Algebra Teme

7/25/2019 Algebra Teme

1/23

Tema 1

Exercitiul 1. Scrieti elementele urmatoarelor multimi:

1. Multimea literelor din cuvantulmatematician.

2. Multimea numerelor prime mai mici decat 20.

3. {x R | x2 + x 6 = 0}

Exercitiul 2. Puneti sub forma{x| x are proprietateaP}fiecare dintre urmatoarelemultimi:

1. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

2. {. . . , 5, 3, 1, 1, 3, 5, . . .}.

3. {1, 2, 4, 8, . . . , 1024}.

4. Multimea vida.

Exercitiul 3. Descrieti fiecare din multimile de mai jos prin enumerarea ele-mentelor sale:

1. {x| x este o vocala}.

2. {3k+ 1 | k este un ntreg impar cuprins ntre1 si10}.

3. {x| x este numar prim par}.

4. {x| x este numele unei luni ce se termina cu litera e }.

Exercitiul 4. FieA = {a, }. Care dintre urmatoarele afirmatii este adevarata?

1. a A.

2. {a} A.

3. a A.

4. {a} A.

5. A.

6. A.

7. {} A.

8. {} A.

Exercitiul 5. Scrieti toate submultimile multimii{x,y,z}si relatiile de incluz-

iune ntre acestea.Exercitiul 6. Determinati multimea partilor asociata fiecarei dintre urmatoarelemultimi:

1


2/23

CC-Matematica 2 2

1. P(P()).

2. {x,y,z,w}.3. {x, {x, y}}.

4. {{a}, }.

5. {a, {}}

Exercitiul 7. Fiecare dintre multimile de mai jos contine la randul sau altemultimi. Determinati cea mai mica multime posibila A pentru care multimeadata este inclusa n multimea partilorP(A):

1. {{a}, {b, c}}.

2. {{a}, {}}.

3. {{a}, {{a}}}.

4. {{a}, {{b}}, {a, b}}.

Exercitiul 8. Definim diferenta a doua mult imi A, B M prinA \ B= {x M |x A six /B}. Aratati ca au loc urmatoarele identitati:

1. A \ B = A Bc

2. A \ (B C) = (A \ B) (A \ C)

3. A \ (B C) = (A \ B) (A \ C)

4. A \ (A B) = (A B) \ B= A \ B = Bc \ Ac

5. A (B\ C) = (A B) \ C= (A B) \ (A C) = (A \ C) B

6. (A \ B) C= (A C) \ (B\ C)

7. A B = A \ (A \ B)

8. A \ (B\ C) = (A \ B) (A C)

9. A \ A=

10. \ A=

11. A \ = A

pentru oriceA, B,C M.

Exercitiul 9. Diferenta simetrica a dou a mult imi se defineste prinAB= (A B) \ (A B). Aratati ca urmatoarele identitati sunt adevarate:

1. AB= (A \ B) (B\ A)

2. AB= BA

3. (AB)C= A(BC)

4. A= A, AA=

5. A (BC) = (A B)(A C)

6. A= B AB=

pentru oriceA, B,C M.

Exercitiul 10. FieA, B M. Atunci urmatoarele sunt echivalente:


3/23

CC-Matematica 2 3

1. B= Ac 2. A B= , A B= M

Exercitiul 11. FieA, B doua multimi. Atunci urmatoarele relatii sunt echiva-lente:

1. A B

2. Bc Ac

3. A B = A

4. A B= B

5. A \ B =

Exercitiul 12. ScrietiA B Cca reuniune a 7 multimi disjuncte doua catedoua.

Exercitiul 13. Aratati ca:

1. (A B) (B C) (C A) = (A B) (B C) (C A)2. A B C= (A \ B) (B\ C) (C\ A) (A B C)

Exercitiul 14. Aratati caP(A B) = P(A) P(B)pentru orice multimiA, B.Ramane valabil si pentru reuniuneP(A B) = P(A) P(B)?

Exercitiul 15. Pentru fiecare k numar ntreg, fie Ak multimea {x | x Z si|x| > k}, pentru k impar, respectiv {x | x Z si k < x < k} pen-truk par.

1. Determinati multimileA0, A1, A2, A3, A2, siA3.

2. Aflati reuniunea multimilorA1, A3, A5, A7, A9.

3. Aflati reuniunea multimilor(Ak)k impar.

4. Aflati reuniunea multimilor(Ak)k par.

5. Aflati reuniunea tuturor multimilor(Ak)kZ.

6. Determinati intersectia multimilorA1, A3, A5, A7, A9.

7. Determinati intersectia multimilor(Ak)k impar.

8. Determinati intersectia multimilor(Ak)k par.

9. Determinati intersectia tuturor multimilor(Ak)kZ.

Exercitiul 16. FieA,B doua multimi. Atunci(A B) (B A) = (A B)

(A B).

Exercitiul 17. Aratati ca:

1. A B= B AA = B

2. A1 A2 siB1 B2 =A1 B1 A2 B2.


4/23

CC-Matematica 2 4

3. A (B C) = (A B) (A C)

4. A (B C) = (A B) (A C)

5. (A B) (C D) = (A C) (B D)

6. (A B) (C D) (A C) (B D) (Aratati ca incluziunea inversanu are loc n general).


5/23

Tema 2

Exercitiul 1. Explicati de ce fiecare dintre urmatoarele corespondente nu de-fineste o functief : R R:

1. f(x) = 1x

2. f(x) =x

3. f(x) =x2 + 14. f(x) = cosx+i sinx

Exercitiul 2. Decideti care dintre urmatoarele expresii defineste o functief : Z R:

1. f(n) =n2. f(n) = n

3. f(n) =n

4. f(n) =|n|

5. f(n) = 1n24

6. f(n) = 1n2+4

Exercitiul 3. Datele stocate n memoria unui calculator suntreprezentate sub forma unor siruri de octeti (bytes). De cati octeti este nevoiepentru 100 de biti de informatie?

Exercitiul 4. Aratati ca pentru orice numar realx are loc relatia [2x] = [x] +[x+ 1

2].

Exercitiul 5. Este adevarat ca[x] + [y] = [x+y] pentru oricex, y R?Exercitiul 6. Fie functiaf :A Rdata def(x) = x

x21 , undex A R.Determinati domeniul maxim de definitie al functiei f. Cine este imaginea

functiei?

Exercitiul 7. Fie M o multime. Pentru fiecare A M, consideramA : M {0, 1} functia caracteristica asociata. Atunci au loc urmatoarelerelatii:

1. 2

A = A,AM.2. = 0.

3. M= 1.

4. A = B A = B,

A,BM.5. AB =AB,A,BM.

6. Daca A B = , atunciAB =A+B.

1


6/23

CC-Matematica 2 2

7. AB = A + B AB,

A,B

M.

8. Ac = 1 A,AM.

9. A\B = A(1 B),

A,B

M.

10. AB = A + B 2AB,A,BM.

Exercitiul 8. Functia f : Z Z, f(n) = 12

[1 + (1)n] este functia carac-teristica a unei submultimi a multimii numerelor ntregi. Determinati acestasubmultime.

Exercitiul 9. Fief :AB o functie. Cand are sensf f?Exercitiul 10. Aratati ca orice functief : A B se poate descompune sub

formaf=g h, undeg este o functie injectiva sih este o functie surjectiva.Exercitiul 11. Dati un exemplu de functie de laN laN care:

1. Este injectiva, dar nu este surjectiva.

2. Este surjectiva, dar nu este injectiva.

3. Este injectiva si surjectiva (dar diferita de functia identitate1N).

4. Nu este nici injectiva, nici surjectiva.

Exercitiul 12. Determinati care dintre urmatoarele functii f : Z Z Zeste surjectiva:

1. f(m,n) = 2mn.

2. f(m,n) = m2n2.

3. f(m,n) = m+n+ 1.

4. f(m,n) =|m| |n|.5. f(m,n) = m2 4.

6. f(m,n) = m+n.

7. f(m,n) = m2 +n2.

8. f(m,n) = m.

9. f(m,n) =|n|.10. f(m,n) = m n.

Exercitiul 13. Determinati care dintre urmatoarele functii f : R R suntbijective:

1. f(x) =3x+ 4.

2. f(x) =3x2 + 7.

3. f(x) = x+1x+2

.

4. f(x) = x5 + 1.

Exercitiul 14. Fief :AB sig: BCdoua functii. Aratati ca:1. Dacaf sig sunt injective, atunci sig f este injectiva.2. Dacag feste injectiva, atuncifeste injectiva. Dati un exemplu n care

g f este injectiva, darg nu este.


7/23

CC-Matematica 2 3

3. Dacaf sig sunt surjective, atunci sig feste surjectiva.

4. Daca g f este surjectiva, atunci g este surjectiva. Dati un exemplu ncareg feste surjectiva, darfnu este.

5. Dacaf sig sunt bijective, atunci sig feste bijectiva.6. Dacag feste bijectiva, atuncifeste injectiva sig este surjectiva. Dati

un exemplu n careg feste bijectiva, darf sig nu sunt.Exercitiul 15. Aratati ca functiaf : NN N,

f(m,n) =(m+n)(m+n+ 1)

2 +m

este bijectiva.

Exercitiul 16. Dati un exemplu de functie surjectiva care admite doua inversela dreapta.

Exercitiul 17. Fief ,g ,h: Z Z, f(n) = 3n, g(n) = 3n+ 1, h(n) = 3n+ 2.Construiti o inversa la stanga comuna pentru cele trei functii.

Exercitiul 18. Scrieti toate functiile partiale{x,y,z} {1, 2}.Exercitiul 19. Determinati reuniunea si intersectia urmatoarelor multiseturi:

1. A={x, y}, B ={x,y,z}2. A={x,y,x}, B={y,x,y,x}3. A=

{a,a,a,b

}, B=

{a,a,b,b,c

}4. A={1, 2, 2, 3, 3, 4, 4}, B={2, 3, 3, 4, 5}5. A={x,x, {a, a}, {a, a}}, B={a,a,x,x}6. A={a,a, {b, b}}, B={a}

Exercitiul 20. Determinati un multisetA care verifica simultan urmatoarelerelatii:

A {2, 2, 3, 4} = {2, 2, 3, 3, 4, 4, 5}A {2, 2, 3, 4, 5} = {2, 3, 4, 5}

Exercitiul 21. De citit pag. 338-344 din articolul lui L. Zadeh, Fuzzy sets,

disponibil la adresahttp://www-bisc.cs.berkeley. edu/ Zadeh-1965. pdf.
http://www-bisc.cs.berkeley.edu/Zadeh-1965.pdfhttp://www-bisc.cs.berkeley.edu/Zadeh-1965.pdfhttp://www-bisc.cs.berkeley.edu/Zadeh-1965.pdf


8/23

Tema 3

Exercitiul 1. FieR1 siR2 relatii pe multimea {1, 2, 3, 4} reprezentate prinmatricile

MR1 =

1 1 0 11 0 1 00 1 1 11 0 1 1

siMR2 =

0 1 0 11 0 1 00 1 0 11 0 1 0

1. Verificati daca relatiileR1 siR2 sunt reflexive / simetrice / antisime-trice / tranzitive;

2. Aflati relatiileR1 R2, R1 R2, R1 R2, R2 R1, Rc1

, Rop1

.

Exercitiul 2. FieA o multime siR1, R2 relatii pe multimeaA. Atunci:

1. DacaR1 siR2 sunt reflexive / simetrice/ tranzitive, ce puteti spune despreR1 R2?

2. Dar dacaR1 siR2 sunt relatii de echivalent a / relatii de ordine?

Exercitiul 3. Cate relatii reflexive / simetrice / antisimetrice exista pe omultime cun elemente? (n N)

Exercitiul 4. FieM o multime. PeP(M) consideram relatia de ordine datade incluziune. Determinati elementele minimale si maximale. Aflatisup{X, Y}siinf{X, Y} nP(M), pentruX, Y M.

Exercitiul 5. FieA= {a,b,c,d} si relatiaR= {(a, b), (b, c), (c, d)}. Determinatinchiderea tranzitiva a relatieiR.

Exercitiul 6. Fie relatiaR= {(n, n+ 1) N2 |n N}. CalculatiR R, apoideterminatiR R . . . R

n

pentrun 2; utilizati acest rezultat pentru a obtine

nchiderea tranzitiva a relatieiR.

Exercitiul 7. Scrieti un algoritm de determinare a nchiderii tranzitive a unei

relatii pe o multime finita cun elemente utilizand matricea asociata relatiei.

Exercitiul 8. Un proiect software contine urmatoarele activitati: (A) Culegereaspecificatiilor. (B) Analiza cerintelor functionale. (C) Elaborarea cerintelorsistemului. (D) Elaborarea testelor de verificare. (E) Scrierea documentatiei.

1


9/23

CC-Matematica 2 2

(F) Realizarea modulului1. (G) Realizarea modulului2. (H) Realizarea modul-ului3. (I) Integrarea celor trei module. (J) Testare. (K) Testare. (L) Fi-

nalizare. Ordinea de realizare a acestora apare n graful de mai jos:

L

K

J

I

E

F

G

H

C

D

B

A

Realizati o planificare a activitatilor astfel ncat toate activitatile sa aiba locsi ordinea initiala sa fie pastrata. (Indicatie: utilizati algoritmul de sortaretopologica)

Exercitiul 9. Utilizati algoritmul de sortare topologica pentru a obtine o relatiede ordine totala peP({a,b,c,d}), pornind de la relatia de incluziune.

Exercitiul 10. Determinati cea mai mica relatie de echivalent a pe multimea{a,b,c,d,e} ce contine relatia{(a, b), (a, c), (d, e)}.

Exercitiul 11. Pe multimea numerelor naturale nenule consideram relatia:mRn m

n = 2k pentruk Z.

1. Aratati caR este o relatie de echivalent a.

2. Descrieti multimea factorA/R.

Exercitiul 12. Determinati o formula de recurenta pentru calculul numarului

de partitii nk submultimi ale unei multimi cun elemente (1 k n).


10/23

Tema 4

Exercitiul 1. Matricea asociata unei relatii este

1 0 1 00 1 0 11 0 1 00 1 0 1

. Este relatia

respectiva o relatie de echivalent a? Argumentati.

Exercitiul 2. Pe multimea numerelor reale consideram relatia: xRy x y Z. Aratati ca este o relatie de echivalent a si c a exista o bijectie ntremultimea factor si intervalul[0, 1).

Exercitiul 3. Fie S= {(x1, . . . , xn)| n N, x1, . . . , xn {0, 1}} multimeasirurilor binare de lungime finita. Spunem ca doua siruri (x1, . . . , xn) si(y1, . . . , ym) sunt echivalente daca sunt egale (deci dacan= m six1 =y1, . . . ,xn = yn) sau n, m 3 si primele trei caractere coincid: x1 = y1,x2 = y2, x3 = y3. Scrieti clasele de echivalent a pentru aceasta relatie.

Exercitiul 4. FieG= (N,A,s,t: A N) un graf orientat finit astfel ncatv, w N exista un arc a A cu s(a) = v, t(a) = w sau s(a) = w, t(a) = v.Aratati ca se poate construi un drum ce trece prin fiecare varf o singura data.

Exercitiul 5. Aratati ca orice graf neorientat finit contine un numar par denoduri impare.

Exercitiul 6. Pentru fiecare dintre cazurile de mai jos, decideti daca grafurileG1 siG2 sunt izomorfe; motivati rapunsul.

1.G1 =

G2 =

2.G1 =

G2 =

1


11/23

CC-Matematica 2 2

3.G1 =

G2 =

Exercitiul 7. Un graf eulerian este un graf neorientat pentru care exista undrum ce trece exact o data prin fiecare muchie a sa. Ar atati ca un graf finitconex n care toate nodurile sunt pare este un graf eulerian.

Exercitiul 8. Cate operatii binare pot fi construite pe o multime cun elemente?Cate dintre acestea sunt comutative? Dar cate operatii binare admit elementneutru?

Exercitiul 9. Fie(M, , e)un monoid finit. Aratati ca un elementa M esteinversabil la stanga daca si numai daca functiafa: MM, fa(x) =ax esteinjectiva. Ramane aceasta afirmatie valabila si pentruM infinit?

Exercitiul 10. FieA= {a, b}.

1. Aratati ca(P(A), ) si(P(A), ) sunt monoizi, dar nu sunt grupuri.

2. (P(A), ) si(P(A), ) sunt izomorfe ca monoizi? Argumentati.


12/23

Tema 5

Exercitiul 1. Determinati toate structurile neizomorfe de monoid pe multimea{0, 1}.

Exercitiul 2. Fie(M, , e) un monoid.

1. PentruX, Y M, notamX Y = {x y | x X, y Y}. Aratati ca

P(M)devine un monoid n raport cu aceasta operatie. Cine este elementulneutru? Exista zero (element absorbant)?

2. Dacaf : (M, M, eM)(N, N, eN) este un morfism de monoizi, atuncisi funct iaf : P(M) P(N), f(X) = {f(x) | x X} este un morfism demonoizi (n raport cu operatia definita anterior).

Exercitiul 3. 1. Fie (M, M, eM), (N, N, eN) monoizi si f : M N ofunctie astfel ncatf(x My) = f(x) Nf(y), x, y M. Estef morfismde monoizi? Argumentati sau dati un contraexemplu n caz negativ.

2. Dacaf : M Neste un izomorfism de monoizi, atuncif1 este mor-fism de monoizi.

Exercitiul 4. FieA un alfabet si , A astfel nc at = . Atunciexista un string A sim, n N astfel nc at= m, = n.

Exercitiul 5. Fief : ({a, b}, )(Z,+) unicul morfism de monoizi pentrucaref(a) = 1, f(b) = 1. Determinatif1({0}).

Exercitiul 6. 1. FieL1, L2, L3 A. Atunci(L1 L2)L3 L1L3 L2L3.Dati un exemplu din care sa rezulte ca incluziunea poate fi stricta.

2. DacaL A, este adevarat ca(L)L= L?

Exercitiul 7. Aratati ca urmatoarele limbaje peste alfabetul{a, b} sunt rationale(un limbaj se numeste rational daca este acceptat de un automat finit):

1. {an

|n 1}.2. { A | || e un numar par}.

3. {,a,b,ab,ab2, . . . , a bn, . . .}.

4. { A | ||a e un numar impar}.

1


13/23

CC-Matematica 2 2

Exercitiul 8. Determinati limbajul acceptat de fiecare dintre urmatoarele au-tomate:

1.

s0 0,1

0

s1 1 s2

2.

s0 0,1

1

s1

s20

1

3.

s0

0

1

s1

1

Exercitiul 9. Construiti un automat determinist echivalent cu automatul nede-terminist de la exercitiul precedent, pct. 1. Aceeasi cerint a pentru automatul dela pct. 2.


14/23

Tema 6

Exercitiul 1. Determinati inversele urmatoarelor elemente:

(i) 3 n(Z100, ); (ii) 99 n(Z1000, ).

Exercitiul 2. (i) Fie p, q doua numere prime distincte. Cate elementeinversabile contine monoidul(Zpq, )?

(ii) Dacan Z si(n,pq) = 1, atunci

n(p1)(q1) 1(modpq)

Exercitiul 3. Uncriptosistem cu cheie publicaconsta din alegerea unui numarcu cateva sute de cifreN, care este produsul a doua numere prime p si q deaproximativ aceeasi marime, precum si a unui ntreg pozitivr (cheia publica dencifrare), care este prim cu(p 1)(q 1).

(i) Aratati ca exista atunci un ntreg pozitiv s (cheia secreta de descifrare)astfel nc at

rs 1(mod(p 1)(q 1))

(ii) Deduceti ca daca un mesaj u {1, . . . , N 1} este trimis ncifrat

sub forma v ur(modN), iar u este prim cuN, atunci descifrarea(regasirea luiu) se poate face ridicand pev la putereas si lu and restul lamp artirea cuN.

Exercitiul 4. Fied o dreapta din plan siO un punct de ped. FieR rotatia nsens trigonometric cu unghiul 2

3 n jurul luiO, S0 simetria fat a de dreaptad

siSk simetria fat a de dreapta obtinuta prin rotatia (n sens trigonometric) luid n jurul punctuluiO, cu unghiul k3 , k {1, 2}.

(i) Aratati caR siS0 (privite ca elemente ale grupului functiilor bijective aleplanului n el nsusi, cu operatia de compunere) verificaR3 = I, S20 = IsiRkS0 = Sk, k {1, 2}, unde am notat cu Itransformarea identica aplanului.

(ii) Aratati ca{I,R,R2

, S0, S1, S2} formeaza un grup n raport cu compunerea(scrieti si tabla operatiei).

(iii) Este acest grup izomorf cu(Z8,+)?

Exercitiul 5. Determinati, daca este posibil, un polinom ireductibil de gradnpeste corpulk, unde

1


15/23

CC-Matematica 2 2

(i) n= 3, k = Q.

(ii) n= 2, k = Z11.

(iii) n= 4, k = R.

(iv) n= 2, k = C.

Exercitiul 6. (i) Determinati polinoamele ireductibile de grad cel mult2 dinZ2[X] si dinZ3[X].

(ii) Utilizand rezultatele obtinute anterior, scrieti tablele operatiei de nmultirepentru corpul cu4 elemente, respectiv corpul cu9 elemente.

Exercitiul 7. (i) Pe multimeaZ Z consideram relatia de ordine produs

(x, y) (x, y) x x siy y, x, x, y , y Z

Devine astfelZ Z o latice?

(ii) Dar daca peZ Z luam relatia de ordine lexicografica, data de

(x, y) (x, y)

x x sau

x= x siy yx, x, y , y Z

Este atunciZ Z o latice?

Exercitiul 8. Fie A si B doua multimi nevide si f : A B o functie.Aratati ca multimea{f(X) B| X A} formeaza o latice n raport cu relatiade incluziune (am notatf(X) = {f(x) | x X}, X A).


16/23

Tema 7

Exercitiul 1. Pe multimeaV = R2 consideram operatiile

(x, y) + (x, y) = (x+x, y+y)

si

(x, y) =(0, 0) daca = 0

(x, y

) daca = 0

pentru(x, y), (x, y) R2, R. EsteV un spatiu vectorial pesteR n raportcu aceste operatii? Justificati raspunsul.

Exercitiul 2. Sa se arate ca grupul(Z, +)nu poate fi nzestrat cu structura despatiu vectorial pesteQ sau pesteR.

Exercitiul 3. Fiek un corp comutativ siV ={(x, y) k2 |x2 +y2 = 1}. PeV consideram operatiile uzuale de adunare si multiplicare cu scalari pe compo-nente, adica

(x, y) + (x, y) = (x+x, y+y) si (x, y) = (x,y)

pentru(x, y), (x, y) k2, k. EsteV un spatiu vectorial pestek, daca:

(i) k = R (ii) k = C (iii) k = Z2 (iv) k = Z5

Exercitiul 4. Care dintre urmatoarele submultimi este subspatiu vectorial nR[X]?

(i) {a+bX+cX2 +dX3 |a, b, c, d R, a+b+c+d= 0}

(ii) {P R[X]| grad(P)> 2}

(iii)

P R[X]| X2 +X+ 1 | P

(iv) {P R[X]| P(X) = P(X)}

Exercitiul 5. Vectorul (3, 1, 0, 1) apartine spatiului generat de vectorii(2, 1, 3, 2), (1, 1, 1, 3) si(1, 1, 9, 5)? nR4?

1


17/23

CC-Matematica 2 2

Exercitiul 6. FieV spatiul vectorial al elementelor de forma(x1, x2, x3, x4, x5)R5, care satisfac sistemul

2x1 x2+

43x3 x4 = 0

x1+ 23

x3 x5 = 0

3x1 x2+ 2x3 x4 x5 = 0

Determinati o familie finita de vectori care genereaza peV.

Exercitiul 7. FieV un spatiu vectorial, XV o submultime six, y V. Sase arate ca dacay Sp (X {x}) siy /Sp(X), atuncix Sp(X {y}).

Exercitiul 8. FieV ={f : R R |fcontinua}. PeV introducem operatiile:

(f+ g)(x) = f(x) +g(x)

si( f)(x) = f(x)

x R, f , g V, R. Atunci:

(i) Veste un spatiu vectorial pesteR;

(ii) Functiilef1, . . . , f n V, f1(x) = ex, f2(x) = e

2x, . . ., fn(x) = enx sunt

liniar independente nV, n N \ {0};

(iii) dimRV =.

Exercitiul 9. Determinati o baza si dimensiunea urmatoarelor spatii vectoriale:

(i) U1 = Sp{(2, 1, 0, 1), (1, 1, 3, 7), (0, 1, 6, 13)} R4

.

(ii) U2 = {(x,y,z,t) R4 |

x 2y+z = 0

x y z t= 0

x 3z 2t= 0

}

Exercitiul 10. Aratati ca polinoamele1, X 1, (X1)2

2! , . . . , (X1)

n

n! formeaza o

baza a spatiului vectorial al polinoamelor de grad cel multn pesteR. (Indicatie:utilizati eventual seriile Taylor).


18/23

Tema 9-10

Exercitiul 1. Fie W1, W2 subspatii vectoriale ale luiR3, astfel cadim W1 =

1

1

P(X)Q(X)dX,P, Q R3[X]

Folosind algoritmul de ortogonalizare Gram-Schmidt, sa se determine o bazaortonormata n raport cu acest produs scalar, pornind de la baza canonica1, X , X 2, X3.

Exercitiul 4. PeR4 consideram produsul scalar

=x1x2+ y1y2+ z1z2+ t1t2

unde (x1, y1, z1, t1), (x2, y2, z2, t2) R4. Fie V R4 subspatiul vectorial alsolutiilor sistemului

3x + 2y+ z 2t = 05x + 4y+ 3z+ 2t = 0

x + 2y+ 3z+ 10t = 0

1


21/23

CC-Matematica 2 2

1. Determinati o baza si dimensiunea luiV.

2. Determinati multimea V

a vectorilor din R4

ortogonali pe toti vectoriidinV.

3. Aratati caV formeaza un subspatiu vectorial nR4. Ce dimensiune are?

4. Determinati suma si intersectia subspatiilorV siV.

Exercitiul 5. FieVun spatiu vectorial real pentru care exista un produs scalar< , >. Definim norma unui vector x V prin||x|| =< x, x >. Atunci doivectori x, y V sunt ortogonali daca si numai daca||x+ y||2 =||x||2 + ||y||2(Pitagora).

Exercitiul 6. Fie matricea simetricaA=

0 1 01 0 0

0 0 0

.

1. Aratati caAeste diagonalizabila.

2. Determinati o baza ortonormata{v1, v2, v3} nR3 formata cu vectori pro-prii ai matriceiA.

3. Fie T M3(R) matricea patratica ale carei coloane sunt coordonatelevectorilor obtinuti la punctul anterior. AtunciT1 =Tt.

Exercitiul 7. Fie curba plana de ecuatie5x2 + 8xy+ 5y2 = 9.

1. Aratati ca ecuatia poate fi scrisa sub forma (x y)A

x

y

= 9, unde

A M2(R) este o matrice simetrica.2. Aratati ca matriceaA determinata la punctul anterior se diagonalizeaza.

3. Determinati o baza ortonormata n R2 formata cu vectori proprii ai ma-triceiA; fieTmatricea ale carei coloane sunt coordonatele acestor vectori.

4. Determinati ecuatia curbei n urma schimbarii coordonatelor dupa for-

mula

x

y

=T

x

y

. Ce observati?

Exercitiul 8. Determinati descompunerea QR a matricei A =

2 21 1

2 0

si

pseudosolutia sistemului

2x + 2y = 1

x y =12x =

2

. Aceeasi cerint a pentru matricea

A=

1 3 42 2 11 1 00 1 1

, respectiv sistemul

x + 3y+ 4z = 1

2x + 2y+ z =1x y = 1y+ z = 3

.


22/23

Tema 12

Exercitiul 1. Determinati solutiile urmatoarelor ecuatii diferentiale:

1. tx = 2x+t3cost, t >0.

2. t2x 2tx+ 3 = 0, t >0.

3. x = 1 + 3x tgt, t (0, ).

4. tx + 2(1t)x= et, t >0.

Exercitiul 2. Determinati solutia ecuatiei diferentialex = 2t(1 +x2).

Exercitiul 3. Fie ecuatia diferentialax =f(t)x + g(t)x, unde R \ {0, 1}(ecuatie Bernoulli).

1. Aratati ca daca mp artim ecuatia prin x si not am y = x1, atunciecuatia data este echivalenta cu o ecuatie diferentiala liniara.

2. Utilizand acest rezultat, determinati solutia generala a ecuatiilor

(a) x = 2xt x

2

2t2, t >0.

(b) tx2

x

=x3

+ 2t, t >0.

Exercitiul 4. Aflati curbele plane y = f(x) de clasa C1 pentru care distantade la punctulO(0, 0)la dreapta normala la curba n punctul(x, f(x))este egalacu |x|. (Indicatie: normala la curba este dreapta perpendiculara pe dreaptatangenta n punctul de tangent a)

Exercitiul 5. Determinati solutia generala a urmatoarelor sisteme de ecuatiidiferentiale:

1.

x1

=7x1+x2

x2

=2x15x2

2.

x1 = 4x1x2x3

x2

=x1+ 2x2x3

x3

=x1x2+ 2x3

3.

x1 = 5x13x2+ 2e

3t

x2 =x1+x2+ 5e

t

1


23/23

CC-Matematica 2 2

Exercitiul 6. Aflati, pentru fiecare dintre sistemele de mai jos, solutia careverifica conditiile date:

1.

x1

= 3x1x2+x3

x2 =x1+x2+x3

x3

= 4x1x2+ 4x3

, x1(0) =x2(0) =x3(0) =2

2.

x1

=x1+x2

x2 =x1+x3

x3 =x1

, x1(0) = 1, x2(0) =1, x3(0) = 0

3.

x1 = 4x2+ 5e

t

x2 =x120e

t , x1(0) =5, x2(0) = 1

Exercitiul 7. Rezolvati urmatoarele sisteme de ecuatii diferentiale, cautandsolutia sub forma unor serii de puterix1(t) =

n0

antn, x2(t) =

n0

bntn:

1.

x1 = 6x14x2

x2 = 9x16x2

, x1(0) = 1, x2(0) =1

2.

x1

= 6x14x2+et

x2

= 9x16x2, x1(0) = 7, x2(0) = 9

Exercitiul 8. Fie ecuatia diferentialax 3x + 2x= 2t1.

1. Aratati ca daca notam x1 = x, x2 = x, atunci ecuatia data este echiva-

lenta cu un sistem de ecuatii diferentiale liniare n necunoscutelex1, x2.

2. Rezolvati acest sistem si determinati astfel solutia generala a ecuatieiinitiale.

Algebra Teme

Documents

Transcript of Algebra Teme