y3+Cy2, CEIR.4°. Conditia de compatibilitate este satisfacutii. Din prima ecuatie rezultfi:

u(x, y)=x~(y), ~ECl(1R) fnlocuind in a doua avem: ~'(y)= ~~(y)=1I

=~(y)=Cy2, CEIR=u(x, y)=Cxy2, CEIR.5°. Sistemul nu are nici 0 solutie. Conditia de compatibilitate nu e satis-

facuta.6°. Conditia de-'compatibilitate este: u(I-3xu)=0

Singura solutie a sistemului este u=O.

7.19. a) Se verifiea direct di eonditiilc (7.15) sint indeplinite:

~ = aQ =6x2yay axaQ aR- = - =coszaz ayaR ap x-= -=-e'ax az

b) Din (7.16) rezultii eii:x " z

u(x, y, z)= ~ (3X2y2_eZz)dx+ ~ sin zdy+ ~ -dZ=X3y2_e"'Z+y sin Z.

o 0 0

Familia de suprafete integrale ale ecuatiei w =0 este:X3y2_e"'Z+y sinz=C, CEIR.

7.20. Se verifiea daca este satisfiicuta conditia de complet integrabilitate(7.14).

262

1°. Conditia de complet integrabilitate este satisfiicuta. Se vede ca functiau.(x, y, z)= _1_ este un factor integrant. Prin inmultirea cu fJ. se obtine:~ xyz!

dx dy d 0 z C C R- + -- + z= =xye =, EIx y

20. ap = aQ =0, aQ = aR =0, aR = ap =0ay ax az ay ax az

~ v z

u(x, y, z)= ~ (1-4x)dx+ ~(1+4y)dy-- ~4zdz=x-2x2+y+2y2_-2z2.000

Familia de suprafete integrale este: x-2x2+y+2y2_2z2=C, CEIR

30. ap = aQ =1, aQ = aR =1, aR = ap =1ay ax az ay ax az

;\' Y

u(x, y, z)= ~ (y+z)dx+ ~ zdy=xy+xz+zy.o 0

Familia de suprafe'~e integrale este: xy+xz+zy= C, CEIR.4°. Conditia de complet integrabilitate este satisfiicutii. Functia fL(x, y, z) =

1 este un factor integrant. Prin inmul~irea cu fL se obtine:(x-1)(y-1)(z-1)

_x_ dx+ --!!- dy+ _z_ dz=Ox-1 y-1 z-l

x+y+z+ln[(x-l)(y-1)(z-I)]=C, CER.

5°. Ecuatia este complet integrabilii 9i este echivalentii cu sistemul:oz 2x2+2xy+2xz2+ 1-=-ax 2z

ay 2z

Din a doua eeuatie rezulta ca y+Z2=U(X), u, arbitrara derivabilii. 1n-locuind in prima' ecuatie se obtine: u'+2xu+2x2+1=0, care este 0ecuatie liniara in u ce are solutia: u(x)=Ce-x2-x'Familia de suprafete integrale' este ex2 (X+y+Z2)=C, CErR.

6°. Ecuatia este complet integrabila ~i este echivalentii en sistemulaz-=-yax

~ =+!-ay y

d I ~ () f t- aI-bI··traI-a-.DI'II primaDin ecuatia a aua rezu La: z=yu x, u 'unc/Ierezulta: u(x)=C-x, CEIR=Z=y(C-x), CErn.

7°. Eeuatia nu este integrabilii.

8°. Eenatia nn este integrabili'i.9°. Ecnatia este eomplet integrabiJa. Ea este echivalenHi en sistemul:

az 2!Jz+3x az z--=----, -=.--.ax xy O!J Y

D· d t· ItV( ) u(:r) f' t· b' v d .III a oua eeuHyle rezn:a: z x, y = --, u 'unc,le ar Itrara enva-

ybila.

lnlocuind In prima, rezulta: ll'(X)+ ~ ll==-3, ecuatia Iiniara. x ,

(,)_G . _ G x Cr'R! 1 ·.t' d't .=11 X - ---;;--X= .•..= -;- - -, d. J1 pillS, eetlclyIa a Inl e ~I so-X" x2y y

lutia x=O.10°, Eetla~ia este eomplet integrabila )i echivalenta ell sistemul:

~!!.-=-,2:1;, ~J!..=-(2x2z+2yz+2z2+1).ax az

Din prima eCllatie rezulta ea y= -'X2+11(Z), II - functie arbitrara deri-vahila.

Inlocuind In a dona obtinem: :: +2zu= -(2z2+1)=>II(z)= -z+Ce-z'

=y(x, z)=Ce-z2_x2_z, CEIR.

11°. Ecuatia este complet integrabila ~i eehivalenta eu sistemuI:~ z-y ~ z-x--=--'-, -=--ax x ay y

Din prima ecua~ie rczuIHi Z-Y=Xll(y), II functie arbitrara derivabiHiInlocLlind In a <;loua se ob~ine: ~ = .::=2. ='> u(y) = 1+Cy, CErn

dy y=z(x; y)=x+y+Cxy, CEIR.

12°. Ecuatia este eu diferelltiala totala exacta, deci" z

u(x, y, z)= ~ (1 +yz)dx- ~ dz=x+xyz-zo 0

Familia de suprafe'~e integrale este: xyz+x-z= C, CErn.13°, EeLIa~ia este eomplet integrabila )i eehivalenta CLlsistemul:

az 2x-,·!/z oz 2iJ+xz-=- , -=-

ax 2z -h!iy-l oy 2z +xiJ-l

Din prima eeLla~ie rezulta eax2+xyz+z2_-z= u(y). Inloeuind In a donase ob~il1e: ll'(y)=-2y=1l(y)=_y2+C.Familia de snprafe~e integrale este: X2+y2+Z2+xyz-Z=C, CEIH.

14°. Ecuatia este eu difereu'~iala totala exacta, deci!X 11 z

u(x, y, z)= ~ (yz-In z)dx+ ~ (xoz-In z)dy+ ~ (xoYO- XO~Yo) dzofQ Yo Jo

=xllz-(x+y)ln z+C1, C1EIlt

Familia de suprafete integrale este: xyz-(x+y) In z=C, CEIR.15°, Eeuatia este eomplet integrabiHi ~i echivalenUi cu sistemul:

az yz+a2 az ~:z+a2, -=

ax x(x+y) ay y(~;"j-y)

2 1.1(IJ)X ft·Din prima eeuatie rezLlWi: yz+a = -'-' 9 unuc/le arbitrara deri-X+Y

vabila.. du 2 2a2

inlocuind In a doua ecuatie se obtllle: - - - u+ -- =0 ecua~iedy y u

=u(y)=Cy2+a2, CEIR linia'raFamilia de suprafete integrale este: z(x+y)+a2-Cxy=0, CE!R.

7.21. Scriem sistemul caracteristie (7.19)~ = ~ = __ ~u_.__ = --;-dp = --,dq

x-I--r;, iJ+r~ pX-j-qu+pr~ 0 0

Rezulta p=a, q= b ~i Inloeuind In ecnatie integral a compleUi esLe 1.1=

=ax+bY+f(a, b).Observalie. SolLltia singulara a eeuatiei lui Clairaut se obtine eliminindpe a ~i b din sistemul

1

u=a,x: by+f(a, b)

x=-fa .

Y=·-f'• b

7.22. 1°. Sistemul caraeteristic (7.19) aclmite integrala pnma p=a.Din f(a, q)=O rezulta q=g(a). Din ecnatia lui Pfaff du,-,=adx+g(a)dyse obtine integrala completa: ll=ax+g(a)y+b, a, bEiR.

2°. Deoarece X= -.!.!.... =0, U = -.!.!.... =0, sistemul caracteristic are inte-ax au

grala prima p=a, iar din f(a, y, q)=O rezulta q=g(a, V)· Astfel ecuatiaPfaff, dll=aclx+g(a, y)dy cO~lduce la integrala completa: u=ax++ ~g(a, y)dy+ b, a, bEIll.

3°, x= or =0, Y = -.!.!.... =0, Sistemul caracteristic aclmite eombinatiaax au

, b'lv dp dq I "t 1 . vmtegra I a: - = - c eCllnegra a pnma q~~ap.p q

Din sisteinul {f'(U, p, q)=O rezulta p=g(u, a), q=ag(u, a).

q=apEcuatia Pfaff du=g(u, a)dx+ag(u, a)dy conduce la integrala completii:

r -~ =x+aY-f-b, a, bEIRJ Il(U, a)

4°. Intrucit U = .!L =0 sistemuI caracteristic este ~ = dy ~ dp = ~.. au P Q -x _ y

Daca se cunoa~te 0 integrala prima G(x, y, p, q)=a a acestui sistemtf I D(f, G) 0 .•

as e ca -- ¥- , atunci smtem condusi Ia ecuatia cu diferentialeD(p, q) ",

totale du=g(x, y, a)dx+g1(x, y, a)dy, unde p=g(x, y, a), q=gl(X, y a)este solutia in p ~i q a sistemului '

{f(x, y, p, q)=O • ~G( Efectumd doua cuadraturi se obtine integrala completa ax, y, p, q)=a.

ecuatiei date.

7.23. 1°. SistemuI caracteristic este: __ d_x_ = _d_Y_= _d_q =-2p-I-x 1 0

D. dy dplll-' = -rezulta p=ae-Y1 -p

Din ecuatie rezuWi q= -axe-Y+a2e--2yEcuatia Pfaff complet integrabila

ae-Ydx+ (-- axe -Y+ a2e-2Y)dy--,dll =0conduce Ia: u~--axe-Y.- ~ a2e--2Y+b, a, bEIR

2

2°. SistemuI caracteristic: ~ = dy = ~ = ~ = ...<!SLq p 2pq p q

D· dp dqIn- =-=;,q=ap.

q q

D. {pq-ll=OInq=ap

p= '\ / u=;, Va

q=Yau

Ecuatia Pfaff este: V: dx+ Y;;;dy-du=O

Integrala compleUi y;;;i- ~ (x+ay+ b)=O, a, bER

3°. SistemuI caracteristic: ~_ = ~ = aux-j-uq y-j-up px-l-qy-j-2pu

dq

q(l-j-pq)

Din ultimele doua rapoarte rezuIta p = aq.

Din sI's-tenluI{p=a ~ ax-j-y aX-l-!l~ p=- --, q=- ---,Xp+yq-llpq=O u au

Ecuapa Pfaff: (ax+y)(adx+dy)+audu=O, da integrala compleUia1l2+(ax+y)2 -b2=0, a, bEIR

('I

. t .. dx dy du dp do4°. SlstemuI camc enstIc: - = - = ---- = -- = --"--2p -2q 2(p2_q2) -p -q

Din ultimele rapoarte rezulUi: q=ap

{p2_q2+1l=0 V-u-

SistemuI da p= -.-q=ap a3-1

Ecuatia Pfaff: dx+acly- V u clu=O da integrala completaa2-1

2Vu(a2-1)--x-ay+b=0, a, bEll..du

2p2xy2-1-2y3pq_ydp dq

=---=p(1_y2p) 2yp2X-j-3y2pq-2

Din dy dp rezllItil py=a.y(y2p_l) p(1_y2p)

{py-a=o aDin sistemuI p= -, q=xy2p2+y3pq_u_pq=0 y y(ay-l)

. a u-a2x ~ .EcuatIa Pfaff: dl1= - dx+ ------ dy cla mtegrala compleUi., y y(ay-l)

uy-ax-b(ay-l)=O, a, bEll{

6°. Sistemlll caracteristie' este:dx dy du

2x(px + qy) - ux -j- 2p 2y(px + qy) - ux + q p2x(px + qy) - ux + 2p + 2y(px -j- qy) - uy -}-2q

-dp -dq

p(px-}-qy)-up q(px-}-qy)-uq

Din ultimele doua rapoarte se obtine: p=aq

iar sistemul {p-a=o(pX+qy)2 -l1(px+qy) +p2+ q2=0

au(ax-}-y)conduce Ia: p= ------

(ax-}-y)2-}-a2-}-1

u(ax-l-Y)q=

(ax-}-y)2-j-a2-j-l

Ecuatia Pfaffdu= u(ax-}-y) dx+ au(ax-}-y) dy

(ax-j-y)2-j-a2-j-l (ax-}-'y?-j-a2-}-1

. du d(ax-}-y?se mai poate sene: 2 - = ------II (ax-j-y?-}-(a2-j-l)

~i asHeI integraJa completa este 1l2-b[(ax+y)2+a2+1]=0.

7°. Trecem In coordonate polare

x=r cas e, y=r sin eall all all.-- = '- cas 0+ - S111 fJor ax oy,

all all.' all- = - - r SIll 0 + - r cos eoB ax, oYDe aici rez ulta ca: all =, cos fJ all _ sinH ~!!.-

ax or r 00all cos B au . e au-= - -+SIll -oY r oB or

Inlocuind In ecuatie obtineIll:

( OIl)2 + ~ (all)?' =~((r)or r oB

Sistemul caractcristic este:dO _ dll -dp -dq on- - -,,-,,-- = ------=-unde p=-2q 2/Fr+2q2 2rp2-2r{_r2{' 0 ' or'

Din ecuatie avem p= ± V{(r)- a2

r2

YX2+y2

Ecuatia Pfaff este du= ± ~ V{(r)- ;22

dr+adfJ de uncle rezulta in-TOgrala completa

V x2+y' I "r V a" yu= ±) ,((r)-- 1'2 clr+a arc tg-; +b,TO

dx dy dLl dp dq--=--=---=---=--mp"'-l mq"'-l m(p"'+q"') npLl,,-l nqLl,,-l

1

Din ultimele doua rapoarte rezulta p =am q

Sistemul { p=a~q conduce Ia p'

p"'+qm=un

m n m.Ll a u

(1+a)1/m' q= (1+a)1/m

1_!!. 111

E cuatia Pfaff se scrie astfel: u m elu= a elx+ 11 1/ dy.(i1+a)l/'" (l+a) m

1 m-'n 1

Integraia compleUi este: (1+a)'" Tn'U m -(Tn-n)(xam +y)-b=O,a, bER

dx dy du -dp dqgo. Sistemul caracteristic estc: - =-=--=--=--, p=aq

p q p2+q2 2p 2q

Din sisLcl1lui { p=aq, p=~_~, q= ll_

px-+-qy+u=O aX-I-Y ax+b

f d au. 1 II 'l 1-' t l I t-Ecuatia Pfaf' 'u= - -- (X- -- (y (a In "cgra a comp cooaax+y ax+y

u=(ax+y)b, a, bER__ d_x_=~_=

2(p-x) -2(p-y)

du.

2p(p-~c)-2q(q-y)dp dq

2(p-x) -2(q-y)

D· t· dx dp It- IIn ecuaoow --- = rezu' a p=xTa., 2(p-x) 2(p·-x)

{p=x+a 'conducc 1a: p=x+a '

Sistemul ,/-2--(p_X)2._(q_y)2_1 =0 q=y+ va -1

Ecuatia Pfaff du=(x+a)dx+(y+ Va2-,--1)cly da intcgrala comp1etax2 1]2 --.,-

ll= - +ax+ ,-. +Va-·-llJ-l-b, a, bElH.2 2 .

dx dy dll dp dq11°. Sistemul caracteristic cste: - = - = ----- = - = ---x u+2q 2q2+qy_px -p --:lq

dq dx Rdin -.- =-_co -, q=,,,,a:!;'·.'Jq x

3 2 2 25

{q-ax =0 conduce Ia: p= -- ll+axy+a x

Sistemul x2u-PX+qy+q2=0 q=ax3

Ecuatia Pfaff du= (: u+ax2y+ a2x5)dX+ ax3dy

da integrala completa: 411=x2(4axy+a2x4+4b), a, bEIR

12° D' . tIt . t' t· _dp -__ dq ne da-p--aq.. III SISemu carac enS'IC, ecua,Iap q

RelaWle { p=aq' , , dau:(pX+qy)2 -- p2-l-l =0

±ap= V(ax+y?-(a2+1) ,

±1q=-=~ ~\!(ax+y)"-(a2+1)'

±a 1 .Ecnatia Pfaff: du= --======= dx·f.: --=======-- cly

V(ax-l-y?-(a2+1) -- V (ax-l-y)2-(a2+1)ax-l-Y

conduce Ia illtegrala compleHi a eeuatiei: ch(L1--b)- ,j __ =0,ya2+1

7.24. 1°. Ecuatia fiind de tip Clairaut generalizat3, integrala ei com-pleta este

u=ax+ uy+3a2- b2

Reprezentarea parametrica a curbei este x=O, y=t, u=i2." {12=bl+3a2- b2

Dlll sIstemul:2i=b

eliminind pe I se obtine b=2a.Integrala generala a ecuatiei este: u=ax+2ay-a2

rnfa~uratoarea acest~i familii de suprafete u= 2- (x+ 2y)24

dx = dy = du = ~ = ~'L2p 2q 2~p2+q2) P q

Din ultimele dona rapoarte rezulUi p=aq

.. {p2_f-q2_U=0 V-Ial' sIstemul conduce la p=a _u_,p=aq (/2+1

Ecuatia Pfaff V~ du=adx + dy furnizeazii integrala

2\/iz(l+a2) -ax-y-b=O, a, bEIR

Din sistemul { 2Yl +a2 -a cos i-sin i-b=Oa sin t= cos i

rezulUi a=ctg i, b='./I+a2

Integrala completa este: 2yu(1 +a2) -ax-y- Yl +a2 =0Derivind in raport cu a ~i eliminind pe a rezulta

(2Yu _1?=x2+y2.

Integrala completa a ecuatiei este: u= YX2+y2 +ax+ b, a, bEIR.

. {I +a cos i+ b=OSlstemul conduce la a=O, b=-1.a sinl =0

Solutia problemei lui Cauchy este u=Yx2+ y2_1.

V- uq= (/2+1

4°. Sistemul caracteristic este: ~ = dy2(p-q) -2(p-2q)

-dp -dq=--=--

4p 4q

du2p2_4pq+4q2

Din ultimele doua rapoarte se obtine: p = aq.

SistemuI{p=aq conducelap=±2a Vu ,p2-2pq-J-2q2_4u=0 '1(/2-2(1+2

q= ± _2";_U_";(/2-2a+2

V 2VuEcuatia Pfaff este: du= ±2a U , dx± dy

a2-2a+2 - Va2-2a+2

,r a 1Integrala completa este: ± V ll= ..•./--_ X -I- , /-- __ y+ b., Va2-2a+2 ya2-2a+2

Solutia problemei lui Cauchy: ± YU= Y2x+ J2 y.

dx dy du5°. Sistemul caracteristic este: - = - = -----2pu2 2q1l2 2u2(p2+1/)

-dp

2Up(p2·t·q2)-dq

2Up(p2'i·t/)

o integrala prima este: p=q tg CJ.,CJ.ER.

. {U2(p2-J-q2)-3a2=0 aY3sin CJ.Slstemul conduce la: p= ----p-q~CJ.=O U

q= aV3cos 0:

II

Ecuatia Pfaff dll= aV3sin CJ. dx-J- aV3cos CJ. dyu u

furnizeazii integrala compleUl: 112-2aY3(x cos CJ.-I-Ysin CJ.)-~=O,rx, ~ER.

Solutia problemei lui Cauchy este u2=2a(x+ V2 V).. . dx dy du dp dq6°. Sistemul caractenstIc este: - = - = --- = - = -

2p 2a 2(p2+q2) 4p 4q

p=aq

{p=aq . aV2u V2uSistemul da: p = ---, q = ---p2_q2_2u=O Va2-1 ya2-1. V-;;- V~Ecua~ia Pfaff du= -- dx+ -- dy conduce la integrala com-

a2-1 a2-1

,,- a . 1VU - V X - V y-b=O, a, bER.

2(a2-1) 2(a2-1)

Solutia problemei lui Cauchy este u = V; x+y+1.

7°. D eoarece esle 0 ecuatie Clairaut generalizata, intcgrala cornpleUi csLcb2

u=ax+by- -2

Solutia problernei lui Cauchy este 2U=X+y2

8°. Sistemul caracteristic este: dx = dy = ~ = dp = ~q p 2pq y x

D· dx dq 2 2 2In - = - ~x -q =a .q x .

{x2 __q2=a2 Xl!'

Sistemul da p= .~,pq-xy=O l./x2-a2

• XI! .. ---

Ecuatw Pfaff: dll= ,1 .,' .".- dx+ yx2_a2 dy filrnizeaza integrala COJ1l-yX"-a'"

pleta. u=yyx2-a2 +bSolntia problcmei lui Cauchy este u2=x2(1 +y2).

go. Sistemal caracteristic este: dx = dy = ~ = ~ = dqp q p2+q2 pu lIq

1)' dp dq I ~.. 111-- = - rezu ta q=p tg C(, OI:ER, arhitrari'i.

PII IIq

{fJ= P tg 01: _ ±' f::2'--:;1 .Din sislemul . rezulta p- .VU-1 COS01:

/' U2_p2_q2 __h=O, . q=;:'t:.yu2-1 sinoc·

Ecuatia Pfaff dll=±Yu2-1 cosOl:dx±yu2-1siuiXdy conduce la in-tegrala completa

In(u+ l/u2-1) +13= ±(x cos OI:+y sin IX), 01:, 13Ell.Inlocuind pe x . t, y=l-t, u=l, se obtine:

..f3=t cos IX+(l--"t) sin C(

Derivam in raport cu t. Se obtine:

tg C(= 1 adica sin C(= cos C(= l./22

Atunci f3 = sin C(=~ -~;;: • tnJocnind In integrala cornpleta, ob~inem solu~ia

problemei lui Cauchy:

21nlu+ yu2-1(-x-y+1 =0.10°. Din sistemlll caractcristic se obtine integrala prima p=ax.

Din ecuatie rezultil g= yay.

Fllnctia Pfaff du=axdx+ yay dy da integrala complcta

u-a x2 +:!:....y Vay -b=O2 3

Solutia problemei lui Cauchy este a) y3 __ U(1 - ~ x2

) =0b) g(1l_X2)2~8y3=O

dx dy elu dp dqSistemul caracteristic este: - = - = ~1 .= - = -qu

p q U"- pu

o integral a prima este p=aq.l./~ al./U2=1

Din e cuatie rezuWi: q= - , p =l./a2-1 Va2-1

d aV~2-1 dx-I- Yu2-1 dy conduce la integralaEcua~ia Pfaff: u = ._._-- -Va2-1 ya2-1

,J-- a 1/ bOb RInlll+ Vu2---11'''' -==-=--x -- ,~ - = , a, El./a2+1 ya"+l

Pentru rezolvarea problemei lui Cauchy, consid~rarn urmatoarea re-prezentare parametrica a curbei: X=A cos t, y=A sm t, u= 1.

Se obtine: Inlu+ Vu2_11_x2_\_y2_A=O.clx dl!' elll -dp

12°. Sistemul caracteristic este: 2pu2 = 2qu2 = 2112(p2+q2) 2pU(p2+q2+4)

-dq

2qU(p2+q2+4)

lt~ VOllllua IJ='Jp2+q2 cos aDin ultimele doua rapoarte rezu a: p=C(q. V

~i q= Vp2+q2 sin a. Din ecuatie rezulta: p2+q2=4 (~2 -1), deci

2V~ 2V~ .P = ± 11 cas a, q= ± --ll- SJIl a.

+uduEcuatia Pfaff corespunzatoare este ~-U-U2. +2 cos adx+2 sin ady=O

iar integrala compJeta a ecuatiei: 4(x cos a+y sin a_b)2+112_4=O.? .? 112 .

Problema lui Cauchy are doua solutii: 1) x-+y"+ '"4 =1 ~l

2) [4(x2+y2)+IP-16]2--i6(12-3u2)=O. .

dy2p2

y- -3-q

-dup2

ll-/--q2

-dp=--=

2p2pX-/--q2

-dq

2qo integraUi prima este p = aq.Integrala completa a ecuatiei este y+ax+ _b_ =0, a, bER. Solutia

ll-/-a2

problemei lui Cauchy se determina analog ca la problemele precedente.7.25. 1°. Ecuatia este Clairaut generalizata. Illtegrala completa a ei este

u=ax+ by+3a2- b2, a, bER.Integrala siugulara se obtine elimiuind pe a ~i b din sistemul

Iax+by+3a2- b2-u=Ox+6a=0 Rezulta 12u+x2-3y2=0y-2b=0

20 S' tIt 't' dx dy du -dp. IS emu carac ens IC este: -- = -- = = __ =2p-/-1 2q-/-1 2(p2_I_q2)+p-/-q 1-/-2p

-dq=~1-/-2q

Din sistem se determina urmatoarele doua integrale prime:p+x=a, qxy= b, a, bER.

x~ y2Ecuatia Pfaff: du=(a-x)dx+(b-y)dy ne da u=ax- - + by- -+C.2 2

Scriind ca u verifica' ecuatia initialii, se obtine pentI'U C: C== ~ (1-a2-b2-a-b). Astfel integrala completa a ecuatiei este: u=

=ax+ by - ~ (X2+y2)+ ~ (1--a2- b2-a- b).

Integrala singulara se obtine eliminind pe a ~i b din sistemul:

{ax+by - ~ (X2+y2)_U + ~ (1-a2- b2-a- b)=O

2 2

x-a- ~=O

Iy- b- : =02 . .

Se obtine: 4u+2x+2y-3=03°, Integrala completa a ecuatiei este: (x-a)2+(y-W+(u +a+b)2-1=0,.

a, bER. .

Eliminind pe a ~i b din sis;)~m~I_O se obtine integrala singulara for-(x_a)2+(y-b)2+(u+a+ - - maUi ~lin urmatoarele doua plane:x-a+u+a+b=O 1 -0y-b+u+a+b=~, . . x+y +u ± "13 -

4°. Sistemul caraetenstIc este. . -dpdy du -''----

~ = 0 = " ?x3pq -/-2x2yq2 3x2pq-/-2xyq2-/-2px3q-/-x x3p-/-2x"yq px -~

. dx -dq rezulta xq=aDIll ( 2 -/-1)x(x2q-/- 1) q x q

uy2-/-U aDin ecuatie se determina p= - x(l+UX) , q= -;-

u2y-/-u dx+ ~ dyEcuatia Pfaff corespunzatoare: du= - x(l+ax) x

conduce la integral a compleUi:aT) b(l+ax) b Ru= -'- + ----, a, E •x x

, ' 'd e a si b din relatiile:Integrala singulara se obtine elImIllm p" '

1ay+abx+ b-xu=O

RezuWi y+zx2=0y+bx=Oax+ 1=0 ,

I t~ se poa te scne, t O'eneralizaUi, integrala comp e a5°. Fiind ecuatie Clan'au l:>

u=c<x+~y+Vc<~

N t' d -a3 Po - b3 se obti,\le:o In c<- , I'" - ,

. u=a3x+ b3y+ab.

S I t· '~ul'lra~ se ob+ine prin eliminareao U,la SIng c Y

latii1e:

la3x+b3y+ab-u~03a2x+b=03b2y+a=0

Se obtine 27xyz-1 -0.