capitolul 4
description
Transcript of capitolul 4
105
CAPITOLUL IV INTEGRALE IMPROPRII (EXTINSE)
4.1. Integrale improprii
Pentru integrala definită ( )∫b
a
dxxf s-a presupus că limitele a şi b sunt
finite, iar funcţia f este mărginită pe intervalul [ ]ba, .
Sunt cazuri când putem da un sens acestei integrale ( )∫b
a
dxxf , chiar
dacă nu sunt îndeplinite condiţiile de mai sus. În cele ce urmează ne vom
ocupa de integrale de forma ( ) ( ) ( )∫∫∫∞
∞−∞−
∞
dxxfdxxfdxxfa
a
;; , în care funcţia f
este mărginită pe domeniile respective, sau de integrale de forma ( )∫b
a
dxxf ,
unde există ce puţin un punct [ ]bac ,∈ astfel încât ( ) ±∞=→
xfxx 0
lim .
Cazul când şi intervalul este nemărginit şi funcţia este nemărginită este un caz care nu merită să fie luată în discuţie pentru că integrala este divergentă (nu există). Toate aceste integrale se numesc extinse sau generalizate sau improprii. Cazul I (Interval nemărginit şi funcţie mărginită). Definiţia 1: Fie [ ) R→∞,: af o funcţie integrabilă pe [ ]ta, pentru ( ) at >∀ . Dacă există, este unică şi finită limita:
( )∫∞→=
λ
λa
dxxflim pentru ( ) a>∀ λ ,
atunci spunem că funcţia f este integrabilă în sens generalizat pe [ )∞,a şi avem
( ) ( )∫∫ ∞→
∞
=λ
λaa
dxxfdxxf lim . (1).
Dacă limita nu există sau este infinită, atunci spunem că integrala este divergentă.
106
Exemple.
1. ∫∞
−=0
12
dxxeI x .
2111
21lim
2limlim 2
222
000
=
−−=
−==
∞→
−
∞→
−
∞→
∞− ∫∫ x
xxx
eedxxedxxe
λ
λ
λ
λ
λ.
Deci, integrala este convergentă.
2. ( ) ∞=−=
===
∞→∞→∞→
∞
∫∫ 1limlimlim0
002
λ
λ
λλ
λeedxedxeI x
x
xx .
În acest caz integrala este divergentă. Definiţia 2. Fie ( ] R→∞− af ,: o funcţie integrabilă pe ( ]at, pentru ( ) at <∀ . Dacă există, este unică şi finită limita:
( )∫−∞→=
a
dxxfλ
λlim pentru ( ) a<∀ λ
atunci spunem că funcţia f este integrabilă în sens generalizat pe ( ]a,∞− şi avem
( ) ( )∫ ∫∞−
−∞→=
a a
dxxfdxxfλ
λlim . (2).
Dacă limita nu există sau este infinită, atunci spunem că integrala este divergentă. Definiţia 3. Fie RR →:f o funcţie integrabilă pe [ ]tt,− pentru ( ) 0>∀ t .
Dacă există, este unică şi finită limita ( )∫−
∞→=
λ
λλ
dxxflim pentru ( ) 0>∀ λ , atunci
spunem că funcţia f este integrabilă în sens generalizat pe R şi avem
( ) ( )∫∫−
∞→
∞
∞−
=λ
λλ
dxxfdxxf lim . (3).
Observaţii.
1. Această integrală poate fi descompusă în două integrale în felul următor:
( ) ( ) ( )∫∫∫∞
∞−
∞
∞−
+=0
0
dxxfdxxfdxxf (4)
107
pentru care se pot aplica definiţiile (1) şi (2). Exemple.
( ) ( )( )
.22
limlim1
lim1 221
πππ
λλλ
λλλ
λ
λλ
=
−−=
=−−==+
=+
=∞→−∞→
−∞→
∞
∞−∫∫ arctgarctgxarctg
xdx
xdxI
Deci, integrala este convergentă.
011lim21
2limlim 22
222
2 =
−−=
−===
∞→−
−
∞→−
−
∞→
∞
∞−
− ∫∫ λλλ
λ
λλ
λ
λλ ee
edxxedxxeIx
xx .
Deci integrala este convergentă. 2.Pentru cele trei tipuri de integrale putem stabili convergenţa lor numai dacă funcţia f admite primitive. În cazul în care funcţia f nu are primitive, atunci convergenţa acestor integrale se poate stabili cu ajutorul criteriului dat de teorema următoare. Teorema 1 (criteriu de stabilire a convergenţei - 1C ). Dacă funcţia [ ) R→+∞,: af este funcţie integrabilă pe intervalul [ ]ta, pentru ( ) at >∀ şi dacă există R∈α astfel încât limita:
( )xfxLx
⋅=∞→
αlim există şi este finită, atunci:
a) Dacă ( )∫∞
⇒>a
dxxf1α este convergentă;
b) Dacă ( )∫∞
⇒≤a
dxxf1α este divergentă.
Demonstraţie. Să presupunem că ( ) ( ) axxf >∀> 0 , atunci ( ) ( ) 0lim >∀⇔⋅=
∞→εα xfxL
x
( ) 0>∃ εδ a.î. ( ) εα <−⋅ Lxfx pentru ( ) ⇔<−⋅<−⇔+>∀ εεδ αε Lxfxax)(
( ) εε α +<⋅<− LxfxL pentru )(∀ εδ+> ax . Cum L este finit, notăm: εε −=+= LMLM 1, şi εδ+= am , atunci:
( ) MxfxM <⋅< α1 pentru )(∀ mx > (4)
şi rezultă: ( ) αx
Mxf < pentru mx > . (4’).
108
Cum
( ) ( ) ( )∫∫∫∞∞
+=m
m
aa
dxxfdxxfdxxf (5)
şi ( )∫=m
a
dxxfI1 este finită pentru că f este integrabilă, rămâne de evaluat
integrala ( )∫∞
=m
dxxfI 2 .
a)Dacă 1>α , atunci:
( ) ( )
( ).
111lim
1
1limlimlimlim
111
1)'4(
2
∞<⋅−
=
−−
=
=−
==<==
−−−∞→
+−
∞→
−
∞→∞→∞→
∞
∫∫∫∫
αααλ
λα
λ
λα
λ
λ
αλ
λ
λ
αλα
α
mM
mM
xMdxxMdxxMdxxfdxxfI
mmmmm
Deci 2I este convergentă, atunci din (5) rezultă că I este convergentă. b)Dacă 1=α , atunci:
( ) ( ) ( ) ∞=
==>==
∞→∞→∞→∞→
∞
∫∫∫ mMxMdx
xMdxxfdxxfI
mmmm
λλ
λ
λ
λ
λ
λ
λlnlimlnlimlimlim 11
1)4(
2 .
Deci 2I este divergentă. c)Dacă 1<α , atunci: Error! Bookmark not defined.
( ) ( )
( ) .lim1
1limlimlimlim
111
1
111
)4(
2
∞=−−
=
=
−==>==
−−
∞→
−
∞→
−
∞→∞→∞→
∞
∫∫∫∫
αα
λ
λα
λ
λα
λ
λ
αλ
λ
λ
λα
α
mM
xMdxxMdxxM
dxxfdxxfImmmmm
Deci 2I este divergentă, atunci rezultă că I este divergentă. Dacă ( ) ( ) axxf >∀< 0 , atunci considerăm ( ) ( ) ( ) 00 >∀>−= xxfxg , iar
( ) ( )∫∫∞∞
=−=aa
dxxgdxxfJ ,
căreia îi aplicăm raţionamentul anterior. Exemple:
1) ∫∞
+⋅
=1
2
3
1 1dx
xxxJ .
109
Cum ( ) 2
3
1 xxxxf
+⋅
= , atunci aplicând criteriul 1C avem că
( ) 11
lim1
limlim 2
34
2
31
=+
=+⋅⋅
=⋅=+
∞→∞→∞→ xx
xxxxxxfL
xxx
ααα pentru 1
322
34
<=⇔=+ αα .
Atunci 1J este divergentă.
2) ∫∞
+=
032 1xdxJ .
Cum ( )1
13 +
=x
xf , atunci aplicând criteriul 1C avem că
( ) 11
limlim 3 =+
=⋅=∞→∞→ x
xxxfLxx
αα pentru 13 >=α .
Deci 2J este convergentă. Cazul II (Interval mărginit şi funcţie nemărginită). Fie [ ] R→baf ,: nemărginită ( )∃⇔ cel puţin un punct ( )bax ,0 ∈ astfel încât limita ( ) ±∞==
→xf
xx 0
lim , sau să nu existe.
Să presupunem că există un singur punct 0x în ( )ba, pentru care limita să nu fie finită sau să nu existe, atunci [ ] [ ) [ ]bxxaba ,,, 00 ∪= , iar
( ) ( ) ( )∫∫∫ +=b
x
x
a
b
a
dxxfdxxfdxxf0
0
. (6)
Rămâne de studiat cele două integrale. A. Fie ( ] R→baf ,: şi ( ) ( )xfaf
axaxd
>→
= lim nu există.
Definiţia 4. Fie ( ] R→baf ,: nemărginită în a şi integrabilă. Dacă există şi este finită limita
( )∫+
→=
b
a
dxxfLε
ε 0lim ,
atunci spunem că integrala este convergentă şi
( ) ( )∫∫+
→=
b
a
b
a
dxxfdxxfε
ε 0lim . (7)
Spunem în acest caz că f este integrabilă în sens generalizat sau impropriu pe [ ]ba, , adică integrala este convergentă.
110
Dacă limita L este infinită sau nu există, atunci spunem că integrala este divergentă. Exemple.
( )∫=1
01 ln dxxI .
Cum −∞=>→
xxx
lnlim00
, atunci funcţia ( ) xxf ln= este nemărginită în 0x =0 şi
( ) ( )( ) ( )
.1lim11
1
lim11
lnlim1
ln1limln11ln1limlnlimlnlimln
02
00
00
1
0
1
0
1
01
−=−−=−
−−=−−=
=+−−=−−−⋅=−===
→→→
→→→→ ∫∫
ε
ε
ε
ε
ε
εεεεεε
εεε
εεεεε
εxxxxdxxdxI
Deci 1I este convergentă.
0,1
02 >= ∫ pxI p .
a)Pentru 1>p , atunci ( ) pxxf 1= şi ( ) ∞=0df , iar
+∞=
−
−=
−=== −→
−
→
−
→→ ∫∫ 10
11
0
1
0
1
021
11lim
11
1limlimlim p
pp
p ppxdxx
xdxI
εεε
εε
εε
ε.
Deci 2I este divergentă.
b)Pentru 1=p , atunci ( ) ∞=0df , iar ( ) ∞=−===→→→ ∫ ε
εεεε
εln1lnlimlnlimlim
0
1
0
1
02 xx
dxI .
Deci 2I este divergentă. c)Pentru ( )1,0∈p , atunci ( ) ∞=0df , iar
( )ppp
xdxxxdxI p
pp
p −=−
−=
−=== −
→
−
→
−
→→ ∫∫ 111lim
11
1limlimlim 1
0
11
0
1
0
1
02 εε
εε
εε
εε
(finit). Deci 2I
este convergentă. Observaţie. Pentru acest tip de integrale putem aplica această metodă de stabilire a convergenţei numai dacă funcţia f admite primitive. În cazul în care funcţia f nu admite primitive, atunci putem aplica criteriul dat de teorema 2.
111
Teorema 2 (criteriul de stabilire a convergenţei - 2C ). Fie ( ] R→baf ,: pozitivă, nemărginită în a şi integrabilă pe [ ]ba ,ε+ pentru
0>ε . Dacă există un număr real α astfel încât limita ( ) ( )xfax
axaz
⋅−=>→
αlim
să fie finită în ax = , atunci:
a) Dacă 1<α şi ( )∫=⇒∞≠b
a
dxxfI este convergentă;
b) Dacă 1≥α şi ( )∫=⇒≠b
a
dxxfI0 este divergentă.
Demonstraţie. Procedând analog ca la teorema 1, atunci ( ) ( ) 00 >∃>∀ εδε a.î. ( ) ( ) εα <−− xfax pentru ( ) x∀ astfel încât εδ<− ax , echivalent cu
( ) ( ) ( ) ( )εα δεε +∈∀+<⋅−<− aaxxfax ,, . Notând bamMM <+=+=−= εδεε ;;1 , atunci
( ) ( ) ( ) ( )maMxfaxM ,,1 ∈∀<−< εα sau
( )( )
( )( ) ( )ma
axMxf
axM
,,1 ∈∀−
<<− αα
.
Integrând pe ( )ma, obţinem
( )( )
( )∫∫∫ −<<
−
m
a
m
a
m
a axdxMdxxf
axdxM αα1 . (8)
a)Pentru 1<α , atunci
( ) ( )( )
( )=
−−
=−
<=+
−
→+
→+
→ ∫∫∫m
a
m
a
m
a
m
a
axMax
dxMdxxfdxxfε
α
εε
αεε
ε α1limlimlim
1
000
( )[ ] ∞<−−−
= −−
→
αα
εε
α11
0lim
1amM )'8(
iar:
( ) ( ) ( ) ∞≤+= ∫∫∫+
→
)'8(
0lim
b
m
m
a
b
a
dxxfdxxfdxxfε
ε,
adică ( )∫b
a
dxxf este convergentă.
112
b)Pentru 1=α , atunci
( ) ( ) ( )( )
( )[ ] .lnlnlim
lnlimlimlim
01
01010
∞=−−=
=−=−
>=
→
+→+
→+
→ ∫∫∫ε
ε
εεε
εε
ε
amM
axMax
dxMdxxfdxxf ma
m
a
m
a
m
a
Deci I este divergentă.
c)Pentru 1>α , atunci
( ) ( )( )
( )
( )[ ]( )
.11lim1
lim1
1limlimlim
110111
01
1
01010
∞=
−
−−−=−−
−=
=
−−
=−
>=
−−→
−−
→
+
−
→+
→+
→ ∫∫∫
ααε
αα
ε
ε
α
εε
αεε
ε
εαε
α
α
amM
amM
axMax
dxMdxxfdxxfm
a
m
a
m
a
m
a
Deci I este divergentă. B. Fie [ ) R→baf ,: şi ( ) ( )xfbf
bxbxs
<→
= lim nu există sau este infnit. Acest caz
poate fi redus la cazul A. dacă se ţine cont că:
( ) ( )∫∫ −=a
b
b
a
dxxfdxxf . (9)
Exemple.
∫=4
031 sin
π
xdxI .
Soluţie. Cum ( )
3 sin1
xxf = , atunci ( ) ∞=0df şi aplicând criteriul 2C , calculăm
L= ( ) 1sin
limlim300
==→→ x
xxfxxx
αα pentru
31
=α (S-a ţinut cont că 1sinlim0
=→ x
xx
).
Deci 131<=α , atunci 1I este convergentă.
∫ −=
2
032 1sin
π
xdxI .
113
Cum ( )3 1sin
1−
=x
xf , atunci ∞=
2π
sf . Aplicăm 2C pentru 2π
=x , atunci
11sin
2lim301 =
−
−
=→ x
xL
x
απ
pentru 131<=α , atunci 1I este convergentă.
Observaţii. Întâlnim cazuri când integrala extinsă conţine atât cazul I cât şi cazul II, atunci împărţim integrala în două integrale corespunzătoare acestor cazuri. Exemplu:
∫∞
+=
021
ln dxxxI .
Funcţia ( ) 21ln
xxxf
+= este nemărginită în 0=x şi este definită de intervalul
nemărginit. Atunci ∫∫∞
++
+=
12
1
02 1
ln1
ln dxxxdx
xxI , unde ∫ +
=1
021 1
ln dxxxI se tratează
cu 2C , iar ∫∞
+=
122 1
ln dxxxI se tratează cu 1C .
Tema 4.1.
1. ( )( )∫ −−
=b
a xbaxdxI1 .
2. ∫−
=3
232 xdxI .
3. ∫=1
03
ln dxxxI .
4. ∫=1
04 ln xdxI .
5. ( )∫
∞
∞− += 225
1 xdxI .
6. ∫∞
=0
6 cos xdxI .
7. ∫∞
+=
127
1 xxdxI .
114
8. ∫− −
=1
13 28
1 xdxI .
4.2. Funcţii Euler 4.2.1 Funcţia Euler de speţa a doua
Definiţie. Se numeşte funcţia lui Euler de speţa a II a sau funcţia gama (funcţia factorială) funcţia definită de integrala:
∫∫λ
−−
∞→λ
∞−− ==Γ
0
1zt
0
1zt dttelimdtte)z( (1)
unde z = x + iy cu Re z = x > 0. Să stabilim dacă integrala ( )zΓ este convergentă.
Cum ( ) dttedttez ztzt 1
1 11
0 −∞ −−− ⋅+⋅=Γ ∫∫ pentru iyxz += şi 0Re >= xz , atunci va
fi studiată convergenţa integralelor 1I şi 2I unde:
dtteI zt 11
0 1−− ⋅= ∫ şi
dtteI zt 1
1 2−∞ − ⋅= ∫ .
Din teoria funcţiilor complexe [1] funcţia 1−zt se defineşte astfel: ( ) ( ) =⋅=== −−+−− tiytxtiyxtzz eeeet lnln)1(ln1ln11
( ) ( )( )tyityt x lnsinlncos1 +⋅= − .
Atunci
( ) ( ) 111 lnsinlncos −−− =+⋅= xxz ttyitytt . (*)
Integralele 1I şi 2I sunt integrale improprii.
Pentru integrala 1I , aplicăm criteriul 2C deoarece funcţia: 1)( −− ⋅= zt tetf
poate fi nemărginită în 00 =t .
Calculăm limita:
115
( ) =⋅⋅=⋅= −−
→→
1
001 limlim zt
tttettft αα
( ) =⋅=⋅= +−+−
→
−+−
→
iyxt
t
zt
ttete 1
0
1
0limlim αα
t
x
t
xt
t ette
1
0
1
0limlim
−+
→
−+−
→=⋅=
αα .
Această limită are valoarea 11 = pentru x−= 1α .
Cum 110 <−=⇒> xx α .
Deci, integrala 1I este convergentă.
Pentru integrala 2I aplicăm criteriul 1C deoarece funcţia:
( ) 1−− ⋅= zt tetf
este definită e interval nemărginit.
Calculăm limita:
( ) =⋅⋅=⋅= −−
∞→∞→
12 limlim zt
tttettft αα
( )(*)
11 limlim =⋅=⋅= −+−
∞→
+−+−
∞→
xt
t
iyxt
ttete αα
0lim1 ∞
∞−+
∞→== t
x
t etα
pentru ( ) 1>∀ α , deoarece .0>x
Deci, 2I este convergentă, iar ( )zΓ este convergentă.
Proprietăţi. P1) Γ (z + 1) = zΓ (z) (∀) z cu Re z > 0. (2)
Γ (z + 1) = ( ) Adtteztedtte ztztzt =
+−= ∫∫ −−−
∞→
∞−
λλ
λ0
10
0
lim unde :
−=⇒=
⋅=⇒=−−
−
tt
1zz
egdtedydttzdftf , atunci
116
A = ( )zzdttez zt Γ⋅=
∫ −−
∞→
λ
λ0
1lim deoarece ( ) 0e
limtelimz
0
zt =λ
=λ∞→λ
λ−
∞→λ(Vezi regula
L’Hospital). Atunci :
Γ (z + 1) = z(z – 1) ... (z – p) Γ (z - p) (proprietate care dă denumirea de funcţie factorial). P2) Γ (1) = 1 . (3)
Γ (1) = 1elimdtedtte0
t
0
t
0
11t =
==
λ−
∞→λ
∞−
∞−− ∫∫ .
P3) Γ (n) = (n – 1)! sau Γ (n + 1) = n! . (4)
Γ (n) 1P
= (n – 1)Γ (n – 1) = (n – 1)(n – 2)Γ (n – 2) = .... (n – 1) ... 2Γ (1) = = (n – 1)(n – 2) ... 3.2.1 = (n – 1)!
P4) Γ
21 = π . (5)
Γ
21 = ∫∫∫
∞−
∞−
=∞ −− π==⋅⋅⋅=0
x
0
xxt
0
21
t dxe2xdxx1e2dtte
222
(integrala lui
Gauss). Rezultat pe care îl vom obţine din proprietăţile altor funcţii.
P5) Γ
+
21n =
−
21n Γ
−
21n =
−
21n
−
23n ....
21Γ
21
4P
=
= π⋅−⋅⋅⋅⋅
n2)1n2(31 .
Observaţie. Din definiţia funcţiei
Γ (z)= ( )∫∫∞
−−=∞
−− ⋅⋅⋅=0
1z2xxt
0
1zt dxx2xedtte2
2
=
= ∫∫∞
−−∞
−− ⋅⋅=⋅⋅⋅0
1z2x
0
2z2x dxxe2dxxxe222
o nouă definiţie a funcţiei Γ (z).
117
4.2.2. Funcţia Euler de speţa a I a (funcţia beta)
Definiţie. Se numeşte funcţia lui Euler de speţa a I a, funcţia definită de relatia :
( )∫ −− −=β1
0
1q1p dxx1x)q,p( cu p,q ∈C (6)
pentru Re p > 0 şi Re q > 0. Altă exprimare : Dacă facem schimbarea de variabile x = cos2ϕ , atunci
pentru :
=ϕ⇒=
π=ϕ⇒=
01x2
0x iar dx = -2cosϕ sinϕdϕ avem
=β )q,p( ϕϕ⋅ϕ⋅ϕ⋅ϕ− ∫π
−− dcossinsincos20
2
2q22p2 (7)
sau =β )q,p( ϕϕ⋅ϕ∫
π
−− dsincos22
0
1q21p2 . (8)
Observaţie.
Pentru p = q = 21 , atunci =
β
21,
21
∫π
ϕ2
0
d2 = π . (9)
Să stabilim dacă integrala ( )q,ρβ este convergentă pentru 21 ippp += şi
21 iqqq += cu 0Re 1 >= pp şi 0Re 1 >= qq .
Cum funcţia
( ) ( ) 11 1 −− −⋅= qp xxxf
poate fi nemărginită în 0=x sau ,1=x atunci împărţim integrala în două
integrale 1I şi 2I astfel:
( ) ( ) dxxxIdxxxI qpqp 11
21
12
21
011
1 1;1 −−−− −=−⋅= ∫∫ .
118
Pentru ambele integrale aplicăm criteriul 2C , deoarece funcţia ( )xf cu
( )1,0∈x poate fi nemărginită în 0=x şi respectiv în 1=x .
Calculăm:
( ) ( ) =−⋅⋅=⋅= −−
→→
11
001 1limlim qp
xxxxxxfx αα ( ) =− −−+
→
110
1lim qpx
xxα
( ) 11110
1lim −−+
→−⋅= qp
xxxα
care are valoarea 11 = pentru 1101 11 <−=⇒=−+ pp αα .
Deci 1I este convergentă.
( ) ( ) ( ) =−⋅=⋅−= −+−
→→
11
112 1lim1lim qp
xxxxxfx αα
( ) 11111
1lim −+−
→−⋅= qp
xxx α
care are valoarea 12 = pentru 1101 11 <−=⇒=−+ qq αα pentru că 01 >q .
Deci, şi 2I este convergentă. Atunci funcţia ( )qp,β este bine definită.
Proprietăţi P6) β (p, q) = β (q, p) (simetrică funcţia β (p, q)). (10) Demonstraţie.
( )∫ −− −=β1
0
1q1p dxx1x)q,p( în care facem schimbarea de variabilă
1 - x = t ⇒
=⇒==⇒=
0t1x1t0x iar dt = -dx ⇒
( ) ( )∫ −−−−=β0
1
1q1p dttt1)q,p( = ( ) ( ) ( )p,qdttt11
0
1q1p β=−∫ −− ⇒ β (p, q) = β (q, p).
P7) β (p, q) = )qp()q()p(
+ΓΓ⋅Γ . (11)
(reprezintă relaţia de legătură între cele două funcţii a lui Euler).
119
Demonstraţie.Γ (p) = ∫∞
−−
0
1p2t dtte2 şi Γ (q) = ∫
∞−−
0
1q2u duue2 .
Atunci :
Γ (p).Γ (q) = 4 ∫∞
−−
0
1p2t dtte2 . ∫
∞−−
0
1q2u duue2 = 4 ( )( )∫ ∫
∞ ∞−−−−
0 0
1q2u1p2t duuedtte22
= 4 ∫ ∫∞ ∞
−−+− ⋅⋅0 0
1q21p2)ut( dtduute22 . (12)
care reprezintă o integrală dublă pe domeniul D = {(t, u) | t ≥ 0, u ≥ 0}.
În (12) facem schimbarea de variabile a
domeniului D în ( )
π
∈ϕ≥ρϕρ=∆2
0, si 0|,
unde
ϕρ=ϕρ=
sinucost cu ρ > 0 ϕ
π
∈2
0, .
Iacobianul este I = ρ , iar t2 + u2 = ρ 2. Atunci : Γ (p).Γ (q) = 4 ∫∫
∆
−−+ρ− ⋅ϕ⋅ρ⋅ 1p21q2p2 cose2
ϕρ⋅⋅ϕ− ddIsin 1q2 =
4 ∫∫∆
−−+ρ− ⋅ϕ⋅ρ⋅ρ⋅ 1p21q2p2 cose2
ϕρ⋅⋅ϕ− ddIsin 1q2 =
4 ∫∫∆
−+ρ−
ρρ⋅ de 1q2p22 . ( )ϕ⋅ϕ⋅ϕ −− dsincos 1q21p2 =
=
ρρ⋅
+Γ
∞−+ρ−∫
)qp(
0
1q2p2 de22 .
ϕ⋅ϕ⋅ϕ
β
∞−−∫
)q,p(
0
1q21p2 dsincos2 ⇒
⇒ Γ (p).Γ (q) = Γ (p+q). β (p, q) ⇒ β (p, q) = )qp()q()p(
+ΓΓ⋅Γ c.c.t.d.
P8) β (s, 1 – s) = ( )ππssin
. (13)
120
Demonstraţie. β (p, q) = ( )∫ −− −⋅1
0
1q1p dxx1x . Facem schimbarea de variabile
x = y1
y+
⇒
∞=⇒==⇒=
y1x0y0x iar dx = 2)y1(
dy+
⇒
β (p, q) = ∫∞
−−
−
+⋅
+01q1p
1p
)y1(1
)y1(y . . =
+ 2)y1(dy ∫
∞
+
−
+0qp
1pdy
)y1(y .
Să alegem pe q şi p astfel încât p + q = 1 ⇔
−==
s1qsp cu s∈(0, 1).
Atunci :β (s, 1 – s) = ∫∞
−
−
+01p
1s
dy)y1(
y = ( )ππssin
.
Observaţii .
1) Integrala ∫∞
−
−
+01p
1s
dy)y1(
y = ssin)y1(y
dy
0)s1( π
π=
+⋅∫∞
− se găseşte în cursul de
“Matematici speciale” (Vol I)[1].
Deci : β (s, 1 – s) = ( )ππssin
. (14)
2) Ţinând cont de relaţia β (p, q) = )qp()q()p(
+ΓΓ⋅Γ şi din faptul că
−==
s1qsp cu
s∈(0, 1), avem :
β (s, 1 - s) = )1(
)s1()s(Γ
−Γ⋅Γ = Γ (s).Γ (1 – s) = ( )ππssin
⇒
Γ (s).Γ (1 – s) = ( )ππssin
. (15)
3) Γ
21 = π relaţie dată (nedemonstrată) la funcţia Euler de speţa a II a
Ţinând cont de relaţia de legătură β (p, q) = )qp()q()p(
+ΓΓ⋅Γ în care facem
p = q = 21 ⇒
β ( )
2
2
21
121
21,
21
Γ=
Γ
Γ
=
.
121
Dar β =
21,
21
π . Atunci rezultă :
π = 2
21
Γ ⇔
Γ
21 = π sau ∫
∞−
0
x dxe2 = .
2π (16)
Aplicaţia 1. Să se calculeze cu ajutorul funcţiilor Euler următoarele integrale generale :
1) I1(a, b, m, n, p) = ∫∞
+0pn
m
dx)bxa(
x cu a > 0, b > 0 şi p > 0n
1m>
+ .
2) I2(a, n) = ∫π
+⋅+⋅
01n
n
)xcosa1(dxxsin cu a∈(0, 1), n > 0.
3) I3(α , β ) = ∫−
γα +⋅−1
1
dx)x1()x1( cu Re α > -1; Re γ > -1.
4) I4(a, b, c) = ∫∞
− ⋅⋅0
bxa dxexc , cu 0
c1a>
+ .
>
+ 0
c1aRe , b > 0.
5) I5(a, b, α , γ ) = ( ) ( )∫ γα −⋅−b
a
dxxbax , cu Re(α+1) > 0, Re( γ+1) > 0.
Ex.1. I1(a, b, m, n, p) = ∫∞
+0pn
m
dx)bxa(
x cu a > 0, b > 0 şi p > 0n
1m>
+ .
Facem schimbarea de variabilă dată de relaţia :
xn = n
n
bxabxt
t1t
ba
+=⇔
−⋅
Noile limite ale integralei sunt : x = 0 ⇒ t = 0 şi x = ∞ ⇒ t = 1
iar x = 2
1n1
n1
n1
n1
)t1(dt
t1t
n1
badx
t1t
ba
−⋅
−⋅⋅
=⇒
−⋅
−
.
Atunci : I1(a, b, m, n, p)= ∫∞
+0pn
m
dx)bxa(
x = ∫−
+−−
++
−⋅
⋅
⋅
1
0
1n
1mp1n
1mn1m
p dt)t1(tba
an1
=
+
−+
β⋅
⋅
⋅
+
n1mp,
n1m
ba
an1 n
1m
p = ( )pn
1mpn
1m
ba
an1 n
1m
p Γ
+
−Γ⋅
+
Γ⋅
⋅
⋅
+
.
122
Ex.2. I2(a, n) = ∫π
+⋅+⋅
01n
n
)xcosa1(dxxsin cu a∈(0, 1), n > 0.
Facem schimbarea de variabilă dată de relaţia :
tg
−+
=⇒⋅−+
=a1a1uarctg2xu
a1a1
2x iar dx = 2
−+
+
−+
a1a1u1
dua1a1
2.
Folosind formulele de exprimare a funcţiilor sinx şi cosx în funcţie de
tg
2x , atunci :
sinx =
−+
+
−+
=+
a1a1u1
a1a1u2
2xtg1
2xtg2
22
cosx =
−+
+
−+
−=
+
−
a1a1u1
a1a1u1
2xtg1
2xtg1
2
2
2
2
iar
1 + a.cosx = 1 + a ( )( )
−+
+
++=
−+
+
−+
−
a1a1u1
u1a1
a1a1u1
a1a1u1
2
2
2
2
.
Din substituţia iniţială se obţine că :
u = a1a1
+− tg
2x iar
∞=⇒π==⇒=
ux0u0x .
Înlocuind în integrala iniţială se obtine :
I2(a, n) = ∫π
+⋅+⋅
01n
n
)xcosa1(dxxsin = ∫
∞
+
++
=+
−+
+ 01n2
n1n1n
)u1(duu
a1a1
1a2
= 1n
2a12
+
− . ∫
∞
+=
+01n2
n
)u1(duu K
1a2 1n
⋅
+
+
unde :
123
K= ∫∞
+=
+01n2
n
)u1(duu I1(1,1, n, 2, n+1)=
++β⋅=
+
−++
β⋅2
1n,2
1n21
21n1n,
21n
21
= 2
2
21n
!n21
)1n(2
1n
21
+
Γ⋅⋅
=+Γ
+
Γ⋅ .
Prin înlocuire rezultă că : I2(a, n) = 21n
2 21n
!n21
a12
+
Γ⋅⋅
⋅
−
+
.
Ex.3. I3(α , γ ) = ∫−
γα +⋅−1
1
dx)x1()x1( cu Re α > -1; Re γ > -1.
Facem schimbarea de variabilă : 1 – x = 2y ⇔ x = 1 – 2y ⇒ dx = -2dy.
Pentru :
=⇒==⇒−=0y1x
1y1x .
Rezultă :
I3(α , γ ) = ( ) ( )∫∫ γα
−
γα −⋅−=+⋅−0
1
1
1
dyy22)y2(2dxx1)x1( =
= 12 +γ+α =−∫ γα1
0
dy)y1(y 12 +γ+α ( )( )∫ −+γ−+α −1
0
111)1( dyy1y = 12 +γ+α ( )1,1 +γ+αβ⋅ .
Ex.4. I4(a, b, c) = ∫∞
− ⋅⋅0
bxa dxexc , cu 0
c1a>
+ .
>
+ 0
c1aRe , b > 0.
Facem schimbarea de variabilă :
t = b.xc ⇔ x = c1
bt
.
Noile limite ale integralei vor fi : pentru
∞=⇒∞==⇒=
tx0t0x
dx = dttb1
c1 1
c1
c1
⋅⋅
⋅
−.
Înlocuind în integrală se obţine :
I4(a, b, c) = ∫∞
− ⋅⋅0
bxa dxexc = ∫
∞−−
++
⋅⋅
⋅
0
t1c
1ac
1a
dtetb1
c1 =
+
Γ
⋅
+
c1a
b1
c1 c
1a
.
124
Ex.5. I5(a, b, α , γ ) = ( ) ( )∫ γα −⋅−b
a
dxxbax , cu Re(α+1) > 0, Re( γ+1) > 0.
Facem schimbarea de variabilă :
x – a = (b – a)u ⇔ u = abax
−− ⇒ dx = (b –a)du.
Pentru :
=⇒==⇒=
1ubx0uax .
Înlocuind în I5 se obţine :
I5(a, b, α , γ ) = ( ) ( )∫ γα −⋅−b
a
dxxbax =
= ( ) ( )∫ −−⋅−⋅⋅− γγαα1
0
du)ab()u1(abuab = ( ) ( )∫ γα+γ+α −⋅−1
0
1 duu1uab =
= ( ) ( )∫ −+γ−+α+γ+α −⋅−1
0
1)1(1)1(1 duu1uab = ( ) )1,1(ab 1 +γ+αβ− +γ+α .
. Aplicaţia 2.
1) I1 = dxxcosxsin2
0
67 ⋅∫π
. 2) I2 = ( ) dxxsin2
0
n2 ⋅∫π
.
3) I3 = ( ) dxxcos2
0
n2 ⋅∫π
. 4) I4 = dxxcosxsin2
0
24 ⋅∫π
.
5) I5 = dxxtg2
0
n ⋅∫π
.
6) I6 = dxx1ln
1
0
n ⋅
∫ cu substituţia tx1ln =
.
7) I7 = dxx1ln
1
0
1n
⋅
∫−
cu substituţia tx1ln =
.
8) I8 = ∫∞
−
0
x dxe2 cu substituţia (xn = t).
9) I9 = ( )( )∫
− +−
1
1 3 2x1x1
dx . 10) I10 = dx)x1(xx1
0
4 3 ⋅−∫ .
125
11) I11 = dxxx1
0
2 ⋅−∫ . 12) I12 = dxx1
x1
04
n
⋅−
∫ (x4 = t).
13) I13 = dxxaxa
0
222 ⋅−⋅∫ (x = at). 14) I14 = ∫∞
+04
2
dxx1
x
+
= 4
4
x1xt .
15) I15 = ∫∞
⋅+03 23 x)x1(
dx
+
= 3
3
x1xt . 16) I16 = ∫
∞
+0nx1
dx
+
= n
n
x1xt .
Ex.1. I1 = dxxcosxsin2
0
67 ⋅∫π
.
Având în vedere (8), atunci
=β )q,p( ϕϕ⋅ϕ∫
π
−− dsincos22
0
1q21p2 ⇒ ϕϕ⋅ϕ∫
π
−− dsincos2
0
1q21p2 = 2
)q,p(β
atunci :
I1 = ( ) ( ) dxxcosxsin2
0
67 ⋅∫π
= ( ) ( ) dxxcosxsin2
0
1272142 ⋅∫
π
−⋅−⋅ =
β
27,4
21 =
= 131137
16
215
27)4(
21
⋅⋅⋅=
Γ
Γ⋅Γ
.
Ex.6. I6 = dxx1ln
1
0
n ⋅
∫ .
Făcând substituţia : tx1ln = ⇔ te
x1= ⇒ x = te− .
Pentru :
=⇒=∞=⇒=0t1x
t0x iar dx = - te− dt, atunci :
I6 = dxx1ln
1
0
n ⋅
∫ = ( )dtet t0
n −
∞
−⋅∫ = ∫∞
−⋅0
tn1
dtet = ∫∞
−−+
⋅0
t1n
1n
dtet =
+
Γn
1n .
126
Ex.10. I10 = dx)x1(xx1
0
4 3 ⋅−∫ .Având în vedere relaţia (6), atunci :
I10 = ( ) dxx1xx 41
431
0
−⋅⋅∫ = ( ) dxx1xx 41
431
0
−⋅⋅∫ = ( ) =−⋅∫ −−1
0
1451
411
dxx1x
( )445
411
45,
411
Γ
Γ⋅
Γ
=
β= .
Ex.15. I15 = ∫∞
⋅+03 23 x)x1(
dx .Făcând schimbarea de variabilă 3
3
x1xt+
= , atunci noile
limite ale integralei sunt :
=⇒∞==⇒=
1tx0t0x .
Din substituţie rezultă : x = 31
t1t
−, iar dx = 2
32
)t1(dt
t1t
31
−⋅
−
−
= dt)t1(
t31
34
32
−
−
.
I15 = ( ) ( )∫ ∫∫∞
−−−−
β=−⋅=−⋅=
+0
1
0
1981
911
0
91
98
32
3 98,
91
31dtt1t
31dtt1t
31
x)x1(
dx =
= ( )198
91
31
Γ
Γ⋅
Γ
.
Observaţie. Integrala I15 poate fi pusă sub forma generală dată de : I1(a, b, m, n, p) de la Aplicaţia 1.
I15 = ∫∞ −
+03
32
dxx1
x = I1(1, 1, -32 , 3, 1) unde
m = 32
− , n = 3, p = 1 şi care satisface condiţiile : a > 0, b > 0, p > n
1m + .
Atunci : n
1m + = 91
3
132
=+−
, p - n
1m + = 1 - 98
91=
iar
=
−=
91,
91
311,3,
32,1,1115 βII .