Teoria jocurilor-probleme.docx

8/16/2019 Teoria jocurilor-probleme.docx

1/20

Andrei Denisa Cristina, Grupa 1034

Teoria jocurilor

Problema 1. Sursa: http://www.class.coursera.org/gametheory-2012-002Problema penalty-urilor in fotbal

Un fotbalist trebuie sa execute o lovitura e la 11 metri. Se stie ca atunci can portarul

alege irectia in care a sutat fotbalistul! acesta sigur va apara! iar atunci can irectiile sunt

iferite! fotbalistul va inscrie.

Se cere:

a". Scrieti forma normal a #ocului si escrieti-l$

b". %asiti echilibrele &ash in strategii pure! aca exista$

c". %asiti echilibrul &ash in strategii mixte$

". 'aca se stie ca fotbalistul are 2() sanse sa rate*e can sutea*a spre reapta portii! cum se

moifica echilibrul in strategii mixte+ ,e observati+

a".

ortar

S D

S 0!1 1!0

D 1!0 0!1

ucatori: otbalist #1"! ortar #2"

Strategii:S

1= {S , D }; S2={S , D}

,astiguri:u1 (S , ∙ )=(0,1 )

$u1 ( D , ∙ )=(1,0)

u2 (∙ , S )=(1,0 ); u

2 ( ∙ , D )=(0,1)

b". ,omparan castigurile #ucatorilor in functie e strategia #ucata! observam ca nu exista

strategii ominate e eliminat. asul 2 este aplicarea algoritmului maximi*arii castigurilor

relative:

ortar

S D

S 0!1 1!0

D 1!0 0!1

otbalist

otbalist

http://www.class.coursera.org/gametheory-2012-002http://www.class.coursera.org/gametheory-2012-002


2/20


&ici prin intermeiul acestui algoritm nu putem etermina un echilibru in strategii

pure.

c". entru a etermina echilibrul &ash in strategii mixte! asociem fiecarei strategii a

#ucatorilor o probabilitate$ astfel:

ortar

p 1-p

S D

q S 0!1 1!0

1-q D 1!0 0!1

Scriem utilitatile pentru #ucatorul 1:

{u1 ( S , ∙ )=0∗ p+1(1− p)u1

( D , ∙ )=1∗ p+0(1− p) $ utilitatile sunt egale pentru ca portarului sa ii fie iniferent

1− p= p=¿ p=1− p=1

2

rin simetrie:q=1−q=

1

2

'eci! echilibrul &ash in strategii mixte este

((1

2 ,1

2 );

(1

2 , 1

2 )).

". orma normal a #ocului se moifica astfel:

ortar

p 1-p

S D

q S 0!1 1!01-q D 0!3($0!2( 0!1

Utilitatile pentru fotbalist:

{ u1 ( S , ∙ )=0∗ p+1(1− p)u1

( D , ∙ )=0,75∗ p+0(1− p) $ utilitati egale

1− p=0,75 p=¿1=1,75 p=¿ p= 1

1,75

=4

7

=¿1− p=3

7

otbalist

otbalist


3/20


Simetric pentru portar:q=

3

7=¿1−q=

4

7

'eci! echilibrul &ash in strategii mixte este (( 47 , 37 ) ;( 37 , 47 )) .

'in relatia1−q>q (

4

7>3

7)

ne am seama ca portarul cree ca fotbalistul va suta

spre reapta cu o probabilitate mai mare! chiar aca exista sanse mai mari sa rate*e ecat in

ca*ul sutului spre stanga (0,25>0 ) .

Problema 2. Sursa http://econ.u4e.eu/uploas/assets/#e/20056Symp/7iles.pf Problema servelor in tenis

resupunem un meci e tenis intre oi #ucatori! ba*at pe alegerea tintei la prima serva.

,el care este la serviciu #ucatorul 1" alege locul: Stanga sau 'reapta! iar cel care primeste

#ucatorul 2" anticipea*a locul une mingea va atinge *gura. unctul este castigat e cel care

serveste! aca aversarul nu returnea*a! sau se va ecie upa al oilea serviciu! in ca*ul unui

out. Se stie ca exista 58!3) sanse ca punctual sa fie castigat e cel care serveste! in ca*ul in

care irectiile alese e cei oi ifera.

Se cere:

a". Scrieti forma normal a #ocului si escrieti-l$

b". %asiti toate echilibrele &ash in strategii pure si in strategii mixte".

a".

2

S D

S 0$1 0!583$0!9(9

D 0!583$0!9(9 0$1

ucatori: 1!2

Strategii:S

1= {S , D }; S

2={S , D}

,astiguri:u1 (S , ∙ )=(0 ;0,647 )

$u1 ( D , ∙ )=(0,647,0 )

u2 (∙ , S )=(1 ;0,353 ) ; u

2( ∙ , D )=(0,353 ;1)

1

http://econ.duke.edu/uploads/assets/dje/2006_Symp/Wiles.pdfhttp://econ.duke.edu/uploads/assets/dje/2006_Symp/Wiles.pdf


4/20


b". rin compararea castigurilor strategiilor! am constatat ca nu exista strategii ominate! eci

nu putem elimina nicio strategie.

'upa aplicarea algoritmului maximi*arii castigurilor relative a re*ultat:2

S D

S 0$1 0!583$0!9(9

D 0!583$0!9(9 0$1

stfel! nu putem etermina echilibrul in strategii pure.

entru strategii mixte! atasam fiecarei strategii o probabilitate. Schemati*am upa cum

urmea*a:

2

p 1-p

S D

q S 0$1 0!583$0!9(9

1-q D 0!583$0!9(9 0$1

Scriem utilitatile re*ultate pentru cel care serveste:

{u1 ( S , ∙ )=0∗ p+0,647∗(1− p)u1

( D , ∙ )=0,647∗ p+0∗(1− p) utilitatile trebuie sa fie egale la echilibru

0,647−0,647∗ p=0,647∗ p=¿ p=1− p=1

2

Scriem utilitatile si pentru cel care este la primire:

{u2 ( ∙ , S )=1∗q+0,353∗(1−q)u2

( ∙ , D )=0,353∗q+1∗(1−q) utilitati egale la echilibru

q+0,353−0,353∗q=0,353∗q+1−q=¿q=1−q=1

2

'eci! echilibrul &ash in strategii mixte este (( 12 , 12 ) ;( 12 , 12 )) .

1

1


5/20


Problema 3. Sursa : http://www.thelearningpoint.net/home/mathematics/bayesian-

games---games-with-incomplete-information

'oi #ucatori pe piata. ucatorul 1 este o companie care are e ales intre a intra pe piata

sau nu$ 'aca nu intra! castigurile ambilor sunt 0!9". ucatorul 2 este e#a pe piata si alege

simultan" aca va concura sau nu cu #ucatorul 1! in ca*ul in care acesta intra pe piata.

,astigurile #ucatorului 2 epin e tipul sau: normal! cu probabilitatea 1-p! sau agresiv! cu

probabilitatea p.

ucatorul 2 stie aca #oaca normal sau agresiv! ar #ucatorul 1 nu.Se cere:

a". ;lementele #ocului tipuri":T

2={ Agresiv , Normal }

probabilitati": P

2={ p ,1− p }

U utilitati":U ={π

1, π

2}

b". ,an #ucatorul 1 intra pe piata:u1 ( I , ∙ )=−1∗ p+1∗(1− p )=1−2 p

nu intra pe piata:u2 (¿ ,∙ )=0∗ p+0∗(1− p )=0

http://www.thelearningpoint.net/home/mathematics/bayesian-games---games-with-incomplete-informationhttp://www.thelearningpoint.net/home/mathematics/bayesian-games---games-with-incomplete-informationhttp://www.thelearningpoint.net/home/mathematics/bayesian-games---games-with-incomplete-informationhttp://www.thelearningpoint.net/home/mathematics/bayesian-games---games-with-incomplete-information


6/20


c". p¿

poate fi eterminat prin egalarea functiilor e utilitate e mai sus. stfel:

1−2 p¿=0=¿1=2 p¿=¿ p¿=1

2

Problema 4. Sursa http://www.thelearningpoint.net/home/mathematics/bayesian-

games---games-with-incomplete-information

Un inginer are un talent t in =1!2?! manifestat cu probabilitate egala p1/2" si valoarea

acestuia este necunoscuta pentru inginer. Strategiile pure ale acestuia sunt sa se anga#e*e sau

sa isi inceapa o afacere proprie. Strategiile pure ale companiei sunt e a-l anga#a pe inginer

sau nu. 'aca inginerul aplica pentru #ob! iar compania nu anga#ea*a! inginerul isi incepe

propria afacere. Utilitatea inginerului este t talentul/abilitatea e a fi inginer" si wwage @

salariul can este anga#at". Utilitatea companiei este t-w"! reiesita in anga#area inginerului si

0 altfel.

resupunan cu w2! gasiti toate echilibrele in strategii pure ale #ocului


7/20


se intoarca in punctul A si fara sa traverse*e prin acelasi loc e oua ori nu trebuie sa mearga

mereu spre ;st".

Se cere:

a". Scrieti toate rutele posibile pe care Avette poate sa le parcurga. ,onsierati-le strategiile ei

b". Scrieti toate rutele posibile pe care Boe poate sa le parcurga. ,onsierati-le strategiile ei

c". Scrieti #ocul sub forma normala! presupunan urmatoarele: aca Avette si Boe merg prin

aceeasi intersectie! atunci Boe castiga. ltfel! castiga Avette.

". ,e strategii ale lui Avette sunt slab ominate+ ,are strategii ale lui Boe ssunt slab

ominate+ se presupune ca fiecare intre cele oua preferea sa castige in loc sa piara"

a". Avette are D strategii posibile. ;a poate sa vi*ite*e fiecare intre urmatoarele seturi e

nouri rutiere: b! bac! bac! ab! ac! ac! cab! c! . Urmatorul arbore arata cum se pot

construi strategiile posibile:

b". Boe are oar ( strategii: b!ba!ca! c! . Urmatorul arbore arata cum se pot construi

strategiile posibile:


8/20


c". tribuin ranurile lui Avette si coloanele lui Boe! obtinem o matrice e Dx(:

". entru Avette! #ucatorul e pe ran! o ruta scurta omina o ruta mai lunga care trece prinaceleasi segmente:

b omina slab urmatoarele variante: ba! ba"! ab! "ab

ba omina slab ba"! "ab

ab omina slab ba! ba"! "ab

a omina slab urmatoarele variante: ba! a"! "ab! ba"

a" omina ba"! "ab

" omina ba"! a"! "ab

" omina urmatoarele "! ba"! a"! "ab


9/20


entru Boe! #ucatorul e pe coloane! o ruta mai lunga o omina pe una mai scurta care

trece prin acelasi segment! asaar

ba omina b

" omina "

Problema #. Se consiera un #oc cu oi #ucatori! fiecare intre acesti avan un set e carti!

fiecare carte avan trecut un numar. ,ei 2 #ucatori se numesc ntonia si


10/20


a".2".

Bob

0 1 2

0 0 , 5 0 , 10 0 , 5

1 0 , 10 0 , 5 -5 , 0Antonia 2 0 , 5 -5 , 0 10 , 0

3 -5 , 0 10 , 0 -5 , 0

4 10 , 0 -5 , 0 10 , 0

a".9".

Bob

0 1 2

2 0 , 2 0 , 3 0 , 2

Antonia 4 0 , 2 5 , 5 4 , 2

6 4 , 2 3 , 2 , 0

b". ocul . entru ntonia: 8 omina strict pe 0 si 1 si omina slab 2 si 9. saar! 8 este o

strategie slab ominanta. 0 si 1 sunt echivalente. 2 omina slab pe 0 si 1! iar 9 pe 2.

entru


11/20


4 10 , 0 -5 , 0 10 , 0

Problema $. Fn Grasul e &icaieri! sunt 2 fermieri! singurii proucatori e lapte.

,erera locala pentru lapte este ata e -pretul masurat in centi! H-cantitatea totala masurata

in cutii" : 2000-2H. mbii fermieri au acelasi cost al functiei at e ,-costul total

masurat in centi! I-outputul masurat in cutii" : ,J0000K(50I.

Se cere:

a". ,alculati si repre*entati grafic functia firmei 1 calculati profitul maxim al outputului

firmei 1pentru fiecare output posibil al firmei 2". aceti acelasi lucru pentru firma 2.

b". ,alculati echilibrul ,ournot-&ash outputul pentru fiecare firma! outputul total! pretul si

profitul fiecarei firme".

c". ,omparati bunastarea sociala profitKsurplusul consumatorului" la echilibrul ,ournot-

&ash cu bunastarea sociala care ar re*ulta aca ar fi existat o singura firma in inustrie! avan

acelasi cost ca mai sus. ,um explicati re*ultatul+

a". rofitul functiei firmei 1 este at e :

π1I1!I2" I1 L2000 − 2I1KI2"M − (50 I1 − J0!000

unctia re*ultata a firmei 1 este obtinuta in re*olvarea urmatoarei ecuatii

∂

∂ q1

=0

! e une re*ulta I1950 @q2

2 .

Similar! functia re*ultata pentru firma 2 este ata e I2950 @q1

2 .

b". ;chilibrul ,ournot-nash este at e:


12/20


I1 I2 280

H 8J0

1080

π1 π2 11(!200 − J0!000 9(!200.

c". Un monopolist ar seta H950 si 12J0. rofitul firmei ar fii :

π 2(D!200 − J0!000 13D!200.

,urba cererii este urmatoarea:

saar surplusul consumatorului sub o piata monopolista este 2000 - 12J0"950"/2

12D!500 ! in timp ce surplusul consumatorului sub uopol este 2000 - 1080"8J0"/2

290!800. rin urmare! bunastarea sociala sub monopol este 12D!500 K 13D!200 90J!J00! in

timp ce sub uopol este 290!800 K 29(!200" 900!J00. saar! bunastarea sociala ete mai

mare sub monopol ecat sub uopol. Notivul este acela ca sub uopol! costul fix trebuie platit

e oua ori si in acest ca* costul fix este mai mare ecat castigul in surplusul consumatorului

obtinut in schimbarea monopolului in uopol.

Problema %& ie 2 consumatori si 2 firme care fac prouse omogene. manoi

consumatorii cumpara un prous si numai unul cu conitia ca pretul sa nu fie mai mare ca 10.,osturile fise e prouctie sunt 0 pentru ambele firme. ,ostul e prouctie marginal si meiu

pentru prima firma este e 8! iar pentru cea e-a oua firma este e 5. Fn ca*ul in care ambele

firme percep acelasi pret! ambii consumatori prefer prima firma! in ca* contrar! fiecare

consummator preferan firma cu pretul mai mic. Oegea prevee o firma care anunta un pret

e van*are pentru toti consumatorii. %asiti toate echilibrele &ash ale preturilor ratati ca

acestea sunt echilibrele &ash si ca nu exista alte echilibre &ash".

;chilibrele &ash sunt ate e toate perechile 1! 2"! astfel incat 8 P1 2 P 5.


13/20


'ovaa : Fn primul ran aratam ca orice pereche 1!2" cu 8 lei P 1 2 P 5 lei

este un echilibru &ash. oua firma face 0 profit. 'aca va reuce pretul sau va avea o

pierere! iar aca il va creste va face in continuare profit 0. rofitul primei firme este e 2 p1

- 8" 0. 'aca va reuce pretul! profitul va scaea! iar aca il va creste profitul va fi 0.

cum aratam ca p1p2 5 nu este un echilibru &ash. irma 2 face profit 0 si il poate

mari prin perceperea unui pret 2Q astfel incat 5P2QP1.

1!2" cu 1P8 si 1P2 nu este un echilibru &ash eoarece prima firma are o pierere si isi

poate creste profiturile e la *ero prin cresterea lui 1.

Fn cele in urma:

a". 8 P 1 P 10 si 1P2 nu este un echilibru &ash! eoarece prima firma isi poate creste

profiturile sale prin marirea lui 1.

b". 12 P 2 nu este un echilibru &ash eoarece firma 2 poate obtine profituri po*itive

prin reucerea lui 2 astfel incat 2P1.

c". 10 P 1 P 2 nu este un echilibru &ash eoarece firma 1 isi poate creste profiturile sale

prin reucerea lui 1.

". 2P5 si 2 P 1 nu este un echilibru &ash eoarece firma 2 este in pierere.

e". 2 5 iș 2 P 1 nu este un echilibru &ash eoarece firma 1 isi poate mari profitul prin

reucerea pretului sau 1" in asa fel incat 12.

Problema '& Se consiera un #oc cu oi #ucatori. ;xista 9 plicuri nemarcate. Unul

contine 100E! unul 200E! iar al treilea contine 900E. ;le sunt amestecate foarte bine si unul e

at #ucatorului 1! iar altul #ucatorului 2 al treilea ramane pe masa si nu va mai fi utili*at

eloc". ucatorul 1 isi echie plicul si ii verifica in secret continutul. ;l poate spune RpassR!

ca* in care fiecare #ucator isi pastrea*a plicul! sau il poate ruga pe #ucatorul 2 sa schimbe

plicurile intre ele. ucatorul 2 nu are voie sa vaa continutul plicului si trebuie sa *ica R'aR

sau R&uR. 'aca spune R&uR! atunci cei oi #ucatori trebuie sa-si pastre*e plicurile originale. Fn

schimb! aca #ucatorul 2 spune R'aR! atunci ei fac schimb e plicuri si le pastrea*a pe cele

primite. Se presupune ca cei oi #ucatori sunt neutri la risc! se cere:

a". epre*entati situatia intr-un #oc cu informatie imperfecta

b". 'esenati #ocul in forma normala corespun*atoare si gasiti toate echilibrele &ash

c". ,e se obtine atunci can se aplica algoritmul e eliminare a strategiilor ominate+


14/20


a". Fn #ocul escris mai #os! 12 inseamna R#ucatorul 1 alege plicul cu 100E si #ucatorul 2 cel cu

200ER! 19 inseamna R#ucatorul 1 alege plicul cu 100E si #ucatorul 2 cel cu 900ER! etc.

provine e la RpassR! > e la Rpropune un schimbR! A este R'aR! iar & R&uR.

b". ucatorul 1 are J strategii. G prima strategie este: aca ia plicul cu 100E spune RpassR! aca

il ia pe cel cu 200E propune un targ! iar aca il ia pe cel cu 900E spune RpassR. Com folosi

urmatoare prescurtare pentru strategia e mai sus >. ucatorul 2 are in schimb oar 2

strategii. ,um primim recompensele+ Sa consieram prima celula! spre exemplu.

resupunan strategiile si A! castigul este 100!200" cu o probabilitate e 1/5! 100!900"

cu o probabilitate e 1/5! 200!100" cu probabilitatea e 1/5! 200!900" cu probabilitatea 1/5!

900!100" cu probabilitatea 1/5! 900!200" cu probabilitatea 1/5. saar! castigul asteptat al

#ucatorului 1 este 100 K 100 K 200 K 200 K 900 K 900"Q1/5"200E. Similar este si pentru

celalalt #ucator si celelalte celule. ;chilibrele &ash sunt subliniate:


15/20


c". entru #ucatorul 1 toate strategiile sunt slab ominate! exceptan > si >>. ;liminan

strategiile slab ominate obtinem un #oc une A este strict ominat e 2. saar! ramanem cu

strategiile >! &" si >>! &".

Problema 1(& Se consiera urmatorul #oc:


16/20


Se cere:

a"! %asiti toate echilibrele &ash in strategie pura.

b". 'emonstrati! fara a face prea multe calcule! ca nu exista un echilibru in strategii mixte in

care #ucatorul 1 #oaca N cu probabilitatea p cu 0 P p P 1.

a". orma normal este:

ucatorul 2

l r

1 ! 0 ! 0 1 ! 0 ! 0

ucatorul1 N 0 ! 1 ! 0 0 ! 0 ! 0

O 1 ! 1 ! 0 0 ! 0 ! 0

ucatorul 9 alege a ucatorul. 9 alege b

;chilibrele &ash in strategii pure sunt: !l!a" ! N!r!a" ! O!l!a" ! !l!b" ! !r!b" si

O!l!b" b". 'eoarece pentru #ucatorul 9! a omina strict pe b ! el trebuie sa #oace a aca setul e

informatii este atins cu probabilitate po*itiva. entru #ucatorul 9 informatia este atinsa! aca si

oar aca #ucatorul 1 #oaca strategia M cu probabilitate po*itiva. saar! can r M " 0! #ocul

se reuce la :

ucatorul 2

l r

1 ! 0 ! 0 1 ! 0 ! 0

ucatorul1 N 0 ! 1 ! 1 2 ! 2 ! 1

O 1 ! 1 ! 0 0 ! 0 ! 0


17/20


entru ca #ucatorul 1 sa oreasca sa atrivuie o probabilitate po*itiva lui M, el trebuie sa

astepte un castig e minim 1! altfel R ar fi fost o varianta mai buna si singura cale ca el sa

castige minim 1 este ca #ucatorul 2 sa #oace strategia r cu o probabilitate e cel putin T. 'aca

#ucatorul 2 #oaca r cu o probabilitate mai mare e 1/2 ! atunci M ii ofera #ucatorului 1 un

castig mai mare ecat L sau R si in acest ca*! el va alege strategia M cu o probabilitate e 1!

in timp ce #ucatorul 2 alege r cu probabilitatea 1! iar #ucatorul 9 alege a cu probabilitatea 1. Fn

acest fel! obtinem un echilibru in strategii pure. 'aca #ucatorul 2 #oaca r cu probabilitatea

exact T atunci #ucatorul 1este inifferent aca allege M sau R! ar il gaseste pe L inferior si ii

atribuie probabilitatea 0. 'ar cel mai bun raspuns al #ucatorului 2! la strategia mixta a

#ucatorului 1! care atribuie probabilitati positive pentru M si R si 0 pentru L! este sa #oace r cu

probabilitatea 1. saar! nu poate exista un echilibruin strategii mixte aca #ucatorul 1 ii

atribuie lui M probabilitatea p cu 0 P p P 1. >rebuie sa fie r M "0 sau r M "1.

Problema 11& Un pacient s-a plans constant e o urere constanta in *ona

abomenului.


18/20


a

180 110 D0 250

;stimarile lui probabilistic se ba*ea*a pe aceste ca*uri.

a". ,are e probabilitatea ca pacientul sa aiba o boala tratabila+

;xista 2 posibilitati e obtinere a mai multor informatii: un test e sange sau e urina.

Un test e sange ar arata un numar anormal al globulelor albe sau unul normal al acestora.

&umarul anormal al globulelor albe este evient clara ca exista o infectie! ar care poate F in

cau*a unei bacteria sau una virala. &umarul normal al globulelor scoate in ecuatie o infectie.

>estul e urina! pe cealalta parte! arata aca e po*itiv ca ve*ica este inflamata! iar aca este

nagtiv ca aceasta nu este inlamata.

b". Sa presupunem ca pacientul face un test e urina care se oveeste negative. ,are este

probabilitatea ca el sa nu aiba o boala tratabila+ ,are e probabilitatea sa aiba cancer+

c". 'aca in loc sa faca testul e urina! il face pe cel e sange si acesta iese po*itiv! care e

probabilitatea ca acesta sa aiba o boala tratabila+

". Sa presupunem ca pacientul face testul e urina si iese negativ. tunci il intreaba pe

octor: aca as face si testul e sange! cat e probabil e ca acela sa iasa po*itiv+R. ,are ar

trebui sa fie raspunsul octorului+

e". Sa presupunem ca pacirentul face ambele teste si testul e urina iese negative! pe can cele sange iese po*itiv. ,are e probabilitatea ca el sa aiba o boala tratabila+

robabilitatile sunt upa cum urmea*a:

a". r=

este un eveniment =C! ,?. saar:


19/20


c". Un test e sange po*itiv este repre*entat e evenimentul =

evenimentul =

". Fn acest ca* avem:

e". Fnformatia este =

Problema 12& lbert si


20/20


• tipul normal nu se abate si nici tipul nechib*uit s!s".

'eoarece

Teoria jocurilor-probleme.docx

Documents

Transcript of Teoria jocurilor-probleme.docx