Capitolul 4 Functii numerice 4.1 Proprietăţi de bază ale funcţiilor numerice 4.1.1 Monotonia

4.1.1. Să se arate că funcţia ( ) ( ) ( )1

: 0; 0; ,f f x xx

∞ → ∞ = + este strict

descrescătoare pe ( )0;1 şi strict crescătoare pe ( )1;∞ .

4.1.2. Fie ( ]: ; 5f −∞ →� şi [ ): 5;g − ∞ →� două funcţii date prin:

( )

( ]

( )

[ ]

2 2, ; 0

1, 0; 2

, 2; 5

x x

f x x x

x x

+ ∈ −∞

= − − ∈

− ∈

şi ( )

[ )

[ ]

( )

0, 5; 3

1, 3; 2

1, 2;

x

g x x x

x

∈ − −

= − − ∈ −

∈ ∞

Să se construiască graficul funcţiilor ( ) ( ) ( )1h x f x g x= + şi ( )( )( )2

f xh x

g x= .

(Adrian Ghioca, 17782, G.M. 6/1979)

4.1.3. Fie funcţia ( )( )

( )

2 2, 0: ,

4 3, 0

m x xf f x

m x x

− + <→ =

− + + ≥� �

a) Să se determine numărul întreg m pentru care f este crescătoare pe � ; b) Pentru m astfel determinat, să se reprezinte grafic funcţia f .

(Olimpiadă locală, Prahova, 1985)

4.1.4. Se dă funcţia ( )( )

( )

2 3, 4: ,

12 4 5 11, 4m m

m x xf f x

m x m x

− + <→ =

− + + − ≥� �

a) Să se determine m∈� astfel încît funcţia mf să fie descrescătoare; b) Găsiţi coordonatele punctelor de intersecţie dintre graficele funcţiilor

( ): , 3 15g g x x→ = −� � şi 7f . (Dragoş Sion, E:8879*, G.M. 6/1986)

4.1.5. Se consideră funcţia ( )

( )

[ ]

( )

13, 4;

: , 1, 1;4

2 1, ;1

x x

f f x ax x

x x

+ ∈ ∞

→ = + ∈

+ ∈ −∞

� � . Să se

determine mulţimea valorilor lui a ∈� astfel încît funcţia f să fie strict crescătoare pe � . (Mihai Coconea, lucrare scrisă, 1977)

4.1.6. Se consideră funcţia ( ), 1

: ,, 1

ax xf f x

bx x

<→ =

≥� � , a şi b fiind numere

reale. Să se studieze monotonia funcţiei f , după valorile lui a şi b .

4.1.7. Să se arate că funcţia ( ) ( )3 2 2 2: , 3 3f f x ax abx a b c x d→ = + + + +� � , unde

, , , , 0a b c d a∈ ≠� este monotonă.

(Augustin Coţa, 17994, G.M. 11/1979) 4.1.8. Se consideră funcţiile [ ] [ ], : ; ;f g a b a b→ cu proprietatea

( ) ( ) ( ) [ ], ;g x f x x a b< ∀ ∈ . Ştiind că funcţia f este strict crescătoare, iar funcţia

g este strict descrescătoare, să se arate că ( )( ) ( )( ) ( ) [ ], ;f g x g f x x a b> ∀ ∈� � .

(Al. Platz, 9149, G.M.B. 9/1968) 4.1.9. Fie a ∈� şi :f →� � o funcţie crescătoare pe � , cu proprietatea că

( ) ( ) ( ),f f x a x= ∀ ∈� � . Să se arate că:

a) ( )f a a= ;

b) ( ) ( ),f x x x a> ∀ < şi ( ) ( ),f x x x a< ∀ > ;

c) Funcţia f este mărginită; d) Pentru orice ,α β ∈� cu aα β< < , există o funcţie f cu proprietăţile din

enunţ, astfel încît restricţia [ ] ( ) { }: \ ; ; \f aα β α β→� să fie bijectivă.

(Florin Vulpescu-Jalea, 20591, G.M. 11/1985) 4.1.10. Dacă :f →� � este o funcţie strict monotonă, să se determine funcţia

:g →� � astfel încît ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1985 1985 ,f g x f x f g x x+ ≥ ≥ + ∀ ∈� � .

(D.M. Bătineţu-Giurgiu, 20623*, G.M. 12/1985) 4.1.11. Fie :f →� � o funcţie crescătoare astfel încît ( )( ) ( )3 ,f f x x x= ∀ ∈� � .

a) Să se arate că ( ) ( ) ( )3 3 ,f x f x x= ∀ ∈� ;

b) Să se calculeze ( ) ( )1 , 0f f− şi ( )1f .

(D.M. Bătineţu-Giurgiu, Olimpiadă locală, Bucureşti, 1994) 4.1.12. Fie ( ): 0;f → ∞� o funcţie cu proprietatea ( ) ( ) ( )21 1f n f n f n+ ⋅ − ≥ ,

( )n∀ ∈� . Să se demonstreze că pentru orice k ∈� dat, funcţia

[ ]: 0;g k ∩ →� � definită prin ( ) ( ) ( )g x f k x f k x= − ⋅ + este crescătoare.

(Alin Pop, 20648*, G.M. 1/1986) 4.1.13. Funcţiile , :f g →� � satisfac următoarele relaţii:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 1 2 3 ,f x xf x f x x f x x− + = − − − ∀ ∈� , respectiv:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 4 3 3 3 ,g x xg x g x x g x x− + = − − − ∀ ∈� .

a) Arătaţi că ( )3 3f = ;

b) Există a ∈� astfel încît ( )g a a= ? În caz afirmativ, determinaţi valoarea lui

a . (Petre Simion, E:8477, G.M. 1/1985) 4.1.2 Simetrii 4.1.14. Fie : ,f M M→ ⊂� � , o funcţie bijectivă astfel încît:

( ) ( ) ( )1 ,f x f x x x M−+ = ∀ ∈ . Să se arate că:

a) mulţimea M este simetrică;

b) funcţia f este impară. (Ion Nedelcu) 4.1.15. Fie numerele , , , 0a b c a∈ ≠� şi funcţia :f →� � , definită prin

( ) ( )2sgnf x ax bx c= + + . Atunci f este pară dacă şi numai dacă ecuaţia 2 0ax bx c+ + = are rădăcini complexe sau rădăcini reale, egale în modul şi de

semne contrare. (Gh. Sireţchi, 17930, G.M. 9/1979) 4.1.16. Fie :mf →� � o familie de funcţii care satisfac relaţia:

( ) ( ) 2 1m mf m x f m x m− + + = − , oricare ar fi x ∈� .

a) Să se arate că graficul oricărei funcţii din familia considerată admite un centru de simetrie M , ale cărui coordonate se cer;

b) Să se afle locul geometric al acestor centre de simetrie, cînd m parcurge mulţimea numerelor reale.

(Ştefan Alexe, Olimpiadă locală, 1978) 4.1.17. Să se determine funcţiile pare :f →� � aşa încît

( )( ) ( )

( ) ( )( ), ,

1

f x f yf x y x y

f x f y

++ = ∀ ∈

+� . (Olimpiadă, Mongolia, 1985)

4.1.18. Fie funcţia ( )1936,

: , 1977, \

41, \

x

f f x x

x

∈

→ = ∈ ∈

�

� � � �

� �

Să se demonstreze că

orice număr întreg este o perioadă a funcţiei date. (D.M. Bătineţu, 16888, G.M. 10/1977) 4.1.3 Periodicitatea 4.1.19. Să se arate că funcţia lui Dirichlet:

( )1, daca

: ,0, daca \

xf f x

x

∈→ =

∈

�� �

� � este periodică. Indicaţi toate

perioadele funcţiei f .

4.1.20. Fie { }: \ 1f →� � o funcţie astfel încît ( )( )

( )1

1 ,1

f x xf x

+ = ∀ ∈−

� .

a) Să se arate că f este periodică; b) Să se construiască o astfel de funcţie.

(Florin Pîrvănescu, 19382*, G.M. 9-10/1982) 4.1.21. Fie funcţia { }: \ 1,0,1f → −� � şi a ∈� o constantă. Să se arate că dacă

f satisface relaţia ( )( )( )

( )1

,1

f xf x a x

f x

++ = ∀ ∈

−� , atunci este periodică.

4.1.22. Fie { }1 2, : \ 0,1ϕ ϕ →� � două funcţii cu proprietatea că există 0a > astfel

încît ( )( )( )

2

1

1

xx a

x

ϕϕ

ϕ+ = şi ( )

( )( )

( )2

2

1

1,

1

xx a x

x

ϕϕ

ϕ

−+ = ∀ ∈

−� . Să se arate că funcţiile

1ϕ şi 2ϕ sunt periodice. (Florin Pîrvănescu, C:65, G.M. 11/1980)

4.1.23. Se dă a∗∈� şi [ ]: 0;1f →� astfel încît

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 3 5 1,f x f x a f x a f x a x+ + + + + + = ∀ ∈�

Să se demonstreze că f este periodică. (Mircea Mureşan, 20234, G.M. 10/1984) 4.1.24. Fie :f →� � o funcţie care verifică relaţia

( ) ( ) ( ) ( )21

2f x a f x f x x+ = + − ∀ ∈� , unde 0a > este un număr dat.

a) Să se demonstreze că funcţia este periodică; b) Pentru 1a = , să se construiască o astfel de funcţie, care să nu fieconstantă.

(O.I.M, 1968; 9126, G.M.B. 9/1968) 4.1.25. Se consideră funcţia [ ]: 5;10f →� cu proprietatea

( ) ( ) ( ) ( )22 5 10 ,f x f x f x x+ = + − ∀ ∈�

Să se arate că funcţia f este periodică. (Alfred Eckstein, 24237, G.M. 1/2000, enunţ adaptat) 4.1.26. Fie :f →� � o funcţie monotonă. Să se arate că dacă f este şi periodică, atunci este constantă. (Olimpiadă naţională) 4.1.27. Să se arate că oricare ar fi numărul real 0a > există o infinitate de funcţii

:f →� � surjective, periodice de perioadă a şi neconstante. (Ion Pîrşe, 19386, G.M. 9-10/1982) 4.1.28. Să se construiască o funcţie periodică şi surjectivă :f →� � , care nu este constantă pe nici un interval din � şi are perioada principală 1. (Martin Bottesch, 18852*, G.M. 8/1981) 4.1.29. Să se dea exemplu de 2n ≥ funcţii 1 2, , , :nf f f →… � � , periodice de

perioadă principală 0T > , pentru care suma lor 1 2 nf f f+ + +… are perioada

principală T

n. (Liviu Pîrşan, 20908*, G.M. 10/1986)

4.2 Funcţia de gradul întîi. Ecuaţii şi inecuaţii liniare 4.2.1 Ecuaţii de gradul întîi. Ecuaţii reductibile la gradul întîi. 4.2.1. Să se rezolve şi să se discute următoarele ecuaţii de gradul întîi, în funcţie de parametrul real m : a) 23 9x mx m− = − b) ( )2 3 2 1m m x m− + = −

c) ( ) ( )2 1 4 2 1m mx x− = −

d) ( )2 1 1 0m x m− + − =

e) 24 6 4 9m x m x+ = + f) 2 0mx m m− + = g) 2 2 2 0m x m x− + − = h) ( )2 24 2 0m x m m− + − =

4.2.2. Se dă ecuaţia ( ) ( )2 1 2 2 1 4 ,m x m x x m− = − − ∈� .

a) Să se rezolve şi să se discute ecuaţia după valorile lui m ; b) În ce caz ecuaţia are soluţii întregi ? Să se determine aceste soluţii.

(Petre Năchilă, Olimpiadă locală, Prahova, 1985) 4.2.3. Să se rezolve şi să se discute ecuaţiile următoare, în funcţie de parametrii reali care apar:

a) 1, ,a x b x

a bb a

∗− −− = ∈�

b) ( )1 1 0a x b+ + − =

c) 1

2

ax a b

a

−= +

+

d) ( ) 22 2m mx a x a+ − =

e) x x a

a a b a b+ =

− +

f) ( ) ( ) ( ) , ,a x b b a x a a b x a b− = − − + ∈�

4.2.4. Să se rezolve următoarele ecuaţii reductibile la ecuaţii de gradul întîi:

a) 1

11

x x

x x

−=

−

b) 2

5 5 25

5 5 25

x x

x x x

+ −− =

− + −

c) 1 1 2

2 3 1x x x+ =

− − −

d) ( ) ( )

1 1 1

2 3 2 3x x x x+ =

+ + + +

e) 7 6

3,5 70

64

x

x x

−=

− −

f)

31

112

1 21

1

x

xx

x

−−

=

−

−

g)

21

1 20

21 21

x x

x

x

+−

+ =+ −

h) 1 2 3

0,2 3 4 1

x x x x nn n

n

∗− − − −+ + + + + = ∈

+… �

(Adriana Popescu, E:7547, G.M. 2-3/1982) 4.2.5. Să se rezolve următoarele ecuaţii reductibile la ecuaţii de gradul întîi. Discuţie după parametri reali implicaţi, acolo unde este cazul.

a) ( )

21

11

xx

ax

+= −

+

b) 2

1 3 2

2 1 4 1

m x

x x

+ +=

+ −

c) 2

42

mx

x

−=

−

(Lucia Ţene, Olimpiadă naţională, 1967; 8512, G.M.B. 10/1967)

d) 2 2

2 2

1 3, 0

1 1

ax a xa

ax a x

+ += >

− −

e) 2

3 6 2

1 1 1

mx x

m m m

++ =

− − −

4.2.6. Aceeaşi problemă pentru:

a) 1 1 2

x a x b x+ =

− −

b) , ,a b a b

a bx a x b x a b

∗++ = ∈

− − − −�

(Liviu Pîrşan, E:3269, G.M.B. 7/1969)

c) , ,a b a b

a bx a x b x a b

∗−− = ∈

− − + −�

d) 1 1 1 1

a x b x x a b x+ + =

+ − + +

(C. Ionescu-Ţiu, E:3378, G.M.B. 12/1969)

e) 2 2 2 2

3x a ax x a ax

a b a b a b a b

− −− = −

− − + −

f) 1 m

x n x=

−

g) 3

1

xb

ax

−=

−

4.2.7. Să se rezolve în � ecuaţia:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

0b c x a c a x b a b x c

x a x b x c

− + − + − ++ + =

− − −, unde , ,a b c ∗∈� .

(Olimpiadă naţională, 1966) 4.2.8. Se dau numerele reale strict pozitive 1 2, , , , 2na a a n ≥… şi

1,max ii n

m a=

> . Să se

rezolve ecuaţia:

1 2

1 2

n

n

x ax a x a nx

m a m a m a m

−− −+ + + =

− − −…

(Dan Voiculescu, 7234, G.M.B. 11/1965) 4.2.9. Să se afle numărul real x care trebuie adunat la numărătorul şi la numitorul

fracţiilor 2

ma

m=

+, respectiv

2

3

mb = , pentru a obţine fracţii egale, unde

{ }\ 2m ∈ −� . Discuţie. (Emil Morţun, 4874, G.M.F.B, 1961)

4.2.10. Rezolvaţi următoarele ecuaţii, reductibile la gradul întîi:

a) ( )( ) ( )2

5 7 5 0x x x− − + − =

b) ( ) ( ) 23 1 5 4 25 16x x x− − = −

c) ( ) ( )2 1 4 1x x x+ = +

d) ( ) ( )2 2

3 2 1x x+ = +

e) ( ) ( )2 1 2 1 1 1x a x a x a− + − = + − −

f) ( )2 22 3 12 27x x+ = −

4.2.11. Fie ,a b ∈� . Să se rezolve ecuaţia:

( ) ( ) ( )3 3 3

2 3 2 3 3 2x a b x a b x a b+ − + − + = − −

(5231, G.M.F.B. 4/1962)

4.2.12. Dacă 2 2, , , ,a b c d a c∈ ≠� , să se arate că ecuaţia ( ) ( )2 2

ax b cx d+ = + are

rădăcini raţionale. (Liviu Pîrşan, E:6254, G.M. 6/1978) 4.2.13. Să se determine parametrul real a astfel încît ecuaţia:

2 2

1 2 1 3 10

1 1 4 3

a a a

x x x x

− + −+ − =

− − + + să fie echivalentă cu o ecuaţie de gradul întîi

şi să se rezolve în acest caz. Aceeaşi cerinţă pentru ecuaţia:

2 5 3

01 4 2

a a a

x x x

− − −+ − =

+ − +

4.2.14. Să se rezolve ecuaţia:

( )( ) ( )( ) ( )1 2 1 2 11

1 1 2 1 2 3 1 2

1 1 1 1 11 11 0

n

n

x x x x xx

x x x x x x x x x

−+ + + + +++ + + + + =

……

…

cu necunoscutele 1 2, , , , 2nx x x n ≥… . (Corneliu Popescu, propusă pentru O.I.M. 1968, 9291, G.M.B. 12/1968) 4.2.2 Funcţia de gradul întîi 4.2.2.1. Proprietăţi. Reprezentare grafică

4.2.15. Să se reprezinte grafic funcţiile: a) ( ) { }: , min 3 1; 3f f x x x→ = − +� �

b) ( ) ( ) ( ): , sgn 1 sgn 2f f x x x x→ = − + −� � , unde

( )1, 0

sgn : , sgn 0, 0

1, 0

x

x x

x

− <

→ = = >

� � este funcţia semn.

c) ( )

( )

[ ]

( )

, ; 1

: , 1, 1;1

2, 1;

x x

f f x x

x x

− ∈ −∞ −

→ = ∈ −

− + ∈ ∞

� �

4.2.16. Fie funcţiile , :f g →� � astfel încît:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,f x x y g x f y x y= − + ∀ ∈�

Să se arate că funcţia g este constantă, iar f este o funcţie de gradul întîi. (Florin Cîrjan, 19089*, G.M. 2-3/1982) 4.2.17. Fie funcţia :f →� � dată prin „ ( )f x este distanţa de la x la cel mai

îndepărtat întreg din intervalul [ ]0;2 ”. Exprimaţi legea funcţiei f în mod analitic,

reprezentaţi grafic funcţia f şi determinaţi imaginea funcţiei.

4.2.18. Fie funcţia :f →� � definită prin ( )( )

2, 2

3 1, 2

ax xf x

a x x

+ ≤ −=

− − > −

a) Să se expliciteze legea funcţiei ( ) ( ): , 1g g x f x→ = −� � ;

b) Pentru ce valori ale parametrului real a este funcţia g strict descrescătoare? 4.2.19. Să se determine funcţia :f →� � , astfel încît pentru orice x ∈� să aibă loc egalitatea:

( ) ( )( )3 , 1

23, 1

x xf x f x

x x

− + ≤+ − =

+ >. Să se reprezinte grafic funcţia astfel

obţinută. 4.2.20. Fie funcţia :f + →� � , unde:

( )[ )

[ )

, 2 ; 2 1

1, 2 1; 2 2

x n x n nf x

n x n n

− ∈ +=

+ ∈ + +, oricare ar fi n ∈� .

a) Să se reprezinte grafic funcţia f ;

b) Să se rezolve ecuaţia ( ) ,f x a a= ∈� .

(P. Crăcană, 17322, G.M. 8/1978) 4.2.2.2 Semnul funcţiei de gradul întîi. Inecuaţii liniare 4.2.21. Să se rezolve inecuaţiile:

a) 2 1

3 2

x xx

− +− >

b) ( )( )1 1 3 0x x− − <

c) ( )( )( )( )4 1 2 1 2 3 0x x x x− − + − >

d) 32

x

x<

−

e) 3

11

x

x< −

−

f) 3 2

15 3

x

x

−>

−

4.2.22. Se consideră ecuaţia 2

2,3

xm

x m

−= ∈

−� . Să se determine valorile lui m

pentru care ecuaţia:

a) nu are soluţie; b) are o soluţie 2x > ; c) 4

3x > ; d) 1x > − ;

e) poate fi x m= soluţie a ecuaţiei ?

4.2.23. Pentru ce valori reale ale parametrului m , ecuaţia 2

1 03

x m

mx

++ =

−

admite cel puţin o rădăcină pozitivă subunitară ? (M. Haivas, Olimpiadă regională, 1958) 4.2.24. Determinaţi valorile numărului natural n , ştiind că { }2A B∩ = , unde:

2 1

3

xA x n

x

− = ∈ ≥

− � şi ( )( ){ }2 1 3 0B x x x= ∈ − − ≥� .

(Gh. Moraru, E:8478*, G.M. 1/1985)

4.2.25. Se dă inecuaţia 1 1

,22 8 1 1

nx n

∗≥ ∈− + +

�

a) Să se rezolve inecuaţia; b) Să se arate că pentru orice n

∗∈� mulţimea soluţiilor naturale ale inecuaţiei conţine un singur element.

(Dan Zaharia, 21606*, G.M. 11-12/1988)

Să se rezolve şi să se discute următoarele inecuaţii în funcţie de parametrii reali care apar:

4.2.26. a) 1

xa

x<

−

b) 2 3a x

a x

−− < <

+

c) 2 2

2 2

2x a x a

x a x a x a

+− >

− + −

4.2.27. a) 3 2ax b x+ > −

b) 2x a

x b

−<

−

c) , , 0,ax b ax b

a b a ba b a b

+ −> > ≠

− +

d) 2

12

x mx

m

−> −

− (Lucia Ţene, 9087, G.M.B. 8/1968)

4.2.28. a) ( )

{ }3 1 1

, \ 02 2

m x x xm

m m

− − −> − ∈�

b) ( )

{ }2

1 2 1, \ 1;1

1 1 1

m x x xm

m m m

+ − +> + ∈ −

− − +�

4.2.29. 11

x m

mx

−≥

− (Laurenţiu Panaitopol, Olimpiadă, 1972)

4.2.30. 3 3 1

04

ax x a

ax x a

+ − +≤

− +

(Maria Elena Panaitopol, 14400, G.M.B. 8/1974)

4.2.31. Să se rezolve următoarele sisteme de inecuaţii:

a)

1 1

3 2 3

1 1

2

xx

x x

x x

+ > −

+ − >

b)

34

1

21

x

x

x

x

> −

< +

c)

2 10

2

3 10

2 3

x

x

x

x

−<

−

− > −

d)

3 1 5

1 1 1

4 21

5

x x

x x x

x

x

+ −− ≥ + − −

− < −

−

4.2.32. Să se determine mulţimile:

a) ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }2, 1 0 şi 2 3 2 0A x y x x y y y x= ∈ − − ≤ − − ≤� . Să se reprezinte grafic

mulţimea A într-un sistem cartezian xOy ;

b) ( ) ( ) ( ) ( )( ){ }2, 1 0 şi 2 3 2 0B x y x x y y y x= ∈ − − ≤ − − ≤� .

(C. Ionescu-Ţiu, 18160, G.M. 3/1980) 4.2.33. a) Să se determine funcţia ( ) ( )2 2: , max ,f f x x ax b x bx a→ = + + + +� � ,

unde , ,a b a b∈ ≠� , ştiind că graficul funcţiei trece prin punctele ( )1,4A − şi

( )2,9B . (Marcel Chiriţă, G.M. 5/1981)

b) Să se determine funcţia ( ) ( )2 2: , max ,f f x x ax b x bx a→ = + + − −� � , unde

, , 0a b a b∈ + ≠� , ştiind că graficul funcţiei trece prin punctele ( )2,3A − şi ( )1,5B .

(Iulian Vântu, 20676, G.M. 2/1986)

4.3. Funcţia de gradul al doilea. Ecuaţii de gradul al doilea 4.3.1 Ecuaţii de gradul al doilea 4.3.1.1 Formula generală de rezolvare. Ecuaţii reductibile la gradul al doilea 4.3.1. Să se rezolve în � ecuaţiile:

a) ( ) ( )23 8 2 2 1x x x− = − +

b) ( ) 23 1 2 3 3 1 0x x+ + + − =

c) ( )2 2 4 0, ,x a b x ab a b− − − = ∈�

d) ( ) 23 2 12 0,m x mx m− − + = ∈�

e) ( ) ( )2 5 3 3,x x m x m+ − + = ∈�

f) ( )2 22 2 4 3 0,x a x a a a− − + − + = ∈�

g) ( )3 7 2 5 5 1 0x x− + + + = (24261, G.M. 2/2000)

4.3.2. Aceeaşi problemă pentru:

a) 1 1 7

1 2 12x x+ =

− −

b) 2 2

1 1 10

3 2 2x x x x x+ − =

− − + −

c) 2 2 2

3 5 6 5 3 20

1

x x x

x x x x x

+ + +− − =

− − −

d) 4 1 4 1 9

1 1 4

x x

x x

− +− =

− +

e) 6 12 5

12 6 6

x x

x x

− −− =

− −

f) 2 1 4

52 1

x x

x x

++ =

+

g) 1980 9

29 1980x x

+ =− −

(C. Mituţoiu, E:10176, G.M. 3/1991)

h) 2, , 0a b

a bx b x a

+ = ≠− −

(Adrian Florea, E:8452, G.M. 12/1984)

4.3.3. Să se rezolve în � ecuaţiile:

a) ( ) ( )

( ) ( )

3 3

2 2

3 47

3 4

x x

x x

− + +=

− + +

b) 6 2 7 3 5

14 2 9 3 8

x x x

x x x

+ + +⋅ ⋅ =

+ + + (E:1824, G.M.F.B. 4/1962)

c) 1 2 5 3 4

12 2 1 3 7

x x x

x x x

+ + +⋅ ⋅ =

+ + + (Liviu Pîrşan, E:6186, G.M. 4/1978)

d) 30

431

2

34

x

x

x

x

=

+

+

+

(Aurel Doboşan, 16034, G.M. 9/1976)

e) 2 2

3 2 4 2 3 2

4 2 16 21 2 3

2 2 5 4 4 4

x x x x x

x x x x x x x x

+ + + +− =

− − + − + + − −

(I. Simionescu, 8274, G.M.B. 6/1967) 4.3.4. Să se rezolve în � ecuaţiile:

a) 1 1 1

0,2

ax a x a x

+ + = ∈− −

�

b) 1 1

2 ,1 1

a x ax aa

a x ax a

− − −+ = ⋅ ∈

+ + +�

c) ( ) ( )

2 2

3 3

1 1,

1 1

x xa a

x x

+ −+ = ∈

+ −�

4.3.5. Fie { }\ 8,1a ∈ −� . Să se rezolve şi să se discute după parametrul real m

ecuaţia:

( ) ( )

2

2

2 2

6 1 2 1 11 23

m a a mm m

x m m x m x

− + − −− = + +

+ − −

(Ecaterina Bivolaru, 20315*, G.M. 1/1985) 4.3.6. Să se rezolve în � ecuaţiile: a) ( ) ( ) ( )2 21 sin 1 sin sin 1 sin 0,x xα α α α α+ − + + − = ∈�

b) 2 22 sin cos 0,2

x xα

α α− − = ∈�

4.3.7. Să se rezolve în � ecuaţiile: a) ( )( ) ( )1 2 3 24x x x x+ + + =

b) ( ) ( ) ( ) ( )6 2 1 5 1404x x x x− − + + =

(Paul Ţigănilă, 16883, G.M. 10/1977) c) ( )( )2 23 2 9 20 72x x x x+ + − + =

d) ( ) ( )4 4

2 6 194x x+ + + =

e) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 4 6 8 2 4 6 8 5x x x x x x x x+ + + + = + + + + + + + +

(V. Groza, 16772, G.M. 8/1977) 4.3.8. Să se rezolve ecuaţia ( ) ( )( ) ( )x a x b x c x a b c d+ − − − − − = , unde

, , ,a b c d ∈� . (Liviu Pîrşan, 5759, G.M.F.B. 4/1963) 4.3.9. Să se rezolve în � ecuaţiile:

a) 2

2

48 410

3 3

x x

x x

+ = −

b) ( )

( )22

2 2

4 48 4 ,

nx x nn n n n

n x n x

∗ + +

+ = + − ∈ �

(Lucian Buliga, E:7430, G.M. 11/1981)

c) 2

2

1 1x x

x x+ = +

d) 2

2

14 3 1

2 8 7x x

x x− + + =

− +. (Ion Ionel, 18421, G.M. 9/1980)

e) 2 3

2 2 1

2 3

x x x x − − +=

(Damian Marinescu, 22245, G.M. 1/1991) 4.3.10. Dacă m ∈� , să se arate că toate rădăcinile ecuaţiei:

( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3

2 1 3 4 1x x m x x m+ + + = + + + sunt raţionale.

(Liviu Pîrşan, E:8234*, G.M. 2/1984)

4.3.11. Arătaţi că ecuaţia ( ) ( )

( ) ( )

4 42 2

8 8

1 1 41

1281 1

x x x x

x x

+ + + − +=

+ + − are două rădăcini duble

raţionale. (Liviu Pîrşan, 20701*, G.M. 3/1986)

4.3.12. Să se rezolve şi să se discute ecuaţia ( )2 2

1 ,1 1

x xm m m

x x

+ = − ∈

+ − � .

4.3.13. Să se rezolve în � ecuaţia 2

2 31

xx

x

+ =

− . (C:869, G.M. 3/1989)

4.3.14. Să se arate că ecuaţia ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 1 1 1

x p x h a p a h+ = +

+ + + +, unde

, , ,a p h p h∈ ≠� , are cel puţin două rădăcini întregi. (Liviu Pîrşan, 19049*, G.M. 1/1982)

4.3.15. Considerăm mulţimile { }4 32 2 1 0A x x x x= ∈ − + + + =� şi

{ }4 3 22 3 1 0B x x x x x= ∈ − + + + + =� . Să se arate că A B= .

(Marius Crăciun, 21995, G.M. 1/1990) 4.3.16. Să se rezolve în 2� ecuaţiile:

a) ( ) ( )( )2

,x y x a y a a+ = + − ∈�

(Costache Ciotloş, 18654*, G.M. 3/1981) b) 4 4 2 4x y xy+ + = (Florin Cîrjan, 19813, G.M. 8/1983)

c) 8 8 8 6x y xy+ = − (Vasile Zidaru, 19449, G.M. 11/1982)

d) 32 32 32 30, ,x y xy x y+ = − ∈� . (Liviu Pîrşan, O.G.6, G.M. 8/1985)

e) 2 2

1978,53956 3958

x yx y+ = + −

(N. Ivăşchescu, E:6518*, G.M. 4/1979)

4.3.17. Să se determine valorile reale ale lui m pentru care ecuaţia:

( )2

2 3

15 1 22 8 17 4 80

1 1 1

m x m mx x

x x x x

+ − − −− + =

+ + − −

este de gradul întîi, unde { }\ 1x ∈� . Să se rezolve ecuaţia în acest caz.

(Olimpiadă locală, Sibiu, 1978)

4.3.18. Fie ecuaţia 1 2

13 4

x x x m

x x x n

− + +⋅ ⋅ =

+ − +. Pentru ce ,m n ∈� ecuaţia are soluţie

unică număr întreg ? Rezolvaţi ecuaţia în aceste cazuri. (Liviu Pîrşan, O.G.16, G.M. 1/1986)

4.3.19. Se consideră { }\ 1,2α ∈� şi funcţia ( )( )

1: \ ,

2 2 1

xf f x

x

α

α α

+ → =

− − − � �

a) Este funcţia f bijectivă ?

b) Găsiţi punctele fixe ale funcţiei f (punctele { }\ 1,2x ∈� astfel încît

( )f x x= ). (Georgeta Grigorie, 20619, G.M. 12/1985)

4.3.20. Să se rezolve ecuaţia ( ) ( )1 1

1 1 0m n

i j

ix jx= =

+ + =∑∑

(Ionel Atanasiu, 18970, G.M. 11/1981) 4.3.1.2 Ecuaţii cu soluţii reale

4.3.21. Se consideră ecuaţiile de forma 2 0x bx c+ + = , cu { }, 1,2,3, 4,5,6b c ∈ . Cîte

dintre aceste ecuaţii au rădăcinile reale ? (8000, G.M.B. 2/1967) 4.3.22. Să se determine ecuaţiile de gradul al doilea cu coeficienţi reali care au proprietatea că mulţimea coeficienţilor este egală cu mulţimea soluţiilor. (Adrian P. Ghioca, 20065*, G.M. 4-5/1984) 4.3.23. Cîte ecuaţii cu rădăcini reale de forma 2 2 0x px q+ + = se pot forma, ştiind

că { }1,0,1,2p ∈ − şi { }2, 1,0,3q ∈ − − ? Cîte dintre acestea au rădăcinile întregi ?

(E. Georgescu-Buzău, 9002, G.M.B. 7/1968, enunţ adăugit)

4.3.24. Se dau numerele , ,a b c ∈� şi mulţimile { }2 0A x x bx c= ∈ + + =� ,

{ }2 0B x x cx a= ∈ + + =� şi { }2 0C x x ax b= ∈ + + =� . Să se arate că dacă

A B C∪ ∪ = ∅ , atunci a b c= = . (Titu Andreescu, 1984) 4.3.25. a) Se consideră trinomul 2

P ax bx c= + + , unde , ,a b c ∗∈� şi a c≠ − . Să se

arate că dacă 0c

a> şi

1 1 1

a c b+ = , atunci P nu are rădăcini reale.

(Dan Seclăman, 17285*, G.M. 7/1978)

b) Generalizare: dacă 1 1 k

a c b+ = (restul condiţiilor fiind ca la punctul a), să se

determine valorile reale ale lui k pentru care ecuaţia ( ) 0P x = nu are rădăcini

reale. (Walter Janous, 17694, G.M. 4/1979) 4.3.26. Să se demonstreze că oricare ar fi parametrii reali şi nenuli a şi b ,

ecuaţia { }( )

2

2min , 1 0

4 4 min ,

aba bx a b x

a b

− + + + =

nu admite rădăcini reale

diferite. (17566, G.M. 1/1979) 4.3.27. Dacă , ,a b c sunt lungimile laturilor unui triunghi oarecare, să se arate că

ecuaţia ( )2 2 2 2 2 2 0b x b c a x c+ + − + = nu are rădăcini reale.

(Olimpiadă judeţeană, 1981) 4.3.28. Dacă laturile , ,a b c ale unui triunghi verifică inegalitatea a b c≥ ≥ , atunci

ecuaţia ( )2 2 2 0x a b c x b c− + + + + = are rădăcinile reale şi distincte.

(D.M. Bătineţu, 18856, G.M. 8/1981) 4.3.29. Să se arate că oricare ar fi , , ,a b c a b∈ ≠� , ecuaţia

( ) ( )2 2 0a b x b c x c a− + − + − = are rădăcini reale. Ce se întîmplă atunci

cînd a b= ? 4.3.30. Dacă rădăcinile ecuaţiei 2 0x px q+ + = sunt reale, să se arate că şi

ecuaţia 2

2 1 10x a px q a

a a

+ + + − =

are rădăcini reale, unde , , , 0a p q a∈ ≠� .

(Fizică, sesiune specială, 1981) 4.3.31. Să se demonstreze că oricare ar fi [ ), 4;a b ∈ ∞ , cel puţin una din ecuaţiile

2 0x ax b+ + = şi 2 0x bx a+ + = are rădăcinile reale. (Titu Andreescu, Olimpiadă locală, Timiş, 1984) 4.3.32. Să se arate că dacă 1 2 1 2, , ,p p q q ∈� şi trinoamele ( ) 2 2

1 1 1t x x p x q= + + şi

( ) 2 2

2 2 2t x x p x q= + + au rădăcini de aceeaşi natură, atunci trinomul

( ) ( ) ( )22

1 2 1 2 1 2 2 14t x x p p q q x p q p q= + + + + are rădăcini reale.

(Titu Andreescu, 17740, G.M. 5/1979) 4.3.33. a) Fie numerele 1 2 1 2, , ,p p q q ∈� astfel încît ( )1 2 1 22p p q q= + . Arătaţi că

dintre ecuaţiile 2

1 1 0x p x q+ + = şi 2

2 2 0x p x q+ + = , cel puţin una are rădăcinile reale. (Olimpiadă judeţeană, Bucureşti, 1982)

4.3.34. Fie numerele reale , ,a b c . Cînd are ecuaţia ( ) ( ) ( )2 2 2

0x a x b x c− + − + − =

rădăcini reale ?

Deduceţi inegalităţile ( ) ( )2 2 2 23a b c a b c+ + ≤ + + şi 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + + .

Generalizare, pentru cazul a 2n ≥ numere reale 1 2, , na a a… .

4.3.35. Se dă ecuaţia 3 0a x b x c x

b c x c a x a b x

− − −+ + + =

+ + + + + +, unde , ,a b c sunt trei

numere reale, distincte două cîte două. Să se arate că: a) Dacă 0a b c+ + = , atunci ecuaţia este nedeterminată; b) Dacă 0a b c+ + ≠ , atunci ecuaţia are rădăcini reale şi distincte.

(G.G. Niculescu, 18537, G.M. 12/1980) 4.3.36. Fie , , , , ,a b c α β γ şase numere reale, ultimele trei fiind legate prin relaţia

2 2 2 1α β γ+ + = . Să se arate că ecuaţia:

( ) ( ) ( )2 2 2 1 0ab bc ca x a b c x αβ βγ γα+ + − + + − + + − =

are rădăcinile reale. (I. Linteş, 7110, G.M.B. 8/1965)

4.3.37. Fie ecuaţia 2 2

1a b

x a x b+ =

− −

a) Să se arate că ecuaţia admite rădăcini reale pentru orice ,a b ∈� ; b) Pentru 1a = şi 0b = , să se rezolve ecuaţia.

4.3.38. Fie a ∈� . Să se arate că ecuaţia ( ) ( )3 2 2 26 6 0x a x a a x a− + + − + = are

rădăcini reale. Să se determine mulţimea { }, 1,3iA a x i= ∈ ∈ =� � , unde , 1,3ix i =

sunt rădăcinile ecuaţiei. (I. Vărzaru, 16884, G.M. 10/1977) 4.3.39. Să se demonstreze că ecuaţia 2 25 50 26 8 46 15 0x y xy x y+ − + − + = nu are soluţii în numere reale. (E:8547, G.M. 4/1985) 4.3.40. Fie funcţia :f →� � astfel încît ( ) ( ) ( )2 ,f f x ax bx c x= + + ∀ ∈� � , unde

, , , 0a b c a∈ ≠� . Arătaţi că:

a) Dacă ( )2

1 4b ac− < , atunci funcţia f nu admite puncte fixe;

b) Dacă ( )2

1 4b ac− = , atunci f admite un singur punct fix.

(Mihaela Banyai, 20454, G.M. 6/1985) 4.3.1.3 Rădăcini comune. Ecuaţii echivalente. 4.3.41. Să se determine m ∈� astfel încît ecuaţiile ( )22 3 2 12 0x m x− + + = şi

( )24 9 2 36 0x m x− − + = să admită o rădăcină comună.

4.3.42. Dacă ecuaţiile 2 0x mx n− + = şi ( )2 0x m n x mn− + + = au o rădăcină

comună, atunci 1m n= + , iar rădăcina comună este n . (Ştefan Ţifui, 20730, G.M. 4/1986)

4.3.43. Să se determine ,a b ∗∈� ştiind că ecuaţiile 2 22 16 0x ax a+ + − = şi 2 22 2 5 0x bx b+ + − = admit o rădăcină naturală comună.

(O. Purcaru, Olimpiadă locală, Prahova, 1986) 4.3.44. Să se arate că dacă ecuaţiile:

( )2 20 si 0 , , ,x ax b x cx d a b c d+ + = + + = ∈�

admit o rădăcină iraţională comună, atunci si a c b d= = .

4.3.45. Să se demonstreze că dacă ecuaţiile: 2 0x mx n+ + = şi 2 0x px q+ + = au o rădăcină comună, atunci între

coeficienţii lor există relaţia ( ) ( )( )2

0n q m p np mq− − − − = .

(Olimpiadă, Polonia, 1950) 4.3.46. Fie , ,a b c trei numere reale nenule, distincte două cîte două şi d ∈�

arbitrar. Să se arate că ecuaţiile ( ) ( )2 0 1ax b d x c+ + + = , ( ) ( )2 0 2bx c d x a+ + + =

şi ( ) ( )2 0 3cx a d x b+ + + = au o rădăcină comună dacă şi numai dacă

0a b c d+ + + = . (V. Matrosenco, M. Andronache, Olimpiadă locală, Bucureşti, 1988)

4.3.47. Să se determine numerele întregi ,p q astfel încît ecuaţiile

( ) ( )21 2 1 2 0p x p x+ + + − = şi ( )22 4 2 0x q x q+ + + = să fie echivalente.

4.3.48. a) Să se determine parametrii reali m şi n astfel încît trinoamele ( ) ( ) ( )23 47 4 62 35P x m x m x= − − − − şi ( ) ( ) ( )21 13 35 70Q x n x n x= − − − − să aibă

aceleaşi rădăcini.

b) Cîte puncte are reţeaua A B× , unde ( )

2, 1,100

70

P xA y y x

x x

= = =

− − şi

( ){ }, \ 1

2 2

Q xB t t x

x

= ∈ = ∈

− � � ? (T. Ică, 17559*, G.M. 1/1979)

4.3.49. Determinaţi m ∈� astfel încît mulţimea

{ } { }2 24 0 2 2 0A x x mx x x x m= ∈ + − = ∪ ∈ + − =� � să aibă exact două

elemente. (Concurs treapta a II-a, 1988)

4.3.50. Să se determine mulţimile { }2 12 0A x ax bx a= ∈ + − =� şi

{ }2 0B x ax cx b= ∈ − + =� unde ( ), , 0;a b c ∈ ∞ , ştiind că mulţimea A B∪ are

două elemente, iar A B∩ are un singur element. (Ion Ianole, 20342, G.M. 2/1985) 4.3.51. Se dau ecuaţiile:

( )

( )

( )

2

1

2

2

2

3

0

0

0

f x ax bx c

f x bx cx a

f x cx ax b

= + + =

= + + =

= + + =

, unde , ,a b c ∗∈�

a) Să se arate că cele trei ecuaţii au o rădăcină reală comună dacă şi numai dacă 0a b c+ + = ;

b) În cazul în care ecuaţiile au o rădăcină comună(nu neapărat reală) şi 0a b c+ + ≠ , să se arate că 0ab bc ca+ + > .

(Nicolae Popescu, C:633, G.M. 10/1986) c) În cazul 0a b c+ + = , să se determine mulţimea A B C∩ ∩ , unde:

( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0

0

0

A x af x bf x cf x

B x bf x cf x af x

C x cf x af x bf x

= ∈ + + =

= ∈ + + =

= ∈ + + =

�

�

�

(I. Ursu, 18081*, G.M. 1/1980) d) Notînd cu 0x rădăcina reală comună şi cu 1 2 3, ,x x x celelalte trei rădăcini, să

se arate că:

1 2 3 1 2 33a c b

x x x x x xc b a

+ + + = − + +

(Dorinel Anca, 17907, G.M. 9/1979; A.S.E, 1996) 4.3.52. Se dau ecuaţiile 2 2 22 0, 2 0, 2 0ax bx c bx cx a cx ax b+ + = + + = + + = , unde

, , 0a b c > . a) Să se arate că cel puţin una dintre ecuaţii are rădăcini reale; b) Dacă ecuaţiile au o rădăcină comună, atunci a b c= = .

(Maria Elena Panaitopol, Olimpiadă locală, Bucureşti, 1982) 4.3.53. Să se determine a şi b numere reale astfel încît să avem:

{ } { }2 22 0 \ 2 0x x ax b x x bx a∈ + + = ∈ + + = = ∅� � .

(C. Năstăsescu, 17822*, G.M. 7/1979)

4.3.2 Relaţiile lui Viète şi aplicaţii. 4.3.2.1 Expresii simetrice 4.3.54. Dacă 1 2,x x sunt rădăcinile ecuaţiei 2 0, ,x px q p q− + = ∈� , să se exprime în funcţie de p şi q :

a) 2 2 3 3 4 4

1 2 1 2 1 2; ;x x x x x x+ + +

b) 2 2

1 2 1 2;x x x x− −

c) 2 2 3 3

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 1; ; , 0q

x x x x x x+ + + ≠

c) în ipoteza 1 20, 0x x≥ ≥ , evaluaţi 1 2x x+ şi 4 41 2x x+

4.3.55. Se dă ecuaţia ( )2 4 41 0x a x a− + + = , unde a este un parametru real.

a) Să se arate că ecuaţia are rădăcini reale şi pozitive, oricare ar fi valoarea lui a ;

b) Să se determine a astfel încît între rădăcinile 1 2,x x să existe relaţiile:

i) 1 2 2x x a+ = ii) 4 41 2 4x x a+ = .

(Alex Păunescu, 7080, G.M.B. 8/1965) 4.3.56. Fie ecuaţia ( )22 1 1 0x m x m− − + + = .

a) Să se determine valorile parametrului m astfel încît diferenţa rădăcinilor să fie 1;

b) Să se calculeze expresia 2 2

1 2

2 1

x xE

x x= + , unde 1 2,x x sunt rădăcinile ecuaţiei

date. (6674, G.M.B. 1/1965)

4.3.57. Fie 1 2,x x rădăcinile ecuaţiei 2 0x px q+ + = şi 1 2,x x′ ′ rădăcinile ecuaţiei 2 0x p x q′ ′+ + = . Să se arate că dacă ecuaţia ( ) ( ) ( )2 0x p p x q q′ ′+ + + + = ∗ are

ca rădăcini pe 1 1 1x x x′′ ′= + şi 2 2 2x x x′′ ′= + , atunci are loc relaţia:

( )2 24 0 1qq p q p q′ ′ ′− − =

Să se demonstreze şi reciproca. (Concursul G.M, 1922) 4.3.58. Se consideră ecuaţia 2 2 2 0x x+ + = cu rădăcinile 1x şi 2x . Să se arate că:

a) 4 4

1 2 4x x= = − ;

b) ( )2 2 6 6 10 10 4 2 4 2

1 2 1 2 1 2 1 2 0,n nx x x x x x x x n

+ ++ = + = + = + = ∀ ∈� ;

c) ( )3 3 5 5

1 2 1 22 8x x x x+ = + = .

(C. Ionescu-Ţiu, 9060, G.M.B. 8/1968) 4.3.59. Se consideră ecuaţia 2 3 3 0x x+ + = cu rădăcinile 1x şi 2x . Să se arate că:

a) 6 6

1 2 27x x= = − ;

b) ( )3 3 6 3 6 3

1 2 1 2 0,n nx x x x n

+ ++ = + = ∀ ∈� ;

c) ( )5 5 7 7

1 2 1 23 81x x x x+ = + = .

(C. Ionescu-Ţiu, 9064, G.M.B. 8/1968) 4.3.60. Fie 1x şi 2x rădăcinile ecuaţiei 2 2 0,x mx m m− + = ∈� . Să se arate că

10 10

1 2 1x x+ = − dacă şi numai dacă { }1,1m ∈ − .

(Georgel Paşol, 18579, G.M. 1/1981) 4.3.61. Fără a rezolva ecuaţia 22 3 5 0x x− + = , să se calculeze expesia:

2

2 2

1 1 2 2

2 2 1 1 1 2

1 1

1 1

x x x xE

x x x x x x

= + + + − −

+ +

4.3.62. Fie 1x şi 2x rădăcinile ecuaţiei 2 3 4 0x x− + = . Să se calculeze valoarea

expresiei 2 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

4 5 4 5

6 10 6 10

x x x xE

x x x x

− + − += +

− + − +, fără a rezolva ecuaţia dată.

4.3.63. Fie 1 2,x x rădăcinile ecuaţiei ( )2 0, , , , 0bx c a x b a b c ab+ − − = ∈ ≠� . Se

consideră expresia ( )2

2 1

ax bx cE x

x

+ +=

+. Să se calculeze ( ) ( )1 2E x E x+ .

(Gh. D. Simionescu, Olimpiadă naţională, 1958; enunţ modificat) 4.3.64. Fie ecuaţia 2 4 1 0x x− + = cu rădăcinile 1x şi 2x .

a) Să se calculeze numărul ( ) ( )1 2A f x f x= + , unde

( ) 4 3 2

5

4 2 7 1

xf x

x x x x

+=

− + + +

b) Să se arate că 1981 1A + se divide cu 3. (Mihaela Banyai, E:7619, G.M. 5/1982)

4.3.65. Fie 1x şi 2x rădăcinile ecuaţiei 2 2 0x x m− + = . Considerăm funcţia de

gradul al doilea ( ) 2 2: ,f f x x mx m→ = + +� � şi notăm ( ) ( )1 1 2 2,y f x y f x= = . Să

se calculeze în funcţie de m expresia:

1 2 1 2 1 2

3 3 2 2

1 2 1 2 1 2

2 4y y y y y y

Ex x x x x x

= + + + + +

.

4.3.66. Se consideră ecuaţia 2 2 2 0x x+ + = cu rădăcinile 1 2,x x . Fără a calcula rădăcinile, să se arate că: a) 4 4

1 2 4x x= = −

b) ( )4 2 4 2

1 2 0,n nx x n

+ ++ = ∀ ∈� ;

c) ( )3 3 5 5

1 2 1 22 8x x x x+ = + = . (C. Ionescu-Ţiu, Olimpiadă, 1968)

4.3.67. Dacă 1x şi 2x sunt rădăcinile ecuaţiei 2 0x x p− + = , să se determine valorile parametrului real p pentru care are loc egalitatea

( )2

3 3 2 2

1 2 1 2 4 2x x x x p+ + + = + (A.S.E, 1979)

4.3.68. Se dă ecuaţia ( )2 25 6 0x x a a− − − − = , unde a ∈� .

a) Să se rezolve ecuaţia; b) Să se calculeze în funcţie de a expresia 5 5

1 2E x x= + ; c) Să se determine valorile lui a pentru care 275E = .

(I.P.B, septembrie 1965) 4.3.69. Dacă 1 2,x x sunt rădăcinile ecuaţiei ( )2 2 2 2 22 0p a x pqx q b− − + − = , să se

calculeze expresia ( )( )2 2 2 2 2 2

1 2E a x b a x b= + + şi să se arate că este un pătrat

perfect. (Olimpiadă, 1953) 4.3.70. Se dă ecuaţia:

, 0,x

a a ax

ax

aa

λ λ+ = > ∈

+

+

� .

Să se determine λ astfel ca suma inverselor rădăcinilor, adunată cu inversul

sumei lor, să facă 1

a. (Olimpiadă naţională, 1955)

4.3.71. Fie ecuaţia 2 24 2 8 0x a x p− + + = , unde , 4p p∈ ≠ −� . Să se determine p astfel încît rădăcinile 1 2,x x ale ecuaţiei să verifice relaţia:

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

4 4x x x x p

x x x x x x

+ ++ =

+, iar a să fie un număr raţional, diferit de zero.

(Petre Stavre, 7078, G.M.B. 8/1965) 4.3.72. Să se demonstreze că dacă , , , , 0a b c d a∈ ≠� şi

2 2 22 2 2 0ad bd c a b ab ac+ + = + + − = , atunci 0a b c+ + = . (Alin Popa, 17146, G.M. 4/1978) 4.3.73. Să se arate că dacă ecuaţiile 2 0x ax b+ + = şi 2 0x a x b′ ′+ + = au rădăcinile 1 2,x x şi respectiv 1 2,x x′ ′ , atunci ecuaţia ( ) ( )2 2 4 0x a a x b b′ ′+ + + + = are

rădăcinile ( ) ( )1 1 1 2 2 22 , 2x x x x x x′′ ′ ′′ ′= + = + dacă şi numai dacă 2 2 4a b a b bb′ ′ ′+ = .

(Ion Nănuţi, Valeriu Drulă, 19454, G.M. 11/1982) 4.3.74. Se consideră ecuaţiile 2 0x px q+ + = cu rădăcinile 1 2,x x şi 2 0x p x q′ ′+ + =

cu rădăcinile 3 4,x x , unde , , ,p p q q ∗′ ′∈� .

a) Să se arate că dacă 1 4 2 3x x x x= , atunci 2

p q

p q

= ′ ′

;

b) Reciproc, dacă 2

p q

p q

= ′ ′

, există o notare convenabilă a rădăcinilor celor

două ecuaţii astfel încît 1 4 2 3x x x x= . (V. Băghină, 19369*, G.M. 9-10/1982)

4.3.2.2 Formarea ecuaţiilor de gradul al doilea cu rădăcini date 4.3.75. Să se formeze ecuaţiile de gradul al doilea avînd rădăcinile: a) 1 27, 7x x= = −

b) 1 2

1 2 1 2,

3 3x x

+ −= =

c) 1 23 2, 3 2x x= − = +

d) 1 2, , ,a b

x x a bb a

∗= = − ∈�

e) { }1 2

1 1, , \ 1,1

1 1

a ax x a

a a

− += = ∈ −

+ −�

f) 2 2

1 21, 1,x m m x m m m= − + = + + ∈�

4.3.76. Ecuaţia ( )2 3 1 2 0,x m x m m+ − − + = ∈� are rădăcinile 1 2,x x . Să se

formeze ecuaţiile de gradul al doilea în y care au ca rădăcini:

a) 1 2

1 2

1 1,y y

x x= =

b) 1 1 2 2

2 1

1 1,y x y x

x x= + = +

c) 1 21 2

2 1

,x x

y yx x

= =

d) 1 1 2 2 1 22 , 2y x x y x x= + = +

e) 1 2 2 11 2

2 1 2 1 1 2

,x x x x

y yx x x x x x

= + = ++ +

f) 3 3

1 1 2 2

2 1

1 1,y x y x

x x= + = +

4.3.77. Se dă ecuaţia ( ) ( )2 2 2 0 1mx m x− + + = , avînd rădăcinile 1 2,x x .

a) Să se construiască ecuaţia în y avînd rădăcinile 1 21 2

1 2 1 2

,x x

y yx x x x

= =+ +

.

b) Să se determine m astfel încît 1 22y y= .

c) Să se cerceteze în ce caz rădăcinile ecuaţiei ( )1 au aceeaşi proprietate.

(Concursul G.M, 1929) 4.3.78. Fie ecuaţia 2 0, ,x px q p q+ + = ∈� .

a) Să se determine p şi q , ştiind că ele sunt rădăcinile ecuaţiei date; b) Să se determine q în funcţie de p astfel încît o rădăcină a ecuaţiei să fie

dublul celeilalte; c) Pentru 2p = − , să se determine q , astfel ca o rădăcină a ecuaţiei să fie

pătratul celeilalte; d) Să se formeze ecuaţia care are ca rădăcini cuburile rădăcinilor ecuaţiei

date, fără a rezolva ecuaţia dată. (9348, G.M.B. 1/1969)

4.3.79. Fie 1 1,x y şi 2 2,x y respectiv rădăcinile ecuaţiilor 2 0ax bx c+ + = şi 2

1 1 1 0a x b x c+ + = . Să se formeze ecuaţia de gradul al doilea în y care are ca rădăcini pe 1 2 1 2x x y y+ şi 1 2 2 1x y x y+ . (Anton Soloi, 17912*, G.M. 9/1979)

4.3.80. Fie ecuaţiile 2 0ax bx c+ + = cu rădăcinile 1 2,x x şi 2 0a x b x c′ ′ ′+ + = , cu rădăcinile 1 2,x x′ ′ . Să se formeze ecuaţiile de gradul al doilea care au ca rădăcini pe: a) 1 1 1 2 2 2,y x x y x x′ ′= + = + b) 1 1 2 2 2 1,y x x y x x′ ′= + = + . (Tatiana Mîşakova, 8231, G.M.B. 5/1967) 4.3.81. Se dau ecuaţiile: 2 0x px q+ + = şi ( )2 2 33 0q y pq p y q− − + = , unde , , 0p q q∈ ≠� .

Să se exprime rădăcinile 1 2,y y ale ecuaţiei în y în funcţie de rădăcinile 1 2,x x ale ecuaţiei în x . (N. Peligrad, 7690, G.M.B. 8/1966) 4.3.82. Determinaţi numerele reale nenule , ,a b c ştiind că două cîte două sunt rădăcinile ecuaţiilor: 2 2 22 0, 2 0, 2 0ax bx a bx cx b cx ax c+ + = + + = + + = (M. Codiţă, Olimpiadă locală, Călăraşi, 1986) 4.3.83. Fie 1 2,x x rădăcinile ecuaţiei 2 1 0x x− + = . Să se determine ecuaţia de

gradul al doilea cu coeficienţi întregi, care are o rădăcină egală cu 1

2

1

1

xz

x

+=

−.

(Silviu Stössel, enunţ modificat)

4.3.2.3 Descompunerea trinomului de gradul al doilea. Simplificări

4.3.84. Să se arate că dacă 2a b− < , atunci polinomul ( )( ) 1P X a X b= + + +

este ireductibil în [ ]X� . (Ion Safta, E:8839, G.M. 4/1986)

4.3.85. Să se simplifice fracţia ( )( )

2 2

2 2

2 3,

2 3

x a b x a aba b

x a b x ab b

− + + +∈

− + + +� .

(Olimpiadă regională, 1955)

4.3.86. Să se simplifice fracţia ( ) ( )

4 216 4

5 3 5 3

x x

x x

− +

− + + − şi apoi să se scrie

rezultatul ca produs de factori liniari. (Olimpiadă naţională, 1955)

4.3.87. Se dau fracţiile: ( )2

2

2 9 5

2 13 7

x xE x

x x

+ −=

+ − şi ( )

2

2

3 32 11

5 53 22

x xF x

x x

− −=

− −

a) Să se simplifice fracţiile; b) Să se calculeze suma rădăcinilor 1 2,x x ale ecuaţiei ( ) ( )E x F x= , fără a

rezolva ecuaţia; c) Să se formeze ecuaţia de gradul al doilea în y cu rădăcinile

1 2

1 2

1 11 , 1y y

x x= + = + .

(Teodor Praniţchi, 6372, G.M.B. 6/1964)

4.3.88. Se consideră fracţia ( ) { }2

2

7 10, \ 2,3

5 6

x xf x x

x x

− += ∈

− +� .

a) Să se simplifice fracţia; b) Să se determine valorile naturale ale lui x pentru care ( )f x este număr

prim. (M. Roată, lucrare scrisă, 1977)

4.3.89. Fie fracţia ( ) { }2

2

2 16 18, \ 6;1

5 6

x xF x x

x x

+ −= ∈ −

+ −� .

a) Să se simplifice; b) Să se afle mulţimea ( ){ }x F x∈ ∈� � .

(Virgil Şerban, E:5525, G.M, 1976, enunţ modificat) 4.3.90. Se consideră fracţiile:

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

2

1 2

2

2 2

2

3 2

2 2,

2 2

3 3

2 2

x b a x abf x

x b a x ab

x b x bf x a b

x b x b

x b x bf x

x b x b

+ − −=

+ + +

+ − −= ∈

− + +

+ + +=

+ − −

�

a) Să se determine valorile lui x pentru care cele trei fracţii sunt definite; b) Să se arate că fracţiile sunt independente de b ; c) Să se determine valoarea lui a pentru care ecuaţia ( ) ( ) ( )1 3 2 0f x f x f x⋅ + =

admite o rădăcină egală cu 3 şi apoi să se determine cealaltă rădăcină a ecuaţiei.

(Victoria Poşta, E:5947, G.M. 7/1977) 4.3.91. a) Să se simplifice fracţia:

( )( ) ( )( ) ( )

3 2 2

3 2 2

2 2

2 2

x b a x a a b x a bf x

x b a x a a b x a b

+ − + − +=

− + + + − unde { }\ ,x a b∈�

b) Să se afle valoarea fracţiei, ştiind că ( )2 29 22x b bx+ = .

(Ioan Morariu, E:6818*, G.M. 3/1980)

4.3.92. Se dă fracţia ( )4 3 2

4 3 2

2 13 14 24

6 13 66 72

x x x xF x

x x x x

+ − − +=

+ − − +

a) Să se determine mulţimea numerelor pentru care fracţia se poate simplifica;

b) Să se determine mulţimea ( ){ }x F x∈ ∈� � ;

c) Să se determine mulţimea ( ){ }x F x∈ ∈� � .

(Grigore Ciocanea, E:6197*, G.M. 4/1978)

4.3.2.4 Probleme diverse 4.3.93. Să se determine m ∈� astfel încît ecuaţia

( ) ( )2 2 21 1 4 0m x m x m m− + + + + − = să admită rădăcina 1x = . În acest caz,

să se calculeze cealaltă rădăcină. 4.3.94. Fie a ∈� şi p un număr prim. Să se determine mulţimea:

{ }2 0A x x ax p= ∈ + + =�

(Petre Năchilă, 19889*, G.M. 10-11/1983) 4.3.95. Să se determine m ∈� astfel încît între rădăcinile ecuaţiilor de mai jos să existe relaţiile scrise în dreptul lor: a) ( ) 2

1 21 2 5 0 2m x mx x x+ + + = − =

b) ( ) 2

1 23 1 0 3m x mx m x x+ + + + = =

c) ( ) ( )2 2 2

1 2 1 2

102 3 2 3 2 1 0

3

mx m x m x x x x+ + + + = + =

d) ( ) ( )2 2

1 2

1 12 2 1 0 2mx m x m

x x+ − + + = + =

e) 2 2 2 2

1 2

73 0

4x mx m x x− + = + =

f) ( ) 2

1 2 1 214 1 2 1 0 3 2m x mx x x x x− − + = = −

g) 2 2 2 3 3

1 2 1 21 0 0x mx m x x x x+ + − = + + + =

4.3.96. Ce relaţie trebuie să existe între coeficienţii ecuaţiei 2 0x px q+ + = pentru ca o rădăcină să fie pătratul celeilalte ? (8386, G.M.B. 8/1967) 4.3.97. Să se determine mulţimile A şi B şi numerele reale p şi q , ştiind că

{ }2 0A x x x p= ∈ + + =� , { }2 4 0B x x qx= ∈ + − =� şi { }2, 1,1, 4A B∪ = − − .

Aceeaşi problemă pentru { }2 0A x x x p= ∈ + + =� , { }2 3 0B x x qx= ∈ + − =� şi

{ }2, 1,1,3A B∪ = − − ; în plus, se ştie că 1 A B− ∉ − şi că 1 B A∉ − .

(Lucia Ţene, Olimpiadă judeţeană, 1969; 9764, G.M.B. 8/1969)

4.3.98. Fie { }2 0M x x ax b= ∈ − + =� şi { }2 0N x x bx c= ∈ − + =� unde , ,a b c ∈� .

Să se determine , ,a b c ştiind că { }1, , ,M N a b c∪ = .

(Gh. Andrei, Olimpiadă locală, Constanţa, 1988) 4.3.99. Se dă ecuaţia 2 0x px q+ + = , cu rădăcinile 1 2,x x . Să se determine ,p q şi

să se rezolve ecuaţia, ştiind că ( )1 1x + şi ( )2 1x + sunt rădăcinile ecuaţiei 2 0x px pq− + = . (Olimpiadă, U.R.S.S, 1956)

4.3.100. a) Să se rezolve ecuaţia 2 0x xα β− + ∆ = , ştiind că ,α β şi ∆ sunt rădăcinile, respectiv discriminantul său. b) Aceeaşi cerinţă pentru 2 0x xα β+ + ∆ = .

(Gh. Bazacov, 7239, G.M.B. 11/1965) 4.3.101. Să se rezolve ecuaţia cu coeficienţi reali 2 0Px x S− ∆ + = , ştiind că

, ,S P∆ reprezintă discriminantul ecuaţiei, respectiv suma şi produsul rădăcinilor sale. (Aurel Doboşan, 16526, G.M. 3/1977) 4.3.102. Fie 1 2,x x şi ∆ rădăcinile, respectiv discriminantul ecuaţiei de gradul al

doilea. Să se rezolve în � ecuaţia ( )2

1 2 1 24 0x x x x x x∆ − + + = .

(Valentin Selevet, 18732*, G.M. 5/1981) 4.3.103. În ce caz ecuaţia de gradul al doilea 2 0x px q+ + = are drept coeficienţi dublul pătratelor rădăcinilor ? (Olimpiadă, Polonia, 1956) 4.3.104. Să se determine toate ecuaţiile de gradul al doilea cu coeficienţi reali

2 0, 0ax bx c a+ + = ≠ , ale căror rădăcini 1 2,x x verifică relaţiile 3

1 2x x= şi 3

2 1x x= . (Al. Oţet, C:532, G.M. 9/1985) 4.3.105. Să se determine suma pătratelor rădăcinilor ecuaţiei

( ) ( )2

2 22 5 2 3 0x x x x+ − + + = .

(Olimpiadă, U.R.S.S, 1966, 8402, G.M.B. 8/1967) 4.3.106. Fie 1x şi 2x rădăcinile ecuaţiei 2 0x px q− + = . Să se rezolve ecuaţia

( ) ( )3 3

1 2x x x x− = − , presupunînd că 1 2x x≠ .

4.3.107. Fie ecuaţia 2

2 2

1 1 1 12 1 1 0x x

m n m n

− + − − − =

a) Să se arate că ecuaţia are rădăcini reale şi distincte, ( ) ,m n∗∀ ∈� ;

b) Să se arate că dacă sin , cosm nα α= = , unde \2

kk

πα

∈ ∈

� � , atunci

produsul rădăcinilor ecuaţiei nu depinde de α ; c) Să se rezolve ecuaţia în cazul de la punctul b);

d) Caz particular: 6

πα = . (Martin Mettler, 9845, G.M.B. 9/1969)

4.3.108. Fie numerele reale 1 2 1 2, , ,a a b b . a) Dacă 1 1 2 2 1a b a b+ = + = , să se arate că expresia:

( ) ( )( )2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2 2a b a b a a b b∆ = + − + + − este un pătrat perfect.

b) Fie , 0;2

πα β

∈

. Să se rezolve ecuaţia în x :

( ) ( )2 2

2 2 2 2sin cos sin cos 2x xα α β β+ + + =

c) Dacă se notează cu 1 2,x x rădăcinile ecuaţiei de la punctul b) şi dacă

2

πβ α= − , să se calculeze

2

1 21

2

x x +

.

(Radu Popovici, 16773, G.M. 8/1977) 4.3.109. Fie ecuaţia ( )2 4 16 4 ,x x m x m+ − = − ∈� . Să se afle o relaţie

independentă de m între rădăcinile 1x şi 2x ale ecuaţiei. (Olimpiadă naţională, 1967; 8510, G.M.B. 10/1967) 4.3.110. a) Cînd are ecuaţia ( ) 21 2 5 0m x mx m+ − + − = rădăcinile reale ?

b) Să se demonstreze că între rădăcinile ecuaţiei există o relaţie independentă de parametrul real m . 4.3.111. Se dă ecuaţia ( )2 2 2 10 0,mx m x m m− − − − = ∈�

a) Pentru ce valori ale lui m ∈� ecuaţia are rădăcinile de semne contrare ? b) Să se găsească o relaţie independentă de m între rădăcinile ecuaţiei. c) Cu ajutorul acestei relaţii, să se determine valorile rădăcinilor egale.

4.3.112. Se dă ecuaţia ( ) ( )25 4 1 0m x m x m− − + + =

a) Să se determine valorile lui m pentru care ecuaţia are rădăcini de semne contrare.

b) Să se formeze ecuaţia de gradul al doilea în y cu rădăcinile

1 1 2 2

2 1

1 1,y x y x

x x= + = + (Olimpiadă locală, Arad, 1979)

4.3.113. a) Să se formeze ecuaţia de gradul al doilea ale cărei rădăcini satisfac relaţiile:

( ) ( )( ) { }1 2 1 2 1 2

14 5 4 0, 1 1 , \ 1

1x x x x x x a

a− + + = − − = ∈ −

+�

b) Să se determine a astfel încît 2 2

1 2 11x x+ = .

4.3.114. Se dă ecuaţia ( ) ( )2 21 6 6 0,m x m m x m m+ − + + + = ∈� .

a) Să se determine m astfel ca ecuaţia să aibă ambele rădăcini întregi şi pozitive. Să se rezolve în acest caz ecuaţia.

b) Să se determine valorile lui m astfel încît 2 2

1 2

1 1 7

18

m

x x

++ =

(11188, G.M.B. 5/1971) 4.3.115. Fie 1 2,x x rădăcinile ecuaţiei 2 0, 0ax bx c a+ + = ≠ .

a) Să se găsească relaţia dintre coeficienţii , ,a b c astzfel încît între rădăcini să

existe relaţia 1

2

,x

m mx

∗= ∈� . Caz particular: 1m = .

b) Să se aplice rezultatul punctului a) pentru ecuaţia ( )2 1 0x p x p+ + + = ,

determinînd parametrul real p ; c) Să se arate că ecuaţiile:

( ) ( )

( ) ( )

2

2

1 0 1

1 1 0 2

x m x m

mx m x

− + + =

− + + = admit o rădăcină comună. Să se determine

această rădăcină, fără a rezolva ecuaţiile.

d) Fie 1 2,x x rădăcinile ecuaţiei ( )1 şi 1 2,x x′ ′ rădăcinile ecuaţiei ( )2 . Notăm

1 2 1 2, ,n n n n

n nS x x S x x n∗′ ′ ′= + = + ∈� . Să se arate că n

n nS m S ′= ⋅ . (Concursul G.M, 1937)

4.3.116. Fie ecuaţia 2 1 0,x mx m m− + − = ∈� . a) Pentru ce valori ale lui m , o rădăcină este dublul celeilalte ?

b) Să se determine valorile lui m pentru care 2 2

1 21 2

1 2

x xx x

x x

+>

+.

4.3.117. Fie trinomul ( ) ( )2 2, 4 2 1 ,f x m mx m x m m ∗= − + + ∈�

a) Arătaţi că ecuaţia ( ), 0f x m = are rădăcinile reale, oricare ar fi m∗∈� . Dacă

1x şi 2x sunt cele două rădăcini, arătaţi că nu este posibil ca ( )1 0;1x ∈ şi

( )2 1;0x ∈ − .

b) Fără a rezolva ecuaţia, să se arate că expresia

( )

4 4

1 2

84 4 4 4

1 2 1 2 1 2

1

24

x xE

mx x x x x x

−= +

+ + − nu depinde de m .

c) Să se afle a ∈� astfel încît raportul ( )( )( )

,1

1,

not f aq a

f a= ∈� .

(Dragomir Costea, 16776, G.M. 8/1977) 4.3.118. Ecuaţia 2 0, , , , , 0ax bx c a b c a c+ + = ∈ ≠� are rădăcinile reale 1 2,x x . Să se arate că următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1) 1 2 1x x= = ;

2) 2

122

1

2

1

xx

x=

+ şi

2

212

2

2

1

xx

x=

+

3) 1 2

1

1 1

2x x

x

+ =

şi 2 1 1

2

1 1, 0

2x x x

x

+ = >

(Mircea Ganga, 21992*, G.M. 1/1990) 4.3.119. a) Rădăcinile reale 1 2,x x ale ecuaţiei 2 0ax bx c+ + = verifică relaţia

1 2 0ax bx c+ + = . Să se arate că 3 32 2 0a c ac b+ + = . (Adrian Atanasiu, Olimpiadă locală, 1978) b) Fie 1 2,x x rădăcinile ecuaţiei 26 7 2 0x x− + = . Să se determine mulţimea

{ }1 2 1n nA n x x= ∈ + ≥� (Olimpiadă locală, Bucureşti, 2004)

4.3.120. Să se determine toate numerele naturale 2n ≥ pentru care, oricare ar fi

1 2, , , 0n na a a a∈ ≠… � , ecuaţia:

2 2 2 2

1 2 1 2 12 0n n na x a a a x a a a −− + + + + + + + =… …

are rădăcinile reale. (D.M. Bătineţu, baraj, 1984) 4.3.121. Se consideră numerele , ,a b c ∈�şi mulţimile:

{ }{ }{ }

2

2

2

0

0

0

A x x bx c

B x x cx a

C x x ax b

= ∈ + + =

= ∈ + + =

= ∈ + + =

�

�

�

. Să se arate că dacă A B C∪ ∪ = ∅ , atunci

a b c= = . (Titu Andreescu, 1984) 4.3.122. Să se determine k ∈� astfel încît rădăcinile ecuaţiei

( )2 2 1 2 0kx k x k+ − + − = să fie raţionale. Aceeaşi problemă pentru ecuaţia

( ) ( )22 2 1 1 0k x k x k+ + − + − = .

4.3.123. Pentru ce valori raţionale ale lui x , expresia 23 5 9x x− + este pătratul unui număr raţional ? (C.d.p, Skliarski, Iaglom) 4.3.124. Fie ecuaţia ( )29 6 3 2 0,x mx m m− − + = ∈� . Să se găsească valorile

întregi ale parametrului m pentru care ecuaţia are rădăcini raţionale. (Sava Stan, Olimpiadă locală, Constanţa, 1985) 4.3.125. Fie ecuaţiile 2 0ax bx c+ + = şi 2 0cx bx a+ + = cu rădăcinile raţionale nenule 1 2,x x , respectiv 3 4,x x . Să se arate că dacă numărul

1 3 1 4 2 3 2 4R x x x x x x x x= + + + este natural, atunci 4R = . (I. Nănuţi, V. Drulă, 19100, G.M. 2-3/1982) 4.3.126. Să se arate că oricare ar fi n

∗∈� ecuaţia ( )2 2 22 2 1 1 0nx n x n− + − − = are

rădăcinile reale, distincte şi iraţionale. (D. Gheorghiu, Olimpiadă locală, Giurgiu, 1987)

4.3.127. Găsiţi m întreg ştiind că ecuaţia ( ) ( )3 2 4 35 4 2 1 9 7 0m x m x m− + + + − = are rădăcini întregi.

(Cristinel Mortici, 20902*, G.M. 10/1986) 4.3.128. Să se determine { }\ 1m ∈� astfel încît ecuaţia:

( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 1 0m x m m x m m− − − − + + = să aibă cel puţin o rădăcină

întreagă. 4.3.129. Să se determine parametrii ,m n ∈� astfel ca rădăcinile ecuaţiei:

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )22 3 1 2 3 1 4 2 2 3 1 2 1 0m n x m n m n x m n m n− − + − − − − − − − − − − =

să fie întregi. (Nüsfet Şaganai, 17781, G.M. 6/1979) 4.3.130. Pentru care numere reale p ecuaţia 2 3 0x px p+ + = are rădăcini întregi ? (Propusă de U.R.S.S pentru O.I.M 1965, 7599, G.M.B. 6/1966) 4.3.131. Fie ecuaţia 2 2 2 0x x pα α− + = , unde p este un număr natural prim şi α ∈� .

a) Pentru ce numere α ecuaţia are rădăcinile întregi ? b) Să se rezolve ecuaţia, pentru α determinat la punctul a).

(I. Ianole, N. Papacu, C:233, G.M. 8/1982) 4.3.132. Se dă ecuaţia 2 1 0,x x p p− + − = ∈� .

a) Să se determine p astfel încît ecuaţia dată să aibă rădăcini întregi; b) Are ecuaţia rădăcini întregi dacă 999001p = ?

(L. Mănescu, 19690, G.M. 5/1983) 4.3.133. Să se determine toate polinoamele ( )P x de gradul al doilea ştiind că

rădăcinile 1 2,x x ale ecuaţiei ( ) 0P x = sunt întregi nenule, ( )1 2 0P x x = şi

( )1 2P x x p+ = , unde p este un număr prim.

(Gh. Neagu, 18894*, G.M. 9/1981) 4.3.134. Ecuaţia 2 0x ax b− + = are soluţiile 1 2,x x ∈� . Să se arate că:

a) ( ) ( )1 2, ,x x a b şi ( ) ( )2 2

1 2, ,a b x x ;

b) ( ) ( )1 2, 1 , 1x x a b= ⇔ = . Am notat cu ( ),α β cel mai mare divizor comun al

numerelor α şi β . (Cristinel Mortici, 20871, G.M. 9/1986)

4.3.135. Fie ecuaţia ( )2 2 2 1

2x a b x a b− + + + = , unde ,a b ∈� .

a) Să se rezolve ecuaţia, considerînd că necunoscuta este a ; b) Să se arate că ecuaţia are cel puţin o rădăcină întreagă dacă şi numai dacă

2 2 1

2a b+ = ;

c) Să se determine a şi b astfel încît ambele rădăcini să fie întregi. (L. Panaitopol, Olimpiadă naţională, 1985)

4.3.136. Fie ,a b∈� . Să se rezolve ecuaţia ( ) ( )2 2

ax b bx a x− + − = , ştiind că

admite o rădăcină întreagă. (Mircea Becheanu, Olimpiadă naţională, 1986)

4.3.137. Să se demonstreze că ecuaţiile: ( ) ( )2 2 1 2 1 0x a a x a a− + + + = şi ( )2 22 2 1 4 1 0x a x a a− − + − − = , unde a ∈� ,

nu pot avea rădăcini întregi.

(Georgeta şi Bogdan Grigoriu, 20546, G.M. 9/1985) 4.3.138. Să se arate că ecuaţia ( ) ( ) ( ) 21 2 3 2x x x x y+ + + = − nu are soluţii în

mulţimea numerelor întregi. (Tiberiu Makora, E:9456*, G.M. 5-6/1988) 4.3.139. Aflaţi toate valorile lui m∈� pentru care A B∪ ⊂ � , unde

{ }2 5 7 0A x x x m= ∈ − + − =� şi ( )( ){ }2 1 2B x x m x m= ∈ = + −� .

(Aurel Ene, 21439, G.M. 5-6/1988) 4.3.140. Să se demonstreze că oricare ar fi n

∗∈� numerele 1n + şi 8 1n + nu pot fi simultan cuburi perfecte. (Titu Andreescu, 17432*, G.M. 10/1978) 4.3.141. Să se demonstreze că există o singură ecuaţie de gradul al doilea

2 0ax bx c+ + = cu , , , 0a b c a∈ ≠� , pentru care numerele , , ,a P S∆ (în această ordine) sunt întregi şi consecutive( , ,P S∆ fiind discriminantul, produsul şi suma rădăcinilor ecuaţiei). (Titu Andreescu, Olimpiadă judeţeană, 1983) 4.3.142. Să se determine trinoamele de gradul al doilea cu coeficienţi întregi

2 , 0P aX bX c a= + + ≠ , pentru care ( )P a b= şi ( )P b a= .

(Adrian Ghioca, 17134, G.M. 4/1978) 4.3.143. Determinaţi polinomul ( ) 2

P X aX bX c= + + cu coeficienţi raţionali nenuli,

ştiind că satisface simultan condiţiile ( ) ( ),P a b P b c= = şi ( )P c a= .

(Ionel Atanasiu, 17910*, G.M. 9/1979) 4.3.144. Să se determine trinoamele de gradul al doilea cu coeficienţi întregi

2P aX bX c= + + cu 0,a a b≠ ≠ , pentru care ( ) 2

P a b= şi ( ) 2P b a= .

(Liviu Pîrşan, 20281*, G.M. 12/1984) 4.3.145. Să se determine trinoamele de gradul al doilea cu coeficienţi reali

2

3 2 1P a X a X a= + + pentru care ( ) ( ) { }, 1,2,3k

k kP a a k= ∀ ∈ .

(Aurel Doboşan, 18412, G.M. 9/1980)

4.3.146. Să se rezolve în � ecuaţia ( )1

1 1 16,

mm

x mx

+ + + = ∈

� ştiind că admite

cel puţin o soluţie reală pozitivă. (Ion Miu, 20477*, G.M. 7/1985)

4.3.3 Funcţia de gradul al doilea 4.3.3.1 Forma canonică. Reprezentarea grafică. 4.3.147. Există funcţii de gradul al doilea :f →� � astfel încît:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 ,f x f x f x x⋅ − = + ∀ ∈� ? Dar funcţii de gradul întîi ?

(Petre Simion, E:8134*, G.M. 9/1983) 4.3.148. Să se reprezinte grafic următoarele funcţii :f →� � :

a) ( ) 2 6 8f x x x= − + −

b) ( ) 22 3 1f x x x= − +

c) ( ) 23 2 1f x x x= − + −

c) ( ) 2 1f x x x= − +

d) ( ) 2 1

4f x x x= − − −

e) ( )2

2 1, 0

1, 0

x xf x

x x

+ ≤=

+ >

4.3.149. Să se reprezinte grafic funcţia [ ] ( ) ( )2

1: 1;1 , min 1

t xf f x t

− ≤ ≤− → = +� .

(Ionel Atanasiu, 16403, G.M. 2/1977) 4.3.150. Fie S aria mulţimii plane cuprinse între graficul funcţiei

( ) 2: , 4 3f f x x x→ = − +� � şi axa Ox . Să se arate că 1 2S< < .

4.3.151. Fie funcţiile ( ) ( )2, : , 1, 2 1f g f x ax x g x ax→ = − + = −� � , unde a este un

parametru real. Cîte puncte comune au graficele funcţiilor f şi g ? Să se

reprezinte cele două grafice, pentru 1

2a = .

(Imre Merenyi, E:9455, G.M. 5-6/1988) 4.3.152. Să se determine funcţia ( ): ,f f x ax b→ = +� � , cu proprietatea

( ) ( ) ( ) ( ), ,f x y f x f y x y+ = + ∀ ∈� , ştiind că graficul lui f are un singur punct

comun cu graficul funcţiei ( ) 2: , 1978 1936g g x x x→ = + +� � . (D.M. Bătineţu)

4.3.153. Să se determine funcţia ( ): ,f f x mx n→ = +� � , astfel încît graficul

acesteia să fie tangent în punctul ( )1,2A la graficul funcţiei

( ) 2: , 3 2g g x x x→ = + −� � . (Mihai Coconea, lucrare scrisă, 1977)

4.3.154. Se dau funcţiile [ ) ( )1 1: 0; ,f f x ax∞ → =� şi [ ]2 : 1;3 ,f →�

( ) 2

2 4 3f x x x= − + − . Ştiind că graficul lui 1f este tangent la graficul lui 2f într-un

punct A , să se determine valoarea lui a şi coordonatele punctului A . Să se reprezinte cele două grafice. (Ionuţ Tofoleanu, 16693*, G.M. 6/1977)

4.3.155. Se consideră funcţiile polinomiale ( ) 2. : ,f g f x ax bx c→ = + +� � şi

( ) 2g x Ax Bx C= + + , unde 0aA ≠ . Să se demonstreze că dacă graficele celor

două funcţii sunt tangente în vîrful lor, atunci ( ) ( )4aA C c bB A a− = − .

(Mihai Coconea, lucrare scrisă, 1977) 4.3.156. Se consideră funcţiile , :F f →� � :

( ) ( ) ( ) ( )2 , 2F x x a b x ab f x x a b= − + + = − + .

a) Să se arate că valorile lui f în punctele de abscise egale cu rădăcinile lui F sunt opuse;

b) Se notează 12

a bx m

+′ = + şi 22

a bx m

+′ = − . Să se arate că, oricare ar fi

m real, ( ) ( )1 2F x F x′ ′= şi ( ) ( )1 2f x f x′ ′= − .

c) Să se demonstreze că ecuaţia ( ) ( ) 0F x kf x+ = are rădăcini reale, oricare ar

fi numărul real k . d) Pentru 2a = − şi 5b = , să se reprezinte grafic funcţiile F şi f în acelaşi

sistem de coordonate. (Olimpiadă, 1950) 4.3.157. Se dă familia de parabole ( ) ( ) { }2 1 8 3 15 6, \ 1y x m x m m m= − − − + + ∈� .

Să se arate că toate parabolele trec prin două puncte fixe şi să se scrie ecuaţia dreptei care trece prin cele două puncte. Să se arate că dreapta mai trece şi prin punctul ( )4,1M . (Radu Mircea, 16775, G.M. 8/1977)

4.3.158. a) Să se arate că orice funcţie de gradul al doilea ( ) 2 , , , , 0f x ax bx c a b c a= + + ∈ ≠� , se poate scrie sub forma

( )( )1

2

x xf x k lx m

−= ⋅ + + , unde , ,k l m sunt numere ce se vor determina în funcţie

de , ,a b c . b) Să se arate că funcţia f ia valori întregi pentru orice valoare întreagă a lui

x dacă şi numai dacă se poate scrie sub forma ( )( )1

2

x xf x k lx m

−= ⋅ + + , cu

, , , 0k l m k∈ ≠� . (Concurs, Ungaria, 1902) 4.3.3.2 Monotonie. Puncte de extrem.

4.3.159. Să se determine funcţia de gradul al doilea ( ) 2f x ax bx c= + + care are

vîrful în punctul ( )4, 4V − şi taie axa Oy în punctul ( )0,12A . Să se reprezinte

grafic această funcţie. 4.3.160. Să se determine funcţia de gradul al doilea

( ) 2: ,f f x ax bx c→ = + +� � , ştiind că admite un maxim egal cu 25

4, iar graficul

ei trece prin punctele ( )2,0− şi ( )1,6 .

(A.S.E, 1979) 4.3.161. Fie :f →� � o funcţie de gradul al doilea. Să se arate că dacă f şi f f� au acelaşi minim(sau maxim), atunci f are două puncte fixe. Este

reciproca adevărată ? (Eugen Păltănea, 20421, G.M. 5/1985) 4.3.162. Să se determine mulţimea valorilor parametrului real m astfel încît funcţia

( )

( )

[ ]

( )

2

2

2 1, ;1

: , 1, 1;2

4 11, 2;

x x x

f f x mx x

x x x

− − ∈ −∞

→ = + ∈

− + − ∈ ∞

� � să fie strict descrescătoare pe � .

(D.M. Bătineţu, lucrare scrisă, 1977)

4.3.163. Se consideră funcţia ( )

( )

[ ]

( )2

1, ;0

: , , 0;2

4 5, 2;

x x

f f x ax b x

x x x

− ∈ −∞

→ = + ∈

− + ∈ ∞

� � . Să se

determine mulţimea ( ){ }2, este strict crescatoare pe B a b f= ∈� � . Să se determine

aria reprezentării geometrice a mulţimii B . (D.M. Bătineţu) 4.3.164. Fie 1 2, , na a a… numere reale date, unde n

∗∈� . Se consideră funcţia

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

1 2: , nf f x x a x a x a→ = − + − + + −� � … . Să se arate că

( ) ( )1 2 ,na a af x f x

n

+ + + ≥ ∀ ∈

…� . Deduceţi că

2

2

1 1

n n

i i

i i

a n a= =

≤ ⋅

∑ ∑ şi

precizaţi cînd are loc egalitatea. (Olimpiadă, 1954, enunţ adăugit)

4.3.165. Fie ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

1 2E x x x x n= − + − + + −… . Să se arate că:

( )( )

( )2 1

,12

n nE x x

−≥ ∀ ∈� . (Vasile Zidaru, 18896, G.M. 9/1981)

4.3.166. Se dă funcţia ( ) 2: ,f f x ax bx c→ = + +� � şi numerele strict pozitive şi

distincte p şi q , legate prin relaţia 1 2p q x x+ = + , unde 1 2,x x sunt rădăcinile

ecuaţiei ( ) 0f x = .

a) Să se calculeze ( ) ( )f p f q− ;

b) Să se studieze extremul expresiei ( ) ( )E f p f q= + şi să se exprime

valoarea extremă în funcţie de , ,a b c . (L. Mănescu, Olimpiadă naţională, 1964)

4.3.167. a) Să se arate că vîrfurile parabolelor din familia ( ) ( )2 22 2 1,af x x a x a a= + + + − ∈� , se găsesc pe o dreaptă.

b) Să se arate că vîrfurile parabolelor din familia ( ) ( )2 6 3 2 5,af x x a x a a= − + + + ∈� , se găsesc pe o parabolă.

4.3.168. Pentru ce valori ale parametrului real a vîrful parabolei ( ) ( )2 2 7 1af x ax a x a= − + + − este situat sub axa Ox ?

4.3.169. Fie familia de funcţii de gradul al doilea ( ) ( )2 2 1 1,mf x mx m x m m

∗= − − + − ∈�

Să se determine parametrul real m astfel încît vîrful parabolei asociate să se găsească pe prima bisectoare. 4.3.170. Se dau familiile de funcţii de gradul al doilea:

( )( ) ( )

( )( )2

1 41 3

2 2 7m

m mf x x m x m

m

− −= − − + −

−

( )( )( )

( )( )2

1 31 4

4 5m

m mg x x m x m

m

+ −= − + + −

−

unde 7

\ , 52

m

∈

� .

a) Să se arate că vîrfurile parabolelor asociate familiei ( )mf x se găsesc pe

dreapta 3 2 1x y+ = , iar vîrfurile parabolelor din familia ( )mg x pe dreapta

2 1x y+ = ; b) Să se scrie ecuaţiile parabolelor ce au vîrfurile în punctul de intersecţie al

celor două drepte. (Radu Gheorghe, 8350, G.M.B. 7/1967)

4.3.171. Fie familia de funcţii de gradul al doilea ( ) ( )2 2 1 ,mf x x m x m m= − − + ∈�

a) Să se arate că vîrfurile tuturor parabolelor asociate acestor funcţii se găsesc pe o parabolă;

b) Să se arate că, oricare ar fi 3

\2

m

∈

� , vîrfurile parabolelor se găsesc sub

dreapta de ecuaţie 5

4y = . Ce se întîmplă pentru

3

2m = ?

4.3.172. Se consideră familia de parabole de ecuaţie ( )2 2 1 3 1y x m x m= − + + + − ,

unde m este un parametru real. a) Să se arate că toate parabolele trec printr-un punct fix A , ale cărui

coordonate se cer. Să se scrie ecuaţia parabolei din familie care are vîrful chiar în A .

b) Să se arate că vîrfurile parabolelor din familie se găsesc pe parabola 2 3 4y x x= + − . (C. Ionescu-Ţiu, Olimpiadă naţională, 1961)

4.3.173. Se dau funcţiile ( ) ( )2 2

1 2 1, : , 1 4f f f x x m x m→ = − + − +� � şi

( ) ( )2

2 2 2 4f x x m x m= − − − − + , unde m ∈� .

a) Să se determine m astfel ca vîrful parabolei 1f să fie pe parabola 2f ; b) Pentru 3m = , să se reprezinte cele două funcţii în acelaşi sistem de axe;

c) Pentru 3m = , să se simplifice fracţia ( )( )

1

2

f x

f x.

(Elena Flondor, 9691, G.M.B. 7/1969) 4.3.174. Fie familia de funcţii de gradul al doilea

( ) ( )2 2 1 1,mf x mx m x m m∗= + − + − ∈�

a) Să se arate că vîrfurile parabolelor din familie se găsesc pe a doua bisectoare a axelor de coordonate;

b) Ce porţiune din această dreaptă este ocupată de vîrfurile parabolelor cu ramurile în sus ?

4.3.175. Fie P mulţimea parabolelor asociate familiei de funcţii de gradul al doilea

( ) ( )2 22 2 ,mf x x m a x m bm c m= + + + + + ∈� .

Să se arate că vîrfurile parabolelor din P se găsesc tot pe o parabolă din P . 4.3.176. Fie funcţia ( ) 2: ,f f x ax bx c→ = + +� � cu 0a < .

a) Să se găsească valoarea discriminantului ∆ al ecuaţiei ( ) 0f x = astfel încît

vîrful V al parabolei şi punctele ,A B în care aceasta intersectează axa Ox să formeze un triunghi echilateral;

b) Dacă aria triunghiului echilateral VAB este egală cu 3 3 , să se determine coeficienţii întregi , ,a b c .

(Nusfet Şaganai, Olimpiadă locală, 1978) 4.3.177. Fie parabola 2y ax bx c= + + cu 2 4 0b ac− > , V vîrful parabolei şi P proiecţia acestuia pe axa Ox . O dreaptă d ce trece prin P intersectează parabola în A şi B . Să se arate că triunghiul AVB este dreptunghic în V dacă şi numai dacă 2 4 4b ac− = . (Al. Oţet, C:506, G.M. 6/1985) 4.3.178. Fie m∈� . Să se determine m astfel încît vîrful parabolei

( )2 2 7y mx m x m= − + + să aibă ambele coordonate întregi.

4.3.179. Se consideră mulţimile:

{ }3 28 19 12 0A x x x x= ∈ − + − =� şi

2

2

3 12 19

4 5

x xB x

x x

− + = ∈ ∈

− + � �

a) Să se determine mulţimile A , B , ,A B A B∪ ∩ şi A B∆ ;

b) Să se găsească maximul funcţiei ( )2

2

3 12 19: ,

4 5

x xf f x

x x

− +→ =

− +� � .

(Gh. Molea, 16034, G.M. 9/1976)

4.3.3.3 Semnul funcţiei de gradul al doilea. Inecuaţii 4.3.180. Să se rezolve inecuaţiile:

a) 2

2

2 23

3 4

x x

x x

+ −>

− +

b) ( )( )( )2 2 2

2

5 6 8 6 1 18 9 10

4 5

x x x x x x

x x

− + − + − +≤

− −

c) 3 1

2 1 2

x x

x x

− +<

− −

d) 4 2

3

2 5 30

1 8

x x

x

− −≥

− (9589, G.M.B. 5/1969)

e) ,1

m xm

x m< ∈

−�

f) 1 1 2

, 0ax a x a x

+ < >− +

(I.P.B, septembrie 1976)

4.3.181. Să se rezolve inecuaţia ( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )

1 2 1 3 1 4 10 1

1 2 1 3 1 4 1

x x x x

x x x x

+ + + +≤ ≤

− − − −.

(Liviu Pîrşan, 17105, G.M. 3/1978) 4.3.182. Să se ordoneze crescător numerele reale 21,2, ,x x , cînd x ∈� . (Adrian Ghioca, Olimpiadă, 1977) 4.3.183. Pentru ce valori ale lui m ∈� , maximul funcţiei:

( ) ( ) ( )2: , 2 5 2 1 1f f x m x m x→ = + − + +� � este mai mare decît 5 ?

(Petre Cernescu, 5274, G.M.F.B, 1962)

4.3.184. a) Să se reprezinte grafic funcţia ( )2 2 1, 1

: ,1, 1

x x xf f x

x x

− + ≥→ =

− <� �

b) Să se arate că f este strict monotonă.

c) Să se determine valorile lui x pentru care ( ) 1f x ≤ .

(H. Moraru, lucrare scrisă, 1977)

4.3.185. Să se arate că ecuaţia ( ) 2

2

44 5 0

4 8f x x x

x x= − + − =

− +nu admite altă

soluţie reală decît 2x = . Să se arate că ( ) ( )0,f x x≥ ∀ ∈� .

4.3.186. Se consideră fracţia ( )( )( )

32

32

4 6 1

2 7 1

x xE x

x x

+ + −=

+ + +

a) Să se simplifice fracţia;

b) Să se demonstreze că ( ) ( )1

,4

E x x≥ ∀ ∈� ;

c) Să se demonstreze că ( )E x nu poate lua valori întregi, oricare ar fi x ∈� .

(Marcel Chiriţă, 18571, G.M. 1/1981)

4.3.187. Fie :f →� � , dată de ( )4 3 2 2 3 4

2 2

2 3 2 9,

x ax a x a x af x a

x ax a

∗− + − + += ∈

− +�

Să se afle cea mai mică valoare pe care o poate lua funcţia dată. Ce valori poate lua a în acest caz ? (Th. Dăneţ, 17434, G.M. 10/1978)

4.3.188. a) Dacă ,a b ∗∈� şi 2 2

2 24 20 33 0

a b a b

b a b a

+ − + + ≤

, să se arate că

2a b= sau 2b a= . (Ştefan Smarandache, E:10182*, G.M. 3/1991)

b) Dacă ,x y ∗∈� , demonstraţi că: 2 2

2 23 8 10 0

x y x y

y x y x

+ − + + ≥

.

(Fizică, sesiune spcială, 1981) 4.3.189. Numerele pozitive ,a b satisfac condiţia 1a b+ = . Să se arate că

( ) ( )4 4 5 5 35 4

8a b a b+ − + ≥ . (Titu Andreescu, 18419, G.M. 9/1980)

4.3.190. Să se arate că dacă ,a b ∈� astfel încît 1ab = şi a b≠ , atunci

( )24 4 7 10a b a b+ + ≥ − . În ce caz are loc egalitatea ?

(C.T. Nedelcu, E:8911, G.M. 7/1986)

4.3.191. Să se arate că pentru orice x ∈�avem: ( )4 2 231 1

2x x x x+ + ≥ +

(Valerian Vlăescu, E:9101*, G.M. 3/1987) 4.3.192. a) Să se determine funcţia ( ) ( )2: , min ,f f x x ax b cx d→ = + + +� � ,

ştiind că ( ) ( )2 1 1f f− = − = , ( )0 2f = şi ( )1 4f = .

(Ion Cuculescu, concurs, 1976) b) Să se determine funcţia ( ) ( )2: , max ,f f x x ax b cx d→ = − + + +� � , ştiind că

( ) ( )1 0, 3 3f f= = , ( )5 5f = − şi ( )8 2f = . (Marcel Chiriţă, G.M. 5/1981)

4.3.193. Să se determine funcţia

( ) ( )2 2 2: , max 2 5 , 2f f x x ax b x ax b→ = − + − + +� � ,

ştiind că ( ) ( ) ( ) ( ) { }0 01 3 , \ 1,3f f f x x= < ∀ ∈� .

(Vasile Stănescu, 19732, G.M. 6/1983) 4.3.194. Se consideră funcţia ( ) 2: , 1f f x x ax→ = + +� � , unde ( )2;2a ∈ − . Să se

arate că oricare ar fi x real şi m parametru real, are loc inegalitatea:

( ) ( ) ( )2f x m f x m f x m+ ≥ − +

(Dan Seclăman, 18121, G.M. 2/1980) 4.3.195. Fie 0, ,a b c> ∈� cu a c≥ şi funcţia [ ) ( ) 2: 1; ,f f x ax bx c∞ → = + +� . Să

se demonstreze că oricare ar fi [ )1 2, , , 1;m n x x ∈ ∞ avem:

( ) ( ) ( )1 2 1 2f mx nx mf x nf x+ ≥ +

(D.M. Bătineţu, 17605, G.M. 2/1979) 4.3.196. Se consideră trinoamele de gradul al doilea ( ) 22 2f x x= + şi

( ) 2 2 1g x x x= + + . Să se arate că pentru orice trinom de gradul doi ( )h x astfel

încît ( ) ( ) ( ) ( ),g x h x f x x≤ ≤ ∀ ∈� avem ( )1 4h = şi există [ ]0;1λ ∈ astfel încît

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ,h x f x g x xλ λ= + − ∀ ∈� .

(Laurenţiu Panaitopol, Olimpiadă judeţeană, 1978) 4.3.197. Trinomul ( ) 2 , ,f x x px q p q= + + ∈� are proprietatea că ( ) 0f x > pentru

orice x real. Dacă 0a > şi ,b c ∈� , să se arate că ecuaţia:

( ) ( )2 2 0b ap x c aq x cp bq− + − + − =

are rădăcini reale. (Dumitru Acu, Olimpiadă locală, 1978) 4.3.198. Fie m ∈� . Să se arate că următoarele propoziţii sunt echivalente: 1) ( ) 2

mα∀ > şi ( ) x∀ ∈� , ( )2 2 1 0x m x α+ + + ≠ ;

2) 1m = . (Mihai Gărăjeu, 20704, G.M. 3/1986)

4.3.199. Să se determine mulţimea { }2 4 2,A x x n n n∗= ∈ = − + − ∈� �

(Florica Stănescu, 18034, G.M. 12/1979) 4.3.200. Să se determine cel mai mare element al mulţimii:

( ) ( ){ }2 22 3 3 3 2 2A n n n n n= + − + ∈�

(Eugen Păltănea, 19812*, G.M. 8/1983)

4.3.201. Se consideră mulţimile ( ) ( ){ }1 3 ,A x x a a a= ∈ = − − ∈� � şi

{ }22 2 ,B x x b b b= ∈ = + − ∈� � .

a) Să se determine A B∩ ; b) Să se demonstreze că mulţimea A B∪ conţine un singur element care este

pătrat perfect. (Dan Seclăman, 20200*, G.M. 9/1984)

4.3.202. Fie ( ), 0;x y ∈ ∞ . Notăm 1 1

min , ,a x yx y

= +

. Să se determine valoarea

maximă a lui a . Pentru ce valori ale lui x şi y se atinge acest maxim ? (Concurs, R.D.G)

4.3.203. Dacă ,x y ∈� şi 2 1x y+ = , atunci 2 2 1

5x y+ ≥ . Cînd are loc egalitatea ?

4.3.204. Fie mulţimea ( ) 2 2 2 1, 0

2A x y x y x y

= ∈ + − + − =

�

a) Să se arate că 1 2x y− − ≤ , oricare ar fi ( ),x y A∈ ;

b) Să se determine mulţimea ( ){ }, ,B z z xy x y A= ∈ = ∈� .

(I. Safta, 19093*, G.M. 2-3/1982) 4.3.205. Fie [ ]0;1I = şi :f I I× →� o funcţie definită astfel:

( ) ( ) ( ) ( )2

, , ,f x y x y x y I I= − ∀ ∈ × . Să se arate că:

( ) ( )max min , min max ,x I x Iy I y I

f x y f x y∈ ∈∈ ∈

< . (Matematică, 1973)

4.3.206. Să se afle numerele a ∈� pentru care sistemul:

2 2 2 1

0

x y x

x y a

+ + ≤

− + = are o soluţie unică. Să se rezolve sistemul în cazurile

respective. (17960*, G.M. 10/1979)

4.3.207. Să se determine m ∈� astfel încît ( )2 2 4 4 0, ,x y x y m x y+ − − + > ∀ ∈� .

4.3.208. Fie numerele , ,a b c ∈� şi funcţia :f →� � , definită prin

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )f x x a x b x b x c x c x a= − − + − − + − − . Să se arate că:

a) Rădăcinile ecuaţiei ( ) 0f x = sunt reale. Deduceţi inegalitatea:

( ) ( ) ( )2 2 2 23 , , ,a b c a b c a b c+ + ≤ + + ∀ ∈� .

b) Dacă ( ) ( )0,f x x≥ ∀ ∈� , atunci a b c= = . Este reciproca adevărată ?

(Costache Ciotloş, C:41, G.M. 6/1980; Olimpiadă locală, Constanţa, 1984) 4.3.209. Să se afle cea mai mică şi cea mai mare valoare pe care o ia fracţia

1

1

x

y

−

−, ştiind că [ ), 3;x y ∈ ∞ verifică ecuaţia 2 2 6 6 17 0x y x y+ − − + = .

(Ioan Bran, 21600, G.M. 11-12/1988)

4.3.210. Fie fracţia ( )2

2 2

11

2

2 1

x m x

Ex mx m

− + + −=

+ + +.

a) Să se arate că fracţia E are sens, oricare ar fi x ∈� ; b) Să se determine valorile lui m ∈� astfel încît ( )0,E x< ∀ ∈� .

4.3.211. Să se determine toate valorile lui m ∈� astfel încît dubla inegalitate:

( )2

2

1 57 3

1

x m x

x x

+ + −− < <

− +

să fie verificată pentru orice x ∈� .

4.3.212. Fie funcţia ( )( )

( )

2 2

2

1 4: , ,

1

a x xf I f x a

a x

∗+ − −

→ = ∈+

� � . Să se determine

a astfel încît domeniul de definiţie I să fie un interval mărginit, de lungime minimă. (Admitere olimpici, 1987) 4.3.213. Se consideră funcţia ( ) ( )2 2: , 2 , ,f f x x k p x k k p

∗→ = + − + ∈� � �

a) Să se determine coordonatele ( )0 0,x y ale punctului de minim local al

funcţiei; b) Să se determine valorile lui p ştiind că ( ) [ ] [ ]0 0, 0;2 2 ;0x y p∈ × − .

(A.S.E, 1994)

4.3.3.4 Studiul unor clase de funcţii reale cu ajutorul proprietăţilor funcţiei de gradul al doilea. 4.3.3.4.1 Injectivitate. Surjectivitate. Compunere. 4.3.214. Fie funcţiile:

( ) ( )2

2

5 2, 16 , 3, : , ,

2 5, 3 2 4, 1

x xx x xf g f x g x

x x x x x

− ≤ + < −→ = =

− − ≥ − − + > � � .

Să se determine f g� şi g f� .

4.3.215. Găsiţi o restricţie bijectivă a funcţiei ( ) 2: , 4 3f f x x x→ = − +� � şi scrieţi

inversa acesteia.

4.3.216. Fie funcţia ( ) 25 1: ; ; , 5 6

2 4f f x x x

∞ → − ∞ = − +

a) Să se arate că f este bijectivă şi să se determine 1f − ;

b) Să se arate că funcţiile f şi 1f − au aceeaşi monotonie; c) Să se arate că:

( ) ( ) ( ) ( )1 15 5; ;

2 2x f x f x x f x x f x

− − ∈ ∞ ≤ = ∈ ∞ ≤ ≤

d) Să se determine mulţimea 25; 2 10 7 4 1

2M x x x x

= ∈ ∞ − + ≤ +

(Gh. Pădurariu, 19057, G.M. 1/1982) 4.3.217. Se dă funcţia [ ) [ ): 3; 1;f ∞ → − ∞ astfel încît ( ) 23 1f x x+ = − . Să se afle

funcţia g pentru care ( )( ) 2 2f g x x x= −� .

(Aurel Doboşan, Olimpiadă locală, 1978) 4.3.218. Fie [ ] [ ]: 1;1 1;1f − → − dată de ( ) 2 , 0f x ax bx c a= + + ≠ .

a) Să se arate că [ ]2;2a ∈ − şi că 2 2 5a c+ ≤ ;

b) Să se determine valoarea maximă a lui a astfel încît f să fie injectivă;

c) Dacă 1

2a = , să se determine ,b c astfel încît f să fie surjectivă.

(M. Martin, E. Constantinescu, Olimpiadă locală, Bucureşti, 1978)

4.3.219. a) Să se reprezinte grafic funcţia ( )2

2 3, 0: ,

3 3, 0

x xf f x

x x

+ <→ =

− + ≥� � ..

b) Este funcţia f surjectivă ? Să se determine ( )f � .

(16366, G.M. 1/1977, enunţ parţial)

4.3.220. Fie funcţia ( )

( ] [ )

( ]

( )

2 2 3, ; 1 3;

: , 2 2 , 1;0

2 2 , 0;3

x x x

f f x x x

x x

− − ∈ −∞ − ∪ ∞

→ = + ∈ −

− ∈

� �

a) Să se studieze injectivitatea funcţiei f ; b) Să se construiască o restricţie g a lui f , bijectivă; c) Să se determine inversa funcţiei g .

(P. Bîrsan, 16788, G.M. 8/1977)

4.3.221. Se consideră funcţia ( )2 2 2, 1

: ,2 1, 1

x x xf f x

x x

− + ≥→ =

− <� �

a) Să se arate că f este bijectivă;

b) Să se calculeze funcţia inversă 1f − ;

c) Să se determine x ∈�pentru care ( ) 2f x ≤ .

(M. Chiriţă, lucrare scrisă, 1977)

4.3.222. Să se demonstreze că funcţia [ ) ( ] ( ) 2

2: 1; 0;1 ,

1

xf f x

x∞ → =

+ este

inversabilă. Să se calculeze 1 4

5f

−

, unde 1f − este inversa funcţiei f .

(Olimpiadă locală, Cluj, 1983) 4.3.223. Fie funcţia [ ) [ ) ( ) 6 5 4 3 2: 1; 1; , 3 6 7 6 3 1f f x x x x x x x∞ → ∞ = − + − + − + .

a) Să se demonstreze că f este bijectivă;

b) Să se determine inversa 1f − . (Al. Oţet, 17340*, G.M. 8/1978)

4.3.224. Se dă funcţia ( )2

2

2 , 0: ,

2 , 0

x x xf f x

mx x x

− ≤→ =

− >� � .

a) Să se determine m ştiind că graficul funcţiei are un centru de simetrie, ale cărui coordonate se cer;

b) Pentru m astfel determinat, să se arate că f este bijectivă şi să se

determine inversa 1f − . (Octavian Purcaru, 18130, G.M. 2/1980) 4.3.3.4.2 Extreme. Imaginea unor clase de funcţii 4.3.225. Fie funcţia [ ]: ; ,f α β →� definită prin ( ) 2

f x ax bx c= + + , unde

, , , , , 0,a b c aα β α β∈ ≠ <� . Să se determine valorile extreme ale funcţiei f , precum şi punctele în care f ia aceste valori. Discuţie. (Alex. Dincă, 17229, G.M. 6/1978) 4.3.226. Fie funcţia ( ) 2: , 1,f f x x mx m→ = + + ∈� � � . Să se determine

mulţimea [ ]( )1; 2f . Discuţie. (Liviu Pîrşan, 20155*, G.M. 7/1984)

4.3.227. Se consideră funcţiile :kf →� � , definite prin ( ) 2 2k kf x x kx α= − + , unde

1, , 2k n n= ≥ , iar numerele kα ∈� fiind alese astfel încît 2 1, 1,k k k k nα ≤ + + = . Să

se determine mulţimea ( )( )1 2 1n nf f f f−� �…� � � .

(Ion Ursu, 17651*, G.M. 3/1979) 4.3.228. Să se determine extremele funcţiilor:

a) { } ( )2

2

4 1: \ 1 ,

2 1

xf f x

x x

+=

− +�

b) { } ( )2

2

2 1: \ 2 ,

4 4

xf f x

x x

− +− =

+ +�

c) { } ( )2

2

2: \ 3 ,

6 9

x xf f x

x x

− −=

− +�

4.3.229. Se dă funcţia ( ) 2 2: , ,n n

nxf f x n

x x n

∗→ = ∈+ +

� � � .

a) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei; b) Pentru ce n

∗∈� unul din extremele funcţiei nf se află pe prima bisectoare a axelor de coordonate ?

c) Dacă se notează ( )maxn nx

a f x∈

=�

, atunci ( )

( )( )

2

1

2 !,

2 1 !

nn

k

k

na n

n

∗

=

⋅= ∀ ∈

+∏ � .

(N. Bebea, 8504, G.M.B. 9/1967) 4.3.230. Să se determine numerele reale p şi ( )0q q > astfel încît funcţia

( )2

: ,x px q

f f xx

∗ + +→ =� � să admită un maxim egal cu a şi un minim egal cu

b . Cum trebuie să fie a şi b ? (8711, G.M.B. 2/1968) 4.3.231. Care este cea mai mică valoare a funcţiei:

[ ) ( )( )

24 8 3: 0; ,

6 1

x xf f x

x

+ +∞ → =

+� ? (8197, G.M.B. 5/1967)

4.3.232. a) Simplificaţi fracţia ( )( )( )

22

22

3 3 1

5 5 1

x xf x

x x

+ + −=

+ + −, precizînd totodată

domeniul său de definiţie; b) Să se afle extremele fracţiei, precum şi abscisele punctelor de extrem. (C. Ionescu-Ţiu, Olimpiadă naţională, 1960)

4.3.233. Găsiţi valorile extreme ale expresiei ( )( )

4 2

22

5,

1

x xE x x

x

+ += ∈

+� .

(Olimpiadă, Anglia, 1966; 7907, G.M.B. 1/1967)

4.3.234. Fie 0 a b< < şi [ ], ;x y a b∈ . Să se determine maxx y

y x

+

.

(Gheorghe Stoica, 19570*, G.M. 2/1983)

4.3.235. Se consideră funcţia :f →� � dată de ( )2

2,

x ax af x a

x ax a

+ −= ∈

− +� .

a) Să se arate că dacă ( )0; 4a ∈ , atunci ( ) ( )4

1 ,4

af x x

a

+− ≤ ≤ ∀ ∈

−� ;

b) Pentru 2a = , definim [ ]1 : 0; 2f E→ restricţia lui f la intervalul [ ]0; 2 . Să se

arate că 1f este inversabilă şi să se determine inversa 1

1f− .

(I. Ursu, 19852*, G.M. 9/1983)

4.3.236. Fie ( ]: 0;f a A→ dată prin ( )2 2

, 02

x af x a

x

+= > .

a) Determinaţi A astfel încît f să fie surjectivă. b) Arătaţi că f este monotonă.

(Cristian Turcu, Olimpiadă locală, Prahova, 1985)

4.3.237. a) Fie funcţia ( )2

2

1: ,

1

x xf f x

x

− +→ =

+� � . Este f surjectivă ? Dacă nu,

construiţi o surjecţie � � ( ) ( ) ( ): , ,f E f x f x x→ = ∀ ∈� � .

(Matematică, septembrie 1983, enunţ adăugit) b) Considerăm funcţia ( ): ,g g x x a→ = −� � , unde a ∈� . Să se determine

funcţia h g f= � . (C. Cula, Olimpiadă locală, Teleorman, 1986) 4.3.238. Să se determine imaginea următoarelor funcţii:

a) ( )2

2

2 3: ,

1

x xf f x

x x

− −→ =

+ +� �

b) { } ( ) 2

2: \ 1,3 ,

4 3

xf f x

x x→ =

− +� �

c) ( )2

: \ , , ,2 2

a b x abf f x a b

x a b

+ − → = ∈

− − � � �

(C. Năstăsescu, Olimpiadă judeţeană, 1980)

d) ( )2

2: , , 0,

mx pf f x m p

x m

+→ = > ∈

+� � � .

4.3.239. Pentru orice număr real m , considerăm mulţimea mA definită astfel:

( ) { }2

\ 1 ,1

m

a a mA x a x

a

+ + = ∈ ∃ ∈ − =

+ � �

a) Să se arate că pentru orice 0m ≤ , avem mA = � .

b) Să se arate că mulţimile ( )mA m∈� nu au nici un element comun.

(C. Năstăsescu, 17949*, G.M. 10/1979) c) Să se determine mulţimea 1A .

4.3.240. Fie mulţimea 2

2

1

1

x xA x

x x

− + = ∈ ∈

+ + � � . Să se arate că A − ≠ ∅� .

(Alexandru Oţet, 19810*, G.M. 8/1983) 4.3.241. Să se determine α ∈� astfel încît mulţimea valorilor funcţiei

( )2

2

1: ,

1

x xf f x

x x

α+ +→ =

− +� � să fie un interval de lungime 4.

(Cornelia Neagu, 17914, G.M. 9/1979)

4.3.242. Fie funcţia ( )2

2

3: ,

1

x mx nf f x

x

+ +→ =

+� � . Să se determine parametrii

reali m şi n astfel încît [ ]Im 3;5f = − .

4.3.243. Se dă funcţia ( )2

2

1: ,

1

x nxf f x

x mx

+ +→ =

+ +� � . Să se determine parametrii

m şi n astfel încît 7

Im 3;3

f

= − (Irina Stănescu, 17568, G.M. 1/1979)

4.3.244. Fie ecuaţia ( ) ( )2 2 2 22 2 2 5 2 0,m m x m m x m m m− + − − + + − + = ∈� .

a) Să se arate că rădăcinile 1 2,x x ale ecuaţiei sunt reale şi pozitive, oricare ar fi m ∈� ;

b) Să se exprime ( ) 1 2

1 2

x xy m

x x

+= şi să se determine extremele lui ( )y m cînd

m parcurge mulţimea � . (Concurs, Bulgaria, 1968; 9889, G.M.B. 10/1969)

4.3.245. Se dă ( ) ( ) ( ) ( ) ( ): , 1 2 3 4f E f x x x x x→ = − − − −� . Să se determine

( )E f= � . (Th. Dăneţ, 16936, G.M. 11/1977)

4.3.246. Să se determine punctele de extrem ale funcţiei ( ) ( )( )( )( ): ,f f x x a x b x c x d→ = + + + +� � , ştiind că numerele reale

, , ,a b c d sunt legate prin relaţia a b c d+ = + . (Gh. Belcin, 8843, G.M.B. 4/1968)

4.3.3.5 Probleme cu parametri. Natura şi semnele rădăcinilor ecuaţiilor de gradul al doilea. Poziţionarea rădăcinilor faţă de un interval dat. 4.3.3.5.1 Natura şi semnele rădăcinilor ecuaţiilor de gradul al doilea

4.3.247. Se dă ecuaţia 2 0, , ,ax bx c a b c ∗+ + = ∈� . Arătaţi că relaţia 0a b

b c+ =

reprezintă o condiţie suficientă pentru ca ecuaţia să aibă rădăcini reale şi de semne contrare. (Gh. Ciorăscu, 19379, G.M. 9-10/1982) 4.3.248. Să se discute natura şi semnele rădăcinilor următoarelor ecuaţii, în funcţie de parametrul real m : a) 22 24 7 5 0x x m− + − = b) ( )2 22 2 1 2 5 0x m x m m− − − + + = .

c) ( ) 2 22 2 3 0m x mx m m− − + − =

d) ( ) 21 3 4 0m x mx m+ − + =

e) ( )2 2 1 3 1 0mx m x m− + + − =

f) ( )2 2 1 3 1 0mx m x m+ − − − = (9855, G.M.B. 9/1969)

g) ( )2 2 1 2 1 0mx m x m+ + + − = (Matematică, 1986)

4.3.249. Se consideră ecuaţia ( ) ( )23 3 1 0,m x m x m m− + + − − = ∈� .

a) Să se determine valorile lui m astfel încît rădăcinile ecuaţiei să verifice relaţia ( )2 2

1 2 1 24 1x x x x+ − = .

b) Să se discute natura rădăcinilor ecuaţiei, în funcţie de valorile lui m .

4.3.250. Să se determine valorile parametrului m ∈� astfel încît rădăcinile

1 2,x x ale ecuaţiei ( )2 2 1 0mx m x m− − + = să satisfacă relaţia 1 2

2 1

4x x

x x+ = . Să se

determine apoi valorile lui m pentru ca ecuaţia să admită rădăcini reale şi pozitive. (9418, G.M.B. 2/1969) 4.3.251. Se consideră funcţia ( ) 2: , 4,f f x x mx m m→ = + + − ∈� � � .

a) Pentru ( )4;m∈ ∞ , să se calculeze în funcţie de m expresia

( ) ( )1 2 2 1E x f x m x f x m= − + − , unde 1 2,x x sunt rădăcinile ecuaţiei

( ) 0f x = ;

b) Să se determine m şi să se rezolve ecuaţia ( ) 0f x = , ştiind că între

rădăcinile sale există relaţia 1 2 2x x+ = . (I.V. Maftei, Olimpiadă, 1970)

4.3.252. Fie ecuaţia ( ) ( )2 2 2 3 0,x a x a a+ − + − = ∈�

a) Să se rezolve ecuaţia în cazul în care rădăcinile sale sunt egale. b) Pentru ce valori ale lui a , rădăcinile sunt reale şi de semne contrare ?

c) Pentru ce valori ale lui a are loc relaţia 1 2

1 1 1

2x x+ ≥ ?

(C. Ionescu-Ţiu, Olimpiadă naţională, 1957) 4.3.253. a) Să se afle mulţimea valorilor reale ale parametrului m pentru care

ecuaţia ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 3 0mf x m x m x m= + − − + − = are ambele rădăcini reale;

b) Să se determine m astfel încît vîrful V al parabolei asociate funcţiei mf să se

găsească în interiorul dreptunghiului cu centrul în 1

, 62

A

şi cu laturile paralele

cu axele, cele paralele la Ox avînd lungimea 1, iar cele paralele la Oy lungimea 4. (N. Peligrad, Olimpiadă regională, 1965) 4.3.254. Să se studieze ecuaţia ( ) ( )2 4 23 2 1 1 0,m x m x m+ − + + = fiind un

parametru real. 4.3.255. Să se determine m ∈� astfel încît:

( ) ( ) ( )4 21 2 2 5 0,m x m x m x− + − + − ≥ ∀ ∈� . (19493, G.M. 12/1982)

4.3.3.5.2 Poziţionarea rădăcinilor faţă de un interval dat 4.3.256. Numerele reale strict pozitive 0 1 2, ,p p p verifică egalitatea 0 1 2 1p p p+ + = .

Să se arate că ecuaţia 2

0 1 2p p x p x x+ + = admite o rădăcină ( )0 0;1x ∈ dacă şi

numai dacă 1 22 1p p+ > .

4.3.257. Ecuaţia 2 0ax bx c+ + = cu , , , 0a b c a∈ >� , are rădăcinile 1x şi 2x . Dacă

a c b+ ≥ şi a c≥ , atunci 1, 1,2ix i≤ = .

(Marcel Chiriţă, 19815, G.M. 8/1983)

4.3.258. Fie , ,a b c trei numere întregi şi 0a > . Să se arate că dacă ecuaţia 2 0ax bx c+ + = are două rădăcini distincte în intervalul ( )0; 2 , atunci 2, 3a b≥ ≤ −

şi 1c ≥ . (Mircea Lascu, Liviu Vlaicu, Olimpiadă judeţeană, 1986) 4.3.259. Să se arate că, dacă 0m > , ecuaţia

( ) ( )( )2 22 2 2 1 2 0m x m m x m+ − + + − = admite o rădăcină pozitivă

subunitară. (Liviu Pîrşan, Olimpiadă judeţeană, 1970)

4.3.260. Fie ( ) 2: ,f f x ax bx c→ = + +� � , unde 0a ≠ şi 0α ≥ . Dacă

( )2 2

a c bα α+ < , arătaţi că o rădăcină 0x a ecuaţiei ( ) 0f x = verifică inegalitatea

0x α> . (Adrian P. Ghioca, 17602*, G.M. 2/1979)

4.3.261. Dacă ecuaţia 2 0, 0ax bx c a+ + = ≠ are rădăcini reale, atunci rădăcinile

ecuaţiei ( )( ) ( )22 2 2 4 0x b c a b a c x ac+ − + + + = sunt reale şi se află în intervalul

[ ]1;1− . (Maria Elena Panaitopol, 19092, G.M. 2-3/1982)

4.3.262. Folosind o grupare convenabilă, să se arate că rădăcinile ecuaţiei: ( )2 2 2 22 2 0 , , 0a x ab b x b a b a− − − = ∈ ≠�

sunt mai mici decît 3. (Lucia Ţene, 9061, G.M.B. 8/1968)

4.3.263. Se consideră ecuaţia ( ) ( )2 12 1 2 1 2 0, \

2m x m x m

+ − − − = ∈ −

� . Fără a

rezolva ecuaţia, să se determine valorile lui m astfel ca rădăcinile sale să fie mai mici decît 2. 4.3.264. Pentru ce valori ale parametrului m ∈� rădăcinile 1 2,x x ale ecuaţiei

2 0x mx m+ + = satisfac relaţiile 1 21 2x x< < < ?

4.3.265. Se dă ecuaţia ( )2 2 1 5 0x m x m− − + + = , unde m este un parametru real.

În cazul în care ecuaţia admite rădăcini reale, să se arate că o rădăcină a ecuaţiei, şi numai una, este cuprinsă în intervalul ( )2; 3− .

(Olimpiadă, 1964) 4.3.266. Cum trebuie să fie m , astfel încît una din rădăcinile ecuaţiei ( ) 2 22 2 3 0m x mx m m− − + − = să fie mai mică decît –1, iar cealaltă mai mare decît

1 ? (N. Abramescu, 7014, G.M.B. 7/1965) 4.3.267. Se dă ecuaţia ( ) ( )23 2 2 1 2 0,m x m x m m− − + + = ∈� . Să se determine

valorile lui m ∈� pentru care: a) ambele rădăcini ale ecuaţiei sunt mai mari decît –1; b) o rădăcină a ecuaţiei este mai mică decît –1, iar cealaltă mai mare decît –1; c) ambele rădăcini ale ecuaţiei se găsesc în intervalul ( )1; 3− .

(Alexandru Suciu, 9463, G.M.B. 3/1969) 4.3.268. Să se determine parametrul real m astfel încît ecuaţia: ( ) ( )22 4 3 0m x m x m− − − + − = să admită o rădăcină reală mai mică decît 1

şi o altă rădăcină reală mai mare decît 1.

(Matematică-fizică, septembrie 1981) 4.3.269. a) Cum trebuie să fie m pentru ca rădăcinile ecuaţiei:

( ) ( )21 2 1 1 0m x m x− − + + = să fie mai mici decît 1

2?

b) Să se formeze şi să se discute ecuaţia care are ca rădăcini inversele rădăcinilor ecuaţiei date. (8050, G.M.B. 3/1967) 4.3.270. Fie ecuaţia 2 22 2 4 7 0,x mx m m m− + − + = ∈� .

a) Pentru ce valori ale lui m ecuaţia admite rădăcini reale ?

b) Să se arate că ( ) ( )2 2

1 22 2 1x x− + − = . Să se deducă faptul că 1x şi 2x aparţin

intervalului [ ]1;3 .

4.3.271. Se consideră ecuaţia 22 3 0,x x m m− + = ∈� . a) Să se formeze ecuaţia de gradul al doilea în y cu rădăcinile

1 21 2

1 2

1 1,

1 1

x xy y

x x

− −= =

+ +, unde 1 2,x x sunt rădăcinile ecuaţiei date;

b) Să se determine valorile lui m pentru care una sau ambele rădăcini ale ecuaţiei iniţiale sunt situate în intervalul [ ]1;1− . Discuţie.

(8393, G.M.B. 8/1967) 4.3.272. Fie ecuaţiile 2 0ax bx c+ + = şi 2 0cx bx a+ + = , unde ( ), , 0;a b c ∈ ∞ cu

a c≠ . Să se arate că dacă a c b+ < , rădăcinile celor două ecuaţii se separă. (Ion Ursu, 18730, G.M. 5/1981) În exerciţiile următoare, se cere să determinaţi valorile parametrului real m astfel încît să aibă loc relaţiile stabilite:

4.3.273. { } [ )2 1 0 1;x x mx∈ + + = ∩ ∞ ≠ ∅� .

4.3.274. { } ( ]2 2 0 ; 1x x mx∈ + + = ∩ −∞ −� să aibă două elemente.

4.3.275. ( ){ } [ )25 4 2 0 2;x m x mx m∈ − − + − = ∩ ∞� să aibă un singur element.

4.3.276. ( ) ( ){ } [ ]21 2 1 1 0 1;1x m x m x m∈ − − + + + = ∩ − ≠ ∅�

4.3.277. ( ) ( ){ } [ ]21 2 1 0 0;1x m x m x m∈ + − − − = ∩ = ∅�

4.3.278. { } ( )2 2 4 5 0 0;3x x mx m∈ − + − = ∩� să aibă două elemente.

4.3.279. { } [ ]2 2 4 5 0 5;7x x mx m∈ − + + = ∩ ≠ ∅�

4.3.280. ( ){ } [ ]2 1 2 0 0;1x mx m x m∈ + − + + = ∩ ≠ ∅�

4.3.281. Să se determine toate numerele reale m , astfel încît inegalitatea ( ) 21 2 0m x mx− − − > să fie verificată oricare ar fi 2x > .

4.3.282. Se consideră funcţia ( ) ( )2: , 2 2 1 3 2,f f x mx m x m m∗→ = − − + + ∈� � � .

Să se determine m∗∈� astfel încît:

a) ( ) ( )0,f x x≥ ∀ ∈� ;

b) ( ) ( ) [ )0, 0;f x x≥ ∀ ∈ ∞ ;

c) ( ) ( ) [ ]0, 0;1f x x≥ ∀ ∈ .

4.3.283. Se consideră trinomul ( ) ( )2 2, 1 ,T x a ax a x a a ∗= + − − ∈� . Să se

determine a astfel încît ( ), 0T x a > , oricare ar fi [ ]2;2x ∈ − .

4.3.284. Pentru ce valori ale lui m funcţia ( ) 2: , 2 1f f x x mx m→ = − + +� � păstrează semn constant pe ( )0;1 ?

4.3.285. Pentru ce valori ale lui m funcţia de gradul al doilea: ( ) ( )2 2: , 5 5 1 1f f x m x m x→ = − + +� �

are semn constant pe intervalul ( )1;1− ?

(Matematică, sesiune specială, 1986) 4.3.286. Pentru ce valori ale lui m funcţia de gradul al doilea

( ) ( )2 2: , 2 1 1f f x mx m x m→ = + + + −� �

are semn constant pe intervalul [ ]1;2 ? (Matematică, septembrie 1986)

4.3.287. Să se determine m∗∈� astfel încît:

{ } ( )( ){ }2 24 4 1 0 \ 3 10 0x x mx m x x x∈ − + − = ∈ − − < = ∅� �

(Olimpiadă locală, Teleorman, 1986) 4.3.288. Se dau ecuaţiile:

( ) ( )22 22 2 2 1 2 1 2 0x m x m a− + + + − = cu rădăcinile 1 2,x x şi

( ) ( )22 22 2 2 1 2 1 2 0x m x m a+ − + − − = cu rădăcinile 1 2,x x′ ′ . Să se arate că

dacă 1

;2

a

∈ ∞ şi

1 2 1 2;

2 2

a am

− − + ∈

, atunci 2

1 1 2 2 2x x x x a′ ′+ ≤ .

(Dumitru Vieru, 18573, G.M. 1/1981) 4.3.289. Să se determine m ∈� astfel încît toate rădăcinile ecuaţiei

( ) ( ) ( )1 2 3x x x x m− − − = să fie reale.

(Liviu Pîrşan, 19849*, G.M. 9/1983) 4.3.290. Să se afle m ∈� astfel ca ecuaţia ( )4 3 2 24 4 3 2 2x x x x x m− + + = − + să

aibă toate rădăcinile reale. (Paul Ţigănilă, 17401, G.M. 9/1978)

4.3.291. Să se rezolve ecuaţia ( ) ( ) ( )22 21 11 1 2 14 12 0x x m x x m m+ − − + − + − = . Să

se discute numărul soluţiilor reale ale ecuaţiei în funcţie de parametrul real m . (Em. Dogăroiu, 5653, G.M.F.B. 2/1963)

4.3.292. Se consideră ecuaţia ( )( ) ( )( )2

2 21 2 2 3 2 2 3 0m x x m x x m− + + − + + − = , în

care m este un parametru real. Să se determine în funcţie de m : a) numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiei; b) numărul rădăcinilor pozitive ale ecuaţiei.

(Matematică, septembrie 1976)

4.3.3.6 Probleme diverse 4.3.293. Să se determine parametrul real m astfel încît rădăcinile reale 1 2,x x ale

ecuaţiei 2 2 0x mx m− + = să verifice relaţia 2 2 2 2

1 2 1 2 12x x x x+ + = .

4.3.294. Se dă ecuaţia 2 2 0x mx− + = cu rădăcinile 1 2,x x , iar m ∈� .

a) Să se arate că expresia 2 2

1 22 2

1 1 2 2

1 1 1 1 21

4E x x

x x x x= + + + + + + este pozitivă,

oricare ar fi m real; b) Să se determine parametrul real m astfel încît expresia E să fie minimă;

c) Calculaţi valoarea expresiei 1 2

2 1

x xF

x x= − , fără a rezolva ecuaţia;

d) Să se determine m astfel încît ( )4 4 3 3

1 2 1 23x x m x x+ > + .

4.3.295. Se dă ecuaţia ( ) ( )2 3 5 0,x m x m m+ − − + = ∈� .

a) Să se arate că ecuaţia are rădăcini reale şi distincte pentru orice valoare reală a lui m ;

b) Să se determine m astfel încît rădăcinile 1 2,x x ale ecuaţiei să satisfacă

relaţia 1 2 1 2

1 2 1 2

1 16

x x x x

x x x x

− − ++ = + ;

c) Să se determine valoarea lui m pentru care suma 2 2

1 2S x x= + este minimă. (9340, G.M.B. 1/1969)

4.3.296. a) Rezolvaţi inecuaţia 23 2 1 0,m m m+ − > ∈� . b) Pentru valorile lui m găsite la punctul a), formaţi ecuaţia de gradul al doilea

în x avînd rădăcinile ( )

12

2 1

1 3 2 1

mx

m m m

− +=

+ + + − şi

2

2

1 3 2 1

1

m m mx

m

+ + + −=

−;

c) Pentru ce valori admisibile ale lui m are loc relaţia 1 2

2 1

1x x

x x+ ≤ ?

(9342, G.M.B. 1/1969)

4.3.297. Fie ecuaţia de gradul al doilea ( ) ( ) ( )2 21 1 1 0x xα α α α+ − + + − = , unde

α ∈� . a) Să se rezolve ecuaţia; b) Să se determine valorile parametrului real α pentru care are loc inegalitatea

1 2 1 2

1 1 11 0

x x x x− ≤ + + ≤ ;

c) Să se construiască ecuaţia de gradul al doilea care are ca rădăcini inversele rădăcinilor ecuaţie date.

(9573, G.M.B. 5/1969) 4.3.298. Se dă ecuaţia ( ) 22 2 1mx x x− = + .

a) Să se discute natura şi semnele rădăcinilor ecuaţiei, atunci cînd parametrul real m variază;

b) Să se determine m ∈� astfel încît între rădăcinile ecuaţiei să avem relaţia:

3 3 2 2

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 20

x x x x x x+ = + + .

4.3.299. a) Să se formeze ecuaţia de gradul al doilea cu coeficientul dominant egal cu 1, ştiind că discriminantul şi produsul rădăcinilor sale sunt respectiv:

( )2 232 1, 2

4m m p m m∆ = − + + = +

b) Să se discute natura şi semnele ecuaţiei obţinute, cînd m parcurge mulţimea numerelor reale; c) Să se determine m astfel încît rădăcinile 1x şi 2x ale ecuaţiei să verifice

inegalitatea 3 3

1 2

2 2

1 2

x xm

x x

+>

+ (5660, G.M.F.B. 2/1963)

4.3.300. Se dă funcţia ( )1 1 2

,4 4

F x mx m x m x

= + ++ − + −

.

a) Să se arate că ecuaţia ( ) ( ), 0 1F x m = are rădăcinile reale, oricare ar fi

parametrul real m ; b) Să se determine semnul rădăcinilor ecuaţiei ( )1 ;

c) Să se determine valorile lui m astfel încît ecuaţia ( )1 să aibă ca rădăcină un

număr real a , precum şi condiţiile de posibilitate ale problemei; d) Pentru ce valori ale lui m este satisfăcută dubla inegalitate:

( )16

2 1,5

F m− < − < ?

e) Notînd cu 1x şi 2x rădăcinile ecuaţiei ( )1 , să se determine m astfel încît 3 3

1 2 31x x+ = − . (Concursul G.M, 1948) 4.3.301. Se consideră funcţia

( ) ( ) ( )2 2 2 2: , 1 3 16 13 2 18 40f f x m x m m x m m→ = − − − + + − +� � , unde

{ }\ 1m ∈� .

a) Să se arate că oricare ar fi { }\ 1m ∈� , rădăcinile 1 2,x x ale ecuaţiei

( ) 0f x = sunt raţionale;

b) Să se determine mulţimile { }{ }1 2,A m x x= ∈ ∩ ≠ ∅� � şi

{ }{ }1 2,B m x x= ∈ ⊂� � .

c) Să se determine punctele fixe ale familiei de funcţii ( )f x .

(Ion Butulescu, 18291, G.M. 6/1980)

4.3.302. Fie funcţia ( )3, 1

: , ,3 , 1

x xf f x m

x m x

− + <→ = ∈

− + ≥� � � .

a) Să se afle cea mai mare valoare a lui m pentru care f este strict descrescătoare pe � ;

b) Pentru 4m = , să se determine mulţimea valorilor lui x pentru care ( ) 0xf x > . (C.Ionescu-Ţiu, V. Matrosenco, Olimpiadă, 1975)

4.3.303. Se dă funcţia ( ) 2 2: , 2 1, 0f f x x ax a a→ = + + − ≠� � .

a) Să se descompună trinomul ( )f x în factori liniari. Să se determine semnul

funcţiei şi mulţimea sa de valori; b) Dacă 0a > , să se arate că funcţia este strict monotonă pe intervalul

( ); 1a−∞ − − ;

c) Pentru 1a = , să se arate că ( ) ( ) ( )( ) ( )3 1 2 3

3 6 32

n n nf f f n

+ ++ + + =… .

(C. Fediuc, 9179, G.M.B. 10/1968) 4.3.304. Se dă funcţia ( ) ( ) 2: , 2 2 2 3,f f x m x mx m m→ = − − + − ∈� � � .

a) Să se determine m astfel încît între rădăcinile ecuaţiei ( ) 0f x = să existe

relaţia 2 2

1 2

1 12

x x+ = .

b) Să se determine m astfel încît minimul funcţiei f să fie egal cu 3− .

c) Pentru ce valori ale parametrului m inecuaţia ( ) 0f x > nu are soluţii ?

d) Pentru 1m = să se reprezinte grafic funcţia :g →� � ,

( )( )

( )

, 11

, 1

f xx

xg x

f x x

< −

+= ≥ −

(Concurs treapta a II-a, Bucureşti, 1976)

4.3.305. Fie funcţia ( ) ( )2: , 2 1 2,f f x mx m x m m∗→ = − − + + ∈� � � .

a) Pentru ce valori ale lui m suma rădăcinilor ecuaţiei ( ) 0f x = este egală cu

produsul lor ? b) Pentru m astfel determinat, explicitaţi funcţia ( ) ( ): , 4g g x f x→ = −� � ;

c) Pentru 2m = − , rezolvaţi inecuaţia ( ) 0f x ≥ .

(Concurs treapta a II-a, Prahova, 1976) 4.3.306. Se consideră familia de funcţii de gradul al doilea :mf →� � ,

( ) ( )2 2 1 5mf x x m x m= − + − + , unde m ∈� .

a) Pentru ce valori ale lui m rădăcinile 1 2,x x ale ecuaţiei ( ) 0mf x = verifică

relaţia 1 2

2 2

2 1

22

25

x x

x x+ = − ?

b) Să se determine m astfel încît ordonata vîrfului parabolei asociate funcţiei

mf să fie maximă. În acest caz, să se calculeze coordonatele vîrfului

parabolei şi să se reprezinte grafic funcţia mf .

(C. Ionescu-Ţiu, Olimpiadă naţională, 1967; 8519, G.M.B. 10/1967)

4.3.307. Se dă funcţia ( ) 2 2 2: , 2 1 1m mf f x x x m m m→ = − − + + −� �

a) Să se afle valoarea cea mai mică a acestei funcţii, atunci cînd parametrul real m ia toate valorile posibile;

b) Să se determine locul geometric al vîrfurilor parabolelor definite de funcţia dată, atunci cînd m variază.

(Ilie Stănescu, 9063, G.M.B. 8/1968) 4.3.308. Se dă ( ) ( ) ( )2 2: , 2 1 8 1m mf f x x m x m→ = + − + −� � , unde m ∈� . Să se

determine valorile lui m pentru care: a) suma pătratelor rădăcinilor ecuaţiei ( ) 0mf x = este maximă;

b) parabola corespunzătoare are vîrful situat pe dreapta de ecuaţie 2 0y x+ = ; c) există a ∈� astfel încît 1 3 1x a= + şi 2 3x a= + .

4.3.309. Se dă familia de parabole ( ) ( ) { }2 22 1 2 , \ 1,1y m x x m= − − + ∈ −�

a) Să se exprime coordonatele vîrfurilor acestor parabole. În ce intervale se află coordonatele punctelor de minim ?

b) Să se arate că toate parabolele trec printr-un punct fix, ale cărui coordonate se cer.

4.3.310. Fie familia de funcţii de gradul al doilea:

( ) ( )2 2: , 2 6 3 1 ,f f x x x m x m→ = + + − + ∈� � �

a) Să se determine m astfel încît rădăcinile ecuaţiei ( ) 0f x = să fie egale;

b) Să se calculeze expresia ( ) 3 3

1 2u m x x= + , unde 1 2,x x sunt rădăcinile ecuaţiei

( ) 0f x = ;

c) Ce valori poate lua m astfel încît ( ) 0u m > ?

d) Există puncte fixe prin care trec toate parabolele asociate funcţiilor f , cînd m parcurge mulţimea numerelor reale ?

(5617, G.M.F.B. 1/1963, reformulat; 7378, G.M.B. 2/1966)

4.3.311. Fie familia de funcţii :mf →� � :

( ) ( ) ( )2 21 2 1 3 2,mf x m x m x m m m= − − + + + + ∈�

a) Să se determine valorile lui m pentru care rădăcinile ecuaţiei ( ) 0mf x = sunt

egale; b) Să se determine valorile lui m pentru care rădăcinile 1 2,x x ale ecuaţiei

( ) 0mf x = verifică relaţia ( )

( )2 2

1 2 2

2 1

1

m mx x

m

++ =

−;

c) Pentru 2m = − , să se reprezinte grafic funcţia mf ;

d) Să se discute natura şi semnele rădăcinilor ecuaţiei ( ) 0mf x = cînd

m parcurge mulţimea numerelor reale. (8619, G.M.B. 12/1967)

4.3.312. Se dă familia de funcţii ( ) ( ) ( )2: , 1 2 1 ,f f x m x m x m m→ = + + − + ∈� � �

a) Pentru ce valori ale lui m vîrfurile parabolelor definite de familia dată se află în interiorul triunghiului OAB , avînd vîrfurile de coordonate

( ) ( ) ( )0,0 , 1,0 , 1,1O A B .

b) Să se deseneze graficul funcţiei din familie care are vîrful pe prima bisectoare.

c) Să se determine valorile lui m astfel ca ambele rădăcini ale ecuaţiei

( ) 0f x = să fie mai mari decît 1

2− .

(C. Fediuc, Olimpiadă judeţeană, 1969; 9768, G.M.B. 8/1969) 4.3.313. Se consideră funcţia ( ) ( ) 2: , 1 2 4,f f x m x mx m→ = − + + ∈� � �

a) Pentru ce valori ale lui m parabola definită de f este tangentă axei Ox într-un punct A ?

b) Pentru ce valori ale lui m vîrful parabolei este în punctul B de pe axa Oy ? c) Să se arate că parabolele de la punctele a) şi b) snt simetrice în raport cu

mijlocul segmentului [ ]AB .

d) Există puncte fixe prin care trec toate parabolele definite de funcţia dată, cînd m ia toate valorile reale ? În caz afirmativ, să se determine aceste puncte.

4.3.314. Se consideră ecuaţia ( ) ( )2 2 2 21 2 2 4 0,m x m x m m− − + + − = ∈�

a) Să se discute natura şi semnele rădăcinilor ecuaţiei în funcţie de parametrul real m ;

b) Să se afle valorile lui m astfel încît ecuaţia să aibă o singură rădăcină în intervalul [ ]1;1− ;

c) Pentru ce valori ale lui m inegalitatea ( ) ( )2 2 2 21 2 2 7 0m x m x m− − + + − < este

verificată de orice x real ? d) Să se arate că toate parabolele de ecuaţie

( ) ( )2 2 2 21 2 2 4y m x m x m= − − + + − , cînd m variază, trec printr-un punct fix,

ale cărui coordonate se cer. (E. Alisie, 9004, G.M.B. 7/1968)

4.3.315. Se dă trinomul ( ) ( ) ( )2 2 2 2, 1 2 1 2T x m m x m m x m m= − − + − + + , m ∈� .

a) Să se arate că oricare ar fi m real, ecuaţia ( ), 0T x m = are rădăcinile reale.

b) Să se determine valorile lui m în aşa fel încît ambele rădăcini ale ecuaţiei ( ), 0T x m = să se găsească în intervalul ( )1;1− ;

c) Folosind relaţiile lui Viète, să se calculeze ( )( )

2 2

1 2

1 2 1 2

x xE m

x x x x

+=

+.

(7974, G.M.B. 2/1967) 4.3.316. Se dă ecuaţia: ( )2 2 3 3 0,mx m x m m− − + + = ∈� .

a) Să se discute natura şi semnele rădăcinilor ecuaţiei, în funcţie de valorile parametrului real m ;

b) Să se determine valorile lui m pentru care rădăcinile 1 2,x x ale ecuaţiei

verifică relaţia ( )2 2

1 2 1 25 1x x x x+ − + = ;

c) Să se discute, în funcţie de m , numărul rădăcinilor ecuaţiei în intervalul ( )0;1 .

4.3.317. Se dă ecuaţia ( )2 2 1 2 0x m x m− − + − = .

a) Să se determine m astfel încît ( ) ( )( ) ( )

1 1 2 2 2 1

1 2 1 2

2 26

2 2

x x x x x x

x x x x

− + −= −

+ +;

b) Să se determine valorile lui m pentru care 1 2

1 2

2 3

1

x x

m x x m

+< <

+;

c) Să se discute natura şi semnele rădăcinilor ecuaţiei date, cînd m parcurge mulţimea numerelor reale. (8084, G.M.B. 3/1967)

4.3.318. Se dă familia de funcţii de gradul al doilea:

( ) ( ) ( ) ( ) { }2 2: , 1 1 1 , \ 1,1f f x m x m x m m→ = − + − − + ∈ −� � � . Să se

determine valorile parametrului real m pentru care: a) ecuaţia ( ) 0f x = are rădăcini reale şi de semne contrare;

b) rădăcinile 1 2,x x ale ecuaţiei ( ) 0f x = verifică inegalitatea 1 2

1 12

x x+ ≤ ;

c) parabola corespunzătoare are vîrful pe dreapta 2 4 0x y− + = . (Concurs treapta a II-a, Sibiu, 1976)

4.3.319. Fie familia de funcţii de gradul al doilea ( ) ( ) ( )2 2 1 2, 1mf x mx m x m m

∗= + + + + ∈�

a) Să se arate că vîrfurile parabolelor asociate acestor funcţii se găsesc pe dreapta 1y x= + ;

b) Fie ,A B punctele de intersecţie ale unei parabole oarecare din familie cu axa Ox şi F proiecţia vîrfului V al parabolei pe Ox . Să se arate că

2AB FV= , pentru orice valoare a lui m . c) Să se arate că toate parabolele definite de ( )1 trec printr-un punct fix.

4.3.320. Fie 1m ≠ − un parametru raţional şi curbele definite de ecuaţiile:

( ) ( )2 2 3 41 2p my m x m x m P= + − +

( )22 9d my m x d= + Să se demonstreze că:

a) Fiecare dreaptă ( )md taie parabola ( )mP corespunzătoare în două puncte

distincte, cu coordonatele raţionale; b) Doar şase dintre dreptele ( )md taie parabolele ( )mP în puncte cu ambele

coordonate întregi; c) Toate parabolele de ecuaţii p dy y y= − au vîrfurile situate pe o dreaptă

paralelă cu axa Ox .

(C. Gîdea, 16343, G.M. 1/1977) 4.3.321. Fie familiile de parabole: ( ) ( ) ( )2

1 1 2 4 2 , 1P y m x m x m m= + − + + ≠ −

( ) ( ) ( )2

2 3 2 3 15, 3P y m x m x m= + − + + ≠ −

a) Să se arate că dacă parabolele din familia ( )1P intersectează axa Ox , atunci

parabolele din familia ( )2P nu o intersectează şi invers: dacă parabolele din

familia ( )2P intersectează axa Ox , atunci parabolele din familia ( )1P nu o

intersectează; b) Pot coincide vîrfurile a două parabole din cele două familii ? c) Să se determine valorile întregi ale lui m pentru care parabolele familiei ( )1P

au vîrfurile de coordonate întregi. Să se arate că vîrfurile respective formează un paralelogram.

d) Să se determine locul geometric al vîrfurilor parabolelor familiei ( )2P cînd

m parcurge mulţimea { }\ 3−� .

(Laura Constantinescu, Olimpiadă judeţeană, 1977) 4.3.322. Fie familia de funcţii de gradul al doilea

( ) ( ) { }21 1, \ 1mf x m x mx m= − + − ∈�

a) Există valori ale lui { }\ 1m ∈� pentru care vîrful parabolei corespunzătoare

este pe prima bisectoare ? b) Arătaţi că familia mf trece prin două puncte fixe, aflate pe axele de

coordonate; c) Dacă 1x şi 2x sunt rădăcinile ecuaţiei ( ) 0mf x = , să se calculeze expresia:

( )2 2 2 1 2 1

1 2 1 2 1 1 2 2 ,n n n n n n n nE x x x x m x x x x n+ + + + + += + − − − − + − ∈� (G.M. 1/1987)

4.3.323. Să se demonstreze că parabolele din familia ( )2 2 1 2,y mx m x m m

∗= − − + − ∈� , satisfac următoarele cerinţe:

a) au vîrfurile pe aceeaşi dreaptă d ; b) trec printr-un punct fix P d∈ ; c) cele care au vîrfurile simetrice faţă de punctul P sunt tangente două cîte

două, chiar în P . 4.3.324. Fie funcţia

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

1 2 10 , 0, , 1,10if x ax a ax a ax a a a i= − + − + + − ≠ ∈ =… �

a) Să se arate că valoarea minimă a lui f nu depinde de a ;

b) Dacă 2 2 2

1 2 10 1a a a+ + =… , atunci 1 2 10 10a a a+ + + ≤… .

(Olimpiadă judeţeană, 1976) 4.3.325. Fie familia de funcţii de gradul al doilea

( ) ( )2: , 2 1 1,a af f x ax a x a a∗→ = − + + + ∈� � �

a) Să se discute natura şi semnele rădăcinilor ecuaţiei ( ) 0af x = în funcţie de

parametrul a∗∈� ;

b) Să se determine a astfel încît vîrful parabolei asociate funcţiei af să se găsească pe dreapta de ecuaţie 2 3 5 0x y+ + = .

4.3.326. a) Să se simplifice fracţia

2 sin 34

sin 14

x x

x

π

π

+ −

−

b) Să se arate că toate curbele definite de funcţia ( )2 3

1m

x mxf x

mx

+ −=

−, cînd

m variază, trec prin punctele fixe ( ) ( )1 22,1 , 0,3F F− şi ( )3 2,1F ;

c) Să se afle valorile lui m pentru care fracţia ( )2 3

1m

x mxf x

mx

+ −=

−se simplifică;

în acest caz, să se afle rezultatul simplificării; d) Fie parabola de ecuaţie 2 3y x mx= + − . Notăm cu ,A B punctele în care

parabola taie axa Ox , cu V vîrful parabolei şi cu M mijlocul lui [ ]AB . Să se

demonstreze că 2MV AB= . (C. Ionescu-Ţiu, 9675, G.M.B. 7/1969)

4.3.327. Fie funcţia { } ( )2

: \ ,x ax c

f b f xx b

+ +− → =

+� � , unde , ,a b c ∈� . Să se

arate că graficul funcţiei admite un centru de simetrie care nu depinde de c . (Nicolae Bişboacă, C:635, G.M. 10/1986) 4.3.328. Să se determine, în funcţie de valorile lui m ∈� , numărul elementelor

mulţimii { } { }2 21 0 4 8 0M x x mx x x x m= ∈ + + = ∪ ∈ + + =� � .

4.3.329. Se dă ( ){ } { }2 24 4 2 0 4 4 3 2 0A x x m x m x x mx m= ∈ − − + = ∪ ∈ − + − =� � ,

unde m ∈� . Să se determine parametrul real m astfel încît mulţimea A să conţină: a) două elemente; b) trei elemente; c) un singur element. (Th. Dăneţ, Olimpiadă locală, Bucureşti, 1981)

4.3.330. Se dă ecuaţia ( )2 3 13 1 0, ;

4x a x a a

− + − = ∈ − ∞

.

a) Să se arate că ecuaţia are rădăcini reale; b) Să se arate că între rădăcini există relaţia 3 3

1 2 1x x+ = ; c) Considerînd a ∈� , să se găsească o condiţie necesară şi suficientă pentru

ca rădăcinile să fie întregi. În acest caz, să se arate că rădăcinile ecuaţiei sunt cuburi perfecte.

4.3.331. Se dă ecuaţia 2 0, 0x ax b b a+ − = < ≤ . Să se arate că ecuaţia nu poate avea ambele rădăcini întregi.

(Th. Dăneţ, Olimpiadă locală, Bucureşti, 1983) 4.3.332. Fie , ,a b c ∈� şi ( ) 2: ,f f x ax bx c→ = + +� � .

a) Ştiind că ( )8 2f = , să se determine mulţimea ( ){ }3x f x x∈ =� .

b) Să se arate că mulţimea ( ){ }2x f x x∈ =� are cel mult două elemente.

(Florin Vulpescu-Jalea, Olimpiadă locală, 1988) 4.3.333. Să se rezolve în numere întregi ecuaţia ( ) ( )21 2 1 2 0m x m x m+ − + − = ,

unde m este un parametru întreg. (Eugen Onofraş, 17332*, G.M. 8/1978) 4.3.334. Fie ecuaţia 2 2 2 0,x mx m m+ + − = ∈� .

a) Să se arate că nu există m ∈� astfel încît ambele rădăcini să fie întregi; b) Să se determine m ∈� astfel încît o rădăcină să fie întreagă.

(Laurenţiu Panaitopol, Olimpiadă locală, Bucureşti, 1984) 4.3.335. Să se arate că familia de parabole

( ) ( ) ( )23 1 2 1 6,pf x p x p x p= − − + − ∈� intersectează axa Ox în trei puncte

de coordonate întregi. Cîte parabole din familie au coordonatele vîrfurilor numere întregi ? (Willy Portal, 17825, G.M. 7/1979)

4.3.336. Să se determine x ∈�astfel încît 2 5 7

x

x x∈

− +� .

(N. Dincă, lucrare scrisă, 1977)

4.3.337. Fie ( ){ }2, 4 4 0D x m x mx m∗= ∈ × + − ≠� � şi considerăm funcţia

:f D →� , ( )2

2

3 3,

4 4

x mxf x m

x mx m

+ +=

+ −. Se cere:

a) Să se determine mulţimea D ;

b) Să se determine mulţimea ( ) ( ){ }, ,A x m D f x m x= ∈ = .

(Dan Popescu, 19811, G.M. 8/1983) 4.3.338. Să se determine numărul elementelor mulţimii:

( ) ( ){ }2 2, 2 3 5 18 0A x y x y x y= ∈ × + − + + ≤� �

Să se reprezinte grafic elementele mulţimii A . (Radu Miculescu, C:609, G.M. 7/1986, enunţ parţial)

4.3.339. a) Să se determine numerele naturale nenule x şi y ştiind că

( ) ( )2 21 1 2x x y y xy− + − =

(Costache Ciotloş, 17905, G.M. 9/1979; 19177*, G.M. 4/1982; Olimpiadă judeţeană, 1986)

b) Să se rezolve în 2� ecuaţia 2 25 5 3 3x y x xy y+ = + + . (Gheorghe Ghiţă, 19951*, G.M. 12/1983)

c) Determinaţi ,x y ∈� care verifică ecuaţia 2 2

8

73

x y

x xy y

+=

− +

(O.G:36, G.M. 11-12/1986) 4.3.340. Să se rezolve în mulţimea numerelor naturale ecuaţia:

3 2

3 3 92 2

x y x yx y

+ + + + =

(Costache Ciotloş, 17954, G.M. 10/1979)

4.3.341. a) Cîte perechi ( ),x y ∈ ×� � verifică ecuaţia: 2 25 4 6 1060 0x xy y y+ + + − = ?

b) Să se determine soluţiile ( ),x y ale ecuaţiei care verifică restricţia 38x ≥ .

(Gheorghe Cioplan, 20934, G.M. 11-12/1986) 4.3.342. Să se arate că relaţia ( ): ,f f n k

∗ ∗→ =� � , unde k∗∈� satisface dubla

inegalitate ( ) ( )1 2 1k k n k k− < ≤ + defineşte o funcţie. Să se determine ( )1986f şi

n∗∈� pentru care ( ) 1986f n = .

(George-Eugen Müller, 20648*, G.M. 1/1986) 4.3.343. Se consideră funcţia ( ) 2: , 2f f x ax bx c→ = + +� � , unde , ,a b c sunt

numere naturale astfel încît 0a b c> > > , iar ( )0f şi ( )1f − sunt numere prime.

Ştiind că rădăcinile ecuaţiei ( ) 0f x = sunt raţionale, demonstraţi că:

a) 7a > ; b) Rădăcinile ecuaţiei ( ) 0f x = aparţin mulţimii \� � ;

c) Pentru 12a < există o singură funcţie care îndeplineşte condiţiile din ipoteză.

(Liliana Niculescu, C:425, G.M. 8/1984) 4.3.344. Funcţia ( ) 2: ,f f x ax bx c→ = + +� � satisface simultan condiţiile

( ) ( )3 3, 1 1f f− > − < şi ( )1 0f > . Să se determine semnul coeficientului a .

(Admitere, U.R.S.S, 1979)

4.4 Sisteme de ecuaţii neliniare 4.4.1 Sisteme cu două necunoscute 4.4.1. Să se rezolve în � sistemele:

a) 3 3

6

126

x y

x y

− =

− =

b) 2 2

2 1

2 1

x y

x y

+ =

+ =

c) 2

2 3

1

x y

x xy y

− =

+ + = −

d) 2 2 164

2

x y

x y

+ =

− =

e) 3 3

2 2

7

7

x y

x xy y

− =

+ + =

4.4.2. Fie ( ){ }, 2A x y x y= ∈ × + =� � şi ( ){ }3 3, 8 6B x y x y xy= ∈ × + = −� � . Să se

determine B A− . (Dan Mihalca, Olimpiadă locală, Bucureşti, 1988)

4.4.3. Să se determine mulţimea:

( ){ }2 2 2 2, 11 11 8 şi 6 12 4M x y x x y y x x y y= ∈ × − = − + = +� �

(L. Mănescu, 18327*, G.M.B. 7/1980) 4.4.4. Să se rezolve în � sistemele:

a) 2 2 2 4

2 8

x y x

xy y

+ − =

+ = (Sabin Tăbîrcă, E:10134*, G.M. 1/1991)

b) ( ) ( )( )( )

2 2

2 2

65

5

x y x y

x y x y

+ + =

− − =

c) ( )( )2 2 3 3

6

1440

x y

x y x y

− =

+ − =

4.4.5. Să se rezolve în � sistemele:

a) 2

2,

x y aa

y x a

+ =∈

+ =� . Caz particular: 7a = .

(O.G. 83, G.M. 11-12/1988)

b) 2

2

5

5

x y

y x

− =

− = (C:870, G.M. 3/1989)

c)

1 2

1 5

xx

y

xy

y

+ =

+ =

d)

1 7

3

1 7

2

xy

yx

+ =

+ =

4.4.6. Să se rezolve în � sistemele:

a)

1

,1

x y xya

xy x y aa b

x y xyb

xy x y b

∗

++ = + +

∈− + = +

−

�

b) 3 2 3

3 2 2

2 44 0

2 3 20 0

x x y y

y xy x y

+ − + =

+ + + = (Olimpiadă naţională, 1956)

c) 2 2

2 2

10 5 2 38 6 41 0

3 2 5 17 6 20 0

x y xy x y

x y xy x y

+ − − − + =

− + − − + = (Admitere, U.R.S.S, 1979)

c) 3

3

7 3

7 3

x x y

y y x

= +

= +

d) 3

3

0,

0

x ax bya b

y ay bx

+ + =∈

+ + =�

4.4.7. Să se rezolve în � sistemele omogene:

a) 2 23 2 5

12

x y

xy

− = −

=

b) 2 2

2

2 7 15

3 2

x y

x xy

+ =

− + =

c) 2

2

3 34

5 25

x xy

y xy

+ =

− = − (D. Săvulescu, E:8384, G.M. 9/1984)

d) 2 2

2 2

4 5 0

8 4 1

x xy y

x xy y

+ + =

− + =

e) 2 2

2 2

3 4 2

2 5 1

x xy y

x xy y

+ + =

+ − = (8302, G.M.B. 7/1967)

4.4.8. Să se determine soluţiile raţionale ale sistemului:

( )

( )

2 2

2 2

3 16

3 88

x x y

y x y

− =

− =

(7099, G.M.B. 8/1965, enunţ modificat) 4.4.9. Să se rezolve în � sistemele simetrice:

a) 2 2

5 2 2 5

6

36

x y xy

x y x y

+ =

+ =

b) 2 2

11

30

xy x y

x y xy

+ + =

+ = (Matematică, 1984)

c) 2 2

2 2

3

17

4

x y

x y

y x

+ =

+ =

(16232, G.M. 12/1976)

d) 2 2

2 11

2 2 12

x y xy

x y xy

+ + = −

+ = −

e) 2 2

47

74

x y xy

x y

+ + =

+ =

f) 2 2 42

20

x y x y

xy

+ + + =

= −

4.4.10. Să se rezolve în � sistemele simetrice:

a) 2 2 93

10

x y x y

xy

− − =

=

b) 2 2 14

3

x y x y

xy

+ + + =

=

c) 2 2

2 2

21

21

x y x y

x y xy

+ + =

+ + = (Gh. Bazacov, 5827, G.M.F.B. 6/1963)

c) 4 2 2 4

2 2

133

7

x x y y

x xy y

+ + =

− + =

d) 5 5

9

16839

x y

x y

+ =

+ =

e) 2 2

2 2

5 26 5 0

5 3 0

x xy y

x y xy

− + =

− + = (8654, G.M.B. 1/1968)

4.4.11. Aceeaşi cerinţă pentru sistemele:

a) ( ) ( )5 5 3 3

2

13 121 0

x y

x y x y

+ =

+ − + =

b) ( ) ( )

( )

2 22 2 2 2

2 2

2 2

10892 2

4

4 9251

36

x y x y

x yx y

+ ⋅ + = ⋅

+ + =

(Ion Petrescu, 7079, G.M.B. 8/1965)

c) ( ) ( )

( )

3 2 2

23 3

39

26

x y x y x y

x y xy x y

+ + + =

+ + =

(6764, G.M.B. 3/1965)

4.4.12. Să se rezolve în mulţimea numerelor raţionale sistemul:

( ) ( )

6 32 2 2 2

8 8 6 6 2 2

26 12375 0

4 17 17 4 0

x y x y

x y x y x y

+ − + − = − + − =

(I. Grigore, Olimpiadă, 1964, 6259, G.M.B. 4/1964) 4.4.13. Să se rezolve în � sistemele:

a)2 2

4 2 2 4 3 2 2 2

36

2 2 2 2 3 1200

x y x

x x y y x xy x y x y

+ + =

+ + + + − − − + =

(Laura Constantinescu, 9098, G.M.B. 8/1968)

b) 2 3

2 3 2

4 3

2

x y xy

x x y y

− =

+ = (MvŞ)

4.4.14. Să se rezolve în numere reale sistemul:

2 2 2

2 2 2

1895 1 1979 5 71

1895 29 1979 1

x x x

y y y

+ + + − += =

+ + + − +.

(C. Ionescu-Ţiu, 17869, G.M. 8/1979) 4.4.15. Fie ,x y ∈� astfel încît 3 3 5 5x y x y x y a+ = + = + = . Să se determine mulţimea tuturor valorilor pe care le poate lua a .

(Liviu Pîrşan, 20677*, G.M. 2/1986) 4.4.16. Să se rezolve în numere întregi ecuaţia 2 2 2 2 1x y xy x y xy+ − − − = (Eugen Popa, 7022, G.M.B. 7/1965) 4.4.17. Să se afle toate soluţiile reale ale sistemului:

( )

( )

2 2

2 2

3

,

xxy p x y

yp

xxy p x y

y

+ = +

∈

− = +

�

(Olimpiadă R.D.G, 1964, 6782, G.M.B. 3/1965) 4.4.18. Să se rezolve sistemul de ecuaţii:

( )

( )

2

2,

x y aa

y x a

= −∈

= −

� . (Dumitru Petru, 7555, G.M.B. 5/1966)

4.4.19. Să se rezolve sistemul:

( )

( ),

x y xy aa b

x y xy b

+ =∈

− =� (Gh. Buicliu, 3680, G.M.F.B. 5/1959)

4.4.20. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale strict pozitive sistemul:

5 5

4 4

31

17

x y

x y

− =

+ = (Al. Szoros, 21598, G.M. 11-12/1988)

4.4.21. Fie ( ) ( )3 2: , 1 3f f x x a x bx b a→ = + − + + − +� � , unde ,a b ∈� şi 2 3a b< .

Să se rezolve în ×� � sistemul ( ) ( )2 2,f x y f y x= = .

(Vasile Bivolaru, 20174*, G.M. 8/1984) 4.4.2 Sisteme cu trei necunoscute 4.4.22. Să se rezolve în � sistemele:

a)

( )

( )

( )

35

32

27

x y z

y z x

z x y

+ =

+ =

+ =

(Olimpiadă, Austria, 1979)

b)

( ) ( )( )

7 8 9

36288

x y z x y z

x y y z z x

= = + + +

+ + + =

(Radu Ghenghiu, E:8647, G.M. 8/1985)

4.4.23. a) Să se rezolve în 3� sistemul:

( )

( )

( )

2 5

2 21

2 12

x y xy

y z yz

z x zx

+ + =

+ + =

+ + =

(18612*, G.M. 2/1981)

b) Să se rezolve sistemul:

( )

( )

( )

2

1 2

1 4 3

4 4

k x y xy k

k y z yz k k

k z x zx k

+ + = +

+ + = + +

+ + = +

, unde , , ,x y z k∈ ∈� � .

(Ştefan Tache, 19649, G.M. 4/1983) 4.4.24. Să se determine soluţiile reale ale sistemului:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

21 1 8

9

11 1 5

3

1 1 1 2 1

x y xy

x z xz

x y z xyz

+ + = +

+ + = + + + + = +

(Vasile Bivolaru, C:282, G.M. 2/1983)

4.4.25. Să se rezolve în � sistemele:

a)

2 2

2 2

2 2

y z x

z x y

x y z

− =

− =

− =

b)

2 2

2 2

2 2

x y z

y z x

z x y

= +

= +

= +

c) 2 2 2

4 0

4 0

11

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ − =

+ + =

d)

2 2

2

8

12

11

x y z

x y z

xy yz zx

+ + =

+ + = + + =

(Adrian Popescu, 6338, G.M.B. 5/1964)

4.4.26. Să se rezolve în � sistemele:

a) 2 2 2

36

108

x y z

xy

x y z

+ + =

=

+ =

b)

( ) ( )

2 2 2

47

2

x y z

xy yz zx

z x z y

+ =

+ + = − − =

c) 2 2 2

13

61

2

x y z

x y z

xy xz yz

+ + =

+ + = + =

(7224, G.M.B. 11/1965)

d)

2

2

2 2 2

1

2

10

9

29

z yz y

x x x

x zx z

y y y

x y z

− + =

− + = + + =

(N. Păun, 6683, G.M.B. 1/1965)

e)

1 5

2

1 5

3

1 5

2

xx

z

yy

x

zz

y

−+ =

−

+ =

−+ =

(N. Păun, 9206, G.M.B. 10/1968)

f)

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

2 2 2

2 2

2 5 6 74

10 9

1 13 10

x y z

x y z x z y

x x z

+ + − + + =

+ + − − − = −

+ − − = −

(Iuliu Deac, 6393, G.M.B. 6/1964)

4.4.27. Să se găsească soluţiile nenule ale sistemului:

( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

1 3 4 6 1 3 2

4 1 1 1 1

3 2 1 3 6

x y x y

x z x z

y z y z

+ − = + −

− + = + −

− − = − −

(4536, G.M.F.B, 1961)

4.4.28. Să se rezolve în � sistemul:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2

78

102

3

x y y z z x

x y z y z x z x y

x y z

− + − + − =

+ + + + + = − + + =

(O. Orănescu, 8110, G.M.B. 3/1967) 4.4.29. Să se rezolve în � sistemul:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 7

8

21

8

1 1 1 21

64

xy yz zx

x y z

yz zx xy

x y y z z x

+ + =

+ + =

+ + =

(Martin Mettler, 8422, G.M.B. 8/1967) 4.4.30. Să se rezolve în � sistemele:

a)

3

5

x y z

y z x

y z x

x y z

+ + =

+ + = −

(I. Safta, 19461, G.M. 11/1982)

b)

2

2

2

2 2 4 1 0

2 2 4 1 0

2 2 4 1 0

x yz x

y zx y

z xy z

+ − + =

+ − + =

+ − + =

(I. Safta, E:9033*, G.M. 11-12/1986)

4.4.31. Să se determine toate soluţiile reale ale sistemului:

( )

( )( )

3

2 2

2 3

2 2 9 4

4

y x

z y y y

x z

+ = −

− + = +

+ =

care verifică relaţia 0z ≥ .

(Admitere, U.R.S.S, 1979) 4.4.32. Să se rezolve în � sistemul:

3 2

3 2

3 2

9 27 27 0

9 27 27 0

9 27 27 0

y x x

z y y

x z z

− + − =

− + − =

− + − =

(Admitere, U.R.S.S, 1979)

4.4.33. Să se rezolve în � sistemul:

( )

( )

( )

2 2

2 2

2 2

, ,

x y a y x

x z b x z a b c

y z c z y

= −

= − ∈

= −

�

(N. Păun, 9221, G.M.B. 10/1968) 4.4.34. Să se rezolve în � sistemul:

( )

( )

( )

, , ,

x x y z a yz

y x y z b zx a b c

z x y z c xy

+ + = −

+ + = − ∈

+ + = −

� (3233, R.M.E.T, 1977)

4.4.35. Să se rezolve în � sistemul:

2 2

2 2

2 2

, , ,

y z yz a

z x zx b a b c

x y xy c

+ + =

+ + = ∈

+ + =

� . Aplicaţie numerică: 7, 13, 3a b c= = = .

(Adrian Popescu, 22129, G.M. 8-9/1990) 4.4.36. Găsiţi toate soluţiile reale ale sistemului de ecuaţii:

( )

( )

( )

2

2

2

ax by x y

by cz y z

cz ax z x

+ = −

+ = −

+ = −

, unde ( ), , 0;a b c ∈ ∞ sunt numere date.

(Laurenţiu Panaitopol, O.B.M, 1984) 4.4.37. Să se rezolve în � sistemul:

2

1

2 1

x y z

xy z

+ + =

− =

4.4.38. Să se determine numerele reale , ,x y z care verifică sistemul:

2 22

1 1 1 1 1 1 1x y z

y z z x x y xyz

+ = + = + =

4.4.39. Să se rezolve în � sistemul:

22

22

22

x yy

y zz

z xx

= +

= +

= +

(Matematică, 1981)

4.4.40. Să se rezolve în 3� sistemul:

2

2

2

2

2

2

59

2

16

2

315 4

2

x z

y x

z y

− =

− =

− =

Generalizare. (C.C. Florea, 20870*, G.M. 9/1986) 4.4.41. Să se rezolve în � sistemul:

6 4 2

6 4 2

6 4 2

1

1

1

x y z

y z x

z x y

+ = +

+ = +

+ = +

(Cătălin Pană, E:10446, G.M. 2-3/1992)

4.4.42. Să se arate că sistemul de ecuaţii:

( )

1 4

41

n

n

x y z

x y z

− + =

+ = + unde , 2n n∈ ≥� este fixat, nu admite soluţii în numere

întregi. (Liviu Pîrşan, 19251*, G.M. 6/1982) 4.4.3 Sisteme cu 4n ≥ necunoscute 4.4.43. Să se rezolve în � sistemul:

( )

2 2 2 2 1

2

1

x y u v

y v x u

ux vy

+ = + =

− = − + = −

(I. Safta, 17475*, G.M. 11/1978)

4.4.44. Numărul real a fiind fixat, să se rezolve în � sistemul:

( )

( )

( )

( )

2 1

2 1

2 1

2 1

x y a

y z a

z u a

u x a

− =

− =

− = − =

(Petre Obreja, E:9026*, G.M. 11-12/1986)

4.4.45. Să se rezolve în � sistemul:

2 2

3 3

2

1

1

5

u v

ux vy

ux vy

ux vy

+ = + =

+ = − + = −

4.4.46. Să se rezolve sistemul:

2 2

3 3

4 4

9

30

8

156

236

u v w

ux vy w

ux vy w

ux vy w

ux vy w

+ + =

+ + =

+ + = −

+ + = + + = −

(V. Claudian, G.M, 6394)

4.4.47. Să se rezolve în � sistemul:

1 3 6

6 3 2

1 3

3

a b c d

ab bc cd da

ac bd

abcd

+ + + = + +

+ + + = +

+ = +

=

în ipotezele 0 ; ;d a c b a c b d ac bd< < < < + > + > . (Gheorghe Radu, 18936, G.M. 10/1981) 4.4.48. Să se rezolve în 4� sistemul:

( )

( )

( )

( )

1 2 3 4

1 2 4 3

1 3 4 2

2 3 4 1

,

x x x x a

x x x x aa

x x x x a

x x x x a

+ + =

+ + =∈

+ + = + + =

� .

4.4.49. Să se rezolve în n� sistemul:

1 2

1 2 3

1 2 3 4

1 2 1

1

1

1

1

n

n

n

n n

x x x

x x x x

x x x x x

x x x x−

=

− =− =

− =

…

…

…

�

…

(I.V. Maftei, 8533, G.M.B. 10/1967) 4.4.50. Să se rezolve sistemul:

2 3 1 3 1 2 11 2

1 2

n n nn

n

x x x x x x x x xx x x

a a a

−+ + + + + + + + += = = =

… … …… …

(Liviu Pîrşan, 5807, G.M.F.B. 5/1963) 4.4.51. Fie a un număr real dat. Să se găsească numerele reale 1 2, , , nx x x… ştiind că:

2

2

1 1 2

2

2

2 2 3

2

2

1 1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2

n n n

n n

ax ax x

ax ax x

ax ax x

ax ax x

− −

− + + =

− + + =

− + + =

− + + =

�

(Dan Tănasie, Olimpiadă naţională, 1977) 4.4.52. Fie sistemul de 2n ≥ ecuaţii cu necunoscutele 1 2, , , nx x x… :

2

1 1 2

2

2 2 3

2

1 1

2

1

n n n

n n

ax bx c x

ax bx c x

ax bx c x

ax bx c x

− −

+ + =

+ + =

+ + = + + =

� unde , ,a b c ∈� cu 0a ≠ . Să se demonstreze că:

a) Dacă ( )2

1 4 0b ac− − < , sistemul nu are nici o soluţie reală;

b) Dacă ( )2

1 4 0b ac− − = , sistemul are o soluţie unică;

c) Dacă ( )2

1 4 0b ac− − > , sistemul are mai mult de o soluţie reală.

(O.I.M, 1968; 9124, G.M.B. 9/1968) 4.4.53. Să se determine numerele reale strict pozitive 1 2, , , nx x x… ştiind că

11 1

1 2 2

22 2

2 3 3

1 1

1 1

1 1

1 1nn n

n

xx x

x x x

xx x

x x x

xx x

x x x

+ = +

+ = +

+ = +

…

(Dumitru Buşneag, 17235, G.M. 6/1978)

4.4.4 Sisteme cu parametri 4.4.54. Se consideră sistemul:

( ) ( )

2 2 2

1

1 1 3

x y m

x y m

+ = −

+ + − = +

a) Să se calculeze x şi y în funcţie de m şi să se arate că ele sunt reale, oricare ar fi m real;

b) Dacă 1y = , să se calculeze valorile lui x şi m care verifică sistemul dat. (Admitere, I.P.B, 1961)

4.4.55. Se dă sistemul:

( )2 2 24 1

,1 1

x y a

aa

x y

+ = +

∈+ =

� .

a) Să se rezolve sistemul; b) Să se determine valorile lui a pentru care sistemul are toate soluţiile reale.

În acest caz, să se arate că nu există valori întregi ale lui a astfel încît toate soluţiile sistemului dat să fie raţionale.

c) Pentru ce valori ale lui a avem 2xy = − ? (6580, G.M.B. 11/1964)

4.4.56. a) Pentru ce valori reale ale lui a există ,x y ∈� astfel încît:

1 1 1

, , , 0x y x y ay x a

+ = + = ≠ ?

b) Pentru valoarea maximă a lui a determinată la punctul a), să se rezolve sistemul dat. (D. Săvulescu, E:7875*, G.M. 1/1983)

4.4.57. Fie sistemul de ecuaţii 2

2,

x y aa

y x a

+ =∈

+ =� .

a) Să se afle valorile lui a pentru care toate soluţiile sistemului sunt reale; b) Există a ∈� pentru care toate soluţiile sistemului sunt întregi ?

(Liviu Pîrşan, C:377, G.M. 2/1984) 4.4.58. a) Să se rezolve sistemul de ecuaţii:

( )2 2 2

2

4 1

,1 1 1

2

x xy y a

a

x y a

+ + = −

∈+ =

� .

b) Să se determine valorile lui a ∈� astfel ca toate soluţiile sistemului să fie reale. (9588, G.M.B. 5/1969)

c) Aceeaşi problemă pentru sistemul ( )3 3 2 22 x y x y

x y a

+ = +

+ =

(9594, G.M.B. 5/1969) 4.4.59. Să se determine valorile parametrului real a astfel încît sistemul:

2 2

x y z a

x y z

+ + =

+ = să aibă soluţie unică în mulţimea numerelor reale.

(Matematică, 1979) 4.4.60. Să se determine a ∈� astfel încît următorul sistem să admită o soluţie reală unică:

1 1

2

zx y

x y az

x y a

y x z

+ =

+ =

+ =

(Maria Elena Panaitopol, 19498*, G.M. 12/1982)

4.4.61. a) Să se arate că sistemul

2

2

2

2

2

2

x yz a

y zx a

z xy a

= +

= +

= +

admite soluţii reale dacă şi numai

dacă 0a ≥ . b) Să se rezolve sistemul în mulţimea numerelor întregi pentru 1a = . (Marcel Chiriţă, 19508*, G.M. 12/1982) 4.4.62. a) Pentru ce valori ale parametrului real a sistemul:

( )

( )

2 2

2

2 1

14

x y a

x y

+ = +

+ =

are două soluţii ?

b) Pentru ce valori ale lui a ∈� , sistemul:

2 2 2

1

2

x y a

xy a

+ =

= −

admite două soluţii distincte ?

(Admitere, U.R.S.S, 1979) 4.4.63. Să se arate că sistemul:

( )2 2 0

0

a x y x y m

x y m

+ + + − =

− + = admite soluţii reale, oricare ar fi m ∈� , dacă şi

numai dacă 0a = . 4.4.64. Să se rezolve sistemul de ecuaţii:

( ) ( )2 2 4

2 2

2 3 9

2 7

x x m x mx my m m

x mx my m

+ − − − =

− − =, unde m ∈� .

(Eugen Maftei, 6330, G.M.B. 5/1964) 4.4.65. Se dă sistemul:

( )2 2

2 2

3 10,

1 20

x y x y

x xy y

λλ

λ

+ − + =∈

− + = − +�

a) Să se rezolve în � sistemul pentru 1λ = ; b) Să se găsească o relaţie independentă de λ între x şi y ; c) Notînd S x y= + şi P xy= , să se scrie relaţia de la punctul b) în S şi P şi să

se reprezinte grafic într-un sistem SOP ; d) Există λ ∈�astfel încît x y= ? În caz afirmativ, să se rezolve sistemul.

4.4.66. Să se rezolve în � sistemul:

( )

2 2

2 2 2 2

2,

x y xy aa b

x y xy x y b

− + =∈

+ − − =� . Discuţie.

(Adrian Popescu, 7945, G.M.B. 1/1967)