Curs Bazele Electrotehnicii 2

download Curs Bazele Electrotehnicii 2

of 193

Transcript of Curs Bazele Electrotehnicii 2

UNIVERSITATEA VASILE ALECSANDRI din BACU FACULTATEA de INGINERIE

Conf. univ. dr. ing. MIHAI PUIU BERIZINU

BAZELE ELECTROTEHNICIICircuite electrice liniare

Editura ALMA MATER BACU, 2010

Refereni tiinifici: Prof. univ. dr. ing. Gheorghe HAZI Conf. univ. dr. ing. tefan ABABEI

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei PUIU-BERIZINU, MIHAI Bazele electrotehnicii : circuite electrice liniare / Puiu-Berizinu Mihai. - Bacu : Alma Mater, 2009 Bibliogr. ISBN 978-606-527-058-9 621.3

Tehnoredactare: Mihai PUIU-BERIZINU

Prefa

Teoria cmpului electromagnetic, mpreun cu Teoria circuitelor electrice, constituie cele dou mari pri ale cursului de Bazele electrotehnicii prin care se asigur pregtirea fundamental de specialitate n domeniul electrotehnicii inginereti. Prezentul curs, Circuite electrice liniare, dup cum indic i titlul, se limiteaz la studiul circuitelor electrice liniare dar, acolo unde este cazul, se fac i referiri privitoare la influena neliniaritii caracteristicilor unor elemente de circuit reale, ntlnite frecvent n practic, cum sunt condensatoarele reale sau bobinele cu miez de fier. Cursul a fost elaborat, n primul rnd, pentru uzul studenilor de la specializrile Energetic industrial i Mecatronic de la Facultatea de Inginerie a Universitii din Bacu, dar este util tuturor celor interesai n dobndirea i aprofundarea cunotinelor teoretice fundamentale asupra circuitelor i reelelor electrice ntlnite n toate domeniile tehnicii actuale. Baza teoretic necesar realizrii unui studiu riguros fundamentat tiinific al circuitelor electrice este materializat, n mod adecvat, n prima parte a cursului de Bazele electrotehnicii Electromagnetismul elaborat de acelai autor n prima ediie din anul 2003. Prin urmare, legile i noiunile fundamentale ale teoriei cmpului electromagnetic care stau la baza teoriei circuitelor electrice se impun a fi cunoscute n prealabil studiului care se efectueaz prin aceast lucrare. n aceast prim ediie cursul este structurat n opt capitole n care sunt tratate principalele tipuri de circuite electrice i regimuri de funcionare ale acestora care prezint interes pentru aplicaiile inginereti. Primul capitol este dedicat studiului circuitelor electrice liniare de curent continuu, caracterizate de regimul electrocinetic staionar n care exist numai curentul electric de conducie n conductore.

3

n capitolul doi se analizeaz comportarea principalelor elemente de circuit, liniare, neliniare i parametrice rezistorul, bobina i condensatorul n regim variabil n timp. n capitolele trei i patru sunt analizate circuitele electrice liniare cu parametri concentrai, monofazate i respectiv trifazate, n regim permanent sinusoidal. n capitolul cinci sunt analizai cuadripolii i filtrele electrice de frecven n regim permanent sinusoidal, iar n capitolul ase sunt studiate ecuaiile liniilor electrice lungi n mrimi instantanee i n regim permanent sinusoidal. Capitolul apte este dedicat studiului regimului periodic nesinusoidal n circuitele electrice liniare cu parametri concentrai. Ultimul capitol este destinat studiului regimului tranzitoriu al circuitelor electrice. Sunt analizate, prin metoda direct i prin metoda operaional, principalele regimuri tranzitorii ntlnite frecvent n practic n funcionarea circuitelor electrice de curent continuu i de curent alternativ. Obiectivul urmrit n concepia i elaborarea acestui curs a constat n sintetizarea unei pri a teoriei circuitelor electrice care s asigure cunotinele de baz necesare pregtirii de specialitate a inginerilor din toate domeniile electrotehnicii. Autorul va fi recunosctor pentru eventualele observaii i sugestii n vederea mbuntirii sau completrii unei urmtoare ediii a acestui curs. Autorul

4

CUPRINS

Prefa .............................................................................................................................. 3 1. CIRCUITE ELECTRICE LINIARE DE CURENT CONTINUU 1.1. Structura i clasificarea circuitelor electrice ............................................................... 1.2. Aplicarea legii conduciei electrice n studiul circuitelor electrice .................... 1.3. Caracteristicile tensiune curent (volt amper) ale elementelor de circuit ... 1.4. Surse de energie (generatoare) . ... 1.4.1. Generatorul de tensiune ... 1.4.2. Generatorul de curent .. 1.5. Teoremele lui Kirchhoff forma topologic ...................................... 1.6. Transfigurarea circuitelor electrice liniare de curent continuu ....................... 1.6.1. Echivalena i transfiguraia circuitelor electrice .... 1.6.2. Echivalena surselor de tensiune i de curent .. 1.6.3. Circuite serie ... 1.6.4. Circuite paralel (derivaie) .. 1.6.5. Transfigurarea stea poligon complet ... 1.7. Noiuni de teoria grafurilor .. ...................................... 1.7.1. Grafuri. Elemente topologice .. 1.7.2. Analiza reelelor electrice cu teoremele lui Kirchhoff. Analiza ochiurilor i a nodurilor. .... 1.7.3. Matricele de inciden ale laturilor la noduri i ochiuri. Formele matriceale ale ecuaiilor lui Kirchhoff .. 1.8. Metode de analiz a reelelor electrice liniare de curent continuu .. 1.8.1. Analiza reelelor electrice cu teoremele lui Kirchhoff 1.8.2. Analiza reelelor electrice cu metoda curenilor ciclici ... 1.8.3. Analiza reelelor electrice cu metoda potenialelor la noduri . 1.9. Teoremele reelelor electrice de curent continuu 1.9.1. Teoremele generatoarelor echivalente de tensiune i de curent .. 1.9.2. Teorema suprapunerii efectelor (superpoziiei). Teorema reciprocitii . 1.9.3. Teorema transferului maxim de putere ... 1.9.4. Teorema conservrii puterilor. Bilanul puterilor produse i consumate .... 9 10 12 13 13 14 15 17 17 18 19 21 23 27 27 28 30 33 33 36 38 41 41 42 44 45

5

2. CIRCUITE ELECTRICE N REGIM VARIABIL 2.1. Ipoteze de calcul. Clasificare ...................................................................................... 2.2. Elemente de circuit dipolare ....................................................................................... 2.2.1. Clasificarea elementelor de circuit dipolare......................................................... 2.2.2. Rezistorul n regim variabil ............................................. 2.2.3. Bobina (inductorul) n regim variabil ............................. 2.2.4. Condensatorul (capacitorul) n regim variabil ................................ 3. CIRCUITE ELECTRICE MONOFAZATE N REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 3.1. Mrimi variabile. Mrimi sinusoidale ................................................................ 3.1.1. Mrimi variabile, mrimi periodice, mrimi alternative . 3.1.2. Mrimi sinusoidale (armonice) ............................................... 3.2. Puteri n circuite monofazate n regim sinusoidal ....................................................... 3.3. Reprezentri simbolice ale mrimilor sinusoidale .................................. 3.3.1. Reprezentarea geometric a mrimilor sinusoidale ............................................ 3.3.2. Reprezentarea analitic prin mrimi complexe ... 3.3.3. Caracterizarea n complex a circuitelor dipolare n r. p. s. .............................................. 3.3.4. Puterea complex ................................................ 3.3.5. Forma n complex a legii lui Ohm (ecuaia lui Joubert) ..................................... 3.3.6. Analiza n complex a circuitului RLC serie. Rezonana de tensiuni ... 3.3.7. Analiza n complex a circuitului RLC paralel. Rezonana de cureni ..... 3.4. Analiza n complex a reelelor electrice liniare .......................................... 3.4.1. Analiza n complex a reelelor electrice cu teoremele lui Kirchhoff .. 3.4.2. Analiza n complex a reelelor electrice cu metoda curenilor ciclici . 3.4.3. Analiza n complex a reelelor electrice cu metoda potenialelor la noduri 3.5. Teorema conservrii puterilor complexe, active i reactive ... 3.6. Teorema transferului maxim de putere activ 3.7. Linia monofazat scurt .. 3.7.1. Linia monofazat scurt fr efecte transversale .... 3.7.2. Linia monofazat scurt cu efecte transversale ....... 4. CIRCUITE ELECTRICE TRIFAZATE N REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 4.1. Sisteme polifazate simetrice de mrimi sinusoidale ............................... 93 4.2. Sisteme trifazate simetrice de mrimi sinusoidale .................................. 95 4.3. Conexiunile sistemelor trifazate ............................................................. 97 4.3.1. Conexiunea n stea a sistemelor trifazate ............................... . 99 4.3.2. Conexiunea n triunghi a sistemelor trifazate .................................... . 101 4.4. Analiza circuitelor electrice liniare trifazate, simetrice i echilibrate n regim permanent sinusoidal ............................................................. 103 4.4.1. Circuitul n conexiunea stea cu fir neutru .. 103 4.4.2. Circuitul n conexiunea stea fr fir neutru .... 105 4.4.3. Circuitul n conexiunea triunghi 107 4.4.4. Puteri n reele trifazate echilibrate alimentate cu tensiuni simetrice 108 4.5. Circuitelor trifazate dezechilibrate alimentate cu tensiuni nesimetrice n regim permanent sinusoidal ............................................................. 110 4.5.1. Analiza prin metoda direct a circuitelor trifazate dezechilibrate alimentate cu tensiuni nesimetrice ............................................................. 110 4.5.1.1. Circuitul n conexiunea stea cu fir neutru .. 110 4.5.1.2. Circuitul n conexiunea fr fir neutru ... 111 4.5.1.3. Circuitul n conexiunea triunghi ..... 113 57 57 59 60 64 64 70 72 73 74 76 78 80 80 82 84 87 88 90 90 92 47 48 48 49 50 55

6

4.5.2. Puteri n circuite trifazate dezechilibrate alimentate cu tensiuni nesimetrice .... 4.6. Analiza circuitelor trifazate dezechilibrate prin metoda componentelor simetrice ...... 4.6.1. Metoda componentelor simetrice ....... 4.6.2. Proprieti ale componentelor simetrice ale tensiunilor i curenilor 4.6.3. Analiza circuitelor trifazate echilibrate alimentate cu tensiuni nesimetrice prin metoda componentelor simetrice ... 4.6.3.1. Impedane statice i dinamice . 4.6.3.2. Receptorul trifazat echilibrat conectat n stea cu fir neutru 4.6.3.3. Receptorul trifazat echilibrat conectat n stea fr fir neutru . 4.6.4. Analiza circuitelor trifazate dezechilibrate prin metoda componentelor simetrice ... 4.6.4.1. Principii generale .... 4.6.4.2. Studiul regimurilor de avarie ale reelelor trifazate cu metoda componentelor simetrice . 4.6.5. Calculul puterilor n circuite trifazate cu ajutorul componentelor simetrice . 4.6.6. Filtre pentru componente simetrice .... 5. CUADRIPOLI ELECTRICI 5.1. Generaliti ............................................................................................................... 5.2. Ecuaiile i parametrii cuadripolilor liniari, pasivi i reciproci n r.p.s. .. 5.2.1. Forma fundamental a ecuaiilor cuadripolilor. Parametrii fundamentali ......... 5.2.2. Ecuaiile n impedane ................................ 5.2.3. Ecuaiile n admitane ................................. 5.2.4. Ecuaiile hibride ................................ 5.3. Impedane caracteristice ale cuadripolilor liniari, pasivi .......................................... 5.3.1. Impedane de intrare ........................................................................................... 5.3.2. Impedane caracteristice sau iterative ................................................................ 5.3.3. Impedane imagini .. 5.4. Scheme echivalente al cuadripolilor ......................................................... 5.4.1. Schema echivalent n T .................................................................................... 5.4.2. Schema echivalent n ..................................................................................... 5.5. Conexiunile cuadripolilor ......................................................................... 5.6. Ecuaiile canonice ale cuadripolilor liniari, reciproci i simetrici 5.7. Filtre electrice de frecven .. 6. LINII ELECTRICE LUNGI N REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

114 115 115 117 118 118 119 120 121 121 123 127 127 129 130 130 131 132 133 133 133 134 135 135 135 136 137 139 141

6.1. Ecuaiile liniilor lungi n mrimi instantanee. Parametrii lineici primari ................. 145 6.2. Ecuaiile liniilor lungi n regim armonic permanent . 148 6.3. Undele de tensiune i de curent ale liniilor lungi n regim sinusoidal .. 150 7. REGIMUL PERIODIC NESINUSOIDAL 7.1. Generaliti ............................................................................................................... 7.2. Analiza armonic a mrimilor periodice .. 7.2.1. Dezvoltarea n serie Fourier a funciilor periodice nesinusoidale ................. 7.2.2. Forme particulare ale dezvoltrii n serie Fourier .............................. 7.2.3. Seria Fourier complex ...................................................................................... 7.2.4. Spectrul de frecven al unei mrimi periodice .................................................. 7.2.5. Proprieti ale mrimilor periodice .... 7.3. Puteri n regim periodic nesinusoidal ... 7.4. Analiza circuitelor liniare n regim permanent periodic nesinusoidal . 7.4.1. Circuite simple cu elemente liniare n regim nesinusoidal .................... 7.4.2. Circuite liniare trifazate echilibrate sub tensiuni simetrice nesinusoidale . 153 153 153 155 156 157 158 159 161 161 164

7

8. REGIMUL TRANZITORIU AL CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE 8.1. Consideraii generale ... .................................................................... 8.2. Comutare. Teoremele comutrii ........................................................................... 8.3. Analiza circuitelor liniare n regim tranzitoriu prin metoda direct . 8.3.1. Circuite electrice liniare de ordinul I ................................................................. 8.3.1.1. Circuitul RL serie ...................................................................................... 8.3.1.2. Regimul tranzitoriu la conectarea circuitului RC serie la o surs de tensiune constant .................................................................. 8.3.2. Circuite electrice liniare de ordinul II ............................................................... 8.3.2.1. Regimul tranzitoriu la conectarea circuitului RLC serie la o surs de tensiune constant .. 8.3.2.2. Regimul tranzitoriu la conectarea circuitului RLC serie la o surs de tensiune sinusoidal ... 8.4. Metoda operaional de analiz a circuitelor electrice liniare n regim tranzitoriu.................................................................................................... 8.4.1. Metoda transformatei Laplace ......................... .................................................. 8.4.1.1. Transformata Laplace. Funcii original i imagini Laplace .................... 8.4.1.2. Teoreme ale transformatei Laplace pentru stabilirea funciilor imagini 8.4.2. Forma operaional a ecuaiilor circuitelor electrice liniare ............................... 8.4.2.1. Precizri privind aplicarea transformatei Laplace la studiul circuitelor electrice ..................................................... 8.4.2.2. Circuite electrice cu condiii iniiale diferite de zero . 167 168 169 169 169 173 175 175 180 184 184 184 186 189 189 191

B i b l i o g r a f i e .................................................................................................................. 193

8

1. CIRCUITE ELECTRICE LINIAREDE CURENT CONTINUU1.1. STRUCTURA I CLASIFICAREA CIRCUITELOR ELECTRICEUn circuit electric este un ansamblu de generatoare (surse de energie) i receptoare cu legturi electrice ntre ele. Un ansamblu de circuite cu legtur electric ntre ele constituie o reea electric. Un circuit electric de curent continuu este constituit, n general, dintr-un ansamblu de surse de energie i rezistoare, parametrii care intervin n acest caz fiind rezistenele rezistoarelor i tensiunile electromotoare sau curenii surselor de tensiune, respectiv de curent, precum i rezistenele sau conductanele interioare ale acestor surse. O latur a unei reele electrice reprezint o poriune neramificat cuprins ntre dou extremiti numite noduri. O succesiune de laturi dup un contur nchis constituie un ochi sau o bucl a reelei electrice. Structura oricrei reele electrice este complet determinat dac se cunosc: numrul de laturi (l), numrul de noduri (n) i numrul ochiurilor sau buclelor independente sau fundamentale (o). Se numete ochi independent sau fundamental (bucl independent sau fundamental), acel ochi (bucl) care conine cel puin o latur necomun cu alte ochiuri (bucle) ale reelei. Exist teorema lui Euler care d (2) numrul ochiurilor (buclelor) independente:R1 (1) E5 [1] R5 R4 (3) E6 [3] R6 [2] R3 R2 (4)

o =ln+1

(1.1)

Fig. 1.1.

Pe schema reelei electrice de curent continuu din figura 1.1, s-au notat astfel: (1), (2), (3), (4) noduri, n = 4; 1, 2, ..., 6 laturi, l = 6; [1], [2], [3] ochiuri independente; R1, R2, ... , R6 rezistoare, E5, E6 generatoare de tensiune. Cu relaia (1.1) se calculeaz numrul ochiurilor independente: o = 6 4 +1 = 3.

Clasificarea circuitele electrice se poate face dup mai multe criterii, cele mai importante fiind prezentate n continuare. a) Dup natura elementelor ce intr n structura circuitelor exist: circuite liniare; circuite neliniare; circuite parametrice. 9

n circuitele neliniare, parametrii elementelor de circuit depind de curent (tensiune), iar n circuitele parametrice acetia depind i de timp. b) Dup regimul de funcionare se deosebesc: circuite de curent continuu (c.c.), caracterizate de regimul staionar n care exist numai curent electric de conducie n conductoare; circuite de curent alternativ (c.a.), caracterizate de regimul cvasistaionar n care exist curent electric de conducie n conductoare i curent electric de deplasare n dielectricii condensatoarelor din circuit. c) n raport cu sursele exist: circuite active conin surse de energie; circuite pasive nu conin surse de energie. Laturile de circuit care conin surse se numesc laturi active (laturile 5 i 6 din schema prezentat n fig. 1.1), iar cele care nu conin surse se numesc laturi pasive. d) Dup dimensiunile conductoarelor pot exista: circuite filiforme dimensiunile transversale ale conductoarelor sunt mult mai mici dect cele longitudinale i sunt caracterizate prin aceea c densitatea de curent este uniform repartizat pe seciunea conductorului; circuite masive dimensiunile transversale ale conductoarelor sunt comparabile cu cele longitudinale. e) Dup localizarea parametrilor circuitului pot exista: circuite cu parametri concentrai; circuite cu parametri distribuii. f) Dup legtura cu exteriorul circuitele pot fi: izolate nu au borne de legtur cu exteriorul, neizolate au borne de legtur cu exteriorul. Circuitul care are numai dou borne de legtur cu exteriorul se numete dipol, circuitul care are 3 borne de legtur cu exteriorul se numete tripol, circuitul care are 4 borne de legtur cu exteriorul se numete tetrapol sau cuadripol, .a.m.d.

1.2. APLICAREA LEGII CONDUCIEI ELECTRICE N STUDIUL CIRCUITELOR ELECTRICE. ASOCIEREA SENSURILOR DE REFERIN PENTRU TENSIUNI I CURENI.Latura de circuit pasiv Se consider un conductor filiform, omogen, respectiv o latur pasiv de circuit electric (fig. 1.2,a). Schema electric echivalent cu parametri concentrai a laturii de circuit se prezint n figura 1.2,b). Prin integrarea formei locale a legii conduciei electrice ( E = J ) dea lungul conductorului laturii ntre extremitile sale (1) i (2), se obine:(1)

i u12

(1)

V1

iR

u(2)

u(2)

a) Fig. 1.2.

V2

b)

10

1

2

Ed s = Jd s = J A ds = i ds A A

1

2

1

2

1

2

unde i = J A este intensitatea curentului, repartizat uniform pe seciunea transversal de arie A a conductorului,

1

2

ds = R este rezistena acestuia i A

Ed s = u1

2

12

este

tensiunea electric de-a lungul conductorului laturii. S-a obinut astfel relaia lui Ohm:

u12 = Ri .

(1.1)

Relaia (1.1) este valabil, att n regim electrocinetic staionar, ct i n regim variabil n timp. n regim staionar, cmpul fiind potenial, tensiunea electric nu depinde de curba de-a lungul creia se face integrarea (de drum), ci numai de extremitile acesteia. Dac integrala de linie a intensitii cmpului electric se face n lungul unei curbe care trece direct prin aer ntre bornele laturii de circuit, tensiunea electric corespunztoare, egal cu diferena potenialelor bornelor respective, se numete tensiune la borne, notat simplu cu u:

u12 = u = V1 V2

(1.2)

n cazul unui circuit de curent continuu (regim staionar), forma integral a legii conduciei electrice se scrie sub forma: U = RI n regim variabil cnd, n general, poate s intervin, potenial Ep, ct i una solenoidal Es a cmpului electric, corespunde numai componentei poteniale a intensitii cmpului egal cu tensiunea n lungul axei conductorului filiform. n acest legii conduciei electrice pentru conductoare omogene esteE p + Es = J i prin integrare,2 2

(1.3) att o component tensiunea la borne electric, nemaifiind caz, forma local a(1.4)

(E1

p

+ E s ) ds =

Jds , se obine:1

u + e = Ri ,22

(1.5)s

unde u =

E ds este tensiunea la borne, iar e = E ds este tensiunea electromotoarep 11

corespunztoare prii solenoidale Es a cmpului electric.Latura de circuit activ.(1)(1)

i e

Se consider o poriune filiform, neramificat dintr-un circuit electric oarecare, cuprins ntre bornele (1) i (2) i n care acioneaz un cmp imprimat (Ei 0), respectiv o surs de energie electric (fig. 1.3,a). Ecuaia legii conduciei electrice n forma integral se scrie

(Ei)(2) a)

e uR(2)

b) Fig. 1.3.

11

ds (E + E ) d s = i , respectivi 1 1

2

2

A

u12 + e = R i,

(1.6)

e = Eid s fiind t.e.m. a sursei.1

2

n figura 1.3,b) se prezint schema echivalent a laturii active cu rezistena conductorului R ca parametru concentrat. O problem important la scrierea ecuaiilor circuitelor electrice este asocierea sensurilor de referin pentru cureni i tensiuni. Pentru fiecare din aceste mrimi se pot alege independent cte un sens de referin, respectiv de integrare. Considernd curentul i dintr-o latur de circuit i tensiunea u la bornele acestei laturi, se pot adopta dou convenii de asociere a sensurilor de referin pentru aceste mrimi, dup cum urmeaz:1 Convenia de la receptoare fa de una din bornele laturii, tensiunea la borne i curentul au acelai sens sau, altfel spus, sensul tensiunii la borne este de la borna de intrare la borna de ieire a curentului, aa cum se arat n figura 1.4. Prin aplicarea legii conduciei electrice laturilor de i i circuit active prezentate n aceast figur, rezult (1) (1) ecuaiile: R R u a) b) u a) u + e = R i, b) u e = R i. e e(2) (2)

Fig. 1.4.(1)

iR b)

(1)

iR

a)

u(2)

u(2)

eFig. 1.5.

e

2 Convenia de la generatoare fa de una din bornele laturii, tensiunea la borne i curentul au sensuri opuse sau, altfel spus, sensul tensiunii la borne, este de la borna de ieire la borna de intrare a curentului, aa cum se arat n figura 1.5. Ecuaiile care se obin prin aplicarea legii conduciei electrice n acest caz sunt:

a) u + e = Ri, b) u e = Ri.

1.3. CARACTERISTICILE TENSIUNE CURENT (VOLT AMPER) ALE ELEMENTELOR DE CIRCUITPrin caracteristica tensiune curent sau volt amper (V A) a unui element de circuit (rezistor, surs, etc.) se nelege dependena dintre tensiunea u la borne i intensitatea curentului i care-l strbate, u = u(i). u Caracteristicile tensiune curent pot fi u Rd>0 Rd 0 este inductivitatea reciproc proprie a bobinei s, ks = sk este inductivitatea reciproc mutual dintre bobinele k i l. n forma matricial, sistemul de ecuaii (2.29) se scrie:

[i ] = [] [u]dt +[i (0)] ,0

t

(2.30)

unde matricea 11 21 [] = ..... j1 ..... n1 12 22 ..... j2 .... n 2 .... 1k .... 2 k .... .... .... jk .... .... .... nk .... 1n .... 2 n .... ..... .... jn .... ..... .... nn

(2.31)

este matricea ptratic i simetric de ordinul n a inductivitilor reciproce proprii i mutuale, avnd pe diagonal inductivitile reciproce proprii ale bobinelor i n afara diagonalei inductivitile reciproce mutuale. Comparnd ecuaiile (2.27) i (2.30), rezult c matricea inductivitilor reciproce se obine, pentru un sistem de bobine dat, prin inversarea matricei inductivitilor proprii i mutuale a sistemului,

[] = [L]1 .

(2.32)

53

Se consider, ca exemplu, cazul a trei bobine i1 * cuplate magnetic (fig. 2.8). Ecuaiile tensiunilor se scriu: L12 = L210 L1 u = L di1 L di2 + L di3 u1 1 12 13 1 dt dt dt u3 * L2 di1 + L di2 u2 = L 21 (2.33) 2 dt dt i3 * L3 u2 i2 di1 + L di3 3 u3 = L 31 dt dt Fig. 2.8. matricea inductivitilor fiind L12 L13 L1 [L] = L 21 L 2 0 . (2.34) L 31 0 L3

Rezolvnd sistemul (2.33) n raport cu curenii, rezult: t t t i1 = 1 u1dt + 12 u2 dt + 13 u3 dt + i1 ( 0) 0 0 0 t t t i2 = 21 u1dt + 2 u2 dt + 23 u3 dt + i2 ( 0) 0 0 0 t t t i3 = 31 u1dt + 32 u2 dt + 3 u3 dt + i3 ( 0) 0 0 0 unde inductivitile reciproce se calculeaz astfel: 1 = L 2 L 3 ; 2 = L1 L 3 L 31 L13 ; 3 = L1 L 2 L 21 L12 ;

(2.35)

12 = 21 = L3 L12 ; 23 = 32 = L 21L13 ; 13 = 31 = L 2 L13

(2.36) Semnele inductivitilor mutuale reciproce sk difer de cele ale inductivitilor mutuale Lsk, convenia bornelor polarizate n raport cu tensiunea necesitnd modificarea acestora. nmulind relaia (2.26) cu isdt i integrnd, se deduce expresia energiei magnetice a bobinei s:W(s) m

= L1L2L3 L2L13L31 L3L12L21 .

= us is dt = 1 L sis2 + 2

0

t

Lk =1 k s

l

ks s

i dik .

(2.37)

(s Termenul pozitiv Wmp) = 1 Lsis2 > 0 este energia magnetic proprie, iar termenul 2

(s) Wmm =

k =1 k s

l

L ksis dik =

Lk =1 k s

l

ks s k

i i , pozitiv sau negativ, este energia magnetic mutual.

Energia total nmagazinat n cmpul magnetic a sistemului de l bobine cuplate magnetic este:Wm =k ,s =1

L i di = W + Wsk s k (s) mp s =1 s =1

l

l

l

(s) mm

.

(2.38)

54

2.2.4. Condensatorul (capacitorul) n regim variabilCondensatorul este un element de circuit pasiv cu ecuaia caracteristic:q = q[u(t),t] sau u = u[q(t),t].

(2.39)

Curba caracteristic n planul (q,u) la un moment t, se numete caracteristic sarcin tensiune (fig. 2.9). u Ecuaia de legtur ntre sarcina electric i intensitatea curentului (curent de deplasare) este dat de legea conservrii sarcinii electrice: dq . (2.40) i= dt Integrnd ecuaia n intervalul 0 t, se obine:q(t) = q(0) + i(t )dt ,0

i

q

0 Fig. 2.9.

u

t

q(0) =

i(t)dt .

0

(2.41)

Sarcina electric a condensatorului la momentul t, q(t), depinznd de sarcina iniial q(0) i de valorile anterioare ale curentului i(t ), 0 < t < t, condensatorul este un element de memorie. Scriind ecuaia (2.41) sub forma

q(t) =

i(t)dt ,

t

(2.42)

n care i(t) este o funcie integrabil, sarcina electric q(t) n intervalul ( ,+) este o funcie absolut continu n timp. Independent de modurile de comutare a condensatorului intr-un circuit electric, sarcina electric nu variaz discontinuu (sarcina electric a condensatorului e conservativ).Condensatorul liniar, invariabil n timp are ecuaia caracteristic:

q(t) = Cu(t) sau u(t) = Sq(t),

(2.43)

n care: C > 0 capacitatea (msurat n Farad [F]), independent de q,u i t, S > 0 capacitatea reciproc sau elastana (msurat n [F-1] sau daraf [DF]). n planul (q,u) curba caracteristic este o dreapt ce i trece prin origine (fig. 2.10). Ecuaia (2.40) se scrie i(t) = C du (2.44) u dt din care rezult:u(t) =

qC, UC(0) 0 Fig. 2.10.

1 i(t )dt + U (0) = S i(t )dt + U (0) C C C

0

t

0

t

u

(2.45)

unde,

U C ( 0) = 1 L

u(t)dt

0

(2.46)

este valoarea iniial a tensiunii. Condensatorul liniar i invariabil n timp este complet caracterizat n regim variabil n timp de capacitatea C i de tensiunea la momentul iniial UC(0).

55

Energia acumulat n cmpul electric al condensatorului este We = u(t ) i(t )dt = C udu = 1 Cu 2 = 1 q 2 = 1 q u , 2 2C 2

0

t

0

u

(2.47)

unde s-a presupus UC(0) = 0. O demonstraie similar ca n cazul fluxului magnetic arat ca tensiunea electrica la bornele unui condensator variaz n mod continuu n intervalul (0,T) dac intensitatea curentului este mrginit n intervalul [0,T]. n consecin, tensiunea la bornele unui condensator nu poate sa treac brusc de la o valoare finit la o alta valoare finit i deci nu e posibil realizarea unei trepte de tensiune, dac intensitatea curentului este mrginit.Condensatorul liniar variabil n timp (parametric) are ecuaia caracteristic:

q(t) = C(t)u(t) n care C(t) este capacitatea parametric. Curentul are dou componente:i(t) = dq = C(t) du + u(t) dC dt dt dt

(2.48)

(2.49)

C( t ) du componenta static sau de pulsaie; dt u(t) dC componenta parametric. dt

Exemplu: sistemul cu o armatur fix i alta mobil oscilnd cu frecventa f ntre o distan minim d0 d i o distan maxim d0 + d (condensator cu armatur vibrant fig. 2.11). Distana dintre armturi la un moment t este d(t) = d0 + dsin2ft. (2.50) id0 + d d0

q

d0 d d0 d0 + d

Considernd A aria armturilor, capau citatea parametric rezult:A (2.51) C(t) = A = d(t) d 0 + d sin 2ft

d0 d

0

u

Fig. 2.11.

Condensatorul neliniar.

Condensatoarele reale au caracteristica sarcin tensiune neliniar datorit neliniariatii dielectricului dintre armturi. Ecuaia caracteristic n cazul cel mai general este de forma: q q =q[u(t)] sau q=q[u(t),t] (2.52) Condensatoarele cu dielectricul constituit din substane feroelectrice prezint fenomenul de histerezis electric (fig. 2.12).Fig. 2.12.

u

56

3. CIRCUITE ELECTRICE MONOFAZATEN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL3.1. MRIMI VARIABILE, MRIMI SINUSOIDALE3.1.1. Mrimi variabile, mrimi periodice, mrimi alternativeFie y(t) o funcie de timp reprezentnd o mrime variabil: tensiune, curent, etc. Se numete valoare instantanee, valoarea pe care o are mrimea variabil la un moment oarecare t. Prin convenie valoarea instantanee se noteaz cu litera mic a simbolului stabilit pentru mrimea respectiv: i curent, u tensiune, v potenial electric, e tensiune electromotoare (t.e.m.), p putere instantanee. Mrimea periodic este o mrime variabil a crei succesiune de valori se repet la intervale egale de timp. Cel mai scurt interval de timp dup care mrimea periodic i reia valoarea n aceeai ordine se numete perioad (T). Pentru mrimile periodice este satisfcut relaia y(t) = y(t + kT), (3.1) unde k este un numr ntreg oarecare (k = 0, 1, 2, ). Exemple: i(t) = i(t+kT), u(t) = u(t+kT), e(t) = e(t+kT). Numrul de perioade cuprinse n unitatea de timp se numete frecven (f), iar produsul 2f = se numete pulsaie, frecven unghiular sau frecven ciclic.

= 2f = 2 , f = 1 = T T 2

(3.2)

Pulsaia se msoar n radiani pe secund (rad/s), iar frecvena f n hertz (Hz). Gama frecvenelor utilizate n tehnic este foarte mare, cuprins ntre zeci si milioane de hertzi (GHz). Curentul continuu poate fi considerat caz particular al unui curent variabil cu f = 0. n instalaiile energetice se folosesc frecvente joase, standardizate la valoarea de 50 Hz n Europa i 60 Hz n America. Se numete valoare de vrf a unei mrimi periodice, cea mai mare valoare instantanee (n modul) pe care o poate avea acea mrime n decursul unei perioade. Se noteaz cu: Ymax, Ym sau y . Valoarea medie a unei mrimi variabile pe intervalul de timp t2 t1 este media y aritmetic a valorilor instantanee, notat cu Ymed sau ~ :

~ y

t 2 t1

= Y med

t 2 t1

= 1 t 2 t1

ydtt1

t2

(3.3)

Valoarea medie a unei mrimi y(t) pe un interval de timp t2 t1 este egal cu nlimea dreptunghiului de lime t2 t1, avnd aria egal cu aria cuprins ntre curba y(t) i axa 0 t n intervalul considerat.

57

n cazul mrimilor periodice, intervalul de timp pe care se calculeaz valoarea medie se ia egal cu o perioad, t2 t1 = TYmed = Y0 = 1 Tt1 + T

ydtt1

(3.4)

Valoarea efectiv sau eficace a unei mrimi variabile pe intervalul de timp t2 t1 este rdcina ptrat a mediei ptratelor valorilor instantanee, notat cu Yef sau Y:

Y

t 2 t1

=

1 t 2 t1

yt12

t2

2

dt

(3.5)

Ca i n cazul valorii medii, valoarea efectiv a mrimii periodice se calculeaz pe intervalul unei perioade:Yef = Y = 1 Tt1 + T

y dtt1

(3.6)

Valoarea efectiva I t 2 t1 a intensitii curentului variabil n timp i(t) este egal cu intensitatea curentului continuu I care dezvolt aceeai cantitate de cldur intr-un rezistor liniar in intervalul de timp t2 t1. ntr-adevr, identificnd expresiile cantitilor de cldur dezvoltate de curentul variabil n timp i(t), Qi i de curentul continuu I, QI, n acelai rezistor de valoare R, avem: Q i = R i 2 dt , Q I = RI 2 ( t 2 t1 )t1

t2

y y(t) Ymax y(t + T) Ymed Yef t T Fig. 3.1. Exemplu de mrime periodic.

i dinQ i = Q I I t 2 t1 = 1 i 2 dt t 2 t1

t1

t2

0

n figura 3.1 se prezint curba unei mrimi periodice cu evidenierea mrimilor definite mai sus.Mrimea pulsatorie este o mrime periodic a crei valoare instantanee nu schimb de semn. Se numete puls poriunea din mrimea pulsatorie limitat de intervalul unei perioade (fig. 3.2). Prin urmare, mrimea pulsatorie este o succesiune de pulsuri identice. Mrimea alternativ este mrimea periodic a crei valoare medie calculat pe o perioad este nul:~= 1 y Tt1 + T

y 0 T

puls

t Fig. 3.2. Exemplu de mrime pulsatorie.

y

ydt = 0t1

(3.7)

0

t1

t

Poriunile de curb pentru care mrimea este pozitiv (y > 0), respectiv negativ (y < 0) se numesc alternane: alternana pozitiv, respectiv negativ. Ariile delimitate de aceste alternane sunt egale (fig. 3.3).

T Fig. 3.3. Exemplu de mrime alternativ.

58

3.1.2. Mrimi sinusoidale (armonice)Mrimea sinusoidal sau armonic este mrimea alternativ a crei expresie analitic poate fi pus sub forma n sinus,y(t) = Ym sin(t + ) ,

(3.8)

y(t) = Ym cos(t + ) (3.9) sau n cosinus, n care, Ym este valoarea maxim sau amplitudinea, unghiul variabil in timp t + , respectiv t + este faza (msurat n radiani), iar valoarea fazei la momentul t = 0, , respectiv , este faza iniial. Valoarea medie a unei mrimi sinusoidale calculat cu relaia dat este nul:

Ymed

= Ym T

t1+ T

t1

sin(t + )dt = Ym T

t1+ T

cos(t + )dt =0= 2 Ym 0,636Ym

t1

(3.10)

Pentru mrimile alternative se utilizeaz valoarea medie calculat numai pe o alternan:

Y Ymed = m T2

T/2

sin tdt = T cos t01

2Ym

0 T/2

(3.11)

Valoarea efectiv rezult: 2 t1 +T 2 t1 +T Y2 Ym Ym 2 2 [1 cos 2(t + )]dt = m sin (t + )dt = Y = 2 2T T t t1

(3.12)

Ym (3.13) 0,707Ym 2 Raportul dintre valoarea efectiv i valoarea medie (calculat pentru semiunda pozitiv) a unei mrimi se numete factor de form: (3.14) kf = Y . Ymed Raportul dintre valoarea maxim i valoarea efectiv se numete factor de vrf: Y kv = m . (3.15) Y n cazul mrimilor sinusoidale rezult: Y (3.16) k f = m = 1,11 ; k v = 2 . 2 2Ym 2 2 n electrotehnic se opereaz cu valorile efective ale mrimilor sinusoidale i din acest motiv, ele se scriu de obicei sub forma: y(t) = 2Y sin(t + ) . (3.17)

respectiv,

Y=

De exemplu: u(t) = 2U sin(t + ) ; i(t) = 2I sin(t + ). O mrime sinusoidal este deci complet determinat dac i se cunosc valoarea efectiva Y, pulsaia i faza iniial . Dou mrimi sinusoidale de aceeai frecven y1(t) = 2Y1 sin(t + 1); y 2 (t) = 2Y2 sin(t + 2 ) , sunt defazate dac diferena fazelor lor, egal cu diferena fazelor iniiale, este nenul:t + 1 (t + 2 ) = 1 2 = 0 .

(3.18)

59

y y1 2 0 1 a) y2 t y2

y y1 t b)

1 0 2

Fig. 3.4. Defazajul undelor sinusoidale: a) unda y1 defazat naintea undei y2; b) unda y1 defazat n urma undei y2;

Diferena fazelor iniiale se numete defazaj i se msoar n radiani. Unghiul de defazaj se noteaz, de obicei, cu = 1 2. Pot exista urmtoarele situaii: a) dac 1 2 > 0 mrimea y1 este defazat naintea mrimii y2 (fig. 3.4,a); b) dac 1 2 < 0 mrimea y1 este defazat n urma mrimii y2 (fig. 3.4,b); c) dac 1 2 = mrimile sunt defazate n cuadratur; 2 d) dac 1 2 = mrimile sunt n opoziie de faz. Noiunea de defazaj ntre mrimile sinusoidale (n general, periodice) are sens numai dac acestea au aceeai frecven. Astfel, dac frecventele mrimilor y1(t) i y2(t) sunt diferite, diferena fazelor este variabil n timp:

1t + 1 (2t + 2 ) = (1 2 )t + 1 2i noiunile defazat nainte sau defazat n urm nu mai au sens.

(3.19)

3.2. PUTERI N CIRCUITE MONOFAZATE N REGIM SINUSOIDALSe consider tensiunea i curentul mrimi sinusoidale de forma u(t) = 2U sin(t + ) , i(t) = 2I sin(t + )

(3.20)

la bornele unui circuit dipolar. Pentru circuitele dipolare liniare, funcionnd n regim permanent sinusoidal, se definesc urmtoarele puteri:1 Puterea instantanee p(t) dat de produsul valorilor instantanee ale tensiunii i curentului: p(t ) = u i (3.21)

nlocuind tensiunea i curentul date de rel. (3.20), se obinep = u i = 2UI sin(t + ) sin(t + ) = UI cos( ) UI cos(2t + + ) .

(3.22)

Puterea instantanee n regim sinusoidal conine doi termeni: un termen constant n timp UIcos( ) = UIcos i un termen sinusoidal, de frecven dubl po = UI cos(2t + + ) = UI sin(2t + + ) , (3.23) 2 numit putere oscilant sau fluctuant.

60

u,i, p,po

p

u i0 Fig. 3.5.

po

UIcos t

Din reprezentarea grafic din figura 3.5 se constat c pentru puterea instantanee pot exista intervale pe care aceasta este negativ, ceea ce nseamn de fapt c n aceste intervale de timp puterea nu este primit, ci este cedat de circuit pe la borne spre exterior. Puterea instantanee negativ apare n circuitele care conin, pe lng rezistoare i bobine sau condensatoare i pentru care unghiul de defazaj = este nenul. Intervalele pe care puterea instantanee este negativ corespund intervalelor de timp cnd energia magnetic sau electric acumulat n cmpul magnetic al bobinelor sau n cmpul electric al condensatoarelor se transform n energie electric furnizat de circuit pe la borne.2 Puterea activ P este dat de valoarea medie a puterii instantanee pe un interval de timp de o perioad sau un multiplu ntreg de perioade:P = 1 pdt . T

0

T

(3.24)

Efectund integrala pentru puterea instantanee p dat de rel. (3.22) n care se noteaz cu = unghiul de defazaj dintre tensiune i curent (unghiul de defazaj al tensiunii fa de curent), expresia puterii active n regim sinusoidal rezultP = UI cos .

(3.25)

Unitatea de msur pentru puterea activ se numete watt i se noteaz cu W. Se folosesc i multiplii: 1kW=103W; 1MW=106W; 1GW=109W. Integrala n timp a puterii active reprezint energia electric activ: W = Pdt0

t

(3.26)

Unitatea de msur pentru energia activ este wattsecund (Ws) cu multiplii kilowattor (kWh), megawattor (MWh) i gigawattor (GWh). Puterea activ pozitiv e primit, iar cea negativ e cedat de dipol, dac sensurile de referin ale tensiunilor i curenilor sunt asociate dup regula de la receptoare. Invers, puterea activ pozitiv e cedat, iar cea negativ e absorbit, dac sensurile de referina ale tensiunilor i curenilor sunt asociate dup regula de la generatoare. Din expresia (3.25) a puterii active se observ dependena acesteia de defazajul dintre curent i tensiune. La aceleai valori efective ale tensiunii la borne i curentului, puterea activ variaz n limite largi cu . Pentru = 0, puterea activ este maxim, P = UI (circuit pur rezistiv puterea instantanee are numai valori pozitive).

61

Dac = / 2 (circuit cu bobin ideal sau cu condensator ideal), P = 0 i deci puterea instantanee, egal cu puterea fluctuant, oscileaz ntre circuit i sursa de alimentare. n raport cu puterea activ, pentru circuitele de curent alternativ se definesc: - rezistena R = P = U cos > 0 ; I2 I - conductana G = P2 = I cos > 0 . U U (3.28) (3.27)

Observaie. Spre deosebire de circuitele de c.c. unde G = 1/R, n general, n circuitele de c.a. G 1/R.3 Puterea aparent S este dat de produsul valorilor efective ale tensiunii i curentului: (3.29) S=UI

Unitatea de msur pentru puterea aparent este voltamper (VA) cu multiplii: kVA, MVA, GVA. Puterea aparent reprezint valoarea maxim a puterii active. n raport cu puterea aparenta se definesc: - impedana Z = S = U [] ; (3.30) I2 I - admitana (3.31) Y = S2 = I = 1 [S] . U U Z Se numete factor de putere raportul pozitiv dintre puterea activ P i puterea aparenta S: (3.32) KP = P . S n regim sinusoidal, factorul de putere rezultK P = cos .

(3.33)

Cum unghiul de defazaj ia valori n domeniul / 2 / 2 , rezult: 0 K P 1 .4 Puterea reactiv Q este definit n regim sinusoidal prin relaiaQ = UI sin

(3.34)

Unitatea de msur a puterii reactive se numete volt-amper-reactiv (VAR). Se utilizeaz multipli: KVAR, MVAR, GVAR. Puterea reactiv poate fi pozitiv sau negativ dup cum urmeaz: - pentru defazaj inductiv, 0 < , puterea reactiv pozitiv este primit de 2 dipolul receptor i cedat de cel generator; - pentru defazaj capacitiv, < 0 , puterea reactiv negativ e cedat de 2 dipolul receptor i primit de cel generator.

62

n raport cu puterea reactiv se definesc: - reactanaX= Q U = sin >< 0 [ ]; I2 I

(3.35) (3.36)

- susceptanaB=

Q I = sin >< 0 [S]. U2 U

5 Triunghiurile puterilor, impedanei i admitanei

n regim sinusoidal, ntre puterile aparent, activ i reactiv existnd relaiile S2 = P 2 + Q 2 , cos = P , SG S Q Z X

(3.37)

acestea pot reprezentate prin laturile unui triunghi dreptunghic ca n figura 3.6,a) numit Yc)

Pa)

Rb)

B

Fig. 3.6. Triunghiurile puterilor (a), impedanei (b) i admitanei (c).

triunghiul puterilor. Pe baza triunghiului puterilor pot fi scrise i alte relaii, de exemplu:P = Scos , Q = Ssin , tg = Q . P (3.38)

Dac se mparte fiecare latur a triunghiului puterilor prin valoarea efectiv a 2 intensitii curentului la ptrat I , se obine un triunghi asemenea, triunghiul impedanei (fig. 3.6,b). Pe baza acestui triunghi pot fi scrise relaiile: R = Z cos , X = Z sin , Z = R 2 + X 2 , tg = X . R (3.39)

Dac se mparte fiecare latur a triunghiului puterilor prin valoarea efectiv a 2 tensiunii la ptrat U , se obine un triunghi asemenea, triunghiul admitanei (fig. 3.6,c), pe baza cruia se pot scrie unele relaii cum sunt: G = Y cos , X = Y sin , Y = G 2 + B2 , tg = B . G (3.40)

63

3.3. REPREZENTRI SIMBOLICE ALE MRIMILOR SINUSOIDALE 3.3.1. Reprezentarea geometric a mrimilor sinusoidaleReprezentarea cinematic. Prin aceast reprezentare se asociaz unei mrimi sinusoidale un vector de modul egal cu amplitudinea 2Y care rotete n plan, n sens trigonometric, cu viteza unghiular egal cu pulsaia i formeaz n frecare moment t cu o axa de referin fix 0x0 un unghi egal cu faza t + (fig. 3.7). Utiliznd notaiile lui Kennelly, avem corespondena biunivoc y(t) = 2Y sin(t + ) 0A = 2Y t + . (3.41) Axa 0x care rotete cu viteza unghiular n y0 A acelai sens cu vectorul i formeaz cu acesta unghiul constant se numete ax origine de faz. Unghiul de faz x 2Y iniial se msoar de la axa origine de faz 0x i este y(t) pozitiv n sens trigonometric i negativ n sens orar. t+ t Vectorul rotitor, numit fazor cinematic, respectiv x0 0 fazor geometric nesimplificat, are proiecia pe axa 0y0 Fig. 3.7. egal cu valoarea instantanee y a mrimii sinusoidale. ntre operaiile cu mrimi sinusoidale i operaiile cu fazori cinematici avem urmtoarea coresponden: a) Operaiei de multiplicare a mrimii sinusoidale y(t) cu un scalar >< 0 i corespunde multiplicarea cu a amplitudinii (modulului) fazorului cinematic:

y(t) 2Y t +

(3.42)

b) Sumrii a dou mrimi sinusoidale de aceeai frecven y1(t) + y2(t) = y(t), i corespunde fazorul egal cu compusa grafic a fazorilor mrimilor y1(t) i y2(t), (fig.3.8):

y1(t) + y 2 (t) 0A = 0A1 + 0A 2 = 2Y1 t + 1 + 2Y2 t + 2 = 2Y t + unde,Y = Y12 + Y22 + 2Y1Y2 cos(1 2 ); = arctg Y1 sin 1 + Y2 sin 2 . Y1 cos 1 + Y2 cos 2

(3.43) (3.44)

b) Derivrii n raport cu timpul a mrimii sinusoidale y(t), i corespunde multiplicarea cu a modulului fazorului cinematic i rotirea acestuia cu /2 (n sens trigonometric, fig. 3.9):dy = 2Y sin(t + + ) 0B = 2Y t + + (3.45) dt 2 2 c) Integrrii n timp a mrimii sinusoidale i corespunde mprirea cu a modulului fazorului cinematic i rotirea acestuia cu /2 (n sens invers trigonometric, fig.3.9):y0 A12 Y1 t+1 t+ 2Y 2 Y2 t+2 A2

A

64

ydt = 2Y sin(t + ) 0C = 2Y t + 2 2

(3.46)

0

x0

Fig. 3.8.

Reprezentarea polar. n aceast reprezentare se asociaz mrimii sinusoidale y(t) un vector fix OA , de modul egal cu valoarea efectiv Y i care formeaz cu axa origine de faza 0x un unghi egal cu faza iniial a mrimii sinusoidale (fig. 3.10):B2 Y

y02Y /2 t+

A

0

y(t) = 2Y sin(t + ) 0A = Y (3.47) Vectorul fix se numete fazor polar sau fazor geometric simplificat. Unghiul este pozitiv n sens trigonometric i negativ in sens orar. Corespondena operaiilor se modific corespunztor:a) y(t) Y ; b) y1(t) + y2(t) Y1 + Y2 ;

-/2 2Y C

x0

Fig. 3.9. y BY

/2

Y A

0

Y

-/2

x

dy 0B = Y + , (fig. 3.10); c) dt 2 d)

C

Fig. 3.10.

ydt 0C = Y 2 , (fig. 3.10).

Diagramele cu fazori polari se numesc diagrame polare.Aplicarea metodei reprezentrii polare la analiza circuitelor dipolare simple

Se considera succesiv circuitele liniare cu rezistor ideal, bobin ideal i respectiv condensator ideal sub tensiune sinusoidal, considerat origine de faz: u(t) = 2 Usint U 0 (3.48) i se determin cu metoda diagramelor polare valoarea efectiv I i defazajul al curentului fa de tensiune: i(t) = 2 I sin(t+) I (3.49) 1) Circuitul cu rezistor Circuitul cu rezistor ideal (fig. 3.11,a) are ecuaia caracteristic: uR = RiR nlocuind tensiunea i curentul din (3.48) i (3.49),2 Usin t = 2 RIRsin(t + R), rezult valoarea efectiv a curentului I R = U = GU i unghiul de defazaj R R = 0. Aadar tensiunea i curentul sunt n faz (fig. 3.11,b i 3.12). Puterile pe rezistor n regim sinusoidal sunt:

iR(t) u(t)a)

(3.50)

R

IRb)

U

Fig. 3.11.

PR = UIRcosR = U = R I 2 > 0; QR = 0; S = PR; (3.51) R R Puterea activ PR reprezint puterea electric 0 disipat pe rezistor prin efect Joule Lenz.

2

u

iR t

Fig. 3.12.

65

2) Circuitul cu bobin. Circuitul cu bobin liniar ideal (fig. 3.13,a) are ecuaia caracteristic iL U (3.52) uL = u = L diL dt L = u uL L din care se deduce curentul bobinei,iL(t) = 1 u dt U , L L 2 cu valoarea efectiv i respectiv unghiul de defazajIL a) Fig. 3.13. b)

u I L = U = U ; L = , (3.53) L X L 2 iL 2 unde XL = L este reactana inductiv. Curentul este 0 2 defazat n urma tensiunii cu /2 (fig. 3.13,b i 3.14). Expresiile puterilor se deduc avnd n vedere Fig. 3.14. c unghiul din definiia puterilor este unghiul de defazaj al tensiunii fa de curent, considerat origine de faz: = L.

t

PL = UILcos = 0; QL = UILsin = UILsin(L) = XL I 2 > 0; S = QL; KL = 0. (3.54) L Puterea reactiv a bobinei fiind totdeauna pozitiv, bobina absoarbe putere reactiv din reeaua de alimentare. Puterea instantanee este egal cu puterea oscilant pL = po = UILcos(2t /2) = QLsin2t, iar energia n intervalul 0 t este WL = pLdt = QL (cos 2t 1) 2 0 i are valoarea medie:~ WL = 1 WLdt = QL = 1 LI2 . 2 2 L T0t

(3.55)

(3.56) (3.57)

T

Energia magnetic medie a bobinei sub tensiune sinusoidal la borne este egal cu energia magnetic Wm a bobinei parcurs de curent continuu de intensitate egal cu valoarea efectiv a curentului sinusoidal. 3) Circuitul cu condensator. Circuitul cu condensator liniar (fig. 3.15,a) are ecuaia caracteristic iC iC = C du (3.58) dt IC din care rezult fazorul polar al curentului, C u C = du CU , iC (t) = C U 2 dt a) b) cu valoarea efectiv i respectiv unghiul de defazaj Fig. 3.15. IC = CU = U ; C = , (3.59) XC 2 unde XC =1/(C) este reactana capacitiv. Curentul condensatorului este defazat naintea tensiunii cu /2 (fig. 3.15,b i 3.16).

66

Expresiile puterilor se deduc avnd n vedere c = C : PC = UIC cos = 0; QC = UICsin = UIC = CU < 0;2

u iC 0 2 2

t

(3.60) S = QC ; KC = 0. Puterea reactiv a condensatorului fiind totdeauna negativ, condensatorul debiteaz putere reactiv. Puterea instantanee este egal cu puterea oscilant

Fig. 3.16.

pC = po = UICcos(2t + /2) = QCsin2t,iar energia n intervalul 0 t este WC = pCdt =0

(3.61)

t

QC (1 cos 2t) 2

(3.62)(3.63)

i are valoarea medie:

Q ~ 2 WC = 1 WCdt = C = 1 CU C . T 2 2

0

T

Energia electric medie a condensatorului sub tensiune sinusoidal la borne este egal cu energia electric We a condensatorului sub tensiune continu de valoare egal cu valoarea efectiv a tensiunii sinusoidale. 4) Circuitul RLC serie Se consider circuitul liniar serie cu rezistor ideal, bobin ideal i condensator ideal (fig. 3.17,a) parcurs de curentul sinusoidali(t) = 2 I sin t

(3.64) (3.65) i R uR uFig. 3.17.

considerat origine de faz (faza iniial nul) i se determin tensiuneau(t) = 2 U sin(t + s ) ,

adic se determin valoarea efectiv U i unghiul de defazaj s al tensiunii fa de curent prin utilizarea diagramelor polare. Ecuaia de funcionare a circuitului se scrie: u = uR + uL + uC (3.66) n reprezentarea polar, tensiunile pe rezistor uR, pe bobin uL i pe condensator uC sunt respectiv: uR = Ri RI 0 ;uL (t) = L di LI ; dt 2 uC (t) = 1 idt I - , C C 2

L uL

C uC

(3.67) (3.68) (3.69) U

UC UL I UR

Fig. 3.18.

Diagrama polar prezentat n figura 3.18 se construiete astfel: se alege arbitrar o valoare I a modulului fazorului de curent. Se traseaz fazorii tensiunilor uR, uL i uC.

67

Valoarea efectiv a tensiunii i defazajul s se determin din diagrama polar: L 1 2 1 I ; = arctg 2 C (3.70) U = R + L s C R

(

)

Impedana circuitului RLC serie rezult: Z = U = R 2 + L 1 = R 2 + X 2 (3.71) I C unde, (3.72) X = X L X C = L 1 C este reactana echivalent sau total a curentului RLC serie, XL= L reactana bobinei, XC = 1/(C) reactana condensatorului. Puterile activ, reactiv i respectiv aparent, innd cont c = s, sunt: P = UI cos s = RI 2 ; Q = UI sin s = L 1 I 2 = XI 2 ; S = UI. (3.73) C Relaiile obinute pentru puterile activ i reactiv scot n eviden proprietatea separrii acestor puteri n reelele electrice de curent alternativ: puterea activ este localizat numai pe rezistena circuitului, iar puterea reactiv este localizat n elementele reactive, bobine i condensatoare. Puterea reactiv a bobinei QL= LI2 este de semn contrar celei a condensatorului, QC = 1/(C)I2 i excesul de putere reactiv este puterea reactiv schimbat de circuit pe la borne (absorbit sau cedat). 5) Circuitul RLC paralel Circuitul liniar cu rezistor ideal, bobin ideal i condensator liniar conectai n paralel (fig. 3.18) sub tensiune sinusoidal la borne,u(t) = 2 U sin t2

(3.74)

considerat origine de faz (faza iniial nul), este parcurs de curentul sinusoidal

i(t) = 2 I sin(t + p ) , (3.75) a crui valoare efectiv I i unghi de defazaj p fa de tensiune se determin utiliznd metoda reprezentrii polare. Ecuaia circuitului se scrie: i (3.76) i = iR + iL + iC IC iR iL iC Fazorii polari ai curenilor rezistorului IR iR, bobinei iL i condensatorului iC sunt: R L C u p U IL iR = Gu GU 0 , (3.77) I 1 udt U , (3.78) iL (t) = a) b) L 2 L Fig. 3.19. (3.79) iC (t) = C du LU , 2 dt

Diagrama polar prezentat n figura 3.19 se construiete astfel: se alege arbitrar o valoare U a modulului fazorului de tensiune. Se traseaz fazorii curenilor iR, iL i iC conform relaiilor de mai sus i rezult, prin sumarea grafic a acestora, fazorul curentului I i unghiul de defazaj p al acestuia fa de tensiune.

68

Pentru valoarea efectiv I a curentului i unghiul de defazaj p se obin relaiile:I = G + C 1 U = YU , p = arctg L 2 2

C 1 L , G

(3.80)

n careY = I = G 2 + C 1 = G 2 + B 2 U L 2

(3.81) (3.82)

este admitana, iar B = C 1 = BC BL L

este susceptana echivalent a circuitului RLC paralel, BC = C susceptana condensatorului, BL = 1/(L) susceptana bobinei. Puterile activ, reactiv i respectiv aparent, innd cont c = p, sunt:P = UI cos = GU 2 ; Q = UI sin = 1 C U 2 = Q L + QC ; S = UI. L

(3.83)

Dac se compar ntre ele circuitele RLC serie i RLC paralel se constat c expresiile pot fi deduse unele din celelalte pe baza urmtoarei corespondene duale: a) parametriRLC serie RLC paralel

rezisten inductan capacitate reactana inductiv reactana capacitiv reactana impedana

R L C XL = L

G C L BC = C

conductan capacitate inductivitate susceptana capacitiv

XC = 1/(C) BL = 1/(L) susceptana inductiv X = XL XC B = BC BL susceptana

Z = R 2 + X 2 Y = G 2 + B2 admitana X < > = arctg B defazaj paralel defazaj serie s = arctg = p R G b) mrimiRLC serie RLC paralel

curent tensiune tensiune rezistor tensiune bobin

i = 2 I sin t

u = 2 U sin t

tensiune

u = 2 U sin(t + s ) i = 2 I sin(t + p ) curent uR = Ri uL = L di dt uC = 1 idt C iR = Gu iC = C du dt iL = 1 udt L curent rezistor curent capacitor curent bobin

tensiune capacitor

69

Clasificarea circuitelor dipolare in regim sinusoidal

n funcie de valorile i semnele parametrilor, circuitele dipolare funcionnd n regim permanent sinusoidal, pot fi clasificate dup cum urmeaz: a) circuit rezistiv: Z = R (Y = G); X = 0 (B = 0); s = 0 (p = 0); b) circuit reactiv: X 0 (B 0); s 0 (p 0); c) circuit pur reactiv sau nedisipativ:R = 0 (G = 0); Z = X ( Y = B ) ; s = p = ; 2 2 d) circuit inductiv: X > 0 (B < 0); s > 0 (p < 0); e) circuit pur inductiv:R = 0 (G = 0); Z = X (Y = B ); s = p = ; 2 2 f) circuit capacitiv: X < 0 (B > 0); s < 0 (p > 0); g) circuit pur capacitiv:R = 0 (G = 0); Z = X (Y = B); s = p = . 2 2

3.3.2. Reprezentarea analitic prin mrimi complexeReprezentarea mrimilor sinusoidale prin mrimi complexe de argument variabil n timp (reprezentarea n complex nesimplificat)

n aceast reprezentare se asociaz mrimii sinusoidale y(t) = 2Y sin(t + ) o mrime complex y , numit imagine n complex nesimplificat, avnd modulul egal cu

amplitudinea 2Y i argumentul egal cu faza mrimii sinusoidale, t + :

y(t) = 2Y sin(t + ) y = 2Ye j(t +)

(3.84)Axa imaginar

+j Mrimea complex se reprezint n planul complex (+1,+j) printr-un vector, numit fazor complex nesimplificat, care rotete n plan, n sens trigonometric, cu viteza unghiular , formnd n orice moment cu axa real un unghi egal y(t) cu faza mrimii sinusoidale t + (fig. 3.20). Regula de trecere invers, de la imaginea n complex 0 la funcia original, este dat de relaia:

y t+

2Y

+1Axa real

y(t) = Im{y}

(3.85)

Fig. 3.20.

ntr-adevr, Im{y} = Im{ 2Ye j(t +)} = Im{ 2Y[cos(t + ) + jsin(t + )]} = 2Y sin(t + ) = y(t)

Corespondena operaiilor n reprezentarea complex a mrimilor sinusoidale se prezint dup cum urmeaz. a) Operaiei de multiplicare a mrimii sinusoidale y(t) cu un scalar real >< 0 i corespunde multiplicarea cu a amplitudinii (modulului) fazorului complex:

y(t) y = 2Ye j(t +)

(3.86)

70

b) Sumrii a dou mrimi sinusoidale de aceeai frecven y1(t) + y2 (t) = y(t), i corespunde fazorul complex dat de suma fazorilor compleci ai mrimilor (fig. 3.21):

y1(t) + y 2 (t) y = y1 + y 2 = 2Y1 e j(t +1) + 2Y2e j(t +2 ) = 2Ye j(t +)n care,Y = Y12 + Y22 + 2Y1Y2 cos(1 2 ); = arctg Y1 sin 1 + Y2 sin 2 . Y1 cos 1 + Y2 cos 2+j y12Y1 t+ 2Y1

(3.87) (3.88)y

c) Derivrii n timp a mrimii sinusoidale y(t), i corespunde multiplicarea cu j a imaginii n complex, respectiv multiplicarea cu modulului fazorului complex i rotirea acestuia cu /2 (n sens trigonometric):

2Y2 dy j y2 = 2Y sin(t + + ) jy = 2Ye j(t +)e 2 (3.89) t+2 dt 2 0 t+ +1 Aadar, operatorului de derivare d i corespunde, n Fig. 3.21. dt complex, opratorul j. n general, exist corespondena: d j ; d n (j) n . (3.90) dt dt n d) Integrrii n timp a mrimii sinusoidale i corespunde mprirea cu j a imaginii n complex, respectiv mprirea cu modulului fazorului complex i rotirea acestuia cu /2 (n sens invers trigonometric):

ydt =

2Y sin(t + ) 1 y = 2Y e j(t + ) e j 2 2 j

(3.91)

Prin urmare, operatorului de integrare i corespunde, n complex, operatorul de divizare cu j. n general, n condiii iniiale nule, corespondena operatorilor este:

dt

1; j

L4 dt (j) 1 2 4 3n

1 . n

(3.92)

Reprezentarea mrimilor sinusoidale prin mrimi complexe de argument constant (reprezentarea n complex simplificat)

n aceast reprezentare, se asociaz mrimii sinusoidale o mrime complex, notat Y, numit imagine n complex simplificat sau valoare efectiv complex, avnd modul egal cu valoarea efectiva Y i argumentul egal cu faza iniial a mrimii sinusoidale: (3.93) y(t) = 2Y sin(t + ) Y = Ye j . Mrimea complex se reprezint n planul complex (+1,+j) printr-un vector fix, numit fazor complex simplificat, avnd modul egal cu valoarea efectiva Y i formnd cu axa real un unghi egal cu faza iniial a mrimii +j Y sinusoidale (fig. 3.22). Y Regula de trecere invers, de la imaginea n complex la funcia original, este dat de relaia: 0 +1 y(t) = Im{ 2 e jt Y} . (3.94)Fig. 3.22.

71

ntr-adevr,

Im{ 2e jt Y} = Im{ 2Ye jt e j} = Im{ 2Ye j(t +)} = 2Y sin(t + ) = y(t) .Corespondena operaiilor n reprezentarea complex este evident: a) b) n care,Y = Y12 + Y22 + 2Y1Y2 cos(1 2 ); = arctg

y(t) Y = Ye j y = y1(t) + y 2 (t) Y = Y1 + Y 2 = Y1 e j1 + Y2e j2 = 2Ye jY1 sin 1 + Y2 sin 2 . Y1 cos 1 + Y2 cos 2

(3.95) (3.96) (3.97) (3.98) (3.99)

c) d)

dy j = 2Y sin(t + + ) jY = Ye j e 2 dt 2

ydt =

2Y sin(t + ) 1 Y = Y e j e j 2 2 j

Observaie: Metoda reprezentrii n complex simplificat se poate aplica numai mrimilor sinusoidale care au aceeai pulsaie (frecven).

3.3.3. Caracterizarea n complex a circuitelor dipolare n regim permanent sinusoidalFie o reea electric liniar constituit exclusiv din elemente pasive liniare rezistoare, bobine i condensatoare. n raport cu dou borne oarecare, reeaua este echivalent cu un dipol liniar pasiv. n regim sinusoidal, dipolul sub tensiune complex la borne u = 2 Ue j(t +) sau U = Ue j , (3.100) parcurs de curentul complex i = 2 Ie j(t +) sau I = Ue j , (3.101) este caracterizat de un parametru complex dup cum urmeaz.1 Impedana complex Z definit prin raportul dintre imaginile n complex ale tensiunii i curentului, Z = u = U = U e j( ) = U e js = Ze js . (3.102) i I I I

n care s = = este unghiul de defazaj al tensiunii fa de curent. Expresia impedanei complexe poate fi scris i sub forma: Z = U e js = U cos + j U sin = R + jX I I I (3.103)+j

Z X 0 Zs

Impedana complex are modulul egal cu impedana Z i argumentul egal cu unghiul de defazaj s = al circuitului, respectiv are partea real egal cu rezistena R i partea imaginar egal cu reactana X. Rezistena fiind pozitiv definit, fazorul impedanei complexe este situat numai n semiplanul drept al planului complex (fig. 3.23).

R

+1

Fig. 3.23.

72

2 Admitana complex Y definit prin raportul dintre imaginile n complex ale curentului i tensiunii, Y = i = I = I e j( ) = U e jp = Ye jp . (3.102) u U U I

n care p = = este unghiul de defazaj al curentului fa de tensiune. Expresia admitanei complexe poate fi scris i sub forma: Y = I e j = I cos j I sin = G jB U U U Admitana complex are modulul egal cu admitana Y i argumentul egal cu unghiul de defazaj cu semn schimbat, p = , al circuitului, respectiv are partea real egal cu conductana G i partea imaginar egal cu susceptana cu semn schimbat, B. Conductana fiind pozitiv definit, fazorul admitanei complexe este situat, ca i cel al impedanei complexe, numai n semiplanul drept al planului complex (fig. 3.24).+j

(3.103)

0 B

p=

G

+1

Y Y

Fig. 3.24.

3.3.4. Puterea complexPuterea instantanee p, egal cu produsul valorilor instantanee ale tensiunii i curentului sinusoidali n timp, nefiind o mrime sinusoidal, nu poate fi reprezentat n complex. Problema puterii complexe const n stabilirea unei mrimi complexe a crei modul s fie puterea aparent, iar argumentul unghiul de defazaj al circuitului, respectiv a crei parte real s fie puterea activ, iar partea imaginar s fie puterea reactiv. n aceste ipoteze, pentru puterea complex, notat cu S i numit uneori putere aparent complex, exist dou expresii dup cum urmeaz. sau S = 1 u i , 2 n care I , respectiv i sunt conjugatele curentului complex I, respectiv i. Imaginile n complex ale tensiunii i respectiv curentului fiind S = UI

(3.104)

u = 2 Ue j( t + ) i = 2 Ie j( t + )rezult: respectiv,

sau sau

U = Ue j ; I = Ie j ,

(3.105) (3.106) (3.107)+j

S = U I = Ue j Ie j = UIe j( ) = UIe j = UI cos + jUI sin S = Sej = P + jQ

Aadar, n aceast form, puterea complex are modulul egal cu puterea aparent S = UI i argumentul egal cu unghiul de defazaj al circuitului, = , respectiv are partea real egal cu puterea activ, P = UIcos i partea imaginar egal cu puterea reactiv, Q = UIsin. n planul complex (+1, +j), puterea complex se reprezint printr-un fazor complex care are proiecia pe axa real egal cu puterea activ i proiecia pe axa imaginar egal cu puterea reactiv, aa cum se arat n figura 3.25.

S S

Q 0

PFig. 3.25.

+1

73

Puterea complex mai poate fi exprimat i sub forma: S = U I = Z I I = Z I 2 = RI 2 + jXI2

(3.108)

S = U I sau S = 1 u i , (3.109) 2 n care U , respectiv u sunt conjugatele tensiunii complexe U, respectiv u. Utiliznd relaiile (3.105), rezult: S = U I = Ue j Ie j = UIe j( ) = UIe j = UI cos jUI sin (3.110)respectiv, S = Sej = P jQ (3.111) Definit cu rel. (3.108), puterea complex are modulul egal cu puterea aparent S = UI i argumentul egal cu unghiul de +j P defazaj al circuitului cu semn schimbat, p = = , respectiv 0 p = +1 are partea real egal cu puterea activ, P = UIcos i partea imaginar egal cu puterea reactiv cu semn schimbat, Q = UIsin. Q n planul complex aceast putere se reprezint printr-un fazor S complex care are proiecia pe axa real egal cu puterea activ i Fig. 3.26. proiecia pe axa imaginar negativ egal cu puterea reactiv, aa cum se arat n figura 3.26. Expresia (3.109) a puterii complexe poate fi explicitat i sub forma: S = U I = U YU = Y U 2 = GU 2 jBU2 (3.112) Utilizarea a dou expresii pentru puterea complex este justificat de posibilitatea caracterizrii circuitelor n regim sinusoidal n dou moduri: prin impedana complex (circuite de tip serie), sau prin admitana complex (circuite de tip paralel).

3.3.5. Forma n complex a legii lui Ohm (ecuaia lui Joubert)Fie o latur de circuit activ, liniar, cu rezistor Rj, bobin Lj i condensator Cj, parcurs de curentul sinusoidal ij i coninnd un generator cu tensiunea electromotoare sinusoidal ej (fig. 3.27). ij Rj (2) Lj s (3) Cj (4) ej Se consider curba nchis trasat de-a lungul conductoarelor, prin dielectriuR uL uC cul condensatorului i care se nchide dup curba tensiunii uj la bornele laturii, (1)(5). (1) uj (5) Conform legii induciei electromagnetice, Fig. 3.27. t.e.m. indus (autoindus) n bobin este: d e = eL = Esd s = S (3.113) dt

n care Es este intensitatea cmpului electric solenoidal. Se efectueaz integrala dup curba nchis a intensitii cmpului electric total,

Eds = (E

C

+ Es + Ei ) d s =

dS + ej dti j

(3.114)

n care:

E ds = 0, Ec

c

fiind cmpul electrostatic, iar

E ds = e este t.e.m. a sursei.

74

Integrala din membrul nti a ec. (3.114) se descompune astfel:

E d s = E d s + E d s + E d s = u R j + uC j u j1 2 5

2

5

1

(3.115)

d S cderea inductiv de tensiune (tensiunea la dt bornele bobinei i din rel. (3.114) i (3.115) rezult:

Se noteaz cu uLj = e Lj =

u j + ej = uR j + uL j + uC jn care: uR j = R jij U R j = R j I j tensiunea la bornele rezistorului;di j U L j = jL j I j tensiunea la bornele bobinei; dt uC j = 1 i jdt U C j = 1 I j tensiunea la bornele condensatorului. Cj j C j n complex, ecuaia (3.116) se scrie: uL j = L j

(3.116)

U j + E j = R j I j + jL j I j + 1 I j sau U j + E j = Z j I j j C j

(3.117)

(3.118) Z j = R j + j L j + 1 = R j + jX j C j este impedana complex proprie a laturii. Dac bobina este cuplat magnetic cu alte l bobine, cderea inductiv de tensiune este: l l di di di uL j = L kj k = L j j + L kj k (3.119) dt dt k =1 dt k =1 unde,

(k j)

care, n complex se scrie:

U Lj = j L j I j +Ecuaiile (3.117) se completeaz astfel:U j + E j = R j I j + jL j I j + 1 I j + jC j

k =1 ( k j)

j Lkj k

l

kj k

I

(3.120)

k =1 (k j)

jL

l

I sau, U j + E j = Z j I j +

k =1 ( k j)

Z

l

kj k

I , (3.121)

n care Zkj = jL kj este impedana complex mutual dintre bobinele j i k. Pentru latura de circuit analizat (fig. 3.27) s-a considerat convenia de sensuri pentru receptoare. Dac Z I sensurile pentru tensiunea la borne i curent se iau dup regula pentru generatoare ca n figura 3.28, legea lui Ohm n complex se scrie: U U + E = ZI .

E

(3.122)

Fig. 3.28.

75

3.3.6. Analiza n complex a circuitului RLC serie. Rezonana de tensiuni.Circuitul cu elemente liniare ideale rezistor, bobin i condensator conectate n serie (fig. 3.29) sub tensiune sinusoidal la borne

u(t) = 2 U sin(t + s) U = Ue js ,va fi parcurs de un curent sinusoidal de aceeai frecven

(3.122)

i(t) = 2 I sin t I = Ie j0 ,considerat origine de faz (faza iniial nul). Valoarea efectiv U a tensiunii i unghiul de defazaj s dintre tensiunea i curentul la bornele circuitului se determin utiliznd reprezentarea n complex. Ecuaia de tensiuni a circuitului este u = uR + uL + uC = Ri + L di + 1 idt (3.124) dt C i R uR uFig. 3.29.

(3.123) L uL C uC

i, avnd n vedere corespondena operaiilor, n complex se scrie:U = U R + U L + U C = R I + jL I + 1 I . (3.125) jC

UC U UR

UL I

Diagrama fazorial a tensiunilor prezentat n figura 3.30 se construiete lund ca referin (origine de faz) un fazor arbitrar pentru curentul I n raport cu care se traseaz succesiv fazorul tensiunii pe rezistor U R = R I n faz (coliniar) cu curentul, fazorul tensiunii la bornele bobinei U L = jL I , defazat naintea curentului cu i fazorul tensiunii la bornele condensatorului U C = 1 I , 2 j C defazat n urma curentului (n sens invers trigonometric) cu . 2 Att din diagrama fazorial din figura 3.30, ct i din ecuaia circuitului (3.125), rezult: U = U R + ( U L U C ) = R + j L 1 I = Z I (3.126) C unde Z = U = R + j L 1 = R + jX (3.127) C I este impedana complex a circuitului RLC serie, cu partea real rezistena R i partea imaginar reactana echivalent X = X L X C , X L = L fiind reactana inductiv i X C = 1 reactana capacitiv. C Valoarea efectiv U a tensiunii i unghiul de defazaj s rezult: 1 X = arctg L C . 2 2 U = U = Z I = R + X I , s = arctg (3.128) R R

Fig. 3.30.

76

Puterile activ, reactiv i respectiv aparent se deduc pe baza puterii complexe pentru = s : S = U I = UIe j = P + jQ sau S = Z I I = Z I2 = RI2 + j L 1 (3.129) C P = RI 2 ; Q = L 1 I 2 = Q L + QC ; S = UI. (3.130) respectiv, C

(

)

Un regim particular de funcionare a circuitului este regimul de rezonan care apare n situaia n care reactana echivalent a circuitului se anuleaz, adic cnd reactana inductiv XL este egal cu reactana capacitiv XC, la o pulsaie 0, respectiv frecven f0, numite de rezonan: XL = XC 0L = 1 0C 0 = 2f0 = 1 ;f = 1 . 0 2 LC LC (3.131)

Din aceste relaii se constat c fenomenul de rezonan se poate obine la variaia uneia dintre mrimile L, C sau f. UC La rezonan, se constat c tensiunile pe bobin i pe UL condensator sunt egale n valoare efectiv (n modul), dar n opoziie de faz, astfel c se anuleaz reciproc, iar tensiunea la U = UR I bornele circuitului este egal cu tensiunea pe rezistor, fiind n s = 0 faz cu curentul, s = 0. Impedana circuitului are valoarea Fig. 3.31. minim, Z0 = R i curentul are valoarea maxim I0 = Imax = U/R. Din diagrama fazorial pentru rezonan, figura 3.31, rezult c tensiunile pe bobin i pe condensator, egale, pot avea valori orict de mari, uneori mai mari dect tensiunea U aplicat la bornele circuitului (pot apare supratensiuni), de unde i denumirea de rezonan de tensiuni pentru rezonana circuitului serie. Valoarea reactanei bobinei sau condensatorului la rezonan reprezint impedana caracteristic: ZC = oL = 1 = L , (3.132) C oC iar raportul Qs = ZC = 0L = 1 = 1 L (3.134) R R 0CR R C este factorul de calitate al circuitului RLC serie. Factorul de calitate Qs al circuitului arat de cte ori, la rezonan, tensiunea pe bobin sau pe condensator este mai mare ca tensiunea aplicat la bornele circuitului. La rezonan, puterea reactiv a bobinei este egal i de semn contrar puterii reactive a condensatorului, astfel c puterea reactiv a circuitului (schimbat de circuit pe la borne) este nul. Sub aspect energetic, rezonana de tensiuni se caracterizeaz prin faptul c ntreaga putere instantanee primit de circuit se transform n cldur prin efect Joule pe rezistena circuitului, p = u i = (uR + uL + uC) i = uRi = Ri2 . (3.135) Energia electromagnetic se transform, oscilnd din forma magnetic n forma electric i invers, astfel nct suma energiilor nmagazinate n bobin i n condensator este constant i egal cu valoarea maxim comun a energiei magnetice a bobinei i a energiei electrice a condensatorului:

77

2 W(t) = Wm + We = 1 Li2 + 1 Cu C = 1 L( 2I) 2 sin 2 o t + 2 2 22 + 1 C( 2 1 I) 2 sin 2 (o t ) = 1 LI2 = 1 CU Cm 2 oC 2 2 m 2

(3.136)

n care Im = 2 I, UCm = 2 UC sunt amplitudinile curentului i, respectiv tensiunii uC.

3.3.7. Analiza n complex a circuitului RLC paralel. Rezonana de cureni.Se consider circuitul cu elemente liniare ideale rezistor, bobin i condensator conectate n paralel (fig. 3.32,a) sub tensiune sinusoidal la borne

u(t) = 2 U sin t U = Ue ,considerat origine de faz. Curentul la bornele circuitului este de forma:

j0

(3.137)

i(t) = 2 I sin(t + p ) I = IeEcuaia de cureni n mrimi instantanee este i = iR + iL + iC = 1 u + 1 udt + C du R L dt care, n complex, se scrieI = IR + IL + IC = GU + 1 U + jCU , jL

jp

,

(3.138)

(3.139)

i iR iL iC

(3.140)

u

R

L C

n care: IR = G U este curentul prin rezistor, n faz cu tensiunea, G = 1/R conductana rezistorului, IL = 1 U este curentul prin jL bobin, defazat n urma tensiunii cu /2 (n sens invers trigonometric), I C = jC U este curentul condensatorului, defazat naintea tensiunii cu /2. Dac ecuaia (3.140) se scrie sub formaI = GU + j C 1 U = YU , L Y = G + jB ,

a)

IC IRp

UIL

I

(3.141)

b) Fig. 3.32.

se pune n eviden admitana complex a circuitului RLC paralel, (3.142) avnd partea real egal cu conductana G i partea imaginar egal cu susceptana echivalent a circuitului, B = BC BL, BC = C susceptana capacitiv, BL = 1 L susceptana inductiv. Din ecuaia (3.141) i din diagrama fazorial a curenilor prezentat n figura 3.32,b), se determin valoarea efectiv I a curentului i unghiul de defazaj p al curentului fa de tensiune:

78

1 B = arctg C L . I = I = Y U = G + B U ; p = arctg G G2 2

(3.143)

Puterile activ, reactiv i respectiv aparent se deduc pe baza puterii complexe pentru = p : S = U I = UIe j = P jQ sau S = U Y U = Y U2 = GU2 + j C 1 U2 (3.144) L

(

)

respectiv,

P = GU2; Q =

(1L C)U = Q + Q ; S = UI.2 L C

(3.145)IL ICIR = I p = 0 Fig. 3.33.

Fenomenul de rezonan la circuitul RLC paralel se produce la anularea susceptanei echivalente a circuitului, adic atunci cnd susceptana capacitiv BC este egal cu susceptana inductiv BL, la o pulsaie 0, respectiv frecven f0 de rezonan, astfel: BC = BL 0C = 1 0 = 2f0 = 1 , f0 = 1 . (3.146) LC oL 2 LC

U

i n acest caz, ca i la circuitul RLC serie, rezonana se poate obine la modificarea uneia dintre mrimile L, C sau f . La rezonana circuitului RLC paralel, curenii prin bobin i prin condensator au valori efective egale, dar sunt n opoziie de faz, admitana echivalent a circuitului are valoarea minim, egal cu conductana rezistorului, Y = G, astfel nct curentul luat de circuit pe la borne are valoarea minim, egal cu curentul prin rezistor: I = Imin = IR = GU. (3.147) Dac conductana scade, curentul minim scade i el i pentru G = 0 I = 0, adic, la rezonan, circuitul RL paralel este echivalent cu un circuit deschis, numit i circuit buon. Din diagrama fazorial pentru regimul de rezonan prezentat n figura 3.33, rezult c, la rezonan, curenii prin bobin i condensator pot avea valori orict de mari, n anumite condiii mai mari dect curentul luat de circuit pe la borne, de unde i denumirea de rezonan de cureni pentru rezonana circuitului RLC paralel. Valoarea comun a susceptanei bobinei i condensatorului la rezonan reprezint admitana caracteristic: (3.148) YC = 0C = 1 = C , 0L L iar raportul Qp = YC = 0C = 1 = 1 C (3.149) G G 0LG G L este factorul de calitate al circuitului RLC paralel. Factorul de calitate Qp al circuitului arat de cte ori, la rezonan, valoarea efectiv a curentului prin bobin sau prin condensator este mai mare ca valoarea efectiv a curentului luat de circuit pe la borne.

79

3.4. ANALIZA N COMPLEX A REELELOR ELECTRICE LINIARE 3.4.1. Analiza n complex a reelelor electrice cu teoremele lui KirchhoffSe consider o reea electric liniar i invariabil n timp, conex i plan cu l laturi i n noduri. Forma n complex a sistemului complet de ordinul l al ecuaiilor corespunztoare teoremelor lui Kirchhoff, coninnd n' = n 1 ecuaii de noduri pentru curenii din laturi i o = l n + 1 ecuaii de ochiuri pentru tensiunile la bornele laturilor, se obine nlocuind valorile instantanee ale curenilor ij i tensiunilor uj, sinusoidali n timp i de aceeai frecven, cu imaginile lor in complex Ij i respectiv Uj. Astfel, ecuaiile n complex corespunztoare teoremelor a I-a i a II-a Kirchhoff n forma topologic se scriu:j( k )

I

j

= 0;

k = 1, 2, ..., n 1

(3.150) (3.151)

j[m]

U

j

=0;

m = 1, 2, ..., l n + 1

unde cu (k) i respectiv cu [m] s-au notat nodurile, respectiv ochiurile independente sau fundamentale ale reelei. Analiza n complex a reelelor electrice cu teoremele lui Kirchhoff se poate face, fie n raport cu curenii nlocuind n ecuaiile (3.151) tensiunile complexe Uj n funcie de curenii compleci Ij, fie n raport cu tensiunile nlocuind n ecuaiile (3.150) curenii Ij n funcie de tensiunile complexe Uj. n continuare se prezint metoda de analiz n raport cu curenii. Se considera reeaua cu l laturi din care lE sunt laturi cu generatoare ideale de tensiune, lJ laturi cu generatoare ideale de curent, l lE lJ fiind laturi cu elemente pasive. Se numeroteaz nti laturile cu elemente pasive, apoi laturile cu generatoare ideale de tensiune lE i la urm laturile cu generatoare ideale de curent lJ. n cazul general (fig. 3.34), pentru nodurile (k) ale reelei, ecuaiile corespunztoare teoremei a I-a Kirchhoff n raport cu curenii se scriu:

I + (Ij j(k ) p(k )

E p

) = J s ; k = 1, 2, ..., n' = n 1s( k )

(3.152)

Zj(k)

Ij

Ij

Zj

Js(UJ)s

Ep( I E) p

Js

(UJ)s

[m]Ep

(IE )p

Fig. 3.34.

80

Dac reeaua nu are cuplaje magnetice, pentru ochiurile independente [m] ale reelei, ecuaiile corespunztoare teoremei a II-a Kirchhoff n raport cu curenii se scriu: R + jL + j1C I + (U ) = E j j j j J s s[ m] p[ m] j[m] p

, m = 1, 2, ..., o (3.153)

j[m]

sau,

Z I + (U ) = Ej j J s s[m] p[ m]

p

, m = 1, 2, ..., o

unde Z j = R j + jL j + 1 este impedana proprie a unei laturi complete. j C j Dac reeaua are cuplaje magnetice, adic are bobine cuplate magnetic, ecuaiile de ochiuri se scriu: R j I j + j L j I j + 1 I j + j Lkj Ik + (UJ )s = Ep , j C j p[ m] j[m] k j s[m]

sau

j[m]

Z I + Z I + (U ) = E j j kj k J s k j s[ m] p[ m]

p

, m = 1, 2, ..., o

(3.154)

unde cu Zkj = Z jk = jL jk s-a notat impedana complex mutual sau de cuplaj magnetic dintre bobinele j i k. Termenii care conin inductivitile mutuale Lkj se iau cu semnul plus sau minus n funcie de coincidena sau opoziia sensurilor curenilor din laturile j i k, att fa de sensul ochiului, ct i fa de bornele polarizate. Orice necoinciden conduce la o schimbare de semn. Rezolvnd sistemul format de ecuaiile (3.152) i (3.153) sau (3.154), se obin necunoscutele, curenii laturilor Ij i tensiunile (UJ)s la bornele generatoarelor de curent . n forma matriceal, sistemul de ecuaii n complex corespunztor teoremelor lui Kirchhoff se scrie n mod similar ca n cazul reelelor de curent continuu. Astfel, dac se numeroteaz nti laturile cu elemente pasive, apoi cele cu generatoare ideale de tensiune i n final cele cu generatoare ideale de curent, pentru teorema a I-a Kirchhoff, n forma matricial ecuaiile (3.152) se scriu: n care [A]n',llJ este matricea de inciden redus laturinoduri cu n' = n 1 linii i l lJ

[A]n',llJ [I]l lJ = [J']n'

(3.155)

coloane (corespunztoare laturilor fr generatoare de curent), [I]llJ este matricea coloan cu l lJ termeni, reprezentnd curenii din laturile reelei, iar matricea [J']n ' se calculeaz cu relaia [J']n' = [A]n',lJ [J]lJ (3.156)

[J]lJ fiind matricea coloan a curenilor generatoarelor de curent.[Z']o,l lJ [I]llJ + [B]o,lJ [U J ]lJ = [E']o

n cazul general, al unei reele cu cuplaje magnetice, ecuaiile (3.154) corespunztoare teoremei a II-a Kirchhoff, n forma matricial se scriu: (3.157) (3.158) n care intervin matricele:

[Z']o,l lJ = [B]o,l -lJ [Z]l -lJ ,

81

unde, [B]o,l-lJ este matricea de inciden redus laturiochiuri cu o linii i primele llJ

coloane, iar matricea [Z]l-lJ este matricea ptrat de ordinul llJ a impedanelor complexe, avnd pe diagonal impedanele proprii ale laturilor i nafara diagonalei impedanele complexe mutuale dintre laturile reelei: Z1 jL 21 . = jL k1 . jLl lJ ,1

jL12 Z2

[Z]l lJ

.jL 2k

.jLl lJ ,2

... jL1j ... jL 2 j ... . ... jLkj ... . ... jLl lJ , j

... jL1,l lJ ... jL1,l lJ ... . ; ... jL k,l lJ ... . ... Zl lJ

(3.159)

[U J ]lJ este matricea coloan cu lJ termeni a tensiunilor la bornele generatoarelor idealede curent, iar matricea din membrul drept este dat de relaia

[E']o = [B]o,l lJ [E]llJ

(3.160)

n care [E]llJ este matricea coloan a tensiunilor electromotoare ale generatoarelor din laturile reelei. n form compact, sistemul complet de ecuaii n complex al reelei corespunztor teoremelor lui Kirchhoff se scrie:[A]n',l lJ [Z' ] o,l lJ

[0]n',lJ [I]l lJ [J']n ' = [B]o,lJ l,l [U J ]lJ l [E]o l

(3.161) (3.162)

sau,

[K i ] [N] = [S]

unde s-a notat cu [K i ] matricea Kirchhoff n raport cu curenii, cu [N] matricea necunoscutelor i cu [S] matricea surselor. Semnificaia acestor matrice este evident. Prin rezolvarea ecuaiei (3.162) se obine: [N] = [Ki ]1[S] (3.163)

3.4.2. Analiza n complex a reelelor electrice prin metoda curenilor cicliciSistemul de o = l n + 1 ecuaii corespunztor teoremei curenilor ciclici se scrie n complex sub forma: Z11I1 + Z12 I2 + ... + Z1j I j + ... + Z1o Io = E[1] Z21I1 + Z22 I2 + ... + Z2 j I j + ... + Z2o Io = E[2] Zm1I1 + Zm2 I2 + ... + Zmj I j + ... + Zmo Io = E[m] ' ' ' ' ' ' ' ' Zo1I1 + Zo2 I2 + ... + Zoj I j + ... + Zoo Io = E[o]' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

(3.164)

82

Impedanele de pe diagonal sunt de forma:Zmm =' j[m]

Z + Zj j,k[ m]

jk

,

(1.163)

n care intr suma impedanelor proprii Zj ale laturilor ochiului [m] i suma algebric a impedanelor de cuplaj magnetic Zjk dintre laturile ochiului [m]. n sumele din (1.163), impedanele proprii Zj se iau cu semnul "+", iar impedanele mutuale Zjk se iau cu semnul "+" n urmtoarele situaii: a) sensurile de referin ale laturilor j i k (ale curenilor Ij i Ik) sunt la fel fa de bornele polarizate i ambele coincid Zj Zj sau ambele sunt opuse sensului ochiului ' (al curentului ciclic I m, fig.3.35,a ); * * * * Z jk > 0 Z jk > 0 b) sensurile de referin ale laturilor j i k sunt diferite fa de bornele polarizate i [m] [m] Zk Zk ' ' Im Im sensul uneia din laturi coincide i al celeilalte este opus sensului ochiului a) b) (fig.3.35,b). Fig. 3.35. n celelalte situaii, impedanele mutuale Zjk se iau cu semnul "". Impedanele din afara diagonalei sunt de forma:Zmj =' k[ m] k[ j]

Z + Zk p[ m] q[ j]

pq

(3.164)

n care intr suma algebric a impedanelor proprii Zk ale laturilor comune ochiurilor [m] i [j] i suma algebric a impedanelor de cuplaj magnetic Zpq dintre o latur p aparinnd ochiului [m] i o latur q aparinnd ochiului [j]. Impedanele Zk se iau cu semnul "+" sau "" dup cum curenii ciclici ai celor dou ochiuri au acelai sens, respectiv sens opus, prin latura comun ochiurilor. Impedanele mutuale Zpq se iau cu semnul "+" n urmtoarele situaii: a) sensurile de referin ale laturilor p i q sunt la fel fa de bornele polarizate i ambele coincid, sau ambele sunt opuse sensurilor ochiurilor la care aparin laturile (fig. 3.36,a ); b) sensurile de referin ale laturilor p i q sunt diferite fa de bornele polarizate i sensul uneia din laturi coincide i al celeilalte este opus sensului ochiului la care aparine latura (fig.3.36,b). n celelalte situaii, impedanele mutuale Zpq se iau cu semnul "".*ZpZ jk > 0

*Zq

*Zp

Z jk > 0

*Zq

[m]

Im

'

[j]

I'j

[m]

Im

'

[j]

I'j

a)Fig. 3.36.

b)

n membrul drept al sistemului de ecuaii (3.162), termenii notai E[m] reprezint suma algebric a tensiunilor electromotoare ale surselor din laturile ochiului [m],E[ m ] =j[ m]

E

j

.

(3.165)

83

Sumarea este algebric, tensiunile electromotoare Ej lundu-se cu semnul "+" sau "" dup cum sensul lor coincide sau este opus sensului ochiului. Pentru aplicarea metodei curenilor ciclici se impune transformarea n prealabil a generatoarelor de curent n generatoare echivalente de tensiune (dac este posibil). n forma matriceal, metoda curenilor ciclici se scrie n mod similar ca pentru reelele de curent continuu. Astfel, sistemul de ecuaii (3.162) se scrie:

[Z ]o,o [I ]o = [E ]o'

'

'

'

(3.166)'

n care [I ]o este matricea coloan cu o termeni a curenilor ciclici din ochiurile fundamentale ale reelei. Matricea ptrat de ordinul o a impedanelor, [Z ]o,o , se determin cu relaia: ' [Z ]o,o = [B]o,l [Z]l ,l [B]to,l (1.167) n care matricea [Z]l,l este matricea ptrat i simetric de ordinul l a impedanelor complexe proprii i mutuale, avnd pe diagonal impedanele proprii ale laturilor i nafara diagonalei impedanele complexe mutuale dintre laturile reelei: Z1 jL 21 . = jL k1 . jLl1

jL12 Z2

[Z]l,l

.jL k 2

.jLl 2

... ... ... ... ... ...

jL1j ... jL1l jL 2 j ... jL 2l . ... . jL kj ... jL kl . ... . jLlj ... Zl

(3.168)

Evident, pentru laturile care nu conin inductiviti, termenii corespunztori inductivitilor proprii i mutuale din aceast matrice sunt nuli. Matricea coloan cu o termeni din membrul drept a ecuaiei (3.166) se determin cu aceeai relaie ca n cazul teoremelor lui Kirchhoff:

[E']o = [B]o,l [E]li

i

(3.169)' '

Curenii reali din laturile reelei se determin cu relaia:t t [I]l = [B]o,l [I] = [B]o,l [Z ]o,1o [E ]o

(3.170)

3.4.3. Analiza n complex a reelelor electrice prin metoda potenialelor la noduriForma n complex a sistemului de ecuaii pentru cele n' = n 1 noduri ale reelei, corespunztor teoremei potenialelor la noduri se scrie sub forma: Y11 V1 + Y12 V 2 + ... + Y1i V i + ... + Y1n ' V n' = Ig(1) Y 21 V1 + Y 22 V 2 + ... + Y 2i V i + ... + Y 2n' V n' = Ig(2) Y k1 V1 + Y k 2 V 2 + ... + Y ki V i + ... + Y kn' V n' = Ig(k ) Y n'1 V1 + Y n'2 V 2 + ... + Y n'i V i + ... + Y n 'n' V n ' = Ig(n ')' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

(3.171)

84

Admitanele complexe de pe diagonala principal, de forma Yii =

Y + Yj j(i) j, k(i)

jk

,

(3.172)

sunt constituite din: o Y j suma admitanelor proprii Yj ale laturilor legate la nodul (i);o

Yj(i)j,k(i )

jk

suma admitanelor mutuale Yjk dintre laturile j i k legate la nodul (i).

Admitanele de cuplaj magnetic dintre laturile j i k, de forma Yjk = 1 jk , j conectate la un nod al reelei se ia cu semnul "+" dac: a) sensurile de referin ale laturilor sunt Yj Yj (i) (i) la fel fa de bornele polarizate i fa de nod * * (fig. 3.37,a ); b) sensurile de referin ale laturilor sunt Y jk > 0 Y jk > 0 Yk Yk diferite fa de bornele polarizate i sensul uneia * * din laturi este de la nod i al celeilalte laturi ctre b) a) nod (fig. 3.37,b ). Fig. 3.37. n celelalte situaii aceste admitane se iau cu semnul "". Admitanele complexe din afara diagonalei principale sunt de forma Yki =

Y + Yj j(k ) j(i) m( k ) s(i)

ms

,

(3.173)

fiind constituite din: o Y j suma admitanelor proprii ale laturilor j care leag nodul (k) de nodul (i);

j( k ) j(i)

o

m( k ) s(i )

Y

ms

suma admitanelor de cuplaj magnetic (mutuale) dintre laturile m

conectate la nodul (k) i laturile s conectate la nodul (i). Aa cum se vede din rel. (1.173), admitanele proprii Yj ale laturilor care leag dou noduri ntre ele se iau totdeauna cu semnul "", iar admitanele Yms se iau cu semnul "+" dac: a) sensurile de referin ale laturilor (k) Ys (k) Ys sunt la fel fa de bornele (i) (i) * * polarizate i la fel fa de noduri * * Yms > 0 (fig. 3.38,a ); Yms > 0 Ym Ym b) sensurile de referin ale laturilor sunt diferite fa de bornele a) b) polarizate i sensul uneia dintre Fig. 3.38. laturi este dinspre nod i a celeilalte spre nod (fig. 3.38,b);

n celelalte situaii aceste admitanele Yms se iau cu "".

85

Observaie. Aplicarea metodei presupune caracterizarea bobinelor i a cuplajelor magnetice dintre ele prin inductivitile reciproce proprii i respectiv mutuale. Dac reeaua electric este caracterizat prin inductivitile proprii i mutuale, inductivitile reciproce se calculeaz prin inversarea matricei inductivitilor proprii i mutuale aa cum s-a artat n 2.2.3. n forma matriceal, ecuaiile corespunztoare metodei potenialelor la noduri se scriu n mod similar celor ale reelelor de curent continuu. Astfel, sistemul de ecuaii (3.171), n form matriceal, se scrie:

[Y ]n',n ' [V ]n ' = [I g ]n''

'

'

'

(3.174)

n care [V ]n ' este matricea coloan cu n' = n 1 termeni a potenialelor raportate ale nodurilor independente ale reelei. Matricea ptrat de ordinul n' a admitanelor ' complexe reciproce proprii i mutuale, [Y ]n ',n ' , se determin cu relaia: [Y ]n,n = [A]n ',l [Y]l ,l [A]l ,n ''t

(3.175)

n care matricea [Y]l,l este matricea ptrat i simetric de ordinul l a admitanelor complexe reciproce, avnd pe diagonal principal admitanele complexe reciproce proprii ale laturilor i nafara diagonalei admitanele complexe reciproce mutuale: Y1 Y 21 . [Y]l,l = Y k1 . Y l1 Y12 Y2

.Y k2

.jLl 2

... ... ... ... ... ...

Y1j ... Y1l Y 2 j ... Y 2l . ... . . Y kj ... Y kl . ... . Y lj ... Y l

(3.176)

Evident, pentru laturile fr cuplaje magnetice, termenii corespunztori admitanelor complexe mutuale din aceast matrice sunt nuli. Matricea coloan cu n termeni din membrul drept a ecuaiei (3.171) se determin cu o relaie similar celei corespunztoare teoremei a I-a Kirchhoff (1.154):

[I g ]n = [A]n,l [I g ]l'

(3.177)

n care matricea [I g ]l este matricea coloan cu l termeni a curenilor generatoarelor de curent din laturile reelei. Evident, pentru laturile fr generatoare, termenii corespunztori din aceast matrice sunt nuli. ' Dup determinarea potenialelor raportate V i ale nodurilor (i = 1, 2, , n), tensiunile Uj la bornele laturilor (j = 1, 2, , l), se calculeaz cu relaia:

[U]l = [A]l ,n [V ]n = [A]l ,n [Y ]n,n [I g ]n

t

'

t

' 1

'

(3.178)

86

3.5. TEOREMA CONSERVRII PUTERILOR COMPLEXE, ACTIVE I REACTIVESe consider o reea electric liniar, conex i izo