Algebra Modele Sub

7/25/2019 Algebra Modele Sub

1/18

1

Varianta 1.

1. n spaiul vectorial RR ,2 se consider vectorul Tx 3,3 i baza

TT bbB 1,2,2,1 21 . S se determine Bx vectorul coordonatelor lui xn baza B.

2. Se consider funcionala ptratic definit pe RR ,3 31212

3

2

1 42 xxxxxxxV

Folosind metoda lui Iacobi determinai o form canonic a funcionalei ptratice i precizainatura funcionalei ptratice.

3. . S se determine soluia general a sistemului de ecuaii difereniale liniare

xzxyxz

xzxyxy

2

3'

'

, unde Rx .

4. n spaiul vectorial 1,0R

C , al funciilor continue reale definite pe intervalul 1,0 , dotat cu

produsul scalar 1

0, dttgtfgf , s se calculeze gf, pentru xxf i 72 2 xxg .

5. Definii acoperirea liniar a unei mulimi de vectori. Artai, n spaiul vectorial KV, , c dac

1X , 2X sunt dou subspaii vectoriale, atunci: 2121 XXspanXX K .

6. Fie operatorul liniar 33: RR U ,

TxxxxxxxxxxU 321321321 22,22,22 , 3

321 ,, R T

xxxx .

Aflai valorile proprii ale operatorului i subspaiile proprii asociate acestora.

7. S searate c RR 4:f , 214321 ,,, xxxxxxf este o funcional liniar, s se determine

fKerR

dim , precum i matricea funcionalei n baza

TTTTB 1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1 .

8. Se consider subspaiul TTTspanS 0,1,1,1,1,0,1,0,1 n RR ,3 . S se gseasc

(folosind procedura Gramm-Schmidt) cte o baz ortonormat pentru S i S .

9. Dac X,, este spaiu euclidian complex, iar XXu :1 , XXu :2 suntoperatori autoadjunci atunci s se arate c

.oricepentru,, 21 Xxxuxxxu R

Not:Notaia T3,2,1 indic vectorul coloan

3

2

1

.


2/18

2

Varianta 2.



2. Se consider funcionala ptratic definit pe RR ,3 312221 2 xxxxxV Folosind metoda lui Iacobi determinai o form canonic a funcionalei ptratice i precizainatura funcionalei ptratice.


xzxyxz

xzxyxy

23'

2', unde Rx .



produsul scalar 1

0, dttgtfgf , s se calculeze gf, pentru 2xxf i 310 2 xxg .

5. Enunai teorema dimensiunii a lui Grassmann. Artai, n spaiul vectorial KV, , c dac 1X ,

2X , 3X sunt subspaii vectoriale n V astfel nct 321 XXXV i

321 dimdimdimdim XXXV KKKK , atunci: Vkji XXX 0 pentru 3,2,1,, kji cu ikji .


TxxxxxxxxxxU 321321321 22,22,22 , 3

321 ,, R T

xxxx .


7. S searate c RR 4:f , 314321

,,, xxxxxxf este o funcional liniar, s se determine

fKerR


TTTTB 1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1 .

8. Se consider subspaiul TTTspanS 1,1,2,2,1,0,1,0,2 n RR ,3 . S se gseasc(folosind procedura Gramm-Schmidt) cte o baz ortonormat pentru S i S .

9. Dac ,,X este spaiu euclidian complex, iar XXu :1 , XXu :2 suntoperatori autoadjunci atunci s se arate c

.oricepentru,, 21 Xxxxuxxu R


3/18

3

Varianta 3.




2

2

1 24 xxxxxxxV



xzxyxz

xzxyxy

2

5'

'

, unde Rx .



produsul scalar 1

0, dttgtfgf , s se calculeze gf, pentru 3xxf i 2310 xxg .

5. Enunai teorema de caracterizare a sumei directe. Artai, n spaiul vectorial KV, , c dac

1X , 2X sunt dou subspaii vectoriale, '1X este suplementul direct al lui 21 XX n 1X , '2X estesuplementul direct al lui 21 XX n 2X , atunci:

VXXXX 0'' 2121 .


TxxxxxxxxxxU 321321321 22,22,22 , 3

321 ,, R T

xxxx .



fKerR


TTTTB 1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1 .


9. Dac ,,X este spaiu euclidian complex, XXu :1 este operator autoadjunct

cu o singur valoare proprie 1 iar XXu :2 este operator autoadjunct cu o singurvaloare proprie 2 atunci s se arate c .21 R


4/18

4

Varianta 4.




2

2

1 2263 xxxxxxxV



xzxyxz

xzxyxy

32'

23', unde Rx .

4. n spaiul vectorial 1,0RC , al funciilor reale continue definite pe intervalul 1,0 , dotat cu

produsul scalar 1

0, xdxgxfgf , s se calculeze gf, pentru 12 xxf i xxg 1 .

5. Definii acoperirea liniar a unei mulimi de vectori. n spaiul vectorial KV, , dac 1X , 2X sunt dou subspaii vectoriale, artai c 2121 XXspanXX K .

6. Fie operatorul liniar 33: RR U , TxxxxxxU 33231 3,3,3 , 3

321 ,, R T

xxxx .



fKerR


TTTTB 1,0,0,0,1,1,0,0,1,1,1,0,1,1,1,1 .


9. Dac X,, este spaiu euclidian complex, iar XXu :1 , XXu :2 suntoperatori autoadjunci, atunci s se arate c

.oricepentru,, 21 Xxxuxxxu R


5/18

5

Varianta 5.



2. Se consider funcionala ptratic definit pe RR ,3 21232221 22 xxxxxxV Folosind metoda lui Iacobi determinai o form canonic a funcionalei ptratice i precizainatura funcionalei ptratice.


xzxyxz

xzxyxy

2'

2', unde Rx .


C , al funciilor reale continue definite pe intervalul 1,0 , dotat cu

produsul scalar 1

0, xdxgxfgf , s se calculeze gf, , unde 1xxf i 12 xxg .

5. Enunai teorema dimensiunii a lui Grassmann. n spaiul vectorial KV, , dac 1X , 2X , 3X sunt subspaii vectoriale astfel nct 321 XXXV i 321 dimdimdimdim XXXV KKKK ,artai c: Vkji XXX 0 pentru 3,2,1,, kji cu ikji .

6. Fie operatorul liniar 33: RR U , TxxxxxxU 32131 ,2, , 3

321 ,, R T

xxxx .


7. S searate c RR 4:f , 214321 ,,, xxxxxxf este o funcional liniar, s se

determine fKerR


TTTTB 1,0,0,0,1,1,0,0,1,1,1,0,1,1,1,1 .



9. Dac ,,X este spaiu euclidian complex, iar XXu :1 , XXu :2 suntoperatori autoadjunci, atunci s se arate c

.oricepentru,, 21 Xxxxuxxu R


6/18

6

Varianta 6.




3

2

2

2

1 42 xxxxxxV



xzxyxz

xzxyxy

3'

3', unde Rx .



produsul scalar 1

0, xdxgxfgf , s se calculeze gf, , unde 1xxf i xxxg 2 .

5. Enunai teorema de caracterizare a sumei directe. n spaiul vectorial KV, , dac 1X , 2X suntdou subspaii vectoriale, '1X este suplementul direct al lui 21 XX n 1X i '2X estesuplementul direct al lui 21 XX n 2X , atunci artai c:

VXXXX 0'' 2121 .


TxxxxxxU 32221 2,2,2 , 3

321 ,, R T

xxxx .



determine fKerRdim , precum i matricea funcionalei n baza

TTTTB 1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,1,1,1,0,0,1 .



9. Dac ,,X este spaiu euclidian complex, XXu :1 este operator autoadjunctcu o singur valoare proprie 1 iar XXu :2 este operator autoadjunct cu o singur

valoare proprie

2

atunci s se arate c

.21 R


7/18

7

Varianta 7.




3

2

1 222 xxxxxxxV



xzxyxz

xzxyxy

2'

2', unde Rx .



produsul scalar 1

0, xdxgxfgf , s se calculeze gf, , unde xxxf 2 i 2xxg .

5. Definii suma direct a unor subspaii vectoriale. n spaiul vectorial KV, , dac 1X , 2X suntdou subspaii vectoriale, '1X este suplementul direct al lui 21 XX n 1X i '2X estesuplementul direct al lui 21 XX n 2X , atunci artai c: VXXXX 0'' 2121 .


TxxxxxxU 31211 24,23,2 , 3

321 ,, R T

xxxx .



determine fKerR


TTTTB 1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,1,1,1,0,0,1 .



9. Dac ,,X este spaiu euclidian complex, XXu :1 esteoperator autoadjunctcu o singur valoare proprie 1 iar XXu :2 este operatorautoadjunct cu o singur

valoare proprie 2 atunci s se arate c .21 R


8/18

8

Varianta 8.

Subiectul I(2 puncte)a) Fie

1,3i ie

vectori liniar independeni n spaiul vectorial ,V K . S se arate c

vectorii: 1 1 2 32f e e e , 2 1 2 32f e e e , 3 1 2 32f e e e sunt liniar independeni.

b) S se stabileasc dac urmtoarele submulimi ale luin

R constituie sau nu subspaii alelui , , 2n n R R . n caz afirmativ, s se determine cte o baz i dimensiunea fiecrui

subspaiu. b1) 1 1, , , , 2Tn iX x x x x x i Z R b2) 1 1 2, , , , 1,Tn iX x x x x x x i n R

Subiectul II (2 puncte)Se consider funcionala ptratic definit pe RR ,3

2 21 2 1 3 2 3, 2 4 8V x f x x x x x x x x a) Scriei matricea funcionalei ptratice corespunztoare reperului canonic (bazei

canonice)b) Determinai funcionala polar a funcionalei ptratice.c) Determinai o form canonic a funcionalei ptratice (prin metoda lui Gauss sau prin

metoda lui Iacobi).d) Determinai baza corespunztoare formei canonice.

Subiectul III (2 puncte)n spaiul vectorial RR ,3 se consider X mulimea tuturor combinaiilor liniare ale

vectorilor Tv )1,0,0(1 ,Tv )3,1,2(2 i

Tv )1,1,2(3 .

a) S se determine cte o baz ortonormat pentru subspaiile vectoriale X i respectiv

X .b) S se determine proiecia ortogonal a vectorului Txxxx ),,( 321 pe X .

Subiectul IV(6 0,5 = 3 puncte)1-a) Scriei definiia subspaiului vectorial.1-b) Fie ,X K i ,Y K subspaii vectoriale ale spaiului vectorial ,V K . Artai c

,X Y K este subspaiu vectorial al lui ,V K .

2-a) Fie operatorul liniar ,U L X X , U x A x , x X . Scriei ecuaiacaracteristic a operatorului U.

2-b) Determinai soluia general a ecuaiei difereniale 2 '' ' 3 0y y y

3-a) Scriei definiia produsului scalar pe un spaiu vectorial ,X K , unde K = R sau

K = C .

3-b) S se arate c 2 2:f R R R, 1 2 1 2 1 1,f x y x x y y x y ,

21 2, ,T

x x x R 21 2,T

y y y R , este produs scalar pe 2 ,R R .


9/18

9

Varianta 9.


1,3i ie


vectorii: 1 2 3f e e , 2 1 3f e e , 3 1 2f e e sunt liniar independeni.



subspaiu. b1) 1, , , , 1, 1Tn n iX x x x x x i n Z R b2) 1 1, , , , 1,Tn n iX x x x x x x i n R


2 21 3 1 2 2 3, 6 4V x f x x x x x x x x

a) Scriei matricea funcionalei ptratice corespunztoare reperului canonic (bazei canonice) b) Determinai funcionala polar a funcionalei ptratice.c) Determinai o form canonic a funcionalei ptratice (prin metoda lui Gauss sau prin metodalui Iacobi).d) Determinai baza corespunztoare formei canonice.



Tv )1,1,1(3 .

a) S se determine cte o baz ortonormat pentru subspaiile vectoriale X i respectiv X .b) S se determine proiecia ortogonal a vectorului Txxxx ),,( 321 pe X .

Subiectul IV(6 0,5 = 3 puncte)1-a) Enunai teorema schimbului (Steinitz).

1-b) Fie ,V K un spaiu vectorial de dimensiune n *N , x V un vector nenul i

1 2, , , mS u u u V un sistem de generatori pentru V. S se arate c exist iu S astfel

nct nlocuindu-l cu xse obine 1 2 1 1' , , , , , ,i i mS u u u x u u care este sistem de generatoripentru V.2-a) Fie operatorul liniar ,U L X Y . Definii nucleul operatorului U(notat Ker U ).

2-b) Determinai soluia general a ecuaiei difereniale '' 9 ' 8 0y y y

3-a) Fie Xun spaiu euclidian i un operator liniar ,U L X X . Scriei definiia operatoruluiortogonal U.

3-b) Determinai valorile proprii i vectorii proprii ai operatorului liniar ortogonal 2 2:U R R ,

1 2 1 23 4 4 3

,5 5 5 5

T

U x x x x x

, 21 2,T

x x x R


10/18

10

Varianta 10.


1,3i ie


vectorii: 1 1 2 3f e e e , 2 1 2f e e , 3 1 3f e e sunt liniar independeni.



subspaiu. b1) 1 2, , , , 2, 1,Tn iX x x x x x i i n Z R b2) 1 1, , , , 1,Tn n n iX x x x x x x i n R


2 21 2 1 2 1 3, 4 6V x f x x x x x x x x

a) Scriei matricea funcionalei ptratice corespunztoare reperului canonic (bazei canonice) b) Determinai funcionala polar a funcionalei ptratice.c) Determinai o form canonic a funcionalei ptratice (prin metoda lui Gauss sau prin metodalui Iacobi).d) Determinai baza corespunztoare formei canonice.



Tv )2,1,1(3 .

a) S se determine cte o baz ortonormat pentru subspaiile vectoriale X i respectiv X .

b) S se determine proiecia ortogonal a vectoruluiT

xxxx ),,( 321 pe X .

Subiectul IV(6 0,5 = 3 puncte)1-a) Fie ,X K i ,Y K subspaii vectoriale ale spaiului vectorial ,V K . Definii suma

direct a subspaiilor ,X K i ,Y K (notat ,X Y K ).

1-b) Artai c ,X Y K este subspaiu vectorial al lui ,V K .

2-a) Enunai teorema Hamilton Cayley pentru operatorul liniar ,U L X X , U x A x .

2-b) Determinai soluia general a ecuaiei difereniale 3 '' 2 ' 0y y y

3-a) Se consider un spaiu euclidian X i un operator liniar ,U L X X . Scriei definiiaoperatorului autoadjunct U.3-b) Determinai valorile proprii i vectorii proprii ai operatorului liniar autoadjunct

2 2:U R R , 1 2 1 2,T

U x x x x x , 21 2,T

x x x R


11/18

11

Varianta 11.


1,3i ie


vectorii: 1 1f e , 2 1 2f e e , 3 1 2 3f e e e sunt liniar independeni.



subspaiu. b1) 1 1, , , , 1, 1,Tn n iX x x x x x i n i n Z R b2) 1 1 1, , , , 1,Tn n iX x x x x x x i n R


2 21 3 1 2 2 3, 2 2 4V x f x x x x x x x x

a) Scriei matricea funcionalei ptratice corespunztoare reperului canonic (bazei canonice)b) Determinai funcionala polar a funcionalei ptratice.c) Determinai o form canonic a funcionalei ptratice (prin metoda lui Gauss sau prin metodalui Iacobi).d) Determinai baza corespunztoare formei canonice.



Tv )1,1,1(3 .

a) S se determine cte o baz ortonormat pentru subspaiile vectoriale X i respectiv X .b) S se determine proiecia ortogonal a vectorului Txxxx ),,( 321 pe X .

Subiectul IV(6 0,5 = 3 puncte)1-a) Fie ,X K un subspaiu vectorial al spaiului vectorial ,V K . Scriei definiia spaiului ct

al lui Vmodulo X(notat / ,V X K ).

1-b) Dac Xeste subspaiu nul ( 0X ), s se determine spaiul ct / ,V X K .

2-a) Definii rangul operatorului liniar ,U L X Y .2-b) Determinai soluia general a ecuaiei difereniale '' 2 ' 3 0y y y

3-a) FieX

un spaiu euclidian real i un operator liniar ,U L X X

. Scriei teorema privindunicitatea operatorului adjunct.

3-b) Pe 2R se consider produsul scalar 1 1 2 2,x y x y x y , 21 2, ,T

x x x R

21 2,T

y y y R i operatorul liniar 2 2:U R R , 1 2 1, 2T

U x x x x ,

21 2,T

x x x R . Determinai operatorul adjunct al lui U(notat cu *U ).


12/18

12

Varianta 12.

Subiectul I(2 puncte)

In (R4,R) fie 211 , aaSpanX i 432 , aaSpanX , unde 1 1, 1, 1, 0 T

a ,

2 0, 1, 1, 0 T

a , 3 0, 2, 1, 1 T

a i 4 2, 1, 4, 1 T

a . Se cere:(1,50p) a) S se calculeze 21dim XX R i s se determine 21 XX .

(0,50p) b) Sse calculeze RR

dim i CR

dim i s se determine cte o baz.

Subiectul II (2 puncte)

Se consider funcionala ptratic definit pe RR ,3

2 21 2 1 3 2 3, 2 4V x f x x x x x x x x (1p) a)Determinai o form canonic a funcionalei ptratice.

(1p) b)Determinai baza corespunztoare formei canonice.

Subiectul III (2 puncte)

n spaiul vectorial RR ,3 se consider X mulimea tuturor combinaiilor liniare alevectorilor

1 ( 1,1,1)Tv , 2 ( 1, 2, 3)

Tv i 3 (1,1, 3)Tv .

(0,75p) a) S se determine cte o baz ortogonal pentru subspaiile vectoriale X irespectiv X .

(1,25p) b) S se determine proieciile ortogonale ale vectorilor (2, 3, 4)Tx i

(1, 2, 1)Ty pe X .

Subiectul IV(3 1p = 3 puncte)

a)Definii noiunea de polinom caracteristic al unei matrice i enunati teorema Hamilton-Cayley.

b) S se arate c n cazul unui endomorfism autoadjunct la valori proprii distinctecorespund vectori proprii ortogonali.

c) S se determine soluia general a sistemului de ecuaii difereniale liniare

xzxyxz

xzxy

812'

'


13/18

13

Varianta 13.



a ,

2 0, 1, 1, 0 T

a , 3 0, 2, 1, 1 T

a i 4 2, 1, 4, 1 T



dim i CC




2 21 2 1 3 2 3, 2 4 2V x f x x x x x x x x (1p) a)Determinai o form canonic a funcionalei ptratice.




1 (1,1,1)Tv , 2 ( 1,1,1)

Tv i 3 (0, 2, 2)Tv .



(0, 1,1)Ty pe X .


a)Definii noiunile de nucleu i imagine al unui operator liniar.b) S se arate c o mulime de doi vectori nenuli, ortogonali, este o mulime de vectori

liniar independent.c) S se determine soluia general a sistemului de ecuaii difereniale liniare

xzxyxz

xzxy

56'

'


14/18

14

Varianta 14.



a ,

2 0, 2, 2, 0 T

a , 3 0, 2, 1, 1 T

a i 4 2, 1, 4, 1T


(0,50p) b) Sse calculeze CC

dim i CR




2 21 3 1 2 2 3, 3 2 4V x f x x x x x x x x (1p) a)Determinai o form canonic a funcionalei ptratice.




1 (1, 1,1)Tv , 2 ( 1,1,1)

Tv i 3 (2, 2, 0)Tv .



(1,1, 0)Ty pe X .


a) Definii noiunea de izomorfism de spaii vectoriale i enunati o teorema deizomorfism.

b)S se verifice c ntr-un spaiu euclidian avem

2 2 2 22 , , vectorix y x y x y x y .c) S se determine soluia general a sistemului de ecuaii difereniale liniare

xzxyxzxzxy

34''


15/18

15

Varianta 15.



a ,

2 0, 2, 2, 0 T

a , 3 0, 2, 1, 1 T

a i 4 2, 1, 4, 1 T



dim i CR




2 2 21 2 3 1 3 2 3, 3 2 6V x f x x x x x x x x x (1p) a)Determinai o form canonic a funcionalei ptratice.




1 (1,1, 1)Tv , 2 ( 1,1,1)

Tv i 3 (2, 0, 2)Tv .


(1,25p) b) S se determine proieciile ortogonale ale vectorilor (2, 3, 4)Tx i(1, 0,1)Ty pe X .


a) Definii noiunile de suplement direct i complement ortogonal al unui subspaiuvectorial.

b) S se arate c o mulime de doi vectori proprii ai unui endomorfism liniar,corespunztori la valori proprii distincte, este o mulime de vectori liniar independent.

c) S se determine soluia general a sistemului de ecuaii difereniale liniare

xzxyxz

xzxy

56'

'


16/18

16

Varianta 16.


n spaiul vectorial ,3R R se consider vectorii 1 1, 2, 1 ,t

v 2 1, 0,1 ,t

v

3 2, 4, 2 t

v , 4 2,3,1 ,t

v 5 1, 4,1 t

v i subspaiile 1X i 2X , unde 1X estesubspaiul generat de 1 2 3, ,v v v , iar 2X este generat de 4 5,v v . S se determine:

(0,5p) a) cte o baz pentru 1X i 2X ;

(0,5p) b) subspaiul 1 2Y X X i dimensiunea sa;

(1p) c) subspaiul 1 2Z X X , dimensiunea sa i s se verifice teorema dimensiunii

(Grassmann).


Fie

1 3

2 3 1 2 3

1 2 3

: , , , ,

8

T

x x

U U x x x x x x x

x x x

3 3

R R . S se determine:

(1p) a) valorile proprii, vectorii proprii i subspaiile proprii;(1p) b) nucleul, imaginea, defectul i rangul operatorului.


n spaiul vectorial ,3R R se consider vectorii 2,3,1 ,tv 1 1, 2, 1 ,t

v

2 1, 0,1 ,t

v 3 2, 4, 2 t

v i Xsubspaiul generat de 1 2 3, ,v v v . S se determine:(0,5p) a) proiecia lui v pe X;

(0,5p) b) complementul ortogonal al subspaiului X.(1p) c) o baz ortonormat n X.

Subiectul IV(3 puncte)


17/18

17

Varianta 17.



v 2 1, 0,1 ,t

v

3 1, 4,1 t

v , 4 1,2,1 ,t

v 5 2, 0,1 t

v i subspaiile 1X i 2X , unde 1X este subspaiul

generat de 1 2 3, ,v v v , iar 2X este generat de 4 5,v v . S se determine:(0,5p) a) cte o baz pentru 1X i 2X ;



(Grassmann).


Se consider funcionala ptratic definit pe ,3R R

2 2

1 3 1 2 2 3, 2 4 2V x f x x x x x x x x

(0,5p) a) Scriei matricea funcionalei ptratice corespunztoare reperului canonic (bazei

canonice).(0,5p) b) Determinai funcionala biliniar polar a funcionalei ptratice.(1p) c) Determinai forma canonic a funcionalei ptratice i natura funcionalei

ptratice.


n spaiul vectorial ,3R R se consider vectorii 3, 0,1 ,tv 1 1, 1, 1 ,t

v

2 1, 0,1 ,t

v 3 2, 0, 2 t

v i Xsubspaiul generat de 1 2 3, ,v v v . S se determine:

(0,5p) a) proiecia lui v pe X;(0,5p) b) complementul ortogonal al subspaiului X.(1p) c) o baz ortonormat n X.

Subiectul IV(3 puncte)


18/18

18

Varianta 18.



v 2 1, 0,1 ,t

v

3 3, 4, 3 t

v , 4 2, 3,1 ,t

v 5 1, 4,1 t

v i subspaiile 1X i 2X , unde 1X este

subspaiul generat de 1 2 3, ,v v v , iar 2X este generat de 4 5,v v . S se determine:(0,5p) a) cte o baz pentru 1X i 2X ;



(Grassmann).


Fie 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

: , , , , T

x x x

U U x x x x x x x x

x x x

3 3R R . S se determine:

(1p) a) valorile proprii, vectorii proprii i subspaiile proprii;(1p) b) nucleul, imaginea, defectul i rangul operatorului.


n spaiul vectorial ,3R R se consider vectorii 2,3,1 ,tv 1 1, 2, 1 ,t

v

2 1,1, 1 ,t

v 3 2, 6, 6 t

v i Xsubspaiul generat de 1 2 3, ,v v v . S se determine:(0,5p) a) proiecia lui v pe X;(0,5p) b) complementul ortogonal al subspaiului X.

(1p) c) o baz ortonormat n X.

Subiectul IV(3 puncte) !!!!!!! ?ghici!

Algebra Modele Sub

Documents

Transcript of Algebra Modele Sub