Culegere EFM

download Culegere EFM

of 52

  • date post

    23-Jun-2015
  • Category

    Documents

  • view

    250
  • download

    7

Embed Size (px)

Transcript of Culegere EFM

cpl(X)=X

+ ~cpz(t)dt

cpl(X) = 1- ~ cpz(t)dt

4'.

4.13. Rezolvati, aplicind transformata Laplace, ecuatiile integro-diferentiale urmatoare:1. cp"(x)= ~ eZ(:H)cp'(t)dl=e2Xo

I

I

~,(x) ~ 1-

i

~,(t)dt , ~ ~ (X-l)cpl(t)dt

5'. .,(x)~

'OS:

-1

+

i0

~,(')d'

0

"

cp3(X)=cos x+

~ cpl(t)dt0

cp3(x)=sin x+

Preliminarii Ecuatii integrale

de tip Fredholm F: D1-+R, K: Dz-+R, D1CRn+2 DzCR2n+l

"

dadi cp(O)= cp'(O)=O~ cp(t)dt=x;0

Se considera aplicatiile ~i spatiile de functii

2. cp'(x)-

cp(x)+ ~ (x-l)cp'(t)dlox

"

"

dad"

cp(O)=-1

X={ cpEC(Q, R), QCRnl(x, Y=C(Q, R)

cp(x), ~K(x, s, y(S)dS)ED1}n

3. cp"(x)-2cp'(x)+cp(x)+2 =cosx

~ cos (x-t)cp"(t)dt+2o

~ sin (x-t)cp'(t)dt=0

~i fie data aplicatia:cp(O)= cp'(O)=O ch x dad cp(O)= -1,

1': X-+ Y, cp -+F(x,

cp(x), ~ K(x,n

cp(sds)

dadl cp(O)=cp'(O)=O

4. cp"(x)+2cp'(x)5. cp"(x)+ cp(x) + cp'(O)=1.

2) sin (x-t)cp'(t)dt=o

x

cos x dad

Ecuatia functionala 1'(cp)=0, adicaF(x, cp(x), ~ K(x, s, cp(sds)=On

" ) sh(x-t)cp(t)dt+o

"

~ ch(x-t)cp'(t)dt=0

se nume~te eClla[ie integrala de lip Fredholm. Prin diferitele particularizari ale lui F ~i K obtinem importante de ecuatii integrale:~ K(x, s)cp(s)ds=1'(x)

urmatoarele

clase

4.14. Rezolvati ,urmatoarele1. y(xH-2y(x-1)-3y(x-2)=f(x) 2. y'(x)+y(x-;)=O,

ecuatii

cu argument dad -';

modificat:n cp(x)~ K(x, s)cp(x)ds=1'(x)n

y(x)=cosx,

~x~O.

4.15. Gasiti solutiile ecuatiilor diferentiale urmatoare: 1. xy"-2y'=0; 2. xy':+2y'=O;3. xy"+(2x-1)y'+(x-1)y=0; 4. xy"+2y'=x-1; .11(0)=0, .11'(0)=-

(5.1)

22 p (p+ 1)(p+2)(p+3)(p+4) 1 p4_6p3+11p2_6p . ,

Prima se nume~te ecuatie integralii de tip Fredholm de spe{a a I-a, iar a doua se nume~te ecuatie integraM de tip Fredholm de speta a II-a. Dadi in ecua~ia de speta a II-a, nucleul K are formaK(x, s)=

4.16. Gasiti functia original, dadi]0. F(p)= 30. F(p)= _1_;(p-1? . 4_p_p2 1'3_p2

E ai(x)bi(s);=1

n

ecuatia corespunzatoare se nume~te cu nucleu degenerat. Vom presupune ca functiile at, bt, f ~i cpsint continue in domeniul marginit Q ~i d sistemele de functii {ai}7=1 ~i {b };'=1 sint linear independente. Vom arata ca rezolvarea ecuatiilor integrale cu nudeu degenerat se reduce la studiul unoI' sisteme de ecuatii algebrice lineare.j

Sa~presupu~lem di e:uatia integrala de speta a doua eu nucleu degenerat poseda 0 solutle. AtuncI pentru aceasta solutie trebuie sa avem:

...

,

x.)

= ... = x(7.5).

(x,. 1""

x )n

(7.6) se nume~te sistemul caracteristic

X,,+l(XI,

,x.' u)

se nume!]te

~:astem caracteristic

al ecuatiei

al ecuatiei

(7.7).

IH

Dadi CPi(Xl"'" xii, U)-Ci, ,i=1,2" ... , it sint n integrale prime functional independente ale sis,temului (7.8) atunci solutia generalii a ecuatiei cvasiliniare (7.7) este( CPl(Xl' , Xn, u), ... , CPn(xv X2, ... , xn, u =0 (7.9) unde : Q--+R, QCRn, EC1(Q) este 0 functie arbitrara derival:liHi. Prin urmare solutia generala a. ecuatiei cvasiliniare (7.7) este definibi implicit. Observa!ie. Problema lui Cauchy pentru ecuatia cvasiIiniara (7.7) se form uleaza analog ~i S6 rezolva analog ca ~i in cazul ecuatiei Iiniare omogene.

. b) constituie ecuafia lui Pfaff Probleme Ie a ) :;;1 prin: Pdx+Qdy+Rdz=O Presupunind ca !(x, y, ~) #0,. (x, y, valenta cu urmatorul slstem.az ax

pc care

o yom nota simbolic(7.12)

lui Pfaff (7.12) este echiQ(x, y, z)

Z)EQ,

e~uatiaaz _ =ay

=-

P(x, y, z) R(x, y, z

),

R(x, y, z)

fbilitate Conditia de compa I'

(711)

scrisa pentru

sistemulap

(7.aQ)

13) conduce la

4. Sisteme de eeuatii en derivate partiale de ordinul intii Se considera sistemul de ecuatii cu derivate partiale auax;

de ordinul in.t~'i "c(7.10)

=f,(x,

y, u); -

au

ay

=g(x,

y, u)

cu 0 singura functie necunoscuta u de variabilele independente x ~i y. Se presupune ca functiiIe f li'i g slnt astfel indt solutiile sistemului u sint de clasa C2(Q), QCR2 Atunci pentru orice solutie u a sistemului (7.10) are loc egali2 a . t t a t ea --a2u = -- u ceea ce Imp l'lca re Ia,w:axay ayax

, care se nume:;;te condl(le de com~ e . t g.2'It

oCOS

() . CPl = C sin x; 1.2=-,2 XJ

() CP2 = C cosx, X

CER

ep(X)=CIA cos2 x+C2A Inlocuind in ecuatie, sintem1)dc

3x.

'It

condu~i la urmatorul 04

sistem pentru =0 ~

CI ~i Cz

14. 1.1= 2., y=Ce"'-l, CEIR 3. Presupunem ca fEcm+l. Deriviud in raport en x de m+:l ori ecnatia se obtine ~im! y(x)=f(m+ll(x),

Pentrll "A=- : ecuatia admite solutie dadi ~i numai cp(x)=b+Cz sin x, CzER.30 ()2),a+3c 3(1-2),) 3b?

y(x)=

-1 f(m+l)(x).ml

. cpx =.

+--,

3-2A

x+ar

daca"A#-

12

~i A=I-,

2

Va,b,CER2-

4. Presupnnem ca fECI. Diu ecuatie se vede ca cp(O)=f(O). Deriv ind obtiuemx

Pentm +C!> CzER

A= ~ ecuatia are sollltie dad CIEn.

a + 3c = 0 ;;i cp(x)= ~ bx+axz+1

-:p'(x)-"A ) ex-tcp(i)dt-"Acp(x)=f'(x). o

Pe n tTU A = -;- ecua,la are so 1u~le d aca~ b=O ~i cp(x)=ax23 t 1-"~3a 5Ab

2

(a+c)+Czx.

4.0. cp(.x)=.-,x+---xz+b3-A

daca "A#3 si "A =15, Va, bER

3(5-A)

Pentru

A=3 ecuatia

are solutie daca a=O ~i cp(x)=b (: x2 +1 )+C1, C1ER

Pentru "A=5 eCliatia are soilitie daca b=O ~i cp(X)=C2X250

2-ax,2

CzER ~i A=I--,2

, cpx = ----+2

()

2a+),!J(42-A'It

'It)

----

2

x+bx-,

?

dad ~i CER

'J-

=I-

2

Tinilld cont de ecuatia iuitiala se obtine cp'-("A+l)cp=f'(x)-{(x), cp(O)={(O) Aceasta este 0 ecuatie diferentiala liniara. 5. Derivind in raport cu x se ob~ine ecnatia cp'-cpz+xcp-l=O, cp(O)=1 Aceasta e 0 ecna~ie Ricatti care are solutie particulara cp(x)=x. 6. Derivind obtinem ecuatia cp'(x)-xepZ(x)+x=O, cp(O)=O Aceasta este 0 ecuatie cu variabile separabile. 7. Facind schimbarea de variabila IXX=t obtinem ecnatia ) cp(i)di=nxcp(x)

2-),(4-'lt)

'It.

4-1C

Va, bER

"o

P eutm A= -

exista solutie daca an+b(4-n)=0 cp(x)= ~x+bxz+C,2(n-2)

'It

~_~reprin derivare ne conduce la ecua~ia diferentiala lilliara nxcp'(x)+ (n -1) cp(x)=0 a carei multime de sollitii este data de: cp(x)= Cx - -n-, C ER. 5.13. 1. Deoarece functiile care intervin in eCliatie sint derivabile, ~i noi cantam solutia cp in C1, pntem deriva ecnatia. Se obtine y(x)= ~ [~ rp(u)du]dt+C1X+'C2=o0 0

care este conditiile:

0

ecuatie linial'3. cu coeficienti constanti. Fa.c1nd pe rp(O)=O, rp'(O)=O.

x=o se obtin

= ~(x-s)cp(s)ds+ C1x+ Cz.o

'"

Solutia acestei probleme esterp(x)=e3x-3ex+2.

Din y(O)=O, y'(O)=I, => C1=1, C2=O. Ecuatia integrala cautata estecp(x)+ ~ (x-s)rp(s)ds=x.ox .

"

3. Derivind in raport cu x, se obtine ecuatia integral a. Volterra de speta a doua.~

rp(x)+ ~ e-srp(s)ds=sho

x

y" = cp(x)=y=

~ (x-s)rp(s)dso

a earei solutie este rp(x)= I-ex. 4. Deriva.m succesiv ecuatia data i obtinem

" = rp(x) + ~(x-s)rp(s)ds=sino 3. y" = cp(x)=y' = ~ cp(s)ds+ 1 ox

x.

"

= y=

~ (x~s)cp(s)ds+x0 x

"

x

I8xcp(x)+9x2rp'(x)-9xrp(x)9x2rp" +27xrp' +5cp =32x.

~ 4rp(s)ds= 16x2o

=rp(x)-3

~ cp(s)ds+2 ~ (x-s)cp(s)ds+2x+3=Oo0

,.1

Aceasta este

0

ecuatie de tip Euler i are ca soJutiicp(x)=C

rp(x)+ ~ (2x-2s-3)cp(s)ds=o

-2x-3

+Czx -"3 +x, Cl, C2ER Solutia continua pe R a ecuatiei date este cp(x)=:r. 5. rp(x)=(I-x)e-2 6. rp(x)=I-x.X,

1X.:.3

5

4. Din ecuatie rezulta ca y" =2x-xyx

=y'(x)=

~ [2s-sy(s)]ds+C1o

5.14.1. dnd!J =.2.3

Prin derivare inraport avem ecuatia

cux,

obtinemV1+y'2=1 2

~X"+y,.Ridi. I~ care are solutiaV/l; ,

la patrat

diferentiaUi y' = -

V- x

1',,~

2

y(x)=

Vx

2 -

Vx+C,

CER

~ (x-s)(2s-sy(sds+C1X+C2 o

"

. 2. Derivind ecuat.ia obtinem2y

Conditiile initiale dau pentru C1 i Cz valoarea O. Ecuatia integrala ciiutaUi estex

VI +y,z=2+2yy'ecuatie diferentiala cu variabile

cp(x)= ~s(x-s)(2-rp(sdso

sau

Ridicind la patrat obtinern urmatoarea separabile 2yy'=y2_1. Mu1timea solutiilor acestei ecuatii este y=

cp(x)+ ~ s(x-s)rp(s)ds=o

"

VI +Cex, CEll.

"7x3

(jl(x)=x se obtine

(1 + 5 s3y=2y+2xy'=>2xy'=y,

,.

y(2)=4=>C=8

=>y2=8x fU. Ecuatia grala condi~ia . ini~iaUi data este echivalenta eu eeuatia inte-

5 ydx=a 5 VI +y'2dx0

~y(x)= ox

y=a

V1+y'2

5 [X2+y2(X)]dx

y'=

dy

2.";y2_a2a

Vy

=

dx a

2_a2

Yn(X)= ~[X2+Y;'_I(X)]dx, o

11=1,2,

...

In ( ,/~) y+ vY -a

x =-+C (l

,

Dupa formulele

(6.19), (6.22) rezulta: 0,32834=-0,88871

Y{=Ya+h ~: =-0,92154+0,1 Calculam aeum eantitatea:

y~=f(X4' y~)=0,35745.

Caleulele se fae astfel: Pentru xIe=kh, se caleuleaza Yk ~i Zle,