Algebra Liniara CTI

Capitolul 1

SPATII LINIARE

1.1 Structuri algebrice

(recapitulare)

1.1.1 Grupuri

Definitia 1.1 Fie X o multime nevida. O functie f definita pe XX si cu valori n X senumeste lege de compozitie interna n X.

Notam, pentru (x, y) X2, f(x, y) = x y si se citeste x compus cu y dupa legea .Legile de compozitie interne pot avea urmatoarele proprietati:

Definitia 1.1 O lege de compozitie interna n X se numeste lege asociativa daca(x, y, z) X3 avem:

(x y) z = x (y z).

Definitia 1.2 O lege de compozitie interna n X se numeste lege cu element neutrudaca e X astfel ncat x X avem: x e = e x = x. Elementul e se numeste elementneutru a legii .

Teorema 1.1 (de unicitate a elementului neutru) Fie X o multime si o lege decompozitie interna n X. Daca admite un element neutru atunci acesta este unic.

Definitia 1.3 Daca o lege de compozitie interna n X admite un element neutru eatunci spunem ca unui element x X i corespunde un element numit element simetricn raport cu legea daca exista x X astfel ncat

x x = x x = e. (1.1)

Teorema 1.2 (de unicitate a elementului simetric) Fie X o multime si o legede compozitie interna n X asociativa cu elementul neutru e. Daca un element x X areun element simetric n raport cu legea , atunci acest element simetric este unic.

1

2 CAPITOLUL 1. SPATII LINIARE

Definitia 1.4 O lege de compozitie interna n X se numeste lege comutativa daca(x, y) X2 avem x y = y x.

Definitia 1.5 Fie X o multime si o lege de compozitie interna n X. Perechea ordonata(X, ) se numeste semigrup daca legea este asociativa.

Definitia 1.6 Semigrupul (X, ) se numestemonoid daca legea are si element neutru.

Definitia 1.7 Monoidul (X, ) se numeste grup daca legea daca orice element din Xare simetric n raport cu legea . Un grup (X, ) se numeste grup comutativ (abelian)daca legea este comutativa.

Observatia 1.1 Daca (X, ) este un grup si notam legea cu simbolul + , atuncigrupul (X, +) se numeste grup aditiv, legea + se numeste adunarea elementelordin X, elementul sau neutru se numeste zero si se noteaza 0, iar simetricul unuielement x X, se numeste opusul elementului x n raport cu adunarea n X, si senoteaza (x). n grupul aditiv (X, +) notam x y n loc de x+ (y).

Observatia 1.2 Daca (X, ) este un grup si notam legea cu simbolul , atunci grupul(X, ) se numeste grup multiplicativ, legea se numeste nmultire a elementelor dinX, elementul sau neutru se numeste unitate si se noteaza 1, iar simetricul unuielement x X, se numeste inversul elementului x n raport cu nmultirea n X, si senoteaza x1.

1.1.2 Morfisme de grupuri

Definitia 1.8 Fie (X,) si (Y, B) doua grupuri. Aplicatia f : X Y se numeste morfismde grupuri daca satisface conditia:

x, y X : f(x y) = f(x) B f(y).

Daca morfismul f este injectiv (respectiv surjectiv) atunci el se numestemonomorfism(respectiv epimorfism) de grupuri. Daca morfismul f este bijectie atunci grupurile (X,)si (Y, B) se numesc izomorfe iar f : X Y este un izomorfism. Daca X Y si Batunci orice izomorfism f se numeste automorfism.

Observatia 1.3 Izomorfismul a doua grupuri identifica un grup cu altul si astfel din punctde vedere algebric este suficient sa se studieze unul din ele. Un morfism nu are aceastaproprietate.

1.1. STRUCTURI ALGEBRICE 3

1.1.3 Inele si corpuri

Definitia 1.9 Daca si sunt doua legi de compozitie interne n X, spunem calegea este distributiva la stanga (respectiv la dreapta) n raport cu lugea daca(x, y, z) X3 avem x (y z) = (x y) (x z) (respectiv (x y) z = (x z) (y z)).In cazul n care legea este distributiva la stanga si la dreapta n raport cu legea spunem ca legea este dublu distributiva n raport cu legea .

Definitia 1.10 Fie (X,+, ) o terna ordonata unde X este o multime, + este operatia deadunare n X, iar este operatia de nmultire n X. Terna ordonata (X,+, ) se numesteinel daca (X,+) este grup comutativ aditiv, iar nmultirea este asociativa ((X,)este semigrup) si dublu distributiva n raport cu adunarea.

Definitia 1.11 Un inel (X,+, ) se numeste inel cu unitate daca nmultirea are unitate.Un inel (X,+, ) se numeste inel cu comutativ daca nmultirea este comutativa.

Exemplul 1.1 Multimea Z a numerelor ntregi nzestrata cu operatiile de adunare sinmultire este un inel comutativ cu element unitate.

Intr-un inel (X,+, ) elementul neutru fata de legea + se noteaza cu 0X sau, cand nu suntposibile confuzii, se noteaza cu 0. De asemenea elementul neutru fata de legea multiplicativase noteaza cu 1X sau, cand nu sunt posibile confuzii, se noteaza cu 1.Este usor de demonstrat ca n orice inel (X,+, ),a = 0 a b = 0,b Xb = 0 a b = 0,a X,

dar nu ntotdeauna a b = 0 a = 0 sau b = 0. De exemplu n inelul (M2(Z),+, ) avem:1 00 0

0 01 2

=

0 00 0

.

Definitia 1.12 Daca ntr-un inel exista a 6= 0, b 6= 0, astfel ncat a b = 0 se spune ca asi b sunt divizori ai lui zero si ca inelul admite divizori ai lui zero. Orice inel care nuadmite divizori ai lui zero se numeste inel integru. Daca un inel integru este comutativsi cu element unitate, el se numeste domeniu de integritate.

Definitia 1.13 Un inel (X,+, ) se numeste corp daca (X,+, ) este inel cu unitate si oriceelement din X, diferit de zeroul adunarii, are invers n aport cu legea .

Definitia 1.14 Un corp (X,+, ) se numeste corp comutativ sau camp daca nmultireaeste comutativa.

Observatia 1.4 Daca (X,+, ) este un corp, notam xy1 = xy, x X, y X, y 6= 0.

Teorema 1.3 Corpurile nu au divizori ai lui zero. Orice corp comutativ este un domeniude integritate.


1.1.4 Morfisme de corpuri

Definitia 1.15 Fie (X,+, ) si (Y,,) doua corpuri. Aplicatia f : X Y se numestemorfism de corpuri daca satisface relatiile:

f(x+ y) = f(x) f(y)x, y X,f(x y) = f(x) f(y)x, y X.

Daca n plus, f este bijectie, corpurile se numesc izomorfe iar f este un izomorfism.

1.2 Spatii liniare

In acest capitol sunt studiate proprietati matematice ale unei multimi de elemente careformeaza un spatiu liniar sau vectorial. Elementele acestui spatiu pot fi entitati de naturacu totul diferita: forte, viteze, semnale electrice, vectori geometrici, solutii ale unor ecuatiidiferentiale etc. In ciuda acestei diversitati vom descrie spatiul vectorial n mod abstract,adica printr-o multime de elemente lipsita de orice atribut fizic.O componenta importanta a notiunii de spatiu liniar este notiunea de corp. Vom utiliza

corpurile numerelor reale R si numerelor complexe C. Fie K un corp comutativ (care poatefi R sau C) ale carui elemente sunt numite scalari.

Definitia 1.16 Fie (K,+, ) un corp comutativ cu elementul unitate notat 1 si elementulnul notat 0. Fie X 6= este o multime, pe care se definesc doua legi de compozitie:- o lege interna aditiva,

: XX X : x,y X, (x, y) x y X,- o lege externa multiplicativa,

: K X X : K,x X, (,x) x X.Cuaterna ordonata (X,,,K) se numeste spatiu liniar (vectorial) peste campul K (sauKspatiu liniar) daca (X,) este grup comutativ adica

G1. x,y, z X : x (y z) = (x y) z,G2. Exista n X un vector notat X (vectorul X se numeste vectorul nul al lui X), astfel

ncat oricare ar fi x X :x X = Xx = x,G3. x X exista un vector notat cu x (vectorul x se numeste opusul vectorului

x) :x (x) = (x) x = X,G4. x,y Xx y = y x,si sunt satisfacute axiomeleSL1. , K,x X : ( x) = ( ) xSL2. , K,x X : (+ ) x = ( x) ( x)SL3. K,x,y X : (x y) = ( x) ( y)SL4. x X : 1 x = x, unde 1 este elementul neutru pentru operatia din K.

1.2. SPATII LINIARE 5

Elementele multimii X se numesc vectori (vom nota vectorii cu litere mici bold).

Exemplul 1.2 X = {X} , constand dintr-un singur vector, vectorul nul, este un Kspatiuliniar, peste orice camp K, numit spatiu vectorial nul.

Exemplul 1.3 Spatiul liniar aritmetic Kn. Fie (K,+, ) un corp comutativ si n N, n 1. Consideram produsul cartezianKn = K K, Kn = {x|x = (x1, . . . , xn), xi K, i = 1, n}.Pe Kn definim operatiile(x,y) KnKn,x y = (x1, . . . , xn)+(y1, . . . , yn) = (x1+y1, . . . , xn+yn) (adunarea

pe componente)si

(,x) K Kn, x = ( x1, . . . , xn) (nmultirea cu un scalar a fiecareicomponente).Folosind cele doua operatii si proprietatile campului K se verifica axiomele spatiului

liniar. (Kn,,,K) se numeste spatiu liniar aritmetic.In particular, daca consideram K = R atunci (Rn,+, ,R) se numeste spatiu liniar

aritmetic real, iar daca consideram K = C atunci (Cn,+, ,C) se numeste spatiu liniararitmetic complex.Pentru n = 1 obtinem (K,+, K) spatiu liniar. Putem vorbi deci despre spatiul liniar

real al numerelor reale si de spatiu liniar complex al numerelor complexe.

Exemplul 1.4 Analog definim spatiul Kn = {x|x =

x1...xn

, xi K, i = 1, n}.

Teorema 1.4 (Consecinte ale definitiei spatiului liniar) Daca (X,+, ,K) este unspatiu liniar, atuncia) x X : 0x = X;b) K : X = X;c) x X : (1)x = x;d) K,x X : x = X = 0 sau x = X;e) , K,x (X \ {X}) : x = x = f) (K \ {0}),x,y X : x = y x = yDemonstratie.

a) x X : 0x = (0 + 0)x = 0x 0x 0x = X.b) K, X = (X X) = X X X = X.c) x X : x (1)x = 1x (1)x = ((1 + (1))x = 0x = X (1)x = xd) daca 6= 0 1 K x = X 1(x) = 1X (1 )x =X 1x = X x = Xe) , K,x (X \ {X}) : x = x (+ ())x = X, x 6= X = f) (K\{0}),x,y X : x = y x()y = X x(y) = X (x ( y)) = X, 6= 0 x = y.


Consecinta 1.1 a) K,x X : x = ()x = (x),()x x = (+ )x = 0x = X ()x = x;b), K,x X : ( )x = x ()x = x x;c) K,x,y X : (x y) = (x (y)) = x (y) = x y.

Observatia 1.5 In cele ce urmeaza nu vom mai face n scriere distinctie ntre + si , lafel ntre si , dar vom tine seama de semnificatia lor pe multimile K si X.

1.3 Subspatii liniare

Definitia 1.17 Fie (X,+, ,K) un spatiu liniar. O submultime V,V 6= , a multimii X senumeste subspatiu liniar al spatiului X daca (V,+, ,K) este un spatiu liniar.Teorema 1.5 (Teorema de caracterizare a subspatiilor liniare) Fie (X,+, ,K) unspatiu liniar. Conditia necesara si suficienta ca o submultime V a multimii X sa fie unsubspatiu liniar a spatiului X este:

x,y V : x+ y V, (1.2)

K,x V : x V. (1.3)Demonstratie. Necesitatea. Presupunem ca V este un spatiu liniar. Rezulta ca este

nchis n raport cu operatia aditiva definita pe X, deci are loc relatia (1.2); nmultirea cuscalari este o operatie externa n raport cu K, peste tot definita pe X, deci are loc relatia(1.3).Suficienta. Presupunem (1.2) si (1.3) ndeplinite, ceea ce nseamna ca V este nchis n

raport cu operatiile de adunare a elementelor lui si de multiplicare la stanga cu elemente dincorpul de scalari. Proprietatile de asociativitate si axiomele SL1, SL2, SL3, SL4 sunt satis-facute pe X, deci cu atat mai mult sunt satisfacute pe V X. Demonstram ca x Vx V si X V. Pentru x V, considerand n (1.3) = 1 rezulta (1) x = x V;utilizand (1.2) cu y = x obtinem x+ (x) = X V.Observatia 1.6 Relatiile (1.2) si (1.3) pot fi nlocuite printr-o singura relatie de forma

(,x,y) KV2 : x+ y V. (1.4)Exemplul 1.5 Fie (X,+, ,K) este un spatiu liniar. Multimile V = {X} si X suntsubspatii liniare ale lui X. Ele se numesc subspatii improprii. Orice alt subspatiu alui X se numeste subspatiu propriu.Exemplul 1.6 Consideram spatiul liniar aritmetic Kn si fie multimeaV = {(0, x2, . . . , xn), xi K, i = 2, n} Kn.

Observam ca (, (0, x2, . . . , xn), (0, y2, . . . , yn)) KV2 : (0, x2, . . . , xn)+(0, y2, . . . , yn) =(0, x2+y2, . . . , xn+yn) V. Rezulta ca V este un subspatiu liniar coform relatiei (1.4).Exemplul 1.7 Consideram submultimea W = {(1, x2, . . . , xn), xi K, i = 2, n} Kn.Observam ca ((1, x2, . . . , xn), (1, y2, . . . , yn)) W2 : (1, x2, . . . , xn) + (1, y2, . . . , yn) =(2, x2 + y2, . . . , xn + yn) /W, deci W nu este subspatiu liniar al spatiului Kn.

1.4. SUBSPATIU GENERAT DE UN SISTEM DE VECTORI 7

1.3.1 Operatii cu subspatii liniare

Definitia 1.18 Fie V1,V2 doua subspatii ale spatiului liniar (X,+, ,K). Definim

V1\V2 = {v | v V1 si v V2}

V1[V2 = {v | i {1, 2} : v Vi}

Teorema 1.6 Fie Fie V1,V2 doua subspatii ale spatiului liniar (X,+, ,K). IntersectiaV1TV2 este un subspatiu liniar al spatiului liniar X.

Demonstratie.Observam ca V1

TV2 6= deoarece X Vi,i {1, 2} X V1

TV2. Pentru

K si x,y V1TV2, rezulta x + y Vi,i {1, 2} si deci x + y V1

TV2. De

asemenea x Vi,i {1, 2} si deci x V1TV2.Rezulta, conform Teoremei 1.5 de

caracterizare a subspatiilor liniare, ca V1TV2 este un subspatiu liniar.

Observatia 1.7 Reuniunea unui sistem de subspatii liniare nu este, n general, un subspatiuliniar. Ca exemplu consideram V1 = {(x1, 0) | (x1, 0) R2} , V2 = {(0, x2) | (0, x2) R2} .Daca consideram u = (1, 0) V1 si v = (0, 1) V2, u,v V1 V2, dar u+ v / V1 V2.

Definitia 1.19 Fie V1 si V2 doua subspatii ale spatiului liniar (X,+, ,K). Se numestesuma subspatiilor V1 si V2 multimea V definita prin

V = V1 +V2 = {v X | v1 V1,v2 V2 : v = v1 + v2} .

Teorema 1.7 Suma subspatiilor V1 si V2 ale spatiului liniar (X,+, ,K), notata V, este unsubspatiu liniar al lui X.

Demonstratie. Observam ca V 6= deoarece X + X V.Fie K si (u,v) V2 astfel ncat u = u1+u2,v = v1+ v2,u1,v1 V1, u2,v2 V2,

u+ v = (u1 + u2) + (v1 + v2) = ( u1 + v1) + ( u2 + v2).Dar V1, V2 sunt subspatii liniare rezulta u1+v1 V1, u2+v2 V2 u+v V

si deci, conform relatiei (1.4),V este subspatiu liniar.

Definitia 1.2 Fie V1,V2 doua subspatii ale spatiului liniar (X,+, ,K). Daca V = V1+V2si V1 V2 = {X} atunci V se numeste suma directa a subspatiilor V1,V2 si se noteazaV = V1

LV2.

1.4 Subspatiu generat de un sistem de vectori

Definitia 1.3 Daca f : I X este o functie definita pe o multime de indici I si cu valorintr-o multime X si daca f(i) = xi, i I, atunci notam f prin (xi)iI pe care-l numimsistem de elemente din X.


Fie (X,+, ,K) este un spatiu liniar S = (vi)i=1,n un sistem de vectori din X.

Definitia 1.20 Spunem ca un vector v X este o combinatie liniara a sistemului devectori S daca exista (1, . . . , n) Kn astfel ncat

v = 1 v1 + . . .+ n vn =nXi=1

i vi.

Exemplul 1.8 In spatiul liniar F(R,R) al functiilor definite pe R cu valori n R consideramsistemul de functii (f0(x) = 1, f1(x) = x, . . . , fn(x) = xn). Orice functie polinomialade grad mai mic sau egal cu n poate fi scrisa ca o combinatie liniara de aceste functii,

p(x) =nXi=0

ifi(x) =nXi=0

ixi n care unii din coeficienti i, i = 0, n pot fi nuli. In schimb

functia f(x) = ex nu poate fi scrisa ca o combinatie liniara de aceleasi functii.

Fie S = (vi)i=1,n un sistem de vectori din X. Notam cu [S] multimea tuturor combinati-ilor liniare de vectori ai sistemului S,

[S] =

(v X ; (1, . . . , n) Kn : v =

nXi=1

i vi).

Teorema 1.8 Multimea [S] X este un subspatiu liniar al lui X.

Demonstratie. Daca K, u, v [S] , (1, . . . , n) Kn : u =nXi=1

ivi si (1, . . . , n) Kn :

v =nXi=1

i vi u+ v = nXi=1

i vi +nXi=1

i vi =nXi=1

[( i) vi + i vi] =

=nXi=1

( i + i) vi [S] .

Definitia 1.21 Subspatiul [S] , multimea tuturor combinatiilor liniare de vectori ai sistemu-lui S, se numeste subspatiul generat de vectorii sistemului S.

Definitia 1.22 Un sistem de vectori din X, S = (vi)i=1,n se numeste sistem de gener-atori pentru X daca subspatiul generat de S coincide cu X, adica [S] = X. In acest cazspunem ca S genereaza pe X.

Definitia 1.23 Un K-spatiu liniar X se numeste finit generat daca pentru X exista unsistem finit de generatori.

In cadrul acestui curs ne vom ocupa numai de spatii finit generate.

1.5. DEPENDENTA SI INDEPENDENTA LINIARA 9

1.5 Dependenta si independenta liniara

Definitia 1.24 Un sistem de vectori din X, S = (vi)i=1,n se numeste sistem liniar de-pendent (vectorii v1, . . . ,vn se numesc liniar dependenti) daca exista (1, 2, . . . , n) Kn, (1, . . . , n) 6= Kn astfel ncat

1 v1 + 2 v2 + . . .+ n vn = X.

In caz contrar sistemul de vectori S se numeste sistem liniar independent (vectoriiv1, . . . ,vn se numesc liniar independenti).

Observatia 1.8 Din definitie rezulta ca sistemul de vectori S este liniar independent dacasi numai daca (1, . . . , n) Kn : 1 v1+2 v2+. . .+n vn = X (1, . . . , n) = Kn.

Observatia 1.8 este utilizata n practica pentru a verifica daca un sistem de vectori esteliniar independent.

Exercitiul 1.1 Vectorii v1 = (1, 0, 0),v2 = (0, 1, 0),v3 = (0, 0, 1) din R3 sunt liniar inde-pendenti deoarece

1v1+2v2+3v3 = R3 1(1, 0, 0)+2(0, 1, 0)+3(0, 0, 1) = R3 (1, 2, 3) =(0, 0, 0) 1 = 2 = 3 = 0.

Exercitiul 1.2 Vectorii v1 = (1, 2,1),v2 = (2,1, 0),v3 = (4, 3,2) din R3 sunt liniardependenti deoarece

1v1 + 2v2 + 3v3 = R3 1(1, 2,1) + 2(2,1, 0) + 3(4, 3,2) = R3 ( 1 + 22 + 43, 2 1 2 + 33, 1 23) = (0, 0, 0)

1 + 22 + 43 = 021 2 + 33 = 01 23 = 0

. (1.5)

Sistemul (1.5), care este un sistem liniar omogen, are solutii diferite de solutiabanala daca si numai daca determinantul sistemului este zero. Se verifica prin

calcul ca

1 2 42 1 31 0 2

= 0, deci vectorii sunt liniar dependenti.

Exemplul 1.9 Sistemul format numai din vectorul nul, (X) este liniar dependent deoare-ce avem 1 X = X, iar sistemul format dintr-un singur vector nenul, v 6= X esteliniar independent deoarece v = X, 6= 0 v = X.

Teorema 1.9 (Teorema de caracterizare a dependentei liniare) Conditia nece-sara si suficienta ca un sistem de vectori din X, S = (vi)i=1,n sa fie liniar dependent esteca cel putin unul din vectori sa se poata exprima ca o combinatie liniara de ceilalti vectori.


Demonstratie. Necesitatea. Presupunem ca sistemul de vectori S = (vi)i=1,n este liniardependent. Rezulta ca exista (1, 2, . . . , n) Kn, (1, 2, . . . , n) 6= Kn, astfel ncat1 v1 + 2 v2 + . . .+ n vn = X .Presupunem, de exemplu, j 6= 0, j {1, 2, . . . , n} . Atuncij vj = 1 v1 . . . j1 vj1 j+1 vj+1 . . . n vn, j 6= 0 1j vj = 1j 1 v1 . . . 1j j1 vj1 1j j+1 vj+1 . . . 1j n vn

adica vj este o combinatie liniara de ceilalti vectori ai sistemului.

Suficienta. Daca vj este o combinatie liniara de ceilalti vectori ai sistemului S atunciexista (1, . . . j1, j+1, . . . , n) Kn1vj = 1 v1 + . . .+ j1 vj1 + j+1 vj+1 + . . .+ n vn 1 v1 + . . .+ j1 vj1 vj + j+1 vj+1 + . . .+ n vn = X.Notam k = k, k = 1, n, k 6= j, j = 1 6= 0, (1, 2, . . . , n) 6= Kn, rezulta ca vectorii

sistemului S sunt liniar dependenti.

Consecinta 1.2 Orice sistem de vectori care contine vectorul nul este liniar dependent.

1.6 Baza si dimensiune

Definitia 1.25 Un sistem de vectori S = (ei)i=1,n din X se numeste baza n K-spatiulliniar X daca satisface conditiile:a) S este un sistem de vectori liniari independenti;b) S este un sistem de generatori pentru K-spatiul liniar X.

Exemplul 1.10 In spatiul liniar Kn consideram sistemul de vectori S = (ei)i=1,n unde

e1 = (1, 0, . . . , 0) , e2 = (0, 1, 0, . . . , 0) , . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1) . (1.6)

Din orice relatie de forma 1e1 + 2e2 + . . . + nen = X rezulta i = 0,i = 1, n decisistemul de vectori S = (ei)i=1,n este liniar independent.Pe de alta parte, pentru orice x = (x1, x2, . . . , xn) Kn avem x = x1 (1, 0, . . . , 0) +

x2 (0, 1, 0, . . . , 0) + . . . + xn (0, 0, . . . , 0, 1) = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen, adica sistemul devectori S = (ei)i=1,n este un sistem de generatori pentru Kn.Sistemul de vectori S = (ei)i=1,n definit de (1.6) se numeste baza canonica (baza nat-

urala) din Kn.

Teorema 1.10 (Teorema de caracterizare a bazelor) Conditia necesara si suficientaca un sistem de vectori S = (ei)i=1,n din X sa fie o baza n K-spatiul liniar X este ca oricevector din X sa se exprime n mod unic ca o combinatie liniara de vectori din S, adica

x X,(1, 2, . . . , n) Kn : x = 1e1 + 2e2 + . . .+ nen. (1.7)

1.6. BAZA SI DIMENSIUNE 11

Demonstratie. Necesitatea. Presupunem ca sistemul de vectori S = (ei)i=1,n este o bazan K-spatiul liniar X. Deoarece [S] = X rezulta ca

x X,(1, 2, . . . , n) Kn : x = 1 e1 + 2 e2 + . . .+ n en.Demonstram ca descompunerea este unica prin reducere la absurd. Presupunem ca mai

exista o descompunere a lui x.(1, . . . , n) Kn, (1, . . . , n) 6= (1, . . . , n):x = 1 e1+ 2 e2+ . . .+ n en. Prin

scadere obtinem

(1 1) e1 + (2 2) e2 + . . .+ (n n) en = X.Dar sistemul de vectori (ei)i=1,n este liniar independent rezulta k = k, k = 1, n, deci

unicitatea scrierii.

Suficienta. Presupunem cax X,(1, 2, . . . , n) Kn : x = 1e1 + 2e2 + . . .+ nen.De aici rezulta ca S este un sistem de generatori pentru X. Demonstram ca vectorii

sistemului S sunt liniar independenti. Pentru aceasta consideram o relatie de forma1 e1 + 2 e2 + . . .+ n en = X

care constituie o descompunere a vectorului X dupa vectorii sistemului S. Pe de alta parteavem si urmatoarea descompunere a vectorului X dupa vectorii sistemului S de forma:

X = 0 e1 + 0 e2 + . . .+ 0 en.Cum descompunerea dupa vectorii din S este unica, rezulta k = 0, k = 1, n, adica

sistemul de vectori S este liniar independent. Deci S este o baza.

Definitia 1.4 Scalarii care formeaza n-upla ordonata (1, 2, . . . , n) Kn din descom-punerea unica (1.7) a lui x X se numesc coordonatele vectorului x n baza S.

Daca se alege o alta baza, coordonatele unui vector se vor schimba (vor fi diferite decele din prima baza).Teorema urmatoare demonstreaza ca ntr-un spatiu finit dimensional toate bazele au

acelasi numar de vectori.

Teorema 1.11 Fie X un K-spatiul liniar si fie sistemul de vectori S = (ei)i=1,n o baza nX. Au loc afirmatiile:a) Orice alta baza din X este formata din n elemente.b) Orice sistem de vectori liniar independent format din n elemente este o baza n X.

Definitia 1.5 Fie X 6= {X} un K-spatiu liniar finit generat. Numarul de vectori ai uneibaze a lui X se numeste dimensiunea spatiului X si se noteaza dimK X.

Teorema 1.12 (Teorema de completare a unui sistem de vectori liniar indepen-dent pana la o baza) Daca (ei)i=1,n este o baza n Xn, sistemul liniar independent (wi)i=1,pse poate completa pana la o baza Xn adaugand n p vectori din baza (ei)i=1,n astfel ncatnoul sistem obtinut sa fie liniar independent. Completarea nu este unica.


1.7 Schimbarea coordonatelor unui vector la schimba-

rea bazei

Consideram X un K-spatiu liniar de dimensiune n si doua baze apartinand acestui spatiu,B = (ei)i=1,n si B0 = (e0i)i=1,n. Un vector oarecare u X se poate descompune n raport cucele doua baze sub forma: (1, 2, . . . , n) Kn astfel ncat n baza B vectorul u se poatescrie sub forma

u =nXi=1

iei = (1 2 . . . n)

e1e2...en

, (1.8)

Fie (1, 2, . . . , n) Kn astfel ncat n baza B0 vectorul u se poate scrie sub forma

u =nX

j=1

je0j = (1 2 . . . n)

e01e02...e0n

. (1.9)

Vectorii bazei B0 = (e0i)i=1,n se pot descompune n raport cu vectorii bazei B dupa relatiile:

e0j = (a1j a2j . . . anj)

e1e2...en

, j = 1, n. (1.10)

Inlocuind relatia (1.10) n (1.9) rezulta

u = (1 2 . . . n)

a11 a21 an1a12 a22 an2...

......

...a1n a2n ann

e1e2...en

.

Din unicitatea descompunerii unui vector dupa vectorii bazei (Teorema 1.10) rezulta

(1 2 . . . n) = (1 2 . . . n)

a11 a21 an1a12 a22 an2...

......

...a1n a2n ann

sau, transpus,

12...n

=

a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann

12...n

.

1.7. SCHIMBAREA COORDONATELOR UNUI VECTOR LA SCHIMBAREA BAZEI13

Daca notam matricea de trecere de la baza B la baza B0

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann

,

obtinem scrierea matriceala

12...n

= A

12...n

(1.11)

Relatia (1.11) se numeste formula matriceala de schimbare a coordonatelor unuivector la o schimbare de baze.

Exercitiul 1.3 In R3 consideram baza canonica e1 =

100

, e2 =

010

, e3 =

001

si alta baza u1 =

100

,u2 =

110

,u3 =

111

. Un vector oarecare x, dat prin x =

123

se scrie n prima baza x = 1e1+2e2+3e3, iar n a doua x = 1u1+2u2+3u3.

Deoarece u1 = e1, u2 = e1+ e2 si u3 = e1+ e2+ e3, matricea de trecere de baza de la baza

(e1, e2, e3) la baza (u1,u2,u3) este

1 1 10 1 10 0 1

iar coordonatele vectorului x n raport cu

baza (e1, e2, e3) n functie de coordonatele vectorului n raport cu baza (u1,u2,u3) suntdate de relatia

123

=

1 1 10 1 10 0 1

123

Definitia 1.26 Se numeste matricea schimbarii de baza sau matricea de trecerede la baza B la baza B0 matricea A a carei coloana j este formata din coordonatelevectorului e0j al bazei B0 n raport cu vectorii bazei B, j = 1, n.

Teorema 1.13 Matricea A de trecere de la baza B la baza B0 este inversabila.


Demonstratie. Fie X un K-spatiu liniar de dimensiune n si doua baze B = (ei)i=1,n siB0 = (e0i)i=1,n. Exprimam vectorii bazei B cu ajutorul vectorilor bazei B0 :

ei = (b1i b2i . . . bni)

e01e02...e0n

, i = 1, n. (1.12)

Tinand seama de relatiile (1.8), (1.12) si (1.9) obtinem

u = (1 2 . . . n)

b11 b21 bn1b12 b22 bn2...

......

...b1n b2n bnn

e01e02...e0n

= (12 . . . n)

e01e02...e0n

de unde rezulta, daca notam cu B = (bij)i,j=1,n ,

(12 . . . n) = (1 2 . . . n)BT B

12...n

=

12...n

Inlocuind n relatia (1.11)

12...n

= A

12...n

= A B

12...n

B A = In

unde In = (ij)i,j=1,n , reprezenta matricea unitate de ordin n.Printr-un rationament analog, folosind relatiile (1.9),(1.10) si (1.8), obtinemA B = In,

deci matricea A este inversabila.O justificare mai simpla este urmatoarea: deoarece descompunerea dupa vectorii bazei

este unica, rezulta ca sistemul (1.11) are solutie unica pentru

12...n

dati, deci det(A) 6= 0,

adica matricea A este inversabila.

Definitia 1.27 Doua baze B = {e1, e2, ..., en} si B0 = {e01, e02, ..., e0n} din spatiul vectorialXn, se numesc baze la fel orientate daca determinantul matricei schimbarii de baza de labaza B la B0 este pozitiv. Daca acest determinant este negativ, cele doua baze se numesccontrar orientate.

Capitolul 2

SPATII LINIARE EUCLIDIENE

Definitia 2.1 Fie (X,+, ,R) un spatiu liniar. O functie:h, i : X X R se numeste produs scalar real n X daca satisface conditiile:SP1) (u,v,w) X3 : hu+ v,wi = hu,wi+ hv,wi,SP2) (,u,v) R X2 : h u,vi = hu,vi,SP3) u,v X : hu,vi = hv,ui ,SP4) u X : hu,ui 0 si hu,ui = 0 u = X.

Definitia 2.2 Fie (X,+, ,R) un spatiu liniar. Perechea ordonata (X, h, i) se numestespatiu liniar cu produs scalar real sau spatiu liniar euclidian.

Teorema 2.1 (Consecinte ale definitiei spatiului liniar euclidian)Daca (X, h, i) este un spatiu liniar euclidian atunci au loc relatiile:SP5) (u,v,w) X3 : hu,v +wi = hu,vi+ hu,wi,SP6) (,u,v) R X2 : hu, vi = hu, vi,SP7) u X : hu,Xi = hX,ui = 0,

Demonstratie.

S6) (u,v,w) X3 : hu,v +wi SP3= hv +w,ui SP1= hv,ui+ hw,ui SP3= hu,vi+ hu,wi,S7) (,u,v) RX2 : hu, vi SP3= h v,ui SP2= hv,ui,S8) n relatia SP2 consideram = 0 si obtinem: (u,v) X2, h0 v,ui = 0 hv,ui = 0

dar h0 v,ui = hX,ui de unde rezulta h0 v,ui = hX,ui. Analog se obtine cealaltarelatie.

Exemplul 2.1 Fie (Rn,+, ,R), n 1 spatiul liniar aritmetic ndimensional si aplicatiah, i : Rn Rn R definita prin

(x,y) Rn Rn,x = (x1, . . . , xn) ,y = (y1, . . . , yn) : hx,yi =nXi=1

xiyi.(2.1)

Demonstram ca aplicatia astfel definita satisface axiomele produsului scalar real.

15

16 CAPITOLUL 2. SPATII LINIARE EUCLIDIENE

SP1) (x,y, z) (Rn)3 , x = (x1, . . . , xn) ,y = (y1, . . . , yn), z = (z1, . . . , zn) : hx+ y, zi =nPi=1(xi + yi)zi =

nPi=1

xiyi +nPi=1

xizi = hx, zi+ hy, zi.

SP2)(,x,y) R (Rn)2, x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) : hx,yi =nPi=1(xi)yi =

nPi=1

xiyi = hx,yi.

SP3) (x,y) (Rn)2, x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) : hx,yi =nPi=1

xiyi =nPi=1

yixi =

hy,xi.SP4) x Rn, x = (x1, . . . , xn) , hx,xi =

nPi=1

x2i 0.

x Rn, x = (x1, . . . , xn) , hx,xi = 0nPi=1

x2i = 0 xi = 0, i = 1, n x = Rn .Produsul scalar definit prin (2.1) se numeste produs scalar standard (sau canonic)

iar (Rn, h, i) este numit spatiul euclidian aritmetic canonic ndimensional. Analogse defineste produsul scalar standard n (Rn,+, ,R).Exemplul 2.2 Fie (C ([a, b] ,R) ,+, ,R) spatiul liniar al functiilor reale continue pe inter-valul nchis [a, b] R, unde a < b. Aplicatia h, i : C ([a, b] ,R)C ([a, b] ,R) R definitaprin

(f, g) (C ([a, b] ,R))2 : hf, gi =bZ

a

f(x)g(x)dx (2.2)

este un produs scalar real, numit produs scalar canonic (standard) definit pe C ([a, b] ,R) ,iar (C ([a, b] ,R) , h, i) are structura de spatiu liniar euclidian.Definitia 2.3 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Pentru orice vector v X definimlungimea (norma euclidiana) vectorului v, numarul real nenegativ:

kvk =phv,vi. (2.3)

Vectorul v cu proprietatea ca kvk = 1 se numeste versor sau vector unitar.

Observatia 2.1 Daca v 6= X atunci vectorul v = 1kvkv este versor si se numeste versorulvectorului nenul v. Remarcam ca pentru orice v X,v 6= X are loc relatia v = kvk v.Exemplul 2.3 (Particularizari ale lungimii (normei) unui vector)In cazul spatiului euclidian aritmetic canonic ndimensional (Rn, h, i), cu produsul

scalar definit prin relatia (2.1), lungimea unui vector x este:

kxk =vuut nX

i=1

x2i .

17

In cazul spatiului liniar euclidian (C ([a, b] ,R) , h, i) cu produsul scalar definit prinrelatia (2.2), lungimea unui vector f este:

kfk =

vuuut bZa

f2(x)dx.

Teorema 2.2 (Proprietati ale lungimii (normei) unui vector)Daca (X, h, i) un spatiu liniar euclidian, atunci au loc relatiile:i)

u X : kuk = 0 u = X,ii)

(,u) RX : k uk =| | kuk ,iii)

(u,v) X2 :| hu,vi | kuk kvk , (2.4)numita inegalitatea Cauchy-Schwarz-Buniakowski. Egalitatea are loc daca si numaidaca vectorii (u,v) X2 sunt liniar dependenti.

iv)

(u,v) X2 :k u+ v kk u k + k v k, (2.5)numita inegalitatea triunghiulara sau inegalitatea lui Minkowski.

Demonstratie. i) u X, k u k= 0 hu,ui = 0 SP4 u = X.ii) (,u) KX : k u k= ph u, ui = phu,ui = p2hu,ui =

= | |k u k .iii) Inegalitatea este evident adevarata pentru u = X sau v = X. Presupunem u 6= X

si v 6= X. Atunci k u+ v k2= hu+ v,u+ vi = hu,ui+hu,vi+hv,ui+2hv,vi,utilizand definitia si proprietatile produsului scalar. Deoarece k u + v k2 0, R,rezulta 2hv,vi+2hu,vi+ hu,ui 0, R, care poate fi privita ca o ecuatie de graduldoi care pastreaza semn constant oricare ar fi real. Deci = 4 (hu,vi2 hv,vihu,ui) 0si obtinem |hu,vi| phu,uiphv,vi, adica inegalitatea Cauchy-Schwarz-Buniakowski.Egaliatea are loc n cazurile:a) cel putin unul din vectori este X, deci sistemul de vectori (u,v) este liniar dependent,b) u + v = X, relatie care nseamna dependenta liniara. Reciproc, daca sistemul de

vectori (u,v) este liniar dependent, atunci exista R : v = u si obtinem | hu,vi |=| |k u k2=k u kk v k .

iv) (u,v) X2 : k u+ v k2= hu+ v,u+ vi = hu,ui + hu,vi + hv,ui + hv,vi =k u k2 +2hu,vi+ k v k2 k u k2 +2 | hu,vi | + k v k2 k u k2 +2 k u kk v k ++ k v k2 (k u k + k v k)2 , adica inegalitatea triunghiulara. Am avut n vedere inegalita-tea hu,vi | hu,vi |.


Exemplul 2.4 Particularizari ale inegalitatii Cauchy-Schwarz-Buniakowski.In cazul spatiului euclidian aritmetic canonic ndimensional (Rn, h, i) cu produsul

scalar definit prin relatia (2.1), inegalitatea (2.4) este de forma:

|nXi=1

xiyi |vuut nX

i=1

x2i

vuut nXi=1

y2i .

In cazul spatiului liniar euclidian (C ([a, b] ,R) , h, i) cu produsul scalar definit prinrelatia (2.2), inegalitatea (2.4) este de forma:

|bZ

a

f(x)g(x)dx |

vuuut bZa

f2(x)dx

vuuut bZa

g2(x)dx.

Observatia 2.2 Daca (X, h, i) un spatiu liniar euclidian, atunci functia k k: X Rdefinta de u X, k u k= phu,ui, care reprezinta lungimea vectorului u, relatia (2.3),este o norma pe X (satisface axiomele normei ( i, ii, iv ). Aceasta norma se numeste normaindusa n X de produsul scalar definit n spatiul liniar X.

Definitia 2.4 Fie (X,+, ,R) un spatiu liniar n care este definita o norma. Perecheaordonata (X, k k) se numeste spatiu liniar normat.Definitia 2.5 Fie (X,+, ,R) un spatiu liniar euclidian. Daca (X, k k) este un spatiuliniar normat cu norma k k indusa de produsul scalar h, i, atunci perechea ordonata(X, k k) se numeste spatiu prehilbertian.Definitia 2.6 Daca (X, k k) este un spatiu prehilbertian complet (n sensul ca orice sirCauchy de elemente din X este un sir convergent) atunci (X, k k) se numeste spatiuHilbert.

Exemplul 2.5 Spatiul (Rn,+, ,R), n 1 este evident un spatiu Hilbert relativ la produsulscalar canonic definit n Exemplul 2.1.

Observatia 2.3 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Pentru orice pereche ordonata devectori (u,v) (X \ {X})2 inegalitatea Cauchy - Schwarz - Buniakowski poate fi scrisa deforma:| hu,vi |

k u kk v k 1 1 hu,vi

k u kk v k 1.

Definitia 2.7 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Solutia unica n intervalul [0, ],notata \(u,v), a ecuatiei

cos\(u,v) =hu,vi

k u kk v kse numeste unghiul neorientat al perechii ordonate (u,v) (X \ {X})2.

2.1. BAZE ORTONORMATE 19

Definitia 2.8 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Daca (u,v) X2 si hu,vi = 0atunci u se numeste vector ortogonal cu vectorul v. Folosim notatia u v.

In plan sau n spatiu aceasta notiune coincide cu cea de perpendicularitate.

Definitia 2.9 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Aplicatiad : XX R

definita prinu,v X : d(u,v) = ku vk

se numestemetrica sau distanta pe X. Numarul real d(u,v) se numeste distanta dintrevectorii u si v, iar perechea ordonata (X, d) se numeste spatiu metric.

Exemplul 2.6 In cazul spatiului euclidian aritmetic canonic ndimensional (Rn, h, i)cu produsul scalar definit prin relatia (2.1), distanta dintre vectorii x,y Rn, x =(x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) este data de

d(x,y) =

vuut nXi=1

(xi yi)2.

2.1 Baze ortonormate

Definitia 2.10 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Un sistem de vectori S = (vi)i=1,mse numeste ortogonal daca vectorii sai sunt ortogonali doi cate doi, adica

i, j = 1,m, i 6= j : vi vj.

Definitia 2.11 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Un sistem de vectori S = (vi)i=1,mse numeste ortonormat daca este ortogonal si format numai din vectori unitari (versori).

Observatia 2.4 Din orice sistem de vectori ortogonal, format din vectori nenuli, se poateobtine un sistem ortonormat nmultind fiecare vector vi,vi 6= X, i = 1,m, al sistemului cuk vi k1, obtinandu-se astfel vectori unitari.

Exemplul 2.7 Sistemul de functii S = (f0(x) = 1, f1(x) = x, f2(x) = 12(3x2 1)) este

un sistem ortogonal n (C ([1, 1] ,R) , h, i) cu produsul scalar definit n Exemplul 2.2.Intr-adevar,

hf0, f1i =1R1

xdx = 0, hf1, f2i =1R1

x12(3x2 1)dx = 0, hf0, f2i =

1R1

12(3x2 1)dx = 0.

Teorema 2.3 Orice sistem de vectori ortogonal, format din vectori nenuli, este liniar in-dependent.


Demonstratie. Fie un sistem de vectori S = (vi)i=1,m ortogonal, format din vectorinenuli. Sa presupunem ca avem: 1v1 + . . .+ nvn = X. Obtinem:

k = 1, n : h1v1 + . . .+ nvn,vki = ik k vik k2= 0, k vik k6= 0 ik = 0, k = 1, p,deci sistemul S este liniar independent.

Consecinta 2.1 Daca dimK X =n, utilizand Teorema 2.3 rezulta ca orice sistem de n vec-tori ortogonal (sau ortonormat), format din vectori nenuli, formeaza o baza n X.

Definitia 2.12 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian, dimK X =n. O baza S = (ei)i=1,nse numeste baza ortonormata daca S = (ei)i=1,n este un sistem ortonormat de vectori.

Observatia 2.5 Un sistem de vectori S = (ei)i=1,n este o baza ortonormata daca

i, j = 1, n : hei, eji = ij, unde ij =1, daca i = j0, daca i 6= j este simbolul lui Kronecker.

Exemplul 2.8 Sistemul de functii S = (f0(x) = 1, f1(x) = sinx, f2(x) = cosx, . . . ,f2n1(x) = sinnx, f2n(x) = cosnx) este un sistem ortogonal n (C ([, ] ,R) , h, i) cu pro-

dusul scalar definit n Exemplul 2.2 deoarece

Z

f2i1(x) f2j1(x)dx =

Z

sin(ix) sin(jx)dx =

0,

Z

f2i(x)f2j(x)dx =

Z

cos(ix) cos(jx)dx = 0 pentru i 6= j.

Ortonormam sistemul. Pentru aceasta calculam norma fiecarui vector din sistem.

k f0 k2=R

dx = 2,

k f2k1 k2=Rsin2 kxdx = ,

k f2k k2=Rcos2 kxdx = .

Sistemul S0 = (g0(x) =12

, g1(x) =1sinx, f2(x) =

1cosx, . . . , f2n1(x) =

1sinnx, f2n(x) =

1cosnx) este un sistem ortonormat. Acest sistem va fi utilizat la

construirea seriei Fourier atasata unei functii periodice.

2.2 Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt

Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian, dimK X =n. Evident ca acest spatiu trebuie sacontina o baza. Nu este evident ca acest spatiu contine o baza ortonormata. Urmatoareateorema asigura existenta unei asemenea baze si totodata ne da un procedeu de constructiea acesteia, pornind de la o baza oarecare.

2.2. PROCEDEUL DE ORTOGONALIZARE GRAM-SCHMIDT 21

Teorema 2.4 (Procedeul de ortonormare Gram-Schmidt) In orice spatiu liniareuclidian (X, h, i) exista cel putin o baza ortonormata.Demonstratie. Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian, dimK X =n. Pornind de la o

baza arbitrara S = (v1,v2, . . . ,vn) Construim o baza ortonormata S0 folosind procedeulGram-Schmidt. Consideram vectorii:

u1 = v1u2 = v2 + 21u1u3 = v3 + 31u1 + 32u2 un = vn + n1u1 + + n,n1un1

(2.6)

si vom determina scalarii ij care apar n (2.6) impunand conditia ca fiecare vector ui sa fieortogonal pe vectorii (u1,u2, . . . ,ui1). u1 u2 hu2,u1i = 0 si folosind a doua relatiedin (2.6) obtinem: 21 =

hv2,u1ik u1 k2 .

In general hui,uki = 0 pentru k < i, hvi + i1u1 + + i,i1ui1,uki = 0 ik =hvi,ukik uk k2 , pentru i = 2, n si k < i.Ramane de demonstrat ca vectorii din sistemului (u1,u2, . . . ,un) construiti conform

procedeului descris sunt diferiti de zero, n caz contrar mpartirea cu k uk k2 nu ar aveasens. Observam ca uj este o combinatie liniara formata din v1,v2, . . . ,vj1, deci nlocuindpe u1,u2, . . . ,uk1 prin aceste combinatii liniare n uk = vk + k1u1 + + k,k1uk1obtinem uk = vk + 1v1+ + k1vk1. Dar uk = 0 (v1,v2, . . . ,vk) liniar dependenti,ceea ce este fals deoarece ei formeaza un subsistem al unui sistem liniar independent.Astfel am construit sistemul ortogonal S = (ui)i=1,n care nu contine vectorul nul. Con-

form Teoremei 2.3 sistemul S = (ui)i=1,n este liniar independent, rezulta ca formeaza o baza.

Sistemul S0 = (e1, . . . , en), e1 =1

k u1 ku1, . . . , en =1

k un kun, este baza ortonormata .

Exercitiul 2.1 Fie spatiul liniar (R3,+, ,R) pe care este definit produsul scalar standard(vezi Exemplul 2.1). Sa se afle o baza ortonormata n R3, plecand de la baza

v1 =

122

,v2 =

135

,v3 =

402

. (2.7)

Rezolvare. Fie u1 = v1 si u2 = v2 + 21v1, hu2,u1i = 0 21 = hv2,u1i / hu1,u1i =

5/3. Va rezulta ca u2 este dat prin u2 =

8/31/35/3

. Cautam pe u3 de forma u3 =

v3+31u1+32u2 si gasim 31 = 0, 32 = 7/5. Va rezulta ca u3 =

4/157/155/15

. Calculam

lungimile vectorilor u1, u2 si u3.


ku1k =12 + 22 + 22 = 3,

ku2k =q(8/3)2 + (1/3)2 + (5/3)2 =

10,

ku3k =q(4/15)2 + (7/15)2 + (5/15)2 = 1

5

10

Impartind u1, u2 si u3 cu lungimea lor, am gasit trei vectori ortonormati si anume

132323

,

8310

1310

5310

,

4310

7310

5310

(2.8)

formand o baza ortonormata.

Exercitiul 2.2 Se considera spatiul liniar (R2 [x] ,+, ,R) al polinoamelor de grad cel mult

doi pe care se defineste produsul scalar: (p,q) (R2 [x])2 : hp,qi =1Z

1

p(x)q(x)dx.

Consideram baza B = (1, x, x2) . Aplicand procedeul Gram-Schmidt sa se obtina din bazadata o baza ortonormata.

Rezolvare. Fie r1(x) = 1,

r2(x) = x

1Z1

x1dx

1Z1

11dx

1 = x 02 1 = x,

r3(x) = x2

1Z1

x21dx

1Z1

11dx

1

1Z1

x2xdx

1Z1

xxdx

x = x2 2/32 1 0

2/3 x = x2 13 .

Sistemul de vectori1, x, x2 1

3

este ortogonal. Il ortonormam, mpartind vectorii la

lungimea lor.s1(x) = 1yxxxxxxw

1Z1

11dx

1 = 12,

s2(x) = 1yxxxxxxw

1Z1

xxdx

x =q

32 x,

2.2. PROCEDEUL DE ORTOGONALIZARE GRAM-SCHMIDT 23

s3(x) = 1yxxxxxxw

1Z1

(x2 13)(x2 13)dx

x2 13

= 1

2

q52(3x2 1) .

Sistemul de vectori12, xq

32, 12

q52(3x2 1)

este ortonormat.

2.2.1 Expresia produsului scalar ntr-o baza ortonormata

Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian, dimR X =n si S = (ei)i=1,n o baza ortonormatan X. Fie (u,v) X2, (1, . . . , n) Rn, (1, . . . , n) Rn : u =

nXi=1

iei,v =

nXj=1

jej. si S = (ei)i=1,n o baza ortonormata n X. Atunci expresia produsului scalar n

baza ortonormata data va fi:

hu,vi = (1 . . . n)

1...n

=

nXi=1

ii. (2.9)

Observam ca daca (X, h, i) este un spatiu liniar euclidian, expresia produsului scalarntr-o baza ortonormata se reduce la produsul scalar standard din Rn. In acest caz expresialungimii unui vector ntr-o baza ortonormata este:

u X,u =nXi=1

iei :k u k= (1 . . . n)

1...n

=

vuut nXi=1

2i .

Definitia 2.13 Matricea A Mn(R) se numeste ortogonala daca ATA = AAT= In.Observatia 2.6 Din definitie rezulta ca dacaA Mn(R) este o matrice ortogonala, atunciavem det(A) = 1, A este inversabila si inversa sa este A1 = AT .Teorema 2.5 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian si dimR X =n si S = (ei)i=1,n, S1 =(e0i)i=1,n doua baze ortonormate n X. Daca S

A S1, unde A = (aij)i,j=1,n, atunci matriceaA este ortogonala. Reciproc, daca baza S este ortonormata, iar matricea A este ortogonala,atunci baza S1 este ortonormata.

Demonstratie. Neesitatea. Vectorii (e0i)i=1,n se pot descompune n raport cu vectoriibazei S dupa relatiile:

e0j = (a1j, a2j, . . . , anj)

e1e2...en

=

nXi=1

aijei, j = 1, n.


Atunci he0i, e0ji = hnX

k=1

akiek,nX

h=1

ahjehi =nX

k=1

nXh=1

akiahjhek, ehi =nX

k=1

nXh=1

akiahjkh =

nXk=1

akiakj ij =nX

k=1

akiakj In = AtA, adica A este o matrice ortogonala.

Suficienta. Daca A este o matrice ortogonala, atunci din he0i, e0ji =nX

k=1

nXh=1

akiahjkh =

nXk=1

akiakj = ij rezulta ca S1 este o baza ortonormata.

Capitolul 3

Transformari liniare

In acest capitol definim aplicatii pe spatii liniare de dimensiune finita.Fie (X,+, ,K) si (Y,+, ,K) spatii liniare(vectoriale).

Definitia 3.1 O aplicatie T : X Y se numeste transformare liniara (aplicatie liniarasau functie liniara sau operator liniar sau morfism de spatii liniare) daca satisfaceconditiile:a)

u,v X : T (u+ v) = T (u) + T (v) (3.1)

(numita proprietatea de aditivitate a aplicatiei T ),b)

K, u X : T (u) = T (u) (3.2)

(numita proprietatea de omogeneitate a aplicatiei T ).

Se obtine prin inductie relatia

T

mXi=1

cixi

!=

mXi=1

ciT (xi) ,ci R,xi Xn, i = 1,m. (3.3)

Teorema 3.1 (Teorema de caracterizare a transformarilor liniare)Conditia necesara si suficienta ca o transformare sa fie liniara este:

K,u, v X : T (u+ v) = T (u) + T (v). (3.4)

Demonstratie.Necesitatea. Presupunem ca T este o transformare liniara. Conform Definitiei 3.1 K,u,v X : T (u+ v) (3.1)= T (u) + T (v) (3.2)= T (u) + T (v).Suficienta. Considerand n (3.4) = 1 rezulta (3.1). Considerand n (3.4) v = X si

folosind Observatia 3.1 rezulta (3.2).Vom nota L(X,Y) = {T | T : X Y, T transformare liniara} .In cazul particular al endomorfismelor (X = Y), vom nota L(X,X) =L(X).

25

26 CAPITOLUL 3. TRANSFORMARI LINIARE

Teorema 3.2 (L(X,Y),+, ,K) este un spatiu liniar.Demonstratie.Definim legea interna din L(X,Y). Fie (T, S) L(X,Y) L(X,Y) si introducem suma

lor prin (T + S)(u) = T (u) + S(u), u X. Folosind definitia sumei a doua transformari,liniaritatea si Teorema 3.1 obtinem:

(T, S) L(X,Y) L(X,Y):(T + S)(u + v) = T (u + v) + S(u + v) = T (u) +T (v) + S(u) + S(v) = (T (u) + S(u)) + (T (v) + S(v)) = (T + S)(u) + (T + S)(u), K,u X, adica T + S L(X,Y).Definim legea externa din L(X,Y). Introducem produsul dintre un scalar si o transfor-

mareT L(X,Y), K : (T )(u) = T (u),u X.Folosind definitia produsului dintre un scalar si o transformare, liniaritatea ei si Teorema

3.1 obtinem:(, T ) K L(X,Y):(T )(u+ v) = T (u+ v) = (T (u) + T (v)) = (T (u)) +

T (v) = (T )(u) + (T (u),(,u) KX, adica T L(X,Y).Avand definite aceste operatii se verifica usor ca (L(X,Y),+) este grup comutativ si

sunt satisfacute axiomele SL1 SL4 din Definitia 2.1 a spatiului liniar.

Definitia 3.2 O transformare liniara T se numeste monomorfism, epimorfism sauizomorfism dupa cum T este respectiv injectiva, surjectiva sau bijectiva.Daca X = Y atunci aplicatia liniara T se numeste endomorfism. Un endomorfism

bijectiv se numeste automorfism.

Observatia 3.1 Daca n Definitia 3.1, a) nlocuim u = v = X obtinem T (X) = T (X)+T (X), de unde rezulta ca

T (X) = Y, (3.5)

unde X si respectiv Y sunt vectorii nuli din K-spatiile liniare X si respectiv Y. Conditia(3.5) este doar o conditie necesara ca o aplicatie sa fie liniara. De aici rezulta ca dacaT (X) 6= Y atunci T nu este liniara.Exemplul 3.1 Aplicatia T : R3 R2, definita prin T (x) = (x1 + 2x3, x1 + x2 x3),x = (x1, x2, x3) R3 este o transformare liniara (se verifica prin calcul conditiile (3.1) si(3.2)).

Exemplul 3.2 Aplicatia T : R2 R3, definita prin T (x) = (x1 + 1, x2, x1 + x2), x =(x1, x2) R2 nu este o transformare liniara deoarece T (R2) = (1, 0, 0), conform observatiei3.1 unde R2 = (0, 0).

Teorema 3.3 Fie (X,+, ,K), (Y,+, ,K) si (Z,+, ,K) spatii liniare si T L(X,Y), S L(Y,Z). Atunci S T L(X,Z) (compunerea a doua transformari liniare este o transfor-mare liniara), unde (ST )(u) = S(T (u)),u X. Mai mult, daca T si S sunt izomorfisme,atunci S T este izomorfism.

3.1. MATRICEA UNEI TRANSFORMARI LINIARE 27

Pentru orice izomorfism T L(X,Y), aplicatia inversa T1 L(Y,X) (inversul unuiizomorfism liniar este un izomorfism liniar), unde v Y :T1(v) = u T (u) = v, esteun izomorfism.

Demonstratie. Fie (,u,v) KX2 : (S T )(u+ v) = S(T (u+ v)) = S(T (u)+T (v)) = S(T (u)) + S(T (v)) = (S T )(u) + (S T )(v).Daca T si S sunt bijective, atunci S T este bijectiva, deci S T este izomorfism.Daca T este bijectie rezulta ca T1 este bijectie.Demonstram ca T1 este o transformare liniara. Fie (,w1,w2) KY2 (u1,u2)

X2 : T (u1) = w1, T (u2) = w2 : T1(w1+w2) = T1(T (u1) + T (u2)) = T1(T (u1+u2)) = (T1 T )(u1+ u2) = u1+ u2 = T1(w1) + T1(w2), deci T1(w1+w2) =T1(w1) + T1(w2).

3.1 Matricea unei transformari liniare

Teorema 3.4 Fie (X,+, ,K) si (Y,+, ,K) spatii liniare, dimK X = n,dimK Y = m siT L(X,Y). Daca S1 = (e1, . . . , en) este o baza n (X,+, ,K) si S2 = (e01, . . . , e0m) obaza n (Y,+, ,K), atunci exista o matrice unica P Mmn(K), P = (pij)i=1,m,j=1,n astfelncat

T (e1)...T (en)

= PT

e01...e0m

. (3.6)

Daca u X, u = (1 . . . n)

e1...en

are imaginea T (u) = (1 . . . m)

e01...e0m

,

atunci

1...m

= P

1...n

. (3.7)

Demonstratie. Demonstram existenta matricei P. Daca S1 = (e1, . . . , en) este o baza n(X,+, ,K), vectorii T (ei) Y, i = 1, n au descompunerile n raport cu baza S2 de forma:

T (e1) =mPj=1

pj1e0j

T (ei) =

mPj=1

pjie0j

T (en) =

mPj=1

pjne0j

, unde pji K, i = 1, n, j = 1,m,


echivalenta cu scrierea matriceala

T (e1)...T (en)

=

p11 pm1...

...p1n pmn

e01...e0m

T (e1)...T (en)

= PT

e01...e0m

,

(3.8)

ceea ce reprezinta relatia (3.6).Matricea P este unica datorita unicitatii descompunerii unui vector dupa vectorii bazei.

Demonstram relatia (3.7). Fie T L(X,Y) si u X, u = (1 . . . n)

e1...en

. Atunci

T (u) = (1 . . . n)

T (e1)...T (en)

= (1 . . . m)

e01...e0m

. Utilizand relatia (3.8) rezulta:

(1 . . . n)PT

e01...e0m

= (1 . . . m)

e01...e0m

(1 . . . n)PT = (1 . . . m).

Prin transpunere rezulta relatia (3.7).

Exemplul 3.3 Fie aplicatia T L(R3,R4) definita prinT (x) = (x1 + x2, x1 + x3, x2 x3, x1 x2 + 2x3),x = (x1, x2, x3) R3.Sa se determine matricea lui T n bazeleS1 = (e1 = (1, 1,1), e2 = (1,1, 1), e2 = (1, 1, 1)) si respectivS2 = (e01 = (0, 1, 1, 1), e02 = (1, 0, 1, 1), e03 = (1, 1, 0, 1), e04 = (1, 1, 1, 0)) .

Rezolvare. Calculam T (e1) = (1 + 1, 1 1, 1 + 1, 1 1 2) = (2, 0, 2,2) =4X

i=1

pi1e0i =

43(0, 1, 1, 1) + 2

3(1, 0, 1, 1) 4

3(1, 1, 0, 1) + 8

3(1, 1, 1, 0)

T (e2) = (1 1, 1 + 1,1 1, 1 + 1 + 2) = (0, 2,2, 4) =4X

i=1

pi2e0i =43(0, 1, 1, 1)

23(1, 0, 1, 1) + 10

3(1, 1, 0, 1) 8

3(1, 1, 1, 0)

T (e3) = (1 + 1,1 + 1, 1 1,1 1 + 2) = (0, 0, 0, 0) =4X

i=1

pi3e0i = 0(0, 1, 1, 1) +

0(1, 0, 1, 1) + 0(1, 1, 0, 1) + 0(1, 1, 1, 0).

P =S1 (T )S2 =

43

43

023

230

43

103

083

830

.


Definitia 3.3 Fie (X,+, ,K) si (Y,+, ,K) doua spatii liniare, dimK X = n, dimK Y =m,S1 = (ej)j=1,n, S2 = (e0j)j=1,m doua baze n X si respectiv Y iar T L(X,Y). MatriceaP Mmn(K), ale carei coloane sunt coordonatele vectorilor T (ej), j = 1, n n baza S2din spatiul liniar Y, se numeste matricea asociata transformarii liniare T n raport cuperechea de baze (S1, S2) .

Folosim notatia P = S1(T )S2 .

Observatia 3.2 Relatia (3.7) scrisa sub forma

1...n

=S1 (T )S2

1...n

(3.9)

se numeste ecuatia matriceala a transformarii liniare T.

Teorema 3.5 (Legea de schimbare a matricei unui endomorfism la schimbareabazelor) Fie (X,+, ,K) spatiu liniar, dimK X = n si T L(X,X). Fie S1 = (ei)i=1,n,S2 = (e0i)i=1,n doua baze n (X,+, ,K) si S1 A S2. Atunci are loc relatia:

S2(T )S2 = A1 S1 (T )S1 A. (3.10)

Demonstratie. Fie T L(X,X) si u X deci se poate exprima o combinatie de elemente

ale bazei S1, u = (1 . . . n)

e1...en

si T (u) = (1 . . . n)

T (e1)...T (en)

.

Dar u X deci se poate exprima ca o combinatie de elemente ale bazei S2, u = (1 . . .

n)

e01...e0n

si T (u) = (1 . . . n)

T (e01)...T (e0n)

.

Folosim ecuatia matriceala a transformarii liniare T n perechea de baze (S1, S1) , (3.9):

T (e1)...T (en)

= PT

e1...en

,P =S1 (T )S1 . (3.11)

Folosim ecuatia matriceala a transformarii liniare T n perechea de baze (S2, S2)

T (e01)...T (e0n)

= QT

e01...e0m

,Q =S2 (T )S2 .


Folosim formula de schimbare a coordonatelor unui vector la schimbarea bazei, schim-barea coordonatelor (1 . . . n) n baza S1 n coordonatele (1 . . . n) n baza S2, relatia(2.10), rezulta

1...n

= A

1...n

(3.12)

Dar

T (u) = (1 . . . n)

T (e1)...T (en)

= T (u) = (1 . . . n)PT

e1...en

T (u) = (1 . . . n)QT

e01...e0m

= (1 . . . n)QTAT

e1...en

.

Din unicitatea descompunerii rezulta

(1 . . . n)PT = (1 . . . n)QTAT P

1...n

= AQ

1...n

.

Folosind relatia (3.12) rezulta

PA

1...n

= AQ

1...n

,u X.

De unde rezultaQ = A1PA.Exemplificam continutul teoremei prin urmatoarea schema:

XS1S1(T )S1 XS1

A AXS2

S2(T )S2 XS2S2(T )S2 = A

1S1(T ) S1A.

Formula (3.10) se numeste formula de schimbare a matricei unei transformariliniare T L(X,X) la schimbarea bazei n spatiul liniar (X,+, ,K).

Exemplul 3.4 Fie aplicatia T L(R3,R3) definita prinT (x) = (x1 + x2, x1 + x3, x2 x3),x = (x1, x2, x3) R3.Sa se determine matricea lui T n baza canonica din R3, S = (e1 = (1, 0, 0), e2 =

(0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)) si in bazaS1 = (u1 = (1, 1,1),u2 = (1,1, 1),u2 = (1, 1, 1)) .

Rezolvare. Observam ca T este un endomorfism deci folosim relatia (3.10). Determinammatricea lui T n baza canonica, S(T )S = P


T (e1) = (1, 1, 0) = 1(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 0(0, 0, 1)T (e2) = (1, 0, 1) = 1(1, 0, 0) + 0(0, 1, 0) + 1(0, 0, 1)T (e3) = (0, 1,1) = 0(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) 1(0, 0, 1),

S(T )S =

1 1 01 0 10 1 1

.

Determinam matricea de trecere de la baza S la baza S1,A =

1 1 11 1 11 1 1

.

Inversa matricei A este A1=

12

120

120 1

2

0 12

12

.

Rezulta

S1(T )S1 = A1 S (T )S A =

12

120

120 1

2

0 12

12

1 1 01 0 10 1 1

1 1 11 1 11 1 1

=

=

1 1

212

121 1

212

12

0

1 1 11 1 11 1 1

=

1 1 02 1 01 0 0

.

Acelasi rezultat l obtinem daca calculam T (ui), i = 1, 3 si descompuneam acesti vectoridupa vectorii bazei S2.

T (u1) = (2, 0, 2) = 1(1, 1,1) + 2(1,1, 1) + 1(1, 1, 1)T (ui) = (0, 2,2) = 1(1, 1,1) 1(1,1, 1) + 0(1, 1, 1)T (ui) = (0, 0, 0) = 0(1, 1,1) + 0(1,1, 1) + 0(1, 1, 1)

Deci S1(T )S1 =

1 1 02 1 01 0 0

.

Definitia 3.4 Matricele A si C1AC se numesc matrice asemenea.

Observatia 3.3 Matricele unui endomorfism T L(X) relativ la doua baze alese n Xsunt matrice asemenea.

Teorema 3.6 Fie (X,+, ,K), (Y,+, ,K) si (Z,+, ,K) trei spatii liniare, dimK X = n,dimK Y = m, dimK Z = p si T L(X,Y), S L(Y,Z). Fie S1 = (ei)i=1,n, S2 = (e0i)i=1,m,S3 = (e00i )i=1,p baze n (X,+, ,K), (Y,+, ,K) si respectiv n (Z,+, ,K). Atunci are locrelatia:

S1(S T )S3 =S2 (S)S3 S1(T )S2. (3.13)

Demonstratie. Fie u X, u = (1 . . . n)

e1...en

, T (u) = v Y, v = (1 . . .


m)

e01...e0m

, S(v) = w Z, w = (1 . . . p)

e001...e00p

.

Fie S1(T )S2 = P Mmn(K). Are loc relatia:

1...m

= P

1...n

.

Fie S2(S)S3 = Q Mpm(K). Are loc relatia:

1...p

= Q

1...m

.

Atunci

1...p

= QP

1...n

, adica S1(ST )S3 = QP care reprezinta relatia (3.13).

Teorema 3.7 Fie (X,+, ,K) si (Y,+, ,K) doua spatii liniare, dimK X = n,dimK Y = nsi T L(X,Y), T izomorfism. Fie S1 si S2 doua baze n (X,+, ,K) si respectiv (Y,+, ,K).Atunci are loc relatia:

S2(T1)S1 = (S1(T )S2)

1 . (3.14)

Demonstratie.Deoarece T T1 = idY si T1 T = idX, tinand seama de Teorema 3.6 si de faptul ca

matricea aplicatiei identitate este matricea unitate, rezulta:

S1(T )S2 S2 (T1)S1 =S2 (T1)S1 S1 (T )S2 = I (S1(T )S2)1 =S2 (T1)S1 .

3.2 Nucleul si imaginea unei aplicatii liniare

Definitia 3.5 Fie T L(X,Y). Multimea ker(T ) = {u | u X : T (u) = Y} se numestenucleul transformarii liniare T .

Definitia 3.6 Fie T L(X,Y). Multimea Im(T ) = {w | w Y : u X : T (u) = w} senumeste imaginea transformarii liniare T .

Teorema 3.8 Nucleul lui T este un subspatiu liniar al spatiului liniar X. Imaginea lui Teste un subspatiu liniar al spatiului liniar X.Demonstratie. Observam ca ker(T ) 6= deoarece X ker(T ). Fie R si u,v

ker(T ) astfel ncat T (u) = , T (v) = . Atunci T (u+ v) = T (u) + T (v) = X si deciu+ v ker(T ).Observam ca Im(T ) 6= deoarece Y Im(T ). Fie R si u,v Im(T ). Rezulta

ca exista w1,w2 Y astfel ncat T (u) = w1, T (v) = w2; w1 + w2 = T (u) + T (v) =T (u+ v) de unde rezulta ca w1 +w2 Im(T ).

3.3. RANGUL SI DEFECTUL UNEI TRANSFORMARI LINIARE 33

3.3 Rangul si defectul unei transformari liniare

Definitia 3.7 Dimensiunea spatiului ker(T ) se numeste defectul lui T si se noteaza def(T ).Dimensiunea spatiului Im(T ) se numeste rangul lui T si se noteaza rang(T ).

Teorema 3.9 Transformarea liniara T este injectiva daca si numai daca ker(T ) = {X} .Demonstratie. Necesitatea. Presupunem ca transformarea liniara T este injectiva si fie

u ker(T ) deci T (u) = Y. Dar T (X) = Y si cum T (u) = T (X) rezulta ca u = X,adica ker(T ) = {X} .Suficienta. Presupunem ca ker(T ) = {X} si fie T (u) = T (v). Rezulta T (u v) = Y

deci u v ker(T ), adica u = v, deci T injectiva.Exercitiul 3.1 Transformarea liniara T este surjectiva daca si numai daca Im(T ) = Y.

Teorema 3.10 (Teorema rang-defect) Fie (X,+, ,K) si (Y,+, ,K) spatii liniare, dimK X =n si T L(X,Y). Atunci

rang(T ) + def(T ) = n.

Demonstratie. Fie def(T ) = r n si fie (v1,v2, . . . ,vr) o baza n ker(T ). Com-pletam sistemul de vectori (v1,v2, . . . ,vr) pana la o baza n spatiu X (Teorema 2.7),{v1,v2, . . . ,vr,vr+1,vr+2, . . . ,vn} .Vom demonstra ca sistemul de vectori (T (vr+1), . . . , T (vn)) este o baza n Im(T ).

Aratam ca vectorii sistemului (T (vr+1), . . . , T (vn)) sunt liniar independenti n Im(T ).

FienP

i=r+1iT (vi) = Y rezulta ca T (

nPi=r+1

ivi) = Y decinP

i=r+1ivi ker(T )

nPi=r+1

ivi =rP

i=1ivi

nPi=r+1

ivi rP

i=1ivi = X.

Deoarece {v1,v2, . . . ,vr,vr+1,vr+2, . . . ,vn} este un sistem de vectori liniar indepen-dent, rezulta r+1 = . . . = n = 1 = . . . = r = 0, deci vectori {T (vr+1), . . . , T (vn)} suntliniar independenti.Fie w Im(T ) arbitrar. Demonstram ca vectorii sistemului (w, T (vr+1), . . . , T (vn))

sunt liniar dependenti. Deoarece w Im(T ) rezulta ca exista v X astfel ncat T (v) = w.Dar v =

rPi=1

ivi +nP

i=r+1ivi de unde rezulta ca

w = T (v) =rX

i=1

iT (vi) +nX

i=r+1

iT (vi),

deci w =nP

i=r+1iT (vi), deoarece vi ker(T ), i = 1, r. Rezulta ca orice vector din Im(T ) se

poate scrie ca o combinatie liniara de vectori din sistemul de vectori (T (vr+1), . . . , T (vn)) ,deci am demonstrat ca avem n Im(T ), n r vectori liniar independenti iar orice n r+ 1vectori sunt liniar dependenti.Rezulta ca vectorii Im(T ) formeaza o baza n (T (vr+1), . . . , T (vn)) , deci rang(T ) =

n r rang(T ) + def(T ) = n.


Exercitiul 3.2 Fie transformarea liniara T : R3 R2, definita prin T (x) = (x1+2x3, x1+x2 x3), x = (x1, x2, x3) R3. Sa se verifice teorema rangului.

Rezolvare. Determinam nucleul lui T. T (x) = R

x1 + 2x3 = 0x1 + x2 x3 = 0

1 0 21 1 1

1 0 20 1 3

x1 = 2x3x2 = 3x3

.

Rezulta x ker(T ) x = (2,3, 1), x3 = R, deci def(T ) = 1.Determinam imaginea lui T. T (x) = y

x1 + 2x3 = y1

x1 + x2 x3 = y2

1 0 21 1 1

y1y2

1 0 20 1 3

y1y2 y1

Sistemul este compatibil nedeterminat,

orcare ar fi y R. Rezulta Im(T ) = R2. rang(T ) = 2.Cum n = dimR R3 = 3 rang(T ) + def(T ) = 1 + 2 = 3 si teorema este verificata.

3.4 Spatii liniare izomorfe

Definitia 3.8 Doua spatii liniare (X,+, ,K) si (Y,+, ,K) se numesc spatii liniare izo-morfe daca exista un izomorfism T L(X,Y). Vom nota X ' Y.

Teorema 3.11 Fie (X,+, ,K) un spatiu liniar de dimensiune n. Atunci au loc afirmatiile:a) X ' Kn.b) Daca (Y,+, ,K) si (Z,+, ,K) sunt spatii liniare, atunci Y ' Z daca si numai daca

dimK Y = dimK Z.

Teorema 3.12 Daca (X,+, ,K), (Y,+, ,K), dimK X = n, dimK Y = m atunci

L(X,Y)'Mmn(K).

Din acest rezultat tragem concluzia ca putem studia proprietatile unei transformariliniare studiind proprietatile matricei atasate ei. Astfel, de exemplu, daca (X,+, ,K) si(Y,+, ,K) doua spatii liniare, dimK X = n,dimK Y = m si T L(X,Y) iar S1 si S2 suntdoua baze n X respectiv Y si P =S1 (T )S2. Atunci au loc afirmatiile:a) T este aplicatie injectiva daca si numai daca rang(P) = n, n m.(n este numarul de

coloane ale matricei P)b) T este aplicatie surjectiva daca si numai daca rang(P) = m,m n.(m este numarul

de linii ale matricei P)c) T este aplicatie bijectiva daca si numai daca rang(P) = n, n = m.( matricea P este

o matrice patratica nesingulara).

Capitolul 4

VALORI SI VECTORI PROPRII

4.1 Diagonalizarea matricelor

Problema: data matricea A Mn(R), sa se determine o matrice nesingulara P Mn(R)astfel ncat matricea B = P1 A P sa aiba o forma cat mai simpla. Pentru a rezolvaaceasta problema introducem notiunile: valoare proprie, vector propriu, polinom caracter-istic etc.

Definitia 4.1 Fie matricea A = (aij)i,j=1,n Mn(R). Vectorul coloana x =

x1...xn

Mn1(R) pentru care exista R astfel ncat: Ax = x, x 6= Mn1(R) se numeste vectorpropriu al matricei A, iar valoare proprie a matricei A.

Multimea valorilor R care sunt valori proprii ale matricei A se numeste spectrullui A si se noteaza (A). Raza spectrala a matricei A este numarul real pozitiv (A) =max {|| , (A)} .Notam cu S(A) = {x|x Mn1(R) : Ax = x} multimea vectorilor proprii ai

matricei A corespunzatori valorii proprii la care este adaugat si vectorul nul.

Teorema 4.1 Fie matricea A Mn(R).a) Multimea S(A) are structura de subspatiu liniar al spatiului liniarMn1(R).b) Subspatiile proprii corespunzatoare valorilor proprii distincte nu au n comun decat

vectorul nul, adica daca 1 6= 2 S1(A) S2(A) =Mn1(R)

.

Demonstratie. a) Observam din definitia lui S(A) ca n aceasta multime este inclus sivectorul coloana nul Mn1(R). Demonstram ca S(A) este subspatiu liniar folosind teoremade caracterizare a subspatiilor liniare.Fie x,y S(A) Ax = x, Ay = y si fie R, A(x+ y) = Ax + Ay =

(x) + y = (x+ y) x+ y S(A).b) Fie valorile proprii distincte 1 si 2 si S1(A), S2(A) subspatiile proprii corespunza-

toare. Presupunem ca exista x S1(A) S2(A),x 6= Mn1(R). Rezulta Ax = 1x si

35

36 CAPITOLUL 4. VALORI SI VECTORI PROPRII

Ax = 2x deci 1x = 2x (1 2)x = Mn1(R), 1 6= 2 x = Mn1(R), ceea cecontrazice ipoteza.

Observatia 4.1 Ecuatia matriceala Ax = x,x 6= Mn1(R) este echivalenta cu (A In)x = Mn1(R) si echivalenta cu sistemul liniar omogen

(a11 )x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = 0a21x1 + (a22 )x2 + ...+ a2nxn = 0

......an1x1 + an2x2 + ...+ (ann )xn = 0

(4.1)

care are solutii nebanale daca si numai daca det(A In) = 0, unde

det(A In) =

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

...an1 an2 ann

. (4.2)

Definitia 4.2 Fie A Mn(R). Polinomul P () = det(A In) se numeste polinomcaracteristic al matricei A, iar ecuatia P () = 0 se numeste ecuatie caracteristica amatricei A. Radacinile ecuatiei caracteristice poarta denumirea de radacini caracter-istice ale matricei A. Valorile proprii ale matricei A sunt radacinile caracteristice dinR.

Exemplul 4.1 Fie matricea A M3(R). Sa se determine valorile proprii ale matricei:

A =

1 0 00 0 10 1 0

.

Rezolvare. Calculam det(A I3) = det

1 0 00 0 10 1 0

1 0 00 1 00 0 1

=

=

+ 1 0 00 1

0 1

= 2 3 + 1 = (1 ) (2 + 1) .

Ecuatia caracteristica este 2 3 + 1 = 0. Radacinile ecuatiei caracteristice sunt = 1, = i. Matricea A are numai valoarea proprie = 1 R, = i / R si deci nueste valoare proprie.In situatii generale, valorile proprii ale unei matrice nu sunt usor de determinat. Sunt si

cazuri n care determinantul din definitia polinomului caracteristic se poate calcula relativusor. Se includ aici matricele diagonale, matricele triunghiulare superior sau inferior.

4.1. DIAGONALIZAREA MATRICELOR 37

Definitia 4.3 Fie A Mn(R). Se numeste minor principal de ordin k al matricei Aun minor de ordin k format la intersectia a k linii si coloane cu acelasi indice.

Observatia 4.2 Fie A Mn(R). Sunt Ckn minori principali de ordin k, iar suma acestorase noteaza k. In particular 1 =

nXi=1

aii se numeste urma (n engleza trace) matricei A si

se noteaza Tr(A). Mai observam ca n = det(A).

Teorema 4.2 Fie A Mn(R). Au loc afirmatiile:a) Polinomul caracteristic al matricei A este un polinom de gradul n cu coeficienti din

R.b) Polinomul caracteristic are expresia

P () = (1)n(n 1n1 + 2n2 + ...+ (1)nn) (4.3)

unde: 1 =nXi=1

aii = Tr(A) (urma matricei A),

2 =a11 a12a21 a22

+

a11 a13a31 a33

+ +

an1.n1 an1,nan,n1 an,n

i = suma minorilor principali de ordinul i ai matricei A.n = det(A).

Exemplul 4.2 Sa se calculeze polinomul caracteristic al matricei

A =

1 0 2 10 1 4 22 1 0 12 1 1 2

.

Rezolvare. 1 = 1 + 1 + 0 + 2 = 4

2 =1 00 1

+

1 22 0

+

1 12 2

+

1 41 0

+

1 21 2

+

0 11 2

=

= 1 4 + 4 + 4 + 0 + 1 = 6

3 =

1 0 20 1 42 1 0

1,2,3

+

1 4 21 0 11 1 2

2,3,4

+

1 2 12 0 12 1 2

1,3,4

+

1 0 10 1 22 1 2

1,2,4

= 4

4 = det(A) = 1P () = 4 43 + 62 4+ 1 = ( 1)4

Teorema 4.3 Doua matrice asemenea au aceleasi valori proprii.

Demonstratie. Demonstram ca doua matrice asemenea au acelasi polinom caracteristicsi de aici va rezulta ca au aceleasi valori proprii. FieA,B Mn(R) doua matrice asemenea.


Atunci exista o matriceP Mn(R), nesingulara astfel ncatB = P1AP. Folosind definitiapolinomului caracteristic obtinem:

PB() = det(B In) = det(P1AP P1P) = detP1(A In)P ==det(P1) det(A In) detP = det(A In) = PA()

deoarece det(P1) = 1/det(P).

Observatia 4.3 Reciproca nu este adevarata. Faptul ca matricele au aceleasi valori proprii

este o conditie necesara, dar nu suficienta de asemanare. Consideram matricele

0 10 0

si

0 00 0

. Se observa ca fiecare are valoarea proprie 0 cu multiplicitatea 2 dar nu sunt

asemenea.

Definitia 4.4 Fie A Mn(R). Daca este o valoare proprie a lui A, atunci dimR S(A)se numestemultiplicitate geometrica a valorii proprii .Multiplicitatea valorii proprii ,ca radacina a polinomului caracteristic, notatam(), se numestemultiplicitate algebricaa valorii proprii .

Observatia 4.4 Multiplicitatea geometrica este numarul maxim de vectori liniar indepen-denti din S(A).

Teorema 4.4 Daca este valoare proprie a matricei A de multiplicitate algebrica m(),atunci dimR S(A) m().(multiplicitate geometrica este mai mica sau egala cu multiplic-itate algebrica).

Teorema 4.5 Fie matricea A Mn(R). Vectorii proprii corespunzatori valorilor propriidistincte sunt liniar independenti.

Demonstratie. Fie x1,x2, ...,xp vectorii proprii corespunzatori valorilor proprii 1, 2, ..., p.Vom demonstra ca daca valorile proprii 1, 2, ..., p sunt distincte atunci vectorii propriicorespunzatori x1,x2, ...,xp sunt liniar independenti.Demonstratia se face prin inductie dupa p.Pentru p = 1 afirmatia este evident adevarata (avem un singur vector propriu nenul,

liniar independent).Presupunem afirmatia adevarata pentru un sistem de p 1 vectori proprii si o demon-

stram pentru un sistem de p vectori. Fie sistemul de vectori proprii (x1,x2, ...,xp) si demon-stram ca este liniar independent. Fie (1, ..., p) Rp si

1x1 + 2x2 + ...+ pxp = Mn1(R) (4.4)

Inmultim relatia (4.4) la stanga cu p si obtinem:

1px1 + 2px2 + ...+ ppxp = Mn1(R). (4.5)

Pe de alta parte, daca aplicam matricea A relatiei (4.4) obtinem:

4.1. DIAGONALIZAREA MATRICELOR 39

1Ax1 + 2Ax2 + ...+ pAxp = Mn1(R)sau, tinand sema ca Axi = ixi, i = 1, p,

11x1 + 22x2 + ...+ pxpvp = 0Mn1(R). (4.6)

Scadem din (4.5) relatia(4.6) si obtinem:1(1 p)x1 + 2(2 p)x2 + ...+ p1(p1 p)xp1 = n.Deoarece sistemul de vectori (x1,x2, ...,xp1) este liniar independent si valorile proprii

sunt distincte, rezulta 1 = 2 = ... = p1. Inlocuim n (4.4) valorile lui i, i = 1, p 1rezulta pxp = 0Mn1(R),xp 6= Mn1(R) p = 0, deci sistemul de vectori (x1,x2, ...,xp)este liniar independent.Definitia 4.5 Se numeste matrice diagonala o matrice de forma

a11 0 ... 00 a22 ... 0.. .. .. ..0 0 .. ann

,

adica o matrice care are toate elementele care nu sunt pe diagonala principala egale cu zero.

Definitia 4.6 Se numeste matrice diagonalizabila orice matrice asemenea cu o matricediagonala.

Teorema 4.6 O matrice A Mn(R) este diagonalizabila daca si numai daca exista obaza nMn1(R) formata din vectorii proprii ai matricei A.Consecinta 4.1 Daca A Mn(R) are n valori proprii distincte, atunci A este diagonal-izabila.

Demonstratie. Conform Teoremei 4.5, deoarece 1, 2, ..., n sunt n valori proprii distincteale lui A si (x1,x2, ...,xn) sunt vectorii proprii corespunzatori, acesti vectori sunt liniarindependenti, sunt n numar de n, dimRMn1(R) = n, deci constiuie o baza nMn1(R).Conform Teoremei 4.6 matricea A este diagonalizabila.Enuntam fara demonstratie urmatoarele rezultate:

Teorema 4.7 (Teorema lui Jordan) O matrice A Mn(R) este diagonalizabila dacasi numai dacaa) toate radacinile polinomului caracteristic P () sunt n R,b) pentru orice valoare proprie dimR S(A) = m(), m() notand ordinul de multipli-

citate algebrica a valorii proprii (multiplicitatea algebrica este egala cu multiplicitateageometrica).

Exemplul 4.3 Fie matricea A M3(R),

A =

3 7 52 4 31 2 2

.

Sa se studieze daca matricea este diagonalizabila si n caz afirmativ sa se determinematricea diagonala si matricea modala.


Rezolvare. Pentru determinarea valorilor proprii si a multiplicitatilor algebricecalculam polinomul caracteristic: P () = (1)3(3 12 + 2 3)

1 = 3 + 4 + 2 = 32 =

3 72 4

+

4 32 2

+

3 51 2

= 12 + 14 + 8 6 6 + 5 = 3

3 = det(A) = 1P () = (3 32 + 3 1) = ( 1)31 = 2 = 3 = 1,m(1) = 3.Matricea are o singura valoare proprie = 1 cu multiplicitatea algebrica 3.Pentru determinarea vectorilor proprii si stabilirea multiplicitatilor geome-

tirce ale valorilor proprii rezolvam sistemul(A I)x = 0R3 x1 = 3x3, x2 = x3

S1(A) = {x R3|x = 311

} dimR S1(A) = 1(multiplicitatea geometrica)6= 3

(multiplicitatea algebrica a radacinii). Rezulta ca matricea nu este diagonalizabila.

4.1.1 Cazul matricelor simetrice

Teorema 4.8 Fie A Mn(R) o matrice simetrica. Atunci:a) xTAx este un numar (evident real).b) Toate valorile proprii ale matricei A sunt reale.

Demonstratie. Afirmatia a) este evidenta.b) Daca Ax =x si alegem x astfel ncat xTx =1, atunci = xTx = xT (x) = xTAx R (datorita afirmatiei a)).

Teorema 4.9 Fie A Mn(R) o matrice simetrica. Vectorii proprii corespunzatori valo-rilor proprii distincte sunt ortogonali.

Demonstratie. Fie 1 6= 2 doua valori proprii ale lui A si x Rn vector propriu,Ax = 1x si respectiv y Rn astfel ncat Ay = 2y. Demonstram ca x y .Inmultim relatia Ax = 1x la stanga cu yT , yTAx = yT1x yTAx =1yTx.Transpunem relatia Ay = 2y, tinem seama de simetria matricei A, yTA = 2yT si

nmultim la dreapta relatia cu x. Obtinem yTAx =2yTx.Din yTAx =1yTx si yTAx =2yTx prin scadere obtinem (1 2)yTx = Rn, dar

1 6= 2 yTx = hy,xi = 0 x y.

Observam ca yTx =y1 yn

x1...xn

=

nXi=1

yixi = hy,xi

Se poate demonstra ca:

Teorema 4.10 Orice matrice reala simetrica, A Mn(R), este ortogonal asemenea cu omatrice diagonala.

4.2. ALGORITMUL DE DIAGONALIZARE A UNEI MATRICI 41

Observatia 4.5 Matricea P se obtine astfel: consideram o baza ortonormata obtinuta dinvectori proprii ai matriceiA (eventual se face ortonormarea vectorilor proprii prin procedeulGram-Schmidt) si matricea ortogonala P va fi formata pe coloane din coordonatele acestorvectori n baza canonica. Evident, matricea P nu este unica, ea depinzand de alegereabazei.

4.2 Algoritmul de diagonalizare a unei matrici

Fie matricea A Mn(R).Determinarea valorilor proprii ale matricei A.Pasul 1. Determinam polinomul caracteristic P () = det(AIn). Calculam radacinile

polinomului caracteristic. Daca exista macar o radacina care nu este n R, conditia a) dinTeorema 4.7 nu este satisfacuta, deci algoritmul se opreste. Matricea A nu poate fi adusala forma diagonala.Daca toate radacinile polinomului caracteristic sunt n R, trecem la Pasul 2.Pasul 2. Fie 1, 2, ..., p valorile proprii distincte cu ordinele de multiplicitate algebrica

m(1), m(2), ..., m(p).Determinarea vectorilor proprii ale matricei A.Pasul 3. Rezolvam cele p sisteme liniare si omogene(A iIn)x = Mn1(R), i = 1, p.Explicitam subspatiile proprii Si(A) =

x Mn1(R) :(A iIn)x = Mn1(R)

, i =

1, p si punem n evidenta cate o baza n fiecare dintre ele. Calculam dimSi(A) = ni, i =1, p.Pasul 4. Daca ni = m(i),i = 1, p, matricea poate fi adusa la forma diagonala si trecem

la Pasul 5. In caz contrar conditia b) din Teorema 4.7 nu este satisfacuta, deci algoritmulse opreste.Determinarea formei diagonale.Pasul 5. Am ajuns la Pasul 5 cand conditiile Teoremei 4.7 au fost ndeplinite, matricea

A este diagonalizabila. Matricea diagonala are formaD = diag[1, ..., 1| {z }, 2, ..., 2| {z }, ..., p, ..., p| {z }]

n1 ori n2 ori np oriiar vecrorii proprii sunt reuniunea bazelor din toate subspatiile proprii determinate anterior.Matricea modala P, care este si matricea de asemanare, are coloanele formate din

vectorii.proprii. Are loc relatiaD = P1AP.

Exemplul 4.4 Fie matricea A M4(R),

A =

1 0 0 10 1 0 00 0 1 21 0 2 5


Sa se stabilesca daca matricea este diagonalizabila si n caz afirmativ sa se determinematricea diagonala.

Rezolvare. Pentru determinarea valorilor proprii si a multiplicitatilor algebricecalculam polinomul caracteristic:

P () = (1)4(4 83 + 132 6) = ( 6)( 1)2Valorile proprii sunt1 = 0,m(0) = 1,2 = 6,m(6) = 1,3 = 4 = 1,m(1) = 2.Pentru 1 = 0, S0(A) = {x R4|x =

1 0 2 1

T , R}, dimR S1(A) = 1 =m(0),Pentru 2 = 6, S6(A) = {x R4(R)|x =

1 0 2 5

T , R}, dimR S6(A) =1 = m(6),Pentru 3 = 4 = 1,

S1(A) = {x R4|x =

0100

+

2010

, , R}, dimR S1(A) = 2 = m(1).

Deoarece ni = m(i), i = 1, 2, 3, endomorfismul este diagonalizabil, iar matriceadiagonala este

D =

0 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 6

, iar matricea modala este P =

1 0 2 10 1 0 02 0 1 21 0 0 5

.

Exemplul 4.5 Sa se aduca la forma diagonala matricea

A =

1 0 20 0 02 0 4

si sa se determine matricea ortogonala de asemanare.. Sa se calculeze An.

Rezolvare. Calculam polinomul caracteristic care n acest caz se obtine mai usor folosinddefinitia:

P () = det

1 0 20 02 0 4

= 2( 5).

Obtinem: 1 = 2 = 0,m(0) = 2 si 3 = 5,m(5) = 1.Determinam vectorii proprii: pentru 1 = 2 = 0 rezolvam sistemul Ax = R3 folosind

transformarile elementare,1 0 20 0 02 0 4

1 0 20 0 00 0 0

x1 2x3 = 0, x2 R

4.2. ALGORITMUL DE DIAGONALIZARE A UNEI MATRICI 43

deci x S0(A) x =

2x3x2x3

= x3

201

+ x2

010

dimR S0(A) = 2.

Pentru = 5 rezolvam sistemul (A 5I3)x = R3 folosind transformarile elementare,4 0 20 5 02 0 1

1 0 1

2

0 5 02 0 4

1 0 1

2

0 5 00 0 0

1 0 1

2

0 1 00 0 0

x1 + 12x3 = 0x2 = 0

x S5(A) x =

12x3

0x3

= x3

12

01

.

Matricea fiind simetrica este diagonalizabila.

O forma diagonala este, de exemplu,

D =

0 0 00 0 00 0 5

.

Forma diagonala nu este unica. Obtinem atatea forme diagonale cate moduri diferiteavem de aranjare a valorilor proprii pe diagonala.

Baza formata din vectorii proprii este:

v1 =

201

,v2 =

010

,v3 =

12

01

.

Observam ca vectorii sunt ortogonali. Ii normalizam si formam matricea modala careare drept coloane vectorii proprii ortonormati.

P =

250 1

5

0 1 0150 2

5

si

PTAP =

25

5 0 1

5

5

0 1 0

15

5 0 2

5

5

1 0 20 0 02 0 4

250 1

5

0 1 0150 2

5

=

0 0 00 0 00 0 5

.

Calculul lui An.Stim ca A = PDP T A2 = PDP TPDP T = PD2P T .Folosind inductia matematica obtinem ca: An = PDnP T .Dar daca

D =

0 0 00 0 00 0 5

D2 =

0 0 00 0 00 0 5

0 0 00 0 00 0 5

=

0 0 00 0 00 0 52

Dn =

0 0 00 0 00 0 5n

,


An = PDnP T =

250 1

5

0 1 0150 2

5

0 0 00 0 00 0 5n

25

5 0 1

5

5

0 1 0

15

5 0 2

5

5

=

=

155n 0 2

55n

0 0 0255n 0 4

55n

=

5n1 0 2 5n10 0 0

2 5n1 0 4 5n1

.

4.3 Forma Jordan

(suplimentar)

Am vazut ca nu toate matricele sunt asemenea cu o matrice diagonala. Vom cauta ncele ce urmeaza o matrice triungiular superioara cat mai apropiata de forma diagonala,rezultatul obtinut este asa zisa forma canonica Jordan.

4.3.1 Blocuri Jordan si matrice Jordan

Fie matricele

J1() = () ,J2() = 10

, ...,Jm() =

1 0 ... 0 00 1 ... 0 0.. .. .. .. .. ..0 0 0 ... 0

.

Definitia 4.7 Matricea Jp() Mp(R), (p 1, K)

Jp() =

1 0 ... 0 00 1 ... 0 0.. .. .. .. .. ..0 0 0 ... 0

(4.7)

cu p linii si p coloane se numeste bloc Jordan (celula Jordan) de ordin p.

Definitia 4.8 O matrice J Mn(R) de formaJ = diag [Jn1(1), Jn2(2), ..., Jnk(k)] ,

n care Jni(i) Mni(R),i=1, k, n1 + n2 + ... + nk = n, este un bloc Jordan, iar ordineleblocurilor ni cat si valorile i nu sunt neaparat distincte, se numeste matrice Jordan deordin n.

Observatia 4.6 Se observa ca daca fiecare bloc Jordan Jni(i) din Definitia 4.8 este 1-dimensional, adica ni = 1 si k = n, matricea Jordan este diagonala. Daca macar unul dinblocurile Jni(i) are ni > 1, matricea J nu este diagonala si nu este nici diagonalizabila.

4.4. ALGORITMUL DE ADUCERE LA FORMA JORDAN 45

4.3.2 Serii de vectori proprii si vectori asociati

Definitia 4.9 Un sistem de vectori (x1,x2, ...,xp),p 1, p N dinMn1 (R) care satisfaceconditiile

x1 6= 0n,Ax1 = x1,Ax2 = x2 + x1, ...,Axp = xp + xp1. (4.8)

se numeste serie de vector propriu si asociatii acestuia corespunzatori valorii proprii a matricei A, n care x1 este vectorul propriu numit cap de serie, iar ceilalti se numescvectori asociati vectorului propriu.

Observatia 4.7 Daca p = 1 atunci seria de vectori proprii si vectori asociati este formatadintr-un singur vector propriu a matricei A.

Se pot demonstra urmatoarele rezultate:a) un sistem de vectori format dintr-o serie de vector propriu si asociatii acestuia este

liniar independent,b) daca unei serii de vector propriu si asociati i adaugam vectori proprii liniar independenti,

sistemul de vectori obtinut este liniar independent,c) sistemul de vectori format din toate seriile de vectori proprii si asociati (aici includem

si seriile de lungime 1 formate numai din vectorul propriu) este liniar independent.De aici rezulta ca daca numarul total de vectori proprii si asociati este egal cu numarul

de linii(sau coloane) ale matricei A, atunci acestia formeaza o baza care se numeste bazaJordan corespunzatoare matricei A.

4.4 Algoritmul de aducere la forma Jordan

Prezentam un algoritm de aducere la forma Jordan a unei matrice de ordin n cuelemente reale.Pasul 1. Determinarea radacinilor polinomului caracteristic al matricei A. Calculam

polinomul caracteristic

P () = det(IA) = ( 1)n1( 2)n2...( p)np,unde 1, 2, ..., p sunt radacinile polinomului caracteristic, iar m(1),m(2), ...,m(p) or-dinele de multiplicitate ale radacinilor polinomului P ().Pasul 2. Daca exista macar un i = 1, p astfel ncat i / R algoritmul se opreste. In caz

contrar trecem la Pasul 3.Pasul 3. Determinarea numarului seriilor de vectori proprii si asociati. Daca toate

radacinile polinomului caracteristic sunt valori proprii, atunci pentru fiecare valoare proprien parte k, k = 1, p calculam

dk = n rang(A kI)si obtinem numarul de serii de vectori proprii si asociati corespunzatori valorii proprii k.


Daca dk = 1, avem o singura serie de lungime m(k) formata dintr-un vector propriu siasociati si acestei serii i corespunde o celula Jordan de ordin m(k). Trecem la Pasul 5.Daca dk = m(k), atunci exista m(k) serii de vectori proprii si asociati, corespunzatori

valorii proprii k si fiecare din aceste serii este formata dintr-un singur vector. Trecem laPasul 5.Daca 1 < dk < m(k), trecem la Pasul 4.Pasul 4. Determinarea lungimii seriilor de vectori proprii si asociati. Sunt dk serii de

vectori proprii si asociati de lungimi pe care urmeaza sa le determinam. Calculam pentruj 1, (j, k) = rang(A kI)j1 2 rang(A kI)j + rang(A kI)j+1.Daca (j, k) 6= 0, atunci avem (j, k) serii de vectori proprii si asociati de lungime

j. (Convenim ca puterea zero a oricarei matrice este matricea unitate a carei rang este egalcu n). Calculul se opreste cand

Xj

j (j, k) = m(k).Pasul 5. Determinarea seriilor de vectori proprii si asociati corespunzator valorii proprii

k.Pornim de la seria de lungime maxima. Fie aceasta lungime s. Daca v1 Kn este

vector propriu pentru matricea A corespunzator valorii proprii k, cap de serie pentru seria(v1,v2, . . . ,vs) atunci

(A kIn)v1 = , (A kIn)v2 = v1, ...,

(A kIn)vs = vs1.(4.9)

Inlocuind din aproape n aproape obtinem:(A kIn)vs = vs1, (A kIn)2vs = vs2,. . . , (A kIn)s1vs = v1, (A kIn)svs = .

(4.10)

Deci ultimul asociat din serie este o solutie nenula a sistemului liniar omogen(A In)svs = .Fie aceasta solutie vs.Observam ca (A In)s1vs = v1 6= .Alegem vectorul solutie a sistemului (AIn)svs = a carui imagine prin (AIn)s1

va fi un vector nenul care nu este altul decat vectorul propriu cap de serie, v1. Ceilalti vectoridin serie se determina utilizand relatiile (4.9).Trecem la seria urmatoare n ordinea descrescatoare a lungimilor pana se epuizeaza

toate seriile corespunzatoare valorii proprii k.Fiecarei serii de vectori proprii si asociati i corespunde o celula Jordan egala cu lungimea

seriei.Se reia algoritmul de la Pasul 3 pentru urmatoarea valoare proprie pana se epuizeaza

toate valorile proprii.Toate seriile de vectori proprii si asociati formeaza baza Jordan.Pasul 6. Determinarea matricei Jordan si a matricei modale.Matricea Jordan este formata din toate celulele Jordan asociate seriilor de vectori proprii

si asociati.Matricea modala P are pe coloane coordonatele vectorilor proprii si asociati, avand grija

sa le scriem n ordinea n care apar n serie si n ordinea valorilor proprii.N


4.4.1 Exemple

Exemplul 4.6 Fie matricea

A =

0 2 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0

.

Sa se determine forma canonica Jordan si baza Jordan.

Rezolvare. Calculam polinomul caracteristic:1 = 0, 2 = 2, 3 = 0, 4 = 1;P () = ( 1)2(+ 1)2,1 = 1,m(1) = 2,2 = 1,m(1) = 2.

A I4 =

1 2 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1

rang(A I4)= 3

Calculam pentru 1 = 1, d1 = 4 rang(A I4) = 1.Rezulta ca pentru 1 = 1 avem o singura serie de vectori proprii si asociati, serie

de lungime m(1) = 2.Determinam capul de serie, adica vectorul propriu:

a) Calculam (A I4)2 =

1 2 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1

1 2 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1

=

=

3 4 1 22 3 0 11 2 1 00 1 2 1

.

Determinam solutiile sistemului

3 4 1 22 3 0 11 2 1 00 1 2 1

x1x2x3x4

=

0000

3 4 1 22 3 0 11 2 1 00 1 2 1

L1L3

1 2 1 02 3 0 13 4 1 20 1 2 1

L2 + 2L1 L2L3 3L1 L3

1 2 1 00 1 2 10 2 4 20 1 2 1

L2L2

1 2 1 00 1 2 10 2 4 20 1 2 1

L1 + 2L2 L1L3 2L2 L3L4 L2 L4

1 0 3 20 1 2 10 0 0 00 0 0 0


Rezulta u =

3 22

=

3210

+

2101

, de unde u11 =

3210

,u12 =

2101

Calculam z11 = (A I4)u11 =

1 2 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1

3210

=

1111

,

z12 = (A I4)u12 =

1 2 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1

2101

=

1111

.

Observam ca (z11, z12) sunt liniar dependenti, de aceea vom considera unul din cei doivectori drept cap de serie.

Capul de serie (vectorul propriu corespunzator valorii proprii 1) va fi, de exemplu,

v11 =

1111

, iar vectorul propriu asociat va fi v12 = u12 sau u11. Consideram, de exemplu,

v12 = u12(baza Jordan nu este unica)

Concluzie: pentru valoarea proprie 1 avem o serie de un vector propriu si un asociat,(v11,v12) si ei i corespunde o celula Jordan de ordin 2.Calculam pentru 1 = 1, d2 = 4 rang(A+ I4).

A+ I4 =

1 2 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1

,

rang(A+ I4)= 3Rezulta ca pentru 1 = 1 avem o singura serie de vectori proprii si asociati, serie

de lungime 2.

Calculam capul de serie:

Calculam (A+ I4)2 =

1 2 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1

1 2 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1

=

3 4 1 22 3 0 11 2 1 00 1 2 1

.

Determinam solutiile sistemului


3 4 1 22 3 0 11 2 1 00 1 2 1

x1x2x3x4

=

0000

.

3 4 1 22 3 0 11 2 1 00 1 2 1

L1L3

1 2 1 02 3 0 13 4 1 20 1 2 1

L2 2L1 L2L3 + 3L1 L3

1 2 1 00 1 2 10 2 4 20 1 2 1

L2L2

1 2 1 00 1 2 10 2 4 20 1 2 1

L1 2L2 L1L3 + 2L2 L3L4 L2 L4

1 0 3 20 1 2 10 0 0 00 0 0 0

.

Rezulta u =

3+ 22

=

3210

+

2101

, de unde u21 =

3210

,u22 =

2101

.

Calculam z21 = (A+ I4)u21 =

1 2 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1

3210

=

1111

;

z22 = (A+ I4)u22 =

1 2 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1

2101

=

1111

.

Observam ca (z21, z22) sunt liniar dependenti (identici), de aceea vom considera unul dincei doi vectori.

Capul de serie (vectorul propriu corespunzator valorii proprii -1) va fi v21 =

1111

,

iar vectorul propriu asociat va fi, de exemplu, v22 = u21.

Concluzie: pentru valoarea proprie 1 avem o serie de un vector propriu si un asociat,(v21,v22) si ei i corespunde o celula Jordan de ordin 2.

Matricea Jordan va fi J =

1 1 0 00 1 0 00 0 1 10 0 0 1

iar matricea modala


P =

1 3 1 21 2 1 11 1 1 01 0 1 1

.

Exemplul 4.7 Fie matricea

A =

2 0 0 01 3 1 10 0 1 11 1 0 2

.

Sa se determine forma canonica Jordan si baza Jordan.

Rezolvare.Calculam polinomul caracteristic:1 = 8, 2 = 24, 3 = 32, 4 = 16;P () = ( 2)4,1 = 2,m(1) = 4.

A 2I4 =

2 0 0 01 3 1 10 0 1 11 1 0 2

2

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

=

0 0 0 01 1 1 10 0 1 11 1 0 0

,

rang(A 2I4)= 2Calculam pentru 1 = 2, d1 = 4 rang(A I4) = 2.Rezulta ca pentru 1 = 2 avem doua serii de vectori proprii si asociati, serii de

lungime necunoscuta. Pot fi doua serii de lungime doi sau o serie de lungime doi si una delungime trei. Calculam lungimile seriilor. Pentrua aceasta ca

Algebra Liniara CTI

Documents

Transcript of Algebra Liniara CTI