Buletin de cultura matematica 1 /2011 -...
32
Portret realizat de prof. Constantin Ottescu
Transcript of Buletin de cultura matematica 1 /2011 -...
Portret realizat de prof. Constantin Ottescu
Buletin de cultura matematica
1 /2011
Parteneri:
/Editura Gil-Zalau
Editura Carminis
Editura Sigma
Editura Taida
Editura Paralela 45
Intuitext
Tribuna Învatamantului
INVITATIE
Suntem onorati sa va invitam la
Festivitatea de inaugurare a
Centrului de Documentare si Informare
“Laurentiu Mircea Panaitopol”
Luni, 07 noiembrie 2011, orele 09.00
Locatie: Colegiul National “Spiru Haret”,
strada Italiana, no. 17, sector 2, Bucuresti
Program:
09.00-09.15 – Primirea invitatilor;
09.15 – 09.45 – Cuvânt de deschidere din partea organizatorilor:
-Prof. Univ. Dr. Doru Stefanescu, Presedintele Filialei Bucuresti a Societatii de
Stiinte Matematice din Romania;
- Prof. Univ. Dr. Victor Tigoiu, Decanul Facultatii de Matematica, Universitatea
din Bucuresti;
- Prof. Univ. Dr. Radu Gologan, Presedintele Societatii de Matematica din
Romania;
- Insp. Sc. Gen. Cristian Alexandrescu, ISMB;
- Insp. Sc. Gen. Nicolae Nutu, ISMB;
- Dir. Alexandru Constantinescu, Colegiul Naţional “Spiru Haret”.
09.45-10.00 – Prezentarea Centrului – departamente/organizare/obiective:
Prof. Maria Elena Panaitopol;
Insp. Sc. Gabriel Vrinceanu.
10.00-10.30 – Conferinţa “De la o inspectie de gradul I cu Laurentiu Panaitopol
la extinderi minimale de inele”:
Prof. Univ. Dr. Toma Albu, Institutul de Matematica “Simion Stoilow” al
Academiei Române.
10.30 – 11.00 – Propuneri privind activitatile centrului.
Va asteptam !
Adresa ISMB de iniţiere a demersurilor de înfiinţare a Centrului “Laurenţiu Mircea Panaitopol”
Nr. înregistrare ISMB 15646/12.09.2011
Către COLEGIUL NAŢIONAL „SPIRU HARET”
În atenţia domnului director ALEXANDRU CONSTANTINESCU
Ca urmare a discuţiilor purtate între reprezentanţii Inspectoratului Şcolar al Municipiului Bucureşti
cu domnul Prof. Univ. Dr. Doru Ştefănescu, preşedintele Filialei Bucureşti a Societăţii de Ştiinţe
Matematice din România,
În baza Protocolului încheiat între M.E.C.T.S. şi S.S.M.R., pe care îl anexăm prezentei,
Având în vedere obiectivul de îmbunătăţire a învăţământului matematic preuniversitar prin activităţi
de informare, documentare, perfecţionare şi competiţionale, atât pentru cadrele didactice de specialitate cât
şi pentru elevi,
S-a identificat ca oportunitate înfiinţarea Centrului „Laurenţiu Mircea Panaitopol”, cu următoarele
compartimente:
Compartimentul „Muzeul Societăţii de Ştiinţe Matematice din România”;
Compartimentul „Bibliotecă”, care va cuprinde şi o bibliotecă virtuală;
Compartimentul „Didactică Matematică Aplicată”;
Compartimentul „Pregătirea elevilor pentru olimpiade şi concursuri ”;
Compartimentul „Publicistică de specialitate”.
În sensul celor prezentate, vă rugăm:
să vă exprimaţi acordul pentru găzduirea activităţilor Centrului „Laurenţiu Mircea Panaitopol” în
locaţia Colegiului Naţional Spiru Haret şi identificarea spaţiului necesar funcţionării Compartimentelor
Centrului;
iniţierea demersurilor (dotarea spaţiului şi logistica aferentă) pentru asigurarea condiţiilor de
inaugurare a Centrului, în luna noiembrie 2011.
Inspector Şcolar General,
Cristian ALEXANDRESCU
ULTIMA LECŢIE
de Alexandru Gica
Mintea multora dintre noi a fost tulburată de suferințele domnului Panaitopol, din ultimii
aproape 5 ani. Ce sens a avut această boală ? Există răspunsul bisericii pe care îl amintesc aici,
fără însă a zăbovi asupra lui fiindcă ține de zona misterului: ,,Dumnezeu adeseori trimite omului
slăbiciuni, dureri, boli grele ca omul să-și aducă aminte de moarte și să se pregătească creștinește
pentru intrarea în viața veșnică.” Voi încerca să vă ofer un răspuns profan la această întrebare.
Domnul Panaitopol a fost altfel decât noi. Îţi lăsa impresia că aparține unei alte lumi. Corect,
distins, amuzant. Eleganța dânsului era recognoscibilă și în zona matematicii (în enunțuri și în
demonstrații) precum și în comportamentul de zi cu zi. Poate că nu e foarte greu să fii așa când
toate îți merg bine. Domnul Panaitopol şi-a păstrat distincția în toate momentele dificile din
ultimii ani. Poate că este ultima lecție pe care ne-a predat-o. Aceea că trebuie să-ți păstrezi
eleganța și demnitatea în orice împrejurări.
Ne veți lipsi, Domnule Profesor !
O prezenţă: Laurenţiu Panaitopol
Sunt întâlniri memorabile care ne influenţează în mod esenţial şi aş dori să
amintesc aici o experienţă personală care nu ar putea fi descrisă altfel. Prima mea
amintire asociază numele lui Laurenţiu Panaitopol nu unui chip, aşa cum se întâmplă
în cazul întâlnirilor obişnuite, ci unei configuraţii geometrice. Semnătura lui se
regăsea sub o problemă de olimpiadă de clasa a IX-a cu care m-am înfruntat într-o dimineaţă de
martie. Ca orice începător, pe atunci nu-mi găseam calea în labirinturi. La următoarele întâlniri
cu problemele atât de singulare şi de atent elaborate care purtau marca Laurenţiu Panaitopol, am
ieşit ceva mai bine. Dar nu problemele de olimpiadă sunt experienţa cea mai memorabilă legată
de matematică din anii mei de liceu; partea mult mai interesantă era pregătirea propriu-zisă a
olimpiadelor. Elevii bucureşteni beneficiau de un avantaj notabil: după faza judeţeană a
olimpiadelor, celor calificaţi pentru faza finală, le era propusă o pregătire sistematică la
Universitate. În acest context m-am întâlnit prima dată cu L. Panaitopol, în sala de lângă Catedra
de Algebră, de la etajul al doilea al Facultăţii de Matematică; a lucrat cu cei cinci elevi de clasa a
XI-a, de mai multe ori, în şedinţe de câte două ore, cu aceeaşi grijă cu care l-am văzut mai târziu
prezentându-şi cursurile în faţa unor amfiteatre pline. Două lucruri m-au impresionat atunci:
modestia lui şi extraordinara lui cultură de probleme de conţinut şi strategie singulară în care un
matematician neavizat ar fi văzut doar cazuri particulare izolate. Era nu doar o enciclopedie, dar
şi un rezolvitor de mare perspicacitate.
După septembrie 1989, când am devenit student la Facultatea de Matematică din Bucureşti,
ne-am întâlnit de câteva ori, dar nu în cadrul formal al lucrului la curs; odată ne-am întâlnit la sala
de lectură, lângă colecţia revistei American Mathematical Monthly. Trei ani mai târziu am luat
cursul (obligatoriu pe atunci) de Metodica predării matematicii, pe care-l susţinea L. Panaitopol.
A fost un curs neobişnuit, pregătit de un artizan al problemelor unice şi desfăşurat în cadrul
academic, în care calitatea profesorului se vedea cel mai bine. Astfel de cursuri, aveam să
descopăr mai târziu, depind de cel care le predă şi nu pot fi predate de oricine. Cursul era
constituit dintr-o colecţie de perle matematice, aşezate într-o ordine narativă sugerată de dinamica
tehnicilor de rezolvare sau de logica capitolelor discutate, totul expus la tablă cu o impecabilă
organizare a prezentării şi cu o artă a retoricii egală cu a celor mai buni dintre matematicienii
înzestraţi pentru asta (ca de exemplu, domnii Ieronim Mihăilă şi Solomon Marcus). Mi-a plăcut
cursul acela şi pentru că exista o compatibilitate de viziune între cel care preda şi valorile pe care
le căutam eu în matematici. În vara lui 1995, după ce am absolvit programul de master de
geometrie, dl. Panaitopol mi-a propus să susţin seminarul pentru cursul lui de metodică. În
contextul acelor discuţii l-am întrebat ce înseamnă, de fapt, metodica predării matematicii şi ce
anume ar trebui prezentat la acel curs (pe care îl ştiam deja). Mă interesa
raţionamentul din spatele punctului de vedere care condusese la elaborarea cursului,
aşa cum m-ar putea interesa momentul când unui romancier i-a venit ideea să scrie o
anume carte. Mi-a răspuns că ideal ar fi să prezentăm modele de expunere a unor
subiecte fundamentale şi să le dublăm la curs şi seminar cu exemple care să ilustreze cât mai
complet tehnicile de demonstraţie şi de raţionament întâlnite în fiecare capitol discutat. Fie că e
vorba de combinatorică, de geometria triunghiului, de teoria numerelor sau de teoria grupurilor,
fiecare dintre unităţile pe care le prezentăm studenţilor trebuie să fie o poveste rotundă, cât mai
completă posibil, cu exemple aşezate în ordinea crescătoare a dificultăţii, care să introducă
audienţa în subiect, până la nivelul dorit de profunzime.
Te gândeşti dinainte unde vrei să ajungi, mi-a sugerat, apoi cauţi cele mai elocvente
exemple care, în doar două ore de curs, să te poarte de la aspectul introductiv până la rezultatul
dorit. Secretul unui curs perfect nu stătea, aşadar, în faptul că L. Panaitopol era un vorbitor
desăvârşit, ajutat de o dicţie şi o prezenţă care şi-ar fi avut locul pe scenă, ci în elaborarea
cursului, deloc trivială, şi care părea atât de naturală încât, după ce îl auzeai vorbind, ţi se părea
că văzuseşi cea mai potrivită formă de a introduce, justifica şi expune subiectul respectiv. În
toamna aceea mi-a povestit mai multe episoade din istoria personală, despre tatăl lui, care fusese
ofiţer în garda regală, precum şi despre originea interesului pe care-l avea pentru problemele
elementare, pentru problemele de olimpiadă, între altele. În fapt, era vorba despre acel interes
autentic faţă de fundamentele matematicii care urma tradiţia de rigoare şi analiză practicată la
Universitatea din Bucureşti, de pe vremea lui Gh. Ţiţeica şi D. Barbilian. Astăzi înţeleg mai bine
faptul că o idee poate să fie fundamentală fără a fi elementară şi, rememorând acel curs, înţeleg
viziunea celui care-l concepuse şi care a generat atâtea cărţi şi manuale care sunt folosite şi azi de
publicul larg din România. Dintr-o viziune ca aceasta au izvorât probleme create de Laurenţiu
Panaitopol şi care au fost propuse de mai multe ori de România, la Olimpiadele Internaţionale de
Matematică. E vorba despre un matematician care a scris multe articole interesante; baza de date
Mathematical Reviews înregistrează pentru autorul L. Panaitopol un număr de 77 de articole.
Dacă ar fi să aleg dintre toate acestea pe cel care îmi place cel mai mult, aş aminti aici articolul
publicat în 1994 în American Mathematical Monthly, scris împreună cu dl. Petru Mironescu (în
prezent la Universitatea Claude Bernard Lyon 1), în care se demonstrează existenţa unui unic
triunghi cu lungimea bisectoarelor date. Oricât de elementar ar părea enunţul, problema aceasta
rămăsese deschisă cel puţin din 1875. Am văzut acea notă la un an de la apariţie şi soluţia mi s-a
părut de o ingeniozitate care ţine de domeniul surprizei. Şi cine ar îndrăzni să spună că e simplă o
demonstraţie care a eludat lumea matematicienilor vreme de mai bine de un veac?
Laurenţiu Panaitopol s-a stins toamna trecută, în noiembrie 2008. Îmi amintesc de prezenţa
lui de fiecare dată, ori de câte ori, pregătindu-mi cursurile, mă gândesc cum ar trebui prezentat
studenţilor un pas dificil.
Bogdan Suceavă
Inequality 8(Laurentiu Panaitopol-JBMO 2003)
Problem:
If prove that
.
Solution:
From the AM-GM inequality we get that
Let .
Then the inequality transforms into
.
Multiplying the above fractions with respectively we get that
.
Applying Cauchy-Schwarz inequality we have that
which is obviously true. Thus our inequality is proved, Q.E.D.
(preluare http://gbas2010.wordpress.com/2009/12/07/inequality-8laurentiu-panaitopol-
jbmo-2003/ )
Rememorări (www.mateforum.ro)
Laurentiu Panaitopol (1940-2008), profesor care a facut enorm pentru
invatamântul românesc, atât cel preuniversitar cât si cel universitar. Oricum,
memoria dumnealui va ramâne tot timpul vie, ca sa nu mai vorbim de ceea ce
a lasat in urma sa. Eu personal, il consider, fara exagerare, cel mai mare
problemist român din toate timpurile.(Cezar Lupu).
Am si eu câteva intâmplari cu dânsul, de pe vremea când eram student
(nelicentiat) in facultate. Eram in anul 3, când ma duceam la cursurile
dânsului de Teoria Analitica a numerelor, curs pe care l-am frecventat foarte
des. Imi amintesc si acum discutiile avute cu domnia sa pe marginea marilor
teoreme (teorema elementului prim, spre exemplu). Uneori, imi povestea chiar si
de ipoteza lui Riemann. Mai mult, mi-a pus in brate zeci de articole sa le citesc,
articole pe care le mai am inca si acum si pe care le voi pastra toata viata la
loc de cinste. Pur si simplu ma fascina modul in care povestea. Tin sa zic ca am
ramas "marcat" de acest mod de a vedea matematica. Chiar o diviniza. Rar
mi-a fost dat sa vad asa ceva la un profesor si o asa minte sclipitoare. Deci,
repet, ii datorez enorm domnului profesor si consider ca primii mei pasi in a
aprofunda metodele analitice in teoria numerelor i se datoreaza total. (Cezar
Lupu).
Dl. profesor Panaitopol, cunoscut mai ales prin activitatea sa in
problemistica de liceu (desi aceasta este doar o mica parte din opera sa
matematica), a fost si un mare profesor. Toti cei care i-au urmarit cursurile de
"Metodica predarii matematicii" isi amintesc de ele cu mare placere. Parca
acolo vedeai un alt fel de matematica, mai vie decât la alte cursuri. Sau poate
ca era dânsul cel care o facea sa para asa.
As dori sa va impartasesc acum o discutie pe care am avut-o cu dânsul
referitoare la curs si care mi se pare relevanta. L-am intrebat la un moment dat
cum se descurca studentii la cursul de Metodica, stiuta fiind exigenta
dânsului. Atunci mi-a povestit ca l-a intrebat pe un student, care nu promovase
examenul, de ce nu a reusit sa ia 5, iar acesta i-a spus ca i se pare dificil cursul.
"De ce ti se pare dificil?", a insistat atunci domnul profesor, iar studentul a
raspuns: "Fiindca la acest curs trebuie sa gândesti ! ".
Dincolo insa de activitatea sa profesionala, domnul profesor Panaitopol a
fost si un mare om. Cred ca toti cei care l-au cunoscut mai indeaproape pot
recunoaste, fara sa ezite, ca ii datoreaza ceva. A dat enorm de mult tuturor - si
nu spun deloc vorbe mari ! Si asta pentru ca avea de unde: Dumnezeu l-a
inzestrat cu o minte sclipitoare si cu un caracter de exceptie. (Bae )
A fost un profesor desavârsit si un model de urmat pentru tinerii de azi, in
criza de repere morale: un om cinsit si curat. Imi amintesc acum discutiile
saptamânale cu dânsul, in fiecare joi, de acum doi ani, in toamna lui 2006, la
catedra despre studentii de la anul III de atunci (cei ce au devenit intre timp
promotia 2008), când aveam impreuna curs la aceeasi serie, in aceeasi zi si
unul dupa celalalt (dânsul de Metodica si eu, apoi, de Algebra Moderna) si cât
de mult ii lauda pe acesti copii foarte inteligenti. Eram ambii impresionati de
calitatea deosebita a lor si, practic, in fiecare joi discutam doar despre ei, in
pauza. In graba trecerii dincolo, nu stiu daca domnul profesor a aflat ce s-a
mai intâmplat pe aici. Fix cu o saptamâna inainte de trecerea la cele vesnice,
la doi dintre cei mai buni absolventi ai acelei promotii, despre care discutam
ambii cu placere, acum doi ani le-a fost ucis un vis: acela de a putea participa
la un banal concurs de preparator la Catedra de Algebra. (Gigel Militaru)
L-am cunoscut pe Laurentiu (Bebe, pentru prieteni) Panaitopol, pe
vremea când eu eram elev, iar dumnealui era profesor la unul dintre cele doua
licee bune ale orasului de provincie in care amândoi traiam, pe atunci.
Curând a parasit orasul nostru pentru a-si continua cariera in invatamântul
superior.
Nu ne-am intâlnit de multe ori, dar de fiecare data am simtit caldura
din priviri si vorba pe care le avea când intâlnea un concitadin: vorbeam
despre oraselul nostru putin, apoi treceam la subiecte profesionale. (Consonant)
Cursurile de Teoria Analitica a Numerelor, pe care ni le-a predat, au fost
cu siguranta cele mai frumoase cursuri la care am asistat vreodata in
România sau in strainatate. Desi predate intr-o sala friguroasa, la Parterul
Facultatii de Matematica, diminetile de iarna, intre 8-12, le asteptam cu drag
in fiecare saptamâna, nu doar pentru problemele de matematica expuse atât
de frumos, dar si pentru povestile atât de interesante, utile lectii de viata.
Mi-a fost coordonator al tezei de Master si imi amintesc cu drag de colaborarea
placuta pe care am avut-o cu Domnul Profesor, din care am invatat foarte
mult.
Pentru mine va ramâne exemplul de dascal pe care il urmez in cariera
didactica, omul distins, cu caldura in suflet si in priviri, de care imi voi aminti
mereu si voi povesti cu drag. (Lavinia Ciungu)
Recunoaștere
The American Mathematical Monthly >
Vol. 112, No. 2, Feb., 2005
Autor/coautor
Romania Team Selection Tests 1987/1990
1. Prove that in any triangle the following inequality holds:
2. Prove that for any positive integer , the least common multiple of the
numbers and the least common multiple of the numbers:
are equal if and only if is a prime number.
3. Let be positive prime numbers and suppose . Prove that if , then .
4 Let be a real polynomial of degree . Suppose
is an even number and:
a) , ;
b) .
Prove that for all real values .
5. Let be integer numbers such that . Show that there exist
infinitely many positive integers such that .
Laurențiu Panaitopol
Number Theory -The Queen of Mathematics
(a) Let positive integer such that . Show that
for infinitely many positive integer . (Laurențiu Panaitopol)
http://www.artofproblemsolving.com/blog/29984
1984 IMO Problems/ Problem 4 proposed by Laurentiu Panaitopol, Romania
Let be a convex quadrilateral with the line being tangent to the circle on diameter . Prove that
the line is tangent to the circle on diameter if and only if the lines and are parallel.
Solution:First, we prove that if and are parallel then the claim is true: Let and intersect at
(assume is closer to , the other case being analogous). Let be the midpoints of
respectively. Let the length of the perpendicular from to be . It is known that the length of the
perpendicular from to is . Let the foot of the perpendicular from to be , and similarly
define for side . Then, since triangles and are similar, we have . This gives
an expression for :
Noticing that simplifies the expression to
By the Law of Sines, . Since triangles are similar, we have and thus
we have
and we are done.
Now to prove the converse. Suppose we have the quadrilateral with parallel to , and with all conditions
satisfied. We shall prove that there exists no point on such that is a midpoint of a side of a
quadrilateral which also satisfies the condition. Suppose there was such a . Like before, define the
points for quadrilateral . Let be the length of the perpendicular from to . Then, using
similar triangles, . This gives
But, we must have . Thus, we have
Since , we have as desired.
http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php?title=IMO_Problems
Interviul Gazetei cu prof. univ. dr. LAURENȚIU PANAITOPOL
M.T.: Domnule Profesor Laurențiu Panaitopol, v-ați născut la 10 august 1940. În ziua în care acordați
acest interviu împliniți 65 de ani. Vă rog să îmi permiteți ca, în numele redacției Gazetei Matematice și al
cititorilor ei, să vă urez cele cuvenite cu această ocazie sau, simplificând, un călduros LA MULŢI ANI ! Aţi
urmat studiile gimnaziale și liceale în orașul Giurgiu, iar cele universitare la Facultatea de Matematică a
Universității din București. După absolvire, ați funcționat câțiva ani ca profesor de liceu, urmând apoi o strălucită
carieră universitară. Vă rog să faceți completările pe care le credeți de cuviință la această succintă prezentare.
LP.: Vă mulțumesc pentru urare. Completările sunt necesare în măsura în care recunoaștem că viața nu
se desfășoară, de regulă, liniar. Am locuit la Giurgiu în perioada în care am fost elev, însă m-am născut la
Balcic, în Bulgaria, pe atunci oraș românesc. Liceul ,,Ioan Maiorescu” din Giurgiu, al cărui elev am fost în
perioada 1951-1957, era cu adevărat o școală de elită, cu o bogată tradiție și cu un corp profesoral remarcabil.
La facultate am găsit o situație să-i spunem ciudată. Pe lângă marii profesori ca Simion Stoilow, Gh.
Vrânceanu, Dan Barbilian, Octav Onicescu, Miron Nicolescu, Grigore Moisil, Gh. Mihoc, Nicolae Teodorescu și
mulți alții, exista și un grup de politruci, a cărui prezență generase o atmosferă încordată. Se desfășurau, pe de o
parte, cursuri, seminarii științifice, cercuri studențești conduse de autentice valori științifice și, pe de altă parte,
ședințe U.T.M. și P.M.R. conduse de acești politruci, în care erau incriminați ,,dușmanii poporului”. A existat un
personaj care făcea parte din ambele tabere ! În acest context, au fost îndepărtați din facultate o serie de
matematicieni tineri valoroși, ca V. Poenaru, G. Gussi, A. Deleanu și au fost exmatriculați mulți studenți, de
regulă dintre cei mai buni, sub cele mai absurde pretexte. Am fost exmatriculat și eu. La 18 ani eram etichetat ca
având ,,atitudine politică dușmănoasă” și singura soluție de ,,reabilitare” era să devin... muncitor.
M.T.: Unde v-ați ,,îmbunătățit” dosarul de cadre?
L.P.: Am urmat școala de frezori și, în urma recomandărilor conducerii Uzinei ,,Timpuri Noi” din
București, am revenit, în 1961, în facultate, unde atmosfera se mai calmase. După absolvire, în 1964, trecând
printr-un stagiu obligatoriu de profesor, într-un sat de lângă Giurgiu, am devenit profesor la liceul pe care îl
absolvisem. Am avut elevi cu care am motive să mă mândresc: George Oboroceanu este un exemplu. În 1970, la
sugestia profesorului A. Hollinger, am ocupat prin concurs un post de asistent la Catedra de Metodică a
Universității din București și apoi, adăugând preocupărilor de didactică matematică studiul teoriei analitice a
numerelor, am ocupat, succesiv, poziții la Catedra de Algebră a Facultății de Matematică din aceeași
universitate.
M.T.: Domnule Profesor, ca matematician v-ați preocupat de teoria analitică a numerelor cu rezultate
importante privind rafinarea inegalităților lui Rosser și Schoenenfeld pentru funcția de distribuție a numerelor
prime, mai recent, cercetări privind conjectura Hardy-Littlewood, precum și unele generalizări pentru inegalitatea
lui Landau și de inele de polinoame, cu rezultate notabile legate de factorizarea acestora, ați publicat peste 75 de
lucrări științifice dintre care 35 în străinătate, multe în reviste de prestigiu (J.Number Theory, Acta Arithmetica,
The Rocky Mountain Journal of Mathematics, Pac.J. Math. sunt numai câteva exemple), ați ținut comunicări
științifice la diferite conferințe naționale și internaționale, ați participat la lucrări în cadrul contractelor de
cercetare ale catedrei, sunteți conducător de doctorate. De ce ați ales Teoria numerelor? Nu este un domeniu
oarecum ,,închis”?
L.P.: Nicidecum ! Mai sunt probleme de terminat, mai apar probleme noi... Dacă vă referiți la
aplicabilitatea restrânsă în practică a teoriei numerelor, cred că Gr. Moisil a rezolvat demult problema: toată
matematica se aplică, o parte azi, o parte mâine...
M.T.: În acest an aniversați cinci decenii de colaborare la Gazeta Matematică. Primele dumneavoastră
apariții în paginile acestei mai mult decât centenare reviste au fost, de bună seamă, la rubrica rezolvitorilor. Cine
v-a pus în mână prima Gazeta?
L.P.: Prima Gazetă am primit-o de la profesorul meu, Ion Mateescu, care a fost un autentic
promotor al matematicii de performanță pentru multe generații de elevi. M-a sfătuit cu insistenţă să colaborez la
revistă, mai mult, mi-a împrumutat exemplare din colecția domniei sale, care începea cu anul 1895 ! Citeam cu
mare interes articolele și notele matematice din perioada de ”tinerețe” a Gazetei, semnate de Gh. Țiteica, A.
Ioachimescu, T. Lalescu, D. Barbilian și profit de această ocazie ca să îi mulțumesc încă o data fostului meu
profesor de liceu, care a împlinit de curând 97 de ani ! Aș adăuga faptul că activitatea la Gazeta Matematică a
fost o tradiție de familie, în paginile revistei din anii 1910-1925 apar ca rezolvitori și propunători de probleme G.
Panaitopol, P. Panaitopol și fratele mamei mele, generalul de mai târziu, Victor Caloianu. Se impune o remarcă:
în anii 1950-1965, Gazeta a suplinit lipsa de pe piață a cărților de matematică, constituind singura modalitate de
formare a unei culturi matematice pentru elevi. Îmi amintesc bine că am învățat Teorema lui Menelaus urmărind
rezolvarea unei probleme din G.M. Personal, datorez foarte mult Gazetei pentru această primă etapă din
formarea mea ca matematician.
M.T.: Domnule Profesor, cum a început, de fapt, colaborarea dumneavoastră la Gazeta Matematică?
L.P.: În clasa a VIII-a, prima clasă de liceu pe atunci, am participat, ca toți elevii cu note bune la
matematică, la faza pe oraș a olimpiadei, unde nu cred că s-ar fi rezolvat vreuna dintre probleme ! M-am
simțit umilit, descumpănit…
Acesta a fost momentul în care m-am hotărât să acord matematicii o atenție sporită și un buget de timp
mai consistent. Am început să lucrez mult, ajungând la 10-12 ore pe zi, neglijând uneori celelalte materii. Cu
vremea, am reușit să depășesc această etapă (alarmant pentru familie), să-mi disciplinez munca, să trec la un
studiu cât de cât sistematic. Am reușit astfel ca, până la intrarea în clasa a IX-a, să parcurg întreaga materie de
liceu.
M.T.: Primele rezultate au apărut aproape imediat. Anul 1956 este unul de referință pentru activitatea
dumneavoastră matematică. Elevul Laurențiu Panaitopol de la Școala medie nr. 1, Giurgiu (actualul liceu ,,Ioan
Maiorescu”) este evidențiat de șapte ori la rubrica rezolvitorilor de probleme și obține premiul I la Olimpiada
națională de matematică (premiul a constat în 11 cărți de matematică : Țițeica, Demidovici, Novoselov etc.). În
același an vi se publica prima problemă propusă. Vă mai amintiți? Problema 2308. Se cerea rezolvarea unei
ecuații de gradul al treilea, știind că suma cuburilor rădăcinilor este egală cu pătratul sumei lor.
L.P.: Aproape că o uitasem... Nu eram singurul colaborator din Giurgiu la G.M., rubrica
rezolvitorilor din oraș era consistentă. Trimiteam lunar plicuri roase, cu probleme rezolvate și așteptam
cu nerăbdare apariția revistei pentru a ne vedea numele tipărit. Exista, deci, o ,,bază de masă”, cum s-ar
zice. Apariția rezultatelor deosebite era aproape inevitabilă.
M.T..: Nici anul următor, 1957, nu a fost unul oarecare. Este ultimul an de liceu. Sunteți evidențiat de
patru ori ca rezolvitor de probleme, vă apare prima notă matematică, în plus vă clasați pe primul loc la olimpiada
națională, repetând performanța de cu un an înainte. În sala de festivități a Liceului ,,Gheorghe Lazăr” din
București, în ziua de 5 mai 1957, academicianul Gr. C. Moisil felicita pe participanți. Din partea câștigătorilor
răspundea elevul L. Panaitopol. În acel an, școala giurgiuveană obținea un rezultat spectaculos: 4 elevi premiați,
dintre care 3 cu premiul I (elevii M. Proprescu și M. Vișinescu, la fizică). Se făcea carte la Giurgiu, domnule
profesor ! ...
L.P.: Se făcea ! Exista și o anumită emulație între elevi, întreținută cu știință de către dascălii
noștri. Cât despre festivitatea de premiere amintită, așa era obiceiul: elevul cu premiul I, din ultima clasă
de liceu, era dator să spună câteva cuvinte ...
MT.: Domnule profesor, sunteți considerat, pe bună dreptate, unul dintre cei mai mari problemiști români.
Dintre problemele dumneavoastră —câteva sute— multe au fost incluse de autori români și străini - unele nume
sunt prestigioase ! În cărțile lor, altele au fost propuse la olimpiadele naționale, balcanice și internaționale. La
O.I.M., de exemplu, aveți deja 4 probleme, iar 8 sunt incluse în ,,listele scurte”. Inconfundabile, problemele au o
eleganță aparte, legată de modul de rezolvare, de frumusețea rezultatului, de conexiunile surprinzătoare făcute
între entități matematice aparent disparate. Vă rog să exemplificați prin două probleme la care țineți cu deosebire.
Știu că vă este greu, totuși ...
L.P.: Nu știu dacă fac acum cea mai bună alegere. Un exemplu ar fi o problemă publicată în G.M.: Dacă
x; y> 0 și xy + yx=1+ xy, atunci rezultă sau x = 1 sau y = 1. 0 alta, care este de fapt o notă matematică scrisă
împreună cu P. Mironescu: Fiind date trei segmente, să se arate că există un unic triunghi pentru care
segmentele considerate sunt bisectoare. Rezolvarea nu este, însă, elementară.
M.T.: În afară de probleme, ați scris pentru G.M. peste 45 de lucrări metodico-științifice. De unde
această aplecare către învățământul preuniversitar? Care a fost perioada cea mai prolifică? V-ați gândit să
le strângeți laolaltă, într-o carte?
L.P.: Cea mai fructuoasă perioadă din acest punct de vedere a fost 1970 - 1980. Unele probleme le-am
publicat, altele au devenit ,,probleme de sertar”. Poate că odată am să revin asupra lor... În ceea ce privește
învățământul preuniversitar, cred că, dincolo de unele afinități de ordin afectiv, aș zice, acest aspect trebuie legat
de specificul cursurilor ținute de mine la facultate: Aritmetica și Teoria numerelor, Metodica predării
matematicii și Metode moderne în matematica elementară.
M.T.: Sunteți președintele Comitetului de redacție al celei mai vechi reviste de matematici
elementare din țară. Prin anii ‘80, Gazeta ajunsese la un tiraj de 135.000 de exemplare, din care 110.000
erau abonamente. În prezent, tirajul este de 8.000 de exemplare. A fost atunci prea mult? Astăzi este sigur prea
puțin... A scăzut drastic interesul elevilor români pentru matematică? Ce demersuri intenționați să faceți?
L.P.: Cred că tirajul de peste 100.000 de exemplare era oarecum artificial. Dacă profesorul acorda o
notă de 10 elevului abonat la G.M. și încă o notă de 10 pentru că acesta trimitea soluțiile unor probleme copiate
de la colegul său, trebuie să admitem că interesul aproape general pentru matematică era o exagerare. Pe de
altă parte însă, fără a fi general, interesul pentru o bună pregătire era real pentru un număr important de elevi
care concurau la facultățile științifice și tehnice. Aceștia erau cu adevărat interesați de Gazetă, care îi ajuta să
atingă standardele înalte impuse de examenele de admitere la aceste facultăți. Este binecunoscut faptul că,
astăzi, aceste standarde au scăzut mult, de altfel și interesul pentru facultățile amintite. Aceasta ar fi una dintre
explicații. Să adăugăm concurența revistelor locale sau regionale și, de ce nu, a Internetului, care oferă o
informație aproape nelimitată. Trebuie avut în vedere și faptul că revista apare într-o limbă care nu este de
circulație internațională, ceea ce, în această perioadă cu tendințe de globalizare, constituie un obstacol.
Explicațiile sunt cu mult mai multe și toate duc la concluzia că nu se va mai ajunge la tirajele ,,istorice” din anii
‘80. Se pot aduce însă unele îmbunătățiri conținutului Gazetei, păstrând tradiția: apariția unor noi rubrici, de
exemplu, sau modificarea genului de probleme promovat, în funcție de definirea ,,publicului țintă”. Este, poate,
necesară o discuție serioasă pe această temă, cu participarea cititorilor și a celor vizați să devină colaboratori.
M.T.: Domnule profesor, vă mulțumesc pentru amabilitatea dumneavoastră și, îmi place să cred, pentru
interesul acordat discuției noastre.
A consemnat prof. Mircea Trifu
Gazeta Matematică, ANUL CX Nr. 8 august 2005
PROF. UNIV. Dr. LAURENŢIU MIRCEA PANAITOPOL Data şi locul nașterii: Născut în localitatea Balcic, la 10 august 1940. Educația: A absolvit Facultatea de Matematică şi Fizică a Universităţii București, secția Analiză matematică, în anul 1964. Poziții academice: A fost profesor de liceu în perioada 1964-1970, asistent în perioada 1970-1983, lector în perioada 1983-1991, conferențiar 1991-2001. Profesor din 2001 la Facultatea de Matematică şi Informatică, Catedra de Algebră. Teza de doctorat: A susținut doctoratul în 1979 cu teza ''Contribuții la studiul funcțiilor aritmetice''. Cursuri predate: A ținut cursuri şi seminarii de Metode analitice în teoria numerelor (studii aprofundate - masterat), Metodica predării matematicii şi Teoria numerelor. De asemenea, a ținut seminarii de Algebră – Geometrie şi Funcții complexe, la Facultatea de Fizică. Domenii de interes științific: Teoria Numerelor şi Metodica predării matematicii. Recenzent la Math. Reviews. Membru al RGMIA al Universităţii Victoria din Melbourne şi membru AMS.
LUCRĂRI ŞTIINŢIFICE
1. Eine Eigenschaft der Funktionen uber die Verteilung der Primzahlen. Bull.Math.Soc. Sci.Math.Romania
Ser.23(71),No.2(1979),189-194, Zbl.Math. 414.10045.
2. Uber einige arithmetische Funktionen. Bull.Math.Soc. Sci.Math.Romania Ser.26(74),No.3(1982),269-
274,Zbl.Math.41410045.
3. Some criteria for the irreducibility of polynomials. Bull.Math.Soc. Sci.Math.Romania Ser.
29(77),No.1(1985),69-74 (în colab.cu D Stefanescu), M.R. 86k: 12005.
4. A class of irreductible polynomials. Bull.Coll.Sci.Univ.Ryukyus-Japan 42.(1986), 1-3, (în colab.cu D
Stefanescu), Zbl.Math. 616.13005.
5. On some irreductible polynomials. Bull.Math.Soc. Sci.Math.Romania Ser.30(78)No 3(1986) 159-161, (în
colab.cu D Stefanescu). Zbl.Math.616.13004.
6. A generalization of the Schoenemann-Eisenstein irreducibility criterion. Prepr.’’Babeş-Bolyai’’
Univ.,Fac. Math. Phys.,Res.Semin.No.9,(1986) 54-56. (în colab.cu D Stefanescu). Zbl.Math. 688.12015.
7. A resultant condition for the irreducibility of the polynomials. J.Number Theory 25 (1987), 107-111, (în
colab.cu D Stefanescu). Zbl.Math. 615.13002.
8. On Scherk’s theorem. Bull.Math.Soc. Sci.Math.Romania Ser. 31(79), (1987),250-253,
Zbl.Math.631.10004.
9. On the Eisenstein’s criterion. An Univ. Buc.,Ser. Math. 36,(1987),65-67(în colab.cu D Stefanescu), Zbl.
Math.642.12021.
10. Factorization criteria for polynomials. Proc. Conf. Algebra Timisoara,(1987) 70-73 (în colab.cu D
Stefanescu). M.R. 90 a 12006.
11. Factorization of the Schoenemann polynomials. Bull.Math.Soc. Sci.Math.Romania Ser.32(80),
No.3,(1988),259-262, (în colab.cu D Stefanescu). Zbl.Math. 665.13009.
12. On the generalized difference polynomials, Pac.J.Math.143,No.2,(1990)341-348. (în colab.cu D
Stefanescu). Zbl.Math.689.12013.
13. A class of polynomials in positive characteristic. Bull.Math.Soc. Sci.Math.Romania Ser. 33(81),
No.4,(1989) 343-346. (în colab.cu D Stefanescu). Zbl.Math. 729.11063.
14. About the exponent of an irreducible polynomial. Bull.Math.Soc. Sci.Math.Romania
Ser.35(83),No.1/2,(1991) 119-124, (în colab.cu D Stefanescu). Zbl.Math. 755.11038.
15. The existence of a triangle with prescribed angle bisector lengths. Am.Math.Mon.101,No 1(1994),58-
60(,in colab cu P Mironescu). M.R. 95h 11138.
16. Some polynomial factorisations over the integers. Bull.Math.Soc. Sci.Math.Romania Ser. 37,No.3-
4,(1993) 127-131. (în colab.cu D Stefanescu). Zbl.Math.849.11082.
17. About a polynomial index and its applications. Bull.Math.Soc. Sci.Math.Romania Ser.37,No.1-2,(1993)
85-91, (în colab.cu D Stefanescu). Zbl.Math. 852.12001.
18. Bounds for heigts of integer polynomial factors, J Univ. Comp. Sci. 1 Nr.8 599-609, (în colab.cu D
Stefanescu).(1995) M.R.97d 1191.
19. Several approximation of (x) , Math.Inequal.Appl.2 No.3,317-324,(1999) Zbl. Math. 990.53635.
20. Stable Polynomials and Applications to Polynomial factorisation, Analele Univ. Bucureşti seria Mat. Inf.,
XLVI,p.3-14,(1997) (în colaborare cu D. Stefanescu)Zbl.Math.99163526.
21. On the inequality pa pb >pab, Bull.Math.Soc. Sci.Math Roumanie Tome 41(89) No.2,(1998) 135-
140.Zbl.Math.99163521.
22. On the inequality (x) >x/ log x-1. Analele Univ. Bucureşti,seria Matematica,XLVII no.2 (1998), 187-
192.Zbl.Math.99163515.
23. Strong Bertrad’s postulate revisited. Notes on Number Theory and Discret Mathematics
5,(1999),No.3,121-123.MR 1748060.
24. An inequality concerning the prime numbers. Notes on Number Theory and Discret Mathematics
5,(1999),No.2,52-54,MR 1746720.
25. Erdos-Turan problem for prime numbers in arithmetic progression. Math Reports Vol.1(51) No.4,(1999)
595-599 MR. 2002 d: 11112.
26. Properties of positive integer sequences which are sum of two squares. Bull.Math.Soc. Sci.Math Roumanie
Tome 42(90), No.2(1999).p125-132.Zbl.Math99163527.
27. Asymptotical formulae for a(n)= n-(n). Bull.Math.Soc. Sci.Math Roumanie Tome 42(90). No.3
(1999),271-277.Zbl.Math.99163514.
28. On Erdos-Prachar Theorem. Analele Univ. Bucureşti,seria Matematica,XLVIII,p 143-148,
No.2,(1999).p143-148Zbl.Math 99163514.
29. On a squarefree integers. Bull.Math.Soc.Sci.Math.Roumanie Tome 43(91) No.1(2000), 19-23. MR 2002
k:11156.
30. A formula for (x) applied to a result of Koninck-Ivic, Nieuw Archiev voor Wiskunde vij serie nr.1,
(2000),p. 55-57.MR 1760.776.
31. On a problem of Erdös-Turan , Publicationes Mathematicae Debrecen (57/ 1-2( 2000), 85-89.
MR.1771.674.
32. Inequalities concerning the function (x).Applications. Acta Arithmetica XCIV.4 (2000), 373-381.
MR.1779.949.Zbl.Math.99163524.
33. Properties of the series of differences of prime numbers-Publication du Centre de Recherches en
Mathematique pures,Neuchatel,serie 1,31,(2000) 21-38,MR 1783245.
34. Minorations pour les measures de Mahler de certains polynomes particuliers. Journal de Theorie des
Nombres de Bordeaux,12,(2000), 127-132. MR 2002 b:11151.
35. Properties of the function (n). Publications du Centre de Recherches en Matematique pures Neuchâtel,
serie 1,(32)(2001)25-31.
36. Asymptotic formulas involving (x). Bull.Math.Soc.Sci.Math.Roumanie,Tome 43.no.2,(2000) 149-154
MR 2002 k: 11153.
37. On a theorem of Edmund Landau. Analele Univ.Buc.seria Matematica,XLIX,No.1(2000)67-72 MR 1898
:362.
38. On inequality related to Hardy-Littlewood’s conjecture Analele Univ.Buc.seria
Matematica,XLIX,No.2(2000)163-166 MR 1898:601.
39. Inequalities on polynomial heights. Journal Of Inequalities in Pure & Applied Mathematics,Melbourne
vol.2 Issue 1,Article 7(2001)(în colab cu D Stefanescu)MR 2002 a:11018.
40. On some properties of the *(x)- (x) function. Notes on Number Theory and Discret Mathematics
6,(2000),No.1,23-27.MR1809279.
41. On some properties concerning the function a(n)=n-(n),Bulletin of the Greek Math.Society,Vol 45
(2001),71-77.MR1952482(2003k:11008).
42. An Inequality involving the Prime Numbers. Publications of the Faculty Electrical Engineering Belgrad
11(2001),33-35 MR 2002 g:11009.
43. Inequalities involving prime numbers, Math.Reports Vol.3(53),No.3(2001) 251-256
Mr1929536(2003g:11008).
44. Some of the properties of the sequence of powers of prime numbers. The Rocky Mountain Journal of
Mathematics 31, No.4, 1407-1415 (2001) MR 2002 k: 11156.
45. On the equation n- (n)=m. Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie Tome 44 (92).No.1, 97-100 (2001).
46. Some properties of Liouville’s function. Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie 44 (92).No.4, 365-370
(2001).
47. Checking of the Hardy-Littlewood’s conjecture in specials cases. Revue Romaine de Mathematique
Pures.et Appl. No.4 (2001)465-470 MR 1910309.
48. Inequalities involving the sequence of composed numbers, Publications du Centre de Recherches en
Matematique pures Neuchâtel, serie 1,(33)No 1(2002)19-25.
49. Some generalizations for a theorem by Landau, Math.Inequalities & Appl.(Zagreb)4 no 3 327-330(2001)
MR 2002 l:11121.
50. Generalizations for Landau’s Theorem Analele Univ. Buc.Seria Matematica (LI) No.1, 71-76 (2002).
51. Some properties of the series of composite numbers, JIPAM (Melbourne) 2 no 3 Article 38
(http://jipam.vu.edu.au (2002) MR 2002 j 11103.
52. Consequences of a theoreme of Erdos-Prachar, JIPAM (Melbourne) 2 no 3 Article 35
(http://jipam.vu.edu.au)(2002) MR 2002 j 11102.
53. On the sequence (( pn)2 – pn-1p n+1), JIPAM (Melbourne) 3 no 4 Article 53(http://jipam.vu.edu.au)MR
(2002).
54. A special case of the Hardy-Littlewood conjecture, Math Reports 4(54) no 3, 265-268 (2002).
55. The sequence of the powers of prime numbers revised, Math Reports 5(55) no 1, 85-91 (2003).
56. On the sequence of the powers of prime numbers Analele Univ. Buc. (LI) No 2, 149-152 (2002).
57. Quartic fields extension with no proper intermediate field, Revue Roumaine de Mathematique Pure et
Appl vol48, no1, 1-11(2003) (cu T.Albu)1-11. MR 1998057.
58. Intervals containing prime numbers, Notes on Number Theory and Discrete Mathematics vol.8, no4, 144-
148(2002).
59. Erdös-Turán type inequalities, JIPAM (Melbourne) 4 no1 Article 23 (http://jipam.vu.edu.au).(2003).
MR1966003.
60. On Oblath’s problem, Journal of Integer Sequences, vol.6, Article03.35 (2003) (cu A. Gica).
61. A result similar to a theorem of Lagrange, Math Reports vol.6(56) no3, 45-50 (2003) (cu A. Gica).
62. On the representation of natural numbers as sums of squares, Amer. Math. Monthly vol. 112, no.2, 168-
171 (2005).
63. On the relation between the digital sum and product of a natural number, Publications of the Faculty
Electrical Engineering Belgrad, Ser. Mat.15, 66-71 (2004).
64. Additive properties for the sequence (rn)n≥1, Analele Univ. Buc., vol.52, Nr.1, 57-62 (2003).
65. Relationship between a natural number and its digital product, Notes on Number Theory and Discrete
Mathematics vol.10, no3, 68-71(2004).
66. Properties of the Atanassov function, Advanced Studies in Contemporary Mathematics (Pusan)8, no.1, 55-
58 (2004).
67. Properties of the restrictive factor, Notes on Number Theory and Discrete Mathematics vol.10, no3, 68-
71(2004).
68. New inequalities on Polynomial divisors JIPAM (Melbourne) vol.5, no4, Article 89
(http://jipam.vu.edu.au).(2004) (cu D. Ştefănescu).
69. Some Asymptotic Formulas Involving Primes in Arithmetic Progression. Comentarii Mathematici
Universitatis Sancti Pauli, vol.53, no.1, 23-35(2004) (cu: C. Cobeli, M. Vajaitu, A. Zaharescu).
70. Powerful numbers in sequences. Math. Reports 7/57, No.1 (2005), 57-63 (cu G. Mincu).
71. On a problem of Brocard. Bull. of London Math. Soc. 37 (2005) (cu A. Gica).
72. On some properties of squarefree and squareful numbers. Bull. Math. Soc. Sci. Math Roumanie tome
49(97) no.1 (2006), 63-68 (cu G. Mincu).
73. Polynomial Factorization. Bull. Math. Soc. Sci. Math Roumanie tome 49(97) no.1 (2006), 69-75 (cu D.
Ştefănescu).
74. On the quotient of the consecutive primes Mathematica Moravica.
75. Series involving the least and the greatest prime factor of a natural number MIA (cu G. Mititica).
76. On a sequence related to powerful numbers. Analele Univ. Buc. No.2 (2005) (cu G. Mincu).
77. On some representations as sums of squares. Notes on Number Theory and Discrete Mathematics (cu G.
Mincu).
78. Properties of the Sandor function. Notes on Number Theory and Discrete Mathematics(cu G. Mincu).
79. More about powerful numbers JAFDE (New Delhi) No.1 January-June(2006) (cu G. Mincu).
80. Equations involving arithmetic functions Carpathian Journal of Mathematics (2006) (cu G. Mincu).
LUCRĂRI DIVERSE
1. Noţiunile fundamentale ale matematicii moderne în liceu, G. M. A. nr. 11 şi nr.12, (1971) (cu Dan Radu).
2. O încercare de problematizare în predarea aritmeticii, G. M. A. nr.3, (1972) (cu Gh. Tomsa).
3. Cum am rezolvat o problemă, G. M. A. nr.1, (1973).
4. Predarea inecuaţiilor la clasa a IX-a, G. M. A. nr.5, (1973).
5. Asupra şirului diferenţelor numerelor prime, G. M. A. nr.6, (1974).
6. Generalizarea inegalităţii lui Bonsse, G. M. A. nr.6, (1974).
7. Criteriul lui Schönemann de ireductibilitate a polinoamelor, G. M. A. nr.3-4 (1985) (cu D. Ştefănescu).
8. An irreductibility criteria for polynomials, Abstr. Amer. Math. Soc. 7/226, (1986) (cu D. Ştefănescu).
9. Factorization of the Schönemann polynomials, Abstr. Amer. Math. Soc. vol.8, nr.2, p.261, (1987) (cu D.
Ştefănescu).
10. Contest problems amd mathematical creation, Mathematics competitions, Vol.4, no.2, (1991), Univ. of
Canberra (cu D. Ştefănescu).
11. O clasă de numere prime, Gazeta Matematică (serie pentru informare ştiinţifică şi perfecţionare metodică)
XV, nr.2, (1997), 108-110.
12. Despre inegalitatea p1p2...pn>nn, Gazeta Matematică (serie pentru informare ştiinţifică şi perfecţionare
metodică) XVI, nr.3, (1998), 181-189.
13. Câteva proprietăţi ale numerelor triunghiulare, Gazeta Matematică (serie pentru informare ştiinţifică şi
perfecţionare metodică), XVIII, No.3, (2000), 213-217.
14. Asupra ecuaţiei t (nh)=kt(n), Revista de Matematică din Timişoara, V(4), No.3-4, (2000), 1-3.
15. Câteva proprietăţi ale numerelor triunghiulare, Gazeta Matematică (serie pentru informare ştiinţifică şi
perfecţionare metodică), 18 (XCVIII), nr.3, (2000), 213-216.
16. Generalizarea unei inegalităţi a lui Cebâşev şi câteva aplicaţii, Gazeta Matematică (serie pentru informare
ştiiinţifică şi perfecţionare metodică), 18(XCVIII), nr.4, (2000), 324-327.
17. Funcţia de distribuţie a numerelor prime, Lucrările seminarului de creativitate matematică, Univ. Baia
Mare, vol.9 (1999-2000), 97-104.
18. O aplicaţie a inegalităţii lui Abel, Lucrările seminarului de creativitate matematică, Univ. Baia Mare,
vol.9 (1999-2000), 105-109 (cu M.E. Panaitopol).
CITĂRI ÎN REVISTE ISI ŞI MONOGRAFII DIN STRĂINATATE (SELECŢIE)
Lucrări citate în „Handbook of Number Theory”,D.S.Mitrinovic, J Sandor , B Cristic, Kluwer Academic
Publishers Dordrecht-Boston-London.(1996)
1. Lucrarea 1(lista 1) la pag.236
2. Lucrarea 2(lista 1) la pag.208
3. Lucrarea 7(lista 3) la pag.248 şi 255
4. Lucrarea17 (lista 3) la pag.434
Lucrare citată în’’ Manuel de Construction de triangles’’-Luis Lopes, Q.E.D.Tente Boucherville, Quebec.
5. Lucrarea 15(lista 1) la pag.206,207
Lucrare citată în’’ Anvences in geometric inequalities’’-D.S Mitrinovic,J. Pecaric, V.Volenc, Kluwer
Academic Publishers Dordrecht-Boston-London.(1982)
6. Lucrarea 10 (lista 3) la pag.171
Lucrări citate in’’ Polynomials an algotithmic approch’’-M. Mignotte,D. Ştefănescu, Springer Verlag-
Singapore-New York-(1989)
7. Lucrarea 7(lista 1) la pag.60-62
8. Lucrarea 12(lista 1) la pag.69
9. Lucrarea 3(lista 1) la pag 291
10. Lucrarea 17(lista 1) la pag 135
11. Lucrarea 21(lista 1) la pag 133
12. Lucrarea 3 (lista 2) la pag.291
Lucrare citată în ’’Computational and algorithmic problems in finite fields’’-I.E Sparlinski, Kluwer
Academic Publishers Dordrecht-Boston-London.(1992)
13. Lucrarea 13(lista 1) la pag.21
Lucrare citată în ‘’A generalization of Ehrenfeucht’s Irreducibility criterion’’-G.Angelmuller.,Journal of
Number Theory 36,No 1(1990)
14. Lucrarea 3(lista 1) la pag.21
Lucrare citată în ‘’Finite Fields.Theory of Computation- I.E Sparlinski, Kluwer Academic Publishers
Dordrecht-Boston-London.(1999)
15. Lucrarea 13(lista 1) la pag.45
Lucrare citată în ‘’Organicsubstances dosage by infrared spectroscopy quantitative-determinations
numerical processing by the base-line method-I.Popescu Revista de Chimie 43 No.3-4,(1992) 161-170
16. Lucrarea 3(lista 2)
Lucrare citată în” On some Inequalities Concerning R. Garunkstis Experimental Mathematics 11 ,2
(2002), 297-301
17. Lucrarea 31 (lista 1)
Lucrare citată în “Diofantine equation and Arithemtic Function J. Sandor.American Research Press
(2002), 211
18. Lucrarea 12 ( lista1)
Lucrare citată în “Sur les polynômes tels que K[f] est intégrellement fermé dans K[X,Y]”-Mohamed Ayad.
Acta Arithmetica 105 nr.1 (2002) 9-26
19. Lucrarea 12 ( lista1)
Lucrare citată în “Factorization over local fields and the irreductibility of generalised difference
polynomials”-S.D Cohen, A.Movahhedi,A. Salinier. Mathematika 47(2000), 173-196
20. Lucrarea 12 ( lista1)
Lucrare citată în “Difference polynomials and their generalisation”-Saurabh Bhatia, Sudesh K. Khanduja.
Mathematika 48(2001), 293-299
21. Lucrarea 32 ( lista1)
Lucrare citată în “Products of Factorials Modulo p”-F. Luca, P. Stănică. Compos. Math.(2003)
22. Lucrarea 12 ( lista1)
Lucrare citată în “Sur les polynomes tels que K[f] est intégralement fermé dans K[X,Y]”-Mohamed Ayad.
Acta Arithmetica 105, no.1, 9-26 (2002)
23. Lucrarea 19 ( lista1)
Lucrare citată în “A dictionary of inequalities, supplement”-P.S. Bullen. Pitman Monographs and surveys
in Pure and Applied Mathematics, (2003)
24. Lucrarea 16 ( lista1)
Lucrare citată în “Polynomials, Constructivity and Randomness”- D. Ştefănescu. J. Univ. Comp. Sci.,
vol.2, Iss.5, (1996)
25. Lucrarea 42 ( lista1)
Lucrare citată în “A subaditive property of the Gamma function”-H. Alzer, S. Ruschewezh. Journal of
Math. Analzsis and Applications 285/2, 564-577 (2003)
26. Lucrarea 27 (lista 1)
27. Lucrarea 41 (lista 1)
Lucrari citate în “Handbook of Number Theory II” – B. Cristici, J. Sandor. Kluwer Academic Publishers
(2004)
Lucrare citată în “A modular integer G.C.D. algorithm” – K. Weber, V. Trevisan, L.P. Martins. Journal of
Algorithms vol.54, Issue 2 (2005), 152-167
28. Lucrarea 32 (lista 1)
Lucrare citată în “Some examples of classes of monotonic functions II”- H. Alzer, C. Berg. The Ramanujan
Journal (2005)
29. Lucrarea 42 (lista 1)
Lucrare citată în “A generalization of a theorem of Schinzel”- G. Rhin. Colloquium Math 101 (2004) no.2,
155-159 30. Lucrarea 34 (lista 1)
CĂRŢI ŞI MANUALE
1. Manual de Algebră pentru clasa a IX-a, Editura didactică şi pedagogică Bucureşti, 1973 (în colaborare cu
Z. Bogdanof şi E. Georgescu-Buzău).
2. Probleme date la Olimpiadele de matematică, 1968-1974, Editura didactică şi pedagogică, 1976, (în
colaborare cu C. Ottescu).
3. Polinoame şi ecuaţii algebrice, Editura Albatros, Bucureşti, 1980 (în colaborare cu I. Drăghicescu).
4. Probleme de geometrie rezolvate trigonometric, Editura GIL, 1994 (în colaborare cu M. E. Panaitopol).
5. Probleme calitative de geometrie plană, Editura GIL, 1996 (în colaborare cu M. E. Panaitopol).
6. Inegalităţi, Editura GIL, 1996 (în colaborare cu V. Băndilă şi M. Lascu).
7. Egyenlotlensegek GIL 1996 (versiunea în lb. maghiară a lucrării 6)
8. Inducţia matematică, Editura GIL, 1996, sub (în colaborare cu M. E.Panaitopol şi M. Lascu).
9. Subiecte posibile pentru admiterea în învăţământul superior,Ed.Paralela 45,1997 ( în colaborare cu D.
Brânzei şi M. Becheanu).
10. Teoreme celebre de teoria numerelor, Editura Universităţii,1998, Bucureşti, (în colaborare cu A. Gica).
11. Manual de matematică pentru clasa a IX-a, Ed. GIL,1999,(în colaborare cu B. Enescu şi M. Bălună)
12. Manual de matematică pentru clasa a X-a,Ed.GIL,2000, (în colaborare cu M. Bălună).
13. O introducere în Aritmetica şi Teoria Numerelor, Ed. Univ. din Bucureşti, 2002 (în colaborare cu A. Gica)
14. Probleme de Teoria Numerelor şi Combinatorică pentru juniori, Ed.GIL, 2003 (în colaborare cu D.
Şerbănescu).
15. Ghid pentru admiterea la facultatea de Matematică şi Informatică, Ed. Universităţii din Bucureşti (2003)
(în colaborare).
16. Aritmetică şi Teoria Numerelor. Probleme, (cu A. Gica) la Ed. Universităţii din Bucureşti
17. Probleme de aritmetică şi teoria numerelor. Idei şi metode de rezolvare, (cu A. Gica), Ed. GIL, 2006
LUCRĂRI METODICO-ŞTIINŢIFICE
1. Noţiunile fundamentale ale matematicii moderne în liceu(I.), G.M.seriaA,No.11(1971),410-416 (în
colab.cu D. Radu)
2. Noţiunile fundamentale ale matematicii moderne în liceu (II), G.M.seriaA,No.12,(1971).451-458 (în
colab.cu D.Radu)
3. Generalizarea inegalităţii lui Bonsse, G.M.A nr.6,(1971) 100-102 Zbl.Math.225.10045
4. O încercare de problematizare în predarea aritmeticii, G.M.seriaA,No.3,(1972),238-242(în colab. cu Gh.
Tomsa)
5. Cum am rezolvat o problemă, G.M.seriaA,No 1(1973),31-33
6. Predarea inecuaţiilor la clasa a-IX-a, G.M.seriaA,No.5 (1973),184-187.
7. Asupra şirului diferenţelor numerelor prime, G.M.A.nr.6,(1974) 238-242 Zbl.Math.283.10023
8. De la probleme cunoscute la probleme noi,Vol.5 al Soc. Mat.RSR,Bucureşti (1977),359-437,(în colab. cu
E. Georgescu-Buzău)
9. Asupra unei inegalităţi geometrice, G.M.seria B,No.7(1981)
10. O inegalitate geometrică, Gazeta Matematică 87 No.4,(1982) ,113-115,MR.83k51033
11. Funcţia de gradul al doilea, G.M.seria B,No.1(1983)
12. Radicali, G.M.seria B,No.3(1983)
13. Ecuaţii iraţionale, G.M.seria B,No.4(1983)
14. Probleme de geometrie rezolvate trigonometric, G.M.seria B,No.6(1983)
15. Permutări, aranjamente, combinări, G.M.seria B,No.9(1983)
16. Binomul lui Newton, G.M.seria B,No.2(1984)
17. O rafinare a formulei lui Stirling, G.M.seria B,No.9(1985)
18. Schoenemann criterion of irreducibility of polynomials, G.M.A nr.6,(1985),143-145, (în colab.cu D
Stefanescu). Zbl.Math.614-12001.
19. An irreductibility criteria for polynomials, Abstr.Amer.Math.Soc.Vol.7/226,(1986)(colab.cu D
Stefanescu)
20. Câteva aplicaţii ale teoremei lui Cauchy, G.M.seria B,No.4(1987)
21. Factorization of the Schonemann polynomials, Abstr.Amer.Math.Soc Vol.8,No.2,(1987),261)(colab.cu D
Stefanescu)
22. Contest problems and mathematical creation, Mathematics Competitions,Vol.4,No.2(1991),Univ.of
Camberra, )(colab.cu D Stefanescu)
23. Criteriul lui Perron de ireductibilitate a polinoamelor cu coeficienţi întregi, G.M.seria B,XCVIII
No.10(1993)
24. Concursul de Admitere de la Facultatea de Matematică a Univ.Bucureşti 1993, G.M.seria B,XCVIII
No.10(1993)344-349(colab. cu M. Becheanu)
25. Concursul de Admitere de la Facultatea de Matematică a Univ.Bucureşti 1994, G.M.seria B,XCVIII
No.1(1995)13-19(colab. cu M. Becheanu)
26. Rezolvarea ecuaţiei x + y = 1+ xy, în numere pozitive. G.M seria B, C No.9(1995)
27. Concursul de Admitere de la Facultatea de Matematică a Univ.Bucureşti 1996, G.M.seria B,XCVIII
No.9(1996)408-417(colab. cu M. Becheanu)
28. O generalizare a şirurilor monotone, G.M seria B, CI No.9 (1996)
29. O clasă de numere prime, Gazeta Matematică(serie pentru informare ştiiinţifică şi perfecţionare metodică)
XV nr.2,1997, 108- 110.Zbl.Math 99163525
30. Despre inegalitatea n
n nppp ...21 , Gazeta Matematică(serie pentru informare ştiiinţifică şi perfecţionare
metodică) XVI nr.3, (1998), 181-189.Zbl.Math 99163524
31. Asupra ecuaţiei (n) = k(n) ,Revista de Matematică din Timişoara, anul V.(seria 4),3-4(2000)1-3
32. Câteva proprietăţi ale numerelor triunghiulare, Gazeta Matematică seria metodică,no.3(2000)213-216
33. Generalizarea unei inegalităţi a lui Cebâşev şi câteva aplicaţii, Gazeta Matematică seria
metodică,no.4(2000)324-327
34. Funcţia de distribuţie a numerelor prime, Lucrările Seminarului de creativitate matematică Univ. Baia
Mare, vol.9(1999-2000)105-108
35. O aplicaţie a inegalităţii lui Abel, Lucrările Seminarului de creativitate matematică Univ. Baia Mare,
vol.9(1999-2000) 109-113 (colab. cu M.E. Panaitopol)
36. O inegalitate în triunghi, GMB no4(2001), 146-148
37. Numere tetraedrale, GMA ( XIX) no 2(2001) 94-97
38. Aplicaţii ale teoremei celor trei pătrate, Revista de matematică din Timişoara VII(4) no.1(2002),3-5
39. Despre o problemă de aritmetică, GMA (XIX) no.3(2001) 154-157( colab. cu M.E. Panaitopol)
40. Consecinţe ale inegalităţii lui Holder, GMB no.4(2002) 145-147
41. Medii de numere prime, GMA ( XX) no.1(2002) 22-25
42. O demonstraţie a inegalităţii lui Durrande, GMB 5-6(2002) 195-196
43. O aplicaţie a teoremei elementului prim, GMA no.2, 113-115(2003)(cu A. Gica)
44. O aplicaţie a teoremei lui Catalan, GMB no.1, 1-3(2004)(cu M. Pârvulescu)
45. Probleme rezolvate cu ajutorul ecuaţiilor de tip Pell, GMA no.21, (2004)
PROFESORUL LAURENȚIU PANAITOPOL
(1940—2008)
de Doru Ştefănescu
Aceste note reprezintă împreunarea unor informaţii biografice, cu gânduri personale, despre Laurenţiu
Mircea Panaitopol.
…Matematician fin, cu un har de excepţie, în acelaşi timp un profesor de mare talent. Pasiunea lui pentru
matematică ne dinamiza pe toţi şi aduna în jurul său colegi din toate generaţiile. Aria preocupărilor sale era vastă,
de la teoreme subtile de teoria numerelor şi algebră până la articole de didactică matematică şi probleme foarte
frumoase publicate în Gazeta Matematică. S-a născut la 10 august 1940, la Balcic, în Cadrilaterul care atunci
făcea parte din România. Tatăl său era ofiţer, iar mama sa profesoară de Latină şi Elină.
Ulterior, familia s-a mutat la Giurgiu, unde a urmat şcoala primară, gimnaziul şi liceul. În timpul liceului s-a
remarcat ca unul dintre cei mai valoroşi colaboratori la Gazeta Matematică şi Fizică. A fost câştigătorul
necontestat al olimpiadelor şcolare de matematică, un adevărat lider al generaţiei sale. În 1957 a devenit student
al Facultăţii de Matematică şi Fizică a Universităţii din Bucureşti. Aici s-a remarcat imediat ca unul dintre cei mai
străluciți studenţi. La începutul anului II, în octombrie 1958, a primit o neaşteptată şi grea lovitură din partea
autorităţilor comuniste. I-au fost aduse acuzaţii absurde, de genul ,,are o atitudine duşmănoasă”, ,,are o atitudine
ostilă ştiinţelor sociale”, ,,are o atitudine ireverenţioasă faţă de profesori”. A fost exclus din U.T.M.,
exmatriculat din facultate şi obligat să lucreze ca „frezor de roţi dinţate , categoria a 6-a” la Întreprinderea
,,Timpuri Noi”.
Promiţătoarea sa carieră ştiinţifică părea să se fi sfârşit prematur. Dar Panaitopol era un matematician prea
robust ca să fie doborât. După doi ani, autorităţile comuniste au relaxat puţin „lupta de clasă” şi Laurenţiu
Panaitopol a fost reînmatriculat la universitate. A reînceput studiile de matematică din anul I şi a obţinut licenţa
în 1964, cu o lucrare de diplomă de analiză matematică. Din pricina „dosarului de cadre” nu i s-a permis să
ocupe o poziţie în învăţământul superior sau într-un institut de cercetare. A fost repartizat profesor de matematică
în satul Remuş, din actualul judeţ Giurgiu. Ulterior s-a mutat la Giurgiu, unde a predat la Liceul Economic şi apoi
la Liceul Teoretic ,,Ion Maiorescu”. De-abia în 1970 a devenit asistent la Universitatea din Bucureşti, întâi la
Facultatea de Pedagogie-Psihologie şi apoi la cea de Matematică. Acolo a devenit coleg şi cu unii dintre cei
responsabili de lovitura primită în 1958. Nu le-a reproşat niciodată nimic. Generos cum era, chiar îi lăuda pe aceia
dintre ei care obţineau teoreme frumoase sau aduceau servicii comunităţii matematice.
În 1979 a susţinut teza de doctorat cu titlul „Contribuții la studiul funcţiilor aritmetice. Verificarea pe
calculator a unor ipoteze”. A devenit, succesiv, lector, conferenţiar şi profesor la Catedra de Algebră.
Pe profesorul Laurenţiu Panaitopol l-am cunoscut acum patru decenii, la pregătirea lotului lărgit pentru
Olimpiada Internaţională de Matematică. Era un tânăr elegant şi distins, care te impresiona prin profunzimea
ideilor matematice expuse, dar şi prin rara capacitate de a le explica într-o formă accesibilă celor din jur.
Problemele pe care le propunea la Olimpiade şi în Gazetă aveau o frumuseţe greu de egalat.
Cam în acelaşi timp, domnul Panaitopol m-a impresionat prin câteva frumoase probleme despre şirul
numerelor prime, publicate în Gazeta Matematică, seria A. Erau primele sale rezultate de teoria numerelor,
domeniu în care a devenit, ulterior, un reputat specialist.
Îl întâlneai des la sediul Societăţii de Ştiinţe Matematice, aflat şi atunci la parterul clădirii Facultăţii de
Matematică. Acolo discuta adesea cu colaboratorii, dădea sfaturi studenţilor şi profesorilor de matematică, adesea
şi elevilor de liceu. Tot acolo urmărea activitatea editorială a celor două Gazete Matematice, A şi B, implicându-
se la selectarea problemelor, soluţiilor şi articolelor, propunând modificări salutare. Acolo a cunoscut-o pe soţia
sa, Maria Elena, care este o distinsă profesoară şi colaboratoare la Gazeta Matematică.
Tot la S.S.M. l-am cunoscut şi eu mai bine. Acolo am făcut planul primului nostru articol despre
polinoame ireductibile, acum aproape un sfert de veac. Colaborarea începută atunci a fost una dintre marile mele
experiențe intelectuale. Ne întâlneam des, căutam conexiuni cu rezultate deja cunoscute, învățam unul de la
celălalt tehnici noi sau descifram împreună rezultate și metode legate de problemele noastre. Țin minte cum, prin
1988, ne-am bucurat enorm descoperind că o teoremă de-a noastră despre polinoamele diferență, generalizată,
putea fi demonstrată nu doar prin tehnici pur algebrice ci folosind și eleganta metodă a poligonului lui Newton.
Erau satisfacții matematice pe care domnul Panaitopol le trăia cu intensitate. Scânteile ideilor sale erau apreciate
de toți colegii și elevii săi, inspirând elan și gust pentru frumusețile matematicii.
Laurențiu Panaitopol a publicat multe articole, cărți și probleme. Cele pur științifice sunt indexate și
prezentate în principalele reviste de referate și baze de date matematice. Dintre acestea, cele mai multe abordează
probleme dificile de teoria numerelor și teoria polinoamelor, dar unele abordează și alte domenii cum sunt analiza
numerică și geometria. A obținut teoreme importante despre numere compuse, funcții aritmetice, numere
powerful, proprietăți ale numerelor prime, numere libere de pătrate, polinoame ireductibile, factorizarea
polinoamelor, poligonul Newton, estimarea măsurii Mahler a polinoamelor și a altor mărimi polinomiale. Multe
dintre lucrările sale sunt citate de matematicieni din toată lumea. Cu siguranță, astfel de ecouri vor apărea și în
viitor.
În afara acestor articole științifice, profesorul Panaitopol a rămas toată viața un pasionat al problemelor de
matematică accesibile unui public cât mai larg, în primul rând elevilor din gimnaziu și liceu. A avut rarul talent de
a strecura, într-o formă elementară, idei subtile și de a stimula gustul pentru matematica de calitate.
Suferea de mulți ani de o boală cumplită, de care — cu discreția sa — nu s-a plâns pentru a nu-i împovăra
pe cei din jur. În acești ani grei a continuat să lucreze cu pasiune. A obținut noi rezultate frumoase, care au avut
ecou în reviste de mare prestigiu. Până în ultimele clipe discuta despre finalizarea unor proiecte matematice mai
vechi și făcea altele pentru viitor. Profesorul Panaitopol a fost un prieten cald, gata oricând să te ajute în orice fel
ar fi fost nevoie. Nu de puține ori sugestiile sale înțelepte ne-au fost tuturor de mare ajutor.
Prin tot ce a realizat și prin punțile către viitor pe care le-a construit, va rămâne veșnic în sufletele noastre.
GÂNDURI DESPRE PROFESORUL
LAURENȚIU PANAITOPOL
de Marcel Țena
Profesorul universitar Laurențiu Panaitopol a fost o adevărată stea a matematicii românești, dar și a
învățământului românesc. A strălucit ca elev, ca student, ca profesor, ca om. În ceea ce mă privește, am avut
marele privilegiu să-l cunosc și să-l admir încă din anii când eram elev de liceu la Giurgiu. Deși nu i-am fost elev,
la îndemnul profesorului meu, consultam cu regularitate notițele celor ce îl aveau profesor la clasă pe domnul
Panaitopol. Îmi amintesc că, o vreme, a condus un cerc de matematică la nivelul orașului Giurgiu. Era o încântare
să participi la acest cerc și am învățat multe, acolo. L-am reîntâlnit pe dl. Panaitopol în facultate, când eram
student, iar după câțiva ani 1-am regăsit în jurul Gazetei Matematice sau în comisiile de olimpiadă. Ne uimea prin
viteza cu care rezolva probleme grele și prin maniera prin care scurta soluții sau demonstrații lungi ale unor
autori. Însă punctul său forte 1-au constituit mereu fascinantele probleme pe care le propunea la olimpiade sau în
Gazeta Matematică. Aceste probleme au fost savurate de generații întregi de elevi și de profesori și au constituit
un mare salt calitativ în problemistica românească. Problemele semnate Laurențiu Panaitopol acopereau toate
domeniile și au dominat prin frumusețea, eleganța, conciziunea, consistența, dificultatea lor, autorul acestora
dovedind un deosebit simț estetic în matematică. Tot ceea ce crea, tot ceea ce scria, de la miniatură până la curs
universitar sau monografie, sta sub semnul esteticului, sub semnul originalității și al unei calități de excepție,
datorate unui talent matematic ieșit din comun. Poate nu întâmplător, orașul care 1-a dat pe marele teoretician al
esteticii, Tudor Vianu, avea să-1 dea și pe acest veritabil estetician al matematicii, Laurențiu Panaitopol.
Personal, consider că dl. Laurențiu Panaitopol a fost cel mai mare problemist român și cel mai valoros
colaborator al Gazetei Matematice din toată existența acesteia de până acum. La facultatea de matematică a fost
primul care a introdus un curs modern de teorie analitică a numerelor, ca și un curs de metodica predării
matematicii, în fapt, un elevat curs de matematici elementare.
Pentru mine, profesorul Laurențiu Panaitopol a fost un adevărat model, pe care 1-am urmat atât cât am
putut eu s-o fac. Odată, profesorul A. Ghioca m-a întrebat: ,,Marcele, tu ai vreun model în materie de probleme?”
I-am răspuns: ,,Da, pe dl. Panaitopol.” A zâmbit și mi-a spus: ,,Avem, se pare, același model.”
Cred că mulți dintre problemiștii români 1-au avut ca model, chiar dacă poate nu îndrăznesc să o spună.
Gazeta Matematică se desparte cu greu de cel mai de seamă colaborator al său, de acela care în ultimii 40
de ani i-a fost un adevărat mentor, ridicând problemistica românească la un nivel recunoscut și chiar invidiat în
lume. Îi vom păstra o veșnică și frumoasă recunoștință, iar în semn de modest omagiu, prezentăm mai jos o listă
conținând 41 de probleme, mici bijuterii matematice, semnate Laurențiu Panaitopol.
DESPRE PROFESORUL LAURENȚIU PANAITOPOL,
AȘA CUM L-AM CUNOSCUT
Laurențiu Modan
Sunt puțini aceia care lasă o urmă în drumul lor spre Marea Trecere. Dar și mai putini cei ce reușesc să
intre în memoria timpului prin care au trecut. Fără îndoială, unul dintre puținii aleși să intre în conștiința
contemporanilor săi și în istoria relativ recentă a profesioniștilor în Matematică, ai acestui neam, este prof. univ.
dr. Laurențiu Panaitopol. La Balcic, pe vremea când Cadrilaterul nu ne fusese răpit, orașul palatului de suflet al
majestății sale, Maria, cea mai iubită regină a românilor, profesorul a văzut lumina soarelui, în a zecea zi a lui
Gustar 1940, când se comemorează martiriul Sfântului Laurențiu, al cărui nume l-a purtat în cinstire și cu
demnitate. S-a stins după o luptă aprigă cu boala, în seară răcoroasă a lui Brumar 2008, lăsând în urmă o operă
matematică densă, pe care puțini dintre români o cunosc în detaliu, dar și una didactică, de neegalat...
Cercetătorul L. Panaitopol rămâne seniorul Teoriei Numerelor, în România ! Profesorul L. Panaitopol este
poate cel mai desăvârșit dascăl și metodist pentru Matematică, pe care l-a avut vreodată această țară ! Şi mai este,
cu certitudine, cel mai mare problemist român al tuturor timpurilor ! Și încă unul foarte fin, ce a intrat în galeria
marilor problemiști ai lumii și ale cărui creații, adevărate bijuterii filigranate, acoperă prin varietatea lor
aproximativ toate domeniile Matematicii, apropiindu-1 în acest sens de P. Erdös.
Scopul nostru actual nu constă în a ne ocupa de opera matematică și didactică a acestei elegante, distinse
și super-cultivate personalități, pe care Universitatea din București, cu greu, și abia în 1970 a acceptat-o ca
slujitoare a ei, ci în a dezvălui comunității noastre matematice, puterea intelectuală și frumusețea spiritului omului
care a fost profesorul L. Panaitopol.
L-am cunoscut în anul al treilea când, ca student la secția de Informatică, m-am hotărât la sfaturile
insistente ale părinților mei, să urmez și cursul facultativ de Metodica Predării Matematicii. Profesorul L.
Panaitopol m-a cucerit de la început, cu limpezimea expunerii și cu frumusețea problemelor prin care exemplifică
diferite tehnici de rezolvare. Sub îndrumarea sa, am făcut și practica pedagogică la clasele soției sale, dna Maria-
Elena Panaitopol, în vremea aceea, profesoară la liceul I.L.Caragiale. Deși aveam destui dascăli în familie, pe
atunci nu simțeam nicio atracție pentru această nobilă ocupație. Dar maniera cu totul deosebită a lecțiilor cursului
d-lui L. Panaitopol și comunicarea firească, fără aspectele convenționale ale anilor ‘80, m-au atras în mod aparte
și m-au determinat să-mi schimb opinia, poate preconcepută, asupra meseriei de dascăl. Mărturisesc astăzi, cu
mâna pe inimă, că ocupația ce o practic i-o datorez în cea mai mare măsură d-lui prof. L. Panaitopol, de la care
am deprins regulile eleganței enunțurilor și demonstrațiilor, dar și ale conciziunii la propunerea unei probleme,
fapte ale căror baze îmi fuseseră puse cu un an mai înainte, tot la un curs facultativ de Topologie Algebrică, de
către un alt eminent matematician român, respectiv profesorul Kostache Teleman.
Cu nostalgie îmi aduc aminte cum, de-a lungul anilor, la SSM, dl. prof. L. Panaitopol mi-a șlefuit
enunțurile unor probleme pe care le propusesem și care i-au plăcut. În repetate rânduri, la Școala de Vară de la
Bușteni, după cursurile ce le țineam pentru perfecționarea profesorilor, ne întâlneam și prelungeam cu încântare
discuțiile despre Matematică, despre starea precară și degringolada societății românești, despre cultură în
general...
În jurul lui 10 august 2004, dată dublu aniversară pentru domnia sa, am avut bucuria să pornesc într-un
prelungit periplu prin inegalabila Franță și, într-o companie în care se afla atât dl. L. Panaitopol cât și distinsa sa
soție, am avut parte de savoarea unor momente de neuitat prin varietatea temelor istorice, artistice, arhitecturale,
muzicale, științifice pe care le-am abordat cu dl. profesor și consoarta sa, în toată acea perioadă. Deși compania în
care ne aflam era foarte eterogenă, eleganța distinctă a comportamentului său a reușit să impună. Am admirat și
ne-am bucurat împreună de frumusețea și bogăția variată a Franței. Am înfruntat la Nice o noapte cu o căldură de
39 grade Celsius, căci în 2004, Hexagonul a fost bântuit de caniculă, iar în Alpi, la Muntele de Gheață, am simțit
un frig chiar pătrunzător. Ne-am arătat reciproc, eu la Paris, universitatea unde mi-am desăvârșit studiile
profesionale, iar domnia sa, la Compiegne, universitatea în jurnalul căreia și-a publicat multe cercetări din Teoria
Numerelor. Am admirat împreună stilul foarte diferit al catedralelor închinate patronului numelui nostru, Sfântul
Laurențiu, în Genoa și respectiv în Verona. Ne-am fotografiat împreună pentru eternitate, în fața majestuosului
portal de pe latura sudică a superbei catedrale gotice din Strasbourg, portal deasupra căruia se află magistral
sculptat în piatră, martiriul Sfântului Laurențiu. I-am povestit profesorului despre fascinația ce mi-a produs-o, în
septembrie 1990, întâia mea ascensiune în turnul acestei catedrale, în fond cel mai înalt printre construcțiile
similare ale Franței. Am făcut comparații și cu celelalte catedrale văzute sau revăzute în Reims, Rouen, Paris. Am
împărtășit, împreună, impresii despre Avignon, vechiul sediu al papalității franceze, dar și despre falnicele castele
Amboise, Blois, Chambord, Chenonceau, de pe Valea Loirei, cât și despre legendele vechiului port al corsarilor
din St. Malô sau despre misterul minunii Mont St.Michel, din Normandia, precum și despre perioada romană a
liniștitului Lyon, vegheat de frumusețea catedralei St. Jean...
Au fost o încântare, pentru mine, toate acele clipe ale lui august 2004, când am redescoperit forța
intelectuală a profesorului ! O forță susținută de smerenia sa creștină, venită dintr-o educație aleasă, primită într-o
familie de adevărați intelectuali patrioți.
Mărturisesc acum, că orice discuție pe care am purtat-o cu dl. prof. L. Panaitopol, de-a lungul celor
aproape trei decenii de când 1-am cunoscut, a fost una de suflet ! Pentru că domnia sa a avut acea curățenie a
sufletului, venită și din familie, dar și din suferința pe care o societate strâmbă și neghioabă, impusă de sovietici,
după 1945, îi pricinuise atâtea necazuri şi când foarte tânăr, de la 18 la 20 de ani, fusese exmatriculat din
facultate, deși era un student eminent, fiind apoi obligat să lucreze ca muncitor, într-o uzină pe care regimul de
atunci o numise paradoxal „Timpuri Noi”.
Profesorul L. Panaitopol nu s-a amestecat niciodată cu restul lumii. A reușit “ să-și fie credincios sieși “
așa cum nota odată Turgheniev, într-una din scrierile sale. Este motivul pentru care nu a admis niciodată
impostura și a urmat doar calea lucrurilor drepte și bine făcute. Poate că de aceea, inflexibilitatea sa la
compromisuri 1-a ferit de cavalcada faptelor nedemne ce au atins, după 1990, și lumea matematică. Eleganța
comportamentului său, distincția ținutei sale morale de dascăl și cercetător, deschiderea sa venită din suflet,
pentru a-i sprijini pe cei dotați pentru Matematică, a fost rarisimă pentru România ultimilor aproape 7 decenii,
complet deformată de comunism, dar și de capitalismul sălbatic al ultimilor 20 de ani, oblăduit de o societate
aflată în ... descompunere ...
Spre finalul însemnărilor mele, vreau să acord un vot de blam lumii matematice românești, care a pierdut
o oportunitate rară ! Aceea de a introduce, cu sprijinul, răbdarea și competența profesorului L. Panaitopol, întâiul
doctorat românesc în educație matematică. Deși domnia sa se străduise foarte mult pentru această idee și făcuse
toate demersurile de rigoare la forurile competente, orgoliile meschine ale unor colegi de breaslă au dus la
năruirea proiectului său. Iar aceasta, în ciuda faptului că România a avut un metodist în Matematică, de talie
europeană și un problemist subtil, cu o experiență unică și vastă, care se naște atât de rar, așa cum deseori spunea
profesorul spaniol Francisco Bellot, ani de-a rândul șeful delegației țării sale la OIM și un admirator al d-lui L.
Panaitopol. Prin urmare, între anii 2004 şi 2006, România a ratat nu numai introducerea acestui tip de doctorat,
existent de decenii bune în America de Nord, dar a ratat și colaborarea pe care o înfiripasem alături de dl. prof. L.
Panaitopol, cu o universitate italiană, actualmente cea mai apreciată în Europa, pentru un astfel de doctorat. Și
totul s-a năruit doar din invidia și interesul meschin al unora care continuă să acorde doctorate și titluri
universitare unor protejați ale căror lucrări, în alte vremuri, nu erau acceptate nici ca...licențe.
Rămân la ideea că SSM, pe care remarcabilul dascăl L. Panaitopol a slujit-o aproape o jumătate de secol,
croind noua cale a olimpiadelor, de la cele locale și naționale la cea internațională, unde concurenții, deseori, se
străduiau să-i dezlege problemele, trebuie să cinstească memoria marelui său dispărut ! Iar binemeritata cinstire
nu o văd realizabilă decât printr-una din următoarele două căi : ori ca Olimpiada Națională de Matematică să
poarte numele profesorului L. Panaitopol ori ca numele domniei sale să fie atribuit Conferinței Anuale a SSM.
Numai în acest mod, o națiune conștientă de sine poate rezista în fața istoriei... Căci națiunea care se respectă este
doar aceea ce nu-și uită eroii și nici marile personalități științifice și culturale !
Am convingerea că frumusețea și verticalitatea morală a marelui cercetător și dascăl L. Panaitopol vor
dăinui ca un exemplu pentru lumea matematică, iar claritatea stilului scrierilor sale va fi ca o pildă pentru toți
aceia care doresc să îndrepte, spre tipar, frământările minții lor. Cu siguranță că, din întinderile albastre ale
cerului, spiritul profesorului L. Panaitopol contemplă o filă închinată Matematicii pe care a slujit-o cu dragoste,
până în ultima clipă ! Iar noi ne plecăm frunțile întru memoria și cinstirea omului adevărat care a fost și pe care
doar foarte rar îl mai putem întâlni într-o societate atât de măcinată și de bulversată...
