Academia de Studii EconomiceFacultatea de Cibernetic, Statistic i Informatic Economic

Tem la disciplina Teoria JocurilorConvexitatea slab i echilibrele Nash n teoria jocurilor

Student:Emilia-Andreea POPAGrupa 1045, anul III, Cibernetic Economic

Articolul Convexitatea slab i echilibrul Nash n teoria jocurilor (titlul original: Poor convexity and Nash equilibra n games ) este scris de profesorul Tadeusz Radzik, ce pred n prezent la Universitatea Tehnic Wroclaw din Polonia. Acesta a fost publicat n revista International Journal of Game Theory, n luna februarie 2014 i acoper subiecte mari precum teoria economic, teoria jocurilor, teoria deciziei i vaste metode matematice.Aceast lucrare trateaz tipul jocurilor de sum nenul, cu doi juctori, n care spaiul strategiilor pure, pentru fiecare dintre juctori, va fi intervalul unitate [0, 1], i cu funcii de ctig a jocurilor ce prezint o nou proprietate, numit convexitate slab. Aceast proprietate descrie fenomenul dintre convexitatea clasic i cvasi-convexitatea, ceea ce autorul numete n lucrarea sa something between (ceva la mijloc, ceva ntre). Este demonstrat c mai multe tipuri de acest joc au echilibre cu o structur foarte simpl, costnd n strategiile mixte ale juctorilor, cu cel mult dou elemente-suport, adic dou strategii pure pe care le au la dispoziie juctorii. ntruct noiunea de convexitate slab este introdus prin intermediul acestui articol i este vzut ca o noiune necunoscut i tratat n acest lucrare, autorul i asum de la bun nceput faptul c i teoria funciilor slab-convexe va fi dezvoltat n lucrarea de fa, ntr-o seciune special.

nainte de a continua cu rezumarea articolului i trasarea unor linii concludente privind subiectul ales, vom defini i o parte din cuvintele cheie pe care le regsim pe tot parcursul articolului, pentru o mai bun nelegere a informaiilor transmise de autor.

Prin urmare, discutm, nainte de toate, de echilibrul Nash, iar acesta se definete astfel:

n jocul sub form normal (sau strategic, adic un joc definit prin trei elemente: mulimea juctorilor i P, cu P ={1, 2, ... I} o mulime finit, spaiul strategiilor pure Si pentru fiecare juctor i i funciile de ctig/de plat ui), notat G={S1, S2, ... , SI ; u1, u2, ... ,uI}, strategiile pure (s1*, s2*, ... , sI*) constituie un echilibru Nash dac pentru fiecare juctor i, si* este cel mai bun rspuns la strategiile celorlali I-1 juctori (s1*, s2*, ... , si-1*, si+1*, ... , sI*) , adic:

ui (s1*, s2*, ... , si-1*, si*, si+1*, ... , sI*) ui (s1*, s2*, ... , si-1*, si, si+1*, ... , sI*), si Si

extinznd definiia i n spaiul strategiilor mixte, vom avea c o strategie profil mixt, de forma p*= (pi*, p-i*) constituie un echilibru Nash al jocului G={S1, S2, ... , SI ; u1, u2, ... , uI} dac, oricare ar fi juctorul i, atunci:

ui (pi*, p-i*) ui (si, p-i*), si Si

n continuare, definim jocurile de sum nul (zero sum games) i sum nenul (non-zero sum games). n teoria jocurilor i n teoria economic, un joc de sum nul este reprezentarea matematic a situaiei n care suma ctigurilor juctorilor este zero. Similar, un joc de sum

nenul este jocul n care suma ctigurilor este diferit de zero. De asemenea, jocul de sum nul este strict competitiv, n timp ce jocul de sum nenul poate fi competitiv sau non-competitiv, pentru c el conine att elemente competitive, ct i cooperative. Juctorii unui joc de sum nenul au interese comune, complementare, dar i unele interese radical opuse. Jocul de sum nenul se difereniaz de jocul de sum nul prin faptul c nu are o soluie universal acceptat, ceea ce nseamn c nu exist o singur strategie optimal preferat de juctori.

1. Introducere

Problema existenei unei soluii introdus de Nash, pentru jocuri necooperative, este extrem de studiat n literatura de specialitate. Majoritatea rezultatelor obinute, n special, au la baz diferite presupuneri sau ipoteze legate de natura funciilor de ctig, probabil discontinue, adic de concavitatea sau convexitatea acestora.

Scopul acestui articol, conform autorului, este de a studia problema existenei unui echilibru Nash simplu, format de aa-numitele strategii n dou puncte (two point strategies), ceea ce nseamn strategii mixte, compuse din elementele/suportul strategiilor pure a cel mult doi juctori. Problema este analizat pornind de la jocurile de sum nenul, cu doi juctori, n care spaiul strategiilor pure, pentru fiecare dintre juctori, este intervalul unitate [0, 1], iar funciile de ctig dein noi proprieti, numite concavitate slab sau convexitate slab. Autorul menioneaz faptul c anumite rezultate, de acest tip, au fost obinute att pentru jocuri finite, ct i pentru jocuri n intervalul unitate [0, 1], cu funcii de ctig convexe i concave.

Sunt propuse cinci teoreme existeniale, noi, pentru jocurile n care funciile de ctig ale juctorilor sunt slab concave sau convexe, n diferite configuraii. Aceast noiune nou, a a convexitii slabe, este o generalizare natural i o extensie a convexitii clasice. Pe parcursul lucrrii, autorul dezvolt teoria funciilor slab-convexe, utiliznd rezultatele obinute n demonstrarea teoremelor.

Lucrarea de fa este structurat astfel: seciunea 2 este dedicat definiiilor preliminare i prezentrii unor rezultate anterioare, ce constituie un punct de start, un nceput al studiului. n seciunea 3 sunt introduse i dezbtute noiuni iniiale privind funciile slab convexe. n seciunea 4, autorul prezint cele cinci rezultate principale privind existena echilibrului Nash n jocuri. Funciile slab concave i proprietile lor sunt studiate n seciunile 5 i 6, n timp ce seciunea 7 este rezervat pentru demonstraiile teoremelor.

2. Rezultate preliminarii

n aceast seciune a articolului, autorul introduce noiuni introductive i face apel la trei rezultate de baz din literatur (teoremele A-C), vzute ca i inspiraie pentru consideraiile din aceast lucrare.

Aa cum am mai precizat anterior, articolul studiaz jocurile cu doi juctori, de sum nenul, n care spaiul strategiilor pure, pentru fiecare dintre juctori, va fi intervalul unitate [0, 1], aceste jocuri avnd forma normal:

(1)unde:

1. {1, 2} reprezint setul de doi juctori;2. pentru i = 1, 2, Xi = [0, 1] este intervalul-spaiul strategiilor pure xi al juctorului i;

3. F1(x1, x2) i F2(x1, x2) sunt funcii mrginite pe X1 X2 i pentru i = 1, 2, Fi(x1, x2) descrie funcia de ctig a juctorului i, n situaia n care juctorii 1 i 2 aleg strategiile pure x1, respectiv x2.

O strategie mixt pentru juctorul i este o msur probabilistic i pe mulimea strategiilor pure realizabile Xi, cu i=1,2. Scriem c Fi(1, 2) = , pentru i=1, 2. Semnificaia este c Fi(1, 2) descrie ctigul ateptat al juctorului i atunci cnd juctorii 1 i 2 folosesc strategile mixte 1 i 2, respectiv vectorul (F1(1, 2), F2(1, 2)) este vectorul ctigurilor asociat perechii de strategii (1, 2).

Un echilibru Nash mixt al jocului este orice pereche (1*, 2*) de strategii mixte aparinnd celor doi juctori, care satisfac inegalitile:

F1(1*, 2*) F1(1, 2*) i F2(1*, 2*) F1(1*, 2)

pentru toate strategiile mixte 1 i 2 ale juctorilor 1 i 2.

Cnd cele dou inegaliti rezist la un > 0, perechea (1*, 2*) formez un -echilibru Nash.

Principala problem considerat i n aceast lucrare este existena echilibrelor Nash, constituite din strategii n dou puncte n jocul Prin definiie, o strategie n dou puncte este orice strategie, pur sau mixt, cu suportul format din cel mult dou strategii pure, i o notm:

x + (1)y , cu 0 , x, y 1

n acest caz, t este o distribuie de probabilitate concentrat n punctul t i va fi identificat cu o strategie pur t, cu 0 t 1. Prin urmare, o strategie n dou puncte x + (1)y i indic juctrului s aleag strategia pur x cu probabilitatea i strategia pur y cu probabilitatea 1-.

Se pare c, dei au o form simpl, strategiile n dou puncte joac un rol esenial n descrierea echilibrului Nash pe o gam diversificat de jocuri.

Pentru nceput, amintim trei rezultate privind jocurile n intervalul unitate, n care condiiile pentru existena echilibrelor Nash n strategiile n dou puncte sunt descrise. Aceste rezultate sunt, aa cum am amintit anterior, punctul de plecare al studiului aparinnd autorului polonez.

Prima teorem pe care o citm i aparine lui Glicksberg (1952, A further generalization of the Kakutanis fixed point theorem with application to Nash equilibrium points) i are legtur cu existena echilibrului Nash n strategii pure, pentru jocurile generale cu n-juctori. Autorul face apel doar la rezultatul n versiunea pentru jocul cu doi juctori n intervalul unitate, n forma descris anterior (1), ce se adapteaz discuiei.

Aici amintim faptul c o funcie cu valori reale, definit pe intervalul [0, 1] este cvasi-concav atunci cnd, pentru fiecare numr real c, setul{x : f (x) c} este convex. Analog, o funcie cvasi-cnvex este definit prin setul: {x : f (x) c}. Evident, orice funcie convex (concav) este cvasi-convex (cvasi-concav).

Teorema A: tiind c funciile de ctig F1(x1, x2) i F2(x1, x2) sunt continue n intervalul [0, 1]2 i cvasi-concave n x1, respectiv x2 , atunci jocul are echilibru Nash n strategii pure.

Cea de-a doua teorem poate fi considerat ca fiind complementar teoremei A.

Teorema B: tiind c funcile de ctig F1(x1, x2) i F2(x1, x2) sunt continue n intervalul [0, 1]2 i c F1(x1, x2) este concav n x1, atunci jocul are echilibru Nash sub forma:

(a, c + (1 )d ), cu 0 , a, c, d 1

Cea de-a treia teorem pe care o folosim este esenial pentru consideraiile noastre viitoare i este o versiune convex a teoremei B.

Teorema C: tiind c pentru a=0,1 funciile de ctig F1(a, x2) i F2(a, x2) sunt continue n x2 i F1(x1, x2) este convex n x1, atunci jocul are echilibru Nash sub forma:

(0 +(1)1, c +(1)d ), cu 0 , , c, d 1

Atunci cnd cvasi-concavitatea funciilor de ctig este omis, n ipoteza teoremei A, atunci tot exist un echilibru Nash, dar n general n strategii mixte, lucru demonstrat de Glicksberg pentru cazul cu n-juctori.

Teorema D: tiind c funciile de ctig F1(x1, x2) i F2(x1, x2) sunt continue pe intervalul [0, 1]2, atunci jocul deine echilibru Nash n strategii mixte.

Observaia 1: este cunoscut faptul c ipoteza privind continuitatea funciilor de ctig din teorema A nu poate fi invalidat de semicontinuitatea superioar. Totui, o ntrebare deschis este aceea dac jocul cu funciile de ctig continue F1 i F2 i cu funcia F1(x1, x2) cvasi-concav n x1 are echilibru Nash n strategiile n dou puncte. De notat faptul c Teorema B menioneaz cazul n care cvasi-concavitatea ambelor funcii de ctig din teorema A este nlocuit de concavitatea unei singure funcii, iar jocul are nc un echilibru Nash aproape pur.

n continuare, exemplul 1 de mai jos arat faptul c, dac eliminm ipoteza de continuitate pentru funcia F2, ambele teoreme B i C nu mai sunt adevrate, iar jocul s-ar putea s nu aibe echilibru Nash deloc. Ct despre ipoteza de concavitate din Teorema B, exemplul 2 pe care autorul l ofer arat faptul c nu poate fi invalidat de ipoteza de cvasi-concavitate n x1 pentru funcia F1(x1, x2). n ceea ce privete teorema C i ntrebarea analog, nu este cunoscut niciun rspuns.Observaia 2: Este demn de menionat faptul c teoremele B i C au generalizrile lor (teoremele 2.1 i 2.3 din lucrarea lui Radzik, 1993, Nash equilibria of discontinuous non-zero-sum two-person games). Mai precis, poate prea suprinztor faptul c, dac n teorema B ipoteza privind continuitatea funciilor de ctig F1(x1, x2) i F2(x1, x2) sunt nlocuite de mrginirea pe [0, 1]2, atunci jocul are un -echilibru Nash, de forma:a + (1 )b, c + (1 )d ), pentru 0 , , a, b, c, d 1, unde |a b| <

Similar, dup eliminarea continuitii din teorema C, jocul are tot un -echilibru Nash, de forma mai sus amintit.Exemplul 1: considernd jocul cu funciile de ctig F1i F2 descrise prin:F1(x1, x2) = 0 pentru 0 x1, x2 1 i F2(x1, x2) = 0 pentru 0 x1 1 with x2 = 1 i F2(x1, x2) = x2, altfel. Dup cum ne putem da seama, fiecare strategie pur x2 care aparine intervalului [0, 1] este strict dominat de o alt strategie, nu exist niciun echilibru Nash n acest joc. Pe de alt parte, se observ imediat faptul c funcia F1(x1, x2) este i concav i concav n x1, iar funcia F2(x1, x2) este discontinu. Prin urmare, teoremele B i C nu mai sunt adevrate, atunci cnd ipoteza de continuitate este eliminat.Exemplul 2: considernd jocul cu funciile de ctig F1i F2 descrise prin:F1(x1, x2) =

i F2(x1, x2) = Se poate verifica uor c ambele funcii F1 i F2 sunt continue pe [0, 1]2, i c funcia F1(x1, x2) este cvasi-concav n x1 (dar nu concav), iar funcia F2(x1, x2) este convex n x2. Pe de alt parte, este uor de demonstrat fatul c jocul nu are echilibrul Nash de forma: * = (a, c + (1 )d ), cu c < d

Pentru demonstraie, facem ipoteza c jocul are un echilibru Nash de forma * i presupunem faptul c 0 < c < 1 sau 0 < d < 1. Apoi:

F2(*) = F2(a, c) + (1 )F2(a, d) < max{F2(a, 0), F2(a, 1)}, pentru c funcia F2(x1, x2) este strict convex n x2. Dar asta contrazice faptul c * este echilibru Nash, prin urmare c=0, d=1, i :=0 + (1 )1.

Mai departe, presupunnd c a i , obinem:F2(a, )=, pentru c . Dar asta contrazice optimalitatea strategiei a juctorului 2.Similar, cazul este imposibil, pentru c , n timp ce , ), contrazicnd optimalitatea strategiei a juctorului 1.

3. Definiia funciilor slab-convexen aceast seciune, autorul introduce dou noiuni pentru funciile slab convexe/concave i, simultan, familiile slab convexe/concave. Aceste noiuni joac un rol fundamental n aceast lucrare, sunt mai pe larg discutate n ipotezele fcute i n cele cinci teoreme principale prezentate n seciunea 4, iar teoria funciilor slab-convexe, necesar pentru demonstrarea teoremelor, este dezvoltat n seciunea 5.Pornim de la urmtoarea definiie:Definiia 1: o funcie f definit pe intervalul [a, b] este slab convex (slab concav) dac, pentru fiecare (x1, x2, ), cu a i exist un numpr real p = p(x1, x2, ), cu , astfel nct:f (x1 + (1 )x2) () p(x1, x2, ) f (x1) + [1 p(x1, x2, )]f(x2) (2)Observaia 3: nu este greu de observat faptul c definiia de mai sus poate fi direct generalizat la funciile slab convexe sau slab concave, definite pe subseturi convexe U, ale unui spaiu

vectorial oarecare. Este suficient s nlocuim setul de vectori {(x1, x2, ): a x1 < x2 b, 0 < < 1}cu setul {(x1, x2, ) : x1, x2 U, x1 x2, 0 < < 1}.

n continuare, dm o propoziie care prezint un echivalent, dar o mai simpl caracterizare a funciilor slab convexe i concave, dar mult mai convenabil consideraiilor viitoare din lucrare. Pentru a formula propoziia, pentru prescurtare, introducem i ne vom folosi de notaia:,iar pentru un interval dat [a, b], definim setul:. (3)Propoziia 1: o funcie este slab convex (slab concav) pe intervalul [a, b] dac i nu mai dac exist o funcie pozitiv T definit pe setul astfel nct, pentru toate , urmtoarea inegalitate este adevrat: f (u2) f (u1) ()T()[ f (u3) f (u2)]. (4)Propoziia 1 ne permite s oferim o definiie echivalent pentru funciile slab convexe i concave pe un interval [a, b], mai potrivit pentru consideraiile viitoare ale articolului: Definiia 2: o funcie f definit pe intervalul [a, b] este slab convex (slab concav) dac exist o funcie pozitiv T definit pe setul astfel nct, pentru toate , inegalitatea (4) este adevrat. Atunci funcia f este numit i T-convex (sau T-concav) pe intervalul [a, b].

Definiia 3: Fie X un set de indeci. O familie de funcii { f : X} pe intervalul [a, b] este, dou cte dou, slab convex sau slab concav dac, pentru fiecare pereche , X exist o funcie pozitiv T definit pe setul , astfel nct funciile f i f sunt T-convexe sau T-concave pe intervalul [a, b].

Observaia 4: putem observa faptul c funcia T, din definiia 1, legat de o funcie slab convex, nu trebuie s fie nici continu, nici unic. O analiz mai vast a funciilor slab convexe i a familiior de funcii slab convexe, dou cte dou, este prezentat n seciunile 5 i 6. n propoziia 3 sunt oferite condiiile suficiente i ncesare pentru ca o funcie continu s fie o funcie slab-convex i de asemenea se menioneaz relaiile dintre funciile convexe i slab convexe.Observaia 5: o uoar analiz a inegalitii (4) arat c slaba convexitate a unei funcii pe intervalul [a, b] poate fi, de asemenea, definit ca date fiind toate valorile:a u1 < u2 f (u1)] de unde rezult c [f (u3) > f (u2)]. Aceast ultim definiie ne arat c slaba convexitate este mai puternic dect cvasi-convexitatea..4. Teoremele principalen aceast seciune, autorul analizeaz posibilele generalizri ale teoremelor B i C din seciunea 2. Ca i rezultat, cinci noi teoreme sunt propuse, iar demonstraiile lor vor fi date n seciunea 7. ntrebarea care se spune este ct de mult putem slbi ipotezele teoremelor B i C, pstrnd totui n jocul existena echilibrului Nash, sub forma descris n primele seciuni.Exemplul 2 oferit n seciunea 2 a articolului a artat c teorema B este fals atunci cnd nlocuim concav cu cvasi-concav, n ipotezele sale. De unde rezult o ntrebare intrigant, i anume dac teorema B va rmne adevrat atunci cnd nlocuim ipoteza de concavitate cu un fenomen ntre concavitate i cvasi-concavitate. Aceeai ntrebare este esenial i pentru teorema C. Aceste dou ntrebri sunt fundamentale pentru studiul prezent i autorul va demonstra c rspunsul, pentru ambele ntrebri, este unul pozitiv.n continuare vom formula cele cinci rezultate principale i cele mai importante ale lucrrii, iar aa cum mai spus, demonstraiile sunt oferite n seciunea 7, ce sunt precedate de seciunile 5 i 6, unde autorul a dezvoltat teoria funciilor slab convexe.Cele dou teoreme generalizeaz teoremele B i C:Teorema 1: Funciile de ctig F1(x1, x2) i F2(x1, x2) sunt continue pe intervalul unitate [0, 1]2 i {F1( , x2) : x2 [0, 1]} este o familie de funcii slab-convcave, dou cte dou, pe intervalul [0, 1]. Atunci jocul deine echilibrul Nash sub forma:(a, c + (1 )d ), pentru 0 , a, c, d 1.Teorema 2: Pentru a=0,1 funciile de ctig F1(a, ) i F2(a, ) sunt continue, iar {F1( , x2) : x2 [0, 1]} este o familie de funcii slab-convexe, dou cte dou, pe intervalul [0, 1]. Atunci jocul deine echilibrul Nash sub forma: (0 +(1 )1, c + (1 )d ), pentru 0 , , c, d 1.

Urmtoarele dou rezultate pot fi vzute ca o completare a teoremei 1. Ele arat c strategiile simple ale juctorilor (cu dou-puncte suport) ce apar n teoremele 1 i 2 sunt destul de satisfctoare pentru acetia, n multe cazuri de joc.

Teorema 3: F2(x1, x2) este continu pe intervalul unitate [0, 1]2 i {F1( , x2) : x2 [0, 1]} este o familie de funcii continue, slab-concave, dou cte dou, pe intervalul [0, 1]. Dac jocul deine un echilibru Nash de forma (, ), cu un vector al ctigurilor (f1, f2), atunci jocul are i un echilibru Nash de forma: (,c + (1 )d ) pentru 0 , c, d 1,

cu un vector al ctigurilor , avnd aceeai a dou component .

Observaia 6: Nu tim dac ipotezele teoremei 3 garanteaz existena unui echilibru Nash n joc, dar, totui, poate facilita rezolvarea acestei probleme n cazuri concrete ale jocului.

Teorema 4: Funciile de ctig F1(x1, x2) i F2(x1, x2) sunt continue pe intervalul unitate [0, 1] iar {F1( , x2) : x2 [0, 1]} i {F2(x1 , ) : x1 [0, 1]} sunt o familie de funcii slab-concave, dou cte dou, pe intervalul [0, 1]. Atunci pentru orice echilibru Nash al jocului exist un alt echilibru Nash de forma: (a +(1)b , c +(1)d ) pentru 0 , , a, b, c, d 1, cu acelai vector de ctiguri

Observaia 7: Teorema D din seciunea 2 implic faptul c, sub ipoteza teoremei 4, jocul are ntotdeauna un echilibru Nash n strategii mixte. Prin urmare, rezultatul teoremei 4 poate fi intepretat n felul urmtor: orice echilibru Nash n strategii mixte are un echivalent al echilibrului Nash n strategii n dou puncte, n cadrul aceluiai joc.

Teorema 5: {F1( , x2) : x2 [0, 1]} i {F2(x1 , ) : x1 [0, 1]} sunt familii de funcii slab-convexe, dou cte dou, pe intervalul [0, 1]. Atunci jocul are un echilibru Nash de forma:

(0 + (1 )1 , 0 + (1 )1), cu 0 , 1.

Observaia 8: n general, teoremele 1 i 2 nu mai sunt adevrate atunci cnd admitem c funciile de ctig F1 i F2 sunt discontinue. Mai mult dect att, se poate ntmpla s nu existe echilibru Nash deloc. Totui, nu se tie dac, dup ce eliminm ipoteza de continuitate din teoremele 1 i 2, jocurile vor mai avea un -echilibru Nash, pentru toi Ne aducem aminte c acest lucru era valabil pentru teoremele B i C (vezi observaia 2). Urmtoarea ntrebare pe care ne-o punem este dac teoremele 3 i 4 rmn adevrate, dup ce schimbm slab concav cu slab convex.

Observaia 9: cteva versiuni discrete ale jocurilor slab-concave considerate i n aceast lucrare au mai fost studiate n literatur, n cazul n care spaiul strategiilor pure pentru juctori este finit, iar funciile de ctig satisfac o versiune discret a proprietii de concavitate, dou cte dou.

5. Teoria funciilor slab-convexe

Slaba convexitate i slaba concavitate, dou cte dou, pentru familiile de funcii considerate n ipotezele celor cinci teoreme principale (1-5), reprezint proprieti fundamentale. Setnd acest fapt ca reper, autorul dedic aceast seciune dezvoltrii unei teorii pentru aceast categorie de funcii. Pe lng alte lucruri, sunt identificate condiiile necesare i suficiente pentru ca familiile de funcii continue s fie slab-convexe, dou cte du. Studiul pornete de la funciile slab convexe, pentru c rezultatele obinute pot fi trivial modificate pentru a analoga cu funciile concave. Studiul i rezultatele se reflect n propoziiile 2-7.

n prima propoziie, funciile f i g sunt considerate a fi definite pe un interval [a,b] i sunt listate cinci proprieti de baz ale funciilor slab convexe. Evident, propoziia rmne adevrat, chiar dac nlocuim cuvntul convex cu cuvntul concav.

Propoziia 2:a) o funcie f este slab convex dac i numai dac funcia -f este slab concav;b) orice funcie convex este slab convex;c) orice funcie convex este cvasi-convex;d) dac f este T1 i T2-convex, atunci f este (T1+T2) pentru orice , 0, cu + = 1;e) dac f i g sunt funcii T-convex, atunci pentru fiecare , 0, funcia f + g este tot T-convex.

Urmtoarea propoziie caracterizeaz o funcie slab convex, continu, oarecare. Pentru a o exprima, trebuie s definim cteva elemente pentru o funcie pe intervalul [a,b]:

f := sup{x [a, b] : f e strict descresctoare pe [a, x]} (5)i

f := inf{x [a, b] : f e strict cresctoare pe [x, b]}. (6)Evident, f f. Propoziia 3: o funcie continu definit pe intervalul [a, b] este slab convec dac i numai dac exist constantele c d n intervalul [a, b], astfel nct f este strict descresctoare pe intervalul [a, c], strict cresctoare pe intervalul [d, b] i constant pe intervalul [c, d]. Atunci c= f i d= f.Propoziia 4: Orice funcie cvasi-convex, continu pe intervalul [a, b] poate fi aproximativ printr-o secven fn de funcii continue slab-convexe, n topologia convergenei uniforme.Propoziia 5: Fie f i g dou funcii definite pe [a, b], continue i slab convexe, ce satisfac relaia:[ f , f ] [g, g] Propoziia 6: Fie f i g dou funcii continue pe intervalul [a, b], slab-convexe, cu proprietatea c f< g. Atunci perechea { f, g} este simultan slab-convex, pe intervalul [a, b], dac i numai dac: , pentru

Propoziia 7: Fie f i g dou funcii continue i slab-convexe pe intervalul [a, b], cu proprietatea c f< g. Presupunem c exist funciile derivate i , continue pe intervalul ( f, g), cu . Atunci perechea de funcii este slab convex pe intervalul [a, b],simultan, dac i numai dac funcia G(u) = este necresctoare pe intervalul f, g).6. Proprieti ale funciilor slab convexen aceast seciune, autorul se folosete de teoriile din seciunea anterioar, pentru a prezenta dou rezultate majore, ce descriu cteva proprieti ale funciilor slab-convexe, ce stau i la baza demonstraiilor teoremelor 1-5. Prima teorem arat faptul c slaba convexitatea a unei familii finite de funcii poate fi ntrit, remarcabil.Teorema 6: Fie o familie finit F = {fi : i = 1, 2, . . . , n} de funcii definite pe intervalul [a, b], slab convexe simultan. Atunci exist o funcie pozitiv T pe astfel nct toate funciile fi, cu i=1,..., n sunt T-convexe pe intervalul [a, b].Teorema 7: Fie T = {f : X} o familie de funcii continue pe un interval [a, b], astfel nct fiecare pereche de funcii din T este slab convex simultan. Fie f(u) > 0 pentru fiecare u [a, b]. Atunci exist , X i un vector (1, 2) cu 1, 2 0 i 1+2 = 1, astfel nct:1 f(u)+2 f(u) > 0 pentru toi u [a, b].Seciunea se ncheie cu dou exemple ce prezint familii non-convexe, descrise cu ajutorul formulelor standard. Propoziia 7 apare aici ca un instrument foarte util, n analiza acestor tipuri de familii de funcii. Trebuie menionat faptul c aceste exemple arat c acea clas a funciilor slab convexe, dou cte dou, este substanial mai bogat dect a funciilor convexe.Exemplul 3: Considerm familia de funcii F=, continue i non-convexe, cu domeniul comun x, unde . Se verific uor faptul c fiecare funcie este strict convex pe intervalul i strict concav pe intervalul dac . n plus, fiecare funcie este strict descresctoare pe i strict cresctoare pe . Prin urmare, conform propoziiei 3, F este o familie de funcii slab convece pe Dac alegem arbitrar dou funcii diferite, Presupunem c . Evident f= g. Obinem c: = dar , ceea ce nseamn c funcia G(x) nu este cresctoare n intervalul ( f, g). Deci, conform propoziiei 7, fiecare pereche de funcii din familia F este slab convex.